Determinantes
Matemática
Prof. Mauricio José
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO
SÃO PAULO - 2012
Determinantes
Definição e Conceito
Matriz de ordem 1
Dizemos que um determinante é um
resultado (numérico) de operações que são
realizadas em uma matriz quadrada.
Consideremos a matriz quadrada A, de
ordem (n x n), abaixo:
𝑎11
A= 𝑎21
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
𝑎𝑛1
𝑎13
𝑎23
𝑎𝑛3
𝑎1𝑛
⋯ 𝑎
2𝑛
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
O determinante de A é indicado por:
Seja:
𝐴 = 𝑎11
Então:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎11
Matriz de ordem 2
𝑎11
𝐴= 𝑎
21
Seja:
𝑎12
𝑎22
Uma matriz 2 x 2 qualquer. O
determinante de A é a diferença entre a
diagonal principal e a diagonal secundária.
Exemplo
𝑎11
𝑑𝑒𝑡 𝑎21
𝑎𝑛1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
𝑎13
𝑎23
𝑎𝑛3
⋯
⋱
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛
det A
𝑎𝑛1
𝑎13
𝑎23
𝑎𝑛3
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
2 1
3 6
Matriz de ordem 3
ou
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑛2
2 1
3 6
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 6.2 − 3.1 = 9
ou
𝑎11
𝑎21
𝐴=
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
⋯
Note que ao usarmos duas barras
verticais, estamos sempre nos referindo a
um determinante!
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Para calcularmos o determinante de
uma matriz de ordem 3 (ou superior),
devemos recorrer a um algoritmo prático
denominado Regra de Sarrus, que consiste
em:
1. Repetir as duas primeiras colunas
2. Calcular o produto dos elementos de
cada uma das diagonais ‘para a direita’.
3. Repetir a operação para as diagonais
‘para a esquerda’.
4. Subtrair o resultado da soma das
parcelas do passo (3) do resultado da
soma das parcelasdo passo (2).
SÃO PAULO - 2012
Regra de Sarrus
Esquematicamente:
Exemplo:
1.
𝑎11
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑎11
𝑎23 𝑎21
𝑎33 𝑎31
2
𝐴= 3
2
𝑎12
𝑎22
𝑎32
2 1
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3 2
2 5
2.
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑎11
𝑎23 𝑎21
𝑎33 𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑎11
𝑎23 𝑎21
𝑎33 𝑎31
−3 2
4 3
−2 2
1
2
5
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2.2. −2 + 1.4.2 + −3 . 3.5
− −3 . 2.2 − 2.4.5 − 1.3. (−2)
𝑎11 . 𝑎22 . 𝑎33 = 𝑅1
𝑎12 . 𝑎23 . 𝑎31 = 𝑅2
𝑎13 . 𝑎21 . 𝑎32 = 𝑅3
3.
1 −3
2 4
5 −2
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −8 + 8 − 45
+12 − 40 + 6 = −67
𝑎12
𝑎22
𝑎32
Exercícios
1. (UEL) A solução positiva da equação
2
𝑥
𝑎13 . 𝑎22 . 𝑎31 = 𝑅4
𝑎11 . 𝑎23 . 𝑎32 = 𝑅5
𝑎12 . 𝑎21 . 𝑎33 = 𝑅6
5 𝑥
=
5 4
1
𝑥
é um número:
a) Ímpar
b) primo
c) não inteiro
d) cubo perfeito
e) quadrado perfeito
2. (UNIFOR) Considere as matrizes
4.
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 −
(𝑅4 + 𝑅5 + 𝑅6)
−1
𝐴=
0
0
2
1
−2
2
𝐵= 1
0
Então o determinante de A.B vale:
a) 64
d) -8
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b) 8
e) -64
c) 0
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−1
2
1
Determinante Nulo
Fila Combinação Linear: Uma fila é dita
combinação linear das outras filas paralelas,
quando esta fila puder ser obtida pela soma ou
subtração de múltiplos inteiros de outras filas.
Determinante Nulo
É possível notar que em certas situações, as
matrizes possuem singularidades que facilitam
o cálculo de seus respectivos determinantes.
Um desses casos é a situação na qual o
determinante é nulo.
Exemplo:
3
𝐴= 3
1
Chamamos uma coluna ou linha qualquer
de uma matriz de fila. O determinante de uma
matriz sempre será nulo nas seguintes
situações:
Se chamarmos de C1 a primeira coluna, C2
a segunda e assim por diante, podemos notar
que:
1. A matriz possui uma fila nula.
2. A matriz possui duas filas paralelas
iguais.
3. A matriz possui duas filas paralelas
proprocionais.
4. Uma fila da matriz for combinação
linear de outras duas filas paralelas.
𝐶3 = 2. 𝐶1 − 3. 𝐶2
Neste caso, dizemos que C3 é combinação
linear de C1 e C2, e portanto detA = 0.
Observação:
Se o determinante de uma matriz for nulo,
então pelo menos uma das quatro condições
aqui expostas é satisfeita.
Vamos falar de cada caso separadamente:
Fila Nula: É intuitivo que se uma fila for nula,
todos as operações resultantes da Regra de
Sarrus serão multiplicadas por zero! Portanto, o
determinante será nulo.
Filas Paralelas Iguais: Se duas filas paralelas
forem iguais, a simetria decorrente das
operações da Regra de Sarrus tornam o
determinante nulo.
Obs: Note que por filas paralelas iguais, nos
referimos a duas colunas iguais OU duas linhas
iguais.
2 0
1 3
2 −4
Exercício
1. (FEI) Para que o determinante da matriz
𝐴=
1+𝑎
3
−1
1−𝑎
seja nulo, o valor de a deve ser:
a) 2 ou -2
d) -5 ou 3
b) 1 ou 3
e) 4 ou -4
c) -3 ou 5
Filas Paralelas Proporcionais: Se duas filas
paralelas forem proporcionais, assim como no
caso anterior, a simetria das operações da Regra
de Sarrus tornam nulo o determinante da
matriz.
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Propriedades
Alterações no determinante
Exemplo:
1 2
𝐴= 2 2
1 3
- Multiplicando uma fila por 𝜶:
Consideremos o determinante da matriz
abaixo:
1
1
1
2 3
1 2 =4
3 0
Aplicando a Regra de Sarrus encontramos:
1
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2
1
Se multiplicarmos a segunda linha por
𝛼 = 3, então:
1
3.1
1
2
3.1
3
3
1
3.2 = 3
0
1
2
3
3
3
6 = 12
0
Não é um mero acaso que o determinante
também é multiplicado por 𝛼 = 3. De fato, de
modo geral:
Resultado:
O
multiplicado por 𝛼.
determinante
det 2𝐴 = 𝛼 𝑛 . det A =
= 23 . det 𝐴 = 8. −2 = −16
é
det 2𝐴 = −16
- Trocando filas paralelas:
Multiplicar uma matriz por um valor 𝛼 é o
mesmo que multiplicar 𝑛 filas por 𝛼 (ver
multiplicação de uma matriz por um escalar.
Portanto, o determinante será multiplicado
por 𝛼 várias vezes, dependendo do número de
filas da matriz. Como ao falar de determinantes
estamos sempre nos referindo a matrizes
quadradas, então o determinante é
multiplicado por 𝜶𝒏 , em que 𝒏 é a ordem da
matriz quadrada.
determinante
2 1
2 0 = −2
3 3
Multiplicando a matriz por 𝛼 = 2, obtemos:
- Multiplicando a matriz por 𝜶:
Resultado:
O
multiplicado por 𝛼 𝑛 .
1
0
3
1
2
1
1 −1
3 0 = −4
4 1
Se trocarmos a 2ª e a 3ª linha de lugar,
teremos:
1 1
1 4
2 3
é
−1
1 =4
0
De modo geral:
Resultado: O determinante troca de
sinal.
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Propriedades
Exercício
Note que a terceira coluna não é
combinação linear das outras duas. Como os
termos 𝑐, 𝑝 e 𝑧 não existem nas outras duas
colunas, é impossível construir a terceira coluna
como combinação linear das outras duas.
1. (MACKENZIE) – A é uma matriz quadrada de
ordem 4 e detA = -6. O valor de x que satisfaz
det(2A) = x – 97 é:
a) -12
d) 97/2
b) 0
e) 194
c) 1
Obs: O determinante também não se altera
ao trocarmos ordenadamente linhas por
colunas, ou seja:
Teorema de Jacobi
det 𝐴 = det(𝐴𝑡 )
O Teorema de Jacobi informa que, se a uma
determina fila somarmos uma combinação
linear das demais filas, então o determinante
não se altera.
𝑎
𝑚
𝑥
𝑎
𝑐
𝑝 = 𝑚
𝑧
𝑥
𝑏
𝑛
𝑦
𝑏
𝑛
𝑦
Exercícios
𝑐 + 2𝑎 − 3𝑏
𝑝 + 2𝑚 − 3𝑛
𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦
1. O determinante
𝑥
𝑦
𝑧
Note que o determinante não é nulo, pois
estamos somando uma combinação linear. O
determinante é nulo se a fila já é combinação
linear.
𝑏
𝑛
𝑦
2𝑎 − 3𝑏
2𝑚 − 3𝑛 = 0
2𝑥 − 3𝑦
a)
b)
c)
d)
e)
Para quaisquer valores de x, y e z
Somente se x = y = z = 0
Somente se x = y = z = a ou x = y = z = b
Somente se a = b = 0
Somente se a = b = 1 e x ≠ y
2. QUESTÃO BOA – (PUC) Se somarmos 4 a
todos os elementos da matriz
A terceira coluna é combinação linear das
outras duas colunas. Já no caso abaixo:
𝑎
𝑚
𝑥
𝑏
𝑛
𝑦
𝑐 + 2𝑎 − 3𝑏
𝑝 + 2𝑚 − 3𝑛
𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦
𝑥+𝑏
𝑦+𝑏
𝑧+𝑏
é nulo:
Perceba:
𝑎
𝑚
𝑥
𝑥+𝑎
𝑦+𝑎
𝑧+𝑎
1
𝐴= 1
1
2 3
1 𝑚
1 1
cujo determinante vale D, então
determinante da nova matriz vale:
a) 2D
d) 5D
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b) 3D
e) 6D
c) 4D
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o
Teorema de Laplace
Co-fator de um elemento
O co-fator é um complemento algébrico de
um determinado elemento 𝑎𝑖𝑗 em relação ao
restante da matriz. Sendo 𝐴𝑖𝑗 o co-fator do
elemento 𝑎𝑖𝑗 , então ele é tal que:
Teorema de Laplace
De acordo com este teorema, o
determinante de qualquer matriz é igual soma
dos produtos dos elementos de uma fila
pelos seus respectivos co-fatores.
Seja M a matriz 4x4 abaixo:
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝐷 𝑖𝑗
Em que 𝐷𝑖𝑗 é o determinante que se obtém
eliminando a linha 𝑖 e a coluna 𝑗 da matriz.
𝑀=
Exemplo:
Vamos calcular o co-fator 𝐴23 do elemento
𝑎23 da matriz M abaixo:
1 5
𝑀= 4 8
1 2
2
3
−1
Eliminando a linha e a coluna do elemento
𝑎23 = 3, temos:
1 5 2
4 8 3
1 2 −1
1 5
= −3
1 2
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎42
𝑎13
𝑎23
𝑎33
𝑎43
𝑎14
𝑎24
𝑎34
𝑎44
Se escolhermos a 2ª linha, então, pelo
Teorema de Laplace:
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟐𝟏 . 𝑨𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 . 𝑨𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 . 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟐𝟒 . 𝑨𝟐𝟒
Se escolhermos a 3ª coluna, então, pelo
Teorema de Laplace:
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟏𝟑 . 𝑨𝟏𝟑 + 𝒂𝟐𝟑 . 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟑𝟑 . 𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑 . 𝑨𝟒𝟑
A grande vantagem em se utilizar o
Teorema de Laplace está em realizar operações
que em envolvem determinantes de ordem n-1
para calcular determinantes de matrizes de
ordem n, de modo que é um método
recomendando para matrizes de ordem n>3.
𝐷23 = −3
- Como usar o Teorema de Laplace O cálculo de determinantes de ordem alta é
ainda mais simplificado se escolhermos uma fila
com o maior número de zeros possível.
Mas sabemos que o co-fator é dado por:
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 . 𝐷 𝑖𝑗 = −1 2+3 . −3
= −1 . −3 = 3
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎41
Por exemplo, se na matriz M anterior
tivermos 𝑎13 = 𝑎23 = 𝑎33 = 0, e escolhermos a
3ª coluna, pelo Teorema de Laplace:
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟏𝟑 . 𝑨𝟏𝟑 + 𝒂𝟐𝟑 . 𝑨𝟐𝟑 + 𝒂𝟑𝟑 . 𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑 . 𝑨𝟒𝟑
= 𝟎. 𝑨𝟏𝟑 + 𝟎. 𝑨𝟐𝟑 + 𝟎. 𝑨𝟑𝟑 + 𝒂𝟒𝟑 . 𝑨𝟒𝟑
𝒅𝒆𝒕𝑴 = 𝒂𝟒𝟑 . 𝑨𝟒𝟑
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Teorema de Laplace
- Como obter uma fila com zeros -
Na primeira coluna, podemos somar à linha
1 a seguinte combinação linear:
Se não houver nenhuma fila que possua
uma quantidade razoável de zeros, podemos
obter uma, sem alterar o determinante, por
meio da seguinte técnica:
𝐿1 − 2. 𝐿2
Ainda na primeira coluna, podemos somar
à linha 3 a seguinte combinação linear:
𝐿3 + 2. 𝐿2
1. Encontrar um elemento 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏.
2. Se não houver nenhum, podemo
obtê-lo somando combinações lineares a
uma fila, por meio do Teorema de Jacobi.
3. Usando o elemento 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏 ,
podemos multiplicar sua fila e subtraí-la
das outra filas, para obter elementos
iguais a zero.
Obtendo:
2 − 2. (1) 4 − 2. (3) 6 − 2. (17)
1
3
17
−2 + 2. (1) 8 + 2. (3) 10 + 2. (17)
0 −2 −28
= 1 3
17
0 14 44
Exemplo:
Vamos usar esta ténica para calcular o
determinante:
2
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 3
−2
4
6
−5 7
8 10
Este determinante não possui nenhum
elemento igual a 1. No entanto, é fácil notar que
se somarmos a linha 3 à linha 2, teremos
𝑎21 = 1. Logo:
2
4
𝐿2 + 𝐿3~ 3 + (−2) −5 + 8
−2
8
2 4
= 1 3
−2 8
6
7 + 10
10
Chegamos a uma situal excelente para
aplicarmos o Teorema de Laplace na 1ª coluna!
Portanto:
Teorema de Laplace na 1ª coluna:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. 𝐴11 + 1. 𝐴21 + 0. 𝐴31 = 𝐴21
Mas:
𝐴21 = (−1)2+1 .
6
17
10
Agora que possuimos um elemento igual a
1, podemos utilizá-lo para zerar elementos da
primeira coluna ou segunda linha.
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO
−2 −28
= −1 . −88 + 392
14 44
= −304
Portanto:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝐴21 = −304
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Regra de Chió
A Regra de Chió consiste em:
Exercícios
1. Calcule o determinante da matriz
1 5
𝑀= 4 8
1 2
1. Eliminar da matriz a linha e coluna que
contém o elemento 𝑎𝑖𝑗 = 1.
1
𝑥
𝑦
𝑧
2
3
−1
aplicando o teorma de Laplace na 3ª coluna.
2. Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 números reais quaisquer,
calcule o determinante de
1
1
1
1
1
1+𝑎
1
1
1
1
1+𝑏
1
𝑛+1 𝑛+2 𝑛+3
𝑛+2 𝑛+3 𝑛+4
𝑛+3 𝑛+4 𝑛+5
1
𝑥
𝑦
𝑧
𝑐
𝑝
𝑠
𝑣
𝑎
𝑚 − 𝑎𝑥
𝑞 − 𝑎𝑦
𝑡 − 𝑎𝑧
𝑏
𝑛 − 𝑏𝑥
𝑟 − 𝑏𝑦
𝑢 − 𝑏𝑧
𝑐
𝑝 − 𝑐𝑥
𝑠 − 𝑐𝑦
𝑣 − 𝑐𝑧
3. Calcular a matriz resultante e multiplicar o
resultado por (−1)𝑖+𝑗 , em que 𝑖 e 𝑗 são a linha e
coluna do elemento igual a 1 escolhido
inicialmente.
𝑚 − 𝑎𝑥
𝑞 − 𝑎𝑦
𝑡 − 𝑎𝑧
Regra de Chió
A Regra de Chió é um dispositivo prático
que serve para diminuir a ordem de uma
matriz sem alterar seu determinante. Ele é
consequência direta do Teorema de Laplace.
𝑏
𝑛
𝑟
𝑢
2. Subtrair dos elementos restantes, o produto
correspondentes na linha e coluna eliminadas.
1
1
1
1+𝑐
3. Calcule:
𝑎
𝑚
𝑞
𝑡
𝑛 − 𝑏𝑥
𝑟 − 𝑏𝑦
𝑢 − 𝑏𝑧
𝑝 − 𝑐𝑥
𝑠 − 𝑐𝑦 (−1)𝑖+𝑗
𝑣 − 𝑐𝑧
Exercício
1. Calcule o seguinte determinante usando a
Regra de Chió
Para utilizá-lo, a matriz deve ter um
elemento 𝑎𝑖𝑗 = 1. Se a matriz não possuir um,
ele deve ser obtido usando o Teorema de Jacobi
(ver tópico sobre Teorema de Laplace).
CURSINHO DA POLI-USP DO GRÊMIO POLITÉCNICO
1
1
2
1
1
3
5
1
3
3
3
1
1
2
3
1
SÃO PAULO - 2012
Propriedades Complementares
Teorema de Binet
Soma de Determinantes
Sejam A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem. Então:
det 𝐴. 𝐵 = det 𝐴 . det(𝐵)
Determinante de Vandermonde
Vale a seguinte identidade:
𝑚
𝑛
𝑝
𝑎𝑛−1
1 1
𝑏
𝑐
𝑏2 𝑐 2
⋮
𝑏𝑛−1 𝑐 𝑛−1
1
⋯
𝑥
𝑥2
⋱
⋮
𝑛−1
⋯ 𝑥
𝑚
𝑞
𝑟 = 𝑛
𝑝
𝑠
𝑥
𝑦
𝑧
𝑚
𝑞
𝑟 + 𝑛
𝑠
𝑝
𝑎
𝑏
𝑐
Zeros em um lado da
Diagonal Principal
Se um determinante for da forma
1
𝑎
𝑎2
𝑥+𝑎
𝑦+𝑏
𝑧+𝑐
O determinante é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Ele é chamado de Determinante de
Vandermonde, e pode ser calculado por meio da
seguinte identidade:
𝑑𝑒𝑡 = 𝑏 − 𝑎 . 𝑐 − 𝑎 . 𝑐 − 𝑏 . 𝑑 − 𝑐
. 𝑑−𝑏 . 𝑑−𝑎 …
Exemplo:
𝑘
𝑥
𝑚
𝑎
0
𝑦
𝑛
𝑏
0
0
𝑝
𝑐
Zeros em um lado da
Diagonal Secundária
O determinante é igual ao produto dos
elementos da diagonal secundária, multiplicado
𝑛(𝑛−1)
2
por (−1)
Note que na expressão acima, os termos
que serão multiplicados, são todas as diferenças
possíveis entre os elementos da segunda linha,
exceto as subtrações dos elementos da segunda
linha por elementos na mesma linhaque
estejam ‘à esquerda’ dele.
Logo, não entram termos como (𝑎 − 𝑏),
(𝑏 − 𝑑), etc.
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0
0
= 𝑘. 𝑦. 𝑝. 𝑑
0
𝑑
em que n é a ordem da matriz.
Exemplo:
1
5
3
4
3
7
5
0
2
2
0
0
1
𝑛(𝑛−1)
0
= 1.2.5.4. (−1) 2
0
0
SÃO PAULO - 2012
𝑞
𝑟
𝑠