Dos Números Perplexos ao
Espaço-Tempo de Minkowski
José Carlos Cifuentes
Departamento de Matemática
Universidade Federal do Paraná
[email protected] e [email protected]
Minkowski (1864-1909)
Homenagem ao
sesquicentenário do
nascimento de
Hermann Minkowski
Hermann Minkowski
• Lituânia 22/06/1864 – Alemanha 12/01/1909.
• Matemático e físico alemão, representante do pensar
geométrico em áreas diferentes da geometria,
especialmente na teoria de números: a geometria dos
números (1896); e na física: a teoria do espaço-tempo
como fundamento geométrico da teoria da
relatividade de Einstein (1907-1908).
• Estudou em Königsberg onde se doutorou com
Lindemann em 1885 com uma tese sobre formas
quadráticas n-dimensionais, foi colega de Hilbert em
Königsberg e em Göttingen e mestre de Einstein na
Politécnica de Zurique.
I
As Funções Hiperbólicas e os
Números Perplexos
x
as Funções Circulares e os
Números Complexos
Trigonometria e Números Complexos:
as fórmulas de Euler complexas
• A relação íntima entre a trigonometria e os números complexos
começa com a representação desses números em coordenadas
polares.
Vejamos:
se z = x + iy, então, x = r cos  e y = r sen ,
sendo r = z = x2 + y2 e  = arg z, donde,
z = r (cos  + i sen ).
• Chamemos de E() = cos  + i sen . Então, usando noções
de
i
cálculo diferencial
e integral pode-se
deduzir que E() = e . Donde
i
–i
teremos e = cos  + i sen  e e = cos  – i sen . Dai resultam as
chamadas fórmulas de Euler complexas:
cos  = (ei + e–i) / 2 e sen  = (ei – e–i) / 2i.
• Essas fórmulas permitem expressar as funções circulares cosseno e
seno em termos de números complexos permitindo uma grande
síntese.
• Também, devemos a Euler a chamada fórmula
mais bela da
i
matemática, consequência das anteriores: e + 1 = 0 (Lindemann).
Fórmula de Euler
Mona Lisa de Da Vinci
Definição das Funções Hiperbólicas
• No cálculo elementar, as funções hiperbólicas
são usualmente definidas, a partir da função
exponencial, da seguinte maneira:
cosh x = ( ex + ex ) / 2
e
senh x = ( ex  ex ) / 2.
Explicitação das Analogias entre as Funções
Hiperbólicas e as Funções Circulares
Identidade Fundamental
• cos2x – [–1]sen2x = 1 
cosh2x – [1]senh2x = 1.
Paridade
• cos(–x) = cosx 
cosh(–x) = coshx;
• sen(–x) = – senx 
senh(–x) = – senhx.
Fórmulas da Adição
• cos(x + y) = cosx cosy +
[–1]senx seny

cosh(x + y) = coshx coshy
+ [1]senhx senhy;
• sen(x + y) = senx cosy +
cosx seny

senh(x + y) = senhx coshy
+ coshx senhy.
Fórmulas do “Ângulo” Duplo
• cos2x = cos2x + [–1]sen2x 
cosh2x = cosh2x + [1]senh2x;
sen2x = 2senx cosx 
senh2x = 2senhx coshx.
Derivadas
• Dcosx = [–1]senx  Dcoshx
= [1]senhx;
Dsenx = cosx  Dsenhx =
coshx.
Outras Funções
• tanx = senx / cosx  tanhx
= senhx / coshx;
• tan(x + y) = (tanx + tany) / (1
+ [–1]tanx tany)

tanh(x + y) = (tanhx + tanhy)
/ (1 + [1]tanhx tanhy).
Duas “Trigonometrias” no Plano
Funções Circulares
Funções Hiperbólicas
Questão Norteadora
• Qual a razão da analogia entre as funções
circulares e as funções hiperbólicas, analogia
observada através das diversas identidades
que ambas as classes de funções satisfazem,
se suas definições, no contexto da geometria
analítica, são aparentemente diversas?
Primeira Explicação
• Uma primeira tentativa de explicação da analogia
mencionada pode ser dada no contexto dos números
complexos, já que as funções circulares, nesse contexto,
adotam a forma das equações de Euler complexas:
• cos x = ( eix + eix ) / 2
[cosh x
= ( ex + ex ) / 2
e
sen x = ( eix  eix ) / 2i .
e
senh x = ( ex  ex ) / 2.]
• Essa observação, mais do que uma explicação das
analogias, dá um indício de que existe ainda uma analogia
oculta, a qual trataremos de desvendar nesse trabalho.
II
A Geometria do Plano
Perplexo e a “Rotação”
Hiperbólica
O Plano Complexo C
Representação Cartesiana
Características
• Conjugado de z = x + iy:
z* = x – iy.
• Norma: z2 = x2 + y2 = zz*.
• zw = zw e z-1 =
1 /z (se z  0).
• Círculo unitário:
S1 = {z / z = 1}.
• C é um corpo e S1 é um
grupo multiplicativo.
Rumo aos Números Perplexos I
• As analogias entre as funções circulares e as funções
hiperbólicas sugerem:
a existência de uma “trigonometria” diferente da circular
euclidiana relacionada com um sistema de números
análogo aos números complexos.
• Veremos que o novo sistema de números, os números
perplexos, representam uma nova estrutura algébrica do
plano R2, que não será mais euclidiano, para a qual as
funções hiperbólicas constituem a sua “trigonometria”.
Portanto, deixando explícito que a trigonometria do plano
dependerá de sua estrutura algébrica.
Rumo aos Números Perplexos II
Como definir esse novo sistema de números?
• Sabe-se que i é a unidade imaginária dos números complexos cujo
quadrado é i2 = –1. Essa observação e o aparecimento de 1, ao invés
de –1, nas fórmulas hiperbólicas anteriores sugere “redefinir” o
plano complexo C tomando como unidade imaginária um elemento
j cujo quadrado seja j2 = 1.
• O novo plano H, que chamaremos de plano perplexo (ou plano
hiperbólico devido a sua relação com as funções hiperbólicas), tem
elementos da forma z = x + jy com j2 = 1 e, portanto, a seguinte
multiplicação:
(x1 + jy1)(x2 + jy2) = (x1x2 + [1]y1y2) + j(x1y2 + x2y1).
Tais elementos serão chamados de números perplexos.
• A multiplicação do plano complexo pode ser expressa como:
(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2 + [–1]y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
O Plano Perplexo
• A partir dai se faz um estudo do plano perplexo H por analogia com o
plano complexo C traduzindo diversos conceitos ou definindo os
respectivos homólogos, como o conjugado,
z* = (x + jy)* = x – jy,
e a “norma”,
(z) = zz*, isto é, (x + jy) = x2 – y2,
que, no caso complexo, dá: z2 = zz* = x2 + y2.
• Nesse estudo comparativo obtemos os seguintes resultados, dentre
outros:
1) O novo produto, em analogia com o produto complexo,
é associativo,
2
comutativo e distributivo a respeito da soma de R .
2) Como no caso complexo, (zw) = (z)(w).
3) Em H, em completa analogia com o caso de C (substituindo o conjugado
e a norma complexos pelos seus correspondentes perplexos), temos
z tem inverso  (z)  0, nesse caso, z–1 = z*/(z).
A equação (x + jy) = 0 representa, no plano H, as duas retas diagonais y =
x e y = –x, enquanto que em C é apenas a origem.
Representação Cartesiana do
Plano Perplexo
Outras Propriedades Algébricas
•
O produto de H admite divisores de
zero, isto é, elementos não nulos
tais que o produto com algum
outro elemento não nulo é nulo.
• Por exemplo, (1 + j)(1 – j) = 0.
• z é divisor de zero  (z) = 0.
• Isto é, H não é um domínio de
integridade, e menos um corpo
como C, além disso, prova-se que
H  R[x] / (x2 – 1)  C  R[x] / (x2 + 1).
As
hipérboles,
no
gráfico,
correspondem a (z) = 1
definindo o “círculo unitário
hiperbólico” que denotaremos por
H1. Ele é também um grupo.
Algumas Leis no Plano Perplexo
• Lei do Paralelogramo:
(z + w) + (z – w) = 2((z) + (w)).
• Produto Interno Indefinido: para z = x1 + jy1 e w = x2 + jy2,
z , w = x1x2 – y1y2,
de modo que z , w = Re(zw*) e (z) = z , z.
• Lei de Polarização:
z , w = ¼((z + w) – (z – w)).
• Lei dos “Cossenos”:
(z – w) = (z) + (w) – 2z , w.
• Desigualdade de Schwarz Perplexa:
z , w2  (z)(w).
As Fórmulas de Euler Perplexas
• A relação dos números perplexos com as funções hiperbólicas começa
com a expressão desses números em forma paramétrica.
• Vejamos: se z = x + jy, com (z) = r  0, então, existe uma única hipérbole
equilátera, isto é, cujas assíntotas são as retas diagonais
y = x e y = –x,
1/2
centrada na origem, de raio (vértice) r = (z) e passando por z, logo,
no caso x > 0:
x = r cosh  e y = r senh ,
sendo  um certo parâmetro. Dai, z = r (cosh  + j senh ), em analogia
com o caso complexo.
• Como no caso complexo,
chamando de H() = cosh  + j senh , podemos
j
deduzir que H() = e .
• Resumindo, temos ej= cosh  + j senh  e e–j = cosh  – j senh , donde
resultam as que chamaremos de fórmulas de Euler perplexas:
cosh  = (ej + e–j) / 2 e senh  = (ej – e–j) / 2j,
(comparar com as definições originais do cosseno e de seno hiperbólicos).
Fórmulas de De Moivre Complexas
• As seguintes fórmulas de De Moivre
complexas são válidas:
• E(1)E(2) = E(1 + 2).
• E()-1 = E()* = E(–) e E()n = E(n) para todo
n  0.
• Observa-se, também, que E() = 1 para
qualquer .
• Daí resulta que o círculo unitário S1 é um
grupo multiplicativo.
Fórmulas de De Moivre Perplexas
• As seguintes fórmulas de De Moivre perplexas, em analogia com o caso
complexo, são também válidas:
• H(1)H(2) = H(1 + 2).
• H()-1 = H()* = H(–) e H()n = H(n) para todo n  0.
• Observa-se, também, que (H()) = 1 para qualquer .
• Em termos de H(), a forma hiperbólica dos números perplexos z tais que
(z)  0 é a seguinte:
• Caso I: (z) > 0 e x > 0
z = r(cosh  + j senh ) = rH() = rej
• Caso II: (z) > 0 e x < 0.
z = r(–cosh  + j senh ) = –rH(–) = –re–j
• Caso III: (z) < 0 e y > 0.
z = r(senh  + j cosh ) = jrH() = jrej
• Caso IV: (z) < 0 e y < 0.
z = r(senh  – j cosh ) = –jrH(–) = –jre–j
O Grupo H1 e Alguns Subgrupos
• Lembremos que H1 = {z  H / (z) = 1}, constituído
pelas duas hipérboles equiláteras de vértice 1 no plano
perplexo. Seus ramos têm a seguinte forma
exponencial, o que determina sua condição de grupo
multiplicativo, o qual é não conexo.
• Região I: z = ej
• Região II: z = –e–j
• Região III: z = jej
• Região IV: z = –je–j
• Os ramos I e III formam um subgrupo e o ramo I
sozinho também, ele é conexo.
Interpretação do “Ângulo”  e a
“Rotação” Hiperbólica
•
•
•
•
•
O ângulo hiperbólico  que aparece nas fórmulas de representação hiperbólica
não é um ângulo no sentido geométrico euclidiano, mas adquire o mesmo
significado, em termos de uma área, que o ângulo euclidiano.
Reinterpretação:
Se z = r(cos  + i sen ) com r  0, e A é a área que faz z com o eixo x positivo
dentro do círculo de raio r, então,
 = 2A / r2.
No caso perplexo temos exatamente a mesma situação: demonstra-se, por meio
de uma integração, que o termo  que aparece na representação hiperbólica de z,
com (z)  0, é igual a 2A / r2, sendo A a área que forma z com o eixo x positivo e a
hipérbole equilátera de raio r = (z)1/2 à qual z pertence.
Uma rotação no plano complexo de ângulo  no sentido antihorário, pode ser
expressa mediante a multiplicação por ei. Isto é, se z é não nulo, então, rotar z por
um ângulo  significa deslocar z através da circunferência de raio r = (z)1/2 nesse
ângulo.
Isso nos permite definir, por analogia, uma rotação hiperbólica como a
multiplicação por ej. Observa-se que se (z)  0, então, ejz é um deslocamento
de z ao longo da hipérbole de raio r = (z)1/2 à qual z pertence.
III
Uma Interpretação Perplexa
das Transformações de
Lorentz da Teoria da
Relatividade
As Transformações de Galileu
Sistemas Inerciais
Transformações de Galileu
As Transformações de Lorentz: invariancia da
equação de ondas e da velocidade da luz
Transformações de Lorentz
Equação de D’Alembert
(ondas de luz)
As Transformações de Lorentz
e sua Versão Perplexa
Se uma partícula se move ao longo do eixo x com uma velocidade v
qualquer, as transformações de Lorentz, a respeito dos sistemas de
coordenadas do observador e da partícula, são as seguintes:
t =  (t – (v/c2)x)
e
x =  (x – vt),
onde  = (1 – v2/c2)–1/2.
Se re-escrevemos o plano perplexo como
H = {z = ct + jx / t é a variável tempo, x é a variável espaço
e c é uma constante positiva que tem dimensões de velocidade},
então, as transformações de Lorentz, no plano hiperbólico H,
adotam a forma de uma rotação hiperbólica z = e–jz sendo  =
arctanh (v/c).
Formulação Perplexa da Lei de
Velocidades Relativista
• Lei de Velocidades para a teoria da relatividade:
Seja z = ej1z e z = ej2z, onde tanh 1 = v1/c e
tanh 2 = v2/c. Então, a superposição dos dois
movimentos dá z = ej(1+2)z, portanto, se v12 é a
velocidade resultante, devemos ter tanh (1 + 2)
= v12/c. Finalmente, como tanh (1 + 2) = (tanh 1
+ tanh 2) / (1 + tanh 1tanh 2), concluímos que
v12 = (v1 + v2) / (1 + v1v2/c2).
Os números perplexos são também chamados de
números espaço-temporais.
IV
Os Quatérnios de Hamilton
e o Espaço-Tempo de
Minkowski
A Álgebra Tetradimensional dos
Quatérnios Reais
•
•
•
•
•
A álgebra dos quatérnios é um sistema algébrico Q4 muito parecido com o corpo
dos números complexos, porém tetradimensional (daí o índice 4) e com um
produto não comutativo. Eles foram criados por W. R. Hamilton (1805-1865) em
1843 com o intuito de modelar matematicamente as rotações tridimensionais.
Os quatérnios são definidos como elementos da forma w = t + xi + yj + zk com t, x,
y, z  R e i, j e k são três unidades imaginárias satisfazendo:
i2 = j2 = k2 = –1 e ij = –ji = k, jk = –kj = i e ki = –ik = j.
É conveniente apresentar os quatérnios do seguinte modo: Q4 = R  R3, onde, se
w1 = t1 + v1 e w2 = t2 + v2, então, define-se
w1 + w2 = (t1 + t2) + (v1 + v2), e
w1w2 = (t1t2 – v1 , v2) + (t1v2 + t2v1 + v1v2),
sendo  ,  e  os produtos escalar e vetorial de R3 respectivamente.
Se w = t + v, chamamos de parte real de w a Re(w) = t e parte vetorial de w a
Vet(w) = v.
Define-se, também, o conjugado e a norma da seguinte maneira: para w = t + v,
w* = t – v e (w) = ww* = w2 = t2 + v2.
Propriedades Estruturais de Q4
• Q4 é uma álgebra de divisão associativa, porém, não-comutativa, onde se
w  0, então,
w–1 = w*/(w).
• A respeito da comutatividade temos que, se w1 = t1 + v1 e w2 = t2 + v2,
então,
w1w2 – w2w1 = 2(v1v2).
• Em decorrência da propriedade acima, temos que o centro de Q4 resulta
ser
Z(Q4) = {w  Q4 / para todo w’  Q4, ww’ = w’w } = R.
• (w1w2)* = w2*w1*.
• (w1w2) = w1w22 = w12w22 = (w1)(w2).
• Se u  R3 com u = 1, então, em Q4, u2 = –1, e o plano Cu = R  Ru é
isomorfo ao plano complexo C.
• A álgebra Q4 não tem divisores de zero pois é associativa e de divisão.
Extensão do Plano Perplexo H a R4
• O plano perplexo também pode ser estendido a
R4 do seguinte modo: M4 = R  R3, onde, se w1 =
t1 + v1 e w2 = t2 + v2, então, define-se
w1w2 = (t1t2 + v1 , v2) + (t1v2 + t2v1 + v1v2).
• A definição anterior equivale a termos:
i2 = j2 = k2 = 1 e ij = –ji = k, jk = –kj = i e ki = –ik = j.
• Define-se, também, em analogia com o caso dos
quatérnios, o conjugado e a norma da seguinte
maneira: se w = t + v, então,
w* = t – v e (w) = ww* = t2 – v2.
Propriedades Estruturais de M4
• M4 é uma álgebra não-associativa e não-comutativa, onde se (w)  0,
então, w é inversível e w–1 = w*/(w).
• A respeito da comutatividade temos a mesma situação que em Q4: se w1 =
t1 + v1 e w2 = t2 + v2, então,
w1w2 – w2w1 = 2(v1v2).
• Em decorrência disso, temos que o centro de M4 também resulta ser
Z(M4) = R.
• (w1w2)* = w2*w1*.
• (w1w2) = (w1)(w2) – 2v1v22.
• Se u  R3 com u = 1, então, em M4, u2 = 1, e o plano Hu = R  Ru é
isomorfo ao plano perplexo H.
• A álgebra M4 tem divisores de zero e eles são caracterizados por (w) = 0,
isto é, t2 – v2 = 0, o que reproduz o chamado de cone de luz do
espaço de Minkowski.
• O espaço de Minkowski, na sua versão usual, é
apresentado como iR  R3, munido da forma quadrática
q(it, x, y, z) = (it)2 + x2 + y2 + z2 = –t2 + x2 + y2 + z2. Nós
acreditamos termos dado uma outra definição do espaço
de Minkowski como uma álgebra, a álgebra de
Minkowski.
• Na formulação original, a variável t é substituída por it
para dar uma aparência euclidiana a esse espaço. Na
nossa formulação, o cone de luz corresponde aos
divisores de zero da álgebra, os quais são exatamente os
elementos não-inversíveis sendo que a forma quadrática
q decorre do produto definido em M4:
q(w) = –ww*.
O Espaço-Tempo de Minkowski
Conferência “Espaço e Tempo”:
Minkowski, 21/09/1908
• “Doravante, o espaço por si só, e o tempo por
si só, estão condenados a desvanecer-se em
meras sombras, e apenas uma espécie de
união dos dois preservará uma realidade
independente”.
V
A Equação de Ondas e a Relação
ESPAÇO + TEMPO = MOVIMENTO
no Contexto dos Números
Perplexos
Teoria de Funções de Variável
Perplexa I
• Um capítulo muito importante no desenvolvimento da matemática dos
números complexos é a teoria de funções e subseqüente cálculo
complexo, isto é, a teoria da diferencial e da integral no plano complexo.
Nesta seção daremos os primeiros passos no desenvolvimento de uma
teoria análoga para o plano perplexo. Por exemplo, encontraremos
condições de diferenciabilidade análogas às de Cauchy-Riemann, as quais
nos conduzirão, no caso perplexo, ao invés da equação de Laplace, à
equação de ondas unidimensional, chamada também de equação de
D’Alembert.
• Entendemos por funções perplexas, funções (de uma variável) da forma f :
  H onde   R2. Podemos supor que  é um subconjunto aberto e
conexo de R2 quando for necessário. Vemos, então, que toda função desse
tipo pode ser escrita como
f(x , y) = u(x , y) + jv(x , y),
sendo u = Re (f) e v = Im (f).
Observa-se que f(x , y) = f(z , z*) pois x = (z + z*)/2 e y = (z – z*)/2j.
Teoria de Funções de Variável
Perplexa II
• A função mais importante da análise matemática tal vez seja a
função exponencial. No caso complexo, define-se, para z = x + iy,
como
exp z = ex(cos y + isen y) = ex E(y),
• Observa-se que Re(exp z) = excos y e que Im(exp z) = exsen y.
• No caso perplexo, podemos, recorrendo ao desenvolvimento em
série de ejy, obter (lembrando que j2 = 1 e, portanto, jn = 1 para n
par e jn = j para n ímpar) que
ejy = cosh y + jsenh y,
motivando a seguinte definição para a exponencial perplexa:
exp z = ex(cosh y + jsenh y) = ex H(y).
• Neste caso, Re(exp z) = excosh y e Im(exp z) = exsenh y.
• Verifica-se, denotando por ez = exp z, que ez+w = ez ew.
Diferenciabilidade de Funções
Perplexas I
• No caso perplexo, podemos tentar a mesma
definição de diferenciabilidade que no caso
complexo: se f = u + jv é uma função perplexa, e z
é um elemento de seu domínio, definimos a
derivada de f em z (se existir) como:
Df(z) = limh0(f(z + h) – f(z)) / h.
• Dizemos, então, que f é H-diferenciável em z.
Nesse caso, h deve se aproximar de zero por
caminhos diferentes das diagonais do plano, pois
ai h não é inversível, e ter o mesmo limite por
todos eles.
Diferenciabilidade de Funções
Perplexas II
•
•
Se f é H-diferenciável em z, então, fazendo h se aproximar da origem pelos eixos x
e y, como no caso complexo, pois ai h é inversível, e exigindo a igualdade dos dois
limites, obtemos as que chamaremos de equações de Cauchy-Riemann perplexas
para f no ponto z:
u/x(z) = v/y(z)
e
u/y(z) = v/x(z),
donde, como no caso complexo,
Df(z) = u/x(z) + jv/x(z).
Neste caso, combinando adequadamente as equações de Cauchy-Riemann obtemse que u e v são soluções da equação de D’Alembert no plano ou equação de
ondas unidimensional:
2u/x2(z) – 2u/y2(z) = 0
e
2v/x2(z) – 2v/y2(z) = 0.
Espaço + Tempo = Movimento
• As condições de Cauchy-Riemann (complexas ou perplexas)
equivalem à condição seguinte: f/z* = 0, o que significa que
uma função f H-diferenciável é só função de z e não de z*, isto é,
as variáveis x e y (ou t e x no caso físico) não são duas variáveis
reais senão uma variável perplexa!!!
• Podemos considerar a equação de ondas como a típica equação
do movimento (da luz, se considerarmos a constante c).
• Se u(x , y) é solução da equação de ondas, então u(x , y) é parte
real de uma função perplexa H-diferenciável, portanto, que só
depende de z!!!
• Isso dá significado à relação espaço + tempo = movimento, pois
as equações de Lorentz constituem uma transformação de
“rotação” dadas por uma exponencial que é H-diferenciável.
VI
Outros Rumos:
O Plano Parabólico
As Estruturas Canônicas do Plano
• Uma análise de todas as estruturas algébricas do plano resulta de tomar
como unidade imaginária um elemento e tal que e2 =  + e com  e 
números reais dados.
• A partir de uma análise da existência de inversos, consegue-se definir,
para z = x + ey:
z* = (x + y) – ey e (z) = zz* = (x + (/2)y)2 – (D/4)y2
onde D = 2 + 4, de modo que o inverso de z, no caso de existir, tenha a
forma z–1 = z*/(z).
• A menos de isomorfismo, só existem três estruturas possíveis do plano:
i) o plano complexo C, que corresponde a e2 = –1 no caso D < 0,
ii) o plano perplexo H (plano hiperbólico ), que corresponde a e2 = 1 no
caso D > 0, e
iii) um terceiro plano, que chamaremos de plano parabólico P, que
corresponde a e2 = 0 no caso D = 0, e para o qual pode-se tomar como
unidade imaginária um elemento k, sendo, então, que todo z em P é da
forma z = x + ky com k2 = 0.
O Plano Parabólico
• No plano parabólico P, o conjugado e a norma adotam
a seguinte forma:
z* = x – ky e (z) = zz* = x2.
• Um elemento z = x + ky é inversível se e somente se x 
0. Vemos, então, que o eixo y corresponde aos
elementos não inversíveis de P.
• A norma provém também de um produto interno (não
definido positivo) dado também por z , w = Re(zw*) =
x1x2 se z = x1 + ky1 e w = x2 + ky2.
• Nesse caso, é satisfeita a seguinte (des)igualdade de
Schwarz:
z , w2 = (z)(w).
Um Fato Inesperado!
• Os planos C e H não podem ser linearmente ordenados de modo que a
ordem seja compatível com as operações algébricas, isto é, de modo
que sejam satisfeitas as seguintes propriedades: z  w implica z + u  w
+ u, e z  w e u  0 implica zu  wu. No entanto, o plano parabólico P
pode ser linearmente ordenado pela ordem lexicográfica, isto é, a
ordem seguinte: x + ky  r + ks se x  r e, no caso de ser x = r, se y  s.
Nesse caso, o “plano” P admite, então, uma reinterpretação como uma
“reta” não-standard, isto é, uma reta estendida com elementos novos
infinitamente próximos de cada número real e, portanto, com
elementos infinitesimais, isto é, infinitamente próximos de zero. De
fato, todo elemento da forma ky é um infinitesimal no sentido de que
para qualquer real positivo r temos,
– r  ky  r.
• O plano parabólico é, portanto, uma reta, e a matemática dos números
parabólicos, em particular, a análise matemática sobre essa reta, está
ainda para ser desenvolvida!
O “Plano” Parabólico
• No plano parabólico, obtemos que ekx = 1 + kx, donde a analogia
força construir uma nova trigonometria definindo as funções
cosseno parabólico e seno parabólico da seguinte maneira:
cosp x = 1 e senp x = x.
• A função tangente parabólica pode também ser definida como
tanp x = senp x/cosp x = x.
• Para as funções parabólicas obtemos, dentre outras, as seguintes
identidades:
• cosp2 x – [0]senp2 x = 1,
• cosp (x + y) = cosp x cosp y – [0]senp x senp y,
• senp (x + y) = senp x cosp y + cosp x senp y,
• Dcosp x = [0]senp x e Dsenp x = cosp x.
• Do ponto de vista gráfico, as funções parabólicas são um caso limite
entre as funções circulares e as hiperbólicas. A analogia é completa!
A “Rotação Parabólica” e as
Transformações de Galileu
• No caso parabólico, se z = e– kz é uma “rotação” no plano P (= {z =
ct + kx / t é a variável tempo, x é a variável espaço e c é uma
constante positiva que tem dimensões de velocidade}), com  =
arctanp (v/c) = v/c, então, a rotação mencionada é equivalente à
seguinte transformação:
t = t
e
x = x – vt,
que são as conhecidas transformações de Galileu da física
Newtoniana.
• É um maravilhoso ponto de contato entre Matemática e Física e
uma bela homenagem aos 450 anos do nascimento de Galileu!
• Aqui cabe a seguinte pergunta: a que “realidade” física corresponde
uma rotação (euclidiana) no plano complexo C?