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Projeto Jovem Nota 10
Polinômios – Lista D
Professor Marco Costa
1. (Unesp 89) Sejam f(x) = x¤ + x£ - x + 2 e g(x) = f(x) - f(2). Calcule as raízes de g(x).
2. (Fuvest 91) Considere um polinômio não nulo p(x) tal que
(p (x))¤=x£p(x)=xp(x£) para todo x real.
a) Qual é o grau de p(x)?
b) Determine p(x).
3. (Fuvest 92) Considere o polinômio não nulo
P(x)=a³+ax+a‚x£+...+aŠx¾ onde a³, a, a‚,...,aŠ estão em progressão geométrica de razão q·0.
a) Calcule P(1/q).
b) Mostre que, para n par, o polinômio P(x) não tem raiz real.
4. (Fuvest 93) Sabendo-se que p(x) é um polinômio, a é uma constante real e p(x) = x¤-3x£+2x+(a cos x)/(2+x£) é
uma identidade em x, determine:
a) o valor da constante a. Justifique.
b) as raízes da equação p(x)=0.
5. (Fuvest 95) a) Quais são as raízes inteiras do polinômio p(x)=x¤-x£-4?
b) Decomponha o polinômio p(x) em um produto de dois polinômios, um de grau 1 e outro de grau 2.
c) Resolva a inequação p(x)<4(x-2).
6. (Unesp 94) Considere um polinômio da forma
f(x) = x¤ + (cos š)x.
Sendo i=Ë-1 a unidade imaginária, demonstre que f(x) é divisível por x-i (sobre o corpo dos complexos) se, e
somente se, š=2k™(kÆZ).
7. (Unesp 95) Se m é raiz do polinômio real p(x)=x§-(m+1)x¦+32, determine o resto da divisão de p(x) por x-1.
8. (Unicamp 94) Determine o quociente e o resto da divisão de x¢¡¡+x+1 por x£-1.
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9. (Unicamp 96) Seja
a) Mostre que x = 2 é uma raiz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a, b, c e d para que p(x) tenha uma raiz dupla, x · 2?
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufpe 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a letra (V) se a afirmativa for verdadeira ou (F) se
for falsa.
10.Na figura a seguir, temos um esboço de parte do gráfico de uma função polinomial
Analise as seguintes afirmativas:
(
) O grau do polinômio p(x) é ´ 6.
(
) A equação p(x) = 0 não possui raízes reais.
(
(
(
) O grau do polinômio p(x) é µ 7.
) O polinômio p(x) é divisível por x(x+2)(x-2).
) O polinômio p(x) é divisível por (x£-1)(x-3)(x-4).
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Ufba 96) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos parênteses a soma dos itens corretos.
11. Sobre polinômios, pode-se afirmar:
(01) O resto da divisão do polinômio p(x)=x§¥+2x¤£+3x¢§+x©+x¥+x£+x por x-1 é igual a 6.
(02) Dividindo-se o polinômio p(x) pelo polinômio g(x), obtém-se quociente q(x) e resto r(x); então, o grau de r(x)
é menor do que o grau de g(x).
(04) Sendo p(x)=4x¦+ax¥+2x¤-x£, q(x)=bx¦+2x¥+cx¤+x£ e, para todo x, p(x)+q(x)=0, tem-se que a.b.|c|=2¥.
(08) Sendo m o grau dos polinômios p(x) e q(x), então o grau do polinômio p(x)+q(x) é igual a m.
(16) A soma de todos os zeros do polinômio p(x)=x¥-4x¤+5x£ pertence ao intervalo ]0,5].
(32) Se p(x)=x¤-ax£+bx+2 e q(x)=ax¤-bx£-3x-1 são tais que p(1)=5 e q(-1)=4, então (a+b)£=2.
Soma (
)
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GABARITO
1. V = { 2 ; -3 +11i/2 ; -3 -11i/2 }
2. a) 1° grau
b) p(x) = x ou p(x) = -x
3. Se a³, a, ... , aŠ estão em PG de razão q · 0, temos:
P(x) = a³ + a³qx + a³q£x£ + ... + a³q¾x¾ =
= a³[1 + qx + (qx)£ + ... + (qx)¾]
(A)
a) P(1/q) = a³[1+q .1/q + (q .1/q)£ +...+ (q .1/q)¾]=
= a³(1 + 1 + 1£ + ... + 1¾) = a³(n + 1).
b) De (A) e a) P(x) é reescrito:
ýP(x) = a³ . [(qx)¾®¢ - 1]/(qx - 1) se x · 1/q
þ
ÿP(x) = a³(n + 1) se x = 1/q
Como a³ · 0, P(X) = 0 Ì
ý((qx)¾®¢ = 1
þ
ÿqx · 1
Se q é um número real, o sistema é satisfeito se, e somente se, qx = -1 e ((qx)¾®¢ = 1. Estas equações mostram
que n não pode ser par.
4. a) a = 0
b) V = {0, 1, 2}
5. a) a raiz inteira é 2
b) p(x) = (x - 2)(x£+x+2)
c) {x Æ IR / x < -2 ou 1 < x < 2}
6. Se f(x) = x¤ + (cosš).x é divisível por x-i, então f(i)=0, logo:
i¤ + (cosš).i = 0 Ì (-i) + (cosš).i = 0 Ì cosš = 1 Ì š = n.2™ (K Æ Z)
7. 30
8. quociente: Q(x) = xª© + xª§ + ... + x£ + 1
resto: R(x) = x + 2
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9. Observe a figura a seguir:
= (2-x) . [(a-x).(d-x) - b£]
2 é raíz de p(x)
As outras raízes de (a-x).(d-x) - b£ = 0Ì
Ì x£ - (a + d)x + ad - b£ = 0. O discriminante desta equação é Ð = (a + d)£ - 4(ad - b£) =
= a£ - 2ad + d£ + 4b£ = (a - d)£ + 4b£.
Mas (a - d)£ + 4b£ µ 0 para todos os valores de a, b e d do conjunto dos números reais.
Assim a equação (a-x).(d-x)-b£=0 admite 2 raízes reais.
c) a = d · 2, b = 0 e ¯cÆR
10. F V F V V
11. 02 + 04 = 06