Gabarito de Respostas
Nome Processo
GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO - RIO DE JANEIRO
Fase
FASE ÚNICA
MATEMÁTICA
Ingresso
Tipo Prova A - VERDE
LINGUA PORTUGUESA
INGLÊS
HUMANAS
CIÊNCIAS
Questão
1
2
Alternativa
D
A
Questão
13
14
Alternativa
B
D
Questão
25
26
Alternativa
B
A
Questão
Alternativa
Questão
Alternativa
37
38
D
C
49
50
B
C
3
4
C
E
15
16
A
A
27
28
D
C
39
40
A
B
51
52
D
A
5
6
D
C
17
18
E
B
29
30
B
E
41
42
E
A
53
54
D
C
7
8(*)
E
19
20
A
C
31
32
D
E
43
44
B
D
55
56
D
E
9
10
B
C
21
22
C
B
33
34
A
E
45
46
C
B
57
58
C
E
11
12
A
E
23
24
E
D
35
36
D
C
47
48
E
A
59
60
A
B
(*) Questão anulada
02/2009
Matemática - Resolução
1
Três empreiteiras A, B e C foram contratadas para pavimentar uma estrada, cada uma
encarregada de certo trecho.
A empreiteira A pavimentou 1/5 da extensão total, a empreiteira B pavimentou 3/7 do total
e a empreiteira C pavimentou 52 km, completando todo o serviço. Então, a extensão total
da estrada é :
A
B
C
D
E
130 km
120 km
125 km
140 km
135 km
x 3x
+
+ 52 = x
5 7
7 x + 15 x
+ 52 = x
35
22 x
52 = x −
35
35 x − 22 x 13 x
=
52 =
35
35
52 x35
= 4 x35 = 140km
x=
13
1
_____
2
_____
_____
Na figura abaixo, os ângulos ∠ABC e ∠AED são retos, e os segmentos BC , AD e DB
medem, respectivamente, 9 cm, 10 cm e 2 cm.
A área do quadrilátero BCED, em cm2, é:
A
B
C
D
E
30
32
34
36
38
AC = 81 + 144 = 225 = 15
∆AED ~ ∆ABC
DE AD
DE 10
=
⇔
=
9
15
CB AC
2
área (∆AED )  10 
=   =  
área(∆ABC )  15 
3
4
área (∆AED ) = área(∆ABC )
9
4 9 x12
= ⋅
= 24
9 2
9 x12
área (BCED ) =
− 24 = 9 x6 − 24 = 54 − 24 = 30
2
2
2
2
3
A equação x +
A
B
C
D
E
x x x x
+ + +
+ ..... = 40 apresenta como resultado um valor x, tal que :
2 4 8 16
21 ≤ x < 22
17 ≤ x < 18
20 ≤ x < 21
18 ≤ x < 19
19 ≤ x < 20
Sabe-se que o valor da soma infinita x +
x x x x
+ + + + ⋅ ⋅ ⋅ é igual a 40.
2 4 8 16
Podemos afirmar que:
x x x x
x
+ + + + ⋅⋅⋅ =
= 2x
2 4 8 16
1− 1
2
2 x = 40 ⇔ x = 20
x+
4
3 x + ky = 1
, de incógnitas x e y , onde k é um parâmetro
kx + y = k
Considere o sistema linear 
real.
Então :
A se k = 3 , o sistema é impossível.
B se k = 3 , o sistema é possível e determinado.
C se k = − 3 , o sistema é possível e indeterminado.
D se k = −1 , o sistema é impossível.
E se k = ± 3 , o sistema é impossível.
3 k 
2
2
det 
 = 3− k = 0 ⇔ k = 3 ⇔ k = ± 3
k
1


k ≠ ± 3 sistema possível e determinado
k= 3
3 x + 3 y = 1

 3 x + y = 3
k=− 3
3 x − 3 y = 1
~

− 3 x + y = − 3
~
3 x + 3 y = 1

3 x + 3 y = 3
sistema impossível
3 x − 3 y = 1
sistema impossível

3 x − 3 y = 3
3
5
O número de anagramas diferentes que podem ser construídos com as letras da palavra
VARGAS, e que comecem e terminem com consoantes é:
A
B
C
D
E
360
15
24
144
288
Total = 4.4.3.2!.3 = 12.12 = 144
2!
6
Sabe-se que o produto de duas das raízes do polinômio
igual a 1. O valor do coeficiente k é:
A
B
C
D
E
P ( x) = 2 x 3 − x 2 + kx + 4
−12
−10
−8
−4
−2
P( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
= a ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 )
− ax1 x 2 x3 = d ⇔ x1 x 2 x3 = −
d
a
4
= −2
2
x1 x 2 = 1 ⇔ x3 = −2
x1 x 2 x3 = −
0 = P ( − 2) = 2( − 2) 3 − ( − 2) 2 + k ( − 2) + 4
0 = −16 − 4 − 2k + 4 = −16 − 2k
2k = −16
k = −8
4
é
7
Uma indústria química pode estocar determinado líquido em recipientes cúbicos de aresta
a ou em esferas de volume igual ao do recipiente cúbico. A expressão da área da superfície
de um recipiente esférico de volume igual ao do cubo de aresta a será:
A 6π a 2
B
C
D
E
4π a 2
3
π a2
4π a 2
3
3
5
36π a 2
5
8
log10 x + log10 y = 1
tem como soluções os pares ( x1 ; y1 ) e ( x 2 ; y 2 ) . Então, a
3x − 5 y = 5
O sistema 
soma y1 + y 2 será :
A
B
C
D
E
-3
-1
0
1
3
log10 x + log10 y = 1 log10 x. y = 1  x. y = 10
⇒
⇒
, se x. y > 0

x
−
y
=
3
5
5
x
−
y
=
x
−
y
=
3
5
5
3
5
5



5
3 x − 5 y = 5 ⇔ 3 x = 5 y + 5 ⇔ x = ( y + 1)
3
5
5
10 = xy = ( y + 1) y = ( y 2 + y )
3
3
5 2 5
y + y − 10 = 0
3
3
2
5 y + 5 y − 30 = 0
y2 + y − 6 = 0
− 1 ± 1 + 24 − 1 + 5
=
⇒ y1 = 2
2
2
5
y1 = 2 ⇒ x1 = (2 + 1) = 5
3
5
10
y 2 = −3 ⇒ x 2 = (−3 + 1) = −
3
3
y1 + y 2 = 2 + (−3) = −1
y=
Obs: (−3,−
10
) seria a solução do sistema
3
y 2 = −3
log10 x. y = 1
e não do

3x − 5 y = 5
log10 x + log10 y = 1
, portanto a Banca Avaliadora houve por
3x − 5 y = 5
sistema 
bem anular esta questão.
6
9
Dadas as funções reais f ( x) = x e g ( x) =
f ( x) ≤ g ( x) é :
A
B
C
D
E
{x ∈ ℜ x ≤ −1 ou x > 2}
{x ∈ ℜ x ≤ −1 ou 1 < x ≤ 2}
{x ∈ ℜ x > 1 ou x < 2}
{x ∈ ℜ x < 1 ou x ≥ 2}
{x ∈ ℜ 1 < x ≤ 2}
7
2
, o conjunto-solução da inequação
x −1
( )
10 Sejam as matrizes A = a ij
2x2
em que a ij = i j
 −1
e C = 
− 2
8
 . Se a matriz B é tal que
26 
A.B = C , então:
− 2
 1
 0
B B = 
−1
A B = 
4

5 
3

2 
 − 1 3

5 
C B = 
 0
 − 1 5

 3 0
 − 1 2

E B = 
 5 0
D B = 
A.B = C ⇔ B = A −1 .C
1 1 
A=

 2 4
1  4 − 1
=
det A − 2 1 
1  4 − 1  2 −1 2 
= 
=
2 − 2 1  − 1 1 2 
A −1 =
 2 −1 2   − 1 8 
B=

=
− 1 1 2  − 2 26
− 2 + 1 16 − 13  − 1 3
=
=

 1 − 1 − 8 + 13  0 5
8
11 A figura a seguir mostra um retângulo DFCE inscrito no triângulo retângulo ABC, cujos
catetos têm medidas AC=5 e BC=10.
Então, a área máxima desse retângulo é:
A
B
C
D
E
12,5
13,5
14,5
15
18
10 − x 10
=
y
5
10 − x = 2 y
x = 10 − 2 y
área = x. y = (10 − 2 y ) y = 10 y − 2 y 2
10 y − 2 y 2 = 0 ⇔ y = 0 ou
é máxima quando y =
neste caso, área = 10.
25
= 12,5
2
9
y=5
5
2
5
25
25
− 2. = 25 −
2
4
2
12 A soma S n dos n primeiros termos de uma seqüência a1 , a 2 , a 3 , a 4 ,......., a n ,....... é obtida
pela fórmula
A
B
C
D
E
Sn =
n2 − n
1+ n
Então, o valor do 5o termo (a5) dessa seqüência é:
9
10
7
8
11
12
13
14
14
15
25 − 5 16 − 4
−
=
1+ 5
1+ 4
20 12 100 − 72 28
=
−
=
=
6
5
30
30
14
=
15
a5 = S 5 − S 4 =
Fim da Prova de Matemática
10
Resolução
1
No 3º século a.C., o diretor da Biblioteca de Alexandria, Eratóstenes de Cirene, calculou da
seguinte forma o meridiano terrestre: conhecia-se a distância L entre Alexandria e Siena,
igual aos atuais 787,5 km; sabia-se que, ao meio-dia do solstício de verão, o sol estava a pino
em Siena e projetava sombra em Alexandria, em edificações verticais. As duas cidades
estavam localizadas aproximadamente sobre o mesmo meridiano. Eratóstenes mediu a
inclinação θ dos raios do sol em relação à perpendicular em Alexandria e obteve
aproximadamente θ = 7º. Conseguiu, então, calcular com boa precisão a medida do
meridiano terrestre M. Reproduza seu raciocínio e calcule M.
L = 787,5km
L
M
θ 360 o
L
M
=
o
7
360 0
=
360 o
M = 787,5. o = 40500km
7
1
2
Para transportar certa carga, uma empresa tem as seguintes opções:
Por ferrovia – Custo fixo de R$ 1.000,00 mais R$ 5,00 para cada quilômetro rodado.
Por rodovia – Custo fixo de R$ 500,00 mais R$ 7,00 para cada quilômetro rodado.
A Calcule, em quilômetros, a distância d a ser percorrida para que os custos totais sejam
iguais e calcule o valor desse custo.
B Para uma distância percorrida maior que d, qual a opção mais barata? Justifique.
x = distância percorrida em km
F ( x) = 1000 + 5 x
R( x) = 500 + 7 x
a ) F ( x) = R( x) ⇔ 1000 + 5 x = 500 + 7 x ⇔
⇔ 500 = 2 x ⇔ x = 250km
F (250) = R (250) = R$ 2250
b) para x > 250 temos
2
F(x) < R(x)
1
3
x
1
Considere o polinômio dado por P ( x) = x
− 1 x − 20 . Sabendo que uma das raízes de
2 0 x
P(x) é -2, obtenha as outras raízes .
P ( x) = (− x + 2 x 2 + 2 − x 3 ) − 20
P ( x) = − x 3 + 2 x 2 − x − 18 é divisível por ( x + 2)
Logo P ( x) = ( x + 2)(− x 2 + 4 x − 9)
As outras raízes se obtém fazendo − x 2 + 4 x − 9 = 0 ⇒
⇒ x 2 − 4x + 9 = 0 ⇒ x =
4 ± 16 − 36 4 ± 2 5i
=
= 2 ± 5i
2
2
Outras raízes: 2 ± 5i e 2 − 5i
3
4
(x+1)
Resolver a equação 3
(3-x)
–3
= 80.
3.3 x − 33.3 − x − 80 = 0
33
− 80 = 0
3x
3.3 2 x − 27 − 80.3 x
=0 3 x ≠ 0 ∀x ∈ ℜ
x
3
2x
∴ 3.3 − 80.3 x − 27 = 0
3 .3 x −
chamando
y = 32 x
3. y 2 − 80 y − 27 = 0
∆ = 6400 + 4.3.27
∆ = 6724
y=
+ 80 ± 6724
2 .3
4
5
As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética de
razão igual a 4.
A Calcule a medida de cada um dos lados desse triângulo.
B Calcule a área do círculo inscrito nesse triângulo.
5
x − 2 y + z = 1

6 Seja o sistema linear 3 x + y − z = 4
4 x − y + kz = 5

de incógnitas x, y e z , onde k é um parâmetro real.
Determine o valor de k para que o sistema seja possível e indeterminado.
6
7
No plano cartesiano, são dados o ponto P(0,1) e a reta r de equação y=5.
A Obtenha a equação do conjunto dos pontos (x,y) eqüidistantes do ponto P e da reta r.
B Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos de intersecção desse conjunto
com os eixos coordenados.
7
8
Uma esfera de raio 1 está inscrita em um cone circular reto cuja base tem raio 3. Determine
a altura desse cone.
8
9
Um fumante define a seguinte estratégia para deixar de fumar: do total que atualmente
fuma diariamente, reduzir 3 cigarros no primeiro dia, aumentar um cigarro no segundo dia,
diminuir 3 no terceiro dia, aumentar 1 no quarto dia , repetindo essa rotina até que a
quantidade de cigarros fumados diariamente seja reduzida a zero. Considerando que hoje
ele fume 41 cigarros:
A contando com o dia de hoje, por quantos dias ele ainda fumará até o primeiro dia em
que zere seu consumo?
B quantos cigarros, incluindo os consumidos no dia de hoje, ele ainda irá fumar até o
primeiro dia em que zere o seu consumo?
3 = 41 − 2.(n − 1)
a)
2n = 40
n = 20
0 = 38 − 2(m − 1)
2m = 40 m = 20
Por tan to nm = 40 dias
(41 + 3).20
= 440
2
(38 + 0).20
Sb =
= 380
2
Por tan to S a + Sb = 820 cigarros
Sa =
b)
9
10 Uma bandeira com três listras horizontais e uma vertical, como é mostrado na figura abaixo,
deve ser colorida de modo que regiões adjacentes tenham cores diferentes. Sabendo que
há seis cores disponíveis, de quantos modos a bandeira pode ser pintada?
10