U NIVERSIDADE
DE
C AXIAS
DO
S UL
P ROFESSORA : C ÍNTIA P AESE G IACOMELLO
Probabilidade e Estatística
Índice
1
2
3
4
5
6
7
8
Introdução _____________________________________________________1
1.1
Amostragem ________________________________________________________ 2
1.2
Tipos de variáveis ____________________________________________________ 4
Séries estatísticas _______________________________________________5
Gráficos _______________________________________________________6
Distribuições de freqüências ______________________________________12
4.1
Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos ______________ 12
4.2
Gráficos das distribuições de freqüência _________________________________ 13
4.3
Construção de distribuição de freqüência para dados discretos ______________ 15
4.4
Construção de uma distribuição de freqüência acumulada___________________ 17
4.5
Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos _______________ 18
4.6
Gráficos para distribuições de freqüência ________________________________ 19
Medidas de tendência central _____________________________________20
5.1
Média _____________________________________________________________ 20
5.2
Mediana ___________________________________________________________ 23
5.3
Moda _____________________________________________________________ 25
5.4
Relação entre as medidas de tendência central ___________________________ 26
Medidas de variabilidade ________________________________________28
6.1
Amplitude _________________________________________________________ 28
6.2
Variância __________________________________________________________ 29
6.3
Desvio padrão ______________________________________________________ 29
6.4
Coeficiente de variação ______________________________________________ 30
Medidas de assimetria e curtose __________________________________31
Introdução à probabilidade_______________________________________33
8.1
Experimento aleatório _______________________________________________ 33
8.2
Espaço amostral ____________________________________________________ 34
8.3
Eventos ___________________________________________________________ 34
8.4
A probabilidade de um evento _________________________________________ 34
8.5
Cálculo das probabilidades ____________________________________________ 37
9 Distribuições de probabilidade ____________________________________43
10 Teoria elementar da amostragem ________________________________56
10.1
Amostragem com e sem reposição ____________________________________ 56
10.2
Distribuições amostrais _____________________________________________ 56
Prof. Cíntia Paese Giacomello
2
11
12
Estimação ___________________________________________________62
Testes de hipóteses ___________________________________________68
12.1
Teste de hipóteses para médias ______________________________________ 70
12.2
Testes de duas amostras para médias _________________________________ 72
12.3
Teste para proporções _____________________________________________ 72
12.4
Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções) ____________________ 73
13
Análise de variância (ANOVA - Analysis of Variance) _________________79
13.1
Formulário para solução ____________________________________________ 83
13.2
Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 85
14
Regressão e correlação ________________________________________90
Regressão ______________________________________________________________ 91
14.1
Aplicações da regressão ____________________________________________ 91
14.2
Classificação das regressões_________________________________________ 91
14.3
Modelo linear _____________________________________________________ 91
Correlação ______________________________________________________________ 94
14.4
Objetivo da correlação _____________________________________________ 94
14.5
O coeficiente r de Pearson (correlação)________________________________ 94
14.6
Coeficiente de determinação ________________________________________ 94
14.7
Exemplo de solução no Excel ________________________________________ 96
14.8
Outros modelos __________________________________________________ 100
15
Tabelas ____________________________________________________106
Prof. Cíntia Paese Giacomello
3
1 I ntrodução
Estuda-se estatística para aplicar seus conceitos como auxílio nas tomadas de decisão
diante de incertezas, justificando cientificamente as decisões.
Os princípios estatísticos são utilizados em uma grande variedade de situações – no
governo, nos negócios e na indústria, bem como no âmbito das ciências sociais, biológicas
e físicas.
Estatística é a ciência ou método científico que estuda os fenômenos multicausais,
coletivos ou de massa e procura inferir as leis que os mesmos obedecem.
Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou
valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza. Os
passos da metodologia estatística são os seguintes:
•
Definição cuidadosa do problema
•
Formulação de um plano para coleta das unidades de observação
•
Coleta, resumo e apresentação das unidades de observação ou de seus valores
numéricos
•
Análise dos resultados
•
Divulgação de relatório com as conclusões, de tal modo que estas sejam facilmente
entendidas por quem as for usar na tomada de decisões.
Em geral, é aceita a divisão da estatística em dois grandes grupos: estatística descritiva e
indutiva.
Descritiva: corresponde aos procedimentos relacionados com a coleta, elaboração,
tabulação, análise, interpretação e apresentação dos dados. Isto é, inclui as técnicas que
dizem respeito à sintetização e à descrição de dados numéricos. Tais métodos podem ser
gráficos e envolvem a utilização de recursos computacionais. O objetivo da estatística
descritiva é tornar as coisas mais fáceis de entender, relatar e discutir.
Indutiva (ou inferencial): parte de uma ou mais amostras (subconjuntos da população) e
conclui sobre a população. Utiliza técnicas como a teoria das probabilidades, inferência
estatística, amostragem.
Com maior freqüência utilizamos o estudo da amostra do que da população, não só por
serem menos dispendiosas e consumirem menos tempo no processamento dos dados, mas
também porque muitas vezes não dispomos de todos os elementos da população.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
1
Definições:
População: coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas,...) a
serem estudados.
Amostra: subcoleção de elementos extraídos da população.
Censo: coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população.
Amostragem: coleção de dados relativos a elementos de uma amostra.
Exemplo:
População
Amostra
Parâmetro: medida numérica que descreve uma característica de uma população
Estatística: medida numérica que descreve uma característica de uma amostra
1.1 Amostragem
O objetivo da amostragem é permitir fazer inferências sobre uma população após inspeção
de apenas parte dela. Fatores como custo, tempo, ensaios destrutivos e populações
infinitas tornam a amostragem preferível a um estudo completo (censo).
Os principais tipos de amostragem utilizados são os probabilísticos, onde todos os
indivíduos da população têm a mesma chance de serem selecionados. Os planos de
amostragem probabilística são delineados de tal modo que se conhece todas as
combinações amostrais possíveis e suas probabilidades, podendo-se então determinar o
erro amostral.
Os métodos mais comuns de amostragem probabilística são:
•
Amostragem aleatória simples: os elementos de uma população são escolhidos de
tal forma que todos tenham a mesma chance de serem escolhidos. Pode-se utilizar
uma tabela de números aleatórios ou um programa de geração de números
aleatórios.
•
Amostragem estratificada: subdivide-se a população em, no mínimo, dois estratos
(subpopulações) que compartilham a mesma característica e em seguida escolhe-se
uma amostra de cada. Exemplo: homens e mulheres.
•
Amostragem sistemática: escolhe-se um ponto de partida e então,
sistematicamente, selecionam-se os outros. Por exemplo: o 3°, 403°, 803°,
1203°,... indivíduos
Prof. Cíntia Paese Giacomello
2
•
Amostragem por conglomerados: divide-se a população em conglomerados (áreas),
em seguida sorteiam-se algumas áreas e analisam-se todos os elementos dos
conglomerados escolhidos. Por exemplo: bairros.
Fonte: Triola, Mário. 1999, 11.
Amostragens não probabilísticas são utilizadas quando a população em estudo é muito
pequena ou de difícil obtenção. Neste caso a análise de uma amostra poderia causar
distorções. Uma pessoa familiarizada com a população pode indicar melhor as unidades
amostrais. Este tipo de amostragem não permite avaliar o erro amostral. EX: doença rara.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
3
1.2
Tipos de variáveis
Alguns conjuntos de dados consistem em números, enquanto outros são não numéricos.
Utiliza-se a nomenclatura de dados (ou variáveis) qualitativos e quantitativos.
Variáveis
Quantitativas
Discretas
Qualitativas
Contínuas
Exercícios:
Identifique cada número como discreto ou contínuo
1. Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão
2. O altímetro de um avião da American Airlines indica uma altitude de 21.359 pés
3. Uma pesquisa efetuada com 1015 pessoas indica que 40 delas são assinante de um
serviço de informação on-line.
4. O tempo total gasto anualmente por um motorista de táxi de Nova York ao dar
passagem a pedestres é de 2367 segundos.
Apresente dois exemplos de dados discretos ou contínuos de sua empresa / pesquisa.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
4
2 Séries estatístic as
Consiste no agrupamento dos dados estatísticos em tabelas.
Em qualquer série estatística são observados três elementos fundamentais:
•
O fato, isto é, o que está sendo observado
•
O espaço geográfico
•
A época
Estes elementos criam classificações para as séries: específicas, temporais ou geográficas.
Séries temporais (ou históricas)
Os dados estão reunidos de acordo com o tempo, que varia. Os outros dois fatores - local
e fato - permanecem inalterados.
Séries geográficas
Os dados estão reunidos de acordo com o local, que varia. Os outros dois fatores - fato e
data - permanecem inalterados.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
5
Séries específicas
Os dados estão reunidos de acordo com o evento, que varia. Os outros dois fatores - local
e data - permanecem inalterados.
As séries podem ainda apresentar-se sob a forma mista, resultante da combinação dos
fatores.
3 Gráficos
Os gráficos consistem em uma forma de apresentação dos dados, usualmente utilizada
pois facilita a interpretação dos resultados.
São elementos complementares de um gráfico:
•
Título geral, época e local
•
Escalas e respectivas unidades de medida
•
Indicação das convenções adotadas (legenda)
•
Fonte de informação dos dados
Prof. Cíntia Paese Giacomello
6
Principais tipos de gráficos: (Fonte: Site da Microsoft – www.microsoft.com.br)
Colunas
Um gráfico de colunas mostra as alterações
de dados em um período de tempo ou
ilustra comparações entre itens. As
categorias são organizadas na horizontal e
os valores são distribuídos na vertical, para
enfatizar as variações ao longo do tempo.
Gráficos de colunas empilhadas mostram o relacionamento de itens individuais com o todo
. O gráfico de colunas em perspectiva 3D
compara pontos de dados ao longo dos dois
eixos.
Vendas por local
Nesse gráfico 3D, você pode comparar o
desempenho das vendas de quatro
trimestres na Europa com o desempenho de
outras duas divisões.
Barras
Um gráfico de barras ilustra comparações
entre itens individuais. As categorias são
organizadas na vertical e os valores na
horizontal para enfocar valores de
comparação.
Vendas por produto
Gráficos de barras empilhadas mostram o
relacionamento de itens individuais com o
todo.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
7
Linha
Valor de venda do produto X
Um gráfico de linhas mostra
tendências nos dados em
intervalos iguais.
A união dos pontos faz sentido
pois a variável é contínua.
Meses usualmente são
tratados como variáveis
contínuas
Pizza
Um gráfico de pizza mostra o tamanho
proporcional de itens que constituem uma série
de dados para a soma dos itens. Ele sempre
mostra somente uma única série de dados, sendo
útil quando você deseja dar ênfase a um
elemento importante.
Totaliza a informação (100%). Cada faixa do
gráfico é proporcional à informação.
Para facilitar a visualização de fatias pequenas, você pode
agrupá-las em um único item do gráfico de pizza e
subdividir esse item em um gráfico de pizza ou de barras
menor, ao lado do gráfico principal.
Diagrama de Dispersão (Dispersão XY)
Um gráfico xy (dispersão) mostra a
relação existente entre os valores
numéricos em várias séries de dados ou
plota dois grupos de números como uma
série de coordenadas xy. Esse gráfico
mostra intervalos irregulares ou clusters
de dados e é usado geralmente para
dados científicos.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Relação entre tempo e temperatura
8
Histograma
Apresenta as classes ao longo do eixo
horizontal e as freqüências (absolutas ou
relativas) ao longo do eixo vertical. As
fronteiras das “barras” coincidem com os
pontos extremos dos intervalos de classe.
Distribuição da quantidade produzida
% das árvores
É um gráfico de colunas, porém utilizado
para apresentar distribuições de
freqüências.
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
3a8
8 a 13 13 a 18 18 a 23 23 a 28 28 a 33
Safras (alq.)
Área
Um gráfico de área enfatiza a
dimensão das mudanças ao longo do
tempo. Exibindo a soma dos valores
plotados, o gráfico de área mostra
também o relacionamento das partes
com um todo.
Nesse exemplo, o gráfico de área
enfatiza o aumento das vendas em
Washington e ilustra a contribuição
de cada estado para o total das
vendas.
Superfície
Um gráfico de superfície é útil quando
você deseja localizar combinações
vantajosas entre dois conjuntos de dados.
Como em um mapa topográfico, as cores e
os padrões indicam áreas que estão no
mesmo intervalo de valores.
Esse gráfico mostra as várias combinações
de temperatura e tempo que resultam na
mesma medida de resistência à tração.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
9
Radar
Um gráfico de radar compara os
valores agregados de várias séries de
dados.
Nesse gráfico, a série de dados que
cobre a maior parte da área, Marca A,
representa a marca com o maior
conteúdo de vitamina.
Ações
O gráfico de alta-baixa-fechamento é usado muitas vezes para ilustrar preços de ações.
Esse gráfico também pode ser usado com dados científicos para, por exemplo, indicar
mudanças de temperatura. Você deve organizar seus dados na ordem correta para criar
esse e outros gráficos de ações.
Um gráfico de ações que mede o volume tem dois eixos de valores: um para as colunas,
que medem o volume, e outro para os preços das ações. Você pode incluir volume em um
gráfico de alta-baixa-fechamento ou de abertura-alta-baixa-fechamento.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
10
Bolhas
Um gráfico de bolhas é um tipo de gráfico xy (dispersão). O tamanho do marcador de
dados indica o valor de uma terceira variável.
Para organizar seus dados, coloque os valores de x em uma linha ou coluna e insira os
valores de y e os tamanhos das bolhas correspondentes nas linhas ou colunas adjacentes.
O gráfico nesse exemplo mostra que a Empresa A tem a maioria dos produtos e a maior
fatia do mercado, mas não necessariamente as melhores vendas.
Cone, cilindro e pirâmide
Os marcadores de dados em forma de cone, cilindro e pirâmide podem dar um efeito
especial aos gráficos de colunas e de barras 3D.
Rosca
Como um gráfico de pizza, o gráfico de
rosca mostra o relacionamento das partes
com o todo, mas pode conter mais de uma
série de dados. Cada anel do gráfico de
rosca representa uma série de dados.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
11
4 Distribuições de freqüências
Distribuição de freqüência é uma tabela resumida na qual os dados são organizados em
grupos de classe ou categorias convenientemente estabelecidas e numericamente
ordenadas.
As distribuições de freqüências são series heterógrafas, isto é, séries na qual o fenômeno
ou fato apresenta graduações ou subdivisões. Embora fixo, o fenômeno varia de
intensidade.
Nas distribuições de freqüência, os dados são agrupados segundo um critério de
magnitude, em classe ou pontos, permanecendo constante o fato, local e tempo, de tal
forma que se possa determinar a percentagem ou número, de cada classe. É um tipo de
apresentação que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências ou repetições
de seus valores.
A construção da distribuição de freqüência depende do tipo de dado com os quais se está
lidando: contínuos ou discretos.
4.1 Construção de distribuição de freqüência para dados contínuos
Os principais estágios são:
1. Estabelecer a quantidade de classes ou intervalos de grupamento dos dados. O
número de classes deve variar entre 5 e 15. Aconselha-se utilizar
número de observações.
n onde n é o
2. Determinar a amplitude das classes. Aconselha-se fazer amplitude / n o de classes.
(OBS: amplitude = maior valor – menor valor)
3. Enquadrar os dados nas classes, mediante contagem e apresentar os resultados em
uma tabela ou gráfico
Exemplo:
Os dados a seguir representam o tempo (em minutos) que 45 operadores de máquina
demoraram para fazer o setup de uma máquina.
6,5
6,4
9,7
7,9
7,9
4,0
5,0
4,4
6,0
6,4
7,1
8,5
7,0
8,2
7,4
8,3
5,7
6,3
10,4
7,0
1 – Número de classes 45 valores 5,4
7,7
8,3
9,9
13,0
7,6
7,2
6,9
3,9
8,7
9,0
12,4
5,7
9,8
6,4
15,7
7,1
7,6
8,2
6,7
16,7
5,5
7,9
5,6
7,4
45 =6,7 ≅ 7 classes
2 – Amplitude das classes 16,7 – 3,9 = 12,8 (Maior valor = 16,7; Menor valor =
3,9). Logo, tem-se a amplitude das classes 12,8 / 7 = 1,83 ≅ 2
Prof. Cíntia Paese Giacomello
12
3 – Escrever as classes e contar os valores
Tempo
(minutos)
Número de
operadores
% de
operadores
3 –| 5
4
8,9%
5 –| 7
15
33,3%
7 –| 9
18
40,0%
9 –| 11
4
8,9%
11 –| 13
2
4,4%
13 –| 15
0
0,0%
15 –| 17
2
4,4%
Total
45
100%
3 –| 5 equivale a 3 < x ≤ 5
Ou seja, são contados no
intervalo todos os valores
superiores a 3 e inferiores ou
iguais a 5.
A freqüência absoluta (f i ) corresponde ao número de operadores
A freqüência relativa (f ri ) corresponde ao percentual de operadores
4.2 Gráficos das distribuições de freqüência
Histograma de freqüências
Número de operadores
Análise dos tempos para fazer o setup da máquina
20
18
16
14
12
10
8
6
18
15
4
4
4
2
0
2
2
0
3 –| 5
5 –| 7
7 –| 9
9 –| 11
11 –| 13
13 –| 15
15 –| 17
Tempo (minutos)
Uma alternativa ao histograma de freqüências é o polígono de freqüências, construído
mediante a conexão dos pontos médios dos intervalos do histograma, com linhas retas.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
13
Análise dos tempos para fazer o setup da máquina
Número de operadores
20
18
18
16
14
12
15
10
8
6
4
4
4
2
0
2
3 –| 5
5 –| 7
7 –| 9
2
0
9 –| 11 11 –| 13 13 –| 15 15 –| 17
Tempo (minutos)
OBS: uma vez que a área do polígono deve ser 100%, deve-se ligar o primeiro e o último
pontos médios com o eixo horizontal, de modo a cercar a área da distribuição observada.
Exercícios:
1. A tabela de dados representa o peso de 30 sacos de arroz da marca A selecionados
aleatoriamente em um supermercado. Construa a distribuição de freqüências e
apresente em um gráfico. (para facilitar os dados já estão ordenados)
922
930
936
950
954
954
958
965
968
974
977
979
987
989 1001 1006 1008 1010 1013 1017
1018 1034 1034 1035 1042 1044 1044 1048 1070 1116
2. Construa a distribuição de freqüência e o polígono de freqüências.
6,2
9,0
12,2
14,7
7,9
9,8
8,0
13,3
13,3
8,9
8,8
8,3
11,8
11,8
14,7
8,5
7,7
11,4
11,2
10,6
Prof. Cíntia Paese Giacomello
14
4.3 Construção de distribuição de freqüência para dados discretos
Na construção de uma distribuição de freqüência utilizando dados contínuos, perde-se
certa quantidade de informação porque os valores individuais perdem sua identidade
quando são agrupados em classes. Isso pode ou não ocorrer com dados discretos,
dependendo da natureza dos dados e os objetivos do analista.
Consideremos os seguintes dados relativos ao número de acidentes diários em um grande
estacionamento, durante o período de 50 dias.
1
6
3
6
2
4
5
3
7
9
5
4
5
3
4
5
6
0
8
4
4
1
9
5
7
5
5
4
5
8
4
5
3
2
6
7
4
3
1
4
0
0
5
4
2
6
6
2
8
7
Note que os dados estão entre 0 e 9.
Podemos construir uma distribuição de freqüência sem perda dos valores originais,
utilizando os próprios valores.
Freqüência
dias
% dos
dias
0
3
0,06
1
3
0,06
12
2
4
0,08
10
3
5
0,10
4
10
0,20
5
10
0,20
6
6
0,12
7
4
0,08
8
3
0,06
9
2
0,04
50
1,00
Número de dias
Classe
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Não houve perda de informação, ou seja, poderíamos construir a tabela original a partir da
distribuição de freqüências.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
15
Por outro lado, poderíamos usar como classes 0-1, 2-3, 4-5, 6-7 e 8-9.
Freqüência
dias
% dos
dias
0-1
6
0,12
2-3
9
0,18
4-5
20
0,40
6-7
10
0,20
8-9
5
0,10
50
1,00
25
Número de dias
Classe
20
15
10
5
0
0-1
2-3
4-5
6-7
8-9
De modo geral prefere-se uma distribuição de freqüência sem perda de informação
quando:
•
Os dados são constituídos de valores inteiros.
•
Há menos de, digamos, 16 classes.
•
Há suficientes observações para originar uma distribuição significativa
Por outro lado, prefere-se uma distribuição de freqüência com perda da informação
quando:
•
Estão em jogo inteiros e não inteiros
•
Só existem inteiros, porém em número muito alto para permitir uma distribuição
útil.
•
A perda da informação é de importância secundária (por exemplo, o
arredondamento do peso de um caminhão ou da renda anual para a unidade mais
próxima)
Prof. Cíntia Paese Giacomello
16
4.4 Construção de uma distribuição de freqüência acumulada
Uma distribuição de freqüência acumulada tem por objetivo indicar o número ou
percentual de itens menores do que, ou iguais a , determinado valor.
No caso dos acidentes podemos construir distribuições acumuladas para a distribuição com
e sem perda da informação.
Sem perda da informação
Freqüências
Classe
N° dias
% dias
0
3
0,06
0,06
1
3
0,06
0,12
2
4
0,08
0,20
3
5
0,10
0,30
4
10
0,20
0,50
5
10
0,20
0,70
6
6
0,12
0,82
7
4
0,08
0,90
8
3
0,06
0,96
9
2
0,04
1,00
50
1,00
Classe
N° dias
% dias
0-1
6
0,12
0,12
2-3
9
0,18
0,30
4-5
20
0,40
0,70
6-7
10
0,20
0,90
8-9
5
0,10
1,00
50
1,00
acumuladas
Com perda da informação
Freqüências
acumuladas
Podemos, pela primeira tabela, concluir que 90% dos dados correspondem a valores
menores ou iguais a 7. ou seja, Em 90% dos dias o número de acidentes não excede 7.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
17
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0-1
2-3
4-5
6-7
8-9
% dos dias
Os polígonos de freqüências acumuladas são também chamados de ogivas.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
N. acidentes
4.5 Distribuições de freqüência para dados nominais e por postos
As distribuições de freqüências para dados nominais se assemelham às distribuições de
freqüência normais, porém apresentam as categorias em lugar das classes.
Por exemplo:
Vendas
absolutas
Vendas
relativas
Limão
600
0,375
Laranja
400
0,250
Melão
300
0,188
Melancia
200
0,125
Abacaxi
100
0,063
Total
1600
1,000
Usa-se o gráfico de barras ou colunas para representar dados nominais.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
18
4.6 Gráficos para distribuições de freqüência
A distribuição de freqüência é muitas vezes utilizada para determinar o formato da
distribuição. A distribuição dos dados pode ser simétrica ou não.
Distribuições discretas
Assimétrica à direita
Simétrica
Assimétrica à esquerda
Exercício:
Construa a distribuição de freqüência e desenhe o histograma dos dados a seguir. Qual é
o formato da distribuição?
20,7
18,5
23,3
18,9
28,3
18,7
21,3
25,3
26,6
20,3
Prof. Cíntia Paese Giacomello
26,2
19,3
20,4
22,4
21,7
21,7
18,3
18,3
18,9
18,2
18,8
25,1
24,0
22,6
20,3
20,6
18,8
21,2
21,4
19,2
20,7
24,3
19,4
27,0
24,7
20,2
28,4
20,6
23,6
18,4
19
5 Medidas de ten dência central
As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a representar
melhor um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a
moda.
5.1 Média
5.1.1 Média aritmética
A média aritmética é o resultado da divisão da soma de todos os valores da amostra pela
quantidade total de valores.
n
∑x
x=
i =1
n
i
ou simplesmente x =
∑x
n
n
OBS: x lê-se X barra e significa média.
∑x
i
lê-se somatório de x i , i variando de 1 a n.
i =1
n
∑x
i
= x1 + x 2 + ... + x n
i =1
Se um estudante faz quatro provas, obtendo as notas 70, 60, 80 e 75, sua média é: 71,25.
Algumas propriedades da média
•
A média de um conjunto de dados pode ser sempre calculada.
•
Para um dado conjunto de números, a média é única.
•
A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto, assim, se um
número se modifica, a média também se modifica.
•
Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do
valor constante. Analogamente, extraindo-se um valor constante de cada valor do
conjunto, a média também ficará diminuída desse valor.
•
A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
20
5.1.2 Média ponderada
A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a
mesma importância. A média ponderada considera que as informações não tem a mesma
importância, ou seja, devem ser levados em conta o peso das informações.
n
∑w x
i
i
i =1
n
Média ponderada =
∑w
i
i =1
Onde w i é o peso da observação de ordem i.
Consideremos que um professor informe a classe de que haverá dois exames parciais,
valendo cada um 30% da nota e um exame final valendo 40%. Um aluno obtém
desempenho 70 na primeira avaliação, 65 na segunda e 80 no exame final.
n
∑wx
i
Média ponderada =
i
i =1
n
∑w
=
70x 0,30 + 65x 0,30 + 80x 0,40
= 72,50
1,00
i
i =1
5.1.3 Média geométrica
A média geométrica é utilizada quando se deseja fazer a média de taxas de juro, por
exemplo. Neste caso, multiplicam-se os n termos e em seguida extraí-se a raiz de ordem
n.
A média geométrica é o resultado da raiz de ordem n do produto de todos os valores da
amostra.
n
Média geométrica =
n
∏x
i
i =1
n
OBS:
∏x
i
= x1x 2 x 3...x n
lê-se produtório de x i , i variando de 1 a n.
i =1
5.1.4 Média harmônica
A média harmônica de um conjunto de n números é a recíproca da média aritmética dos
recíprocos dos números.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
21
Média harmônica =
1
n
1
1
∑
n i −1 xi
=
n
1
∑x
5.1.5 Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica
A média geométrica de um conjunto de números positivos é menor ou igual à sua média
aritmética, mas é maior ou igual à sua média harmônica.
H≤G≤x
Em símbolos:
O sinal de igualdade vale somente quando todos os números forem iguais.
Exemplo: o conjunto 2,4 e 8 tem média aritmética 4,67, média geométrica 4 e média
harmônica 3,43.
5.1.6 Cálculo da média para uma distribuição de freqüência
A média de uma distribuição de freqüência é calculada com base valor e na freqüência de
cada classe.
x =
∑ fx
i
i
n
Onde f i é a freqüência da classe i.
Para dados com perda da informação, utiliza-se em lugar de x i o ponto médio do intervalo.
Exemplo:
Classe
Ponto médio
(x i )
N° dias (f i )
f i xi
0-1
0,5
6
3,0
2-3
2,5
9
22,5
4-5
4,5
20
90,0
6-7
6,5
10
65,0
8-9
8,5
5
42,5
n = 50
223
Prof. Cíntia Paese Giacomello
x=
∑ fx
i
n
i
=
223
= 4,46
50
22
Classe (x i )
N° dias (f i )
f i xi
0
3
0
1
3
3
2
4
8
3
5
15
4
10
40
5
10
50
6
6
36
7
4
28
8
3
24
9
2
18
50
222
x =
∑ fx
i
n
i
=
222
= 4,44
50
Se fizéssemos a média a partir da tabela original obteríamos o valor de 4,44.
5.2 Mediana
A principal característica da mediana é dividir o conjunto de números em dois grupos
iguais: a metade terá valores inferiores ou iguais à mediana e a metade terá valores
superiores ou iguais à mediana.
Para calcular a mediana inicia-se ordenando os valores em ordem crescente. Em seguida
conta-se até a metade deles. Em geral a mediana ocupa a posição (n+1)/2.
Para número ímpar de valores a mediana é o valor do meio. Para amostras com número
par de unidades, a mediana é a média dos dois valores centrais.
Exemplos:
Amostra
Número de elementos
Dados ordenados
Mediana
2 3 34 25 14 5
9 elementos ímpar
1 2 23 3 4 45 5
3
2 4 31 73 89 24
10 elementos par
1 2 23 34 47 89
3,5
3 4 23 15 32
6 7 32 52 36 21
Prof. Cíntia Paese Giacomello
23
Uma medida semelhante à mediana é o quartil. Os quartis dividem o conjunto ordenado de
dados em quatro grupos iguais. 25% dos valores são inferiores ao primeiro quarti (Q 1 ),
25% estão entre Q 1 e a mediana, 25% estão entre a mediana e o terceiro quartil (Q 3 ).
OBS: o segundo quartil corresponde à mediana (Q 2 =mediana).
LI
Q1
Q 2 =mediana
Q3
LI = Limite inferior
LS
LS=Limite superior
5.2.1 Cálculo da mediana para uma distribuição de freqüência
Da mesma forma que para dados apresentados em série, a mediana é o ponto que divide
as informações ao meio.
A mediana pode ser obtida por interpolação, e é dada pela fórmula.
n

 − ( ∑ f )1 
 c
Mediana = L1 +  2
 f mediana 




onde: L 1 = limite inferior da classe mediana, isso é, da classe que contém a mediana
n = número de itens dos dados (freqüência total)
( Σ f) 1 =soma de todas as freqüências das classes anteriores à mediana
f mediana = freqüência da classe mediana
c = amplitude do intervalo da classe mediana
Exemplo:
No caso dos acidentes, temos 50 observações, logo a mediana deve estar localizada na
posição (50+1)/2 = 25,5, ou seja, a classe que contém a mediana é a classe 4-5.
O limite inferior da classe mediana é 4. Antes da classe mediana (( Σ f) 1 ) haviam “passado”
15 dados. A classe mediana contém 20 observações e a amplitude da classe mediana é 1.
Então
 50

− 15 

 x1 = 4 + 0,5 = 4,5
Mediana = 4 +  2
 20 




Prof. Cíntia Paese Giacomello
24
5.3 Moda
A moda é o valor que aparece com maior freqüência na amostra. Um conjunto de dados
pode não apresentar moda, apresentar uma moda, duas modas (bimodal), três modas
(trimodal) ou mais modas (polimodal).
Exemplo:
A moda do conjunto 2 3 4 3 2 3 5 1 2 é 3, pois o três é o valor que mais vezes aparece.
5.3.1 Cálculo da moda para uma distribuição de freqüência
Quando não há perda da informação, a moda é idêntica ao valor da classe modal, que é a
classe com maior freqüência.
Quando há perda da informação, a moda representa o(s) valor(es) de X
correspondente(m) ao(s) ponto(s) de ordenada(s) máxima(s) da curva e pode ser
calculada pela fórmula:

∆1
Moda = L 1 + 
 ∆1 + ∆ 2

 c

onde: L 1 =limite inferior da classe modal (isto é, a classe que contém a moda)
∆ 1 =excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente anterior
∆ 2 = excesso da freqüência modal sobre a da classe imediatamente posterior
c = amplitude da classe modal
Exemplo:
No caso dos acidentes....
Classe
N° dias (f i )
0-1
6
2-3
9
4-5
20
6-7
10
8-9
5
Classe modal
n = 50
 11 
Moda = 4 + 
1 = 4 + 0 ,52 = 4 ,52
 11 + 10 
Prof. Cíntia Paese Giacomello
25
A distribuição pode ter mais de uma moda, sendo bimodal ou de modas múltiplas. OBS: as
duas modas não precisam, necessariamente, ter a mesma freqüência. Isso acontece
quando há um deslocamento da distribuição.
Moda
Classe modal
Classes modais
Classes modais
5.4 Relação entre as medidas de tendência central
Para as curvas de freqüência unimodal moderadamente inclinadas (assimétricas) vigora a
relação empírica
Média – Moda = 3 (Média – Mediana)
Moda
Moda
Mediana
Moda
Mediana
Mediana
Média
Média
Média
Exercícios:
1. Para os seguintes conjuntos de dados, determine os valores da média aritmética,
média geométrica, média harmônica, mediana e moda.
a)
12
15
16
15
12
15
15
b)
2
6
3
6
3
3
4
c)
2
8
3
10
2
1
6
d)
38
38
70
92
22
17
Prof. Cíntia Paese Giacomello
5
7
14
9
4
3
26
2. Determine Q 1 , Q 2 e Q 3 nos conjuntos de dados que seguem:
a)
15
15
4
7
16
16
4
11
7
8
19
7
6
12
17
16
9
20
16
14
3
12
4
9
8
3
16
4
b)
12
4
7
4
9
11
12
5
8
9
4
3. Qual seria o efeito sobre a média de um conjunto de dados se se adicionasse 10:
a) a um dos números?
b) a cada um dos números?
4. João possui 5 imóveis localizados nesta cidade. Ele deseja saber qual o valor
médio, por metro quadrado, das suas propriedades. Sabendo que imóveis no centro
valem R$ 450,00/m 2 e imóveis em bairros valem R$ 300,00/m 2 , calcule o valor
médio por m 2 do seu capital.
Apartamento de 80 m 2 no centro
Pavilhão de 450 m 2 no bairro
Casa de 280 m 2 no centro
Apartamento de 120 m 2 no bairro
Casa de 320 m 2 no bairro
Prof. Cíntia Paese Giacomello
27
6 Medidas de vari abilidade
As medidas de variabilidade ou dispersão indicam se os valores estão relativamente
próximos ou não uns dos outros.
Na análise de um conjunto de dados é necessário que sejam observados tanto as
informações relativas à localização (medidas de tendência central) quanto as informações
de dispersão (medidas de variabilidade).
Exemplo:
Pequena variabilidade
Grande variabilidade
Exemplo:
Duas máquinas estão sendo comparadas. A seguir está descrita a produção de cada uma
durante 5 dias.
Média
Produção
Máq 1
10
10
10
10
10
10
Máq 2
5
18
8
3
16
10
Você acha que a programação da produção para as duas máquinas pode ser a mesma
durante 1 semana? Por quê?
Consideraremos quatro medidas de dispersão: amplitude, variância, desvio padrão e
coeficiente de variação. Todas elas, exceto a amplitude, têm na média o ponto de
referência. Em cada caso, o valor zero indica ausência de variação; a dispersão aumenta à
proporção que aumenta o valor da medida (intervalo, variância, etc.).
6.1 Amplitude
Também conhecida como intervalo.
A amplitude de um grupo de dados é, de modo geral, mais simples de calcular e de
entender. Consiste na diferença entre o maior e o menor valor, ou seja, entre os valores
extremos.
Amplitude = X max - X
Prof. Cíntia Paese Giacomello
mín
28
A maior limitação da amplitude é o fato de só levar em conta os valores extremos de um
conjunto, nada informado sobre os outros valores.
Exemplo:
1. Calcule a amplitude dos seguintes conjuntos de dados. Você acha que a dispersão
dos conjuntos é igual?
a)
15
15
12
14
16
16
4
15
b)
5
4
5
4
6
5
16
4
6.2 Variância
Calcula-se a variância de uma amostra elevando-se as diferenças de cada um dos valores
em relação à média, somando-se estas diferenças e dividindo-se por n-1.
s
2
x
∑ (x
=
i
− x)2
n −1
Quando se deseja a variância populacional, deve-se substituir n-1 por n na fórmula.
Usualmente iremos utilizar a variância amostral.
Exemplo:
Cálculo da variância do conjunto de dados 2,4,6,8, e 10.
( xi
− x )2
xi
x
xi − x
2
6
-4
16
4
6
-2
4
6
6
0
0
8
6
2
4
10
6
4
16
0
40
Somas
s
2
x
∑ (x
=
i
− x)2
n −1
=
40
= 10
5 −1
6.3 Desvio padrão
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Assim se a variância é 81, o
desvio padrão será 9.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
29
∑ (x
sx =
i
− x)2
n −1
(
)
2


xi
∑
x
−


∑
n 


n −1
2
i
=
Como anteriormente, a substituição de n-1 por n produz as fórmulas para a população.
A unidade na qual o desvio padrão é expresso é a mesma dos dados originais, ou seja, se
os dados são em Reais, o desvio padrão também vai ser em reais (e a variância em
reais 2 ).
Exemplo:
Cálculo do desvio padrão do conjunto de dados 20, 5, 10, 15 e 25.
Usando a fórmula normal:
( xi
− x )2
xi
x
xi − x
20
15
5
25
5
15
-10
100
10
15
-5
25
15
15
0
0
25
15
10
100
0
250
Somas
sx =
∑ (x
i
− x)2
n −1
=
250
=
5 −1
62,5 = 7,91
Usando a fórmula simplificada:
∑x
∑x
i
2
i
= 20 + 5 + 10 + 15 + 25 = 75
= 202 + 52 + 102 + 152 + 252 = 1375
sx =
(

x
x
−
∑ i
∑

n −1
2
i
)
2

n 
 =
1375 − 75
5 −1
2
5 =
250
= 7,91
5 −1
6.4 Coeficiente de variação
O coeficiente de variação é uma medida de variação útil para comparar conjuntos de
dados diferentes. Ele é usualmente expresso em percentual.
O coeficiente de variação é dado pelo quociente entre o desvio padrão e a média dos
dados.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
30
CV =
Desvio padrão S x
=
Média
X
Exemplo:
Entre os conjuntos de dados a seguir apresentados, qual apresenta maior variabilidade?
Conjunto A
Conjunto B
12
3
25
4
16
5
23
2
Solução:
CVA =
Desvio Padrão A 6,06
=
= 0,3187
MédiaA
19
CVB =
Desvio Padrão B 1,29
=
= 0,3688
MédiaB
3,5
Então o conjunto que possui maior variabilidade é o conjunto B.
Exercícios:
1. O desvio padrão pode ser zero? Explique. Pode ser negativo? Explique.
2. Calcule a média e o desvio padrão para as vendas diárias.
R$ 8100
R$ 9000
R$ 4580
R$ 5600
R$ 7680
R$ 4800
R$ 10640
3. Consideremos os seguintes dados correspondentes a preços de propostas.
26,5
27,5
25,5
26,0
27,0
23,4
25,1
26,2
26,8
Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão, a média, moda, mediana e os
quartis
7 Medidas de a ssi metria e curtose
As medidas de assimetria e curtose indicam qual o formato da distribuição dos dados em
relação à distribuição normal (descrita adiante).
Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição. Ela
retorna a distorção de uma distribuição. O valor enviesado caracteriza o grau de assimetria
de uma distribuição em torno de sua média. Um valor positivo indica uma distribuição com
uma ponta assimétrica que se estende em direção a valores mais positivos. Um valor
Prof. Cíntia Paese Giacomello
31
negativo indica uma distribuição com uma ponta assimétrica que se estende em direção a
valores mais negativos. No excel a função correspondente é distorção .
n
 xi − x 


Assimetria =
∑
(n − 1)(n − 2)
 s 
3
Assimétrica positiva
Simétrica
Assimétrica negativa
a>0
a=0
a<0
A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição e caracteriza uma distribuição em
cume ou plana se comparada à distribuição normal (chamada mesocúrtica). A curtose
positiva indica uma distribuição relativamente em cume (chamada leptocúrtica). A curtose
negativa indica uma distribuição relativamente plana (chamada platicúrtica). A função
correspondente no excel chama-se CURT, e calcula a curtose de um conjunto de dados de,
no máximo, 30 valores.
4

n(n + 1)
3(n − 1) 2
 x i − x  
−


Curtose = 
∑  s   (n − 2)(n − 3)
 (n − 1)(n − 2)(n − 3)

Leptocúrtica
Mesocúrtica
Platicúrtica
c>0
c=0
c<0
Prof. Cíntia Paese Giacomello
32
8 I nt r oduç ão à p robabilid ad e
As origens da probabilidade remontam ao século XVI. As aplicações iniciais referiam-se
quase todas a jogos de azar. Os jogadores aplicavam o conhecimento da teoria das
probabilidades para planejar estratégias de apostas.
Atualmente a utilização das probabilidades ultrapassou de muito o âmbito desses jogos.
Hoje os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das
probabilidades em seus processos diários de deliberações.
Independentemente de qual seja a aplicação em particular, a utilização das probabilidades
indica que existe um elemento de acaso, ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de
um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível afirmar
por antecipação o que ocorrerá, mas é possível dizer o que pode ocorrer.
Há numerosos exemplos de tais situações no campo dos negócios e do governo. A previsão
da procura de um novo produto, o cálculo dos custos da produção, a previsão das safras,
a compra de apólices de seguros, a avaliação da redução de impostos sobre a inflação. As
probabilidades são úteis pois ajudam a desenvolver estratégias.
O ponto central em todas as situações é a possibilidade de quantificar quão provável é
determinado evento.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado
evento. O estudo das probabilidades é importante pois elas são a base para o estudo
estatístico.
8.1 Experimento aleatório
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Características dos experimentos aleatórios:
1. Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições.
2. Não se pode adiantar um resultado particular, mas pode-se descrever todos os
resultados possíveis
3. Se
repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidade em termos de
freqüência de resultados.
Exemplos : lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, aposta na loteria, ....
Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificar não somente que operação ou
procedimento deva ser realizado, mas também o que deverá ser observado. (Note a diferença
entre o 2 o e o 3 o )
•
Joga-se um dado e observa-se o número obtido na face superior.
•
Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número de caras obtido.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
33
•
Joga-se uma moeda 4 vezes e observa-se a seqüência de caras e coroas.
•
Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma
(sem reposição) até que a última defeituosa seja encontrada. Conta-se o
número de peças retiradas.
•
Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gasto até queimar.
•
Lança-se uma moeda até que ocorra uma cara e conta-se então o número de
lançamentos necessários.
•
Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos obtidos.
•
Lançam-se dois dados e anota-se o par obtido.
8.2 Espaço amostral
O espaço amostral (S) de um experimento aleatório é o conjunto de todos os possíveis
resultados do experimento.
n(S) é o número de elementos do conjunto S, ou o número de resultados possíveis.
Exemplo : um experimento é o lançamento de uma moeda. Os possíveis resultados são
cara ou coroa, então, S={cara, coroa}.
Em dois lançamentos de uma moeda, sendo interessante observar a ordem dos resultados,
os possíveis resultados são: 1) cara e cara, 2) cara e coroa, 3) coroa e cara e 4) coroa e
coroa. O espaço amostral é S={(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca) e (Co,Co)}. n(S)=4
8.3 Eventos
Chama-se de evento qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento
aleatório, ou seja, qualquer resultado do espaço amostral.
n(A) é o número de resultados associados ao evento A.
Exemplo : no lançamento de uma moeda S={cara, coroa}. Um evento de interesse A pode
ser “obter cara no lançamento de uma moeda” e n(A)=1.
No lançamento de um dado, o evento de interesse (A) pode ser obter face par e n(A)=3.
8.4 A probabilidade de um evento
Seja A um evento. A probabilidade deste evento ocorrer é dada por P(A), que é um
número entre 0 e 1. Quanto mais próxima a probabilidade estiver de 1, maior será sua
chance de ocorrência. A um evento impossível atribui-se probabilidade 0, enquanto que
um evento certo tem probabilidade 1.
Há três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidades: o método clássico,
quanto o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis. O método empírico, que
Prof. Cíntia Paese Giacomello
34
se baseia na freqüência relativa de ocorrência de um evento num grande número de
provas repetidas e o método subjetivo, que utiliza estimativas pessoais de probabilidade,
baseadas num certo grau de crença. Em geral vamos utilizar o método clássico de cálculo
de probabilidades.
Quando os resultados são equiprováveis, a probabilidade de cada resultado é função do
número de resultados possíveis:
P( A ) =
número de resultados associados ao evento A
número total de resultados possíveis
Exemplo:
Experimento: lançar um dado e observar a face superior
Espaço amostral: S={1,2,3,4,5,6}
n(S)=6
Evento A: face par
n(A)=3
P(A)= 3/6 = ½ = 0,5 ou 50%
OBS: existe uma pequena diferença entre probabilidade e chance de um evento. A probabilidade
relaciona o número de resultados de A com o número de resultados total, enquanto que chance
compara o número de resultados de A com o número de resultados de outro evento (B ou C).
Em uma urna com 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 2 azuis,
A probabilidade de selecionar uma bola branca é P(branca)=5/10=0,5 ou 50%
E a chance de selecionar uma bola branca é 5:5, que é semelhante a 1:1, o que significa que existe a
mesma chance de retirar uma bola branca ou uma bola de outra cor.
Exercícios:
1. Escreva o espaço amostral no lançamento de um dado. Ache a probabilidade
associada a cada evento.
2. Extrai-se uma carta de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade de:
a) um valete
b) uma carta vermelha
c) um dez de paus
d) uma figura
e) uma carta de ouros
f) um nove vermelho
Prof. Cíntia Paese Giacomello
35
3. Complete a tabela com os valores calculados da probabilidade dos eventos
ocorrerem
Experimento
Evento
Lançar uma moeda uma vez
Cara
Lançar um dado uma vez
Extrair uma carta de um baralho com
52 cartas
Extrair uma carta de um baralho de 52
cartas
P(Evento)
Face 3
6 vermelho
Valete de ouros
4. Encontre n(S), n(A) e P(A) no lançamento de dois dados
Experimento: Lançar dois dados e observar a seqüência dos resultados
S={(1,1), (1,2), (1,3),.....,(6,4),(6,5),(6,6)}
N(S)=36
a. A: apareçam faces iguais
b. A: a segunda face é o dobro da primeira
c. A: apareçam somente números ímpares
d. A: apareçam faces iguais ou a segunda face é o quadrado da primeira
e. A: a soma das faces é igual a 7
5. Há 50 bolas numa urna: 20 azuis, 15 vermelhas, 10 pretas e 5 verdes. Misturam-se
as bolas. Determine a probabilidade da bola escolhida ser:
a) Verde
b) Azul
c) Verde ou azul
d) Não-vermelha
e) Vermelha ou verde
f) Amarela
g) Não-amarela
Prof. Cíntia Paese Giacomello
36
6. Um motorista tem uma marca num de seus pneus, e 20% do pneu é visível. Ao
parar, qual a probabilidade da marca ficar na parte visível?
7. Um motor tem 6 velas, e uma está defeituosa, devendo ser substituída. Duas estão
em posição de difícil acesso, o que torna difícil a substituição.
a) Qual a probabilidade de a vela defeituosa estar em posição difícil?
b) Qual a de não estar em posição difícil?
8. Os dados compilados pela gerência de um supermercado indicam que 915 dentre
1500 clientes compradores de domingo gastam mais de R$ 40,00 em suas compras.
Estime a probabilidade de um comprador em qualquer domingo gastar mais de R$
40,00.
9. Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de
uma rodovia federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação
rotineira de segurança, 25 tinham pneus em más condições. Estime a probabilidade
de um carro que pare naquele trecho ter seus pneus em boas condições
8.5 Cálculo das probabilidades
Muitas aplicações da estatística exigem a determinação da probabilidade de combinações
dos eventos. Há duas características de combinações. Pode ser necessário determinar a
probabilidade de ambos os eventos acontecerem P(A e B) ou a probabilidade de um deles,
A ou B, ou seja, P(A ou B).
Em um prédio com 2 elevadores, poderíamos perguntar: Qual a probabilidade de ambos
elevadores estarem em serviço? Ou então, Qual a probabilidade de um ou outro elevador
estar em serviço?
Ambos implica P(A e B)
Um ou outro implica P(A ou B)
Prof. Cíntia Paese Giacomello
37
Regra da adição:
A regra da adição leva em conta a ocorrência do evento A ou do evento B ou de ambos os
eventos e é denotada por P(A∪B).
A
B
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Quando os eventos são mutuamente excludentes (não tem elementos em comum), então a
probabilidade de ambos é nula e o termo P(A e B) será zero.
Se A e B são mutuamente excludentes P(A ou B) = P(A) + P(B)
OBS: Para apresentar os eventos utilizam-se os Diagramas de Venn [apresentados por John Venn
(1834-1923)], que representam os espaços amostrais e os eventos como círculos, quadrados, ou outra
figura geométrica conveniente.
Exercícios:
1. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso.
Qual a probabilidade do número ser par ou maior que 4?
2. Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso.
Qual a probabilidade do número ser um número primo ou maior que 8?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
38
Regra da multiplicação
Considerando-se dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de A e
B ocorrerem P(A∩B) é dada por:
A
B
A probabilidade de A e B é igual à probabilidade de A, dado B, vezes
a probabilidade de B.
P(A e B) = P(A|B) P(B)
Onde P(A|B) é a probabilidade de A ocorrer dado que B tenha ocorrido.
Quando a probabilidade de B ocorrer não depender de A ter ocorrido, dizemos que A e B
são independentes, e P(B| A)=P(B)
Se A e B são independentes P(A e B)=P(A)P(B)
Exemplo 1: Deve-se inspecionar uma grande caixa de peças. Os registros indicam que 2%
das caixas acusam conteúdo inferior ao estipulado. Escolhidas duas caixas aleatoriamente,
qual a probabilidade de ambas acusarem conteúdo inferior, admitindo-se que a remessa
inspecionada é semelhante as anteriores (isto é, 2% de deficientes)?
P(ambas deficientes)=P(deficiente)P(deficiente)
=0,02 x 0,02
=0,0004 ou seja, 0,04% de probabilidade das caixas serem defeituosas.
Exemplo 2: Suponha que 20 canetas estão expostas numa papelaria. Seis são vermelhas e
14 azuis. Do conjunto de 20, iremos escolher 2 canetas aleatoriamente. Qual a
probabilidade de que as duas canetas selecionadas sejam vermelhas?
Neste caso os eventos não são independentes, pois a cor da primeira caneta
selecionada vai determinar a probabilidade da segunda caneta ser vermelha.
Seja
A=a segunda caneta selecionada é vermelha
B=a primeira caneta selecionada é vermelha
 5  6   30 
  = 
 = 0,0789
 19  20   380 
Desejamos P(A e B) = P(A|B) P(B) = 
Prof. Cíntia Paese Giacomello
39
Regras de probabilidade
P(A ou B), Para eventos não mutuamente excludentes:
P(A ou B ou ambos) = P(A) + P(B) – P(A e B)
para eventos mutuamente excludentes:
P(A ou B) = P(A) + P(B)
para eventos independentes:
P(A e B),
P(A e B) = P(A) . P(B)
Para eventos dependentes
P(A e B) = P(B).P(A/B) ou P(A).P(B/A)
Outra forma de apresentar os eventos é através de tabelas de contingência (tabelas com
cruzamento de classificações).
Por exemplo:
Vermelha
Preta
Totais
Ás
2
2
4
Não ás
24
24
48
Totais
26
26
52
Exercícios
1. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, sem
reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azul e a segunda
vermelha.
2. Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4 azuis. Em duas bolas consecutivas, com
reposição, determine a probabilidade de retirar a primeira azul e a segunda
vermelha.
3. Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Retira-se uma peça e inspecionase. Qual a probabilidade:
a. Da peça ser defeituosa
b. Dela não ser defeituosa
Prof. Cíntia Paese Giacomello
40
4. Uma loja dispõe de pneus novos e recapados. Entre 100 pneus, sabe-se que 30 são
recapados.
a. Se um cliente levar um pneu, qual a probabilidade de que ele seja recapado?
b. Se um cliente levar dois pneus, qual a probabilidade de que ambos sejam
recapados?
c. Se um cliente levar 4 pneus, qual a probabilidade de que todos sejam
recapados?
5. Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de que se obtenha face 6 nos 3
lançamentos.
6. Uma urna contém 50 bolas numeradas de 1 a 50. Serão selecionadas 5 bolas, sem
reposição. Qual a probabilidade de que uma pessoa que tenha feito um jogo
anotando os 5 número acerte todos?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
41
7. Nos últimos anos, as empresas de cartões de crédito intensificaram esforços no
sentido de abrir mais contas para alunos de faculdade. Suponha que uma amostra
de 200 alunos em sua faculdade apresentou as seguintes informações em termos
de o aluno possuir cartão de crédito bancário e/ou cartão de crédito de viagem e
entretenimento:
CC de viagem e entretenimento
CC bancário
Totais
Sim
Não
Sim
60
60
120
Não
15
65
80
Totais
75
125
200
a. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o
aluno possua um cartão de crédito bancário?
b. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o
aluno não possua um cartão de crédito bancário?
c. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o
aluno possua um cartão de crédito bancário e um cartão de viagem e
entretenimento?
d. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o
aluno não possua um cartão de crédito bancário nem cartão de viagem e
entretenimento?
e. Se um aluno é selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que o
aluno possua um cartão de crédito bancário ou possua um cartão de viagem
e entretenimento?
f.
Suponha que um aluno possui um cartão de crédito bancário. Qual a
probabilidade de que ele possua um cartão de viagem e entretenimento?
g. Suponha que o aluno não possui um cartão de viagem e entretenimento.
Qual a probabilidade de que ele ou ela possua um cartão de crédito
bancário?
h. Os dois eventos, possuir um cartão de crédito bancário e possuir um cartão
de viagem e entretenimento, são estatisticamente independentes? Explique.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
42
9 Distribuições de probabilidade
O histograma é usado para apresentar
observações extraídas de uma população)
dados
amostrais
(Amostra=conjunto
de
Por exemplo, 50 valores de satisfação dos clientes são interpretados como uma amostra
da satisfação de todos os clientes.
O uso de métodos estatísticos permite que se analise essa amostra e se tire alguma
conclusão sobre a satisfação dos clientes.
Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona um certo valor
da variável em estudo com a sua probabilidade de ocorrência.
Há dois tipos de distribuição de probabilidade
1. Distribuições Contínuas: Quando a variável que está sendo medida é expressa
em uma escala contínua, como por exemplo, o peso de peças produzidas, diâmetro, etc.
2. Distribuições Discretas: Quando a variável que está sendo medida só pode
assumir certos valores, como por exemplo os valores inteiros 0, 1, 2, etc.
No caso de distribuições discretas, a probabilidade que a variável
específico x o é dada por:
P {X = x o } = P(x o )
X
assuma um valor
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de
b
intervalos: P a ≤ x ≤ b = ∫a f ( x ) dx
{
}
Relembrando: uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujos
valores são determinados por fatores de chance.
Uma variável aleatória é considerada discreta se toma valores que podem ser
contados.
Uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor
em determinado intervalo.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
43
Os gráficos a seguir apresentam exemplos de distribuições de probabilidades discreta e
contínua.
Exemplo:
Distribuição de probabilidade para a variável aleatória “número de caras em duas jogadas
de uma moeda”.
Número de
caras
Valor da V.A.
Prob. do
resultado
Número de
caras
Valor da V.A
Prob. do
resultado
Cara
2
½ x ½=¼
0
¼
Cara Coroa
1
½ x ½=¼
1
¼ +¼ =½
Coroa Cara
1
½ x ½=¼
Coroa Coroa
0
½ x ½=¼
2
¼
Resultado
Cara
Soma = 1
Soma = 1
O valor esperado, ou esperança matemática, de uma variável aleatória é E(x), que consiste
no valor esperado para ela, ou seja, o valor médio da variável.
n
E( x ) =
∑px
i
se X é v.a. discreta
i
i =1
ou
∞
E( X) =
∫ x. f(x) dx
se X é v.a. contínua
−∞
E a variância de X é dada por Var( X ) = E( X 2 ) − [E( X )]2 .
O desvio padrão é
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Var ( X)
44
Neste exemplo, o valor esperado é 0 . ¼ + 1 . ½ + 2 . ¼ = 1.
E a variância é Var(X)=E(X 2 )-[E(X)] 2 = E(X 2 ) - 1= (0 2 .¼ + 1 2 .½ + 2 2 .¼) –1 =1,5-1=0,5 E
o desvio padrão = 0,71
Exemplo: um investidor julga que tem 0,4 de probabilidade de ganhar $ 25.000 e 0,6 de
perder $ 15.000. Seu ganho esperado é de:
E(X) = 0,4 (25.000) + 0,6 (-15.000) = $ 1.000.
E a variância é Var(X)=E(X 2 )-[E(X)] 2
= E(X 2 ) – 1.000 2
=(0,4.25.000 2 + 0,6.(-15.000) 2 )-1.000 2
=(0,4 x 625.000.000 + 0,6 x 225.000.000)-1.000 2
= 250.000.000+ 135.000.000 –1.000 2
= 385.000.000 –1.000.000
= 384.000.000
Desvio padrão = $ 19.595,92
Exercícios:
1. O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas
probabilidades para um intervalo de 3 minutos são:
Número de chamadas
0
1
2
3
4
5
Total
Freqüência relativa
0,60
0,20
0,10
0,04
0,03
0,03
1,00
Em média, quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de três minutos?
2. Um bilhete de loteria tem 0,00001 de chance de dar um prêmio de $ 100.000,
0,00002 de chance de dar um prêmio de $ 50.000 e 0,004 de chance de um prêmio
de $ 25. Qual seria o preço justo de venda do bilhete?
3. Uma confeitaria estabeleceu um registro de vendas para certo tipo de bolo.
Determine o número esperado de bolos encomendados.
N ° bolos/dia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Total
Freqüência relativa
0,02
0,07
0,09
0,12
0,20
0,20
0,18
0,10
0,01
0,01
1,00
Prof. Cíntia Paese Giacomello
45
9.1.1 Distribuições discretas mais importantes
As principais distribuições discretas são a Distribuição de Bernoulli, Distribuição
Binomial e Distribuição Poisson.
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli consiste em uma distribuição adequada à variável aleatória de
Bernoulli, que por sua vez é uma v.a. que assume apenas os valores 0 e 1, com função de
probabilidade tal que:
P(0) = P(X=0) = 1- p
P(1) = P(X=1) = p
Então, E(X)= p e Var(X)= p (1- p )
Distribuição Binomial
Seja um processo composto de uma seqüência de observações independentes, onde o
resultado de cada observação pode ser um sucesso ou uma falha.
Se a probabilidade de sucesso é constante e igual a p, a distribuição do número de
sucessos seguirá o modelo Binomial.
A distribuição Binomial é usada com freqüência no controle de qualidade. É o modelo
apropriado quando a amostragem é feita sobre uma população infinita ou muito grande.
A distribuição binomial possui quatro propriedades essenciais:
1. As observações possíveis podem ser obtidas através de dois diferentes
métodos de amostragem. Cada observação pode ser considerada como se
tivesse sido selecionada a partir de uma população infinita sem reposição ou
a partir de uma população finita com reposição.
2. Cada observação pode ser classificada em uma de duas categorias
mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, usualmente chamadas
sucesso ou falha.
3. A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso ( p ) é
constante de observação para observação. Assim sendo, a probabilidade de
fracasso 1-p também é constante.
4. O resultado (isto é, sucesso ou fracasso) de qualquer observação
independe do resultado de qualquer outra observação.
Em aplicações de controle da qualidade, x em geral representa o número de defeituosos
observados em uma amostra de n itens.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
46
n
P ( x ) =   p x (1 − p ) n − x
x
onde
e
n
n!
  =
x ! ( n − x )!
x
n
  representa o número de combinações de n objetos tomados x de cada vez
x
P(X) = probabilidade de X sucessos uma vez que n e p são conhecidos
n = tamanho da amostra
p = probabilidade de sucesso
1-p = probabilidade de falha
X = número de sucessos na amostra (X=0, 1, 2, ..., n)
A média de uma variável aleatória com distribuição binomial é
µ = np
dada por σ 2 = np(1-p) onde p é proporção de sucessos na amostra p =
e a variância é
x
n
Exemplo:
Um processo industrial opera com média de 1% de defeituosos. Baseado em amostras de
100 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresentar 0 , 1 , 2 , 3 e 4
defeituosos. Plote a distribuição de probabilidade correspondente.
Como a variável aleatória pode apresentar apenas duas possibilidades, ser boa ou
defeituosa, a distribuição que melhor se ajusta é a distribuição binomial, com
parâmetros p=0,01 e n=100.
Então, a probabilidade de uma amostra de tamanho n = 100 apresentar 0
defeituosos é
n
 100 
 0 ,010 (1 − 0 ,01)100 − 0 = 0,366
P( x ) =  p x (1 − p)n − x P(x=0) = P(0) = 
x
 0 
P(x=1) = P(1) =
100 1
 0,01 (1 − 0,01)100−1 = 0,370
 1 
100 
0,012 (1 − 0,01)100 − 2 = 0,185
P(x=2) = P(2) = 
 2 
100 
0,01 (1 − 0,01)
P(x=3) = P(3) = 
 3 
3
100 − 3
= 0,061
100 
0,014 (1 − 0,01)100 − 4 = 0,015
P(x=4) = P(4) = 
 4 
Prof. Cíntia Paese Giacomello
47
0,4
P(x)
0,3
0,2
0,1
0
x=0
x=1
x=2
x=3
x=4
Exercícios:
1. Um processo opera segundo uma chance de falha de 2%. Coletando amostras de 25
unidades, qual a probabilidade de uma amostra selecionada apresentar 2
defeituosos ou menos.
2. Imagine que para o processo anterior, fossem coletadas amostras de 50 unidades e
o critério para parar o processo e procurar causas especiais fosse X=1 ou mais.
Calcule a percentagem de vezes que o processo seria interrompido logo após a
amostragem.
Distribuição de Poisson
A aplicação típica da distribuição de Poisson no controle da qualidade é como um modelo
para o número de defeitos (não-conformidades) que ocorre por unidade de produto (por
m 2 , por volume ou por tempo)
Diz-se que existe um processo de Poisson se pudermos observar eventos discretos numa
área de oportunidade – um intervalo contínuo (de tempo, de comprimento, de área, ...) de
maneira tal que, se encurtarmos a área de oportunidade ou intervalo suficientemente:
1. A probabilidade de se observar exatamente um sucesso no intervalo é
estável
Prof. Cíntia Paese Giacomello
48
2. A probabilidade de se observar mais de um sucesso no intervalo é zero
3. A ocorrência de um sucesso em qualquer intervalo é estatisticamente
independente da ocorrência em qualquer outro intervalo
A distribuição de Poisson tem um parâmetro λ (lambda) que é a média ou o número
esperado de sucessos por unidade. A variância desta distribuição é σ 2 = λ . O número de
sucessos X da variável aleatória de Poisson varia de 0 a ∞ .
A expressão matemática para a distribuição de Poisson para se obterem X sucessos, dado
que λ sucessos são esperados é:
P( x ) =
onde
e − λ λx
onde x=0,1,2,....
x!
P(X) = probabilidade de X sucessos, dado o conhecimento de λ
λ = número esperado de sucessos
e = constante matemática (aproximadamente 2,71828)
X = número de sucessos por unidade
Exemplo:
Suponha que o número de defeitos no cordão de solda de uma carroceria siga uma
distribuição de Poisson com λ = 2.
Então a probabilidade de uma carroceria apresentar mais de 3 defeitos será:
P(X> 3) = 1 – P(x ≤ 3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)]
Onde P( x ) =
e − λ λx
x!
P(0) =
e −2 2 0
= 0,135
0!
e −2 21
P(x=1) = P(1) =
= 0,271
1!
P(x=2) = P(2) = 0,271
P(x=3) = P(3) = 0,180
Logo,
P(X> 3)
= 1 – P(x ≤ 3) = 1-[ P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)]
= 1 – [0,135+0,271+0,271+0,180]
= 1 – [0,857]
=0,143 14%
A probabilidade de uma carroceria apresentar mais de três defeitos é 14%.
Exemplo 2:
Prof. Cíntia Paese Giacomello
49
Se chegam em média 2 carros por minuto em um posto de gasolina, qual a probabilidade
de que cheguem exatamente 5 carros em dois minutos?
Neste caso o tempo é diferente do tempo correspondente ao λ. Então deve-se transformar
o λ para que ele corresponda ao tempo de 2 minutos. Chegam em média 2 carros por
minuto chegam em média 4 carros em 2 minutos
λ =4
e − λ λx
P( x ) =
x!
e −4 45
P (5) =
= 0,1563 = 15,63%
5!
Exercícios:
1. O setor financeiro de uma loja de departamentos está tentando controlar o número
de erros cometidos na emissão das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o
modelo de Poisson com média λ = 0,03. Qual a probabilidade de uma nota
selecionada ao acaso conter 1 ou mais erros?
2. Em uma indústria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa
de 0,15 defeitos/unidade. Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao
acaso apresente 1 ou mais defeitos superficiais.
3. Em uma empresa industrial ocorrem, em média, 3 acidentes por mês. Qual a
probabilidade de que em um determinado mês, ocorra apenas um acidente?
4. Dez por cento das ferramentas produzidas por um certo processo de fabricação
revelaram-se defeituosas. Determinar a probabilidade de, em uma amostra de 10
ferramentas escolhidas ao acaso, exatamente duas serem defeituosas mediante o
emprego da distribuição de Poisson.
5. Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção
de um determinado soro é 0,001, qual a probabilidade de, entre 2000 indivíduos,
a) exatamente 3 sofrerem aquela reação? b) Mais de 2 sofrerem a reação?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
50
9.1.2 Distribuições contínuas
A distribuição mais importante e mais utilizada na prática é a Distribuição Normal.
Outros modelos importantes de distribuições contínuas são: Uniforme, Exponencial, Gama,
Qui-Quadrado, t de Student e F de Snedecor.
Distribuição Normal
A Distribuição Normal é essencialmente importante na estatística por três razões
principais:
1. Inúmeros fenômenos contínuos parecem seguí-la ou podem ser aproximados por
meio dela
2. Podemos utilizá-la para aproximar várias distribuições de probabilidade discretas
3. Ela oferece a base para a inferência estatística clássica, devido à sua afinidade
com o teorema do limite central
Os parâmetros da distribuição Normal são a média e o desvio padrão. Trata-se de uma
distribuição simétrica, unimodal, em forma de sino.
A função de probabilidade da distribuição normal é dada por:
f ( x) =
onde:
1
σ 2π
exp
−1  x − µ 


2  σ 
2
e = constante matemática (aproximada por 2,71828)
π = constante matemática (aproximada por 3,14159)
µ = média aritmética da população
σ = desvio padrão da população
X = qualquer valor da variável aleatória contínua onde - ∞ < X < ∞
Prof. Cíntia Paese Giacomello
51
99,73%
95,44%
68,26%
µ
-1σ +1σ
-2σ
+2σ
-3σ
+3σ
Para simplificar a notação de uma v.a.c. com distribuição normal, com média µ e variância
2
σ utiliza-se:
X~ N( µ, σ 2 )
A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a probabilidade de X ser menor que
um dado valor a :
a
P( x ≤ a) = F(a) =
∫ f (x)dx
Função densidade acumulada
−∞
Essa integral não pode ser resolvida em forma fechada, mas a solução está apresentada
em tabelas onde se entra com a variável reduzida ou variável padronizada Z e
encontra-se F(Z) ou vice-versa.
a − µ

P( x ≤ a) = P Z ≤
 = F(Z )
σ 

Valor tabelado (Procurar na tabela da distribuição Normal padronizada)
Prof. Cíntia Paese Giacomello
52
Exemplo:
O peso de um produto é uma característica muito importante. Sabe-se que o peso segue
um modelo normal com média 1000 gramas e desvio padrão 40 gramas. Se a especificação
técnica estabelece que o peso deve ser maior que 950 gramas, qual a probabilidade de
que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação?
OBS: este esquema equivale

P(x>950) = P Z >
Tabelado

950 − 1000 
 = P(Z > −1,25) = 0,3944 + 0,5000 = 0,8944
40

X=950 µ =1000
σ =40
Z=-1,25 µ =0
σ =1
A probabilidade de que um pacote selecionado aleatoriamente satisfaça a especificação é
de 89%.
Exemplo 2: Sabe-se que X representa medições feitas em um processo que segue o
modelo Normal com média 100 e desvio padrão 10. Se forem feitas 4000 medições,
quantas estarão entre 95 e 112?
112 − 100 
 95 − 100
<Z<

10
 10

P(95<x<112)= P 
= P(-0,5<Z<1,2)
=0,1915+0,3849
Valores tabelados
µ =100
σ =10
=0,5764 Aproximadamente 58% estarão entre 95 e 112.
Se forem feitas 4000 medições, aproximadamente 2305 estarão entre 95 e 112. (4000 x
57,64%)
Prof. Cíntia Paese Giacomello
53
Exercícios:
1. A resistência à tração do papel usado em sacolas de supermercado é uma
característica de qualidade importante. Sabe-se que essa resistência segue um
modelo Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. Se a especificação
estabelece que a resistência deve ser maior que 35 psi, qual a probabilidade que
uma sacola produzida com este material satisfaça a especificação?
2. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com
média 25,08mm e desvio padrão 0,05mm. Se as especificações para esse eixo são
25,00 ± 0,15mm (isto é, varia de 24,85 a 25,15mm), determine o percentual de
unidades produzidas em conformidades com as especificações.
3. A resistência à tração de isoladores cerâmicos apresenta distribuição Normal com
média 95 Kg e desvio padrão 4 Kg. Se são produzidas 10.000 unidades desses
isoladores, quantos apresentarão resistência inferior a 85 Kg?
E quantos
apresentarão resistência superior a 90 Kg?
4. A saída de uma bateria segue o modelo Normal com média 12,15 V e desvio padrão
0,2 V.
0,5 V.
Encontre o percentual que irá falhar em atender às especificações 12 V ±
Prof. Cíntia Paese Giacomello
54
5. A vida útil de lavadora de pratos automáticas é de 1,5 anos, com desvio padrão 0,3
anos. Se os defeitos se distribuem normalmente, qual é a probabilidade de uma
lavadora necessitar conserto antes de expirar o período de 1 ano de garantia?
6. O tempo necessário, em uma oficina, para o conserto de transmissão para certo
carro é normalmente distribuído com média 45 min e desvio padrão 8 min. O
mecânico planeja começar o conserto do carro 10 min após o cliente deixá-lo na
oficina, comunicando que o carro estará pronto em 1 h. Qual a probabilidade de
que o cliente tenha que esperar caso o mecânico esteja enganado e o cliente fique
esperando?
7. Sabe-se que o conteúdo de uma lata de cerveja é 350 ml e que tem distribuição
aproximadamente normal com média 350 ml e desvio padrão 10 ml.
a. Que % de latas tem menos que 345 ml de conteúdo?
b. Que % de latas tem mais que 360 ml de conteúdo?
8. Uma fábrica de pneus fez um teste para medir o desgaste de pneus e verificou que
ele seguia o comportamento de uma curva normal com média 48.000 km e desvio
padrão de 2.000 km. Calcule a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a. Dure mais que 47.000 km?
b. Dure entre 45.000 e 51.000 km?
c. Até que quilometragem duram 90% dos pneus?
9. Descreva um exemplo de aplicação da distribuição normal na sua profissão. Qual
seria a média dos dados e o desvio padrão?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
55
1 0 T e o r i a e l e m e n t a r d a a m o s t r a g em
A teoria da amostragem é o estudo das relações existentes entre uma população e as
amostras dela extraídas. É muito utilizada para a estimação das grandezas desconhecidas
da população ( parâmetros ) através de conhecimento das grandezas correspondentes nas
amostras ( estatísticas amostrais ).
A teoria da amostragem é também útil para determinar se as diferenças observadas entre
duas amostras são devidas a uma variação casual ou são verdadeiramente significativas.
Por exemplo: queremos testar se os tempos de processamento da matéria prima de dois
sistemas de produção são diferentes ou não. A resposta a esta questão implica o uso de
testes de hipótese, que será visto mais adiante.
Denomina-se inferência estatística a inferência de parâmetros (da população) com base
nos resultados obtidos na amostra.
Para que as conclusões sejam válidas, é necessário que a amostra selecionada seja
representativa da população. Para isso podem ser utilizados os métodos de amostragem
probabilísticos apresentados no capítulo 1: aleatória, sistemática, estratificada ou por
conglomerados. O método mais utilizado é o por amostragem aleatória.
10.1 Amostragem com e sem reposição
Quando selecionamos uma amostra devemos analisar se esta amostragem é com ou sem
reposição. Na amostragem com reposição o mesmo elemento pode ser escolhido mais de
uma vez. Na amostragem sem reposição cada elemento só pode ser selecionado uma única
vez.
Exemplo: uma urna contém dez bolas, numeradas de 0 a 9. Retira-se a primeira bola,
anota-se o número, 3 por exemplo, e não se recoloca a bola na urna. Os outros números
que podem ser sorteados são 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Este sistema é o sistema sem
reposição. Entretanto, se tivéssemos recolocado a bola 3 na urna, então todos os números
poderiam ser selecionados na segunda extração, inclusive o 3. Este sistema é chamado
sistema com reposição.
Em geral, quando uma amostragem é sem reposição, dizemos que a população é finita.
Quando uma amostragem é com reposição, então dizemos que a população é infinita, pois
a população nunca será exaurida. Para fins práticos a amostragem de uma população finita
muito grande pode ser considerada infinita.
10.2 Distribuições amostrais
Consideremos todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser retiradas de uma
população dada (com ou sem reposição). Para cada amostra podemos calcular uma
grandeza estatística, por exemplo, a média. Deste modo obtemos a distribuição amostral
da média. Da mesma forma podemos calcular a distribuição amostral do desvio padrão, da
variância, das proporções, ...
Prof. Cíntia Paese Giacomello
56
Distribuição amostral das médias
Uma distribuição amostral de médias é uma distribuição de probabilidade que indica quão
prováveis são diversas médias amostrais. A distribuição é função da média, do desvio
padrão da população e do tamanho da amostra. Para cada combinação da média, desvio
padrão e tamanho da amostra haverá uma única distribuição amostral de médias.
Sejam:
µ x = média da população =
µ
µ x = média da distribuição amostral
σ x = desvio padrão da população =
σ
σ x = desvio padrão da distribuição amostral
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra
Admita-se que todas as amostras possíveis de tamanho n sejam retiradas de uma
população finita de tamanho N>n. Então:
População Finita:
µx = µ
e
σx =
σ
n
N−n
N −1
Se a população for infinita, ou se amostragem for tomada com reposição, os resultados
serão:
População Infinita:
µx = µ
e
σx =
σ
n
A fórmula do desvio padrão nos diz que a quantidade de dispersão na distribuição amostral
depende de dois fatores:
-
a dispersão da população
-
o tamanho da amostra (utilizando raiz quadrada)
Por exemplo, em qualquer população, o aumento do tamanho das amostras extraídas
resultará em menor variabilidade entre as possíveis médias amostrais. E se o mesmo
tamanho de amostra é usado com diferentes populações, as populações com maior
quantidade de dispersão σ x tenderão a gerar maior quantidade de variabilidade entre as
médias de amostras extraídas delas.
Para amostras grandes n>30 a distribuição amostral das médias é aproximadamente
normal, com média
µx
e desvio padrão
σx,
independente da população, desde que a
variância e a média da população sejam finitas e o tamanho da população seja, no
mínimo, o dobro da amostra. Este resultado para população infinita é um caso especial do
Prof. Cíntia Paese Giacomello
57
teorema do limite central da teoria avançada de probabilidade, que mostra que a precisão
da aproximação melhora quando n cresce. Isto é indicado, algumas vezes, dizendo-se que
a população é assintoticamente normal. No caso da população ser normalmente
distribuída, a distribuição amostral das médias também o será, mesmo para pequenos
valores de n (n<30).
Teorema do limite central
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a
distribuição das médias amostrais também será normal para
todos os tamanhos de amostra.
2. Se a população básica é não normal, a distribuição de médias
amostrais será aproximadamente normal para grandes
amostras.
Exemplos:
Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias onde o desvio padrão da
distribuição populacional é 2 e o tamanho da amostra é 40.
σx =
σx
n
=
2
= 0,3162
40
Determine a média das distribuições de médias amostrais, sendo que a média populacional
é 678.
µ x = µ x = 678
A média de uma distribuição amostral de médias é 50 e seu desvio padrão é 10 (desvio
padrão da distribuição amostral das médias). Suponha normal a distribuição amostral.
Que percentagem das médias amostrais estará entre 45 e 55?
O procedimento é análogo ao visto no capítulo referente à distribuição normal,
entretanto deve-se utilizar o valor de µ x = 50 e σ x =10.
Então P(45< µ x <55)=0,3830
Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida
esperada (média) de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4
meses. Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo
de 1 mês em torno de 50 meses, admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das
baterias?
Sabemos que, como n>30, a distribuição das médias amostrais será
aproximadamente normal com média igual à média populacional e desvio padrão
igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da
Prof. Cíntia Paese Giacomello
58
amostra. Além disso vamos pressupor população infinita, pois a produção de baterias
não termina (teoricamente!)
???
49
50
Meses
51
µx
A solução envolve a determinação do número de desvios padrões que 49 e 51 distam
da média (amostral).
Determinemos primeiro o desvio padrão da distribuição amostral:
σx =
σx
n
=
4
36
= 0,67 para n=36
Então devemos trabalhar com x ∼ N(50;0,67)
P(49< x <51) z =
x−x
σx
49 − 50
= −1,5
0,67
51 − 50
= +1,5
0,67
P(49< x <51)=P(-1,5<z<1,5) = 0,4332+0,4332=0,8664
Então o percentual de amostras que apresentará problemas entre 49 e 51 meses é
de 87%.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
59
Distribuição amostral das proporções
Sendo a probabilidade de ocorrência de um evento p (sucesso) e a probabilidade de não
ocorrência 1-p (fracasso).
Consideram-se todas as amostras possíveis de tamanho n de uma população infinita e,
para cada amostra, determina-se a proporção de sucessos. Assim obtém-se a distribuição
amostral das proporções.
A média da distribuição amostral é sempre igual à proporção p = p onde
p = proporção populacional
p
= média da distribuição amostral das proporções
Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio padrão da distribuição amostral
se calcula
p(1 − p)
n
σp =
e pode-se fazer uma aproximação para a distribuição normal quando n>30.
Exemplos:
Determine a média da distribuição de proporções amostrais, quando a proporção na
população é 72,3%
p =p=72,3%
Determine o desvio padrão da distribuição amostral de proporções para n=100 e uma
proporção populacional de 60%
σp =
p(1 − p)
=
n
0,6(1 − 0,6)
= 0,049
100
Verificou-se que 2% das ferramentas produzidas por uma certa máquina são defeituosas.
Qual a probabilidade de que, em uma remessa de 400 dessas ferramentas, 3% ou mais
revelarem-se defeituosas?
p =p=0,02
eσp =
p(1 − p)
=
n
0,02 * 0,98
= 0,007
400
Como n>30 pode-se utilizar a distribuição normal, então
P(p>0,03)=P( z >
Prof. Cíntia Paese Giacomello
0,03 − 0,02
) = P(z > 1,43) = 0,07636 = 7,636%
0,007
60
Exercícios:
1. Determine a média da distribuição das proporções amostrais quando a proporção na
população é ....
a. 30%
b. 99%
c. 54%
2. Calcule o desvio padrão da distribuição amostral de médias para cada um dos
seguintes casos:
a. σ x =6, n=6
b. σ x =6, n=20
c. σ x =6, n=40
d. σ x =6, n=100
3. Certas válvulas fabricadas por uma companhia têm vida média de 800 horas e
desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória
de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter vida média a) entre 700 e 810 horas;
b)inferior a 785 horas; c) superior a 820 horas; d) entre 770 e 830 horas.
4. Um fabricante faz a remessa de 1000 lotes de 100 lâmpadas elétricas cada um. Se
5% das lâmpadas são normalmente defeituosas, em quantos lotes pode-se esperar
que existam; a) menos de 90 lâmpadas boas; b) 98 ou mais lâmpadas boas
Prof. Cíntia Paese Giacomello
61
11 Estimação
A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar
parâmetros populacionais.
As estatísticas amostrais são utilizadas como estimadores de parâmetros populacionais.
Assim, uma média amostral é usada como estimativa da média populacional, a proporção
de defeituosos de uma caixa é utilizada para estimar a proporção de defeituosos na
produção toda, etc.
Tais estimativas chamam-se estimativas pontuais, porque originam apenas uma única
estimativa do parâmetro. Em virtude da variabilidade amostral, é usual incluir uma
“estimativa intervalar” para acompanhar a estimativa pontual. Esta nova estimativa
proporciona um intervalo, ou âmbito, de possíveis valores do parâmetro populacional.
Estimativa pontual: estimativa única de um parâmetro populacional
Estimativa intervalar: intervalo de valores possíveis, o qual se admite que esteja
contendo o parâmetro.
Um intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no
qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população.
Exemplos:
Parâmetro
populacional
Tipo de estimativa
Pontual
Intervalar
Média
Um carro de motor 1.0 anda, em
média, 14 km com um litro de
combustível
Um carro de motor 1.0 anda, em
média, entre 12 e 16 km com 1
litro de combustível
Proporção
A proporção de peças defeituosas
é de 2%
A proporção de peças defeituosas
está entre 1,5 % e 2,5 %
Desvio padrão
O desvio padrão da temperatura
numa piscina não aquecida é da
ordem de 2 o C
O desvio padrão da temperatura
numa piscina não aquecida está
entre 1 o C e 3 o C
Os intervalos de confiança podem ser unilaterais (por exemplo, a proporção de defeitos é
maior de 3%) ou bilaterais (a proporção de defeitos está entre 2% e 4%).
Prof. Cíntia Paese Giacomello
62
A capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de dados amostrais está
ligada diretamente ao conhecimento da distribuição amostral da estatística que está sendo
usada como estimador.
Os intervalos de confiança para os parâmetros são construídos de forma que se considera
uma variação em torno do valor amostral e, assim, pode-se escrever que o parâmetro
situa-se entre dois limites:
Valor do parâmetro = estimativa pontual ± erro de amostragem
O erro de amostragem depende da distribuição amostral do parâmetro, do nível de
confiança adotado e do tamanho da amostra.
A tabela a seguir apresentada resume as informações necessárias para intervalos de
confiança.
População
Infinita
Finita
x
x
Estimativa de médias
Pontual
Intervalar σ x conhecido
σ x desconhecido
x±z
x±t
σx
n
sx
n
x±z
σx
x±t
sx
n
n
N−n
N −1
N−n
N −1
Estimativa das proporções
Pontual
Intervalar
p =
p±z
x
n
p(1 − p)
n
p =
p±z
x
n
p(1 − p) N − n
n
N −1
Onde:
z representa o valor tabelado da distribuição Normal, com nível de confiança α.
t representa o valor tabelado da distribuição t de Student, com nível de confiança α e GL
graus de liberdade1
N é o tamanho da população
n é o tamanho da amostra
1
O valor da distribuição t de Student depende do número de graus de liberdade
Prof. Cíntia Paese Giacomello
63
Exemplo:
Intervalo de confiança para a média µ quando se conhece a variância de população σ x
Seja uma amostra de tamanho 36 de uma população infinita, sabe-se que σ x =3 e x =24,2
Confiança
desejada
Z
(tabelado)
90%
1,65
x±z
95%
1,96
x±z
99%
2,58
x±z
Fórmula
Cálculo
σx
24,2 ± 1,65
n
σx
24,2 ± 1,96
n
σx
24,2 ± 2,58
n
3
36
3
36
3
36
E
Intervalo
24,2 ± 0,825
23,375 a 25,025
24,2 ± 0,980
23,220 a 25,180
24,2 ± 1,290
23,110 a 25,690
Tamanho da amostra
Uma das perguntas mais freqüentes em estatística é: “Qual o tamanho da amostra que
devemos tomar?”
O tamanho da amostra dependerá do grau de confiança desejado (z), da quantidade de
dispersão entre os valores individuais ( σ x ), e de certa quantidade específica de erro
tolerável (e).
“O tamanho da amostra que você afinal selecionará dependerá de
seu orçamento, da importância econômica das decisões e da
variabilidade na população. Desses três problemas, dois são de
ordem gerencial, cabendo a você a decisão; apenas o terceiro
(variabilidade) está fora do seu controle .”(Brenda Landy, citada no
livro Pesquisa de Marketing – Naresh Malhotra. - 2001)
A fórmula do erro pode ser resolvida em relação a n. Assim, para o caso de estimação de
médias, tem-se:
e=z
σx
n
n=z
σx
e
 σ
n =  z x
 e



2
E, para estimação de proporções
p(1 − p)
e=z
n
Prof. Cíntia Paese Giacomello
 p(1 − p) 

e =  z

n


2
2
n=
z 2p(1 - p)
e2
64
Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança
para a verdadeira média da população, com erro de 1,0 em qualquer dos sentidos, se o
desvio padrão da população é 10?
Sabemos que σ x =10 e e=1 e queremos um intervalo 90% de confiança para a
média, o que implica utilizar um valor de z=1,65.
 σ
n =  z x
 e
2

 
2
10 

n = 1,65  = 272,25 tamanho da amostra 273.
1

As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato de que o número
crescente de telefones celulares resulte em maior número de colisões de carros. Estão, por
isso, pensando em cobrar prêmios mais elevados para os motoristas que utilizam celulares.
Desejamos estimar, com uma margem de erro de três pontos percentuais, a percentagem
de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem. Supondo que se pretende um nível
de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser investigados?
Suponha que não tenhamos nenhuma informação sobre p.
n=
z 2p(1 - p)
e2
n=
1,96 2 0,5(1 - 0,5)
= 1067,11 tamanho da amostra 1068.
0,032
Exercícios:
1. Os dados a seguir representam a temperatura coletada aleatoriamente em 15
cidades do estado. Determine o intervalo de confiança 90% para a temperatura
média. Não dispomos da variância populacional, mas sabemos que a população é
infinita. Dispomos apenas das seguintes informações.
23
40
30
21
34
20
38
26
23
38
33
32
24
21
24
2. Uma amostra aleatória de 40 contas não comerciais na filial de um banco acusou
saldo médio diário de R$ 140 com desvio padrão de R$ 30.
a. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira média
b. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média
c. Construa um intervalo de 99% de confiança para a verdadeira média
Prof. Cíntia Paese Giacomello
65
3. Uma firma emprega diversos vendedores. Numa amostra aleatória de 15 notas de
despesa numa semana de dezembro, um auditor constatou uma despesa média de
R$ 220, com desvio padrão de R$ 20.
a. Qual a estimativa pontual da despesa média?
b. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa
média por vendedor.
c. Admitindo-se 200 vendedores, qual seria a estimativa pontual média para o
total de despesas?
d. Construa um intervalo de 99% de confiança para a quantia de despesa total.
4. Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de
construção revelou que 6 não usavam capacetes protetores.
a. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção dos
que não estão utilizando capacetes neste projeto.
b. Se há 1000 operários no projeto, converta o percentual em número de
capacetes necessários para que todos estejam seguros.
5. Uma amostra aleatória de 1000 fregueses da parte da manhã de um supermercado
revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras.
a. Qual seria a estimativa pontual da percentagem dos que compram leite?
b. Construa um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos
que compram leite.
6. Qual o tamanho de amostra necessário para estimar o tempo médio de que um
vendedor de uma loja de móveis gasta com cada cliente, admitindo erro de 1
minuto, para mais ou para menos, para obter um nível de confiança de 99%.
Suponha σ x=12 minutos.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
66
7. Determine o número de observações necessário para estimar o tempo médio de
serviço de atendimento a chamadas de um bombeiro hidráulico, se o erro máximo
deve ser de 0,6 hora para um nível de confiança de 95%, sabendo que o tempo de
atendimento tem um desvio padrão de 1 hora. Suponha normalidade na população.
8. Um engenheiro deseja estimar a quantidade de açúcar existente nos alimentos
produzidos pela empresa. Ele coletou uma amostra de 18 unidades do alimento e
verificou média 24 gr de açúcar, com desvio padrão de 5 gr. Construa o intervalo
de confiança de 90% para a quantidade de açúcar presente nos alimentos.
9. Numa pesquisa com funcionários de uma empresa questionou-se a satisfação com a
política desenvolvida pela diretoria. De 300 funcionários, 36 estavam insatisfeitos.
Construa uma estimativa para a proporção de funcionários insatisfeitos, com 95%
de confiança.
10. O IBOPE está interessado em estimar a proporção de residências que assistem ao
programa do Faustão. Qual o número mínimo de residências que se deve analisar
para ter 95% de confiança e margem de erro máxima de 0,03 para a estimativa?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
67
12 Testes de h ipóteses
Os testes de hipóteses são também conhecidos como testes de significância.
A finalidade dos testes de hipóteses é avaliar afirmações sobre os valores de parâmetros
populacionais.
Os testes de hipóteses e a estimação são dois ramos principais da inferência estatística.
Enquanto o objetivo da estimação é estimar algum parâmetro populacional, o objetivo dos
testes de hipóteses é decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional é
verdadeira. Por exemplo, podemos querer determinar se são verdadeiras as afirmações:
-
o tempo médio de realização do teste é 80 minutos
-
três por cento da população (de determinado item) é defeituosa
-
os percentuais de não conformes dos dois processos são iguais
Utilizam-se duas hipóteses, sendo chamadas de hipótese nula (H 0 ) e hipótese alternativa
(H 1 )
A hipótese nula H 0 é uma afirmação que diz que o parâmetro
populacional é tal como especificado (isto é, a afirmação é
verdadeira)
A hipótese alternativa H 1 é uma afirmação que oferece uma
alternativa à alegação (isto é, o parâmetro é maior (ou menor)
que o valor alegado)
Exemplo: O estudo de uma amostra de tamanho 55 peças indicou que o diâmetro médio é
de 27,5 mm. Então:
H 0 : o diâmetro médio da população (de peças) é 27,5 mm
H 1 : o diâmetro médio da população (de peças) é diferente de 27,5 mm
Os testes de hipótese utilizam a significância adotada pelo pesquisador. A significância é a
probabilidade de uma hipótese nula ser rejeitada, quando verdadeira. Que coincide com o
erro tipo I.
Ao testar uma hipótese, há dois tipos de erros que podemos cometer:
α = P {rejeitar H 0 / H 0 é verdadeira} = erro do tipo I
β = P {aceitar H 0 / H 0 é falsa} = erro do tipo II
O procedimento usual é fixar o valor de α e verificar o valor de β . O risco β é uma função
do tamanho da amostra, e é controlado indiretamente. Quanto maior o tamanho da
amostra, menor será o risco β .
Prof. Cíntia Paese Giacomello
68
Se H 0 é
Ação
Verdadeira
Falsa
Aceitar H 0
Decisão correta
Erro tipo II ( β )
Rejeitar H 0
Erro tipo I ( α)
Decisão correta
Basicamente os testes de hipótese envolvem as seguintes etapas:
1. Estabelecer as hipóteses nula e alternativa;
2. Identificar a distribuição amostral adequada;
3. Escolher um nível de significância (e assim os valores críticos);
4. Calcular a estatística do teste e compará-la com os valores críticos;
5. Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística do teste excede o(s) valor (es)
crítico(s); caso contrário, aceitá-la.
Os testes de hipótese podem ser unilaterais ou bilaterais. Nos testes unilaterais a hipótese
alternativa H 1 é do tipo µ>33 ou µ<33, por exemplo. Nos testes bilaterais a hipótese
alternativa é do tipo µ≠ 33. A hipótese nula permanece igual nos dois casos. A área de
rejeição é dividida quando o teste é bilateral.
H 1 : µ<33
α
H 1 : µ≠ 33
α/2
Rejeitar H 0
Rejeitar
H0
α/2
Rejeitar
H0
H 1 : µ>33
α
Rejeitar H 0
Exercícios
1. Para cada um dos seguintes casos, trace uma curva normal, indicando a área de
rejeição na figura.
a) H 0 : µ=10, H 1 : µ≠ 10, α=0,02
b) H 0 : µ=120, H 1 : µ≠ 120, α =0,05
c) H 0 : µ=2000, H 1 : µ≠ 2000, α=0,01
d) H 0 : µ=2000, H 1 : µ>2000, α=0,01
e) H 0 : µ=2000, H 1 : µ< 2000, α=0,01
Prof. Cíntia Paese Giacomello
69
2. Um fornecedor de mancais comprometeu-se a enviar para uma firma lotes que não
contenham mais de 2% de defeituosos. O comprador extrai amostras ao receber a
remessa, para verificar a qualidade. Indique H0 e H1.
3. Um engenheiro acredita que o tempo para produção de um motor é de 5 horas. Ele
analisa uma amostra para verificar se está certo ou não. Escreva H0 e H1
12.1 Teste de hipóteses para médias
σ x conhecido
Quando se conhece o desvio padrão da população, a distribuição amostral adequada é a
distribuição normal. Se a população é normal, a distribuição amostral será normal para
todos os tamanhos de amostra. Se a população é não normal, ou se sua forma é
desconhecida, pode-se usar um teste de uma amostra só para tamanhos de amostras
superiores a 30 observações. Assim, pequenas amostras de população não normais não
podem ser tratadas por este processo.
Suponha que X é uma variável aleatória com média µ desconhecida e variância σ 2 x
conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor
especificado µ0 . O teste de hipótese pode ser formulado como segue:
H 0 : µ = µ0
H 1 : µ ≠ µ0
Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e calcula-se a
estatística
z teste =
x − µo
σx
E H 0 é rejeitada se |Z teste | > Z α /2
(obtido em uma tabela da
n
distribuição normal).
Prof. Cíntia Paese Giacomello
70
Exemplo:
Uma máquina de usinagem deveria produzir entalhes com 0,85 mm de profundidade. O
engenheiro desconfia que os entalhes que estão sendo produzidos são diferentes que o
especificado.
Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou X = 0,847 . Sabendo que o desvio padrão
é σ =0,010, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância α=0,05.
H o : µ = 0,850
H1 : µ ≠ 0,850
Z teste =
0,847 − 0,850
0,010 / 8
= −0,85
Como Z teste = −0,85 > −Z 0 ,025 = −1,96 H 0 não pode ser rejeitada.
Conclusão: não podemos afirmar que os entalhes sejam diferentes que o especificado, ao
nível de significância de 0,05.
σ x desconhecido
Quando não se conhece o desvio padrão da população, deve-se estimá-lo a partir dos
dados amostrais usando o desvio padrão amostral. Quando isso ocorre (na maioria das
situações reais σ x é desconhecido), a distribuição t é a distribuição amostral adequada.
Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média µ e variância σ 2
desconhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado µo ,
formulamos:
Ho : µ = µ 0
H1 : µ ≠ µ o
Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que agora a variância é
desconhecida.
Como σ X não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para construir a estatística do
teste:
t teste =
x − µo
sx
n
E a hipótese nula H 0 é rejeitada se |t teste |>t α /2 , onde t α /2, n-1 é um valor limite da
distribuição de Student tal que a probabilidade de se obter valores externos a t α /2 é α.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
71
12.2 Testes de duas amostras para médias
Os testes de duas amostras são usados para decidir se as médias de duas populações são
iguais. Exigem-se amostras independentes, ou seja, uma de cada população. Eles são
freqüentemente utilizados para comparar dois métodos de ensino, duas cidades, duas
marcas, duas fábricas, ....
OBS: dados provenientes de antes-depois são dependentes, não podendo, portanto, serem
tratados por este método.
σ x conhecido
Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos µ a e µ b e desvios
padrões conhecidos, σ a e σ b , o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais
é o seguinte:
Ho : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ 2
Z teste =
X1 − X 2
σ 12
n1
+
σ 22
n2
E rejeita-se H 0 se |Z teste | > Z α /2
σ x desconhecido
Similarmente, quando , σ a e σ b , não são conhecidos, o teste para verificar a hipótese que
as médias sejam iguais é:
t teste =
E rejeita-se H 0 se |t teste | > t α /2,
X1 − X 2
S 2x1 S 2x 2
+
n1
n2
n1+n2-2
12.3 Teste para proporções
Este tipo de teste é apropriado quando os dados sob análise consistem de contagem ou
freqüências de itens em duas ou mais classes. A finalidade de tal teste é avaliar
afirmações sobre a proporção (ou percentagem) de uma população. O teste se baseia na
premissa de que uma proporção amostral será igual à verdadeira proporção populacional,
a menos da variabilidade amostral. O teste foca na diferença entre o número esperado de
ocorrências (supondo-se verdadeira uma afirmação) e o número efetivamente observado.
A diferença é então comparada com a variabilidade prescrita por uma distribuição amostral
baseada na hipótese de que H 0 é realmente verdadeira.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
72
Quando a finalidade da amostragem é julgar a validade de uma alegação acerca de uma
proporção populacional, é apropriado o teste para proporções.Onde:
H0: p = p0
H1: p ≠p0
O valor da estatística de teste é dado por
z teste =
x −p
0
n
p0 (1 − p0 ) / n
e deve ser comparada com o valor crítico de Z (retirado de uma tabela da distribuição
normal)
Exemplo:
Um fabricante afirma que uma remessa de pregos contém menos de 1% de defeituosos.
Uma amostra aleatória de 200 pregos acusa 4 defeituosos. Teste a afirmação ao nível
0,01.
H 0 : p = 1%
H 1 : p > 1% pois desejamos evitar a aceitação de uma remessa com mais de
1% de defeituosos, mas nada há contra aceitar o fato da remessa apresentar
qualidade superior à acordada.
z teste =
x −p
0
n
= z teste =
p0 (1 − p0 ) / n
4
− 0,01
200
= 1,42
0,01(1 − 0,01) / 200
Na tabela da distribuição normal, z 0,01 =2,33
Aceita-se H 0 , e pode-se dizer que a quantidade de pregos defeituosos é 1% ou
menos, ao nível de significância 0,01.
12.4 Teste do qui-quadrado (k amostras para proporções)
A finalidade de um teste de k amostras é avaliar se as proporções de k amostras
independentes provenham de populações que contenham a mesma proporção de
determinado item. Conseqüentemente, tem-se:
H 0 : As proporções populacionais são todas iguais
H 1 : As proporções populacionais não são iguais
Ou seja, estamos testando se as duas variáveis são ou não associadas, por exemplo, se
queremos testar se a proporção de mulheres e de homens que trabalham no horário
Prof. Cíntia Paese Giacomello
73
noturno em uma fábrica são iguais, automaticamente estaremos testando se sexo e turno
de trabalho são variáveis associadas.
Este teste baseia-se na distribuição qui-quadrado, onde o valor calculado deve ser
comparado com o valor tabelado. A decisão de aceitar ou rejeitar H 0 dependerá da
comparação deste valor com o valor tabelado da distribuição qui-quadrado.
Por exemplo, tem-se a distribuição de peças produzidas por turno e se essas peças são
boas ou apresentam algum tipo de defeito. No turno da manhã foram produzidas 967
peças, onde 183 apresentaram algum tipo de defeito.
Turno de produção
Total
Manhã
Tarde
Noite
Peças com algum defeito
183
30
11
224
Peças boas
784
264
308
1356
Total
967
294
319
1580
O teste baseia-se na pressuposição que, se as duas variáveis fossem independentes, então
o valor esperado de cada célula poderia ser encontrado fazendo-se:
Frequência _ Esperada =
(total _ linha) x (total _ coluna)
total _ geral
Neste caso, a tabela com as freqüências esperadas seria:
Tabela de freqüências esperadas
Turno de produção
Total
Manhã
Tarde
Noite
Peças com algum defeito
137,1
41,7
45,2
224
Peças boas
829,9
252,3
273,8
1356
967
294
319
1580
Total
Freq _ esperada =
224 x 967
= 137,1
1580
Prof. Cíntia Paese Giacomello
74
O teste de independência qui-quadrado é obtido utilizando-se a estatística
χ2 =
(O − E) 2
∑ E
Se o valor obtido for maior que o valor crítico obtido na tabela χ 2 então diz-se que as
variáveis NÃO são independentes. Se o valor encontrado for menor, então diz-se que as
variáveis são independentes.
O valor dos GRAUS DE LIBERDADE é obtido através do cálculo:
graus de liberdade = (colunas-1)(linhas-1)
No exemplo apresentado:
(183 − 137,1) 2 (30 − 41,7) 2
(308 − 273,8) 2
χ =
+
+ ... +
= 51,88
137,1
41,7
273,8
2
e o valor crítico encontrado na tabela para (2-1)x(3-1)=2 graus de liberdade e nível de
significância 0,05 é 5,991.
Tem-se valor calculado > valor tabelado então diz-se que as variáveis NÃO são
independentes. OU SEJA, a proporção de peças boas produzidas depende do turno de
trabalho. A proporção de peças boas no turno da manhã é 81%, na tarde 90% e na noite
97%.
Exercícios:
1. Um fornecedor apresenta uma caixa, e afirma que o peso médio desta caixa é de
368 gramas. De experiências anteriores sabe-se que o desvio padrão da população
vale 15 g e que os valores se comportam segundo a distribuição Normal. Para
verificar se a afirmação é verdadeira, verifica-se uma amostra de 25 caixas, pesa-se
e calcula-se o peso médio da amostra, achando 372,5 g. Qual a conclusão a
respeito da afirmação do fornecedor, ao nível de significância 0,01?
2. Uma agência de empregos alega que os candidatos à diretoria por ela colocados
nos últimos seis meses têm salários de R$ 9000, em média. Uma agência
governamental extraiu uma amostra aleatória daquele grupo, encontrando salários
médios de R$ 8000, com desvio padrão de R$ 1000, com base em 50 empregados.
Teste a afirmação da agência, contra a alternativa, de que o salário médio é
inferior a R$ 9000, ao nível de significância 0,05.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
75
3. O gerente de marketing de uma fábrica de automóveis está interessado em
determinar a proporção de novos proprietários de carros compactos que teriam
adquirido um air-bag inflável para o lado do passageiro se o mesmo estivesse
disponível a um custo adicional de $ 300,00. Por informações anteriores, o gerente
acredita que a proporção é 30%. Suponha que é feito um levantamento com 200
novos proprietários de carros compactos e 79 indiquem que teriam comprado os
air-bags infláveis. No nível de significância de 0,05, há evidencias de que a
proporção da população é diferente de 0,3?
4. Suponha que o diretor de produção de uma fábrica de tecidos precise determinar se
uma nova máquina está produzindo um tipo de tecido de acordo com as
especificações do fabricante. As especificações indicam que o tecido devia ter uma
resistência de rompimento superior a 70 libras (1 libra = 433,59 gramas) e um
desvio padrão de 3,5 libras. Uma amostra de 36 peças revela uma média aritmética
da amostra igual a 69,7 libras. Há evidências de que a máquina não está atendendo
às especificações, em termos da média da resistência de rompimento? (utilize um
nível de significância de 0,05)
5. Uma rede de postos de gasolina afirma que, em seus estabelecimentos não se
vende gasolina adulterada. Sabe-se que, de acordo com os padrões de qualidade, a
gasolina não pode conter mais de 240 ml de álcool por litro. O órgão de fiscalização
colheu 25 medições do produto nos postos dessa rede, obtendo a partir delas uma
média de 240,75 ml de álcool/litro. Admitindo-se que a quantidade de álcool
presente na gasolina tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 2,5
ml/litro. Ao nível de significância 5%, pode-se afirmar que a gasolina é adulterada?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
76
6. Um psicólogo de indústrias deseja estudar os efeitos da motivação nas vendas, em
determinada empresa. Foi selecionada uma amostra aleatória de 24 indivíduos, 12
de cada grupo. Os dados a seguir representam o volume de vendas (em milhares
de reais) alcançado durante o primeiro mês de emprego. Há evidências de que o
volume médio de vendas seja diferente entre os grupos? (utilize nível de
significância 0,05)
Por hora
256
212
239
216
222
236
Comissão
207
219
228
225
241
230
224
261
254
228
273
234
285
225
237
232
277
245
7. No caso judicial EUA versus Cidade de Chicago, foram postas em dúvida as práticas
honestas de emprego. Um grupo minoritário (A) e um grupo majoritário (B) fizeram
o exame para capitão do corpo de bombeiros, com os seguintes resultados:
Grupo A
Grupo B
Aprovados
10
417
Reprovados
14
145
Com os resultados acima, e com nível de significância de 5%, teste a afirmação de
que o sucesso no teste é independente do grupo.
8. Solicitou-se a quatro amostras de 30 funcionários de uma grande empresa que
opinassem sobre a nova direção da empresa. Ao nível de significância 0,01, o que
se pode concluir?
Aprovam
Desaprovam
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Estagiários
5
25
Treinees
4
26
Técnicos
20
10
Gerentes
27
3
77
9. Um estudo de usuários e não usuários do cinto de segurança resultou nos dados
amostrais aleatórios resumidos na tabela a seguir. Teste a afirmação de que a
quantidade de fumo é independente do uso do cinto de segurança. Uma teoria
plausível é que as pessoas que fumam mais estão menos preocupadas com a sua
saúde e segurança, sendo assim, menos propensas a usar cintos. Com nível de
significância 0,01, os dados amostrais apóiam esta teoria?
Usam cinto de segurança
Não usam cinto de segurança
Número de cigarros fumados por dia
0
1-14
15-34
35 ou +
175
20
42
6
149
17
41
9
10. A tabela abaixo apresenta dados relativos ao time vencedor em diferentes esportes.
Com o nível de 0,05 de significância, teste a afirmação de que as vitórias
casa/visitante são independentes do esporte.
O time da casa ganha
O time visitante ganha
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Basquete
127
71
Beisebol
53
47
Hockey
50
43
Futebol
57
42
78
13 Anális e de vari ância (ANOVA -
Analys is of Var ianc e)
Há situações onde se deseja comparar várias médias, cada uma oriunda de um grupo
diferente. Esses grupos, também chamados tratamentos, poderiam ser 5 máquinas de
corte, ou 4 pressões de operação, ou 4 layouts , 5 planos econômicos do governo, taxas
de câmbio em 3 diferentes países, resultados da implantação de um novo sistema em duas
filiais, etc.
Exemplo:
Para verificar se existe diferença significativa entre os salários médios dos economistas da
Região Sul, o sindicato da classe resolveu analisar os dados de algumas amostras. Assim
foram selecionados aleatoriamente 5 economistas de cada estado.
Econ.1
Econ.2
Econ.3
Econ.4
Econ.5
Rio Grande do Sul
370
420
280
340
410
Santa Catarina
280
350
430
290
405
Paraná
325
400
295
350
380
Exemplo:
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram
Método A
Método B
Método C
Prof. Cíntia Paese Giacomello
5
4
0
5
3
3
4
5
5
7
0
4
5
3
3
5
8
2
10
3
10
9
4
9
79
Nesses casos, os dados foram tabelados conforme aparecem a seguir:
Tratamento
1
2
:
:
:
k
Observações
Y11 , Y12 ... Y1n1
Y21 , Y22 ... Y2n2
:
:
:
Yk1 , Yk2 ... Yknk
Os resultados poderiam ser representados por um modelo aditivo:
Yij = µ + τi + εij ;
i = 1,....., k
j = 1, ..., ni
Onde Y ij
é a observação j medida no tratamento i;
µ
é a média geral de todas as observações;
τi
é o efeito do tratamento i;
ε ij
é o erro aleatório. (OBS: Para fins de testes de hipótese, supomos que o
erro aleatório ε ij segue um modelo normal com média 0 e variância σ 2
aproximadamente igual para todos os tratamentos)
Nosso objetivo será testar a hipótese referente ao efeito dos tratamentos e estimar esses
efeitos, ou seja, verificar se existe diferença significativa entre os resultados apresentados
por cada grupo.
Existem dois tipos de problemas a serem abordados:
Modelo a níveis fixos: quando o efeito de cada tratamento é fixo, como no caso em que
os tratamentos são 4 pressões de operações, ou 4 layouts fixados pelo engenheiro;
Modelo a níveis aleatórios: quando o efeito de cada tratamento é aleatório, como no
caso em que os tratamentos são k lotes de produção, ou k operadores escolhidos
aleatoriamente.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
80
No modelo a níveis fixos, os efeitos dos tratamentos são definidos como desvios da média
geral, tais que:
H 0 : µ1 = µ 2 = ..... = µ k
H 1 : µi ≠ µ j
Na
para alguns i, j
H o (hipótese nula) supõe-se que todas as médias sejam iguais, ou seja, os
economistas têm o mesmo salário nos três estados (e as diferenças entre os seus salários
são devidas ao acaso) ou os três métodos de ensino são equivalentes.
A
H 1 (hipótese alternativa) indica que pelo menos uma das médias difere, ou seja,
existem pelo menos dois estados com salários diferentes entre si ou pelo menos dois
métodos de ensino diferem.
O procedimento utilizado para comparar simultaneamente todos os grupos é chamado de
Análise de Variância, que será visto a seguir.
A análise de variância é uma técnica que pode ser
usada para determinar se as médias de duas ou mais
populações são iguais. O teste se baseia numa
amostra extraída de cada população.
A Análise de Variância é uma técnica para investigar quanto de variabilidade em um
conjunto de observações (dados) pode ser descrito por diferentes causas.
Os cálculos associados à Análise de Variância são apresentados em uma tabela, chamada
de Tabela de Análise de Variância ou Tabela ANOVA
Fonte de variação
onde
SQ
GDL
MQ
Teste F
Entre grupos
SQG
k-1
MQG
MQG/MQR
Dentro de grupos
SQR
N-k
MQR
Total
SQT
N-1
k é o número de níveis do fator.
N é a quantidade total de observações
Prof. Cíntia Paese Giacomello
81
A Análise de Variância se baseia na decomposição da variabilidade total. Mais
especificamente, os desvios das observações individuais em relação à média global podem
ser escritos como:
(Yij − Y.. ) = (Y i.
) (
− Y.. + Yij − Y i .
)
(1)
onde:
(Y i. − Y .. ) é o desvio da média do tratamento
i em relação à média global;
(Yij − Y i. )
é o desvio da observação individual em relação à média do tratamento
correspondente;
Elevando ao quadrado ambos os termos da equação (1) e efetuando o somatório, resulta:
2
2
∑ (Yij − Y .. ) = ∑ ni (Y i. − Y.. ) + ∑ (Yij − Yi. )
i, j
i
ij
2
(2)
Na equação (2), identificamos as seguintes somas quadradas:
SQT = SQG + SQR
onde:
SQT é a soma dos quadrados totais, decomposta em:
SQG soma dos quadrados dos grupos (tratamentos), associada exclusivamente a um
efeito dos grupos;
SQR soma dos quadrados dos resíduos, devida exclusivamente ao erro aleatório, medida
dentro dos grupos.
As divisões das somas de quadrados (SQ) pelos graus de liberdade fornecem as médias
quadradas (MQ), que são as estimativas de variabilidade de cada parcela.
Os graus de liberdade são obtidos através do número de níveis do fator e da quantidade
de repetições para cada nível, ou seja, se o fator tem 5 níveis, terá 4 graus de liberdade
(k-1). Os graus de liberdade totais são obtidos através do total de observações menos 1
(N-1) e os graus de liberdade dentro dos grupos será a diferença entre eles (N-1)-(k-1) =
(N-k).
Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos, usamos a distribuição F :
F=
Prof. Cíntia Paese Giacomello
MQG
MQR
82
O valor resultante do teste F deve ser comparado com uma tabela de valores F, que indica
o valor máximo da estatística no caso de H o ser verdadeira, a um determinado nível de
confiança.
Como o valor tabelado de F é contínuo e depende da combinação dos graus de liberdade
do numerador e do denominador, é usual apresentar seus valores apenas para os níveis de
confiança 0,05 e 0,01. Os graus de liberdade para a determinação do valor F são os
mesmos apresentados na tabela da ANOVA.
Os valores constantes na tabela F são valores críticos: apresentam a linha divisória entre a
variação aleatória e a não aleatória. Ao fazer a análise de variância, utilizam-se as duas
estimativas amostrais da variância para calcular uma razão F. Compara-se então o número
resultante com o número tabelado. Se o valor calculado é maior que o valor tabelado,
rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor que o valor tabelado, a hipótese
nula não pode ser rejeitada.
Distribuição F
Concluir pelo
acaso
Aceitar Ho
Concluir pelo
não-acaso
Rejeitar Ho
Nível de significância = área da cauda
0
Valor tabelado
13.1 Formulário para solução
Para o cálculo das Somas Quadradas é recomendado o uso do seguinte formulário:
TC = ( T .. )2 N
SQT = ∑ ( Yij2 ) − TC
SQG = ∑ ( Ti 2. ni ) − TC
SQR = ∑ ( Yij2 ) − ∑ ( Ti .2 ni ) = SQT − SQG
onde
TC é o termo de correção
T.. é a soma de todas as observações
Ti.
é a soma das observações no grupo i
Prof. Cíntia Paese Giacomello
83
Resolvendo o exemplo dos métodos de ensino através deste formulário obtém-se:
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram
Método A
5
Método B
4
Método C
0
5
3
3
4
5
5
7
0
4
5
3
3
5
8
2
10
3
10
9
4
9
k = 3 (três níveis do fator, método A, B e C)
N = 24 (oito alunos por método)
T.. = 5 + 0 + 3 + ... + 4 + 9 = 116
(somar todas as observações)
T A. = 5 + 0 + 3 + 5 + 4 + 5 + 8 + 2 = 32 (somar as observações do método A)
T B. = 48 (somar as observações do método B)
T C. = 36 (somar as observações do método C)
TC = 116 2 / 24 = 560,67
SQT = (5 2 + 0 2 + 3 2 + ... + 4 2 + 9 2 ) – 560,67 = 738 – 560,67 = 177,33
 322 482 362 
 − 560,67 = 578,00 - 560,67 = 17,33
SQG = 
+
+
8
8 
 8
SQR = SQT – SQG = 177,33 – 17,33 = 160,00
Então a tabela da ANOVA ficaria:
Fonte de variação
SQ
GDL
MQ
Teste F
Entre grupos
17,33
2
8,67
1,14
Dentro de grupos
160,00
21
7,62
Total
177,33
23
O valor de F tabelado com 2 e 21 graus de liberdade no numerador e denominador,
respectivamente, e nível de significância de 0,05 é F 0,05 ≈ 3,49. Como F calculado < F
tabelado, concluímos que não há evidências de que os métodos de ensino alterem a
aprendizagem das crianças, ou seja, os métodos de ensino devem ser equivalentes.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
84
Utilizando o Excel
Clique em Ferramentas e depois em Análise de Dados. (OBS: Se no seu
computador não aparecer Análise de Dados é porque este suplemento não está
ativado. Vá em Ferramentas, depois Suplementos. Disponibilize Análise de
Dados e Análise de Dados VBA.)
Selecione ANOVA – Fator único.
Preencha com as informações que forem necessárias.
13.2 Exemplo de solução no Excel
Uma classe com 24 crianças foi dividida em três grupos. Cada grupo de crianças aprendeu
a ler de acordo com um método (três métodos diferentes). Após 3 meses as crianças
foram testadas, utilizando uma escala de 1 a 10. Os resultados foram
Método A
Método B
Método C
5
4
0
5
3
3
4
5
5
7
0
4
5
3
3
5
8
2
10
3
10
9
4
9
Os dados devem agrupados em linhas ou colunas.
ou
No menu Ferramentas e Análise de Dados, após selecionar ANOVA fator único.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
85
Na janela da ANOVA informar as questões que forem solicitadas.
Os resultados estarão localizados na planilha chamada resultados.
Anova: fator único
RESUMO
Grupo
Método A
Método B
Método C
Contagem Soma
8
32
8
48
8
36
Variância
5,714
7,429
9,714
Tabelado
Calculado
ANOVA
Fonte da variação
Entre grupos
Dentro dos grupos
SQ
17,33
160,00
gl
2
21
Total
177,33
23
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Média
4,0
6,0
4,5
MQ
8,67
7,62
F
1,14
valor-P
0,340
F crítico
3,47
86
Exercícios:
1. Suponha que o valor crítico de F na análise de variância seja 1,99 ao nível de 0,05.
Com base na figura: a) Como você interpretaria uma estatística de teste maior que
1,99? b) Como você interpretaria uma estatística de teste menor que 1,99?
Distribuição F
0,05
0
1,99
2. Duas turmas de pilotos de corrida de automóveis estão sendo treinadas para uma
grande corrida no domingo. Cada turma faz cinco provas de troca dos quatro pneus
num carro. As turmas são equivalentes ou uma delas é superior, ao nível de
significância 0,05? Complete a tabela da ANOVA e conclua a respeito.
Fonte de variação
SQ
GDL
MQ
Teste F
Entre grupos
Dentro de grupos
0,12
Total
0,22
3. Realiza-se um experimento para determinar-se as produções de cinco variedades de
trigo: A, B, C, D e E. São atribuídos quatro lotes de terra para cada variedade e as
produções, em toneladas, estão apresentadas na tabela. Supondo-se que os lotes
possuem fertilidades semelhantes e que as variedades são atribuídas aos lotes
aleatoriamente, determinar se existe diferença entre as produções ao nível de
significância 0,01.
A
B
C
D
E
Prof. Cíntia Paese Giacomello
20
17
23
15
21
12
14
16
17
14
15
12
18
20
17
19
15
14
12
18
87
4. Uma empresa deseja testar quatro tipos diferentes de pneus: K, L, M e N. Suas
durações, determinadas pelas bandas de rodagem, estão na tabela (em milhares de
quilômetros), onde cada tipo foi testado, aleatoriamente, em seis automóveis
semelhantes. Determinar de existe diferença significante entre os pneus ao nível de
significância 0,05.
K
L
M
N
33
32
31
29
38
40
31
34
36
42
37
32
40
38
35
30
31
30
33
33
35
34
30
31
5. Um professor deseja testar três métodos diferentes de ensino I, II e III. Para isso são
escolhidos aleatoriamente três grupos de cinco estudantes, e cada grupo é instruído
por um método diferente. É dada a mesma prova a todos os estudantes e os graus
obtidos constam na tabela. Determinar se existe diferença entre os métodos de ensino
ao nível de significância 0,01.
I
II
III
75
81
73
62
85
79
71
68
60
58
92
75
73
90
81
6. A tabela apresenta os dados sobre a ferrugem acumulada sobre o ferro, que foi tratado
quimicamente com os produtos A, B ou C. Determinar se existe diferença significativa
nos tratamentos ao nível de 0,05.
A
B
C
3
4
6
5
2
4
4
3
5
4
3
5
7. Um experimento mede os quocientes de inteligência (QI) de estudantes do sexo
masculino de estaturas alta, média e baixa, cujos resultados aparecem na tabela.
Determinar se existe qualquer diferença nas contagens do QI em relação às diferentes
alturas ao nível de significância de 0,01.
Alta
Média
Baixa
Prof. Cíntia Paese Giacomello
110
95
108
105
103
112
118
119
104
90
104
93
88
8. A fim de produzir um tipo superior de ração para galinhas, adicionou-se à ração
tradicional quatro quantidades diferentes de um mesmo produto químico. Cada
quantidade de ração é dada a 8 pintos e o peso das aves após 3 meses é anotado.
Concluir se houve diferença entre as quantidades do produto químico ao nível de
significância 0,05.
20
30
40
50
9.
mg
mg
mg
mg
46
48
49
52
46
48
49
53
46
47
50
52
45
47
50
52
45
47
49
52
45
47
50
52
46
47
50
53
46
48
49
53
Uma empresa deseja estudar três tipos de enxerto para ver se todos apresentam o
mesmo crescimento anual. O que se pode concluir a respeito? (use nível de
significância 0,05)
Enxerto 1
14,4
14,8
12,7
12,2
10,9
Enxerto 2
10,8
12,2
11,2
12,8
13,0
Enxerto 3
11,1
9,5
10,8
12,7
10,9
10. Os dados abaixo dão a vida observada dos pneus de quatro caminhões distribuidores
de sorvete, conforme a posição. Supondo comparáveis os caminhões e os motoristas,
poderemos afirmar que a duração média é independente da posição do pneu no
veículo? (use nível de significância 0,01). Disponha os cálculos numa tabela ANOVA.
Qual a importância da comparabilidade dos motoristas e veículos?
Dianteiro direito
Dianteiro esquerdo
Traseiro direito
Traseiro esquerdo
Prof. Cíntia Paese Giacomello
17
25
22
26
19
27
21
24
20
18
19
30
24
22
26
28
89
14 Regressão e co rrelação
A análise de regressão e de correlação compreende a análise de dados amostrais para
saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra em uma
população.
A análise de correlação fornece o número
A análise de regressão apresenta como
(coeficiente) que resume o grau de
resultado uma equação matemática que
relacionamento entre duas variáveis.
descreve um determinado relacionamento.
Os valores para a análise de regressão e correlação provêm de observações e, para um
problema com duas variáveis, cada observação dá origem a dois valores, uma para cada
variável. Uma das variáveis será a dependente e a outra independente.
Exemplos:
Família
Renda
Gastos
Peso
Altura
Aluno
Notas 2 o
grau
Notas
faculdade
1
R$ 1550
R$ 1350
56
179
A
80
85
2
R$ 2000
R$ 1970
67
176
B
75
70
3
R$ 1000
R$ 550
89
180
C
95
95
58
170
D
60
65
45
130
E
70
80
...
n
R$ 770
R$ 690
Uma maneira de apresentar os resultados é através do diagrama de dispersão.
Relação linear
positiva perfeita
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Relação linear
negativa perfeita
X e y positivamente
correlacionados
X e y negativamente
correlacionados
X e y não
correlacionados
90
Regressão
14.1 Aplicações da regressão
1. Estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra variável.
(Situações em que as duas variáveis medem aproximadamente a mesma situação, mas
uma delas é relativamente dispendiosa ou difícil de lidar, enquanto a outra não.)
2. Explicar valores de uma variável em termos da outra, isto é, pode-se suspeitar
uma relação de causa e efeito.
de
3. Predizer valores de uma variável.
OBS: A análise da regressão apenas indica qual relacionamento matemático pode existir, se
existir algum. Ou seja, nem a regressão, nem a correlação podem mostrar que uma variável
tenda a causar certos valores de outra variável, não garantido que exista relação de causa e
efeito.
“... a correlação entre beber um copo de vinho por dia e a menor chance de infarto do
miocárdio é um bom exemplo. Estudos recentes mostram que ela não se deve ao vinho e
ao álcool, mas sim ao betacaroteno, corante contido na uva. Para infelicidade de
muitos, tomar suco de uva dá o mesmo resultado que beber vinho tinto.” Jornal do
Brasil, 08/01/1999
14.2 Classificação das regressões
Quanto ao número de variáveis: Simples (uma variável independente explica bem o
fenômeno) ou Múltipla (mais de uma variável independente são necessárias para explicar
bem o fenômeno)
Quanto à qualidade da relação: Linear (os fenômenos podem ser bem explicados por
equações de primeiro grau) ou Não lineares (os fenômenos não podem ser bem explicados
por equações de primeiro grau, exigindo funções de ordem superior).
14.3 Modelo linear
14.3.1
A equação da linha reta
Forma da equação linear:
ŷ = a + bx
Duas características importantes são:
•
A ordenada da reta (valor de em y) determinado ponto (quando x=0) •
A inclinação da reta (coeficiente angular) a
b
O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido
como método dos mínimos quadrados .
Prof. Cíntia Paese Giacomello
91
b=
14.3.2
n( ∑ xy ) − ( ∑ x )( ∑ y )
a=
n( ∑ x 2 ) − ( ∑ x ) 2
∑ y − b∑ x
n
Erro padrão da estimativa linear
Uma vez que as estimativas
a
e
b são funções de variáveis aleatórias (x e y são variáveis
aleatórias) é necessário verificar a precisão das estimativas, conhecendo o erro padrão das
estimativas.
SE =
14.3.3
∑y
2
− ( a ∑ y + b∑ xy )
n−2
Intervalo de confiança para a estimativa
Para criar intervalos de confiança com base nos estimadores utiliza-se a equação:
yint ervalo = ŷ ± t S E
ŷ é obtido da equação.
Onde:
t é o valor da distribuição t de Student para n-2 graus de liberdade e nível de
confiança determinado (tabelado)
e
S E é o erro padrão da estimativa
Exemplo:
Seja y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em anos consecutivos. Encontre o
Intervalo de confiança 90% para a estimativa quando o PIB for 10,0.
x
7,0
7,3
7,8
8,6
8,1
8,3
8,2
8,6
9,0
9,6
9,1
y
10,1
10,6
11,3
12,4
11,9
11,9
11,5
12,1
13,1
14,1
14,6
x2
49,00
53,29
60,84
73,96
65,61
68,89
67,24
73,96
81,00
92,16
82,81
xy
70,70
77,38
88,14
106,64
96,39
98,77
94,30
104,06
117,90
135,36
132,86
Σx = 91,6
Σy = 133,6
Σ x 2 = 768,76
Σ xy = 1122,50
Prof. Cíntia Paese Giacomello
92
É ideal que sempre se inicie o estudo de regressão com o gráfico de dispersão dos valores.
Consum o pessoal
Consumo pessoal em função do PIB
14,0
12,0
10,0
8,0
6,5
E o cálculo de
b=
7,5
PIB
8,5
9,5
10,5
a e b fica:
11 (1122,5) - (91,6) (133,6)
11 (768,76) - (91,6)2
ŷ = −1,744 + 1,668 x ,
= 1,668
ou
e
a=
133,6 - (1,668) 91,6
= −1,744
11
Consumo = −1,744 + 1,668 PIB ou seja, para cada unidade
acrescida do PIB, o consumo pessoal aumentará 1,668 unidades.
E o intervalo de confiança para y quando x=10 será:
SE =
1641,28 − (( −1,744 )( 133 ,6 ) + 1,668( 1122 ,50 ))
= 0 ,4653
11 − 2
Valor de t tabelado
ŷ = −1,744 + 1,668( 10 ) = 14 ,936
yint ervalo = 14,936 ± 1,833 (0,4653)
yint ervalo = 14,936 ± 0,853
Ou seja, quando o PIB estiver em 10,0 o Consumo Pessoal poderá variar na faixa entre
14,083 e 15,789, com 90% de confiança.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
93
Correlação
14.4 Objetivo da correlação
O objetivo da correlação é determinar a força do relacionamento entre duas observações
emparelhadas, porque indica até que ponto os valores de uma variável estão relacionados
com os valores da outra variável.
O resultado da análise de correlação é chamado de coeficiente de correlação – um valor
que quantifica o grau de correlação.
O método mais comum de análise de correlação envolve observações em valores
numéricos. Neste caso utiliza-se o coeficiente r de Pearson.
14.5 O coeficiente r de Pearson (correlação)
O coeficiente r de Pearson mede o grau de associação linear em duas variáveis. Ele
possui duas propriedades importantes:
•
Seu sinal. Positivo indica correlação linear positiva, ou seja, à medida que uma variável
cresce, a outra cresce também. Sinal negativo indica correlação linear negativa, ou
seja, à medida que uma variável cresce, a outra decresce.
•
Sua grandeza indica quão próximos da reta estão os pontos individuais caso fosse
ajustada uma reta de regressão. O valor do coeficiente pode variar de –1 a 1.
-1
0
1
Correlação
negativa
forte
Inexistência
de
correlação
Correlação
positiva
forte
O cálculo do valor do coeficiente r de Pearson pode ser obtido através da equação:
r=
( x )( y )
∑ xy − ∑ n ∑

( x ) 
( y)
∑ x − ∑
 ∑ y − ∑



n
n
2
2
2


2




14.6 Coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação ou de explicação (r 2 ) indica quantos por cento a variação
explicada pela regressão representa da variação total.
r 2 = r.r
Prof. Cíntia Paese Giacomello
e
0 ≤ r2 ≤ 1
94
Exemplo:
Prosseguindo o exemplo anterior, sendo y o consumo pessoal médio e x o PIB do Brasil em
anos consecutivos.
x
7,0
7,3
7,8
8,6
8,1
8,3
8,2
8,6
9,0
9,6
9,1
y
10,1
10,6
11,3
12,4
11,9
11,9
11,5
12,1
13,1
14,1
14,6
x2
49,00
53,29
60,84
73,96
65,61
68,89
67,24
73,96
81,00
92,16
82,81
y2
102,01
112,36
127,69
153,76
141,61
141,61
132,25
146,41
171,61
198,81
213,16
xy
70,70
77,38
88,14
106,64
96,39
98,77
94,30
104,06
117,90
135,36
132,86
Σx = 91,6
Σy = 133,6
Σ x 2 = 768,76
Σ y 2 = 1641,28
Σ xy = 1122,50
O cálculo do coeficiente de correlação é dado por:
( 91,6 )( 133,6 )
11
r=
2

( 91,6 ) 
( 133,6 ) 2
768 ,76 −
 1641,28 −
11 
11

1122 ,5 −



= 0,9446
Ou seja, existe uma correlação forte positiva entre os valores do PIB e do consumo
pessoal.
O valor do coeficiente de determinação é: r 2 = 0,9446 x 0,9446 = 0,8923, o que significa
que 89% da variação total é explicada por este modelo.
Utilizando o Excel
Maneira 1: A equação é da forma y = a + b x para os valores dos pares (x,y) e
os coeficientes da reta são calculados utilizando o método dos mínimos
quadrados.Após colocar os valores em duas colunas (valores de x e valores de
y) vá ao “Assistente de Função” e escolha as funções “INCLINAÇÃO” para
determinar o valor de b e “INTERCEPÇÃO” para calcular o valor de a. Os
passos seguintes devem ser feitos seguindo as indicações do programa. Para o
cálculo da correlação utiliza-se no “Assistente de Função” o CORREL. Em
Matriz1 devem ser colocadas as células referentes à variável x em Matriz2 as
células referentes à variável y.
Maneira 2: Selecionar “Ferramentas” e “Análise de dados” e então
“Regressão”. Informar o que for solicitado.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
95
14.7 Exemplo de solução no Excel
A velocidade máxima de automóveis de fórmula 1 com motores de mesma potência é
função, entre outras variáveis, do peso do veículo, no intervalo entre 700 e 800 Kg. Assim,
verificou-se qual a velocidade máxima atingida em uma reta de 1.200 m. Os resultados
foram:
Peso(Kg)
750
755
777
782
793
Veloc.Máx.(Km/h)
380
354
348
330
320
a) Construa o gráfico dos dados
b) Qual a velocidade esperada para um veículo de 760 Kg?
GRÁFICO DOS DADOS (Diagrama de dispersão)
Relação entre velocidade e peso dos veículos de F1
Velocidade
390
y = -1,181x + 1257,173
370
2
R = 0,865
350
330
310
740
750
760
770
Peso
780
790
800
RESUMO DOS RESULTADOS
R
Estatística de regressão
R múltiplo
0,930
R-Quadrado
0,865
R-quadrado ajustado
0,820
Erro padrão
9,851
Observações
Prof. Cíntia Paese Giacomello
Se
5
96
Se F de significação < 0,05, então o
modelo linear ajustado aos dados é
válido. Se F > 0,05 o modelo não se
ajusta adequadamente aos dados.
ANOVA (teste de significância para o modelo linear ajustado)
gl
SQ
MQ
F
F de significação
Regressão
1
1864,051
1864,051
19,207
0,022
Resíduo
3
291,149
97,050
Total
4
2155,200
Testes para a e b
Se valor-P < 0,05, então a estimativa é
válida, caso contrário é significativamente
nula
Valores de a e b
Coeficientes
Interseção 1257,173
Peso(Kg)
-1,181
Erro
padrão
Stat t
valor-P
95%
95%
inferiores superiores
Inferior
95,0%
Superior
95,0%
207,862
6,048
0,009
595,662
1918,685
595,662
1918,685
0,269
-4,383
0,022
-2,038
-0,323
-2,038
-0,323
A equação linear de relacionamento dos dados é Velocidade =1257,173 – 1,181 Peso
Então, a velocidade estimada para um veículo com 760 kg é Velocidade=1257,173–
1,181(760) = 359,61 km /hora
Prof. Cíntia Paese Giacomello
97
Exercícios
1. Determinar o coeficiente de correlação dos dados a seguir:
X
Y
1
4
2
7
3
7
6
9
9
15
Se os dados forem correlacionados, estimar a reta de regressão:
2. A tabela a seguir apresenta os valores dos investimentos administrados on-line a partir
de 1998. Verifique se existe correlação entre os anos (x) e os investimentos (y), caso
exista correlação, apresente o intervalo de confiança de 95% para o valor dos
investimentos no ano de 2002 e 2003.
Ano
1998
1999
2000
2001
Investimento
374
555
908
1010
3. Os gráficos e a tabela indicam o número de anos de escolaridade das chefes de família
(x) e a participação feminina na renda familiar (y) em alguns anos
1976
1990
1993
1996
Número
de anos de
estudo
4,7
5,7
6,3
6,6
Participação na renda
(%)
8,4
16
19
21
a) Caso exista associação, quantos anos de estudo serão necessários para que a
participação da mulher na renda familiar chegue a 50% ?
b) E qual será a participação da mulher na renda familiar quando ela tiver 12 anos de
estudo?
c) Você poderia estimar o ano em que a mulher irá participar com 50% da renda?
Prof. Cíntia Paese Giacomello
98
4. Após uma regulagem eletrônica um veículo apresenta um rendimento ideal no que
tange o consumo de combustível. Contudo, com o passar do tempo esse rendimento
vai se degradando. Os dados a seguir representam o rendimento medido mês a mês
após a regulagem. Ajuste um modelo linear a estes dados. Calcule o coeficiente de
correlação. Interprete os resultados.
x: Meses após a regulagem
y: Rendimento
1
10,7
2
10,9
3
10,8
4
9,3
5
9,5
6
10,4
x: Meses após a regulagem
y: Rendimento
7
9,0
8
9,3
9
7,6
10
7,6
11
7,9
12
7,7
5. O gerente de uma indústria localizada em um país tropical suspeita que há uma
correlação entre a temperatura do dia e a produtividade. Dados coletados
aleatoriamente ao longo de um período de seis meses revelaram o seguinte.
Temperatura
Produtividade
21,2
142
20,3
148
22,7
131
22,0
132
22,3
145
23,5
138
24,8
144
24,2
136
25,5
141
25,2
124
25,5
133
25,8
128
Temperatura
Produtividade
27,5
132
26,3
137
28,2
124
28,6
117
29,0
122
29,7
131
30,7
124
30,3
111
30,2
119
31,4
129
32,5
123
32,7
116
Plote um gráfico de dispersão e visualize a natureza da correlação entre temperatura e
produtividade. Depois estime a equação da reta de regressão e calcule o valor do
coeficiente de correlação. Interprete os resultados.
Estime a produtividade quando a temperatura estiver em 35 graus. Construa um
Intervalo de Confiança de 90% para esta produtividade.
6. Suponha que os valores obtidos para o desempenho de alunos em uma determinada
disciplina e as rendas familiares sejam os que seguem.
Aluno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
(renda)
750
690
400
900
200
1000
300
600
1200
Y
(desempenho)
5
8
4
9
2
10
3
6
10
Os dados são correlacionados? Justifique sua resposta. Se forem, estime a reta de
regressão.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
99
7. A revista Exame Melhores e Maiores apresentou as maiores empresas do comércio, por
vendas no ano anterior. Entre as que pertencem ao setor de comércio varejista estão
destacadas as 11 maiores. Através da análise da tabela e do gráfico, o que você pode
concluir?
Número de
funcionários
Empresa
Carrefour
Pão de Açúcar
Casas Bahia
Sendas
Ponto Frio
Sonae
Bompreço
L. Americanas
McDonalds
AgipLiquigás
Pernambucanas
37.004
39.642
11.508
16.990
5.395
22.638
13.225
12.485
Não informou
3.804
10.787
Vendas
(Milhões US$)
4.582,4
3.976,4
1642,2
1391,7
1223,6
1083,9
1062,7
900,6
726,7
693,1
619,1
Fonte: Revista Exame
V e nd as no an o d e 1999 das 11 m aior e s e m pr e s as d o
Br as il do s e tor de co m é r cio var e jis ta
5.000
4.500
y = -42 ,4 62 + 0 ,10 15 x
M ilhõ e s US$
4.000
R 2 = 0 ,80 1
3.500
3.000
2.500
2.000
1.500
1.000
500
-
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
Núm e r o d e fu ncion ár ios
14.8 Outros modelos
Muitas vezes a forma funcional entre as variáveis x e y não é linear. Alguns modelos,
mesmo não sendo lineares, são facilmente linearizáveis. Este procedimento busca facilitar
o cálculo dos coeficientes da equação.
No entanto, o uso de softwares estatísticos, calculadoras e planilhas eletrônicas auxilia na
obtenção dos coeficientes.
O valor de r 2 serve como uma forma de comparação entre os modelos. O modelo que
apresentar maior valor de r 2 é o que apresenta melhor ajuste dos dados.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
100
14.8.1
Função exponencial
a>0
Utilizando
as
-
y = ab x
0<b<1
a>0
b>1
a<0
0<b<1
propriedades
dos
logaritmos
pode-se
a<0
chegar
a
b>1
Y = A + Bx
onde
Y = log y , A = log a e B = log b
Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e B e depois convertem-se os valores
para a e b .
a = 10 A e b = 10 B
Exemplo
Uma empresa fabricante de brinquedos registrou suas vendas nos últimos 10 anos,
obtendo os valores apresentados a seguir.
Vendas (y)
450
500
600
800
1.200
1.700
2.100
4.000
5.000
7.000
Vendas do brinquedo, por ano
10.000
8.000
Ve n d as
Ano (x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6.000
4.000
2.000
0
0
1
2
3
4
5 6
An o
7
8
9
10 11
O diagrama de dispersão dos dados indica que a relação não é linear.
Prof. Cíntia Paese Giacomello
101
Para ajustar uma função exponencial, inicia-se com o cálculo dos somatórios de Y, x, Y 2 ,
x 2 e xY, onde Y = ln (y)
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total: 55
y
450
500
600
800
1.200
1.700
2.100
4.000
5.000
7.000
23.350
x2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
385,00
Y=ln(y)
6,11
6,21
6,40
6,68
7,09
7,44
7,65
8,29
8,52
8,85
73,25
xY
6,11
12,43
19,19
26,74
35,45
44,63
53,55
66,35
76,65
88,54
429,64
Y2
37,32
38,62
40,92
44,68
50,27
55,33
58,52
68,79
72,54
78,39
545,39
Então,
B=
10( 429 ,64 ) − ( 55 )( 73 ,25 )
= 0,3245
10( 385 ) − ( 55 ) 2
A=
73,25 − 0 ,325( 55 )
= 5 ,5399
10
b = exp( B ) = exp( 0 ,3245 ) = 1,3903 e a = exp( A ) = exp( 5 ,5399 ) = 254 ,42
Logo, a equação final será
Vendas =(254,42)(1,3903) ano
Observe como os valores estimados pela equação estão próximos dos valores reais,
observados na série de dados.
8.000
7.000
V endas
obs ervadas
6.000
5.000
4.000
3.000
V endas
estim adas pela
equaç ão
2.000
1.000
0
1
Prof. Cíntia Paese Giacomello
2
3
4
5
6
7
8
9 10
102
14.8.2
Função geométrica ou de potência
a>0
Utilizando
as
b ímpar
a>0
b par
a<0
propriedades
dos
logaritmos
pode-se
y = ax b
-
b ímpar
chegar
a<0
b par
Y = A + bX
a
onde
Y = log y , A = log a e X = log x
Pelo método dos mínimos quadrados obtém-se A e
para a .
b e depois convertem-se os valores
a = 10 A
Exemplo
Os dados a seguir apresentam a produção de veículos automotivos (y) ao longo do tempo
(x). Para estes dados ajuste um modelo de potência
ano
produção
59
96,1
60
133,0
61
145,6
62
191,2
63
174,2
64
183,7
65
185,2
ano
produção
66
224,6
67
225,4
68
278,5
69
349,5
70
416,0
71
516,0
72
609,0
O diagrama de dispersão dos dados sugere que um modelo potencial é indicado.
P rodução automobilística anual
Milhares de unidade
700,0
600,0
500,0
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0
55
Prof. Cíntia Paese Giacomello
60
65
An o
70
75
103
Cálculo dos parâmetros:
Ano
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
Produção
96,1
133,0
145,6
191,2
174,2
183,7
185,2
224,6
225,4
278,5
349,5
416,0
516,0
609,0
Totais:
Y=ln(y)
4,565
4,890
4,981
5,253
5,160
5,213
5,221
5,414
5,418
5,629
5,857
6,031
6,246
6,412
76,292
X=ln(x)
4,078
4,094
4,111
4,127
4,143
4,159
4,174
4,190
4,205
4,220
4,234
4,248
4,263
4,277
58,522
Y2
20,843
23,916
24,809
27,597
26,628
27,179
27,263
29,315
29,353
31,690
34,299
36,369
39,014
41,111
419,386
X2
16,626
16,764
16,899
17,033
17,166
17,296
17,426
17,553
17,679
17,804
17,928
18,050
18,170
18,290
244,684
XY
18,616
20,023
20,476
21,681
21,379
21,682
21,796
22,684
22,781
23,753
24,797
25,621
26,625
27,421
319,335
Assim,
b=
14( 319 ,335 ) − ( 58 ,522 )( 76 ,292 )
= 7,970
14( 244 ,684 ) − ( 58 ,522 ) 2
A=
76 ,292 − 7 ,970( 58 ,522 )
= −27 ,868
14
a = exp( A ) = exp( −27 ,868 ) = 7 ,889 E − 13
Y=A+bX Ou então,
Y=-27,868+7,970X onde Y e X são, respectivamente, ln(x) e ln(y)
y=7,889E-13 x
7,970
Logo, a equação final será
Produção de automóveis = 7,889E-13 (ano)
7,970
O gráfico comparativo entre os valores observados para a produção e os estimados através
da curva Produção de automóveis = 7,889E-13 (ano) 7,970 é:
Prof. Cíntia Paese Giacomello
104
700,0
600,0
Produção real
500,0
Produção estimada
pela equação
400,0
300,0
200,0
100,0
0,0
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
Exercícios
1.
Aos dados a seguir ajuste um modelo exponencial e um polinomial. Estime a
quantidade de vendas para o ano de 2003, supondo que o comportamento dos dados
seja mantido. DICA: utilize os números de 1 a 11 para os anos e calcule o valor de y quando x
for 14.
Ano
Vendas
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
15
16
17
18
25
28
32
42
55
76
93
2. Se você tivesse uma série de dados como expressa no diagrama de dispersão a seguir,
que modelo de regressão você utilizaria? O que você poderia dizer a respeito dos
valores dos parâmetros?
3. Uma companhia de energia elétrica estimou o consumo médio de energia das famílias
(kwh) de acordo com a renda (R$). Ajuste os seguintes modelos: y=ax b , y=ab x e
y=a+bx.
Renda
197
286
243
218
241
200
215
198
129
157
296
302
Consumo
1234
1432
1678
1300
1467
1245
1214
1200
770
890
2020
2100
Prof. Cíntia Paese Giacomello
105
15 Tabelas
Prof. Cíntia Paese Giacomello
106