SINGULARIDADES DA APLICAÇÃO NORMAL
DE GAUSS
Catarina Mendes de Jesus (Orientadora)
Diogo da Silva Machado (Orientador)
Karine de Almeida Santos (Bolsista)
Isaque Viza de Souza (Bolsista)
Universidade Federal de Viçosa
Resumo/Abstract:
O objetivo principal deste trabalho será o estudo das Singularidades da Aplicação Normal de Gauss. Vamos considerar sempre superfı́cies regulares, isto é, superfı́cies S em que a cada ponto p ∈ S
seja possı́vel obter um plano tangente TP S e, portanto, um vetor
N (p) normal à S no ponto p . Também vamos supor que S seja
uma superfı́cie orientável e, neste caso, o campo de vetores normais
N será denominado como a orientação da superfı́cie S. A Aplicação
Normal de Gauss associa cada ponto p de S a um ponto q sobre
a esfera de raio vetor unitário que é paralelo ao vetor normal N
exterior ao ponto p de S.
O comportamento dos pontos sobre a superfı́cie S é descrito pela
Curvatura Gaussiana K, obtida pelo determinante do mapeamento
de Gauss em S. Este mapeamento permite uma classificação das
singularidades da Aplicação Normal de Gauss entre pontos de dobras
e pontos de cúspides (no sentido de H. Whitney [5]).
Os pontos do conjunto singular da Aplicação Normal de Gauss,
isto é, os pontos onde a matriz jacobiana da aplicação não tem posto
máximo, coincidem com os pontos parabólicos da superfı́cie, ou seja,
pontos onde a Curvatura Gaussiana K é nula. Cada componente
conexa deste conjunto constitui uma curva suave sobre a superfı́cie S.
Esta curva (também chamada de curva parabólica) é obtida tomando
o determinante da matriz Jacobiana igual a zero. Utilizando a terminologia de Whitney, diremos que a Aplicação Normal de Gauss
será boa quando o gradiente de K nunca se anular no conjunto de
pontos parabólicos. Quando a aplicação for excelente, as sigularidades são todas equivalentes (por mudanças de coordenadas suaves)
à dobras e cúspides; bem como o contrário.
Dessa forma, pretendemos caracetrizar cúspides da aplicação de
Gauss analisando algumas superfı́cies dadas por gráficos de funções.
References
[1] Banchoff,T., Gaffney,T. and McCroy,C. Cusps of Gauss Mapping,
conteúdo
disponı́vel
no
site http://www.emis.de/monographs/CGM/index.html ,acessado pela última vez em 11 de junho de 2011.
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[3] Carmo, M.P. Differential Geometry of Curves and Surfaces,
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[6] Tenenblat, K. Introdução á Geometria Diferencial, Brası́lia, Editora Universidade de Bası́lia, 1988.
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