Prezados Estudantes, Professores de Matemática e Diretores de Escola,
Os Problemas Semanais são um incentivo a mais para que os estudantes possam se
divertir estudando Matemática, ao mesmo tempo em que se preparam para as
Competições Matemáticas. Por favor, deixem os problemas em local onde todos os
estudantes da Escola possam tomar conhecimento, se sintam desafiados a resolvê-los e
divirtam-se com as soluções.
Problemas semanais de anos anteriores podem ser encontrados no endereço:
www.ufrn.br/olimpiada/treinamento. Identificando os estudantes que resolveram os
problemas, incentive-os a enviar suas soluções para serem publicadas na nossa página na
internet. Encaminhe as soluções para: [email protected] ou [email protected],
[email protected] ou iesus [email protected].
Por favor, divulguem os problemas!
SOLUÇÃO DA LISTA SEMANAL No. 04 - Data 24/03/2014
NÍVEL I
Uma mulher, com idade menor do que 100 anos, e um de seus netos completam anos no
mesmo dia. Para seis anos consecutivos, a idade da mulher era múltiplo da idade do neto.
Determinar as idades da mulher e seu neto nesses seis anos.
SOLUÇÃO
Seja (m,n) o par ordenado que designa a idade da mulher, (m), e de seu neto, (n), ao
longo dos seis anos. Entâo (61, 1), (62, 2), (63, 3), (64, 4), (65, 5), (66, 6) são as idades da
mulher e do neto ao longo dos anos em que a idade da mulher era múltiplo da idade do
neto.
De fato, seja m a primeira idade da mulher quando sua idade é múltiplo da idade do neto.
Observe que m tem de ser ı́mpar, pois 2 divide (m+1). Logo, m − 1 é divisı́vel por 2, pois
se m + 1 = 2q, com q um número inteiro, então m − 1 = (m + 1) − 2 = 2q − 2 = 2(q − 1).
Do mesmo modo, m − 1 é divisı́vel por 3, pois, como m + 2 é divisı́vel por 3, segue que
m + 2 = 3s, com s um número inteiro, e m − 1 = (m + 2) − 3 = 3s − 3 = 3(s − 1). Da
mesma maneira, m − 1 é divisı́vel por 5, pois m + 4 = 5k, com k número inteiro, e
m − 1 = (m + 4) − 5 = 5k − 5 = 5(k − 1). Portanto, m − 1 é um múltiplo de 2, 3 e 5.
Logo, m − 1 é múltiplo de 30. Agora, os múltiplos positivos de 30 menores do que 100
são 30, 60 e 90. É fácil verificar que m − 1 = 60. Portanto, m = 61 e segue o resultado.
1
NÍVEL II
É possı́vel arranjar oito dos nove inteiros 2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 13, 15 nas casas vagas do
tabuleiro 3 × 4 mostrado a seguir, de modo que a média aritmética dos números em cada
linha e cada coluna são iguais ao mesmo inteiro.
Exiba um desses arranjos e especifique qual dos nove números tem de ser deixado de fora.
SOLUÇÃO
Pelas hipóteses do problema, a média aritmética dos números em cada linha e em cada
coluna é um inteiro, e como existem 3 linhas e 4 colunas a soma dos 12 números escritos
no tabuleiro tem de ser divisı́vel por 3 e por 4. Logo, a soma tem de ser divisı́vel por 12.
Por outro lado, a soma dos treze números
1 + 9 + 14 + 2 + 3 + 4 + 7 + 10 + 11 + 12 + 13 + 15 = 106 e 106 deixa resto 10 na divisão
por 12. Isto significa que devemos deixar de fora o número 10. Assim, a soma dos
números escritos nas casas do tabuleiro deve ser 106 − 10 = 96, o que implica que a soma
= 32 e a soma dos números
dos números escritos em cada linha deve ser igual a 96
3
=
24.
escritos em cada coluna deve ser 96
4
Preenchemos, a partir da primeira coluna, as casas vagas do tabuleiro com os números
a, b, c, d, e, f, g, h, veja figura a seguir.
Logo, podemos deduzir que:
(i) d + e = 36 − 9 − 5 = 18. Assim, {d, e} = {3, 15} ou {d, e} = {7, 11}
(ii) d + f = 24 − 1 = 23. Assim, {d, f } = {11, 12}
De (i) e (ii), concluı́mos que d = 11, f = 12, e = 7, b = 3.
De maneira análoga, temos que: (iii) g + h = 6. Assim, {g, h} = {2, 4} e
(iv) a + g = 15. Assim,{a, g} = {2, 13}
De (iii) e (iv), concluı́mos que g = 2, = 4, a = 13 e c = 15.
2
Portanto, o tabuleiro preenchido é:
NÍVEL III
Determine o valor de
s
S=
1
1+ 2
1 +
s
+
1
22
1
1+ 2
2 +
r
1
32
+ ··· +
1+
1
1
+
2
2012
20132
SOLUÇÃO
A resposta é 2012 +
S=
2012
.
2013
2012
X
n=1
Observe que:
s
2012
X
1
n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1
1
1+ 2 +
=
n
(n + 1)2
n2 (n + 1)2
n=1
s
2012
X
(n2 + n + 1)2
=
[n(n + 1)]2
n=1
s
=
2012 2
X
n +n+1
n=1
= 2012 +
2012
X
n=1
(
n2
+n
2012
X
(1 +
=
n=1
n2
1
)
+n
1
1
−
), (que é uma soma telescópia)
n n+1
= 2012 + 1 −
1
2012
= 2012 +
.
2013
2013
NÍVEL UNIVERSITÁRIO
Há muito tempo, em uma galáxia muito distante, utilizavam-se como referência para
viagens espaciais os pontos A; B; C; D; E; F ; G; H, vértices de um cubo de aresta igual a
um ano-luz tendo os quadrados ABCD e EF GH como faces e tendo os segmentos
AE, BF, CG e DH como arestas. Uma nave espacial viaja com velocidade constante em
trajetória retilı́nea de B para C. Outra nave viaja com velocidade constante igual ao
triplo da velocidade da primeira, em trajetória retilı́nea de A para G.
3
Sabendo que a primeira atinge o ponto C no mesmo instante em que a segunda atinge o
ponto G, determine a menor distância entre as naves durante esse deslocamento.
SOLUÇÃO
Dando coordenadas, suponha sem perda de generalidade que:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0); C = (1; 1; 0); D = (0; 1; 0);
E = (0; 0; 1); F = (1; 0; 1); G = (1; 1; 1); H = (0; 1; 1).
Se as posições (em função do tempo) das duas naves são α(t) e β(t), respectivamente, se
t = 0 e o instante em que α(t) = C e β(t) = G e t = −1 é o instante em que α(t) = B
temos
α(t) = (1; 1; 0) + t(0; 1; 0), β(t) = (1; 1; 1) + 3t(1; 1; 1).
Assim, o quadrado da distância em função do tempo é
√
√
√
h(t) = ((1) − (1 + 3)2 + ((1 + t) − (1 + 3)2 + (0 − (1 + 3)2
√
√
= 3t2 + ( 3 − 1)2 t2 + 1 + 2 3t + 3t2
√
√
= (10 − 2 3)t2 + 2 3t + 1
√
√
Temos h0 (t) = (20 − 4 3t) + 2 3.
√
√
3)
−2 √
3
= −(3+5
Para t0 = 20−4
≈ −0, 265, temos h0 (t0 ) = 0; para t < t0 temos h0 (t) < 0 e
44
3
para t > t0 temos h0 (t) > 0.
Assim, o mı́nimo do quadrado da distância é
√
29 − 3
h)t0 =
≈ 0, 541.
44
e a distância mı́nima é igual a
s
√
(29 − 3 3)
≈ 0, 7355.
44
4