Escola Secundária da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Trigonometria – 5 (Revisões) Ano Lectivo de 2003-04 Nome: ________________________________________________________ 11.º Ano N.º: ___ Turma: ____ 1.ª Parte Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +10 pontos; cada resposta errada, -10/3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos. 1. Num determinado quadrante, o seno é decrescente e a tangente é negativa. Relativamente a esse quadrante, qual das afirmações é verdadeira? [A] [B] [C] [D] O co-seno é positivo e crescente. O co-seno é positivo e decrescente. O co-seno é negativo e crescente. O co-seno é negativo e decrescente. 2. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Indique-o. [A] [B] [C] [D] 3. De um ângulo α, sabe-se que sen (π + α ) é positivo e que cos (2π − α ) é negativo. A que quadrante pertence α? [A] 1.º. [B] 2.º. 4. Num dado domínio, a expressão [A] 2. sen x . cos x . [C] 3.º. 2. sen x . cos x 1 + cos 2 x − sen2 x [B] 5. No respectivo domínio, a expressão π 2 tg x . [C] tg x . [D] 2 . 1 + cos x − sen x − x ) − cos (π + x ) 2. sen ( − x − [A] é equivalente a: sen x . cos x . sen ( [D] 4.º. [B] 0. é equivalente a: 3π ) 2 [C] -1. [D] 1. 6. Qual das afirmações é verdadeira? [A] cos ( x + [C] sen ( π 2 ) = cos x + cos π 2 , ∀x ∈ R . 3π + x ) = cos (- x + π ), ∀x ∈ R . 2 [B] sen (3x ) = 3. sen x, ∀x ∈ R . [D] sen (2x ) 2 = tg ( x ), ∀x ∈ R . cos (3x ) 3 1 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias. 1. Observe a figura ao lado. Atendendo aos dados da figura, determine a distância entre os navios A e B. B 2. Observe a figura abaixo. Sabendo que o barco mais próximo está a 50 metros do náufrago, determine a distância entre os barcos. 20º 50º A 1500 m 20º 30º 3. A figura representa um referencial o.n. onde estão assinalados três ângulos. y 2 a) Escreva a expressão geral (no sistema circular - em radianos) dos ângulos com os mesmos lados dos representados. 60º b) Represente o ângulo cujo lado extremidade é coincidente com o de amplitude 135º +210º . Sabendo que a determinação principal de um ângulo é o valor que se -2 210º 0 x situa em ] − π , π ]rad , indique a determinação principal do referido ângulo. 4. A superfície lateral de um cone é um sector circular de 2π rad. raio r e amplitude 3 Pretende-se conhecer o ângulo α que a geratriz do cone forma com o seu eixo. Comece por: r a) Mostrar que a expressão do comprimento do arco 2π ×r; AB (s) em função de r é s = 3 1 3 2π rad 3 A R b) Justificar que, sendo R o raio da base do cone, 2πR = c) Mostrar que sen α = r α 2π 3 ×r; e, finalmente, determine a amplitude de α no sistema sexagesimal. 5. Mostre que: a) cos π 4 − 3. tg π 6 + sen π 3 − cos b) [sen ( −π − α ) − cos (π − α )].[sen ( 2 π 2 π 6 = 2 −2 3 2 . 2 + α ) − sen (π − α )] = 1 − 2. sen α . B 6. Simplifique: a) sen (5π − x ) + cos ( b) sen ( x − 7π 2 3π 2 + x ) − tg 9π . cos (π + x ) 4 ) + cos (5π − x ) − cos ( − 7. Sabendo que tg α = 3 e 4 3π π < α < 2 8. Determine o valor de cos (π − x ) + sen ( − 7π 2 + x ) − tg ( 8π 3 ) , determine cos α + cos ( π 2 π 2 − α ). + x ) , sabendo que tg x = −3 e que − π ≤ x < 2 π 2 . SOLUÇÕES 1.ª Parte 1. D 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 2.ª Parte 1. Os navios A e B distam 2.334 metros aproximadamente. 2. Os barcos estão distanciados aproximadamente 29 metros. 3. a) A expressão geral (no sistema circular) dos ângulos com os mesmos lados dos representados é, respectivamente: • x1 = • x2 = π 2 + 2kπ , k ∈ Z ; 3 3π 60º & é a bissectriz do 2.º Q.) + 2kπ , k ∈ Z ; (Note que OA 4 5π + 2kπ , k ∈ Z ; x3 = − 6 • y A b) A determinação principal do referido ângulo é − π 12 -2 210º 0 x rad. 345º 4. a) Tendo em consideração a definição de radiano, temos: 1(rad) r = 2π (rad) 3 s , donde s = 2π 3 ×r. b) Como o perímetro da base do cone é igual ao comprimento do arco AB, temos 2πR = c) Como 2πR = 2π 3 ×r ⇔ R= 1 3 r , então senα = R r ⇔ senα = 1 3 2π 3 ×r. , donde α = 19,5º (1 c.d.). 5. a) cos π 4 − 3. tg π 6 + sen π 3 − cos π 6 = = = 2 2 2 −3× 3 3 + 3 2 − 3 2 − 3 2 2 −2 3 2 3 b) π [sen ( −π − α ) − cos (π − α )].[sen ( 2 + α ) − sen (π − α )] = [ −sen (π + α ) + cos α ].[cos ( −α ) − sen α ] = (sen α + cos α ).(cos α − sen α ) 2 2 = cos α − sen α 2 2 = (1− sen α ) − sen α 2 = 1− 2. sen α 6. a) sen (5π − x ) + cos ( 3π 2 + x ) − tg 9π . cos (π + x ) = sen (π − x ) + cos (π + ( 4 = sen x − cos ( π π 2 + x )) − tg ( 2π + − ( − x )) − tg π π 4 ) . ( − cos x ) . ( − cos x ) 2 4 = sen x − sen ( − x ) − 1× ( − cos x ) = sen x + sen x + cos x = 2. sen x + cos x b) sen ( x − 8π 7π 7π 8π 7π 7π ) + cos (5π − x ) − cos ( − + x ) − tg ( ) = sen ( x − + 4π ) + cos (π − x ) − cos ( 4π − + x ) − tg ( −3π + ) 3 2 2 3 2 2 = sen ( π + x ) − cos x − cos ( 2 π 2 + x ) − tg ( − = cos (− x ) − cos x − sen ( − x ) + tg = cos x − cos x − sen ( − x ) + tg π π π 3 ) 3 3 = sen x + 3 7. Ora, 2 cos α = 1 2 2 1+ ( 34 ) ⇔ cos α = 2 ⇔ cos α = ⇔ cos α = ± 1 25 16 16 25 4 5 Mas como α pertence ao 3.º quadrante, então cos α = − Logo, senα = − 1− ( − 54 ) 2 ⇔ senα = − 9 25 4 5 . ⇔ senα = − 3 5 4 3 7 = − . e, portanto, cos α + cos ( − α ) = cos α + senα = − − 2 5 5 5 π 8. Ora, cos (π − x ) + sen ( − π 2 + x ) = − cos ( − x ) − sen ( = − cos x − cos x π 2 − x) = −2.cos x Por outro lado, 2 cos x = 1 1+ ( −3) 2 2 ⇔ cos x = ⇔ cos x = ± ⇔ cos x = ± Como − π 2 ≤ x < π 2 1 10 1 10 10 10 (e tg x < 0 ( x ∈ 4. º Q )), então cos x = Logo, cos (π − x ) + sen ( − π 2 + x ) = −2 × 10 10 =− 10 5 10 10 . . O Professor 4