MATEMÁTICA IV
POLINÔMIOS & EQUAÇÕES POLINOMIAIS (01)
EXERCÍCIOS – AULA 05
1) (FCC-BA) Dado o polinômio P( x ) = x 3 − 2x 2 + m x − 1 , onde m ∈ IR , seja P(a) o valor de P para x = a.
Se P(2) = 3 ⋅ P(0) , então P(m) é igual a:
a) – 5
b) – 3
Resolução:
c) – 1
P (0 )
}
3
2
d) 1
(2) − 2 ⋅ (2) + m (2) − 1 = 3 ⋅ ( −1) ⇒ m = −1
e) 14
P (m) = P ( −1)
P (m) = ( −1)3 − 2 ⋅ ( −1)2 − ( −1) − 1 ⇒
P (m) = −3
(ALTERNATIVA B).
2x − 3
A Bx + C
= + 2
é:
2
x(x + 1) x x + 1
2) (UCMG) A soma dos valores de A, B e C tal que
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução:
2x −3
A(
⋅ x 2 + 1)
+ x(
⋅ Bx + C )
≡
2
2
x(x + 1 )
x(x + 1)
2
0 x + 2 x − 3 ≡(A + B )
x 2 + Cx + A
 A = −3

A +B = 0 ⇒ B = 3
 C = 2
A + B + C = 2 (ALTERNATIVA C).
3
2
2
3) (UFR-PE) Qual o resto da divisão do polinômio x – 2x + x + 1 por x – x + 2 ?
a) x + 1
b) 3x + 2
c) – 2x + 3
d) x – 1
e) x – 2
Resolução:
(ALTERNATIVA C).
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6
4) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x – 1 pelo polinômio d(x) = x – 1. Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c) Q(1) = 0
d) Q(– 1) = 1
e) Q(1) = 6
Resolução:
Q ( 0 ) = 1

Q( x ) = x + x + x + x + x + 1 ⇒ Q ( 1 ) = 6
Q( −1) = 0

5
4
3
2
(ALTERNATIVA E).
5) (UP 2012) Um polinômio p(x), dividido por (2 x + 1) , deixa resto –1. O quociente desta divisão é então
dividido por ( x − 1) , obtendo-se resto 2. O resto da divisão de p(x) por (2 x + 1) ⋅ ( x − 1) é ...
a) 1
Resolução:
b) 2
p(x )= Q1(x )
(
⋅ 2 x + 1)
− 1..........(1 )
c) 4x + 1
Q
(
x
)
=
Q
(
x
)
(
⋅
x
−
1
)
+ 2 ..........( 2 )
d) x – 1
1
2
(2 )→(1 )
e) 3
p(x )= [ Q 2(x )
(
⋅ x − 1)
+ 2 ](
⋅ 2 x + 1)
−1
p(x )= Q 2(x )
(
⋅ x − 1)
(
⋅ 2 x + 1)
+ 2(
⋅ 2 x + 1)
−1
p(x )= Q 2(x )
(
⋅ x − 1)
(
⋅ 2 x + 1)
+4
1x2+
31 (ALTERNATIVA C).
Re sto 2
2
6) (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de x + px + 1 por x – 1 e x + 2 são iguais entre si, o valor
de p é:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
Resolução:
2
Considerando P(x) = x + px + 1
Pelo Teorema do Resto:
=
P(1 ) P(−2 )
2 + p(
2 + p(−2 )
(1 )
⋅ 1)
+ 1 =(−2 )
+1
p = 1 (ALTERNATIVA D).
2
7) (Santa Casa-SP) Dividindo-se um polinômio f por x – 3x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto 2x + 1.
O resto da divisão de f por x + 1 é:
a) – 2
b) – 1
c) 3
d) 2x – 1
e) 2x + 1
Resolução:
Pede-se f ( − 1 ) = ?
f ( x ) = ( x + 1 ) ⋅ ( x 2 − 3 x + 1 ) + 2x + 1
f ( − 1 ) = 0 + 2 ⋅ ( −1 ) + 1
⇒
f ( − 1 ) = −1 (ALTERNATIVA B).
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8) (UFES) O resto da divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e por (x – 2) é 3. Ao dividir o mesmo
polinômio pelo produto (x + 1)(x – 2), o resto é:
a) 18
b) 9x
c) 2x + 3
d) – x + 5
2
e) x – 9x + 18
Resolução:
Pelo Teorema do Resto: P(−1 )
= 6 e P(2 )
=3
Na divisão de P(x) por (x + 1)(x – 2) o maior grau possível para
o resto será grau 1, pois o divisor é de grau 2.
RESTO
678
P(x )= Q(x )
(
⋅ x + 1)
(
⋅ x −2)
+ ax + b
P(−1 )= 6 ⇒ − a + b = 6 
a = −1 e b = 5 ⇒ R(x )= − x + 5 (ALTERNATIVA D).
P(2 )= 3 ⇒ 2 a + b = 3 
(x 1)(x − 2 ).
9) (UP 2012) Determine p+q para que o polinômio P( x ) = 2 x 3 − 4 x 2 + px + q seja divisível por
+ ⋅
a) – 2
Resolução:
b) 4
c) 2
Pelo teorema da Divisibilidade de P(x) por um produto de fatores do 1º grau,
d) – 4
teremos:
e) – 1
P(−1 )= 0
3 − 4(−1 )
2 + p(
⇒ 2(−1 )
⋅ −1 )
+q=0
P( 2 )= 0
3 − 4( 2 )
2 + p(
⇒ 2( 2 )
⋅ 2)
+q=0
 −p + q = 6
 2p + q = 0

p = −2 e q = 4 ⇒ p + q = 2 (ALTERNATIVA C).
3
2
10) (UP 2012) O resto da divisão do polinômio P(x) = – 2x – 5x – x + k + 1 , k ∈ IR, por (x + 1) é igual a
zero. O polinômio P(x), escrito na forma fatorada (produto de fatores do 1º grau) é:
a)
b)
c)
d)
e)
P(x )=(x + 1)(⋅ x + 2 )(⋅ x − 1)
P(x )= −0,5(⋅ x + 1)(⋅ x − 2 )(⋅ x + 0,5 )
P(x )= −2(⋅ x + 1)(⋅ x + 2 )(⋅ x − 0,5 )
P(x )= −2(⋅ x + 1)(⋅ x − 2 )(⋅ x −1)
P(x )= −2(⋅ x + 1)(⋅ x − 2 )(⋅ x + 2 )
Resolução:
3 − 5(−1 )
2 −(−1 )
Pelo Teorema do Resto: P(−1 )
= 0 ⇒ − 2(−1 )
+ k + 1= 0 ⇒ k = 1
3
2
P(x) = – 2x – 5x – x + 2
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com a raiz x1 = –1...
x 2 = −2 ou x 3 = 1/ 2
1

P(x )= −2(
⋅ x + 1)
(
⋅ x+2)
⋅ x − 
2

P(x )= −2 (⋅ x + 1)(⋅ x + 2 )(⋅ x − 0,5 )
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(ALTERNATIVA C).
11) (UP 2012) Se o polinômio P( x ) = x 4 + 4 x 3 − 7 x 2 − 22x + 24 é divisível por ( x − 2) , podemos afirmar que
um dos seus fatores de 1º grau é o polinômio
Sugestão: Em toda equação, sempre verifique se a soma dos seus coeficientes é igual a zero; se o for, com
certeza 1 (um) é raiz da referida equação e, assim sendo, podemos utilizar esta raiz 1 (um) conhecida para,
com o uso do dispositivo prático de Briot-Ruffini, abaixar o seu grau e determinarmos as demais raízes.
a) x + 1
b) x – 3
c) x + 4
d) 2x + 6
2
e) x – 1
Resolução:
Pela informação do enunciado, x 1 = 2 é uma das quatro raízes de P(x).
Pela Sugestão verificamos que realmente a soma dos coeficientes de P(x) vale zero,
ou seja, P(1) = 0.
Como P(1) = 0 ⇒ x 2 = 1 é outra raiz de P(x).
Utilizando-se o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com as raiz x1 = 2 e x2 = 1 ...
P(x )= a(⋅ x − x 1 )(⋅ x − x 2 )(⋅ x − x 3 )(⋅ x − x 4 )
P(x )= 1(
⋅ x−2)
(
⋅ x − 1)
(
⋅ x +3)
(
⋅ x+4)
123
ok !
(ALTERNATIVA C).
3
2
12) (UFES modificada) Sabendo que o polinômio P(x) = 2x + m x + x – 2 é divisível por (x + 2), podemos
decompô-lo num produto de fatores do 1º grau. O polinômio P(x) e o valor da constante m encontramse na alternativa:
a) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x – 3); m = – 2
b) P(x) = 2(x + 2)(x – 1)( x + 3); m = – 1
c) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/3); m = 5
d) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x + 1/2); m = 5
e) P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5
Resolução:
3 + m(
2 +(−2 )
Pelo Teorema do Resto: P(−2 )
= 0 ⇒ 2(
⋅ −2 )
⋅ −2 )
−2 =0 ⇒
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com a raiz x1 = –2...
3
m=5
2
P(x) = 2x + 5 x + x – 2
P(x )= a(⋅ x − x 1 )(⋅ x − x 2 )(⋅ x − x 3 )(⋅ x − x 4 )
P(x) = 2(x + 2)(x + 1)( x – 1/2); m = 5
(ALTERNATIVA E).
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3
2
13) (U.F.São Carlos-SP) Sabendo-se que a soma de duas das raízes da equação x – 7x + 14x – 8 = 0 é
igual a 5, pode-se afirmar a respeito das raízes que:
a) são todas iguais e não nulas
b) somente uma é nula
c) as raízes podem constituir uma P.G.
d) as raízes podem constituir uma P.A.
e) nenhuma raiz é real
Resolução:
• Maneira 1:
54
47
8
−(−7 ) 6
⇒ x1 + x 2 + x 3 = 7 ⇒ x 3 = 2
Por Girard: x 1 + x 2 + x 3 =
1
Utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini com a raiz x3 = 2...
Com as raízes 1, 2 e 4 podemos formar
progressões geométricas, por exemplo:
PG(1, 2 , 4 )de razão 2 e
PG( 4 , 2 , 1 ) de razão 1/2.
(ALTERNATIVA C).
•
Maneira 2:
Apenas com o conhecimento do polinômio P(x) e verificando que a soma dos seus
= 0, constatamos que x 1 = 1 é raiz de P(x) e
coeficientes é igual a zero, ou seja, P(1 )
efetuamos o rebaixamento do grau da equação P(x) = 0 (da mesma maneira efetuada na
Maneira 1) e encontramos as demais raízes de P(x). Posteriormente chegaremos á mesma
conclusão alcançada na Maneira 1.
3
2
14) (Fuvest-SP) Sabe-se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x – x + kx + 4 = 0 é igual a
1. Então o valor de k é:
a) – 8
b) – 4
c) 0
d) 4
e) 8
Resolução:
Por Girard: x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 =
123
1
−(4 )
⇒ x 3 = −2
2
3
2
Como P( x 3 )
= 0 ⇒ 2(
⋅ −2 )
−(−2 )
+ k(
⋅ −2 )
+4=0
k = −8 (ALTERNATIVA A).
3
2
15) (Fuvest-SP) Se a equação 8x + kx – 18x + 9 = 0 tem raízes reais a e – a, então o valor de k é:
a) 9/4
b) 2
c) 9/8
d) – 2
e) – 4
Resolução:
Por Girard: x 1 + x 2 + x 3 =
−(k )
k
⇒ a +(− a )
+ x3 = − ⇒
8
3
2
k
k
k
8 ⋅  −  + k ⋅  −  − 18 ⋅  −  + 9 = 0
8
8




 8
Arrumando: −
k3 k3
 k
+
− 18 ⋅  −  + 9 = 0 ⇒ k = −4
64 64
 8
(ALTERNATIVA E).
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8
x3 = −
k
8