Série 2 – Solução
Problema 1
Y = 1m
X = 2m
a) Primitivando as expressões da velocidade, obtém-se
x(t) = P[4(t3+t)] = t4 + 2 t2 + c1
y(t) = P[4 t)] = 2t2 + c2
As condições iniciais são: para t =0, x0 = 1m e y0 = 0.5m, o que permite calcular c1 e c2:
1 = c1
0.5 = c2
logo, x(t) = t4 + 2 t2 + 1 (m) e y(t) = P[4 t)] = 2t2 + 0.5 (m). Eliminando a variável t (e
tendo em conta que y>0 para escolher o sinal da raiz):
Equação da trajectória: y(x) = - 1.5 + 2x1/2
b) A partícula pode cair por ser x>2m ou y>1m. O que acontece antes? Para y=1m,
resulta x = 1.56m, logo a partícula cai quando y = 1m, o que ocorre quando t = 0.5s.
Problema 2
A velocidade do projéctil é dada por
vx = v0cos40º
vy =–v0sen40º-gt
e as coordenadas cartesianas por
x = v0cos40ºt
y = y0 –v0sen40ºt – gt2/2
y
v0
Fazendo y = 0 encontra-se o instante em que o
v
projéctil atinge o solo: t = 2.172 s. Substituindo em x
obtém-se a distância percorrida na horizontal, 449.3m.
As componentes da velocidade nesse instante são vx = 206.8 ms-1 e vy = -194.8 ms-1, o
que permite concluir que o ângulo com a horizontal é tg-1(vy/vx) = -43.3º
Problema 3
Comparando com a expressão geral da velocidade em coordenadas polares, conclui-se
que ρ dθ/dt = 2t2, ou seja, como ρ = 0.5m, dθ/dt = 4t2. Primitivando, obtem-se
θ(t) = 4t3/3 + c, e a condição inicial, θ = π/2 quando t=0, permite concluir que c = π/2.
r(t) =0.5 (m)
θ(t) = 4t3/3 + π/2 (rad)
e por conseguinte
x(t) = 0.5 cos(4t3/3 + π/2) (m)
y(t) = 0.5 sen (4t3/3 + π/2) (m)
A aceleração admite a expressão a = -8t4 ûρ + 4t ûθ
x
Problema 4
a) A velocidade admite a expressão v = -0.13 ûρ + 0.02t(1-0.13t) ûθ
e a aceleração é dada por a = -0.0004t2(1-0.13t)ûρ + [0.02-0.0078t]ûθ
A expressão de ρ permite concluir que o cursor atinge o ponto médio da haste (ρ=0.5m)
quando t = 3.85 s. Nesse instante é v = -0.13 ûρ + 0.038 ûθ (ms-1) e a aceleração é a = 0.00296 ûρ -0.01 ûθ (ms-2).
b) A aceleração transversal à haste é aθ =. 0.02-0.0078t. O movimento do cursor termina
quando ele atinge ρ=0, no instante t = 7.70 s. Entre t=0 e t=7.7s, ovalor máximo do
módulo de aθ é 0.04 ms-2. Por conseguinte a haste não se quebra.
Problema 5
Num movimento em espiral é difícil calcular o raio de curvatura, por isso o cálculo da
aceleração centrípeta deve ser feito de maneira indirecta. Usando coordenadas polares,
pode calcular-se para a aceleração a expressão a = -0.144t ûρ + 0.48 ûθ (ms-2). O módulo
de a é [(0.144t)2+0.482]1/2 (ms-2). Por outro lado, a velocidade é v = 0.4 ûρ + 0.24t
ûθ (ms-1) e o seu módulo é [0.42+(0.24t)2]1/2 (ms-1). A aceleração tangencial é igual à
derivada do módulo da velocidade, logo, é at = 0.0576t[0.42+(0.24t)2]-1/2 (ms-2). Tendo
em conta que o módulo da aceleração também pode ser calculado por a = [an2+at2]1/2, e
substituindo valores para t = 10 s, calcula-se que an = 1.50 ms-2.
Note-se que este raciocínio também permite obter o raio de curvatura como função do
tempo, visto que an = v2/R(t).
Problema 6
Partindo de dvx/dt = -k vx2 e separando as variáveis (vx e t) conclui-se que vx-2dvx = -k dt
logo será
P[vx-2] = P[-k]
e, calculando as primitivas,
vx-1 = -kt + c
Se a velocidade é v0 em t=0, será v0-1 = c, logo
vx-1 –v0-1 = -kt
vx(t) = v0/[kv0t+1]
Para calcular x(t), esta expressão deve ser novamente primitivada :
dx/dt = v0/[kv0t+1]
x(t) = k-1 ln[t + (kv0)-1] + c
e fazendo x=x0 quando t=0 resulta
x(t) =x0 + k-1 ln [1 + kv0t]
Podemos agora calcular qual o valor de t para o qual x=100m (com x0=0): t100 = 0.876 s.
Nesse instante, a velocidade segundo Ox tem o valor vx = 108.6 ms-1.
Problema 7
A expressão dada pode ser escrita na forma mais simples
az = α - βvz
ou equivalentemente
dvz/dt = α - βvz
Separando as variáveis vz e t:
[α - βvz]-1dvz = -dt
[1 - (β/α)vz]-1dvz = -βdt
Primitivando:
ln |1 - (β/α)vz | = -βt + c
Fazendo vz=v0 quando t=0:
ln |1 - (β/α)v0 | = c
logo
ln |1 - (β/α)vz | = -βt + ln |1 - (β/α)v0 |
ln[(α-βvz)/(α-βv0)]= -bt
Resolvendo em ordem a vz:
−βt
vz(t) = (α/β) + (v0- α/β)e
Quando t tende para infinito, a velocidade tende para α/β, um valor constante designado
por “velocidade limite”.
Série 2, Problema 4
trajectória do cursor
y (m)
0,1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x (m)
Série 2, Problema 5
trajectória da partícula
Vector aceleração no instante t = 10 s
15
10
y (m)
5
0
an
a
-5
at
-10
-10
-5
0
5
x (m)
10
15