Técnicas de Resolução do Fenômeno de Gibbs para a Simulação
Numérica de Leis de Conservação
Bruno Costa,
Aline Simas†
Depto de Matemática Aplicada, IM, UFRJ,
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Métodos numéricos espectrais para a resolução de
equações diferenciais parciais têm sido de grande
utilização devido à precisão exponencial obtida no
caso onde as soluções possuem regularidade. Por
esse motivo tais métodos têm sido aplicados com
grande freqüência a problemas elípticos e
parabólicos. No caso de equações hiperbólicas,
onde não há dissipação inerente, os métodos podem
sofrer de instabilidade devido ao acúmulo de
energia nas pequenas escalas. Mais ainda, soluções
de leis de conservação hiperbólicas não-lineares
podem desenvolver descontinuidades em tempo
finito, ocasionando o Fenômeno de Gibbs e
destruindo a precisão exponencial devido às suas
oscilações.
Recentemente, adaptações de métodos numéricos
espectrais têm sido estudadas visando contornar o
Fenômeno de Gibbs. Em [2], Gottlieb e Chi-Wang
Shu, mostraram que é possível aproximar funções
analíticas por partes obtendo precisão exponencial.
A técnica utilizada é a expansão em polinômios de
Gegenbauer da soma parcial de Fourier, mostrando
assim que com um número finito de coeficientes de
Fourier consegue-se representar uma função
analítica por partes sem as oscilações características
do Fenômeno de Gibbs.
Técnicas como filtros no espaço de Fourier [2],
Fourier-Gegenbauer [2], DSC (Discrete Singular
Convolutions) [2,3] e SVV (Spectrally Vanishing
Viscosity) [1], visam a manutenção da estabilidade
numérica de problemas hiperbólicos, bem como a
resolução do Fenômeno de Gibbs.
Neste trabalho buscamos classificar as técnicas
citadas acima, no âmbito mais geral dos filtros
físicos e espectrais, via ilustrativas aplicações a leis
de conservação em uma dimensão espacial.
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†bolsista de Doutorado CAPES
Referências
[l] D.Gottlieb, J.S.Hesthaven, Spectral methods for
hyperbolic problems, Journal of Computational and
Applied Mathematics, 128 (2001) 83-131.
[2] D.Gottlieb, C. Shu, On the Gibbs Phenomenon and
its resolution, SIAM Review, 39, n.4 (1997) 644-668.
[3]
G.W.Wei, Y. Gu, Conjugate filter approach for
solving Burgers equation, Journal of Computational
and Applied Mathematics, 149 (2002) 439-456.
[4]
S.Y.Yang, Y.C.Zou, C.W.Wei, Comparison of the
discrete singular convolution algorithm and the
Fourier pseudospectral method for solving partial
diferential
equations,
Computer
Physics
Communications, 143 (2002) 113-135.