Polinômios
Aula 1
Nível : Iniciante (Fácil)
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O que são Polinômios?
P( x)  a0  a1.x  a2 .x²  ...  an .x
Exemplos:
n
P( x)  x ²  1
P( x)  x  3x  197
4
P( x)   x 1 ³  x³  3x²  3x 1
Grau de um polinômio
P( x)  a0  a1.x  a2 .x²  ...  an .x
Exemplos:
P( x)  x ²  1
P( x)  x  3x  197
4
Grau 4
n
Grau 2
Grau 3
P( x)   x 1 ³  x³  3x²  3x 1
Igualdade de Polinômios
P( x)  a0  a1.x  a2 .x²  ...  an .x
Q( x)  b0  b1.x  b2 .x²  ...  bn .x
n
n
Exemplos: Determine a e b para que P(x)=Q(x)
Q( x )   a  b  x ²  1
P( x)  x²  (a  b).x  1
Igualdade de Polinômios
Q( x)   a  b x²  0.x 1
P( x)  x²  (a  b).x  1
Ou seja:
a  b  1

a  b  0
1
1
 a
b
2
2
Raiz de um polinômio
α é raíz do polinômio
Exemplo:

P( x)  x  1
P(1)  1  1  0
Logo 1 é raiz de P(x)= x-1
P( )  0
Teorema fundamental da Álgebra
Todo polinômio de grau n tem exatamente n
raízes complexas (podendo ou não ser reais
puras)
Exemplo:
x ²  3x  1  0
tem 2 raízes
x5  3x 2  1  0
tem 5 raízes
Exercício
Determine as raízes dos polinômios a seguir:
a) x²  5 x  6
b)  x  1 .  x  3 ²
c) x 4  1
Gabarito:
a) 2 e 3
b)1 e  3 c) 1, 1, i ,  i
Divisão de Polinômios
A divisão de um polinômio P(x) por D(x) de grau
n é representada, com polinômios Q(x) e R(x)
(onde R tem grau menor ou igual a n-1 ) tais que:
P( x)  Q( x).D( x)  R( x)
Divisor Quociente Resto
Exemplos:
P(x)= x³ + 3x² + 3x + 2 tem divisão representada
por Q(x)=x+1 como sendo:
x³  3x²  3x  2   x 1 x 1²  1
Divisor
Quociente
Resto
Como achar Quociente e Resto???
Método 1 - Divisão Algébrica
x  5 x ³  3x ²  2 x  1
4
x²  2 x  5
 x 4 2 x ³  5 x ²
3x ³  8 x²  2 x  1
x²
Divisão Algébrica
x 4  5 x ³  3x ²  2 x  1
x²  2 x  5
 x 4 2 x ³  5 x ²
x ²  3x
3x ³  8 x²  2 x  1
3x³  6 x²  15x
2
Quociente
2 x ²  17 x  1
2 x ²  4 x  5
13 x  4
Resto
Divisão Algébrica
Podemos então escrever:
x4  5x³  3x²  2x 1   x²  3x  2 x²  2x  5  13x  4
Método 2 – Algoritmo de Briot – Ruffini para
divisores do tipo (x-r)
x 4  5 x ³  3x ²  2 x  1
Exemplo:
2
por (x-2)
1
1
5
3
2
1
7
17
36
71
Resto
x ³  7 x ²  17 x  36
Quociente
Briot-Ruffini
Podemos então escrever:
x4  5x³  3x²  2x 1   x  2 x³  7 x² 17 x  36   70
Exercício: Utilize a divisão algébrica pra efetuar a
mesma divisão anterior e compare os resultados.
Raízes Múltiplas
Quando P(x) possui uma raiz ´a´ que também é
raiz de seu quociente por (x-a) , ela é chamada
de raiz dupla do polinômio.
Se for raíz do quociente (x-a)², ela é chamada
de raiz tripla.
Raízes multiplas de ordem n contam como n
raízes.
Divisibilidade
Dizemos que P(x) é divisível por Q(x) quando
TODAS as raízes de Q(x) são raízes de P(x)
Exemplo: Mostre que P(x)=x³-x²-5x-3 é
divisível por Q(x)=x²+2x+1
Gráficos Polinomiais
Polinômios são funções contínuas. As raízes
são os pontos que a curva do polinômio cortam
o eixo x.
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Polinômios disponíveis!
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• Apresentação elaborada por:
Caio Guimarães