UMA METODOLOGIA SEM FÓRMULAS PARA O ENSINO DA FUNÇÃO DO
2º GRAU E SUAS APLICAÇÕES
FÁBIO KRUSE
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Centro Universitário FEEVALE
[email protected]
Introdução
O estudo da função do 2º grau tem sido feito, na quase totalidade das escolas,
através de fórmulas, tanto para o cálculo das raízes, quanto para as coordenadas do vértice.
Os gráficos são feitos através de tabelas que, dificilmente, utilizam o uso da simetria
existente na parábola. Além disto, a metodologia tradicional usada carece muito no que diz
respeito às aplicações interessantes do conteúdo.
Na sala dos professores, durante os intervalos, é comum escutar de colegas o
comentário sobre a falta de motivação dos alunos. Porém, são poucos os professores que
procuram fazer atividades com o intuito de mudar este quadro de marasmo e desinteresse
dos alunos. Continuam dando as mesmas aulas, os mesmos exemplos e exercícios e, dessa
forma, contribuindo para que os alunos tenham a nítida impressão que “este é mais um
conteúdo Matemático chato e sem aplicações”.
Com a realidade descrita acima, é necessário, na minha opinião, que os professores
comecem a repensar a metodologia que tem sido utilizada. Certamente não estamos indo de
encontro com o que os PCNs nos indicam e sugerem, quando colocam que as aulas devem
ser interessantes, motivadoras, utilizando uma metodologia baseada na resolução de
problemas interessantes e práticos.
Uma metodologia sem fórmulas e com aplicações
O objetivo é escrever a função dada normalmente na forma y = ax 2 + bx + c ,
a ≠ 0 , no modo y = a.( x − xv ) 2 + y v .
Para desenvolver o estudo da função do 2º grau sem o uso de fórmulas, iniciamos
com o esboço das funções “mães” y = x 2 e y = − x 2 . A cada esboço de gráfico,
determina-se as coordenadas do vértice, a imagem e as raízes (se reais). A partir destas
funções, mostra-se o que ocorre graficamente quando somamos ou subtraímos um valor
real c qualquer, ou seja, analisa-se a translação da função y = ax 2 + c . Uma das conclusões
importantes que os alunos chegam é que, nestes casos, o vértice sempre está sobre o eixo y
e terá coordenadas (0, c), e que a função só terá raízes reais se os sinais dos coeficientes a e
c forem diferentes. Depois começa-se a análise gráfica das funções y = ( x − xv ) 2 , onde
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mostra-se o deslocamento horizontal da parábola. Os alunos concluem que, nestas
situações, o vértice sempre está sobre o eixo x, tem coordenadas ( xv , 0), e que a raiz dupla
é o próprio xv . Com isto, os alunos já descobrem “quem” são os responsáveis pelos
deslocamentos verticais e horizontais das parábolas. Começa-se então a análise gráfica das
funções do tipo y = a.( x − xv ) 2 + y v . Desta maneira, os alunos já enxergam as coordenadas
do vértice, conseguem fazer o esboço do gráfico, bem como determinar a imagem e as
raízes sem o uso de fórmula. Além disso, os alunos estabelecem uma relação necessária
entre os números a e y v para que a função tenha raízes reais (devem ter sinais contrários).
A pergunta que se coloca é “Como chegar à forma y = a.( x − xv ) 2 + y v , partindo
da função y = ax 2 + bx + c ? ”. Para responder a essa pergunta, faremos os seguintes
exemplos:
Exemplo 1. Dada a função y = x 2 − 4 x + 3 , escrevê-la na forma y = a.( x − xv ) 2 + y v .
Como a = 1 , para formar o quadrado ( x − xv ) 2 , extraímos a raiz quadrada do primeiro
termo ( x 2 ) e tomamos a metade do coeficiente b (que no exemplo é – 4), ou seja,
y = ( x − 2) 2 . (OBS: é importante retomar os casos de fatoração estudados no ensino
fundamental). A função y = ( x − 2) 2 , que é idêntica à função y = x 2 − 4 x + 4 gera, além
dos dois primeiros termos x 2 − 4 x , um termo aditivo igual a 4. Porém na função
apresentada no exemplo o termo independente é 3. Como geramos 4, devemos subtrair uma
unidade, isto é, obtemos a seguinte função: y = ( x − 2) 2 − 1 . A função escrita nesta forma já
é de domínio dos alunos e, desta forma, tudo fica determinado. Para o cálculo das raízes os
alunos usam o conceito de raiz, ou seja, “raiz de uma função é o valor de x que anula y” e
procedem da seguinte maneira:
( x − 2) 2 − 1 = 0
( x − 2) 2 = 1
x−2=± 1
x = 2 ±1
⇒ x=3 e
x =1
Exemplo 2. Dada a função y = 2 x 2 + 4 x − 3 , escrevê-la na forma y = a.( x − xv ) 2 + y v
Determinar a imagem e as raízes reais.
Como a = 2 , colocamos em evidência, isto é: y = 2.( x 2 + 2 x) − 3 . Agora procedemos da
mesma maneira que no exemplo anterior, ou seja, formamos o quadrado y = 2.( x + 1) 2 .
Porém, a função resultante é y = 2 x 2 + 4 x + 2 , que comparada com a função dada
y = 2 x 2 + 4 x − 3 , necessita ser somado –5. Dessa forma obtemos y = 2.( x + 1) 2 − 5 e
concluímos que o vértice tem coordenadas (-1,-5) e a imagem é o intervalo [-5, ∞) . Como
os sinais de a e do yv são diferentes, sabemos que existem raízes reais. Para calcular as
raízes, igualamos y = 0 e calculamos os valores de x, isto é:
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2.( x + 1) 2 − 5 = 0
2.( x + 1) 2 = 5
5
( x + 1) 2 =
2
5
x +1 = ±
2
x = −1 ±
5
2
x = −1 ±
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2
A resolução de problemas é a metodologia usada para os problemas práticos que são
dados para os alunos. Essa metodologia baseia-se, segundo POLYA, em quatro etapas que
devem ser seguidas: compreensão do problema, estabelecimento de um plano de ação,
execução do plano e verificação da solução encontrada. Como sugestão, coloco alguns
problemas como desafio.
1. Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia exigiu de cada
passageiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que número de passageiros
a rentabilidade da empresa é máxima?
Resp: 90 passageiros e R$ 81.000,00
2. Um dia na praia, às 10 horas a temperatura era de 36ºC e às 14 horas atingiu a máxima
de 39,2ºC. Supondo que nesse dia a temperatura f(t) em graus era uma função do 2º grau do
tempo t medido em horas ( 8 ≤ t ≤ 20 ) , determine:
a função f (t ) = a ( x − x v ) 2 + y v
a temperatura às 17 horas.
Resp: a) f (t ) = −0,2( x − 14) 2 + 39,2
b) f(17) = 37,4 ºC
3. Num determinado dia a temperatura , em graus Celsius, era dada em relação ao horário
pela função T (t ) = − t 2 + 26t − 133 , onde 9 < t < 16 horas. Determine:
a temperatura máxima atingida e o horário em que isto ocorreu
Resp: T(13) = 36º C
b) a temperatura às 10 horas da manhã.
Resp: 27º C
c) o horário em que a temperatura era de 20º C
Resp: 9 horas
4. Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de
batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente T (em graus
Celsius), segundo a função N (T ) = 0,1.T 2 − 4T + 90 . Nestas condições, em qual
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temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? Qual é esse número
mínimo de batimentos cardíacos?
Resp: T =20º C e N = 50 batimentos/min
5. Deseja-se construir uma farmácia num terreno retangular. Para tanto, decide-se
aproveitar um muro já existente, por uma questão de economia. As paredes laterais (x)
serão de alvenaria e o custo do metro linear é de R$ 250,00. A frente (y) será toda de vidro
e o metro linear custa R$ 350,00. Pretendendo-se gastar R$ 10.000,00 com as 3 paredes,
quais devem ser as dimensões x e y, de modo que a área da farmácia seja a maior possível?
M U R O
Resp: x = 10 m e y = 14,28 m
x
x
y
Palavras chaves: Metodologia, função do 2º grau
Referências Bibliográficas
CHEMALE, E. H e KRUSE, F. Curiosidades matemáticas. Novo Hamburgo:
FEEVALE, 1999.
MACHADO, Nilson José. Matemática por assunto: lógica, conjuntos e funções. São
Paulo: Ed. Scipione, 1998.
POLYA, Georg. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
POZO, Juan Ignacio et. al. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para
aprender. Porto Alegre: ArtMed, 1998.