Computer
Vision
Transformação de Imagens
Paulo Sérgio Rodrigues
PEL205
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Introdução a Transformada de Fourier
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Séries de Fourier
Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:
a0
 a1 cos( x)  b1sen ( x)  a2 cos( 2 x)  b2 sen (2 x)  
2
a0 
  ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
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Séries de Fourier
a0 
  ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
As constantes a0, ak e bk (1,2,...) são os coeficientes da série
trigonométrica
Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função
periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são
funções periódicas de período 2π. De modo que:
f(x) = f(x + 2π)
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Séries de Fourier
•Problema:
para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as
condições impostas a f(x) de modo que exista uma série
trigonométrica convergente para f(x)?
f(x)
a0 
f ( x)    ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
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Séries de Fourier
a0 
f ( x)    ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
A série acima pode ser então integrável de –π a π.





  

a0
f ( x)dx   dx     ak coskxdx   bk senkxdx 
2
k 1  



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


Séries de Fourier





a0
f ( x)dx   dx     ak coskxdx   bk senkxdx 
2
k 1  




a0
0
dx


a
0
 2

ak senkx
 ak coskxdx  ak  coskxdx  k   0



bk coskx
 bk senkxdx  bk  senkxdx   k   0



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


Séries de Fourier


  

a0
f ( x)dx   dx     ak coskxdx   bk senkxdx 
2
k 1  




a0
 2 dx  a0
a0 
1


 f ( x)dx

Agora só falta de determinar ak e bk !!
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Séries de Fourier
a0 
f ( x)    ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

a0
f ( x) cosnx  cosnx   ak cos(kx) cosnx  bk sen(kx) cosnx
2
k 1
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Séries de Fourier

a0
f ( x) cosnx  cosnx   ak cos(kx) cosnx  bk sen(kx) cosnx
2
k 1
Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima

a0


f
(
x
)
cos
nx
dx


2


 













cos
nx
dx

a
cos
kx
cos
nx
dx

b
sen
kx
cos
nx
dx

k 

 k

k 1 




No entanto, sabemos que:




 coskxsennxdx  0 e
2
cos
 kxdx   , n, k  Z
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
a0


f
(
x
)
cos
nx
dx


2
Séries de Fourier


 













cos
nx
dx

a
cos
kx
cos
nx
dx

b
sen
kx
cos
nx
dx

k 

 k

k 1 




0
0
Lembrando que:




 coskxsennxdx  0 e




2
cos
 kxdx   , n, k  Z
f ( x) coskxdx  ak  cos2 kxdx  ak 

ak 
1


 f ( x) coskxdx

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
a0


f
(
x
)
cos
nx
dx


2

ak 
1

Séries de Fourier


 



 cosnxdx  
 ak  coskx cosnxdx  bk  senkx cosnxdx 
k 1 





 f ( x) coskxdx

De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao
invés de cos(nx), chegamos a:
bk 
1


 f ( x)sen kx dx

que se junta a:
a0 
1


 f ( x)dx

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Séries de Fourier
a0 
f ( x)    ak cos(kx)  bk sen(kx) 
2 k 1
a0 
1



f ( x)dx

bk 
1


 f ( x)sen kx dx

ak 
1


 f ( x) coskxdx

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Série de Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
Paper de 1807 para o Institut de France:
Joseph Louis Lagrange (1736-1813), and Pierre Simon de Laplace (1749-1827).
2kt
2kt
f (t )  a0  2 (ak cos
 bk sin
)
T
T
k 1

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Coeficientes da Série
f(t)
0
T
t
2 kt
2 kt
f (t )  a0  2 (ak cos
 bk sin
)
T
T
k 1

1 T
2 kt
ak   f (t ) cos(
)dt
0
T
T
1
bk 
T

T
0
2 kt
f (t ) sin(
)dt
T
k  0,1,2,3,...
k  1,2,3,...
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Série de Fourier com números complexos
ei  e i
cos 
2
ei  e i
sin  
2i

 2kt 
 2kt  
f (t )  a0  2  ak cos
  bn sin
 
 T 
 T 
k 1 

2kt
  i 2kt
i
 b
T
f (t )  a0    ak  e
 e T   k

k 1 

 i

2kt
i
 i 2Tkt

T 
e
e




1

i

bk  i 2Tkt 
bk  i 2Tkt 

f (t )  a0     ak  e
  ak  e

i 
i 

k 1  


2kt
2kt
i
i


T
T

f (t )  F0    Fk e
 F k e

k 1 

i
i

 i
2
1
i

F0  a0 , Fk  ak  ibk , Fk  ak  ibk
Fk  Fk
f (t ) 
i (
1 T
Fk   f (t )e
T 0

F e
k  
2kt
)
T
i
2kt
T
k
dt k  1,2,3,...
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Periodicidade da Série de Fourier
f(t)
0
t
T

 2 k

 2 k

f (t  T )  a0  2  ak cos
(t  T )   bk sin
(t  T )    f (t )
 T

 T

k 1 

f(t)
0
T
t
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Transformada de Fourier

F ( w)   f ( x)e
i 2wx


f ( x)   F ( w)e

i 2wx
dx
dw
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Transformada de Fourier
(outra notação)
 f x   F u  

 f xe
 j 2ux
dx

onde j  1

 F u   f x    F u e
1

j 2ux
du
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Introdução a Transformada de Fourier
Pu   F u   R u   I u 
2
2
2
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Introdução a Transformada de Fourier

 f x, y   F u, v   

f x, y e  j 2 ux  vy dxdy


1F u , v   f  x, y     F u , v e j 2 ux  vy dudv

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Introdução a Transformada de Fourier
Pu , v   F u , v   R u , v   I u , v 
2
2
2
Computer
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Introdução a Transformada de Fourier
Pu , v   F u , v   R u , v   I u , v 
2
2
2
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Transformada Discreta de Fourier
f x0 , f x0  x, f x0  2x,, f x0  N 1x
1 N 1
 j 2u / N
F u    f x e
N x 0
N 1
f x    F u e
u 0
j 2u / N
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Transformada Discreta de Fourier
f x0 , f x0  x, f x0  2x,, f x0  N 1x
1 M 1 N 1
 j 2 ux / M  vy / N 


F u, v  
f
x
,
y
e

MN x0 y 0
M 1 N 1
f x, y    F u, v e
u 0 v 0
j 2 ux / M  vy / N 
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Resultados da
Transformada de Fourier
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Exemplo 1: Função caixa (box)
a
f(x)
 0 se x   b 2

f ( x)  a se x  [ b 2, b 2]
 0 se x  b 2

x
b

F ( w)   f ( x)e
i 2wx

a

e i 2wx
 i 2w

b/2
i 2wx

a
e
dx
dx
b / 2


a
iwb
iwb

e

e
b / 2
 i 2w
a
a eiwb  e iwb

sin(wb )

w
w
2i
sin(wb)
F ( w)  ab
wb

b/2

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Transformada da função box
a
sin(wb)
F ( w)  ab
wb
f(x)
x
b
sin(bw)
F ( w)  ab
bw
ab F(w) 
sinc(bw)
-3/b -2/b -1/b 0
1/b
2/b 3/b w
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Distribuição normal: Gaussiana
Gaus( x)  
1
2
e
x2
 2
2
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Exemplo 2: Gaussiana
|| F(w) ||
f(x)
0,1 8
0,1 8
0,1 3
0,1 3
0,08
0,08
0,03
0,03
-0,02
-0,02

1 
x
x2
 2
1
f ( x) 
e 2
 2

F ( w)  e
w
w2
2 1 2 
  
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Exemplos
Considere a função mostrada abaixo:
f(x)=f(x + dx)
f(x)
4
3
2
f(x0 +3 dx)
f(x0 + 2dx)
4
f(x0 + dx)
3
f(x0)
2
x
0.5 0.75 1.0
1.25
0.5 0.75 1.0
1.25
x
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Exemplos
f(x) = [2, 3, 4, 4]
1
F (u ) 
N
N 1
 j 2ux / N
f
(
x
)
e

x 0
1 3
1 3
 j 2 0
F (0)   f ( x)e
  f ( x )e 0
4 x 0
4 x 0
1
1
 [ f (0)  f (1)  f (2)  f (3)]  (2  3  4  4)  3.25
4
4
F (0)  3.25
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Exemplos
f(x) = [2, 3, 4, 4]
1
F (u ) 
N
N 1
 j 2ux / N
f
(
x
)
e

x 0
1 3
F (1)   f ( x)e  j 2x / 4
4 x 0
1
1
 [2e 0  3e  j / 2  4e  j  4e  j 3 / 2 ]  (2  j )
4
4
F (1) 
1
( 2  j )
4
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Exemplos
f(x) = [2, 3, 4, 4]
1
F (u ) 
N
N 1
 j 2ux / N
f
(
x
)
e

x 0
F (0)  3.2 5
1
F (1) 
( 2  j )
4
1
F ( 2)   (1  j 0)
4
1
F (3)   ( 2  j )
4
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Exemplos
F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, -0.5-0.25j]
F (0)  3.2 5
2
 2  2
1 
F (1)       
4 

 4 

1/ 2
2
 1  2
0
  
F ( 2)       
4 

 4 

 2 
1
F (3)      
4

 4 
2
2





5
4

1
4
1/ 2
1/ 2

5
4
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Ainda há muita Teoria pra falar sobre
a Transformada de Fourier!
Mas já dá para brincar com imagens
utilizando o com o MatLab!