3a lista de exercı́cios - SMA0341 - Elementos de Matemática
1. Admita que já foi provado o seguinte teorema:
“Se dois lados de um triângulo são congruentes, então os ângulos opostos aos lados congruentes são
congruentes”.
Em um triângulo ABC verificou-se que a medida do ângulo B é diferente da medida do ângulo C. O que
você pode afirmar a respeito da medida dos lados AB e AC, e porquê?
2. Prove usando o método de redução ao absurdo o seguinte:
Em todo triângulo, se um ângulo é reto então os outros dois ângulos são agudos.
3. Prove o seguinte: O produto de dois números inteiros consecutivos é par.
4. Demonstre as proposições abaixo usando indução.
(a) ∀n ∈ N, n ≥ 1, 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 .
(b) ∀n ∈ N, n ≥ 1, 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2 .
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Curiosidades
1. Corolário X Escólio: Como logo aprendemos, nos livros de matemática os autores gostam de dar nomes
especiais a certos teoremas para indicar seu grau de importância ou funcionalidade ou origem, digamos
assim. Certamente você aprendeu as palavras proposição, lema e corolário. Mas um nome que muitos
desconhecem é o escólio, um primo distante do corolário. O escólio difere do corolário da seguinte maneira.
• Corolário: é uma consequência direta de outro teorema.
• Escólio: é uma consequência direta da demonstração (ou parte da demonstração) de outro teorema.
Na prática, isto é, nos livros texto de matemática e nas disciplinas da graduação, tudo é corolário. Mas
embora o nome escólio não seja muito usado nos textos de matemática (é por isso que ninguém conhece),
ele existe e é legal conhecer sua existência para distinguir quando um resultado é consequência de outro
resultado ou da demonstração de outro resultado.
2. Provas sem palavras (PWWs): Dê uma olhada nas PWWs (do inglês “Proofs Without Words”) abaixo1 . As
fórmulas que você provou anteriormente por indução fazem mais sentido agora?
Figura 1: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2
Figura 2: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)2
Do ponto de vista formalista, PWWs obviamente não são demonstrações. Mas há outros pontos de vista
da matemática nos quais as PWWs se encaixam como provas, como por exemplo o platonismo, de acordo com o
qual as verdades matemáticas existem independentemente da semântica. Prova ou não prova? Eis a questão. Ou
melhor, mais uma das interessantes questões filosóficas que rondam a matemática. Prova ou não prova, o fato é
que as PWWs são ferramentas valiosas em matemática: você provou os exemplos acima por indução, mas uma
prova por indução só mostra que a fórmula é verdadeira e não porquê a fórmula é verdadeira.2
1 Retiradas
2 Do
do livro Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking de Roger Nelsen.
artigo On Proofs Without Words de Robin L. Miller, Whitman College, 14 de maio de 2012.
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