UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Hipersuperfı́cies com r-ésima
Curvatura Média Constante
em Espaços Riemannianos
Frederico Vale Girão
FORTALEZA-CE
Fevereiro de 2004
FREDERICO VALE GIRÃO
Hipersuperfı́cies com r-ésima
Curvatura Média Constante
em Espaços Riemannianos
Orientador: Antonio Gervasio Colares
FORALEZA-CE
Fevereiro de 2004
Aos meus avós João de Deus
Girão, Ana Carneiro Girão,
Raimundo Nonato do Vale e
Maria de Lourdes Farias do Vale.
Agradecimentos
Aos meus pais José Mário Girão e Salma Vale Girão, e aos meus irmãos
Marise Vale Girão e Davidson Vale Girão pela excelente educação que me
deram e por todo amor que me foi dado ao longo desses vinte e quatro anos.
A todos os meus amigos pelos momentos de alegria que me proporcionaram. Em especial aos amigos Emanuel, Vanessa, Carlos Alexandre,
Aline, Felipe, Rodrigo, Danielle, Orlando, Roberto e Rafaela.
Aos colegas da Universidade Federal do Ceará, com os quais passei várias
horas resolvendo listas de exercı́cios e assistindo aulas. Em especial aos colegas Emanuel, Henrique, Silvana, Valdiane, Tony, Marcelo, Caminha, Fernando, Darlan, Juscelino e Cristiane.
Aos Professores Jorge Herbert Soares de Lira, Sebastião Carneiro de
Almeida e Antonio Gervasio Colares por participarem da banca.
Aos professores da Universidade Federal do Ceará pelo apoio, incentivo e
pelos excelentes cursos ministrados. Gostaria de destacar os professores José
Fábio Bezerra Montengro pelos cursos de EDP, João Lucas Marques Barbosa
pelos excepcionais cursos de Variável Complexa e Geometria Riemanniana,
e o professor Antonio Gervásio Colares pela dedicada orientação desde os
tempos de graduação e pelos seminários semanais que foram fundamentais
para a conclusão desta dissertação.
À Andrea Costa Dantas pela ajuda concedida na solução de problemas
de ordem burocrática.
Ao CNPq pelo suporte financeiro a mim concedido.
Aos cristãos do Ministério Alfa e Omega pelos momentos maravilhosos
no campus em que estivemos na presença do Espı́rito Santo.
À Igreja Betesda da Aldeota e aos meus pastores Domingos Alves e Doralice Alves pelo suporte espiritual e pelas excelentes mensagens pregadas
nos cultos.
Ao Nosso Senhor Jesus Cristo, por ter levado consigo na cruz todos os
meus pecados e ter me lavado com seu sangue santo.
A todos vocês, muito obrigado.
“Pois sabemos que todas as coisas
trabalham juntas para o bem
daqueles que amam a Deus,
daqueles a quem Ele chamou de
acordo com o seu plano.”
Romanos 8.28
Sumário
1 Preliminares
1.1 O Modelo de Minkowski para o Espaço Hiperbólico . . . .
1.1.1 O Espaço de Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . .
1.1.2 O Modelo de Minkowski para o Espaço Hiperbólico
1.2 As r-ésimas Curvaturas Médias . . . . . . . . . . . . . . .
2 As
2.1
2.2
2.3
2.4
Transformações de Newton
As Transformações de Newton . . . . . . . . .
A Divergência das Transformações de Newton
Uma Configuração Geométrica . . . . . . . . .
As Transformações de Newton no Bordo . . .
.
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.
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7
7
7
8
10
.
.
.
.
14
14
17
22
28
3 Simetria de Hipersuperfı́cies no Espaço Euclidiano
32
3.1 Transversalidade × Elipticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Simetria de Hipersuperfı́cies no Espaço Euclidiano . . . . . . . 34
4 Uma Fórmula do Fluxo
39
4.1 Uma Fórmula do Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Estimando a r-ésima Curvatura Média pela Geometria do Bordo 47
1
Introdução
Um problema clássico da geometria diferencial consiste em encontrar todas as superfı́cies compactas do espaço euclidiano R3 com curvatura média
constante e bordo circular. Como sabemos, um cı́rculo C em R3 é o bordo
de duas colotas esféricas com curvatura média constante H para qualquer
número positivo H menor ou igual ao inverso do raio do cı́rculo C. Uma
questão natural a se perguntar é quando uma superfı́cie compacta de curvatura média constante em R3 cujo bordo é um cı́rculo é necessariamente
uma calota esférica. Em [10] Kapouleas deu uma resposta negativa para esta
questão. Entretanto, foi conjecturado que a resposta deve ser positiva se for
acrescentada a hipótese da superfı́cie ter genus zero ou ser mergulhada.
Nos últimos anos, vários geômetras obtiveram resultados parciais com
relação a esses problemas. Barbosa em [5] e [6] provou que as únicas superfı́cies imersas compactas com curvatura média constante H 6= 0 e bordo
circular que estão contidas em um cilindro ou em uma esfera de raio 1/|H|
são as calotas esféricas. Por outro lado, no caso de genus zero, Alı́as, López
e Palmer mostraram que as únicas superfı́cies imersas com curvatura média
constante estáveis do tipo do disco são as calotas esféricas [3].
A pergunta clássica acima pode ser reenunciada em um contexto mais
geral da seguinte forma. Seja Σn−1 uma variedade de dimensão (n − 1)
contida em um hiperplano Π ⊂ Rn+1 , e seja M n uma variedade conexa
orientável de dimensão n com bordo suave ∂M. Como de costume, M é dita
uma hipersuperfı́ce de Rn+1 com bordo Σ se existe uma imesão ψ : M n −→
Rn+1 tal que a imersão ψ restrita ao bordo ∂M é um difeomorfismo sobre Σ.
Em [11], Koiso deu uma nova interpretação do problema estudando sob
quais condições as simetrias do bordo Σ ⊂ Π de uma hipersuperfı́cie com
curvatura média constante não nula M em Rn são herdadas pela hipersuperfı́cie. Em [8], Brito, Sá Earp, Meeks e Rosenberg mostraram que quando
Σ é estritamente convexa e M é mergulhada e transversal a Π ao longo de
∂M, então M está inteiramente contida em um dos semi-espaços determinados por Π, e portanto, o Princı́pio da Reflexão de Alexandrov [1] implica que
M herda todas as simetrias de Σ.
2
A técnica introduzida em [8] faz uso de dois ingredientes esseciais: o já
mensionado Princı́pio da Reflexão de Alexandrov, e uma fórmula integral devida a Kusner [12], que hoje em dia é conhecida como Fórmula do Fluxo. Este
fato indica que o resultado de simetria obtido em [8] pode ser extendido de
duas formas diferentes: considerando hipersuperfı́cies com curvatura média
constante em formas espaciais, ou cosiderando o caso de hipersuperfı́cies com
r-ésima curvatura média constante.
Em nossa dissertação, a qual foi baseada nos resultados obtidos por Alı́as,
Lira e Malacarne em [2], abordamos alguns aspectos do problema clássico
acima citado. Em nossa abordagem estudamos o problema em um contexto
mais geral. Especificamente, nosso ambiente geral será uma variedade riemanniana conexa orientável M de dimensão (n + 1), onde vamos considerar
a seguinte configuração geométrica. Fixemos P n ⊂ M uma hipersuperfı́cie
conexa orientável totalmente geodésica de M , e seja Σn−1 ⊂ P uma subvariedade compacta mergulhada de dimensão (n − 1) contida em P n . Considere
M n uma variedade orientável conexa de dimensão n com bordo suave ∂M.
Então, dizemos que M é uma hipersuperfı́cie de M com bordo Σ se existe
uma imersão ψ : M n −→ M tal que a imersão ψ restrita ao bordo ∂M é um
difeomorfismo sobre Σ.
No primeiro capı́tulo escrevemos sobre alguns temas que ajudam na leitura
desta dissertação. Na primeira seção escrevemos sobre o modelo de Minkowski
para o espaço hiperbólico Hn . Em tal modelo, Hn é visto como uma hipersuperfı́cie tipo-espaço do espaço de Lorentz Rn+1 . Na segunda seção, definimos
n+1
a r−ésima curvatura média de uma hipersuperfı́cie ψ : M n −→ M , onde
n+1
M
é uma variedade riemanniana conexa orientável de dimensão (n + 1)
n
e M é uma variedade conexa orientável de dimensão n com bordo suave
n+1
∂M . Nesta seção mostramos ainda que se M
tem curvatura seccional
constante c, então a segunda curvatura média H2 está relacionada com a
curvatura escalar S de M pela seguinte fórmula (equação (1.9)):
S = n(n − 1)(c + H2 ).
No capı́tulo 2, estudamos as transformações de Newton Tr : X (M ) −→
X (M ). Na primeira seção nós definimos os Tr e demonstramos algumas de
suas propriedades. Na segunda seção nós olhamos Tr como um tensor do tipo
(1, 1) e calculamos sua divergência através do seguinte lema (Lema 2.2.1):
Lema 1 A divergência da transformação de Newton Tr , 0 ≤ r ≤ n, é dada
por


 0, para r = 0 n
X
divTr =
(1)
−A(divT
)
−
(R(N, Tr−1 ei )ei )> , para 1 ≤ r ≤ n,

r−1

i=1
3
onde R é o tensor curvatura de M , e (R(N, V )W )> denota a componente
tangencial de (R(N, V )W ). Equivalentemente, para todo X ∈ X (M ),
hdivTr , Xi =
r X
n
X
(−1)j hR(N, Tr−j ei )ei , Aj−1 Xi.
(2)
j=1 i=1
Como corolário, obtemos que se M tem curvatura seccional constante, então
divM Tr = 0, 0 ≤ r ≤ n. Na terceira seção introduzimos a configuração
geométrica já citada acima e fixamos as orientações. Finalmente, na quarta
seção nós relacionamos as transformações de Newton de M com as transformações de Newton do bordo ∂M .
No capı́tulo 3 provamos resultados de simetria para hipersuperfı́cies do
espaço euclidiano. Começamos o capı́tulo com uma seção que relaciona a
elipticidade da transformação de Newton Tr com a transversalidade de M
e P ao longo do bordo ∂M. O seguinte resultado (Proposição 3.1.1) resume
bem o objetivo desta seção.
Proposição 1 Seja Σn−1 uma subvariedade orientável compacta de uma
n+1
e seja ψ : M n −→
hipersuperfı́cie orientável totalmente geodésica P ⊂ M
n+1
M
uma hipersuperfı́cie orientável com bordo Σ = ψ(M ). Então cada uma
das seguintes hipóteses, individualmente, implicam que M é transversal a P
ao longo do bordo ∂M :
• Para 1 ≤ r ≤ n − 1, a transformação de Newton Tr é positiva definida
em M.
• n ≥ 3 e Sn 6= 0 em M.
• S2 > 0 em M .
Na segunda seção usamos a relação entre transversalidade e elipticidade juntamente com um teorema devido à H. Rosenberg (Teorema 3.2.2) para provarmos o seguinte resultado de simetria (Teorema 3.2.3):
Teorema 1 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta estritamente convexa de
um hiperplano Π ⊂ Rn+1 , e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuerfı́cie compacta mergulhada com bordo Σ. Assuma que para 2 ≤ r ≤ n dado, a r−ésima
curvatura média Hr de M é uma constante não nula. Então M possui todas
as simetrias de Σ. Em particular, se Σ é uma esfera redonda de Rn+1 , então
M é uma calota esférica.
Como consequência do Teorema 3.2.3, obtemos os seguintes corolários (Corolários 3.2.1 e 3.2.2):
4
Corolário 1 As únicas hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em Rn+1
com r−ésima curvatura média Hr constante (2 ≤ r ≤ n) e bordo esférico são
as bolas redondas hiperplanares (com Hr = 0) e as calotas esféricas (com Hr
uma constante não nula).
Corolário 2 As únicas hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em Rn+1
com curvatura escalar constante e bordo esférico são as bolas redondas hiperplanares (com curvatura escalar zero) e as calotas esféricas (com curvatura
escalar positiva).
O quarto e último capı́tulo é composto de duas seções. Na primeira
seção obtemos uma Fórmula do Fluxo para o ambiente geral em que estamos
trabalhando, cujo enunciado preciso é o seguinte:
n+1
uma hipersuperfı́cie imersa compacta
Teorema 2 Seja ψ : M n −→ M
n
orientável com bordo ∂M, e seja D uma hipersuperfı́cie compacta orientável
com bordo ∂D = ∂M. Assuma que M ∪ D é um n-ciclo orientado de M , e
sejam N e ND os campos normais unitários que orientam M e D, respectivamente. Se a r-ésima curvatura média Hr é constante, 1 ≤ r ≤ n, então
para todo campo conforme Y ∈ X (M ) vale a seguinte igualdade
Z
Z
Z
n
φHr−1 dM +
hdivM Tr−1 , Y idM + r
hTr−1 ν, Y ids =
r
M
M
∂M
Z
Z
n
n
−r
Hr hY, ND idD + (n + 1)r
Hr
φdM ,
r
r
D
Ω
onde ν é o conormal exterior a M ao longo de ∂M e φ é o fator de conformidade do campo Y .
Na segunda seção nós utilizamos a Fórmula do Fluxo acima para obter os
seguintes teoremas, os quais generalizam uma desigualdade obtida por Barbosa em [5].
Teorema 3 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de um hiperplano P ⊂ Rn+1 e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie imersa conexa
compacta orientável com bordo Σ = ψ(∂M ) e r−ésima curvatura média Hr
constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
1
|hr−1 |ds,
(3)
0 ≤ |Hr | ≤
n vol(D) ∂M
onde hr−1 é a (r − 1)−ésima curvatura média de Σ ⊂ P, e D é o domı́nio em
P limitado por Σ. Em Particular, quando Σ é uma (n − 1)−esfera redonda
de raio ρ, segue-se que
1
0 ≤ |Hr | ≤ r .
(4)
ρ
5
Teorema 4 Seja Σ uma subvariedade compacta contida em um hiperplano
totalmente geodésico P ⊂ Hn+1 , e seja ψ : M n −→ Hn+1 uma hipersuperfı́cie
imersa conexa compacta orientável com bordo Σ = ψ(∂M ) e r-ésima curvatura média Hr constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
C
0 ≤ |Hr | ≤
|hr−1 | ds.
n vol(D) ∂M
Aqui, hr−1 entende-se pela (r − 1)-ésima curvatura média de Σ ⊂ P , D é
o domı́nio em P limitado por Σ, e C = maxΣ cosh(e
ρ) ≥ 1, onde ρe(p) é a
distância geodésica ao longo de P entre um ponto fixado a ∈ int(D) e p.
Em particular, quando Σ é uma esfera geodésica em P de raio geodésico ρ,
segue-se que
0 ≤ |Hr | ≤ cothr (ρ).
Teorema 5 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável contida em
um hemisfério aberto totalmente geodésico P+ ⊂ Sn+1 , e seja ψ : M n −→
Sn+1 uma hipersuperfı́cie imersa conexa compacta orientável com bordo Σ =
ψ(∂M ) e r−ésima curvatura média Hr constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
C
|hr−1 | ds.
0 ≤ |Hr | ≤
n vol(D) ∂M
Aqui, hr−1 denota a (r − 1)−ésima curvatura média de Σ ⊂ P , onde D é um
domı́nio em P+ limitado por Σ, e C = maxΣ cos(e
ρ)/minD cos(e
ρ), onde ρe(p) é
a distância geodésica ao longo de P+ entre um ponto arbritariamente fixado
a ∈ int(D) e p. Em particular, quando Σ é uma esfera geodésica em P+ , de
raio geodésico ρ < π/2, segue-se que
0 ≤ |Hr | ≤ cotr (ρ).
6
Capı́tulo 1
Preliminares
Neste capı́tulo tratamos de alguns temas que ajudam na leitura desta dissertação. Na primeira seção escrevemos sobre o modelo de Minkowski para
o espaço hiperbólico Hn . Em tal modelo, Hn é visto como uma hipersuperfı́cie tipo-espaço do espaço de Lorentz Rn+1 . Na segunda seção, definimos
n+1
a r−ésima curvatura média de uma hipersuperfı́cie ψ : M n −→ M , onde
n+1
M
é uma variedade riemanniana conexa orientável de dimensão (n + 1)
n
e M é uma variedade conexa orientável de dimensão n com bordo suave
n+1
∂M . Nesta seção mostramos ainda que se M
tem curvatura seccional
constante c, então a segunda curvatura média H2 está relacionada com a
curvatura escalar S de M pela seguinte fórmula (equação (1.9)):
S = n(n − 1)(c + H2 ).
1.1
1.1.1
O Modelo de Minkowski para o Espaço
Hiperbólico
O Espaço de Lorentz-Minkowski
Definição 1.1.1 Uma variedade semi-riemanniana (M, h, i) é uma variedade diferenciável M munida de uma métrica h, i com ı́ndice l constante
em M (isto é, em cada ponto p ∈ M, a dimensão do maior subespaço no qual
h, ip é negativo definido é igual a l).
Em outras palavras, dada uma variedade diferenciável M , (M, h, i) é dita
uma variedade semi-riemanniana se h, i é um campo de tensores do tipo (0, 2)
em M tal que , para cada p ∈ M , h, ip é um produto escalar (isto é, forma
bilinear simétrica não-degenerada) em Tp M de ı́ndice l.
7
Definição 1.1.2 Uma variedade de Lorentz (M, h, i) é uma variedade semiriemanniana cuja métrica h, i possui ı́ndice 1.
Seja Rn+1
o espaço euclidiano munido da seguinte métrica, chamada de
1
métrica de Lorentz-Minkowski:
hu, vi1 := −u0 v0 +
n
X
ui vi ,
i=1
para u = (u0 , u1 , . . . , un ), v = (v0 , v1 , . . . , vn ).
Com esta métrica, Rn+1
= (Rn+1 , h, i1 ) chama-se espaço de Lorentz1
Minkowski.
n+1
variedade de
Definição 1.1.3 Sejam M n variedade de dimensão n e M
n+1
n
Lorentz de dimensão (n + 1). Uma imersão ψ : M −→ M , ψ ∈ C ∞ , é
dita uma hipersuperfı́cie tipo-espaço se a métrica induzida via ψ em M for
uma métrica riemanniana.
1.1.2
O Modelo de Minkowski para o Espaço Hiperbólico
Seja Hn ∈ Rn+1
definido por
1
Hn = {x ∈ Rn+1
; hx, xi1 = −1, x0 > 0}.
1
Temos então que Hn = Q−1 (0) ∩ {x ∈ Rn+1 ; x0 > 0}, onde Q : Rn+1 −→ R é
dada por Q(x) = −x20 + x21 + . . . x2n + 1. Temos
∆Q(x) = 2(−x0 , x1 , . . . , xn ).
Assim, ∆Q(x) = 0 implica x = 0. Como Q(0) = 1 6= 0, concluı́mos que
0 ∈ R é valor regular de Q. Pelo Teorema de Função Implı́cita, Hn é uma
subvariedade de codimensão 1 do Rn+1 . Portanto, ψ : Hn −→ Rn+1
dada por
1
n
ψ(p) = p, ∀p ∈ H , é uma hipersuperfı́cie.
Seja x ∈ Hn e suponha que existe um subespaço V ⊂ Tx Hn , dimV ≥ 1,
tal que h, i1 é negativo definido em V . Considere também o subespaço de
Rn+1 gerado por x, o qual chamaremos de W . Como x é ortogonal a Tx Hn ,
temos que x é ortogonal a V. Assim, o subespaço V + W é um subespaço de
Rn+1 com dim(V + W ) ≥ 2 e h, i1 negativo definido em V + W. De fato, se
v ∈ V e w ∈ W então
hv + w, v + wi1 = hv, vi1 + hw, wi1 ≤ 0,
e a igualdade ocorre se e somente se v = 0 e w = 0. Como o ı́ndice de h, i1 é
1, obtemos uma contradição. Logo, Hn é uma hipersuperfı́cie tipo espaço.
8
e e ∇ as conexões de Rn+1
Denotemos por ∇
e Hn respectivamente. Como
1
gij = hei , ej i1 = 1, −1 ou 0, i, j ∈ {0, . . . , n}, os sı́mbolos de Christoffel da
e são todos nulos. De fato,
conexão ∇
Γm
ij =
1X ∂
∂
∂
gjk +
gki −
gij }g km = 0.
{
2 k ∂xi
∂xj
∂xk
Assim, dados campos quaisquer
X=
X
i
xi
X
∂
∂
eY =
,
yj
∂xi
∂x
j
j
teremos
e XY =
∇
X
k
X(yk )
∂
,
∂xk
(1.1)
ou seja, a derivação de campos de vetores em Rn+1
é semelhante à derivação
1
n+1
usual do R .
Seja N o vetor posição (que é também o vetor normal) de Hn . Pela expressão (1.1) temos
e V N = V, ∀ V ∈ X (Hn ).
∇
Logo, se S é o operador de forma com respeito a N temos
e V N = −V, ∀ V ∈ X (Hn ).
S(V ) = −∇
Seja B o tensor segunda forma fundamental de Hn . Assim, se X, Y ∈
X (Hn ) então vale a seguinte igualdade
hS(X), Y i1 = hB(X, Y ), N i1 .
(1.2)
Encontramos então que B(X, Y ) = (X, Y )N.
Invocando agora a equação de Gauss, obtemos que Hn tem curvatura
seccional constante igual a −1. Mostramos assim que Hn é de fato um modelo
para o espaço hiperbólico.
Proposição 1.1.1 Se a ∈ Hn e v ∈ Ta Hn é tal que hv, vi1 = 1, então a
geodésica que parte de a com velocidade v é dada por
γ(t) = (cosh t)a + (senh t)v.
Demonstração.
9
Temos
hγ(t), γ(t)i1 = (cosh t)2 ha, ai1 + 2(senh t)(cosh t)ha, vi1 + (senh t)2 hv, vi1
= −(cosh t)2 + (senh t)2
= −1.
Portanto, γ(t) ⊂ Hn .
Temos também
γ 0 (t) = (senh t)a + (cosh t)v
e
γ 00 (t) = (cosh t)a + (senh t)v.
Assim,
∇γ 0 γ 0 (t) = (γ 00 (t))> = 0.
Logo, γ é geodésica. Como γ(0) = a e γ 0 (0) = v, temos que γ(t) é a geodésica
que parte de a com velocidade v.
1.2
As r-ésimas Curvaturas Médias
n+1
Em vários momentos desta dissertação, M
denotará uma variedade riemanniana orientável de dimensão (n + 1), e h, i e ∇ denotarão sua métrica
riemanniana e sua conexão de Levi-Civita respectivamente. Seja M n uma
variedade conexa orientável de dimensão n com bordo suave ∂M ; dizemos que M é uma hipersuperfı́cie de M se existe uma imersão isométrica
n+1
ψ : M n −→ M . Neste caso, como M e M são ambas orientáveis, podemos
escolher ao longo de ψ(M ) um campo normal unitário globalmente definido
N , e podemos assumir que M é orientada por N . Se ∇ denota a conexão de
Levi-Civita de M então as fórmulas de Gauss e Weingarden para a imersão
são dadas respectivamente por
∇V W = ∇V W + hA(V ), W iN
(1.3)
A(V ) = −∇V N
(1.4)
e
para todo par de campos tangentes V, W ∈ X (M ).
Aqui A : X (M ) −→ X (M ) define o operador de forma (ou segunda forma
fundamental) da hipersuperfı́cie com respeito a N . O tensor curvatura R da
hipersuperfı́cie M é descrito em termos de A e do tensor curvatura R do
10
espaço ambiente M pela bem conhecida equação de Gauss, a qual pode ser
escrita do seguinte modo:
R(U, V )W = (R(U, V )W )> + hA(U ), W iA(V ) − hA(V ), W iA(U )
(1.5)
quaisquer que sejam os campos tangentes U, V, W ∈ X (M ), onde > denota
a projeção sobre X (M ). Observe que nosso critério de definição do tensor
curvatura coincide com o de [15]. Por outro lado, a equação de Codazzi da
hipersuperfı́cie descreve a componente normal de R(U, V )W em termos da
derivada do operador de forma, e é dada por
hR(U, V )W, N i = h(∇V A)U − (∇U A)V, W i
(1.6)
onde ∇U A denota a derivada covariante de A. Em particular, quando o
espaço ambiente tem curvatura seccional constante, então R(U, V )W é tangente a M para quaisquer U, V, W ∈ X (M ), e (1.6) torna-se
(∇V A)U = (∇U A)V.
(1.7)
Como sabemos, A é um operador linear auto-adjunto em cada espaço tangente Tp M e seus auto-valores λ1 (p), . . . , λn (p) são as curvaturas principais
de M .
Associados ao operador A existem n invariantes algébricos dados por
1 ≤ r ≤ n;
Sr (p) = σr (λ1 (p), . . . , λn (p)),
onde σr : Rn −→ R é dada por
X
σr (x1 , . . . , xn ) =
xi1 . . . xir
i1 <...<ir
Observe que


det(tI − A) = det 

t − λ1
..
.
t − λn
n
 X
(−1)r Sr tn−r .
=
(1.8)
r=0
Definição
1.2.1 A r-ésima curvatura média Hr da hipersuperfı́cie M é definida
por nr Hr = Sr .
Em particular, H1 = n1 Sn , a curvatura média de M , a qual é a principal
curvatura extrı́nseca da hipersuperfı́cie. Por outro lado, quando r = 2, H2
define um ente geométrico o qual está relacionado com a curvatura escalar
11
(intrı́nseca) da hipersuperfı́cie. De fato, seja e1 , e2 , . . . , en uma referencial
local ortonormal em M n . Por (1.5),
hR(X, ej )Y, ej i = hR(X, ej )Y, ej i+hA(X), Y ihA(ej ), ej i−hA(ej ), Y ihA(X), ej i,
para quaisquer X, Y ∈ X (M ), 1 ≤ j ≤ n. Logo, como e1 , . . . , en , N é um
n+1
referencial local ortonormal em M , temos
Ric(X, Y ) = Ric(X, Y ) − hR(X, N )Y, N i
n
n
X
X
+hA(X), Y i
hA(ej ), ej i −
hA(ej ), Y ihA(X), ej i.
j=1
onde
Ric(X, Y ) =
j=1
n
X
hR(X, ei )Y, ei i
i=1
e
Ric(X, Y ) =
n
X
hR(X, ei )Y, ei i + hR(X, N )Y, N i
i=1
definem, respectivamente, os tensores de Ricci Ric e Ric de M n e M
outro lado,
n
X
hA(ej ), Y ihA(X), ej i =
j=1
=
n
X
n+1
. Por
hej , A(Y )ihej , A(X)i
j=1
n
X
hej , A(Y )ihek , A(X)iδjk
j,k=1
n
X
= h
hej , A(Y )iej ,
j=1
n
X
hek , A(X)iek i
k=1
= hA(Y ), A(X)i.
Assim,
Ric(X, Y ) = Ric(X, Y ) − hR(X, N )Y, N i
+tr(A)hA(X), Y i − hA(X), A(Y )i, ∀ X, Y ∈ X (M ).
12
Logo,
n
X
Ric(ej , ej ) =
n
X
j=1
Ric(ej , ej ) + Ric(N, N ) − Ric(N, N ) +
j=1
−
−
n
X
j=1
n
X
hR(ej , N )ej , N i + tr(A)
n
X
hA(ej ), ej i +
j=1
hA(ej ), A(ej )i.
j=1
Cabe agora registrar a definição de curvatura escalar de M n e M
respectivamente, como
n
X
S :=
Ric(ei , ei )
n+1
,
i=1
e
S :=
n
X
Ric(ei , ei ) + Ric(N, N ),
i=1
onde e1 , . . . , en é um referencial local ortonormal em M n que diagonaliza o
operador de forma A num ponto p ∈ M , isto é, A(ei ) = λi ei , i = 1, . . . n,
obtemos
n
n
X
X
S = S − 2Ric(N, N ) + (
λi )2 −
λ2i ,
i=1
i=1
ou ainda, como
n
n
X
X
X
2
(
λi ) −
λ2i = 2
λ i λj ,
i=1
i=1
1≤i<j≤n
obtemos
S = S − 2Ric(N, N ) + n(n − 1)H2 .
Se o espaço ambiente tiver curvatura seccional c então
S = n(n − 1)(c + H2 ).
13
(1.9)
Capı́tulo 2
As Transformações de Newton
Neste capı́tulo estudamos as transformações de Newton Tr : X (M ) −→
X (M ). Na primeira seção nós definimos os Tr e demonstramos algumas de
suas propriedades. Na segunda seção nós olhamos Tr como um tensor do tipo
(1, 1) e calculamos sua divergência através do Lema 2.2.1. Como corolário,
obtemos que se M tem curvatura seccional constante, então divM Tr = 0, 0 ≤
r ≤ n. Na terceira seção introduzimos uma configuração geométrica e fixamos as orientações. Finalmente, na quarta seção nós relacionamos as transformações de Newton de M com as transformações de Newton do bordo ∂M .
2.1
As Transformações de Newton
As transformações de Newton Tr : X (M ) −→ X (M ) são definidas indutivamente por
T0 = I,
Tr = Sr I − ATr−1 , 1 ≤ r ≤ n.
Proposição 2.1.1 Vale a seguinte fórmula para Tr :
Tr =
r
X
(−1)i Sr−i Ai , 0 ≤ r ≤ n.
i=0
Demonstração.
Faremos indução sobre r .
Para r = 0 a proposição é válida pois T0 = I =
0
X
(−1)i Sr−i Ai .
i=0
Para r = 1 a proposição é válida pois T1 = S1 I − AI =
1
X
i=0
14
(−1)i Sr−i Ai .
Suponha que a proposição seja válida para todo r pertencente a
{1, . . . , (j − 1)}, com 2 ≤ j ≤ n.
Provemos que a proposição é válida para r = j. Por definição temos
Tj = Sj I − ATj−1 .
Mas, por hipótese de indução,
Tj−1 =
j−1
X
(−1)i Sr−i Ai .
i=0
Substituindo encontramos
Tj = Sj I − A
j−1
X
i
i
(−1) Sr−i A =
i=0
j
X
(−1)i Sr−i Ai .
i=0
Logo, a proposição é válida para todo 0 ≤ r ≤ n.
Observação. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, Tn = 0.
Corolário 2.1.1 Em cada ponto p ∈ M, Tr : Tp M −→ Tp M é um operador
linear auto-adjunto que comuta com o operador linear A.
Proposição 2.1.2 Seja e1 , . . . , en um referencial móvel ortonormal em uma
vizinhança de p ∈ M n que diagonaliza o operador de forma A em p, isto é,
A(ei ) = λi ei , i = 1, . . . , n.
Então, em p ∈ M,
(i) Tr (ei ) = µi,r
ei , X

λi1 . . . λir , 1 ≤ r ≤ n

i1 <...<ir
onde µi,r =
;
i 6=i

 j
1,
r=0
(ii) tr(Tr ) = (n − r)Sr = cr Hr ;
(iii) tr(ATr ) = (r + 1)Sr+1 = cr Hr+1 ;
para todo 0 ≤ r ≤ n, onde cr = (n − r)
15
n
r
= (r + 1)
n
r+1
.
Demonstração.
(i)
Fixemos i, 1 ≤ i ≤ n, e apliquemos indução sobre r.
Se r = 0 então Tr (ei ) = I(ei ) = µi,0 ei .
Se r = 1 então Tr (ei ) = (S1 I − AT0 )(ei ) = S1 ei − A(ei ) =
(λ1 + . . . + λn )ei − λi ei = µi,1 ei .
Suponha que (i) vale para todo r ∈ {1, . . . , j − 1}, com 2 ≤ j ≤ n.
Provemos que (i) vale para r = j. Temos
Tj (ei ) = Sj ei − ATj−1 (ei )



X


= 
λi1 . . . λij  ei − 
i1 <...<ij

X


λi1 . . . λij−1  A(ei )
i1 <...<ij−1
il 6=i



X

 X
λi1 . . . λij − 
= 
i1 <...<ij

 X

= 
λi1 . . . λij  ei
i1 <...<ij
il 6=i
= µi,j ei .
Logo, (i) vale para todo 0 ≤ r ≤ n.
(ii)
Temos
tr(Tr ) =
n
X
hTr (ei ), ei i
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
i=1
µi,r
X
λi1 . . . λir
i1 <...<ir
ij 6=i
= (n − r)
X
i1 <...<ir
= (n − r)Sr
= (n − r)cr Hr .
(iii)
16

 
λi1 . . . λij−1  λi  ei
i1 <...<ij−1
il 6=i


λi1 . . . λir
Usando (ii) obtemos
tr(ATr ) =
=
=
=
tr(Sr+1 I) − tr(Tr+1 )
nSr+1 − [n − (r + 1)]Sr+1
(r + 1)Sr+1
cr Hr+1 .
2.2
A Divergência das Transformações de Newton
Olhando Tr como um campo de tensores do tipo (1, 1) em M n temos
(∇X Tr ) (Y ) = ∇X (Tr Y ) − Tr (∇X Y )
Definição 2.2.1 A divergência da transformação de Newton Tr , 0 ≤ r ≤ n,
é o vetor divTr dado por
divTr =
n
X
(∇ei Tr ) (ei ),
i=1
onde e1 , . . . , en é um referencial ortonormal local em M n .
Proposição 2.2.1 Seja T : X (M ) −→ X (M ) um campo de tensores do tipo
(1, 1) em M tal que, em cada ponto p ∈ M, Tr : Tp M −→ Tp M é um operador
linear auto-adjunto. Então, para todo campo de vetores E ∈ X (M ), o campo
de tensores ∇E T : X (M ) −→ X (M ), do tipo (1, 1) em M, define, em cada
ponto p ∈ M, um operador linear auto-adjunto ∇E T : Tp M −→ Tp M.
Demonstração.
Temos
h(∇E T ) (X), Y i = h∇E (T X) − T (∇E X) , Y i
= EhT X, Y i − hT X, ∇E Y i − h∇E X, T Y i
= EhT X, Y i + hX, −T (∇E Y )i +
−EhX, T Y i + hX, ∇E (T Y )i
= hX, ∇E (T Y ) − T (∇E Y )i
= hX, (∇E T ) (Y )i,
para todos X, Y ∈ X (M ).
17
Proposição 2.2.2 Para todo X ∈ X (M ) vale a seguinte equação
h∇Sr , Xi = tr (Tr−1 ∇X A) .
(2.1)
Demonstração.
Seja e1 , . . . , en um referencial ortonormal local em M n que diagonaliza o
operador A em um ponto p ∈ M n . Denotemos por Ai1 ...ir a matriz r×r obtida
quando consideramos apenas as filas (linhas e colunas) de ordem i1 , . . . , ir de
A no referencial e1 , . . . , en ; e por vji1 ...ir , j = {1, . . . , r}, a j-ésima coluna da
matriz Ai1 ...ir . Temos
X
Sr =
det(Ai1 ...ir )
i1 <...<ir
X
=
det(vii11 ...ir , . . . , viir1 ...ir ).
i1 <...<ir
Assim,
X(Sr ) =
X
X(det(vii11 ...ir , . . . , viir1 ...ir )).
i1 <...<ir
Mas
X(det(vii11 ...ir , . . . , viir1 ...ir )) =
r
X
det(vii11 ...ir , . . . , X(viij1 ...ir ), . . . , viir1 ...ir ),
j=1
que em p é igual a
r
X
λi1 . . . X(aij ij ) . . . λir .
j=1
Temos também
(∇X A) (ei ) = ∇X (Aei ) − A (∇X ei )
!
n
n
n
X
X
X
= ∇X
aki ek −
h∇X ei , ej i
asj es
k=1
=
n
X
j=1
(X(aki )ek + aki ∇X ek ) −
=
=
k=1
n
X
k=1
h∇X ei , ej iasj es
j=1 s=1
k=1
n
X
s=1
n
n
XX
X(aki )ek + aki
X(aki )ek +
n
X
!
h∇X ek , el iel
−
n X
n
X
h∇X ei , ej iasj es
l=1
n
n
XX
j=1 s=1
n X
n
X
l=1 k=1
s=1 j=1
aik h∇X ek , el iel −
18
h∇X ei , ej iasj es .
Em p temos
tr (Tr−1 ∇X A) =
=
n
X
i=1
n
X
hTr−1 ((∇X A) ei ) , ei i
h(∇X A)ei , Tr−1 ei i
i=1
=
n
X
h(∇X A) ei , µi,r−1 ei i
i=1
=
n
X
X(aii ) +
i=1
=
n
X
n
X
h∇X ek , ei iaki −
X(aii )µi,r−1 +
!
h∇X ei , ej iaij
µi,r−1
j=1
k=1
i=1
n
X
n
X
n
X
i=1
k=1
h∇X ek , ei iaik −
n
X
!
h∇X ei , ej iaij
j=1
Mas em p
n
n
X
X
i=1
h∇X ek , ei iaik −
n
X
!
h∇X ei , ej iaij
µi,r−1 = 0.
j=1
k=1
Logo,
tr (Tr−1 ∇X A) =
n
X
X(aii )
i=1
λi1 . . . λir
i1 <...ir
ij 6=i
n
X X
=
X
λi1 . . . X(aij ij ) . . . λir
i1 <...<ir j=1
= Xp (Sr ).
Lema 2.2.1 A divergência da transformação de Newton Tr , 0 ≤ r ≤ n, é
dada por


 0, para r = 0 n
X
divTr =
(2.2)
−A(divT
)
−
(R(N, Tr−1 ei )ei )> , para 1 ≤ r ≤ n,

r−1

i=1
onde R é o tensor curvatura de M , e (R(N, V )W )> denota a componente
tangencial de (R(N, V )W ). Equivalentemente, para todo X ∈ X (M ),
hdivTr , Xi =
r X
n
X
(−1)j hR(N, Tr−j ei )ei , Aj−1 Xi.
j=1 i=1
19
(2.3)
µi,r−1 .
Demonstração.
Temos
(∇X I) (Y ) = ∇X (I(Y )) − I (∇X Y ) = ∇X Y − ∇X Y = 0.
Assim,
divT0 = divI =
n
X
(∇ei I) ei = 0.
i=1
Para r ≥ 1 temos
(∇X Tr ) (Y ) = (∇X Sr I) (Y ) − (∇X ATr−1 ) (Y )
= X(Sr )I(Y ) + Sr (∇X I) (Y ) − (∇X A) (Tr−1 Y ) − A ((∇X Tr−1 ) Y )
= h∇Sr , Xi − (∇X A) (Tr−1 Y ) − A ((∇X Tr−1 ) Y ) .
Logo,
divTr =
n
X
h∇Sr , ei iei −
i=1
= ∇Sr −
n
X
(∇ei A) (Tr−1 ei ) − A
i=1
n
X
n
X
!
(∇ei Tr−1 ) (ei )
i=1
(∇ei A) (Tr−1 ei ) − A(divTr−1 ).
i=1
Mas
h(∇ei A) (Tr−1 ei ), Xi = h(∇ei A) X, Tr−1 ei i
= h(∇X A) ei , Tr−1 ei i + hR(X, ei )Tr−1 ei , N i
= hTr−1 ((∇X A) ei ) , ei i + hR(N, Tr−1 ei )ei , Xi.
onde na segunda igualdade usamos a equação de Codazzi (equação 1.6).
Portanto,
n
X
hdivTr , Xi = h∇Sr , Xi−tr(Tr−1 ∇X A)−h
R(N, Tr−1 ei )ei , Xi−hA(divTr−1 ), Xi.
i=1
Utilizando agora a equação (2.1), obtemos (2.2).
Provemos que (2.2) implica (2.3). Temos
hdivT1 , Xi = −
=
n
X
hR(N, ei )ei , Xi
i=0
1
n
XX
(−1)j hR(N, T1−j ei , Aj−1 Xi.
j=1 i=1
20
Sendo
hdivTr−1 , Xi =
r−1 X
n
X
(−1)j hR(N, Tr−1−j ei )ei , Aj−1 Xi
j=1 i=1
nossa hipótese de indução, temos
hdivTr , Xi = −hA(divTr−1 ) +
n
X
(R(N, Tr−1 ei )ei )> , Xi
i=1
= −hdivTr−1 , AXi −
n
X
hR(N, Tr−1 ei )ei , Xi
i=1
= −
=
=
r−1 X
n
X
j
j
(−1) hR(N, Tr−1−j ei )ei , A Xi −
j=1 i=1
r
n
XX
hR(N, Tr−1 ei )ei , Xi
i=1
j−1
j
(−1) hR(N, Tr−j ei )ei , A
j=2 i=1
r X
n
X
n
X
Xi −
n
X
hR(N, Tr−1 ei )ei , Xi
i=1
(−1)j hR(N, Tr−j ei )ei , Aj−1 Xi.
j=1 i=1
Portanto, (2.2) implica (2.3).
Provemos agora que (2.3) implica (2.2). Temos
hdivTr , Xi =
=
=
r X
n
X
j=1 i=1
n
X
(−1)j hR(N, Tr−j ei )ei , Aj−1 Xi
1
(−1) hR(N, Tr−1 ei )ei , Xi +
i=1
n
X
r X
n
X
(−1)j hR(N, Tr−j ei )ei , Aj−1 Xi
j=2 i=1
(−1)1 h(R(N, Tr−1 ei )ei )> , Xi +
i=1
r−1 X
n
X
−
= −
(−1)j−1 hR(N, Tr−1−(j−1) ei )ei , A(j−1)−1 (AX)i
j−1=1 i=1
n
X
h(R(N, Tr−1 ei )ei )> , Xi − hdivTr−1 , AXi
i=1
n
X
= h−
(R(N, Tr−1 ei )ei )> − A(divTr−1 ), Xi, ∀ X ∈ X (M ).
i=1
Logo, (2.3) implica (2.2).
21
Corolário 2.2.1 Se M tem curvatura seccional constante igual a c, então
divTr = 0, ∀ 0 ≤ r ≤ n.
Demonstração.
Basta notar que
R(X, Y, W, Z) = c(hX, W ihY, Zi − hY, W ihX, Zi),
∀ X, Y, Z, W ∈ X (M ).
2.3
Uma Configuração Geométrica
n+1
n+1
Seja P n ⊂ M
uma hipersuperfı́cie orientável de M
e Σn−1 ⊂ P uma
subvariedade compacta, mergulhada, orientável de P.
n+1
uma hipersuperfı́cie conexa e orientável de M
Seja ψ : M n −→ M
com bordo suave ∂M. Dizemos que M é uma hipersuperfı́cie com bordo Σ
se ψ : ∂M −→ Σ é um difeomorfismo sobre Σ. Tal configuração sugere a
∂M
seguinte questão:
Como a geometria de M ao longo do seu bordo ∂M está
relacionada com a geometria da inclusão Σ ⊂ P e da inclusão
P ⊂ M?
Consideremos M orientada por um campo normal unitário globalmente
definido N. Assim, uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ Tp M é positiva se, e somente se,
det(v1 , . . . , vn , N ) > 0.
Por outro lado, dado p ∈ ∂M, uma base {v1 , . . . , vn−1 } ⊂ Tp ∂M é positiva
se, e somente se, {u, v1 , . . . , vn−1 } é base positiva de M, para todo u ∈ Tp M
apontando para fora de ∂M, ou seja, se det(u, v1 , . . . , vn−1 , N ) > 0, ∀u ∈
Tp ∂M apontando para fora.
Denotemos
por ν o vetor conormal exterior ao longo de ∂M. Via o difeo
morfismo ψ : ∂M −→ Σ, a orientação do bordo é induzida em cada com∂M
ponente conexa de Σ. Em cada componente conexa P0 de P, distinguimos
uma componente conexa Σ0 ⊂ P0 de Σ.
Como Σ é uma subvariedade orientável de P0 , existe η0 campo normal
unitário a Σ0 em P0 globalmente definido.
22
Seja agora ξ0 o único campo normal unitário a P0 em M o qual é compatı́vel com η0 e com a orientação de Σ0 , ou seja , se {v1 , . . . , vn−1 } é uma
base positiva de Σ0 então
det(η0 , v1 , . . . , vn−1 , ξ0 ) > 0.
Notemos que a orientação de P0 dada por ξ0 determina uma única escolha
para
o campo unitário η normal a cada componente de Σ em P0 e tal que
η = η0 e det(η, v1 , . . . , vn−1 , ξ0 ) > 0.
Σ0
Repetimos este processo para as outras componentes conexas de P e
obtemos campos unitários η normal a Σ em P e ξ normal a P em M . Com
esta escolha, dado um ponto p ∈ Σ, uma base {v1 , . . . , vn−1 } para Tp M é
positiva se e somente se {η(p), v1 , . . . , vn−1 } é uma base positiva de Tp P.
Seja {e1 , . . . , en−1 } um referencial ortonormal local positivamente orientado ao longo de uma componente conexa de ∂M.
Veja que
det(ν, e1 , . . . , en−1 , N ) = 1 = det(η, e1 , . . . , en−1 , ξ).
Assim,
ν = e1 × . . . × en−1 × N
e η = e1 × . . . × en−1 × ξ.
Temos então
η = e1 × . . . × en−1 × ξ
= e1 × . . . × en−1 × (hξ, νiν + hξ, N iN )
= hξ, N iν − hξ, νiN,
ou seja,
hη, νi = hξ, N i
hη, N i = −hξ, νi
(2.4)
Seja AΣ o operador de forma de Σn−1 ⊂ P n com respeito a η e seja AP o
n+1
com respeito a ξ. Segue-se então que
operador de forma de P n ⊂ M
∇ei ej =
=
n−1
X
k=1
n−1
X
h∇ei ej , ek iek + h∇ei ej , νiν + h∇ei ej , N iN
h∇ei ej , ek iek + h∇ei ej , νiν + hAei , ej iN
k=1
23
e
∇ei ej =
=
n−1
X
k=1
n−1
X
h∇ei ej , ek iek + h∇ei ej , ηiη + h∇ei ej , ξiξ
h∇ei ej , ek iek + hAΣ ei , ej iη + hAP ei , ej iξ
k=1
De (2.4) encontramos
hAei , ej i = −hAΣ ei , ej ihξ, νi + hAP ei , ej ihξ, N i.
(2.5)
De agora em diante, assumiremos que P é uma hipersuperfı́cie totalmente
umbı́lica de M . Portanto, existe uma função suave λ ∈ C ∞ (P ) tal que AP =
λI, onde I denota a identidade em X (P ). A equação (2.5) toma então a
seguinte forma
hAei , ej i = −hAΣ ei , ej ihξ, νi + λhξ, N iδij , 1 ≤ i, j ≤ n − 1.
(2.6)
Fixado p ∈ ∂M, podemos supor que a base {e1 , . . . , en−1 } ⊂ Tp (∂M ) foi
escolhida como sendo formada por autovetores de AΣ . Denotemos os autovalores correspondentes por τ1 (p), . . . , τn−1 (p). Em outras palavras,
AΣ ei = τi ei , 1 ≤ i ≤ n − 1.
De (2.6) temos então que hAei , ej i = 0 quando i 6= j, e para cada p ∈ ∂M, a
matriz de A na base ortonormal {e1 , . . . , en−1 , ν} de Tp M é dada por


γ1
0
···
0
hAν, e1 i

0
γ2
···
0
hAν, e2 i 




.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A=
(2.7)
,
.
.
.
.
.




0
0
···
γn−1
hAν, en−1 i
hAν, e1 i hAν, e2 i · · · hAν, en−1 i hAν, νi
onde
γi = −τi hξ, νi + λhξ, N i, 1 ≤ i ≤ n − 1.
Vamos agora calcular o polinômio caracteristico de A. Para fazer isto,
começamos por observar que
det(tIn − A) = (t − γn−1 )det(tIn−1 − Λ(γ1 , . . . , γn−2 ))
−hAν, en−1 i2 (t − γ1 ) . . . (t − γn−2 ),
24
(2.8)
onde




Λ(γ1 , . . . , γn−2 ) = 


γ1
0
..
.
···
···
..
.
0
γ2
..
.
hAν, e1 i
hAν, e2 i
..
.
0
0
..
.




.

0
0
···
γn−2
hAν, en−2 i 
hAν, e1 i hAν, e2 i · · · hAν, en−2 i hAν, νi
Proposição 2.3.1 O polinômio caracterı́stico de A em um ponto do bordo
é dado por
det(tIn − A) = (t − hAν, νi)
−
n−1
X
n−1
X
(−1)i si (γ)tn−1−i
i=0
n−2
X
2
hAν, ei i
i=1
(−1)j sj (γbi )tn−2−j ,
j=0
onde os sr (γ) (respectivamente sr (b
γi )) denotam as funções siméricas elementares de γ1 , . . . , γn−1 , (respectivamente γ1 , . . . , γ
bi , . . . , γn−1 ), e, como de
costume, s0 (γ) = s0 (b
γi ) = 1 por definição.
Demonstração.
Se n = 2 então
(tIn − A) =
(t − γ1 )
hAν, e1 i
hAν, e1 i (t − hAν, νi)
e portanto,
det(tIn − A) = (t − γ1 )(t − hAν, νi) − hAν, e1 i2
1
0
1
X
X
X
i
2−1−i
2
= (t − hAν, νi)
(−1) si (γ)t
−
hAν, ei i
sj (γbi )t2−2−j ,
i=0
i=1
j=0
pois
1
X
(−1)i si (γ)t2−1−i = t − γ1
i=0
e
0
X
(−1)j sj (γb1 )t2−2−j = 1.
j=0
Pela equação (2.8) temos
det(tIn+1 −A) = (t−γn )det(tIn −Λ(γ1 , . . . , γn−1 ))−hAν, en i2 (t−γ1 ) . . . (t−γn−1 ).
25
Mas, por hipótese de indução,
det(tIn − Λ(γ1 , . . . , γn−1 )) = (t − hAν, νi)
−
n−1
X
n−1
X
(−1)i si (γbn )tn−1−i +
i=0
n−2
X
2
hAν, ei i
n−2−j
(−1)j sj (γc
.
i,n )t
j=0
i=1
Substituindo encontramos
"
n−1
X
det(tIn+1 − A) = (t − hAν, νi) t
"
−t
+γn
n−1
X
(−1)i si (γbn )tn−1−i − γn
i=0
n−2
X
2
hAν, ei i
(−1)i si (γbn )tn−1−i +
n−2−j
(−1)j sj (γc
i,n )t
j=0
n−1
X
n−2
X
i=1
#
i=0
i=1
hAν, ei i2
n−1
X
#
n−2−j
(−1)j sj (γc
+
i,n )t
j=0
2
−hAν, en i (t − γ1 ) . . . (t − γn−1 ).
Chamemos
"
t
n−1
X
(−1)i si (γbn )tn−1−i − γn
i=0
n−1
X
#
(−1)i si (γbn )tn−1−i
i=0
de p(t). Para 1 ≤ i ≤ n − 1, temos que o coeficiente de tn−i em p(t) é
(−1)i si (γbn ) − γn (−1)i−1 si−1 (γbn ) = (−1)i [si (γbn ) + γn si−1 (γbn )]
= (−1)i si (γ).
O coeficiente de tn em p(t) é
(−1)0 s0 (γbn ) = 1 = (−1)0 s0 (γ),
e o coeficiente de t0 em p(t) é
−γn (−1)n−1 sn−1 (γbn ) = (−1)n sn (γ).
Logo,
p(t) =
n
X
(−1)i si (γ)tn+1−1−i .
i=0
26
Chamemos
"
−t
n−1
X
hAν, ei i2
n−2
X
i=1
n−2−j
(−1)j sj (γc
+ γn
i,n )t
n−1
X
j=0
hAν, ei i2
i=1
n−2
X
#
n−2−j
(−1)j sj (γc
i,n )t
j=0
de q(t). Para 1 ≤ j ≤ n − 2, temos que o coeficiente de tn−1−j em q(t) é
−
n−1
X
hAν, ei i2 (−1)j sj (γc
i,n ) +
i=1
+γn
n−1
X
2
j−1
hAν, ei i (−1)
sj−1 (γc
i,n ) = −
i=1
n−1
X
hAν, ei i2 (−1)j (sj (γc
i,n ) + γn sj−1 (γc
i,n ))
i=1
= −
n−1
X
hAν, ei i2 (−1)j sj (γbi ).
i=1
O coeficiente de t0 em q(t) é
γn
n−1
X
2
n−2
hAν, ei i (−1)
sn−2 (γc
i,n ) = −
i=1
n−1
X
hAν, ei i2 (−1)n−1 sn−1 (γbi ),
i=1
e o coeficiente de tn−1 em q(t) é
−
n−1
X
2
0
hAν, ei i (−1) s0 (γc
i,n ) = −
i=1
n−1
X
hAν, ei i2 (−1)0 s0 (γbi ).
i=1
Chamemos
−hAν, en i2 (t − γ1 ) . . . (t − γn−1 )
de r(t). Usando que
r(t) = −hAν, en i
n−1
X
(−1)j sj (γbn )tn−1−j ,
j=0
encontramos
det(tIn+1 −A) = (t−hAν, νi)
n
X
i
n−1−i
(−1) si (γ)t
i=0
n
n−1
X
X
2
(−1)j sj (γbi )tn−1−j ,
− hAν, ei i
i=1
j=0
como querı́amos.
27
Comparando os termos dos polinômios acima, concluı́mos de (1.8) que as
funções Sr da hipersuperfı́cie M em um ponto p ∈ M são dadas por
S1 = s1 (γ) + hAν, νi
S2 = s2 (γ) + s1 (γ)hAν, νi −
(2.9)
n−1
X
hAν, ei i2
i=1
n−1
X
Sr = sr (γ) + sr−1 (γ)hAν, νi −
(2.10)
sr−2 (γbi )hAν, ei i2 , 3 ≤ r ≤ n.(2.11)
i=1
2.4
As Transformações de Newton no Bordo
Lema 2.4.1 Seja P n ⊂ M uma hipersuperfı́cie orientável totalmente umbı́lica
de M e seja Σn−1 ⊂ P uma subvariedade compacta orientável de P n . Seja
n+1
ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie conexa orientável com bordo Σ =
ψ(∂M ), e denote por ν o campo conormal exterior ao longo de ∂M. Então,
ao longo do bordo ∂M e para cada 1 ≤ r ≤ n − 1, vale
(2.4.1A)
(2.4.1B)
hTr ν, νi = sr (γ) = sr (γ1 , . . . , γn−1 ) e
hTr ν, ei i = −hAν, ei isr−1 (γbi ), ∀ 1 ≤ i ≤ n − 1,
onde γi = −τi hξ, νi + λhξ, N i. Aqui, τ1 , . . . , τn−1 são as curvaturas principais
de Σ ⊂ P com respeito ao campo normal unitário η, N é o campo normal
unitário de M , ξ é o campo normal unitário de P ⊂ M e λ é o fator de
umbilicidade de P ⊂ M (com respeito a ξ).
Demonstração.
Faremos indução sobre r. Observemos que de (2.9) segue (2.4.1 A) para
r = 1. De fato,
hT1 ν, νi = hS1 ν − Aν, νi
= S1 − hAν, νi
= s1 (γ).
Para 1 ≤ i ≤ n − 1 temos
hT1 ν, ei i = hS1 ν − Aν, ei i
= −hν, ei i
= −hAν, ei is0 (γbi ).
Logo, (2.4.1A) vale para r = 1.
28
Fixado 2 ≤ r ≤ n − 1, suponha que
hTj ν, νi = sj (γ)
hTj ν, ei i = −hAν, ei isj−1 (γbi ), ∀ 1 ≤ i ≤ n − 1.
para todo 1 ≤ j ≤ r − 1. Observe que
Aν =
n−1
X
hAν, ei iei + hAν, νiν.
i=1
Temos
hTr ν, νi = hSr ν − ATr−1 ν, νi
= Sr − hTr−1 ν, Aνi
= Sr − hTr−1 ν, νihAν, νi −
= Sr − sr−1 (γ)hAν, νi +
n−1
X
hTr−1 ν, ei ihAν, ei i
i=1
n−1
X
hAν, ei i2 sr−2 (γbi )
i=1
= sr (γ),
onde na penúltima igualdade usamos a hipótese de indução e na última igualdade usamos a equacão (2.11). Provamos assim que (2.4.1A) vale para j = r.
Temos também
hTr ν, ei i = hSr ν − ATr−1 ν, ei i = −hTr−1 ν, Aei i.
Mas por (2.7) temos que
Aei = γi ei + hAν, ei iν.
Portanto,
hTr ν, ei i = −γi hTr−1 ν, ei i − hAν, ei ihTr−1 ν, νi
= γi hAν, ei isr−2 (γbi ) − sr−1 (γ)hAν, ei i
= −hAν, ei isr−1 (γbi ), ∀ 1 ≤ i ≤ n − 1,
onde na segunda equação usamos a hipótese de indução. Provamos assim a
validade de (2.4.1B) para j = r.
29
Agora, resta saber como as funções simétricas elementares sr (γ) podem ser
expressas em termo das curvaturas principais τ1 , . . . , τn−1 da inclusão Σ ⊂ P
e do fator de umbilicidade λ de P ⊂ M . Para vermos isto, escrevanos γi =
αi + β, onde αi = −τi hξ, νi e β = λhξ, N i, para cada i = 1, . . . , n − 1.
Lema 2.4.2 Para todo 1 ≤ r ≤ n − 1 vale a sequinte fórmula:
r X
n − 1 − j r−j
sr (γ) =
β sj (α).
r
−
j
j=0
Demosntração.
Lembre-se que sr (γ) pode ser definida pela seguinte identidade polinomial
(equação (1.8)):
n−1
X
(−1)r sr (γ)tn−1−r = (t − γ1 ) . . . (t − γn−1 ).
r=0
Como cada γi é igual a αi + β, o lado direito desta igualdade pode ser escrito
da seguinte forma:
n−1
Y
((t − β) − α1 ) =
i=1
n−1
X
(−1)j sj (α)(t − β)n−1−j .
j=0
Por outro lado,
n−1
X
j
n−1−j
(−1) sj (α)(t − β)
=
j=0
n−1 n−1−j
X
X
j=0
k+j
(−1)
k=0
n−1−j k
β sj (α)tn−1−k−j .
k
Fazendo r = k + j tal soma torna-se
n−1
X
(−1)r
r=j
r=0
r
(−1)
r−j
j=0
n−1−j
r−j
Quando r < j temos
n−1
X
r X
n−1−j
j=0
β r−j sj (α) tn−1−r .
= 0. Podemos então escrever
r X
n−1−j
r−j
!
!
β
r−j
n−1−r
sj (α) t
=
n−1
X
(−1)r sr (γ)tn−1−r ,
r=0
e o resultado segue-se.
30
Resumimos o que foi feito acima da seguinte forma.
Proposição 2.4.1 Seja P n ⊂ M uma hipersuperfı́cie orientável totalmente
umbı́lica de M e seja Σ ⊂ P uma subvariedade compacta orientável de din+1
mensão (n − 1) de P n . Seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie orientável
com bordo Σ = ψ(∂M ), e denote por ν o campo conormal exterior ao longo
de ∂M ⊂ M. Então, ao longo do bordo ∂M , e para todo 1 ≤ r ≤ n − 1, vale
o seguinte:
hTr ν, νi =
r
X
j=0
j
(−1)
n − 1 − j r−j
λ hξ, N ir−j hξ, νij sj .
r−j
(2.12)
Aqui, sj = sj (τ1 , . . . , τn−1 ), 0 ≤ j ≤ n − 1, são as funções simétricas elementares de τ1 , . . . , τn−1 , as curvaturas principais de Σ ⊂ P com respeito ao
campo normal unitário η, N é o campo normal unitário de M , ξ é o campo
normal unitário de P ⊂ M , e λ é o fator de umbilicidade de P ⊂ M (com
respeito a ξ).
31
Capı́tulo 3
Simetria de Hipersuperfı́cies no
Espaço Euclidiano
Neste capı́tulo provamos resultados de simetria para hipersuperfı́cies do espaço
euclidiano. Começamos o capı́tulo com uma seção que relaciona a elipticidade da transformação de Newton Tr com a transversalidade de M e P ao
longo do bordo ∂M. Na segunda seção usamos a relação entre transversalidade e elipticidade, juntamente com um teorema devido a H. Rosenberg
(Teorema 3.2.2) para provarmos um resultado de simetria (Teorema 3.2.3).
Como consequência do Teorema 3.2.3, obtemos os Corolários 3.2.1 e 3.2.2,
que caracterizam as hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em Rn+1 com
r−ésima curvatura média constante (r ≥ 2) e curvatura escalar constante,
respectivamente.
3.1
Transversalidade × Elipticidade
A relação entre os Sr e os sr (γ) dada em (2.9), (2.10) e (2.11), como também
a expressão para hTr ν, νi dada em (2.12) tornam-se especialmente simples
no caso em que a inclusão P ⊂ M é totalmente geodésica, ou seja, quando
λ = 0. Neste caso, γi = −τi hξ, νi, e temos o seguinte
Corolário 3.1.1 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de uma
hipersuperfı́cie orientável totalmente geodésica P n ⊂ M . Seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie orientável com bordo Σ = ψ(∂M ), e denote por ν o
campo conormal exterior ao longo de ∂M. Então, ao longo do bordo ∂M e
32
para todo 1 ≤ r ≤ n, vale que
S1 = −s1 hξ, νi + hAν, νi;
(3.1)
S2 = s2 hξ, νi2 − s1 hξ, νihAν, νi −
n−1
X
hAν, ei i2 ;
(3.2)
i=1
Sr = (−1)r sr hξ, νir + (−1)r−1 sr−1 hξ, νir−1 hAν, νi +
n−1
X
sr−2 (b
τi )hAν, ei i2 , para n ≥ 3; (3.3)
−(−1)r−2 hξ, νir−2
i=1
hTr ν, νi = (−1)r sr hξ, νir ;
(3.4)
onde sn = 0 e para todo 1 ≤ r ≤ n − 1, sr = sr (τ1 , . . . , τn−1 ) é a r-ésima
função simétrica de τ1 , . . . , τn−1 , as curvaturas principais de Σ ⊂ P com
respeito ao campo normal unitário η, e ξ é o campo normal unitário de
P ⊂ M.
Segue-se da equação (3.4) que se a transformação de Newton Tr é positiva
definida para algum 1 ≤ r ≤ n − 1, então a hipersuperfı́cie M é necessariamente transversal a P ao longo de ∂M.
Observe que no caso em que Sn não se anula em M e n ≥ 3, a transversalidade segue-se facilmente de expressão (3.3). De fato, por (3.3) temos que
ao longo de ∂M vale
Sn = (−1)n−1 sn−1 hξ, νin−1 hAν, νi +
n−1
X
n−1
n−2
+(−1) hξ, νi
sn−2 (b
τi )hAν, ei i2 .
i=1
Em particular, se existe um ponto p ∈ ∂M onde hξ, νi(p) = 0, então Sn (p) =
0 (pois n ≥ 3). Do mesmo modo, se assumirmos que n ≥ 2 e que S2 é positiva
em M, então (3.2) implica que M é transversal a P ao longo de ∂M.
Nós resumimos o que foi feito acima do seguinte modo:
Proposição 3.1.1 Seja Σn−1 uma subvariedade orientável compacta de uma
n+1
e seja ψ : M n −→
hipersuperfı́cie orientável totalmente geodésica P ⊂ M
n+1
M
uma hipersuperfı́cie orientável com bordo Σ = ψ(M ). Então cada uma
das seguintes hipóteses, individualmente, implicam que M é transversal a P
ao longo do bordo ∂M :
• Para 1 ≤ r ≤ n − 1, a transformação de Newton é positiva definida em
M.
• n ≥ 3 e Sn 6= 0 em M.
• S2 > 0 em M.
33
3.2
Simetria de Hipersuperfı́cies no Espaço
Euclidiano
n+1
Teorema 3.2.1 (Barbosa-Colares) Seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie conexa compacta orientável de M com bordo suave ∂M. Suponha
que M possui um ponto interior no qual todas as curvaturas principais são
positivas e que Hr+1 é positiva para algum 1 ≤ r ≤ n − 1 dado. Então Tj é
positiva definida para 1 ≤ j ≤ r.
Demonstração.
Note primeiramente que a positividade de Tj é equivalente à positividade
de seus autovalores µi,j ; 1 ≤ i ≤ n.
Seja p um ponto de M onde todas as curvaturas principais são positivas. Por continuidade, existe uma vizinhança conexa de p onde todas as
curvaturas principais são positivas.
Seja Kj o conjunto formado pelos pontos de M onde as funções µi,j são
positivas, 1 ≤ i ≤ n. É claro que, para todo j, U ⊂ Kj e Kj é um conjunto
aberto. Representemos por Gj a componente conexa de Kj que contém U.
Lema 3.2.1 Para todo j temos que Gj+1 ⊂ Gj .
Demonstração.
Para cada l defina
Vl =
l
\
Gj .
j=1
Observe que as funções µk,j , 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ j ≤ l são positivas em Vl .
Portanto, em cada ponto desse conjunto aberto valem as desigualdades
1
1
H1 (Ak ) ≥ H2 (Ak ) 2 ≥ . . . ≥ Hl (Ak ) l , 1 ≤ k ≤ n,
(3.5)
onde Hs (Ak ) = µk,s / n−1
. A igualdade ocorre se, e somente se, o ponto é
s
umbı́lico. Por continuidade, tais desigualdades ainda ocorrem no bordo de
Vl . Agora, se p é um ponto do bordo de Vl então, por (3.5), ele pertence a Gj
para cada j ≤ l. Portanto, tal ponto pertence ao interior de Vl (contradição).
Logo, o bordo de Vl está contido no bordo de Gl . Portanto,
Vl = Gl ∩ Vl
e
Vl = Gl ∩ V l ,
o que implica que Vl é aberto e fechado em Gl (na topologia induzida). Logo,
como Gl é conexo, Vl = Gl , o que prova o lema.
34
Vamos mostrar agora que Gr é fechado. Tomemos um ponto q no bordo
de Gr . Por continuidade temos que neste ponto vale µi,r ≥ 0 para 1 ≤ i ≤ n.
Então, usando o Lema 3.2.1 temos que µi,r ≥ 0 em q para cada 1 ≤ j ≤ r e
1 ≤ i ≤ n.
Observe que, para cada i ∈ {1, . . . , n} vale
Sr+1 = λi µi,r + µi,r+1 .
Assim, se µi,r = 0 em q então Sr+1 = µi,r+1 em q. Como por hipótese Sr+1 > 0,
então µi,r+1 > 0 e portanto, usando o lema temos
n−1
0 < µi,r+1 =
Hr+1 (Ai )
r+1
r+1
n−1
≤
(Hr (Ai )) r
r+1
− r+1
r
r+1
n−1 n−1
=
(Sr (Ai )) r
r+1
r
= 0 (absurdo!)
onde Sr (Ai ) = n−1
Hr (Ai ). Logo, no ponto q, µi,r 6= 0 para cada i. Portanto,
r
q pertence a Gr . Logo, Gr é fechado. Como Gr também é aberto, temos por
conexidade que Gr = M. Agora, o Lema 3.2.1 implica que Gj = M para cada
1 ≤ j ≤ r. Portanto, µi,j > 0 para 1 ≤ j ≤ r e 1 ≤ i ≤ n em cada ponto de
M. A proposição está provada.
Lema 3.2.2 Seja Σn−1 uma variedade compacta de um hiperplano Π ⊂
Rn+1 , e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada
com bordo Σ. Então, ou M é parte do hiperplano Π ou existe um ponto
interior de M onde todas as curvaturas principais têm o mesmo sinal.
Demonstração.
Sem perda de generalidade, suponha que Π = {xn+1 = 0}. Seja R > 0 tal
que M ⊂ B(0, R) = {x ∈ Rn+1 ; |x| < R}. A compacidade de M garante a
existência de tal R. Em Π considere a esfera S = {x ∈ Π; |x| = R}. Para cada
a ≤ 0, considere a esfera Ea de dimensão n com centro em Ca = (0, . . . , 0, a)
e que contém S. Se M não está contida em Π, então existe
A = min{|a|; Ea ∩ M 6= ∅}.
35
Seja então p0 ∈ CA ∩ M. Como ∂M ⊂ Π, Ea ∩ Π = S e S ∩ ∂M = ∅, temos
que Ea ∩ ∂M = ∅. Logo, p0 ∈ int(M ).
Considere a função f : M −→ R dada por
f (p) = |p − A|2 .
Pela nossa escolha de A, temos que p0 é um ponto de máximo de f.
Seja agora v ∈ Tp0 M um vetor unitário. Tomemos uma curva
α : (−ε, ε) −→ M
parametrizada pelo comprimento do arco tal que
α(0) = p0 e α0 (0) = v.
(3.6)
Como p0 é um ponto de máximo de f, temos que 0 é um ponto de máximo
de f ◦ α. Logo,
d
d2
(f ◦ α)(0) = 0 e
(f ◦ α)(0) ≤ 0.
dt
dt2
Mas
(f ◦ α)(t) = hα(t) − A, α(t) − Ai
e portanto,
d
(f ◦ α)(t) = 2hα0 (t), α0 (t) − Ai.
dt
Calculando em t = 0 encontramos
0=
d
(f ◦ α)(0) = 2hα(0) − A, α0 (0)i = hp0 − A, vi.
dt
Como v é qualquer vetor unitário tangente a M em p0 , isto significa que
p0 − A (considerado como vetor) é normal a M em p0 .
Diferenciando novamente, obtemos
d
(f ◦ α)(t) = 2hα0 (t), α0 (t)i + 2hα(t) − A, α00 (t)i.
dt
Fazendo t = 0 e usando (3.6) enconntramos
0 ≤ hv, vi + hp0 − A, α00 (0)i
= 1 + hp0 − A, α00 (0)i.
36
(3.7)
p0 − A
pode ser considerado
ra
p0 − A 00
, α (0)i é precomo um vetor unitário normal a M em p0 . Assim, h
ra
cisamente a curvatura normal k(v) na direção de v. Segue-se então de (3.7)
que
1
k(v) ≤ − < 0.
ra
Como v é qualquer, temos o resultado.
Seja ra o raio de Ea . Pelo que vimos acima,
Definição 3.2.1 Seja M n uma subvariedade do Rn+1 . A subvariedade M é
convexa em p se existe uma vizinhança U de p em M tal que U está de um
mesmo lado de Tp M. Se U ∩Tp M se reduz a um ponto, M é dita estritamente
convexa em p.
A subvariedade M é convexa (resp. estritamente convexa) se as condiçoes
acima são satisfeitas em cada ponto de M.
O seguinte teorema é devido a Harold Rosenberg.
Teorema 3.2.2 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta estritamente convexa de um hiperplano Πn do Rn+1 , e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie compacta mergulhada com bordo ∂M = Σ. Assuma que a r-ésima
curvatura média Hr é uma constante positiva e que M é transversal a Π ao
longo de Σ. Então M está contida em um dos semi-espaços de Rn+1 determinados por Π, e M possui todas as simetrias de Σ. Em particular, se Σ é
uma esfera redonda então M é parte de uma esfera redonda. Ademais, se
r = n, não é necessário assumir que M é transversal a Π ao longo de Σ.
Para uma demonstração deste teorema veja [16].
Teorema 3.2.3 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta estritamente convexa de um hiperplano Πn ⊂ Rn+1 , e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuerfı́cie compacta mergulhada com bordo Σ. Assuma que para 2 ≤ r ≤ n
dado, a r−ésima curvatura média Hr de M é uma constante não nula. Então
M possui todas as simetrias de Σ. Em particular, se Σ é uma esfera redonda
de Rn+1 , então M é uma calota esférica.
Demontração.
Pelo Lema 3.2.2, existe um ponto interior p0 ∈ M tal que, neste ponto, todas as curvaturas principais têm o mesmo sinal. Escolhendo uma orientação
adequada de M, podemos supor que em p0 todas as curvaturas principais são
37
positivas. Em particular temos que, na orientação escolhida, Hr = Hr (p0 )
é positiva. Invocando a Proposição 3.2.1, concluı́mos que Tr−1 é positiva
definida em M. Portanto, da Proposição 3.1.1 segue-se que M é transversal a Π ao longo do bordo ∂M. Utilizando agora o Teorema 3.2.2, temos o
resultado.
Como conseqüência do Teorema 3.2.3, concluı́mos que a conjectura da
calota esférica é verdadeira para o caso de hipersuperfı́cies com r−ésima
curvatura média constante em Rn+1 , quando r ≥ 2.
Corolário 3.2.1 As únicas hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em Rn+1
com r−ésima curvatura média Hr constante (2 ≤ r ≤ n) e bordo esférico são
as bolas redondas hiperplanares (com Hr = 0) e as calotas esféricas (com Hr
uma constante não nula).
De fato, se M não é uma bola redonda hiperplanar, então existe um ponto
interior de M onde todas as curvaturas principais têm o mesmo sinal. Em
particular, quando r = 2, dizer que H2 é constante é equivalente a dizer que
a curvatura escalar é constante (vide equação (1.9)). Portanto, o resultado
lê-se
Corolário 3.2.2 As únicas hipersuperfı́cies compactas mergulhadas em Rn+1
com curvatura escalar constante e bordo esférico são as bolas redondas hiperplanares (com curvatura escalar zero) e as calotas esféricas (com curvatura
escalar positiva).
38
Capı́tulo 4
Uma Fórmula do Fluxo
Este capı́tulo é composto de duas seções. Na primeira seção obtemos uma
Fórmula do Fluxo para o ambiente geral no qual estamos trabalhando. Na
segunda seção nós utilizamos tal Fórmula do Fluxo para obter algumas desigualdades, as quais generalizam uma desigualdade obtida por Barbosa em
[5].
4.1
Uma Fórmula do Fluxo
Definição 4.1.1 Seja M uma variedade diferenciável. Se V ∈ X (M ), a
derivação de tensores LV tal que
LV (f ) = V (f ) ∀f ∈ F(M ),
e
LV (X) = [V, X] ∀X ∈ X (M )
é chamada a derivada de Lie relativa a V .
Definição 4.1.2 Dizemos que Y ∈ X (M ) é conforme se a derivada de Lie
do tensor métrico de M com respeito a Y satisfaz
LY h, i = 2φh, i
para uma certa função φ ∈ C ∞ .
É de fácil verificação que Y ∈ X (M ) é conforme se, e somente se,
h∇V Y, W i + hV, ∇W Y i = 2φhV, W i,
para todo par de campos V, W ∈ X (M ).
39
(4.1)
Considere agora o campo Y > ∈ X (M ) definido por Y > = Y − hY, N iN.
Desejamos calcular divM (Tr Y > ). Se e1 , . . . , en é um referencial ortonormal
local temos
divM (Tr Y > ) =
n
X
h∇ei (Tr Y > ), ei i
i=1
=
=
n
X
i=1
n
X
h(∇ei Tr )(Y > ) + Tr (∇ei Y > ), ei i
>
hY , (∇ei Tr )(ei )i +
i=1
= hY,
n
X
h∇ei Y > , Tr ei i
i=1
n
X
(∇ei Tr ) (ei )i +
i=1
n
X
h∇ei Y > , Tr ei i
i=1
= hdivM Tr , Y i +
n
X
h∇ei Y > , Tr ei i.
(4.2)
i=1
Da equação de conformidade (4.1) obtemos
2φhTr U, U i = h∇Tr U Y, U i + h∇U Y, Tr U i
= h∇Tr U Y > , U i + hY, N ih∇Tr U N, U i +
h∇U Y > , Tr U i + hY, N ih∇U N, Tr U i
= h∇Tr U Y > , U i + h∇U Y > , Tr U i +
−hN, Y ihATr U, U i − hN, Y ihAU, Tr U i,
isto é,
h∇Tr U Y > , U i + h∇U Y > , Tr U i = 2φhTr U, U i + 2hN, Y ihATr U, U i.
(4.3)
Seja p ∈ M. Escolha um referencial ortonormal e1 , . . . , en numa vizinhança de p que diagonaliza A em p. Sabemos que tal referencial também
diagonaliza Tr em p com autovalores µ1,r , . . . , µn,r . Portanto,
h∇ei Y > , Tr ei i(p) = µi,r h∇ei Y > , ei i = hei , ∇Tr ei Y > i(p),
e de (4.3) obtemos
h∇ei Y > , Tr ei i(p) = φhei , Tr ei i(p) + hN, Y ihATr ei , ei i(p).
Logo,
n
X
i=1
>
h∇ei Y , Tr ei i(p) = φ
n
X
hei , Tr ei i(p) + hN, Y i
i=1
n
X
i=1
40
hATr ei , ei i(p).
Usando que tr(T
r ) = cr Hrn e tr(ATr ) = cr Hr+1 (Proposição 2.1.2), onde
cr = (n − r) nr = (r + 1) r+1
, e a equação (4.2), obtemos que em p vale
divM (Tr Y > ) = hdivM Tr , Y i + cr (φHr + hN, Y iHr+1 ).
(4.4)
Como p é qualquer, (4.4) vale em geral.
Integrando (4.4) em M e invocando o Teorema da Divergência, encontramos a seguinte fórmula integral para todo 0 ≤ r ≤ n − 1.
Z
Z
hTr ν, Y ids =
divM (Tr Y > )dM
∂M
ZM
=
hdivM Tr , Y idM +
MZ
cr
(φHr + hY, N iHr+1 )dM.
(4.5)
M
Aqui, dM denota o elemento de volume n-dimensional de M com respeito
à métrica induzida e à orientação escolhida, e dS é o elemento de volume
(n − 1)-dimensional induzido em ∂M.
Seja Dn uma hipersuperfı́cie compacta orientável em M com bordo suave
que satisfaz ∂D = ∂M, tal que M ∪ U é um n-ciclo orientado de M , com D
orientada pelo campo normal unitário ND . Nós supomos que M ∪ D = ∂Ω,
onde Ω é um domı́nio compacto orientado imerso em M . Pela equação de
conformidade (4.1) temos
h∇ei Y, ei i + hei , ∇ei Y i = 2φhei , ei i = 2φ,
para todo i ∈ {1, . . . , n + 1}, com en+1 = N. Portanto,
h∇ei Y, ei i = φ, ∀i ∈ {1, . . . n + 1}.
Logo,
divM Y =
n+1
X
h∇ei Y, ei i = (n + 1)φ.
i=1
Assim, pelo o Teorema da Divergência,
Z
Z
Z
hY, N idM = − hY, ND idD + (n + 1) φdM ,
M
D
(4.6)
Ω
onde dD é o elemento de volume n-dimensional de D com respeito à orientação dada por ND , e dM é o elemento de volume (n + 1)-dimensional de
M.
Agora, de (4.5) e (4.6), obtemos a seguinte Fórmula do Fluxo:
41
n+1
Proposição 4.1.1 Seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie imersa compacta orientável com bordo ∂M, e seja Dn uma hipersuperfı́cie compacta
orientável com bordo ∂D = ∂M. Assuma que M ∪ D é um n-ciclo orientado
de M , e sejam N e ND os campos normais unitários que orientam M e D,
respectivamente. Se a r-ésima curvatura média Hr é constante, 1 ≤ r ≤ n,
então para todo campo conforme Y ∈ X (M ) vale a seguinte igualdade
Z
Z
Z
n
hTr−1 ν, Y ids =
hdivM Tr−1 , Y idM + r
φHr−1 dM + (4.7)
r
∂M
M
M
Z
Z
n
n
−r
Hr hY, ND idD + (n + 1)r
Hr
φdM ,
r
r
D
Ω
onde ν é o conormal exterior a M ao longo de ∂M.
Corolário 4.1.1 Se M tem curvatura seccional constante, então para todo
campo de Killing Y ∈ X (M ), a Fórmula do Fluxo toma o seguinte aspecto:
Z
Z
n
hTr−1 ν, Y idS = −r
Hr hY, ND idD,
(4.8)
r
∂M
D
onde ν é o conormal exterior a M ao longo de ∂M.
Por outro lado, quando o espaço ambiente M tem curvatura seccional
constante e o campo Y é um campo homotético (e não Killing) então, sem
perda de generalidade, podemos assumir que φ = 1 e (4.7) toma o seguinte
aspecto:
Z
Z
n
hTr−1 ν, Y idS = −r
Hr hY, ND idD +
(4.9)
r
∂M
D
Z
n
n
r
Hr−1 dM + (n + 1)r
Hr vol(Ω).
r
r
M
Como uma consequência de (4.9) obtemos a seguinte fórmula de fluxo
para hipersuperfı́cies r-mı́nimas.
n+1
Proposição 4.1.2 Seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie compacta
orientável com bordo ∂M imersa em um espaço riemanniano de curvatura
seccional constante. Se M é r-mı́nima em M , isto é, se Hr = 0, então para
todo campo homotético (não Killing) Y ∈ X (M ) vale a seguinte fórmula
Z
Z
n
hTr−1 ν, Y idS = r
Hr−1 dM.
(4.10)
r
∂M
M
42
Em particular, para hipersuperfı́cies mı́nimas no espaço euclidiano com
bordo em uma esfera redonda temos a seguinte consequência:
Corolário 4.1.2 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de uma
esfera redonda Sn (ρ) ⊂ Rn+1 de raio ρ, e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie mı́nima compacta orientável imersa com bordo Σ = ψ(M ) ⊂ Sn (ρ).
Então
ρ
vol(M ) ≤ vol(∂M ),
n
e a igualdade ocorre se e somente se M é ortogonal a Sn (ρ) ao longo do bordo
∂M.
Demonstração.
Considere o campo radial Y (p) = p em Rn+1 , o qual é um campo homotético em Rn+1 com φ = 1, e seja ξ o campo normal unitário a Sn (ρ).
Então, ao longo de Sn (ρ) temos Y = ρξ e (4.10) nos dá
Z
Z
Z
n
dM = nvol(M ) =
hν, ρξidS ≤ ρ
dS = ρvol(∂M ).
M
∂M
∂M
A igualdade ocorre se e somente se ξ = ν ao longo do bordo ∂M, ou equivalentemente, hN, ξi = 0 (veja 2.4) ao longo de ∂M.
Vamos considerar agora o caso de uma hipersuperfı́cie imersa no espaço
hiperbólico Hn+1 . Neste caso, será apropriado usar o modelo de Minkowski
para o espaço hiperbólico. Escreva Rn+2
para representar Rn+2 com a métrica
1
lorentziana
h, i1 = −dx20 + dx21 + . . . + dx2n+1 .
Então,
Hn+1 = {x ∈ Rn+2
; hx, xi1 = −1, x0 > 0}
1
com curvatura seccional
é uma hipersuperfı́cie tipo-espaço completa de Rn+2
1
constante igual a −1, a qual nos dá o modelo de Minkowiski para o espaço
hiperbólico.
Seja Σn−1 ⊂ Hn+1 uma subvariedade compacta orientável de uma esfera
geodésica S(a, ρ) de Hn+1 de centro a ∈ Hn+1 e raio geodésico ρ, e seja
ψ : M n −→ Hn+1 uma hipersuperfı́cie compacta orientável com bordo Σ =
ψ(∂M ).
e ∈ X (Rn+2
Seja v ∈ Tp Hn+1 e seja X
) o campo de vetores dado por
1
e
X(x)
= x, ∀x ∈ Rn+2
.
1
43
n+1
e
e
Como hX(p),
X(p)i
, temos
1 = −1 para todo p ∈ H
e Xi
e 1.
0 = vhX,
(4.11)
e a conexão de Levi-Civita de Rn+2
Por outro lado, denotando por ∇
, obtemos
1
e Xi
e 1 = 2h∇
e v X,
e Xi
e 1 (p) = 2hv, pi1 .
vhX,
(4.12)
Esta última igualdade vem do fato de que a derivação de campos de vetores ao
longo de curvas em Rn+2
é a derivação usual, já que os sı́mbolos de Cristoffel
1
n+2
de R1 são todos constantes.
Comparando (4.11) e (4.12) obtemos
hv, pi1 = 0, ∀ v ∈ Tp Hn+1 ,
ou seja, p é ortogonal a Hn+1 em p.
Considere o campo de vetores representado neste modelo por
Y (p) = −a − ha, pi1 p,
para todo p ∈ Hn+1 . Temos
hY (p), pi1 = h−a − ha, pi1 p, pi1
= −ha, pi1 − ha, pi1 hp, pi1
= 0,
pois hp, pi1 = −1. Logo, Y ∈ X (Hn+1 ).
Sejam agora Z, W ∈ X (Hn+1 ). Denotando por ∇ a conexão de Levi-Civita
de Hn+1 temos
e W (−a − ha, pi1 p), Zi1
h∇W Y, Zi1 = h∇
e W p, Zi1
= h−(W ha, pi1 )p − ha, pi1 ∇
e W p, Zi1 .
= h−(W ha, pi1 )p, Zi1 − ha, pi1 h∇
= −ha, pi1 hW, Zi1 .
Portanto,
h∇W Y, Zi1 (p) = −ha, pi1 hW, Zi1 .
Analogamente,
h∇Z Y, W i1 (p) = −ha, pi1 hZ, W i1 .
Logo,
h∇W Y, Zi1 + h∇Z Y, W i1 = −2ha, pi1 hZ, W i1 ,
44
ou seja, Y ∈ X (Hn+1 ) é um campo conforme , cujo fator de conformidade é
φ(p) = −ha, pi1 .
Se p ∈ S(a, ρ), a esfera geodésica de centro a e raio ρ, então p =
(cosh t0 )a + (senh t0 )v, onde v é tal que γ(t) = (cosh t)a + (senh t)v é
a geodésica que passa por a e p. Temos então
Z t0
Z t0
0
dt = t0 .
|γ (t)|dt =
ρ = dist(a, p) =
0
0
Temos também
ha, pi1 = ha, (cosh to )a + (senh t0 )vi1
= (cosh t0 )2 ha, ai1 + (senh t0 )ha, vi1
= −(cosh t0 ).
Portanto,
φ(p) = −ha, pi1 = cosh(e
ρ(p)),
onde ρe(p) é a distância geodésica de a a p. Temos ainda
|Y (p)|2 =
=
=
=
h−a − ha, pi1 p, −a − ha, pi1 pi1
ha, ai1 + ha, pi21 hp, pi1
−1 + (cosh(e
ρ(p)))2
(senh(e
ρ(p)))2 ,
e portanto,
|Y (p)| = senh(e
ρ(p)).
Logo, ao longo de S(a, ρ) temos Y = senh(ρ)ξ. Assuma agora que M é
mı́nima em Hn+1 . Então, segue-se de (4.7) que
Z
Z
Z
hν, Y ids = senh(ρ)
hν, ξids = n
cosh(e
ρ)dM.
∂M
∂M
M
Assim, como cosh(e
ρ) ≥ 1, concluı́mos que
Z
Z
nvol(M ) ≤ n
cosh(e
ρ)dM = senh(ρ)
M
hν, ξids ≤ senh(ρ)vol(∂M ).
∂M
Resumindo, obtemos o seguinte resultado.
Corolário 4.1.3 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta de uma esfera geodésica
S(a, ρ) de Hn+1 de centro a ∈ Hn+1 e raio geodésico ρ, e seja ψ : M n −→
Hn+1 uma hipersuperfı́cie mı́nima compacta orientável imersa com bordo
Σ = ψ(∂M ) ⊂ S(a, ρ). Então
vol(M ) ≤
senh(ρ)
vol(∂M ).
n
45
Finalmente, vamos considerar o caso de uma hipersuperfı́cie imersa na
esfera Sn+1 ,
Sn+1 = {x = (x0 , x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+2 ; hx, xi = 1}.
Seja Σn−1 uma subvariedade compacta de uma esfera geodésica S(a, ρ) de
Sn+1 de centro a e raio geodésico ρ < π/2, e seja ψ : M n −→ Sn+1 uma
hipersuperfı́cie compacta orientável com bordo Σ = ψ(∂M ) ⊂ S(a, ρ).
Neste caso, considere o campo de vetores em Sn+1 dado por
Y (p) = −a + ha, pip, ∀ p ∈ Sn+1 ,
com singularidades nos pontos focais {a, −a}. Observe que Y é um campo
conforme em Sn+1 , o qual é ortogonal às esferas geodésicas centradas em a,
com φ(p) = ha, pi = cos(e
ρ(p)) e |Y (p)| = sen(e
ρ(p)), onde ρe(p) é a distância
geodésica de a a p, para todo p ∈ Sn+1 (as contas são inteiramente analogas
às contas feitas no caso do espaço hiperbólico). Portanto, ao longo de S(a, ρ)
temos Y = sen(ρ)ξ. Assuma agora que M é minima em Sn+1 . Então, seguese de (4.7) que
Z
Z
Z
hν, Y ids = sen(ρ)
hν, ξids = n
cos(e
ρ)dM.
∂M
∂M
M
Vamos assumir agora que M está contida no hemisfério aberto centrado em
a. Neste caso, é claro que minM cos(e
ρ) = cos(ρ0 ), onde ρ0 = max dist(a, M ),
portanto,
Z
Z
hν, ξids ≤ sen(ρ)vol(∂M ).
cos(e
ρ)dM = sen(ρ)
ncos(ρ0 )vol(M ) ≤ n
M
∂M
Isto nos leva ao seguinte resultado:
Corolário 4.1.4 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de uma
esfera geodésica S(a, ρ) de Sn+1 de centro a ∈ Sn+1 e raio geodésico ρ, e seja
ψ : M n −→ Sn+1 uma hipersuperfı́cie mı́nima compacta orientável imersa
com bordo Σ = ψ(∂M ) ⊂ S(a, ρ). Assuma que M está contida no hemisfério
aberto centrado em a. Então
vol(M ) ≤
sen(ρ)
vol(∂M ),
n cos(ρ0 )
onde ρ0 = max dist(a, M ).
46
4.2
Estimando a r-ésima Curvatura Média pela
Geometria do Bordo
Considere a configuração geométrica dada na Proposição 3.1.1, isto é, seja
Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de uma hipersuperfı́cie orientável
n+1
totalmente geodésica P n ⊂ M n , e seja ψ : M n −→ M
uma hipersuperfı́cie
conexa compacta com bordo Σ = ψ(∂M ) e r−ésima curvatura média Hr
constante. Nosso objetivo nesta seção é estimar Hr pela geometria do bordo.
Assuma que existe um campo de Killing Y ∈ X (M ), com Y ortogonal a
P. Então podemos escrever Y ao longo de ∂M nas duas formas seguintes
Y = hY, ξiξ
e
Y = hY, νiν + hY, N iN.
Usando (3.4) obtemos
hTr−1 ν, Y i = hY, νihTr−1 ν, νi
= (−1)r−1 sr−1 hY, ξihξ, νir .
ao longo do bordo ∂M.
Suponha que existe um domı́nio limitado D ⊂ P cujo bordo é Σ (no
caso em que P é o espaço euclidiano Rn , o espaço hiperbólico Hn ou um
hemisfério aberto da esfera Sn esta suposição é válida), e orientemos D pelo
campo normal unitário ND de modo que M ∪ D seja um n−ciclo orientado
em M . Denotemos por hj a j−ésima curvatura média de Σ ⊂ P com respeito
ao vetor unitário normal η que “aponta para fora de D”, ou seja,
n−1
hj = sj = sj (τ1 , . . . , τn−1 .)
j
No caso em que o espaço ambiente tem curvatura seccional constante, nossa
Fórmula do Fluxo (4.8) nos permite escrever
Z
Z
r
hr−1 hY, ξihξ, νir ds.
(4.13)
nHr hY, ND idD = (−1)
D
∂M
Vamos primeiramente aplicar a fórmula (4.13) no caso euclidiano M = Rn+1 .
Teorema 4.2.1 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável de um
hiperplano P ⊂ Rn+1 e seja ψ : M n −→ Rn+1 uma hipersuperfı́cie imersa
47
conexa compacta orientável com bordo Σ = ψ(∂M ) e r−ésima curvatura
média Hr constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
1
|hr−1 |ds,
(4.14)
0 ≤ |Hr | ≤
n vol(D) ∂M
onde hr−1 é a (r − 1)−ésima curvatura média de Σ ⊂ P, e D é o domı́nio em
P limitado por Σ. Em particular, quando Σ é uma (n − 1)−esfera redonda
de raio ρ, segue-se que
1
0 ≤ |Hr | ≤ r .
(4.15)
ρ
Observação. Esta estimativa foi obtida por Barbosa em [5] para o caso
r = 1.
Demonstração.
Seja ξ um vetor unitário normal a P. Considere o campo constante em
n+1
R
definido por
Y (x) = ξ, ∀x ∈ Rn+1 .
É claro que Y é um campo de Killing em Rn+1 . Por outro lado, temos que
ND = ±ξ e portanto, por (4.13) obtemos
Z
Z
|hr−1 |ds,
hr−1 hξ, νir ds ≤
n|Hr |vol(D) = ∂M
∂M
que nos dá (4.14).
Em particular, quando Σ = S n−1 (ρ) é uma esfera redonda de raio ρ,
1
então temos que τi = − para todo i = 1, . . . , n − 1, e portanto, hr−1 =
ρ
(−1)r−1 /ρr−1 . Além disto, o domı́nio D é uma bola n−dimensional de raio ρ,
com volume n vol(D) = ρ vol(S n−1 (ρ)), e a estimativa (4.14) torna-se (4.15).
Vamos agora considerar o caso de uma hipersuperfı́cie imersa no espaço
hiperbólico Hn+1 . Como anteriormente, será apropriado usar o modelo de
Minkowiski para Hn+1 ,
Hn+1 = {x = (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+2
; hx, xi1 = −1, x0 > 0}.
1
Podemos assumir, a menos de uma isometria de Hn+1 , que a hipersuperfı́cie totalmente geodésica P n que contém Σ é dada por
P n = Hn+1 ∩ {x ∈ Rn+2
; xn+2 = 0}.
1
Neste caso, o vetor normal unitário a P em Hn+1 é dado por
ξ(p) = en+1 = (0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+2
, ∀p ∈ P.
1
48
Proposição 4.2.1 Fixado a ∈ Hn+1 , o campo de vetores dado por
Y (p) = −hp, ai1 en+1 + hp, en+1 i1 a, p ∈ Hn+1
é um campo de Killing em Hn+1 , o qual é ortogonal a P.
Demonstração.
1. Temos
hY (p), pi1 = h−hp, ai1 en+1 + hp, en+1 i1 a, pi1
= −hp, ai1 hen+1 , pi1 + hp, en+1 i1 ha, pi1
= 0.
Logo, Y ∈ X (Hn+1 ).
2. Se p ∈ P então
Y (p) = −hp, ai1 en+1 ,
que é ortogonal a P.
e as conexões riemannianas de Hn+1 e Rn+2
3. Denotando por ∇ e ∇
respec1
tivamente, temos
e V (−hp, ai1 en+1 + hp, en+1 i1 a), W i1
h∇V Y, W i1 = h∇
e V en+1 + V (hp, en+1 i1 )a + hp, en+1 i1 ∇
e V a, W i1
= h−V (hp, ai1 )en+1 − hp, ai1 ∇
= −V (hp, ai1 )hen+1 , W i1 + V (hp, en+1 i1 )ha, W i1
e V p, ai1 + hp, ∇
e V ai1 )ha, W i + (h∇
e V p, en+1 i1 + hp, ∇
e V en+1 i1 )ha, W i1
= −(h∇
= −hV, ai1 hen+1 , W i1 + hV, en+1 i1 ha, W i1 .
Analogamente,
h∇W Y, V i1 = −hW, ai1 hen+1 , V i1 + hW, en+1 i1 ha, V i1
Logo, Y é de Killing.
Note também que para todo p ∈ P temos
Y (p) = −hp, ai1 en+1 = cosh(e
ρ(p))ξ(p),
onde ρe é a distância geodésica entre a e p ao longo de P.
Seja D o domı́nio compacto em P limitado por Σ. Então ND = ±ξ e de
(4.13) obtemos
Z
Z
n|Hr |
cosh(e
ρ) dD = hr−1 cosh(e
ρ)hξ, νir ds .
(4.16)
D
Σ
49
Escolha a ∈ int(D). Temos então que minD cosh(e
ρ) = cosh(e
ρ(a)) = 1 e
portanto, de (4.16) concluı́mos que
Z
cosh(e
ρ) dD
n|Hr |vol(D) ≤ n|Hr |
D
Z
≤
cosh(e
ρ) ds
(4.17)
∂M
Z
|hr−1 | ds.
≤ maxΣ cosh(e
ρ)
∂M
Vejamos agora como fica a expressão (4.17) no caso em que Σ é uma
esfera geodésica em P de centro a e raio geodésico ρ.
Considere o campo η definido por
η(p) =
1
Y (p).
senh(e
ρ)
Temos que η é um campo normal unitário ao longo de Σ. Temos também
Y
1
∇v η = ∇v
=
∇v Y
senh(e
ρ)
senh(e
ρ)
e, por uma conta feita anteriormente,
h∇W Y, Zi1 = −ha, pi1 hW, Zi1 = cosh(e
ρ)hW, Zi1 .
Logo,
∇v η = (coth(e
ρ))v.
Temos então que |hr−1 | = cothr−1 (ρ), e (4.17) torna-se
n|Hr |vol(D) ≤ cosh(ρ)cothr−1 (ρ)vol(Σ).
(4.18)
Proposição 4.2.2 A esfera geodésica Σ é uma (n-1)-esfera euclidiana de
raio senh(ρ).
Demonstração.
Seja p ∈ Σ. Temos
n
X
i=0
2
(pi − ai cosh(ρ))
=
n
X
(p2i − 2pi ai cosh(ρ) + a2i cosh2 (ρ))
i=0
n
X
= senh (ρ)(
|vi |2 )
2
i=0
= senh2 (ρ),
onde na última igualdade usamos que pi = cosh(ρ)ai + senh(ρ)vi .
50
Assim, vol(Σ) ≤ (n/senh(ρ))vol(D) e (4.18) torna-se
|Hr | ≤ cothr (ρ).
Provamos assim o seguinte teorema:
Teorema 4.2.2 Seja Σ uma subvariedade compacta contida em um hiperplano totalmente geodésico P ⊂ Hn+1 , e seja ψ : M n −→ Hn+1 uma hipersuperfı́cie imersa conexa compacta orientável com bordo Σ = ψ(∂M ) e r-ésima
curvatura média Hr constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
C
0 ≤ |Hr | ≤
|hr−1 | ds.
n vol(D) ∂M
Aqui, hr−1 entende-se pela (r-1)-ésima curvatura média de Σ ⊂ P , D é o
domı́nio em P limitado por Σ, e C = maxΣ cosh(e
ρ) ≥ 1, onde ρe(p) é a
distância geodésica ao longo de P entre um ponto fixado a ∈ int(D) e p.
Em particular, quando Σ é uma esfera geodésica em P de raio geodésico ρ,
segue-se que
0 ≤ |Hr | ≤ cothr (ρ).
Finalmente, vamos considerar o caso de uma hipersuperfı́cie imersa na
esfera Sn+1 ,
Sn+1 = {x = (x0 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+2 ; hx, xi = 1}.
Temos, a menos de uma isometria, que a n−esfera totalmente geodésica P
que contém Σ é dada por
P n = Sn+1 ∩ {x ∈ Rn+2 ; xn+1 = 0}.
Neste caso, o vetor unitário normal a P em Sn+1 é dado por ξ(p) = en+1 =
(0, . . . , 0, 1) ∈ Rn+2 para cada p ∈ P. Observe que fixado um ponto arbitrário
a ∈ P, o campo de vetores dado por
Y (p) = hp, aien+1 − hp, en+1 ia, p ∈ Sn+1
é um campo de Killing em Sn+1 o qual é ortogonal a P, pois em p ∈ P tem-se
Y (p) = hp, aien+1 = cos(e
ρ(p))ξ(p),
onde ρe(p) é a distância geodésica entre a e p ao longo de P.
51
De fato,
1)
hY (p), pi = hhp, aien+1 − hp, en+1 ia, pi
= hp, aihen+1 , pi − hp, en+1 iha, pi
= 0.
Logo, Y ∈ X (Sn+1 ).
2) Se p ∈ P então Y (p) = ha, pien+1 , que é ortogonal a P.
3)
e V (hp, aien+1 − hp, en+1 ia), W i
h∇V Y, W i = h∇
e V en+1 +
= hV (hp, ai)en+1 + hp, ai∇
e V a), W i
−V (hp, en+1 i)a − hp, en+1 i∇
= V (hp, ai)hen+1 , W i − V (hp, en+1 i)ha, W i
e V p, ai + hp, ∇
e V ai)hen+1 , W i +
= (h∇
e V p, en+1 i + hp, ∇
e V en+1 i)ha, W i
−(h∇
= hV, aihen+1 , W i − hV, en+1 iha, W i.
Analogamente,
h∇W Y, V i = hW, aihen+1 , V i − hW, en+1 iha, V i.
Logo, Y é de Killing.
Suponha que Σ está contida em um hemisfério aberto P+ de P determinado por um equador S de P, e seja D o domı́nio compacto limitado por Σ
em P+ . Então ND = ±ξ e de (4.13) obtemos
Z
Z
r
n|Hr | cos(e
ρ) dD = hr−1 cos(e
ρ)hξ, νi ds
(4.19)
D
Σ
Escolha a ∈ int(D). Como estamos assumindo que Σ = ∂D está contido
em um hemisfério aberto P+ , então 0 ≤ ρe ≤ π/2 em D e minD cos(e
ρ) > 0,
portanto, de (4.19) concluı́mos que
Z
n|Hr |minD cos(e
ρ)vol(D) ≤ n|Hr |
cos(e
ρ) dD
D
Z
≤
|hr−1 cos(e
ρ)| ds
(4.20)
∂M
Z
|hr−1 | ds.
≤ maxΣ cos(e
ρ)
∂M
52
Suponha que Σ é uma esfera geodésica de centro a e raio geodésico ρ.
Seja
1
V (p),
η(p) =
sen(ρ)
onde v(p) = −a + ha, pip. Temos que η é uma campo normal unitário ao
longo de Σ. Temos também
V
1
∇v η = ∇v
=
∇v V
sen(ρ)
sen(ρ)
e, por uma conta feita anteriormente,
h∇W V, Zi = ha, pihW, Zi = hW, Zi.
Logo,
∇v η = (cotg(ρ))v.
Temos então que |hr−1 | = cotg r−1 (ρ) e (4.20) torna-se
|Hr | ≤ cotg r (ρ),
pois vol(Σ) ≤
n
vol(D).
sen(ρ)
Teorema 4.2.3 Seja Σn−1 uma subvariedade compacta orientável contida
em um hemisfério aberto totalmente geodésico P+ ⊂ Sn+1 , e seja ψ : M n −→
Sn+1 uma hipersuperfı́cie imersa conexa compacta orientável com bordo Σ =
ψ(∂M ) e r−ésima curvatura média Hr constante, 1 ≤ r ≤ n. Então
Z
C
|hr−1 | ds.
0 ≤ |Hr | ≤
n vol(D) ∂M
Aqui, hr−1 denota a (r − 1)−ésima curvatura média de Σ ⊂ P , onde D é um
domı́nio em P+ limitado por Σ, e C = maxΣ cos(e
ρ)/minD cos(e
ρ), onde ρe(p) é
a distância geodésica ao longo de P+ entre um ponto arbritariamente fixado
a ∈ int(D) e p. Em particular, quando Σ é uma esfera geodésica em P+ de
raio geodésico ρ < π/2, segue-se que
0 ≤ |Hr | ≤ cotr (ρ).
53
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