XXIX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Segunda Fase – Nı́vel Beta
1
XXIX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
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Universidade Estadual de Campinas
Questão 1
20 pontos
Determine a relação entre as áreas dos retângulos hachurados construı́dos passando por um ponto
de uma das diagonal do retângulo ABCD segmentos paralelos aos lados do retângulo ABCD,
como ilustra a figura abaixo.
Dr
Cr
r
r
r
A
B
Resolução
Sejam
A1 : área do retângulo F BGE
A2 : área do retângulo IEHD
A3 : área do triângulo AF E
A4 : área do triângulo IEA
A5 : área do triângulo EGC
A6 : área do triângulo HCE
como ilustra a figura abaixo.
Dr
Hr
Cr
rE
Ir
rG
r
r
r
A
F
B
Sabendo–se que uma diagonal de um retângulo o divide em dois triângulos de áreas iguais, nos
retângulos ABCD, AF EI e EGCH, tem–se, respectivamente,
A1 + A3 + A5 = A2 + A4 + A6
(1)
A3 = A4
(2)
A5 = A6
(3)
Assim, substituindo (2) e (3) em (1), obtém–se A1 = A2 , isto é, as áreas dos dois retângulos
hachurados são iguais.
2
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Questão 2
20 pontos
(a) Considere um triângulo retângulo cujos lados estão em uma progressão geométrica, de razão
q > 1. Por simplicidade, considere que o menor lado mede L centı́metros. Determine o
cosseno do menor ângulo.
(b) Considere um triângulo retângulo cujos lados estão em uma progressão geométrica, de razão
0 < q < 1. Por simplicidade, considere que o maior lado mede L centı́metros. Determine o
cosseno do menor ângulo.
L
Resolução
(a) Como q > 1, temos L q 2 > L q > L. Assim, o menor ângulo é o indicado na figura abaixo.
..r.........
...........
...........
...........
........... q 2
........... L
...........
...........
...........
...........
..........
α ...... ..............................
....r
r
.
qL
Portanto, o cosseno do menor ângulo é dado por:
1
Lq
=
.
2
Lq
q
cos(α) =
q2L
(b) Como 0 < q < 1, temos L q 2 < L q < L. Assim, o menor ângulo é o indicado na figura
abaixo.
..q.........
...........
...........
...........
........... L
...........
...........
...........
...........
...........
..........
α ...... ..............................
....q
q
.
qL
Portanto, o cosseno do menor ângulo é dado por:
cos(α) =
Lq
= q.
L
3
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Questão 3
20 pontos
Considere duas circunferências tangentes como na figura abaixo, onde a circunferência maior está
inscrita no quadrado cujo lado mede L centı́metros. Determine o raio da circunferência menor
em função do comprimento do lado do quadrado.
r
.................... r
....................................................
............
......... .....
.
....... .. r ....
.........
.
.
.
.
.
.
......
..... .......
.....
.
.
.
...............
.
...
....
...
...
...
....
...
...
...
...
...
..
.
...
....
...
..
r
....
..
...
.
...
..
.
...
..
...
...
..
...
.
.
...
..
...
...
....
.
.
.
....
...
.....
.....
......
.....
.
.
.
........
.
.
.
...........
.....
..................... ..............................
r
r
.........
Resolução
Vamos denotar por R o raio da circunferência inscrita no quadrado. Assim, temos
R =
L
,
2
e vamos denotar por r o raio da circunferência menor, que desejamos determinar, e o ponto D é
o centro da circunferência menor, como ilustra a figura abaixo.
r
.................................
........ rC
...................
........... ........ .........
..........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D
.
........ r ....
......
......
.....
.....................
.
.
.
....
....
.
...
.
...
..
...
...
...
...
...
...
.
...
....
....
..
.
.
.
0
r ...θ
r ......rB
....
...
...
A ......
...
...
...
...
...
.
...
.
...
...
....
...
.
.
....
.
...
.....
.....
......
.....
........
.
.
.
.
.
.
.
.
...........
..................... ..............................
r
r
.........
[ que vamos denotar
Como no triângulo retângulo 0BC, temos 0B = BC = R, o ângulo B0C,
o
por θ, vale θ = 45 .
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Desse modo, no triângulo retângulo 0DA, cuja a hipotenusa 0D = R + r e o cateto 0A = R − r,
uma vez que AB = r, temos a seguinte relação
√ !
√
√
√ !
2− 2
2
R−r
2
2
√ R.
r = 1−
R ⇐⇒ r =
= cos θ =
⇐⇒
1+
2
R+r
2
2
2+ 2
Portanto, o raio da circunferência menor é dado por:
√
2− 2
√ L,
r =
4+2 2
uma vez que R =
L
.
2
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Questão 4
20 pontos
Considere que a senha de um determinado cartão magnético consiste de quatro caracteres, sendo
uma letra entre as vinte e seis letras do alfabeto, isto é, uma letra entre A a Z, e três diferentes
números entre 0, 1, 2, · · · , 9. A letra deve aparecer somente no segundo caracter ou somente no
terceiro caracter da senha. Determine quantas senhas diferentes podem ser geradas.
Resolução
Temos duas situações diferentes para gerar uma senha, como ilustra o esquema abaixo,
N1 L
N2 N3
e
N1 N2 L
N3
onde N1 , N2 , N3 representam três números diferentes entre 0, 1, 2, · · · , 9 e L representa uma
das 26 letras do nosso alfabeto.
Em qualquer um das duas situações descritas acima, podemos pensar da seguinte forma:
10 Escolhas para N1
26 Escolhas para
10 Escolhas para N1
L
e
9 Escolhas para N2
9 Escolhas para N2
26 Escolhas para
8 Escolhas para N3
L
8 Escolhas para N3
Desse modo, a quantidade de senhas que podem ser geradas é dada por:
( 10 × 9 × 8 × 26 ) × 2 = 18720 × 2 = 37440 .
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Questão 5
20 pontos
Determine quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 500, que divididos por 13
têm resto 11. Determine também a soma desses números inteiros.
Resolução
Os números inteiros que estamos procurando podem ser escritos da seguinte forma:
m = 13k + 11
para
k = 7, 8, · · · , 37 .
Assim, teremos 31 números inteiros entre 100 e 500 satisfazendo a condição dada no problema,
que são
m1 = 102 , m2 = 115 , m3 = 128 , · · · , m31 = 492 .
Desse modo, temos uma P A cujo primeiro termo é 102 e razão 13. Portanto, a soma desses 31
números inteiros, que estão numa P A, é dada por:
S =
102 + 492
× 31 = 9207 .
2
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Questão 6
20 pontos
Uma praça formada por um jardim de formato retangular onde um dos lados é 10 metros maior
do que o outro lado e que tem em seu redor uma calçada de largura uniforme, como ilustra a figura
abaixo. Sabendo–se que a calçada tem a mesma área do jardim e que o perı́metro da praça é de
140 metros, determine a largura da calçada e as dimensões do jardim.
Calçada
J
A
R
D
Calçada
IM
Calçada
Calçada
Layout da Praça
Resolução
Vamos indicar por Aj a área do jardim, por Ac a área do calçada, por Ap a área da praça, por
P o perı́metros da praça, por x o comprimento do menor lado no jardim e por y a largura da
calçada. Desse modo, temos as seguintes equações
Aj = x( x + 10 )
Ap = ( x + 2y )( x + 2y + 10 )
Ac = Ap − Aj = ( x + 2y )( x + 2y + 10 ) − x( x + 10 )
A área da calçada deve ser igual a área do jardim, isto é,
Ap − Aj = Aj
⇐⇒
Ap = 2Aj ,
⇐⇒
( x + 2y )( x + 2y + 10 ) = 2x( x + 10 ) .
Com algumas manipulações algébricas na equação acima, temos
x2 + 10x − 4xy − 4y 2 − 20y = 0 .
(4)
O perı́metro da praça é dado por:
P = 2( x + 2y ) + 2( x + 2y + 10 ) = 4x + 8y + 20 .
Como o perı́metro da praça tem 140 metros, obtemos a seguinte equação
⇐⇒
4x + 8y + 20 = 140
8
x = 30 − 2y .
(5)
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Substituindo a equação (5) na equação (4), obtemos
( 30 − 2y )2 + 10( 30 − 2y ) − 4( 30 − 2y )y − 4y 2 − 20y = 0 .
Com algumas manipulações algébricas na equação acima, temos
8y 2 − 280y + 1200 = 0
⇐⇒
y 2 − 35 + 150 = 0 .
(6)
A equação (6) é uma equação quadrática na variável y, cujas soluções são dadas por:
(
√
√
y = 30
35 ± 1225 − 600
35 ± 625
35 ± 25
y =
=
=
=
.
2
2
2
y = 5
Substituindo y = 30 na equação (5), obtemos x = −30 < 0, que não serve como solução do
nosso problema.
Substituindo y = 5 na equação (5), obtemos x = 20, que é a solução do nosso problema.
Portanto, o jardim é um retângulo com 20 metros por 30 metros, e a largura da calçada é de 5
metros.
9