AJUSTE DE SEIS DISTRIBUIÇÕES DENSIDADE DE PROBABILIDADE A
SÉRIES HISTÓRICAS DE TEMPERATURA MÉDIA MENSAL, EM
MOSSORÓ/RN.
Janilson Pinheiro de Assis¹, Ben Dêivide de Oliveira Batista², José Espínola
Sobrinho³
¹ Departamento de Ciências Vegetais, Universidade Federal Rural do Semi-árido, Av. Francisco Mota, s/n, km 47 da Br 110, Bairro
Presidente Costa e Silva, Cep. 59500-900, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brasil. E-mail: [email protected].
² Estudante de Graduação em Engenharia Agronômica da UFERSA, Av. Francisco Mota, s/n, km 47 da Br 110, Bairro Presidente Costa e
Silva, Cep. 59500-900, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brasil. E-mail: [email protected].
³ Departamento de Ciências Ambientais, Universidade Federal Rural do Semi-árido, Av. Francisco Mota, s/n, km 47 da Br 110, Bairro
Presidente Costa e Silva, Cep. 59500-900, Mossoró, Rio Grande do Norte, Brasil. E-mail: [email protected].
Apresentado no XVI Congresso Brasileiro de Agrometeorologia – 22 a 25 de Setembro
de 2009 – GranDarrell Minas Hotel, Eventos e Convenções – Belo Horizonte – MG.
Resumo: No presente trabalho foram ajustadas sete distribuições densidades de
probabilidade, Normal, Log-Normal, Beta, Gama, Log-Pearson (Tipo III), Gumbel, Weibull.
Os critérios de ajuste utilizados para verificar a aderência das distribuições empíricas à
distribuição teórica sob hipótese, e adotando um nível de significância de 10% de
probabilidade, foram os testes de Kolmogorov-Smirnov, Qui-quadrado, Cramer Von-Mises,
Anderson Darling, Kuiper, e o Logaritmo da Máxima Verossimilhança, totalizando assim,
504 testes. A série de temperatura foi constituída de 1970 a 2007. Verificou-se ajustamento
para todos os modelos estudados, sendo as distribuições Normal e Log-Normal aquelas que
melhor representam a série de temperatura, devido a parcimônia desses modelos. Deve-se
salientar que o teste de Kolmogorov Smirnov apresenta um nível de aprovação de uma
distribuição sob teste muito elevado, o que gera uma certa insegurança em relação aos
critérios do teste, mas neste estudo de dados aproximadamente simétricos e séries pequenas,
ele é o mais recomendado.
Palavras-chave: Temperatura, probabilidade, ajustamento.
Introdução
O estudo de distribuições de probabilidade de variáveis climáticas ao longo do tempo,
como forma de compreender os fenômenos meteorológicos para determinar seus padrões de
ocorrência e previsões probabilísticas, permitem ao pesquisador uma previsibilidade razoável
do comportamento climático de uma região, sendo este fato, uma ferramenta de grande
importância para o planejamento e gestão de diversas atividades agrícolas e humanas. O
objetivo deste trabalho foi verificar o ajuste e a qualidade deste à série de dados de
temperatura média mensal no município de Mossoró/RN, às distribuições densidade de
probabilidade Normal, Log-Normal, Beta, Gama, Log-Pearson (Tipo III), Gumbel e Weibull,
através dos critérios dos testes Kolmogorov-Smirnov, Qui-quadrado, Cramer Von-Mises,
Anderson Darling, Küiper, e do Logaritmo da Máxima Verossimilhança.
Material e Métodos
Foram ajustados os seguintes modelos de funções densidade de probabilidade:
Normal, Log-normal, Beta, Gama, Gumbel, Weibull e Log Pearson tipo III (CAMPOS, 1983;
COOKE, 1993).
Segundo Morettin & Bussab (2003), a Normal é uma das mais importantes variáveis
aleatórias contínuas, cuja distribuição é chamada distribuição normal ou Gaussiana, a qual
serve como modelo de distribuição para muitos problemas da vida real, mas também aparece
em muitas investigações teóricas, pois sua importância em análise matemática resulta do fato
de que muitas técnicas estatísticas, como análise de variância e de regressão além de alguns
testes de hipóteses assumem ou exigem a normalidade dos dados.
Na Distribuição log-normal os logaritmos das variáveis aleatórias são normalmente
distribuídos. Nesse trabalho foi usada a distribuição a três parâmetros.
A função Gama de probabilidade possui dois parâmetros, o de forma ( α ) e o de escala
( β ). Thom (1958), citado por Miller & Weaver (1968), afirmou que para valores de α
maiores ou igual a 100, a distribuição gama se aproxima da distribuição normal. O parâmetro
de escala ( β ) indica o grau de dispersão entre os dados de uma série estudada.
A distribuição Weibull é utilizada em análise hidrológica para eventos extremos;
contudo, sua utilização em séries históricas de variáveis climáticas e biológicas ainda é pouco
conhecida (CATALUNHA et al., 2002). A distribuição densidade de probabilidade de
Gumbel é outro modelo bastante utilizado na representação de dados climáticos, como por
exemplo, para radiação solar e temperatura (ASSIS et. al., 2004)
A distribuição densidade de probabilidade Log-Pearson Tipo III, é usada para
representar variáveis médias e extremas (SANSIGOLO, 2008).
Ao se ajustar uma série de dados a uma distribuição densidade de probabilidade,
trabalha-se com a hipótese de que a distribuição pode representar adequadamente aquele
conjunto de dados. Um critério de comprovar esta hipótese é através de alguns testes não
paramétricos, sendo neste trabalho utilizado os testes de qui-quadrado (χ2), Kolmogorov
Smirnov, Cramer Von-Mises, Kuiper, Anderson-Darling, além do Logaritmo da Máxima
Verossimilhança, como critério para indicar o grau de ajustamento (WORLEY et al., 1990;
COOKE, 1993). Essa estatística possui poder para discriminar ajustes em que os demais testes
fracassam em apontar (SHAPIRO e BRAIN, 1981).
Resultados e Discussão
Foram ajustados seis modelos de distribuição de probabilidade Normal, Log-Normal,
Beta, Gama, Log-Pearson (Tipo III), Gumbel e Weibull, através dos critérios dos testes
Kolmogorov-Smirnov, Qui-quadrado, Cramer Von-Mises, Anderson Darling, Küiper, e do
Logaritmo da Máxima Verossimilhança Campos (1983) Cooke, 1993, cujos resultados
indicaram um bom ajuste a essas funções de distribuição de probabilidade, sendo a maioria
testadas com o valor-p ≥ 0,10. Considerando um nível de significância dos testes igual a
0,05, ou seja, com probabilidade de um erro tipo I de 0,05, ou número de série de dados que
não rejeitar H0, isto é, os dados que se ajustam à distribuição em teste, foi bastante pequena.
Já através do Logaritmo da Máxima Verossimilhança, verificou-se ainda que nenhuma série
de dados se ajustou ou aderiram aos modelos propostos. Isto se deve provavelmente ao
número reduzido de dados da série histórica, pois quanto maior dessa estatística, ou seja,
quanto maior é o valor do logaritmo da função de máxima verossimilhança, melhor é o ajuste
obtido (SHAPIRO e BRAIN, 1981; COOKE, 1993; SANSIGOLO, 2008).
No entanto conforme Campos (1983) o teste de Kolmogorov-Smirnov, é mais
indicado para grandes séries de valores, além do mais nesse teste não há necessidade de
agrupamento dos dados em intervalos de classe como é o caso para a aplicação do teste de
qui-quadrado, sendo assim nesse trabalho o teste que se mostrou mais conveniente é o de
Kolmogorv-Smirnov. Sendo assim, pode-se inferir que entre as sete distribuições testadas, os
parâmetros de qualquer uma delas poderiam ser utilizados para representar o comportamento
da temperatura média mensal. Porém, a obtenção da estimativa dos parâmetros dessas
distribuições e a estimativa das probabilidades diferem quanto ao grau de dificuldade. Então
convém verificar qual das funções estudadas tem o melhor ajuste, podem a mesma, coincidir
com uma distribuição que apresente menor dificuldade de obtenção dos parâmetros e ainda
facilidade nas estimativas de probabilidades (CARGNELUTTI FILHO et. al., 2004).
Entre as sete distribuições de probabilidade testadas na classe de um valor-p ≥ 0,10, a
distribuição Normal apresentou o maior número de aderências, revelada de forma mais
freqüente através do teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov, bastando estimar os
parâmetros desta distribuição (média e desvio-padrão) para os cálculos de probabilidade
dentro de limites de intervalos desejados (SANSIGOLO, 2008).
Conclusões
Os dados de temperatura média mensal se ajustam as distribuições de probabilidade
Normal, Log-Normal, Beta, Gama, Log-Pearson (Tipo III), Gumbel e Weibull e aprensentam
melhor ajuste, a distribuição de probabilidade Normal. Os critérios de ajuste KolmogorovSmirnov, Qui-quadrado, Cramer Von-Mises, Anderson Darling, Küiper, foram semelhantes,
podendo neste caso, serem utilizados como elemento indicador do melhor modelo. No
entanto, o Logaritmo da Máxima Verossimilhança não se prestou como elemento indicador
do ajuste.
Tabela 1. Freqüência do número de ajuste de séries históricas de temperatura média mensal a sete modelos de
distribuição de densidade de probabilidade, Mossoró, RN, 2009.
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
MÊS
Log-Pearson
Normal
Log-Normal
Beta
Gama
Gumbel
Weibull
III
Jan
5 11,11% 5 11,11% 4 10,00% 4
9,09% 5 10,87% 4
8,70%
5
11,36%
Fev
4
8,89% 4
8,89% 4 10,00% 4
9,09% 5 10,87% 4
8,70%
4
9,09%
Mar
4
8,89% 4
8,89% 4 10,00% 4
9,09% 4
8,70% 4
8,70%
3
6,82%
Abr
3
6,67% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 4
8,70% 3
6,52%
3
6,82%
Mai
3
6,67% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 4
8,70% 4
8,70%
4
9,09%
Jun
3
6,67% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 3
6,52% 3
6,52%
3
6,82%
Jul
5 11,11% 5 11,11% 3
7,50% 5 11,36% 4
8,70% 5 10,87%
5
11,36%
Ago
4
8,89% 5 11,11% 4 10,00% 5 11,36% 5 10,87% 5 10,87%
4
9,09%
Set
4
8,89% 4
8,89% 3
7,50% 4
9,09% 3
6,52% 4
8,70%
3
6,82%
Out
3
6,67% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 3
6,52% 3
6,52%
3
6,82%
Nov
4
8,89% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 3
6,52% 4
8,70%
4
9,09%
Dez
3
6,67% 3
6,67% 3
7,50% 3
6,82% 3
6,52% 3
6,52%
3
6,82%
TOTAL 45 100%
45
100% 40 100% 44 100% 46 100% 46 100%
44
100%
Tabela 2. Freqüência do número de ajuste de séries históricas de temperatura média mensal a sete modelos
de distribuição de densidade de probabilidade, Mossoró, RN, 2009.
MÊS
Distribuição de probabilidade
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
Normal
5
4
4
3
3
3
5
4
4
3
4
3
Log-Normal
5
4
4
3
3
3
5
5
4
3
3
3
Beta
4
4
4
3
3
3
3
4
3
3
3
3
Gama
4
4
4
3
3
3
5
5
4
3
3
3
Log-Pearson III
5
5
4
4
4
3
4
5
3
3
3
3
Gumbel
4
4
4
3
4
3
5
5
4
3
4
3
Weibull
5
4
3
3
4
3
5
4
3
3
4
3
TOTAL
32 29 27
22 24 21 32 32 25 21 24 21
Tabela 3. Valor-p dos testes de Qui-quadrado e Kolmogorov-Smirnov dos ajustes de sete distribuições densidade de probabilidade à séries de temperatura média mensal.
NORMAL
DATA DA
P-VALOR P-VALOR
SEMEADURA
KS
χ2
LOG NORMAL
PVALOR
KS
PVALOR
χ2
BETA
GAMA
LOG–PEARSON
TIPO III
GUMBEL
WEIBULL
P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR
KS
χ2
KS
χ2
KS
χ2
KS
χ2
KS
χ2
JANEIRO
0,176
0,107
0,193
0,107
0,183
0,107
0,171
0,107
0,164
0,107
0,184
0,044
0,202
0,491
FEVEREIRO
0,143
0,864
0,136
0,864
0,264
0,077
0,136
0,864
0,154
0,864
0,173
0,024
0,172
0,024
MARÇO
0,118
0,888
0,114
0,888
0,225
0,000
0,107
0,888
0,110
0,888
0,149
0,021
0,231
0,013
ABRIL
0,244
0,000
0,223
0,000
0,415
0,000
0,234
0,000
0,307
0,000
0,235
0,000
0,271
0,000
MAIO
JUNHO
JULHO
AGOSTO
0,207
0,226
0,154
0,135
0,038
0,005
0,185
0,060
0,197
0,242
0,166
0,132
0,038
0,005
0,185
0,602
0,219
0,368
0,166
0,184
0,003
0,005
0,005
0,241
0,203
0,223
0,149
0,125
0,038
0,005
0,185
0,602
0,154
0,177
0,181
0,151
0,038
0,005
0,185
0,660
0,148
0,176
0,157
0,171
0,038
0,005
0,185
0,491
0,287
0,265
0,142
0,136
0,001
0,000
0,185
0,060
SETEMBRO
0,215
0,269
0,216
0,269
0,314
0,001
0,205
0,269
0,263
0,001
0,226
0,269
0,229
0,000
OUTUBRO
0,255
0,000
0,279
0,000
0,381
0,000
0,256
0,000
0,217
0,000
0,224
0,000
0,369
0,000
NOVEMBRO
0,160
0,080
0,176
0,004
0,203
0,075
0,164
0,075
0,208
0,075
0,193
0,075
0,195
0,075
DEZEMBRO
0,228
0,001
0,220
0,005
0,223
0,001
0,222
0,005
0,231
0,005
0,259
0,005
0,264
0,005
Tabela 3. Natureza dos ajustes em função dos testes de Qui-quadrado e Kolmogorov-Smirnov através de sete modelos de distribuição densidade de probabilidade à séries de temperatura média mensal.
LOG–PEARSON
NORMAL
LOG NORMAL
BETA
GAMA
GUMBEL
WEIBULL
TIPO III
PPPDATA DA
P-VALOR P-VALOR P-VALOR
P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR P-VALOR
VALOR
VALOR VALOR
2
2
2
2
2
SEMEADURA
KS
χ
KS
KS
χ
KS
χ
KS
χ
KS
χ
χ2
KS
χ2
JANEIRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
FEVEREIRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
MARÇO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
ABRIL
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
MAIO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
JUNHO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
JULHO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AGOSTO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
SETEMBRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
OUTUBRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
NOVEMBRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
DEZEMBRO
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
AJ
-
(1) AJ = Distribuição ajustada, - = Distribuição não ajustada (significativo a 10% de probabilidade).
Referências Bibliográficas
ASSIS, J. P.; NETO, D. D.; MANFRON, P. A.; MARTIN, T. N.; SPAROVEK, G.; TIMM,
L. C. Ajuste de series históricas de temperatura e radiação solar global diária às funções
densidade de probabilidade normal e log-normal, em Piracicaba, SP. Revista Brasileira de
Agrometeorologia, Santa Maria, v. 12, n.1, p. 113-121, 2004.
CAMPOS, H. Estatística não paramétrica, Piracicaba: ESALQ/USP, 1983. 349 p. 4ª ed.
CARGNELUTTI FILHO, Alberto; MATZENAUER, R.; TRINDADE, J. K. da. Ajustes de
funções de distribuição de probabilidade à radiação solar global no Estado do rio Grande
do Sul. Pesq. Agropec. Brás., Brasília, v. 39, n. 12, p. 1157-1166, dezembro, 2004.
CATALUNHA, M.J.; SEDIYAMA, G.C.; LEAL, B.G.; SOARES, C.P.B.; RIBEIRO, A.
Aplicação de cinco funções densidade de probabilidade a séries de precipitação pluvial no
Estado de Minas Gerais. Revista Brasileira de Agrometeorologia, v.10, n.1, p.153-162,
2002.
COOKE, R.A. VTFIT: A routine for fitting homogenous Probability density functions. User
documentation. Blacksburg: Department of agricultural Engineering. Virginia, Polytecnic
Institute, 1993. 21p.
COOKE, R.A.; MOSTAGHIMI, S.; WOESTE, F.E. VTFIT: A microcomputer – based
routine for fitting probability distribution functions to data. American Society of
Agricultural Engineers. St. Joseph, v.9, n.4, p.401-408, 1993.
MILLER, M. E.; WEAVER, C. R. Monthly and annual precipitation probabilities for
climatic divisions in Ohio. Research bulletin, n. 1005. 11p., 1968.
MORETTIN, P.A.; BUSSAB, W.O. Estatística básica. , São Paulo: Saraiva, 2003. 526p.
SANSIGOLO, C. A. Distribuição de extremos de precipitação diária, temperatura máxima e
mínima e velocidade do vento em Piracicaba, SP (1917-2006). Revista Brasileira de
Meteorologia, v. 23, n. 3, 341-346, 2008.
SHAPIRO, S. S.; BRAIN, C. W. A review of distributional testing procedure and
development of a censored sample distibutional test. In: Statistical distribution in
scientific work, v. 5. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. 1981.
SHAPIRO, S. S.; BRAIN, C. W. A review of distributional testing procedure and
development of a censored sample distributional test. In: Statistical distribution in
scientific work, v.5, Dordrecht: D. Reidel Publishing Co. 1981.
THOM, H.C.S. Some methods of climatological analysis. Roma: FAO, 1966. 50p. (Technical
Notes, 81).
WORLEY, J. W. et al. Graphic distribution analysis (GDA). American Society Agricultural
Engenharing., St. Joseph, v.6, n.3, p.367-371, 1990.
WORLEY, J. W. et. al. Graphic distribution analysis (GDA). Am. Soc. Agric. Eng., St.
Joseph, v. 6, n. 3, p. 367-371, 1990.