Escola Secundária da Sé-Lamego
Ficha de Trabalho de Matemática
Trigonometria – 5 (Revisões)
Ano Lectivo de 2003-04
Nome: ________________________________________________________
11.º Ano
N.º: ___
Turma: ____
1.ª Parte
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que
lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.
Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de
resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +10 pontos; cada resposta errada, -10/3 pontos; questão não
respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Num determinado quadrante, o seno é decrescente e a tangente é negativa.
Relativamente a esse quadrante, qual das afirmações é verdadeira?
[A]
[B]
[C]
[D]
O co-seno é positivo e crescente.
O co-seno é positivo e decrescente.
O co-seno é negativo e crescente.
O co-seno é negativo e decrescente.
2. Dos quatro ângulos seguintes, um deles tem 1 radiano de amplitude. Indique-o.
[A]
[B]
[C]
[D]
3. De um ângulo α, sabe-se que sen (π + α ) é positivo e que cos (2π − α ) é negativo.
A que quadrante pertence α?
[A]
1.º.
[B] 2.º.
4. Num dado domínio, a expressão
[A]
2. sen x . cos x .
[C] 3.º.
2. sen x . cos x
1 + cos 2 x − sen2 x
[B]
5. No respectivo domínio, a expressão
π
2
tg x .
[C]
tg x .
[D]
2
.
1 + cos x − sen x
− x ) − cos (π + x )
2. sen ( − x −
[A]
é equivalente a:
sen x . cos x .
sen (
[D] 4.º.
[B] 0.
é equivalente a:
3π
)
2
[C] -1.
[D] 1.
6. Qual das afirmações é verdadeira?
[A]
cos ( x +
[C]
sen (
π
2
) = cos x + cos
π
2
, ∀x ∈ R .
3π
+ x ) = cos (- x + π ), ∀x ∈ R .
2
[B]
sen (3x ) = 3. sen x, ∀x ∈ R .
[D]
sen (2x )
2
= tg ( x ), ∀x ∈ R .
cos (3x )
3
1
2.ª Parte
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e
as justificações que entender necessárias.
1. Observe a figura ao lado.
Atendendo aos dados da figura, determine a distância
entre os navios A e B.
B
2. Observe a figura abaixo.
Sabendo que o barco mais próximo está a 50 metros do
náufrago, determine a distância entre os barcos.
20º
50º
A
1500 m
20º
30º
3. A figura representa um referencial o.n. onde estão assinalados três ângulos.
y
2
a) Escreva a expressão geral (no sistema circular - em radianos) dos
ângulos com os mesmos lados dos representados.
60º
b) Represente o ângulo cujo lado extremidade é coincidente com o de
amplitude 135º +210º .
Sabendo que a determinação principal de um ângulo é o valor que se
-2
210º
0
x
situa em ] − π , π ]rad , indique a determinação principal do referido ângulo.
4. A superfície lateral de um cone é um sector circular de
2π
rad.
raio r e amplitude
3
Pretende-se conhecer o ângulo α que a geratriz do
cone forma com o seu eixo. Comece por:
r
a) Mostrar que a expressão do comprimento do arco
2π
×r;
AB (s) em função de r é s =
3
1
3
2π rad
3
A
R
b) Justificar que, sendo R o raio da base do cone, 2πR =
c) Mostrar que sen α =
r
α
2π
3
×r;
e, finalmente, determine a amplitude de
α
no sistema sexagesimal.
5. Mostre que:
a) cos
π
4
− 3. tg
π
6
+ sen
π
3
− cos
b) [sen ( −π − α ) − cos (π − α )].[sen (
2
π
2
π
6
=
2 −2 3
2
.
2
+ α ) − sen (π − α )] = 1 − 2. sen α .
B
6. Simplifique:
a) sen (5π − x ) + cos (
b) sen ( x −
7π
2
3π
2
+ x ) − tg
9π
. cos (π + x )
4
) + cos (5π − x ) − cos ( −
7. Sabendo que tg α =
3
e
4
3π
π < α <
2
8. Determine o valor de cos (π − x ) + sen ( −
7π
2
+ x ) − tg (
8π
3
)
, determine cos α + cos (
π
2
π
2
− α ).
+ x ) , sabendo que tg x = −3 e que
−
π
≤ x <
2
π
2
.
SOLUÇÕES
1.ª Parte
1. D
2. C
3. C
4. C
5.
D
6. C
2.ª Parte
1. Os navios A e B distam 2.334 metros aproximadamente.
2. Os barcos estão distanciados aproximadamente 29 metros.
3.
a) A expressão geral (no sistema circular) dos ângulos com os mesmos
lados dos representados é, respectivamente:
•
x1 =
•
x2 =
π
2
+ 2kπ , k ∈ Z ;
3
3π
60º
& é a bissectriz do 2.º Q.)
+ 2kπ , k ∈ Z ; (Note que OA
4
5π
+ 2kπ , k ∈ Z ;
x3 = −
6
•
y
A
b) A determinação principal do referido ângulo é −
π
12
-2
210º
0
x
rad.
345º
4.
a) Tendo em consideração a definição de radiano, temos:
1(rad)
r
=
2π (rad)
3
s
, donde s =
2π
3
×r.
b) Como o perímetro da base do cone é igual ao comprimento do arco AB, temos 2πR =
c) Como 2πR =
2π
3
×r
⇔ R=
1
3
r , então senα =
R
r
⇔ senα =
1
3
2π
3
×r.
, donde α = 19,5º (1 c.d.).
5.
a)
cos
π
4
− 3. tg
π
6
+ sen
π
3
− cos
π
6
=
=
=
2
2
2
−3×
3
3
+
3
2
−
3
2
− 3
2
2 −2 3
2
3
b)
π
[sen ( −π − α ) − cos (π − α )].[sen (
2
+ α ) − sen (π − α )] = [ −sen (π + α ) + cos α ].[cos ( −α ) − sen α ]
= (sen α + cos α ).(cos α − sen α )
2
2
= cos α − sen α
2
2
= (1− sen α ) − sen α
2
= 1− 2. sen α
6.
a)
sen (5π − x ) + cos (
3π
2
+ x ) − tg
9π
. cos (π + x ) = sen (π − x ) + cos (π + (
4
= sen x − cos (
π
π
2
+ x )) − tg ( 2π +
− ( − x )) − tg
π
π
4
) . ( − cos x )
. ( − cos x )
2
4
= sen x − sen ( − x ) − 1× ( − cos x )
= sen x + sen x + cos x
= 2. sen x + cos x
b)
sen ( x −
8π
7π
7π
8π
7π
7π
) + cos (5π − x ) − cos ( −
+ x ) − tg ( ) = sen ( x −
+ 4π ) + cos (π − x ) − cos ( 4π −
+ x ) − tg ( −3π +
)
3
2
2
3
2
2
= sen (
π
+ x ) − cos x − cos (
2
π
2
+ x ) − tg ( −
= cos (− x ) − cos x − sen ( − x ) + tg
= cos x − cos x − sen ( − x ) + tg
π
π
π
3
)
3
3
= sen x + 3
7. Ora,
2
cos α =
1
2
2
1+ ( 34 )
⇔ cos α =
2
⇔ cos α =
⇔ cos α = ±
1
25
16
16
25
4
5
Mas como α pertence ao 3.º quadrante, então cos α = −
Logo, senα = − 1− ( − 54 )
2
⇔ senα = −
9
25
4
5
.
⇔ senα = −
3
5
4 3
7
= − .
e, portanto, cos α + cos ( − α ) = cos α + senα = − −
2
5 5
5
π
8. Ora,
cos (π − x ) + sen ( −
π
2
+ x ) = − cos ( − x ) − sen (
= − cos x − cos x
π
2
− x)
= −2.cos x
Por outro lado,
2
cos x =
1
1+ ( −3)
2
2
⇔ cos x =
⇔ cos x = ±
⇔ cos x = ±
Como −
π
2
≤ x <
π
2
1
10
1
10
10
10
(e tg x < 0 ( x ∈ 4. º Q )), então cos x =
Logo, cos (π − x ) + sen ( −
π
2
+ x ) = −2 ×
10
10
=−
10
5
10
10
.
.
O Professor
4