UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ
CURSO: Matemática – 2º Período – 2º Sem./2013
DISCIPLINA: Trigonometria e Números Complexos
PROFESSORA: Cláudia Maria Grando
Trigonometria na Circunferência
Já definimos seno, cosseno e tangente como uma razão trigonométrica obtida envolvendo os
lados e ângulos do triângulo retângulo. Vamos ampliar o estudo para quaisquer ângulos, inclusive
maiores ou iguais a 90º.
a) Circunferência trigonométrica ou Ciclo trigonométrico
Características
 O centro da circunferência (ponto O) coincide com a
origem do sistema cartesiano.
y
 O raio é unitário (r = 1).
B
 Os pontos de intersecção da circunferência com os
eixos cartesianos tem coordenadas A(1,0), B(0,1),
C(-1,0) e D(0, -1).
 Convenciona-se que o ponto A é a origem dos arcos.
P

C
 Os arcos percorridos no sentido anti-horário, a partir
de A, têm medida positiva. Os arcos percorridos no
sentido horário, a partir de A, têm medida negativa.
 Cada ponto dessa circunferência será a extremidade
de um arco AP, de medida igual à do ângulo central
.
O
A
x
D
 Os pontos A, B, C e D dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes denominadas
quadrantes.
b) Arcos côngruos
Toda vez que o ponto P da circunferência trigonométrica é extremidade de dois (ou mais)
arcos diferentes e de mesma origem, chamamos esses arcos de arcos côngruos ou arcos
congruentes.
Exemplos:
a) Os arcos de 800º e 80º são côngruos, pois a origem e a extremidade
do arco de 800º é a mesma do arco de 80º. Podemos fazer:
800º 360º
- 720º 2 voltas  800º = 80º + 2  360º
80º
b) Os arcos de medida

3
rad e 
rad são côngruos, pois têm a
2
2
mesma origem e a mesma extremidade. Podemos fazer:
2 
3 4  3 


2
2
2
 
3 
   1  2 rad
2
2
c) Os arcos
 7 13
3
,
3
,
3
,
5
,... são congruentes.
3
Podemos ver que:
7 
  1  2 (mais uma volta completa)
3
3
13 
  2  2 (mais duas voltas completas)
3
3

5 
   1  2 (uma volta no sentido horário)
3
3
Expressão geral dos arcos côngruos
Se um arco mede , os arcos côngruos podem ser dados pela expressão:
  k  2 rad
ou
  k  360º ,
com k  Z
Como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos,
dizemos que  (entre 0 e 2 rad ou 0º e 360º), associado a um ponto da circunferência, é a primeira
determinação não-negativa ou menor determinação não-negativa ou determinação principal de
qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto.
Exercícios:
1. Qual é a expressão geral dos arcos côngruos de:
3
a) 45º
b)
rad
4
c) 120º
d)

6
rad
2. Indique a medida de vários arcos com a mesma origem e a mesma extremidade que o arco de:
a) 192º
b) – 140º
c)

3
rad
3. Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco de:
47
a) 1320º?
b)
c) – 4550º?
rad ?
6
d) - 33 rad?
4. Indique em que quadrante está situada a extremidade do arco que mede:
11
13
a) 110º
b) –110º c) 480
d) –300º
e) –940º
f)
g) 
rad
rad
4
6
Atividades
1. Construir, na folha de papel milimetrado de tamanho A3, um ciclo trigonométrico cujo centro da
circunferência deve estar no cruzamento de duas linhas fortes e próximo ao centro da folha e
deve ter 1 dm para a medida do raio.
2. Meça, usando o transferidor, e marque a extremidade dos arcos, a partir de 0º até 360º, que são
múltiplos de 30º e de 45º.
3. Indique também a medida dos arcos em radianos e complete na tabela a seguir.

0º
30º
45º
60º
90º
120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
(graus)

( rad)
c) Relações trigonométricas na circunferência
Com a utilização do ciclo trigonométrico podemos fazer o estudo das relações
trigonométricas para arcos de 0º a 360º.
y
Seno e Cosseno
B
Tomemos no ciclo trigonométrico um ponto
P(xp, yp), extremidade de um arco AP.
P
yP
Sabendo que o raio do ciclo trigonométrico é 1,
temos:

C
O
1
xP
A
x
yp

D
xp
sen  =
yp
cat . opostoao 
 sen  
 sen   y p  O seno de  é a ordenada do ponto P.
hipotenusa
1
cos  =
xp
cat . adjac. ao 
 cos  
 cos   x p  O cosseno de  é a abscissa do ponto P.
hipotenusa
1
Atividades
1. Utilizando o ciclo trigonométrico que você construiu no papel milimetrado, determine a medida do seno
e cosseno dos arcos assinalados, indicando-as no ciclo e anotando na tabela anterior.
2. Relacione os valores aproximados oriundos da atividade experimental com os valores exatos obtidos
anteriormente, registrando ambos no ciclo trigonométrico.
3. Construa o gráfico da função y = sen  e da função y = cos , utilizando os valores da tabela.
4. Determine o domínio, a imagem e o período de cada uma das funções que você representou.
5. Determine a variação (valor e sinal) do seno e cosseno, em cada um dos quadrantes.
6. Verifique como se comporta a função seno e cosseno em relação ao seu crescimento em cada quadrante.
Sinal e variação do Seno
 No primeiro quadrante, sen α tem sinal positivo.
1º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de
sen α também aumenta (é crescente).
 Seu valor varia de 0 a 1.
 No segundo quadrante, sen α tem sinal positivo.
2º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de
sen α diminui (é decrescente).
 Seu valor varia de 1 a 0.
 No terceiro quadrante, sen α tem sinal negativo.
3º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de
sen α diminui (é decrescente).
 Seu valor varia de 0 a -1.
 No quarto quadrante, sen α tem sinal negativo.
4º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de
sen α também aumenta(é crescente).
 Seu valor varia de -1 a 0.
Enquanto o ponto P percorre toda a circunferência trigonométrica, sen α assume valores
reais no intervalo [-1, 1].
O sinal e a variação do seno também podem ser observados no gráfico de sua função.
A curva obtida é denominada senóide. Seu período é p  2 pois pode ser repetida a cada
intervalo k  2 , k  1  2π , k  Z . Deste modo, temos D(sen) = R e Im(sen) = [-1, 1].
Sinal e variação do Cosseno
 No primeiro quadrante, cos α tem sinal positivo.
1º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de cos α
diminui (é decrescente).
 Seu valor varia de 1 a 0.
 No segundo quadrante, cos α tem sinal negativo.
2º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de cos α
diminui (é decrescente).
 Seu valor varia de 0 a -1.
 No terceiro quadrante, cos α tem sinal negativo.
3º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de cos α
também aumenta (é crescente).
 Seu valor varia de -1 a 0.
 No quarto quadrante, cos α tem sinal positivo.
4º
Quadrante
 A medida que o arco AP aumenta, o valor de cos α
também aumenta(é crescente).
 Seu valor varia de 0 a 1.
Enquanto o ponto P percorre toda a circunferência trigonométrica, cos α assume valores
reais no intervalo [-1, 1].
O sinal e a variação do cosseno também podem ser observados no gráfico de sua função.
A curva obtida é denominada cossenóide. Seu período é p  2 pois pode ser repetida a
cada intervalo k  2 , k  1  2π , k  Z . Deste modo, temos D(cos) = R e Im(cos) = [-1, 1].
Exercícios:
5. Verifique qual é o sinal do produto:
a) y = cos 50º  sen 70º
b) y = cos 110º  sen 130º
c) y = sen 200º  cos
190º
d) y = sen 300º  cos 330º
e) y = cos

4
 sen

f) y = sen
4
2
 cos
3
2
3
6. Determine , 0 rad    2 rad, de modo que sejam satisfeitas cada uma das igualdades:
a) sen   cos   0
b) sen   cos  < 0
7. Calcule o valor de y;
a) y 
cos 0º  sen 0º cos 90º  sen 90º
sen 270º
c) y  cos   sen
y  sen 2  cos

2
b) y 
3

 cos 0 - sen
2
2
 cos
cos 180º  sen 270º  sen 90º  cos 270º
sen 2 360º cos 2 360º
d)
3
 sen   2 cos 2
2
Relação Trigonométrica Fundamental
Considerando o Ciclo Trigonométrico onde sabemos que
y p  sen  e que x p  cos  , e aplicando o Teorema de Pitágoras
ao triângulo OPQ, indicado na figura ao lado, podemos determinar a
seguinte Relação Trigonométrica Fundamental:
sen 2  cos 2   1
Lembre que já determinamos outra relação trigonométrica fundamental a partir de
generalizações feitas com a trigonometria no triângulo retângulo:
tg  
sen 
cos 
Exemplo:
1. Sabendo que senx 
2
e x  2º quadrante, calcular tg x.
3
Exercícios:
1. Calcule cos , sabendo que sen   
2.
Sabendo que
senx  
2
3
rad <  < 2 rad .
e que
2
2
3
e x  4º quadrante, calcular tg x.
5
Redução ao 1º quadrante
Temos uma tabela de razões trigonométricas que fornece valores exatos para ângulos de 0º a 90º.

30º
0º
45
º
60º
90º
sen 
0
1
2
2
2
3
2
1
cos 
1
3
2
2
2
1
2
0
tg 
0
3
3
1
3
não é definida
Esses valores exatos podem ser considerados para ângulos simétricos aos ângulos notáveis
que constam na tabela, considerando os sinais do seno e cosseno em cada um dos quadrantes do
ciclo trigonométrico. Observe as simetrias indicadas nas figuras abaixo:
-
 - 180º
Exercícios:
1. Identifique em que quadrante está a extremidade de cada arco e determine o valor exato do
seno e cosseno dos seguintes arcos em função de um arco do primeiro quadrante (observe a
simetria e use a Redução ao primeiro quadrante):
3
11
a) 210º
b)
c) 150º
d)
rad
rad
4
6
2. Determine cos , sabendo que sen  
1
e que  corresponde a um arco do segundo quadrante.
3
3. Determine sen , sabendo que cos  
3
e que  corresponde a um arco do quarto quadrante.
5
4. Determine cos , sabendo que sen   
5. Sabendo que cos   
3
e que 180º <  < 270º.
4
5
e que 90º <  < 180º, calcule sen .
13
6. Calcule sen , sabendo que  corresponde a um arco do 1º quadrante e que cos  
3
.
2
Tangente

Considere na circunferência trigonométrica um ponto P, extremidade de um arco AP com
origem em A.

Tracemos a reta t (com orientação idêntica ao eixo das ordenadas e com origem em A), tangente
à circunferência pelo ponto A.

Prolongando o segmento OP até encontrar a reta t, determinamos o ponto T.
y
t
T
P

A
O
x
Para o triângulo retângulo OAT, vale a seguinte relação:
tg  
cat. oposto
TA TA


 tg  TA
cat. adjacente OA 1
Isto sugere que o valor de tg  poderá ser lido sobre a reta t. Podemos definir que a tangente
de  é a ordenada do ponto T (1, tg ).
Cotangente
Considere na circunferência trigonométrica um ponto P, extremidade de um arco AP com
origem em A.
Tracemos a reta t’ (com orientação idêntica ao eixo das abscissas e com origem em B),
tangente à circunferência pelo ponto B. Prolongando o segmento OP até encontrar a reta t’,
determinamos o ponto T’.
y
B
t’
T’
P


O
Q
x
Como os triângulos PQO e OBT’ são semelhantes, vale a seguinte relação:
OQ  cos  
cos  sen 
cos 

PQ  sen   

 BT ' 
BT '
1
sen 

BO  1

OQ PQ

BT ' BO
A essa razão
cos 
damos o nome de cotangente de :
sen 
cotg  =
cos 
sen 
ou
cotg  =
1
tg 
Adotaremos a reta t’ como eixo para leitura da cotangente. Podemos definir que a
cotangente de  é a abscissa do ponto T’ (cotg , 1).
Atividades
1. Utilizando o ciclo trigonométrico que você construiu no papel milimetrado, complete a tabela
anterior, acrescentando os valores da tangente e cotangente, para cada um dos ângulos
indicados.
2. A calculadora possui as funções tangente e cotangente? Como podemos determinar o valor da
cotangente de um ângulo usando a calculadora?
3. Faça a conferência dos valores obtidos, a partir do ciclo trigonométrico construído, com os
valores fornecidos pela calculadora.
4. Relacione os valores aproximados oriundos da atividade experimental com os valores exatos
obtidos anteriormente para os ângulos notáveis, registrando ambos no ciclo trigonométrico.
5. Identifique relações entre o valor da tangente e cotangente de arcos do primeiro quadrante com
os de arcos de cada um dos outros quadrantes.
6. Determine a variação (valor e sinal) da tangente e da cotangente, em cada um dos quadrantes.
7. Construa o gráfico das funções y = tg  e y = cotg , utilizando os valores da tabela.
8. Determine o domínio, a imagem e o período das funções que você representou graficamente.
9. Verifique como se comporta a função tangente e a função cotangente em relação ao seu
crescimento.