UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS – 2º SEMESTRE 2004
Professora Aurora T. R. Pozo
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Interpolação
A função y = f(x) passa pelos pontos tabelados abaixo, a qual deve ser utilizada para resolver os
exercícios 1, 2, 3, 4 e 5.
Obs: Os polinômios podem ser encontrados usando sistemas lineares ou interpolação de Lagrange.
x
y
0
1
0,5
1
1
3
1. Determinar o valor aproximado de f(0.6) usando um polinômio interpolador de 1° grau, ou seja,
calcular P1(0.6).
2. Calcular P2(0.6).
3. Determinar o valor de f(0,6), sabendo-se que a função é f(x) = 4x2 − 2x + 1
4. Calcular E1 = f(0.6) − P1(0.6) e E2 = f(0.6) − P2(0.6).
5. Comparar os valores de E1 e E2 calculados no item anterior. Sua conclusão era esperada? Por que?
6. Dada a função f(x) = 10x4 + 2x + 1, determinar P2(0.15), usando os valores de f(0.1), f(0.2) e f(0.3).
7. Usar os valores de e0,0, e0,2 e e0,4 para determinar o valor aproximado de e0,1 e o erro absoluto
cometido. Considere duas casas decimais.
A velocidade v (em m/s) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o seu
lançamento, conforme os dados tabelados abaixo, os quais deverão ser utilizados na resolução dos
exercícios 8 e 9.
tempo (s)
velocidade (m/s)
0
0.0
8
52.0
20
160.5
30
275.0
45
370.3
8. Calcular usando um polinômio interpolador de 3° grau, a velocidade aproximada do foguete após 10
segundos do lançamento.
9. Idem ao exercício 8, para um polinômio interpolador de 4° grau.
Utilize a tabela abaixo para os exercícios 10, 11 e 12:
x
f(x)
0.15
0.12
0.20
0.16
0.25
0.19
0.30
0.22
0.35
0.25
10. Usando um polinômio interpolador de 2° grau, obtenha o valor estimado de x para o qual f(x) = 0.18.
11. Calcular P3(0.18).
12. Calcular P4(0.18).
13. Dada a tabela
Determine α, β e γ sabendo-se que P(x) é um polinômio de grau 3.
Dada a tabela, resolva os exercícios 14 e 15:
14. Calcule uma aproximação para log(3.5).
15. Determine uma cota para o erro cometido no exercício 14.
16. Usando a tabela:
(a) Calcule uma aproximação para 21.5 ;
(b) Determine uma cota para o erro cometido.
Integração Numérica
1
17. Calcular a integral
x 2 − 1 dx , com n = 4, através dos seguintes métodos:
−1
a. Regra dos Retângulos
b. Regra dos Trapézios
Respostas:
h=
b− a
= (1 + 1) / 4 = 0,5
n
Regra dos Retângulos:
R(h4) = h •
3
i =0
f(
xi + xi + 1
) = 0,5 • [ f(-0,75) + f(-0,25) + f(0,25) + f(0,75) ]
2
R(h4) = 0,5 • [ -0,4375 - 0,9375 - 0,9375 - 0,4375 ] = - 1,375
Regra dos Trapézios:
0,5
• [ f(-1) + 2. f(-0,5) + 2. f(0) + 2. f(0,5) + f(1) ]
T(h4) =
2
T(h4) = 0,25 • [ 0 - 1,5 - 2 - 1,5 - 0 ] = - 1,25
6
ex dx .
18. Utilize a Regra de Simpson para calcular a integral
4
Respostas: Obs: Os cálculos foram efetuados para n = 4.
h=
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
S(h4) =
0,5
3
•
[ f(4) + 4. f(4,5) + 2. f(5) + 4. f(5,5) + f(6) ]
S(h4) =
0,5
3
•
[ 54,5982 + 360,0685 + 296,8263 + 978,7677 + 403,4288 ] = 348,94825
19. Através da Regra dos Trapézios, calcule:
6
e− x dx
a.
4
6
ex dx
b.
4
Respostas:
a. h =
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
0,5
T(h4) =
• [ f(4) + 2. f(4,5) + 2. f(5) + 2. f(5,5) + f(6) ]
2
T(h4) = 0,25 • [ 0,0183 + 0,0222 + 0,0135 + 0,0082 +0,0025 ] = 0,0162
b. h =
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
T(h4) =
0,5
2
•
[ f(4) + 2. f(4,5) + 2. f(5) + 2. f(5,5) + f(6) ]
T(h4) = 0,25 • [ 54,5982 + 180,0343 + 296,8263 + 489,3839 + 403,4288 ] = 356,0679
1
cos(10 x ) dx , através dos seguintes métodos:
20. Calcular
0
1. Regra dos Retângulos
2. Regra dos Trapézios
3. Regra de Simpson
Respostas: Obs: Os cálculos foram efetuados para n = 4.
h=
b− a
= (1 - 0) / 4 = 0,25
n
Regra dos Retângulos:
3
R(h4) = h •
f(
i =0
xi + xi + 1
) = 0,25 • [ f(0,125) + f(0,375) + f(0,625) + f(0,875) ]
2
R(h4) = 0,25 • [ 0,3153 - 0,8206 + 0,9994 - 0,7808 ] = - 0,0717
Regra dos Trapézios:
0,25
• [ f(0) + 2. f(0,25) + 2. f(0,5) + 2. f(0,75) + f(1) ]
T(h4) =
2
T(h4) = 0,125 • [ 1 - 1,6023 + 0,5673 + 0,6933 - 0,8391 ] = - 0,0226
Regra de Simpson:
0,25
S(h4) =
3
S(h4) =
0,25
3
•
[ f(0) + 4. f(0,25) + 2. f(0,5) + 4. f(0,75) + f(1) ]
•
[ 1 - 3,2046 + 0,5673 + 1,3865 - 0,8391 ] = - 0,0908
π
21. Utilizando a Regra dos Retângulos, calcule sen( x ) dx .
0
b− a
Resposta: h =
= (π - 0) / 4 = 0,7854
n
Regra dos Retângulos:
3
R(h4) = h •
f(
i =0
xi + xi + 1
) = 0,7854 • [f(0,3927) + f(1,1781) + f(1,9635) + f(2,7489)]
2
R(h4) = 0,7854 • [ 0,3827 + 0,9239 + 0,9239 + 0,3827 ] = 2,0524
1
22. Calcular
2 x − 1 dx , com arredondamento de 4 casas decimais, através da Regra dos Trapézios e da
0
Regra de Simpson
Resposta: h =
b− a
= (1 - 0) / 4 = 0,25
n
Regra dos Trapézios:
0,25
T(h4) =
• [ f(0) + 2. f(0,25) + 2. f(0,5) + 2. f(0,75) + f(1) ]
2
T(h4) = 0,125 • [ -1 - 1 + 0 + 1 + 1 ] = 0
Regra de Simpson:
0,25
S(h4) =
3
S(h4) =
0,25
3
•
[ f(0) + 4. f(0,25) + 2. f(0,5) + 4. f(0,75) + f(1) ]
•
[ -1 - 2 + 0 + 2 + 1 ] = 0
23. Pela Regra de Simpson, utilizando arredondamento de 4 casas decimais, calcule:
π
6
a. sen( x ) dx
e− x dx
b.
0
4
Respostas:
b− a
= (π - 0) / 4 = 0,7854
n
Regra de Simpson:
0,7854
S(h4) =
• [ f(0) + 4. f(0,7854) + 2. f(1,5708) + 4. f(2,3562) + f(3,1416) ]
3
a. h =
S(h4) =
0,7854
3
•
[ 0 + 2,8284 + 2 + 2,8284 + 0 ] = 2,0046
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
Regra de Simpson:
0,5
S(h4) =
• [ f(4) + 4. f(4,5) + 2. f(5) + 4. f(5,5) + f(6) ]
3
b. h =
S(h4) =
0,5
3
•
[ 0,0183 + 0,0444 + 0,0135 + 0,0163 + 0,0025 ] = 0,0158
6
24. Pela Regra dos Retângulos, utilizando arredondamento de 4 casas decimais, calcule e− x dx .
4
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
Regra dos Retângulos:
3
xi + xi + 1
R(h4) = h •
f(
) = 0,5 • [ f(4,25) + f(4,75) + f(5,25) + f(5,75) ]
2
i =0
R(h4) = 0,5 • [ 0,0143 + 0,0087 + 0,0052 + 0,0032 ] = 0,0157
Resposta: h =
1
25. Escolha um método de sua preferência para calcular
x 3 − 2 x 2 + 3x − 1 dx , com n = 4.
0
Resposta: h =
b− a
= (1 - 0) / 4 = 0,25
n
Regra dos Retângulos:
R(h4) = h •
3
i =0
f(
xi + xi + 1
) = 0,25 • [ f(0,125) + f(0,375) + f(0,625) + f(0,875) ]
2
R(h4) = 0,25 • [ - 0,6543 - 0,1035 + 0,3379 + 0,7637 ] = 0,08595
Regra dos Trapézios:
0,25
T(h4) =
• [ f(0) + 2. f(0,25) + 2. f(0,5) + 2. f(0,75) + f(1) ]
2
T(h4) = 0,125 • [ -1 - 0,7188 + 0,25 + 1,0938 + 1 ] = 0,0781
Regra de Simpson:
0,25
S(h4) =
3
S(h4) =
0,25
3
•
[ f(0) + 4. f(0,25) + 2. f(0,5) + 4. f(0,75) + f(1) ]
•
[ -1 - 1,4375 + 0,25 + 2,1875 + 1 ] =
1
= 0,0833
12
26. Para os 9 exercícios apresentados acima, calcular analiticamente as integrais.
Resposta:
1
x 2 − 1 dx =
a)
−1
6
6
6
4
ex dx = ex ]4 = e - e = 348,8306
b)
4
6
c)
4
3
1
−1
1
2 2
4
x
− x] =
−1 −
+ 1 = − − = − = - 1,3333
−
1
3
3
3
3 3
3
6
-6
-4
e− x dx = − e− x ]4 = - e + e = 0,0158
1
d)
cos(10 x ) dx =
0
sen(10 x )
10
π
] = sen(1010) − sen(100) = - 0,0544
1
0
π
e) sen( x ) dx = − cos( x ) ] 0 = - cos(π) + cos(0) = 2
0
1
f)
x − 2 x 2 + 3x − 1 dx =
3
0
1
g)
2 x − 1 dx = x 2 − x
0
]
1
0
4
3
2
x 2x 3 x
−
+
−x
4
3
2
]=
1
0
1 2 3
1
= 0,0833
− + −1 − 0 =
4 3 2
12
=0
27. Utilizando as integrais obtidas analiticamente no exercício anterior e as integrais calculadas nos 9
exercícios anteriores, obtenha o erro absoluto de cada um.
Respostas:
1
x 2 − 1 dx =
a)
−1
3
1
1
−1
2 2
4
x
− x] =
−1 −
+ 1 = − − = − = - 1,3333
−
1
3
3
3
3 3
3
EAR = -1,3333 + 1,375 = 0,0417
EAT = -1,3333 + 1,25 = - 0,0833
6
b)
4
6
6
4
ex dx = ex ]4 = e - e = 348,8306
EAT = 348,8306 - 356,0679 = - 7,2373
EAS = 348,8306 - 348,9483 = - 0,1177
6
c)
4
6
-6
-4
e− x dx = − e− x ]4 = - e + e = 0,0158
EAR = 0,0158 - 0,0157 = 0,0001
EAT = 0,0158 - 0,0162 = - 0,0004
EAS = 0,0158 - 0,0158 = 0,0000
]
1
sen(10 x ) 1 sen(10) sen(0)
=
−
= - 0,0544
0
10
10
10
0
EAR = - 0,0544 + 0,0717 = 0,0173
EAT = - 0,0544 + 0,0226 = - 0,0318
EAS = - 0,0544 + 0,0908 = 0,0364
d)
cos(10 x ) dx =
π
π
e) sen( x ) dx = − cos( x ) ] 0 = - cos(π) + cos(0) = 2
0
EAR = 2 - 2,0524 = -0,0524
EAS = 2 - 2,0046 = -0,0046
1
4
3
2
x 2x 3 x
−
+
−x
4
3
2
0
EAR = 0,0833 - 0,0860 = -0,0027
EAT = 0,0833 - 0,0781 = 0,0052
EAS = 0,0833 - 0,0833 = 0,0000
f)
1
g)
x 3 − 2 x 2 + 3x − 1 dx =
2 x − 1 dx = x 2 − x
0
]
1
0
]=
1
0
1 2 3
1
= 0,0833
− + −1 − 0 =
4 3 2
12
=0
EAT = 0 - 0 = 0
EAS = 0 - 0 = 0
6
ex dx , através da Regra dos Retângulos.
28. Calcular
4
Resposta: Obs: Os cálculos foram efetuados para n = 4.
h=
b− a
= (6 - 4) / 4 = 0,5
n
R(h4) = h •
3
i =0
f(
xi + xi + 1
) = 0,5 • [ f(4,25) + f(4,75) + f(5,25) + f(5,75) ]
2
R(h4) = 0,5 • [ 70,1054 + 115,5843 + 190,5663 + 314,1907 ] = 345,22335
π
29. Calcular sen( x ) dx , através da Regra dos Trapézios.
0
Resposta: Obs: Os cálculos foram efetuados para n = 4.
b− a
h=
= (π - 0) / 4 = 0,7854
n
0,7854
T(h4) =
• [ f(0) + 2. f(0,7854) + 2. f(1,5708) + 2. f(2,3562) + f(3,1416) ]
2
T(h4) = 0,3927 • [ 0 + 1,4142 + 2 + 1,4142 + 0 ] = 1,8961
2
ln( x ) dx , pela regra dos retângulos, utilizando os valores
30. Calcular uma aproximação para
1
conhecidos da tabela abaixo.
xi
f(xi)
1
0
Regra dos Retângulos:
1,1
1,3
1,4
1,7
1,8
2
0,0953 0,2624 0,3365 0,5306 0,5878 0,6931
(0 + 0,0953)
xi + xi + 1
(
) • 0,1
) • hi =
2
2
i =0
(0,2624 + 0,3365)
(0,3365 + 0,5306)
(
) • 0,1
+
(
) • 0,3
+
2
2
(0,5878 + 0,6931)
(
) • 0,2
2
R(h6)
=
5
f(
[
]
+
(0,0953 + 0,2624)
) • 0,2
2
(0,5306 + 0,5878)
(
) • 0,1
2
(
+
+
R(h6) = [ 0,0048 + 0,0358 + 0,0299 + 0,1301 + 0,0559 + 0,1281 ] = 0,3846
Ajuste de Curvas
31. Dada a tabela
Ajuste os dados para uma função do tipo g(x) = ax + b.
32. Aproximar f dada pela tabela abaixo por uma função do tipo g(x) = c0sen(x) + c1cos(x).
33. Seja g(x) = c0 + c1ln(x). Ajustar f(x) por uma função do tipo acima sabendo-se que f passa pelos
pontos (1, 1); (2, 2); (3, 3).
34. Seja M(t) a massa de um material radioativo. Num laboratório foram feitas as seguintes medições
Determine o instante em que teremos uma massa de 0.1 sabendo-se que M(t) = M0e_t onde M0 e a massa
do material no instante t = 0.
35. A produção de aço de um certo país, em milhões de toneladas, durante os anos de 1960 a 1970 é dada
pela tabela abaixo.
a) Determine uma reta que se ajusta aos dados.
b) Avaliar a produção para o ano de 1971.
36. A dependência entre a velocidade de um navio e a sua potência é dada pela tabela abaixo
Supondo que a dependência é do tipo P(v) = a+bv2, determine a e b de modo a ajustar a função à tabela.
37. Determine uma função do tipo g(x) = x / (c0 + c1x) que se ajusta a tabela.
38.
Ajuste os dados para uma função:
39. Dada a tabela da função f(x)
Ajuste os dados para uma função do tipo g(x) = a + b / x + c / x2.
40.
Ajuste os dados para uma função g(x) = αβx.
Algumas referências
http://www.inf.ufpr.br/~leila
http://www.ionildo.cjb.net/metodos/
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 1988.