XXIX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase – Nı́vel Alfa
1
XXIX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
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Universidade Estadual de Campinas
Questão 1
20 pontos
Sabemos que a água do mar contém 3, 5% do seu peso em sal, isto é, um quilograma de água do
mar contém 35 gramas de sal.
(a) Determine quantos litros de água do mar são necessários para obter 910 gramas de sal.
(b) Determine a porcentagem de sal em uma mistura que contém dois litros de água pura e seis
litros de água do mar.
Lembrando que um litro de água corresponde a um quilograma de água.
Resolução
(a) Sabendo–se que um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal, temos
1 kg
−→
35 g
x kg −→ 910 g
Desse modo,
910
182
=
= 26 kg .
35
7
Portanto, em 26 litros de água do mar contém 910 gramas de sal, lembrando que um litro de água
corresponde a um quilograma de água.
x =
(b) Sabendo–se que um quilograma de água do mar contém 35 gramas de sal, assim em 6 litros
de água do mar contém 6 × 35 = 210 gramas de sal, lembrando que um litro de água corresponde
a um quilograma de água. Desse modo,
8 kg −→ 100 %
0, 21 kg −→
x%
Assim,
21
10, 5
10
0, 5
=
=
+
= 2, 5 + 0, 125 = 2, 625 % .
8
4
4
4
Portanto, 210 gramas de sal na mistura que contém dois litros de água pura e seis litros de água
do mar, corresponde a 2, 625 %.
x =
2
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Questão 2
20 pontos
Dois irmãos, Andre e Carla, pesam juntos P quilos. Andre pesa exatamente 20 quilos a mais do
P
que Carla. Andre e Carla têm um cachorro, Biruta, que pesa exatamente
quilos a menos do
8
que Carla. Determine o peso do cachorro Biruta em termos de P .
Resolução
Chamando de A o peso do Andre, de B o peso do cachorro Biruta e de C o peso da Carla, temos
as seguintes equações
A + C = P
,
A = C + 20
e
B = C −
P
.
8
Substituindo a segunda equação na primeira equação, obtemos o peso da Carla em termos de P ,
que é dado por:
P − 20
C =
.
2
Substituindo o peso da Carla, dado na equação acima, na equação do peso do Biruta, obtemos
B =
P − 20
P
4P − 80 − P
3P
−
=
=
− 10 .
2
8
8
8
Portanto, o peso do cachorro Biruta em temos do peso total P é dado por:
B =
3P
− 10 .
8
3
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Questão 3
20 pontos
Sejam m e n dois números inteiros, tais que 4m + 2 é divisı́vel por 5 e n + 3 = 4m. Podemos
afirmar que o número x dado por:
n
x =
5
é um número inteiro?
Resolução
Como o número inteiro 4m + 2 é divisı́vel por 5, podemos escreve–lo da seguinte forma:
4m + 2 = 5k ,
onde k é também um número inteiro.
Utilizando o fato que n + 3 = 4m, obtemos
4m + 2 = 5k
⇐⇒
n + 3 + 2 = 5k
⇐⇒
n = 5k − 5 = 5(k − 1) .
Desse modo, temos
x =
Portanto, x =
n
5
⇐⇒
x =
n
é um número inteiro.
5
4
5(k − 1)
= k − 1.
5
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Questão 4
20 pontos
Considere um conjunto X com quinze números pares consecutivos. Se a soma dos cinco menores
números de X é igual a 580, determine a soma dos dez maiores números de X.
Resolução
Vamos representar os cinco menores elementos do conjunto X da seguinte forma:
m1 = 2m
,
m2 = 2m + 2 ,
m3 = 2m + 4 ,
m4 = 2m + 6 ,
m5 = 2m + 8 ,
onde m é um número natural. Sabemos que
⇐⇒
m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 10m + 20 = 580
m=
580 − 20
= 56 .
10
Desse modo, os cinco primeiros elementos do conjunto X são os seguintes pares consecutivos
m1 = 112
,
m2 = 114
,
m3 = 116
,
m4 = 118
,
m5 = 120 .
Assim, os dez maiores elementos do conjunto X são dados por:
m6 = 2m + 10 ,
m7 = 2m + 12 ,
···
,
m15 = 2m + 28 ,
para m = 56. Desse modo, temos
m6 + m7 + · · · + m15 = 20m + 10 + 12 + 14 + · · · + 28 ,
para m = 56.
Note que na expressão acima temos a soma de dez termos de uma P A com primeiro termo a1 = 10
e razão r = 2. Assim,
10 + 12 + 14 + · · · + 28 =
10 + 28
× 10 = 190.
2
Portanto, a soma dos dez maiores números do conjunto X é dada por:
m6 + m7 + · · · + m15 = 20 × 56 + 190 = 1310 .
5
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Questão 5
20 pontos
(a) Se o perı́metro de um triângulo equilátero é P centı́metros, determine sua área.
(b) Na figura abaixo temos o quadrado ABCD inscrito na circunferência de raio r. Determine
a razão entre a área do cı́rculo, delimitado pela circunferência, e a área do quadrado inscrito
no quadrado ABCD. Lembrando que a área do cı́rculo é igual a π r2 .
............
.................. ............................
.........
........
....C
..r..
.
.
....
.
.
.
.
...
.
@
.
...
.
...
...
@
..
...
...
...
@
....
...
..
@
....
@
..
...
...
...
@
.
...
....
...
@
..
...
..
@
...
..
.
....
.
..
....r
@
@
..r..
.....
....
.......
.
.
.
.
.
.
A .........................
......... B
...................................
D...r...........
Resolução
(a) Denotando por L o comprimento do lado do triângulo equilátero, temos
P
,
3
L =
uma vez que P é o perı́metro do triângulo equilátero.
Denotando por h a altura do triângulo equilátero ABCD, como ilustra a figura abaixo, e aplicando
o Teorema de Pitágoras no triângulo AM C, obtemos
√
P2
P2
P2
P2
4P 2 − P 2
3
2
2
h +
=
⇐⇒
h =
−
=
=⇒
h =
P .
36
9
9
36
36
6
uma vez que M é o ponto médio do lado AB.
C
r
......
... ......
.
.
...
.
...
...
...
...
...
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
h
...
.
.
.
...
.
.
...
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...r
..r
r
A
M
B
Desse modo, a área do triângulo equilátero ABC é dada por:
√
3 2
AN =
P .
36
6
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(b) Vamos denotar por d o comprimento da diagonal do quadrado ABCD, que é igual ao diâmetro
da circunferência, isto é, d = 2r. Assim, o comprimento do lado do quadrado ABCD, que vamos
denotar por L, é dado por:
√
d2 = 2L2
⇐⇒
4r2 = 2L2
⇐⇒
L = r 2.
pela aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, por exemplo.
Vamos denotar por l o comprimento do lado do quadrado A0 B 0 C 0 D0 . Note que o comprimento da
diagonal do quadrado A0 B 0 C 0 D0 é igual ao comprimento do lado do quadrado ABCD.
Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A0 B 0 C 0 , obtemos
L
l = √ = r.
2
Desse modo, a área do circulo, que vamos denotar por A , e a área do quadrado A0 B 0 C 0 D0 , que
vamos denotar por A2 , são dadas por:
A = πr2
e
A2 = r2 .
Assim, a razão entre a área do cı́rculo e a área do quadrado A0 B 0 C 0 D0 é dada por:
A
= π.
A2
......................................
..............
.........
.........
.......
.
.
.
.
.
.
D...r...
....C
Cr 0
..r..
.
.
....
.
.
.
...
@
....
...
.
...
@
....
...
...
...
@
..
..
...
@
@rB 0 .....
.... D 0 r
...
..
@
...
..
..
...
.
.
@
...
..
...
...
@
...
.
.
....
...
....r
@
....
@r
.....
....r
.
.
........
.
.
.
A ....................... A0 ........................... B
....................
7
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Questão 6
20 pontos
(a) Determine três números ı́mpares consecutivos cuja soma seja igual a 2013.
(b) Determine os valores da variável x que satisfazem simultaneamente as desigualdades
0 ≤ 2x − 3 ≤ 9 − x .
Resolução
(a) Chamando os três números ı́mpares consecutivos da forma:
m1 = 2n + 1
,
m1 = 2n + 3
e
m1 = 2n + 5 ,
onde n é um número natural.
Fazendo m1 + m2 + m3 , obtemos
⇐⇒
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 2013
⇐⇒
6n + 9 = 2013
Portanto, os três números ı́mpares consecutivos são
m1 = 669
,
m2 = 671
e
m3 = 673 .
(b) Podemos escrever as desigualdades acima da seguinte forma:
0 ≤ 2x − 3
2x − 3 ≤ 9 − x
⇐⇒
3 ≤ 2x
⇐⇒
3x ≤ 12
Portanto, das duas desigualdades acima, temos
3
≤ x ≤ 4.
2
8
⇐⇒
⇐⇒
x ≥
3
.
2
x ≤ 4.
n = 334 .