Matemática
Polinômios
CAPÍTULO 02 – OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
1 – INTRODUÇÃO
3 – PRODUTO
Como com qualquer outra função, podemos
fazer operações de adição, subtração, multiplicação
e divisão com polinômios.
A soma e a multiplicação de polinômios são
feitas algebricamente como com qualquer outra
expressão numérica.
A divisão de polinômios é um dos métodos
mais eficientes para o estudo detalhado e a
determinação de raízes de polinômios em geral. É
interessante, portanto, estudar alguns métodos e
teoremas acerca deste assunto.
Dados dois polinômios:
( )
( )
Chama-se produto
( )
Polinômios são agrupados em coeficientes
de potências de variável independente, portanto
devemos sempre agrupar termos que acompanham
a mesma potência dessa variável. Sendo assim,
dados dois polinômios:
( )
( )
(
)
(
com
)
( )
OBSERVAÇÃO:
Note que o grau da soma de dois polinômios é o
– MÉTODO
DAS
CHAVES
mesmo 2
grau
do polinômio
de maior
grau entre os
dois. Na multiplicação, o grau é a soma dos graus
dois polinômios.
Odos
método
das chavesSimbolicamente:
para encontrar ( ) e ( ) é
Se
e o método
, com da divisão
. Temos
muito parecido
com
de
números.que:
Suponhamos que queiramos dividir o
)
polinômio () (
pelo polinômio

( )
. Veja o procedimento abaixo:
)
(
)
)
(
)
4 –DIVISÃO
2.1 – Diferença de polinômios
4.1 – Divisão Euclidiana
Assim como quando trabalhamos com
números reais, a diferença entre dois polinômios é a
soma de um polinômio com o oposto do outro.
( )
Dessa forma, dados os polinômios:
Para entender a divisão de polinômios, é
interessante fazer uma analogia com a divisão de
números. Suponhamos que queiramos dividir o
número 134 pelo número 14. Obteremos um
quociente igual a 9 e um resto igual a 8. É correto
então dizer que:
( )
( )
Chama-se diferença entre
(
)
(
e
o polinômio:
)
Exemplos:
 Tomemos os polinômios
( )
e ( )
(
)( ) (
)
(
(
)( )
16
e ( )
)(
Por fim:
o polinômio:
Exemplos:
 Tomemos os polinômios
( )
e ( )
( )
( ) (
) (
(
)( ) (
(
)
)
(
)( )
)( )
(
( )
Chama-se soma de
(
)
( )
( )
( )
)( )
(
Essa definição não é muito prática, nem fácil
de entender, em geral, para realizar produtos de
polinômios, fazemos uso da propriedade distributiva
e, em sequência, realizamos as operações de soma,
vejamos o exemplo:
2 – SOMA
(
o polinômio
(
De uma maneira geral, dados dois números
naturais D e d, com d
0, dividir D por d é obter
números naturais q e r cumprindo:
e
0 r<d
D = d.q + r
)
Esquematicamente:
)
Algebra
CASD Vestibulares
II.
Assim como com os números, em polinômios
a divisão euclidiana também é válida, ou seja, dividir
um polinômio D(x) por um polinômio d(x) é obter
polinômios Q(x) e r(x) cumprindo:
O dividendo não é o polinômio nulo, mas tem
grau menor que o divisor.
Neste caso, Q(x) = 0 e r(x) = D(x).
4.3 – Método das Chaves
D(x) = d(x).Q(x) + r(x)
r
Onde:
Mostraremos agora o Método das Chaves
para a divisão de polinômios, ou Algoritmo da
Divisão Algébrica de polinômios. O método é geral e
divide qualquer polinômio por outro de grau menos
ou igual ao primeiro, porém exige cuidado com o uso
dos sinais de cada termo no processo de execução
do algoritmo.
O método muito parecido com o método da
divisão de números. Suponhamos que queiramos
dividir o polinômio ( )
pelo
polinômio ( )
. Veja o procedimento
abaixo:
Q ou r(x) = 0
Ou seja, o grau de r deve ser menor do que
o grau de Q, ao menos que r(x) = 0. Simbolicamente:
D(x) = d(x).Q(x) + r(x)
Assim
nomenclatura:




como
D(x)
d(x)
Q(x)
r(x)
com
números,
segue
a
dividendo
divisor
quociente
resto
Primeiro colocamos os polinômios na mesma
forma em que colocamos dois números:
Exercício Resolvido 1
Agora vejamos o termo de maior grau do
dividendo (
) e do divisor ( ). Ao dividir
por
, encontramos
. Colocamos então
no
quociente:
Ao dividirmos um polinômio P(x) por D(x),
encontramos um quociente Q(x) e um resto R(x).
Sabendo que P:
é uma função par, que
P(-2) = 5 e que 2 é raíz de Q(x), determine o valor
numérico de R(x) em x = 2.
Resolução:
Da divisão euclidiana para polinômios, temos
que:
( )
( ) ( )
, temos:
( )
( ) ( )
Como P é função par,
Multiplicamos o divisor
por
eo
colocamos sob o dividendo com sinal trocado. Veja
(
)
que:
( )
Para
então:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Além disso, 2 é raíz de Q(x), logo
( )
, logo:
( )
Finalmente:
( )
(
)
Sendo assim, devemos colocar embaixo do
dividendo o seu oposto, ou seja,
:
,
( )
Somamos:
Já aprendemos como intepretar a divisão de
polinômios a partir do algoritmo de Euclides, agora,
veremos técnicas para determinar o quociente e o
resto em divisões polinomiais.
4.2 – Divisões Imediatas
Repetimos o mesmo procedimento, agora com o
resto parcial: Dividimos
por , encontramos
e vamos somar então
ao nosso quociente.
I.
O dividendo é o polinômio nulo.
Neste caso, os polinômios Q(x) = 0 e r(x) = 0
são as soluções da operação. Pois
D(x) = d(x).Q(x) + r(x)
0 = d(x).0 + 0
0=0
20
Algebra
CASD Vestibulares
(
oposto:
Multiplicamos
)
Resolução:
Acompanhe o método das chaves abaixo:
por :
, e somamos seu
Finalmente, ao dividirmos
por
)
encontramos 1. Temos: (
Somamos, então, –
ao dividendo:
,
.
( )
Concluímos então que
e ( )
OBSERVAÇÃO:
Note que o grau do quociente de dois polinômios é
menor ou igual a diferença entre os graus do
dividendo e do divisor. Simbolicamente:
 Se
e
, com
. Temos
que:

Dicas para o Vestibular
Alguns problemas clássicos nem mesmo
requerem que utilizemos o método das chaves para
soluciona-los. Quando possível, é bom evitar utilizar
este método, pois ele é relativamente trabalhoso.
Muitas vezes podemos usar a Divisão Euclidiana
para encontrarmos o que o problema exige. Confira
os dois exercícios resolvidos abaixo:
Veja que o resto agora é
, como esse
polinômio possui grau menor que o divisor, ele é o
resto da divisão. Paramos então e temos nosso
quociente e nosso resto:
Exercício Resolvido 3
Ache o resto da divisão de
por
Resolução:
Certamente seria muito trabalhoso neste
caso utilizar o método das chaves. Não faria sentido,
de qualquer forma, pois não nos interessa o
quociente da divisão, mas somente o resto.
Como o divisor é
, que tem grau 2, o
resto certamente terá no máximo grau 1. Então:
( )
Temos então:
Assim ( )
e ( )
Confirme que é válido escrever:
( )
( ) ( )
(
)(
( ) ( )
( )
(
) ( )
Uma boa idéia então é substituir valores de
que zeram o divisor. As raízes de
são
e
.
Para
, temos:
.
( )
( )
)
(
Exercício Resolvido 2
Para
Obtenha o quociente e o resto da divisão do
polinômio
por
)
, temos:
(
)
((
)
Resolvendo o sistema, temos:
( )
, então ( )
20
Algebra
( )
)
(
e
)
, e como
CASD Vestibulares
07. (UECE) O resto da divisão do polinômio
2
2
P(x) = 2(x+1) + x(x 1) + 8 por x + x + 1 é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Exercício Resolvido 4
Sabendo que
, determine
é divisível por
e
Resolução:
Se
é
, significa que o resto é
Assim:
( )
( ) ( )
(
(
As raízes de
08. (CESGRANRIO) O resto da divisão do polinômio
2
2
2
P(x) = (x + 1) pelo polinômio D(x) = (x – 1) é igual
a:
a) 2
b) 4
c) 2x – 1
d) 4x – 2
e) 8x – 4
divisível por
igual a zero!
)
)
( )
são
e
09.(UFGO)
Na
divisão
do
polinômio
3
2
2
P(x)=ax +bx +cx+d pelo polinômio D(x) = x + 1,
encontra-se para quociente o polinômio Q(x) = 2x – 1
e para resto o polinômio R(x) = x + 1. Então P(x) é o
polinômio:
3
2
a) x x +x+1
3
2
b) 2x x +1
3
2
c) 2x x x+1
3
2
d) 2x x +3x
3
2
e) x x 1
,
assim:
Para
( )
(
)
(
(
)
Para
)
(
)
(
)
( )
3
Resolvendo o sistema, encontramos
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3
,
e
são tais
(
)(
) (
)(
Desse modo, o valor de
é:
a) -2 b) 0 c) 4 d) 6 e) 10
Nível II
12. (FGV-2008) O quociente da divisão do polinômio
( ) (
) (
) por um polinômio de grau
2 é um polinômio de grau:
a) 5 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18
)
02. (PUC-RS-2008) Os polinômios ( ) e ( ) têm
coeficientes em
e seu produto é um polinômio de
grau 2, igual ao de ( ). O grau de ( ) é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
2
2
5
2
03. (UFV) O produto (2x + 3x – 5) (x – 2) (x – 3x)
é um polinômio de grau:
a) 8
b) 15 c) 6
d) 18 e) 14
13. (UFMG) Sejam A e B números reais que
satisfazem à igualdade a seguir para todo valor de
que não anula nenhum dos denominadores.
(
)(
A soma A + B é:
a)
b)
c) 0
3
(
)(
O grau de ( ) é:
a) 6 b) 21 c) 36
) (
) (
d) 720
) (
) (
3
,
, então o
15. (UFC-CE) Considere a igualdade
para todo
. A partir das informações acima,
indique a opção na qual figura o resultado de
(
) .
a) 7
b) 16 c) 9
d) 64 e) 49
2
06. (UEL-PR) Na divisão de x + 2x – 3x +x – 3x+ 2
2
por x + x + 1 o:
3
2
a) quociente é x + x – 5x + 5
b) resto é 8x + 3
3
2
c) quociente é x + x + x + 1
d) resto é 3x + 8
3
2
e) quociente é x + 5x – x + 5
20
e)
É verdadeira para todo real,
valor de
é:
a) -4 b) -3 c) -2 d) 2 e) 6
05. (UESPI) O resto da divisão do polinômio
4
2
P(x) = x + 69 por x + 4x + 8 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
4
d)
)
e) 1080
5
)
14. (UNIFESP-2007) Se
04. (UFG-2007) Considere o polinômio:
( )
2
11. (UECE) Se o polinômio P(x) = x + 3x + mx + n é
2
divisível por x – 3x + 2, então o valor de m.n é:
a) – 192
b) – 194
c) – 196
d) – 198
Nível I
01. (UFC-2007) Os números reais
que, para todo x real, tem-se:
2
10. (UNOPAR) Se o polinômio P(x)=2x –px +2px–16
2
é divisível por (x – 2) , então p é igual a:
a) 16 b) 12 c) 8
d) 6
e) 4
16. (MACK-SP) Se R(x) é o resto da divisão
(
) (
)
então R(0) vale:
a)
b)
c)
d)
e)
Algebra
CASD Vestibulares
17. (UEPG-2010) Em relação ao polinômio
( ) (
) (
), assinale o que for correto:
01) O coeficiente de
vale 16
02) Ele tem 5 termos
04) O coeficiente de
é um número par
08) A soma dos seus coeficientes é igual a zero
16) O coeficiente de é negativo.
18. (ITA-2008) Um polinômio é dado pelo produto
de 5 polinômios cujos graus formam uma progressão
geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau
igual a 2 e o grau de é 62, então o de maior grau
tem grau igual a:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
Nível III
19. (UFC-CE) Dois polinômios f(x) e g(x), quando
2
divididos por D(x) = x – 8x + 15, dão restos,
respectivamente, iguais a 2x – 1 e x + 2. Nestas
condições indique a opção na qual consta o valor
correto de:
M = f(g(3)) + g(f(3))
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
GABARITO
01
C
07
C
13
D
19
C
02
A
08
E
14
C
03
D
09
D
15
E
04
B
10
B
16
B
05
D
11
A
17
25
06
A
12
D
18
B
DICAS
02, 03 e 04.
e
(
)
05, 06, 07 e 08. Efetue a divisão valendo-se do
método das chaves.
09. Aplique D(x) = d(x).Q(x) + r(x)
10 e 11. Exercício Resolvido 4
13, 14 e 15. Tire o mmc
16. Exercício Resolvido 3
18.
e
(
)
19. Escreva D(x) = d(x).Q(x) + r(x) e substitua x por
3, veja o que acontece.
20
Algebra
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