Informática no Ensino de Matemática
Prof. José Carlos de Souza Junior
http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc
Aula 04
ATIVIDADE 01
Outro grande recurso do GeoGebra é o de resolver simbolicamente equações e sistemas de
equações, sejam elas lineares ou não-lineares.
O comando Resolver[. . .] permite calcular as soluções de equações e sistemas de equações.
Por exemplo, o comando abaixo encontra as soluções da equação quadrática x2 − 5x + 6 = 0.
O GeoGebra também consegue resolver equações cujos coeficientes são parâmetros.
O comando Resolver[. . .] calcula apenas raı́zes reais. Para obter as raı́zes complexas, é
necessário usar o comando ResolverNosComplexos[. . .].
Você pode combinar o comando ValorNumérico[. . .] com o comando Resolver[. . .] para
obter aproximações das soluções de uma equação:
ValorNumérico[ResolverNosComplexos[x∧ 5 = 1, x], 20]
1
Soluções de sistemas de equações também são calculadas com o comando Resolver[. . .].

 x+y+z =1
x − y + z = 3 , digitamos:
Por exemplo, para resolver o sistema

2x − y + 3z = 1
(a) Use o GeoGebra para encontrar as três soluções da equação cúbica
42x3 − 71x2 + 10x + 3 = 0.
(b) Todo mundo conhece a fórmula que encontra todas as raı́zes de uma equação quadrática
em termos das operações aritméticas usuais e extração de radicais, mas poucos conhecem
a fórmula de Cardano, que permite calcular todas as raı́zes de uma equação cúbica (sem
ter que “chutar” uma raiz).
Use o comando ResolverNosComplexos[a x∧ 3 + b x∧ 2 + c x + d = 0]
do GeoGebra para ver a fórmula de Cardano (talvez seja necessário aumentar o tempo
limite para cálculos simbólicos no GeoGebra).
Para tanto, siga os passos:
A fórmula pode ser longa e pode ter pouco uso prático para cálculos à mão, mas é
fantástico que tal fórmula exista!
Observação: menos conhecida ainda é a fórmula que permite calcular, em termos das
operações aritméticas usuais e extração de radicais, todas as raı́zes de uma equação
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Figura 1: Niels Henrik Abel (1802 - 1829)
quártica! E equações quı́nticas? Equações sextas? O matemático Niels Henrik Abel
(1802 - 1829) mostrou que não existe uma fórmula geral, em termos das operações
aritméticas usuais e extração de radicais, para equações polinomiais de grau ≥ 5.
ATIVIDADE ELETRÔNICA 08
Encontre um número positivo b tal que a equação quadrática x2 + bx + 7 = 0 possua apenas
raı́zes inteiras.
Envie a sua resposta para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-08: raı́zes inteiras” como assunto (subject) deste
e-mail. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de
colocar o seu nome.
ATIVIDADE ELETRÔNICA 09
Encontre um número real a para o qual o sistema linear

 ax + 2y + 3z = 1
x − y + 2z = 2

x + y + 3z = 1
possua apenas soluções inteiras.
Envie a sua resposta para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-09: sistema linear” como assunto (subject) deste
e-mail. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de
colocar o seu nome.
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ATIVIDADE ELETRÔNICA 10
Resolva a equação quadrática ax2 + bx + c = 0 no GeoGebra. A resposta apresentada pelo
programa está correta?
Envie a sua resposta para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-10: equações quadráticas” como assunto (subject)
deste e-mail. Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não
esqueça de colocar o seu nome.
ATIVIDADE 02
Nesta atividade, aprenderemos como trabalhar com matrizes no GeoGebra. Vamos definir as
matrizes




 
1 2 3
1 0 0
1
A = 1 0 1 , B = 0 1 0 e C = 2 .
1 2 1
0 0 1
3
Para somar, subtrair e multiplicar matrizes, basta usar os operadores “+”, “-” e “∗” (ou um
espaço em branco).
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Para calcular potências de matrizes, basta usar o operador “∧”. Por exemplo, o comando
abaixo calcula a potência A10 = A · A · A · A · A · A · A · A · A · A da matriz A.
Também é possı́vel, no GeoGebra, multiplicar uma matriz por um escalar (número):
Para calcular a transposta de uma matriz, basta usar o comando MatrizTransposta[. . .].
Os comandos Determinante[. . .] e MatrizInversa[. . .] calculam, respectivamente, o determinante e a inversa de uma matriz.
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(a) Considere a matriz
0 −1
A=
.
1 0
Calcule A5 , A500 e A587 . É possı́vel estabelecer uma fórmula geral?
(b) Considere a matriz

1
0
A=
1
0
2
1
0
1
a
0
1
0

1
a
.
0
1
Para quais valores a, se é que existem, a matriz A possui inversa?
ATIVIDADE 03
Nesta atividade, veremos como usar o GeoGebra para calcular derivadas e integrais (estudadas no curso de Cálculo). Para derivar uma função de uma variável, basta usar o comando
Derivada[. . .] como ilustram os exemplos a seguir.
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Derivadas de ordem superior podem ser calculadas usando-se uma variação da sintaxe do comando Derivada[. . .]. Por exemplo, para calcular a derivada de ordem 4 da função
2
f (x) = xe(x ) , basta digitar Derivada[x exp(x∧ 2), x, 4].
Para calcular integrais, basta usar o comando Integral[. . .].
Aqui, c1 e c2 representam as constantes de integração.
ATIVIDADE ELETRÔNICA 11
Encontre uma matriz A de dimensão 4 × 4 tal que A, A2 e A3 sejam matrizes não nulas, mas
que A4 seja a matriz nula.
Envie a sua resposta para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-11: matrizes” como assunto (subject) deste e-mail.
Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar
o seu nome.
ATIVIDADE ELETRÔNICA 12
Considere a função f (x) = cos(x). Calcule as derivadas de ordem 5, 500 e 587 de f . É possı́vel
estabelecer uma fórmula geral?
Envie a sua resposta para o seguinte e-mail:
[email protected]
(note o ponto · entre as palavras). Use “AE-12: derivadas” como assunto (subject) deste e-mail.
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Só serão aceitos os e-mails enviados até o dia 14/06/2013 (sexta-feira). Não esqueça de colocar
o seu nome.
DESVENDANDO O GEOGEBRA
PARTE 01 - INTERFACE DO PROGRAMA
A seguir, iremos explorar alguns recursos e potencialidades do GeoGebra. Para tanto, vamos
nos familiarizar com o ambiente do programa.
Esta é a tela inicial do GeoGebra.
São seis as áreas principais dessa disposição:
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Existem outras janelas, com recursos especı́ficos, que estão escondidas.
Já trabalhamos um pouco com a Janela CAS e em breve estudaremos as funcionalidades das
demais.
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PARTE 02 - DISPOSIÇÕES DAS JANELAS
No GeoGebra é possı́vel gerenciar as várias disposições das janelas de acordo com o que se quer
estudar. Para tanto, ao iniciar o programa, basta escolher a opção mais interessante para o
momento.
Por exemplo, para o próximo tópico, escolha a disposição Geometria Básica.
PARTE 03 - BARRA DE FERRAMENTAS
Para saber o que uma ferramenta faz, basta deixar o apontador do mouse (“setinha”) sobre o
ı́cone da ferramenta. Por exemplo, posicione o apontador na segunda janela (esq. para dir.)
da barra de ferramentas e veja a informação da ferramenta correspondente.
Para ativá-la, basta dar um clique com o botão esquerdo do mouse.
É importante lembrar que várias ferramentas estão alojadas em uma mesma área. Se você
clicar no pequeno triângulo vermelho, uma lista de ferramentas aparecerá, experimente!
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