Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Capítulo
5
Assimetria e Curtose
Desenvolvimento:
5.1 – Introdução
5.2 – Assimetria
5.3 – Curva simétrica
5.4 – Curtose
5.5 – Graus de achatamento
5.1 – Introdução:
As distribuições de freqüências não diferem apenas quanto ao valor médio e a
variabilidade, mas também quanto a sua forma.
5.2 – Assimetria:
Assimetria significa desvio, afastamento da simetria. É o grau de deformação
de uma curva de freqüências.
5.2.1 – Curva Simétrica ou Distribuição Simétrica:
Característica principal: As três medidas de tendência central, Média
aritmética, Moda e Mediana, são iguais. Em termos gráficos, a curva de freqüências
apresentará as duas caldas com a mesma configuração.
Fi
Xi
~
X = X = X̂
1
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Logo, o gráfico é uma curva simétrica ou normal.
Distribuição A
Pesos (kg)
02  06
06  10
10  14
14  18
18  22
Fi
6
12
24
12
6
Σ
60
PM
4
8
12
16
20
Fi.PM
24
96
288
192
120
Fac
6
18
42
54
60
Xi - Média
-8
-4
0
4
8
(Xi – Média)2
64
16
0
16
64
(Xi – Média)2.Fi
384
192
0
192
384
720
1152
Fonte: Professor Antonio Arnot Crespo
Cálculo da Média aritmética:
Cálculo da Mediana:
Cálculo da Moda:
∆1
×H
∆1 + ∆ 2
12
Moda = 10 +
×4
12 + 12
Moda = 12
Moda = Li +
∑ XiFi 720
=
= 12
n
60
n − Facant
Mediana= Li + 2
×H
Fimed
30 − 18
×4
24
= 10 + 2 = 12
Med = 10 +
Cálculo do Desvio-padrão:
2
Σ(Xi − Mé)
× Fi
S=
n
S=
1152
= 4,38
60
2
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
Construindo o gráfico:
Fi
24
12
06
0
Xi
2
6
10
14
18
22
É uma Curva Simétrica uma vez que seu coeficiente de assimetria é igual à ZERO (ver adiante)
5.2.2 – Curva Assimétrica Positiva ou enviesada a direita:
Essa deformação se dá na cauda da direita, da ordenada máxima (moda).
Na curva assimétrica positiva, há uma predominância de valores superiores a moda, logo:
~
X ≥ X ≥ X̂
Fi
Cauda da
direita
deformada
X̂
~
X
Xi
X
3
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
5.2.3 – Curva Assimétrica Negativa ou enviesada à esquerda:
Essa deformação se dá na cauda da esquerda, da ordenada máxima (moda).
Na curva assimétrica negativa, há uma predominância de valores inferiores a
~
moda, logo: X ≤ X ≤ X̂
Fi
Cauda
da
esquerda
deforma
X
~
X
Xi
X̂
5.2.4 – Método rudimentar de comparação:
Média > Moda = Assimetria positiva
Média < Moda = Assimetria negativa
Média = Moda = Simétrica
5.2.5 – Coeficiente (índice) de Pearson:
1o. Coeficiente: Ass1 =
2o. Coeficiente:
A ss 2
X − X̂
S
~
3(X − X)
=
S
(mais usada)
4
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
5.3 – Curtose:
Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação
a uma distribuição padrão (curva normal)
5.4 – Graus de achatamento:
Mesocúrtica
Platicúrtica
Leptocúrtica
5.4.1 – Coeficiente de curtose:
C=
Q3 − Q1
2( P90 − P10 )
Coeficiente percentílico de curtose
ATENÇÂO: Q e P são as separatrizes, matéria já vista.
Relativamente à curva normal, temos:
C= 0,263
Assim:
C= 0,263 → curva mesocúrtica
C< 0,263 → curva leptocúrtica
C> 0,263 → curva platicúrtica
5
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
5.4.2 – Exemplo:
Sabendo-se que uma distribuição apresenta as seguintes medidas:
Q1=24,4 cm; Q3= 41,2 cm; P10= 20,2 cm e P90= 49,5 cm, temos:
C=
41,2 − 24,4
≅ 0,287 (platicúrtica)
2(49,5 − 20,2
Exercícios:
1. Dada a distribuição B, determine seu tipo de assimetria:
Peso (kg)
Fi
2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22
6 12
24
30
6
2. Dada a distribuição C, determine seu tipo de assimetria:
Peso (kg)
Fi
2 – 6 – 10 – 14 – 18 – 22
6
30
24
12
6
3. Considere os resultados relativos a três distribuições de freqüências:
Distribuição Média Moda
A
52
52
B
45
50
C
48
46
Determine o tipo de assimetria de cada uma delas.
4. Uma distribuição de freqüências apresenta os seguintes dados:
Média= 48,1; Mediana= 47,9 e S= 2,12.
Calcule o coeficiente de assimetria.
5. Em uma distribuição de freqüências foram encontradas as seguintes medidas:
Média= 33,18; Mediana= 31,67; Moda= 27,50 e S= 12,45.
a) Classifique o tipo de assimetria
b) Calcule o coeficiente de assimetria
6
Faculdade do Guarujá____________________________________________________________
Estatística
Prof. Joel Oliveira Gomes
6. Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de
Pearson.
Xi
Fi
2
2
3
4
4
6
5
10
6
6
7
4
8
2
7. Considere as seguintes medidas, relativas as três distribuições de freqüências:
Distribuição
A
B
C
Q1
814
63,7
28,8
Q3
935
80,3
45,6
P10
772
55,0
20,5
P90
1012
86,6
49,8
a) calcule os respectivos graus de curtose
b) classifique cada uma das distribuições em relação a curva normal
RESPOSTAS:
1. Curva assimétrica negativa
– 0,429 ou – 3,1
2. Curva assimétrica positiva
0,429 ou 3,1
3. Curva simétrica, curva assimétrica negativa e curva assimétrica positiva,
respectivamente.
4. 0,27
5. Curva assimétrica positiva; 0,36.
6. Distribuição simétrica.
7. a. 0,252 ; 0,263 ; 0,287
b. leptocúrtica; mesocúrtica; platicúrtica
7