Apostila Preparatória
para o
Vestibular Vocacionado UDESC
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Aline Felizardo Golçalves
André Alexandre Silveira
André Antônio Bernardo
César Manchein
Flábio Esteves Cordeiro
Gisele Maria Leite Dalmônico
Marcio Rodrigo Loos
Priscila Fischer
Ricardo Fernandes da Silva
Sidinei Schaefer
Professores
Luciano Camargo Martins
Coordenador
Revisão 1.3 (11pt) de 11 de novembro de 2009
MUNDO FÍSICO
Nossa Apostila
A edição dessa apostila, concretiza os esforços feitos
desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo
Curso de Licenciatura Plena em Fı́sica da UDESC
mobilizaram-se por força e vontade próprias no projeto, desenvolvimento e apresentação de um Curso PréVestibular aberto à comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ciências Tecnológicas (CCT) da
UDESC-Joinville.
Essa primeira tentativa de implantar o Curso PréVestibular não chegou a se realizar, por razões puramente burocráticas, apesar dos esforços gastos na preparação das aulas e do material didático inicial.
Nessa revisão atual, foi feito um grande esforço pessoal
no sentido de rever todo o material apresentado, textos e gráficos, e incluir o tão solicitado gabarito de respostas aos exercı́cios existentes no final de cada aula,
incluı́do ao final da apostila, junto com uma tabela
periódica dos elementos quı́micos. A apostila apresenta
Disciplina
Fı́sica
Quı́mica
Matemática
Lı́ngua Portuguesa
História de SC
N o de aulas
59
26
37
18
1
Nos anos que se seguiram, a idéia original foi abraçada totalizando 141 aulas e 894 exercı́cios propostos.
por um projeto de extensão oficial, e só então pode
ser realizada com relativo sucesso, já tendo atendido Toda a apostila foi diagramada automaticamente
em LATEX(www.latex-project.org), os gráficos focentenas de alunos até agora.
ram gerados com Xfig (www.xfig.org) e GNUPlot
Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, espe- (www.gnuplot.info), todos softwares livres e rodando
ramos que esse material seja minimamente suficiente num sistema operacional aberto e livre: o Linux! Maipara a revisão dos conteúdos exigidos nas provas de ores informações em http://br-linux.org.
ingresso aos seus bancos acadêmicos.
Convidamos a todos para que visitem o nosso site, e
Extrapolando o objetivo inicial do projeto, moldado eventualmente, nos ajude na divulgação desse projeto
pela nossa visão local de ensino e extensão, as versões maior chamado de Mundo Fı́sico!
on line dessa apostila ganharam os quatro cantos do
Envie suas sugestões, crı́ticas ou comentários.
paı́s, e tem auxiliado muitos alunos e escolas como material didático inicial, especialmente útil para aqueles
alunos de cidades pequenas e locais isolados, que tanto
Endereço na Internet:
nos incentivam com suas perguntas e sugestões diariamente recebidas e respondidas por correio eletrônico http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
ou convencional. A julgar pelas impressões que ficaram desses contatos breves com os internautas, muitos Contato por correio eletrônico:
parecem ainda não dispor de acesso aos materiais mais [email protected]
sofisticados e completos existentes na internet, que não
são poucos, porém nem todos são de uso livre e gratuito; e outros tantos parecem carecer completamente
de livros próprios e professores qualificados.
É a essas pessoas, os internautas que nos procuram
diariamente, que dedico essa revisão ampliada e um
pouco melhorada do material precedente, no sentido
de oferecer um material simples e compacto, que auxilie especialmente àqueles que almejam o ingresso na
universidade, ou mesmo àqueles que por outras razões
queiram aprender coisas novas ou simplesmente rever
alguns dos conteúdos do Ensino Médio brasileiro.
Porto Alegre-RS, 11 de novembro de 2009
Professor Luciano Camargo Martins
Sumário
FÍSICA
3
Mecânica – Aula 1: Grandezas Fı́sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Mecânica – Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Mecânica – Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Mecânica – Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Mecânica – Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Mecânica – Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Mecânica – Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Mecânica – Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Mecânica – Aula 9: Dinâmica do Movimento Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Mecânica – Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Mecânica – Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Mecânica – Aula 12: Conservação da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Mecânica – Aula 13: Colisões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Mecânica – Aula 14: Lei da Ação e Reação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Mecânica – Aula 15: Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Gravitação – Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Gravitação – Aula 2: Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Gravitação – Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Gravitação – Aula 4: Centro de Gravidade
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Ótica – Aula 1: Ótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Ótica – Aula 2: Espelhos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Ótica – Aula 3: Refração da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Ótica – Aula 4: Lentes Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Ótica – Aula 5: Ótica da Visão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Fluidos – Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
ii
Fluidos – Aula 2: Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Cinemática – Aula 1: Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Cinemática – Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Cinemática – Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Cinemática – Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Cinemática – Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Ondas – Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Ondas – Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Ondas – Aula 3: Ondas e Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Ondas – Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Ondas – Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Termodinâmica – Aula 1: Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Termodinâmica – Aula 2: Dilatação Térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Termodinâmica – Aula 3: Transformações Gasosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Termodinâmica – Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
Termodinâmica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Termodinâmica – Aula 5: Modelo Molecular de um Gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Termodinâmica – Aula 7: Capacidade Térmica (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Termodinâmica – Aula 8: Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Termodinâmica – Aula 9: Máquinas Térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Termodinâmica – Aula 10: Mudanças de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Termodinâmica – Aula 11: Sublimação e Diagrama de Fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Eletricidade – Aula 1: Carga Elétrica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Eletricidade – Aula 2: Eletroscópio de Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Eletricidade – Aula 3: Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Eletricidade – Aula 4: Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Eletricidade – Aula 5: Superfı́cies Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Eletricidade – Aula 6: Condutores em Equilı́brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Eletricidade – Aula 7: Capacidade Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Eletricidade – Aula 8: Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Eletricidade – Aula 9: Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Eletricidade – Aula 10: Resistência Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Eletricidade – Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Eletricidade – Aula 12: Geradores e Força Eletromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
iii
QUÍMICA
123
Quı́mica – Aula 1: Estrutura Atômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Quı́mica – Aula 2: Modelos Atômicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Quı́mica – Aula 3: Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Quı́mica – Aula 4: Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Quı́mica – Aula 5: A Estrutura da Matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Quı́mica – Aula 6: Teoria Cinética dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Quı́mica – Aula 7: Ácidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Quı́mica – Aula 8: Soluções Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Quı́mica – Aula 9: Equilı́brio Iônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Quı́mica – Aula 10: Equilı́brio Iônico da Água e pH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Quı́mica B – Aula 1: O que é Quı́mica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Quı́mica B – Aula 2: Matéria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Quı́mica B – Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Quı́mica B – Aula 4: Propriedades Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Quı́mica B – Aula 5: Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Quı́mica B – Aula 6: Ligações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Quı́mica B – Aula 7: Equações e Reações Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Quı́mica B – Aula 8: Equações e Reações (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Quı́mica B – Aula 9: Soluções Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Quı́mica B – Aula 10: Funções Quı́micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Quı́mica B – Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Quı́mica B – Aula 12: Eletroquı́mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Quı́mica Orgânica – Aula 1: Introdução à Quı́mica Orgânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Quı́mica Orgânica – Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Quı́mica Orgânica – Aula 3: Polı́meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Quı́mica Orgânica – Aula 4: Isomeria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
MATEMÁTICA
191
Matemática A – Aula 1: Relações e Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Matemática A – Aula 2: Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Matemática A – Aula 3: Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
iv
Matemática A – Aula 4: Funções Especiais (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Matemática A – Aula 5: Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Matemática A – Aula 6: Equações Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Matemática A – Aula 7: Geometria Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Matemática A – Aula 8: Geometria Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Matemática A – Aula 9: Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Matemática A – Aula 10: Circunferência - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Matemática B – Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Matemática B – Aula 2: Operações com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Matemática B – Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Matemática B – Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Matemática B – Aula 5: Discussão de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Matemática B – Aula 6: Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Matemática B – Aula 7: Progressão Geométrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Matemática C – Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Matemática C – Aula 2: Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Matemática C – Aula 3: Números complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Matemática C – Aula 4: Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Matemática C – Aula 5: Regras de Três Simples e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Matemática C – Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Matemática C – Aula 7: Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Matemática C – Aula 8: Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Matemática C – Aula 9: Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Matemática C – Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Matemática C – Aula 11: Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Matemática C – Aula 12: Equações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Matemática C – Aula 13: Introdução à Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Matemática C – Aula 14: Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Matemática C – Aula 15: Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Matemática C – Aula 16: Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Matemática C – Aula 17: Polı́gonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Matemática C – Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
Matemática C – Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Matemática C – Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
v
LÍNGUA PORTUGUESA
285
Lı́ngua Portuguesa – 01: Variantes Linguı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Lı́ngua Portuguesa – 02: Acentuação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Lı́ngua Portuguesa – 03: Concordância Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
Lı́ngua Portuguesa – 04: Concordância Verbal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Lı́ngua Portuguesa – 05: Colocação Pronominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Lı́ngua Portuguesa – 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Lı́ngua Portuguesa – 07: Interpretação de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Lı́ngua Portuguesa – 08: Sinônimos, Antônimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Lı́ngua Portuguesa – 09: Classes de Palavras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Lı́ngua Portuguesa – 10: Verbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Lı́ngua Portuguesa – 11: Advérbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Lı́ngua Portuguesa – 12: Interpretação de Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Lı́ngua Portuguesa – 13: Textos e Linguagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Literatura – Aula 14: Nur na Escuridão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Literatura – Aula 15: A colina dos suspiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Literatura – Aula 16: No Tempo das Tangerinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Literatura – Aula 17: O menino no espelho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Literatura – Aula 18: Sucupira, ame-a ou deixe-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
HISTÓRIA
313
História – Aula 1: História de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Tabela Periódica
317
Gabarito de respostas aos exercı́cios...
319
Referências Bicliográficas
329
Parte I
Fı́sica
3
Mecânica – Aula 1
Grandeza
área
Mecânica Aula 1
força
Unidade
metro quadrado
metro cúbico
quilograma
por
metro
cúbico
metro por segundo
metro
por
segundo ao
quadrado
newton
pressão
trabalho, energia, calor
potência
carga elétrica
diferença de potencial
resistência elétrica
pascal
joule
watt
coulomb
volt
ohm
volume
densidade
Grandezas Fı́sicas
velocidade
Apesar de existirem muitas grandezas fı́sicas, são estabelecidos padrões e definidas unidades para que tenhamos um número mı́nimo de grandezas denominadas
fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais
definem-se unidades para todas as demais grandezas,
as chamadas grandezas derivadas.
A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade é o metro (m),
pode-se definir as unidades derivadas, como área (m2 )
e volume (m3 ). Utilizando o metro e outra grandeza
fundamental, a de tempo, definem-se as unidades de
velocidade (m/s) e aceleração (m/s2 ).
Sistema Internacional(SI)
Até o final do século XV III era muito grande a
quantidade de padrões existentes. Cada região escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos
históricos, os paı́ses de lı́ngua inglesa utilizam até hoje
os seus padrões regionais. O elevado aumento nos intercâmbios econômicos e culturais levou ao surgimento
do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema
métrico.
aceleração
Sı́mbolo
m2
m3
kg/m3
m/s
m/s2
N
=
Kg m/s2
P a = N/m2
J
W = J/s
C = As
V = J/C
Ω = V /A
Tabela de algumas unidades derivadas do SI.
Prefixo
pico
nano
micro
mili
centi
deci
deca
hecto
quilo
mega
giga
tera
Sı́mbolo
Potência de dez
p
10−12
n
10−9
µ
10−6
m
10−3
c
10−2
d
10−1
D
101
H
102
k
103
M
106
G
109
T
1012
Prefixos, sı́mbolos e potências de dez.
Notação Cientı́fica
Grandeza
Unidade
comprimento
metro
massa
quilograma
tempo
segundo
corrente elétrica
ampère
temperatura
kelvin
quantidade de matéria
mol
intensidade luminosa
candela
Tabela de unidades fundamentais do
Sı́mbolo
m
kg
s
A
K
mol
cd
SI.
A medida de uma determinada grandeza fı́sica pode resultar
em um número que seja extremamente grande ou extremamente pequeno, por exemplos temos:
• distância da Terra à Lua: 384.000.000 m.
• diâmetro
de
um
0, 000 000 000 1 m.
átomo
de
hidrogênio:
Para manipular tais números, utilizamos a notação cientı́fica, fazendo uso das potências de 10.
O módulo de qualquer número g pode ser escrito como um
produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que
é uma potência de dez:
Em 1971, a 14a Conferência Geral de Pesos e Medidas
g = a × 10n ,
escolheu sete grandezas como fundamentais, formando
assim a base do SI. Além das grandezas, definiu-se onde devemos ter 1 ≤ a < 10.
também os sı́mbolos, unidades derivadas e prefixos. A
tabela acima mostra as unidades fundamentais do SI e
Exemplos
a tabela abaixo apresenta algumas unidades derivadas
do SI.
• 243 = 2, 43 × 100 = 2, 43 × 102
4
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
• 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103
—
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Exercı́cios Complementares
• 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10−4
4. (UFPI) A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de
400 bilhões de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta
semelhante à Terra. O número de planetas semelhantes à
Regra Prática
Terra, na Via Láctea, é:
• Números maiores que 1: deslocamos a vı́rgula para a) 2 × 104
a esquerda, até atingir o primeiro algarismo do número. b) 2 × 106
O número de casas deslocadas para a esquerda corres- c) 2 × 108
ponde ao expoente positivo da potência de 10.
d) 2 × 1011
e) 2 × 1012
• Números menores do que 1: deslocamos a vı́rgula
para a direita, até o primeiro algarismo diferente de 5. Transforme em quilômetros:
zero. O número de casas deslocadas para a direita a) 3600 m
corresponde ao expoente negativo da potência de 10.
b) 2.160.000 cm
c) 0, 03 m
d) 5.780 dm
Pense um Pouco!
e) 27.600 m
f) 5.800 mm
• Quais são as unidades de Peso e de massa? por que
6. (Unifor-CE) Um livro de Fı́sica tem 800 páginas e 4, 0 cm
elas não são iguais?
de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em
• Um analgésico deve ser inserido na quantidade de milı́metros:
3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada a) 0, 025
não pode exceder 200 mg. Cada gota contém 5 mg b) 0, 050
do remédio. Quantas gotas devem ser prescritas a um c) 0, 10
paciente de 80 kg?
d) 0, 15
e) 0, 20
• 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10−3
Exercı́cios de Aplicação
7. Escreva os seguintes números em notação cientı́fica:
a) 570.000
b) 12.500
1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensões e as c) 50.000.000
unidades, no sistema internacional,
d) 0, 0000012
e) 0, 032
Grandeza
Dimensão
Unidades SI
f) 0, 72
Comprimento
L
m (metro)
g) 82 × 103
Massa
M
kg (quilograma)
h) 640 × 105
Tempo
T
s (segundo)
i) 9.150 × 10−3
j) 200 × 10−5
das grandezas mecânicas primárias:
k) 0, 05 × 103
a) Sabendo que força = massa · aceleração, expresse a uni- l) 0, 0025 × 10−4
dade de força em unidades de grandezas primárias.
b) Determine os valores de n e p, se a expressão M Ln T n−p
corresponde à dimensão de energia cinética.
Mecânica Aula 2
2. (FGV-SP) A dimensão de potência em função das grandezas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo
(T ) é:
a) M L2 T −2
b) M L2 T −1
c) M L2 T 2
d) M L2 T −3
e) M LT −2
Algarismos Significativos
A precisão de uma medida simples depende do instrumento
utilizado em sua medição. Uma medida igual a 2, 00 cm não
deve ser escrita como 2, 0 cm ou 2 cm.
Denominamos algarismos significativos todos os algarismos
conhecidos com certeza, acompanhados de um último duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza,
3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min,
ou seja: todos os algarismos que representam a medida de
o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em
uma grandeza são algarismos significativos, sendo chamados
segundos, é de:
de corretos, com exceção do último, que recebe o nome de
2
a) 3, 0 × 10
algarismo duvidoso.
3
b) 3, 0 × 10
3
O algarismo duvidoso de uma medida será sublinhado para
c) 3, 6 × 10
destacá-lo, quando for preciso.
d) 6, 0 × 103
e) 7, 2 × 103
Exemplos
5
Mecânica – Aula 2
1. A medida 2, 35 cm apresenta três algarismos significa- c = 2, 998 × 108 m/s
4 significativos
tivos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) c = 3, 00 × 108 m/s
3 significativos
e um algarismo duvidoso (5).
8
c = 3, 0 × 10 m/s
2 significativos
2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algarismos significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e
um duvidoso (7). Observe que os zeros à esquerda REGRAS
não são algarismos significativos, pois servem apenas
• Se o algarismo a ser eliminado é menor que 5, ele é
para posicionar a vı́rgula no número. Nesse caso, é
simplesmente eliminado.
√
aconselhável escrever a medida em notação cientı́fica:
Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414
5, 7 × 10−4 mm.
• Se o algarismo a ser eliminado é igual ou maior que
3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi5, ele é eliminado, mas acrescentamos uma unidade no
ficativos, sendo os quatro primeiros corretos, e o último
algarismo anterior.
zero é o algarismo duvidoso. Em notação cientı́fica es2
Exemplo: π = 3, 1415926 . . . = 3, 1416
crevemos: 1, 5000 × 10 km. Note que ao escrevermos
um número usando as potências de 10 mantemos a
quantidade de algarismos significativos deste número,
Operações com Algarismos Significativos
ou seja, mantemos sua precisão.
4. Considere a medida do comprimento de uma haste com Adição e Subtração
régua com divisões em centı́metros:
O resultado da adição e subtração de dois números não pode
ter maior número de casas decimais, do que a parcela mais
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
pobre (em casas decimais). Procede-se a operação normalmente e arredonda-se o resultado.
Qual das opções abaixo melhor representa o compri- Exemplos
mento da haste?
• 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m
a) 5, 0 cm
• 138, 95 m − 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m
b) 5, 40 cm
c) 5 cm
d) 5, 5 cm
e) 5, 2 cm
Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a
seguir procedermos o arredondamento.
5. Considere a figura:
0 cm 1
2
Multiplicação e Divisão
3
4
5
6
7
O resultado de uma multiplicação e divisão não pode ter
maior número de algarismos significativos do que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a
A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com operação normalmente e arredonda-se o resultado.
uma régua milimetrada:
Exemplos
a) 5, 2 cm
• 4, 23 m × 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2
b) 5, 240 cm
• 4, 98 cm ÷ 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s
c) 5, 45 cm
d) 5, 24 cm
e) 5, 21 cm
6. Indique o número de algarismos significativos de cada
número abaixo:
a) 7, 4
2 significativos
b) 0, 0007
1 significativo
c) 0, 034
2 significativos
−10
d) 7, 40 × 10
3 significativos
Relações entre Grandezas Fı́sicas
Muitos fenômenos fı́sicos podem ser reduzidos ao estudo da
relação entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados
obtidos das medições podem ser expressos por uma representação gráfica num plano cartesiano por meio de dois eixo
perpendiculares entre si.
Através da representação gráfica da relação entre duas grandezas pertencentes a um determinado fenômeno fı́sico, podemos obter algumas conclusões sobre o comportamento de
Critérios de Arredondamento
uma das grandezas (variável dependente) em relação a outra
(variável independente).
Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . × 108 m/s.
Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi
Como devemos proceder para escrever “c” com um número medicada, ingerindo uma dose do medicamento às 8 horas
menor de algarismos significativos? Devemos utilizar os e uma outra dose às 12 horas da manhã. A temperatura da
critérios de arredondamento.
pessoa foi verificada de hora em hora e os resultados obtidos
Podemos escrever:
são mostrados abaixo.
6
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Tempo (h)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Temperatura (◦ C)
39,0
39,0
38,5
38,0
38,5
37,5
37,0
36,5
36,5
36,5
• antes de iniciar a construção de um gráfico deve-se verificar a escala a ser usada levando em consideração
os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor
assumido por ambas as variáveis do gráfico. Dividese então o espaço disponı́vel, em cada eixo, para que
acomode todos os pontos experimentais;
• o teste final para saber se as escalas estão boas é feito
verificando-se se é fácil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.
• A função da posição x em relação ao tempo t de um
ponto material em movimento retilı́neo, expressa em
unidades do SI, é
x = 10 + 5, 0t
38.0
Determine:
a) a posição do ponto material no instante 5, 0 s;
b) o instante em que a posição do ponto material é
x = 50 m;
c) esboce o gráfico x × t do movimento.
o
T( C)
Pense um Pouco!
medidas
ajuste
39.0
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• as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e
de baixo para cima;
Podemos representar os dados da tabela acima em um
gráfico. A representação gráfica das variáveis temperatura
(variável dependente: eixo vertical) e tempo (variável independente: eixo horizontal) está mostrada na Figura 1.
40.0
—
37.0
36.0
Exercı́cios de Aplicação
35.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
t(h)
1. Determine o comprimento de cada haste:
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
O gráfico cartesiano mostrado anteriormente, além de facilitar a visualização do comportamento da temperatura da b)
pessoa durante as 9 horas de observação, permite também,
0 cm 1
algumas conclusões.
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
0 cm 1
2
3
4
5
6
7
Figura 1: Um gráfico da temperatura em função do
a)
tempo
Como Construir um Gráfico
c)
Para que gráficos sejam construı́dos de forma objetiva e
clara é necessário respeitar algumas regras simples:
d)
• O eixo vertical é chamado de eixo das abscissas e o
horizontal de eixo das coordenadas;
• a variável dependente deve ser colocada no eixo vertical
e a variável independente no eixo horizontal;
e)
• os eixos devem se encontrar no canto inferior esf)
querdo do papel, ou espaço (retângulo) reservado para
o gráfico;
2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisão,
• as escalas são independentes e devem ser construı́das o milı́metro. Essa trena é utilizada para se medir a distância
entre dois traços paralelos, muito finos, feitos por um estilete
independentemente;
sobre uma superfı́cie plana e lisa. Considerando que não
• as divisões numéricas das escalas (lineares) devem ser
houve erro grosseiro, o resultado de uma só medição, com
regulares;
o número correto de algarismos significativos, é mais bem
• o valor zero (0) não precisa estar em nenhuma das es- representado por:
a) 2 m
calas;
7
Mecânica – Aula 3
b) 21 dm
c) 214 cm
d) 2, 143 m
e) 2.143, 4 m
Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de
operações algébricas comuns, arredondando-se quando necessário.
Grandezas Vetoriais
Exercı́cios Complementares
Dada a velocidade instantânea de um móvel qualquer (por
exemplo, um avião a 380 km/h), constatamos que apenas
essa indicação é insuficiente para dizermos a direção em que
o móvel segue. Isso acontece porque a velocidade é uma
grandeza vetorial.
Para uma grandeza fı́sica vetorial ficar totalmente caracterizada, é necessário saber não apenas a sua intensidade ou
módulo mas também a sua direção e o seu sentido. Geralmente a grandeza vetorial é indicada por uma letra com
uma setinha (por exemplo, ~v ) e o módulo ou intensidade,
por |~v | ou simplesmente por v.
3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento
de sua mesa de trabalho. Não dispondo de régua, decide
utilizar um toco de lápis como padrão de comprimento. Verifica então que o comprimento da mesa equivale ao de 13, 5
tocos de lápis. Chegando ao colégio, mede com uma régua
o comprimento do seu toco de lápis, achando 8, 9 cm. O
comprimento da mesa será corretamente expresso por:
a) 120, 15 cm
b) 120, 2 cm
c) 1 × 102 cm
A grandeza fı́sica vetorial pode ser representada graficad) 1, 2 × 102 cm
mente por um segmento de reta (indicando a direção da
e) 102 cm
grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e
trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (in4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, após realizar a me- dicação de seu módulo ou intensidade). Tal representação é
dida necessária, que o volume de um dado é 2, 36 cm3 . denominada vetor.
Levando-se em conta os algarismos significativos, o volume
No exemplo anterior do avião, poderı́amos dizer, por exemtotal de cinco dados, idênticos ao primeiro, será corretaplo, que ele se movimenta num certo instante com velocimente expresso por:
dade ~v , de módulo v = 380 km/h, na direção norte-sul
3
a) 6, 8 cm
e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial ins3
b) 7 cm
tantânea pode ser representada por um vetor, como mostra
c) 13, 8 cm3
a figura 1.
d) 16, 80 cm3
e) 17, 00 cm3
5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura média
de uma folha é:
a) 10−1 mm
b) 10−2 mm
c) 10−3 mm
d) 10−4 mm
e) 10−5 mm
Mecânica Aula 3
380 km/h
N
L
O
S
Figura 1: Exemplo de representação vetorial
Como afirmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais é preciso indicar, além do módulo, a direção e
Grandezas Escalares e Vetoriais
o sentido da grandeza. Podemos fazer essa indicação utilizando um vetor (veja a figura 2). O vetor pode ser repreNa Fı́sica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as sentado por um segmento de reta orientado cujo tamanho grandezas escalares e grandezas vetoriais.
intensidade - é proporcional à intensidade da grandeza que
representa.
Grandezas Escalares
Para melhor entendermos o significado e a representação de
um vetor, observe a figura 3.
A grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caS
racterizada quando conhecemos apenas sua intensidade
acompanhada pela correspondente unidade de medida.
Como exemplos de grandeza fı́sica escalar podemos citar a
massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura
(por exemplo 36 o C), o volume (5 m3 , por exemplo), a den- Figura 2: A reta s, que contém o vetor, indica a
sidade (para a água, 1000 kg/m3 ), a pressão (105 N/m2 ), a direção e a seta indica o sentido
energia (por exemplo 100 J) e muitas outras.
8
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
—
C
b
N
z
a
www.mundofisico.joinville.udesc.br
v
O
L
d
d
c
S
d2
q
g
w
f
e
r
A
B
d1
Figura 3: Representação de alguns vetores
Figura 5: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos
d~1 e d~2 . Portanto d~ = d~1 + d~2 .
Na figura de cima os vetores representados possuem mesma
~ de A para C. Desta forma, o deslocamento d~ é a soma
direção e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam d,
a mesma direção e sentidos opostos. Portanto, podemos vetorial ou resultante dos deslocamentos d~1 e d~2 , ou seja,
notar que vetores de mesma direção são paralelos, o que
d~ = d~1 + d~2
não garante que tenham o mesmo sentido.
Este resultado é válido para qualquer grandeza vetorial.
Veja a figura 6.
Soma de Vetores Paralelos
Quando os vetores tem a mesma direção, podemos determinar o módulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente
os seus módulos. Observe:
c
b
b
a
a
b
c
b
a
−c
d
Figura 6: O vetor ~c é a resultante ou soma vetorial de
~a e ~b.
Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c.
É crucial notar que a colocação do vetor ~b na origem ou na
Figura 4: De acordo com a convenção adotada, o extremidade do vetor ~a não altera o vetor soma ~c. Devese observar que os vetores ~a, ~b e ~c formam um triângulo
módulodo vetor será d = a + b − c.
retângulo, em que ~c é a hipotenusa ~a e ~b são catetos. Para
obtermos o módulo do vetor resultante, basta aplicar o teOs vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direção (horizontal).
orema de Pitágoras:
Adotamos como positivo o sentido horizontal para a direita.
Assim, os vetores ~a e ~b são positivos e o vetor ~c é negativo.
c2 = a 2 + b 2
~ é dado por
O módulo do vetor soma, d,
d=a+b−c
~ isso significa que seu
Se obtermos um valor positivo para d,
sentido é positivo, ou seja, o vetor é horizontal para a direita;
se for negativo, o seu sentido é negativo, isto é, o vetor é
horizontal para a esquerda.
Vetores Perpendiculares
Imaginaremos agora, que um móvel parte de um ponto A e
sofre um deslocamento d~1 no sentido leste, atingindo um
ponto B e, em seguida, um deslocamento d~2 no sentido
norte, atingindo um ponto C (veja a figura 5)
Podemos notar facilmente que o deslocamento d~1 , de A para
B, e o d~2 , de B para C, equivalem a um único deslocamento,
Soma de Vetores
A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direções
quaisquer não apresenta muita diferença. Para um móvel,
partir de A e atingir B num deslocamento d~1 e, em seguida,
atingir C num deslocamento d~2 equivale a partir de A e
atingir C num deslocamento d~ (veja figura 7). Desta forma,
d~ = d~1 + d~2
Na determinação do módulo do vetor d~ resultante, não podemos aplicar o teorema de Pitágoras, tendo em vista que
o ângulo entre d~1 e d~2 não é reto (90o ). Assim, aplicamos a
regra do paralelogramo, como mostra a figura 8.
Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal é o
vetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,
9
Mecânica – Aula 3
C
d
a
d2
A
ay
B
d1
ay
α
Figura 7: O deslocamento d~ equivale aos deslocamentos
d~1 e d~2 .
b
c
c
b
α
α
α
a
α
ax
Figura 10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formam um triângulo retângulo, onde ~a é a hipotenusa e
~ax e ~ay são os catetos.
a
trigonometria ao triângulo retângulo, podemos determinar
Figura 8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados são o módulo dos componentes ~ax (horizontal) e ~ay (vertical)
os vetores ~a e ~b, é o vetor resultante ~c. Podemos deslo- de ~a em função do ângulo α. Desta forma, no triângulo
hachurado da figura 10, temos
car o vetor ~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo
cateto adjacente
ax
a figura anterior.
cos α =
hipotenusa
⇒ cos α =
a
ax = a · cos α
se ~a e ~b formam entre si um ângulo α, o módulo do vetor
resultante ~c será dado pela expressão:
onde ax é o módulo da componente horizontal ~ax do vetor
~
a
. Temos ainda
c2 = a2 + b2 + 2ab · cos α
~ay
cateto oposto
⇒ sin α =
sin α =
hipotenusa
a
Decomposição de Vetores
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um único vetor,
o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao
decompormos dois vetores, realizamos um processo inverso.
Dado um vetor ~a, obtém-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal
que ~ax + ~ay = ~a (veja a figura 9).
ay = a · sin α
onde ay é o módulo da componente vertical ~ay do vetor ~a.
Podemos relacionar o módulo do vetor e o módulo de seus
componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitágoras
no triângulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay :
a2 = a2 x + a2 y
y
Pense um Pouco!
• Qual a condição para que a soma de dois vetores seja
nula?
a
ay
• O módulo da soma de dois vetores pode ser igual à
soma de seus módulos? Quando?
α
x
ax
• O módulo de um vetor pode ser negativo? Por quê?
Exercı́cios de Aplicação
1. Um móvel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em
Figura 9: O vetor ~a pode ser decomposto em um com- seguida, 50 m no sentido norte-sul.
ponente horizontal, ~ax , e outro vertical, ~ay .
a) Represente esquematicamente esses deslocamentos.
b) Determine o módulo do deslocamento resultante.
O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor
~ax de tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~ax e 2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o módulo da
~ay formem um triângulo retângulo (figura 10). Aplicando a resultante de F1 e F2 . Dado: cos(120◦ ) = −0, 50.
10
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
F2
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7. Um avião voa no sentido sul-norte com uma velocidade
de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um
forte vento com velocidade 50 km/h, no sentido sudoestenordeste.
a) Faça um esquema gráfico representando a velocidade do
avião e do vento.
b) Determine o módulo da velocidade resultante. Dado:
cos(45◦ ) = 0, 71.
o
120
F1
3. Um projétil é atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ângulo de 45◦ com a horizontal. Determine os
componentes vertical e horizontal da velocidade do projétil.
Mecânica Aula 4
A Primeira Lei de Newton
O Conceito de Força
Geralmente utilizamos uma força com o objetivo de empurrar, puxar ou levantar objetos. Essa idéia é correta, porém
incompleta. A idéia de puxar ou empurrar está quase semExercı́cios Complementares
pre associada a idéia de contato, o que exclui uma caracterı́stica fundamental da noção de força: a ação à distância.
A atração gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo,
4. Na figura abaixo estão representadas duas forças: F~1 , de é exercida a milhões de quilômetros de distância.
módulo F1 = 5, 0 N e F~2 , de módulo F2 = 3, 0 N , formando
A palavra força não possui uma definição única, expressa em
entre si um ângulo α = 60◦ . Determine a força resultante
palavras. A Fı́sica moderna admite a existência de quatro
F~R para o sistema de forças mostrado.
tipos de força na natureza, chamadas mais adequadamente
de interações: gravitacional, eletromagnética, e as forças
nucleares forte e fraca.
Em relação ao estudo dos movimentos e de suas causas,
pode-se dizer que força é a ação capaz de modificar a veloF1
cidade de um corpo.
Como muitas outras grandezas em Fı́sica, a força é uma
o
grandeza vetorial, ou seja, possui módulo direção e sentido.
α = 60
Podemos resumir, então a definição de força da seguinte
forma:
F2
Força é uma grandeza vetorial que caracteriza a ação de um corpo sobre outro e
que tem como efeito a deformação ou a alteração da velocidade do corpo sobre o qual
5. Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perela está sendo aplicada.
pendiculares entre si. Sabendo que o módulo do vetor é
10, 0 m/s e que um dos componentes tem módulo igual a
8, 0 m/s, determine o módulo do vetor correspondente ao
A Primeira Lei de Newton
outro componente.
6. Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que
forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s
(veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, ~vx , e vertical, ~vy , dessa velocidade. Dados:
sin(53◦ ) = 0, 80 e cos(53◦ ) = 0, 60
v
α = 53
o
Figura 1: Isaac Newton (1642-1727).
Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pensar em uma pergunta: “o que acontece com o movimento
de um corpo livre de qualquer força?” Essa pergunta pode
11
Mecânica – Aula 4
ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito
da inexistência de forças sobre o corpo em repouso: se nenhuma força atua sobre o corpo em repouso, ele continua em
repouso. A segunda parte trata do efeito da inexistência de
forças sobre o corpo em movimento: se nenhuma força atua
sobre o corpo em movimento, ele continua em movimento.
Mas que tipo de movimento? Já que não existem forças
atuando sobre o corpo, sua velocidade não varia de módulo
ou direção. Desta forma, o único movimento possı́vel do
corpo na ausência de qualquer força atuando sobre ele é o
movimento retilı́neo uniforme.
Pense um Pouco!
• Qual a relação entre a Primeira Lei de Newton e o cinto
de segurança? e o encosto para a cabeça no banco do
carro?
• Por que quando um ônibus freia repentinamente, os
passageiros são “arremessados” para a frente? e o que
ocorre quando o ônibus é acelerado?
Exercı́cios de Aplicação
A Primeira Lei de Newton reúne as duas respostas anteriores em um único enunciado:
1. (UFMG) Um corpo de massa m está sujeito à ação de
uma força F~ que o desloca segundo um eixo vertical em senTodo corpo tende a manter seu estado de
tido contrário ao da gravidade. Se esse corpo se mover com
repouso ou de movimento retilı́neo e univelocidade constante é porque:
forme, a menos que forças externas provoa) a força F~ é maior do que a da gravidade.
quem variação na sua velocidade.
b) a força resultante sobre o corpo é nula.
~
De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmar c) a força F é menor do que a gravidade.
d)
a
diferença
entre os módulos das forças é diferente de
que na ausência de forças, todo corpo tende a ficar como
zero.
está: parado se estiver parado, em movimento retilı́neo uniforme, se estiver em movimento (retilı́neo uniforme). Por e) a afirmação da questão está errada, pois qualquer que
~
este motivo essa lei também é chamada de Princı́pio da seja F o corpo estará acelerado porque sempre existe a aceleração da gravidade.
Inércia.
Figura 2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua
seu movimento pra frente...
2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o
enunciado da Lei da Inércia, também conhecida como primeira Lei de Newton.
a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma
órbita elı́ptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional
ao quadrado da distância entre eles.
c) Quando um corpo exerce uma força sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma força de mesma intensidade
e direção, mas de sentido contrário.
d) A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à resultante das forças que nele atuam, e tem mesma
direção e sentido dessa resultante.
e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele
estejam agindo forças com resultante não nula.
3. (UNESP-SP) As estatı́sticas indicam que o uso do cinto
de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões mais
O que é Inércia?
graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes.
Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a:
Todos os corpos apresentam a tendência de se manter em
a) primeira Lei de Newton.
repouso ou em movimento retilı́neo uniforme. Essa proprieb) lei de Snell.
dade dos corpos é chamada inércia. A palavra inércia é dec) lei de Ampère.
rivada do latim inertia, que significa indolência ou preguiça.
d) lei de Ohm.
Os corpos têm uma espécie de resistência às modificações de
e) primeira Lei de Kepler.
sua velocidade.
Equilı́brio de uma Partı́cula
Dizemos que uma partı́cula se encontra em equilı́brio,
quando a resultante das forças atuando sobre ela for nula.
Se a resultante é nula, não ocorre alteração na velocidade
do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o
equilı́brio de estático; se ele estiver em movimento retilı́neo
e uniforme, o equilı́brio será chamado de dinâmico.
Exercı́cios Complementares
4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,
presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a
corda. Pela Lei da Inércia, conclui-se que:
a) a pedra se mantém em movimento circular.
b) a pedra sai em linha reta, segundo a direção perpendicular à corda no instante do corte.
12
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
c) a pedra sai em linha reta, segundo a direção da corda no
instante do corte.
d) a pedra pára.
e) a pedra não tem massa.
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estão apoiados não apresenta atrito. Analisando a equação
m = F/a, percebemos facilmente que:
- Quanto maior m → menor a
5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme re- - Quanto maior m → maior a dificuldade de alterar a velocidade do corpo.
tilı́neo, só pode estar sob a ação de uma:
a) força resultante não-nula na direção do movimento.
Podemos concluir que
b) única força horizontal.
c) força resultante nula.
Quanto maior é a massa de um corpo,
d) força nula de atrito.
maior será sua inércia (dificuldade de ter
e) força vertical que equilibre o peso.
sua velocidade alterada), isto é, a massa representa a medida de inércia de um corpo.
6. (Fiube-MG) Uma partı́cula se desloca ao longo de uma
reta com aceleração nula. Nessas condições, podemos afir- As conclusões anteriormente, explicam porque um caminhão
mar corretamente que sua velocidade escalar é:
vazio (quando sujeito a uma força F) adquire uma acea) nula.
leração maior do que quando esta cheio, por exemplo.
b) constante e diferente de zero.
c) inversamente proporcional ao tempo.
A Segunda Lei de Newton
d) diretamente proporcional ao tempo.
e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.
De acordo com o princı́pio da inércia, um corpo só pode sair
de seu estado de repouso ou de movimento retilı́neo com velocidade constante se sobre ele atuar uma força resultante
externa. Neste momento, poderı́amos perguntar: “O que
acontece se existir uma força resultante externa agindo no
corpo?” Nesta situação, o corpo fica sujeito a uma aceA Segunda Lei de Newton
leração, ou seja, um corpo sujeito a uma força resultante
É muito comum encontrarmos a definição de massa de um externa movimenta-se com velocidade variável.
corpo da seguinte maneira: “a massa de um corpo representa a quantidade de matéria que ele possui”. Em cursos
elementares de ciências, esta definição pode ser aceita como
uma idéia inicial da noção de massa, embora não possa ser
F
considerada uma definição precisa dessa grandeza. De fato,
a definição apresentada não é adequada, pois pretende definir um novo conceito – massa – por meio de uma idéia
vaga, que não tem significado fı́sico preciso – quantidade
de matéria.
Mecânica Aula 5
11
00
1
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11111111111111
Experimentalmente os fı́sicos constataram que entre a força
F aplicada a um corpo e a aceleração a, que ele adquire,
existe uma proporção direta. Desta forma, o quociente F/a
é constante para um certo objeto. Este quociente, que é
intrı́nseco a cada corpo, foi denominado pelos fı́sicos de
massa do corpo. Desta forma, podemos afirmar:
A massa m de um corpo é o quociente entre
o módulo da força que atua num corpo e o
valor da aceleração a que ela produz neste
corpo.
Assim,
m=
F
a
No sistema internacional (SI), a unidade para medida de
massa é o quilograma:
É fácil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por
exemplo, desde o repouso até 30 km/h em um intervalo
de tempo de 30 s, a intensidade da força que teremos de
aplicar dependerá da massa do corpo. Se, por exemplo, o
corpo for um carro, é evidente que a força necessária será
muito menor do que se tratasse de um caminhão. Desta
forma, quanto maior a massa do corpo, maior deverá ser
a intensidade da força necessária para que ele alcance uma
determinada aceleração.
Foi Isaac Newton quem obteve essa relação entre massa
e força, que constitui a segunda lei de Newton ou
princı́pio fundamental da dinâmica. Temos, então que
A aceleração de um corpo submetido a
uma força resultante externa é inversamente proporcional à sua massa, e diretamente proporcional a intensidade da força.
1 quilograma = 1 kg = 1000 g
Assim, para uma dada força resultante externa F, quanto
maior a massa m do corpo tanto menor será a aceleração
Massa e Inércia
a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton é
Suponhamos que uma força F foi aplicada a três corpos dada por:
de massa diferentes, como três blocos de ferro, com volumes
diversos. Imaginaremos que a superfı́cie na qual estes blocos
F~ = m~a
13
Mecânica – Aula 5
Esta equação vetorial impõe que a força resultante e a aceleração tenham a mesma direção e o mesmo sentido. No SI
a unidade de força é o newton ou (N ):
Exercı́cios de Aplicação
1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estão sobre um
plano horizontal sem atrito.
1 N = 1 kg · m/s2
Por definição, o newton é a força que produz uma aceleração
de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.
B
A
Diagrama de Corpo Livre
Antes de resolver qualquer problema de dinâmica, é de fundamental importância a identificação de todas as forças relevantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualização
destas forças, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um
diagrama de corpo livre ou diagrama de forças para
cada corpo, que é um esquema simplificado envolvendo todas as massas e forças do problema.
Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano
inclinado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo
livre para o bloco:
N
Fat
m
θ
P
Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg,
determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a tração nos fios (TAB entre A e B e TBC , entre B e C).
Admitir a massa dos fios desprezı́vel.
2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado a 2 m/s2 . Considerando g = 10 m s2 , a tração no
cabo que o sustenta, é de:
a) 6000 N
b) 5000 N
c) 4000 N
d) 3000 N
e) 2000 N
Exercı́cios Complementares
3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa
Figura 1: Diagrama de corpo livre para um bloco es- 0, 50 kg. O bloco B, de massa 4, 5 kg, está sobre o plano
sem atrito.
corregando num plano inclinado.
Observe
F
Nesse exemplo, o bloco é tratado como uma partı́cula,
A
B
C
por simplificação, não sendo relevante suas dimensões ou o
ponto de aplicação das forças, colocadas todas no seu centro
geométrico, por conveniência. Desprezou-se a força de empuxo do ar, a força de resistência viscosa ao movimento do
Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextensı́vel de massa desbloco, também causada pelo ar, e outras forças irrelevantes
prezı́vel como a massa da polia, determine:
ao problema.
a) a aceleração do conjunto;
b) a tração no fio.
4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg,
mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apóia num
plano sem atrito. São desprezı́veis as massas da polia e do
• É muito comum nos depararmos com a situação na qual fio, que é inextensı́vel.
um carro e um caminhão estão emparelhados aguardando o sinal verde do semáforo. Você sabe por quê,
quando o sinal fica verde, o carro quase sempre sai na
frente, apesar de o caminhão ter um motor mais posB
sante?
Pense um Pouco!
• Se o peso de um corpo é proporcional à sua massa,
então podemos afirmar que todos os corpos terão a
mesma aceleração, em queda livre?
C
A
14
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Admitindo g = 10 m/s2 , determine:
a) a aceleração do conjunto;
b) a tração TAB entre os blocos A e B;
c) a tração TBC entre os blocos B e C.
5. Na figura, a força F~ tem intensidade 90 N . Despreze os
atritos e as inércias do fio e da roldana. Quais os valores da
aceleração do conjunto e da força que traciona o fio?
F
4 kg
6 kg
11111111111111111111111
00000000000000000000000
11111111111111111111111
00000000000000000000000
6. (UEL-PR) Os três corpos, A, B e C, representados na
figura têm massas iguais, m = 3, 0 kg
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energia quı́mica, a combustão da gasolina libera energia
térmica, energia elétrica é utilizados em diversos aparelhos,
transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc.
Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo
para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.
Trabalho
O significado da palavra trabalho, na Fı́sica, é diferente do
seu significado habitual, empregado na linguagem comum.
O trabalho, na Fı́sica é sempre relacionado a uma força
que desloca uma partı́cula ou um corpo. Dizemos que uma
força F realiza trabalho quando atua sobre um determinado
corpo que está em movimento. A partir dessa descrição
podemos dizer que só há trabalho sendo realizado se houver
deslocamento, caso contrário o trabalho realizado será nulo.
Assim, se uma pessoa sustenta um objeto, sem deslocá-lo,
ela não está realizando nenhum trabalho sobre o corpo.
Quando uma força F atua sobre um corpo no mesmo sentido
de seu movimento (ou deslocamento) ela está favorecendo
o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho
realizado pela força.
Uma Força Constante
A
B
Quando a força F atua no sentido contrário ao movimento
do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho
realizado pela força é considerado negativo.
C
F
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
01
01
11
00
01
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
d
F
O plano horizontal, onde se apóiam A e B, não fornecem
atrito, a roldana tem massa desprezı́vel e a aceleração local
da gravidade pode ser considerada g = 10 m/s2 . A tração
no fio que une os blocos A e B tem módulo:
a) 10 N
b) 15 N
c) 20 N
d) 25 N
e) 30 N
7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N
encontra-se sobre uma balança no piso de um elevador. Se o
elevador sobe com aceleração igual, em módulo, à metade da
aceleração da gravidade local, pode-se afirmar que a leitura
da balança:
a) será de 25 N
b) permanece inalterada
c) será de 75 N
d) será de 100 N
e) será de 200 N
Mecânica Aula 6
Energia
Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado
por uma força horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d é:
W = ±F d
(1)
onde F é o módulo da força constante e d é o deslocamento
(em módulo). O sinal + é usado quando a força e o deslocamento possuem o mesmo sentido, e o sinal −, quando
possuem sentidos contrários.
Importante
Observe que o trabalho é uma grandeza escalar, apesar de
ser definida a partir de dois vetores (F e d).
Unidades
1 N · m = 1 J = 1 joule = 107 erg
1 kJ = 103 J
Quando a força for aplicada ao corpo formando um ângulo
φ com a horizontal, temos a seguinte fórmula mais geral:
W = F d cos φ
(2)
onde F é o módulo da força constante, d é o deslocamento
A energia se apresenta de diversas formas na natu- (em módulo) e φ o ângulo entre os vetores F e d, ou seja,
reza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam entre a direção da força e o deslocamento.
15
Mecânica – Aula 6
F
F
00
11
0
1
0
1
00
11
1111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000
00
11
0
1
0
1
00
11
0000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111
d
φ
φ
Potência P
Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho.
Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a
realização desse trabalho, tem de fazer um esforço maior e,
por tanto, dizemos que desenvolveu uma potência maior.
Podemos também calcular o trabalho W realizado pela força
F através da área sob a curva do gráfico F × x:
F
Area = Trabalho
O
x X
Figura 1: James Watt (1736-1819)
Um carro é mais potente que o outro quando ele “arranca”mais rápido e atinge uma dada velocidade num inObserve que neste caso deveremos descobrir o sinal do tra- tervalo de tempo menor do que o outro carro..
balho através da análise do gráfico, e do sentido relativo Um aparelho de som é mais potente que o outro quando ele
entre a força e o deslocamento (ou do ângulo φ).
ele transforma mais energia elétrica em sonora num menor
intervalo de tempo. Uma máquina é caracterizada não só
pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode
Uma Força Variável
efetuar em determinado tempo.
Então podemos concluir que potência é o trabalho realizado
0 gráfico abaixo representa a ação de uma força variável que
durante um determinado tempo, ou seja:
age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,
desde o ponto x′ até o ponto x′′ .
P = W/t
W ≡ Área sob a curva
Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo
na equação acima temos
F(x2)
P=
F(x1)
já que v = d/t.
Unidade de Potência
Area = Trabalho
O
x1
W
F dt
=
= Fv .
t
t
x2
X
1 J/s = 1 watt = 1 W
Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela área sob
Energia cinética
a curva, desenhando-se o gráfico em papel quadriculado, ou
de forma aproximada pela área de um trapézio:
Para variar a velocidade de um corpo em movimento é preciso o concurso de forças externas, as quais realizam certo
F1 + F2
trabalho. Esse trabalho é uma forma de energia que o corpo
W = Fd =
(x2 − x1 )
absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em
2
relação a um dado sistema de referência.
Observe que essa fórmula considera a força média (aproxi- Chamamos essa energia de movimento de energia de
mada) multiplicada pelo deslocamento.
cinética. Para uma partı́cula de massa m e velocidade v
a energia cinética é:
Tipos de Forças
Ec =
1
mv 2
2
Existem diversos tipos de forças que podem atuar em um
corpo: força elástica, força peso, força elétrica, força de e assim como o trabalho, mede-se a energia cinética em
contato, etc...
joules.
16
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Teorema Trabalho-Energia
b) trabalho e potência se expressam com a mesma unidade.
c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.
Suponhamos que FR seja a resultante das forças que atuam d) potência é a capacidade de realizar trabalho.
sobre uma partı́cula de massa m. O trabalho dessa resul- e) trabalho é a relação energia-tempo.
tante é igual à diferença entre o valor final e o valor inicial
4. O produto da força pelo deslocamento do corpo em que
da energia cinética da partı́cula:
ela atua está associado com:
1
1
2
2
a) trabalho
W = ∆Ec = mvf − mvi
2
2
b) potência
c) distância
Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho- d) aceleração
energia indica que o trabalho da resultante das forças que e) velocidade
atua sobre uma partı́cula modifica sua energia cinética.
Pense um Pouco!
Exercı́cios Complementares
• Que trabalho realizamos sobre um corpo que é levan- 5. (UFSC) O gráfico a seguir representa a resultante das
tado a uma determinada altura? Esse trabalho seria forças, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a
10, 0 kg, em função do deslocamento total em metros. Supositivo ou negativo?
pondo que a sua velocidade inicial é de 14 1 m/s, determine,
• Se você pudesse segurar um elefante a uma determi- em m/s, a velocidade do corpo depois de 2percorrer 40, 0 m.
nada altura, você estaria realizando trabalho? Por
quê?
• Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um barbante.
F(N)
1. Há algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho? Por quê? O trabalho é positivo ou negativo.
20
2. O menino desenvolve alguma potência? Por quê?
15
3. O carrinho tem energia cinética? Por quê?
10
5
Exercı́cios de Aplicação
1. (ESAL-MG) Um homem está em repouso com um caixote também em repouso às costas.
a) Como o caixote tem um peso, o homem está realizando
trabalho.
b) O homem está realizando trabalho sobre o caixote pelo
fato de o estar segurando
c) O homem está realizando trabalho pelo fato de estar fazendo força.
d) O homem não realiza trabalho pelo fato de não estar se
deslocando.
e) O homem não realiza trabalho pelo fato de o caixote estar
sujeito à aceleração da gravidade.
2. (UFSE) Um corpo está sendo arrastado por uma superfı́cie horizontal com atrito, em movimento uniforme.
Considere as afirmações a seguir: I. O trabalho da força
de atrito é nulo. II. O trabalho da força peso é nulo. III.
A força resultante que arrasta o corpo é nula. Dentre as
afirmações:
a) É correta a I, somente.
b) É correta a II, somente.
c) É correta a III, somente.
d) São incorretas I, II, III.
e) São corretas II e III.
3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potência e energia, pode-se
afirmar que:
a) potência e energia são sinônimos.
0
0
10
20
30
40
x(m)
6. Um projétil de massa 10, 0 g penetra com velocidade
horizontal de 100 m/s e sai de uma tábua de espessura de
10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a força com
que a tábua exerce sobre o projétil.
m = 10 g
F
vo = 100 m/s
vf = 90 m/s
x = 1,0 cm
7. Um móvel de massa 2, 90 kg é submetido à uma força
constante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de
20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule:
a) o trabalho W realizado pela força;
b) a potência P desenvolvida pela força;
Mecânica Aula 7
17
Mecânica – Aula 7
Energia Potencial
Através a equação acima, pode-se ver que a unidade SI da
constante elástica deve ser N/m. Na prática, a constante
Um corpo possui energia quando é capaz de realizar traba- k mede a “durezaŽŽ da mola: quanto maior o valor de k,
lho. Suponha, então, um corpo situado a uma certa altura mais difı́cil será a sua deformação, ou seja, mais força será
acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao necessária para deformá-la uma certa quantidade x.
solo, é fácil perceber que será capaz de realizar um certo
trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se
Energia Potencial Elástica
pois concluir que aquele corpo possuı́a energia na posição
elevada.
Quando aplicamos uma força e deformamos uma mola estaA energia que um corpo possui, em virtude de estar situado mos transferindo a ela uma energia, essa energia fica armaa uma certa altura acima da superfı́cie da Terra, é denomi- zenada na mola. Definimos que a energia armazenada em
nada energia potencial gravitacional. Há outras situações, uma mola comprimida ou distendida é chamada de energia
semelhantes a essa, nas quais um corpo também possui ener- potencial elástica, através de
gia em virtude da posição que ele ocupa. Por exemplo, um
1
corpo situado na extremidade de uma mola comprimida (ou
Ep = kx2
2
esticada) possui energia em virtude de sua posição. Se um
corpo comprimir uma mola e soltarmos esse corpo, ele será
empurrado pela mola e poderá realizar trabalho. Neste caso, Pense um Pouco!
a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida
ou esticada é denominada energia potencial elástica.
• A energia potencial gravitacional depende da aceleração da gravidade, então em que situações essa energia é positiva, nula ou negativa?
Energia Potencial Gravitacional
Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso
referencial usual de energia zero, podemos definir a energia
potencial gravitacional Ep como
Ep = mgh
onde g é a aceleração da gravidade. No SI, g vale aproximadamente 9, 8 m/s2 .
Força Elástica
Chamamos de corpos elásticos aqueles que, ao serem deformados, tendem a retornar à forma inicial.
• A força elástica depende da massa da mola? Por quê?
• Se uma mola é comprimida por um objeto de massa
grande, quando solto a mola não consegue se mover, o
que acontece com a energia potencial elástica?
Exercı́cios de Aplicação
1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue.
a) Qual a forma de energia armazenada no estilingue?
b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua
altura máxima?
c) Existe energia no estilingue depois do lançamento? Comente.
2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois de um certo tempo de queda.
a) O que acontece com sua energia potencial Ep ?
b) Sua energia cinética está variando? Comente.
3. Um indivı́duo encontra-se sobre uma balança de mola,
pisando sobre ela com seus dois pés. Se ele levantar um
dos pés e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador completamente fechado, quando observa que o peso
indicado na balança é zero. Então, conclui que:
a) está descendo com velocidade constante
Figura 1: Robert Hooke (1635-1703)
b) o elevador está em queda livre
c) a força de atração gravitacional exercida sobre ele é anuUma mola helicoidal, feita geralmente de aço, como carac- lada pela reação normal do elevador
terı́stica própria uma constante elástica k, que define a d) a balança está quebrada, visto que isto é impossı́vel
proporcionalidade entre a intensidade força F aplicada e a
respectiva deformação x causada na mola. A lei de Hooke 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estão
relaciona essas quantidades na forma
a 500 m de altura em relação ao solo. Você diria que:
a) ambas as pedras têm igual energia potencial;
F = −kx
b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial
c) nada podemos afirmar com relação à energia potencial
Observe que x mede a deformação linear da mola a partir das pedras
d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar
do seu tamanho de equilı́brio (sem força).
18
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trabalho
e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial
Para elevar um corpo em equilı́brio do solo até uma altura
h, devemos aplicar uma força que realizará um trabalho
(positivo) de mesmo módulo que o trabalho realizado pela
5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprezı́vel, força peso do corpo (negativo).
está suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal. Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade
livre dessa mola, ela apresenta deformação de 2, 0 cm para
Fext. = −P
o sistema em equilı́brio. Se acrescentarmos a essa massa
outra de 10 kg, no ponto de equilı́brio, a deformação total
00000
11111
será de:
00000
00
11
m 11111
00
11
00000
11111
a) 3, 0 m
00000
11111
b) 2, 5 cm
00000
11111
P
c) 2, 0 m
d) 1, 5 cm
e) 1, 0 m
Exercı́cios Complementares
Figura 2: Um corpo sendo suspenso em equilı́brio.
O trabalho realizado pela força externa Fext. , é armazenado
6. Uma mola cuja constate elástica é 1000 N/m encontra-se no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gracomprimida em 10 cm.
vitacional Ep , e vale:
a) Determine a energia potencial elástica armazenada na
mola.
Ep = mgh
b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente
para impulsionar um bloco de 100 g, qual é a velocidade se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chão, onde h = 0.
máxima adquirida pelo bloco?
Já para o sistema massa-mola, temos uma força externa
7. Qual o trabalho necessário para se comprimir uma mola, sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra
uma deformação, sendo essa força
cuja constante elástica é 500 N/m, em 10, 0 cm?
8. Um menino situado no alto de um edifı́cio, segura um
F = −kx
corpo de massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do
solo.
o trabalho W externo necessário para esticar a mola uma
a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela quantidade x será
posição?
1
W = kx2
b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo,
2
quando situado a 6, 0 m do chão?
e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de
energia potencial elástica.
Mecânica Aula 8
Trabalho e Energia Potencial
F=0
O
F=−kx
O
x>0
F=−k(−x)=kx
x<0
O
Figura 1: James Prescott Joule (1818-1889).
A energia potencial gravitacional está relacionada à posição Figura 3: O sistema massa-mola em equilı́brio, estide um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando cado e comprimido.
movemos o corpo, alteramos sua energia potencial.
19
Mecânica – Aula 8
Forças Conservativas e Dissipativas
• Compare a energia necessária para elevar de 10 m uma
massa na Terra e a energia necessária para elevar de
10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferença.
Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu
peso, ou força elástica exercida por uma mola, a energia
mecânica desse corpo se conserva. Por este motivo, as forças
citadas são denominadas forças conservativas. Exemplo: Exercı́cios de Aplicação
ao dar corda em um relógio, você está armazenando energia potencial elástica numa mola, e essa energia estará disponı́vel para fazer com que o relógio trabalhe durante um 1. Quais as transformações de energia que ocorrem quando
certo tempo. Isso só é possı́vel porque a energia elástica foi um jogador chuta uma bola?
armazenada (conservada).
2. Quais as principais diferenças entre energia potencial e
Por outro lado, se existissem forças de atrito atuando du- energia cinética?
rante o deslocamento do corpo, sua energia mecânica não se
conserva, por que parte dela (ou até ela toda) se dissipa sob 3. Uma força é dita conservativa quando:
forma de calor. Por isso dizemos que as forças de atrito são a) não realiza trabalho
forças dissipativas. Exemplo: se você arrastar um caixote b) o trabalho por ela realizado não depende da trajetória de
pelo chão horizontal, durante um longo percurso, verá que seu ponto de aplicação
todo o trabalho realizado foi perdido, pois nenhuma parte c) realiza apenas trabalhos positivos
dessa energia gasta foi armazenada, ou está disponı́vel no d) o trabalho por ela realizado não depende da massa do
corpo em que está aplicada
caixote.
e) dissipa energia térmica
4. Um sistema fı́sico tem energia quando:
a) está sujeito apenas a ações de forças conservativas;
Um sistema mecânico no qual só atuam forças conservativas b) está sujeito a forças conservativas e dissipativas;
é dito sistema conservativo, pois a sua energia mecânica c) está capacitado a realizar trabalho;
(E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em d) possui grande quantidade de átomos
qualquer momento ou posição, podendo alternar-se nas suas e) perde calor
formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica):
A Conservação da Energia Mecânica
E = Ec + Ep
Exercı́cios Complementares
Degradação da Energia
5. O princı́pio da conservação da energia afirma que:
a) a energia cinética de um corpo é constante
A energia está constantemente se transformando, mas não b) a energia potencial elástica mais a energia cinética é sempode ser criada nem destruı́da.
pre constante
c) a energia não pode ser criada nem destruı́da, mas apenas
• Em uma usina hidrelétrica, a energia mecânica da
transformada em calor devido aos atritos
queda d’água é transformada em energia elétrica.
d) a energia total de um sistema, isolado ou não, permanece
• Em uma locomotiva a vapor, a energia térmica é trans- constante
formada em energia mecânica para movimentar o trem. e) a energia não pode ser criada nem destruı́da, mas apenas
transformada de uma modalidade para outra
• Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissão
dos núcleos atômicos se transforma em energia elétrica. 6. A energia mecânica de um corpo:
• Em um coletor solar, a energia das radiações proveni- a) é a soma da sua energia potencial e cinética
entes do sol se transforma em energia térmica para o b) depende apenas do referencial
c) depende da aceleração do corpo
aquecimento de água.
d) é sempre constante, independente do tipo de forças atuantes sobre ele
e) depende apenas da velocidade do corpo
Pense um Pouco!
7. Para esticar uma mola em 40 cm, é necessária uma força
de 20 N . Determine:
a) A constante elástica da mola;
b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a
mola;
• Indique algumas fontes de energia e explique a forma de c) O trabalho realizado pela mola;
aproveitá-las para a realização de trabalho mecânico. d) O trabalho que seria necessário para deformar a mola em
80 cm;
• Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como e) A força necessária para esticar a mola em 80 cm.
se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente
por uma corda, na vertical, ou transportando-o através 8. Um corpo de massa 5, 0 kg é elevado do solo a um ponto
de um plano inclinado (sem atrito) até a altura dese- situado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2 . Deterjada? Por quê?
mine:
• Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa
mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por
quê?
20
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a) o trabalho realizado pela força peso do corpo nesse des- Na figura temos:
locamento;
~at = aceleração tangencial
b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo. ~ac = aceleração centrı́peta
onde
9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir ~a = ~a + ~a , sendo
t
c
do repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito. ~a = aceleração total(resultante)
Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola
de constante elástica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as acelerações que atuam no corpo devem ter a mesma direção e
10 m/s2 , qual a deformação máxima sofrida pela mola?
o mesmo sentido da força. Portanto, existem forças perpendiculares à trajetória e forças tangentes à trajetória.
A força resultante que tem a mesma direção e o mesmo sentido da aceleração centrı́peta, isto é, dirigida para o centro
da curva é denominada força centrı́peta (F~cp ), e a que tem a
mesma direção e o mesmo sentido da aceleração tangencial,
isto é, tangente à trajetória, é denominada força tangencial
(F~t ).
o
A
h
at
Figura 4: Questão 9.
Ft
ac
Fc
a
R
Mecânica Aula 9
O
Dinâmica do Movimento Circular
F
Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circunferência de raio R, com movimento não uniforme.
Na figura temos:
F~t = m · ~a
F~c = m · ~ac
onde
F~t = força tangencial
F~c = força centrı́peta
F~ = F~t + F~c , sendo
F~ = força resultante
v
Sabemos que a velocidade do corpo é um vetor que, em cada As Forças no Movimento Circular
instante, é tangente à trajetória e que, no movimento circuPodemos expressar a força centrı́peta da seguinte maneira:
lar não uniforme, o corpo está sujeito a duas acelerações.
Fc = mac
ou
Fc = m
at
ac
v2
= mω 2 R
R
A força tangencial é dada por:
a
Ft = mat
R
O
Observe que:
• A força tangencial faz variar o módulo do vetor velocidade, isto é, produz aceleração tangencial.
• A força centrı́peta faz variar a direção do vetor velocidade, obrigando o corpo a descrever uma trajetória
curva.
21
Mecânica – Aula 9
Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno da
Terra.
Terra
Lua
FC
Figura 1: A Lua em sua órbita ao redor da Terra (fora
de escala).
A força que mantém a Lua em órbita é uma força de origem
gravitacional exercida pela Terra. Tal força é centrı́peta,
isto é, dirigida para o centro da Terra.
3. Um automóvel faz uma curva circular, plana e horizontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito
estático entre os pneus e a pista é µe = 0, 80, qual a máxima
velocidade com que esse automóvel pode fazer a curva sem
derrapar? (Use g = 10 m/s2 ).
a) v = 10 m/s
b) v = 15 m/s
c) v = 20 m/s
d) v = 25 m/s
e) v = 30 m/s
Exercı́cios Complementares
4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano vertical,
parte dos trilhos do percurso circular de uma montanharussa de um parque de diversões.
Pense um Pouco!
(Fuvest-SP) A melhor explicação para o fato de a Lua não
cair sobre a Terra é que:
a) a gravidade terrestre não chega até a Lua
b) a Lua gira em torno da Terra
c) a Terra gira em torno do seu eixo
d) a Lua também é atraı́da pelo Sol
e) a gravidade da Lua é menor que a da Terra
g
r = 8,0 m
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEL-Pr) Num pêndulo cônico, a massa m gira numa
circunferência horizontal, estando submetida às forças peso
P~ vetorial e tração T~ vetorial, conforme a figura:
θ
T
m
v
P
Nestas condições a intensidade da força centrı́peta é:
a) nula, pois o movimento é uniforme.
b) dada pelo componente da tração, T · sen θ
c) dada pelo componente da tração, T · cos θ
d) dada pela resultante T − P · cos θ
e) dada pela resultante T − P · sen θ
A velocidade mı́nima que o carrinho deve ter, ao passar pelo
ponto mais alto da trajetória, para não desgrudar dos trilhos
vale,
√ em metros por segundo:
a) √20
b) √ 40
c) √80
d) √ 160
e) 320
5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subir
ou descer) e equilibrada o piloto de um avião deve incliná-lo
com respeito à horizontal (à maneira de um ciclista em uma
curva) um ângulo θ. Se θ = 60o , a velocidade da aeronave
é 100 m/s e a aceleração local da gravidade é de 9, 5 m/s2 ,
qual é aproximadamente o raio de curvatura?
a) 200 m
b) 350 m
c) 600 m
d) 750 m
e) 1000 m
6. (Fuvest-SP) Um caminhão, com massa total de 10000 kg,
está percorrendo uma curva circular plana e horizontal a
72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha
2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa de óleo na pista e perde completamente a aderência. O
por um fio de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que caminhão encosta então no muro lateral que acompanha a
ela descreva cı́rculos verticais com velocidade constante de curva e que o mantém em trajetória circular de raio igual
4, 0 m/s. Admitindo g = 10 m/s2 , determine a tração no a 90 m. O coeficiente de atrito entre o caminhão e o muro
fio quando o corpo passa pelo ponto:
vale 0, 30. Podemos afirmar que, ao encostar no muro, o
a) mais alto da trajetória
caminhão começa a perder velocidade à razão de, aproxib) mais baixo da trajetória
madamente:
22
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
a) 0, 07 m · s−2
b) 1, 3 m · s−2
c) 3, 0 m · s−2
d) 10 m · s−2
e) 67 m · s−2
—
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Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela
uma força de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s,
o impulso transferido para a bola será
I = F ∆t = (50 N )(0, 12 s) = 6, 0 N · s
Mecânica Aula 10
Quantidade de Movimento
e esse impulso fará com que a bola entre em movimento.
Unidade SI do Impulso
Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de
Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, movimento:
é fácil perceber que há uma diferença na ação que ela deve
1 N · s = 1 kg · m/s
desenvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena:
a bola mais rápida, para ser parada, exige um esforço maior
e de maior duração. Uma diferença semelhante também
seria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com Pense um Pouco!
a mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maior
esforço, atuando durante um tempo maior, seria necessário
• É mais fácil parar uma bola que tenha uma quantidade
para fazer parar a bola de maior massa.
de movimento grande ou pequena? Por quê?
Essas observações levam à definição de uma nova grandeza
• Qual a influência da massa na quantidade de movifı́sica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de
mento?
uma partı́cula, denominada quantidade de movimento.
Podemos escrever que quantidade de movimento de um
• Por que um carro se deforma numa colisão?
ponto material como
~ = m~v
Q
onde m é a sua massa e ~v sua velocidade.
Exercı́cios de Aplicação
Unidade SI
1. (UFMS) Com relação à quantidade de movimento de
Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internaci- uma partı́cula, é correto afirmar (marque V ou F):
a) ( ) é uma grandeza vetorial
onal (SI) na unidade
b) ( ) tem a mesma direção e sentido do vetor velocidade
Kg · m/s
da partı́cula
c) ( ) é uma grandeza inversamente proporcional à massa
da partı́cula
Exemplo
d) ( ) sua unidade no SI pode ser kg · m/s
Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com ve- e) ( ) permanece constante mesmo que a partı́cula seja
locidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento será, acelerada
em módulo,
2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito
como o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso
Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 × 104 kg · m/s
as opções completem corretamente as lacunas ou F caso
contrário.
Lembre-se
Para transformar a velocidade dada em km/h para a uni- a) ( ) produto; força aplicada ao corpo; tempo que o corpo
fica em movimento
dade SI (m/s) fazemos:
b) ( ) produto; força aplicada ao corpo; tempo durante o
qual a força atua
1000 m
72
v = 72 km/h = 72 ×
=
m/s = 20 m/s
c) ( ) quociente; força aplicada ao corpo; velocidade que ele
3.600 s
3, 6
adquire
d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire
e) ( ) produto; massa do corpo; aceleração que ele adquire
Impulso
Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando
um tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe
uma força que age num curto espaço de tempo que faz a
bola ser impulsionada. Define-se o impulso I~ de uma força
como grandeza vetorial dada pelo produto da força F~ pelo
intervalo de tempo ∆t durante o qual ela atuou:
I~ = F~ ∆t
3. Considere um corpo que está se deslocando em movimento retilı́neo uniforme.
a) A quantidade de movimento deste corpo está variando?
Explique.
b) Tendo em vista a resposta do ı́tem anterior, o que você
conclui sobre o impulso que atua no corpo?
c) Então, qual o valor da resultante das forças aplicadas no
corpo?
23
Mecânica – Aula 11
Exercı́cios Complementares
4. Uma força de 20 N é aplicada em um corpo durante
10 s. Qual é o impulso que a força transmite ao corpo?
5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de
massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?
6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v,
A
B
C
D
E
quantidade de movimento Q e energia cinética E. Uma
força F , na mesma direção e no mesmo sentido de v, é aplicada no corpo, até que a velocidade dele triplique. As novas
quantidades de movimento e energia cinética são, respectiSistemas de Partı́culas
vamente:
a) 3Q e 3E
Para um sistema contendo N partı́culas a quantidade de
b) 3Q e 6E
movimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma:
c) 3Q e 9E
d) 6Q e 6E
~ T OT AL = m1~v1 + m2~v2 + . . . + mN ~vN
Q
e) 6Q e 9E
7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao
longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s até
chocar-se contra um pára-choque fixo na extremidade do trilho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s
e que o choque tenha duração de 0, 10 s, calcule em newtons,
o valor absoluto da força média exercida pelo pára-choque
sobre o carrinho.
Mecânica Aula 11
CURIOSIDADE
A luz tem quantidade de movimento? É possı́vel um astronauta mover-se no espaço sideral acendendo sua lanterna?
Por mais intrigante que seja, a reposta é sim. Mas por
que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade
de movimento. Normalmente não percebemos isso, pois a
quantidade de movimento da luz é pequena e, assim, os
seus efeitos são, em geral, imperceptı́veis. Mas quando o
astronauta acende sua lanterna, a situação é análoga àquela
em que um garoto sobre patins consegue mover-se atirando
uma melancia.
De acordo com a Mecânica Quântica, a luz é formada
por pequenos ”pacotes”de energia, denominados fótons, os
quais, no vácuo, movem-se à velocidade c = 3, 0 × 108 m/s.
Cada um desses fótons, além de possuir energia, tem quanTeorema do Impulso-Momento
tidade de movimento. Porém ela não pode ser calculada
~
Consideremos uma força resultante constante F~ atuando pela expressão Q = m~v , uma vez que os fótons não têm
sobre uma partı́cula de massa m, durante um intervalo de massa. Para que o Princı́pio da Conservação da Quantidade de Movimento seja mantido, os fı́sicos concluı́ram que
tempo ∆t, temos
a quantidade de movimento (q) de um fóton de energia E
deve ser calculada por
~
~
I = F ∆t
Impulso e Momento
q = E/c
ou seja
~
I~ = m~a∆t = m∆~v = ∆Q
ou
~f − Q
~ i = m(~vf − ~vi )
I~ = Q
E concluimos que:
O impulso determinado pela resultante de todas as
forças externas que agem durante certo intervalo de
tempo sobre um ponto material é igual a variação
da quantidade de movimento do ponto durante o
mesmo intervalo.
Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma
distância de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita
luz com potência de 1500 W . Suponha ainda que a massa
total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lanterna seja 80 kg. Se o astronauta só pudesse aproximar-se
da nave acendendo sua lanterna, quanto tempo ele gastaria?
Utilizando a expressão acima e os modelos simplificados da
Mecânica, encontraremos um valor aproximado de 3,3 horas.
Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeiras evidências experimentais de que a luz tem quantidade
de movimento foram obtidas em 1899, pelo fı́sico russo P.
Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em
1901.
24
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Pense um Pouco!
• Colidindo-se frontalmente duas esferas idênticas, sobre
uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra inicialmente parada, observa-se que a esfera que estava
em movimento fica parada e a outra, inicialmente padara, entra em movimento após a colisão. Explique
esse fenômeno sob o ponto de vista dos conceitos de
impulso e momento.
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• recuo das armas de fogo;
• explosão de uma bomba (fragmentos);
• propulsão a jato.
Exercı́cios Complementares
Forças Impulsivas
1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise
e muda sua direção de movimento em 90◦ . Determine o A força de interação que ocorre durante uma colisão, em
geral tem grande intensidade e curta duração, como descrito
impulso aplicado sobre a bola na colisão.
no gráfico abaixo. Forças como essa, que atuam durante um
2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em intervalo pequeno comparado com o tempo de observação
queda-livre, o observa-se o seu movimento até o solo.
do sistema, são chamadas de forças impulsivas.
a) Determine o impluso que o peso do corpo produz até que
ele atinja o solo.
b) Determine a variação do momento do corpo, desde o
instante em que foi solto, até atingir o solo.
F(t)
c) Compara os resultados dos itens anteriores. Comente.
Exercı́cios de Aplicação
3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g
a 1, 25 m de altura acima do chão (piso) e observa-se que
ela retorna (pula) até uma altura de apenas 0, 80 m, após o
primiro salto.
a) Determine o impulso total sobre a bola até que ela toque
a primeira vez no chão.
b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante
em que ela deixa o solo até atingir a altura de 0, 80 m.
Mecânica Aula 12
Conservação da Quantidade de Movimento
Num sistema isolado, onde o impulso das forças externas
seja nulo, a quantidade de movimento final é igual a inicial.
~f − Q
~ i = ~0 =⇒ Q
~f = Q
~i
I~ = Q
Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservação
da Quantidade de Movimento:
É constante a quantidade de movimento de um conjunto de pontos materiais que constituem um sistema isolado.
Exemplos
ti
∆t
tf
t
Algumas vezes é mais interessante considerar o valor
médio da força impulsiva que o seu valor a cada instante.
Por definição, o valor médio de uma força impulsiva é o valor da força constante que, no mesmo intervalo de tempo,
produz o mesmo impulso sobre um dado corpo.
Pense um Pouco!
• Como podemos analisar as forças envolvidas em uma
colisão entre duas partı́culas?
• Imagine-se no meio da superfı́cie lisa de um lago. Lembrando não ser possı́vel caminhar sobre a superfı́cie, em
razão da total ausência de atrito, sugira um procedimento que permita alcançar a margem do lago.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe)
Fenômenos que encontram explicação no teorema da quan- está com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto
a canoa como o pescador repousam em relação à água que,
tidade de movimento:
por sua vez, não apresenta qualquer movimento em relação
• choque mecânico;
à Terra. Atritos da canoa com a água são desprezı́veis e, no
25
Mecânica – Aula 13
local, não há ventos. Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a sua zagaia de massa 2, 0 kg que
sai com velocidade de 10 m/s. Calcule o módulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg,
imediatamente após o disparo.
FAB
FBA
2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projétil de 0, 02 kg, a
uma velocidade de 600 m/s. Qual é a velocidade de recuo
dessa arma?
A
B
3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg está nadando à velocidade
de 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa
0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direção, Considerando as duas esferas da figura A e B, deslocandoa 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de se ao longo de uma mesma reta, inicialmente em sentidos
contrários. Após a colisão, as esferas passam a se mover em
ter engolido o pobre peixinho.
sentidos opostos.
4. Um canhão de 800 kg, montado sobre rodas e não freado,
dispara uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s.
Determine a velocidade de recuo do canhão.
v1I
Exercı́cios Complementares
5. Um remador e seu barco têm juntos massa de 150 kg.
O barco está parado e o remador salta dele com velocidade
de 8 m/s. O barco afasta-se com velocidade contrária de
7 m/s. Calcule as massas do remador e do barco.
m1
m2
F21
F12
6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outro
de massa 80 kg, estão de mãos dadas em repouso sobre uma
v1F
v2F
pista de gelo, onde o atrito é desprezı́vel. Eles empurram-se
mutuamente e deslizam na mesma direção, porém em sentidos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade
de 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em
relação ao outro é, em módulo, igual a:
a) 5 m/s
b) 4 m/s
Como as partı́culas que constituem o sistema trocam forças
c) 1 m/s
entre si, essas forças são consideradas internas e a resultante
d) 9 m/s
é sempre nula. Isso ocorre em colisões ou em explosões.
e) 20 m/s
7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repouso
numa região do espaço em que as ações gravitacionais são
desprezı́veis. Ele está fora de sua nave, a 120 m da mesma,
mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dispara projéteis de massa 100 g, os quais são expelidos com
velocidade 1, 4 × 103 m/s. Dando um único tiro, qual o
tempo que o astronauta leva para atingir sua nave, supostamente em repouso? Responda também qual o princı́pio
utilizado para responder à pergunta.
Mecânica Aula 13
Colisões
Análise de uma Colisão
Uma das aplicações mais importantes do conceito de quantidade de movimento é encontrada no estudo de interações
de curta duração, entre as partes de um sistema (ou conjunto) de corpos, como ocorre em uma explosão ou em uma
colisão.
Pense um Pouco!
• Choques mecânicos podem ser considerados sistemas
isolados. Assim, pode-se afirmar que, em qualquer
tipo de choque, há conservação da quantidade de movimento e da energia cinética?
• A seguinte declaração foi extraı́da de uma prova realizada por um estudante de fı́sica de uma universidade:
“a colisão entre dois átomos de hélio é perfeitamente
elástica, de forma que a quantidade de movimento se
conserva”. A afirmação é logicamente correta? Explique.
26
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios de Aplicação
1. (UFAL) Um pedaço de massa de modelar de 200 g é
atirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contra
um carrinho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma
superfı́cie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho
e nele permanecer grudada, a velocidade com que o conjunto
passa a mover-se é, em metros por segundo:
a) 3
b) 6
c) 8
d) 9
e) 12
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Lei da Ação e Reação
Provavelmente você já assistiu a um jogo de sinuca. Nele,
ocorrem colisões entre as bolas. Durante essas colisões, há
uma reação mútua, uma interação, que é responsável pela
mudança na velocidade das bolas. Este mudança produz
~ = m · ~v ) das
alteração na quantidade de movimento (Q
bolas.
2. (UDESC) Considere a colisão frontal perfeitamente
elástica entre um nêutron, de massa relativa igual a 1,
deslocando-se com velocidade constante v0 , e um dêuteron,
de massa relativa igual a 2, em repouso.
a) Calcule a velocidade de ambas as partı́culas após a colisão.
b) Se a colisão fosse inelástica, com as partı́culas se movendo
juntas após colidirem, os resultados para as velocidade calculadas permaneceriam os mesmos? Justifique a resposta.
3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 g
deslocam-se em sentidos contrários com velocidades respectivamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidade do corpo B após o choque, sabendo que a velocidade
do corpo A é de 0, 1 m/s e seu sentido é o mesmo da velocidade inicial.
Figura 1: Nos choques, há uma interação, que provoca
mudança na velocidade das bolas.
Se durante o tempo de interação há variação da quantidade
de movimento, significa que existe uma força atuando em
cada bola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quem
exerce essa força?
4. Observa-se uma colisão elástica e unidimensional, no Enquanto ocorre a interação, cada bola exerce uma força
referencial do laboratório, de uma partı́cula de massa m e sobre a outra. Em um parque de diversões, ocorre a mesma
velocidade de módulo 5 m/s com outra partı́cula de massa coisa com os carrinhos “bate-bate”: cada carro exerce e rem/4, inicialmente em repouso. Quais os valores dos módulos cebe uma força durante a colisão. Será que podemos afirmar
que isso também ocorre quando um caminhão colide com um
das velocidades das partı́culas após a colisão?
carro?
Exercı́cios Complementares
5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta
a bola parada de forma que ela alcance a maior distância
possı́vel. No chute, o pé do goleiro fica em contato com a
bola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo a
uma distância de 40 m. Despreze a resistência do ar.
a) Qual o ângulo em que o goleiro deve chutar a bola?
b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola?
c) Qual o impulso da força do pé do goleiro na bola?
6. (UEL-PR) Um pequeno caminhão, de massa 4 toneladas,
colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estava
a 36 km/h, e logo após a colisão, os dois veı́culos permanecem parados. Imediatamente antes da colisão, a velocidade
do caminhão era, em m/s, de:
a) 10
b) 15
c) 20
d) 25
e) 30
Mecânica Aula 14
Figura 2: Cada carro exerce e recebe uma força durante
a colisão.
Neste caso, durante a interação entre o caminhão e o carro,
uma força de mesma intensidade atua sobre cada um deles,
o que não implica que o dano causado seja o mesmo para
ambos. Podemos afirmar que o efeito causado será diferente,
uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e do
caminhão são diferentes.
Isaac Newton estudou a interação entre objetos. Ele formulou o princı́pio da ação e reação, ou lei da ação e
27
Mecânica – Aula 14
Figura 3: O carro aplica no caminhão uma força resultante de mesma intensidade daquela que o caminhão
aplica no carro.
reação, que posteriormente ficou conhecida como terceira
Lei de Newton. De acordo com esta lei, as forças resultantes da interação entre dois objetos sempre aparecem aos
pares, têm mesmo módulo, mesma direção, sentidos opostos
e são denominadas ação e reação: a força de ação é aplicada num objeto e a de reação, no outro. Atualmente a 3a
Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma:
Figura 5: Movimento de um foguete.
outra?
• É possı́vel se caminhar sobre um chão sem atrito? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
Para toda ação existe uma reação, de igual
intensidade, na mesma direção e sentido
contrário.
1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton é o princı́pio da ação
e reação. Esse princı́pio descreve as forças que participam
na interação entre dois corpos. Podemos afirmar que:
a a) duas forças iguais em módulo e de sentidos opostos são
Os movimentos dos corpos também estão embasados na 3
Lei de Newton. Uma pessoa, ao andar, empurra o chão forças de ação e reação;
para trás (ação) e a reação que o chão aplica na pessoa a b) enquanto a ação está aplicada num dos corpos, a reação
empurra para frente. Um avião, com suas hélices ou tur- está aplicada no outro;
binas, empurra o ar para trás e este aplica uma força no c) a ação é maior que a reação;
avião, deslocando-o para frente. Se um foguete lança uma d) ação e reação estão aplicadas no mesmo corpo;
massa de gás para fora, exerce uma força sobre o gás (ação) e) a reação, em alguns casos, pode ser maior que a ação.
e, simultaneamente, recebe do gás uma força igual e oposta 2. (VUNESP - SP) As estatı́sticas indicam que o uso do
(reação). Desta forma, podemos chamar a força do gás sobre
cinto de segurança deve ser obrigatório para prevenir lesões
o foguete de “ação”e a do foguete sobre o gás de “reação”. mais graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a função do cinto está relacionada com a:
a) 1a Lei de Newton;
b) Lei de Snell;
c) Lei de Ampère;
d) Lei de Ohm;
e) 1a Lei de Kepler.
3. Um lutador de boxe atinge o adversário com um murro
no rosto.
a) Na interação luva-rosto, quem exerce maior força, a luva
sobre o rosto ou o rosto sobre a luva? Por quê?
b) Então por que a mão do pugilista que aplica o golpe não
sofre os mesmos “estragos”que o rosto do adversário?
Figura 4: O avião acelera gases para trás e sofre uma
reação para frente.
Pense um Pouco!
• Se ação e reação possuem a mesma intensidade e sentidos contrários, por que uma não anula o efeito da
Exercı́cios Complementares
4. Um automóvel bate contra um caminhão, exercendo nele
uma força de 20.000 N .
a) Qual o módulo da reação desta força, sabendo-se que a
massa do carro é dez vezes menor que a do caminhão?
b) Quem exerce a reação?
c) Em que corpo está aplicada a reação?
28
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiados sobre uma superfı́cie horizontal perfeitamente lisa, são
empurrados por uma força F de 20 N , conforme indica a
figura abaixo. Determine a aceleração do conjunto.
F
A
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Deve-se notar que a força de atrito atuando sobre cada corpo
tem sentido oposto ao movimento do corpo em relação ao
outro corpo.
O atrito é provocado pela aspereza existente nas superfı́cies
em contato. As superfı́cies tendem a se interpenetrarem
quando são esfregadas uma na outra e isto oferece resistência
ao movimento relativo.
B
De Onde Vem o Atrito?
Uma das hipóteses mais aceitas para a existência do atrito
é que ele provém da coesão das moléculas situadas nas superfı́cies que se acham em contato. Essa adesão superficial
7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg ocorre porque nos pontos de contato as moléculas de cada
estão interligados por um fio ideal. A superfı́cie de apoio é superfı́cie estão tão próximas que passam a exercer forças
horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma força intermoleculares entre si.
horizontal de 30 N . Determine:
A força de atrito que se opõe a um corpo que rola é menor
a) a aceleração do conjunto;
que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser reb) a força de tração no fio.
duzido com o polimento das superfı́cies em contato e com o
uso de lubrificantes
8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e flecha dois
concorrentes discutem sobre a fı́sica que está contida no O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele
arco do arqueiro. Surge então a seguinte dúvida: quando o pode ser útil ou nocivo. Se não existisse o atrito entre o
arco está esticado, no momento do lançamento da flecha, a sapato e o solo, uma pessoa não poderia andar; o pé da
força exercida sobre a corda pela mão do arqueiro é igual à: pessoa empurra a Terra para trás e a Terra empurra o pé
I) força exercida pela sua outra mão sobre a madeira do da pessoa para frente (ação e reação), quando ela anda.
Sem o atrito os veı́culos não poderiam iniciar o seu moviarco.
mento, pois, as rodas começariam a girar sem sair do lugar.
II) tensão na corda.
III) força exercida sobre a flecha pela corda no momento O objetivo das saliências em pneus é aumentar o atrito.
em que o arqueiro larga a corda.
Neste caso:
6. De que modo você explica o movimento de um barco a
remo, utilizando a terceira lei de Newton?
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente I e III são verdadeiras.
d) somente I e II são verdadeiras.
e) somente II é verdadeira.
Mecânica Aula 15
Força de Atrito
Ao lançarmos um corpo sobre uma superfı́cie horizontal,
verificamos que o corpo acaba parando.
v
1
2
Figura 1: Quando uma estrada de terra torna-se escorregadia, colocam-se correntes nas rodas dos automóveis
para aumentar o atrito.
Isto significa que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquire uma aceleração cujo sentido é oposto ao do seu movimento. Há portanto uma força que se opõe ao deslocamento
do bloco: a força de atrito F~at .
Tipos de Atrito
Sempre que a superfı́cie de um corpo escorrega sobre a de
outro corpo, um exerce sobre o outro (princı́pio da ação e Existem dois tipos de atrito: o estático e o cinético
reação) uma força de atrito tangente às superfı́cies de con- (dinâmico). Vamos estudar estes dois casos separadamente,
pois existem diferenças importantes a serem ressaltadas.
tato.
29
Mecânica – Aula 15
Forças de Atrito Estático (FAE )
Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre superfı́cies em repouso. Um exemplo comum é o de um automóvel estacionado em uma ladeira. Este só consegue permanecer parado graças ao atrito entre os freios e as rodas.
Em situações como esta, dizemos que existe a chamada força
de atrito estático (FAE ). A força de atrito estático é aquela
que atua enquanto não há deslizamento, e o seu módulo
máximo é dado por:
Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quantidade de materiais, é muito difı́cil conhecê-los com precisão,
pois dependem das condições das superfı́cies em contato.
Não são apenas os materiais das superfı́cies em contato que
interferem no valor da força de atrito cinético. A força normal entre os corpos também é de fundamental importância.
Quanto maior a força normal mais intensa a força de atrito
cinético.
O módulo da força de atrito cinético é dado pela expressão:
FAC = µc · N
FAE ≤ µe · N
Na prática o coeficiente de atrito estático é sempre maior
Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes pro- que o coeficiente de atrito cinético.
priedades gerais para o atrito estático:
• a intensidade da força de atrito estático varia de zero
até o valor máximo FAE ;
Pense um Pouco!
• o coeficiente de atrito estático (µe ) depende do estado
de polimento e da natureza das duas superfı́cies em
contato;
1. Por que nos dias de chuva é mais difı́cil frear um carro?
• a intensidade da força de atrito estático é independente
da área de contato entre as superfı́cies sólidas.
3. A máxima aceleração de um carro depende de alguma
força de atrito? Explique.
Forças de Atrito Cinético (FAC )
2. Por que o gelo é muito deslizante e quase não apresenta
atrito?
Exercı́cios de Aplicação
Quando um carro é freado inesperadamente, é comum as rodas do automóvel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. 1. (UFES) O bloco da figura está em movimento em uma
Antigamente isso era ainda mais frequente, mas hoje, nos superfı́cie horizontal em virtude da aplicação de uma força
veı́culos equipados com os chamados freios ABS, as rodas F~ paralela à superfı́cie:
não travam mais.
O ABS (Antiblocking System) é um avançado sistema de
freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas
freadas bruscas em velocidade. Sensores fixados a cada uma
das rodas enviam sinais eletrônicos para um módulo de coF = 60,0 N
mando computadorizado que reduz, em frações de segundo,
m =2,0 kg
a pressão sobre as rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem
menos possibilidade de derrapar ou deslizar, até em pistas
molhadas. Mas, qual a diferença entre o carro escorregar ou O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfı́cie é
não na pista?
igual a 0, 2. Sendo g = 10 m/s2 , a aceleração do objeto é:
Analise a figura a seguir; ela mostra o deslizamento entre a) 20, 0 m/s2
b) 28, 0 m/s2
duas superfı́cies.
c) 30, 0 m/s2
d) 32, 0 m/s2
.
. . . .
e) 36, 0 m/s2
. . . . .
.
.
.
.
. .. .
.
.
.
.
.
. . . . .. .
. .
.
.
2. (UFMG) Um bloco é lançado no ponto A, sobre uma
superfı́cie horizontal com atrito, e desloca-se para C:
B
Figura 2: Corpo deslizando sobre superfı́cie áspera.
A
C
As irregularidades microscópicas apresentadas pelas superfı́cies fazem com que a movimentação do bloco sofra
uma resistência denominada força de atrito cinético. Obviamente, quanto maior a aspereza das superfı́cies, maior a O diagrama que melhor representa as forças que atuam sointensidade dessa força. Para medir a rugosidade das par- bre o bloco quando esse bloco está passando pelo ponto B
tes em contato criou-se o coeficiente de atrito cinético (µc ). é:
30
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
a)
d)
b)
e)
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Podemos afirmar que o valor da força de atrito é:
a) 20 N
b) 10 N
c) 100 N
d) 60 N
e) 40 N
6. (UFMG) Na figura a seguir, está representado um bloco
de 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma força
F~ . O coeficiente de atrito estático entre esses corpos vale
0, 5, e o cinético vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2 .
c)
F
3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A,
de massa 3, 0 kg, está em movimento uniforme. A massa do
corpo B é de 10 kg. Adote g = 10 m/s2 .
B
A
O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo B e o plano
sobre o qual se apóia vale:
a) 0,15
b) 0,30
c) 0,50
d) 0,60
e) 0,70
Se F = 50 N , então a reação normal e a força de atrito que
atuam sobre o bloco valem, respectivamente:
a) 20 N e 6, 0 N
b) 20 N e 10 N
c) 50 N e 20 N
d) 50 N e 25 N
e) 70 N e 35 N
Gravitação Aula 1
As Leis de Kepler
A Lei das Órbitas (1609)
Exercı́cios Complementares
4. (Fuvest-SP) As duas forças que agem sobre uma gota de
chuva, a força peso e a força devida à resistência do ar, têm
mesma direção e sentidos opostos. A partir da altura de
125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidade
de 8 m/s, essas duas forças passam a ter mesmo módulo. A
gota atinge o solo com a velocidade de:
a) 8 m/s
b) 35 m/s
c) 42 m/s
d) 50 m/s
e) 58 m/s
5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, onde
as polias são ideais, permanece em repouso graçás à força
de atrito entre o corpo de 10 kg e a superfı́cie de apoio.
A órbita de cada planeta é uma elipse, com
o Sol em um dos focos. Como consequência da
órbita ser elı́ptica, a distância do Sol ao planeta
varia ao longo de sua órbita.
Lembre-se, a elipse é uma linha plana, com focos no seu
mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorre sobre um plano bem definido, e cada planeta tem
o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter
pelo menos um ponto em comum, o Sol.
Planeta
Sol
f
f’
10 kg
4 kg
6 kg
Figura 1: 1a Lei de Kepler.
31
Gravitação – Aula 1
Exercı́cios de Aplicação
A Lei da Áreas (1609)
A reta unindo o planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais. O significado fı́sico desta
lei é que a velocidade orbital não é uniforme, mas
varia de forma regular: quanto mais distante o
planeta está do Sol, mais devagar ele se move.
Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que
a velocidade areolar (referente a área) é constante.
v’
Sol
Planeta
A’
A f
v
Figura 2: 2a Lei de Kepler.
A Lei dos Perı́odos (1618)
O quadrado do perı́odo orbital dos planetas é
diretamente proporcional ao cubo de sua distância
média ao Sol.
Esta lei estabelece que planetas com órbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que a força entre o Sol e o planeta decresce com a
distância ao Sol. Sendo P o perı́odo orbital do planeta, a
o semi-eixo maior da órbita, que é igual à distância média
do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar
a 3a lei como:
P2
=K
a3
1. A tabela abaixo mostra como fica a 3a Lei de Kepler
para os planetas visı́veis a olho nú. Complete os dados que
estão faltando.
Planeta a(u.a.) P (ano)
a3
P2
Mercúrio
0,387
0,241
0,058
0,058
Vênus
0,723
0,615
0,378
Terra
1,000
1,000
1,000
1,000
Marte
1,524
1,881
3,537
Júpiter
5,203
11,862
140,700
Saturno
9,534
29,456
2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa
que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitação Universal
(lei das órbitas):
a) As órbitas planetárias são curvas quaisquer, desde que
fechadas;
b) As órbitas planetárias são espiraladas;
c) As órbitas planetárias não podem ser circulares;
d) As órbitas planetárias são elı́pticas, com o Sol ocupando
o centro da elipse;
e) As órbitas planetárias são elı́pticas, com o Sol ocupando
um dos focos da elipse.
3. A 2a lei de Kepler (Lei das Áreas) permite concluir que
um planeta possui:
a) maior velocidade quando se encontra mais longe do Sol;
b) maior velocidade quando se encontra mais perto do Sol;
c) menor velocidade quando se encontra mais perto do Sol;
d) velocidade constante em toda sua trajetória;
e) n.r.a.
4. Assinale a alternativa que está em desacordo com as Leis
de Kepler da Gravitação Universal:
a) O quociente do cubo do raio médio da órbita pelo quadrado do perı́odo de revolução é constante para qualquer
planeta de um dado sistema solar;
b) quadruplicando-se o raio médio da órbita de um satélite
em torno da Terra, seu perı́odo de revolução fica 8 vezes
maior;
Se medimos P em anos (o perı́odo orbital da Terra), e a em c) Quanto mais próximo de uma estrela (menor raio médio
unidades astronômicas (1 u.a. = distância média da Terra da órbita) gravita um planeta, menor é o seu perı́odo de
ao Sol), então K = 1, e podemos escrever a 3a lei como:
revolução;
d) Satélites diferentes gravitando em torno da Terra, na
P2
mesma órbita têm perı́odos de revolução iguais;
=1
a3
e) Devido à sua maior distância do Sol (maior raio médio da
órbita) o ano de Plutão tem duração menor que o da Terra.
e podemos concluir que, para os planetas internos (a <
1 u.a.) o perı́odo orbital (ano) será menor do que o ano
terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o
Exercı́cios Complementares
perı́odo é maior do que o terrestre.
Pense um Pouco!
• Se um novo planeta for descoberto a meia distância
entre o Sol e a Terra, qual o seu perı́odo orbital.
• Um satélite em órbita na Terra, passando pelo ponto
mais próximo da Terra, está mais rápido ou mais lento
se comparado ao ponto em que está mais afastado da
Terra?
5. Com relação às leis de Kepler, podemos afirmar que:
a) Não se aplicam ao estudo da gravitação da Lua em torno
da Terra;
b) só se aplicam ao nosso Sistema Solar;
c) aplicam-se à gravitação de quaisquer corpos em torno de
uma grande massa central;
d) contrariam a mecânica de Newton;
e) não prevêem a possibilidade da existência de órbitas circulares.
32
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
6. Considere dois satélites de massas ma e mb , sendo ma =
2mb , descrevendo a mesma órbita em torno da Terra. Com
relação à velocidade dos dois teremos:
a) va > vb
b) va < vb
c) va = vb
d) va = vb /2
e) n.r.a
7. Um planeta descreve uma órbita elı́ptica em torno do
Sol. O ponto A é o ponto da órbita mais próximo do Sol; o
ponto B é o ponto mais distante. No ponto A:
a) a velocidade de rotação do planeta é máxima;
b) a velocidade de translação do planeta se anula;
c) a velocidade de translação do planeta é máxima;
d) a força gravitacional sobre o planeta se anula;
e) n.r.a
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F21
F12
m2
m1
Figura 1: Duas partı́culas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de
forças F12 e F21 .
Após a formulação da lei da Gravitação, com o desenvolvimento do cálculo integral, Newton também mostrou que
a força gravitacional entre esferas homogêneas também
segue a mesma forma estabelecida para as partı́culas. E
também vale a mesma força para uma partı́cula e uma esfera homogênea. Esse resultado foi tão surpreendente para
o próprio Newton, que inicialmente nem ele acreditou no
que havia provado matematicamente!
Gravitação Universal
Aplicando-se a lei de gravitação para um corpo de massa m
A lei da gravitação universal, proposta por Newton, foi na superfı́cie da Terra, temos então
um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interação
MT m
GMT
entre massas, pois é capaz de explicar desde o mais simples
F =G 2 =
m = mg = P
RT
RT2
fenômeno, como a queda de um corpo próximo à superfı́cie
da Terra, até, o mais complexo, como as forças trocadas
entre corpos celestes, traduzindo com fidelidade suas órbitas onde RT e MT são o raio e a massa da Terra, respectivae os diferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao mente, e à força obtida chamamos peso.
observar a queda de uma maça, concebeu a idéia que ela Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e
seria causada pela atração exercida pela terra. A natureza RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima é jusdesta força atrativa é a mesma que deve existir entre a Terra tamente a aceleração da gravidade na superfı́cie da Terra.
e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atração Experimente calcular g com os dados fornecidos!
entre as massas é, com certeza, um fenômeno universal.
Gravitação Aula 2
OBSERVAÇÕES
Uma Força Elementar
Sejam duas partı́culas de massas m1 e m2 , separadas por
uma distância r. Segundo Newton, a intensidade da força
F de atração entre as massas é dada por
F =G
m1 m2
r2
onde G é uma constante, a constante da gravitação universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional,
por
G = 6, 67 × 10−11 N · m2 /kg 2
As forças F12 e F21 é a da reta que une as partı́culas, e o
sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente,
com mesma intensidade de força, ou seja
F12 = F21
Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitação universal do
seguinte modo:
Dois corpos se atraem gravitacionalmente com
força cuja intensidade é diretamente proporcional
ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros
de massa.
1. A força gravitacional é sempre de atração;
2. A força gravitacional não depende do meio onde os
corpos se encontram imersos;
3. A constante da gravitação universal G teve seu valor
determinado experimentalmente por Henry Cavendish,
em 1798, por meio de um instrumento denominado balança de torção e esferas de chumbo.
Pense um Pouco!
• Qual a direção e o sentido da força de atração gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos que estão
próximos à superfı́cie?
• A aceleração da gravidade na Lua é 6 vezes menor do
que a aceleração da gravidade próxima à superfı́cie da
Terra. O que acontece com o peso e a massa de um
astronauta na Lua?
• O valor da aceleração da gravidade é relevante para os
esportes?
33
Gravitação – Aula 3
Exercı́cios de Aplicação
d) GM/v 2
e) GM m/v 2
1. Duas partı́culas de massas respectivamente iguais a
M e m estão no vácuo, separadas por uma distância d.
A respeito das forças de interação gravitacional entre as
partı́culas, podemos afirmar que:
a) têm intensidades inversamente proporcional a d;
b) têm intensidades diretamente proporcional ao produto
Mm;
c) não constituem entre si um par ação e reação;
d) podem ser atrativas ou repulsivas;
e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.
7. Sabe-se que no interior de uma nave em órbita circular
em torno da Terra um astronauta pode flutuar, como se não
tivesse peso. Esse fato ocorre porque:
a) a nave está fora do campo gravitacional da Terra;
b) há ausência de atmosfera;
c) a atração exercida pela Lua é maior do que a atração
exercida pela Terra;
d) ambos, astronauta e nave, estão em queda livre no seu
movimento circular;
e) há uma redução na massa dos corpos.
2. A razão entre os diâmetros dos planetas Marte e Terra é
1/2 e entre as respectivas massas é 1/10. Sendo de 160 N o
peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso
em Marte será de:
a) 160 N
Peso
b) 80 N
c) 60 N
O peso de um corpo é a força de atração exercida pela terra
d) 32 N
sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que é
e) 64 N
atraı́do pela Terra.
3. Uma menina pesa 400 N na superfı́cie da Terra, onde
se adota g = 10m/s2 . Se a menina fosse transportada até
uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e
seu peso seriam, respectivamente:
a) 40 kg e 100 N
b) 40 kg e 200 N
c) 40 kg e 400 N
d) 20 kg e 200 N
e) 10 kg e 100 N
Gravitação Aula 3
4. Um corpo é colocado na superfı́cie terrestre é atraı́do
por esta com uma força F . O mesmo corpo colocado na
superfı́cie de um planeta de mesma massa da Terra e raio
duas vezes menor será atraı́do pelo planeta com uma força
cujo módulo é:
Figura 1: Paraquedista.
a) 4F
b) 2F
Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre
c) F
perto da superfı́cie da Terra.
d) F/2
e) F/4
Peso e Massa
Exercı́cios Complementares
Se o corpo cai em queda livre ele possui aceleração ~a igual
à da gravidade ~g . Desta forma, podemos usar o princı́pio
fundamental
da Dinâmica (2a Lei de Newton) para obter a
5. Se a massa da Terra não se alterasse, mas o seu raio fosse
força que age sobre esse corpo. Esta força é chamada de
reduzido à metade, o nosso peso seria:
força peso P~ e é dada por:
a) reduzido à quarta parte
b) reduzido à metade
c) o mesmo
d) dobrado
e) quadruplicado
P~ = m~g
Essa expressão mostra que o peso do corpo é diretamente
proporcional à sua massa: quanto maior a massa, maior o
6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em órbita peso. Entretanto massa e peso são conceitos inteiramente
circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a diferentes. Massa é uma propriedade intrı́nseca do corpo,
constante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da isto é, depende apenas do próprio corpo, enquanto peso é a
força de atração gravitacional que atua sobre ele, variando
trajetória descrita pelo corpo será:
de acordo com o valor da aceleração da gravidade. Por isso
a) G/M v 2
o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, é sempre
b) G/mv 2
a mesma em qualquer lugar do universo.
c) Gm/v 2
34
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Peso e Gravitação
O peso de um corpo é uma grandeza vetorial que tem direção
vertical e sentido para o centro da Terra.
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Pense um Pouco!
• Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos
mais altos do que na Terra?
A força peso é uma força que atua à distância. Por isso,
dizemos que em torno da Terra há uma região chamada
campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem sua
• Quando alguém diz que “pesa”75 kg o que isso quer
influência.
dizer?
Estando sob a ação deste campo, os corpos são atraı́dos por
essa força peso e sofrem variações de velocidade, uma vez
• Quando uma pessoa salta em queda-livre o que aconque adquirem aceleração.
tece com o seu peso?
Como a aceleração da gravidade num ponto é inversamente
proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao centro
da Terra, e como os pontos de sua superfı́cie não estão à
mesma distância ao centro da terra, concluı́mos que no topo Exercı́cios de Aplicação
de uma montanha um corpo pesará menos do que ao nı́vel
do mar. É importante lembrar que existem variações que
vão desde 393 m abaixo do nı́vel do mar (Mar morto), a
1. Na superfı́cie da Terra a aceleração da gravidade vale
8.848 m acima do nı́vel do mar (Monte Everest).
9, 8 m/s2 e, na superfı́cie da Lua, 1, 6 m/s2 . Para um corpo
Como a Terra é achatada nos pólos, um homem pesará mais de massa igual a 4 kg, calcule:
no Pólo Norte que no Equador.
a) o peso na superfı́cie da Terra.
Em torno de qualquer planeta ou satélite existe um campo b) o peso na superfı́cie da Lua.
gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo
em Júpiter, Saturno ou Marte, por exemplo.
2. Peso e massa são a mesma coisa? quando você sobe
numa balança de uma farmácia e permanece em repouso
sobre ela, por exemplo, você esta medindo sua massa ou seu
peso?
Exercı́cios Complementares
Figura 2: Júpiter e alguns de seus satélites naturais.
Unidades SI
3. (MACK - SP) Uma das observações cientı́ficas mais interessantes, noticiada pelas emissoras de TV, foi a do astronauta russo que, a bordo da estação espacial MIR, borrifou
leite lı́quido contido numa embalagem tradicional e, este,
sob a falta de gravidade, adentrou a boca do cientista como
uma “bola flutuante”. Considerando totalmente desprezı́vel
a gravidade no local dessa experiência, duas “bolas”de leite
de massas respectivamente iguais a m e 2m terão seus pesos:
a) iguais a zero
b) na proporção PA /PB = 1/3
c) na proporção PA /PB = 1/2
d) na proporção PA /PB = 2
e) na proporção PA /PB = 3
A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) é o newton
ou N . Outra unidade, muito utilizada na indústria, é o
quilograma-força ou kgf .
4. (UFSM - RS) Uma força F de módulo igual a 20 N é
aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em re1 kgf é o peso de um corpo de 1 kg de massa
pouso sobre uma superfı́cie horizontal. O módulo (em N )
num local em que a aceleração da gravidade
da força normal sobre o corpo, considerando o módulo da
é igual a 9, 8 m/s2 .
aceleração gravitacional como 10 m/s2 é:
a) 120
Podemos relacionar newton e quilograma-força:
b) 100
c) 90
P = mg → 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2
d) 80
e) 0
1 kgf = 9, 8 kg · m/s2
5. Durante uma brincadeira, Bárbara arremessa uma bola
de vôlei verticalmente para cima, como mostrado nesta fi1 kgf = 9, 8 N
gura:
35
Gravitação – Aula 4
centro de gravidade de um corpo é o ponto
de aplicação da força peso
A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse localizada no centro de gravidade.
Para corpos homogêneos, isto é, de massa uniformemente
distribuı́da, que admitem um eixo de simetria, seus centros
de gravidade estão sobre esse eixo.
Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s)
força(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua
trajetória.
a)
b)
c)
d)
Nenhuma força atua sobre
a bola neste ponto
6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padrão for transportado de
Paris, onde a aceleração da gravidade vale g (valor normal),
para uma altitude onde a aceleração da gravidade vale G,
pergunta-se:
a) o peso do quilograma padrão vai se modificar?
b) havendo modificação, qual o seu novo peso?
c) qual será a massa do corpo no novo local?
G
G
G
P
P
P
Se o corpo tiver forma irregular e não for homogêneo, utilizase a regra prática explicada abaixo.
Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, traça-se um vertical
sobre o ponto em que ele está suspenso. Como o objeto está
em equilı́brio, seu peso e a força exercida sobre ele pelo suporte que o sustenta têm mesmo módulo, mesma direção e
sentidos opostos. Logo, a direção da reta que contém o centro de gravidade é essa vertical. Agora pendura-se o objeto
por outro ponto e traça-se uma nova vertical; a intersecção
dessa vertical com a anterior determina o centro de gravidade (CG).
T
T
CG
CG
P
P
7. A aceleração da gravidade na superfı́cie de Júpiter é de
30 m/s2 . Qual a massa de um corpo que na superfı́cie de
Júpiter pesa 120 N ?.
Gravitação Aula 4
Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a definição
de ponto material e corpo extenso.
Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de
Joinville à Blumenau. O comprimento do carro é muito peCentro de Gravidade
queno se comparado com a distância Jvlle - Bnu, ≃ 90 km,
e suas dimensões, então, não precisarão ser consideradas
Os corpos materiais podem ser considerados como um sisao analisarmos o seu movimento. Em situações como essa,
tema de partı́culas, cada uma das quais atraı́da pela Terra
nas quais o objeto apresenta dimensões consideradas descom uma força igual ao peso da partı́cula.
prezı́veis, diante do fenômeno observado, podemos considerá-lo como um ponto material.
P1
P2
P3
P4
G
P
No caso do movimento de um ônibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, é necessário que levemos
em conta as suas dimensões ao analisarmos alguns aspectos
do seu movimento. E ele estará se comportando como um
corpo extenso.
A resultante de todas essas forças parciais é o peso total do Equilı́brio de um Ponto Material
corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado
todo o peso do corpo. O ponto G é denominado centro de Um ponto material pode estar em equilı́brio estático ou
gravidade do corpo. Resumindo, temos:
dinâmico. No equilı́brio estático, o ponto material está em
36
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Figura 1: Situação de equilı́brio.
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Consideramos que o eixo de rotação é o que contém as dobradiças.
Analisando os casos anteriores, notamos que há uma relação
entre a força aplicada e a distância do ponto de aplicação
dessa força até o eixo de rotação.
A grandeza fı́sica que relaciona essas duas grandezas é chamada momento de uma força ou torque.
repouso (~v = 0). No equilı́brio dinâmico o ponto material
está em movimento retilı́neo uniforme (~v = constante 6= 0).
Analisando os dois tipos de equilı́brio, notas uma semelhança: em ambos a aceleração é nula (~a = 0). Utilizando
a Segunda Lei de Newton, temos
F~R
F~R
F~R
=
=
=
O momento de uma força é a capacidade
dessa força em fazer girar um objeto.
Para definirmos a grandeza momento, consideremos uma
força F~ e um ponto O, chamado pólo.
d
m · ~a
m·0
0
O
Assim, concluı́mos que
F
Para que um ponto material esteja em
equilı́brio é necessário e suficiente que a resultante de todas as forças que nele agem
seja nula.
O momento da força F~ em relação ao ponto O é dado por:
~ F,O = F~ d
M
Unidade SI
Momento de uma Força
Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma
chave.
F
Centro O
F
B
A
A unidade de momento não tem nome especı́fico. Ela é dada
pelo produto da unidade da força, em newtons, pela unidade
de distância, em metro. Portanto a unidade de momento é
newton · metro, ou N · m.
Observação
Sabemos que o produto N · m é chamado de joule J. Entretanto, o joule não é uma unidade utilizada para medir o
momento de uma força, porque momento é uma grandeza
de natureza diferente de trabalho e energia.
Direção e Sentido
O momento ou torque de uma força é uma grandeza vetorial. A partir do sentido de rotação (horário ou anti-horário)
que uma ou mais forças tendem a produzir, podemos determinar a direção e o sentido do torque. Por exemplo, um
saca-rolhas, ao girar, produz efeitos contrários: no sentido
horário, entra na rolha (avança verticalmente para baixo);
no sentido anti-horário, sai dela (retorna verticalmente para
O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide
~ F,O ), e sua direção está
exercemos a força em A a facilidade é maior do que se exer- com o sentido do vetor momento (M
sempre paralela ao eixo de rotação.
cermos a força em B.
Utilizando forças de mesmo valor, será mais fácil girar a
porca em torno de seu centro O se a força aplicada no ponto
A, ao invés de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a
distância do ponto de aplicação da força até o centro O da
porca, maior vai ser a facilidade de girarmos a porca usando
a chave.
37
Gravitação – Aula 4
Outra maneira prática de determinar a direção e o sentido
do vetor torque é utilizar a regra da mão direita. Os quatro
dedos dessa mão devem acompanhar o sentido da rotação
do objeto. O polegar indicará a direção e o sentido do vetor
momento.
O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a
seguinte conversão:
rotação no sentido anti-horário → momento positivo
rotação no sentido horário → momento negativo
Exercı́cios de Aplicação
1. Uma luminária cujo peso é 100 N está suspensa por dois
fios leves, AC e BC, conforme indica a figura.
111111111111111111
000000000000000000
000000000000000000
111111111111111111
o
o
A
τ
B
30
60
C
Determine a força de tração em cada fio.
eixo
de
rotaçao
Figura 2: Regra da mão direita: o vetor indica o sentido do momento. A direção é sempre paralela ao eixo
de rotação do objeto.
2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em
repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a
figura. Considerando as polias e os fios ideais e tomando
g = 10 m/s2 :
a) mostre em um diagrama todas as forças que agem no
bloco A.
1111111111111
0000000000000
B
A
Equilı́brio de um Corpo Extenso
As condições necessárias e suficientes para que um corpo se
mantenha em equilı́brio são:
1. A resultante de todas as forças que
nele agem seja nula.
2. A soma algébrica dos momentos de
todas as forças que nele atuam, em
relação ao mesmo ponto, seja nula.
Pense um Pouco!
Como você explicaria a situação abaixo?
60 o
C
1111111111111
0000000000000
Sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema é
2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.
Exercı́cios Complementares
3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, está
sobre uma tábua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do
apoio A, conforme indica a figura.
Desprezando os pesos da tábua e da vara de pescar e considerando g = 10 m/s2 , determine a intensidade das reações
nos apoios A e B.
38
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Ótica
A Luz
O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela Fı́sica elementar,
uma vez que a luz é uma onda eletromagnética.
Desta forma, pode-se então exemplificar as ondas eletromagnéticas de maior importância nas pesquisas e nas
aplicações práticas, em função do comprimento de onda
(propriedade que fornece uma das principais caracterı́sticas
4. (UFMT) A barra xy é homogênea, de 100 kg de massa, da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas
e está apoiada em suas extremidades, suportando as massas (faixa de 1 até 400 mm), o espectro de luz visı́vel (faixa de
de 50 kg e 150 kg, como na figura. calcule as reações dos 400 até 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm
até 1 mm) e faixas de radiofrequência que variam de 20 cm
apoios. (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2 ).
até 105 m.
Todas as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com
a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz).
3,0 m
0,5 m
0,5 m
Reflexão da Luz
50 kg
150 kg
5. Calcule o momento de cada uma das forças indicadas
na figura, em relação ao ponto O. Dados: F1 = 20 N ,
F2 = 30 N e F3 = 40 N
Quando a luz atinge uma superfı́cie separadora S de dois
meios de propagação (A e B), ela sofrerá reflexão se retornar
ao meio no qual estava se propagando.
A quantidade de luz refletida depende do material que é
feita a superfı́cie S, do seu polimento entre outros fatores.
Tipos de Reflexão
Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma
superfı́cie. Ocorrerá reflexão especular ou regular se os
raios refletidos forem também paralelos entre si. Em caso
contrário, a reflexão é chamada difusa ou irregular.
A reflexão regular será predominante quando a superfı́cie
refletora for plana e bem polida como, por exemplo, um
espelho.
A reflexão difusa ocorre em superfı́cies irregulares e porosas.
É a difusão (ou espalhamento) da luz, pelo próprio ar, pela
6. A barra AB da figura tem peso desprezı́vel. Sabendo que poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente
F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante iluminado.
dessas forças em relação aos pontos:
a) A
b) B
Leis da Reflexão
c) C
1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz refletido e
a reta normal à superfı́cie pelo ponto de incidência da luz
estão num mesmo plano (coplanares).
Temos:
RI = Raio Incidente;
RR = Raio Refletido;
N = Reta Normal;
i = ângulo de incidência;
r = ângulo de reflexão.
2a Lei: O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.
Ótica Aula 1
i=r
39
Ótica – Aula 1
atrás do espelho (virtual). Logo, o objeto e a imagem
são de naturezas opostas.
N
θ
raio incidente
i
θ
raio refletido
4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem
possuem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento
relativo ao espelho, possuirão iguais velocidades.
r
Campo Visual
superfície refletora
plana
Campo Visual de um espelho plano é a região do espaço
que pode ser vista por um observador através de um espelho. Para determinarmos o campo visual, basta tomar
o ponto O′ , simétrico de O, e uni-lo às extremidades do
espelho plano E. Veja a figura. [fig:ot013]
Figura 1: Reflexão Planar.
Espelho Plano
O
O’
Espelho plano é a superfı́cie plana polida onde ocorre predominantemente a reflexão da luz.
Formação de Imagens nos Espelhos Planos
campo visual
Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as direções, conforme
indica a figura.
E
espelho plano
Figura 3:
eixo otico
objeto
real
imagem
virtual
Pense um Pouco!
o
i
1. Por que não enxergamos no escuro?
2. Para que serve o espelho retrovisor dos carros?
Figura 2: Formação de imagens em um espelho plano.
Repare que a parte de trás do espelho (à direita neste exemplo) é marcada pelas hachuras. A imagem encontrada é
fruto do prolongamento dos raios refletidos, isso caracteriza
uma imagem virtual.
Propriedades dos Espelhos Planos
3. Por que as ambulâncias geralmente trazem escrito na
frente
?
Exercı́cios de Aplicação
1. A estrela Vega está situada a cerca de 26 anos-luz (ano
luz é a distância que a luz percorre em 1 ano) da Terra.
Determine a ordem de grandeza da distância de Vega até a
Terra, em metros.
1. Se chamarmos de x à distância do objeto ao espelho, a
distância entre o espelho e a imagem será também x.
Isto significa que o objeto e a imagem são simétricos 2. Um observador nota que um edifı́cio projeta no solo uma
em relação ao espelho.
sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um
2. As imagens formadas num espelho plano são enanti- muro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm.
omorfas, ou seja, existe uma inversão ”direita para a Determine a altura do edifı́cio.
esquerda”, mas não de ”baixo para cima”. Assim a
imagem especular da mão esquerda é a mão direita, 3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme,
incide sobre um disco de 10 cm de diâmetro. Sabendo que
mas a imagem dos pés não está na cabeça.
a distância da fonte ao disco é 1/3 da distância deste ao
3. Ainda pelas figuras anteriores, percebe-se que um ob- anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo
jeto localizado na frente do espelho (real) nos fornece são paralelos, determine o raio da sombra projetada sobre
uma imagem que nos dá a impressão de estar situada o anteparo.
40
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios Complementares
4. Considere um raio luminoso incidindo num espelho
plano. Determine o ângulo formado entre o raio incidente e
o espelho, sabendo que o ângulo formado entre o raio incidente e o raio refletido é igual a 700 .
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Côncavo
N
θi
θr
Convexo
eixo ótico
C
F
θi
θr
V
V
F
C
N
5. Um rapaz está sentado na cadeira de uma barbearia de
frente para um espelho plano, tendo atrás de si o barbeiro
em pé. A distância entre o rapaz e o espelho é D e entre
o rapaz e o barbeiro é d. Qual é a distância x (horizontal)
Figura 2: Espelhos côncavo (à esquerda) e Convexo
entre o rapaz e a imagem do barbeiro ?
(direita).
6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ficou completamente desconcertada quando, ao chegar em frente do
espelho de seu armário, vestindo uma blusa onde havia seu
nome escrito, viu a imagem de seu nome refletida, desenhe
essa imagem?
Ótica Aula 2
Espelhos Esféricos
Os espelhos esféricos são superfı́cies refletoras que tem forma
de uma calota esférica.
Calota Esferica
Condições de Nitidez de Gauss
• Os raios de luz devem ser pouco inclinados em relação
ao eixo óptico principal;
• os raios de luz devem incidir próximos ao vértice do
espelho;
A partir de agora estaremos, apenas considerando os espelhos esféricos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as
condições de Gauss.
Raios Notáveis de Luz
Os Raios Notáveis não são os únicos que ocorrem num
sistema óptico, mas como o próprio nome diz, eles se
destacam dos outros pela facilidade de traçá-los. Nosso
objetivo será desenhar pelo menos dois deles em cada
situação. Vejamos quais são estes raios:
1. Todo raio que incide numa direção que passa pelo
centro de curvatura, reflete-se sobre si mesmo.
V
C
eixo ótico
C
F
V
V
(a)
Figura 1: Calota esférica.
Temos dois tipos de espelho esférico:
Côncavo: a superfı́cie refletora é interna.
Convexo: a superfı́cie refletora é externa.
Esquematicamente:
Temos:
R = Raio de Curvatura;
F = Foco do Espelho (ponto médio do eixo principal no
trecho entre o Vértice e o Centro);
C = Centro;
V = Vértice;
A = reta que passa por C e V é o eixo óptico principal.
F
C
(b)
Figura 3: Raio notável passando pelo centro de curvatura C de um espelho esféricos côncavo (a) e convexo
(b).
2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal reflete-se numa direção que passa pelo foco
principal do espelho.
3. Todo raio que incide numa direção que passa pelo
foco reflete-se paralelamente ao eixo principal.
Importante
• O foco F do espelho côncavo é Real;
• O foco F do espelho convexo é virtual.
41
Ótica – Aula 2
eixo ótico
C
F
V
V
F
C
eixo ótico
C
(a)
F
V
(b)
Figura 4: Raio notável incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esféricos côncavo (a) e convexo (b).
Figura 7: Objeto sobre o centro de curvatura C.
eixo ótico
C
F
V
V
F
C
eixo ótico
(a)
C
(b)
F
V
Figura 5: Raio notável passando pelo foco F de um
espelho esféricos côncavo (a) e convexo (b).
Figura 8: Objeto entre o centro de curvatura C e o
foco F .
Formação de Imagens
Para formarmos imagens, basta traçarmos dois raios quaisquer de luz entre os notáveis que acabamos de aprender.
Usaremos a notação i e O significando, respectivamente, a (4) Objeto situado sobre o foco F :
medida da imagem e do objeto.
Espelho Côncavo
eixo ótico
(1) Objeto situado antes do centro de curvatura C:
C
F
V
eixo ótico
C
F
Figura 9: Objeto sobre o foco F .
V
Imagem: Imprópria.
(5) Objeto situado entre o foco F e o vértice:
Imagem:Virtual, Direita e Maior.
Figura 6: Objeto antes do centro de curvatura C.
Imagem: Real, Invertida e Menor.
Espelho Convexo
Neste caso temos apenas um caso:
Imagem:Virtual, Direita e Menor.
(2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C:
Imagem: Real, Invertida e Igual.
(3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco
F:
Imagem: Real, Invertida e Maior.
Observação
O espelho convexo é usado como espelho retrovisor de
motocicletas e em portas de garagens devido ao maior
campo visual que oferece.
Conclusões:
42
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Convenção de Sinais
Objeto
Imagem
Espelho
h∗
C
F
V
eixo ótico
Real p > 0
Real p′ > 0
Cônc. R > 0
f >0
Direita i > 0
Virtual p < 0
Virtual p′ < 0
Conv. R < 0
f <0
Invertida i < 0
(*) Altura da imagem para o > 0.
Pense um Pouco!
1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores
do que somos? Por quê?
Figura 10: Objeto entre o foco F e o Vértice.
2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que são espelhos
esféricos.
3. Por que os caminhões e ônibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano?
V
F
eixo ótico
C
Exercı́cios de Aplicação
1. Um objeto real de altura 5 cm está a 3 m diante de um
espelho esférico côncavo, de distância focal 1 m.
a) Determine, graficamente, as caracterı́sticas da imagem.
b) Determine, analiticamente, a posição e o tamanho da
imagem.
2. Diante de um espelho esférico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, é colocado, perpendicularmente ao eixo
principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto
dista 40 cm do espelho. Determine:
• Uma imagem real está localizada na frente do espelho a) a posição da imagem;
e poderá ser projetada sobre um anteparo (uma tela) b) o tamanho da imagem.
colocada na posição em que ela se forma, pois é cons3. Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de
tituı́da pela intersecção dos próprios raios de luz;
distância focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo
• Uma imagem virtual está localizada atrás do espelho
uma imagem três vezes maior que o objeto. Determine:
e, embora possa ser visualizada, não é constituı́da por
a) a posição do objeto;
luz e, sim pelos prolongamentos dos raios.
b) a posição da imagem.
Figura 11: Espelho convexo.
Determinação Analı́tica da Imagem
Exercı́cios Complementares
Agora procuraremos expressar de forma matemática algumas expressões que nos permita determinar a posição e o
4. Um espelho esférico fornece, de um objeto real, uma imatamanho da imagem.
gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo
Equação Conjugada de Gauss
que a distância do objeto ao espelho é de 60 cm, determine:
a) a posição da imagem;
1
1
1
= + ′
b) a distância focal do espelho.
f
p p
5. Deseja-se obter a imagem de uma lâmpada, ampliada
Temos que a distância focal f é dada por:
5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de distância.
Quais
as caracterı́sticas e a posição do espelho esférico que
f = R2
se pode utilizar ? Ele deverá ser:
a) convexo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada;
b) côncavo, com 5 cm de raio, a 3 cm da lâmpada;
Aumento Linear Transversal
c) convexo, com 24 cm de raio, a 2 cm da lâmpada;
Por definição, o aumento linear transversal A é a razão entre d) côncavo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada;
a altura da imagem i e a altura do objeto o.
e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da lâmpada;
A=
i
P′
=
O
P
6. Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de
distância focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo
43
Ótica – Aula 3
uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine:
a) a posição do objeto;
b) a posição da imagem.
Ótica Aula 3
Refração da Luz
Dioptro Plano
Os dois meios de propagação, A e B, e a superfı́cie de separação S constituem o que chamamos de DIOPTRO.
Nos dioptros reais, o fenômeno da refração é acompanhado
pela reflexão da luz. Assim, o raio de luz incidente na superfı́cie S divide-se em dois raios, um refratado e outro refletido.
raio
incidente
A velocidade de uma dada luz monocromática assume valores diferentes em diferentes meios de propagação tais como:
vácuo, ar, água, vidro, etc.
A luz sofre refração quando passa de um meio para outro,
modificando sua velocidade. Em geral, a refração é acompanhada por um desvio na trajetória da luz, consequência da
mudança de velocidade. O único caso de refração no qual a
luz não sofre desvio é quando incide perpendicularmente à
superfı́cie de separação dos meios S.
raio
refletido
N
meio A
S
meio B
raio
refratado
N
Figura 3: Todos os raios luminosos presentes na refração.
meio A
S
meio B
É importante também dizer que ocorre em S o fenômeno da
absorção da luz, onde parcela da energia luminosa é transformada em energia térmica, por exemplo.
No dioptro ideal só ocorre refração da luz.
Índice de Refração Absoluto
Figura 1: Refração da luz, com desvio de sua trajetória.
Seja c a velocidade da luz no vácuo e v a velocidade da luz
em um meio qualquer, definimos ı́ndice de refração absoluto
n de um meio a razão entre as velocidades da luz no vácuo
e no meio considerado:
n=
c
v
O ı́ndice de refração absoluto do vácuo é naturalmente igual
a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no vácuo é uma
velocidade limite, em qualquer outro meio ela será inferior:
v < c =⇒ n > 1
meio A
S
meio B
Conclusões
1. O ı́ndice de refração absoluto de qualquer meio material é sempre maior que 1;
2. Quanto maior for o ı́ndice de refração absoluto do meio,
menor é a velocidade da luz nesse meio.
Índice de Refração Relativo
Figura 2: Raio entrando perpendicular a superfı́cie S, Se n e n são, respectivamente, os ı́ndices de refração abA
B
sem desvio de sua trajetória.
solutos dos meios A e B para uma dada luz monocromática,
então definimos o ı́ndice de refração relativo do meio A em
44
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
relação ao meio B, nA,B como sendo a razão dos ı́ndices de
refração absolutos do meio A e B:
nA,B
nA
=
nB
Leis de Refração
Considerando um raio de luz monocromático incidente
numa superfı́cie separadora de dois meios de propagação
e o correspondente raio de luz refratado. Tracemos a reta
normal à superfı́cie pelo ponto de incidência da luz.
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Podemos concluir que:
– Quando a luz passa de um meio menos refringente
(menor ı́ndice de refração) para um meio mais refringente (maior ı́ndice de refração), o raio de luz se aproxima da normal e a velocidade de propagação diminui.
– Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais
refringente para um meio menos refringente, o raio de
luz se afasta da normal e a velocidade de propagação
da luz aumenta.
θi
θi
N
N
meio A
θi
S
N
meio B
meio C
S
θr
meio A
S
meio D
θr
Figura 5: Aproximação e afastamento da normal.
meio B
0.0.1
θr
Pense um pouco!
1. Se você vê um peixe sob a superfı́cie da água e tenta
acertá-lo com uma flecha, mirando a imagem do peixe,
provavelmente não irá capturá-lo. Explique.
2. As lentes utilizam a refração da luz? Como?
Figura 4: Raio entrando perpendicular a superfı́cie S,
sem desvio em sua trajetória.
Exercı́cios de Aplicação
RI = Raio Incidente;
RR = Raio Refratado;
N = Reta Normal;
i = ângulo de incidência;
r = ângulo de refração.
1. Passando do vácuo para o interior de um certo meio
transparente, o valor da velocidade de propagação de uma
luz monocromática diminui de 20%. Determine o ı́ndice de
refração absoluto do meio para essa luz monocromática.
As Leis
2. A velocidade de propagação da luz em certo lı́quido
mede 1/2 da velocidade de propagação da luz no vácuo.
Determine o ı́ndice de refração absoluto do lı́quido.
• 1a Lei: O raio de luz incidente RI, a reta normal N e
o raio de luz refratado RR estão situados num mesmo
plano, ou seja, são coplanares. É importante notar que
os raios de luz incidente e refratado ficam em lados
opostos em relação à reta normal;
• 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: “É constante a
relação entre os senos dos ângulos de incidência e refração”.
Podemos escrever que:
sen(i)
= constante
sen(r)
e essa constante é o ı́ndice de refração relativo do meio
B em relação ao meio A, assim:
nA
sen(i)
=
sen(r)
nB
ou: Lei de Snell-Descartes
nA sen(i) = nB sen(r)
3. O ı́ndice de refração absoluto da água é 4/3 e o vidro é
3/2. Determine:
a) o ı́ndice de refração da água em relação ao vidro;
b) a relação entre a velocidade de propagação da luz no
vidro e a velocidade de propagação da luz na água;
c) comente os resultados obtidos.
Exercı́cios Complementares
4. Sob um ângulo de incidência de 60◦ , faz-se incidir sobre uma superfı́cie de um material transparente um raio de
luz monocromática. Observa-se que o raio refratado é perpendicular ao raio refletido. Qual o ı́ndice de refração do
material ? (O 1o meio onde a luz se propaga é o ar)
5. Um observador, quando colocado numa posição adequada, pode no máximo ver o canto do recipiente, como
representado na figura abaixo. Enchendo o recipiente com
um lı́quido, o observador passa a ver a moeda que está colocada no centro:
45
Ótica – Aula 4
C1 e C2 = Centros de Curvatura;
R1 e R2 = Raios de Curvatura;
V1 e V2 = Vértices;
e = espessura da lente;
e.p. = eixo óptico principal.
1m
1m
Observação
√
Qual o ı́ndice de refração do lı́quido? dado sen(45◦ ) = 2/2 Uma lente é delgada quando a sua espessura e for desprezı́vel
6. Um raio de luz monocromática passa de um meio A para em relação aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R.
um meio B. Veja a figura e responda:
a) Qual é o meio mais refringente ? Justifique.
b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justifique.
Classificação das Lentes
Podemos classificar as lentes quanto a dois aspectos: tipos
de faces e comportamento óptico.
A B
Quanto às faces
Ótica Aula 4
BORDOS
FINOS
Lentes Esféricas
As lentes esféricas constituem sistemas ópticos de amplas
aplicações na atualidade. Elas desempenham um papel um
papel importantı́ssimo, desde os sofisticados LASERS até
os mais simples pares de óculos.
Podemos defini-las como sendo um meio transparente e homogêneo, limitado por duas superfı́cies curvas, ou por uma
curva e outra plana.
A lente será denominada esférica, quando pelo menos uma
de suas faces for esférica.
biconvexa
plano−convexa
concavo−convexa
BORDOS
GROSSOS
Elementos Geométricos
biconcava
plano−concava
convexo−concava
Vejamos os principais elementos geométricos de uma lente
esférica:
Figura 2: Classificação de uma lente esférica quanto
às suas faces.
R2
R1
Observação
e. p.
C1
V2
e
V1
C2
Os nomes das lentes segue a convenção de que devemos citar
em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.
Quanto ao Comportamento Óptico
Figura 1: Elementos geométricos de uma lente esférica.
Temos:
Nessas figuras consideramos que as lentes são de vidro e
estão imersas no ar (nvidro ¿ na r), que é o caso mais comum
na prática.
Nessas condições, as lentes de bordas finas são convergentes e as lentes de bordas grossas são divergentes.
46
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Lente Convergente
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Esquema
F
F
Esquema
Lente Divergente
Figura 5: Lente divergente.
F
F
Figura 3: Classificação de uma lente esférica quanto
ao seu comportamento óptico.
Tipos de Foco
Figura 6: Lente convergente.
Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de
luz dentro das condições de Gauss, como vimos no estudo
de espelhos esféricos.
Observação
Foco Imagem
Na lente convergente o foco é real, na Lente divergente
o foco é virtual.
É o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto
impróprio, definido por raios de luz paralelos ao eixo principal.
Lente Convergente & Lente Divergente
F
Figura 4: Lente convergente.
Raios Notáveis
Assim como foi feito para os espelhos esféricos, iremos agora
descrever alguns raios que são fáceis de serem utilizados na
determinação da imagem numa lente esférica.
Todo raio que incide no centro óptico atravessa a
lente sem sofrer desvio.
Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal
emerge numa direção que passa pelo foco imagem.
Todo raio que incide sob o foco objeto emerge
paralelo ao eixo principal.
Determinação Gráfica da Imagem
De maneira análoga ao que fizemos para espelhos esféricos
iremos proceder agora para lentes.
Observação
Na lente Convergente o foco é real, e na lente divergente o foco é virtual.
Foco Objeto
É o ponto objeto associado pela lente, a uma imagem
imprópria, definida por raios de luz paralelos ao eixo principal.
Lente Convergente & Lente Divergente
Lentes Convergentes
1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura:
Imagem: Real, Invertida e Menor.
2) Objeto situado no Centro de Curvatura:
Imagem: Real, Invertida e Igual.
3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco:
Imagem: Real, Invertida e Maior.
47
Ótica – Aula 4
F
F
Figura 9: Incidência paralela ao eixo principal.
Figura 7: Lente divergente.
eixo ótico
F
Figura 8: Incidência sobre o centro óptico.
Este caso corresponde à imagem produzida por projetores,
tanto de slides como de filmes.
4) Objeto situado no Foco:
Imagem: Imprópria.
5) Objeto situado entre o Foco e o Centro Óptico:
Imagem: Virtual, Direita e Maior.
Este é o caso da lupa.
Figura 10: Incidência Paralela.
Temos:
A = aumento linear transversal;
o = altura do objeto;
i = altura da imagem;
Convenção de Sinais
Lente Divergente
Existe apenas um caso que devemos considerar:
Imagem: Virtual, Direita e Menor.
Objeto
Imagem
Espelho
Determinação Analı́tica da Imagem
h∗
As equações que utilizaremos para a determinação da
posição e tamanho da imagem são análogas às utilizadas
no estudo de espelhos esféricos.
Equação de Gauss
1
1
1
= + ′
f
p p
Temos:
f = distância focal;
p = posição do objeto;
p′ = posição da imagem;
Virtual p < 0
Virtual p′ < 0
Conv. R < 0
f <0
Invertida i < 0
(*) Altura da imagem para o > 0.
Vergência V de uma Lente
Verifica-se que, quanto menor a distância focal de uma
lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa
”potência”da lente de convergir ou divergir a luz é caracterizada por uma grandeza denominada Vergência, que é
comumente chamada de grau do óculos. A vergência V de
uma lente de distância focal f é definida como:
V =
Equação do Aumento Linear Transversal A
A=
Real p > 0
Real p′ > 0
Cônc. R > 0
f >0
Direita i > 0
p′
i
=
o
p
1
f
Se f é medido em metros (m), a unidade de V é m−1 , que
recebe o nome de dioptria (di), que popularmente é chamado
de grau.
1 di = 1 m−1 = 1 grau
48
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F
C
C
eixo ótico
F
eixo ótico
F
Figura 13: Objeto situado antes do centro de curvatura
C.
eixo ótico
C
F
F
C
Figura 11: Incidência sob o foco objeto.
Figura 14: Objeto situado no centro de curvatura C.
Exercı́cios Complementares
eixo ótico
F
4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura está a 5 cm de
uma lente convergente de 10 cm de distância focal.
a) Qual a posição da imagem?
b) Faço traçado dos raios.
Figura 12: Incidência sob o foco objeto.
Pense um Pouco!
1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo
(grau) de lente deverá usar?
5. As lentes dos óculos de um mı́ope são de -5 graus”.
a) Qual é a distância focal das lentes?
b) Qual o tipo de lentes usadas (convergente ou divergente)?
6. Uma pessoa mı́ope só é capaz de ver nitidamente objetos
situados a uma distância máxima de 20 cm dos seus olhos.
a) Qual o tipo de lente adequada para a correção da miopia:
convergente ou divergente?
b) Qual deve ser a distância focal da lente para que esta
pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito?
2. O antigos óculos “fundo de garrafa”tinham esse nome
por quê? Pra que serviam?
Ótica Aula 5
Exercı́cios de Aplicação
Ótica da Visão
1. Um objeto é colocado a 60 cm de uma lente divergente de O olho humano assemelha-se a uma filmadora (ou a uma
distância 20 cm. Determine, graficamente e analiticamente, máquina fotográfica) de grande sofisticação. E o cérebro
as caracterı́sticas da imagem.
tem a função de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo a visão real do objeto.
2. Um objeto de 2 cm de altura está disposto frontalmente Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do
a 60 cm de uma lente delgada de vergência +2, 5 di.
olho humano e utilizaremos uma representação mais simples
a) determine, graficamente, as caracterı́sticas da imagem;
– o olho reduzido.
b) determine, analiticamente, a posição e o tamanho da imagem.
Elementos do Olho Humano
3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para
olhar uma flor que está a 4 cm da lente. Determine de Analisaremos algumas partes que consideramos de grande
quanto a lente aumenta a flor.
importância em nosso olho reduzido.
49
Ótica – Aula 5
eixo ótico
C
F
F
C
eixo ótico
C
F
F
C
Figura 15: Objeto situado entre o centro de curvatura
C e o foco F .
eixo ótico
C
F
F
Figura 17: Objeto situado entre o Foco F e o Centro
Óptico.
C
C
F
eixo ótico
F
C
Figura 16: Objeto situado no foco F .
Íris
Anel colorido de forma circular, que se comporta como um
Figura 18: Lente divergente.
diafragma, controlando a quantidade de luz que penetra no
olho. Na sua parte central existe um orifı́cio de diâmetro
1, 5 cm. Composta por células nervosas chamadas bastonevariável, chamado pupila.
tes (visão preto e branco) e cones (visão a cores), a retina
possui uma área mais sensı́vel à luz sob condições normais.
Cristalino
Esta área consiste uma depressão na parte posterior do olho
no eixo do cristalino, e é denominada fóvea.
É uma lente convergente de material flexı́vel, do tipo biconvexa. Fornecerá de um objeto real uma imagem real,
invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes Ponto Próximo e Ponto Remoto
formas em função da distância do objeto ao olho.
A menor distância do globo ocular segundo a qual uma
pessoa, de visão normal, pode ver nitidamente a imagem
Músculos Ciliares
de um objeto qualquer denomina-se Ponto Próximo (PP ).
São responsáveis pela mudança na forma do cristalino, Neste caso, os músculos ciliares estão em sua maior concomprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua tração, realizando esforço máximo de acomodação. Logo, o
distância focal e permitir uma melhor acomodação da ima- ponto próximo correspondente à distância mı́nima de visão
distinta, à qual se atribui um valor médio convencional de
gem sobre a retina.
25 cm.
Quando o objeto está infinitamente afastado, os músculos
ciliares e o cristalino estão relaxados, ou seja, o olho não rea- O ponto mais afastado do olho humano, corresponde a
liza nenhum esforço de acomodação. À medida que o objeto uma imagem nı́tida forma sem esforço de acomodação vise aproxima, os músculos ciliares vão se contraindo, dimi- sual, denomina-se Ponto Remoto (PR ). Esta é a máxima
nuindo a distância focal do cristalino e mantendo a imagem distância de visão distinta que, teoricamente, permite a uma
pessoa uma visão normal de enxergar objetos no infinito.
acomodada na retina.
Intervalo de visão distinta ou zona de acomodação é a região
Em Sı́ntese
do espaço compreendida entre os dois pontos (PR e PP )
Objeto Próximo = Menor Distância Focal;
figurados anteriormente.
Objeto Distante = Maior Distância Focal.
O trabalho realizado pelos músculos ciliares, fazendo variar
a distância focal do cristalino é chamado de acomodação Problemas da Visão
visual.
Miopia
A deficiência de um olho mı́ope está na visualização de objetos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR ) não está no
É a parte sensı́vel à luz, onde deve se formar a imagem para infinito e sim a uma distância finita (dP R ). Isso ocorre, pelo
ser nı́tida. A distância do cristalino a retina é da ordem de fato da imagem do objeto distante recair antes da retina.
Retina
50
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Olho simplificado
Imagem
sobre
a
RETINA
eixo ótico
C
F
F
f
o
C
Entrada
da
LUZ
f
i
Figura 19: Elementos de uma lente.
Lente
CONVERGENTE
Figura 2: O olho simplificado.
´
Cornea
´
Nervo Optico
PP
´
Macula
Lente
25 cm
PR
Zona de Acomodaçao
´
Iris
Conjuntiva
Figura 3: Esquema.
Retina
Anatomia do Olho
Figura 1: O olho humano.
Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho mı́ope menos convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente
divergente:
Hipermetropia
uso de lentes bifocais, que têm uma parte para ver objetos
distantes e outra para ver objetos próximos.
Astigmatismo
É um defeito determinado pela forma não esférica da córnea
ou do cristalino, causando uma deformação na imagem. A
correção é feita mediante o uso de lentes cilı́ndricas, que
compensam a falta de simetria do sistema óptica ocular.
Estrabismo
A deficiência de um olho hipermétrope está na visualização
de objetos próximos. Ou seja, o seu ponto próximo (PP ) Consiste na incapacidade de se dirigir a visão de ambos os
está mais afastado do que o olho normal. Logo a distância olhos para um mesmo ponto. A correção é feita por ginástica
ocular para recuperar os músculos, ou através de cirurgia,
do ponto próximo é maior que 25 cm.
ou através de lentes prismáticas.
No olho hipermétrope, a imagem de um objeto recai após a
retina.
Para corrigir este defeito demos tornar o olho hipermétrope Daltonismo
mais convergente, associando a ele uma lente convergente.
A lente corretora deverá, de um objeto colocado a 25 cm É um defeito genético que faz com que seu portador não
do olho, fornecer uma imagem no ponto próximo (PP ) do consiga distinguir certas cores. Não existe, ainda, correção
possı́vel para esse defeito.
hipermétrope, ou seja, a uma distância dP P do olho.
Assim a distância focal da lente corretiva da hipermetropia
é calculada da seguinte forma:
1
1
1
1
1
1
=
= + ′ =
+
f
p p
fc
25cm dpp
O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela
lente corretora, ser virtual.
Presbiopia
Pense um Pouco!
• Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo
da água de uma piscina, mas não fora da água. Isso é
possı́vel? Há algum problema com a visão dessa pessoa? Qual?
Exercı́cios de Aplicação
É um defeito determinado pela fadiga dos músculos que efetuam a acomodação e por um aumento na rigidez do cristalino. Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda 1. As lentes dos óculos de um mı́ope são de -5 graus”. Qual
mal para objetos próximos e, em consequência, a distância é a máxima distância de seus olhos, sem óculos, que ele vê
mı́nima da visão distinta aumenta. A correção é feita com com imagem nı́tida?
51
Fluidos – Aula 1
Unidades SI
lente DIVERGENTE
MIOPIA
111
000
000
111
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000
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i
i
m: massa em quilogramas (kg)
V : volume em metro cúbico (m3 )
ρ: massa especı́fica em quilogramas por metro cúbico
(kg/m3 )
Observação
Figura 4: Correção da miopia.
lente CONVERGENTE
HIPERMETROPIA
i
111
000
000
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i
Figura 5: Correção da Hipermetropia.
No caso da água, cuja massa especı́fica vale 1 g/cm3 , observamos que cada cm3 de água tem massa de 1 g. Assim é que,
numericamente, massa e volume serão iguais para a água,
desde que medidos em gramas e em centı́metros cúbicos respectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3 , no caso
da água temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro
cúbico equivale a 1000 litros, teremos também para a água,
a densidade 1000 kg/m3 .
Pressão
Pressão p é a força normal, por unidade de área, que um
fluido em equilı́brio exerce em contato com uma parede.
2. O ponto próximo de um indivı́duo A e o ponto remoto Podemos representar matematicamente por:
de um indivı́duo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e
F
a vergência das lentes corretoras para esses indivı́duos.
p=
A
3. Uma lente esférica de vidro, cujo ı́ndice de refração é 1, 5,
tem uma face plana e outra côncava, com raio de curvatura Unidades SI
50 cm. Sabendo-se que a lente está imersa no ar, determine
p: pressão em N/m2 = pascal = P a
sua vergência em dioptrias.
F : força normal (ortogonal) em newtons ou N
4. Uma pessoa mı́ope só é capaz de ver nitidamente objetos
2
situados a uma distância máxima de 20 cm dos seus olhos. A: área onde é exercida a força, em metros quadrados m
a) Qual o tipo de lente adequada para a correção da miopia:
convergente ou divergente ?
Pressão Atmosférica
b) Qual deve ser a distância focal da lente para que esta
pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no infinito Pressão exercida pelo peso da camada de ar existente sobre
a superfı́cie da Terra. Ao nı́vel do mar, à temperatura de
?
0 ◦ C é igual a 1 atm.
É comum o uso de unidades de pressão não pertencentes ao
SI: atmosfera (atm) e milı́metros de mercúrio (mmHg):
Fluidos Aula 1
Fluidos
1 atm = 760 mmHg = 1, 01 × 105 P a
Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos Pressão Hidrostática
fluidos, para isso falaremos de temas como densidade,
pressão, empuxo e outros temas que nos levarão a um apro- No estudo da hidrostática, que faremos a seguir, vamos considerar o lı́quido ideal, isto é, incompressı́vel e sem viscosifundamento da Hidrostática.
dade.
Suponhamos um recipiente cilı́ndrico de área de base A,
Densidade e Massa especı́fica
contendo um lı́quido de massa especı́fica ρ. Qual a pressão
que o lı́quido exerce no fundo do recipiente ?
Massa especı́fica ρ de uma substância é a razão entre deterDa definição de massa especı́fica, temos:
minada massa desta substância e o volume correspondente.
m
Temos então:
ρ=
m
v
ρ=
v
Para um corpo homogêneo, ρ será a própria densidade do
material. Para um corpo não homogêneo, como por exemplo uma corpo oco, a expressão acima resulta na densidade
média do corpo.
V = Ah
ρ=
m
Ah
52
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
h
ρ
A
Figura 1: Vaso cilı́ndrico de área A e altura h, cheio
de um lı́quido de densidade ρ.
e portanto:
m = ρAh
Por outro lado, a força que o lı́quido exerce sobre a área A
é o seu próprio peso:
F = P = mg
mas como
m = ρAh
então temos
F = ρAhg
e finalmente, pela definição de pressão,
p=
F
= ρgh .
A
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for menor do que a pressão atmosférica externa. Exemplos:
quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um vácuo
parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante,
baixamos a pressão interna da boca, criando uma “pressão
negativa”.
Pense um Pouco!
• Porque não sentimos a pressão atmosférica normal, já
que ela é tão grande?
• Um barco flutua no mar. Quais as forças relevantes
para que isso ocorra?
• Como é possı́vel se deitar numa cama de pregos sem se
machucar?
• Como funciona o canudinho de refrigerante? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
1. Uma massa de 1 kg de água ocupa um volume de 1 litro
a 40◦ C. Determine sua massa especı́fica em g/cm3 , kg/m3
e kg/l.
2. Determine a massa de um bloco cúbico de chumbo que
tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo é
igual 11, 2 g/cm3 .
3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo
de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume
A pressão que o lı́quido exerce no fundo do recipiente dede uma esfera de raio R é dado por V = 43 πR3 . Usando
pende da massa especı́fica do lı́quido (ρ), da aceleração da
π = 3, 14, determine:
gravidade local (g) e da altura (h) do lı́quido acima do ponto
a) a densidade média da esfera;
considerado. Na prática esse resultado e geral, e pode ser
b) a densidade do material de que é feita a esfera.
usado para a determinação da pressão hidrostática em qualquer fluido (lı́quido ou gás) em equilı́brio.
4. Um cubo maciço com densidade igual a 2, 1 g/cm3 , de
Observe que a pressão total dentro de um fluido homogêneo 50 cm de aresta, está apoiado sobre uma superfı́cie horizonem equilı́brio será então:
tal. Qual é a pressão, em P a e em atm, exercida pelo cubo
sobre a superfı́cie?
p = patm + ρgh
onde patm é a pressão atmosférica, que atua sobre todos os
corpos imersos no ar.
Exercı́cios Complementares
5. Existe uma unidade inglesa de pressão – a libra-força
por polegada quadrada – que se abrevia lbf /pol2, a qual é
A pressão absoluta é a pressão total exercida em uma indevidamente chamada de libra. Assim, quando calibram
dada superfı́cie, incluindo a pressão atmosférica, quando for os pneus de um automóvel, algumas pessoas dizem que colocaram “26 libras” de ar nos pneus. Agora responda:
o caso. A pressão absoluta será sempre positiva ou nula.
Em muitos casos, como na calibração de um pneu, estamos a) por que num pneu de automóvel se coloca mais ou me2
interessados apenas na diferença entre a pressão interna de nos 25lbf /pol enquanto que no de uma bicicleta de corum reservatório (o pneu) e a pressão externa (o ar, que está rida (cujos pneus são bem finos) se coloca aproximadamente
2
na pressão atmosférica local). A essa diferença chamamos 70 lbf /pol
2
pressão manométrica, e os aparelhos que a medem cha- b) Sendo 1 lbf /pol = 0, 07 atm, qual a pressão tı́pica (em
atm) no pneu de um carro?
mamos de manômetros.
c) A pressão que nos interessa, neste caso do pneu, é a
pressão manométrica ou a pressão absoluta. Por quê?
pman. = pint. − patm.
Pressão Manométrica e Absoluta
A pressão manométrica pode ser negativa, positiva ou nula.
Será negativa quando a pressão interna de um reservatório
Fluidos Aula 2
53
Fluidos – Aula 2
Hidrostática
Lei de Stevin
Consideremos um recipiente contendo um lı́quido homogêneo de densidade ρ, em equilı́brio estático. As pressões
que o lı́quido exerce nos pontos A e B são, respectivamente:
hy
y
hx
x
pa = ρgha e pb = ρghb
11111111111111111111
00000000000000000000
00000000000000000000
11111111111111111111
hA
hB
A
∆h
Figura 2: Vasos comunicantes, com dois lı́quidos não
miscı́veis em equilı́brio.
B
hx
ρy
=
ρx
hy
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
Figura 1: Cilindro de área de base A e altura h
A lei de Stevin ou princı́pio hidrostático afirma que a
diferença de pressão entre os pontos A e B será:
pb − pa = ρg(hb − ha ) = ρg∆h
4. a diferença de pressão entre dois pontos dentro do
fluı́do, depende apenas do seu desnı́vel vertical (∆h),
e não da profundidade dos pontos.
Princı́pio de Pascal
Pascal fez estudos em fluı́dos e enunciou o seguinte princı́pio:
A pressão aplicada a um fluı́do em
Ou seja, a diferença entre dois nı́veis diferentes, no interior
equilı́brio transmite-se integral e instantade um lı́quido, é igual ao produto da sua massa especı́fica
neamente à todos os pontos do fluı́do e às
pela aceleração da gravidade local e pela diferença de nı́vel
paredes do recipiente que o contém.
entre os pontos considerados.
Na realidade, temos que dividir a pressão num determinado ponto do lı́quido em dois tipos: i) pressão hidrostática: A Prensa Hidráulica
aquela que só leva em consideração o lı́quido:
Uma das aplicações deste princı́pio é a prensa hidráulica
como mostramos a seguir:
p = ρgh
hid
e ii) pressão absoluta: aquela que leva em consideração o
lı́quido e o ar sobre o lı́quido:
F1
pabs = patm + ρgh
A1
A2
F2
Consequências da Lei de Stevin
No interior de um lı́quido em equilı́brio estático:
1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a
mesma pressão;
2. a superfı́cie de separação entre lı́quidos não miscı́veis é
um plano horizontal;
Figura 3: A prensa hidráulica.
3. em vasos comunicantes quando temos dois lı́quidos não
miscı́veis temos que a altura de cada lı́quido é inversa- Observe que:
mente proporcional às suas massas especı́ficas (densidades);
py = px
patm + ρy ghy = patm + ρx ghx
ρy h y = ρx h x
p1 = p2
F2
F1
=
A1
A2
A1
F1
=
F2
A2
Isso mostra que uma força pequena F1 é capaz de suportar,
no outro êmbolo, um peso muito grande (F2 ), isso é muito
utilizado, como por exemplo, em posto de gasolina.
54
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
A prensa hidráulica é o equivalente hidráulico do princı́pio
da alavanca, de Arquimedes, usado na Mecânica. É bom
lembrar que estas “engenhocas”multiplicam realmente a
força, mas não a energia. O trabalho mı́nimo necessário
para elevar um carro é o mesmo, independente da máquina
que se utilize (Wmin = mgh).
Na prensa mostrada na Fig. 3, uma força −F~2 (para
baixo) deverá ser feita no êmbolo da direita, para manter
o equilı́brio do sistema. Em geral, usa-se o êmbolo maior
para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto
do chão (macaco hidráulico).
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ou seja
P =E
Pode-se mostrar também que se um corpo tiver uma densidade média ρc maior que a densidade ρf de um certo fluido,
ele não poderá flutuar nesse fluı́do, e acabará afundando se
for solto na sua superfı́cie.
Pense um Pouco!
• A pressão atmosférica varia com a altitude? Por quê?
Princı́pio de Arquimedes
Arquimedes, há mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a
perda aparente do peso do corpo é devido ao surgimento do
empuxo, quando estamos mergulhados num lı́quido, como a
água, por exemplo.
Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo
uma força vertical, de baixo para cima, de
intensidade igual ao peso do fluido deslocado, denominada empuxo.
Ou seja, se um corpo está mergulhado num fluido de densidade ρf e desloca volume Vf d do fluido, num local onde a
aceleração da gravidade é g, temos:
Pf = mf g
e como
ρf =
mf
Vf d
a massa do fluido deslocado será
mf = ρf Vf d
e portanto
Pf = ρf Vf d g
e, de acordo com o Princı́pio de Arquimedes
• Como pode um navio de ferro flutuar na água, já que
ρF e > ρH2O ?
• Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela (fechada) balança. Explique.
• Mergulhando na água um objeto suspenso por um fio,
você observa que a tração no fio muda. Explique.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UFRJ) O impacto de uma partı́cula de lixo que atingiu a nave espacial Columbia produziu uma pressão da
100 N/cm2 . Nessas condições e tendo a partı́cula 2 cm2 ,
a nave sofreu uma força de:
a) 100 N
b) 200 N
c) 400 N
d) 800 N
e) 1600N
2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade está cheia com
água. Considere g = 10 m/s2 e patm = 1, 0 × 105 P a e
determine:
a) a pressão hidrostática a 3, 0 m de profundidade;
b) a pressão absoluta no fundo da piscina;
c) a diferença de pressão entre dois pontos separados, verticalmente, por 80 cm.
E = ρf Vf d g
3. (Clássico) Para determinar a pressão atmosférica, Torricelli fez a seguinte experiência: um tubo de vidro, de 1 m
ou simplesmente
de comprimento, foi cheio de mercúrio e depois emborcado
E = ρV g
num recipiente contendo mercúrio; constatou que, ao nı́vel
ficando a nosso cargo a interpretação correta dos termos do mar, o mercúrio no tubo mantém uma altura de 760 mm
acima da sua superfı́cie livre (no recipiente). Se a densidade
envolvidos.
do mercúrio é 13, 6 g/cm3 e a aceleração da gravidade local
é de 9, 8 m/s2 , qual a pressão atmosférica constatada por
Flutuação
Torricelli?
Segundo o princı́pio de Arquimedes, quando temos um
corpo na superfı́cie de um fluı́do cujo peso (do corpo) é
anulado (igual em módulo) pelo empuxo que ele sofre antes
de estar completamente submerso, o corpo irá flutuar sobre ele, quando abandonado. Baseado nessa aplicação são
construı́dos todos os tipos de barcos e navios.
Para um corpo de peso P flutuando, a condição de equilı́brio
deve ser satisfeita:
X
Fy = +E − P = 0
4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automóvel
de massa 1.000 kg, o mesmo é erguido a uma certa altura. O
sistema utilizado é uma prensa hidráulica. Sendo os êmbolos
de áreas 10 cm2 e 2.000 cm2 , e a aceleração da gravidade
local de 10 m/s2 , pergunta-se:
a) em qual êmbolo deve-se apoiar o carro?
b) em qual êmbolo deve-se pressionar para se sustentar o
carro?
c) qual a força aplicada no êmbolo para equilibrar o automóvel?
55
Cinemática – Aula 1
0.1
Exercı́cios Complementares
uma bala de canhão, um mı́ssil etc. Por que ponto e por
que material? Ponto, porque, na resolução de problemas, estaremos desprezando as dimensões do corpo em movimento,
5. Água e óleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, sempre que as distâncias envolvidas forem muito grandes em
são colocados em um tubo em “U”. Sendo de 16 cm a relação às dimensões do corpo. Material, porque, embora
altura da coluna de óleo, determine a altura da coluna de as dimensões do corpo sejam desprezadas, sua massa será
água medida acima do nı́vel de separação entre os lı́quidos. considerada.
6. Os icebergs são grandes blocos de gelo que vagam em Repouso, Movimento e Referencial
latitudes elevadas, constituindo um sério problema para a
navegação, sobretudo porque deles emerge apenas uma pe- Examine as seguintes situações:
quena parte, ficando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ρg = 0, 92 g/cm3 a densidade do
• Quando estamos dentro de um veı́culo em movimento,
gelo, determine a porcentagem do iceberg que fica acima da
a paisagem circundante é fundamental para estabelesuperfı́cie livre da água, considerada com densidade igual a
cermos os conceitos de movimento e repouso
ρf = 1, 0 g/cm3 .
• Quando observamos o movimento do sol através da
7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade média
esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movide 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente
menta ao redor do Sol.
que contém água, através de um fio conforme a figura. Determine a intensidade da tração T no fio que segura a bola
• Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado,
(Considere g = 10 m/s2 ).
sem janelas, não saindo dali durante toda a sua
existência. Nesse caso, pode ser que essa pessoa não
tenha condições de afirmar se aquele ambiente está em
repouso ou em movimento.
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T
Cinemática Aula 1
Cinemática
A Cinemática é a parte da Mecânica que estuda e descreve
o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas
(forças).
Em todos esses casos, percebemos que o movimento é determinado a partir de um referencial: a paisagem é o referencial
do carro e o Sol é o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado,
não terá referencial para perceber qualquer movimento, a
não ser o de seu próprio corpo.
Trajetória
Este é outro conceito importante no estudo do movimento.
Vamos partir da figura abaixo. Ela representa uma esfera
abandonada de um avião que voa com velocidade constante:
A8−132
Movimento
Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitivamente uma idéia do que são os estados de movimento e
repouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso)
são relativos: ao dormir você pode estar em repouso em
relação às paredes de seu quarto; entretanto, em relação ao
sol, você é um viajante espacial. A parte da Fı́sica que trata
do movimento é a Mecânica. Ela procura compreender as
causas que produzem e modificam os movimentos. A se- Em relação ao solo, a trajetória da esfera é um arco de
guir, vamos estudar uma subdivisão da Mecânica chamada parábola; e em relação ao avião, a trajetória é um segmento
Cinemática, que trata do movimento sem se referir às causas de reta vertical.
que o produzem.
Então, podemos concluir que a trajetória:
Ponto Material
Em determinadas situações, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avião, um carro,
• é a linha descrita ou percorrida por um corpo em movimento;
• depende do referencial adotado.
56
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Deslocamento × Distância Percorrida
Isso não significa que o veı́culo andou sempre na mesma
velocidade, pois o veı́culo pode ter parado em um posto de
A distância percorrida por um corpo durante um movimento combustı́vel para abastecer.
é a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do
Nós sabemos apenas a distância total e o tempo total da visegmento que representa a trajetória descrita pelo corpo
agem, nada sabemos dos acontecimentos durante a mesma.
neste movimento, em relação ao referencial adotado. O
Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e andeslocamento de um corpo é uma grandeza vetorial, cujo
dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar semmódulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compre a 50 km/h. É a velocidade escalar média. Normalmente
preendidos entre os pontos inicial e final do movimento.
não usaremos o termo distância e sim deslocamento escalar
Na figura, uma partı́cula, saindo do ponto A, percorre a tra- (∆s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos interjetória ABC. A distância percorrida pela partı́cula é a soma valo de tempo (∆t). Dessa maneira:
dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7
metros. Já o deslocamento é representado pela distância
s − s0
∆s
=
Vm =
entre o ponto A e ponto C, que é igual a 5 metros.
∆t
t − t0
A unidade de velocidade no SI é o m/s.
A
Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos:
5m
3m
1 km/h =
B
C
1
1000 m
=
m/s
3600 s
3, 6
e também
4m
1 m/s = 3, 6 km/h
Velocidade Escalar
Observações
• O deslocamento foi representado por um segmento de Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido
reta orientado que denominamos de vetor; os vetores do movimento.
representam as grandezas vetoriais.
• O deslocamento é a menor distância entre o ponto de
saı́da e o ponto de chegada do corpo.
• Numa trajetória retilı́nea a distância percorrida e o
deslocamento podem ser iguais.
Deslocamento Escalar ∆s
É a variação de espaço s. É medido em metros, quilômetros,
centı́metros, etc. Ou seja:
Exemplos
1. Va = +10 m/s: a cada segundo o móvel anda 10 m
e indica movimento no sentido da orientação da trajetória.
2. Vb = −10 m/s: a rapidez é a mesma do móvel anterior
e o movimento é no sentido oposto ao da orientação da
trajetória.
Aceleração
∆s = s − s0
Mede a rapidez da mudança da velocidade, é a variação da
velocidade em função do tempo. Imagine um movimento
O deslocamento escalar pode ser positivo, negativo ou nulo. com a velocidade mudando a cada segundo:
Quando ∆s > 0 o movimento é a favor da orientação da trajetória; quando ∆s < 0 o movimento é contra a orientação
t(s)
0
1
2
3
da trajetória, mas se ∆s = 0 a posição final é igual a inicial.
v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8
onde s0 é o espaço inicial s é o espaço final.
Importante
Há duas possibilidades para ∆s = 0:
• o corpo pode não ter se movimentado;
• o corpo pode ter se movimentado mas retornado a
posição inicial;
Velocidade Escalar Média
A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja,
a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso é, a
aceleração é:
a=+
1, 0 m/s
3, 6 km/h
=
= 1 m/s2
s
s
Aqui temos uma aceleração positiva, pois a velocidade vai
aumentando (em módulo) com o tempo.
Quando falamos que um veı́culo percorreu 100 km em 2 h Outro Exemplo
é fácil determinar que em média ele 50 km a cada 1 h.
Nós dividimos a distância total e o tempo total da viagem. Imagine o seguinte movimento:
57
Cinemática – Aula 2
t(s)
v(m/s)
0
50
1
45
2
40
3
35
360 km/h em 25 segundos. Qual o valor da aceleração,
em m/s2 ?
a) 9,8
A cada segundo a velocidade varia (diminui) em −5 m/s, b) 7,2
ou seja:
c) 6,0
−5 m/s
d) 4,0
2
= −5 m/s
a=
s
e) 2,0
Nesse caso a aceleração é negativa, pois a velocidade vai
diminuindo (em módulo) com o tempo.
5. (PUC) Um trem está com velocidade escalar de 72 km/h
quando freia com aceleração escalar constante de módulo
igual a 0, 40 m/s2 . O intervalo de tempo que o trem gasta
para parar, em segundos, é de:
Aceleração Escalar Média (am )
a) 10
É a variação total da velocidade em relação ao intervalo b) 20
c) 30
total de tempo.
d) 40
e) 50
∆v
v − v0
am =
=
∆t
t − t0
6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com
uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista
observa que o ponteiro do velocı́metro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a aceleração do
No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos carro durante a travessia é de:
(s), e a aceleração em m/s2 .
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
Exercı́cios de Aplicação
d) 4 m/s2
e) n.d.a
Unidades SI
1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo
de 1 min e 40 s. A velocidade escalar média do atleta é de:
a) 8, 0 km/h
b) 28, 8 m/s
c) 28, 8 km/h
d) 20, 0 m/s
e) 15, 0 km/h
Cinemática Aula 2
Movimento Uniforme (MU)
Suponhamos que você esteja dirigindo um carro de tal
forma que o ponteiro do velocı́metro fique sempre na mesma
2. (UEL) Um móvel percorreu 60, 0 m com velocidade de posição, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa
15, 0 m/s e os próximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade condição, você irá percorrer 80 km a cada hora de viagem,
média durante as duas fases foi de:
em duas horas percorrerá 160 km, e assim por diante. O moa) 15, 0 m/s
vimento descrito nessa situação é denominado movimento
b) 20, 0 m/s
uniforme (MU).
c) 22, 5 m/s
Você já deve ter notado, então, que no movimento uniforme
d) 25, 0 m/s
o valor do módulo da velocidade é constante e não nulo, isto
e) 30, 0 m/s
é, o móvel percorre espaços iguais em intervalos de tempo
iguais.
Se, além da velocidade apresentar valor constante e
3. (VUNESP) Ao passar pelo marco “km 200”de uma rodoa
trajetória
for retilı́nea, o movimento é dito movimento
via, um motorista vê um anúncio com a inscrição “ABASretilı́neo
uniforme
(MRU).
TECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS”. Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao
marco “km 245”dessa rodovia, pode-se concluir que o anun- Equação Horária do MU
ciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma
velocidade média, em km/h, de:
Ao longo de um movimento, a posição de um móvel varia no
a) 80
decorrer do tempo. É útil, portanto, encontrar uma equação
b) 90
que forneça a posição de um móvel em um movimento unic) 100
forme no decorrer do tempo. A esta equação denominamos
d) 110
equação horária do movimento uniforme.
e) 120
Considere então, o nosso amigo corredor percorrendo com
velocidade constante v a trajetória da figura.
Onde: x0 é a sua posição inicial no instante t0 = 0 e x é a
Exercı́cios Complementares
sua nova posição no instante t posterior. A velocidade do
corredor no intervalo de tempo ∆t = t − t0 = t é
4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avião percorre a
v − v0
∆x
=
v=
pista com aceleração constante e atinge a velocidade de
∆t
t
58
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
t
t
x
x
0
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v
0
O
—
X
∆ x = vt = Área
O
t
Figura 1: Movimento uniforme (MU).
Figura 3: O deslocamento é igual a área sob a curva
e se v é sempre constante, para qualquer instante t, então do gráfico v × t.
temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a
trajetória do movimento é retilı́nea, temos um movimento
Gráfico da Posição
retilı́neo uniforme (MRU).
Invertendo-se a equação acima, podemos escrever a
equação horária do movimento:
x×t
Como a equação horária no movimento uniforme é uma
equação do primeiro grau, podemos dizer que, para o movimento uniforme, todo gráfico x × t é uma reta inclinada em
x(t) = x0 + vt
relação aos eixos. Quando o movimento é progressivo (para
que nos dá a posição x(t) em cada instante t > 0, para todo a direita) a reta é inclinada para cima, indicando que os valores da posição aumentam no decorrer do tempo; quando o
o movimento.
movimento é retrógrado (para a esquerda), a reta é inclinada
para baixo indicando que os valores da posição diminuem
Gráfico da Velocidade v × t
no decorrer do tempo.
No movimento uniforme, o diagrama da velocidade em Observe no gráfico que, de acordo com a equação horária, a
função do tempo v × t x é uma reta paralela ao eixo dos velocidade pode ser dada pela inclinação da reta, ou seja
tempos, uma vez que a velocidade é constante e não varia
∆x
ao longo do tempo.
v = tan θ =
∆t
v
A inclinação da reta também denominada é chamada de
declividade ou coeficiente angular da reta.
v
v
v>0
v=0
O
t
O
t
O
t
v<0
Figura 2: Gráfico v ×t para o MU: para a direita v > 0
(a); para a esquerda v < 0 (b) e repouso v = 0 (c).
Importante
θ
∆x
∆t
Figura 4: A inclinação de uma reta no gráfico x × t é
a própria velocidade no MU.
• Quando o movimento é na direção positiva do eixo orientado (o sentido positivo usual é para a direita) a Lembre-se de que a tangente de um ângulo, num triângulo
velocidade do móvel é positiva (v > 0). Neste caso x retângulo, é dada pela relação entre cateto oposto e o cateto
cresce com o tempo;
adjacente:
• Quando o movimento é na direção negativa do eixo Para o movimento progressivo temos o seguinte gráfico:
orientado (sentido negativo usual é para a esquerda) a E para o movimento retrógrado observa-se que:
velocidade do móvel é negativa (v < 0), e neste caso,
x decresce com o tempo.
Neste caso como a velocidade está abaixo do eixo das
abscissas, esta possui valor negativo, ou seja está em
sentido contrário ao da trajetória.
• É importante notar que a velocidade corresponde a altura da reta horizontal no gráfico v × t.
• A área de um retângulo é dada pelo produto da base
pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.
Pense um Pouco!
• Um trem com 1 km de extensão viaja à velocidade de
1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar
um túnel de 2 km de comprimento?
• Como seria o gráfico x × t para um objeto em repouso?
• No gráfico x × t, qual a interpretação fı́sica da intersecção da reta com o eixo do tempo t?
59
Cinemática – Aula 3
x
Exercı́cios Complementares
v>0
xo
O
t
4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com
velocidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar
totalmente uma ponte. O comprimento da ponte é:
a) 120 m
b) 100 m
c) 125 m
d) 80 m
e) nenhuma resposta é correta
Figura 5: Gráfico x × t para o movimento uniforme
5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em
(MU) progressivo.
um radar da polı́cia a 108 km/h. Se uma viatura está,
x
logo adiante a uma distância de 300 m do radar, em quanto
tempo o motorista passará pela viatura?
a) 7 s
b) 13 s
c) 20 s
d) 10 s
e) 16 s
v<0
xo
O
t
Figura 6: Gráfico x × t para o movimento uniforme
(MU) retrógrado.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEL) Um automóvel mantém uma velocidade escalar
constante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma
distância igual a:
a) 79, 2 km
b) 80, 8 km
c) 82, 4 km
d) 84, 0 km
e) 90, 9 km
6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as funções horárias
de posição x1 (t) = 100 + 4t e x2 (t) = 5t, com unidades do
SI, o encontro dos móveis se dá no instante:
a) 0 s
b) 400 s
c) 10 s
d) 500 s
e) 100 s
Cinemática Aula 3
Movimento Uniformemente Variado
(MUV)
Analisando um movimento de queda livre, podemos verificar
que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer
do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia com o tempo. Trata-se então de um movimento variado.
Galileu já havia descoberto esse movimento e concluiu que,
desprezando a resistência do ar, quando abandonamos do repouso os corpos próximos a superfı́cie da terra caem com ve2. (ITAÚNA-RJ) A equação horária de um certo movi- locidades crescentes, e que a variação da velocidade é consmento é x(t) = 40 − 8t no SI. O instante t, em que o móvel tante em intervalos de tempos iguais. Podemos então conpassa pela origem de sua trajetória, será:
cluir que este é um movimento uniformemente variado
a) 4 s
(MUV).
b) 8 s
Observamos um MUV quando o módulo da velocidade de
c) 32 s
um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de temd) 5 s
pos iguais, isto é, apresenta aceleração constante e diferente
e) 10 s
de zero.
3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um
mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e
5 m/s, caminhando na mesma direção e no mesmo sentido.
Depois de meio minuto, qual a distância entre elas?
a) 1, 5 m
b) 60, 0 m
c) 150, 0 m
d) 30, 0 m
e) 90, 0 m
No caso da trajetória ser retilı́nea, o movimento é denominado movimento retilı́neo uniformemente variado
(MRUV). Portanto em um movimento retilı́neo uniforme.
Aceleração e Velocidade no MRUV
a = constante 6= 0
Como a aceleração escalar é constante, ela coincide com a
aceleração escalar média:
60
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
a = am =
x
v − v0
∆v
=
∆t
t − t0
fazendo t0 = 0, podemos escrever a equação horária da velocidade, ou seja
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x
a>0
vo = 0
O
t
x
a>0
vo < 0
xo = 0
O
t
a>0
vo < 0
xo < 0
O
t
xo = 0
v = v0 + at
v
v
MRUV
O
a>0
vo > 0
O
t
v
MRUV
a>0
vo < 0
t
Figura 3: x × t para o MRUV com a > 0.
MRU
O
a=0
vo > 0
x
a<0
vo = 0
xo = 0
O
t
t
x
x
O a<0
vo > 0
xo = 0
t
O a<0
vo = 0
xo > 0
t
Figura 1: v × t para o MRUV com a ≥ 0.
v
MRUV
O
v
a<0
vo > 0
MRUV
a<0
vo = 0
O
t
v
t
MRU
O
Figura 2: v × t para o MRUV com a ≤ 0.
Posição versus tempo no MRUV
Figura 4: x × t para o MRUV com a < 0.
a=0
vo < 0
A Equação de Torricelli
t
O fı́sico italiano Evangelista Torricelli estudou matemática
em Roma. Nos últimos meses de vida de Galileu, Torricelli
se tornou seu aluno e amigo ı́ntimo, o que lhe proporcionou
a oportunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma
das consequências disso foi a unificação que Torricelli fez das
funções horárias estabelecidas por Galileu para o movimento
uniformemente variado.
Torricelli eliminou o tempo da função
Analisando o gráfico de v×t, podemos obter a função horária
dos espaço calculando o deslocamento escalar desde t = 0 obtendo
até um instante t qualquer. Como:
∆s = área
∆s =
como:
v + v0
2
t
∆s = s − s0
v = v0 + at
t = (v − v0 )/a
e substituindo o valor de t na função horária dos espaços,
temos
v − v0
v + v0
s = s0 + vm t = s0 +
2
a
onde vm é a velocidade média do movimento.
Finalmente, obtemos a equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆s
e
v = v0 + at
temos
s − s0 =
s − s0 =
1
(v0 + at + v0 )t
2
1
1
(2v0 + at)t = v0 t + at2
2
2
logo,
1
s(t) = s0 + v0 t + at2
2
é a função horária dos espaços s(t).
Pense um Pouco!
• Imagine que você está no interior de um automóvel
em movimento. O automóvel é suficientemente silencioso e macio para que você não perceba sua velocidade e variações de velocidade. Apenas olhando para
o velocı́metro do automóvel, sem olhar pelas janelas e
pára-brisas, é possı́vel classificar o movimento do automóvel?
• Pode-se usar a equação de Torricelli para se determinar
a altura atingida por um projétil lançado verticalmente
para cima? Como?
61
Cinemática – Aula 4
Exercı́cios de Aplicação
d) 169 s
e) 14 s
1. (UEL) Uma partı́cula parte do repouso e, em 5 segundos
percorre 100 metros. Considerando o movimento retilı́neo
uniformemente variado, podemos afirmar que a aceleração
da partı́cula é de:
a) 8, 0 m/s2
Queda Livre
b) 4, 0 m/s2
c) 20 m/s2
Um corpo é dito em queda livre quando esta sob ação exclud) 4, 5 m/s2
siva da gravidade terrestre (ou da gravidade de outro corpo
e) n.d.a.
celeste).
Cinemática Aula 4
2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de
15 m/s, tem, seu freio acionado. A desaceleração produzida pelo freio é de 10 m/s2 . O carro pára após percorrer:
a) 15, 5 m
b) 13, 35 m
c) 12, 15 m
d) 11, 25 m
e) 10, 50 m
Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez,
a queda livre de corpos.
Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto é,
livres do efeito da resistência do ar, tem uma propriedade
comum;
Corpos em queda livre têm a mesma aceleração quaisquer
que sejam suas massas.
Esta aceleração de queda livre é denominada aceleração
da terra, é suposta cons3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movi- da gravidade e, nas proximidades
2
tante
e
com
módulo
g
=
9.8
m/s
,
valor
este que por pratimento retilı́neo é dada pela expressão v(t) = 10 − 2t, no SI.
cidade,
é
usualmente
aproximado
para
g
= 10 m/s2 .
Calcule o espaço percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s
Na realidade, a aceleração da gravidade, embora seja indee 3 s.
pendente da massa do corpo em queda livre, varia com o
a) 3 m
local, dependendo da latitude e da altitude do lugar.
b) 5 m
c) 8 m
Se o corpo em queda livre tiver uma trajetória retilı́nea,
d) 16 m
seu movimento será uniformemente variado; neste caso, a
e) 21 m
aceleração escalar do corpo será constante e valerá sempre
a = −g, independente do sentido do movimento. Desta
forma, se um objeto for lançado para cima (v0 > 0), ele irá
Exercı́cios Complementares
frear (desacelerar) até parar (v = 0) e depois seu sentido de
movimento será invertido (v > 0).
4. (CEFET) Na decolagem, um certo avião partindo do
repouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua
aceleração constante, a velocidade com que o avião levanta
vôo é:
a) 100 m/s
b) 200 m/s
c) 125 m/s
d) 50 m/s
e) 144 m/s
5. (UNESP) Um móvel descreve um movimento retilı́neo
obedecendo a função horária x(t) = 8 + 6t − t2 no SI. Esse
movimento tem inversão de seu sentido no instante:
a) 8 s
b) 3 s
c) 6 s
d) 2 s
e) 4/3 s
Convenções
• o sentido positivo do eixo vertical é debaixo para cima;
• quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento
é acelerado (v cresce em módulo);
• quando a e v possuem o sinais contrários, o movimento é desacelerado, freado ou então dito também
retardado (v diminui em módulo);
Velocidade Escalar Final
Em um local onde o efeito do ar é desprezı́vel e a aceleração
da gravidade é constante e com módulo g, um corpo é abandonado a partir do repouso de uma altura h acima do solo.
Vamos obter a velocidade escalar final de um corpo ao solto
(v0 = 0), atingir o solo. Pela equação de Torricelli:
6. (UNESP) No instante em que o sinal de trânsito autoriza a passagem, um caminhão de 24 m de comprimento
v 2 = v02 + 2a∆s = v02 + 2a(s − s0 )
que estava parado começa atravessar uma ponte de 145 m
de comprimento, movendo-se com uma aceleração constante sendo s0 = h e s = 0, temos:
de 2, 0 m/s2 . O tempo que o caminhão necessita para atrav 2 = 0 + 2(−g)(0 − h) = 2gh
vessar completamente a ponte é:
a) 12 s
então
b) 145 s
p
c) 13 s
v = − 2gh
62
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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será a sua velocidade escalar ao atingir o chão. Escolhemos projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade
o sinal negativo (−) porque o corpo está descendo, contra o de módulo igual a v0 .
sentido crescente do eixo vertical (que é para cima).
Estudemos as propriedades associadas a este movimento:
Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a ve1
s(t) = s0 + v0 t − gt2
locidade final v, como era de se esperar, mas que v não é
2
proporcional a h.
e
v(t) = v0 − gt
Tempo de Queda
Observa-se que:
Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um
corpo é solto (v0 = 0) de uma altura h, até atingir o solo.
Pela equação horária da velocidade do MRUV, temos:
v(t) = v0 + at
v
a = −g
vo = 0
tq
0
t
• o movimento do projétil é uniformemente variado porque a aceleração escalar é constante e diferente de zero;
• como foi lançado para cima, a velocidade inicial do
projétil é positiva (v0 > 0);
• orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, a aceleração escalar vale −g;
• A partir do ponto mais alto da trajetória, o projétil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade é nula no ponto mais alto (ponto de inversão);
• O tempo de subida ts do projétil é calculado como se
segue:
se
v(t) = v0 − gt
e v(ts ) = 0 para a posição mais alta, temos
Figura 1: v × t para a queda livre.
0 = v0 − gts
e finalmente
ts =
e para a queda livre será
Pode-se mostrar que o tempo de descida é igual ao
tempo de subida. Mostre você mesmo.
v(t) = v0 − gt
√
e sendo v0 = 0 e v = − 2gh temos
p
− 2gh = 0 − gt
e finalmente
t=
√
2gh
=
g
s
• a velocidade escalar de retorno ao solo é calculada como
se segue:
como o tempo total de vôo é 2ts , temos
2v0
v(2ts ) = v0 − g(2ts ) = v0 − g
g
2h
g
ou seja, a velocidade de retorno será
h
a = −g
vo = 0
xo = h
0
tq
x
v0
g
t
v = −v0
A mesma aceleração que retarda a subida do projétil
é a que o acelera na descida e tem módulo constante
g, portanto concluı́mos que que ao retornar ao solo,
o projétil chaga com a mesma velocidade inicial de
lançamento, em módulo.
• A altura máxima atingida pelo projétil é calculada a
partir da equação de Torricelli:
v 2 = v02 + 2a∆s
Figura 2: x × t para a queda livre.
Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo
de queda t, como também era de se esperar, e que t também
não é proporcional a h.
e como v = 0 e ∆s = h, temos
0 = v02 + 2(−g)h
donde
h=
Lançamento Vertical
Em um local onde o efeito do ar é desprezı́vel e a aceleração da gravidade é constante e com módulo igual a g, um
v02
2g
Observe que quanto maior a velocidade inicial v0 ,
maior a altura h atingida pelo projétil, como era de
se esperar, e que h não é proporcional a v0 .
63
Cinemática – Aula 5
Pense um Pouco!
•
•
•
•
5. (UNICAMP) Uma atração que está se tornando muito
popular nos parques de diversão consiste em uma plataPor que uma folha inteira e outra amassada não che- forma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de
gam juntas ao chão, quando soltas simultaneamente de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a
30 m do solo, ela passa a ser freada por uma força constante
uma mesma altura?
e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da
Um corpo pode ter aceleração a 6= 0 e v = 0? Como?
plataforma quando o freio é acionado é dada por :
Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando a) 10 m/s
para baixo (a < 0)? Como?
b) 30 m/s
c) 75 m/s
por que não se deve dar um tiro para cima com uma
d) 20 m/s
arma de fogo?
e) 40 m/s
6. (CEFET-PR) Um balão meteorológico está subindo com
velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura
de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o
aparelho
leva para chegar ao solo é:
1. (UFAL) Uma pedra é abandonada de uma altura de
a)
2
s
2
7, 2 m, adotando g = 10 m/s e desprezando-se a resistência
do ar, pode-se afirmar que a sua velocidade escalar ao atingir b) 4 s
c) 5 s
o solo será:
d) 3 s
a) 12 m/s
e) 7 s
b) 36 m/s
Exercı́cios de Aplicação
c) 360 m/s
d) 18 m/s
e) 180 m/s
2. (FUVEST) Um corpo é solto, a partir do repouso, do
topo de um edifı́cio de 80 m de altura. Despreze a resistência
do ar e adote g = 10 m/s2 . O tempo de queda até o solo e
o módulo da velocidade com que o corpo atinge o solo são:
a) 4, 0 s e 72 km/h
b) 2, 0 s e 72 km/h
c) 2, 0 s e 144 km/h
d) 4, 0 s e 144 km/h
e) 4, 0 s e 40 km/h
3. (FUVEST) Um corpo é disparado do solo, verticalmente para cima, com velocidade inicial de módulo igual
a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resistência do ar e adotando
g = 10 m/s2 , a altura máxima alcançada pelo projétil e o
tempo necessário para alcançá-la são respectivamente:
a) 4, 0 km e 40 s
b) 2, 0 km e 40 s
c) 2, 0 km e 10 s
d) 4, 0 km e 20 s
e) 2, 0 km e 20 s
Cinemática Aula 5
Movimento
(MCU)
Circular
Uniforme
Em um movimento onde a trajetória é uma circunferência
(ou arco de uma circunferência) e a velocidade escalar é
constante, este é denominado como movimento circular
uniforme (MCU). Neste movimento a partı́cula é localizada pela sua posição angular θ, que varia uniformemente
com o tempo.
v2
v1
R
θ
v3
O
v4
Exercı́cios Complementares
Figura 1: O movimento circular uniforme (MCU).
4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um método interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas –
o caranguejo. Consiste em suspendê-lo a uma determinada
altura e aı́ abandonar sua vı́tima para que chegue ao solo
com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s, suficiente
para que se quebre por inteiro. Despreze a resistência do
ar e adote g = 10 m/s2 . A altura de elevação utilizada por
essas aves é:
a) 15 m
b) 45 m
c) 90 m
d) 30 m
e) 60 m
No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o
tempo todo, porém mantém fixo o seu módulo (velocidade
escalar).
Movimento Periódico
Um movimento é chamado periódico quando todas as suas
caracterı́sticas (posição, velocidade e aceleração) se repetem
em intervalos de tempo iguais.
O movimento circular e uniforme é um exemplo de movimento periódico, pois, a cada volta, o móvel repete a
posição, a velocidade e a aceleração.
64
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Perı́odo (T )
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Unidades SI
Define-se como perı́odo (T ) o menor intervalo de tempo A velocidade angular ω é medida em rad/s no SI.
para que haja repetição das caracterı́sticas do movimento.
No movimento circular e uniforme, o perı́odo é o intervalo
Relação entre v e ω
de tempo para o móvel dar uma volta completa.
Como é uma medida de tempo, a unidade SI do perı́odo é
Como a velocidade escalar no MCU é v = 2πRf e ω = 2πf ,
o segundo.
então
v = ωR
Frequência (f )
Ou seja, a velocidade escalar v é proporcional à velocidade
Define-se a frequência (f ) de qualquer movimento periódico angular ω.
como o número de vezes que as caracterı́sticas do movimento
se repetem durante uma unidade de tempo, ou seja, 1 s.
No movimento circular uniforme, a frequência é o número de
voltas realizadas na unidade de tempo. Se o móvel realiza
n voltas em um intervalo de tempo t, a frequência f é dada
por:
n
f=
t
Vetores no MCU
Já vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem módulo constante, porém direção variável
e, portanto o vetor v é variável. Sendo a velocidade vetorial
variável, vamos analisar a aceleração vetorial a.
e por definição, como no MCU o tempo de uma volta com- Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at
pleta (n = 1) é o próprio perı́odo do movimento, temos que da aceleração vetorial é nula:
f=
1
T
at =
∆v
=0
∆t
A unidade SI da frequência f é s−1 ou também chamado Sendo a trajetória curva, a componente normal an da acede hertz, cuja abreviação é Hz. Pode-se também medir a leração, ou também chamada de aceleração centrı́peta não
é nula (an 6= 0).
frequência em rotações por minuto ou rpm.
O módulo da aceleração centrı́peta pode ser calculado pela
seguinte expressão:
Exemplo
2v sin(∆θ/2)
∆v
=
ac =
Se um movimento tem frequência de 2, 0 Hz, então são da∆t
∆t
das duas voltas completas por segundo, ou seja, o perı́odo
do movimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 e como ∆θ = ω∆t, e o ângulo ∆θ é pequeno para ∆t pesegundos, esse movimento terá uma frequência de 120 rpm. queno, temos
∆θ
∆θ
sin
≃
2
2
Velocidade Escalar v
e
2ωR∆θ/2
Para uma volta completa, em uma circunferência de raio R,
ac =
= ω2R
∆θ/ω
temos que
∆s
2πR
v=
=
ou então, como v = ωR
∆t
T
logo, para o MCU temos
ac =
v = 2πRf
Velocidade Angular ω
Define a velocidade angular ω de forma semelhante à definição de velocidade v, só que nesse caso estamos interessados na variação da posição angular ocorrida no MCU.
Então:
θ − theta0
∆θ
=
ω=
∆t
t
Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular será 2π e t = T , temos
ω=
2π
= 2πf
T
v2
R
v(t)
v (t +∆ t)
ac
∆v
v(t)
v (t +∆ t)
∆θ=ω ∆t
θ=ω t
∆θ=ω ∆t
R
Figura 2: A aceleração centrı́peta (normal).
65
Ondas – Aula 1
Pense um Pouco!
d) 6/π Hz
e) 10/π Hz
• Certos fenômenos da natureza, como a trajetória da
Terra em torno do Sol e o movimento dos satélites 5. (FUVEST) Um ciclista percorre uma pista circular de
apresentam movimento circular uniforme? Dê exem- 500 m de raio, com velocidade escalar constante de 20 m/s.
A aceleração do ciclista é:
plos.
a) 0, 5 m/s2
• Imagine um disco girando em torno do seu centro. b) 0, 8 m/s2
As velocidades de todos os seus pontos são iguais em c) 1, 4 m/s2
módulo? Explique.
d) 0, 6 m/s2
e) 1, 2 m/s2
• Como são os vetores de velocidade de diferentes pontos
de uma mesma roda (disco) que gira? Faça um esboço 6. (CEFET-PR) A órbita da Terra em torno do Sol, em
dos vetores.
razão da sua baixa excentricidade, é aproximadamente uma
circunferência. Sabendo-se que a terra leva um ano para re• Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de
alizar uma volta completa em torno do Sol e que a distância
um relógio mecânico?
média da Terra ao Sol é 150 milhões de km, os módulos
dos vetores da velocidade e aceleração em km/s e m/s2 são
respectivamente:
Exercı́cios de Aplicação
a) 10 e 2, 0 × 10−3
b) 20 e 2, 0 × 10−3
−3
1. (FCC) Uma partı́cula executa um movimento uniforme c) 30 e 6, 0 × 10
−3
sobre uma circunferência de raio 20 cm. Ela percorre me- d) 20 e 6, 0 × 10
−3
tade da circunferência em 2, 0 s. A frequência, em hertz, e e) 10 e 6, 0 × 10
o perı́odo do movimento, em segundos, valem, respectivamente :
a) 4,0 e 0,25
b) 1,0 e 1,0
c) 0,25 e 4,0
Ondas
d) 2,0 e 0,5
e) 0,5 e 2,0
Ondas Aula 1
Movimento Harmônico Simples
2. (UFES) Uma pessoa está em uma roda-gigante que tem
raio de 5 m e gira em rotação uniforme. A pessoa passa pelo
ponto mais próximo do chão a cada 20 segundos. Podemos
afirmar que a frequência do movimento dessa pessoa, em
rpm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
O movimento harmônico simples (MHS) é um movimento
repetitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante flexı́vel (movimento na vertical); ou então suspenso por um fio longo
(movimento na horizontal - pêndulo simples).
Todo MHS pode ser pensado como sendo a projeção de um
movimento circular e uniforme num dos diâmetros da circunferência percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunferência correspondente
ao movimento circular.
3. (ITA) Um automóvel percorre uma trajetória com velo- Você poderá estudar a projeção sobre o eixo dos x, obtendo
cidade escalar constante. A roda do automóvel, cujo raio uma equação do tipo
é 30 cm, dá 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da
roda é, em rad/s:
x(t) = R cos(ωt + θ0 )
a) 20π rad/s
ou sobre o eixo dos y, obtendo a equação análoga
b) 30π rad/s
c) 40π rad/s
y(t) = Rsen (ωt + θ0 )
d) 50π rad/s
e) 60π rad/s
Para o movimento circular sabemos que R é o raio da circunferência, ω a velocidade angular do objeto em movimento
circular e uniforme, e θ0 é a posição angular inicial ocuExercı́cios Complementares
pada pelo objeto no instante t0 = 0 (θ0 equivale, em termos
angulares, ao s0 dos movimentos estudados ao longo de tra4. (ACAFE) Um automóvel percorre uma estrada com ve- jetórias).
locidade escalar constante e igual a 8, 0 m/s e suas rodas
possuem raio R = 0, 40 m. A frequência de rotação da roda
é:
a) 5/π Hz
b) 8/π Hz
c) 12/π Hz
Assim, podemos entender o significado das constantes do
MHS:
R = A é a amplitude do movimento a partir do centro de
oscilação;
ω recebe também a denominação de frequência angular
(é fácil demonstrar que w = 2π
T , em que T é o perı́odo do
66
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
MHS;
ωt + θ0 , o argumento do seno (ou cosseno), é a chamada
fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma,
quando t = 0 temos (ωt + θ0 ) = θ0 ;
θ0 é a fase inicial.
Depois desse entendimento, podemos reescrever as equações
anteriores em termos das amplitudes A ao invés do raio R,
então:
x(t) = A cos(ωt + θ0 )
y(t) = Asen (ωt + θ0 )
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sobre o qual fixamos o eixo x, com origem onde a vertical
tirada do ponto de suspensão do pêndulo corta esse eixo.
Então, fazendo
x
sen θ = ,
L
o módulo da força resultante sobre a partı́cula fica:
F (x) = −
mg
x
L
Análise dos Sinais
O sinal negativo indica que a força resultante aponta na
mesma direção que aquela escolhida como positiva para o
Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa eixo x quando a elongação é negativa e na direção oposta
em um pêndulo simples. O pêndulo simples consiste em uma quanto a elongação é positiva. Ou seja, a força é restaupartı́cula de massa m suspensa por um fio inextensı́vel, de radora, pois quando a partı́cula vai para a direita (x > 0)
massa desprezı́vel e comprimento L, que oscila num plano a força horizontal “puxa”ela para a esquerda (F < 0), e
vertical, fixo na extremidade superior do fio, como vemos quando ela vai para a esquerda (x < 0), a força a “empurra”de volta par a direita (F > 0). Através desse tipo de
na figura abaixo:
força é que se obtém o MHS.
Pêndulo Simples
1111111111111111
0000000000000000
Observe que a força dada acima tem a forma geral F (x) =
−kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa força lembra alguma
outra lei ou sistema fı́sico já estudado? Qual?
L
Dica de Vestibular
θ
T
x
mg cos θ
mg sen θ O
DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em
vestibulares são o perı́odo (T ) e a frequência (f ) de um
pêndulo simples, não que as outras grandezas não tenham importância e sim pela sua simplicidade matemática
e conteúdo teórico, então, resumidamente em termos do
perı́odo temos:
2π
T =
ω
T = 2πf
mg
T =
T = 2π
Figura 1: Pêndulo Simples.
Esse problema pode ser considerado um problema de MHS
somente para pequenos ângulos de abertura, ou seja, afastase o pêndulo ligeiramente de sua posição de equilı́brio, e
solta-se. Observa-se que a partı́cula executa um movimento
circular de raio L, porém de vai-e-vem, portanto com velocidade variável.
Ignorando a resistência do ar, as forças que atuam sobre a
partı́cula são a força peso, exercida pela Terra, e a tensão,
exercida pelo fio. Como o fio é inextensı́vel, a componente
do peso ao longo do fio cancela a força de tensão. A resultante das forças que atuam sobre a partı́cula é, portanto, a
componente do peso na direção do movimento da partı́cula,
cujo módulo vale mgsen (θ).
A partı́cula do pêndulo descreve um arco de circunferência.
Mas, se a amplitude do movimento é muito menor que o
comprimento L do fio, ou seja, se o ângulo θ é pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal
1
f
s
L
g
E em termos da frequência temos:
f=
w
2π
f=
f=
1
2π
1
T
r
g
L
Pense um Pouco!
1. Como podemos determinar a aceleração da gravidade
com um pêndulo Simples?
2. O movimento de translação da terra em torno do sol é
um MHS?
67
Ondas – Aula 2
Exercı́cios de Aplicação
Onda Mecânica
Precisa de um meio mecânico natural para se propagar (não
1. Um pêndulo oscila, na Terra com perı́odo igual a 4 sese propaga no vácuo).
gundos. Determinar o perı́odo desse mesmo pêndulo em um
planeta onde a aceleração da gravidade é quatro vezes maior Exemplos
Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na suque a da Terra.
perfı́cie da água ou numa membrana esticada (tambor).
2. Um MHS (movimento harmônico simples) é descrito pela
função horária x(t) = 5cos(πt/2 + 3π/2), com x em metros
e t em segundos. É correto afirmar que:
Onda Eletromagnética
a) a amplitude do movimento é 10 m.
b) a velocidade angular é 5π/2 rad/s.
Não necessita de um meio mecânico para se propagar, e pode
c) a frequência do movimento é 0, 25 Hz.
se propagar no vácuo ou também em meios mecânicos.
d) o perı́odo do movimento é 0, 50 s.
Exemplos
e) a fase inicial é 3π radianos.
Ondas de rádio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor,
3. Um pêndulo simples de massa m executa oscilações de como aquelas que vem do Sol até a Terra pelo vácuo intepequena abertura angular e realiza um MHS. Então o seu restelar.
perı́odo de oscilação:
a) independe do comprimento do pêndulo.
b) é proporcional ao comprimento do pêndulo.
Classificação das Ondas
c) independente do valor da aceleração da gravidade local.
d) é inversamente proporcional ao valor da aceleração da Quanto ao tipo de perturbação propagada pela onda, elas
gravidade local.
são classificadas em transversais ou longitudinais.
e) independe da massa m.
Exercı́cios Complementares
4. Faça testes numéricos para estimar até onde vale a
relação sen θ ≈ θ, para ângulos theta dados em rad, com
a precisão de até duas casas decimais.
Ondas Transversais
São aquelas em que a direção das oscilações é perpendicular
(ou transversal) à direção da propagação da onda.
Vibraçao
corda
Propagaçao
T
T
5. Para dobrar a frequência de oscilação de um pêndulo
simples é suficiente:
a) transportá-lo para um planeta de aceleração da gravidade
duas vezes maior.
b) transportá-lo para um planeta de aceleração da gravidade
quatro vezes.
Figura 1: Onda transversal.
c) dobrar o comprimento do fio.
d) reduzir à quarta parte o comprimento do fio.
Exemplos
e) dobrar a massa pendular.
Nas ondas eletromagnéticas, um campo elétrico e um
6. Ache a relação entre o comprimento de dois pêndulos magnético oscilam em planos perpendiculares à direção
para que um realize nove oscilações enquanto o outro realiza de propagação da onda. Por esta razão, por exemplo,
convencionou-se posicionar as antenas de rádio em pé, para
dezesseis oscilações.
que o campo elétrico seja emitido verticalmente, enquanto
7. Determine o comprimento de um pêndulo simples que a onda se propaga horizontalmente, e desta forma possa ser
possui perı́odo igual a 1, 0 s. Use g = 10 m/s2 .
captado pelas antenas receptoras.
Ondas Aula 2
Ondas
Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma
perturbação que se propaga através de um meio.
Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada,
ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um
pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo
da direção da corda, horizontalmente. Se observarmos de
perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas
sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. Não há um
deslocamento horizontal da corda (meio mecânico).
Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulatório causado pelos espectadores, a “ôla”. Num movimento coordenado, os espectadores levantam e sentam, proTipos de Ondas
vocando a propagação de uma onda pelas arquibancadas,
Quanto à necessidade ou não de um meio mecânico, as ondas que também é uma onda transversal. Observe que, se todos
se classificam em dois grandes grupos: as ondas mecânicas levantassem e sentassem ao mesmo tempo, nenhuma onda
e as ondas eletromagnéticas.
seria observada.
68
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Ondas Longitudinais
No caso de ondas na superfı́cie de uma piscina ou lago, ou
mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos
Como o próprio nome diz, a onda longitudinal transporta ondas bidimensionais.
oscilações (vibrações) cuja direção coincide com a direção
da propagação, ou seja, ao longo da direção de propagação.
Ondas Tridimensionais
propagação da onda
compressões
empurrar
para a ponta fixa
São aquelas que se propagam em todas as três direções do
espaço, tornando a sua descrição, bastante trabalhosa.
Exemplos
Na explosão de uma “bombinha”, aquelas que a gente soltava quando moleque, são produzidas ondas sonoras que
se propagam a partir de um ponto (pequena região do
espaço) para todas as direções, formando verdadeiras ondas
Figura 2: Onda longitudinal.
esféricas, que poderão ser percebidas por pessoas no chão,
ou mesmo pássaros no ar, pois se propagam tridimensionalExemplos
As ondas sonoras são ondas de pressão que se propagam mente.
longitudinalmente em meios sólidos, lı́quidos ou gasosos.
Quando você dá uma martelada na extremidade de uma
Energia Transmitida
longa barra de ferro (de construção), a compressão causada
na direção da barra se propaga, fazendo os pontos da barra Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podeoscilarem na direção da barra. É claro que uma barra de mos classificá-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas
ferro pode propagar, ao mesmo tempo, tanto ondas longi- térmicas, etc.
tudinais quanto ondas transversais.
Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com
uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos Elementos de uma Onda
verificar que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre, batendo verticalmente, um pulso de compressão Ondas Periódicas
será propagado longitudinalmente, subindo na mola.
São aquelas que recebem pulsos periódicos, ou seja, recebem
Quando um pescador convencional estica sua linha (espera pulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por
ou espinhel) para pescar, ele percebe a “beliscada”do peixe um mesmo ponto com a mesma frequência.
pelas ondas longitudinais transportadas até a sua mão, pela
linha tensa. Quando usa uma bóia, ou rolha, ele vê as ondas
transversais causadas na superfı́cie da água pelas beliscadas Unidades SI
dos peixes. Em ambos os casos, as ondas estão sendo usadas
As ondas periódicas possuem alguns elementos básicos, que
para transmitir informação, compreendeu?
são:
o perı́odo P (ou T ), medido em s;
Ondas no Espaço
o comprimento de onda λ, medido em m;
a frequência f , medida em s−1 ou Hz (hertz);
Quanto ao tipo de propagação e a complexidade do movia amplitude y, medida em m;
mento espacial das ondas, podemos classificá-las em unidique podem ser verificados na figura abaixo.
mensionais, bidimensionais ou tridimensionais.
puchar
oscilações
rarefações
Comprimento de Onda
Ondas Unidimensionais
Amplitude
Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda
se propaga de forma unidimensional, pois simplificamos a
sua descrição reduzindo o movimento ondulatório à uma
dimensão mais relevante.
Exemplo
Por exemplo, ao estudar a propagação de uma onda sonora
dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidimensional, dentro do tubo.
x
Figura 3: Elementos de uma onda senoidal.
Relação Matemáticas
Ondas Bidimensionais
v = λf
Em outros casos, é evidente que o movimento ondulatório onde
não pode ser restrito à uma direção (dimensão), pois ocorre v é = velocidade de propagação da onda no meio
sobre uma superfı́cie bidimensional.
λ é o comprimento da onda
f é a frequência da onda.
Exemplos
69
Ondas – Aula 3
Pense um Pouco!
d) apenas II e III
e) I, II e III
• Uma pessoa toca numa corda de um violão uma nota
e você ouve o som. Identifique os vários tipos de ondas 6. A onda sonora é classificada como ........ pois a sua
propagação ocorre somente em meio ........, que vibra com
envolvidos no processo completo. Comente.
a onda deslocando-se na direção ......... à sua direção de
• Nós enxergamos usando luz. Seria possı́vel se enxergar propagação.
com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? a) mecânica – material – paralela
Justifique.
b) mecânica – gasoso – paralela
c) mecânica – sólido – perpendicular
d) eletromagnética – material – perpendicular
Exercı́cios de Aplicação
e) eletromagnética – material – paralela
1. A distância entre o nı́vel de repouso da água e a
“crista”de uma onda, é chamada de:
a) timbre
b) perı́odo
c) amplitude
d) ressonância
e) comprimento de onda
2. Ondas que oscilam na mesma direção em que se propagam são chamadas de ondas:
a) transversais
b) eletromagnéticas
c) tensoriais
d) gravitacionais
e) longitudinais
3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranquilo,
formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem circulares é uma evidência de que:
a) as ondas transportam energia
b) as ondas transportam matéria
c) a velocidade de propagação das ondas é a mesma em todas as direções
d) a velocidade de propagação das ondas depende da densidade da pedra
e) a pedra afundou depois de atingir a água.
Exercı́cios Complementares
4. As ondas eletromagnéticas, como as ondas luminosas,
propagam-se independentemente do meio. No vácuo, todas
as ondas eletromagnéticas possuem:
a) a mesma amplitude
b) a mesma frequência
c) a mesma velocidade
d) o mesmo comprimento de onda
e) a mesma energia
5. Considere as afirmações abaixo:
I. As ondas luminosas são constituı́das pelas oscilações de
um campo elétrico e de um campo magnético.
II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se
propagar
III. As ondas eletromagnéticas não precisam de um meio
material para se propagar.
Quais delas são corretas?
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada
num lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequência das ondas
é:
a) 1 41 s
b) 1, 25 m
c) 0, 80 s−1
d) 1, 25 Hz
e) 20/s
Ondas Aula 3
Ondas e Interferência
Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma região do
espaço dá-se o que chamamos de interferência. O resultado da interferência entre duas ondas depende da diferença
de fase entre elas.
Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante,
assumimos como válido o princı́pio de superposição:
“Os deslocamentos causados no meio pela presença de duas
ou mais ondas são somados, ou seja, superpostos, como se
cada onda continuasse se propagando como se as outras não
existissem.”
Ou seja, uma não afeta as outras, mas o que observamos é
o efeito conjunto de todas as ondas.
Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso simples, os deslocamentos do meio serão somados algebricamente, podendo-se obter interferência destrutiva e construtiva.
Interferência Destrutiva
Na figura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coincidentes. As duas têm a mesma amplitude, o mesmo comprimento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento
máximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferença
de fase entre elas é zero. Ou seja, as ondas estão em fase.
Nesse caso, a interferência é chamada de construtiva, pois
uma onda soma-se à outra, reforçando-a, e o resultado é uma
única onda cuja amplitude é a soma das duas amplitudes.
Interferência Destrutiva
Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento máximo positivo de uma corresponde com o deslo-
70
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Figura 1: Interferência construtiva.
Figura 3: Interferência geral.
camento máximo negativo da outra, os efeitos (amplitude
resultante) tendem a se cancelar.
Na outra figura abaixo, as duas ondas têm uma diferença
de fase de “meia onda”. Isso faz com que um alto de uma
delas coincida com um baixo da outra. Acontece, então,
uma interferência destrutiva entre elas. O resultado é que
¯
uma anula completamente o efeito da outra. Nessa região
não haverá mais onda nenhuma.
coloca uma música num volume bem alto num aparelho de
som potente, todos os outros irão ouvi-la.
Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos
de ondas) tem a capacidade de contornar obstáculos. A esta
habilidade definiu-se o nome de difração, que ocorre devido
ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns centı́metros a vários metros, de forma que estas ondas
são ”grandes”em comparação com as aberturas e obstáculos
frequentemente encontrados na natureza.
Um critério simples para saber se a difração será observada
numa onda, ao passar por um obstáculo ou abertura de
tamanho D, é o de que o comprimento de onda λ usado
seja da ordem aproximada do tamanho D, ou seja:
λ≈D
Figura 2: Interferência destrutiva.
Quando partes de uma onda são atrapalhadas pela presença
de obstáculos, sua propagação no meio considerado torna-se
bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria.
Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio
d’água com ondas planas se propagando em sua superfı́cie.
Veja figura abaixo:
Caso Geral de Interferência
Em geral, podemos observar num mesmo meio a propagação
de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, não
sendo possı́vel a observação da interferência construtiva e
nem da destrutiva, mas a onda resultante é resultado da
interferência geral entre as ondas, chamadas de componentes.
Na figura a seguir, as duas ondas têm uma diferença de
fase genérica. A interferência entre elas não é totalmente
construtiva nem totalmente destrutiva. O resultado é uma
onda única cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e
a soma das amplitudes das ondas, dependendo da diferença
de fase entre elas.
Difração
É possı́vel ouvir o som produzido por uma explosão que se
situa atrás de um muro delimitador, mesmo que este tenha
grande espessura de tal forma que as ondas sonoras não
consigam atravessá-lo. Da mesma forma, se algum membro
da sua famı́lia que está trancado sozinho num dos quartos
Figura 4: Difração de ondas na água.
O estudo da difração é importante nos dias de hoje para estudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo
a cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira
estudar se um material é ou não adequado ao emprego em
pesquisas, experimentos ou mesmo em indústrias.
71
Ondas – Aula 3
Para Saber Mais!
frequência muito baixa) com comprimento de milhões de
quilômetros, da ordem de 101 2 metros (terametros).
Como vimos na seção anterior, sempre que a diferença de Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela comfase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 porta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos
comprimentos de onda etc, as ondas interferem construtivaolhos é a denominada luz visı́vel. Esta faixa vai desde
mente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferença de o violeta (4 × 10−7 m) ao vermelho (7 × 10−7 m). Entre
fase for de meio comprimento de onda, três meios compri- estes dois valores estão as cores do espectro visı́vel, onde
mentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suas
operam os telescópios ópticos, por exemplo.
amplitudes se subtraem.
Imagine então que um feixe de raios-X incida sobre um cristal. Como o espaçamento entre os átomos do cristal tem
um valor comprável com o comprimento de onda do raio-X,
o feixe se refletirá nos planos dos átomos como em um espelho. Veja o se passa com dois raios que incidem em planos
vizinhos. Os máximos (”altos”) de cada onda são assinalado
com uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo
e percorre uma distância um pouco maior que o outro. A
diferença entre os dois caminhos é mostrada. Nesse desenho, essa diferença é exatamente um comprimento de onda.
Portanto, os raios refletidos (ou ”difratados”, no caso) saem
em fase e terão interferência construtiva. É claro que isso só
acontece para um ângulo de incidência bem determinado.
Raio X incidente
Raio X difratado
’
Atomos
Figura 6: Espectro eletromagnético.
O tamanho reduzido da “janela visı́vel”nos mostra a importância dos instrumentos sensı́veis a outros comprimentos de onda. Radiotelescópios operando na faixa das microondas conseguiram mapear a nossa galáxia, enquanto
telescópios sensı́veis a raios X estão em órbita localizando
quasares.
É interessante observar que o Sol irradia ondas eletromagnéticas em todos os comprimentos de onda, porém o
máximo de energia emitida (cor amarela) está justamente
dentro da pequena faixa do nosso espectro visı́vel. Os cientistas acreditam que a visão tenha evoluı́do durante milhões
de anos de adaptações e otimizações, deslocando a nossa capacidade visual em direção ao ponto ótimo, próximo ao pico
de radiação solar, correspondente à cor do amarelo.
Alguns animais, como o gato e outros predadores de
vida noturna, podem perceber visualmente radiação infravermelhas, as chamadas radiações térmicas, e localizam
mamı́feros (de sangue quente) enxergando-os no escuro, já
que emitem ondas térmicas, que para nós são invisı́veis.
Figura 5: Difração de raio-X.
Se você sabe um pouco de trigonometria pode ver, na figura,
que a diferença de caminhos é 2dsen θ, onde é o ângulo entre
a direção dos raios-X e o plano de átomos do cristal.
A interferência será construtiva e, portanto, haverá um feixe
difratado apenas no caso em que essa diferença de caminhos
for um número inteiro de comprimentos de onda do raio-X.
Isto é, se
2dsen(θ) = nλ
com n ∈ N, haverá um feixe difratado.
Essa é a famosa lei de Bragg.
Você Sabia?
Natureza Ondulatória da Luz
Pense um Pouco!
• Quando uma banda de rock toca, observa-se o
fenômeno da interferência? Explique.
• Se a luz difratasse em qualquer condição, quais
fenômenos do nosso cotidiano seriam alterados?
• Porque não conseguimos sintonizar as rádios FM atrás
de morros, e as rádios AM sim? Determine o comprimento de onda tı́pico de cada uma dessas faixas de
rádio, compare e explique.
Exercı́cios de Aplicação
1. Observa-se a interferência de duas ondas quando:
a) elas possuem a mesma frequência
O que é a luz? A luz é uma radiação eletromagnética dual,
b) elas possuem a mesma amplitude
que se comporta, ora como onda, ora como matéria, e viaja
c) elas se propagam em sentidos opostos
à cerca de 300.000 km/s no vácuo.
d) elas são transversais
Na verdade, as radiações eletromagnéticas cobrem uma e) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante
extensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios
cósmicos, com comprimentos de onda menores que 10−18 2. São fenômenos ondulatórios comuns à qualquer tipo de
metros (attometros), até as VLF (ondas de rádio de onda:
72
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
a) interferência – aniquilação – transporte
b) difração – amortecimento – inércia
c) interferência – difração – reflexão
d) refração – dispersão – simetria
e) energia – momento – ressonância
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Som Audı́vel
Se a frequência da onda sonora pertence ao intervalo de,
16 Hz a 20 kHz, esse som é audı́vel para o ser humano.
3. Um apito produz um som de frequência igual a 1.360 Hz
no ar, onde as ondas se propagam com velocidade de
340 m/s. Então, o comprimento das ondas geradas é:
a) 4 m
b) 25 m
c) 40 cm
d) 25 cm
e) 0, 25 km
Exercı́cios Complementares
Ultra-som e Infra-som
Ondas longitudinais de frequências superiores a 20 kHz, caracterizam sons inaudı́veis para nós e denominam-se ultra4. O ouvido humano normal pode perceber sons de sons. Aquelas de frequências inferiores a 16 Hz, também
frequência no intervalo de 20 Hz a 20 kHz – a chamada inaudı́veis, são ditas infra-sons.
faixa audı́vel. Assinale a única alternativa correta:
a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz
Velocidade de Propagação do Som
b) o som é uma onda mecânica longitudinal
c) o som é uma onda longitudinal
O som possui velocidades de propagação definidas para cada
d) o som é uma onda eletromagnética
meio de propagação, podendo este ser o ar, água, metais
e) todo som na faixa audı́vel se propaga no vácuo
entre outros, a velocidade de propagação do som no ar nas
5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual condições normais de temperatura e pressão é a mais conhea 30 cm e 40 cm, um em direção ao outro. No instante em cida de todas:
que eles se superpõem, pode-se dizer que:
vsom = 343 m/s = 1234 km/h
a) ocorrerá interferência destrutiva
b) a amplitude observada será 70 cm
A velocidade do som foi ultrapassada por um avião há muic) ocorrerá interferência destrutiva
tos anos atrás, quando quebrou-se a chamada “barreira do
d) a amplitude resultante deverá estar no intervalo som”pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997,
[10 cm, 70 cm]
ela foi ultrapassada por um automóvel.
e) n. d. a.
Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais:
6. Um motor elétrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e
provoca um ruı́do grave e contı́nuo, que é amplificado pelo
mesa onde está fixo e pode ser ouvido claramente. Pode-se
afirmar que:
a) a frequência do ruı́do é cerca de 30 Hz
b) o motor está com os rolamentos gastos
c) a mesa não é de boa qualidade
d) é melhor desligar o motor e chamar a CELESC
e) a mesa começará a “andar”por trepidação
Ondas Aula 4
Meio
ar
hidrogênio
oxigênio
água pura
chumbo
alumı́nio
cobre
ferro
granito
borracha
Temperatura (◦ C)
0
0
0
15
20
20
20
20
0
0
Velocidade (m/s)
331
1.286
317
1.450
1.230
5.100
3.560
5.130
6.000
54
Pense um Pouco!
Som
Fontes Sonoras
Em geral, ao estudo da produção (fontes sonoras), propagação e fenômenos correlatos sofridos pela onda mecânica
sonora ou audı́vel, denomina-se Acústica, denominaremos
por som à toda onda mecânica sonora (intensidade suficiente e frequência limitada num certo intervalo).
• Porque não escutamos o som que os morcegos emitem
para “enxergar”?
• Porque os ı́ndios norte-americanos colocavam o ouvido
no chão?
• Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando
algo, percebemos que sua imagem não está sincronizada com os sons que ele produz (com as marteladas).
Por quê?
73
Ondas – Aula 5
Exercı́cios de Aplicação
1. Ao observar uma grande explosão em uma pedreira, de
longe, uma pessoa percebe, nessa ordem:
a) a luz - o ruı́do - as oscilações do chão
b) o ruı́do - a luz - as oscilações do chão
c) as oscilações do chão - o ruı́do - a luz
d) as oscilações do chão - a luz - o ruı́do
e) a luz - as oscilações do chão - o ruı́do
2. Um método antigo de se determinar a profundidade de
um poço fundo e escuro é soltar-se uma pedra na sua boca,
disparar-se um relógio (ou cronômetro) e medir-se o intervalo de tempo até que se ouça o barulho. Sendo vsom a
velocidade do som no ar, h a profundidade do poço e g a
aceleração da gravidade, o intervalo de tempo medido no
relógio será:
a) ∆t = 2h/v
√ som
b) ∆t = p2gh + h/vsom
c) ∆t = p2h/g + h/vsom
d) ∆t = 2h/g
e) n. d. a.
3. Um método popular para determinar-se a que distância
x, em kilômetros, caiu um raio é, observar-se o relâmpago e
medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para
ouvimos o estrondo. Pode-se afirmar que:
a) x ≈ t/2
b) x ≈ t/3
c) x ≈ t/4
d) x ≈ t/5
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
4. O ditado popular de que “as paredes tem ouvidos”está
relacionado diretamente com o fenômeno ondulatório chamado:
a) ressonância
b) reflexão
c) difração
d) absorção
e) n. d. a.
5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda
de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio
onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento
de onda?
a) 2/3 m
b) 3/2 m
c) 1/2 m
d) 1/6 m
e) n. d. a.
6. Uma certa espécie de morcego utiliza ultra-sons de
33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu vôo
noturno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s,
pode-se afirmar que:
a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento
b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento
c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento
d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento
e) n. d. a.
Ondas Aula 5
Efeito Doppler
Qualidades Fisiológicas do Som
A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa
diferenças que nossos ouvidos percebem se devem às qualidades fisiológicas do som: altura, intensidade e timbre.
Altura
Mesmo sem conhecer música, é fácil distinguir o som agudo
(ou fino) de um violino, do som grave (ou grosso) de um
violoncelo. Essa qualidade que permite distinguir um som
grave de um som agudo se chama altura. Assim, costuma-se
dizer que o som do violino é alto e o do violoncelo é baixo.
A altura de um som depende da frequência, isto é,
do número de vibrações por segundo. Quanto maior a
frequência mais agudo é o som e vice-versa.
Por sua vez, a frequência depende do comprimento do corpo
que vibra e de sua elasticidade. Quanto maior a tensão
(tração) e mais curta for uma corda de violão, por exemplo,
mais agudo vai será o som por ela emitido.
Você pode constatar também a diferença de frequências
usando um pente que tenha dentes finos e grossos. Passando
os dentes do pente na bosta de um cartão você ouvirá dois
tipos de som emitidos pelo cartão: o som agudo, produzido pelos dentes finos (maior frequência), e o som grave,
produzido pelos dentes mais grossos (menor frequência).
Intensidade
É a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso)
de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitude de vibração: quanto maior a amplitude mais forte é o
som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de
uma onda sonora, com mais intensidade ela será percebida.
Por exemplo, quando o médico vai ouvir o coração de um
paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar
a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele
famoso aparelho que capta e canaliza o som direto para o
seu ouvido.
Na prática não interessa aos nossos ouvidos diretamente
a intensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o
nı́vel sonoro, uma grandeza relacionada à intensidade sonora e à forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade.
Essas unidades são o bel e o seu submúltiplo o decibel (dB),
que vale 1 décimo do bel.
O ouvido humano é capaz de suportar sons de até 120 dB,
como num show de rock, por exemplo. O ruı́do produzido
por um motor de avião à jato a poucos metros do observador
produz um som de cerca de 140 dB, e é capaz de causar
estı́mulos dolorosos ao ouvido humano.
A agitação das grandes cidades provocam a chamada poluição sonora composta dos mais variados ruı́dos: motores e
74
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
buzinas de automóveis, martelos de ar comprimido, rádios,
televisores e etc. Já foi comprovado que uma exposição
prolongada a nı́veis maiores que 80 dB pode causar dano
permanente ao ouvido.
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agudo (carro se aproximando de nós) à grave (se afastando
de nós). Qualquer criança sabe disso, e quando brinca de
carrinho imita o famoso som da fórmula I: “uuóóóómmmm”.
Eis o efeito Doppler!
A intensidade de uma onda sonora diminui à medida que
o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte,
Observador em Movimento
menos intenso é o som.
Timbre
Imagine a seguinte situação: um ouvinte que não entende
de música está numa sala, ao lado da qual existe outra sala
onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa
tocar a nota dó no piano e logo a seguir outra pessoa tocar
a mesma nota dó no violino, ambas com a mesma “força”,
os dois sons terão a mesma altura (frequência) e a mesma
intensidade.
Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala
saberá distinguir facilmente um som de outro, porque cada
instrumento tem seu som caracterizado, ou seja, seu timbre.
Podemos afirmar, portanto, que timbre é a qualidade que
nos permite perceber a diferença entre dois sons de mesma
altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes.
Efeito Doppler
Suponha que uma fonte estacionária está gerando ondas sonoras com frequência f0 = 240Hz e comprimento de onda
λ0 = fv0 . Um observador estacionário a uma certa distância
da fonte ouvirá um som com frequência f0 = 240 Hz, e 240
vezes por segundo seu tı́mpano será empurrado e puxado,
para dentro e para fora, à medida que os máximos e mı́nimos
da pressão alcançam o ouvido. O perı́odo de tempo entre
1
s.
dois máximos consecutivos é T = f10 = 240
Suponha que o observador suba em uma motocicleta e dirija
no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo t1
um máximo de pressão alcança o seu ouvido na posição x.
O próximo máximo estará na posição x no tempo t1 + T .
Mas, o ouvido não estará mais nesta posição. O observador
se moveu.
O máximo tem que percorrer uma distância extra antes de
alcançar o ouvido. Esta distância extra toma um tempo
extra ∆t. O intervalo de tempo entre máximos sucessivos
que alcança o ouvido do observador é agora T + ∆t.
O perı́odo aumentou, a frequência aparente da onda diminui. Este é um exemplo do efeito Doppler. Se o observador
estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo
entre os máximos alcançando o ouvido será mais curto que
T. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão alcance o ouvido na posição x. O próximo máximo chegará
na posição x no tempo t1 + T . Mas, ele chegará ao ouvido
antes de ele alcançar a posição x, já que o observador se
move no sentido da fonte.
Na figura abaixo os anéis simbolizam os máximos da onda
sonora. O intervalo de tempo entre as emissões sucessivas é
T , o perı́odo da onda. Quanto maior o cı́rculo, mais tempo
faz que a emissão foi feita. Todos os cı́rculos expandem com
a mesma velocidade. Se um observador estiver estacionário,
então o intervalo de tempo entre a chegada dos cı́rculos sucessivos ao ouvido é T .
A frequência aparente do som que alcança o observador é
Fonte Sonora em repouso
f = f0
v + v0
v
onde v é a velocidade do som, e v0 é a componente da velocidade do observador na direção da fonte (v0 é negativo se
o observador estiver se movendo para longe da fonte).
Normalmente não observamos o efeito Doppler quando nos
movemos a pé, já que a velocidade do som é muito maior
do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a
90 km/h = 25 m/s na direção de uma fonte, temos que
Observador em repouso
f = f0
340 + 25
= 1, 07 · f0
340
Figura 1: Fonte e observador em repouso: não há Movendo-se para longe da fonte dá
efeito Doppler.
340 − 25
f = f0
O efeito Doppler é um fenômeno observado com todo o tipo
de onda, e possui o nome do cientista austrı́aco Christian
Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a
frequência com que uma onda é percebida depende também
do movimento relativo da fonte sonora e do observador,
o que pode ocasionar uma mudança significativa entre a
frequência emitida e a percebida por um detector ou pessoa.
Por exemplo, numa corrida de fórmula I, quando um carro
passa por nós, percebe-se claramente que o som passa de
340
= 0, 93 · f0
Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa então uma
variação de frequência da ordem de 0, 14 · f0 , ou seja, de
14%, uma variação razoável e bem perceptı́vel. Só para
comparação, as teclas vizinhas de um piano geram sons com
aproximadamente 6% de diferença na frequência – os chamados intervalos de semi-tom. Um tom completo sendo
então de cerca de 12%, por exemplo, a distância de dó até
ré.
75
Termodinâmica – Aula 1
Fonte em Movimento
A frequência observada de uma onda sonora também varia
se o observador estiver se movendo.
A frequência aparente neste caso é dada por
• Se as ondas sonoras se propagam no ar, então o vento
pode carregá-las e distorcê-las? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
v
f = f0
v − vs
1. Um trem apita com frequência de 400 Hz. Você é um
onde vs é a componente da velocidade da fonte na direção observador estacionário e ouve o apito, mas o ouve com
do observador (vs é negativo se a fonte se mover para longe frequência de 440 Hz.
a) Qual é a velocidade do trem?
do observador).
Nesta figura a fonte está se movendo para o observador. O b) Ele se aproxima ou se afasta de você?
centro de cada cı́rculo está na posição da fonte no momento c) Qual a variação percentual no comprimento de onda que
em que ela emite o máximo. Como a fonte está se movendo você percebe, em relação ao som emitido pelo trem?
para a direita, o centro dos cı́rculos sucessivos move-se para
2. O efeito Doppler está relacionado com:
a direita. Se o observador estiver parado, então o intervalo
a) a intensidade do som
de tempo entre a chegada dos cı́rculos sucessivos ao ouvido
b) a alteração da frequência do som
é menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0 .
c) o nı́vel sonoro
d) o timbre do som
Fonte Sonora se aproximando
e) n. d. a.
do observador
3. Um apito para cães emitem um som de 25 kHz, e é
inaudı́vel para nós, pois só percebemos sons de até 20 kHz.
a) Seria possı́vel testar se um tal apito está funcionando, utilizando o efeito Doppler? Explique.
b) Faça os cálculos necessários e verifique se isto é
viável/possı́vel.
v
Observador em repouso
Exercı́cios Complementares
Figura 2: Fonte se aproximando do observador em re4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com a
pouso: f > f0 .
mesma velocidade, um logo atrás do outro por um certo
Nesta figura a fonte está movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos
cı́rculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador
está estacionário, então o intervalo de tempo ente a chegada
dos cı́rculos sucessivos é maior do que T , ou seja, f <0 .
Fonte Sonora se afastando
do observador
v
Observador em repouso
tempo, e o de trás aciona a buzina frequência f0 , podemos
afirmar que, o motorista do carro da frente:
a) escuta um som mais agudo ainda
b) escuta um som mais grave ainda
c) ambos escutam a mesma frequência f0
d) ninguém escuta nada
e) n. d. a.
5. Uma avião se move com velocidade igual a 1/4 da velocidade do som, passando numa demonstração sobre uma
cidade num vôo rasante. Um observador parado no chão
perceberá, na frequência dos sons emitidos pelo avião que
se aproxima:
a) Um aumento de cerca de 25%
b) Uma redução de cerca de 25%
c) Um aumento de cerca de 33%
d) Uma redução de cerca de 33%
e) n. d. a.
6. Um avião militar desgovernado, voa em direção a um
Figura 3: Fonte se afastando do observador em re- paredão vertical de pedra que está à sua frente, em rota
de colisão frontal. O piloto percebe que o som emitido pelo
pouso: f < f0 .
avião e refletido no rochedo tem a sua frequência aumentada
em 50%. Qual a velocidade do avião?
a) 1/2 da velocidade do som no ar
Pense um Pouco!
b) 1/3 da velocidade do som no ar
c) 1/4 da velocidade do som no ar
• O que um bom violonista faz para produzir sons de d) 1/5 da velocidade do som no ar
diferentes intensidades, timbres e alturas?
e) n. d. a.
76
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Termodinâmica Aula 1
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temperatura. A parede da haste é graduada convenientemente, para indicar a temperatura correspondente a cada
comprimento da coluna de mercúrio.
Termodinâmica
As escalas termométricas mais importantes são a Célsius,
a Fahrenheit e a Kelvin, e são atribuı́dos aos pontos fixos
A Termodinâmica é a parte da Fı́sica Clássica que estuda os (ponto de fusão PF e ponto de ebulição da água PE ), os
sistemas térmicos, os processos de transformações fı́sicas que valores abaixo:
ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia,
calor e o trabalho mecânico.
Temperatura
~
Ebulicao
,
’
da Agua
o
212 F
100 oC
373 K
Temperatura e calor são grandezas básicas no estudo da
TF
TC
T
termofı́sica e tanto a sua compreensão como a sua perfeita
distinção são de importância vital para o entendimento de
toda a termofı́sica. De maneira simplificada pode-se definir
~
o
o
Fusao
32 F
0 C
273 K
que temperatura como uma grandeza que permite avaliar o
do Gelo
nı́vel de agitação das moléculas de um corpo. De acordo com
a teoria cinética dos gases, as moléculas de um gás movem-se
livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas
das outras, e apenas interagindo entre si durante colisões
o
o
−459 F
0K
−273 C
Zero
eventuais. A medida que se aquece o gás, a velocidade com
que suas moléculas se movem aumenta, caracterizando um
Absoluto
aumento na energia cinética dessas moléculas, da mesma
forma um resfriamento do gás provoca a diminuição da veFahrenheit
Celsius
Kelvin
locidade e da energia cinética de suas moléculas. Como a
velocidade e consequentemente a energia cinética de cada
átomo que constitui uma molécula não é a mesma, o estado
térmico de um corpo é avaliado pela energia cinética média
de seus átomos: quanto maior for a energia cinética média Figura 1: Os pontos de referência nas diferentes escadas partı́culas que compõem um corpo, maior será a sua las.
temperatura.
Calor
Conversão de Temperaturas
Embora usualmente se empregue o grau célsius (◦ C) como
unidade prática de temperatura, a conversão entre escalas é
muito importante, pois o kelvin é a unidade de temperatura
do SI, e o grau Fahrenheit (◦ F ) ainda é bastante utilizado
em livros e filmes de lı́ngua inglesa. A relação entre as
escalas termométricas pode ser obtida facilmente através de
proporções matemáticas. Imagine-se três termômetros de
Portanto o calor é a energia em trânsito do corpo mais construção idêntica, cada um graduado em uma das escalas
quente para o corpo mais frio por causa da diferença de (Célsius , Fahrenheit e Kelvin), em equilı́brio térmico com
temperatura dos corpos em contato térmico. Então, a uni- um mesmo corpo. Obviamente, os três termômetros estarão
dade de medida de calor é a mesma unidade de energia.
indicando o mesmo estado térmico e, portanto, apresentarão
No Sistema Internacional, a unidade de energia é o joule as colunas de mercúrio no mesmo nı́vel. Observando-se os
ou J, e na Quı́mica se usa a caloria ou cal. A equivalência pontos fixos já definidos para cada escala, e chamando de
TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas escalas Célsius,
entre as unidades é:
Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer
as proporções:
1 cal = 4, 186 J
Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato térmico, observamos o mais quente esfriar e o mais
frio esquentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo
mais frio ganha calor. Os corpo trocarão calor até a atingirem a mesma temperatura, neste caso estarão em equilı́brio
térmico. Essa é a chamada lei zero da Termodinâmica.
Escalas Termométricas
TF − 32 ◦ F
T − 273 K
TC − 0 ◦ C
=
=
◦
◦
◦
◦
100 C − 0 C
212 F − 32 F
373 K − 273 K
Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas terlogo:
mométricas a partir do termômetro de mercúrio, o mais
simples e comum. É constituı́do de uma haste oca de viTC
TF − 32 ◦ F
T − 273 K
dro, ligada a um bulbo contendo mercúrio. Ao ser colocado
=
=
◦C
◦F
5
9
5K
em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se
quer medir, o mercúrio se dilata ou contrai, de forma que Observe que ambas as escalas Célsius e Kelvin são
cada comprimento de sua coluna corresponde a um valor de centı́gradas, pois o intervalo e calibração (do ponto de fusão
77
Termodinâmica – Aula 2
do gelo ao de ebulição da água) é dividido em 100 graus, ou
100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo é subdividido em 180 partes (graus frahrenheit).
Intervalos de Temperatura
Converter temperaturas de uma escala para a outra não é
o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as
escalas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ◦ C
corresponde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo
de 10 K, e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente
será de 18 ◦ F , pois para cada grau célsius, temos 1,8 grau
fahrenheit.
A menor temperatura que existe na natureza é o chamado
zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin é
dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos
arbitrariamente, não levando em conta a possibilidade de
haver uma menor temperatura possı́vel na natureza, o que
só foi descoberto depois da criação das primeiras escalas
térmicas.
Pense um Pouco!
Exercı́cios Complementares
4. (UEL) Um termômetro foi graduado, em graus Célsius,
incorretamente. Ele assinala 1 ◦ C para o gelo em fusão e
97 ◦ C para a água em ebulição, sob pressão normal. Podese afirmar que a única temperatura que esse termômetro
assinala corretamente, em graus Célsius é:
a) 12
b) 49
c) 75
d) 25
e) 64
5. (CENTET-BA) Num termômetro de escala X, 20 ◦ X
correspondem a 25 ◦ C, da escala Célsius, e 40 ◦ X correspondem a 122 ◦ F , na escala Fahrenheit. Esse termômetro
apresentará, para a fusão do gelo e a ebulição da água, os
respectivos valores, em ◦ X:
a) 0 e 60
b) 0 e 80
c) 20 e 60
d) 20 e 80
e) 60 e 80
6. (PUC) Uma revista cientı́fica publicou certa vez um ar• Qual a temperatura normal do corpo humano, em ◦ F ? tigo sobre o planeta Plutão que, entre outras informações,
dizia “...sua temperatura atinge −380 ◦ ...”. Embora o au• A temperatura ideal da cerveja é em torno de 4 ◦ C, an- tor não especificasse a escala termométrica utilizada, certates de beber. Se dispomos apenas de um termômetro mente se refere à escala:
com escala Kelvin, qual a temperatura absoluta corres- a) Kelvin
pondente ao mesmo estado térmico da cerveja ideal?
b) Célsius
c) Fahrenheit
d) Kelvin ou Célsius
Exercı́cios de Aplicação
e) Fahrenheit ou Célsius
Termodinâmica Aula 2
1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um médico só
dispunha de um termômetro graduado na escala Fahrenheit.
Se o paciente estava com febre de 42 ◦ C, a leitura feita pelo
médico no termômetro por ele utilizado foi de :
Dilatação Térmica
a) 104 ◦ F
b) 107, 6 ◦ F
Quando aquecemos um sólido, geralmente suas dimensões
c) 72 ◦ F
aumentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimensões
◦
d) 40 F
diminuem. A esse aumento e a essa diminuição de dimensões
◦
e) 106, 2 F
de um sólido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento,
2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termômetro chamamos de dilatação térmica.
Célsius marca 120◦C. Um termômetro Fahrenheit e um Para os sólidos, temos três tipos de dilatação:
Kelvin marcariam na mesma situação, respectivamente:
• Dilatação linear (ou unidimensional)
a) 248 ◦ F e 393 K
◦
b) 198 F e 153 K
• Dilatação superficial (ou bidimensional)
c) 298 ◦ F e 153 K
d) 393 ◦ F e 298 K
• Dilatação volumétrica (ou tridimensional)
e) nenhuma resposta é correta
3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de água está a
uma temperatura de 55 ◦ C. Essa temperatura corresponde
a:
a) 55 ◦ F
b) 328 ◦ F
c) 459 ◦ K
d) 131 ◦ F
e) 383 ◦ K
Dilatação Linear
Para observarmos a dilatação de um sólido, imaginemos
uma barra de comprimento inicial L0 na temperatura inicial
T0 , que passa a ter o comprimento final L quando aquecida a
temperatura final T , sofrendo um aumento de comprimento:
∆L = L − L0
78
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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e área do lı́quido, o que não tem significado. Neste caso
estuda-se apenas a dilatação cúbica.
Para tanto, usamos a mesma relação definida para os
sólidos, já que a lei é a mesma para ambos:
L0
T0
L
T > T0
V = V0 (1 + γ∆T )
∆L
Os lı́quidos só podem ser estudados dentro de recipientes
sólidos. É pois, impossı́vel estudar dilatação dos lı́quidos
Verifica-se experimentalmente que ∆L é proporcional ao sem considerar a dilatação dos recipientes que os contém.
comprimento inicial L0 e a variação de temperatura ∆T , Isso implica dois tipos de dilatação para um lı́quido; uma
podendo se expressar essa relação por:
dilatação real, que depende apenas do lı́quido, e a outra
aparente, que leva em conta a dilatação do frasco que o
∆L = αL0 ∆T
contém.
em que α é um coeficiente de proporcionalidade carac- Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um
terı́stico do material que constitui a barra, chamado de co- lı́quido, numa temperatura inicial T0 . Ao levarmos o coneficiente dilatação linear.
junto (lı́quido mais frasco) para uma temperatura final T ,
com
T > T0 , notamos que ocorre um extravasamento parAssim, o comprimento final da barra será
cial do lı́quido. O volume extravasado fornece a dilatação
L = L0 + ∆L = L0 (1 + α∆T )
aparente ∆Vap. do lı́quido, pois como o frasco também dilatou, o volume que esta no interior do frasco no final é maior
que no inı́cio. Portanto a dilatação real do lı́quido é a soma
Dilatação Superficial e Volumétrica
da sua dilatação aparente e a do frasco:
Para essas dilatações, valem considerações análogas às vistas
na dilatação linear, ou seja:
∆Vreal = ∆Vaparente + ∆Vf rasco
como ∆V = V0 γ∆T então
∆A = βA0 ∆T
V0 γr ∆T = V0 γa ∆T + V0 γf ∆T
e
logo
∆V = γV0 ∆T
γr = γa + γf
onde β é o coeficiente de dilatação superficial e γ é o coeficiente de dilatação volumétrica.
Então, devemos observar que a dilatação do lı́quido compensou a dilatação do frasco e ainda nos forneceu a dilatação
aparente.
∆L
L0
Dilatação Anômala da Água
antes de aquecer
2
A0=L0
e depois
2
A = L = A 0 + ∆A
2
L0
A = L 0 + 2L 0 ∆L + (∆L)
e como
∆ L = α L 0 ∆T
temos que
2
2
2
2 2
2
A = L 0 + 2α L 0 ∆T +α L0 (∆ T)
e finalmente
0
2
2
2
A = L 0 [1 + 2 α ∆ T + α (∆ T) ]
A = A 0 (1 + 2 α∆ T)
e
∆ A = A 0 2α∆ T
∆L
Pode-se mostrar que estes novos coeficientes β e γ podem
ser escritos em função do coeficiente de dilatação linear α
como:
β = 2α
e
γ = 3α
Dilatação dos lı́quidos
A dilatação térmica de um lı́quido corresponde ao aumento
ou a diminuição de volume desse lı́quido quando este é aquecido ou resfriado. Ao estudar a dilatação dos lı́quidos, já que
não possuem forma própria, não se definem comprimento
A água possui um comportamento anômalo em sua dilatação. A 4 ◦ C o volume da água é mı́nimo e a sua densidade é máxima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das
pontes de hidrogênio, abaixo de 4 ◦ C, quando as moléculas
de H2 O começam a se reorganizar para a formação dos cristais de gelo, onde irão ocupar um volume maior do que no
estado lı́quido.
Esse comportamento da água explica por que num lago,
quando a temperatura cai a valores extremamente baixos,
a água se solidifica apenas na superfı́cie. Isto ocorre porque
até 4 ◦ C, no resfriamento, a água da superfı́cie torna-se
mais densa e afunda, subindo a água mais quente do fundo
que é menos densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de
4 ◦ C, a água da superfı́cie se expande, diminuindo a sua
densidade, assim essa água fria não desce mais e ao atingir
0 ◦ C se solidifica. No fundo fica água mais quente, numa
temperatura de 4 ◦ C. É isto que preserva a vida animal e
vegetal existente no fundo do lago.
Pense um Pouco!
• Os músicos geralmente deixam para afinar seus instrumentos no local da apresentação, a diferença de temperatura entre o ambiente que estão , e o local do show,
podem desafinar seus instrumentos?
79
Termodinâmica – Aula 3
Exercı́cios de Aplicação
dessa barra é, em ◦ C −1 :
a) 6 × 10−5
b) 5 × 10−5
1. (Fuvest) Café fervente é despejado em um copo de vidro.
c) 4 × 10−5
O corpo parte-se. Uma possı́vel explicação seria:
d) 3 × 10−5
a) A dilatação das várias partes do copo não é uniforme.
e) 2 × 10−5
b) O ponto de fusão do vidro é próximo ao de ebulição do
café.
c) Sendo o vidro transparente, o calor passa através dele
com facilidade
d) A capacidade Térmica do vidro é menor que a do café
e) O calor especı́fico do vidro é menor que o do café
Transformações
Termodinâmica Aula 3
2. (PUC) Um fio de cobre de 100 m sofre aumento de
temperatura de 10 ◦ C. O coeficiente de dilatação linear do
cobre é 17 × 10−6 ◦ C −1 . A variação do comprimento foi de:
a) 17 mm
b) 17 m
c) 100, 17 m
d) 17 cm
e) 1, 7 m
3. (UNITAU) Um orifı́cio numa panela de ferro, a 0 ◦ C tem
5 cm2 de área. Se o coeficiente de dilatação linear do ferro
é de 1, 2 × 10−5 ◦ C −1 , a área desse orifı́cio a 300 ◦ C será,
em cm2 :
a) 5,018
b) 10,072
c) 4,964
d) 10,036
e) 5,036
Gasosas
Considerações iniciais
Gás Perfeito (ou ideal) é um modelo teórico de gás que
obedece, em seu comportamento, as leis estabelecida por
Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e
Paul Emile Clapeyron.
Um Gás real tem seu comportamento tanto mais próximo
do ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto
mais baixa for sua pressão.
Variáveis de estado de um gás
Algumas grandezas que definem e caracterizam o estado
termodinâmico de uma dada massa de gás são chamadas
variáveis de estado. São por exemplo, a temperatura, a
pressão, o volume, a energia interna, etc. Destas, as que
nos interessam, por enquanto, são a temperatura, a pressão
e o volume.
Exercı́cios Complementares
Volume (V )
4. (UNESP-SP) A dilatação térmica dos sólidos é um
fenômeno importante em diversas aplicações de engenharia,
como construções de pontes, prédios e estradas de ferro.
Considere o caso dos trilhos de trem serem de aço, cujo
coeficiente de dilatação é 11 × 10−6 ◦ C −1 . Se a 10 ◦ C o
comprimento de um trilho é de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimento se a temperatura aumentasse para
40 ◦ C?
a) 11 × 10−4 m
b) 33 × 10−4 m
c) 99 × 10−4 m
d) 132 × 10−4 m
e) 165 × 10−4 m
Os gases não tem volume nem forma próprios. Por definição,
volume de um gás é o volume do recipiente ocupado por ele.
As unidades usuais de volume são: L (litro), cm3 e m3 .
Pressão (P )
A pressão exercida por um gás é devida aos choques das
suas partı́culas contra as paredes do recipiente. As unidades
usuais de pressão são: N/m2 , P a, atm e mmHg, onde valem
as seguintes relações:
1 N/m2 = 1 P a
1 atm = 105 N/m2
1 atm = 760 mmHg
5. (UFLA-MG) O tanque de combustı́vel de um carro de
fórmula 1 tem capacidade de 120 litros e são colocados 100
litros de combustı́vel a 5, 0 ◦ C. Considerando o coeficiente Temperatura (T )
de dilatação volumétrica do combustı́vel 1, 2 × 10−3 ◦ C −1 e
a variação de volume do tanque desprezı́vel, então a 45 ◦ C Mede o estado de movimento das partı́culas do gás. Na
o volume colocado terá um acréscimo, em litros, de:
teoria dos gases perfeitos, é usada a temperatura absoluta
a) 4,8 litros
(escala Kelvin).
b) 3,6 litros
c) 2,4 litros
Transformações de um Gás
d) 1,2 litros
e) 20,0 litros
Dizemos que uma dada massa de gás sofre uma trans6. (MACKENZIE) Uma barra metálica, ao variar sua tem- formação quando há variação de pelo menos uma de suas
peratura em 80 ◦ C, sofre um aumento de comprimento de variáveis de estado. Entre as transformações de um gás,
0,16%. O coeficiente de dilatação volumétrica do material devemos destacar as seguintes:
80
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• Isotérmicas: são as que ocorrem a temperatura cons- onde R é uma constante de proporcionalidade, igual para
tante;
todos os gases, denominada constante universal dos gases
perfeitos e no SI temos
• Isobáricas: são as que ocorrem a pressão constante;
R = 8, 31 J/mol · K
• Isométricas (ou Isocóricas): são as que ocorrem a
volume constante.
Quando a pressão p é dada em atm, o volume V é dado em
• Adiabáticas: são as que ocorrem sem troca de calor litros (L), o número de moles n é dado em mol, a temperacom o meio externo.
tura T é dada em kelvin, a constante R será dada por:
R = 0, 0831 atm · L/mol · K
Leis dos Gases
já que a unidade de energia
As leis fı́sicas dos gases são leis de caráter experimental que
regem as principais transformações gasosas.
atm · L = (105 N/m2 ) × (10−3 m3 = 100 J
ou seja,
Lei de Boyle e Mariotte
Rege as transformações Isotérmicas e pode ser enunciada
assim:
“Quando uma dada massa de gás perfeito é mantida a temperatura constante, a pressão é inversamente proporcional
ao volume”
ou seja,
1 J = 0, 01 atm · L
Pense um Pouco!
• Por que não devemos incineram latas de spray vazias?
• Por quem um balão de gás abandonado explode ao
subir na atmosfera?
pV = constante
Lei de Gay -Lussac
Exercı́cios de Aplicação
Rege as transformações Isobáricas e pode ser enunciada as- 1. (UFU-MG) Uma panela de pressão de volume 8, 3 litros
é dotada de uma válvula de segurança, cuja abertura ocorre
sim:
quando
a pressão interna ultrapassa 20 atm. Se no recipi“Quando uma dada massa de gás perfeito é mantida a
ente
existem
5, 0 mol de um gás perfeito, qual a máxima
pressão constante, o volume é diretamente proporcional a
temperatura
possı́vel,
em graus Celsius, para que o gás não
temperatura absoluta”
escape pela válvula?
ou seja,
a) 200
V = constante × T
b) 300
c) 400
d) 500
Lei de Charles
e) 600
Rege as transformações Isométricas e pode ser enunciada
assim:
“Quando uma dada massa de gás perfeito é mantida a volume constante, a pressão é diretamente proporcional a temperatura absoluta”
ou seja,
p = constante × T
Equação de Clapeyron
Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que
a pressão exercida por um gás perfeito é inversamente proporcional ao seu volume e diretamente proporcional a sua
temperatura absoluta. É fácil observar também que essa
pressão é proporcional ao número de partı́culas de gás existente no recipiente. Convertendo esse número de partı́culas
em número de moles (n) , podemos equacionar tudo isso,
obtendo a seguinte relação:
pV = nRT
2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa
de gás perfeito a temperatura de 27 ◦ C para outro recipiente
de volume 20% maior. Para que a pressão do gás nesse novo
recipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer
o gás de:
a) 60 ◦ C
b) 50 ◦ C
c) 40 ◦ C
d) 30 ◦ C
e) 20 ◦ C
3. (USC-BA) Certa massa de uma gás ocupa o volume de 100 L sob pressão de 3, 0 atm e temperatura
de 27 ◦ C. A constante universal dos gases perfeitos vale
R = 0, 0831 atm · L/mol · ◦ C. A massa do gás, sabendo que
a sua molécula grama é de 27, 7 g, é:
a) 111, 1 g
b) 222, 2 g
c) 333, 3 g
d) 444, 4 g
e) 555, 5 g
81
Termodinâmica – Aula 4
Exercı́cios Complementares
H2 O e N H3 , sob a forma gasosa, a mesma pressão e temperatura. De acordo com a Lei de Avogrado, as três amostras dos gases considerados devem Ter o mesmo número
4. (CESGRANRIO) No SI, a constante universal dos gases N de moléculas. Decompondo estes gases e recolhendo o
perfeitos é expressa em:
hidrogênio liberado em cada amostra, deverı́amos, então,
a) (l · atm)/(K · mol)
obter:
b) cal/(g · ◦ C)
Para o HCl: N átomos de H
c) J/(kg · K)
para
o H2 O: 2N átomos de H
d) J/(mol · K)
e
para
o N H3 : 3N átomos de H.
e) J/kg
A experiência confirma este resultado pois, enquanto se re5. (FUVEST) Certa massa de um gás ideal sofre uma trans- colhe uma massa m de hidrogênio na decomposição do HCl,
formação na qual a sua pressão é triplicada e seu volume é verifica-se que uma massa 2m é recolhida na decomposição
reduzido a metade. A temperatura absoluta final do gás do H2 O e uma massa 3m na decomposição do N H3 .
será:
a) 1/3 do seu valor inicial
b) 2/3 do seu valor inicial
O Número de Avogrado (NA )
c) 3/2 do seu valor inicial
d) 2 vezes o seu valor inicial
Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir
e) 3 do seu valor inicial
qual é o número de moléculas que existe em uma dada massa
do gás. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de vários
6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um gás perfeito
gases diferentes (2 g de H2 , 32 g de O2 , 28 g de N2 , etc...).
está num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o gás
De
seus conhecimentos de quı́mica, você já deve saber que
se encontra numa temperatura de 127 ◦ C, podemos afirmar
o número de moléculas, em cada uma dessas amostras, é o
que a pressão a que o gás está submetido será aproximadamesmo. Este número é denominado Número de Avogrado e
mente :
é representado por NA .
a) 40 atm
O
cientista Perrin, no inı́cio do século, realizou uma série
b) 12 atm
de
experiências, procurando determinar o valor de NA , conc) 18 atm
cluindo
que este valor estaria compreendido entre 6, 5 × 1023
d) 20 atm
23
e
7,
2
×
10
moléculas em cada mol. Por esta medida, Pere) 24 atm
rin recebeu o Prêmio Nobel de Fı́sica, em 1926. Posteriormente, medidas mais precisas mostraram que o valor NA é
mais próximo de
Termodinâmica Aula 4
Lei de Avogrado
Até o inı́cio do século passado, os cientistas já haviam adquirido uma razoável quantidade de informações sobre as
reações quı́micas observadas entre gases. O cientista italiano Amedeo Avogrado, baseando-se nestas informações e
em resultados de experiências realizadas por ele próprio,
formulou em 1811 uma hipótese muito importante, relacionando o número de moléculas existentes em duas amostras
gasosas. Segundo Avogrado,
se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume,
contendo gases diferentes, ambos a mesma temperatura e pressão, o número de moléculas contidas em
cada recipiente deveria ser o mesmo.
NA = 6, 02 × 1023 moléculas/mol
Densidade e Massa Molecular
Define-se a densidade ρ volum’etrica de uma amostra de
volume V e massa m de qualquer substância homogênea
como
m
ρ=
V
e a unidade SI da densidade é o kg/m3 .
Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando
o mesmo volume, a mesma pressão e temperatura. Pela lei
de Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmo
Posteriormente, um grande número de confirmações experi- número de moléculas. Supondo que a massa molecular de
mentais desta afirmativa fizeram com que ela passasse a ser A, MA , seja o dobro da massa molecular de B, MB , evidentemente a massa da amostra A, mA , também será o
conhecida como a lei de Avogrado:
dobro da massa sa amostra B, mB . Mas, como as amosVolumes iguais, de gases diferentes, à mesma temtras tem volumes iguais, concluimos que a densidade de A,
peratura e pressão, contem o mesmo número de
ρA , será o dobro da densidade de B, ρB . Do mesmo modo,
moléculas.
se tivéssemos MA = 3MB , terı́amos, também, ρA = 3ρB .
Então, podemos concluir que
Confirmações Experimentais
ρA
MA
=
A lei de Avogrado é amplamente confirmada pela exρB
MB
periência. Uma das verificações desta lei pode ser feita
quando analisamos, no laboratório, a decomposição de al- isto é, a densidade de um gás é diretamente proporcional a
guns gases. Tomemos, por exemplo, volumes iguais de HCl, sua massa molecular.
82
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Pense um Pouco!
• Escreva o número de avogadro por extenso, com os seus
23 zeros, e observe como ele é enorme!
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b) 2, 2 × 1025 moléculas
c) 3, 2 × 1025 moléculas
d) 4, 2 × 1025 moléculas
e) 5, 2 × 1025 moléculas
• Quando um gás é comprimido, o que aontece com a
sua densidade?
6. (UFES) Três recipientes, A, B e C, de volumes iguais,
contêm respectivamente, HCl, H2 O e N H3 , todos no esSuponha que
• O que aconteceria com a hipótese de Avogrado em tado gasoso, a mesma pressão e temperatura.
24
o
recipiente
A
contenha
1,
0
×
10
moléculas
de HCl. Pocondições que não fossem as CNTP?
demos afirmar que o número de moléculas de vapor de H2 O
existentes no recipiente B é:
a) 1, 0 × 1024 moléculas
Exercı́cios de Aplicação
b) 6, 02 × 1023 moléculas
c) 2, 0 × 1024 moléculas
1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mes- d) 3, 0 × 1024 moléculas
mas condições de temperatura e pressão, 3 volumes de hi- e) 4, 0 × 1024 moléculas
drogênio reagem com um volume de ozônio, produzindo 3
volumes de vapor de água. Essa informação nos permite
deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o número de
átomos na molécula de ozônio é igual a:
a) 2
Modelo Molecular de um Gás
b) 3
c) 4
As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram
d) 5
obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar
e) 6
estas leis com o comportamento das partı́culas que cons2. (UCS-BA) Sob as mesmas condições de temperatura e tituem o gás, isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os
pressão, o volume de qualquer gás é diretamente propor- cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura mocional ao seu número de moléculas. Essa é uma forma de lecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposições:
enunciar a Lei de:
1. um gás é constituido de pequenas partı́culas, átomos
a) Avogrado
ou moléculas;
b) Gay-Lussac
c) Lavoisier
2. o número de moléculas existentes em uma dada massa
d) Faraday
gasosa é muito grande;
e) Einstein
3. a distância média entre as moléculas é muito maior do
3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um gás perfeito
que as dimensões de uma molécula;
a temperatura de 17 ◦ C e pressão de 50 P a. Dado R =
4. as moléculas de um gás estão em constante movimento,
8, 31 J/mol·K, podemos afirmar que o número de moléculas
e este movimento é inteitamente ao acaso, isto é as
nesse recipiente é de:
moléculas se movimentam em qualquer direção.
a) 2, 7 × 107 moléculas
b) 3, 7 × 107 moléculas
Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam tenc) 5, 0 × 107 moléculas
18
tando descrever o comportamento de um gás através do mod) 2, 7 × 10 moléculas
vimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as
e) n.d.a.
leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da
Mecânica ao movimento das moléculas, tratando-as como
se fossem partı́culas. Desta maneira, os cientistas estrutuExercı́cios Complementares
raram um modelo para descrever o comportamento de um
gás.
4. (FUVEST) A 25 ◦ C e 1 atm, o volume de 1 mol de Este modelo é denominado modelo cinético em virtude de
átomos de nı́quel (massa atômica: A = 59 e ρ = 8, 9 g/cm3) se basear no movimento das moléculas do gás.
é aproximadamente igual a:
a) 33 cm3
Cálculo Cinético da Pressão (p)
b) 26 cm3
c) 20 cm3
Como vimos, no modelo cinético de um gás, o número de
d) 6, 6 cm3
3
moléculas é muito grande e elas estão em constante movie) 13 cm
mento. Em conseqüência disto, as moléculas colidem conti5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para nuamente contra as paredes do recipiente que contém o gás,
”matar”a sua sede, teve que tomar 20 moles de água, o exercendo uma pressão nessas paredes. Como o número de
outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou colisões é muito grande, não se percebe o efeito do choque
o número de moléculas ingerida pelo seu colega, que foi de: de cada partı́cula. O que se observa é o efeito médio da
a) 1, 2 × 1025 moléculas
frequente sucessão de colisões, que ocasiona o aparecimento
Termodinâmica Aula 5
83
Termodinâmica – Aula 5
de uma força contı́nua, sem flutuações, pressionando as pa- e com este valor de N na igualdade anterior, virá
redes do recipiente. Portanto, a pressão que um gás exerce
nNA mv 2
sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as
= nRT
3
incessantes e contı́nuas colisões das moléculas do gás contra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecânica ou, simplificando e reescrevendo
as colisões das moléculas contra as paredes do recipiente,
os fı́sicos do século passado obtiveram uma expressão mamv 2 = 3(R/NA )T
temática, relacionando a pressão exercida por um gás com
e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos
as seguintes grandezas:
N - número de moléculas do recipiente
V - volume do recipiente
m - massa de cada molécula
v 2 - média dos quadrados das velocidades das moléculas
A expressão a que chegaram foi a seguinte:
p=
1
(N/V )mv 2
3
Analisando esta expressão vemos que:
1
3
mv 2 = (R/NA )T
2
2
Observe que o primeiro membro desta expressão representa
a energia cinética média das moléculas. Esta energia
cinética média será representada por EC . O quociente
R/NA que aparece no segundo membro, é constante, pois,
como já sabemos, tanto R quanto NA são constantes. Este
quociente é muito importante, é representado por kB e é a
famosa constante de Boltzmann:
• p ∝ N : este resultado é intuitivo pois, quanto maior
for o número total de moléculas, maior será o número
kB = 1, 38 × 10−23 J/K
de colisões contra as paredes e, portanto, maior será a
pressão exercida pelo gás;
Desta maneira, chegamos a seguinte expressão:
• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior
3
EC = kB T
será a distância que uma molécula terá que percor2
rer para colidir contra as paredes e, consequentemente,
menor será o número de colisões, isto é, menor será a que mostra ser a energia cinética média das moléculas de
um gás diretamente proporcional a sua temperatura absopressão exercida pelo gás;
luta, isto é, quanto maior for a energia cinética média das
• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior moléculas, maior será a temperatura do gás. Destacamos,
for a massa de um molécula, maior será a sua quan- então que: a temperatura absoluta, T de um gás está relatidade de movimento (~
q = m~v ) e assim, maior será cionada com a energia cinética média de suas moléculas.
a força que ela exerce ao colidir contra a parede do
Em uma amostra, podemos dizer que a única energia exirecipiente;
tente é a energia de cada partı́cula, sendo N o número de
• p ∝ v 2 : realmente, quanto maior for v 2 , mais rapida- partı́culas, a energia mecânica total da amostra é E = N EC .
mente as moléculas estarão se movimentando. É fácil Essa energia mecânica total é por definição a energia inperceber que, nestas condições, maior será a força que terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa relação na
cada molécula exercerá ao colidir contra a parede e, expressão da energia cinética temos:
além disso, maior será o número de colisões.
3
Eint. = N kB T
2
Interpretação Cinética da Temperatura (T )
Como já mencionamos em outra ocasião, a temperatura de
um corpo se relaciona com a energia de agitação dos átomos
e moléculas deste corpo.
Mostraremos agora como os fı́sicos do século passado, baseados no modelo cinético de um gás, chegaram a esta conclusão. A expressão p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida
baseando-se no modelo cinético, pode ser escrita como
pV =
N mv 2
3
ou, como N = nNA e kB = R/NA , temos
Eint. =
3
nRT
2
Pense um Pouco!
• Quando um gás absorve calor e seu volume é mantido
fixo, para onde vai a energia ganha? Explique.
• Se um gás num pistão isolado se expande e realiza um
trabalho mecânico, o que acontece com sua temperatura? Explique.
Comparando-a com a equação de estado de um gás ideal,
pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente,
conclui-se que
N mv 2
Exercı́cios de Aplicação
= nRT
3
Mas sendo NA (o número de Avogrado) o número de
◦
moléculas que existe em 1 mol e sendo n o número de moles 1. (ACAFE) Um recipiente contém H2 a 27 C. Podemos
afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é:
que corresponde a N moléculas, é claro que
a) 2, 2 × 10−21 J
N = nNA
b) 3, 2 × 10−21 J
84
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
c) 6, 2 × 10−21 J
d) 7, 1 × 10−21 J
e) n.d.a
2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de hélio a 17 ◦ C.
Adimtindo que nessas condições o hélio se comporta como
um gás ideal, a energia mecânica (interna) do sistema é dada
por:
a) 6, 2 × 103 J
b) 7, 2 × 103 J
c) 2, 4 × 103 J
d) 2, 2 × 103 J
e) 1, 5 × 103 J
3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma temperatura de 36 ◦ C, podemos afirmar que a energia cinética
média de suas moléculas é de:
a) 6, 4 × 10−21 J
b) 1, 2 × 10−21 J
c) 2, 5 × 10−21 J
d) 4, 3 × 10−21 J
e) 5, 3 × 10−21 J
Exercı́cios Complementares
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estas leis com o comportamento das partı́culas que constituem o gás, isto é, seus átomos ou suas moléculas. Os
cientistas intensificaram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposições:
1. um gás é constituido de pequenas partı́culas, átomos
ou moléculas;
2. o número de moléculas existentes em uma dada massa
gasosa é muito grande;
3. a distância média entre as moléculas é muito maior do
que as dimensões de uma molécula;
4. as moléculas de um gás estão em constante movimento,
e este movimento é inteitamente ao acaso, isto é as
moléculas se movimentam em qualquer direção.
Ao estabelecerem estas hipóteses, os cientistas estavam tentando descrever o comportamento de um gás através do movimento de suas moléculas, isto é, estavam supondo que as
leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da
Mecânica ao movimento das moléculas, tratando-as como
se fossem partı́culas. Desta maneira, os cientistas estruturaram um modelo para descrever o comportamento de um
gás.
Este modelo é denominado modelo cinético em virtude de
4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um se basear no movimento das moléculas do gás.
gás é correto afirmar que:
a) a velocidade de suas moléculas permanece constante
Cálculo Cinético da Pressão (p)
b) a velocidade de suas moléculas aumenta
c) a velocidade de suas moléculas diminui
Como vimos, no modelo cinético de um gás, o número de
d) nada podemos afirmar a respeito da velocidade
moléculas é muito grande e elas estão em constante movie) a energia cinética das moléculas diminui
mento. Em conseqüência disto, as moléculas colidem conti◦
5. (UFCE) Um recipiente A contém 5 mol de H2 a 32 C, nuamente contra as paredes do recipiente que contém o gás,
e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 à mesma tem- exercendo uma pressão nessas paredes. Como o número de
colisões é muito grande, não se percebe o efeito do choque
peratura. Podemos afirmar que:
a) a energia cinética média das moléculas é a mesma nos de cada partı́cula. O que se observa é o efeito médio da
frequente sucessão de colisões, que ocasiona o aparecimento
dois recipientes
b) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é de uma força contı́nua, sem flutuações, pressionando as paredes do recipiente. Portanto, a pressão que um gás exerce
maior do que as do recipiente B
c) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é sobre as paredes do recipiente que o contém é devida as
incessantes e contı́nuas colisões das moléculas do gás conmenor do que as do recipiente B
tra as paredes do recipiente. Aplicando as leis da mecânica
d) depende do tamanho dos recipientes
e) não é possivel determinar nada a respeito das energias as colisões das moléculas contra as paredes do recipiente,
os fı́sicos do século passado obtiveram uma expressão macinéticas das moléculas
temática, relacionando a pressão exercida por um gás com
6. (UEM-PR) As moléculas de um certo gás possuem uma as seguintes grandezas:
energia cinética média de 20, 7 × 10−23 J, podemos afirmar N — número de moléculas do recipiente
que a temperatura em ◦ C desse gás:
V — volume do recipiente
a) é 243
m — massa de cada molécula
b) está acima de 243
c) é 200
v 2 — média dos quadrados das velocidades das moléculas
d) é zero
A expressão a que chegaram foi a seguinte:
e) está abaixo de −243
1
p = (N/V )mv 2
3
Termodinâmica Aula 5
Modelo Molecular de um Gás
As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram
obtidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar
Analisando esta expressão vemos que:
• p ∝ N : este resultado é intuitivo pois, quanto maior
for o número total de moléculas, maior será o número
de colisões contra as paredes e, portanto, maior será a
pressão exercida pelo gás;
85
Termodinâmica – Aula 5
• p ∝ 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior Desta maneira, chegamos a seguinte expressão:
será a distância que uma molécula terá que percor3
rer para colidir contra as paredes e, consequentemente,
E C = kB T
2
menor será o número de colisões, isto é, menor será a
pressão exercida pelo gás;
que mostra ser a energia cinética média das moléculas de
• p ∝ m: este resultado era esperado pois, quanto maior um gás diretamente proporcional a sua temperatura absofor a massa de um molécula, maior será a sua quan- luta, isto é, quanto maior for a energia cinética média das
tidade de movimento (~
q = m~v ) e assim, maior será moléculas, maior será a temperatura do gás. Destacamos,
a força que ela exerce ao colidir contra a parede do então que: a temperatura absoluta, T de um gás está relacionada com a energia cinética média de suas moléculas.
recipiente;
Em uma amostra, podemos dizer que a única energia exi• p ∝ v 2 : realmente, quanto maior for v 2 , mais rapidatente é a energia de cada partı́cula, sendo N o número de
mente as moléculas estarão se movimentando. É fácil
partı́culas, a energia mecânica total da amostra é E = N EC .
perceber que, nestas condições, maior será a força que
Essa energia mecânica total é por definição a energia incada molécula exercerá ao colidir contra a parede e,
terna Eint. da amostra. Logo, substituindo essa relação na
além disso, maior será o número de colisões.
expressão da energia cinética temos:
Interpretação Cinética da Temperatura (T )
3
Eint. = N kB T
2
Como já mencionamos em outra ocasião, a temperatura de ou, como N = nN e k = R/N , temos
A
B
A
um corpo se relaciona com a energia de agitação dos átomos
e moléculas deste corpo.
3
Eint. = nRT
2
Mostraremos agora como os fı́sicos do século passado, baseados no modelo cinético de um gás, chegaram a esta conclusão. A expressão p = N mv 2 /3V , que havia sido obtida
Pense um Pouco!
baseando-se no modelo cinético, pode ser escrita como
pV =
N mv 2
3
• Quando um gás absorve calor e seu volume é mantido
fixo, para onde vai a energia ganha? Explique.
• Se um gás num pistão isolado se expande e realiza um
Comparando-a com a equação de estado de um gás ideal,
trabalho mecânico, o que acontece com sua temperapV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente,
tura? Explique.
conclui-se que
N mv 2
= nRT
3
Exercı́cios de Aplicação
Mas sendo NA (o número de Avogrado) o número de
moléculas que existe em 1 mol e sendo n o número de moles
1. (ACAFE) Um recipiente contém H2 a 27 ◦ C. Podemos
que corresponde a N moléculas, é claro que
afirmar que a energia cinética média de suas moléculas é:
a) 2, 2 × 10−21 J
N = nNA
b) 3, 2 × 10−21 J
e com este valor de N na igualdade anterior, virá
c) 6, 2 × 10−21 J
d) 7, 1 × 10−21 J
nNA mv 2
e) n.d.a
= nRT
3
2. (Mack-SP) Um tanque possui 2, 0 mol de hélio a 17 ◦ C.
ou, simplificando e reescrevendo
Adimtindo que nessas condições o hélio se comporta como
um gás ideal, a energia mecânica (interna) do sistema é dada
mv 2 = 3(R/NA )T
por:
3
e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos a) 6, 2 × 10 3 J
b) 7, 2 × 10 J
c) 2, 4 × 103 J
3
1
mv 2 = (R/NA )T
d) 2, 2 × 103 J
2
2
e) 1, 5 × 103 J
Observe que o primeiro membro desta expressão representa
a energia cinética média das moléculas. Esta energia 3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem◦
cinética média será representada por EC . O quociente peratura de 36 C, podemos afirmar que a energia cinética
média
de
suas
moléculas
é de:
R/NA que aparece no segundo membro, é constante, pois,
−21
a)
6,
4
×
10
J
como já sabemos, tanto R quanto NA são constantes. Este
−21
J
quociente é muito importante, é representado por kB e é a b) 1, 2 × 10
−21
c)
2,
5
×
10
J
famosa constante de Boltzmann:
d) 4, 3 × 10−21 J
−23
kB = 1, 38 × 10
J/K
e) 5, 3 × 10−21 J
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Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios Complementares
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nece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento,
desde que não ocorra mudança de estado fı́sico.
4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um
gás é correto afirmar que:
Calor Especı́fico (c)
a) a velocidade de suas moléculas permanece constante
Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, mas
b) a velocidade de suas moléculas aumenta
constituı́dos do mesmo material, quando submetidos a um
c) a velocidade de suas moléculas diminui
aquecimento, observa-se que a quantidade de calor absord) nada podemos afirmar a respeito da velocidade
vida é diretamente proporcional a sua massa. Pode-se cone) a energia cinética das moléculas diminui
cluir, portanto, que a capacidade térmica de um corpo é
5. (UFCE) Um recipiente A contém 5 mol de H2 a 32 ◦ C, diretamente proporcional a sua massa. Assim, a relação ene um outro recipiente B possui 6 mol de O2 à mesma tem- tre a capacidade térmica C de um corpo e sua massa é uma
peratura. Podemos afirmar que:
constante m, denominada calor especı́fico (c)
a) a energia cinética média das moléculas é a mesma nos
dois recipientes
c = C/m
b) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é
maior do que as do recipiente B
c) a energia cinética média das moléculas do recipiente A é Unidade SI
menor do que as do recipiente B
No SI, o calor especı́fico é medido em J/kg · K, embora na
d) depende do tamanho dos recipientes
prática se use cal/g · ◦ C.
e) não é possivel determinar nada a respeito das energias
O calor especı́fico de um corpo depende do material que o
cinéticas das moléculas
constitui, do seu estado fı́sico e da sua temperatura, esta
6. (UEM-PR) As moléculas de um certo gás possuem uma porém, sem influência considerável no estudo. O conhecienergia cinética média de 20, 7 × 10−23 J, podemos afirmar mento do valor do calor especı́fico tem importância fundamental na fı́sica, pois identifica a quantidade de calor
que a temperatura desse gás é:
necessária para elevar de um grau a temperatura de uma
a) é 243 ◦ C
unidade de massa do material.
b) está acima de 243 ◦ C
c) é 200 ◦ C
d) é 0 ◦ C
e) está abaixo de −243 ◦ C
Substância
c(cal/g · ◦ C) Substância c(cal/g · ◦ C)
Termodinâmica Aula 7
Capacidade Térmica (C)
Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma
forma ao receberem calor. Ao se esquentar água na chama
de um fogão, por exemplo, observa-se que, quanto maior a
massa de água a aquecer, maior a quantidade de calor necessária para produzir a mesma variação de temperatura.
Do mesmo modo, materiais diferentes necessitam de quantidades de calor diferentes para sofrerem a mesma variação
de temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do que a mesma massa de água,
para o mesmo aumento de temperatura. A grandeza que
mede a quantidade de calor Q necessária para produzir determinada variação de temperatura ∆T num corpo é a capacidade térmica ou capacidade calorı́fica, definida como a
quantidade de calor necessária para variar de 1 ◦ C a sua
temperatura.
C≡
Unidade SI
Q
∆T
Amônia
Álcool
Vapor d’água
Alumı́nio
Ferro
Prata
Ouro
1,13
0,58
0,48
0,22
0,11
0,056
0,032
Água
Gelo
Madeira
Vidro
Cobre
Mercúrio
Chumbo
1,00
0,55
0,42
0,16
0,092
0,033
0,031
Tabela do calor especı́fico c de algumas substâncias.
O elevado calor especı́fico da água, comparado ao de outras
substâncias é importante, pois faz com que seja necessária
elevada quantidade de energia para variar sua temperatura. Por essa razão, a água demora mais para esquentar e
também para esfriar, o que explica a estabilidade do clima
das regiões próximas a grandes concentrações de água, como
as litorâneas. Em contra-partida , a amplitude térmica de
regiões desérticas pode ultrapassar os 60 ◦ C em menos de
12 horas.
Calorimetria
Das definições de capacidade térmica e calor especı́fico, podemos escrever:
Q
C=
∆T
logo
Q = C∆T
No SI, a capacidade térmica é medida em J/K, embora na
prática se use cal/◦ C.
( 1 ) e como
A capacidade térmica de um corpo depende da sua massa
e da natureza do material de que é constituido. Ela perma-
c=
C
=⇒ C = mc
m
87
Termodinâmica – Aula 7
temos
Q = mc∆T
Ad = Vf − Vi , logo
W = p(Vf − Vi ) = p∆V
Essa equação permite calcular a quantidade de energia na
forma de calor, necessária para variar a temperatura de uma Portanto esta expressão nos permite calcular o trabalho que
determinada massa de qualquer substância, desde que não um gás realiza, ao sofrer uma variação de volume a pressão
constante.
ocorra nenhuma mudança de estado no processo.
Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se Trabalho realizado numa COMPRESSÃO
de calor sensı́vel.
Numa compressão, o procedimento para o cálculo do trabalho é o mesmo do caso da expansão, mudando apenas o
Convensão
sinal final do trabalho, já que força que o gás exerce sobre
• Quando um sistema absorve calor num processo qual- o pistão é no sentido contrário ao seu deslocamento.
Como no caso de uma compressão o volume final Vf do gás
será menor do que o seu volume inicial Vi , então a variação
• Quando um sistema perde calor num processo qual- de volume será negativa e o trabalho pode ser obtido pela
quer, associamos ao processo um calor Q < 0;
mesma fórmula da expansão, de onde obteremos já o sinal
• Quando um sistema não troca calor (não ganha e correto.
nem perde) num processo qualquer, associamos ao pro- Convensão
cesso um calor Q = 0.
• Quando um gás se expande num processo qualquer,
dizemos que o gás realiza um trabalho W > 0;
Esquematicamente:
quer, associamos ao processo um calor Q > 0;
Calor (Q)
Absorvido
Perdido
Sinal
+
-
Trabalho
• Quando um gás é comprimido num processo qualquer, dizemos que o gás realiza um trabalho W < 0;
• Quando um gás permanece com volume constante
num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o
gás realiza no processo é nulo, W = 0.
Esquematicamente:
Um sistema pode trocar energia com sua vizinhança na
forma de calor ou pela realização de trabalho. Realmente,
Trabalho do Gás (W ) Sinal
se há uma diferença de temperatura entre o sistema e a viExpansão
+
zinhança, uma certa quantidade de calor poderá ser transCompressão
ferida de um para o outro. Além disso, o sistema pode se
expandir, vencendo uma pressão e portanto, realizando tra- Unidade SI
balho sobre a vizinhança ou, ainda, o sistema poderá ter o
Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabavolume reduzido, com a realização de um trabalho da vizilho realizado por um gás é medido em joule ou J no SI.
nhança sobre ele.
Lembrando:
1J =1N ·m
Trabalho realizado numa EXPANSÃO
Consideremos como sistema termodinâmico um gás ideal, Pense um Pouco!
encerrado em um cilindro provido de um êmbolo (pistão)
que pode se deslocar livremente. Suponha que o gás se
• A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, é a
encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi .
mesma registrada nos alimentos?
Em virtude da pressão do gás, ele exerce uma força F sobre
• Qual a relação existente entre a caloria alimentar e o
o pistão que, estando livre, desloca-se de uma distância d.
estudo do calor?
Assim, o gás se expandiu até o estado final f , onde o seu
volume é Vf , e realizou um trabalho W . Se a pressão p do
gás permanecer constante, o valor da força F também será
constante durante a expansão e o trabalho W , realizado pelo Exercı́cios de Aplicação
gás, pode ser facilmente calculado. De fato, para este caso,
temos:
1. (UNIFOR-CE) Um corpo absorveu 500 cal de calor para
W = Fd
aumentar sua temperatura de 20 ◦ C para 40 ◦ C. A capacidade
térmica desse corpo em cal/◦C é:
Mas sendo F = pA, onde A é a área da seção reta do pistão,
a) 10
temos
b) 12
W = pAd
c) 20
Mas observe que Ad é o volume varrido pelo pistão durante d) 25
a expansão, que é igual a variação do volume do gás, isto é, e) 30
88
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
2. (USF-SP) Uma amostra de 50 g de determinada
substância sofre um acréscimo de temperatura de 20 ◦ C,
quando absorve 200 calorias. O calor especı́fico dessa
substância, em cal/g · ◦ C, é:
a) 1,2
b) 1,0
c) 0,5
d) 0,4
e) 0,2
3. (UEPB) A massa de um corpo é igual a 2 kg. Recebendo
10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ◦ C para 90 ◦ C. O
calor especı́fico desse corpo é:
a) 0, 1 ◦ C
b) 0, 2 ◦ C
c) 0, 3 ◦ C
d) 0, 4 ◦ C
e) 0, 5 ◦ C
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destruı́da dentro do sistema, mas apenas transformada de
uma forma em outra.
Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar
conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem
de ter saı́do de algum lugar. Por exemplo, admitamos que
um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia
não podem desaparecer e nem serem destruı́dos no sistema.
Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em continuação, que o sistema realiza 80 J de trabalho. Notamos
que o sistema recebeu 100 J e 80 J. Onde estarão os 20 J
restantes?
Estes joules restantes ficaram dentro do sistema, armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia
interna do sistema aumentou em 20 J. Podemos fazer um
esquema desta troca de energia
Meio Externo
Exercı́cios Complementares
Sistema
4. (ITA) A capacidade térmica de uma caneca de alumı́nio é
de 16 cal/◦ C. Sabendo-se que o calor especı́fico do alumı́nio
∆U = +20 J
int
é de 0, 2 cal/g · ◦ C, pode-se afirmar que a massa dessa caneca, em gramas, é:
a) 3,2
b) 32
Q = +100 J
W = +80 J
c) 90
d) 160
Sendo:
e) 800
Calor recebido pelo sistema (Q): é energia que entra no
5. (FURG) Uma fonte calorı́fica fornece calor, com potência
sistema e a representamos por uma seta entrando, pois o
constante, para 600 g de água durante 10 min e observa-se
calor ı́ absorvido Q > 0.
a temperatura desta elevar-se em 15 ◦ C. Substituindo-se a
água por 300 g de outro lı́quido, verifica-se que a tempera- Trabalho cedido pelo sistema (W ): é energia que sai do
tura deste se eleva também de 15 ◦ C, porém em 2 min. O sistema na forma de trabalho e o representamos por uma
seta para fora, já que é uma energia perdida pelo sistema
calor especı́fico do lı́quido é de :
◦
(W > 0).
a) 0,1 cal/g · C
◦
b) 0,2 cal/g · C
Aumento de energia interna (∆Uint ): representamos por
c) 0,3 cal/g · ◦ C
uma quantidade ∆Uint > 0, quando ela aumenta, ou po
d) 0,4 cal/g · ◦ C
uma quantidade ∆Uint < 0, quando ela diminui.
e) 0,5 cal/g · ◦ C
Temos:
6. (ACAFE) A capacidade térmica de um corpo homogêneo
depende:
a) só de sua massa
b) de sua massa e de seu volume
c) só de sua massa e do calor especı́fico do material que o
constitui
d) de sua massa e de sua temperatura
e) só do calor especı́fico do material que o constitui
Termodinâmica Aula 8
Primeira Lei da Termodinâmica
Q = W + ∆Uint
Para obtermos esta relação entre Q, W e ∆Uint , basta impormos que “a soma das energia entram (sinal positivo) com as energias que saem (sinal negativo) do
sistema é igual a variação da energia interna do sistema”.
Esta é a primeira lei da Termodinâmica.
Aplicações da Primeira Lei
Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termodinâmicos particulares. Dizemos que um sistema térmico
A primeira lei da Termodinâmica nada mais é que o passa por um processo de equilı́brio, ou quase-estático,
princı́pio da Conservação da energia aplicado à termo- quando evolui fisicamente de forma lenta, fazendo com as
dinâmica. O princı́pio da conservação da energia, em linhas variáveis que o descrevem (p, V , T , Uint , etc) mudem suagerais, diz que num sistema isolado a energia total é con- vemente, fazendo o sistema evoluir de forma contı́a de um
servada, ou seja é constante, e jamais pode ser criada ou estado inicial i, digamos, para um estado final f .
89
Termodinâmica – Aula 8
Transformação Isotérmica (T = cte)
Segunda Lei da Termodinâmica
Para um processo termodinâmico em que a temperatura não A segunda lei da Termodinâmica, a exemplo da primeira,
varia, a variação de energia interna do gás é nula. Ou seja, tem diferentes enunciados que se equivalem. O mais comum deles decorre da conclusão das aulas anteriores e da
pela primeira lei concluimos que
aceitação da irreversibilidade das transformações da natureza:
Q=W
Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos,
ou seja, numa transformação isotérmica, o calor trocado pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo inpelo gás com o exterior é igual ao trabalho realizado no tegralmente em trabalho.
mesmo processo.
ou noutra forma mais moderna
Transformação Isobárica (p = cte)
O calor flui expontaneamente de um corpo mais
quente para um corpo mais frio, sempre neste sentido.
No processo isobárico de um gás ideal, o volume V é di- Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplicações mais adiretamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa ante.
expansão isobárica, o volume e a temperatura aumentam,
ocorrendo também aumento da energia interna do gás:
Pense um Pouco!
∆Uint > 0
e pela primeira lei concluimos que para uma expansão
isobárica
Q>W
ou seja, numa expansão isobárica, a quantidade de calor
recebida é maior que o trabalho realizado.
• Ao ser comprimido, um gás ganha ou perde energia
interna?
• Faça uma analogia da compressão de um gás e de uma
mola, observando o trabalho e a energia.
• Um moto perpétuo de primeira espécie seria uma
máquina que realizasse trabalho indefinidamente, sem
utilizar nenhuma fonte de energia. Futuramente será
possı́vel a construção de uma tal máquina?
Transformação Isométrica (V = cte)
Como não há variação de volume nesse tipo de processo, o
trabalho realizado é nulo e, pela primeira lei:
Exercı́cios de Aplicação
1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a
primeira lei da termodinâmica.
a) O aumento de energia interna de um gás é dado pela diou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com ferença entre o calor recebido e o trabalho realizado.
que a energia interna do sistema aumente (diminua).
b) O trabalho realizado é dado pela soma do calor recebido
Numa transformação isométrica, a variação de energia in- com o aumento de energia interna.
terna do gás é igual a quantidade de calor trocada com o c) O calor recebido é dado pela diferença entre o trabalho
realizado e o aumento de energia interna.
meio exterior.
A transformação à volume constante também é chamada de d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna não
se altera.
isovolumétrica, isocórica ou isométrica.
¯
e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui.
∆Uint = Q
Transformação Adiabática (Q = 0)
2. (FATEC) Haverá trabalho realizado sempre que uma
massa gasosa:
Um gás sofre uma transformação adiabática quando não
a) sofrer variação em sua pressão
troca calor com o meio exterior, ou seja, quando
b) sofrer variação em seu volume
c) sofrer variação em sua temperatura
Q=0
d) receber calor de fonte externa
e) sofrer variação de energia interna
Aplicando a primeira lei temos neste caso
3. (FATEC) Uma fonte térmica cede 100 J de calor a um
∆Uint = −W
sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho
mecânico de 20 J. Durante esse processo, não ocorrem ouNuma transformação adiabática, a variação de energia in- tras trocas de energia com o meio externo. A variação da
terna é igual em módulo e sinal contrário ao trabalho re- energia interna do sistema, medida em joules, é igual a:
alizado na transformação. Ou seja, se um sistema realiza a) zero
trabalho adiabaticamente, terá de consumir sua energia in- b) 20
terna, já que não absorveu calor.
c) 80
90
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d) 100
e) 120
Fonte Quente
Q
1
Exercı́cios Complementares
Máquina
Térmica
W
4. (MACK) Um gás mantido a volume constante, recebe
Q
2
240 J de calor do meio ambiente. O trabalho realizado
pelo gás e sua variação da energia interna serão, respectivamente;
Fonte Fria
a) 240 J e 0 J
b) 0 J e 240 J
c) 120 J e 120 J
d) 0 J e 120 J
Para o caso das máquinas térmicas, a Segunda Lei da Tere) −240 J e 240 J
modinâmica assume a forma:
É impossı́vel um dispositivo operando em ciclos con5. (UFLA-MG) Assinale a resposta correta. É possı́vel ce- verter integralmente calor em trabalho.
der calor a um gás sem que sua temperatura aumente?
Assim, podemos definir o rendimento ǫ de uma máquina
a) Não, porque sempre que um corpo recebe calor sua tem- térmica como
W
peratura aumenta
ǫ=
b) Não , porque o calor é uma forma de energia e sempre se
Q1
conserva
e como W = Q1 − Q2 temos:
c) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia
interna do gás
Q2
ǫ=1−
d) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da
Q1
agitação térmica das moléculas do gás
e) Sim , basta que o gás realize trabalho igual ao calor que
Ciclo de Carnot
recebeu
Estudando as máquinas térmicas, o cientista Sadi Carnot
6. (ACAFE) Numa expansão adiabática, a temperatura de propôs, em 1824, um ciclo teórico composto de quatro transum mol de gás perfeito diminui de 200 K. Podemos afirmar formações reversı́veis - duas isotérmicas e duas adiabáticas,
que proporciona o máximo rendimento para uma máquina
que a quantidade de calor trocada com o ambiente é de:
térmica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente
a) 73 cal
e
fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot.
b) 200 cal
c) 20 cal
d) 0 J
e) não pode ser determinado
p
a
isotérmico
Termodinâmica Aula 9
b
adiabático
T
1
adiabático
d
isotérmico
Máquinas Térmicas
c T2
O
Va
Vd
Vb
Vc
V
Uma máquina térmica opera em ciclos entre duas fontes
térmicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fonte
quente e a outra, de fonte fria. A máquina retira calor da
fonte quente Q1 , transforma parte desse calor em trabalho
W e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim
Figura 1: Figura do Ciclo de Carnot.
W = Q1 − Q2
Processo A → B: o gás sofre uma expansão isotérmica,
recebendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho.
91
Termodinâmica – Aula 10
A energia interna do gás se mantém constante nesta transformação.
Exercı́cios de Aplicação
1. (ACAFE) Uma máquina térmica, que opera segundo
o ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em
cada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixo que representa o rendimento desta máquina
térmica é:
a) 100 %
b) 80 %
c) 60 %
d) 40 %
e) 20 %
Sadi Carnot
Processo B → C: o gás sofre uma expansão adiabática. Sua
temperatura diminui, mas não ocorre troca de calor com o
meio. O gás realiza trabalho as custas de redução na sua
energia interna.
Processo C → D: o gás sofre uma compressão isotérmica , o
meio exterior realiza trabalho sobre o gás, sem que haja variação na sua energia interna. Durante essa transformação,
o gás rejeita a quantidade de calor Q2 para a fonte fria.
Processo D → A: ocorre uma compressão adiabática,
completando-se o ciclo. A temperatura do sistema aumenta,
mas não ocorre troca de calor com o meio. O trabalho realizado contra o sistema, provoca aumento na sua energia
interna.
Carnot demonstrou que, para uma máquina que executasse
o ciclo por ele proposto, as quantidades de calor trocadas
com as fontes térmicas são diretamente proporcionais as
temperaturas absolutas dessas fontes, ou seja:
T2
Q2
=
Q1
T1
2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alternativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo de
Carnot é constituı́do de transformações:
a) adiabáticas e isotérmicas
b) adiabáticas e isobáricas
c) isovolumétrica e isotérmicas
d) isovolumétricas e isobáricas
e) isovolumétricas e adiabáticas
3. (ACAFE) Uma máquina de Carnot, cuja fonte quente
está a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada
ciclo, e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura
da fonte fria é de :
a) 210 K
b) 190 K
c) 150 K
d) 120 K
e) 100 K
Exercı́cios Complementares
4. (Mackenzie) Uma máquina térmica executa um ciclo
entre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte
Q2
ǫ=1−
fria). O máximo rendimento que essa máquina poderia ter
Q1
é:
então o rendimento ǫC de uma máquina de Carnot é dado a) 10 %
por:
b) 20 %
T2
c) 25 %
ǫC = 1 −
T1
d) 30 %
Daı́ tiramos uma importante conclusão:
e) 80 %
O rendimento da máquina de Carnot não depende
da substância de trabalho utilizada (gás): é função 5. (UEL) O rendimento de certa máquina térmica de Car◦
exclusiva das temperaturas absolutas das fontes not é de 25% e a fonte fria é a própria atmosfera a 27 C.
A temperatura da fonte quente é:
quente e fria.
a) 5, 4 ◦ C
Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas tempera- b) 52 ◦ C
turas T1 e T2 das fontes quente e fria, a máquina de Car- c) 104 ◦ C
not é a que apresenta o máximo rendimento. Portanto, d) 127 ◦ C
nenhuma máquina térmica, entre as mesmas temperatu- e) 227 ◦ C
ras, pode apresentar rendimento superior ao previsto para
a máquina de Carnot.
6. (Osec-SP) Um gás perfeito realiza um ciclo de Carnot.
A temperatura da fonte fria é 127 ◦ C e a da fonte quente é
427 ◦ C. O rendimento do ciclo é:
Pense um Pouco!
a) 3,4 %
b) 70 %
• O que aconteceria com uma máquina térmica se o ren- c) 43 %
dimento alcançado fosse de 100%? Será que no futuro, d) 57 %
teremos uma máquina assim?
e) n.d.a
Como
92
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Termodinâmica Aula 10
Mudanças de Fase
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A ebulição e a liquefação se processam na mesma temperatura, chamada temperatura (ou ponto) de ebulição ou de
liquefação (TE ). Por exemplo, sob pressão atmosférica normal, a água sempre entra em ebulição e se liquefaz a 100 ◦ C.
Calor Latente
A matéria pode se apresentar-se nos estados sólido, lı́quido
e gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte:
Seja Q a quantidade de calor latente necessária para provocar uma dada mudança de estado na massa m de um
Sólido têm forma própria e volume bem definido.
Lı́quido não tem forma própria (assume a forma do recipi- substância S, sem variação de temperatura.
Verifica-se experimentalmente que Q é proporcional à massa
ente que os contém), mas tem volume bem definido.
Gás não tem forma própria nem volume definido. Tomam a m, podendo-se escrever:
forma e o volume do recipiente que os contém, dependendo
da pressão externa.
Q = mL
Sendo L um coeficiente de proporcionalidade chamado calor especı́fico latente da referida mudança de estado da
substância S.
Tipos
No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a
substâncias puras, e faremos algumas definições:
Sendo LF o calor especı́fico latente de fusão ou de solidificação, temos
QF = mLF
• Fusão: é a passagem de uma substância do estado
E sendo LV o calor especı́fico latente de vaporização ou de
sólido para o estado lı́quido.
liquefação, temos:
• Solidificação: é a passagem de uma substância do esQV = mLV
tado lı́quido para o estado sólido .
• Vaporização: é a passagem de uma substância do es- Observamos que o calor especı́fico latente de uma substância
é uma caracterı́stica da substância que não depende da
tado liquido para o estado de vapor.
massa.
Conforme a maneira de se processar, a vaporização recebe nomes diferentes. Assim ela pode tomar o nome Observamos também que o calor especı́fico latente de fusão
e de solidificação é o mesmo, porque a quantidade de calor
de:
que um corpo recebe para se fundir é a mesma que cede
– Evaporação: ocorre mediante um processo lento ao se solidificar. O mesmo se pode dizer do calor especı́fico
que se verifica apenas na superfı́cie do lı́quido. É latente de vaporização e de liquefação.
o que acontece com a água de um tanque , ou de
uma bacia ao ar livre. A evaporação pode ocorrer
a qualquer temperatura que estiver o lı́quido.
Pense um Pouco!
– Ebulição: ocorre mediante a um processo turbulento que se verifica em toda a massa lı́quida. Isso
• Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no
ocorre quando a pressão de vapor do lı́quido se
guarda-roupas ,depois de algum tempo ela some.
iguala a pressão externa, aı́ o vapor escapa proComo se chama esse processo?
duzindo o borbulhar caracterı́stico da ebulição. É
• O que acontece com o calor absorvido por uma
o que ocorre com a água de uma chaleira quando
substância durante uma mudança de fase, já que sua
esta é colocada ao fogo e começa a fervura. A
temperatura não muda?
ebulição só ocorre em uma determinada temperatura, caracterı́stica do lı́quido, chamada temperatura (ou ponto) de ebulição, que depende d
a pressão exercida em sua superfı́cie.
– Calefação: ocorre após um aquecimento muito
brusco. Por exemplo quando uma porção de
água é jogada na chapa quente de um fogão,
há um aquecimento brusco da água, seguido do
fenômeno de calefação .
Exercı́cios de Aplicação
Temperatura de Mudança de Estado
1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma substância,
sem variação de temperatura, foram necessárias 1, 4 kcal.
Qual o calor especı́fico latente de fusão dessa substância em
cal/g?
a) 12
b) 24
c) 26
d) 28
e) 30
A fusão e a solidificação se processam na mesma temperatura chamada temperatura (ou ponto) de fusão ou de solidificação (TF ). Por exemplo, a água, sob pressão atmosférica
normal, sempre se funde e solidifica a 0 ◦ C.
2. (ACAFE) Sendo o calor latente especı́fico de fusão do
gelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necessária para
fundir 100 gramas de gelo a 0 ◦ C é:
a) 8 kcal
• Liquefação (condensação): é a passagem de uma
substância do estado de vapor para o estado lı́quido.
93
Termodinâmica – Aula 11
b) 4 kcal
c) 125 cal
d) 80 cal
e) 1, 25 cal
submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos a
seguir, nos permitirá definir em que condições a sublimação
de um substância poderá ocorrer.
3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a −10 ◦ C, tem
massa de 500 g. Qual a quantidade de calor necessária
para transformá-lo em igual quantidade de água, a 20 ◦ C?
Dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ◦ C, cAGUA = 1, 0 cal/g · ◦ C e
LF = 80 cal/g.
a) 0, 05 kcal
b) 0, 52 kcal
c) 5, 25 kcal
d) 525 kcal
e) 52, 5 kcal
Diagrama de Fases
4. (CEFET) Têm-se 200 g de água a 20 ◦ C. A quantidade
de calor, em cal, que dela se deve retirar para se ter gelo
a 0 ◦ C, é (dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ◦ C, cAGUA =
1, 0 cal/g · ◦ C e LF = 80 cal/g):
a) 4000
b) 16000
c) 20000
d) 20100
e) 12000
Pressao (atm)
Exercı́cios Complementares
Em um laboratório é possı́vel determinar, para cada
substância, os valores da pressão p e da temperatura T correspondentes a cada um dos seus possı́veis estados. Com
estes valores podemos construir um gráfico, denominado diagrama de fases, que tem aspecto semelhante ao da figura
abaixo:
1,0
Liquida
Solida
0,0006
Ponto triplo
Vapor
0,01
100
Temperatura ( C)
5. (ACAFE) Qual a quantidade de calor que se deve fornecer a 50 g de gelo a 0 ◦ C para transformá-lo em vapor de
água a 100 ◦ C? Sabe-se que LV = 539 cal/g.
a) 35950 cal
b) 26170 cal
c) 20130 cal
d) 15310 cal
e) 9000 cal
Observa-se que este diagrama está dividido em três regiões,
indicando a fase Sólida, Lı́quida e Vapor. Se nos forem
fornecidos os valores da pressão e da temperatura em que
uma substância se encontra, o seu diagrama de fases nos
permitirá determinar se ela esta sólida, lı́quida ou gasosa.
Para isto, devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se este
ponto estiver localizado na região Sólida, a substância es6. (UNIJUÍ) A vantagem do uso da panela de pressão tará na fase sólida, se estiver na região Lı́quida, estará na
em relação as panelas comuns para cozinhar alimentos fase lı́quida e se estiver na região Vapor, na fase gasosa.
relaciona-se com:
a) a água demora mais a ferver e atinge uma temperatura
menor
b) a água ferve rapidamente e atinge maior temperatura
c) a água ferve rapidamente e atinge menor temperatura
d) a água demora mais a ferver e atinge maior temperatura
e) n.d.a
Termodinâmica Aula 11
Sublimação e Diagrama de Fases
Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estado lı́quido, isto é, ocorre a sublimação da naftalina. Este
fato também ocorre com o CO2 sólido e, por isto, ele é denominado ”gelo seco”. Embora sejam poucas as substâncias
que se sublimam nas condições ambientes, verifica-se que
este fenômeno pode ocorrer com qualquer substância, dependendo da temperatura e da pressão a que ela estiver
Figura 1: Estrutura da água lı́quida.
Ponto Triplo
As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividem nas regiões Sólida, Lı́quida e Vapor correspondem a
valores de p e T nos quais podemos encontrar a substância,
simultaneamente, em dois estados. Assim, qualquer ponto
da linha T M corresponde a um par de valores de p e T no
94
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
qual a substância se apresenta, simultaneamente, nos estados sólido e lı́quido. A linha T N corresponde ao equilı́brio
entre lı́quido e vapor e a linha OT , entre sólido e vapor.
O ponto de encontro dessas três linhas (ponto T da figura) nos fornece os valores da pressão e da temperatura
nos quais a substância pode se apresentar, simultaneamente,
nos três estados. Este ponto é denominado ponto triplo da
substância. A água, por exemplo, a pressão de 4, 6 mmHg e
a uma temperatura de 0, 01 ◦ C, pode ser encontrada, simultaneamente, nos estados sólido, lı́quido e gasoso e, portanto,
estes valores correspondem ao seu ponto triplo.
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c) está necessariamente em processo de fusão.
d) está necessariamente evaporando.
e) está sofrendo uma mudança de fase.
2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento contı́nuo
de calor, aquece-se, à pressão constante de 1 atmosfera,
100 g de gelo, que são transformados em vapor superaquecido. A figura seguinte ilustra a variação da temperatura
do sistema com o tempo.
a) Em que intervalo de tempo ocorre a fusão?
b) Em que intervalo de tempo ocorre a vaporização?
c) Considerando o calor especı́fico do gelo igual a 0, 55 cal/g·
◦
C e o calor latente de fusão igual a 80 cal/g, qual é a quantidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicial
ao instante t2 ?
T(oC)
Figura 2: Estrutura da água sólida (gelo).
0
t1
t2
t3
t4
t(s)
−40
Gás Real
Um gás real pode não se comportar como um gás ideal, já
que o modelo de gás ideal é uma aproximação bem simplificada de um gás real.
Exercı́cios Complementares
Para isto, suponha que um gás real esteja encerrado em um
cilindro provido de um pistão e de um manômetro que nos 3. (UFV-MG) Sejam dois sólidos A e B, de massas respecpermite ler os valores de sua pressão.
tivamente a mA e mB , em equilı́brio térmico. Cedendo-lhes
a
mesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura
Mantendo constante a temperatura do gás, vamos
do
corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B.
comprimi-lo desde uma posição inicial aonde a pressão do
Não
se observa mudança de fase. Sobre essa situação são
gás é ainda, relativamente baixa. Durante a compressão,
feitas
três afirmativas:
verifica-se que, inicialmente, o gás real se comporta como
I
Se
os
corpos forem feitos do mesmo material, certamente
um gás ideal, isto é, os valores de p,V e T do gás satisfazem
m
>
m
a equação pV = nRT .
A
B.
II
Se
m
A = mB , certamente o calor especı́fico de A é maior
Entretanto, após o pistão atingir uma certa posição, na qual
que
o
calor
especı́fico de B.
a pressão já é um pouco mais elevada, observa-se que o gás
III
Esta
situação
só foi possı́vel porque os corpos possuem
real deixa de se comportar como um gás ideal. Seu comporcapacidades
térmicas
diferentes.
tamento torna-se mais complexo, exigindo, para descrevê-lo,
Estão
CORRETAS:
equações mais sofisticadas do que a equação de estado de um
a) I e II
gás ideal.
b) apenas II
c) apenas III
d) I, II e III
Pense um Pouco!
e)
• Todas as substâncias possuem o chamado ponto triplo? SOLUÇÃO
• Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completamente?
A solução desse item é uma análise das relações abaixo:
1) Q = mc∆t 2) C = mc 3) Q = C∆T
Onde:
Q - quantidade de calor;
C - capacidade térmica;
c - calor especı́fico
m - massa;
1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sob
∆T - variação da temperatura.
pressão constante, observarmos que a temperatura permaAnalisemos as afirmações:
nece inalterada, podemos afirmar que o sistema:
I - Pela equação 1), mesmo material =¿ mesmo calor esa) é totalmente sólido.
pecı́fico; como A sofreu maior variação de temperatura, a
b) é totalmente lı́quido.
Exercı́cios de Aplicação
95
Eletricidade – Aula 1
massa de A é menor que a de B. Afirmativa falsa.
não sofrem a influência de quaisquer outros corpos, as carII - Pela equação 1), massas iguais =¿ sofre maior variação gas elétricas cedidas por um são exatamente as adquiridas
de temperatura o corpo de menor calor especı́fico. Portanto pelo outro:
QA = −QB
o calor especı́fico de A é menor que o de B, pois A sofreu
maior variação de temperatura. Afirmação falsa.
Isto é, A e B adquirem quantidades de carga elétrica iguais
III - Pela equação 3) verifica-se que quantidades de calor
em módulo, mas de sinais contrários. A figura representa
iguais, as variações de temperaturas serão diferentes se as
o que acontece quando um pedaço de metal é atritado com
capacidades térmicas forem diferentes. Afirmação correta.
um pano de lã.
Portanto, apenas III é correta.
Eletricidade Aula 1
Carga Elétrica
La
La
+ +
+
+
+ +
+ +
+
++ +
No século XVIII, Benjamin Franklin verificou experimentalmente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as
batizou como cargas negativas (−) e positivas (+). Nesta
(a)
(b)
época os cientistas pensavam que a carga era um fluı́do que
podia ser armazenado nos corpos, ou passar de um para outro.
Quando esfregamos as mãos, não eletrizamos nenhuma deAtualmente, dizer-se que carga elétrica é uma propriedade las. Para que haja eletrização por atrito, uma condição neintrı́nseca de algumas partı́culas. Assim como massa, a cessária é que os corpos sejam de materiais diferentes, isto
carga é uma propriedade elementar das partı́culas.
é, eles não podem ter a mesma tendência de ganhar ou perder
elétrons. Em Quı́mica, essa tendência é traduzida por
A experiência realizada por Harvey Fletcher e Robert Miluma
grandeza denominada de eletroafinidade. Os materilikan demonstrou que a quantidade de carga elétrica é uma
ais
podem
ser classificados de acordo com essa tendência,
grandeza quantizada, ou seja, não pode assumir qualquer
elaborando-se
a chamada série tribo-elétricas:
valor. Essa descoberta levou à conclusão de que a quantidade de carga elétrica Q é sempre um número inteiro n + + + Vidro → Mica → Lã → Seda → Algodão →
vezes a quantidade de carga elementar e:
Madeira → Âmbar → Enxofre → Metais − − −
Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma série triboQ = ne
elétrica, o que estiver posicionado à esquerda ficará eletrizado positivamente; o que estiver à direita ficará eletrizado
−19
onde e = 1, 60 × 10
C. A unidade SI da carga elétrica é
negativamente. Na eletrização por atrito, pelo menos um
o coulomb ou C.
dos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores,
eles não vão manter a eletrização.
Atrito
Tipos de Materiais
Em relação à eletricidade, os materiais são classificados
como condutores ou isolantes.
Para que um material seja condutor de energia elétrica, é
necessário que ele possua portadores de carga elétrica livres
(elétrons, ı́ons positivos ou ı́ons negativos) e mobilidade para
esses portadores. Os metais são bons condutores de eletricidade, pois possuem elétrons ”livres”e mobilidade para esses
elétrons; o mesmo acontece com as soluções eletrolı́ticas,
que apresentam os ı́ons como portadores de carga elétrica,
e com os gases ionizados, que possuem elétrons e ı́ons como
portadores de carga elétrica.
Eletrização por Contato
A eficiência nessa forma de eletrização depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for
isolante, a eletrização será local, isto é, restrita aos pontos
de contato.
Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imaginá-los
como um único corpo eletrizado. A separação entre eles
resultará em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo
sinal. Na figura, um dos condutores está inicialmente neutro (a eletrização por contato pode ocorrer também com
O vidro, a água pura, a madeira e os plásticos de modo geral dois condutores inicialmente eletrizados).
são bons isolantes de eletricidade. Além dos condutores e
dos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como o
silı́cio e o germânio.
Depois
Antes
+ +
+
+
+
+
+
Eletrização por Atrito
+
+
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(a)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(b)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(c)
Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos fornecendo energia e pode haver transferência de elétrons de um Generalizando, podemos afirmar que, na eletrização por
para o outro. Se os corpos atritados estão isolados, ou seja, contato:
96
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
• os corpos ficam ou eletricamente neutros ou com cargas
de mesmo sinal;
• quando o sistema é formado por corpos isolados das influências externas, a quantidade de carga elétrica total
final é igual à quantidade de carga elétrica total inicial
(princı́pio da conservação de carga elétrica):
+
+
—
+
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+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
QA + QB = Q′ A + Q′ B
+
+
+
+
+
B1
+
+
B2
(a)
(b)
Na expressão acima, Q representa a quantidade de
carga elétrica inicial e Q′ , a quantidade de carga
elétrica final. Em particular, se os corpos A e B fo- O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas
rem iguais:
elétricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais próxima do indutor, temos acúmulo de cargas
negativas, que não chegam ao indutor porque o ar entre eles
Q′ A = Q′ B = (QA + QB)/2
é isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada
Podemos ainda observar que:
do indutor fica positiva. A essa altura, podemos nos per1. se os corpos colocados em contato são de tama- guntar se o corpo (b) está eletrizado. Ele não está, pois o
nhos diferentes, a divisão de cargas é proporcio- número de prótons no corpo continua igual ao número de
elétrons. Dizemos que o corpo (b) está induzido, porque
nal às dimensões de cada um;
2. quando um corpo eletrizado é colocado em con- houve apenas uma separação das cargas. Quando retiratato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez mos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele
que sua dimensão é desprezı́vel se comparada com volta à situação neutra. Para eletrizar o induzido, devemos,
à da Terra. Simbolicamente, a ligação à Terra é na presença do indutor, estabelecer o contato do induzido
(corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse
representada conforme a figura.
terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, até mesmo
o planeta Terra.
+ +
+
+
+
+
+
+
Terra
B
(a)
(b)
+
+
+ +
Em (a), o corpo está isolado da Terra e, portanto,
mantém sua carga elétrica. Quando o contato
com a Terra é estabelecido (b), o corpo se neutraliza
Eletrização por Indução
Nesse tipo de eletrização não há contato entre os corpos.
Vejamos como acontece.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(a)
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
A − Indutor
(a)
(b)
Na presença do indutor, desfazemos o contato entre b e a
Terra; em seguida, afastamos os corpos: o corpo b fica eletrizado com carga oposta à do indutor a.
Pense um Pouco!
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
• Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer
de um carro num dia seco. Explique.
• Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga
elétrica? Por quê?
+
(b)
Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), chamado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois
não terá contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser
eletrizado, chamado de induzido, deverá ser condutor, podendo ser uma solução eletrolı́tica ou dois corpos B1 e B2
ligados eletricamente.
Exercı́cios de Aplicação
1. Dispõe-se de três esferas metálicas idênticas e isoladas
uma da outra. Duas delas, A e B, estão neutras, enquanto
a esfera C contém uma carga elétrica Q. Faz-se a esfera C
tocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No final desse
procedimento, qual a carga elétrica das esferas A, B e C,
respectivamente?
97
Eletricidade – Aula 2
2. ”Série tribo-elétrica é um conjunto de substâncias ordenadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente
quando atritada com qualquer uma que a antecede e positivamente quando atritada com qualquer uma que a sucede.
Exemplo: vidro - mica - lã - seda - algodão - cobre.”Baseado
na informação acima, responda:
a) Atrita-se um pano de lã numa barra de vidro, inicialmente neutros. Com que sinais se eletrizam?
b) E se o pano de lã fosse atritado numa esfera de cobre,
também inicialmente neutro?
3. Uma esfera metálica neutra encontra-se sobre um suporte
isolante e dela se aproxima um bastão eletrizado positivamente. Mantém-se o bastão próximo à esfera, que é então
ligada à terra por um fio metálico. Em seguida, desliga-se
o fio e afasta-se o bastão.
a) A esfera ficará eletrizada positivamente.
b) A esfera não se eletriza, pois foi ligada à terra.
c) A esfera sofrerá apenas separação de suas cargas.
d) A esfera ficará eletrizada negativamente.
e) A esfera não se eletriza, pois não houve contato com o
bastão eletrizado.
4. Dispõe-se de uma esfera condutora eletrizada positivamente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontramse inicialmente neutras. Os suportes das três esferas são isolantes. Utilizando os processos de eletrização por indução e
por contato, descreva procedimentos práticos que permitam
obter:
a) as três esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada
positivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamente e B positivamente
Exercı́cios Complementares
5. (U. Fortaleza-CE) Um bastão é atritado com um pano.
A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Podese afirmar corretamente que o bastão foi eletrizado
a) positivamente, por contato com o pano.
b) positivamente, por ter-se aproximado da esfera.
c) negativamente, por ter-se aproximado da esfera.
d) negativamente, por atrito com o pano.
e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera
b) Q
c) 2Q
d) 0
e) −Q
Eletricidade Aula 2
Eletroscópio de Folhas
É constituı́do de duas folhas metálicas, finas e flexı́veis, ligadas em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma
esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de
cargas elétricas da haste para a esfera. Normalmente, as
folhas metálicas são mantidas dentro de um frasco transparente, a fim de aumentar a sua justeza e sensibilidade.
++
+
+++
Eletrostato
(a)
(b)
Figura 1: O eletroscópio de folhas (a) na presença de
um bastão eletrizado negativamente (b)
Aproximando-se da esfera o corpo que se quer verificar, se
ele estiver eletrizado, ocorrerá a indução eletrostática, ou
seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele
os elétrons livres da esfera para as lâminas, fazendo com
que elas se abram devido à repulsão; se o corpo estiver com
cargas positivas, ele atrai os elétrons livres das lâminas, fa6. (PUCC-SP) Dispõe-se de uma barra de vidro, um pano
zendo também com que elas se abram, novamente, devido à
de lã e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas
repulsão.
em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atritase a barra de vidro com o pano de lã; a seguir coloca-se a
barra de vidro em contato com a esfera A e o pano com a
++
esfera B. Após essas operações:
++
a) o pano de lã e a barra de vidro estarão neutros.
b) a barra de vidro repelirá a esfera B.
+
+
c) o pano de lã atrairá a esfera A.
+
+
d) as esferas A e B se repelirão.
e) as esferas A e B continuarão neutras.
7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera metálica, sustentada por uma
haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena
carga elétrica Q. Uma segunda esfera idêntica e inicialmente descarregada aproxima-se dela, até tocá-la. Após o
contato, a carga elétrica adquirida pela segunda esfera é:
a) Q/2
Figura 2: Na presença de um bastão eletrizado positivamente
98
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
—
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A determinação do sinal da carga do corpo em teste, que no vácuo. Se a carga q ′ for substituı́da por outra −3q ′ e a
já se sabe estar eletrizado, é obtida carregando-se anterior- distância entre as cargas for duplicada, como se modifica a
mente o eletroscópio com cargas de sinal conhecido. Dessa força de interação elétrica entre elas?
forma, as lâminas terão uma determinada abertura inicial.
3. Considere um eletroscópio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negatiA Lei de Coulomb
vamente é:
a) aproximado da esfera do eletroscópio;
Esta lei diz respeito à intensidade das forças de atração ou b) encostado na esfera do eletroscópio.
de repulsão, que agem em duas cargas elétricas puntiformes
(cargas de dimensões desprezı́veis), quando colocadas em
presença uma da outra.
Exercı́cios Complementares
Considere duas cargas elétricas puntiformes, q1 e q2 , separadas pela distância r. Sabemos que, se os sinais dessas 4. Duas partı́culas eletrizadas com cargas elétricas de
cargas forem iguais, elas se repelem e, se forem diferentes,
mesmo valor absoluto mas sinais contrários atraem-se no
se atraem. Isto acontece devido à ação de forças de natureza vácuo com força de intensidade 4, 0 × 10−3 N , quando situelétrica sobre elas.
adas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas,
Essas forças são de ação e reação e, portanto, têm a mesma sendo k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .
intensidade, a mesma direção e sentidos opostos. Deve-se
notar também que, de acordo com o princı́pio da ação e 5. (Santa Casa-SP) A figura representa um eletroscópio de
reação, elas são forças que agem em corpos diferentes e, folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e
as folhas F são metálicos. Inicialmente, o eletroscópio está
portanto, não se anulam.
eletricamente descarregado. Uma esfera metálica, positivaCharles de Coulomb verificou experimentalmente que:
mente carregada, é aproximada, sem encostar, da esfera do
eletroscópio. Em qual das seguintes alternativas melhor se
As forças de atração ou de repulsão entre duas
representa a configuração das folhas do eletroscópio (e suas
cargas elétricas puntiformes são diretamente procargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esporcionais ao produto das cargas e inversamente
fera?
proporcionais ao quadrado da distância que as separa.
b)
a)
c)
A expressão matemática dessa força é:
F =k
q1 q2
r2
onde q1 e q2 são os módulos das cargas elétricas envolvidas,
e k uma constante eletrostática que, no SI, para as cargas
situadas no vácuo é
E
S
F
d)
e)
blindagem
metalica
k = 9 × 109 N · m2 /C 2
Pense um Pouco!
6. Duas cargas puntiformes q1 = −5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC
estão sobre o eixo horizontal, separadas por uma distância
• Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o r. Assinale a alternativa correta:
a) As cargas se repelem mutuamente
eletroscópio;
b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2
• Se dobrarmos a distância r entre duas cargas dadas, o c) o sistema forma um dipolo
que acontece com a força elétrica entre elas?
d) As cargas se atraem eletricamente
• Se colocarmos muitos elétrons no centro de uma chapa e) A força sobre as cargas são verticais
metálica quadrada, o que acontecerá com essa carga?
Exercı́cios de Aplicação
Eletricidade Aula 3
Campo Elétrico
1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas dimensões, atraem-se mutuamente no vácuo com força de intensidade F ao estarem separadas por certa distância r.
Como se modifica intensidade da força quando a distância
entre as esferas é aumentada para 4r?
Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre
ela uma certa força. Não é difı́cil imaginar de que forma essa
força foi transmitida à caixa, pois de imediato associamos
à aplicação da força o contato travado com a caixa. Pensemos agora na interação entre cargas elétricas: conforme
2. As cargas elétricas −q e +q ′ , puntiformes, atraem-se com estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga
força de intensidade F , estando à distancia r uma da outra Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova,
99
Eletricidade – Aula 3
verificaremos a ação de uma força F~ (atrativa ou repulsiva,
conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso,
não há contato entre os corpos, o que torna mais difı́cil a
compreensão da forma de transmissão da força. Durante
muito tempo afirmou-se que a força eletrostática era uma
interação direta e instantânea entre um par de partı́culas
eletrizadas, conceito este denominado ação a distância.
Consideremos P um ponto genérico de um campo elétrico
gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1 , q2 , q3 , ..., q. A intensidade
da força elétrica atuante nas cargas de prova irá variar, mas
a direção da força será a mesma, conforme indicamos na
sequência de figuras seguintes:
P
m
P
F
q
q
1
2
(a)
Se trabalhássemos apenas com cargas em repouso, a ação a
distância nos bastaria para que resolvêssemos a maioria dos
problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de
cargas em movimento não pode ser deixado de lado e nesse
caso a teoria da ação a distância é falha, sendo necessário
buscarmos outra forma de explicar a interação elétrica. E foi
com Faraday (1791-1867) que nasceu a idéia que constitui
hoje um dos mais importantes recursos em Fı́sica: a noção
de campo.
P
F
1
q
F
F
2
(b)
(c)
Concluı́mos que a relação entre a força e a carga em que ela
atua é uma caracterı́stica do ponto P considerado, denominada vetor campo elétrico.
Assim, teremos:
~ = F~ /q
E
~ distinguimos dois casos:
Quanto ao sentido do vetor E,
~ e F~ têm o mesmo sentido;
a) q é positiva: E
~ e F~ têm sentidos contrários.
b) q é negativa: E
Podemos concluir, da equação, que as unidades de intensidade do vetor campo elétrico serão unidades de força por
unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, teremos:
Dizemos que a presença da carga Q afeta a região do espaço
próxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhanças uma “propriedade”que dá a essa região “algo”mais
que atributos geométricos, “algo”que transmitirá a qualquer
carga de prova colocada nessa região a força elétrica exercida pela carga Q. Designamos por campo elétrico tal propriedade. Assim, a força F~ é exercida sobre q pelo campo
elétrico criado por Q. Esquematicamente teremos:
~ será
Por definição, a unidade de de campo elétrico é E
newton/coulomb, ou seja N/C.
Ação à distância: carga ⇐⇒ carga
Teoria de campo: carga ⇐⇒ campo ⇐⇒ carga
Linhas de Campo
A noção de campo é utilizada em muitas outras situações
fı́sicas, como por exemplo a interação gravitacional. Na figura a seguir, em vez de pensarmos numa atração direta da
Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra
cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a presença da Terra faz com que todos os pontos de
sua vizinhança possuam uma propriedade segundo a qual
todo corpo colocado nesse local sofrerá a ação de uma força
atrativa.
Unidade SI
A denominação linhas de campo ou linhas de força designa
uma maneira de visualizar a configuração de um campo
elétrico. Esse artifı́cio foi empregado por Faraday e mesmo
hoje pode ser conveniente seu uso.
E
E
E
Uma observação muito importante deve ser feita: o campo
E
E
elétrico num ponto P qualquer da vizinhança da carga Q,
E
assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas
vizinhanças da Terra, existe independentemente da presença
da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam Apresentamos a seguir a significação das linhas de força:
a existência dos campos elétrico e gravitacional nos pontos
1. São linhas traçadas de forma que a tangente a cada
considerados.
~ São orientadas no
ponto nos fornece a direção de E.
sentido do vetor campo.
O Vetor Campo Elétrico
O campo elétrico é melhor caracterizado em cada ponto do
espaço por um vetor Ê, denominado vetor campo elétrico.
A definição do vetor campo elétrico é tal, que por seu
intermédio poderemos estudar muitas caracterı́sticas do
campo elétrico, a partir do estuco desse vetor num ponto.
2. As linhas de campo são traçadas de forma que o
número de linhas que atravessa a unidade de área de
uma secção perpendicular às mesmas é proporcional
~ Dessa forma, onde elas estiverem
ao módulo de E.
~ é maior; onde elas estiverem mais
mais próximas, |E|
~ é menor.
afastadas, |E|
100
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
E menos intenso
E mais intenso
—
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3. Observe que, por definição, o campo elétrico é único
em cada ponto do espaço, e portanto, duas linhas de
campo nunca se cruzam.
Cálculo do Campo Elétrico
Campo de uma Carga Puntiforme
As figuras seguintes mostram linhas de campo de al- O campo elétrico devido a uma carga puntiforme Q fixa é
facilmente determinado analisando-se a figura seguinte:
guns campos elétricos particulares:
• campo gerado por uma carga puntiforme positiva.
P
Q
No ponto P da figura, colocamos urna carga de prova q, o
vetor campo elétrico no ponto P tem intensidade dada por:
E = F/q.
O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto
P qualquer do espaço tem intensidade dada por:
As linhas de campo “nascem”nas cargas positivas.
• carga puntiforme negativa:
E=
Q
F
=k 2
q
r
Utilizando uma linguagem não muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e
as cargas negativas geram campos de aproximação.
Campo Elétrico para Várias de Cargas
Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no
ponto P um campo elétrico devido à sua presença individual. Dado o efeito aditivo da força elétrica, o campo
elétrico devido à presença de n cargas puntiformes será a
soma vetorial dos campos produzidos individualmente por
cada uma das cargas, isto é:
~ =E
~1 + E
~2 + E
~3 + . . . =
E
n
X
~i
E
i=1
As linhas de campo “morrem”nas cargas negatiImportante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de
vas
vetores.
• duas cargas de sinais iguais:
E4
E2
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
E3
P
E5
E1
101
Eletricidade – Aula 4
Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha 3. (USP-SP) Uma carga elétrica puntiforme q = 2 × 10−6 C
reta, que também contém o ponto P , então a intensidade e de massa 10−5 kg é abandonada em repouso num campo
do campo em P será
elétrico uniforme de intensidade 104 N/C.
a) Qual é a aceleração adquirida por q?
n
X
Q2
Q3
Q1
b) Qual a velocidade da partı́cula no instante 8, 0 s?
kQi ri2
E = k 2 + k 2 + k 2 + ... =
r1
r2
r3
i=1
Esta é uma soma escalar, mais fácil de fazer do que a necessária no caso anterior.
Exercı́cios Complementares
Por exemplo, para uma pequena região do espaço, muito
longe de uma carga puntiforme, o campo elétrico se torna
quase uniforme. Próximo à superfı́cie da Terra, existe um
campo elétrico vertical, de cima para baixo de intensidade
E ≈ 100 N/C. Este campo é quase uniforme, visto em
pequena escala (alguns metros), sobre o chão plano.
Pense um Pouco!
E (N/C)
4. (FUVEST-SP) O diagrama da figura seguinte representa
a intensidade do campo elétrico gerado por uma carga punCampo Elétrico Uniforme
tiforme fixa no vácuo, em função da distância d à carga.
Trata-se de um campo elétrico em que o vetor campo elétrico a) Calcule o valor da carga Q que origina o campo.
é o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em b) Determine a intensidade do campo elétrico em um ponto
~ serão que dista 30 cm da carga fixa.
cada ponto o módulo, a direção e o sentido do vetor E
os mesmos. Em consequência dessa definição, concluı́mos
1000
que as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas
todas com o mesmo sentido.
800
600
400
200
0
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
r (m)
0.16
0.18
0.20
• Qual as semelhanças e diferenças entre a força elétrica
e a gravitacional? Faça um paralelo.
5. (PUC-SP) Numa certa região da terra, nas proximidades
2
• Num sistema de cargas puntiformes é possı́vel se encon- da superfı́cie, a aceleração da gravidade vale 9, 8 m/s e o
trar algum ponto P onde o campo elétrico seja nulo? campo eletrostático do planeta (que possui carga negativa
na região) vale 100 N/C, e é na direção vertical, sentido
Dê exemplos.
de cima para baixo. Determine o sinal e o valor da carga
• Um dipolo é formado por um par de cargas +q e −q. elétrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveria
Esboce as linhas de campo de um dipolo.
ter para permanecer suspensa em repouso, acima do solo.
Considere o campo elétrico praticamente uniforme no local
e despreze qualquer outra força atuando sobre a bolinha.
Exercı́cios de Aplicação
~ apontando
6. (Mackenzie-SP) Existe um campo elétrico E
para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade
1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espaço existe um campo média de 100 N/C. Deseja-se fazer flutuar nesse campo
~ horizontal de 5×104 N/C, voltado para a direita. uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (módulo e sinal)
elétrico E
a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, é colocada precisa ter a esfera?
em P , qual será o valor da força elétrica que atua sobre ela?
b) Em que sentido a carga de prova tenderá a se mover, se
for solta?
c) Responda às questões a) e b) supondo que a carga de
prova seja negativa.
2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimensões
muito grandes, está uniformemente carregada. Sabendo-se
que o campo elétrico por ela gerado é o mesmo em todos
os pontos próximos à placa e que uma pequena esfera de
massa 25 gramas, presa por um fio leve na placa forma o
ângulo de afastamento entre a esfera e a placa é de 30◦ ?,
determinar:
a) a força elétrica que atua na esfera, supondo que ela se
encontre em equilı́brio;
b) o campo elétrico da placa, sabendo-se que a carga na
esfera vale −5 µC.
Eletricidade Aula 4
Potencial Elétrico
Diferença de Potencial
Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para
B, em equilı́brio, ou seja, faz-se uma força externa F~ext. tal
que anule a força elétrica F~E sobre a carga:
F~ext. = −F~E
Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade
de carga que se desloca de A para B, denominamos diferença
de potencial ou tensão elétrica de A para B, habitualmente
representada por VB − VA ou simplesmente VAB .
102
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
www.mundofisico.joinville.udesc.br
Potencial dentro de um Campo Elétrico
Assim, matematicamente teremos:
VB − VA =
—
A→B
Wext.
W A→B
=− E
q
q
Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre
uma linha de força do campo uniforme mostrado na figura
seguinte:
Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferença de
potencial também será uma grandeza escalar.
O trabalho WEA→B independe da trajetória escolhida entre
os pontos A e B, e isso é um resultado decorrente do fato
de a força elétrica ser conservativa.
E
Fext
FE
B
A1111111
11
00
0000000
000
111
11
00
11
00
00
11
0000000
1111111
000
111
+q
Unidades SI
No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de difeComo o campo é uniforme, a força elétrica que atua na carga
rença de potencial (d.d.p.) será o joule/ coulomb, que é
q é constante e terá intensidade dada por:
denominada volt ou V .
Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o
F = qE
campo (força elétrica) realiza um trabalho de 110 J sobre
cada l C de carga que se desloca de um ponto para outro. Sabemos, da mecânica, que o trabalho realizado por uma
Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar você reali- força constante e paralela ao deslocamento e dado por
zando o movimento de uma carga de prova entre os pontos
A→B
Wext.
= −FE · d
A e B, e observe os sentidos da força externa e do deslocamento. Por exemplo, se você deslocar uma carga positiva,
contra o campo elétrico numa determinada região, observará Então a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, será:
que será realizado um trabalho externo positivo, e o potenVB − VA = −E · d
cial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada
para uma região de maior potencial.
e neste caso dizemos que a tensão cai de A para B. Em
geral, a d.d.p. é negativa na direção e sentido do campo
Potencial Elétrico Gerado por uma Carga Pun- elétrico.
A relação obtida acima é de grande utilidade, uma vez que,
conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente
Para calcularmos o trabalho WEA→B realizado sobre a carga o campo elétrico. Observe que o campo elétrico poderá ser
+q, sendo deslocada próximo à uma carga puntiforme Q, de- expresso também em volt/metro. Procure demonstrar que
vemos utilizar conceitos matemáticos que o estudante verá l N/C = l V /m.
em seu curso superior: trata-se do cálculo integral, que, utilizado neste caso, nos fornecerá como resultado:
Rigidez Dielétrica
1
1
Sabe-se que o ar é isolante, porém quando submetido a
−
WEA→B = −kQq
rB
rA
um grande campo elétrico, algumas moléculas são ionizadas e o ar se torna condutor. A esse limite de campo
Dessa maneira a diferença de potencial no caminho de A elétrico máximo que um isolante suporta chamamos de ripara B será:
gidez dielétrica ou Emax . Para o ar de Jonville, sempre
muito úmido, temos Emax ≈ 800 v/mm.
1
1
W A→B
−
VA→B = VB − VA = − ext. = kQ
q
rB
rA
tiforme
Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por
exemplo, B, façamos rA tender ao infinito, onde supomos
que o potencial seja nulo. Quando isso acontece
VB = k
Q
rB
Q2
Qn
Q1
+
+ ... +
r1
r2
rn
• Você saberia responder o valor da d.d.p. (diferença de
potencial) entre o chão e uma nuvem, num raio?
• Qual a d.d.p. máxima entre dois fios paralelos, separados por uma distância de 10 cm, em Joinville?
Essa equação fornece o potencial de B em relação a um
ponto no infinito. Se nos depararmos com uma configuração
de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa
região será a soma algébrica dos potenciais devidos a cada
carga, isto é:
VP = k
Pense um Pouco!
=k
n
X
Qi
i=1
ri
• Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma
tomada é de 200 V . O que significa isso fisicamente?
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de
uma carga positiva de campo cujo valor é 4, 0 × l0−6 C?
103
Eletricidade – Aula 5
2. (FAAP-SP) Duas cargas Q1 e Q2 , de valores −2 µC e
+2 µC, respectivamente, estão separadas por uma distância
de 40 cm.
a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do
segmento que une as cargas Q1 e Q2 .
b) Calcule o módulo, a direção e o sentido do vetor campo
elétrico em P .
c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses
cálculos?
iguais ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de
energia potencial elétrica. Assim, definiremos a energia potencial elétrica de um sistema de cargas elétricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para trazê-las
em equilı́brio de uma separação infinita até a configuração
atual.
equipotencial
linha de campo
3. (UFSC-SC) O campo elétrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais
contrários é um bom exemplo de campo elétrico uniforme.
Na figura seguinte, a distância entre os pontos A e B
vale 5 cm e a intensidade do campo elétrico uniforme E
é 2, 0 × 1O5 N/C.
a) Qual a d.d.p. entre os pontos A e B indicados na figura?
E
V1
V2
b) Se o ponto A for tomado como nı́vel de referência para o
potencial (V = 0), qual será o potencial do ponto B?
A
V3
V4
B
E
Exercı́cios Complementares
O potencial elétrico que uma carga q1 origina no ponto P ,
a uma distância r da carga, é dado por:
V1 =
kq1
r
4. (ACAFE-SC) No vácuo, um pequeno corpo eletrizado
com carga elétrica Q cria um potencial igual a +3000 V Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida
num ponto A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · do infinito até o ponto P . O trabalho realizado para tal é,
m2 /C 2 , determine:
segundo a definição de potencial elétrico:
a) o valor da carga Q;
W2 = q2 V1
b) a intensidade do vetor campo elétrico no ponto A.
5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1 , Q2 e Q3 dispostas nos
vértices de um retângulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial elétrico total no vértice A, que não contém nenhuma
carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = −12 µC e
k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .
6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forças do campo
elétrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar outra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A
a outro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectivamente. Esse trabalho é positivo ou negativo? Explique.
Dado: k = 9 × 109 N · m2 /C 2 .
Eletricidade Aula 5
Superfı́cies Equipotenciais
Como o trabalho é a própria energia potencial elétrica Epot
do sistema de cargas {q1 , q2 }, então
Epot =
kq1 q2
r12
onde r12 é a distância entre as cargas q1 e q2 .
Pense um Pouco!
• Como seriam as superfı́cies equipotenciais de uma
carga puntiforme?
• Qual o trabalho necessário para se deslocar uma carga
q ′ em torno de uma carga fixa q, mantendo-se a
distância fixa entre elas?
Exercı́cios de Aplicação
Denomina-se superfı́cie equipotencial ao lugar geométrico
dos pontos que têm mesmo potencial elétrico. Nenhum tra- 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do próton é igual em
balho é realizado no deslocamento de uma carga de prova valor absoluto à do elétron, tendo no entanto sinal contrário
entre dois pontos de uma mesma superfı́cie equipotencial.
ao da referida carga. Um próton tem velocidade relativa
Para aumentar a separação entre as cargas, é preciso que zero em relação a um elétron. Quando eles estiverem sepaum agente externo realize um trabalho, cujo sinal poderá rados pela distância 10−13 cm, calcule a energia potencial
ser positivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais do sistema.
104
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
V (volts)
0
100
-50
50
-100
0
-150
-0.5
0.0
x (m) 0.5
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V (volts)
150
-1.0
—
1.0
1.0
0.5
0.0
y (m)
-0.5
-1.0
Figura 1: O potencial elétrico em torno de uma carga
puntual positiva q = +1 nC. Na base estão as equipotenciais, indicando no cı́rculo maior onde V = +10 V .
Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .
-1.0
-0.5
0.0
x (m) 0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
y (m)
-0.5
-1.0
Figura 2: O potencial elétrico em torno de uma carga
puntual positiva q = −1 nC. Na base estão as equipotenciais, indicando no cı́rculo maior onde V = −10 V .
Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .
equipotencial
linha de campo
E
2. (IME-RJ) Três cargas q1 , q2 e q3 estão dispostas, uma
em cada vértice de um triângulo equilátero de lado a. Qual
a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC,
q2 = −4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.
V1
V2
V3
V4
3. No esquema abaixo representamos as superfı́cies equipotenciais e as linhas de força no campo de uma carga elétrica
puntiforme Q. Considere que o meio é o vácuo. Sendo
V1 = 60 V ; V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga até
V2 a distância r = 0, 30 m. Determine:
a) o valor de Q;
Exercı́cios Complementares
b) a d.d.p. encontrada no caminho da superfı́cie com V1 até
a outra com V2 ;
c) o trabalho da força elétrica que atua sobre uma carga de 4. (USP-SP) Uma partı́cula de massa m e carga elétrica
q > 0 está em equilı́brio entre duas placas planas, paralelas
prova q ′ = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3 .
105
Eletricidade – Aula 6
e horizontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A
distância entre as placas é d, e a aceleração local da gravidade é g.
a) Determine a diferença de potencial entre as placas em
função de m, g, q e d.
b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.
5. (FEI-SP) Uma partı́cula da massa m = 200 mg e carga
q = +1µC é abandonada num ponto A e se dirige a outro
B. Sendo de −100 V a diferença de potencial de A e B, a
velocidade com que a partı́cula alcança B é:
a) 5, 0 m/s
b) 4, 0 m/s
c) 3, 0 m/s
d) 2, 0 m/s
e) 1, 0 m/s
6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do elétron é 9, 1 ×
10−31 kg, que sua carga elétrica vale −1, 6×10−19 C e que a
diferença de potencial entre os ponto A até B é 100 V . Um
elétron é abandonado em B sob a ação exclusiva do campo
elétrico. O módulo da velocidade do elétron ao atingir o
ponto A é um valor mais próximo de:
a) 36 × 1012 m/s
b) 6, 0 × 1012 m/s
c) 6, 0 × 106 m/s
d) 35 × 106 m/s
e) 6, 0m/s
Eletricidade Aula 6
+++
metal eletrizado
+
+++
+ +
+ +
E
tangente ‘a
+ +
A
superficie
+
+
+
+
++
+
+
linha de
campo
+
C
+
+
B
+
+
+
+
+
+
Figura 1: Um condutor carregado com carga positiva.
O Campo Interno
No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato,
o campo elétrico é nulo em todos os pontos, ou seja,
~ = ~0.
E
Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se houvesse campo elétrico no interior do condutor, ele agiria nos
elétrons livres, os quais teriam um movimento ordenado
sob sua influência, contrariando o conceito de condutor em
equilı́brio eletrostático.
O Campo Externo
Contudo, da sua superfı́cie para fora, o campo elétrico não
~
será nulo. Porém, nesses pontos, o vetor campo elétrico E
Condutores em Equilı́brio
deve ser normal à superfı́cie, como em A, na Fig. 1. Se o
~ ′ no ponto B da mesma figura, ele
vetor campo fosse como E
Vamos estudar o campo elétrico e o potencial elétrico de
teria uma componente tangencial à superfı́cie do condutor,
uma distribuição de cargas em um condutor em equilı́brio
o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo
eletrostático.
da superfı́cie.
Para estudar os campos elétricos, vamos usar não sistemas
de cargas puntiformes e sim distribuições de cargas em condutores. Deve-se considerar que estes estão em equilı́brio
eletrostático, ou seja, nenhuma carga está sendo colocada O Poder das Pontas
ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de
Nas regiões pontiagudas de um condutor carregado (região
cargas já cessou.
C da Fig. 1), a densidade de carga, isto é, a concentração
de cargas elétricas por unidade de área superficial é mais
elevada. Por isso, nas pontas e em suas vizinhanças o campo
Equilı́brio Eletrostático
elétrico é mais intenso.
Um condutor está em equilı́brio eletrostático quando
nele não ocorre movimento ordenado de cargas elétricas.
Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig.
1, uma a carga elétrica Q, a repulsão mútua das cargas
elementares que constituem Q faz com que elas fiquem tão
longe uma da outra quanto possı́vel. O maior afastamento
possı́vel corresponde a uma distribuição de cargas na superfı́cie externa do condutor, situação, aliás, que destacamos nas figuras de condutores que até agora apareceram
em nossas aulas. Nessa configuração de cargas, todas na
superfı́cie, o condutor possui a sua menor energia potencial
elétrica.
Quando o campo elétrico nas vizinhanças da ponta atinge
determinado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor
se descarrega através da ponta. Esse fenômeno recebe o
nome de “poder das pontas”. É nele que se baseia, por
exemplo, o funcionamento dos pára-raios.
Condutor Oco
Evidentemente, não importa se o condutor é maciço ou oco
(Fig. 2): o campo elétrico no interior do metal é sempre
nulo e as cargas se distribuem na sua superfı́cie externa.
106
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
+++
+
+++
+ +
+ +
+ +
++
+
C
+
+
+
+
+
www.mundofisico.joinville.udesc.br
A
+
+
+
—
+
+
+
+
+
+
Figura 2: Um condutor oco.
Figura 3: A blindagem eletrostática.
de um avião, de um automóvel e de um prédio constituem
blindagens eletrostáticas.
Potencial Elétrico
O potencial elétrico em todos os pontos, internos e superficiais, de um condutor em equilı́brio eletrostático, é constante.
Assim, para o condutor da Fig. 1, temos VA = VB = VC =
VD .
Condutor Esférico
Para se determinar o vetor campo elétrico e o potencial
elétrico em pontos externos a um condutor esférico eletrizado, supõe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no
centro:
Q
Eext = k 2
r
e
Q
Vext = k
r
O potencial elétrico do condutor esférico de raio R é o po- Como Funciona o Pára-Raios?
tencial de qualquer ponto interno ou superficial, sendo dado
pelo valor fixo:
O pára-raios tem por finalidade oferecer um caminho mais
Q
eficiente para as descargas elétricas, protegendo casas,
Vint, sup = k
R
edifı́cios, depósitos de combustı́veis, linhas de transmissão
de energia elétrica, etc.
Blindagem Eletrostática
Considere um condutor oco A em equilı́brio eletrostático e,
em seu interior, o corpo C (Fig. 3). Como o campo elétrico
no interior de qualquer condutor em equilı́brio eletrostático
é nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de
qualquer ação elétrica externa. Mesmo um corpo eletrizado
B externo induz cargas em A, mas não em C. Desse modo,
o condutor A constitui uma blindagem eletrostática para o
corpo C.
Uma tela metálica envolvendo certa região do espaço
também constitui uma blindagem satisfatória – a chamada
“gaiola de Faraday”.
A blindagem eletrostática é muito utilizada para a proteção
de aparelhos elétricos e eletrônicos contra efeitos externos
perturbadores. Os aparelhos de medidas sensı́veis estão
acondicionados em caixas metálicas, para que as medidas
não sofram influências externas. As estruturas metálicas
Saiba Mais
O pára-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l7061790). polı́tico, escritor e cientista norte-americano. Atualmente, é constituı́do essencialmente de uma haste condutora
disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser
protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma
ou mais pontas de material com elevado ponto de fusão, a
outra extremidade da haste é ligada, através de condutores
metálicos, a barras metálicas que se encontram cravadas,
profundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver
sobre as pontas do pára-raios, induz nelas cargas elétricas
intensificando o campo na região já ionizada pela descarga
lı́der. Produz-se a descarga principal através do pára-raios.
107
Eletricidade – Aula 7
a) ( ) Se o contato for interno, a pequena esfera não se
eletriza.
b) ( ) Se o contato for externo, a pequena esfera se eletriza.
c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, após um contato interno ficaria neutra.
d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera eletrizada, a carga elétrica da pequena esfera aumenta.
e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribuição de
cargas na esfera oca se altera.
3. (Efei-MG) Um condutor esférico de raio R = 30 cm está
eletrizado com carga elétrica Q = 6, 0 nC. O meio é o vácuo
(k = 9, 0 × 109 N · m2 /C 2 ). Determine:
a) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo
elétrico no centro da esfera;
b) o potencial elétrico e a intensidade do vetor campo
elétrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro
da esfera.
Exercı́cios Complementares
4. (Efei-MG) Duas esferas metálicas, A e B, de raios R e
3R, estão eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente.
As esferas estão separadas de modo a não haver indução
• Como funciona um pára-raios? Que área ele protege?
entre elas e são ligadas por um fio condutor.
• Por que durante uma tempestade para se proteger das a) Quais as novas cargas após o contato?
chuvas é mais seguro ficar dentro do carro que debaixo b) Qual o potencial elétrico de cada esfera, depois do contato?
de uma árvore?
Pense um Pouco!
5. (ACAFE-SC) Duas esferas metálicas, A e B, de raios
10
cm e 20 cm, estão eletrizadas com cargas elétricas 5, 0 nC
Exercı́cios de Aplicação
e −2, 0 nC, respectivamente. As esferas são postas em contato. Determine, após atingir o equilı́brio eletrostático:
1. (Cefet-BA) Considere um condutor metálico com a forma a) as novas cargas elétricas das esferas;
indicada na figura. O condutor está eletrizado positiva- b) o potencial elétrico que as esferas adquirem.
mente e em equilı́brio eletrostático. Observe os pontos A, c) Houve passagem de elétrons de A para B ou de B para
B e C. Quais são as afirmações corretas?
A? Explique.
a) ( ) O campo elétrico em A é nulo.
b) ( ) A densidade de cargas elétricas é maior em C do que 6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas metálicas
idênticas, A e B, de cargas elétricas 5, 0 × 10−6 C e
em B.
−6
C, respectivamente. As esferas são colocadas
c) ( ) O campo elétrico em B é mais intenso do que em C. 3, 0 × 10
d) ( ) Os pontos A, B e C possuem mesmo potencial em contato.
a) Determine o número de elétrons que passou de um conelétrico.
e) ( ) As cargas elétricas em excesso distribuem-se na su- dutor para outro.
b) Qual das esferas recebe elétrons?
perfı́cie externa do condutor.
+
+
+
+
+
+
B +
+
+
+
A
+
+
+
+
+
+
+
C
+
7. Sabendo-se que existe um campo elétrico na superfı́cie
da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio
da Terra R = 6.400 km, determine:
a) O potencial elétrico da Terra (do chão);
b) A carga elétrica total da Terra.
Eletricidade Aula 7
Capacidade Elétrica
2. Considere uma esfera metálica oca provida de um orifı́cio
e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera metálica
neutra é colocada em contato com a primeira. Quais são as
afirmações corretas?
Denomina-se capacidade elétrica ou capacitância de um
corpo condutor a capacidade que ele possui de armazenar
cargas. Da mesma forma que a quantidade de moles de um
gás que um balão pode conter depende da pressão a que
o gás estiver submetido e também das dimensões e forma
108
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
do balão, a capacidade elétrica dependerá das dimensões e
forma do condutor.
A experiência mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1 , Q2 , Q3 , ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo
será V1 , V2 , V3 , ..., V , sempre proporcionais à carga Q fornecida. Isso quer dizer que o quociente Q/V é constante
(Fig. 1).
+
++
+
+
+
+
+
+
++
+ +
+
—
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Capacitores Planos
O capacitor plano é constituı́do por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um dielétrico qualquer (ar,
mica, papel, polı́meros, etc.)
Q
+
+
+
+
Placa Condutora
V
+
Material Isolante
−
Placa Condutora
Seja A a área de cada armadura e d a distância entre as
Figura 1: Capacitor metálico carregado com carga po- mesmas. Consideremos inicialmente que haja vácuo entre as
placas. É possı́vel demonstrar, mediante a aplicação da lei
sitiva +Q.
Essa constante de proporcionalidade C é denominada capacitância do condutor.
Unidades SI
No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos:
1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad
de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas
é dado por:
Q
E=
ǫ0 A
onde ǫ0 é a constante de permissividade elétrica do
vácuo,
ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m
no SI.
A capacitância de um condutor que recebe uma carga de Relação Entre k e ǫ0
l coulomb, adquirindo um potencial de l volt, é igual a l F .
Na prática, os capacitores tem capacitância da ordem tı́pica As constantes k, a constante elétrica da lei de Faraday, e
de µF arad.
ǫ0 , a permissividade elétrica do vácuo, estão intimamente
relacionadas, e pode-se mostrar que:
Capacitores
k=
1
4πǫ0
Na prática, é impossı́vel obter condutores de capacitância
elevada, sem que suas dimensões sejam extraordinariamente e como ǫ é dado em F/m, então pode-se escrever a cons0
grandes. No entanto, é possı́vel obtermos dispositivos, de tante k em m/F , já que estas constantes são inversamente
dimensões pequenas, capazes de armazenar uma razoável proporcionais.
quantidade de cargas com diferenças de potencial não muito
grandes. Esses dispositivos são denominados capacitares
+ + + +
ou condensadores.
+
+ ++ + + +
+A + +
+
+Q
Um capacitor é um par de condutores, separados por um
+ ++ + + +
d
+ +
+
+
isolante (dielétrico).
Os condutores que constituem o capacitor são denominados
armaduras do capacitor.
A classificação dos capacitores é dada em função da forma
de suas armaduras e da natureza do dielétrico que existe
entre as mesmas.
−Q
A
Em todo capacitor, existe uma relação constante entre o Conforme já estudamos anteriormente, a d.d.p. entre as
módulo da carga (que é a mesma em valor absoluto nas placas vale V = Ed. Assim:
duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa
Qd
relação é denominada capacitância do condensador.
V =
ǫ0 A
C = Q/V
A capacitância do capacitor plano é dada por:
Num circuito, os capacitores serão representados por duas
barras paralelas.
C=
ǫ0 A
d
109
Eletricidade – Aula 8
Observe que a capacitância obtida é diretamente proporcional à área A das placas, e inversamente proporcional à sua
distância d.
Exercı́cios de Aplicação
1. Três condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF ,
Se, em vez de ar ou vácuo, houver entre as armaduras um
estão eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e −20 µC,
dielétrico de constante dielétrica b, a capacitância de um
respectivamente.
condensador plano será maior, dada por:
a) Determine os potenciais elétricos desses corpos.
bǫ0 A
C=
2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capad
citância C. Entre suas armaduras há uma distância d. Qual
Para que o dielétrico tenha efeito sobre a capacitância, ele será sua capacidade se a distância entre suas placas for audeve ser colocado na região de campo elétrico do capaci- mentada para 2d?
tor. Alguns dielétricos como a mica e poliéster chegam a
aumentar a capacitância em até 100 vezes o seu valor no 3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C =
vácuo (sem dielétrico).
100 pF , área das armaduras A = 100 cm2 , e dielétrico
com κ = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual
a
50V , calcule a intensidade do campo elétrico no interior
Capacitor Esférico Simples
do dielétrico. Dado: ǫ0 = 8, 85 × 1O−12 F/m.
Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condutora de raio R, sua capacitância será
C=
Q
R
Q
=
=
= 4πǫ0 R
V
kQ/R
k
Exercı́cios Complementares
ou seja, a capacitância da esfera é diretamente proporcional 4. (UFPR) Uma partı́cula de massa 2, 0 × 10−10 kg com
carga positiva e igual a 2, 0×1O−6 C penetra através de um
ao seu raio R.
orifı́cio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa região onde
existe um campo elétrico uniforme de módulo 4 × 105 N/C.
+ + +
Q
A distância entre as placas vale 10 cm. Determine a ener+ +
+ +
gia cinética com que a partı́cula atinge a segunda placa,
+ +
+ R
andando contra o campo elétrico.
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+ +
+
Capacitor Esferico
´
+ +
Exemplo
Vamos calcular a capacitância de uma esfera condutora de
raio igual a 1, 0 m.
5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferença de potencial V . A carga
elétrica armazenada nesse capacitor é dada por:
a) C/V
b) V /C
c) C 2 V
d) CV 2
e) CV
6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10−6 F é sujeito
a uma diferença de potencial de 30 V . A carga que ele
acumulou vale:
a) 1, 2 × 10−4 C
Qual seria então o raio da esfera com capacitância de 1, 0 F ?
b) 2, 4 × 10−4 C
Como C = R/k então
c) 2, 7 × 10−7 C
9
9
d) 3, 7 × 106 C
R = kC = (9, 0 × 10 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 10 m
e) 7, 4 × 106 C
Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de
6.4 × 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio 7. (UF-ES) Um equipamento elétrico contém duas pilhas de
com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!
1, 5 V em série, que carregam um capacitor de capacitância
6, 0 × 10−5 F . Qual a carga elétrica que se acumula no
capacitor, em coulombs?
R
1, 0 m
C=
=
≈ 0, 11 nF
k
9, 0 × 109 m/F
Pense um Pouco!
• Qual a utilidade dos capacitores em nosso cotidiano?
• Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capacitor carregado, realizaremos algum trabalho?
Eletricidade Aula 8
Associação de Capacitores
• Se conectarmos duas esferas metálicas idênticas de capacitância C cada uma, qual a capacitância do conAssim como os aparelhos em geral, os capacitores podem
junto? Comente.
ser associados de vários modos, sendo os principais em série
• A capacitância de um corpo metálico depende dele ser e em paralelo. Se numa associação encontramos ambos os
oco ou maciço? Explique.
tipos, chamaremos de associação mista.
110
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Associação de Capacitores em Série
C1
C1
C2
a
b
a
Série
a
C3
Cada capacitor adquire uma carga parcial:
b
Q = Q1 + Q2
C2
C2
Paralelo
Misto
(a)
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Observamos que a mesma d.d.p. V é aplicada aos capacitores da associação.
V = V1 = V2
C1
b
—
(b)
A capacidade equivalente é dada por:
(c)
Cpar. = C1 + C2
Figura 1: Associação de capacitores em série (a), em
Propriedades
paralelo (b) e mista (c).
Na associação em série, ver Fig. 1 (a), quando uma fonte
bateria de tensão V é ligada nos terminais a e b, as cargas
removidas de um terminal serão deslocadas para o outro,
ou seja, as cargas em ambos os terminais são de mesmo
módulo:
Q1 = Q2 = Q
. Então
Q
Q
e V2 =
V1 =
C1
C2
Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2 , respectivamente, tal que
V = V1 + V2
e assim
Q
Q
Q
=
+
Cser.
C1
C2
• Na associação em paralelo, a capacitância equivalente
do conjunto, Cpar. será maior do que a maior das capacitâncias utilizadas;
• Como as tensões são iguais nos dois capacitores em
paralelo, a carga do maior capacitor será a maior das
cargas;
• Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais
C1 = C2 = C, a carga de ambos será a mesma e a
capacitância equivalente será Cpar. = 2C, o dobro da
capacitância de um dos capacitores;
• Para uma associação em paralelo de n capacitores teremos
Cpar. = C1 + C2 + . . . + Cn =
Cser.
=
1
1
+
C1
C2
Ci
i=1
e então a capacidade equivalente é dada por:
1
n
X
Energia de um Capacitor
Imaginemos um capacitor carregado. Liguemos agora suas
armaduras por um fio condutor: as cargas negativas vão
Propriedades
fluir para a outra armadura até que ambas se neutralizem.
O tempo necessário para isso é muito pequeno, e muitas ve• Na associação em série, a capacitância equivalente do zes a descarga vem acompanhada de uma faı́sca que salta
conjunto, Cser. será menor do que a menor das capa- dos extremos do condutor que une as armaduras. Conforme
citâncias utilizadas;
já estudamos anteriormente, o transporte de cargas elétricas
• Como as cargas são iguais nos dois capacitores em série, entre pontos que possuem diferentes potenciais elétricos implica aparecimento de energia elétrica. Quando uma carga
a d.d.p. do maior capacitor será a menor;
elétrica é transportada entre dois pontos, entre os quais
• Se os capacitores ligados em série forem iguais C1 = existe uma diferença de potencial V qualquer, o trabalho
C2 = C, a d.d.p. de ambos será igual a V /2 e a ca- realizado é W = qV
pacitância equivalente será Cser. = C/2, a metade da
Na descarga do capacitor, porém, a d.d.p. varia, diminuindo
capacitância de um dos capacitores;
à medida que uma parcela da carga vai se transferindo para
• Para uma associação em série de n capacitores teremos a outra armadura.
Como a carga total do capacitor é Q = CV , e a d.d.p. varia
n
X
1
1
1
1
1
de V até zero durante o processo de descarga, podemos
=
+
+ ...+
=
Cser.
C1
C2
Cn
C
tomar o valor médio da tensão como sendo V /2 e calcular o
i
i=1
trabalho
1
V
= CV 2
W = qV = CV ·
Associação de Capacitores em Paralelo
2
2
(Veja a Fig. 1(b) ).
Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores são
ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria
de tensão V , a placa positiva de cada capacitor está ligada à
placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas
negativas.
e como esse trabalho foi realizado durante a descarga, podemos supor que essa energia estava armazenada no capacitor,
como energia potencial elétrica.
Assim, definimos a energia do capacitor como
E=
1
CV 2
2
111
Eletricidade – Aula 9
Observe que a expressão anterior pode ser reescrita de duas
outras formas equivalentes:
E=
1
Q2
QV =
2
2C
Pense um Pouco!
• Cite duas aplicações direta dos capacitores.
• Alguém disse que os fios usados em circuitos elétricos
servem para igualar o potencial elétrico nas partes conectadas nas suas duas pontas. O que você acha disso?
• Na figura 1, imagine que se conecte nos terminais a
e b, os terminais (pólos) de uma bateria de tensão V .
Sobre a figura, pinte de uma cor todas as partes que
tem o mesmo potencial elétrico de a, e de outra cor
as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o
conclua você mesmo.
d) 3, 9 J
e) 2, 8 J
Eletricidade Aula 9
Corrente Elétrica
Num material condutor, mesmo descarregado do ponto de
vista elétrico, existem alguns elétrons chamados livres que
podem se deslocar dentro do material, passando de um
átomo para outro. Mesmo havendo equilı́brio de cargas dentro de um condutor, os elétrons livres ficam o tempo o todo
em movimento aleatório dentro do material, mantendo em
média, o equilı́brio de cargas de cada átomo.
Quando todos os elétrons livres forem forçados a se deslocar
numa dada direção especı́fica, ao longo de um fio condutor,
por exemplo, então teremos uma corrente elétrica i.
+ + +
Exercı́cios de Aplicação
+
+
1. (UERJ) Uma associação de l.000 capacitores de 10 µF
cada um, associados em paralelo, é utilizada para armazenar
energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto até
50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o preço do kW · h?
+Q
R
+
+
+
+ + + +
i
.
2. (FAAP-SP) Associam-se em série três capacitores neutros com capacitâncias C1 = 20 µF , C2 = 50 µF e Figura 1: O sentido da corrente i, e o movimento dos
C3 = 100 µF . Calcule a capacitância equivalente do sis- elétrons num fio.
tema.
Por convenção, indica-se num fio o sentido da corrente i
3. Calcule a capacitância equivalente da associação mista
por uma flecha, no sentido contrário ao movimento dos
mostrada na Fig. 1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF ,
elétrons! Isto porque, historicamente, as cargas foram batiC2 = 10 µF e C3 = 40 µF .
zadas por Benjamin Franklin no séc. XVIII, como positivas e negativas, e se acreditava que as cargas positivas é
que se moviam dentro de um fio com corrente.
Exercı́cios Complementares
Do ponto de vista fı́sico, é equivalente se pensar em elétrons
se movendo num sentido, ou prótons se movendo no sentido
4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num con- contrário.
junto de capacitores com capacitância total de 2.000 µF e
sob tensão de 900 V .
Unidade de Corrente
5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacitância C1 = 6, 0 µF
e C2 = 3, 0 µF são associados em paralelo e a associação é No Sistema Internacional, medimos a corrente em ampères
submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacitância C1 ou A:
1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s
se eletriza com carga elétrica Q1 = 1, 2 × 10−4 C, e o de
capacitância C2 , com carga elétrica Q2 . Determine V e Q2 . ou seja, para uma corrente de 1 ampère, há um fluxo de
carga de 1 coulomb por segundo, atravessando a secção reta
de um condutor.
6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um
capacitor, de capacitância 2, 0 µF , a fim de que armazene
Lei de Ohm
energia potencial elétrica de 2, 5 × 10−3 J?
7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televisão
tem uma capacitância de 1, 2 µF . Sendo a diferença de
potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele
armazena é de:
a) 6, 7 J
b) 5, 4 J
c) 4, 6 J
Define-se a resistência elétrica R de um condutor, ligando
suas extremidades numa diferença de potencial V e medindo
a corrente elétrica que o atravessa.
Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente elétrica
obtida, maior a resistência do condutor, e vice-versa:
R = V /i
112
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Se a resistência R assim definida for independente da tensão
e da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor é
chamado de ôhmico.
Para os materiais considerados bons condutores, como os
metais, a resistência elétrica será baixa, em geral próxima
de zero. Para os materiais isolantes, como a borracha, a
resistência elétrica será muito alta, tendendo ao infinito.
A resistência de um resistor depende de sua forma fı́sica,
de suas dimensões e do material de que é feito. Em geral, quanto mais fino e longo um fio, maior sua resistência
elétrica.
—
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Exercı́cios Complementares
1. Um fio condutor transporta uma carga de 30 C em dois
minutos. Qual a corrente média no fio, durante esse processo?
a) 0, 2 A
b) 4, 0 A
c) 1/4 A
d) 0, 3 mA
e) 0, 25 mA
2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente
de 10 A durante 15 minutos. Qual a carga elétrica total
Unidade de Resistência
utilizada neste banho?
No Sistema Internacional, medimos a resistência elétrica em a) 150 C
b) 9 C
ohms ou Ω:
c) 1, 5 C
1 Ω = 1 volt/ampère = 1 V /A
d) 9.000 C
e) 9 mC
ou seja, se para uma tensão de 1 volt se obtém uma corrente
de 1 ampère, então o resistor tem resistência de 1 ohm.
3. Uma pilha de 1, 5 V é conectada num LED, que passa a
conduzir uma corrente elétrica de 3 mA. Qual a resistência
elétrica do LED?
Circuitos Simples
a) 500 Ω
Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito sim- b) 50 Ω
ples com uma resistência elétrica total R, a corrente na ba- c) 5 Ω
d) 0, 5 Ω
teria será, pela lei de Ohm:
e) n. d. a.
E
i=
R
Exercı́cios Complementares
Exemplo
Considere o circuito abaixo, onde uma lâmpada de re- 4. A resistência elétrica de um fio condutor depende:
sistência R = 5 Ω está conectada numa fonte (bateria) de a) apenas da corrente aplicada
12 V através de fios ideais, de resistência nula.
b) da tensão aplicada
c) de suas dimensões e do material de que é feito
R
d) da corrente máxima que ele suporta
e) da tensão e da corrente máximas
ε
+
i
5. Um fusı́vel é um resistor preparado para se romper
quando a corrente nele excede um determinado valor. Para
um fusı́vel de carro que suporta até 2, 0A, e opera em 12 V ,
qual a sua resistência interna mı́nima?
a) 24 Ω
b) 12 Ω
c) 4 Ω
d) 0, 17 Ω
e) n. d. a.
Figura 2: Um circuito simples.
6. Uma lâmpada de 60 W , construı́da para operar em 110 V
onde ela conduz 2, 0 A de corrente, é ligada por engano em
Resolução:
220
V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de carga
E
12 V
i=
=
= 2, 4 A
que
ela conduz, até queimar?
R
5Ω
a) 5 C
b) 10 C
Pense um Pouco!
c) 15 C
d) 20 C
• Se dobrarmos a tensão aplicada à um resistor ôhmico, e) n. d. a.
o que acontecerá com sua corrente?
• Para um resistor ôhmico, que tipo de gráfico V × i
terı́amos?
Eletricidade Aula 10
113
Eletricidade – Aula 10
Resistência Equivalente
12 Ω
Em geral, um circuito pode conter mais de um resistor, e
até outros elementos como bobinas, fios, chaves, LEDs, etc.,
todos eles ligados a uma fonte, por exemplo.
Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria) de f. e. m., a determinação da corrente elétrica i
na fonte é possı́vel através do cálculo da resistência equivalente Req. a todos os elementos do circuito. Ou seja,
determinamos qual o valor Req. da resistência que, substituindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela lei
de Ohm:
E
i=
Req.
6Ω
a
b
4Ω
Figura 2: Três resistores ligados em paralelo.
ou seja
Req. = 2 Ω
Associação de Resistores
Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo,
Para um circuito com uma fonte e vários resistores, podemos
menor será a resistência equivalente.
calcular facilmente a resistência equivalente, a corrente que
passa na fonte e, a seguir, as correntes e tensões em cada Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa são
ligados em paralelo, por exemplo.
um dos resistores.
Resistores em Série
Associações Mistas
Quando num circuito simples ligamos vários resistores
ôhmicos em série, R1 , R2 , R3 , etc., a resistência equivalente
será a soma das resistências, ou seja:
X
Ri
Req. = R1 + R2 + R3 + . . . =
Quando num circuito simples ligamos vários resistores
ôhmicos, alguns em série e outros em paralelo, devemos ir
calculando as resistências equivalentes das partes em série
e em paralelo, até se chegar numa resistência equivalente
geral para todo o circuito.
i
12 Ω
6Ω
a
6Ω
4Ω
b
4Ω
12 Ω
a
b
Passo 1
6Ω
Figura 1: Três resistores ligados em série.
3Ω
a
b
Passo 2
Na associação em série da figura acima, a resistência equivalente é
Req. = 12 Ω + 6 Ω + 4 Ω = 22 Ω
9Ω
a
b
Quando mais resistores ligarmos em série, maior será a resistência equivalente.
Figura 3: Três resistores em ligação mista.
Resistores em Paralelo
Na associação mista de resistores mostrada na figura acima,
Quando num circuito simples ligamos vários resistores a resistência equivalente é calculada em dois passos:
ôhmicos em paralelo, R1 , R2 , R3 , etc., o inverso da re- Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 Ω estão em
sistência equivalente será a soma dos inversos das re- paralelo, logo a resistência R′ equivalente a estes resistores
sistências, ou seja:
será:
1
1
1
4
X 1
1
1
1
1
=
+
=
=⇒ R′ = 3 Ω
′
=
+
+
+ ... =
R
12 Ω 4 Ω
12 Ω
Req.
R1
R2
R3
Ri
i
Passo 2) Substituindo-se então os resistores de 4 e 12 Ω por
Na associação em paralelo da figura acima, a resistência um equivalente de 3 Ω, temos uma associação em série, entre
equivalente é
resistores agora de 6 e 3 Ω, e a resistência final equivalente
R′′ será:
1
1
1
1
6
=
+
+
=
R′′ = 6 Ω + 3 Ω = 9 Ω
Req.
12 Ω 6 Ω 4 Ω
12 Ω
114
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Exemplo Completo
Curto-circuito e Circuito Aberto
Determinar a corrente e a tensão elétrica em cada um dos
resistores do circuito misto da seção anterior, quando uma
fonte de 45 V for ligada nos pontos a e b.
Quando um fio de um circuito se rompe, como no caso de
um fusı́vel queimar, dizemos que o circuito está aberto, e
nenhuma corrente será conduzida pela parte do fio que está
“aberta”. Esta situação é equivalente ao uso de um resistor
infinito, na prática, uma grande resistência é equivalente
ao circuito aberto.
Quando um fio fio condutor perfeito, ou seja, que não possui
resistência, for ligado num circuito no lugar de um resistor
normal, teremos o que se chama de “curto-circuito”. Se nos
extremos desse fio houver uma tensão qualquer, teremos
uma corrente enorme passando pelo fio, já que i = V /R,
e para R próximos de zero a corrente se torna muito alta.
Normalmente há algum problema com o circuito quando um
curto-circuito é formado. Nunca faça isso! Mesmo uma pilha de bolso pode produzir correntes enormes por um curto
intervalo de tempo, se seus pólos forem conectados com um
fio bom condutor.
i´
4Ω
6Ω
c
a
i
12 Ω d
b
+
−
45 V
i´´
Figura 4: Exemplo completo.
Se numa associação em paralelo, um dos resistores entrar
Resolução:
em curto-circuito, por aquecimento ou outra razão qualComo a resistência equivalente desta associação mista é 9 Ω,
quer, então a resistência equivalente do conjunto todo de
a corrente i que passa na fonte será:
resistores será nula.
E
45 V
i=
=
=5A
Req.
9Ω
12 Ω
Esta é a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de
6 Ω, e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos
6Ω
a tensão Vac entre os pontos a e c, onde o resistor está
conectado:
a
b
Vac = Ri = (6 Ω)(5 A) = 30 V
Ao chegar ao nó c, vemos que a corrente se divide em duas
partes, na associação em paralelo: uma que passa pelo resistor de cima i′ e outra no resistor de baixo i′′ .
curto
Já numa associação em série, havendo curto num resistor,
Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo é de
a resistência equivalente do conjunto será a soma das re3 Ω, conforme calculado anteriormente, a queda de tensão
sistências dos os outros resistores.
Vcd , entre os pontos c e d, que é a mesma tensão entre os
pontos c e b, será, pela lei de Ohm:
i´ = 0
Vcd = R′ i = (3 Ω)(5 A) = 15 V
→ Observe que a queda de tensão no primeiro resistor somada à queda de tensão no conjunto em paralelo dá exatamente a tensão da fonte:
12 Ω
a
6Ω
i
E = Vac + V cb
Finalmente, como a tensão Vcd = 15 V , temos as correntes
nos outros dois resistores:
15 V
= 3, 75 A
i′ =
4Ω
e
15 V
= 1, 25 A
i′′ =
12 Ω
que são as correntes nos resistores de 4 e 12 Ω, respectivamente.
→ Observe que a soma das correntes elétricas no conjunto
em paralelo, é igual a corrente total que passa na fonte:
i = i′ + i′′
4Ω
curto
b
i
Pense um Pouco!
• Se conectarmos N resistores idênticos de resistência R
em série, qual a resistência equivalente do conjunto?
• Quantas resistências diferentes podemos formar, se dispomos de apenas três resistores: R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω
e R3 = 4 Ω?
Exercı́cios Complementares
→ Observe também que, como ambos os resistores em paralelo estão ligados na mesma tensão, o resistor de menor 1. Sobre associações de resistores ôhmicos, considere as seresistência conduz a maior corrente, e vice-versa.
guintes afirmativas:
115
Eletricidade – Aula 11
I. A máxima resistência equivalente de um conjunto de resistores é obtida quando todos estão em paralelo;
II. A resistência equivalente para uma associação em série é
sempre menor do que a menor das resistências usadas;
III. Se um resistor estiver em curto e a resistência equivalente do conjunto de resistores não se anular, é porque a
associação é do tipo mista;
IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a associação deve ser em série.
a) estão corretas I e III
b) estão corretas I, III e III
c) estão corretas II, III e IV
d) estão corretas III e IV
e) n. d. a.
6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontos
a e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme
a figura:
1Ω
2Ω
a
b
3Ω
Pode-se afirmar que:
a) a corrente elétrica em R1 é de 10 A
2. Ligou-se em série num circuito: uma bateria de 1, 5 V , b) a tensão elétrica em R2 é de 6 V
um resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensão c) a corrente elétrica em R3 é de 4 A
no resistor de 5 Ω serão, respectivamente:
d) a tensão elétrica em R1 é maior do que em R3
a) 0, 1 A e 1, 5 V
e) n. d. a.
b) 0, 5 A e 0, 1 V
c) 0, 1 A e 0, 5 V
7. A resistência elétrica entre os pontos a e b da associação
d) 3, 0 A e 0, 5 V
de seis resistores ôhmicos iguais a R:
e) n. d. a.
R
3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , um
resistor de 10 Ω e outro de 5 Ω. A corrente e a tensão no
resistor de 10 Ω serão, respectivamente:
a) 0, 45 A e 1, 5 V
b) 0, 15 A e 1, 5 V
c) 0, 15 A e 0, 5 V
d) 0, 45 A e 0, 5 V
e) n. d. a.
4. Uma pilha de 1, 5 V é conectada num LED, que passa a
conduzir uma corrente elétrica de 3 mA. Qual a resistência
elétrica do LED?
a) 500 Ω
b) 50 Ω
c) 5 Ω
d) 0, 5 Ω
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
R
R
R
a
b
R
R
é:
a) R
b) 2R
c) 6R
d) 3R/2
e) 3R/4
Eletricidade Aula 11
Instrumentos de Medida
5. A corrente elétrica i3 no resistor R3 do circuito da figura Dois instrumentos básicos são utilizados para a medição de
correntes elétricas e tensões nos elementos de um circuito:
o amperı́metro e o voltı́metro.
R = 4Ω
R1= 1 Ω
+
−
é:
a) 2/3 A
b) 4/3 A
c) 8/3 A
d) 5, 0 A
e) 1, 0 A
12 V
2
Na maioria dos medidores modernos, vários medidores estão
disponı́veis num aparelho só, os chamados multı́metros.
R 3 = 12Ω
O Amperı́metro
Para a medição do valor de uma corrente elétrica que atravessa um fio, num circuito, liga-se em série nesse fio um
amperı́metro, a fim de que a corrente atravesse também o
amperı́metro.
Para que o amperı́metro não altere o valor da corrente no
próprio fio onde será ligado, ele deve ter uma resistência
interna muito pequena, no caso ideal, nula.
116
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−
+
ε
i
+
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mais agitação nestas partı́culas, ou seja, a energia cinética se
transforma em calor e faz com que a temperatura do resistor
suba.
No caso das lâmpadas de filamento, usa-se esse calor para
produzir luz, atingindo-se a incandescência do metal con−
dutor, em geral, o tungstênio W , que possui um altı́ssimo
ponto de fusão. No chuveiro elétrico comum, usa-se uma
resistência para produzir calor e aquecer a água do banho
R
que passa pelo no seu interior. Existem muitas aplicações
desse tipo, e você mesmo pode fazer uma lista delas.
A esse efeito de liberação de calor pela passagem de uma
corrente elétrica num resistor se chama de efeito Joule.
O Voltı́metro
Em alguns casos o efeito Joule é um problema, pois colabora
na perda de energia em linhas de transmissão e motores, por
Para a medição do valor da d.d.p. entre dois pontos num exemplo, transformando parte da energia elétrica em calor,
circuito, liga-se em paralelo nesses pontos um voltı́metro, a que é perdido para o meio ambiente (poluição térmica).
fim de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciais
A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por unielétricos dos pontos do circuito, e a diferença de potencial
dade de tempo, define a potência com que o resistor converte
entre eles possa ser medida.
energia elétrica em calor, e é dada pela lei de Joule:
Para que o voltı́metro não altere o valor da tensão entre
os pontos onde ele é conectado, o que se quer medir, ele
P = iV
deve ter uma resistência interna muito alta, no caso ideal,
infinita. Com isso, a corrente desviada para o amperı́metro ou seja, como i = V /R, podemos reescrevê-la como
será muito menor do que a que possa haver entre os pontos
V2
do circuito onde ele está conectado. Isto mesmo, para medir
P =
R
a tensão entre os seus terminais o voltı́metro usa uma pequena corrente. Na verdade este aparelho é um amperı́metro
ou ainda, como V = Ri,
adaptado para medir tensões.
A
P = Ri2
ε
+
i
Unidades SI
−
A potência dissipada num resistor é medida em watts no SI,
onde
1 watt = 1 W = 1 J/s
R
+
−
V
Lei de Joule
Quando uma corrente elétrica atravessa um condutor de resistência elétrica R, haverá uma queda de tensão dada pela
lei de Ohm
V = Ri
no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre no
sentido do maior para o menor potencial elétrico. Vale aqui
o análogo hidráulico, pois a correnteza de um rio sempre é
no sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto
do terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando
a água desce uma cascata, converte sua energia potencial
em cinética e pode gerar calor, se for dissipada, ou mover
uma roda, por exemplo.
No caso elétrico, a resistência faz com que as cargas percam energia cinética, através das colisões que ocorrem entre os elétrons livres e os átomos do material, produzindo
Pense um Pouco!
• Num chuveiro normalmente temos uma chave inverno/verão, que muda a resistência do chuveiro, e
pode ser usada para esquentar mais/menos a água.
Qual das resistência deve ser maior, a usada no inverno, para esquentar mais, ou a usada no verão, para
esquentar menos?
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual a corrente elétrica num chuveiro elétrico que ligado
em 220 V produz calor a uma potência de 6.000 W ?
a) 15 A
b) 10 A
c) 5 A
d) 0, 5 A
e) n. d. a.
2. Um resistor de 10 Ω transposta uma corrente de 200 mA.
A quantidade de energia que ele dissipa na forma de calor
em 15 min de funcionamento é:
a) 3.600 J
117
Eletricidade – Aula 12
b) 360 J
c) 36 J
d) 3, 6 J
e) n. d. a.
3. Dois resistores, um de resistência R1 = 2 Ω e outro de
resistência R2 = 8 Ω estão ligados em série com uma bateria
de f.e.m. E = 24 V . A tensão no resistor R1 e a potência
dissipada no resistor R2 são, respectivamente:
a) 2 V e 16 W
b) 16 V e 32 W
c) 8 V e 3, 2 W
d) 4 V e 32 W
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
energia potencial gravitacional à massa d’água movimentada. Imagine que a água cai da caixa d’água por um cano
na parte inferior desta, diretamente dentro de um barril,
transformando sua energia potencial em cinética e essa, finalmente, em calor, aquecendo a água no barril. Nessa analogia, o barril seria um resistor elétrico. A seguir, a água
do barril é captada pela bomba e rebombeada para a caixa
d’água. A bomba d’água nesse caso, realiza um trabalho
contı́nuo sobre a água, transformando energia elétrica em
trabalho e, através deste, aumentando a energia potencial
gravitacional da água.
No caso elétrico, define-se a força eletromotriz (f.e.m.) de
um gerador, ou bateria, como sendo a energia quı́mica consumida, por unidade de carga deslocada, desde o pólo negativo até o pólo positivo do gerador. Como se vê, a f.e.m. não
é uma força, mas sua definição é muito parecida com a definição de diferença de potencial elétrico entre dois pontos,
lembra?
Definimos a diferença de potencial elétrico entre dois pontos como o trabalho realizado por um agente externo, por
unidade de carga, para deslocar em equilı́brio uma pequena
carga de prova +q desde um ponto A até outro ponto B,
dentro de uma região do espaço onde existe um campo
elétrico (apenas).
4. No circuito da figura abaixo, as chaves CH1 e CH2 estão
abertas e o amperı́metro A indica que existe passagem de
corrente. Quando as duas chaves estão fechadas, a indicação
do amperı́metro A não se altera. Dados:
Bateria 1: f.e.m. E1 = 12 V e resistência interna r1 = 1 Ω;
Bateria 2: f.e.m. E2 = 12 V e resistência interna r2 = 1 Ω;
Resistência do amperı́metro A: r3 = 2 Ω;
Relembrando:
R1 = 9 Ω.
Determinar:
WE
Wext.
=−
VA→B = VB − VA =
a) o valor da resistência R2 ;
+q
+q
b) a potência dissipada por efeito Joule na resistência R2
onde WE é o trabalho realizado pela força elétrica, já que,
quando CH1 e CH2 estão fechadas.
para o equilı́brio da carga q ′ , segundo a Primeira Lei de
Newton, Fext. = −FE .
E1
+
R2
−
A
CH1
+
E2
−
CH2
Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria será
f.e.m. = E ≡
R1
Equim.
q
e por definição, esta nova grandeza será também medida em
volts ou V no Sistema Internacional (SI).
Eletricidade Aula 12
Geradores e Força Eletromotriz
Geradores ou baterias de tensão contı́nua são dispositivos
capazes de converter energia quı́mica em energia elétrica,
deslocando cargas entre seus pólos de forma a aumentar
a energia potencial elétrica disponı́vel para que as cargas
elétricas possam circular por um circuito, mantendo uma
corrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja,
a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perde
energia e tende a cessar o seu movimento, a menos que
um agente externo – o gerador – realimente essas cargas
e mantenha-as circulando.
É bom destacar o fato de que o gerador não “cria”ou
“gera”cargas, mas apenas transfere energia para que elas
mantenham seu movimento, formando uma corrente elétrica
num circuito.
Simbologia
Nos esquemas simplificados usados nos circuitos, indicamos
uma bateria pelo sı́mbolo
ε
+
−
ou
ε
+
−
Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte
o potencial elétrico é maior (+) e na placa menor, e mais
espessa, o potencial seja menor (-).
Quando ligada a um resistor ôhmico, por exemplo, a fonte
produzirá uma corrente (positiva) no sentido indicado pela
seta ao lado do sı́mbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa posiUsando uma analogia com os sistemas hidráulicos, podemos tiva em direção ao resistor e retornando pela placa negativa.
pensar num gerador como sendo equivalente a uma bomba Pela parte interna da fonte, a direção da corrente é da placa
d’água, que eleva a água até uma caixa d’água, fornecendo negativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal
118
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da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere Fontes
energia para as cargas, elevando o seu potencial elétrico de
→ se passarmos por uma fonte
uma quantidade +E.
negativa (-) para a positiva (+)
→ se passarmos por uma fonte
Circuito com Várias Fontes
positiva (+) para a negativa (-)
de f.e.m. E, indo da placa
temos ∆V = +E.
de f.e.m. E, indo da placa
temos ∆V = −E.
Um circuito pode ter mais de uma fonte (bateria ou gerador), claro. É como nos rádios à pilha, onde se usa, por
Resistores
exemplo, quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se
usa vários geradores num mesmo circuito para se obter uma → se passarmos por um resistor R, indo no sentido da suf.e.m. total grande, quando elas são ligadas em série e com posta corrente i temos ∆V = −Ri.
as suas f.e.m. na mesma direção.
→ se passarmos por um resistor R, indo em sentido contrário
ao da suposta corrente i temos ∆V = +Ri.
N
ε1
ε2
Σε
εN
ε3
i=1 i
−
+
.....
−
+
−
+
−
+
+
−
Fios, Chaves e Conectores
N geradores em´serie
Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais não possuem
resistência elétrica e portanto não apresentam queda de
tensão, ou seja, ∆V = 0 para esses elementos. Não conFigura 1: Geradores em série, aumentando-se a f.e.m. tribuem para o somatório geral das tensões.
total.
Assim, tendo-se todos os ∆Vi no circuito, somam-se todos
os termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for
Para se obter mais carga disponı́vel, e fazer um circuito negativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela está
funcionar por mais tempo, várias baterias de mesma f.e.m. trocado. O sentido fı́sico correto da corrente então será o
são ligadas em paralelo, resultando num gerador de mesma sentido contrário ao sentido arbitrado.
f.e.m. das baterias usadas.
+
ε
+
−
ε
+
−
.....
ε
+
ε
−
+
−
−
N geradores em paralelo
Figura 2: Geradores de mesma f.e.m. em paralelo.
Lei de Ohm-Pouillet
Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuito de uma só malha, mesmo com várias fontes de tensão
contı́nua (baterias) e vários resistores, todos eles em série
portanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo:
uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar a
f.e.m. total E no circuito e a resistência equivalente Req. , e
daı́, obteremos a corrente i no circuito:
a
Lei das Malhas – 1 lei de Kirchhoff
Definimos como uma malha, qualquer caminho fechado
dentro de um circuito elétrico, que possa ser percorrido
passando-se uma só vez em cada ponto.
O circuito elétrico mais simples possui apenas uma malha,
ou seja, só um caminho possı́vel para a corrente, que portanto, deverá ser a mesma em todos os elementos do circuito: resistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma
malha mais simples possı́vel, é aquele já visto, com apenas
uma fonte e um resistor.
circulando-se a malha de um circuito, o somatório
das variações de tensão ao longo da malha deve ser
nulo.
ou seja
i=
E
lei de Ohm-Pouillet
Req.
Biografia
Gustav Rupert Kirchhoff, (1824 – 1861), foi um dos maiores
fı́sicos alemães de seu tempo. Realizou uma obra vastı́ssima.
Viveu numa época em que a Fı́sica estava tendo desenvolvimento extraordinário em vários setores diferentes, pois na
segunda metade do século passado a mecânica, elasticidade,
teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodinâmica
tiveram grande impulso. Kirchhoff, que desde muito jovem
esteve em contacto com fı́sicos bastante experimentados,
teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados.
Além de um número muito grande de trabalhos isolados, há
X
três ramos da Fı́sica nos quais os trabalhos de Kirchhoff
∆Vi = 0
se tornaram fundamentais: ótica, termodinâmica e eletricii
dade. Em ótica, foi grande conhecedor de espectroscopia,
incluindo todos os elementos do circuito: fontes e resistores. tendo sido um dos fundadores da análise espectral. Em terPara fazer-se o somatório acima, precisamos escolher um modinâmica, foi o primeiro fı́sico a estabelecer leis sôbre a
sentido qualquer para a corrente na malha e outro, não ne- energia radiante. Em eletricidade estabeleceu as leis funcessariamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido damentais das malhas elétricas, leis que estudamos neste
último capı́tulo.
horário ou anti-horário, e observar as seguintes regras:
Eletricidade – Aula 12
Pense um Pouco!
• Ligando-se duas pilhas comuns, com os pólos trocados,
a um pequena lâmpada o que se observa?
• É possı́vel que a corrente (positiva) entre pelo pólo positivo de uma fonte e saia pelo negativo?
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEPR) Um gerador funcionará em regime de potência
útil máxima, quando sua resistência interna for igual:
a) à metade da resistência equivalente do circuito que ele
alimenta;
b) ao dobro da resistência equivalente do circuito que ele
alimenta;
c) ao quádruplo da resistência equivalente do circuito que
ele alimenta;
d) à resistência equivalente do circuito que ele alimenta;
e) à quarta parte da resistência equivalente do circuito que
ele alimenta.
Exercı́cios Complementares
2. (PUC-SP) Cinco geradores, cada um de f.e.m. igual a
4, 5 V e corrente de curto-circuito igual a 0, 5 A, são associados em paralelo. A f.e.m.e a resistência interna do gerador
equivalente têm valores respectivamente iguais a:
a) 4, 5 V e 9, 0 Ω
b) 22, 5 V e 9, 0 Ω
c) 4, 5 V e 1, 8 Ω
d) 0, 9 V e 9, 0 Ω
e) 0, 9 V e 1, 8 Ω
119
120
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Parte II
Quı́mica
123
Quı́mica – Aula 1
Quı́mica Aula 1
sitivamente de núcleo atômico.
As partı́culas carregadas positivamente são chamadas
prótons.
Estrutura Atômica
As partı́culas carregadas negativamente continuam sendo
chamadas de elétrons.
Assim, o modelo de Rutherford consta de núcleo denso,
diminuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse núcleo, uma região rarefeita e proporcionalmente
muito grande chamada eletrosfera, com elétrons, de carga
negativa.
Modelos Atômicos
A primeira abordagem sobre a constituição da matéria data
de ± 400 anos a.C. Os filósofos gregos Demócrito e Leucipo
conceberam o átomo como a menor partı́cula constituinte
da matéria e supunham que essa partı́cula era indivisı́vel.
Lavoisier: em 1780, é considerado o pai da Quı́mica por ter
criado o método cientı́fico: as leis surgem da observação da Resumo do Modelo de Rutherford
regularidade das teorias, como tentativas de explicação desEste foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente
sas regularidades. Provou que “na natureza nada se cria,
tinha os seguintes fundamentos:
nada se perde, tudo se transforma”, ou seja, numa transformação quı́mica da matéria, a massa se conserva.
• O átomo é dividido em duas regiões, núcleo e eletrosJohn Dalton: em 1808, criou a Teoria Atômica Clássica (bafera, no núcleo encontramos os prótons e os nêutrons,
seado em modelos experimentais), considerando os átomos
na eletrosfera encontramos os elétrons;
como esferas maciças (Modelo da Bola de Bilhar), indi• Os prótons apresentam carga positiva, os elétrons aprevisı́veis.
sentam carga negativa e os nêutrons apresentam carga
J. J. Thomson: em 1897, através de experimentos sobre
nula;
descargas elétricas em gases rarefeitos, admitiu a existência
• A massa de um próton e de um nêutron equivalem a 1
de cargas negativas, os elétrons, e de cargas positivas, os
u.m.a enquanto a massa do elétron é 1836 vezes menor
prótons. Propôs um modelo em que o átomo seria uma
que a massa do próton ou do nêutron.
esfera de eletricidade positiva, incrustada de elétrons com
carga negativa (Modelo do Pudim de Passas).
O número de prótons em um núcleo atômico é chamado de
número atômico, Z, do elemento.
O número total (soma) de prótons e nêutrons no núcleo é
chamado de número de massa, A, do elemento.
Folha de
ouro
Substancia radioativa
fonte de particulas α
Colimador
do feixe
A=Z +N
Tela sintilante
para detecçao
das particulas
desviadas
Representação
ZX
A
Mas, o modelo planetário de Rutherford apresenta duas falhas cruciais:
• Uma carga negativa colocada em movimento ao redor
de uma carga positiva estacionária, adquire movimento
espiral até colidir com ela;
Figura 1: Aparato Experimental de Rutherford.
• Essa carga perde energia emitindo radiação, violando
o Princı́pio da Conservação de Energia.
Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina
metálica delgada com um feixe de partı́culas α. Estas
partı́culas eram positivas. A maior parte das partı́culas Pense um Pouco!
atravessava a lamina metálica sem sofrer desvio detectável,
algumas partı́culas atravessavam sofrendo desvio e um
1. Você sabe dizer o que significa “tempo de meia-vida”?
número ı́nfimo de partı́culas refletiam. Se os átomos fos2. O que significa Fissão Nuclear e Fusão Nuclear?
sem bolhas de geléia carregados positivamente as partı́culas
α deveriam passar facilmente através das folhas com uma ligeira deflexão ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se
que algumas destas partı́culas defletiam mais de 90◦ e umas Exercı́cios de Aplicação
poucas retornavam no caminho de onde tinham vindo. Ver
a Fig. 1.
1. A palavra átomo é originária do grego e significa “indiEstes resultados sugerem um modelo de átomo no qual há visı́vel”, ou seja, segundo os filósofos gregos, o átomo seria
uma densa carga positiva central circundada por um grande a menor partı́cula da matéria que não poderia ser mais divolume vazio. Rutherford chamou esta região carregada po- vidida. atualmente essa idéia não é mais aceita. A respeito
124
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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dos átomos, é verdadeiro afirmar que:
d) diferentes números atômicos;
a) ( ) Não podem ser desintegrados;
e) diferentes números de prótons e elétrons;
b) ( ) São formados por pelo menos três partı́culas fundamentais;
c) ( ) Possuem partı́culas positivas denominadas elétrons;
d) ( ) Apresentam duas regiões distintas, núcleo e eletrosfera;
Modelos Atômicos
e) ( ) Apresentam elétrons cuja carga elétrica é negativa;
f) ( ) Contém partı́culas sem carga elétrica, os nêutrons.
Quı́mica Aula 2
O Modelo Atômico de Bohr
2. (UFSC) Analise as afirmativas a seguir e assinale como
V ou F:
a) ( ) O primeiro modelo atômico baseado em resultados
experimentais, ou seja, com base cientı́fica foi proposto por
Dalton;
b) ( ) Segundo Dalton, a matéria é formada de partı́culas
indivisı́veis chamadas átomos;
c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o átomo
não era indivisı́vel;
d) ( ) O modelo atômico proposto por Thomson é o da
bola de bilhar;
e) ( ) O modelo atômico de Dalton teve como suporte experimental para a sua criação a interpretação das leis das
reações quı́micas.
Com o objetivo de solucionar estas limitações do modelo de
Rutherford entra em cena um cientista chamado Niels Bohr.
Niels Bohr: em 1913, propôs que o átomo é constituı́do por
um núcleo positivo, onde se concentra praticamente toda
massa do átomo, e por elétrons que giram ao seu redor em
órbitas circulares bem definidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.
_
~ eletron
_
~ eletron excitado
_
_
_
_
foton
absorvido
foton
emitido
3. (UFSC) Assinale a alternativa correta:
a) Os átomos são partı́culas fundamentais da matéria;
b) Os átomos são quimicamente diferentes quando têm
números de massa diferentes;
c) Os elétrons são as partı́culas de carga elétrica positiva;
d) Os prótons e os elétrons possuem massas iguais e cargas
Figura 1: O modelo Atômico de Bohr.
elétricas diferentes;
e) Os átomos apresentam partı́culas de carga nula denomiAtravés de processos experimentais Bohr, concluiu que:
nados nêutrons;
f) Os átomos são partı́culas inteiramente maciças.
• Um elétron só pode ter certas energias especı́ficas, e
cada uma destas energias corresponde a uma órbita
particular. Quanto mais afastado do núcleo maior a
Exercı́cios Complementares
energia do elétron;
4. (ACE) Assinale a alternativa falsa:
a) o número de massa de um átomo é dado pela soma do
número de prótons e de nêutrons existentes no núcleo;
b) um elemento quı́mico deve ter seus átomos sempre com
o mesmo número de nêutrons;
c) o número de prótons permanece constante, mesmo que
os números de massa dos átomos de um elemento variem;
d) o número atômico é dado pelo número de prótons existentes no núcleo de um átomo;
e) n.d.a
5. (UEL) O urânio-238 difere do urânio-235 por que o primeiro possui:
a) 3 elétrons a mais;
b) 3 prótons a mais;
c) 3 prótons e 3 nêutrons a mais;
d) 3 prótons e 3 elétrons a mais;
e) 3 nêutrons a mais.
6. (FUVEST) As seguintes representações:
4
2 X , referem-se a átomos com:
a) igual número de nêutrons;
b) igual número de prótons;
c) diferente número de elétrons;
2X
2
, 2X 3 e
• Se o elétron receber energia ele pula para uma órbita
mais afastada do núcleo;
• Como esta órbita não é natural ele tende a retornar
para sua órbita de maior estabilidade, assim sendo,
ocorre liberação de energia;
• Para calcular a energia emitida pelo elétron, Max
Planck estabeleceu que a energia se propaga em “pacotes”de quantidades mı́nimas e descontı́nuas. A essa
quantidade mı́nima chamou de fóton ou quantum. O
valor do quantum é proporcional a frequência da onda
ν, cuja magnitude pode ser calculada por
E = hν
onde h é a famosa constante de Planck, que tem valor
de 6, 63 × 10−34 J · s.
Se os átomos oscilantes transferem uma energia E para
a vizinhança, radiação de frequência ν = E/h será detectada. É importante notar que a intensidade da radiação é uma indicação do número de pacotes de energia gerados, enquanto E é a medida de energia de cada
pacote.
Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os elétrons descrevem órbitas circulares e elı́pticas em torno do núcleo.
125
Quı́mica – Aula 2
de nêutrons, ou seja são átomos de mesmo número atômico
e diferentes número de massa.
6C
12
6C
13
6C
14
Isótopos de Carbono
8O
16
8O
17
8O
17
Isótopos de Oxigênio
Isóbaros: são átomos de elementos quı́micos diferentes mas
com mesmo número de massa.
20 Ca
40
1840
Ar
Isótonos: são átomos de elementos quı́micos diferentes,
mas com mesmo numero de nêutrons.
Figura 2: Modelo Atômico de Sommerfeld.
O Modelo Atômico Atual
5B
11
6C
12
Isoeletrônicos: são átomos ou ı́ons que apresentam o
mesmo número de elétrons.
2+
1+N e
1−
3−
12 M g
11 N a
9F
7N
10
Louis de Broglie: em 1924, foi quem lançou as as bases
de uma nova mecânica chamada ondulatória ou quântica,
através do Princı́pio da Dualidade matéria-onda para o Nı́veis e Sub-nı́veis de Energia
elétron: “Toda partı́cula em movimento, o elétron, no caso,
tem associado a si uma onda”.
A eletrosfera do átomo está dividida em 7 regiões denomiA mecânica clássica prevê, para cada corpo, sua trajetória, nadas de nı́veis de energia ou camadas eletrônicas.
conhecendo sua posição e velocidade.
São as camadas K, L, M, N, O, P, Q, representadas pelos
A mecânica quântica, que trata do universo microscópico números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 denominados de números quânticos
principais e representados pela letra n.
das partı́culas, não se descreve perfeitamente o átomo.
Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princı́pio da Incerteza, O número máximo de elétrons em cada camada é calculado
segundo o qual “não é possı́vel predizer, ao mesmo tempo, pela equação
a posição e a quantidade de movimento de um elétron”
e = 2 · n2 sendo que
Tudo que nós podemos conhecer sobre o movimento de um
sistema de partı́culas se reduz a uma função complexa Ψ de
K(2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98)
coordenadas (x, y, z) das partı́culas e do tempo t.
Esta função é chamada Função de Onda, criada por
Schrödinger (1927).
Mas para os 112 elementos quı́micos existentes temos:
K(2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2)
Existem 7 sub-nı́veis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que estão
dentro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes
não são ocupados todos os sub-nı́veis de energia e sim somente quatro, s, p, d, f , que são representados pela letra l
que significa número quântico secundário e são números que
vão de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-nı́veis s, p, d, f ,
cada sub-nı́vel comporta um número máximo de elétrons
Schrödinger deduziu matematicamente regiões com proba- s(2), p(6), d(10), f (14).
bilidades de se encontrar o elétron, simplificadas por meio
de modelos geométricos que chamamos de orbitais.
O quadrado do módulo da função de onda |Ψ|2 representa a
probabilidade de se encontrar no instante t a determinada
partı́cula.
Na concepção clássica, uma partı́cula se encontra ou não
num determinado instante em um dado ponto do espaço.
Pela mecânica quântica nós só podemos conhecer a probabilidade de encontrar a partı́cula no ponto considerado.
Sommerfeld, de Broglie e Schrödinger formaram a Mecânica
Quântica, que nos levou ao modelo atômico atual. O átomo
possui núcleo denso com elétrons em orbitais.
Orbital é a região, em torno do núcleo, com maior probabilidade de se encontrar o elétron. O elétron move-se em torno
do núcleo.
Isótopos, Isóbaros, Isótonos e Isoeletrônicos
Isótopos: são átomos de um mesmo elemento quı́mico que
apresentam diferentes número de massa e diferentes número
Configuração Eletrônica
Diagrama de Linus Pauling
K(2)
1s2
L(8)
2s2 2p6
M(18) 3s2 3p6 3d10
N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14
O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14
P(18) 6s2 6p6 6d10
Q(2)
7s2
Representamos a distribuição eletrônica de duas formas:
126
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1. ordem energética, seguindo as diagonais do diagrama valores permitidos para a função de spin são − 21 e 21 , e são
de Pauling:
de spins opostos.
1s2 , 2s2 , 2p6 , 3s2 , 3p6 , 4s2 , 3d10 , 4p6 , 5s2 , 4d10 ,
Dois elétrons podem ocupar um mesmo
5p6 , 6s2 , 4f 14 , 5d10 , 6p6 , 7s2 , 5f 14 , 6d10
orbital desde que possuam spins opostos.
2. ordem geométrica, agrupando os sub-nı́veis em camadas:
Este enunciado é conhecido por “Princı́pio de Exclusão, de
Wolfgang Pauli”.
1s2
K
2
Cada sub-nı́vel comporta um número máximo de elétrons
2s2 , 2p6
L
8
(como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no
3s2 , 3p6 , 3d10
M 18
máximo dois elétrons, temos então:
4s2 , 4p6 , 4d10 , 4f 14 N 32
5s2 , 5p6 , 5d10 , 5f 14 O 32
Representação do Orbital
6s2 , 6p6 , 6d10
P 18
2
s
↑↓
1 orbit.
7s2
Q
2
p6
↑↓ ↑↓ ↑↓
3 orbit.
d10
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
5 orbit.
Orbitais Atômicos
f 14 ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ 7 orbit.
Como vimos, orbital é a região, em torno do núcleo, com
máxima probabilidade de se encontrar elétrons. As formas dessas regiões são calculadas matematicamente e têm
o núcleo localizado no ponto zero dos eixos x, y e z.
Pense um Pouco!
1. Você sabe quais são os tipos de radiações existentes e
quais as caracterı́sticas particulares de cada uma?
2. Quais são os efeitos causados pelas radiações? E quais
as principais aplicações das reações nucleares?
Exercı́cios de Aplicação
Figura 3: Orbitais atômicos.
As formas dos orbitais mais importantes são:
1. esférica - chamado orbital s:
2. halter - chamado orbital p:
1. (ACAFE-99) A vitamina B12 , anti-anêmica, contém ı́ons
de cobalto Co+2 . Dado: Co(Z = 27). A configuração
eletrônica nos orbitais 4s e 3d do Co+2 , é:
a) 4s0 , 3d8
b) 4s2 , 3d7
c) 4s2 , 3d5
d) 4s1 , 3d6
e) 4s0 , 3d7
2. (UDESC) Uma átomo com número atômico igual a 38,
apresentará em seu antepenúltimo nı́vel:
a) 8 elétrons
b) 18 elétrons
c) 16 elétrons
d) 10 elétrons
e) 6 elétrons
+
Exercı́cios Complementares
3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr é correto afirmar que:
a) ( ) Os elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas
bem definidas, que são denominadas órbitas estacionárias;
b) ( ) Movendo-se numa órbita estacionária, o elétron não
Princı́pio de Exclusão
emite nem absorve energia;
Certas experiências, em particular a ação de um campo c) ( ) Ao saltar de uma órbita mais próxima do núcleo para
magnético, mostram que as funções de onda construı́das uni- outra órbita mais afastada, o elétron absorve energia;
camente sobre as coordenadas de espaço não são aptas para d) ( ) Quando o elétron de um átomo salta de uma caexplicar totalmente os fenômenos, o que levou a se introdu- mada mais externa para outra mais próxima do núcleo, há
zir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma emissão de energia;
coordenada suplementar associada à rotação do elétron. Os e) ( ) No núcleo de um átomo existem prótons e nêutrons.
Figura 4: Representação do Orbital p.
127
Quı́mica – Aula 3
4. (UEL) Átomos neutros e ı́ons de um mesmo elemento
quı́mico tem, necessariamente, o mesmo número:
a) atômico
b) de massa
c) de oxidação
d) de carga
e) de isômeros
na última camada, como o hélio (Z = 2) : 1s2 . É o caso do
hidrogênio e do lı́tio.
5. Sejam dois átomos A de número atômico 2x+4 e número
de massa 5x e B de múmero atômico 3x − 6 e número de
massa 5x − 1. Determine quantos nêutrons tem A e B,
sabendo que eles pertencem ao mesmo elemento quı́mico.
a) NA = 25 e NB = 26
b) NA = 26 e NB = 25
c) NA = 27 e NB = 26
d) NA = 26 e NB = 27
e) NA = 25 e NB = 25
Metais: São elementos que possuem menos de quatro
elétrons na camada de valência. Doam elétrons quando fazem ligações quı́micas;
Não-Metais: São elementos que possuem mais de quatro
elétrons na camada de valência. Recebem elétrons quando
fazem ligações quı́micas;
Semi-metais: São alguns elementos que ora comportam-se
como metais ora como não-metais, independente do número
de elétrons na camada de valência;
Quı́mica Aula 3
Ligações Quı́micas
Estabilidade dos Átomos
Os gases nobres são os únicos encontrados na natureza na
forma mono-atômica, ou seja, não se ligam se, apresentam
na forma de átomos. Isto significa que o átomo é totalmente
estável.
Classificação dos Elementos
Quanto à Configuração Eletrônica, podemos classificar os
elementos quı́micos como:
Hidrogênio: Não tem classificação, porém sua tendência
é de ganhar um elétron. Os elementos que possuem quatro elétrons na camada de valência podem ceder ou receber
elétrons nas ligações.
O carbono por exemplo, terá comportamento de não-metal,
recebendo elétrons.
O silı́cio e o germânio são semi-metais: ora cedem elétrons,
ora recebem.
Estruturas de Lewis
Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Periódica), com Um sı́mbolo de Lewis é um sı́mbolo no qual os elétrons da
exceção do hélio, apresentam oito elétrons na camada de camada de valência de um átomo ou de um ı́on simples são
representados por pontos colocados ao redor do sı́mbolo do
valência.
elemento. Cada ponto representa um elétron. Por exemplo:
Gases Nobres
He(Z=2) 2
Ne(Z=10) 2 8
(a)
(b)
Ar(Z=18) 2 8 18 8
Xr(Z=36) 2 8 18 18 8
Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8
Figura 1: Configuração eletrônica e estrutura de Lewis
Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8
para o átomo neutro de cloro (a) e para o ı́on de cloro
Camada de valência é a camada eletrônica mais externa. (b).
Pode receber ou fornecer elétrons na união entre átomos.
Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete elétrons
A valência de um átomo é o número de ligações que um
de valência, enquanto que o ı́on cloreto, oito.
átomo precisa fazer para adquirir a configuração de um gás
Uma ligação co-valente é aquela ligação quı́mica formada
nobre.
pelo compartilhamento de um par de elétrons entre dois
átomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valente
Teoria do Octeto
ou de um ı́on poli-atômico mostra como os elétrons estão
distribuı́dos entre os átomos, de formas a mostrar a conecFoi feita uma associação entre a estabilidade dos gases notividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro
bres e o fato de possuı́rem 8 elétrons na última camada.
elétrons, um de cada hidrogênio, mais os quatro elétrons de
Surgiu então a Teoria do Octeto:
valência do carbono, são emparelhados na Estrutura, mostrando como cada átomo se conecta a outro por um par de
Para atingir uma situação estável, há
elétrons.
uma tendência dos átomos para conseguir
Ao invés de utilizarmos dois pontos para indicar o par de
estrutura eletrônica de 8 elétrons na caelétrons que perpetuam a ligação co-valente, podemos utilimada de valência igual ao gás nobre de
zar um traço. Assim, o traço irá representar os dois elétrons
número atômico mais próximo.
da ligação co-valente.
No caso de átomos menores em número de elétrons, a Vamos representar na Figura (4) a estrutura de Lewis da
tendência é alcançar o dueto, isto é, conseguir dois elétrons água. Dois hidrogênios são ligados ao átomo de oxigênio
128
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a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos.
Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com
ligações simples.
O carbono é o átomo central, os dois oxigênios são ligados
a ele; mais tarde iremos adicionar mais elétrons para completar os octetos dos átomos periféricos.
O
C
O
Figura 2: Configuração da estrutura de Lewis para o
metano.
Figura 5: Estrutura do CO2 .
Até aqui foram utilizados quatro elétrons dos 16 à disposição.
Complete a camada de valência dos átomos da periferia da
molécula.
O
C
O
Figura 3: Configuração da ligação co-valente.
central. Os elétrons de ligação são indicados pelas linhas
Figura 6: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 1.
entre o oxigênio e cada um dos hidrogênios. Os elétrons
remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do
Foram utilizados todos os 16 elétrons disponı́veis. Colooxigênio, são chamados de não-ligantes, por não estarem
que quaisquer elétrons remanescentes sobre o átomo central.
envolvidos em ligações co-valentes.
“Não existem mais elétrons disponı́veis nesse exemplo”.
H O H
~ ligantes
´
pares de eletrons
nao
´
pares de eletrons
ligantes
Figura 4: Estrutura de Lewis da Água.
O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis
é determinar o número de elétrons de valência dos átomos
que serão conectados. Depois é necessário determinar qual
é o átomo central, e ligá-lo aos átomos periféricos por pares
de elétrons.
• Se a camada de valência do átomo central está completa, você acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis
aceitável. “O carbono está deficiente de elétrons - ele
tem só quatro elétrons em sua volta. Esta não é uma
estrutura de Lewis aceitável”.
• Se a camada de valência do átomo central não está
completa, use um par solitário de um dos átomos da
periferia para formar uma dupla ligação daquele átomo
com o átomo central. Continue o processo de fazer
múltiplas ligações dos átomos periféricos com o átomo
central, até que a camada de valência do átomo central
esteja completa.
Considere o dióxido de carbono CO2
O
C
O
carbono(C) →
tem 4e− de valência × 1 carbono = 4e−
oxigênio(O) →
tem 6e
−
de valência × 2 oxigênio = 12e
Figura 7: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 2.
−
Torna-se,
Existe um total de 16 e para serem colocados na Estrutura
de Lewis.
O átomo central ainda está deficiente de elétrons, portanto compartilhe outro par.
Conecte o átomo central aos outros átomos na molécula com
ligações simples.
Torna-se,
−
O carbono é o átomo central, os dois oxigênios são ligados
Certifique-se que você tenha utilizado do número correto de elétrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que
129
Quı́mica – Aula 4
O
C
O
Figura 8: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 3.
O
C
O
Figura 9: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 4.
alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de valência para além de oito
elétrons.
A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para
o dióxido de carbono é a mostrada na Figura 10.
Exemplo
O
C
O
Figura 10: Estrutura de Lewis do CO2 , passo 5.
c) 9
d) 18
e) 10
3. (UFSC) De modo geral, os compostos que possuem
ligações iônicas:
a) são solúveis em derivados do petróleo
b) são encontrados na natureza no estado sólido
c) apresentam pontos de ebulição elevados e pontos de fusão
baixos
d) são duros e quebradiços
e) apresentam alta condutividade elétrica em solução aquosa
Exercı́cios Complementares
Considere os ı́ons: Ca+2 , P O4−3 e OH − . A combinação
desses ı́ons pode resultar na hidroxiapatita, mineral presente 4. (UFRJ) O correto uso da tabela perı́odica permite deem ossos e dentes. A fórmula quı́mica pode ser representada terminar os elementos quı́micos a partir de algumas de suas
caracterı́sticas. Recorra à tabela periódica e determine:
por Cax (P O4 )3 OH. Qual o valor de x nesta fórmula?
a) o elemento que tem distribuição eletrônica s2 p4 no nı́vel
mais energético, é o mais eletronegativo de seu grupo e
Solução
forma, com os metais alcalinos terrosos, composto do tipo
XY;
Como sabemos que o somatório das cargas deve ser igual a b) o número atômico do elemento que perde dois elétrons
zero e que pela fórmula temos:
ao formar ligação iônica e está localizado no 3o perı́odo da
tabela periódica.
−
Cax (P O4 )−3
OH
3
5. Indique a fórmula estrutural das seguintes moléculas:
Dados: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z =
E fazendo o somatório das cargas:
1), O (Z = 8).
a) CCl4
x · (+2) + 3 · (−3) + 1 · (−1) = 0 =⇒ x = 5
b) N H3
c) CO2
d) HN O3
Pense um Pouco!
• Dê uma possı́vel aplicação para a mesma fórmula
quı́mica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual
é a utilidade de escrevermos a fórmula estrutural e
eletrônica de um mesmo elemento?
• Os gases nobres também são chamados de gases inertes? Explique.
Exercı́cios de Aplicação
6. Dê as fórmulas estruturais e eletrônicas das seguintes
moléculas, dados: H (Z=1), O (Z=8) e S (Z=16).
a) H2 S
b) SO2
c) SO3
d) HN O3
Quı́mica Aula 4
Ligações Quı́micas
1. Os átomos de 13 Al e 16 S podem originar ı́ons. Determine
Como consequência da tendência dos átomos de formar sisa carga dos ı́ons estáveis de cada um desses elementos.
temas eletrônicos estáveis, pela doação ou recebimento de
2. (PUC-MG) Um elemento X (Z = 20) forma com Y um elétrons, os átomos se unem.
composto de fórmula X3 Y2 . O número atômico de Y é:
Existem três tipos de ligações quı́micas;
a) 7
1. Iônica;
b) 21
130
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2. Metálica;
Ligação Metálica
3. Co-valente.
Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem
tendência de doar elétrons formando cátions. A ligação
metálica ocorre quando muitos átomos de um metal perdem elétrons ao mesmo tempo, e os cátions formados se
estabilizam pela ”nuvem” de elétrons que fica ao redor.
Ligação Iônica ou Eletrovalente
A ligação iônica ocorre quando um metal se liga a um não
Analisando um fio de cobre, excelente condutor de eletricimetal ou ao hidrogênio. O metal doa elétrons formando o
dade e calor, encontraremos nos elétrons livres que o macátion. O não-metal ou o hidrogênio recebe elétrons forterial apresenta a explicação desta condutibilidade. Os ”n”
mando um ânion.
átomos de cobre cedem seus elétrons periféricos e se tornam
A consequência da atração entre os ı́ons positivos (cátions) cátions envoltos por muitos elétrons livres.
e negativos (ânions) é um agrupamento organizado de ı́ons,
a que chamamos de cristal iônico.
Ligação Co-valente ou Molecular
Ligação co-valente é aquela formada como consequência do
compartilhamento de elétrons entre seus átomos.
Haverá formação de uma molécula, no sentido em que os
átomos se unem como ”sócios” dos mesmos elétrons.
Por exemplo: o cloro apresenta 7 elétrons na última camada
quando realizada a ligação co-valente forma HCl.
(a)
(b)
O par compartilhado é formado por dois elétrons, um de
cada átomo, compartilhado por ambos os átomos.
Figura 1: Arranjo Atômico de um Cristal Iônico.
O cristal iônico é representado por uma fórmula mı́nima, ou
seja, o número mı́nimo de cátions e ânions necessários para
que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a
Fórmula Mı́nima do sal de cozinha é dada por:
H
Cl
N a Cl
Esta estrutura de alta coesão de natureza elétrica confere
Figura 2: Par Eletrônico Compartilhado.
ao composto iônico alto ponto de fusão. No estado sólido
não conduz eletricidade. Isso só ocorre se os ı́ons estiverem
Ambos adquirem configuração eletrônica estável de gás nolivres, em solução aquosa ou no estado fundido (lı́quido).
bre.
Montamos uma fórmula de composto iônico colocando à esquerda o cátion e a direita o ânion. Verificamos se as cargas
positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a Representação Molecular
fórmula será de um cátion para um ânion. Caso as cargas
se anulem, usaremos o seguinte artifı́cio: invertemos a carga Há diferentes maneiras de representar uma molécula. Todo cátion para ı́ndice do ânion e a carga do ânion para ı́ndice memos a molécula de gás oxigênio, formada por dois átomos
do cátion:
de oxigênio.
Ax+ B y− → Ay Bx
Caracterı́sticas da Ligação Iônica
• Formação de ı́ons;
• Transferência de elétrons;
• Compostos sólidos a temperatura ambiente;
• Formação de compostos cristalinos;
• Os compostos iônicos quando em meio aquoso conduzem corrente elétrica.
• Fórmula eletrônica ou de Lewis: representa os
elétrons da última camada dos átomos.
• Fórmula estrutural: cada par de elétron compartilhado é representado por um traço.
O=O
• Fórmula molecular: indica apenas o tipo e o número
de átomos que formam uma molécula.
O2
131
Quı́mica – Aula 4
Ligação Dativa ou Coordenada
É o caso de ligação co-valente que ocorre quando o par de
elétrons compartilhado entre dois átomos provém apenas de
um deles.
Para que o átomo possa fazer uma ligação coordenada ele
tem que possuir pares de elétrons livres.
−
−
+
+
A ligação coordenada é indicada por uma seta do átomo que
oferece o par de elétrons para o átomo que o aceita.
O número máximo de ligações coordenadas que os nãometais podem oferecer é:
Figura 4: Dois átomos de H.
No caso do monóxido de carbono, temos um bom exemplo: o Na formação do overlap há uma distância ideal entre os
oxigênio faz uma ligação dativa com o carbono, isto é, com- núcleos de cada átomo, onde a repulsão das cargas de mesmo
partilha coordenadamente com ele seus pares eletrônicos. sinal compensa a atração das cargas de sinais diferentes.
Conforme podemos ver na Fig. (3):
Figura 5: Overlap.
Figura 3: Ligação Dativa do CO.
Orbitais Moleculares
Para visualizarmos melhor as ligações co-valentes (átomos
formando moléculas), estudaremos as ligações sob o ponto
de vista dos orbitais atômicos formando orbitais moleculares.
Orbital molecular é a região em torno dos núcleos de maior
probabilidade de ser encontrado o par eletrônico compartilhado.
Há dois tipos de orbital molecular:
No caso do H2 , H − H, temos orbital σ(s − s). A notação
σ(s − s) significa orbital molecular σ feito através de dois
orbitais atômicos do tipo s.
Pense um Pouco!
• Quais são as principais utilidades das Ligações
Quı́micas na natureza?
• Como os elementos quı́micos são encontrados na natureza, ”puros ou misturados com outros elementos”?
Exercı́cios de Aplicação
Orbital Molecular σ (sigma), ou simplesmente ligação σ,
é aquele formado na interpenetração de orbitais atômicos
1. (ACAFE) O grupo de átomos que é encontrado na forma
segundo um eixo.
mono-atômica pelo fato de serem estáveis são
Orbital Molecular π, ou simplesmente ligação π, é aquele a) Halogênios
formado na interpenetração de orbitais atômicos p exclusi- b) Calcogênios
vamente segundo os eixos paralelos.
c) Metais Alcalinos Terrosos
d) Metais Alcalinos
e) Gases Nobres
Exemplo
2. (ACAFE) O propadieno (H2 C = C = CH2 ) apresenta
respectivamente quantas ligações sigmas e ligações pi?
O hidrogênio apresenta apenas um elétron no orbital s, que a) 6 e 2
sabemos ser esférico: 1s1 , e precisa de mais um elétron para b) 2 e 2
c) 4 e 2
adquirir estabilidade.
Quando ocorre a aproximação de outro átomo de hi- d) 4 e 0
drogênio, o núcleo positivo de um atrai a eletrosfera do e) 0 e 4
outro.
3. (ACAFE) Incrı́vel, mas 15% do gás metano existente
Como consequência dessa atração, teremos a aproximação na atmosfera provém do arroto dos bois, vacas, cabras e
resultando numa interpenetração de orbitais chamada over- carneiros, contribuindo para o efeito estufa (aquecimento
lap.
atmosférico). Assinale a alternativa que descreve os tipos
Overlap é a interpenetração dos orbitais atômicos formando de ligações quı́micas encontradas neste gás:
um orbital molecular.
a) 2 iônicas e 2 co-valentes
H2 (molécula H : H ou H − H)
132
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
b) 2 ligações dativas
c) 4 ligações duplas
d) 2 sigmas e 2 pi
e) 4 ligações sigmas
Exercı́cios Complementares
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Difusão
Comparadas com as moléculas de um lı́quido ou sólido, as
moléculas de um gás se difundem rapidamente, uma vez
que as distâncias que elas se movem entre as colisões são
relativamente grandes. Em virtude de as moléculas num
lı́quido estarem tão próximas, a distância média que elas
percorrem entre as colisões – o seu livre caminho médio
– é muito pequena, onde estas sofrem bilhões de colisões
antes de percorrer uma distância muito grande e essas interrupções impedem-nas de espalhar-se através do lı́quido.
A difusão dentro dos sólidos é muito mais lenta que nos
lı́quidos. Não só as moléculas estão fortemente compactadas como, também, são mantidas rigidamente no mesmo
lugar.
4. (UFCE) No envenenamento por monóxido de carbono
(CO), as moléculas deste gás se ligam aos átomos de ferro
da hemoglobina, deslocando o oxigênio e causando, rapidamente, asfixia. Quantos pares de elétrons disponı́veis do
oxigênio existem na molécula do CO para se ligarem ao ferro
da hemoglobina através de ligação covalente dativa?
a) 1
b) 2
Volume e Forma
c) 3
d) 4
A propriedade mais óbvia dos gases, lı́quidos e sólidos é a
e) 0
forma como eles se comportam quando transferidos de um
5. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta frasco para outro. Ambos, gases e lı́quidos são fluı́dos; eles
dois elétrons na sua camada de valência. A alternativa que escoam e podem ser bombeados de um lugar para outro.
indica a fórmula de um óxido e de cloreto desse metal, res- Um sólido, porém, não é um fluı́do e mantém tanto sua
forma quanto seu volume. As forças inter-moleculares de
pectivamente é:
um gás são tão fracas que as moléculas podem facilmente
a) M2 O − M2 Cl
superar essa força e expandir para encher o recipiente. O
b) M2 O − M Cl
que não acontece num sólido, cujas forças atrativas mantém
c) M O2 − M Cl2
as moléculas mais ou menos firmes num lugar, de modo que
d) M O − M Cl2
elas não podem se mover umas em torno das outras.
e) M O − M Cl4
6. (UFSC) Na molécula H — O — O — H, existe:
a) nenhuma ligação iônica
b) três ligações co-valentes
c) três ligações sigmas
d) três ligações iônicas
e) duas ligações metálicas
Quı́mica Aula 5
A Estrutura da Matéria
Tensão Superficial
Num lı́quido cada molécula move-se sempre sob influência
das moléculas vizinhas. As moléculas na superfı́cie de um
certo recipiente sentem uma atração na direção do interior
do lı́quido. Para uma molécula chegar a superfı́cie ela deve
superar esta atração. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, então deve-se realizar trabalho para levá-las até a
superfı́cie. Portanto, tornar a superfı́cie de um lı́quido maior
requer um gasto de energia e a quantidade de energia necessária é então a tensão superficial.
Propriedades Gerais
Evaporação
De acordo com a teoria cinética molecular, todas as formas
de matéria são compostas de partı́culas pequenas e que se
movem rapidamente. Há duas razões principais por que
os gases, lı́quidos e sólidos diferem tanto uns dos outros.
Uma é a rigidez do empacotamento das partı́culas e outra
é a intensidade das forças atrativas entre elas. Podemos
listar como propriedades influenciadas por estas duas razões
o seguinte:
Num lı́quido ou num sólido, assim como num gás, as
moléculas estão constantemente sofrendo colisões, dando assim origem a uma distribuição de velocidades moleculares
individuais e, evidentemente, de energias cinéticas. se algumas dessas moléculas possuı́rem energia cinética suficiente
para superar as forças atrativas dentro do lı́quido ou do
sólido, elas poderão escapar através da superfı́cie para o estado gasoso – elas evaporam. No lı́quido existem três fatores
que influenciam na velocidade de evaporação: a temperatura, a área superficial e a intensidade das atrações superficiais.
Compressibilidade
Num gás, as moléculas estão bastante separadas, de forma
que há muito espaço vazio dentro do qual elas podem ser
comprimidas, por isso os gases são bastante compressı́veis.
Entretanto, as moléculas num lı́quido ou sólido estão rigidamente empacotada se há muito pouco espaço vazio entre
elas, sendo então virtualmente incompressı́veis.
Forças de Atração Inter-moleculares
As atrações dipolo-dipolo são, normalmente, consideravelmente mais fracas do que as ligações iônicas ou co-valentes.
A sua força também diminui muito rapidamente à medida
133
Quı́mica – Aula 5
que a distância entre os dipolos aumenta, de forma que a
distância entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito
entre as moléculas bastante afastadas de um gás é muito menor do que entre moléculas fortemente compactadas num
lı́quido ou num sólido. É por isso que as moléculas de um
gás comportam-se quase como se não houvesse atração nenhuma entre elas.
onde n é o número de mols do gás. Assim, a lei de GayLussac é facilmente compreendida, uma vez que os volumes
dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razões
que os coeficientes na equação balanceada.
O Mol
Sabemos que os átomos reagem para formar moléculas,
mantendo entre si razões simples de números inteiros. Os
Pontes de Hidrogênio
átomos de hidrogênio e oxigênio, por exemplo, combinamAcontece entre moléculas muito polares, onde a diferença se numa razão de 2 para 1 a fim de formar a água, H2 O.
de eletronegatividade é muito acentuada, tendo H numa Entretanto é impossı́vel trabalhar com os átomos individudas extremidades da “ponte”. No estado lı́quido há pon- almente, devido às suas dimensões minúsculas. Assim, em
tes de hidrogênio entre moléculas de água. Como há movi- qualquer laboratório da vida real, devemos aumentar o tamento das moléculas, as pontes de hidrogênio se quebram manho destas quantidades até o ponto em que possamos
e se restabelecem em seguida. No estado sólido as pontes vê-las e pesá-las.
de hidrogênio entre as moléculas de água são fixas e dire- Infelizmente, por exemplo, uma dúzia de átomos ou
cionadas segundo um ângulo de 104, 5◦ entre suas ligações. moléculas é ainda uma quantidade muito pequena para se
Devido à direção das pontes de hidrogênio na água sólida, trabalhar; deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior
ficam espaços vazios entre as moléculas, responsáveis pelo ainda. A “dúzia de quı́mico”chama-se mol (unidade mol).
aumento de volume ao congelar.
Ele é composto de 6, 022 × 1023 objetos. Então:
Força de Van der Waals (ou de London)
Essa força pode aparecer entre átomos de um gás nobre (por
exemplo, hélio lı́quido) ou entre moléculas apolares (CH4 ,
CO2 ). O gelo seco quando sublima, passa do estado sólido
para o estado gasoso, rompendo as forças de Van der Waals
e liberando as moléculas das influências das outras. São as
forças inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justificam
a possibilidade de liquefazer os gases nobres. As moléculas
podem se unir através de polarização induzida temporariamente.
Os Gases
1 dúzia
= 12 objetos
1 mol = 6, 02 × 1023 objetos
O Volume Molar
É o volume ocupado por um mol de qualquer gás em
condições normais de temperatura e pressão (CNTP).
CNTP:
• temperatura de 0◦ C ou 273 K;
• pressão de 1 atm ou 760 mmHg).
Verifica-se experimentalmente que o volume molar é de
Muitos gases são capazes de sofrer reações quı́micas uns com 22, 4 l (CNTP).
outros. Observações experimentais feitas por Gay-Lussac Conclusão:
formaram a base da Lei de Combinação dos Volumes
M M g → 6, 02 × 1023 moléculas → 22, 4 l.
A Lei de Combinação de Volumes
os volumes das substâncias gasosas que são produzidas e consumidas numa reação quı́mica estão numa
razão de números inteiros pequenos, desde que os
volumes sejam medidos nas mesmas condições de
temperatura e pressão.
A importância das observações de Gay-Lussac foi posteriormente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propôs que
agora é conhecido como princı́pio de Avogadro.
O Princı́pio de Avogadro
Observe que
1 mol ≈ 602.000.000.000.000.000.000.000
Pense um Pouco!
• Você tem noção de como funciona um freio de automóvel? Ou que um freio tem em comum com o assunto que estamos tratando?
• Dê exemplos de elementos quı́micos sólidos que evaporam, sem que haja fusão.
sob condições de temperatura e pressão constantes,
volumes iguais de gases contém números iguais de
Exercı́cios de Aplicação
moléculas.
Uma vez que números de iguais de moléculas significam
números iguais de mols, o número de mols de qualquer gás 1. (FUVEST) Em uma amostra de 1, 15 g de sódio, o
número de átomos existentes será igual a (N a = 23):
está relacionado com o seu volume:
a) 6 × 1022
V ∝n
b) 3 × 1023
134
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
c) 6 × 1023
d) 3 × 1022
e) 1023
2. (ACAFE-00) Qual destas ligações é mais fraca?
a) Eletrovalente
b) Co-valente
c) Ponte de hidrogênio
d) Van der Waals
e) Metálica
3. (PUC) As pontes de hidrogênio aparecem:
a) quando o hidrogênio está ligado a um elemento muito
eletropositivo
b) quando o hidrogênio está ligado a um elemento muito
eletronegativo
c) em todos os compostos hidrogenados
d) somente em compostos inorgânicos
e) somente em ácidos de Arrhenius
Exercı́cios Complementares
4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2 ; 1 litro
de CO2 ; e 1 litro de N H3 , todos estes gases nas CN T P
em recipientes separados. O recipiente que possui maior
número de moléculas é o que contém:
a) He
b) H2
c) CO2
d) N H3
e) o número de moléculas é o mesmo em cada um dos quatro
recipientes.
5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulição da água, do
álcool etı́lico e do fluoreto de hidrogênio são explicados:
a) através das pontes de hidrogênio inter-moleculares
b) pelas macro-moléculas formadas
c) através de forças de Van der Waals
d) pelas ligações co-valentes dativas que se formam entre
moléculas destes compostos
e) através das pontes de hidrogênio intra-moleculares
6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol
de oxigênio mais 3 × 1022 moléculas de oxigênio mais 3 g de
oxigênio? Dado: M MO = 16 g.
a) 11, 8 g
b) 15, 6 g
c) 7, 8 g
d) 32 g
e) 34 g
Quı́mica Aula 6
Teoria Cinética dos Gases
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Ec ∝ T
onde
Ec = energia cinética
T = temperatura de Kelvin
Gás Ideal
Um gás é considerado perfeito (ideal) quando obedece às
seguintes condições:
• No estado gasoso o movimento das moléculas ocorre
de maneira contı́nua e caótica, descrevendo trajetórias
retilı́neas;
• O volume da molécula é desprezı́vel em relação ao volume do recipiente que a contém;
• Uma molécula não sente a presença da outra (não há
interação, forças de Van der Waals, entre as moléculas);
• Os choques entre as moléculas, se ocorrerem, são perfeitamente elásticos (a molécula não ganha nem perde
energia cinética)
Gás Real
Um gás real se aproxima do comportamento de um gás perfeito à medida que se torna mais rarefeito (diminui o número
de moléculas) e se encontra a baixa pressão e a alta temperatura.
Leis dos Gases Ideais
O estado de um gás é definido quando sabemos sua pressão,
temperatura, e volume Essas grandezas são as variáveis de
estado de um gás e são inter-dependentes.
Se mantivermos constante uma de suas variáveis, poderemos
estudar de que maneira variam as outras.
Transformação
Mariotte)
Isotérmica
(Lei
de
Boyle-
a uma temperatura constante, o volume ocupado
por uma quantidade fixa de gás é inversamente proporcional à pressão aplicada.
Isso pode ser expresso matematicamente como:
V ∝
1
P
(3)
A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade
pela introdução de uma constante de proporcionalidade. Assim,
1
P
P V = constante
V ∝
p1 V1 = p2 V2
As moléculas de um gás ocupam o volume do recipiente
que as contém. A energia que mantém as moléculas de um Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a
gás em movimento é a energia cinética, que é diretamente pressão, o volume diminui; se diminuirmos a pressão o voproporcional a temperatura absoluta (Kelvin).
lume aumenta.
135
Quı́mica – Aula 6
Transformação Isobárica (Lei de Charles)
Casos Particulares
à pressão constante, o volume de uma dada quantidade de um gás é diretamente proporcional á sua
temperatura absoluta.
Escrevendo esta Lei matematicamente, temos:
V ∝T
(4)
Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearranjando, obtemos
V
= constante
T
V1
V2
=
T1
T2
• Se n e T forem constantes na equação (12) teremos a
lei de Boyle-Mariotte;
• Se n e P forem constantes na equação (12) teremos a
lei de Charles-Gay Lussac;
• Se P e T forem constantes na equação (12) teremos o
Princı́pio de Avogadro;
A proporcionalidade na equação (12) pode ser transformada
(5) numa igualdade, pela introdução de uma constante de proporcionalidade, R, chamada de constante universal dos
(6) gases. Daı́, temos:
Desta forma, se a pressão é constante, á medida que aumentarmos a temperatura o volume ocupado pelo gás aumentará; diminuindo a temperatura, o volume diminuirá.
nRT
P
P V = nRT
V =
ou
(13)
(14)
onde R = 8, 31J/mol · K.
Transformação Isocórica, Isométrica ou IsovoA equação (14) é obedecida por apenas um gás ideal hilumétrica (Lei de Charles-Gay Lussac)
potético e é uma expressão matemática da lei dos gases
a volume constante, a pressão é diretamente proporcional à temperatura.
Matematicamente temos que:
P ∝T
(7)
ideais. É também chamada equação de estado do gás ideal,
porque relaciona as variáveis (P, V, n, T ) que especificam as
propriedades fı́sicas do sistema.
Lei das Pressões Parciais de Dalton
ou também,
É simplesmente a pressão que o gás exerceria se estivesse
sozinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura
na mesma temperatura. Segundo as observações de John
P
= constante
(8) Dalton, a pressão total é igual à soma das pressões parciT
ais de cada gás, na mistura. Esta afirmativa é conhecida
p1
p2
=
(9) como a lei das pressões parciais de Dalton que pode
T1
T2
ser expressa por:
Se aumentarmos a temperatura, a pressão aumentará; se
diminuirmos a temperatura, a pressão diminuirá.
PT = pa + pb + pc + · · ·
(15)
Lei Combinada dos Gases
As equações correspondentes às leis de Boyle-Mariotte e
Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma única
equação, que é útil para muitos cálculos. Esta é
Pf Vf
Pi Vi
=
Ti
Tf
(10)
Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada dos gases verifica-se somente se a quantidade de gás
for constante. Onde o gás deve estar submetido às CN T P .
Lei dos Gases Ideais
onde PT é a pressão total da mistura e pa , pb , pc são as
pressões parciais dos gases a, b c.
Pressão parcial (P ′ ) é o produto da fração molar pela
pressão total dos gases.
′
Pgás
= Xgás · Ptotal mistura
(16)
Volumes Parciais
Volume parcial é o volume que o gás ocuparia estando sozinho e sendo submetido à pressão total, na temperatura da
mistura. O volume total é a soma dos volumes parciais de
cada gás, na mistura. Esta afirmativa é conhecida como a
lei de Amagat.
Discutimos, assim, três relações (3, 4, 7) de volume a que
um gás ideal obedece.
O volume parcial (V) é dado pelo produto de fração molar
Podemos combiná-las, para obter
do gás pelo volume total da mistura.
1
(T )
ou
(11)
V ∝n
P
nT
′
(12)
V ∝
Vgás
= Xgás · Vtotal mistura
(17)
P
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
—
ca
n
Co
ca
o
Fu
o
ao
ac
Sublimacao
ca
So
nsa
lid
ifi
de
Liquido
riz
po
Va
Uma substância pura pode apresentar-se sob três formas de
agregação da matéria: sólido, lı́quido, gasoso (aceita-se
o quarto estado da matéria: plasma). Cada fase depende
das condições fı́sicas de pressão e temperatura.
o
Mudanças de Estado Fı́sico
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sa
136
Solido
Gasoso
Fusão e Solidificação
Na fase sólida, as moléculas de uma substância estão fortemente ligadas entre si, formando um reticulado cristalino.
Fornecendo calor a um sólido, as moléculas absorverão a
energia, aumentando a amplitude de sua vibração, rompendo o reticulado cristalino e passando para a fase lı́quida,
onde as moléculas estão ligadas entre si com menor intensidade do que na fase sólida.
Sublimacao Inversa
Figura 1: Mudanças de estados: sólido, lı́quido e gás.
2
p
Liquido
P
C
• A temperatura em que ocorre a passagem de
fase sólida para a lı́quida é denominada ponto de
fusão.
Solido
P
3
T
Gas
• A temperatura em que ocorre a passagem de
fase lı́quida para a sólida é denominada ponto de
solidificação.
Vapor
1
• Nas substâncias puras, o ponto de fusão e solidificação coincidem, se a pressão for mantida constante.
θ
Figura 2: Diagrama de fase tı́pico.
Vaporização e Condensação
A vaporização é a passagem da fase lı́quida para a gasosa.
O ponto de equilı́brio entre as três fases é denominado
Existem três maneiras de se efetuar a vaporização:
ponto triplo ou trı́plice (PT ).
1. Vaporização tı́pica ou ebulição: mudança de fase
a determinada pressão e temperatura. Por exemplo, a
água entra em ebulição a 100 ◦ C e à pressão de 1 atm.
2. Evaporação: fenômeno que se observa a qualquer
temperatura, através da superfı́cie exposta ao meio
ambiente. Isso ocorre porque as moléculas com maior
velocidade escapam através da superfı́cie livre do
lı́quido. Ao ocorrer uma evaporação, a temperatura
do lı́quido diminui pois ao escaparem as moléculas com
maior velocidade, diminui a energia cinética. Quanto
maior a área livre maior a evaporação.
3. Calefação: fenômeno que ocorre a temperaturas
acima da temperatura normal de vaporização. É observável, por exemplo, ao se deixar cair uma gota
d’água numa chapa de metal, a uma temperatura
acima de do ponto de vaporização.
p
2
Liquido
P
C
Solido
P
3
T
Gas
Vapor
1
θ
Figura 3: Diagrama de fase da água.
A condensação é a passagem de uma substância da fase Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido
gasosa para a lı́quida. Ela pode ocorrer, também, à tem- por:
peratura ambiente. Por exemplo, ao se colocar água gelada
• temperatura: −56, 6 ◦ C
num copo, observa-se a condensação do vapor de água do
ar na sua parede externa.
• pressão: 5 atm
Diagrama de Fases
A água tem o seu ponto triplo definido por:
Para o dióxido de carbono (CO2 ), o ponto triplo é definido
Colocando-se em um único diagrama, as curvas de equilı́brio por:
entre as fases de uma substância pura, tem-se o diagrama
de fases.
• temperatura: 0, 01 ◦ C
137
Quı́mica – Aula 7
• pressão: 4, 58 mmHg
d) corrosão de uma chapa de ferro
e) evaporação da água do mar
Sublimação
5. (ACAFE) Do petróleo podemos extrair vários materiais
importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a paAbaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma rafina, o metano e outros. Sobre o petróleo e seus derivados
curva denominada curva de sublimação, que representa não podemos afirmar:
as condições de pressão e temperatura nas quais uma a) a gasolina é uma mistura de alcanos
substância pode passar diretamente da fase sólida para fase b) GLP é a sigla para Gás Liquefeito de Petróleo e é basicagasosa ou vice-versa sem se transformar em lı́quido.
mente uma mistura homogênea dos gases propano e butano
c) a parafina é uma mistura de alcanos superiores ou seja
de grandes massas moleculares
Pense um Pouco!
d) o petróleo é uma mistura heterogênea
e) o gás metano principal componente do gás natural, co• Por que dentro de uma panela de pressão, é possı́vel nhecido como gás do lixo, só pode ser obtido a partir do
manter-se a água na fase lı́quida acima dos 100 C ? petróleo
Quais são os benefı́cios que isso nos traz?
6. (ACAFE) Algumas substâncias em contato com a pele,
• É possı́vel ferver água à temperatura ambiente? nos dão uma sensação de estarem frias. Dentre elas podemos
destacar o éter comum. Isso ocorre por que:
Como?
a) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo
exotérmico
b) o éter ao cair na pele, evapora, e este é um processo
Exercı́cios de Aplicação
endotérmico
c) o éter reage endotermicamente com substâncias da pele
1. (MACK-SP) Assinale a afirmação correta:
d) o éter sublima
a) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água aumentam e) o éter é resfriado
com o aumento da pressão.
b) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água diminuem
com o aumento da pressão.
c) O ponto de fusão da água diminui e o ponto de ebulição
da água aumentam com o aumento da pressão.
d) O ponto de fusão da água aumenta e o ponto de ebulição Ácidos e Bases
da água diminui com o aumento da pressão.
e) O ponto de fusão e o ponto de ebulição da água não são Nesta aula serão apresentados dois conceitos quı́micos funalterados com o aumento da pressão.
damentais: ácido e base.
Quı́mica Aula 7
2. (STA. CASA-SP) Quando você assopra a sua pele úmida
de água, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de:
a) o sopro arrasta ar mais frio que a pele
b) a pele está mais fria do que a água
c) a água é normalmente mais fria do que o ar
d) o sopro é mais frio do que a água
e) a água absorve calor da pele para evaporar-se
3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina são colocadas nos roupeiros para combater as traças pois elas danificam as roupas.
Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa
disso deve-se:
a) a sua liquefação
b) ao consumo da naftalina pelas traças
c) a sua condensação
d) a sua fusão
e) a sua sublimação
Exercı́cios Complementares
Ácidos e Bases de Arrhenius
Funções Quı́micas são grupos de substâncias com propriedades semelhantes. As funções inorgânicas são quatro: ácidos,
bases, sais e óxidos.
Ácidos são compostos com sabor azedo (vinagre, frutas
cı́tricas), que reagem com bases formando sal e água.
Bases são compostos de sabor adstringente (leite de
magnésia - M g(OH)2 ) que reagem com ácidos dando sal
e água.
Ácidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos substâncias que possuem duas colorações, dependendo do
meio em que se encontram.
Indicador
Tornassol
Fenolftaleı́na
Meio Ácido
Vermelho
Incolor
Meio Básico
Azul
Vermelho
Definições de Arrhenius
4.
(VUNESP) Indique a alternativa que indica um
Ácido é qualquer composto molecular que em solução
fenômeno quı́mico:
aquosa sofre ionização liberando como único cátion o ı́on
a) dissolução de cloreto de sódio em água
H + ou H3 O+ (hidroxônio ou hidrônio).
b) fusão da aspirina
Exemplos
c) destilação fracionada de ar lı́quido
138
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Estabilidade
• Instável: só existem dois ácidos instáveis;
HCl + H2 O → H + + Cl−
HN O3 + H2 O → H + + N O3−
H2 SO4 + H2 O → 2H + + SO4−2
H2 CO3 → H2 O + CO2
H2 SO3 → H2 O + SO2
H3 P O4 + H 2 O → 3H + + P O4−3
Dizemos que o ácido, que era um composto co-valente, na
presença de água ionizou, e formou ı́ons.
Grau de ionização (α) é a razão do número de moléculas ionizadas para um total de moléculas inicialmente dissolvidas
em água. A força de um ácido está associada ao maior ou
menor grau de ionização do mesmo.
• Estáveis: todos com excessão dos ácidos carbônico e
sulfuroso.
Força
• Para Hidrácidos:
– Fortes: HCl, HI, HBr
– Moderado ou Semi-Forte: HF
n.o de moléculas ionizadas
α=
total de moléculas dissolvidas
– Fracos: HCN, H2 S
• Para Oxiácidos: m = N0 − NH+
Caracterı́sticas
– Fraco: quando m = 0;
• Apresentam sabor azedo;
– Moderado ou Semi-Forte: quando m = 1;
• Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftaleı́na de vermelha para incolor;
– Forte: quando m = 2;
• Conduzem corrente elétrica em solução aquosa;
– Exemplos:
– Muito Forte: quando m = 3.
HCl → m = 0
• Quando adicionados ao mármore ou carbonatos,
produzem uma efervescência com liberação de gás
carbônico.
fraco
H2 CO3 → m = 1 moderado
H2 SO4 → m = 2 forte
HClO4 → m = 3 muito forte
Classificação
Em geral, pode-se classificar os ácidos quanto à:
Nomenclatura dos Ácidos
Presença de Oxigênio
• Hidrácidos: não apresentam oxigênio na molécula; Hidrácidos
HCl, HCN, H2 S
Nomenclatura: Ácido (nome do elemento)ı́drico.
• Oxiácidos:
apresentam oxigênio na molécula. Quando ionizado, um hidrácido produz ao lado do cátion
HN O3 , H2 SO4 , H3 P O4
H + ou H3 O+ , um ânion com terminação eto. Conforme
exemplo abaixo:
Número de Hidrogênios Ionizáveis
HCl: Ácido Clorı́drico ⇋ H + +Cl− : Cloreto. (na presença
de H2 O)
• Mono-ácidos:
apenas um hidrogênio ionizável;
HCl, HCN, HN O3
• Diácidos:
dois
H2 S, H2 SO4 , H2 CO3
hidrogênios
ionizáveis;
• Triácidos: três hidrogênios ionizáveis. H3 SO3 , H3 P O4
Mas tome cuidado:
H3 P O2 → mono-ácido (um hidrogênio ionizável)
H3 P O3 → diácido (dois hidrogênios ionizáveis)
Volatilidade
• Volátil: todos os hidrácidos;
• Fixo: todos os oxiácidos.
Oxiácidos
Nomenclatura:
Ácido
(nome do elemento)
oso(menos oxigenado)
ico(mais oxigenado)
Conforme podemos ver no exemplo abaixo:
H2 SO3 : Ácido Sulfuroso ⇋ 2H + + SO3−2 : Sulfito. (na
presença de H2 O)
H2 SO4 : Ácido Sulfúrico ⇋ 2H + + SO4−2 : Sulfato. (na
presença de H2 O)
Bases
Bases ou Hidróxidos são substâncias que, ao serem dissolvidas em água, sofrem dissociação iônica, originando
o “ânion”OH − , denominado hidroxila ou oxidrila. Os
139
Quı́mica – Aula 7
hidróxidos são compostos formados por um metal ou um ı́on Base
positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociação
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de receber
iônica de algumas bases em solução aquosa:
um próton na forma de H + .
N aOH → N a+ + OH −
+3
Exemplos
−
F e(OH)3 → F e + 3OH
N H4 OH → N H4+ + OH −
HCl(Ácido) + H2 O(Base) ⇋
Caracterı́sticas das Bases
• Apresentam sabor amargo;
• Reagem com os ácidos produzindo sal;
• Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftaleı́na de incolor para vermelha;
• Conduzem corrente elétrica em solução aquosa;
H3 O+ (Ácido) + Cl− (Base)
N H3 (Ácido) + H2 O(Base) ⇋
(18)
N H4 (Ácido) + OH − (Base)
(19)
Par Conjugado Ácido–Base
Chamamos de par conjugado as espécies quı́micas que diferem entre si por um H + . No exemplo (18) temos o seguinte
par conjugado ácido-base:
• São untuosas ao tato.

HCl − (ácido forte)



(grande facilidade doar elétrons)
 Cl− − (base fraca)


(pequena facilidade de receber elétrons)
Classificação das Bases
Classifica-se as bases quanto à:
Número de Hidroxilas (OH − )
Isso explica por que a reação tende para o sentido direito,
• Mono-base: possui apenas uma hidroxila. Exemplo: ou seja, da esquerda para direita.
KOH;
• Dibase: possui apenas duas hidroxilas.
Ca(OH)2 ;
Exemplo:
• Tribase: possui três duas hidroxilas.
Al(OH)3 ;
Exemplo:
Conceito de Lewis
Ácido
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de aceitar
• Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo: um par de elétrons através da ligação coordenada dativa.
P b(OH)4 .
Base
Solubilidade em Água
• Solúveis: bases formadas pelas famı́lias 1A, 2A e
N H4 OH;
• Insolúveis: todas as demais bases.
Força
• Forte: quando a base é dissolvida em água, ocorre dissociação iônica quase que totalmente. Bases de metais
alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);
• Fraca: todas as demais bases.
Outros Conceitos de Ácidos e Bases
Conceitos de Brönsted-Lowry
Ácido
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de doar um
próton na forma de H + .
É toda espécie quı́mica (molécula ou ı́on) capaz de doar um
par de elétrons através da ligação coordenada dativa.
Exemplo
AlCl3 (Ácido) + : Cl− (Base) → AlCl4−
Comparando Conceitos
• Lewis: o mais geral;
• Brönnsted-Lowry: bem amplo;
• Arrhenius: o mais limitado.
• Um ácido ou base de Arrhenius será também de
Brönnsted-Lowry e de Lewis;
• Um ácido ou base de Brönnsted-Lowry pode ou não
ser de Arrhenius, mas será de Lewis;
• Existem ácidos e bases de Lewis que não são de
Brönnsted-Lowry nem de Arhenius.
140
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Estequiometria
É o cálculo da quantidade de reagentes necessários e de produtos obtidos numa determinada reação quı́mica. Baseia-se
nas Leis de Lavoisier (conservação das massas), Proust (proporção das massas) e Gay Lussac (proporção de volumes).
Fundamenta-se no fato de que a proporção de mols entre
reagentes e produtos numa reação é constante, dada pelos
coeficientes estequiométricos.
Outro fundamento do cálculo estequiométrico é a definição
de mol.
O mol
• Pesa: MMg (MM=Massa Molecular);
• Possui: 6, 02 × 1023 moléculas;
• Ocupa: 22, 4 l (gás nas CNTP).
Exemplo
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a) São Paulo e Cubatão são exemplos de cidades onde a incidência de chuvas ácidas é bastante acentuada;
b) Ocorre uma oxidação dos portões de ferro com uma intensidade bem maior que em regiões distantes das regiões
industriais;
c) As plantações são bastante afetadas, pois a chuva diminui
o pH do solo, retardando o crescimento das mesmas;
d) A vegetação pode vir a secar completamente, caso o
perı́odo das chuvas seja prolongado;
e) Não é recomendada a utilização de portões de alumı́nio
porque este é atacado pela chuva ácida.
3. (FUVEST) Um elemento metálico M forma um cloreto
de fórmula M Cl3 . A fórmula de seu sulfato é:
a) M2 SO4
b) M SO4
c) M2 (SO)3
d) M2 (SO4 )3
e) M (SO)3
Exercı́cios Complementares
Dada a reação de combustão da acetona:
4. (COMVESUMC) O ácido que corresponde à classificação
mono-ácida, oxiácido, e ternário é:
a) HN O3
Balanceando a equação pelo método das tentativas, chega- b) H2 SO4
c) H3 P O4
remos aos seguintes coeficientes menores e inteiros:
d) HCl
e) HCN O
C3 H6 O → CO2 + H2 O
1 C3 H6 O (1 mol) + 4 O2 (4 mols) →
5. O amonı́aco usado para fins de limpeza é uma solução
aquosa de amônia que contém ı́ons:
a) hidroxila
b) sulfato
Pense um Pouco!
c) nitrato
d) cálcio
• O que você entende por chuva ácida? Ela pode trazer e) sódio
algum malefı́cio à vida humana?
6. Temos a seguinte equação:
• Enumere algumas substâncias ácidas e básicas de uso
diário.
2O3 → 3O2
3 CO2 (3 mols) + 3 H2 O (3 mols)
Os números 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equação
representam, respectivamente:
a) coeficiente estequiométrico e número de átomos da
1. Um tanque de automóvel está cheio com 60 litros de molécula
álcool hidratado (96% álcool), cuja densidade é de 0, 9 g/ml. b) coeficiente estequiométrico e número de moléculas
c) número de moléculas e coeficiente estequiométrico
Dada sua equação de combustão completa
d) número de átomos da molécula e coeficiente estequiométrico
C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O
e) número de moléculas e número de átomos da molécula
indique:
a) a massa da água obtida ao queimar-se todo o álcool do
tanque;
b) o volume de gás carbônico que sai do escapamento, supondo combustão completa.
Exercı́cios de Aplicação
Quı́mica Aula 8
Soluções Quı́micas
2. (ACAFE) Em regiões industriais o anidrido sulfuroso
(SO2 ), resultante da queima de combustı́veis fósseis, dá ori- Concentração
gem à chuva ácida na atmosfera devido a sua oxidação e
contato com a precipitação pluviométrica. Em relação a es- Você já reparou, por exemplo, que numa dada quantidade
de água podemos dissolver quantidades menores ou maiores
tas regiões, a alternativa falsa é:
141
Quı́mica – Aula 8
de sal comum, desde que evidentemente, não ultrapassemos Molaridade M
o ponto de saturação.
Concentração em M ol/l ou Molaridade M é o quociente
Pois bem, chama-se concentração de uma solução a toda e
do número de mols do soluto pelo volume da solução (em
qualquer maneira de expressar a proporção existente numa
litros). Sendo:
dada solução.
Usaremos a seguinte convenção:
ns → número de mols do soluto
d → massa do soluto (g)
ms → massa do soluto
Ms → massa molar do soluto (g)
msv → massa do solvente
V → volume da solução (l)
mt → massa do solução
M → molaridade (mols)
onde
mt = ms + msv
(20)
Tı́tulo τ
M=
ns
V
(27)
ns =
ms
Ms
(28)
onde
É o quociente de massa do soluto pela massa total da solução
(soluto + solvente).
T =
ou
ms
msv
ms
τ=
ms + msv
(21)
Equivalente-Grama
É a massa molar do soluto dividida pela carga total do
(22) cátion ou do ânion de uma substância.
sendo o tı́tulo uma grandeza adimensional.
E=
Porcentagem em Massa P
ms
× 100%
mt
(29)
sendo
É o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100)
pela massa total da solução (soluto + solvente).
P =
M
x
(23)
M → massa molar
x → carga do cátion ou ânion
Para um ácido: x → no de H +
Para um base: x → no de OH −
Número de Equivalentes-Gramas
onde a relação entre porcentagem em massa e tı́tulo é
P = τ × 100%
Concentração Comum C
Corresponde a massa da amostra pelo equivalente-grama da
(24) substância.
ms
(30)
NE =
E
Normalidade
É o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume
da solução (emlitros).
É o número de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo
volume da solução em litros.
ms
C=
(25)
V
NE
N=
(31)
V
onde a relação entre a concentração comum, tı́tulo e densidade da solução é
Observação: a melhor maneira de se calcular a normalidade é a partir da molaridade, usando a expressão:
C = d · τ · 1000
(26)
N =M ·x
(32)
Onde:
Resumo das Principais Equações
C → Concentração Comum (g/l)
d → Densidade (g/ml)
τ → Tı́tulo
Relações das Massas
m = m1 + m2
142
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Exercı́cios de Aplicação
Número de Mols
n1 =
m1
mol1
Densidade
m
V
d=
Tı́tulo
m1
T =
m
Porcentagem em Massa
P = 100 ·
m1
m
Concentração (g/l)
C=
m1
V
M=
n1
V
Molaridade
Molalidade (mol/kg) de solvente
W =
n1
m2
Concentração em Equivalentes-Gramas
N=
Ne1
V
Número de Equivalentes-Gramas
Ne1 =
m
E
Equivalentes-Gramas
E=
mol
x
1. (ACAFE) A massa aproximada de BaCl2 necessária
para preparar 25 litros de solução 0, 1 M deste sal será:
a) 208 g
b) 520 g
c) 260 g
d) 416 g
e) 71 g
2. (ACAFE) A uréia, N H2 CON H2 , é um produto do metabolismo de proteı́nas. Que massa de uréia é necessária
para preparar 500 ml de uma solução 0, 20 M ?
a) 5, 1 g
b) 12, 0 g
c) 18, 0 g
d) 24, 0 g
e) 6, 0 g
3. (ACAFE) A concentração de N aCl na água do mar é de
0, 43 mol/l. O volume em l, de água do mar que deve ser
evaporado completamente para a produção de 5 kg de sal
de cozinha é aproximadamente:
a) 12 l
b) 25 l
c) 40 l
d) 200 l
e) 430 l
Exercı́cios Complementares
4. (ACAFE) Para uma solução a 20 % em massa e densidade 4 g/ml, calcule a concentração em g/l.
a) 80 g/l
b) 800 g/l
c) 8 g/l
d) 8000 g/l
e) 400 g/l
5. (ACAFE) Uma gota de água ocupa um volume aproximado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da água é
1, 00 g/cm3 . O número de moléculas por gota de água será:
a) 1, 67 × 1021
b) 1, 67 × 1023
c) 6, 00 × 1023
d) 6, 00 × 1021
e) 3, 00 × 1021
6. Uma solução de AgN O3 a 1, 00 % em água é utilizada
para tratar os olhos de recém-nascidos. Sendo a densidade
da solução 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l é:
Pense um Pouco!
a) 1, 0 mol/l
b) 0, 10 mol/l
• Pense em possı́veis aplicações dos conceitos apresenta- c) 20 mol/l
dos até aqui, referentes a soluções e cite alguns exem- d) 0, 5 mol/l
plos.
e) 0, 06 mol/l
• Se fervermos uma solução de água+sal, e a água for
evaporando, o que acontece com as propriedades da
solução (M , τ , P , etc)?
Quı́mica Aula 9
143
Quı́mica – Aula 9
Equilı́brio Iônico
[HA] = n − x/V = n − nα/V = n(1 − α)/V
Ka =
É um equilı́brio quı́mico em que aparecem ı́ons. Ocorre com
ácidos bases e os sais, considerados eletrólitos.
nα/V ∗ nα/V
[H + ] [A− ]
=
n(1−α)
[HA]
V
nα ∗ nα
V
Ka =
∗
VV
n(1 − α)
Exemplos
HCN ←→ H + + CN −
α=
no de moles dissociados
no inicial de moles
ou seja
α = grau de dissociação iônica
A constante de ionização segue a Lei de Guldeberg-Waage.
HCN ←→ H + + CN −
[H + ].[CN ]
Ka =
[HCN ]
Ka =
nα2
V (1 − α)
Ka =
α2
Cn
1−α
onde Cn é a concentração molar ou molaridade.
Esta expressão representa a Lei de Diluição de Wilhelm
Ostwald (1853-1932), quı́mico alemão.
Vejamos como interpretar essa lei.
Considerando uma diluição por acréscimo de solvente, temos que, se o volume aumenta, devido ao acréscimo de solvente, a concentração em quantidade de matéria diminui:
Ka = constante de dissociação iônica para ácidos,
Kb = para bases
pKa = −logKa
Ka = 4, 0 × 10−10
pKa = −log(4, 0 × 10−10 )
pKa = 9, 4
n/V = Cn −→ V aumenta ←→ Cn diminui
admitindo um aumento indefinido de volume, ou seja, V
tendendo ao infinito, Cn vai tender a zero. Então, na expressão da lei, se Cn tende à zero, Cn α2 também tende à
zero:
Quanto maior α → maior ionização → maior é o numerador
Cn α2
= Cn α2 = Ka (1 − α)
Ka =
na expressão da constante → maior é K.
1−α
A partir da expressão de Ka , quanto mais ionizado o ácido se C α2 tende a zero, então K (1 − α) também tende à zero
n
a
se encontra:
(K é constante). Logo:
a
- maior a quantidade de ı́ons em solução;
- menor a quantidade de ácido não-ionizado;
Ka (1 − α) tende a 0 −→ 1 − α tende a zero −→ −α tende
a -1 −→ α tende a 1.
O fato de o grau de ionização tender a 1 significa que a
ionização tende a ser total (100%), ou seja, o número de
moléculas ionizadas tende a ser igual ao de moléculas adiciA força de um ácido é medida pela sua capacidade de pro- onadas: α = x/n, x = nα, x = n, (α = 1)
duzir ı́ons H + em solução aquosa. Portanto, quanto maior
“O acréscimo de solvente de uma solução, ou seja, uma dio valor de Ka :
luição, provoca um aumento do grau de ionização”.
- maior a capacidade de ionização do ácido;
- maior o valor de Ka .
- maior quantidade de ı́ons H + produzida;
Você Sabia?
- maior é a força do ácido.
O odor do peixe é causado pela presença de aminas provenientes da decomposição de algumas proteı́nas do peixe. Estes
compostos orgânicos são básicos e, portanto, para retirar o
Lei da Diluição de Ostwald
seu cheiro desagradável das mãos, basta adicionar um ácido,
Vamos ver o que ocorre com o grau de ionização (α) ao como o vinagre ou limão. Uma das aminas causadoras do
fazermos uma diluição da solução por acréscimo de solvente. odor é a metilamina, que apresenta o seguinte equilı́brio:
Para isso, consideremos a ionização de um ácido HA:
−
CH3 N H2 +H2 O ←→ CH3 N H3+ + |OH
{z }
| {z }
+
Base
Metilamina
HA(aq) ←→ H(aq)
+ A−
(aq)
Inı́cio
Equilı́brio
n
n-x
α=
0
x
0
x
no de moléculas ionizadas
no de moléculas adicionadas
x/n = x = αn
[H + ] = x/V = nα/V
[A− ] = x/V = nα/V
A adição de ácidos desloca o equilı́brio para a direita, eliminando o odor causado pela amina.
Pense um Pouco!
• O grau de dissociação iônica do ácido acético, em
solução 0,02 molar, é de 3% a 25 ◦ C. Calcule a constante de ionização α desse ácido à 25 ◦ C.
144
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Exercı́cios de Aplicação
c) a adição do limão (H + ) neutraliza o ı́on, deslocando o
equilı́brio para a esquerda, formando solução aquosa.
d) a adição do limão (H + ) neutraliza o ı́on OH − , deslo1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao
cando o equilı́brio para a esquerda, retirando a metilamina.
grau de ionização do ácido cianı́drico, HCN, numa solução
e) a adição do limão (H + ) neutraliza o ı́on OH − , deslocando
0,01 molar, sabendo que a sua constante de ionização é de
o equilı́brio para a esquerda, diminuindo a concentração de
4 × 10−10 (considerar 1 − α = 1).
H2 O.
a) 0, 02
b) 2 × 104
c) 2 × 10−4
d) 4 × 10−2
e) 4 × 10−4
Quı́mica Aula 10
2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ionização dos
ácidos I, II e III:
KI = 7, 0 × 10−5 ,
KII = 1, 0 × 10−7 ,
KIII = 2, 0 × 10−9
Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se:
a) I, II e III
b) I, III e II
c) II, III e I
d) III, I e II
e) III, II e I
3. (Cefet-PR) A constante de ionização do ácido acético,
a 25 ◦ C, numa solução com 2 × 10–2 molar, sabendo que
nessas condições o seu grau de ionização é 30%, é:
a) 3, 2 × 10−4
b) 2, 5 × 10−3
c) 3, 7 × 10−2
d) 3, 1 × 10−1
e) 1, 4 × 10−3
Exercı́cios Complementares
Equilı́brio Iônico da Água e pH
Equilı́brio Iônico da Água
Medidas experimentais de condutibilidade elétrica e outras
evidências mostram que a água, quando pura ou quando
usada como solvente, se ioniza numa extensão muito pequena, originando a condição de equilı́brio:
+
−
H2 O(l) + H2 O(l) ⇐⇒ H3 O(aq)
+ OH(aq)
ou simplesmente
−
H2 O(l) ⇐⇒ H +(aq) +OH(aq)
As concentrações de ı́ons H + e OH − presentes no equilı́brio
variam com a temperatura, mas serão sempre iguais entre
si.
A 25 ◦ C, as concentrações em mol/L de H + e OH − na água
pura são iguais entre si e apresentam o valor 10−7 mol ·L−1 .
água pura: [H + ] = [OH − ] = 10−7 mol · L−1
4. (PUC-SP) Na temperatura ambiente, a constante de Produto Iônico da Água (Kw )
ionização do ácido acético é 1, 80 × 10−5 . Determine a molaridade da solução onde o ácido se encontra 3% dissociado. Considerando o equilı́brio da água, vemos que a sua constante de ionização corresponde ao Kw e é expressa por:
a) 3, 00 × 10−2 molar
b) 5, 82 × 10−4 molar
c) 5, 40 × 10−5 molar
Kw = [H + ] · [OH − ] a 25 ◦ C
−2
d) 1, 94 × 10 molar.
Kw = (10−7 )(10−7 ) = 10−14
e) 5, 40 × 10−7 molar
+
−
5.
(USP-SP) O grau de ionização do ácido acético Na água, as concentrações de H e OH são sempre iguais,
(CH3 COOH), numa solução a 0, 5 M , é de 6 × 10−1 %. independentemente da temperatura; por esse motivo, a água
é neutra. Quaisquer soluções aquosas em que [H + ] = [OH − ]
Calcule a constante de ionização desse ácido.
também serão neutras.
6. (UEPI) É muito comum as donas-de-casa, após a limEm soluções ácidas ou básicas notamos que:
peza do peixe, usarem limão para remover o cheiro deixado
em suas mãos. A maioria delas não tem uma explicação ci• quanto maior a [H + ] ⇒ mais ácida é a solução.
entı́fica para o fato. Entretanto, sabe-se que o cheiro é cau• quanto maior a [OH − ] ⇒ mais básica (alcalina) é a
sado pelo composto metilamina, de fórmula CH3 − N H2,
solução.
cuja equação de equilı́brio é representada a seguir:
−
CH3 − N H2(aq) + H2 O(l) → CH3 − N H3(aq) + OH(aq)
Segundo o Princı́pio de Le Chatelier, o cheiro de peixe desaparece porque:
a) a adição do limão (H + ) neutraliza o ı́on OH − , deslocando o equilı́brio para a direita, consumindoa metilamina
b) a adição do limão (H + ) neutraliza o ı́on OH − , deslocando o equilı́brio para a direita, consumindo o CH3 −N H3+
Escala de pH
O termo pH (potencial hidrogeniônico) foi introduzido, em
1909, pelo bioquı́mico dinamarquês Soren Peter Lauritz Sorensen (1868-1939), com o objetivo de facilitar seus trabalhos no controle de qualidade de cervejas.
O cálculo do pH pode ser feito por meio da expressão:
145
Quı́mica – Aula 10
que são substâncias que mudam de cor em função da [H+]
e da [OH–], ou seja, de acordo com o pH. Existem vários
indicadores ácidobase; muitos deles são naturais, por exemDe maneira semelhante, podemos determinar o pOH (po- plo, o suco de repolho roxo que, em uma solução neutra,
tencial hidroxiliônico) de uma solução:
apresenta coloração roxa.
No entanto, quando o pH muda, a sua coloração pode vapOH = − log[OH − ]
riar do vermelho ao amarelo-claro. Os indicadores mais
comumente empregados em laboratório são sintéticos, por
Na água e nas soluções neutras teremos então pH = pOH =
exemplo, a fenolftaleı́na que, como todos eles, quando dis10−7 . Nas soluções ácidas, o pH varia de 1 a 7, e nas alcasolvida em água se ioniza e origina ı́ons, estabelecendo um
linas, o pH varia de 7 a 14.
equilı́brio. O indicador e a sua forma ionizada apresentam
cores diferentes.
pH = − log[H + ]
A mudança de cor ocorre em determinados intervalos de
pH, denominados faixa ou intervalo de viragem. Quando o
valor do pH é inferior ao intervalo de viragem, temos uma
cor; quando o valor é superior ao intervalo, temos outra cor;
na faixa de viragem temos uma cor intermediária às duas.
A seguir mostramos alguns indicadores com os valores
numéricos das suas faixas de viragem:
Indicador
Tornassol
Azul
de
Bromotimol
Fenolftaleı́na
intervalo de viragem
vermelho (ácido) a azul (alcalino)
amarelo (ácido) a azul (alcalino)
incolor (neutro) a rosa (alcalino)
Cálculo do pH
Nas soluções ácidas, o ı́on predominante caracterı́stico é o
H + . Assim, devemos conhecer sua concentração em mol/L
para em seguida determinar o pH da solução.
Exemplo 1: ácido forte
Considerar α = 100% para uma solução de HCl de
0, 1 mol/L
HCl −→ H + + Cl−
Neste caso a concentração de ı́ons H + será a mesma do
ácido original:
[H + ] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L
pH = − log[H + ] = 1
Exemplo 2: outros ácidos (α < 100%)
Considere uma solução de ácido acético H3 C − COOH de
0, 1 mol/L onde α = 1%.
H3 C − COOH −→ H + + H3 C − COO−
Neste caso a concentração de ı́ons H + será apenas 1% do
ácido original, ou seja,
Indicadores de pH
Uma maneira muito comum, mas menos precisa, de determinar o pH de uma solução é mediante o uso de indicadores,
[H + ] = 0, 1 mol/L ×
1
= 10−3 mol/L
100
pH = − log[H + ] = 3
146
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Nas soluções básicas, o ı́on predominante caracterı́stico é d) 1) ácido, 2) neutro, 3) básico, 4) básico
o OH − . Assim, devemos determinar sua concentração em e) 1) ácido, 2) básico, 3) ácido, 4) neutro
mol/L e, em seguida, o pOH da solução.
3. (UFPI) Dada a afirmação: “A urina é uma solução
aquosa que apresenta pH = 5.” podemos concluir que:
Exemplo 3: base forte
a) a solução tem caráter básico
b) a concentração hidrogeniônica é 10−5 mol/L
Considerar α = 100% para uma solução de N aOH de 0, 1 M c) a concentração hidroxiliônica é de 10−7 mol/L
d) a constante de ionização da água é 10−5
+
−
N aOH −→ N a + OH
e) a urina é uma solução não-eletrolı́tica
Neste caso a concentração de ı́ons OH − será a mesma da
solução básica original:
Exercı́cios Complementares
[OH − ] = 0, 1 mol/L = 10−1 mol/L
4. (Puccamp-SP) O pH do suco de laranja varia, em média,
de 3,0 a 4,0. O pH do suco de tomate varia de 4,0 a 4,4.
Considerando os extremos dessas faixas de valores de pH
pOH = log[OH − ] = 14 − 1 = 13
que significam maior acidez, pode-se afirmar que a [H + ] do
E como pH + pOH = 14 para qualquer solução, neste caso suco de laranja, em relação à do suco de tomate é:
a) cento e quarenta vezes maior
pH = 1.
b) cento e quarenta vezes menor
c) igual
Exemplo 4: bases fracas
d) dez vezes menor
Considere uma solução de N H4 OH de 2 M com α = 0, 5% e) dez vezes maior
5. (PUC-MG) A concentração hidrogeniônica do suco de
laranja puro é 10−4 mol/l. O pH de um refresco, preparado
com 25 ml de suco de laranja e água suficiente para comNeste caso a concentração de ı́ons OH − será apenas 0, 5% pletar 250 ml, é igual a:
da solução básica original:
a) 3
b) 4
0, 5
−2
−
c) 5
= 10 mol/L
[OH ] = 2 mol/L ×
100
d) 6
e) 8
pOH = log[OH − ] = 2
6. (UFCE) Adicionando-se água destilada a 5 ml de uma
E analogamente ao exemplo anterior, nesse caso pH = 12. solução de hidróxido de sódio 1 mol/l, obtêm-se 500 ml
de solução diluı́da. Admitindo-se completa dissociação do
hidróxido de sódio (N aOH), calcule o pH da solução preparada.
Pense um Pouco!
N H4 OH −→ N H4+ + OH −
Veja quais dessas soluções comuns são ácidas, básicas ou
neutras: refrigerante, água destilada, limpa-forno à base
de soda cáustica, suco gástrico, amonı́aco, suco de laranja,
solução de bateria de automóvel, chuva ácida.
Exercı́cios de Aplicação
1. Calcule o pH e o pOH de uma solução aquosa cuja
concentração hidrogeniônica [H + ] é de 10–2 mol/L.
2. (UFPE) Relacione os itens seguintes com os conceitos:
ácido, básico e neutro. 1) Uma Coca-Cola tem um pH igual
a 3.
2) Um tablete de um antiácido dissolvido num copo d’água
tem [OH − ] = 10−5 M
3) Uma xı́cara de café tem [H + ] = 10−5 M
4) Uma solução em que [H + ] = [OH − ].
a) 1) básico, 2) básico, 3) ácido, 4) neutro
b) 1) ácido, 2) básico, 3) neutro, 4) neutro
c) 1) neutro, 2) ácido, 3) básico, 4) ácido
Quı́mica B Aula 1
O que é Quı́mica?
Quı́mica é a ciência que estuda a natureza da matéria, suas
propriedades, suas transformações e a energia envolvida nesses processos.
A quı́mica está presente em toda matéria orgânica e
inorgânica, natural e artificial e tem contato diário e direto
com o homem.
147
Quı́mica B – Aula 1
Um Pouco de História...
Podemos dizer que tudo começou com o homem primitivo,
quando ele aprendeu a “produzir o fogo”, a coser seus alimentos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como
remédio para suas doenças, etc. No começo da era cristã,
surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o “elixir da longa vida”, aperfeiçoaram técnicas de
metalurgia, introduziram a quı́mica medicinal, sintetizaram várias substâncias, isolaram outras, além de terem registrado um grande número de experimentos em suas observações.
A partir do século XVII, a ciência se transforma, tornandose mais experimental e menos filosófica. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o inglês Robert Boyle(1627-1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distinção entre mistura e “combinação”,
e o francês Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Quı́mica) que estabeleceu um
marco na quı́mica moderna, no qual podemos destacar o
Princı́pio da Conservação da Massa, a descoberta do elemento oxigênio e sua análise quantitativa da composição da
água. Por seu trabalho, Lavoisier é considerado o “pai da
Quı́mica”.
A Importância da Quı́mica
Podemos dizer que tudo à nossa volta é quı́mica, pois todos os materiais que nos cercam passaram ou passam por
algum tipo de transformação. A quı́mica proporciona progresso, desenvolvimento e através do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de fios artificiais, desenvolvimento da indústria
farmacêutica, fertilizantes e pesticidas para plantação, produtos industrializados cuja obtenção depende de transformações quı́micas como plásticos, vidros, tintas, cimento
etc.
Antoine Lavoisier (1743−1794)
Figura 1: O pai da Quı́mica: Lavoisier (1743-1794)
Fenômeno Quı́mico
É qualquer transformação sofrida por um material de modo
que haja alteração na sua constituição ı́ntima de seus
constituintes. Ex: oxidação do ferro (formação da ferrugem), apodrecimento de um alimento.
Pense um Pouco!
• Fatos comuns envolvendo materiais e transformações
quı́micas são de conhecimento recente ou antigo?
• Quais as atividades do seu dia em que a quı́mica está
presente?
Exercı́cios de Aplicação
1. (U.E.CE) Assinale a alternativa correta:
a) Oxidação do ferro é um fenômeno fı́sico
b) Fusão do chumbo é um fenômeno quı́mico.
Desenvolvido por Galileu Galilei o método cientı́fico é a base c) Combustão da madeira é um fenômeno quı́mico.
¯
de toda a Ciência, pois sintetiza o conjunto de atividades d) Queima do papel é um fenômeno fı́sico.
que visam observar, experimentar, explicar e relacionar os e) n. d. a.
fenômenos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada
vez mais gerais, que nos permitam prever e controlar os 2. (UFSC) Indique na relação abaixo os fenômenos fı́sicos
fenômenos futuros.
(F) e os fenômenos quı́micos (Q).
Observação → Hipóteses → Experimentação → a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros
Medição → Leis experimentais → Modelo cientı́fico b) ( ) Digestão dos alimentos ingeridos
c) ( ) Formação de ferrugem
d) ( ) Quebra de um objeto
Fenômenos Quı́micos e Fı́sicos
e) ( ) Enfiar um prego na madeira
f) ( ) Derretimento de um iceberg
Fenômeno é qualquer acontecimento da natureza. Quando
ocorre um fenômeno, uma transformação, há alteração no 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro até o ponto de fusão,
sistema do estado inicial ao estado final.
recolher o lı́quido em uma forma esférica, transformando a
Método Cientı́fico
barra em uma bola de ferro, é exemplo de fenômeno:
a) Quı́mico, pois altera a forma da barra de ferro.
Fenômeno Fı́sico
b) Fı́sico, pois a substância continua sendo ferro.
É qualquer transformação sofrida por um material sem que c) Fı́sico-quı́mico, pois há alteração na forma da
ocorra alteração de sua constituição ı́ntima de seus cons- substância.
tituintes. Ex: o amassar do papel, evaporação da água, d) Não é exemplo de fenômeno.
e) n. d. a.
quebra de um objeto.
148
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Exercı́cios Complementares
4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes fenômenos: I. sublimação
da naftalina, II. formação da ferrugem, III.queima do álcool
comum, IV.fusão do gelo. São quı́micos:
a) todos
b) nenhum
c) somente II e III
d) somente I e III
e) somente II e IV
5. (MACKENZIE-SP) I. Fusão do gelo, II. Sublimação do
iodo, III. Digestão dos alimentos, IV. Queima de madeira.
São exemplos de fenômenos:
a) I e II quı́micos
b) I e IV fı́sicos
c) II e III fı́sicos
d) II e IV quı́micos
e) III e IV quı́micos
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Estados da Matéria
Existem vários tipos de matéria e cada um é chamado de
substâncias que podem se apresentar num dos três estados
fı́sicos:
Sólido (S)
A substância apresenta forma e volume constantes
(partı́culas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vibratório discreto);
Lı́quido (L)
A substância apresenta forma variável e volume constante
(partı́culas levemente unidas, havendo certa liberdade de
movimento);
Gasoso (G)
6. (UDESC) Aquecendo uma fita de magnésio até a com- A substância apresenta forma e volume variados (partı́culas
bustão, notamos o desprendimento de fumaça, restando um livres umas das outras, havendo total liberdade de movipó branco. Isso é exemplo de fenômeno:
mento);
a) Fı́sico, pois alterou a estrutura do magnésio.
b) Quı́mico, pois houve a formação de novas substâncias.
c) Fı́sico, pois podemos juntar o pó branco e a fumaça, re- Mudanças de Estado
cuperando o magnésio.
• Fusão (S → L): a substância funde à temperatura
d) Não é exemplo de fenômeno.
fixa (ponto de fusão) a uma certa pressão. Ex.: o gelo
e) n. d. a.
funde à 0◦ C ao nı́vel do mar.
Quı́mica B Aula 2
Matéria e Energia
Matéria é tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no
espaço, ou seja, têm volume.
Corpo é qualquer porção limitada da matéria. Se uma
porção de matéria se presta a um certo uso, ela é chamada
de objeto ou sistema.
Durante a queima de uma vela (matéria), ela se desgasta,
produzindo fumaça (matéria: fuligem e gases) e liberando
energia (luz: energia luminosa; calor: energia calorı́fica).
Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo
que pode modificar a estrutura da matéria, provocar ou anular movimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode até
causar sensações.
Princı́pio da conservação de matéria e energia: A matéria
e energia não podem ser criadas nem destruı́das; podem
somente ser transformadas.
Lei da Conservação da Massa
”A soma das massas dos reagentes é igual a soma
das massas dos produtos”.
Ou ainda,
”Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se
transforma”.
• Solidificação (L → S): a substância solidifica à uma
temperatura fixa igual ao ponto de fusão, já que o processo é inverso ao da fusão. Ex.: o congelamento da
água também ocorre à 0◦ C ao nı́vel do mar, quando a
temperatura está baixando;
• Vaporização (L → G): é a passagem de uma
substância do estado lı́quido para o estado de gás, que
ocorre quando suas moléculas atingem o seu chamado
ponto de ebulição. Pode ocorrer de três modos:
1. Evaporação: ocorre à temperatura ambiente é
lenta e espontânea (ex: a água de um lago evapora com o calor do sol);
2. Ebulição: ocorre quando fornecemos calor ao
lı́quido, é rápida e violenta (ex: uma chaleira
d’água fervendo);
3. Calefação: ocorre quando se borrifa um lı́quido
numa chapa aquecida acima do seu ponto de
ebulição (ex.: pingar uma gota d’água numa
chapa de ferro muito quente).
• Condensação G → L: a substância no estado gasoso é resultado de um lı́quido vaporizado que, ao sofrer um resfriamento, retorna ao estado lı́quido por
condensação. (ex: gotı́culas de água se formam na
tampa de uma chaleira). Outro processo similar é a
Liquefação: é a condensação de uma substância que
em condições ambientes, é um gás que ao comprimi-la
(aumentar a pressão) passa para o estado lı́quido (ex.:
o gás de cozinha é comprinido num botijão e se liquefaz
– gás liquefeito de petróleo (GLP)).
149
Quı́mica B – Aula 2
• Sublimação S → G: a substância passa da forma Sistemas e Misturas
sólida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina,
Para acilitar o estudo da Quı́mica definimos:
iodo, cânfora).
Partı́culas e Átomos
Toda a matéria conhecida é formada por três tipos de
partı́culas elementares fundamentais:
• Próton: partı́cula massiva que possui uma carga
elétrica elementar positiva (+e) e participa da
formação do núcleo dos átomos;
• Nêutron: partı́cula também massiva que não possui
carga elétrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do núcleo dos
átomos, reduzindo a repulsão coulombiana entre os
prótons;
• Elétron: partı́cula muito leve que possui uma carga
elementar negativa (−e) e circula o núcleo atômico,
formando uma espécie de nuvem (orbital). No seu movimento ao redor do núcleo, apresenta um “comportamento duplo” de partı́cula e onda; daı́ dizer-se que a
natureza do elétron é a de uma partı́cula-onda.
O princı́pio da incerteza, de Heisenberg, diz que:
“É impossı́vel se determinar simultaneamente a posição e a velocidade de um
elétron.”
Com base nesse princı́pio, criou-se modernamente a
idéia de orbital, como sendo a região onde há grande
possibilidade (probabilidade) do elétron ser encontrado. Na prática, podemos pensar no elétron como
uma “nuvem” que circunda o núcleo.
• Sistema: é uma parte do universo fı́sico que contém ou
não matéria, cujas propriedades estão sob investigações
cientı́ficas.
• Mistura Homogênea: mistura de substâncias que
apresenta único aspecto e as mesmas caracterı́sticas em
toda a sua extensão. A mistura homogênea pode ser
uma solução monofásica, por exemplo água + açúcar,
ou uma liga metálica, como exemplos temos o latão
(cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) +
estanho (Sn)).
• Mistura Heterogênea: mistura que apresenta vários
aspectos fı́sicos, sendo possı́vel de distinguir seus componentes (polifásica). Exemplo: água + óleo + areia.
Pense um Pouco!
• O iodo (I) é um sólido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em
iodo sólido ao encontrarem uma superfı́cie fria. Explique e dê o nome dos fenômenos observados.
• Durante a ebulição da água destilada (água pura) a
temperatura não se modifica, ao passo que, durante
a ebulição da água do mar, a temperatura continua
aumentando. Pense um pouco e explique esse fato.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UFSC) Matéria é tudo que tem massa e ocupa lugar no
espaço. São exemplos de matéria (marque V ou F):
Todos as substâncias encontradas na natureza são cons- a) ( ) pedra
tituı́das por combinações de átomos, que por sua vez, são b) ( ) madeira
c) ( ) corpo humano
as estruturas fı́sico-quı́micas estáveis elementares.
d) ( ) ar
• Elemento quı́mico: é o conjunto de todos os átomos e) ( ) água
f) ( ) carro
quimicamente iguais.
Elementos e Substâncias
• Substância Simples: são substâncias formadas por
átomos de um amesmo mesmo elemento quı́mico, e
que por ação de agentes fı́sicos não se decompõe, e
portanto, não forma outras substâncias. Exemplos:
H, O, O3 . Chama-se de alotropia o fenômeno pelo
qual um único elemento quı́mico forma duas ou mais
substâncias simples diferentes. Exemplo: o carbono
pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o grafite e o diamante.
2. (PUC-SP) O conceito de elemento quı́mico está relacionado com a idéia de:
a) átomo
b) molécula
c) ı́on
d) substância pura
e) mistura
3. (UDESC) Assinale a opção que apresenta apenas
substância simples:
• Substâncias Compostas: são formadas por átomos a) H2 , Cl2 , N2 , CH4
de dois ou mais elementos quı́micos diferentes, e que b) M gCl2 , H2 O, H2 O2 , CCl4
por ação de agentes fı́sicos, se decompõem formando c) N a2 O, N aCl, H2 , O2
duas ou mais substâncias novas. Exemplos: água + d) CCl4 , H2 O, Cl2 , HCl
eletricidade → gás oxigênio + gás hidrogênio.
e) H2 , Cl2 , O2 , N2
150
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios Complementares
—
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Para um átomo de elemento X qualquer representamos, usamos a seguinte notação:
A
4. (UFMG) Considerando-se completa ausência de poluição
ZX
entre os materiais citados a seguir, a substância pura é:
para representar o seu número atômico e sua massa atômica.
a) ar
Exemplo:
para um átomo de ferro temos 26 F e56 .
b) água
c) madeira
d) cinza
e) terra
5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um lı́quido para o
estado de vapor, com agitação em toda sua massa lı́quida,
denomina-se:
a) ebulição
b) evaporação
c) sublimação
d) calefação
e) irradiação
6. (UDESC) A liberação ou consumo de energia:
a) Só ocorre em transformações fı́sicas.
b) Só ocorre em transformações quı́micas.
c) Em geral, é menor nos fenômenos fı́sicos do que nos
quı́micos.
d) Em geral, é maior nos fenômenos fı́sicos do que nos
quı́micos.
e) Nunca ocorre nas transformações materiais.
Figura 1: Alumı́nio metálico comum.
Isótopos e Isóbaros
Quı́mica B Aula 3
Metais, Semi-metais e Ametais
Para distinguir diferentes tipos de átomos usamos:
• Número Atômico ou Z: é o número correspondente
a carga nuclear, ou seja, o número de prótons (P ) existente no núcleo. Então: Z = P ;
• Número de Massa ou A: é o total de prótons P e de
nêutrons N existente no núcleo. Assim: A = P + N .
O número de massa A define em si a massa do átomo,
já que os elétrons possuem uma massa desprezı́vel.
Exemplos
1. Hidrogênio (H): Z = 1, A = 1, N = 0;
2. Hélio (He): Z = 2, A = 4, N = 2;
3. Urânio (U ): Z = 92, A = 238, N = 146.
Considerando um elemento no estado natural, com átomos
eletricamente neutros, temos:
N o de prótons = Z
o
N de elétrons = Z
N o de neutros = A − Z
• Isótopos: são átomos com mesmo número de prótons
(Z) e diferente do número de massa (A); apresentam
propriedades quı́micas iguais e fı́sicas diferentes.
Exemplo
O hidrogênio (H) possui três isótopos conhecidos:
1. o hidrogênio comum (prótio): 1 H 1 , com N = 0
e Z = 1;
2. o deutério: 1 H 2 , com N = 1 e Z = 1;
3. o trı́tio: 1 H 1 , com N = 2 e Z = 1;
• Isóbaros: são átomos de diferentes números de
¯
prótons (elementos diferentes), mas que possuem o
mesmo número de massa (A); apresentam propriedades quı́micas e fı́sicas diferentes;
Exemplo
Alguns isótopos do Cálcio e do Argônio possuem o
mesmo número de massa A = 40: 20 Ca40 e 19 Ar40
• Isótonos: são átomos que possuem o mesmo número
de nêutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z
diferentes; apresentam propriedades quı́micas e fı́sicas
diferentes;
Exemplo
Boro e Carbono: 5 B 11 (N = 6) e 6 C 12 (N = 6)
Classificação dos Elementos
Döbereiner, em 1817, demonstrou a existência de Trı́ades de
elementos com propriedades quı́micas semelhantes, onde o
peso atômico de um elemento era aproximadamente a média
aritmética dos pesos atômicos dos outros dois. Ex: cloro,
bromo e iodo.
151
Quı́mica B – Aula 3
Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente
de pesos atômicos, em grupos de sete, análogo às oitavas
musicais, logo, esta idéia foi abandonada.
• Ânion: ı́on negativo ou átomo que ganhou um ou mais
elétrons;
A valência de um átomo ionizado (ı́on) é definida pelo
Dmitri Mendeleyev, em 1869, propôs uma tabela muito senúmero de elétrons removidos ou adicionados ao átomo
melhante à atual, mas que apresentava os elementos dispos(ı́on).
tos em ordem crescente de pesos atômicos, essa classificação
definiu seis elementos desconhecidos.
• mono-valente: ı́on com excesso (ou falta) de um
Moseley, em 1913, verificou que os elementos quı́micos na
elétron;
Tabela Periódica deveriam obedecer a uma ordem crescente
• bivalente: ı́on com excesso (ou falta) de dois elétrons;
de número atômico, e chegou-se até a tabela atual;
• trivalente: ı́on com excesso (ou falta) de três elétrons;
Na tabela atual além de os elementos serem colocados em
ordem crescente de número atômico, observa-se a seguinte
• tetravalente: ı́on com excesso (ou falta) de quatro
disposição (veja Apêndice):
elétrons;
• Perı́odos ou Séries: são as filas horizontais em
• ...
número de 7 e indicam os nı́veis ( K, L, M, N, O, P, Q );
elementos do mesmo perı́odo apresentam propriedades
Exemplos
quı́micas diferentes.
• Famı́lias: são as colunas verticais da tabela, elementos
da mesma famı́lia apresentam propriedades quı́micas
semelhantes.
Algumas famı́lias importantes:
– Metal: possui de 1 a três elétrons na camada externa;
• Ca+ é um cátion mono-valente de cálcio.
• F e−2 é um ânion bivalente do ferro.
• K +3 é um cátion trivalente do potássio.
Propriedades Periódicas
– Não-metal: possui de 5 a 7 elétrons na camada
São as propriedades que dependem da posição do átomo
externa;
na tabela periódica, e que variam suavemente entre átomos
– Elementos Representativos: apresentam sub- vizinhos.
nı́veis mais energéticos s e p, famı́lia A e gases
nobres com 1 A, 2 A, 13 A a 18A;
– Elementos de Transição: apresentam sub-nı́vel
mais energético d nas famı́lias 3B até 12B;
– Elementos de Transição Interna: apresentam
sub-nı́vel mais energético f . Os lantanı́dios e actinı́dios;
Exemplos
Pense um Pouco!
• O que ocorre quando um elétron de um átomo é capturado por outro átomo diferente?
• Seria possı́vel produzirmos água (H2 O) com deutério
ou trı́tio? Ela teria um gosto diferente? O que seria
diferente nessa nova água?
• O número atômico de um átomo de nitrogênio é 7 e seu
número de massa é 14. Qual é o número de prótons,
de elétrons e nêutrons desse átomo neutro?
Exercı́cios de Aplicação
1. (UDESC) Um determinado átomo apresenta 16 prótons,
16 elétrons e 16 nêutrons; outro átomo apresenta 16 prótons,
16 elétrons e 17 nêutrons.”Sobre eles, são feitas as seguintes
afirmativas:
I - Os átomos são isótonos.
Figura 2: O lı́tio, metal da famı́lia 1A.
II - Os átomos são isóbaros.
III - Os átomos são isótopos.
IV. - Os átomos têm o mesmo número atômico.
Íons e Valência
V - Os átomos pertencem elementos quı́micos diferentes.
Quando um átomo está com falta ou excesso de elétrons, Em relação às afirmações acima, podemos dizer que são corretas apenas:
sua carga lı́quida não é mais zero, e o chamamos de ı́on:
a) I e V
• Cátion: ı́on positivo ou átomo que perdeu um ou mais b) II e III
elétrons;
c) III e IV
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
d) I e IV
e) II e V
CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS
7
8
9
Ra
(226)
89 - 103
SÉRIE DOS
ACTINÍDIOS
104
Ku
105
Ha
(260)
(261)
W
Re
183,8
186,2
106
107
Os
Ir
190,2
192,2
108
109
Pt
Au
197,0
195,1
Hg
TI
118,7
82
Pb
207.2
Te
127,6
83
84
Po
NEÔNIO
ARGÔNIO
126.9
(209)
209,0
I
CRIPTÔNIO
BROMO
52
121,7
Bi
35
Br
79,90
53
78,96
85
At
18
Ar
39,95
XENÔNIO
Sb
CLORO
ENXOFRE
FÓSFORO
ARSÊNIO
GERMÂNIO
204,4
200,6
Sn
Se
Cl
35,45
34
SELÊNIO
SILÍCIO
ALUMÍNIO
TÁLIO
81
OURO
114.8
80
PLATINA
112,4
79
S
Ne
20,18
36
Kr
83,80
54
Xe
131,3
RADÔNIO
In
107,9
78
17
IODO
Cd
106,4
77
As
74,92
51
F
19,00
16
ASTATO
Ag
102,9
76
O
He
4,003
10
16,00
32,06
33
72,59
50
P
30,97
TELÚRIO
Pd
101,1
75
32
Ge
ANTIMÔNIO
Rh
(98)
74
N
14,01
15
POLÔNIO
Ru
95,94
Si
BISMUTO
Tc
ÍNDIO
49
CÁDMIO
69,72
48
PRATA
65,38
47
PALÁDIO
63,55
46
RÓDIO
58,69
45
ESTANHO
31
Ga
58,93
44
C
12,01
14
28,08
CHUMBO
ZINCO
Zn
GÁLIO
COBRE
NÍQUEL
FERRO
COBALTO
30
29
Cu
55,85
RUTÊNIO
CRÔMIO
MANGANÊS
TECNÉCIO
28
Ni
Al
26,98
43
ÓSMIO
Ta
180,9
27
Co
2B
13
54,94
IRÍDIO
Hf
178,5
Fe
1B
MERCÚRIO
SÉRIE DOS
LANTANÍDIOS
26
25
Mn
UNILÊNIO
87
88
8B
UNILÓCTIO
Ba
Mo
RÊNIO
73
42
7B
UNILSÉPTIO
VANÁDIO
92,91
72
MOLIBDÊNIO
Nb
91,22
24
Cr
52,00
TUNGSTÊNIO
Zr
88,91
57 - 71
6B
UNILHÉXIO
TITÂNIO
Y
NIÓBIO
41
56
137,3
(223)
50,94
40
87,62
132,9
Fr
23
V
47,88
39
HÁFNIO
CÉSIO
Cs
Sr
22
Ti
44,96
TANTÁLIO
85,47
21
Sc
5B
HÂHNIO
POTÁSSIO
CÁLCIO
38
4B
KURCHATÓVIO
VII
Ca
40,08
37
Rb
3B
ZIRCÔNIO
20
19
K
39,10
55
VI
Mg
24,30
23,00
B
10,81
ESCÂNDIO
SÓDIO
Na
Be
9,012
12
ÍTRIO
LÍTIO
Li
HÉLIO
6
FLÚOR
5
OXIGÊNIO
4
NITROGÊNIO
3
BORO
7A
CARBONO
6A
MAGNÉSIO
HIDROGÊNIO
5A
BERÍLIO
4A
6,941
11
RUBÍDIO
V
3A
ESTRÔNCIO
IV
2A
BÁRIO
III
2
1,008
RÁDIO
II
0
Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono
1
(210)
86
Rn
(222)
Unh Uns Uno Une
CONVENÇÕES:
69
Tm
70
168,9
71
Yb
LUTÉCIO
Er
167,3
164,9
ITÉRBIO
68
67
Ho
TÚLIO
66
Dy
162,5
ÉRBIO
Tb
158,9
157,3
HÓLMIO
65
64
Gd
DISPRÓSIO
63
Eu
152,0
TÉRBIO
Np
62
Sm
150,4
(145)
EURÓPIO
61
Pm
GADOLÍNIO
144,2
SAMÁRIO
Nd
Lu
173,0
175,0
102
103
( ) = estado líquido
(g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso
N = normal
(243)
96
Cm
(247)
M = molar
97
Bk
(247)
98
Cf
(251)
∆ H = variação de entalpia
99
Es
100
Fm
101
Md
NOBÉLIO
95
Am
No
(252)
(257)
L = litro
R = 0,082 atm . L / K mol
(258)
(259)
LAURÊNCIO
(244)
FÉRMIO
94
Pu
MENDELÉVIO
93
(237)
EINSTÊINIO
U
238,0
CALIFÓRNIO
(231)
CÚRIO
92
91
Pa
BERQUÉLIO
232,0
AMERÍCIO
Th
(227)
PLUTÔNIO
90
TÓRIO
Ac
URÂNIO
89
VII
Massa Atômica
( ) - elemento
radioativo
PROTACTÍNIO
Série dos Actinídios
Símbolo
(s) = estado sólido
60
59
Pr
140,9
PROMÉCIO
140,1
NETÚNIO
58
Ce
138,9
NEODÍMIO
La
CÉRIO
LANTÂNIO
57
VI
PRASEODÍMIO
Série dos Lantanídios
Número Atômico
ACTÍNIO
3. (Acafe-SC) Os pares de átomos C 12 e C 13 ; K 40 e Ar40 ;
Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorrência de:
a) Isotonia, isotopia, isobaria.
b) Isotopia, isobaria, isotonia.
c) Isobaria, isotopia, isotonia.
d) Isotopia, isotonia, isobaria.
e) isobaria, isotonia, isotopia.
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H
NOME DO ELEMENTO
2. (UFSC) Um determinado átomo apresenta 20 prótons,
20 nêutrons e 20 elétrons; outro, apresenta 20 prótons, 21
nêutrons e 20 elétrons. Marque V ou F:
a) ( ) Pertencem a elementos quı́micos diferentes.
b) ( ) São isóbaros
c) ( ) São isótopos
d) ( ) Têm o mesmo número atômico
e) ( ) O número de massa de ambos é de 41
—
1A
I
FRÂNCIO
152
Lr
(260)
NA: 6,02 x 1023
Figura 1: A tabela periódica.
Tamanho do Átomo
Exercı́cios Complementares
Os fatores determinantes do tamanho de um átomo são o
números de camadas eletrônicas (Z) e carga nuclear (P ).
4. (UNIFOR) O átomo desconhecido 17 X 37 tem igual Nas famı́lias: à medida que o Z aumenta, o número de
número de nêutrons que o átomo de cálcio 20 Ca. O número camadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do
de massa A do átomo de Ca é igual a:
átomo (de cima para baixo);
a) 10
Nos perı́odos: à medida que o Z aumenta, o número
b) 17
de camadas permanece igual, mas a carga nuclear auc) 20
menta, Z aumenta, a atração do núcleo sobre os elétrons
d) 37
periféricos também aumenta, resultando átomos menores.
e) 40
Num perı́odo, o tamanho do átomo aumenta da direita para
a esquerda.
5. (CESGRANRIO) Um certo átomo X é isóbaro do Ca40
e isótopo do 18 Ar36 . O número de nêutrons do átomo X é:
a) 4
b) 18
Potencial de Ionização
c) 22
d) 36
É a medida de energia fornecida a um átomo isolado no
e) 40
estado gasoso para retirar ou desprender um elétron, formando um ı́on gasoso positivo(cátion). Quanto maior o ta6. (FEI-SP) Um cátion metálico trivalente tem 76 elétrons
manho do átomo, menor energia de ionização (Ei ), numa
e 118 nêutrons. O átomo de elemento quı́mico do qual se
famı́lia a (Ei ) aumenta debaixo para cima. Nos perı́odos
originou tem número atômico e número de massa, respecti(Ei ) aumenta da esquerda para direita.
vamente:
a) 76 e 194
b) 76 e 197
Potencial de Ionizacao
c) 79 e 200
d) 79 e 194
e) 79 e 197
Quı́mica B Aula 4
Propriedades Periódicas
A Tabela Periódica foi elaborada com base nas propriedades quı́micas e fı́sicas dos elementos, analisando-a, podemos
Figura 2:
obter informações sobre eles, chegando-se assim a propriátomos.
edades importantes dos perı́odos e famı́lias (ou grupos)
quı́micos:
Aumento da energia de ionização dos
153
Quı́mica B – Aula 4
Exemplo
Reatividade
Considere uma amostra de sódio gasoso (P = 11, Z = 11):
N a(g) + Ei = +119 kcal/mol → N a+ (g) + e− (g)
Neste caso, a energia de ionização (Ei ) do sódio é de
119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve
ser absorvida.
Eletroafinidade
É a medida de energia liberada por um átomo isolado no
estado gasoso ao receber um elétron, formando o ı́on gasoso
negativo(ânion).
Exemplo
Figura 4: Aumento da Reatividade quı́mica.
Densidade (ρ)
Ionização do cloro (Cl):
Cl(g) + e− → Cl− (g) + 83, 3Kcal/mol
A densidade ou massa especı́fica de um corpo é a razão entre
sua massa m e seu volume V , ou seja,
m
ρ=
V
e neste caso a energia é liberada na reação.
Nas famı́lias a eletroafinidade aumenta debaixo para cima;
e será medida em kg/m3 no SI, ou também em g/cm3 .
e nos perı́odos aumenta da esquerda para direita.
Exemplo: a densidade do alumı́nio (Al) é ρAl =
2, 700 g/cm3 = 2.700 kg/m3 .
Eletronegatividade
Propriedade que o átomo apresenta maior ou menor
tendência de atrair elétrons para si, resultando da ação conjunta da (Ei ) e da eletroafinidade, ou seja, compara a força
de atração exercida pelo átomo sobre seus elétrons.
Densidade
Eletronegatividade
Figura 5: Aumento da densidade dos átomos.
Nas famı́lias aumenta de cima para baixo, e nos perı́odos
aumenta das laterais para o centro.
Figura 3: Aumento da eletroafinidade dos átomos.
Volume Atômico v
Nas famı́lias aumenta debaixo para cima e nos perı́odos au- Mede o volume molar especı́fico do material sólido, e está
menta da esquerda para direita.
relacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribuição dos átomos no espaço):
Reatividade Quı́mica
massa molar
M
v=
=
Está relacionada com o caráter metálico ou não-metálico de
densidade
ρ
um elemento, quanto maior a capacidade de perder elétrons .
mais metálico é o elemento.
Nas famı́lias o volume atômico aumenta de cima para baixo,
Quanto maior o tamanho do átomo menor o potencial de e nos perı́odos aumenta do centro para as laterais.
ionização (Ei ) e menor a eletronegatividade = maior caráter
metálico = maior reatividade quı́mica do metal.
Ponto de Fusão (P )
F
Quanto menor o tamanho do átomo maior a eletroafinidade,
maior a eletronegatividade e maior caráter não-metálico = É a temperatura em que um sólido passa do estado sólido
maior a reatividade quı́mica do não-metal.
para o estado lı́quido.
154
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Volatilidade
Figura 6: Aumento do volume atômico dos átomos.
Ponto de Fusao
Figura 7: Aumento do Ponto de Fusão (PF ).
Nas famı́lias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em
1(1A) e 2(2A), que é o contrário; nos perı́odos, aumenta das
laterais para o centro.
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sódio (N a) porque ele possui um elétron a mais.
Assinale a alternativa que julga corretamente os ı́tens acima,
na sequência de I a V.
a) F, V, V, F, F
b) F, V, F, F, V
c) F, F, F, V, F
d) V, F, F, V, F
e) V, V, F, F, V
2. (UFSC) Sobre os elementos N a, M g e Al, podem ser
feitas as afirmações:
I - N a+ , M g ++ e Al+++ possuem o mesmo número de
elétrons.
II - A ordem decrescente de eletronegatividade destes elementos é N a, M g e Al.
III - M g ++ e Al+++ possuem o mesmo número de prótons.
IV - A ordem crescente de reatividade com o H2 O é: Al,
M g e N a.
A opção que contém apenas afirmações corretas é:
a) I e IV
b) I e III
c) II e IV
d) III e IV
e) II e III
3. Na reação F (g) + e− (g) → F − (g) + 402 kcal/mol, a
medida de energia 402 quilo-calorias por mol representa:
a) a eletronegatividade do flúor
b) a eletropositividade do flúor
c) o potencial de ionização do flúor
d) a eletroafinidade do flúor
e) a polaridade do flúor
Exercı́cios Complementares
4. Para que o ı́on 7 N −3 se transforme no átomo neutro de
nitrogênio, ele deve:
Pense um Pouco!
a) receber 3 prótons
• Dentre as propriedades periódicas estudadas, quais são b) perder 3 elétrons
c) receber 3 elétrons
fı́sicas e quais são quı́micas?
d) perder 7 prótons
• Qual o elemento mais denso que você já viu? Consulte e) receber 7 elétrons
a tabela periódica do Apêndice e verifique se existe
5. Para que um átomo neutro de cálcio se transforme no
algum elemento ainda mais denso.
ı́on Ca+2 , ele deve:
• Cite exemplos de semi-metais e não-metais conhecidos. a) perder 2 prótons
b) receber 2 elétrons
c) perder 2 elétrons
Exercı́cios de Aplicação
d) receber 2 prótons
e) perder 1 próton
1. (UDESC) Observe os elementos representados na Tabela
Periódica e julgue os ı́tens (V = verdadeiro e F = falso), na
ordem:
I - A eletronegatividade dos elementos boro(B) , carbono
(C), nitrogênio (N ), oxigênio (O) e flúor (F ) diminui da Ligações Quı́micas
direita para a esquerda.
II - O elemento de menor eletropositividade é o césio (Cs).
Compostos Iônicos e Moleculares
III - Dentre os elementos conhecidos, o boro (B) é o único
semi-metal.
A união de átomos formam diversas substâncias, essa união
IV - A energia de ionização do criptônio (Kr) é maior que (ligação quı́mica) pode ocorrer de três formas:
a do potássio (K).
1. ligação iônica;
V - O raio atômico do magnésio (M g) é maior que o de
Quı́mica B Aula 5
155
Quı́mica B – Aula 5
2. ligação covalente simples e dativa;
3. ligação metálica.
Os gases nobres são elementos estáveis, pois apresentam oito
elétrons na sua camada de valência, exceção do gás hélio.
Ligação Covalente Dativa
Só ocorre se o átomo que vai contribuir com o par de
elétrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver
pares eletrônicos disponı́veis:
Exemplos
Estabilidade Eletrônica
Oito elétrons na camada de valência.
Ligação Iônica
HN O3
H2 SO4
H3 P O4
Ligação Covalente Apolar
Ocorre entre ametais de mesmo elemento quı́mico (solúveis
Ocorre entre metal que tem tendência de perder elétron, em água) (mesma eletronegatividade). Por exemplo: H−H.
com não-metal, que tem tendência de receber elétron, for- Ligação Covalente Polar
mando ı́ons de cargas contrárias, que se atraem mutua- Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insolúveis em
mente.
água) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: molécula
Exemplos
HCl, pois o cloro é mais eletronegativo que o hidrogênio,
ou seja, apresenta maior capacidade de atrair elétrons; porFazer o esquema de Lewis:
tanto o par de elétrons da ligação é atraı́do por ele, criando+
−
N a Cl :
se nesse extremo uma maior densidade eletrônica. Assim,
surgem pólos distintos (representado pela letra δ), formando
+
−
K + Cl :
uma ligação covalente polar: δ+ HClδ− .
Íon Fórmula
Conhecendo as valências dos elementos cujos átomos vão se
ligar para formar um composto iônico, podemos calcular a
ı́on fórmula:
2 2 6 2
6 2
−
20 Ca = 1s 2s 2p 3s 3p 4s perde 2e
15 P
= 1s2 2s2 2p6 3s2 3p3 ganha 3e−
Escrevemos os sı́mbolos na ordem crescente de eletronegatividade, de modo que o ı́ndice corresponda à valência do
outro (regra de 3):
Ca → valência 2 + P → valência 3 = Ca3 P2
Ligação Covalente Simples
Ocorre entre não-metais, e entre não-metal e hidrogênio, e
seu princı́pio é o compartilhamento de elétrons.
O conjunto estável de átomos ligados entre si apenas por
ligações covalentes, ou seja por pares eletrônicos, recebe o
nome de molécula.
Exemplos
Cl + Cl → Cl2
H + Cl → HCl
H + O → HO
O + O → O2
Fórmula eletrônica:
Fórmula Estrutural Plana:
Fórmula Molecular:
Pense um Pouco!
• Analisando a variação da eletronegatividade na tabela
periódica, indique a ligação menos polar e a mais polar:
H–O:
H–H:
H–I:
H–P:
H–N:
H–F:
Exercı́cios de Aplicação
1.
(UFSC) Considerando-se a ligação quı́mica entre
oxigênio e o alumı́nio, sob a luz da teoria do octeto, para a
formação do óxido de alumı́nio, é correto afirmar (some os
números correspondentes às alternativas corretas):
01. Cada átomo de alumı́nio, perderá 3 elétrons;
02. O Oxigênio será o ânion, com carga negativa igual a
três para cada átomo;
04. O envolvidos dois átomos de alumı́nio na ligação;
08. Cada átomo de oxigênio receberá dois elétrons;
16. O número de cargas positivas, por fórmula, será seis.
32. A configuração eletrônica do Al+3 será 1s2 2s2 2p6 .
64. A fórmula mı́nima do óxido de alumı́nio conterá quatro
átomos no total.
2. (UniRio-RJ) Átomos de um elemento X (número atômico
20) e de outro elemento Y (número atômico 7) unem-se por
ligações iônicas, originando o composto de fórmula:
a) XY
b) X2 Y
c) X3 Y2
156
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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d) X2 Y3
e) X3 Y4
3. (Acafe-SC) A força de atração entre ı́ons positivos e
negativos caracteriza a ligação:
a) coordenada
b) covalente
c) metálica
d) dativa
e) iônica
Exercı́cios Complementares
Figura 1: O gás carbônico (CO2 ) apresenta geometria molecular linear, distribuição espacial dos pares
eletrônicos é linear e possui 2 átomos ao ligados ao
(Supra-SC) No cloreto de magnésio, a união entre átomo central.
4.
magnésio e cloro ocorre através de ligação:
a) molecular
b) covalente
c) metálica
d) iônica
e) dativa
5. (UFRGS) O conceito de ligação covalente se refere à
idéia de:
a) atração eletrostática
b) par iônico
c) atração inter-molecular
d) elétrons livres
e) emparelhamento de elétrons
Figura 2: O composto SO3 apresenta geometria molecular é trigonal plana, a distribuição espacial dos pa6. (Supra-SC) Entre os átomos dos compostos KBr, N H3 ,
e HCN , as ligações quı́micas predominantes são, respecti- res eletrônicos forma um triângulo equilátero e possui
3 átomos ligados ao átomo central.
vamente:
a) covalente, iônica, iônica
b) covalente, iônica, covalente
c) covalente, covalente, iônica
d) Iônica, iônica, covalente
e) Iônica, covalente, covalente
Quı́mica B Aula 6
Ligações Quı́micas
Geometria Molecular
Teoria da Repulsão dos pares eletrônicos, desenvolvida na
década 1960:
“Os pares de elétrons ao redor do átomo central
distribuem-se no espaço de tal forma que a repulsão
entre eles é a menor possı́vel, garantindo maior estabilidade”.
Os pares de elétrons podem ou não fazer parte de ligações.
Quando os elétrons são ligantes, os pares podem constituir
ligações simples, duplas, triplas ou dativas.
Exemplos
Forças Inter-moleculares
As substâncias moleculares podem ser encontradas nos três
estados fı́sicos, o que nos leva a concluir que, entre as
moléculas, existem forças de atração de diferentes intensidades. A essas forças damos o nome de forças intermoleculares, elas podem ser de dois tipos:
• forças de Van der Waals
• pontes de hidrogênio
Forças de Van der Waals
São forças de fraca intensidade que se classificam em dipolo–
dipolo e dipolo instantâneo–dipolo induzido.
A polaridade da ligação apresenta uma direção, um sentido
e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor
(~
p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no
sentido do pólo negativo para o positivo. Para moléculas
com mais de dois átomos, conhecendo-se a geometria moleAs posições relativas dos átomos ligantes são dadas cular, é possı́vel determinar se a molécula apresenta dipolo,
pela disposição de todos os pares de elétrons, mas ou seja, se na molécula há distribuição desigual de carga nea geometria da molécula é considerada apenas pela gativa e positiva. Essa determinação é feita levando-se em
conta os vetores momento de cada ligação. Conforme teposição relativa de seus núcleos.
157
Quı́mica B – Aula 6
Figura 3: A água (H2 O) apresenta geometria molecu- Figura 5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bilar angular, mas a distribuição dos pares de elétrons é pirâmide trigonal e possui 5 átomos ligantes.
tetraédrica e possui 2 átomos ligados ao átomo central.
com que surja um dipolo temporário. O dipolo instantâneo
induz a polarização da molécula vizinha, resultando uma
ação fraca entre elas. Esse tipo de interação também é chamado de força de London, em homenagem ao cientista
Fritz London (1900-1957), que elaborou todo o desenvolvimento teórico.
Pontes de Hidrogênio
As pontes de hidrogênio são casos particulares da interação
dipolo-dipolo, em que o dipolo molecular é fixo e de grande
intensidade. Esse fenômeno ocorre quando o hidrogênio está
ligado à um dos três elementos mais eletronegativos – flúor,
oxigênio e nitrogênio – pois a diferença de eletronegatividade entre o hidrogênio e esses elementos é muito grande.
Figura 4: O metano (CH4 ) apresenta geometria molecular tetraédrica e distribuição dos pares eletrônicos
também é tetraédrica e possui 4 átomos ligados ao
Exemplo
átomo central
A água H2 O é uma molécula muito polarizada (polar) e as
pontes de hidrogênio produzem força suficiente para manter
nham ou não dipolo elétrico, as moléculas são classificadas as moléculas unidas no estado lı́quido. Veja a Fig. 3.
em polares ou apolares, respectivamente.
Para Aprender Mais!
Exemplos
Tensão superficial é uma propriedade que faz com que uma
CO2 é apolar (~
p = ~0). Veja a simetria da molécula na Fig. superfı́cie lı́quida se comporte como uma pelı́cula elástica.
1.
Esta propriedade ocorre com todos os lı́quidos e é observada
H2 O é polar (~
p 6= ~0). Veja a assimetria da molécula na com maior intensidade na água. As moléculas no interior
do lı́quido mantém-se unidas pelas forças de atração, que
Fig. 3.
ocorrem em todas as direções. As moléculas da superfı́cie,
Forças de Van der Waals dipolo–dipolo
no entanto, sofrem apenas atração lateral e inferior, que
Este tipo de interação ocorre entre moléculas polares.
geram a tensão superficial, criando uma pelı́cula elástica.
Exemplo
Quanto mais intensas as forças de atração, maior será a
tensão superficial.
A molécula δ+ HClδ− .
A formação do dipolo ocorre devido à diferença de eletro- Você Sábia?
negatividade entre o hidrogênio e o cloro. A extremidade Os icebergs são massa de gelo flutuante que geralmente se
negativa de uma molécula atrai a extremidade positiva da desprende numa geleira polar e, portanto, são constituı́dos
molécula vizinha. Esse tipo de atração é o mesmo que ocorre por água doce. Eles flutuam por que a densidade da água
na ligação iônica, mas com intensidade bem menor.
sólida é menor do que a da água lı́quida. Na água lı́quida,
Forças de Van der Waals dipolo instantâneo–dipolo as moléculas estão unidas por pontes de hidrogênio e dispostas de forma menos organizada do que no estado sólido.
induzido
Neste estado, a organização é maior, formando estruturas
São forças de atração que aparecem nas substâncias formahexagonais tridimensionais, mais espaçadas, que diminuem
das por moléculas apolares, no estado sólido ou lı́quido. A
a densidade, permitindo assim que o gelo flutue sobre a
nuvem eletrônica nas moléculas apolares é uniforme, não
água. Esta propriedade explica também a quebra de garaparecendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformação por
rafa de bebidas esquecidas no congelador.
ação externa, ou flutuações estatı́sticas (colisões), ou com
o aumento da pressão e diminuição de temperatura, provo- Forças Inter-moleculares e Ponto de Ebulição
cando, então, uma distribuição desigual de cargas, o que faz
: O importante fator que influencia o ponto de ebulição
158
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
de uma substância é o tamanho da molécula, pois quanto
maior a molécula, mais fácil a ocorrência de distorção da
nuvem eletrônica; consequentemente, mais fácil a formação
de pólos, ou seja, a medida que o tamanho da molécula aumenta (aumento da massa molecular), o ponto de ebulição
também deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o gasoso ocorre uma separação das moléculas assim, quanto maior a atração entre as moléculas no liquido,
maior será o ponto de ebulição. Quanto maior a molécula
mais fácil é a formação de pólos.
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5. (ITA-SP) Os hidretos do tipo H2 X dos elementos da
famı́lia do oxigênio são todos gasosos em condições ambientais, com exceção do hidreto de oxigênio. Esta situação é
consequência:
a) da baixa massa molecular da água
b) das ligações covalentes
c) das pontes de hidrogênio entre as moléculas
d) do fato de o oxigênio ter o maior raio atômico dessa
famı́lia
e) do fato de que o gelo é menos denso que a água lı́quida
6. Dentre as seguintes substâncias, qual apresenta pontes
de hidrogênio entre as moléculas?
a) metano (CH4 )
• Quando se ferve a água, qual o tipo de ligação é rom- b) clorofórmio (CHCl3 )
c) benzeno (C6 H6 ).
pida na mudança de estado?
d) Éter-etı́lico (H2 C2 –O–C2 H5 )
• Temos duas substâncias, HX e HY. O que podemos e) Água (H O)
2
dizer com relação ao ponto de ebulição (PE) dessas
substâncias, sabendo que em HX ocorrem forças de
Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrogênio?
Pense um Pouco!
Quı́mica B Aula 7
Exercı́cios de Aplicação
Equações e Reações Quı́micas
1. Qual dessas ligações é mais fraca?
a) eletrovalente
b) covalente
c) ponte de hidrogênio
d) Van der Waals
e) iônica
Uma reação quı́mica é representada pela equação geral
3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo:
I. H3 C–CH2 –O–CH3
II. H3 C–CH2 –N H2
III. H3 C–CH2 –OH
Apresentam pontes de Hidrogênio entre suas moléculas:
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) I, II e III
lanceamento quı́mico o cálculo dos menores coeficientes
{ci } e {c′j } para que essa igualdade seja satisfeita.
c1 R1 + c2 R2 + . . . + cn Rn → c′1 P1 + c′2 P2 + . . . + c′m Pm
onde n reagentes R1 , R2 ,. . .,Rn foram usados para formar
os m produtos P1 , P2 ,. . .,Pm . Os coeficientes {ci } indicam o
número de moléculas de cada reagente utilizado na reação,
2. (Acafe-SC) Cada molécula de água é capaz de efetuar, e os coeficientes {c′j }, o número de moléculas de cada prono máximo:
duto resultante da reação. Em ambos os casos, se utilizam
a) 5 pontes de hidrogênio.
coeficientes inteiros.
b) 2 pontes de hidrogênio.
Como cada molécula, de reagente ou produto, pode conter
c) 4 pontes de hidrogênio.
vários átomos de diferentes elementos quı́micos, o número
d) 1 pontes de hidrogênio.
total de átomos de cada espécie quı́mica deve ser o mesmo
e) 3 pontes de hidrogênio.
em ambos os lados da equação acima, e chamamos de ba-
Exercı́cios Complementares
Exemplos
A sı́ntese (formação) da água é descrita pela equação
2H2 (g) (reagente) +O2 (g) (reagente) → 2H2 O(l) (produto)
onde a proporção da reação de sı́ntese da água é 2:1:2, o que
significa que, para cada duas moléculas de H2 O formadas,
reagiram duas moléculas H2 e uma molécula de O2 . Cada
reação tem a sua proporção, que, como vimos pela lei das
Proporções Constantes.
4. (UEFS - BA) Por ação de energia, o hidrogênio diatômico se dissocia de acordo com a equação: H–H(g) → Determinação dos Coeficientes
2H(g). Nesta dissociação, ocorre rompimento de ligação
quı́mica do tipo:
Na reação de combustão:
a) ponte de hidrogênio.
b) de Van der Waals.
C2 H6 O + O2 → CO2 + H2 O
c) metálica
d) iônica
observamos primeiro a quantidade de átomos de hidrogênio.
e) covalente
No primeiro membro, existem seis (C2 H6 O), e no segundo,
159
Quı́mica B – Aula 7
dois (H2 O). Para igualar o número de átomos, fazemos a
transposição dos ı́ndices, obtendo:
2C2 H6 O + O2 → CO2 + 6H2 O
Quanto à Velocidade
Reações Rápidas
As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por
Vamos agora acertar a quantidade de átomos de car- exemplo, a combustão (queima) do álcool etı́lico:
bono. No primeiro membro existem agora quatro carbonos
C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calorր
(2C2 H6 O); no segundo, um (CO2 ). Então, devemos multiplicar CO2 , no lado direito da equação, por 4.
Reações Lentas
2C2 H6 O + O2 → 4CO2 + 6H2 O
Ocorrem devagar, por exemplo, a formação da ferrugem
Finalmente, acertamos a quantidade de átomos de oxigênio. (oxidação do ferro):
No segundo membro, já acertado, existem quatorze átomos
4F e + 3O2 → 2F e2 O3 + calorր
de oxigênio (4CO2 e 6H2 O), e no primeiro, quatro (2C2 H6 O
e O2 ). Então o coeficiente da molécula O2 será 6, para se
obter 12 átomos que, com outros dois perfazem os quatorze: Quanto à Reversibilidade
2C2 H6 O + 6O2 → 4CO2 + 6H2 O
Reações Reversı́veis
Observe que em ambos os lados da reação (reagentes e pro- Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela
dutos) temos um total de 4 átomos de C, 12 átomos de H e dupla seta):
14 átomos de O. Como todos os coeficientes são múltiplos
CaO + CO2 ⇌ CaCO3
de 2, então podemos reduzı́-los, dividindo-os por 2:
Reações Irreversı́veis
C2 H6 O + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O
Reações que ocorrem num só sentido.
e obtemos os menores coeficientes para o balanço quı́mico Por exemplo:
da reação dada.
N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3
Dicas
Algumas consideração para o balanceamento de uma
equação quı́mica:
Quanto aos Reagentes e Produtos
1. Deve-se começar o acerto dos coeficientes pelo elemento
que aparece uma única vez nos dois membros;
Sı́ntese ou Adição
Reação entre duas ou mais substâncias (simples ou composta) que originam uma única substância composta:
2. Se os ı́ndices do elemento escolhido forem múltiplos, a
simplificação pode ser feita antes da transposição;
2CO + O2 → 2CO2
3. As fórmulas das substâncias não podem ser modificadas; por isso, nunca coloque números entre os sı́mbolos
de uma mesma fórmula.
neste caso a reação é do tipo
composta + simples → composta
.
Tipos de Reações
Análise ou Decomposição
Quanto ao Calor
Reação em que uma única substância composta se desdobra
em outras substâncias simples ou compostas:
Quanto ao envolvimento (absorção ou liberação) de calor:
2HCl → H2 + Cl2
Reações Endotérmicas
Veja que endo=para dentro e térmica = calor. É toda reação Dupla Troca
quı́mica em que ocorre com absorção de calor.
Reação em que as duas substâncias compostas produzem
Por exemplo, a decomposição do calcário:
duas outras substâncias compostas (o nome resulta no fato
de as substâncias permutarem entre si parte de suas estruր
CaCO3 @ >> ∆ > CaO + CO2
turas):
HCl + N aOH → N aCl + H2 O
onde ∆ indica que há a necessidade de aquecimento dos
reagentes para que ocorra a reação quı́mica.
ou
Reações Exotérmicas
N aCl + AgN O3 → AgCl + N aN O3
Observe que exo=para fora e térmica = calor.
Deslocamento ou Simples Troca
É toda reação quı́mica em que ocorre com liberação de
Reação em que uma substância simples reage com outra
calor.
composta, produzindo outra substância composta e outra
Por exemplo, temos a combustão do hidrogênio:
simples:
2H2 + O2 → 2H2 O + calorր
F e + CuSO4 → F eSO4 + Cu
160
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Para Saber Mais!
d) Ocorre a absorção de 236 kcal, uma vez que a reação é
endotérmica
O oxigênio e o hidrogênio liquefeitos são os combustı́veis e) Ocorre a liberação de 236 kcal, uma vez que a reação é
lı́quidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes exotérmica
pela expulsão dos gases de combustão, gerados pela reação
3. Dadas as equações das reações:
de sı́ntese:
I. H2 SO4 + H2 O → H3 O + HSO4− + calor
2H2 + O2 → 2H2 O
II. C2 H5 OH + 3O2 → 2CO2 + 3H2 O + calor
nos motores de combustı́vel lı́quido, também usados na
−
III. N H4 Cl(s) + H2 O(l) + calor → N H4+ (aq) + Cl(aq)
operação de mı́sseis, o combustı́vel e o comburente de3
vem ser armazenados isoladamente e a reação só ocorre na IV. C2 H2 + 2 2O2 → CO2 + H2 O + C + calor
câmara de combustão, o que torna esses motores bastante V. 2F e2 O3 + 3C + calor → 4F e + 3CO2
Consideram-se as reações endotérmicas:
complexos.
a) III e V
b) I , II e IV
Você Sabia?
c) II, III e V
d) I, III e IV
Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco e) II e III
gástrico existente (HCl ou ácido clorı́drico) que em excesso só causa azia. O uso de leite de magnésia, uma suspensão de hidróxido de magnésio, ou medicamentos à base Exercı́cios Complementares
de hidróxido de alumı́nio, diminuem a acidez, aliviando a
azia. As reações que ocorrem são:
4. A análise da reação
M g(OH)2 + 2HCl → M gCl2 + 2H2 O
H2 (g) + 21 O2 (g) → H2 O(l) + 68 kcal
permite concluir que:
Al(OH)3 + 3HCl → AlCl3 + 3H2 O
a) a reação é endotérmica
b) a reação tem ∆H positivo
Também pode-se usar o bicarbonato de sódio:
c) a entalpia dos reagentes é maior que a dos produtos
N aHCO3 + HCl → N aCl + H2 O + CO2
d) a entalpia dos reagentes é menos que a dos produtos
e) a entalpia dos reagentes é igual a dos produtos
Pense um Pouco!
5. (PUC-RS) A equação a seguir representa: HN O3 (aq) +
N aOH(aq) → N aN O3 (aq) + H2 O(l) com ∆H =
• Explique porque o bicarbonato de amônia misturado −13, 69 kcal/mol
em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa a) um processo endotérmico
do bolo crescer deixando o bolo fofo? Que tipo de b) a neutralização parcial de um ácido
c) um processo que há a liberação de calor
reação ocorre ? Faça a reação.
d) um processo não espontâneo
e) uma reação de análise
Exercı́cios de Aplicação
1. Considere as seguintes reações do metano:
I. CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2 O com ∆H = −212, 8 kcal/mol
II. CH4 + H2 O → CO + 3H2 com ∆H = −49, 3kcal/mol
III.CH4 + CO2 → 2CO + 2H2 com ∆H = −59kcal/mol
IV. CH4 + 12 O2 → CO + 2H2 com ∆H = −8, 5kcal/mol
Pode-se afirmar que a reação:
a) I é endotérmica
b) II libera mais calor do que a I
c) III é espontânea
d) III libera menos calor do que IV
e) IV absorve calor para ocorrer
2. (Unisinos-RS) Considerando a equação termoquı́mica
abaixo representada, S(s) + 32 O2 (g) → SO3 (g) com ∆H =
−94, 4kcal/mol. Podemos afirmar que, na formação de
200 g de trióxido de enxofre:
a) Ocorre a liberação de 94, 4 kcal, uma vez que a reação é
exotérmica
b) Ocorre a absorção de 94, 4 kcal, uma vez que a reação é
endotérmica
c) Ocorre a liberação de 169, 5 kcal, uma vez que a reação
é exotérmica
6. As reações endotérmicas caracterizam-se por:
I. serem espontâneas
II. ocorrerem com absorção de calor
III. apresentam sinal positivo para a variação da entalpia
a) somente a afirmativa I é correta
b) somente a afirmativa II é correta
c) somente a afirmativa III é correta
d) somente as afirmativas I e II são corretas
e) somente as afirmativas II e III são corretas
Quı́mica B Aula 8
Equações e Reações (II)
NOX
Número que designa a carga elétrica real ou aparente
(teórica) de um átomo em função da diferença de eletronegatividade entre ele e seus ligantes; o Nox está associado
á perda ou ao ganho de elétrons por um átomo numa ligação
quı́mica.
161
Quı́mica B – Aula 8
Exemplo
Nox Mı́nimo e Nox Máximo
N a+ Cl− : N a carga real = +1, Cl carga real= -1
H2 O: H carga teórica = +1, O carga teórica = -2
Verifica-se que átomos de um mesmo elemento podem apresentar vários números de oxidação, que dependem dos outros átomos da molécula. Veja o caso do cloro, em alguns
compostos:
Você Deve Saber!
HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4
-1
0
+1
+3
+5
+7
• Se a ligação ocorre entre átomos do mesmo elemento (
substâncias simples), não havendo, portanto, diferença o Nox mı́nimo representa o número de elétrons que o átomo
de eletronegatividade e sendo a molécula apolar, o Nox precisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Nox
máximo representa o número máximo de elétrons da última
é sempre zero:
camada que o átomo pode perder.
Exemplos
H2 , Cl2 , O2 : Nox = 0
• O Nox de um ı́on simples é igual a sua carga (é a
própria definição de Nox).
Exemplos
N a+ : Nox N a = +1
S −2 : Nox S = −2
Al+3 : Nox Al = +3
Reações De Oxi-Redução
Reação em que ocorrem variações dos números de oxidação
dos átomos de certos elementos.
Em uma solução de sulfato de cobre (CuSO4 ) em água, mergulhamos uma lâmina de zinco (Zn0 ). após algum tempo
verificamos que essa lâmina está recoberta por uma camada
de cobre metálico e a solução apresenta ı́ons Zn+2 .
• O Nox do hidrogênio em compostos é +1, com exceção Os átomos de zinco (Zn0 ) se transformam em ı́ons de zinco
dos compostos metálicos (hidretos metálicos), em que (Zn+2 ), ou seja, perdem 2 elétrons: ocorre uma oxidação,
o Nox do H é −1.
perda de elétrons, aumento no Nox:
Exemplos
Zn0 −→ Zn+2 + 2e−
H2 O: Nox H = +1
Os ı́ons cobre (Cu+2 ) se transformam em átomos neutros de
cobre (Cu0 ), ou sejam, ganham 2 elétrons: redução (ganho
• O Nox do oxigênio nos compostos é −2, com exceção de elétrons), diminui Nox:
dos compostos com flúor (O2 F2 e OF2 ) e peróxidos
Cu+2 + 2e− −→ Cu0
(O − O).
Assim o que ocorreu foi uma transferência de elétrons dos
Exemplos
átomos de zinco (Zn0 ) para o ı́on cobre (Cu+2 ):
H2 O: Nox O = −2
Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0
H2 O2 : Nox O = −1
N aH : Nox H = −1
O2 F2 : Nox O = +1
Oxidação e Redução são fenômenos paralelos, ou seja, não
pode ocorrer oxidação sem que ocorra uma redução. Desse
• A soma algébrica dos Nox de todos os átomos de uma modo podemos somar as equações dos dois processos e obter
molécula é sempre igual a zero (o número de elétrons a equação do processo global:
cedidos é igual ao de elétrons recebidos).
Zn0 −→ Zn+2 + 2e− semi-equação de oxi-redução
OF2 : Nox O = +2
Exemplos
H2 O: Nox H = +1, O = −2, molécula: +2 − 2 = 0
N a2 S: Nox N a = +1, S = −2, molécula: +2 − 2 = 0
Cu+2 + 2e− −→ Cu0
Zn0 + Cu+2 −→ Zn+2 + Cu0
H2 SO4 : Nox H = +1, S = +6, O = −2, molécula:
Redutor e Oxidante
+2 + 6 − 8 = 0
• A soma algébrica dos Nox dos elementos em um ı́on Esse processo global constitui uma reação de oxi-redução.
composto é igual sua carga (a carga do ı́on indica que A espécie doadora de elétrons, sofre oxidação, provoca a
redução (diminuição de Nox) da outra espécie, por isso é
houve perde ou ganho de elétrons).
chamado de agente redutor.
Exemplos
−2
A espécie receptora de elétrons, que se reduz, provoca a
CO3 : Nox: C = +4, O = −2, soma: +4 − 6 = −2
oxidação (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de
N H4+ : Nox: N = −3, H = +1, soma: −3 + 4 = +1
agente oxidante.
• Para se determinar o Nox de algum átomo numa Agente Oxidante
molécula, usam-se os Nox conhecidos.
Provoca oxidação de outra espécie quı́mica, sofre redução
Exemplo
(ganho de elétrons) e a variação do Nox diminui.
H4 P2 O7 Nox: H = +1, P = x, O = −2, soma: +4 + Agente Redutor
2x − 14 = 0 → 2x = 10 → x = 5
Provoca redução de outra espécie quı́mica, sofre oxidação
Então temos que Nox P = +5 nesta molécula.
(perda de elétrons) e a variação do Nox aumenta.
162
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Pense um Pouco!
Balanceamento
Determinação dos coeficientes em reações de oxi-redução.
• O que é NOX?
• Como sabemos se uma reação quı́mica é uma reação
de oxi-redução?
Procedimento
1. determinar o Nox dos elementos;
2. verificar os fenômenos de oxidação e redução;
Exercı́cios de Aplicação
3. determinar ∆ (variação do Nox) e multiplicar pelo
ı́ndice ou atomicidade maior, obtendo-se ∆t (variação 1. (UDESC) Dada a reação:
total do Nox);
S + 6HN O3 −→ 6N O2 + 2H2 O + H2 SO4
4. inverter ∆t , isto é, colocar o valor daquele que sofreu
oxidação na frete da substância cujo elemento sofreu
A variação do número de oxidação do enxofre é:
redução e vice-versa.
a) 0
5. Acertar os demais coeficientes por tentativa.
b) 1
c) 2
d) 3
Exemplo 1
e) 6
HI
+
H2 SO4
−→
+1 − 1
+1 + 6 − 2
2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza,
−→
H2 S
+
H2 O
+ I2
no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2 . Na
+1 − 2
+1 − 2
0
fórmula da atacamita , identifica-se o cobre com Nox, resDeterminação do ∆:
pectivamente:
a) +1 e +1
• oxidação: variação 1 e atomicidade 1 = 1 × 1 = ∆ = 1 b) +1 e +2
• redução: variação 8 e atomicidade 1 = 8 × 1 = ∆ = 8 c) +1 e +3
d) +2 e +1
Igualando o número de elétrons cedidos e recebidos, temos: e) +2 e +2
3. (UFSM) O nitrogênio apresenta estado de oxidação −2
em:
estabelecemos a proporção da reação , agora, completamos a) N O3
os outros coeficientes por tentativa:
b) N H3
c) N H4
8HI + 1H2 SO4 −→ 1H2 S + 4H2 O + 4I2
d) N2 O3
e) N H4 OH
Exemplo 2
K2Cr2O7 +
HCl
−→
+1 + 6 − 2
+1 − 1
Exercı́cios Complementares
8HI + 1H2 SO4 −→ H2 S + H2 O + I2
−→
KCl
+1 − 1
+
CrCl3
+3 − 1
+
H2 O
+1 − 2
+
Cl2
0
• oxidação: ∆ = 1 × 2 = 2
• redução: ∆ = 3 × 2 = 6
observe que no cálculo do ∆ de oxidação consideramos a
atomicidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os átomos
de cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox
não se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2 ,
pois este é formado pelos átomos de cloro que se oxidaram:
2K2 Cr2 O7 + HCl −→ KCl + CrCl + H2 O + 6Cl2
Por tentativa, acertamos os outros coeficientes:
2K2 Cr2 O7 + 28HCl −→ 4KCl + 4CrCl + H2 O + 6Cl2
simplificando por 2:
K2 Cr2 O7 + 14HCl −→ 2KCl + 2CrCl + H2 O + 3Cl2
4. (UDESC) Qual das seguintes proposições é falsa, quando
se analisa a reação de oxirredução abaixo?
F e2 O3 + CO −→ 2F eO + CO2
a) O Nox (número de oxidação) do C no CO2 é +4
b) Cada unidade de fórmula F e2 O3 ganha 1 e−
c) Cada unidade de fórmula CO2 perde 2 e−
d) O CO2 é agente redutor de F e2 O3
e) O F e sofre redução
5. (UDESC) A soma dos menores coeficientes inteiros da
reação de oxirredução P + HN O3 + H2 O → H3 P O4 + N O,
o agente oxidante e o agente redutor são, respectivamente:
a) 18, P , HN O3
b) 20, P , HN O3
c) 13, P , HN O3
d) 18, HN O3 , P
e) 10, HN O3 , P
163
Quı́mica B – Aula 9
6. (UDESC) Seja a reação abaixo
• Soluções sólido-lı́quido: sal em água;
2KM nO4 +aN aN O2 +bH2 SO4 → xKSO4 +yM nSO4 +aN aN O3•+bH
2O
Soluções
sólido-gás: naftaleno (naftalina) no ar;
Assinale o ı́tem com a soma correta dos coeficientes:
a) a + b = 4
b) x + y = 3
c) a + x = 7
d) b + y = 7
e) a + b + x + y = 7
Quı́mica B Aula 9
Soluções Quı́micas
• Soluções lı́quido-sólido:
groscópicos (CaCl2 );
água em sólidos hi-
• Soluções lı́quido-lı́quido: água em álcool;
• Soluções lı́quido-gás: umidade no ar;
• Soluções gás-sólido: hidrogênio retido em platina
em pó;
• Soluções gás-lı́quido: gás carbônico em bebidas;
• Soluções gás-gás: todas as misturas gasosas;
Dispersões são sistemas nos quais uma substância está disseminada, sob forma de pequenas partı́culas, numa segunda
Proporção Entre Soluto e Solvente
substância. A primeira substância chama-se disperso ou
fase dispersa e a segunda dispersante ou fase de dis¯
• soluções diluı́das: contém pouco soluto em relação
persão.
ao solvente (10 g de N aCl por litro de água);
Classificação das Dispersões
A classificação das dispersões é feita de acordo com o tamanho médio das partı́culas dispersas:
• soluções verdadeiras: partı́culas com diâmetro de 0
a 1 nm, isto é, de 0 a 10Å;
• soluções coloidais: partı́culas com diâmetro de 1 a
100 nm, isto é, de 10 a 1000 Å;
• suspensões: partı́culas com diâmetro acima de
100 nm, isto é, acima de 1000 Å.
Lembre que:
1 nm (nanometro) = 10−7 cm = 10−9 m
1 Å (angstrom) = 10−8 cm = 10−10 m
Soluções
Soluções são misturas homogêneas de duas ou mais
sustâncias. O disperso recebe o nome de soluto, e o
¯
dispersante, o nome de solvente.
¯
Classificação das Soluções
• soluções concentradas: caso contrário (300 g de sal
por litro de água).
Natureza do Soluto
• soluções moleculares: quando as partı́culas dispersas são moléculas. Por exemplo, moléculas de açúcar
(C12 H22 O11 ) em água;
• soluções iônicas: quando as partı́culas dispersas são
ı́ons. Íons do sal comum (N a+ e Cl− ) em água, por
exemplo;
Importante
• Há muitas soluções que apresentam simultaneamente
moléculas e ı́ons dispersos, por exemplo, numa solução
aquosa de ácido acético (ácido fraco) existem muitas
moléculas (CH3 COOH) e poucos ı́ons (CH3 COO− e
H + ) em solução.
• Semelhente dissolve Semelhante: substâncias
inorgânicas são polares, enquanto que as orgânicas são
apolares.
Classificam-se as soluções de acordo os seguintes critérios:
Estado de Agregação da Solução
O Fenômeno da Saturação da Solução
• soluções sólidas: certas ligas metálicas, também chaJuntando-se gradativamente N aCl à água, em temperatura
madas de amálgamas, por exemplo CuN i;
ambiente e sob agitação contı́nua, verifica-se que em dado
• soluções lı́quidas: possuem o solvente lı́quido, como momento o sal não se dissolve mais. Neste caso isto ocorre
a salmora (sal+água);
quando há aproximadamente 360 g de N aCl por litro de
• soluções gasosas: mistura de dois ou mais gases, por água. Daı́ em diante toda a quantidade adicional de sal
¯
que for colocada no sistema irá se depositar ou precipitar
exemplo, ar atmosférico.
no fundo do recipiente; dizemos então, que a solução está
saturada. O ponto de saturação (coeficiente ou grau de soluEstado de Agregação dos Componentes
bilidade ◦ S) depende do soluto, do solvente e das condições
• Soluções sólido-sólido: algumas ligas metálicas fı́sicas, como a temperatura. A pressão passa a ser impor(CuN i);
tante em soluções onde existem gases.
164
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Grau de Solubilidade (◦ S)
O grau de solubilidade é a quantidade de soluto (em gramas) necessária para saturar uma quantidade padrão (em
geral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadas
condições fı́sicas de temperatura e pressão.
Exemplo
•
◦
S = 357 g de N aCl por litro de água a 0◦ C;
•
◦
S = 1.220 g de AgN O3 por litro de água a 0◦ C;
•
◦
S = 2g de CaSO4 por litro de água a 0◦ C.
Colóides
Solução coloidal é uma dispersão onde as partı́culas dispersas têm um tamanho médio compreendido entre 1 a 100 nm
(lembre-se 1 nm = 10−7 cm = 10−9 m).
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• Irreversı́veis: não há intensa afinidade entre as fases,
daı́ serem chamados de liófobos. Ex: enxofre coloidal,
metais coloidais.
Colóides Protetores (Liófilos)
Os colóides liófobos apresentam disperso e dispersante com
pouca afinidade entre eles, o que acarreta certa instabilidade. É possı́vel aumentar a estabilidade desse tipo
de colóide adicionando pequena quantidade de um colóide
liófilo que tenha carga micelar de mesmo sinal.
A estabilidade aumenta porque as micelas do colóide liófobo
são envolvidas por uma pelı́cula de colóide liófilo, passando
a sofrer o fenômeno da solvatação.
¯
Exemplos
• A tinta nanquim é um colóide liófobo instável, protegido por um colóide aquoso de gelatina;
• Na fabricação de filmes fotográficos, o AgBr é estabilizado por gelatina na forma de gel;
Classificação dos Colóides
Classificam-se os Colóides segundo vários critérios:
• No leite, a manteiga que está dispersa na forma coloidal
é estabilizada pela caseı́na.
Natureza do Disperso
• Na maionese, a gema do ovo constitui um colóide protetor que estabiliza a emulsão de azeite e vinagre;
• colóides micelares: as partı́culas dispersas são agregados de átomos, de moléculas ou de ı́ons. por exemplo, enxofre em água;
• colóides moleculares: as partı́culas dispersas são
moléculas gigantes. Por exemplo, amido em água;
• A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos
sistemas coloidais que formam os sorvetes cremosos.
Para Aprender Mais!
• colóides iônicos: as partı́culas dispersas são ı́ons gi- As entidades dispersas (micelas) em uma disposição coloigantes. Por exemplo: proteı́na em água.
dal são constantemente bombardeadas pelas moléculas do
dispersante e assim ficam em movimento totalmente desordenado que podem ser visto num ultra-microscópio. Tal
Estado Fı́sico do Disperso e do Dispersante
movimento chama-se movimento Browniano, descrito por
Robert Brown, em 1827.
nome
disperso dispersante exemplo
sol
sólido
sol
sólido
gel
lı́quido
emulsão lı́quido
aerossol lı́quido
ar
sólido
espuma gasoso
espuma gasoso
Observação
sólido
lı́quido
sólido
lı́quido
gasoso
gasoso
sólido
lı́quido
rubi, safira
cola
geléias
leite, maionese
neblina, spray
fumaça
pedra-pomes
chantilly, sabão
Quando os colóides do tipo sol possuem como dispersante a
água, eles são chamados do hidrossóis.
Você Sabia?
A pérola é um exemplo de gel, ou seja, uma dispersão coloidal de água (disperso) em carbonato de cálcio (dispersante).
Ela é produzida por moluscos bivalves, isto é, moluscos com
uma concha de dois pedaços articulados. Existem espécies
marinhas e de água doce. A pérola é produzida quando algum elemento estranho penetra entre o corpo do molusco e
a camada da concha, um grão de areia, por exemplo. Para
defender-se, o molusco produz várias camadas de nácar ao
redor do corpo estranho, formando a pérola.
Reversibilidade
• reversı́veis: afinidade muito grande entre o disperso
e o dispersante (liófilos-amigos do lı́quido) uma vez o
gel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema
gel:
GEL
Peptização – adição de lı́quido
⇐⇒
Pectização – retirada de lı́quido
SOL
Pense um Pouco!
• O que diferencia uma solução diluı́da de uma concentrada?
• O nome que se dá ao sistema coloidal de um disperso
sólido num dispersante lı́quido, de modo que o sistema
não tome uma forma definida?
165
Quı́mica B – Aula 10
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual das trı́ades abaixo é constituı́da por três colóides?
a) leite, fumaça, neblina
b) leite, fumaça, óleo-diesel
c) fumaça, neblina, gasolina
d) gelatina , neblina, cloreto de sódio
e) borracha, cola, açúcar
a) Aerossol – nuvens
b) Aerossol – fumaça de cigarro
c) Espuma – espuma de sabão
d) Emulsão – maionese
e) Suspensão – água barrenta
7. (Ucsal-BA) Qual das misturas abaixo exemplifica uma
dispersão coloidal?
a) Soro fisiológico
2. (UFRS) A uma solução de cloreto de sódio foi adicionado b) Ácido muriático
um cristal desse sal e verificou-se que este não se dissolveu, c) Leite pasteurizado
provocando ainda, um aumento de volume do precipitado. d) Água sanitária
e) Álcool hidratado
Pode-se inferir que a solução original era:
a) estável
b) diluı́da
c) saturada
d) concentrada
e) super saturada
Quı́mica B Aula 10
Funções Quı́micas
3. (OBJETIVO-SP) Quais as soluções aquosas, contendo
uma única substância dissolvida, que podem apresentar Sais
corpo de fundo dessa substância?
a) saturadas e super saturadas
Sal é toda substância iônica que resulta da reação (reação
b) somente as saturadas
de neutralização) de um ácido com uma base.
c) insaturadas diluı́das
d) somente as supersaturadas
Exemplo
e) insaturadas concentradas
4. (UDESC) Em uma emulsão, a fase dispersa e a fase
dispersante são, respectivamente:
a) sólida e sólida
b) lı́quida e sólida
c) gasosa e gasosa
d) sólida e lı́quida
e) lı́quida e lı́quida
Exercı́cios Complementares
5. (ITA-SP) Em relação as misturas de substâncias preparadas e mantidas num laboratório de quı́mica são feitas as
seguintes afirmações:
HCl
ácido
+
NaOH
base
−→
N aCl
sal
+
H2O
água
Classificação dos Sais
Classificam-se os sais segundo os seguintes critérios:
Presença de Oxigênio
• sal oxigenado (oxissal): o oxigênio participa da estru¯
tura. Exemplos: KN O3 , N a2 SO4 ;
• sal não-oxigenado: o oxigênio não participa da estru¯
tura. Por exemplo: N aCl e N H4 Br.
I. O lı́quido resultante da adição do metanol e etanol é monofásico e, portanto, é uma solução.
Número de Elementos Constituintes
II. O lı́quido transparente que resulta da mistura de car• sal binário: sal constituı́do por dois elementos.
bonato de cálcio e água e que sobrenada o excesso de sal
Exemplos: KCl, N a2 S;
sedimentado é uma solução saturada.
III. O lı́quido turvo que resulta da mistura de hidróxido de
• sal ternário: sal constituı́do por três elementos.
sódio e uma solução aquosa de nitrato cúprico é uma susExemplos: N aN O3 , K2 CO3 ;
pensão de um sólido num lı́quido.
IV. A fumaça branca que resulta da queima do magnésio ao
• sal quaternário: sal constituı́do por quatro elemenar é uma solução de vapor de óxido de magnésio em ar.
tos. Exemplos: N H4 ClO3 , N aOCN .
V. O liquido violeta e transparente que resulta da mistura
de permanganato de potássio com água é uma solução.
Natureza dos Íons
Dessas afirmações, está(ão) incorreta(s) apenas:
a) I
• sal normal: não apresenta hidrogênio ionizável, nem
b) II
ı́ons OH − . É obtido por reações de neutralização toc) IV
tais, ou seja, em que a quantidade de ı́ons H + do ácido
d) II e V
é igual a quantidade de ı́ons OH − da base.
e) II, III e V
Exemplo
6. (UEPG-PR) Assinale a alternativa que não caracteriza
HCl + NaOH −→ N aCl + H2O
solução coloidal.
ácido
base
sal
água
166
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• hidrogenosal: sal que apresenta hidrogênio ionizável. Óxidos
Forma-se quando só alguns dos hidrogênios ionizáveis
são neutralizados pela base, ocorrendo uma reação de Óxidos são compostos formados por dois elementos (compostos binários), sendo que o mais eletronegativo desses eleneutralização parcial (no caso dos ácidos).
mentos deve ser o oxigênio:
Exemplo
δ+
CO2 δ− , δ+ N a2 Oδ− , δ+ H2 Oδ− , δ+ SO3 δ−
H2O
água assim, compostos binários formados por flúor e oxigênio não
são considerados óxidos, pois o flúor é mais eletronegativo
• hidroxissal: sal que apresenta ı́ons OH − . Forma-se por que o oxigênio:
¯
reação de neutralização parcial da base, na qual nem δ−
F — δ+ O — F δ− = OF2
todos os OH − são neutralizados pelo ácido.
H2 SO4
ácido
Exemplo
HCl +
ácido
+
NaOH
base
→
N aHSO4
hidrogenosal
+
δ−
CaOHOH
base
→
Ca(OH)Cl
hidroxissal
+
H2O
água
Presença de Água no Cristal
– sal hidratado: sal que apresenta moléculas de
água intercaladas em seu retı́culo cristalino; as
moléculas de água constituem a chamada água de
cristalização ou água de hidratação. Exemplos:
CaCl2 · 2H2 O, CuSO4 · 5H2 O, M gSO4 · 7H2 O;
F —
δ+
O—
δ+
O — F δ− = O2 F2
Nomenclatura dos Óxidos
Nomeamos os átomos de acordo com os grupos de divisão:
Óxidos Moleculares
O óxido liga-se a um não metal ou hidrogênio: escrevemos
a palavra óxido seguida da preposição “de”e do nome do
elemento associado ao oxigênio. Antes da palavra óxido e
do nome do elemento, colocamos os prefixos mono, di , tri,
tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de átomos de
– sal anidro: não apresenta água de cristalização. oxigênio e do elemento existentes na fórmula.
Exemplos: N aCl, M gSO4 , N aKCO3 , BaClBr.
Exemplos
CO2 : dióxido de carbono
Nomenclatura dos Sais
N2 O5 : pentóxido de dinitrogênio
Cl2 O7 : heptóxido de dicloro
Os sais podem ser representados pela fórmula geral CO: monóxido de carbono ou óxido de carbono
+
Bx+y A−x
y , sendo B um cátion diferente de H e A um ânion
Óxidos Iônicos
−
diferente de OH . O ı́ndice de cátion é dado pela carga do
ânion, o ı́ndice do ânion é dado pela carga do cátion, de tal O óxido liga-se a um metal:
forma que o conjunto é eletricamente neutro.
Exemplos
Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de sua N a2 O: óxido de sódio
fórmula, basta escrevermos o nome do ânion seguido da pre- CaO: óxido de cálcio
posição “de”e do nome cátion.
F eO: óxido de ferro II
Exemplo
Classificação dos Óxidos
Zn(N O2)2 – nitrito de zinco
onde:
Zn+2 é o cátion zinco
N O2−2 é o ânion nitrito.
Óxidos Básicos
Reagem com água, formando uma base, e reagem com
ácidos, formando sal e água. Para formar uma base, é neComo ocorre com as bases, se um elemento formar cátions cessário um cátion, portanto esses óxidos são todos iônicos.
com cargas diferentes, usamos algarismos romanos para Exemplos
diferencia-los ou, ainda, as terminações “oso”para o de me- K O + H O =⇒ 2KOH
2
2
nor carga e “ico”para o de maior carga.
K2 O + 2HCl =⇒ 2KCl + H2 O
Óxidos Ácidos
Exemplo
São os óxidos que reagem com água, formando ácido, e reagem com base, formando sal e água; estes óxidos são todos
Por exemplo, o nı́quel (N i) forma os cátions N i , que remoleculares.
+3
cebe o nome de cátion niqueloso ou nı́quel II; e N i , cátion
Exemplos
niquélico ou nı́quel III.
SO3 + H2 O =⇒ H2 SO4
Assim:
SO3 + 2N aOH =⇒ N a2 SO4 + H2 O
N i+2 (cátion niqueloso ou nı́quel II) com CO3−2 (ânion carbonato) forma o sal N iCO3 chamado de carbonato de nı́quel Podemos considerar os óxidos ácidos como ácidos que perderam água; por isso eles são também chamados de anidridos
II ou de carbonato niqueloso.
(sem água):
−2
+3
N i (cátion niquélico ou nı́quel III) com SO3 (ânion sulfito) forma o sal N i2 (SO3 ) chamado de sulfito de nı́quel III Exemplo
+2
ou sulfito niquélico.
H2 SO4 − H2 O = SO3
167
Quı́mica B – Aula 10
Hidretos
A água do mar é canalizada para reservatórios de pouca
profundidade e grande superfı́cie, denominados salinas. Os
São os compostos binários do hidrogênio de fórmula geral reservatórios são dispostos de tal forma que a água passa
Ex Hy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou Hy Ex sucessivamente por todos e, pela ação do sol e do vento,
se o H for o elemento menos eletronegativo.
é evaporada, deixando depositados os sais menos solúveis,
como o carbonato de cálcio, o sulfato de cálcio e o sulfato
de magnésio. O cloreto de sódio deposita-se junto com o
Nomenclatura
cloreto de magnésio, que absorve vapor de água do meio
ambiente e se solubiliza, restando cloreto de sódio com alto
Usa-se a palavra Hidreto seguida do nome do elemento ligrau de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido como
gante.
sal iodado, contém iodeto de sódio ou potássio para evitar o
Exemplos
bócio (hipertireóide). Além disso, contém pequenas quantiHCl: hidreto de cloro ou cloridreto
dades de outros sais que podem se hidratar, como o cloreto
HBr: hidreto de bromo ou bromidreto
de magnésio (M gCl2 ). Nos dias em que a umidade relativa
CaH2 : hidreto de cálcio
do ar é maior, ele se transforma em cloreto de magnésio hiN H3 : amônia
dratado, que deixa o sal com aspecto molhado, aglutinando
P H3 : fosfina
as partı́culas e entupindo o saleiro.
Classificação
Dependendo do elemento ligado ao hidrogênio, o hidreto
pode ser:
Iônico
São os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alcalinos e alcalinos terrosos. São também chamados de hidretos
salinos.
Apresentam caráter básico, pois reagem com a água, produzindo base e despresndendo o hidrogênio.
Exemplo
N aH + HOH =⇒ N aOH + H2ր
Molecular
Hidretos de não-metais e semi-metais.
Exemplos
H2 S: sulfidreto
HF : fluoridreto
N H3 : amônia
A solução contendo 0,92% de cloreto de sódio é conhecida
como soro fisiológico e é usada no combate à desidratação.
Pense um Pouco!
• A acidez estomacal, provocada pelo ácido clorı́drico,
pode ser neutralizada utilizando-se uma solução de que
tipo?
Exercı́cios de Aplicação
1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo contém a
fórmula do nitrito de sódio e do ácido brômico?
a) N aN O3 e HBr
b) N aN O3 e HBrO
c) N aN O2 e HBrO4
d) N aN O2 e HBrO3
e) N aN O2 e HBrO2
2. (UFMG) Seguem várias fórmulas quı́micas com seus noOs hidretos moleculares dos elementos das famı́lias 6A (16)
mes. Qual a alternativa errada?
e 7 A(17) são ácidos em solução aquosa, isto é, sofrem ioa) KN O3 – nitrato de potássio
nização.
b) Ca(P O4)3 – fosfato de cálcio
Exemplo
c) Al2 (SO4 )3 – sulfato de alumı́nio
HF + H2 O =⇒ H3 O+ + F −
d) M g(ClO4 ) – perclorato de magnésio
e) n. d. a.
Você Sabia?
Os galinhos do tempo são feitos de plástico, revestidos com
um sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2 )
é azul e o cloreto de cobalto di-hidratado (CoCl2 · 2H2 O)
é cor-de-rosa. Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar é maior, o sal, naturalmente, absorve moléculas
de água da atmosfera, deixando o galinho rosa. Quando a
umidade relativa do ar diminui, o sal perde gradativamente
as moléculas de água e volta a ser azul.
3. (FEMPAR) Qual a substância que apresenta oxigênio
em sua composição?
a) ácido clorı́drico
b) ácido sulfı́drico
c) cloreto de fósforo
d) fluoreto de zinco
e) nitrato de prata
Exercı́cios Complementares
4. Todas as alternativas apresentam um óxido básico, exceto:
O cloreto de sódio é encontrado na natureza, em jazidas a) N a2 O
na crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas águas do b) CaO
mar, de onde ser retira a maior parte desse composto.
c) BaO
Para Aprender Mais!
168
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p − p0 = ∆p: abaixamento absoluto da pressão máxima de
vapor da solução;
p0 −p
p0 : abaixamento relativo da pressão máxima da vapor da
5. (UEM-PR) A cal viva, a soda cáustica, o vinagre, o leite solução;
de magnésia e o bicarbonato de sódio são produtos comerciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos O abaixamento relativo da pressão máxima de vapor de uma
solução pode ser calculado pela Lei de Raoult:
classifica-los, respectivamente, como:
Numa
solução bastante diluı́da de um soluto quala) óxido, base, ácido, base, sal
quer,
não-volátil
e não-iônico, o abaixamento relab) óxido, sal, base, óxido, sal
tivo
da
pressão
máxima
de vapor é diretamente proc) base, sal, ácido, óxido, sal
porcional
à
molalidade
da
solução.
d) óxido, base, ácido, óxido, ácido
e) sal, base, ácido, base, sal
1.000m1
p0 − p
= Kt W = Kt
p0
m2 M 1
6. (Acafe-SC) O óxido de magnésio é muito usado como
anti-ácido, neutralizando o excesso de HCl no estômago. A constante Kt , que aparece nas fórmulas acima, chamaCom base apenas neste fato, podemos classificá-lo como se constante tonoscópica (ou tonométrica) molal do
solvente e pode ser calculada pela equação:
óxido:
a) ácido
M2
Kt =
b) básico
1.000
c) neutro
onde, M2 representa a molécula-grama do solvente.
d) salino
e) n. d. a.
d) F e3 O4
e) SrO
Ebuliometria
Quı́mica B Aula 11
É o estudo da elevação da temperatura de ebulição
de um lı́quido, ocasionado pela dissolução de um
soluto não-volátil.
Propriedades Coligativas
A água ferve a 100◦ C, sob pressão de 1 atmosfera. Se
dissolvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na água,
Sabemos que a água pura congela-se a 0 ◦ C e ferve a 100 ◦ C, ela demorará mais para ferver (ou melhor, só irá ferver em
sob pressão normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendo temperatura mais alta), como se o sal estivesse dificultando
um pouco de sal comum em água, ela passará a congelar-se sua evaporação e sua ebulição. Esse fenômeno é chamado
abaixo de 0 ◦ C e a ferver acima de 100 ◦ C, sob pressão de ebulioscópico ou ebuliométrico.
1 atmosfera. Esses fenômenos são denominados Efeitos ou Elevação da temperatura de ebulição da solução (∆Te ) é a
Propriedades Coligativas.
diferença entre a temperatura inicial de ebulição da solução
Propriedades Coligativas das soluções são propriedades (T ) e a temperatura de ebulição do lı́quido puro (T0 ), sob
que dependem apenas do número de partı́culas dispersas na mesma pressão externa.
solução, independentemente da natureza dessas partı́culas.
∆Te = T − T0
Tanometria
onde ∆Te é o chamado efeito ebulioscópico ou ebuliométrico.
Note que devemos dizer temperatura inicial de ebulição da
É o estudo de abaixamento da pressão máxima de solução porque à medida que a solução ferve o solvente
vapor de um lı́quido, que é ocasionado pela dis- vai evaporando, a concentração da solução vai aumentando
a sua temperatura de ebulição (T ) também irá aumentar.
solução de um soluto não-volátil.
Essa preocupação não existe em relação ao lı́quido puro, pois
Quando um lı́quido é colocado num recipiente hermetica- durante toda a ebulição sua temperatura (T ) se mantém
0
mente fechado, onde havia vácuo, ele vai evaporando até constante.
chegar a uma situação na qual a velocidade de evaporação
torna-se igual a velocidade de condensação.
A partir desse instante tudo se passa como se a evaporação Lei de Raoult
tivesse parado. Nessa situação dizemos que os vapores são Numa solução diluı́da de um soluto qualquer, nãovapores saturados ou saturantes e dizemos também que foi volátil e não-iônico, a elevação da temperatura de
atingida a tensão ou pressão máxima dos vapores. Eviden- ebulição é diretamente proporcional à molalidade
temente essa pressão máxima será maior ou menor, depen- da solução.
dendo da natureza do lı́quido e da temperatura em que foi
1.000m1
feita a experiência. Pois bem, se no lı́quido anterior for
∆Te = Ke W = Ke
m2 M 1
dissolvido um soluto não-volátil observa-se que a pressão
máxima de vapores do lı́quido diminui. Definimos então:
A constante Ke , que aparece nas fórmulas anteriores, é dep0 : pressão máxima de vapor do lı́quido puro, à temperatura nominada constante ebulioscópica (ou ebuliométrica)
molal do solvente e pode ser calculada pela relação:
T;
p: pressão máxima de vapor da solução, na mesma temperatura T;
Ke =
RT 2
1.000LV
169
Quı́mica B – Aula 11
onde:
R é a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol·K
T é a temperatura absoluta de ebulição do solvente puro
(em K)
LV é o calor latente de vaporização do solvente puro (em
cal/g)
• permeáveis – são aquelas que permitem a passagem
tanto do solvente como do soluto;
• semi-permeáveis – são aquelas que permitem a passa¯
gem tanto do solvente como do soluto;
• impermeáveis – são aquelas que não permitem a passagem de soluto e solvente.
Exemplo
A temperatura de ebulição da água ao nı́vel do mar é 100◦
C ou 373 K e o calor latente de vaporização LV = 538 cal/g. Conclusões de Van’t Hoff
Consequentemente:
Van’t Hoff verificou existir uma notável analogia entre
(2)(373)2
◦
pressão dos gases e a pressão osmótica das soluções diluı́das.
Ke =
= 0, 52 C
(1.000)(538)
A partir dos estudos de Pfeffer, observou-se incrı́vel semelhança com a lei de Boyle e com a lei de Charles, dos gases.
Criometria
“A pressão osmótica de uma solução é igual à
pressão que o soluto exerceria no estado gasoso, ocuÉ o estudo do abaixamento da temperatura de congela- pando o mesmo volume da solução, na mesma temmento de um lı́quido, provocado pela dissolução de outra peratura.”
substância nesse lı́quido.
Equação Tipo Gases Perfeitos
A água pura congela a 0 ◦ C, sob pressão normal. Se dis- Como para os gases perfeitos, ou ideais, a pressão osmótica
solvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na água, pode ser escrita como
ela demorará mais para se congelar (ou melhor, só irá congelar em temperatura mais baixa), como se o sal estivesse
pV = nRT
dificultando o seu congelamento.
Esse fenômeno chamado crioscópico ou croimétrico, que onde, p é a pressão osmótica, V o volume da solução, n o
tem certa analogia com o fenômeno ebuliométrico, descrito número de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitos
no ı́tem anterior.
e T a temperatura absoluta da solução.
Definimos o baixamento da temperatura de congelamento Equação da Pressão Osmótica
da solução como
n
p = RT
V
∆Tc = T0 − T
que é chamado de efeito crioscópico ou criométrico.
e como n/V é a molaridade M da solução, temos
p = M RT
Lei de Raoult
Numa solução diluı́da de um soluto qualquer, não-iônico, o
abaixamento da temperatura de congelação é diretamente
proporcional à molalidade da solução:
∆Tc = Kc W = 1000 Kc
m1
m2 M 1
onde a constante Kc é denominada constante crioscópica
molal do solvente pode ser calculada pela relação:
2
RT
1000 LF
para soluções moleculares.
Para se obter a pressão osmótica em atm, o valor de R a
ser utilizado é 0, 082 atm · L/mol · K).
Para as soluções iônicas
p = M RT i
Você Sabia?
Em condições normais, a água entra e sai continuamente das
células, difundindo-se em direção à região em que há menor
número de moléculas de água, estabelecendo o equilı́brio
onde: T é a temperatura absoluta de congelamento do solosmótico. Se uma célula viva, por exemplo uma hemácia,
vente puro (em K)
for colocada em solução salina, que apresente concentração
LF é o calor latente de fusão do solvente puro (em cal/g).
superior à da célula, haverá um fluxo de água, através da
membrana plasmática, de dentro da célula (menor concentração) para fora da célula (maior concentração), provoOsmoscopia
cando a sua contração. Ao contrário se o meio for hiEntende-se por difusão entre lı́quidos o fenômeno da disse- potônico, a célula ficará intumescida. Isso faz com que a
minação espontânea de um lı́quido em outro e vice-versa, administração de soro deva ser feita com solução isotônica.
de modo a se obter uma mistura homogênea ou sistema Nos vegetais existe, além da membrana plasmática, outra
monofásico. Este fenômeno pode se dar também através de membrana (celulósica) que limita a entrada de água, evimembranas:
tando que as células se rompam.
Kc =
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Para Aprender Mais!
02. Há uma diferença de pressão, dita osmótica, entre a
solução salina do meio.
A dessalinização é um processo para obtenção de água 04. Há um fluxo de solvente do interior da célula para a
potável, a partir da água do mar, em locais onde as fon- solução salina do meio.
tes de água doce são insuficientes, como algumas regiões do 08. Quanto maior for a concentração da solução salina exOriente Médio. A remoção do sal é feita por osmose re- terna, menor será o fluxo de solvente da célula para o meio.
versa, ou seja, o solvente (água) fará o caminho inverso ao 26. O fluxo de solvente ocorre através de membranas seminatural, pela aplicação de uma pressão superior à pressão permeáveis.
osmótica. Uma das dificuldades desse processo é a obtenção
de membranas semipermeáveis que resistam a altas pressões. 5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a água permanecem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tempero de saladas) elas ficam murchas após algum tempo, deBrincadeira de Criança
vido:
Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha a) somente à passagem dos ı́ons cloreto através da memabsorve toda a água da lesma e o animal morre ocorrendo brana das células do alface.
uma osmose visı́vel (a passagem de um solvente por uma b) à osmose inversa, passagem da água da solução de vinamembrana semi-impermeável). Você deve já deve ter feito gre e sal para dentro das células do alface.
c) à dissociação do sal no interior das células do alface.
essa experiência peralta quando criança!
d) à osmose, passagem da água do interior das células do
alface para a solução de vinagre e sal.
e) somente à passagem dos ı́ons sódio através da membrana
Pense um Pouco!
das células do alface.
◦
• A pressão máxima de vapor de água pura, a 20 C,
é 17, 54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose
(massa molecular=180) em 500 gramas de água, quais
Exercı́cios Complementares
serão os abaixamentos absoluto e relativo da pressão
máxima de vapor da solução?
Exercı́cios de Aplicação
1. Dez gramas de uma substância de massa molecular 266
foram dissolvidos em 500 gramas de tetracloreto de carbono. Qual a temperatura de ebulição da solução, sob
pressão normal? Dados: Te = 77 ◦ C (sob pressão normal);
LV = 46 cal/g.
6. (Puccamp-SP) Num local em que a água congela a 0 ◦ C
e ferve a 100 ◦ C, uma solução aquosa de glicose irá:
a) congelar a 0 ◦ C e ferver a 100 ◦ C.
b) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebulição abaixo de
100 ◦ C.
c) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebulição abaixo de 100
◦
C.
d) congelar abaixo de 0 ◦ C e iniciar a ebulição acima de 100
◦
C.
e) congelar acima de 0 ◦ C e iniciar a ebulição acima de 100
◦
C.
2. Qual a temperatura de congelamento de uma solução
contendo 8, 9 g de antraceno (C14 H10 ) em 256 g de benzeno? Dados: Tc = 5, 42 ◦ C para o benzeno puro, constante 7. (Acafe-SC) Usando um costume popular, um jovem
criométrica molal do benzeno = 5,12 ◦ C, massas atômicas: cobriu uma ferida com pó de café, para acelerar sua ciH = 1 e C = 12.
catrização. O efeito coligativo, envolvido na retirada de
3. (ITA-SP) Uma solução de N aCl em água é aquecida lı́quido que favoreceu a cicatrização, é:
num recipiente aberto. Qual das afirmações abaixo é falsa a) tanométrico
b) criométrico
em relação a este sistema?
a) A solução entrará em ebulição quando sua pressão de va- c) ebuliométrico
d) isométrico
por for igual à pressão ambiente.
b) A molaridade da solução aumentará a medida que pros- e) osmótico
seguir a ebulição.
c) A temperatura de inı́cio de ebulição é maior que a da
água pura.
d) A temperatura aumenta à medida que a ebulição prossegue.
e) A composição do vapor desprendido é a mesma da solução
residual.
8. (UDESC) A pressão osmótica do sangue na temperatura
do corpo, 37 ◦ C, é de 7,626 atm. Considerando os solutos
no sangue como não-eletrólitos, a sua molaridade total será
de:
a) 0,50 mol/L
b) 0,30 mol/L
c) 1,00 mol/L
4. (UFSC) Ao colocar-se uma célula vegetal normal, numa d) 0,10 mol/L
solução salina concentrada, observar-se-á que ela começará e) 0,80 mol/L
a “enrugar” e a “murchar”. Sobre esse fenômeno, é correto
afirmar:
01. A célula vegetal encontra-se num meio hipotônico em
relação à sua própria concentração salina.
Quı́mica B Aula 12
171
Quı́mica B – Aula 12
Eletroquı́mica
(b)
Eletroquı́mica é o estuda da relação de oxi-redução que produzem ou são produzidas pela corrente elétrica.
As pilhas elétricas funcionam com base em reações quı́micas
(oxi-redução) espontâneas que produzem corrente elétrica.
Transformação de energia quı́mica em energia elétrica.
Potencial de Oxidação
Cada metal tem uma capacidade diferente de doar elétrons.
A medida dessa capacidade é chamada de potencial de
oxidação.
O valor numérico do potencial de oxidação é medido pela
voltagem da pilha do metal com o gás hidrogênio.
(c)
A voltagem da pilha de Zn e gás hidrogênio fornece o potencial de oxidação do zinco.
Lembre-se!
• oxidação: é a perda de elétrons por um elemento
quı́mico, ou seja, aumento do NOX;
• redução: é o ganho de elétrons por um elemento
quı́mico, ou seja, diminuição do NOX;
• agente oxidante: é o elemento ou substância que pro- Lista de Materiais
voca oxidações (ele próprio se reduzindo);
• Recipiente grande transparente (para mergulhar as
• agente redutor: é o elemento ou substância que prochapas) com uma placa de porcelana porosa para sevoca reduções (ele próprio se oxidando).
parar as meias células e sua respectivas soluções;
Pilha de Daniell
Se baseia na seguinte reação de oxi-redução:
Zn + CuSO4 −→ ZnSO4 + Cu
Os elétrons que passam do Zn para o Cu+2 , que produzem
a corrente elétrica.
• Circuito externo (Fio e cobre);
• Chapa fina de cobre metálico;
• Chapa fina de zinco metálico;
• Solução aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4)
• Solução aquosa de sulfato cúprico (CuSO4)
• Lâmpada pequena
Procedimento Experimental
1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de
Montagem Experimental
zinco mergulhada em solução aquosa de sulfato de zinco, no
Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) é outro coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em solução
aquosa de sulfato de cobre.
possı́vel montá-la experimentalmente:
2. Liga-se as placas metálicas ao fio condutor e à lâmpada
ou motor;
Análise das Reações Quı́micas
(a)
Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-reação de
oxidação;
Zn =⇒ Zn+2 + 2e− semi-reação de oxidação
desse modo a chapa de zinco ”solta”elétrons para o circuito
externo (fio), a chapa de zinco é chamada de eletrodo negativo ou ânodo.
Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-reação de
redução,
Cu+2 + 2e− =⇒ Cu semi-reação de redução
172
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desse modo o ı́on Cu+2 captura os elétrons do circuito ex- Aplicações Práticas das Pilhas
terno (fio), a chapa de cobre é chamada de eletrodo positivo
Cada pilha ou elemento apresenta uma força eletromotriz
ou cátodo.
de aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associação
A soma das duas equações anteriores, fornece a equação
em série de quatro elementos nos dá uma bateria de 6, 0 V ;
geral da pilha de Daniell:
uma de seis elementos nos dá uma bateria de 9, 0 V , e assim
por diante.
Zn + Cu+2 =⇒ Zn+2 + Cu
Como o chumbo (ânodo), o óxido de chumbo IV impregnado
A porcelana porosa deve impedir a mistura das soluções, de chumbo (cátodo), e o sulfato de chumbo são sólidos, a
mas deve permitir a passagem dos ı́ons que estão sendo força eletromotriz do acumulador depende exclusivamente
da solução de ácido sulfúrico. Por esse motivo, devemos
atraı́dos ou repelidos pelas forças elétricas.
Após um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa mater constante o volume de água.
de zinco estará corroı́da, a chapa de cobre aumentou devido A descarga consome o ácido sulfúrico, mas durante a reà deposição de cobre e as concentrações das soluções se al- carga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador no
teram. Tudo isso é consequência da própria reação geral de motor do veı́culo, o ácido sulfúrico é regenerado e o sulfato
de chumbo volta à condição de chumbo e óxido de chumbo
funcionamento da pilha:
IV.
Zn + CuSO4 =⇒ ZnSO4 + Cu
Nota
onde:
– o zinco vai sendo gasto (corroı́do);
– a concentração da solução de CuSO4 vai diminuindo;
As reações das baterias (acumulador de chumbo) e Nı́quelcádmio.
E a pilha de Leclanché (seca) com eletrodo central de grafite,
– o sulfato de cobre formado pela reação aumentou a con- pilhas alcalinas e as pilhas de mercúrio serão apresentadas e
analisadas com suas respectivas equações no quadro negro.
centração da solução de sulfato de cobre.
– o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando A vantagem das pilhas é que elas podem ser recarregadas
muitas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras,
sua massa.
brinquedos,
etc.
Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira:
Zn, Zn+2 (1M )|Cu+2 (1M ), Cu(25 ◦ C)
onde estão indicados os eletrodos, as molaridades das
soluções e a temperatura de funcionamento da pilha.
Conclusão
Podemos dizer, que a pilha ou célula eletrolı́tica é um dispositivo que transforma energia quı́mica em energia elétrica.
Isso é conseguindo, por meio de uma reação de oxi-redução,
com o oxidante e o redutor separados com compartimentos
diferentes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar
os elétrons ao oxidante através de um circuito externo (fio).
Montagem #2
Outra montagem muito comum de uma pilha é a seguinte:
Num copo de vidro ou (béquer) é colocada uma chapa de
zinco mergulhada em uma solução de sulfato de zinco; em
outro colocamos a chapa de cobre mergulhada em uma
solução de sulfato cúprico. As duas chapas estão ligadas
pelo fio condutor externo e as duas soluções são ligadas pela
ponte de salina, que é um tubo simples de vidro recurvado,
como vemos na figura, totalmente cheio com solução de um
sal (eletrólito) e tendo nas duas extremidades um pouco de
algodão para impedir o escoamento da solução salina.
Cálculo da Diferença de Potencial (ddp)
∆E ◦ = E ◦ oxid + E ◦ red força eletromotriz (V)
Assim para a pilha de Daniel temos :
Eletrodo de Zn◦ /Zn+2 : E ◦ oxid = +0, 76 V
Eletrodo de Cu+2 /Cu◦ : E ◦ red = +0, 34 V
∆E ◦ = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V
As pilhas alcalinas são usadas em relógios de pulso e aparelhos de surdez, por serem muito pequenas. Elas não são
recarregáveis, mais apresentam grande durabilidade.
Eletrólise
É o fenômeno inverso àquele que ocorre numa pilha, isto é,
a corrente elétrica provocando uma reação de oxi-redução –
um processo quı́mico não-espontâneo.
No pólo positivo ocorre oxidação e no pólo negativo,
redução. Logo, o pólo positivo é o ânodo e o negativo é
o cátodo.
Eletrólise Ígnea
É a eletrólise de um eletrólito no estado fundido. Nela, o
sólido iônico deve ser liquefeito por aquecimento (fusão),
pois assim os ı́ons tem livre movimento, podendo se deslocar até os eletrodos e aı́ descarregarem (ganhar ou perder
elétrons).
Eletrólise por via Aquosa com Eletrodos Inertes
Em uma solução aquosa, além dos ı́ons resultantes da dissociação iônica do eletrólito, há também cátions H + e ânions
OH − provenientes da auto- ionização da água.
Dessa forma podemos ter em solução cátions C + e H + e
ânions A− e OH − , de modo que há uma disputa para a
descarga nos eletrodos. Entre os cátions, descarrega primeiro aquele com maior E◦ red (maior tendência em receber
elétrons). Entre ânions, descarrega primeiro aquele com menor E◦ red (maior tendência em doar elétrons).
Quı́mica B – Aula 12
Estudo Quantitativo da Eletrólise
173
Brasil Pesquisa o hidrogênio como combustı́vel!
As pesquisas feitas pelo cientista inglês Michael Faraday
(1791-1867) estabeleceram as bases para se determinar as
quantidades das substâncias formadas e da substância decomposta numa eletrólise.
Imagine um automóvel que funciona alimentado por uma
fonte de energia tão limpa que o único resı́duo que produz
é vapor de água. Parece sonho, mas já existem no mundo
alguns protótipos desse veı́culo. Trata-se do carro movido
Assim, as relações entre a carga que atravessa a solução e a hidrogênio. É um grande problema tecnológico que ainda
precisa ser resolvido para que sua produção em grande esas massas dos participantes são:
cala possa ser pensada é uma forma segura e economica– a massa da substância formada no eletrodo e a massa
mente viável de armazenar o ”combustı́vel”. Isso porque
da substância decomposta são diretamente proporcionais à
o hidrogênio é um gás altamente combustı́vel e instável.
carga elétrica que atravessa a solução dada por:
Basta lembrar que o Zeppelin incendiou-se com hidrogênio
gasoso e a Challenger explodiu a partir de seus tanques de
Q = it
hidrogênio lı́quido.
sendo
A solução tem grandes chances de nascer no Brasil. Para
Q a carga elétrica (em coulombs)
isso, a Coordenação de Programas de Pós-Graduação em
i a intensidade da corrente (em ampères)
Engenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio de
t o tempo (em segundos).
Janeiro (UFRJ), está desenvolvendo, uma parceria com a
Renault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa em
curso no mundo: o ”tanque”maciço no qual átomos de hiVocê Sabia?
drogênio são ”embutidos”dentro da estrutura atômica do
A vida vegetal e animal na água depende de seu caráter metal. A parceria representa a primeira vez que a Renault
transfere parte de sua pesquisa para fora da França.
oxidante ou redutor, o que é dado pela equação:
O carro de hidrogênio não polui porque não queima comO2 + 4H + + 4e− =⇒ 2H2 O
bustı́vel. Seu motor ”arranca”energia elétrica do hidrogênio
por meio de reações quı́micas limpas. Nesse automóvel, uma
cujo E◦ varia aproximadamente de +0, 3 V (para água aecélula (ou pilha) combustı́vel realiza o inverso da eletrólise,
rada) a −0, 6 V (para água com pouco ar). Quanto maior
combinando átomos de hidrogênio e de oxigênio. O processo
o E◦ mais oxidante será o meio aquoso.
produz vapor de água e uma corrente elétrica.
Além de limpo, o motor a hidrogênio é muito mais eficiente
que os motores convencionais a explosão usados hoje nos
automóveis. Enquanto um motor elétrico transforma em
Eletrólise Industrial do N aCl
energia mecânica (movimento) quase 100% da energia que
produz, um motor a explosão converte em movimento meA eletrólise aquosa do sal produz hidrogênio (H2 ), cloro nos de 30% da energia gerada pela queima do combustı́vel.
(Cl2 ) e soda cáustica (N aOH). Esse processo envolve o O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelo
consumo de grandes quantidades de energia, por isso as movimento dos pistões.
indústrias instalam-se preferencialmente em regiões onde a
fonte de cloreto de sódio e a energia elétrica são custo mais O Laboratório de Hidrogênio da Coppe está investido numa
baixo. O hidróxido de sódio, conhecido como soda cáustica, alternativa bem diferente, que permitiria armazenar num
é o principal produto dessa eletrólise, é a base mais ba- espaço pequeno grandes quantidades de hidrogênio desrata e mais importante como matéria prima, sendo usada tituı́do do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistas
na fabricação de sabão, detergentes, papel, sais de sódio, re- quebram as moléculas de hidrogênio, separando seus dois
finação de petróleo, purificação de óleos vegetais, indústria átomos, que por serem muito pequenos, podem ser ”embutêxtil, entre outros. O cloro é usado como desinfetante por tidos”dentro da estrutura do metal de um ”tanque”maciço.
ser um agente bactericida, no tratamento da água e esgotos, Parece ficção, mas, no laboratório da Coope, os cientisno branqueamento da celulose, na fabricação de inseticidas tas conseguem com êxito ”embutir”o hidrogênio no metal
como BHC, na preparação de PVC, na fabricação de hipo- e regata-lo novamente na forma gasosa.
cloritos, entre outros.
O Hidrogênio é extremamente reativo e perigosos de ser manipulado, pois é explosivo e inflamável. Ele é usado na hi- Pense um Pouco!
drogenação de óleos vegetais (produção de margarinas), na
• De acordo com as reações do Al e do Co:
produção de amonı́acos (N H3 ), como combustı́vel de foguetes, em maçaricos oxı́dricos, etc.
Al+3 + 3e− =⇒ Al -1,66 V
A reação entre o hidrogênio e cloro produz o cloreto de
hidrogênio (HCl), que dissolvido em água produz ácido
Co+2 + 2e− =⇒ Co -0,28 V
clorı́drico, usado na limpeza de superfı́cies metálicas que
serão galvanizadas. O ácido muriático é o ácido clorı́drico
Responda:
contendo impurezas, usado na limpeza de chão.
a) Qual deles se reduz mais facilmente?
b) Qual deles se oxida mais facilmente?
O hipoclorito de sódio é obtido pela passagem de uma corc) Qual o melhor agente redutor?
rente de gás cloro pela solução de hidróxido de sódio e é
d) Qual o melhor agente oxidante?
usado como alvejante e desinfetante.
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Exercı́cios de Aplicação
b) os metais se reduziriam espontaneamente no eletrodo
c) a água sofreria oxidação
d) o número de oxidações dos metais aumentaria
1. (UFSM-RS) Um procedimento utilizado para limpar obe) a redução da água ocorreria preferencialmente
jetos de prata é colocá-los em um recipiente de alumı́nio com
água quente e N aHSO3 . Este processo pode ser expresso
pela reação:
2Al0 + 3Ag2 S =⇒ Al2 S3 + 6Ag 0
Podemos afirmar que a reação ocorre porque:
a) o Al é mais reativo e reduz a prata
b) o Al é mais reativo e oxida o msulfeto
c) os metais à esquerda de H são facilmente reduzidos
d) a prata é um bom agente redutor
e) o sulfeto de prata é facilmente oxidado
2. (UFSC) Com base no diagrama da pilha
Zn|Zn+ (1M )||Ag + (1M )|Ag
e nos potenciais padrões de oxidação, a 25 ◦ C, das semireações:
Zn =⇒ Zn+2 + 2e− E ◦ = +0, 76V
Ag =⇒ Ag + + e− E ◦ = −0, 80V
é correto afirmar que:
01. Os átomos de zinco sofrerão oxidação.
02. Os átomos de prata perderão elétrons.
04. O cátodo da pilha será eletrodo de prata.
08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferença de
potencial padrão de 2,36 volts.
16. A massa do eletrodo de zinco diminui com o tempo.
32. O sentido espontâneo do processo será: 64. n+2 +
2Ag =⇒ Zn + 2Ag +
Quı́mica Orgânica Aula 1
Introdução à Quı́mica Orgânica
BERZELIUS
“Somente os seres vivos podem transformar substâncias minerais em orgânicas” (Teoria da Força Vital)
WHÖLLER
Sı́ntese da uréia (composto orgânico) a partir do cianato de
amônio (composto inorgânico) em laboratório.
NH2
\
NH4CNO --- C = O
/
NH2
Caracterı́sticas do Carbono
Postulados de Kekulé:
1. É tetracovalente.
2. Os ângulos entre as valências são de 109◦ 28′ , adquirindo a forma de um tetraedro regular.
3. Possui a propriedade de encadeamento.
3. (UFRGS) Um jovem, após utilizar uma solução de sulfato
de cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em um
4. Um átomo de carbono pode formar uma, duas ou até
balde de ferro. Depois de algum tempo observou que o
três ligações com um segundo átomo, realizando, asbalde estava furado e que havia se formado um depósito
sim, respectivamente, ligações simples, duplas ou triavermelhado. O metal avermelhado pode ser:
plas.
a) óxido de cobre II
b) sulfeto de cobre II
Assim, classificamos as ligações do carbono em:
c) sulfeto de ferro II
d) ferro metálico
• Sigma (σ): É a primeira ligação entre dois átomos.
e) cobre metálico
Ocorre, neste caso, uma superposição de orbitais (overlap).
Exercı́cios Complementares
4. (ULBRA-RS) A reação de eletrólise é utilizada para:
a) obtenção da eletricidade nas pilhas
b) fazer destilação do petróleo
c) eletrodeposição de metais, como a cromação
d) o branqueamento de fibras no fabrico do papel
e) fabricar sabões a partir de gorduras
5. (UFRGS) A maioria dos metais alcalinos terrosos foi
obtida pela primeira vez por Humphry Davy, no inı́cio do
século XIX, por eletrólise das respectivas bases fundidas.
Os metais não poderiam ser obtidos a partir de soluções
aquosas de suas bases ou de seus sais porque:
a) os metais se oxidariam
• Pi (π): São as segundas e terceiras ligações entre dois
átomos. Agora, o que ocorre é uma aproximação entre
os orbitais.
Ligações
Quanto ao número de átomos de C unidos diretamente a
ele:
• carbono primário: liga-se a 1 átomo de carbono;
• carbono secundário: liga-se a 2 átomos de carbono;
• carbono terciário: liga-se a 3 átomos de carbono;
• carbono quaternário: liga-se a 4 átomos de carbono;
175
Quı́mica Orgânica – Aula 1
Saturação
Cadeias Carbônicas e Radicais
SATURADO é aquele que apresenta apenas simples
ligações;
C–C–C–C
Tomemos, por exemplo, o composto:
INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla
ligação:
C == C – C – C
Hibridização do Carbono
1. sp3 (tetraédrica)
CH3 CH3
|
|
CH3 -- CH -- CH -- CH -- C -- CH2 -- CH3
|
|
|
CH2
CH2
CH3
|
|
CH3
CH3
Podemos separá-lo em duas partes principais:
• é a fusão de quatro orbitais (um do tipo s e três
do tipo p) formando quatro orbitais do tipo sp3 ; Cadeia Principal
• forma somente ligações simples;
É a maior sequência de carbonos, ininterrupta, que abrange
a principal caracterı́stica do composto.
• ângulo entre as valências: 109◦28′ ;
• é caracterı́stica dos alcanos;
• carbono liga-se a outros quatro átomos.
2. sp2 (trigonal)
• é a fusão de um orbital s com dois orbitais p,
formando três orbitais do tipo sp2 ;
• forma duas ligações simples e uma dupla;
• ângulo entre as valências: 120◦;
• é caracterı́stica dos alcenos;
• carbono liga-se a outros três átomos.
Radicais Orgânicos
São grupamentos de átomos contendo carbono, que se unem
à cadeia principal por ligações (valências). O composto
acima, separado nas duas partes descritas, ficaria:
CH3
CH3 CH3
|
|
|
CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3
|
|
CH2
CH3
|
CH3
3. sp (linear)
Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um to• é a fusão de um orbital s com um p formando tal de 5 radicais, sendo 4 constituı́dos por um carbono e 1
dois orbitais do tipo sp;
constituı́do por 2 carbonos.
• pode formar duas ligações duplas ou uma tripla
e uma simples;
CLASSIFICAÇÃO DAS CADEIAS
• ângulo entre as valências: 180◦;
• é caracterı́stica dos alcinos e alcadienos;
• carbono liga-se a outros dois átomos.
1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simples ligação:
Ex. CH3 – CH2 – CH3
2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por
duplas e/ou triplas ligações:
Resumo
Ex. CH2 == CH – CH3
Tipo de ligação
Só ligaçoes
simples
Representação Hibridação
3
Ângulo entre
as valências
C
sp
Uma dupla
ligação
C
sp
2
Uma tripla
ligação
Duas duplas
ligações
C
sp
180
C
sp
180
109 28´
120
3. HOMOGÊNEA: Cadeia cujo núcleo só é constituı́do
por carbonos.
Ex. CH3 – CH2 – CH3
4. HETEROGÊNEA: Cadeia que apresenta um heteroátomo (N, O, S), ou seja, átomo diferente de carbono unido a pelo menos dois outros carbonos.
Ex. CH3 – O – CH2 – CH3
Elementos Organógenos
5. NORMAL: Cadeia não ramificada, ou seja, constituı́da
por carbonos primários e secundários somente. Ex.
CH3 – CH2 – CH == CH2
São os elementos que formam os compostos orgânicos. Os
mais frequentes são: C, H, O, N.
6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou ramificações (radicais).
176
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Resumo
CH3
|
CH3 - CH - CH2
HIDROCARBONETOS
7. MISTA: cadeia cı́clica ramificada, ou seja, apresentando parte cı́clica e parte acı́clica.
ALIFÁTICOS
AROMÁTICOS
Alcenos −− ligações duplas
Saturados
CH - CH3
|
|
CH3 - CH - CH2
Insaturados
Alcanos
Alcinos −− ligações triplas
Radicais Alquilo
8. HOMOCÍCLICA: cadeia cujo núcleo só apresenta
átomos de carbono:
9. HETEROCÍCLICA: cadeia cı́clica com heteroátomo.
CH2 --- CH2
|
|
CH2 - O - CH2
Pense um Pouco!
• Como é possı́vel ter tantos compostos de carbono?
• Quı́mica orgânica pode ser somente definida como a
quı́mica extraı́da de seres vivos?
Exercı́cios de Aplicação
10. AROMÁTICA: cadeia cı́clica, contendo um anel de
benzeno, que apresenta efeito de ressonância.
• MONONUCLEADA: um único núcleo ressonante.
• POLINUCLEADA DE NÚCLEOS CONDENSADOS: mais de um núcleo fundido.
1. (PUC-SP) Na fórmula:
H3C
\
H
|
CH - C - CH2 - CH - CH3
/
|
|
|
H3C
H
CH3
CH3
• POLINUCLEADA DE NÚCLEOS ISOLADOS: as quantidades totais de átomo de carbonos primário, semais de um núcleo separado entre si.
cundário e terciário são, respectivamente:
a) 5, 1 e 3;
b) 2, 3 e 4;
CH 3
c) 3, 3 e 2;
d) 2, 4 e 3;
e) 5, 2 e 2.
(a)
(b)
(c)
Figura 1: Cadeias aromáticas mononucleada (a), polinucleada com núcleos condensados (b) e com núcleos
isolados (c)
Radicais derivados do Benzeno
2. Sabe-se que uma cadeia carbônica alifática, homogênea e
saturada apresenta dois átomos de carbono secundário, dois
átomos de carbono quaternário e três átomos de carbono
terciário. Logo, essa cadeia apresenta:
a) 12 átomos de C;
b) 14 átomos de C;
c) 16 átomos de C;
d) 13 átomos de C;
e) 15 átomos de C.
3. Carbono quaternário é aquele que:
Regra adicional: se contiver 2 valências, as mesmas são in- a) tem, quatro ligações;
dicadas por ORTO (posição 1 e 2), META (posição 1 e 3) b) é tetravalente;
c) está ligado a quatro elementos quaisquer;
e PARA (posição 1 e 4):
d) está ligado a quatro outros átomos de carbono;
Exemplo:
e) n.d.a.
CH 3
CH 3
1
2
CH 3
CH 3
1
1
3
CH 3
O−dimetil−benzeno
M−dimetil−benzeno
4
CH 3
P−dimetil−benzeno
4. O número de ligações (sigma) e o de ligações (pi) na
molécula do ciclopenteno são,
177
Quı́mica Orgânica – Aula 2
respectivamente:
a) 5 e 1;
b) 4 e 2;
c) 10 e 2;
d) 13 e 1;
e) 12 e 2.
d) aberta, normal, homogênea e saturada;
e) aberta, ramificada, heterogênea e insaturada
11. (UFCE) A nicotina pode ser representada pela fórmula.
5. Um composto cı́clico, com 3 carbonos e uma dupla
ligação, terá fórmula molecular.
a) C3H2
b) C3H3
c) C3H4
d) C3H5
e) C3H6
N
N
CH 3
Quantos átomos de carbono e quantos átomos de hidrogênio
existem em uma molécula deste composto?
6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial clássico do a) 10 e 13
átomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro é ocu- b) 10 e 14
pado pelo átomo e cujos vértices representam as valências, c) 9 e 12
é devido a:
d) 8 e 14
a) Lavoisier;
e) n.d.a.
b) Faraday;
12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura é:
c) Wölher;
d) Guldberg e Waage;
e) Kekulé.
7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbonos e uma dupla ligação, sendo constituı́do apenas por
carbonos e hidrogênios, terá fórmula molecular:
a) C4H10
b) C4H8
c) C4H6
Apresenta cadeia:
d) C4H4
a) cı́clica, acı́clica, insaturada;
e) C4H5
b) cı́clica, aromática, mononucleada;
c) acı́clica, insaturada, ramificada;
d) cı́clica, aromática, polinucleada;
Exercı́cios Complementares
e) acı́clica, homogênea, insaturada.
8. Quı́mica orgânica é a parte da Quı́mica que estuda:
a) O átomo de carbono.
b) Todos os compostos do elemento carbono.
c) Os compostos dos elementos organógenos.
d) Os compostos de todos os elementos quı́micos.
e) n.d.a.
9. Os principais elementos organógenos, são:
a) C, H, O, N
b) C, H, O, S
c) C, H, O, I
d) C, H, S, N
e) C, H, O, Cl
10. (PUC) Classifique a cadeia
H
O
|
||
H - C - C |
|
H
H
H
H
O
|| |
//
C - C - C
|
\
CH3
OH
segundo suas caracterı́sticas:
a) aberta, ramificada, homogênea e saturada;
b) aberta, normal, heterogênea e insaturada;
c) aberta, ramificada, homogênea e insaturada;
Quı́mica Orgânica Aula 2
Nomenclatura
A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade cientı́fica, a IUPAC, os compostos orgânicos mais simples e
que constituem a base de todos os outros são os hidrocarbonetos, constituı́dos por apenas dois elementos carbono e
hidrogênio.
Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos
em dois grandes grupos: hidrocarbonetos alifáticos e hidrocarbonetos aromáticos, caracterizando-se estes últimos por
apresentarem um ciclo de 6 átomos de carbono com caracterı́sticas muito especı́ficas.
A informação do número de átomos de carbono que se encontram representados na cadeia principal é dada pelo prefixo do nome do composto em estudo.
Tabela de Prefixos
Os prefixos numéricos relacionados com o número de carbonos.
178
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Carbonos
1
2
3
4
5
6
7
Prefixo
MET
ET
PROP
BUT
PENT
HEX
HEPT
Estrutura
C
C-C
C-C -C
C-C-C-C
C-C-C-C-C
C-C-C-C-C-C
C-C-C-C-C-C-C
Em compostos que apresentem um número de átomos de
carbono superior a 7, é adaptado o prefixo da numeração
grega correspondente à mesma, de modo análogo ao prefixo
das cadeias de 5, 6 e 7 átomos ligados, respectivamente.
Alcanos (parafinas): são hidrocarbonetos de cadeia aberta,
saturada e de fórmula geral:
Cn H2n+2
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Alcenos
Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia ramificada a
nomenclatura é muito semelhante à nomenclatura utilizada
para os alcanos. Troca-se à terminação ano do alcano por
eno.
Regras
1. A cadeia principal é a mais longa que contém a dupla
ligação.
2. A numeração da cadeia principal é sempre feita a partir
da extremidade mais próxima da dupla ligação, independentemente das ramificações presentes na cadeia. No nome do
alceno a posição da dupla é dada pelo número do primeiro
carbono da dupla; esse número é escrito antes do nome do
alceno.
em que n é o número de átomos de carbono.
Em condições ambientais alcanos apresentam os estados
3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia prinfı́sicos: gasoso (1 a 4 carbonos), lı́quido (5 a 18 carbonos) e
cipal adota-se a regra dos menores números.
sólido (mais de 18 carbonos). São obtidos do petróleo e gás
natural. Alcenos e alcinos apresentam propriedades fı́sicas
semelhantes aos alcanos.
Alcinos
Nomenclatura Orgânica
Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO
• Prefixo: indica o número de átomos de carbono pertencentes à cadeia principal.
Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc.
• Afixo ou infixo: indica o tipo de ligação entre os carbonos:
Todas simples = an
uma dupla = em
duas duplas = dien
três duplas = trien
uma tripla = in
duas triplas = diin
São hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma
ligação tripla entre carbonos e de fórmula geral:
Cn H2n−2
em que n é o número de carbonos.
Nomenclatura dos Alcinos
Para os alcino de cadeia normal e de cadeia ramificada é
muito semelhante à nomenclatura utilizada para os alcanos.
Troca-se à terminação ano do alcano por ino.
Ciclanos (cicloparafinas)
• Sufixo: indica a função quı́mica do composto São hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, só apreorgânico:
sentam ligações entre os átomos de carbono do ciclo, e de
hidrocarboneto = no álcool = ol aldeı́do = al cetona fórmula geral:
= ona ácido carboxı́lico = óico amina = amina éter =
Cn H2n
óxi
em que n é o número de carbonos.
Alcanos de Cadeia Normal
Junta-se o prefixo + infixo + ano.
Ciclenos
Exemplo
Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia
Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano,
ramificada:
octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.
I. O nome é dado adicionando-se o prefixo CICLO ao nome
do alceno correspondente;
Alcenos (olefinas)
São hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma
ligação dupla entre carbonos e de fórmula geral:
CnH2n
em que n é o número de carbonos.
II. Quando a cadeia for ramificada, a numeração da cadeia
se inicia a partir do carbono da ligação dupla (a dupla deve
ficar entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido horário ou
anti-horário, de maneira a se respeitar à regra dos menores
números;
III. As ramificações devem ser citadas em ordem alfabética;
179
Quı́mica Orgânica – Aula 2
Funções Oxigenadas
Éteres
Álcoois
Ssão compostos orgânicos que apresentam um oxigênio ligado a dois radicais orgânicos. Os éteres são obtidos a
partir da desidratação intermolecular dos álcoois. Sua nomenclatura é composta pelo radical menor escrito com a
terminação oxi, seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radical maior.
Fórmula Geral
São compostos orgânicos que apresentam um ou mais grupos hidroxilas (OH) ligados a átomos de carbono saturados.
Os álcoois são mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentam caráter praticamente neutro. Na nomenclatura dos
álcoois utilizamos o sufixo ol para indicar o grupo funcional
(OH).
Classificação dos Álcoois
R - O - R
Quanto à posição do grupo OH:
I. Álcool primário: a hidroxila está ligada a um átomo de Ácidos Carboxı́licos
carbono primário.
II. Álcool secundário: a hidroxila está ligada a um átomo : são compostos orgânicos que apresentam a hidroxila ligada ao grupo carbonila. Os ácidos carboxı́licos tem caráter
de carbono secundário.
ácido, em sua nomenclatura usamos o prefixo ácido e o suIII. Álcool terciário: a hidroxila está ligada a um átomo de
fixo óico.
carbono terciário
Fórmula Geral
Quanto ao número de hidroxilas:
I. Monoálcool : possui somente 1 grupo funcional OH
II. Diálcool: possui 2 grupos funcionais OH
III. Triálcool: possui 3 grupos funcionais OH
Fenóis
O
//
R - C
\
OH
Ésteres: são compostos orgânicos usados como essências.
São compostos orgânicos em que o grupo OH se liga direConstituem também óleos vegetais e animais, ceras e gortamente ao anel benzênico. Os fenóis apresentam caráter
dura. São obtidos a partir da reação entre álcool ou fenol e
ácido, em sua nomenclatura usamos o prefixo hidroxi.
ácido carboxı́lico. Sua nomenclatura é composta pelo nome
do ácido formador trocando a terminação ico por ato seguido
pela preposição de e pelo nome do radical correspondente
Aldeı́dos
ao álcool ou fenol.
São compostos orgânicos que apresentam o grupo carbonila Fórmula Geral
na extremidade do composto. Os aldeı́dos são desidratantes,
em sua nomenclatura usamos o sufixo al.
O
Fórmula Geral
//
R - C
O
\
//
O - R
R - C
\
Sais de Ácidos Carboxı́licos
H
São compostos orgânicos que derivam dos ácidos carboxı́licos pela substituição do hidrogênio da hidroxila por
um metal. Em sua nomenclatura, dá-se o sufixo ato ao
são compostos orgânicos que apresentam o grupo carbonila nome da cadeia de origem (igual aos ésteres) seguido da preentre carbonos. Em sua nomenclatura usamos o sufixo ona. posição de e do nome metal. Os sais de ácidos carboxı́licos
de cadeia longa são denominados de sabões.
Fórmula Geral
Fórmula Geral
O
//
O
R - C - R
//
R - C
\
+
Haletos Orgânicos
ONa
São compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca de
um ou mais hidrogênios por halogênios (F, Cl, Br, I).
Cetonas
Fórmula Geral
R - X
Haletos de Ácidos
São compostos orgânicos que derivam dos ácidos carboxı́licos pela substituição da hidroxila por um halogênio.
180
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Em sua nomenclatura, o nome do ânion correspondente ao Amidas
haleto seguido da preposição de e do nome do acido de oriSão compostos orgânicos obtidos normalmente da reação
gem com a terminação ila.
de um ácido carboxı́lico e uma amina. Em sua nomenclaFórmula Geral
tura, substitui-se a terminação óico do ácido carboxı́lico por
amida. São usados na preparação de medicamentos.
O
Fórmula Geral
//
R - C
O
\
//
X
R - C
\
NH2
Anidridos de Ácido Carboxı́lico
São compostos orgânicos obtidos pela desidratação intermolecular de dois ácidos carboxı́licos. Sua nomenclatura é
composta pela palavra anidrido seguido do nome do menor
ácido e por fim o nome do maior ácido. Caso o anidrido
possuir cadeias iguais, não se deve repetir o nome do ácido.
Fórmula Geral
O
//
Nitrilas
São compostos orgânicos obtidos do ácido cianı́drico pela
substituição do hidrogênio por um radical derivado de hidrocarboneto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarboneto correspondente seguido do sufixo nitrila.
Fórmula Geral
R - C
\\\
N
R - C
\
O
/
Nitro Compostos
R - C
\\
O
Funções Nitrogenadas
São compostos orgânicos derivados do ácido nı́trico pela
substituição da hidroxila por um radical alquila ou arila.
Em sua nomenclatura, usa-se o prefixo nitro seguido do
nome do hidrocarboneto correspondente.
Fórmula Geral
Aminas
São compostos orgânicos derivados da amônia (N H3 ) pela
substituição de um ou mais hidrogênios por radicais alquila
ou arila. As aminas são usadas como corantes. Em sua
nomenclatura usa-se o nome do radical
O
//
R - N
\
O
ou
R - NO2
Fórmula Geral
Curiosidade
H
/
R - N
\
H
(amina primária)
H
/
Computadores orgânicos atualmente estudados, tem processadores ultra-pequenos, 100 bilhões de vezes mais rápidos
que os atuais. a tecnologia adotada emprega ”Molecular Switches”, que, na verdade, são moléculas orgânicas
que desempenham o papel dos mais variados componentes
eletrônicos de um microprocessador.
R - N
\
R
(amina secundária)
• Os compostos orgânicos são usados largamente pela
industria quı́mica. Você conhece alguns compostos?
Comente e dê suas respectivas fórmulas estruturais.
R
/
R - N
\
R
Pense um Pouco!
(amina terciária)
• Uma das aminas responsáveis pelo cheiro de peixe é a
trimetilamina. Dê sua fórmula molecular.
181
Quı́mica Orgânica – Aula 2
Exercı́cios de Aplicação
muito fortes, utilizada em pacientes com doenças terminais
muito dolorosas. Algumas das funções orgânicas existentes
na estrutura da morfina são:
1. (ITA-2004) A estrutura molecular da morfina está reprea) álcool, amida e éster.
sentada abaixo.
b) álcool, amida e éter.
c) álcool, aldeı́do e fenol.
d) amina, éter e fenol.
e) amina, aldeı́do e amida
5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietnã (década de
60 do século passado), foi usado um composto chamado
agente laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante
das árvores, impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocultassem nas florestas durante os ataques dos
bombardeiros. Esse material continha uma impureza, resultante do processo de sua fabricação, altamente cancerı́gena,
chamada dioxina. As fórmulas estruturais para estes compostos são apresentadas a seguir.
Assinale a opção que apresenta dois dos grupos funcionais
presentes nesta substância.
a) Álcool e éster.
b) Amina e éter.
c) Álcool e cetona.
d) Ácido carboxı́lico e amina.
e) Amida e éster.
2. Escreva as fórmulas de estrutura dos seguintes compostos:
a) 2,2,4-trimetil pentano
b) 2-bromopropeno
c) propino
Esses compostos apresentam em comum as funções:
d) 2,2-dicloro-1-fluoro-3-iodobutano
a) amina e ácido carboxı́lico
e) 2,5-hexanodiol
b) ácido carboxı́lico e amida.
f) éter etilfenı́lico
c) éter e haleto orgânico.
g) éter dipropı́lico
d) cetona e aldeı́do.
h) etanol
e) haleto orgânico e amida.
i) 5-etil-5-metil-heptanona-3
6.
O Biodigestor promove, através da atividade de
j) benzaldeı́do
bactérias,
a conversão dos esgotos em material inerte e em
k) ácido 2-cloro-2-metil propanóico
biogás.
O
principal biogás obtido neste reator é:
l) etanoato de butilo
a)
CH
4
m) pentanamida
b) CH3 CH2 OH
n) etilfenilmetilamina
c) N O2
o) ciclopentano
d)
SO2
p) ciclobuteno
e) C2 H6
3. O teflon é usado em panelas como frigideiras com finalidades de não permitir a aderência de gordura
F
F
|
|
(repete) - C - C - (repete)
|
|
F
F
Sua nomenclatura oficial será:
a) flúor-etano
b) diflúor-metano
c) tetraflúor-eteno
d) butano-flúor
e) n. d. a.
4. (UFSCAR-2004) A morfina é um alcalóide que constitui
10% da composição quı́mica do ópio, responsável pelos efeitos narcóticos desta droga. A morfina é eficaz contra dores
Exercı́cios Complementares
7. (UFMA) A reação: álcool + ácido carboxı́lico, produz:
a) éter
b) haleto de alcoı́la
c) anidrido de ácido
d) éster e água
e) sal e água
8. Os grupos orgânicos obtidos a partir dos alcanos pela
perda dos átomos de hidrogênio
CH3 - CH2 - CH - CH3
|
H*
182
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Polı́meros
CH3 - CH - CH3
|
H*
assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente:
a) isobutil e s-pentil;
b) isobutil e isopropil;
c) s-butil e isopropil;
d) s-butil e s-pontil.
e) n. d. a.
Polı́meros sãos macro-moléculas (molécula muito grande)
que apresentam unidades estruturais que se repetem regularmente. As moléculas que reagem para formar os
polı́meros se denominam monômeros. Existem muitos
polı́meros naturais, como a celulose, o amido, as proteı́nas,
etc.
9. Dê a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo:
CH
3
1
(a)
2
CH
(b)
3
Figura 1: Um monômero (esquerda), e um polı́mero
(direita).
10. (SUPRA-98) A partir de novembro do próximo ano
1999, chegará ao estado de santa Catarina gás natural proveniente da Bolı́via, via Mato Grosso do Sul passando por
São Paulo, Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O
gás natural é utilizado com êxito nos paı́ses desenvolvidos
e estará disponı́vel para uso industrial, comercial e residencial. A médio prazo trará economia aos seus usuários substituindo o emprego de óleo diesel nas indústrias. As vantagens
ecológicas são as primeiras destacadas por quem conhece os
resultados do uso do gás natural. O gás não é poluente, porque não emite cinzas e tem queima de 97%, não necessita de
tratamento efluentes gasoso e não interfere na coloração dos
produtos fabricados (especialmente a cerâmica). Registros
da Petrobrás responsável pelo gasoduto Bolı́via- Brasil.
Este texto refere-se ao gás:
a) etano
b) propano
c) benzeno
d) metano
e) acetileno
11. (ACE) A gasolina é constituı́da principalmente por mistura de:
a) alcanos
b) hidretos
c) álcoois
d) compostos de chumbo
e) n. d. a.
Em função do tipo de reação que ocorre com o monômero,
os polı́meros podem ser de adição ou de condensação.
Podemos também classificar os polı́meros quanto ao numero
de monômeros utilizados no processo.
Homopolı́meros - formados a partir de um único
monômero.
Copolı́meros - formados a partir de dois ou mais
monômeros.
Polı́meros de Adição
São formados por reações de adição. Na estrutura do
monômero encontramos dupla ligação entre carbonos. Esta
é aberta, e da união das valências livres entre os monômeros,
vamos obter o polı́mero.
Homopolı́meros
Temos alguns exemplos de polı́meros de adição:
12. (UF-SÃO CARLOS) Um alcanos encontrado nas folhas
de repolho contém em sua fórmula 64 átomos de hidrogênio.
O número de átomos de carbono na fórmula é:
a) 29
b) 32
c) 30
d) 33
e) 31
Quı́mica Orgânica Aula 3
• Polietileno - sacolas plásticas, toalhas, cortinas, revestimentos de fio, embalagens, etc.
• Policloreto de vinila (PVC) - tubos de encanamentos,sapatos plásticos, disco de vinil (lembra?) capas
de chuva etc.
• Poliestireno - isopor quando aerado, plástico rı́gido
transparente.
• Politetrafuoretileno (PTFE ou teflon) - revestimento
de cabos condutores de eletricidade e panelas.
• Polipropileno - pára-choques de automóveis, cordas,
tapetes etc.
• Borracha sintética - pneu, mangueiras, correias.
183
Quı́mica Orgânica – Aula 3
Copolı́meros
Os principais copolı́meros de adição são as borrachas
sintéticas, como a BUNA-S e BRUNA-N. A finalidade da
adição de um segundo monômeros ao 1,3-butadieno é melhorar as propriedades mecânicas e fı́sicas do produto final.
Polı́meros de Condensação
São polı́meros formados pela condensação de moléculas de
monômeros, com a eliminação de pequenas moléculas, como
água, ácido clorı́drico, etanol, etc.
O craqueamento do petróleo consiste em quebrar as cadeias
longas do petróleo em cadeias menores visando aumentar a
produção de gasolina e GLP.
(HO − A − OH)n → · · · (O − A − O − A) · · · + H2 O
Em relações de policondensação, haverá a formação de homopolı́meros, se houver somente um monômero. Já, se
na reação existirem dois ou mais monômeros, o polı́mero
será um copolı́mero. Os principais homopolı́meros de condensação são: amido, celulose, proteı́nas, nylon 6 e nylon
11. os copolı́meros de condensação são mais comuns e entre
eles estão: nylon 6.6, poliésteres, resinas de uréia-formol.
Petróleo
É a mais importante fonte de obtenção de hidrocarbonetos. É um liquido oleoso, escuro, formado por diversos compostos orgânicos. A maior parte dos produtos obtidos do
petróleo é utilizada como fonte de energia, ou sela, é utilizada como fonte de energia, ou seja, é usada nas reações
de combustão. O petróleo formou-se há milhões de anos,
quando pequenos animais marinhos, plâncton e vegetais de
região pantanosas depois de mortos misturaram-se à terra
lamacenta, formando uma “massa orgânica”. Por milhões
de anos, houve deposição de rochas, que comprimiram essa
“massa”, decompondo lentamente o material que a constituı́a
Extração do Petróleo
Os derivados do petróleo são obtidos a partir de uma destilação fracionada como mostra a figura a seguir:
Você deve ter notado que a ordem dos produtos é de acordo
com o tamanho da cadeia carbônica. Os menores são os
primeiros a sair, pois são mais leves, começando pelo gás
natural, vindo então o restante, dos mais finos (GLP - gás
de cozinha, querosene, óleo diesel, óleos lubrificantes) aos
mais densos (graxas piche e resı́duo asfálticos).
Gasolina
A mistura de hidrocarbonetos de 5 a 10 carbonos é chamada
comercialmente de gasolina. Como você já deve ter ouvido
falar, existem diferentes tipos de gasolina. Essa diferença
é determinada pela pureza e resistência da mistura à compressão dentro dos cilindros dos motores dos automóveis.
Para medir essa resistência, foi criado o ı́ndice de octanagem
da gasolina. Esse ı́ndice compara a gasolina a uma mistura
contendo isooctano (2,2,4-trimetilpentano) e outras cadeias.
Assim, uma gasolina de octanagem 60 tem a mesma resistência que uma mistura de gasolina que possui 60% de
iso-octano.
Hulha
A hulha, também conhecida como carvão-de-pedra ou
carvão mineral, é resultado do soterramento de arvores de
grande porte há milhões de anos. Da destilação a seco da
hulha, obtemos quatro frações principais, a saber:
• Gás de iluminação - também chamado de gás de hulha,
é constituı́do principalmente por H2 , CH4 e CO.
• Águas amoniacais - é uma solução de N H4 OH e seus
sais. É importante na obtenção de adubos.
• Alcatrão de hulha - é um liquido oleoso escuro constituı́do por vários compostos orgânicos, principalmente
aromáticos.
• Carvão coque - é o principal produto, usado como redutos na siderurgia e com combustı́vel.
Pense um Pouco!
Craqueamento do Petróleo
Um problema que enfrentamos é que o maior consumo dentre os subprodutos do petróleo é o da gasolina, e, pela destilação fracionada, obtemos aproximadamente 15% dessa
substância. Para aumentara a produção de gasolina, submetemos as frações formadas por cadeias maiores ao craqueamento ou, cracking. O processo consiste em aquecer
a mistura de frações pesadas em presença de catalisadores
adequados, quebrando essas cadeias longas em cadeias menores, que aumenta significativamente a produção de GLP
e gasolina.
• Os componentes do gás engarrafado ou do gás de iluminação (H2 , CH4 e CO), não apresentam cheiro: porem quando esse gás chega a sua casa ele apresenta
odor desagradável, devido a adição de substancias denominadas mercaptanas.
a) Com qual finalidade essas substancias são adicionadas a mistura do gás engarrafado?
b) Dentre os compostos que constituem essa mistura
gasosa, qual deles pode causar a morte ou intoxicação
pela sua respiração em concentrações relativamente
baixas?
184
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios de Aplicação
1. (UFSC) Considere as afirmações sobre o Petróleo e seus
derivados e identifique a(s) correta(s):
01. O petróleo formou-se a milhões de anos, quando animais
e vegetais marinhos foram soterrados e submetidos à ação
do tempo, de micro organismo, de calor e pressão elevada.
02. O craqueamento do petróleo consiste na quebra das
frações mais pesadas (moléculas maiores), transformando
as em frações mais leves (moléculas menores) , através do
aquecimento e de catalisadores.
04. Os alcanos, além de combustı́veis, são matéria-prima
para milhares de compostos orgânicos, através da indústria
petroquı́mica.
08. Gasolina, óleo diesel, querosene, óleo lubrificante e
álcool etı́lico são substancias obtidas por destilação do
petróleo crú.
16. O Brasil é auto-suficiente em petróleo.
2. (UEPG-PR) São exemplos de polı́meros naturais e
sintéticos respectivamente:
a) PVC e sacarose;
b) celulose e polietileno;
c) poliéster e maltose;
d) proteı́na e glicose;
e) baquelite e lactose
3. (FESP) O cracking das frações médias da destilação do
petróleo é, hoje, uma tecnologia empregada na maiorias das
refinarias porque:
a) aumenta o rendimento em óleos lubrificantes;
b) economiza energia técnica no processamento de destilação;
c) permite a utilização de equipamentos mais compactos;
d) facilita a destilação do petróleo;
e) aumenta o rendimento das frações leves.
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Quı́mica Orgânica Aula 4
Isomeria
Isômeros são compostos quı́micos diferentes, com propriedades diferentes, formados pelos mesmos elementos
quı́micos nas mesmas quantidades. São, portanto, compostos quı́micos diferentes com mesma formula molecular.
A isomeria divide-se em:
• Isomeria plana ou constitucional
– de cadeia
– de posição
– de compensação ou metameria
– de função
– por tautomeria
• Isomeria espacial ou configuracional
– geométrica
– óptica
• Isomeria plana ou constitucional
Quando os compostos, ou seja, os isômeros, apresentam formulas estruturais planas diferentes, eles são
chamados de isômeros planos.
• Isomeria de cadeia
São compostos de mesma função e com diferença na
cadeia carbônica.
Exercı́cios Complementares
4. (ACAFE-SC) Uma fonte importante de hidrocarbonetos
saturados é:
a) alcatrão de madeira
b) óleo vegetal
c) alcatrão de hulha
d) petróleo
e) eletrólise da água marinha
5. (UFRS) O GLP (gás liquefeito de petróleo) é uma fração
de destilação constituı́da essencialmente de:
a) metano;
b) propano e butano;
c) hexanos;
d) metano, etano e propano;
e) heptano, octano e butano;
6. (UFRGS) O alcatrão de hulha é uma fonte de:
a) hidrocarbonetos alifáticos
b) gases combustı́veis
c) compostos aromáticos
d) óleos comestı́veis
e) hidrocarbonetos alicı́clicos.
Ambos têm a mesma fórmula molecular (C4 H10 ) e a
mesma função (hidrocarbonetos). A diferença entre ele
é o tipo de cadeia carbônica, portanto são isômeros de
cadeia.
• Isomeria de posição
São compostos de mesma função e com diferentes
posições para a instauração ou grupamento (radical ou
grupo funcional).
Veja os exemplos.
Quı́mica Orgânica – Aula 4
185
• Isomeria de compensação ou metameria
São compostos de mesma função e com diferença na
posição do heteroátomo.
Vale lembrar que heteroátomos são elementos diferentes (normalmente N,O,S) entre os átomos de carbono.
Veja os exemplos:
• Isomeria por tautomeria
São compostos de funções quı́micas diferentes que apresentam equilı́brio dinâmico. Os casos mais comuns de
tautomeria ocorrem entre aldeı́do e enol, chamado de
equilı́brio aldo-enóico, e entre cetona e enol, chamado
de equilı́brio ceto-enóico.
• Isomeria de função
São compostos de funções quı́micas diferentes com
mesma formula molecular.
Exemplos:
• Isomeria espacial ou configuracional
Quando precisamos recorrer a estruturas ou formulas
espaciais para explicar a isomeria que ocorre entre compostos, chamamos esta isomeria de espacial, configuracional ou estereoisomeria.
• Isomeria geométrica ou cis-trans
Os isômeros são compostos que possuem a distribuição
espacial diferentes. Este tipo de isomeria espacial
ocorre, caso existam ligações duplas ou cadeia fechada
ou ainda, os ligantes estejam ligados a carbonos diferentes. Os isômeros podem ser classificados como cis
ou trans.
186
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Pense um Pouco!
• O que é isomeria?
Exercı́cios de Aplicação
Note que chamamos de cis os isômeros que apresentam os ligantes iguais do carbono de dupla ligação do
mesmo lado e de trans, os que apresentam os ligantes 1. (UNI-RIO) Os compostos abaixo são produtos naturais
iguais do átomo de carbono de dupla ligação em la- empregados em dentrifrı́cios, devido à sua ação anti-séptica
dos opostos. Para que ocorra isomeria geométrica nos e sabor agradável.
compostos cı́clicos (cadeias fechada), é necessário que,
em pelo menos dois carbonos do ciclo, devem existir
dois grupos ligantes diferentes para cada um deles.
Exemplo:
• Isomeria óptica
Os isômeros ópticos são compostos capazes de desviar
a luz polarizada. Mas como saber se a substancia que
nos é apresentada em um exercı́cio pode ou não desviar a luz polarizada? A resposta é simples: desvia a
luz polarizada toda substância que possui assimetria
molecular.
Um composto que com assimetria molecular pode
desviar a luz para direita, sendo chamado composto
dextrógiro, ou para a esquerda sendo chamado composto levógiro.
Os casos mais comuns de assimetria molecular estão
relacionados com o carbono quiral. Carbono quiral é o
carbono que possui quatro ligantes diferentes.
Um exemplo de composto que apresenta o carbono quiral, e por tanto, apresenta isomeria óptica é o ácido
lático.
Assinale a opção que indica corretamente a relação entre
esses compostos:
a) A e B são isômeros de posição.
b) B e C são isômeros de cadeia.
c) A, B e C possuem ligação pi e são aromáticos.
d) Os compostos C e A são fenóis.
e) A e C são isômeros de função.
2. (UFRJ) O ciclopropano e o éter etı́lico (etóxi-etano)
foram muito utilizados, no passado, como anestésicos de
inalação.
a) Escreva a fórmula estrutural e o nome do isômero de
cadeia do ciclopropano.
b) Escreva a fórmula estrutural e o nome do álcool terciário
que é isômero do éter etı́lico
3. (CESGRANRIO) Dados os compostos:
I) CH3 − CH = CH − CH3
II) CH2 = CH − CH2 − CH3
III) CH3 CH − (CH3 ) − CH3
IV) CH3 − CH2 − CH2 − CH3
Podemos afirmar que:
a) I e II são isômeros geométricos
b) I e III são isômeros de posição
c) I e IV são isômeros funcionais
Acido lático
d) III e IV são isômeros de posição
Assim sendo, ao incidimos luz polarizada sobre o ácido e) III e IV são isômeros de cadeia
lático é possı́vel que este desvie a luz polarizada para
a direita, neste caso, teremos o d-lático (dextrógiro), 4. (CESGRANRIO) Considere os compostos:
ou para a esquerda quando então teremos o l-lactico I) Buteno-2
(levógiro). Isômeros que desviam a luz polarizada são II) Penteno-1
chamados de oticamente ativos. Tanto o d-láctico e IV) 1, 2 - dimetilciclopropano
o l-lático são isômeros oticamente ativos, entre tanto V) Ciclobutano
se misturamos quantidades iguais destes compostos ( Em relação à possibilidade de isomeria cis-trans, pode-se
levógiro + destrógiro),vamos obter uma mistura que é afirmar que:
oticamente inativa. Esta mistura é chamada de mis- a) aparece apenas no composto I.
tura rancêmica e será representada por dl-lático. E ou- b) ocorrem em todos os compostos.
tras palavras uma mistura rancêmica é a mistura equi- c) ocorre somente nos compostos II e IV.
molar de dois isômeros ópticos, ou seja, é uma mistura d) aparece somente nos compostos I e III.
de 50% de levógiro e 50% de dextrógiro.
e) só não ocorre no composto I
Quı́mica Orgânica – Aula 4
Exercı́cios Complementares
5. (PUC-MG) Numere a segunda coluna relacionando os
pares de compostos com o tipo de isomeria na primeira coluna. Isomeria
1.
2.
3.
4.
5.
de cadeia
de função
de posição
de compensação
tautomeria
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
etoxipropano e metoxibutano
etenol e etanal
etanoato de metila e ácido propanóico
1-propanol e 2-propanol
n-pentano e neopentano
A numeração CORRETA encontrada, de cima para baixo,
é:
a) 54231
b) 31245
c) 52431
d) 35124
e) 45231
6. (PUC-MG) O hidrocarboneto de fórmula C5H10 pode
apresentar os seguintes tipos de isomeria:
a) apenas de cadeia e de posição
b) apenas de função, de cadeia e de posição
c) de cadeia, de posição, geométrica e óptica
d) de compensação, tautomeria, cis-trans e óptica
e) n. d. a.
7. (PUC-MG) São compostos que apresentam isomeria,
EXCETO:
a) CH3 CH2 CH2 OH
b) CH3 COCH3
c) CH3 CH2 COOH
d) CH3 CH2 CHO
e) CH3 CH2 CH3
187
188
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Parte III
Matemática
191
Matemática A – Aula 1
Matemática A Aula 1
Funções
O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos
dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que
faça corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto
um único elemento do segundo conjunto, ocorre uma função.
Observemos os pares de conjuntos abaixo.
Relações e Funções
Relações
Dados dois conjuntos não vazios S e T chama-se relação R
de S em T qualquer subconjunto de S × t. Assim, R está
contido em S × t (R ⊂ S × T ).
Exemplo
Exemplos
1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a
relação R = {(x, y) ∈ L × A | y = x2 }.
R = {(x, y) | x < y}
A
L
A
2
B
1
3
0
5
4
25
9
81
12
2
4
6
144
5
Figura 2: A relação R de L em A é uma função.
Figura 1: A relação R de A em B
2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e
a relação R = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x}.
Notação
Podemos escrever uma relação de A em B das seguintes
formas:
B
A
10
• Nomeando todos os pares ordenados, por exemplo:
R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3)}.
12
• Através de uma sentença matemática, por exemplo:
R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 1}, sendo que
A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 5, 9}.
15
16
13
20
24
30
26
Domı́nio e Imagem
Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos
pares ordenados (x, y) de uma relação damos o nome de
domı́nio e representamos por D(R).
Os segundos elementos desses pares formam o conjunto
imagem da relação: Im(R). Assim, na relação R =
{(−1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {−1, 0, 1} e Im(R) =
{3, 4, 5}.
Representação
Podemos representar uma relação por um diagrama de setas
ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A =
{−1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 4} e a relação R = {(x, y) ∈ A ×
B | y = x2 }.
Figura 3: Não é função.
3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a relação
R = {(x, y) ∈ A × B | y = x + 2}.
4. Dados A = {16, 81} e B = {−2, 2, 3} e a relação R =
{(x, y) ∈ A × B | y 4 = x}
Serão reconhecidas como função as relações que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo
que cada elemento de A deve estar ligado somente a um
único elemento de B.
192
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
B
A
7
—
L
6
5
14
15
12
16
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A
2
5
4
25
9
81
26
144
25
23
Figura 6: Função injetora
Figura 4: É função.
B
A
B
A
1
16
−2
2
2
81
4
3
5
3
Figura 7: Função que não é injetora
Figura 5: Não é função.
Função Sobrejetora
Domı́nio, Imagem e Contradomı́nio
Tomemos os exemplos acima que representam funções
(Exemplos 1 e 3):
Para ambos os exemplos, chamamos de domı́nio Dom o
primeiro conjunto, neste caso o conjunto A.
Nos exemplos Dom = {2, 5, 9, 12} e Dom = {5, 12, 23}, respectivamente.
Uma função y = f (x) : A −→ B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem é igual ao contradomı́nio:
Im(f ) = B
Exemplos
B
A
A imagem Im será o conjunto dos elementos y que têm
correspondência com x.
1
1
Im = {4, 25, 81, 144} e Im = {7, 14, 25}, nos exemplos 1 e
3.
O contradomı́nio CDom será o conjunto B completo.
2
2
CDom
=
{4, 25, 81, 144}
e
CDom
{6, 7, 14, 15, 16, 25, 26}, nos exemplos acima.
=
Tipos de Funções
3
4
3
Figura 8: Função sobrejetora
Função Injetora
Uma função y = f (x) : A −→ B é injetora, se somente
se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do
domı́nio de f (x) possuem imagens distintas em B.
Exemplos
Função Bijetora
Uma função y = f (x) : A −→ B é bijetora, se somente se,
é injetora e sobrejetora.
Na figura 10 temos que a função:
193
Matemática A – Aula 1
B
A
L
A
2
5
1
1
2
3
2
L
4
25
9
12
A
2
4
25
5
9
12
81
144
81
144
(a)
(b)
3
Figura 11: (a) f : L −→ A e (b) f −1 : A −→ L.
Função Composta
Figura 9: Função que não é sobrejetora
L
A
2
5
9
12
4
25
Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4},
C = {4, 16}, vamos considerar as funções:
f : A −→ B definida por f (x) = 2x;
g : B −→ C definida por g(x) = x2 .
C
A
1
81
h
4
2
16
f
144
g
2
4
B
Figura 10: Função bijetora
• É injetora, pois quaisquer elementos distintos de A possuem imagens distintas em B;
• É sobrejetora, pois
Im = B = {4, 25, 81, 144};
• É bijetora porque é injetora e sobrejetora.
Função Inversa
Considere uma função y de L −→ A, sendo que Dom = L
e Im = A. A função inversa de y será aquela função que
fizer corretamente a relação de A −→ L onde Dom = A e
Im = L.
Ou seja, a função inversa “transforma” o que antes era
domı́nio em imagem e imagem em domı́nio. Porém, isto
só poderá ocorrer se y for bijetora.
Então, podemos definir:
Dada função bijetora y = f (x) : A −→ B, chama-se função
inversa de f a função f −1 : B −→ A tal que (a, b) ∈⇔
(b, a) ∈ f −1 .
Exemplos
y = f (x) = x2 ;
Dom = {2, 5, 9, 12}
Im = {4, 25, 81, 144}
A função inversa
será:
p
x = f (y) = (y)
Dom = {4, 25, 81, 144}
Im = {2, 5, 9, 12}
Figura 12: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)}
Observamos que:
• A cada x pertencente a A associa-se um único y pertencente a B tal que y = 2x;
• A cada y pertencente a B associa-se um único z pertencente a C tal que z = x2 ;
• A cada x pertencente a A associa-se um único z per2
tence C tal que z = y 2 = (2x) = 4x2 .
Então, podemos afirmar que vai existir uma função h de A
em C definida por h(x) = 4x2 , que indicamos por g ◦ f ou
g(f (x)) (lê-se: g composta com f ).
Logo: h(x) = g ◦ f = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}.
Função Par
É a função em que qualquer que seja o valor de x ∈ D ocorre
f (x) = f (−x).
Exemplos
f (x) = x2
f (x) = |x|
f (x) = cos(x)
194
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
y
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y
f(x 2 )
x2
|x|
f(x 1 )
O
x1
x2
x
cos(x)
x
Figura 15: Função crescente.
Figura 13: Exemplos de funções pares.
Função Ímpar
É a função em que para todo valor de x ∈ D ocorre f (x) =
−f (−x).
Exemplos
Função Decrescente
Uma função y = f (x) é decrescente num conjunto A se,
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto
A, com x1 < x2 , tivermos f (x1 ) > f (x2 ).
Exemplos
f (x) = −x + 2
f (x) = x
f (x) = 10−x
f (x) = sin(x)
f (f ) = −2x
f (x) = x3
y
x3
y
f(x 1 )
x
sen(x)
f(x 2 )
x
O
x1
x2
x
Figura 16: Função decrescente.
Figura 14: Exemplos de funções ı́mpares.
Função Definida por Partes
É aquela função que é definida por mais de uma relação.
Função Crescente
Exemplo

Uma função y = f (x) é crescente num conjunto A se,  x + 1, se x > 2;
somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto
x2 ,
se -2 ≤ x ≤ 2;

A, com x1 < x2 , tivermos f (x) < f (x2 ).
2,
se x < −2
Exemplos
f (x) = x + 2
f (x) = 10x
f (x) = x3
Função Constante
Toda função f : R −→ R, definida por f (x) = C, com
C pertencendo ao conjunto dos reais, é denominada função
constante.
195
Matemática A – Aula 2
y
y
b) 3x + 2
c) 1/(2x − 3)
d) 2x + 3
e) n. d. a.
y
C>0
C=0
O
x
O
x
O
C<0
x
6. (UDESC) Seja f (x) = c − ax2 . Se f (−1) = 1 e f (2) = 2,
então f (5) é igual a:
a) 3
b) 11/3
c) 7/3
Pense um Pouco!
d) 9
A função n : A −→ R, definida por n(t) = 6t + t2 , ex- e) -3
pressa o número de colônias de bactérias em uma placa,
√
2
onde n é o número de colônias, t é tempo em horas e 7. O domı́nio da função real f (x) = 1 − x é o conjunto:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os a) {x ∈ R | − ∞ < x < ∞}
instantes em que as colônias foram contadas. Com esses b) {x ∈ R | 0 ≤ x < ∞}
c) {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}
dados, determine:
d) {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 1}
a) O número de colônias para t = 3h;
e) n. d. a.
b) O conjunto contradomı́nio CDom(n);
c) O conjunto imagem Im(n).
Exercı́cios de Aplicação
1. Seja a função f (x) = −3 + 2x. Então pode-se dizer que:
a) f (x) é uma função par
b) f (x) é uma função ı́mpar
c) f (1) = 5
d) f (x) é uma função dedcrescente
e) f (x) é uma função crescente
Matemática A Aula 2
Funções Polinomiais
Função Polinomial de 1◦ Grau
Uma função f com A,B ⊂ R é uma função polinomial do
1◦ grau se a cada x ∈ A se associa o elemento (ax + b) ∈ B,
com a pertencendo a R∗ e b pertencendo a R:
2. Se a função f : R∗ em R é tal que f (x) = (2x + 2)/x,
então f (2x) é:
a) x/(2x + 2)
f : A → B definida por f (x) = ax + b ou y = ax + b
b) 2x + 1
c) (2x + 1)/x
Na sentença matemática y = ax+b, as letras x e y represend) (4x + 1)/x
tam as variáveis, enquanto a e b são constantes denominadas
e) (4x + 2)/x
coeficientes.
2x−1
Na função real f (x) = ax + b, a é o coeficiente angular e
3. (FCC-SP) A função inversa da função x+3 é:
b é o coeficiente linear. Pelo coeficiente angular, sabemos
a) f −1 (x) = (x + 3)/(2x − 1)
se a função é crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). O
b) f −1 (x) = (3x − 1)/(x − 2)
coeficiente linear indica a ordenada do ponto em que a reta
c) f −1 (x) = (3x − 1)/(2 − x)
intercepta o eixo Y .
d) f −1 (x) = (3x + 1)/(2 − x)
e) f −1 (x) = (1 − 2x)/(3 − x)
f(x) = −2x − 1
Exercı́cios Complementares
4. (UFSC) Dada a função f : R em R+ , definida por
f (x) = x2 + 1, determine a soma dos números associados às
afirmações verdadeiras.
01. A função é sobrejetora.
02. A imagem da função é R+ .
04. A função √
é bijetora.
08. Para x = 5, temos f (x) = 6.
16. O gráfico de uma função é uma reta.
32. A função é par.
5. (UA) Se f e g são funções tais que f (x) = 2x − 3 e
f (g(x)) = x, então g(x) é igual a:
a) (x + 3)/2
Y
1
−1
1
X
−1
Figura 1: Gráfico da função f (x) = −2x − 1.
196
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Gráfico
Para construirmos gráficos de funções devemos seguir os seguintes passos:
Y
f(x) = x − 2
• atribuı́mos valores a variável x;
• substituı́mos na função;
• encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y.
Tendo encontrado o valor de y, temos agora o par ordenado
(x, y) que devemos encontrar no plano cartesiano.
x
0
1
2
y =x−2
y = 0 − 2 = −2
y = 1 − 2 = −1
y =2−2=0
0
~ (x=2)
Zero da funçao
−2
(x, y)
(0, −2)
(1, −1)
(2, 0)
Observe que o gráfico de uma função do tipo y = ax + b é
sempre uma linha reta.
X
2
Figura 3: Zero ou raiz da função f (x) = x − 2.
Podemos verificar que a função é crescente pois a = 2 > 0.
O zero da função é:
Y
f(x) = x − 1
A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Observando essas considerações, vamos fazer um esboço do gráfico
da função.
1
−1
2x − 4 = 0 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
1
X
Y
f(x) = x − 2
−1
f(x)>0
0
Figura 2: Gráfico da função f (x) = x − 1.
f(x)<0
X
2
−2
f(x)=0
Zero da Função de 1◦ Grau
Denomina-se zero ou raiz da função f (x) = ax + b o valor x
que anula a função, isto é, torna f (x) = 0. O zero da função
de primeiro grau é único e corresponde a abscissa do ponto
em que a reta corta o eixo x.
x
0
1
2
y =x−2
y = 0 − 2 = −2
y = 1 − 2 = −1
y =2−2=0
Estudo do Sinal
(x, y)
(0, −2)
(1, −1)
(2, 0)
Figura 4: À direita da raiz x = 2 os pontos da reta
têm ordenada positiva e à esquerda ordenada negativa.
Resposta:
f (x) = 0 ⇒ x = 2
f (x) > 0 para {x ∈ R/x > 2}
f (x) < 0 para {x ∈ R/x < 2}
Função Polinomial de 2◦ grau
Dada a função f (x) = 2x − 4, determinar os valores reais
A função dada f (x) : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c,
de x para os quais:
com a,b,c reais e a 6= 0, denomina-se função do 2o grau ou
a) f (x) = 0
função quadrática.
b) f (x) > 0
c) f (x) < 0
Exemplos:
197
Matemática A – Aula 2
onde
f (x)
f (x)
= x2 − 4x − 3 ⇒ {a = 1, b = −4, c = −3}
= −2x2 + 5x + 1 ⇒ {a = −2, b = 5, c = 1}
∆ = b2 − 4ac
é o chamado discriminante.
O gráfico da função de 2◦ grau é uma curva aberta chamada Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola corta o
parábola. Se a > 0, o gráfico da parábola tem concavidade eixo x, ou seja, (x1 , 0) e (x2 , 0) são os pontos de intersecção
da parábola com o eixo x.
voltada “para cima”.
Em geral, quando:
• ∆ > 0, temos x1 6= x2 e a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos diferentes.
Y
• ∆ = 0, temos x1 = x2 e a parábola intercepta o eixo x
em um único ponto.
a>0
• ∆ < 0, não existem raı́zes reais e a parábola não intercepta o eixo x.
0
X
Gráfico Parabólico
O ponto mais alto (ou mais baixo) da parábola é chamado
de vértice. No gráfico abaixo, da função f (x) = x2 −
8x + 12, vemos o ponto V , que é o vértice da parábola. As
coordenadas de V (xv , yv ) são dadas por:
Figura 5: Parábola com concavidade “para cima”.
Se a < 0, a concavidade da parábola é dita “para baixo”.
Eixo de Simetria
Y
(0,12)
Y
0
2
a<0
0
X
−4
6 Vertice X
4
V(4,−4)
Figura 7: Vértice da parábola y = x2 − 8x + 12 e seu
eixo de simetria.
Figura 6: Parábola com concavidade “para baixo”.
V =
b
∆
xv = − , yv = −
2a
4a
e nesse exemplo temos V = (4, −4).
Se traçarmos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo
vértice, estaremos determinando o eixo de simetria da
Denominam-se zeros ou raı́zes de uma função quadrática parábola.
os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam Observe que xv é o ponto médio das raı́zes da parábola:
f (x) = 0.
xv = (x1 + x2 )/2
Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, temos que
resolver a equação f (x) = 0, para obter as raı́zes:
Zero da Função de 2◦ Grau
e
√
−b + ∆
x1 =
2a
√
−b − ∆
x2 =
2a
Intersecção com o eixo Y
Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na função:
2
y = ax2 + bx + c ⇒ y = a(0) + b(0) + c ⇒ y = c
198
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exemplo
2
Para f (x) = x − 8x + 12 as coordenadas para o ponto de
intersecção com o eixo y:
2
y = x2 − 8x + 12 ⇒ y = (0) − 8(0) + 12 ⇒ y = 12
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x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0
x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) > 0
x1 = x2
Então, encontramos (0, 12).
X
Mı́nimo ou Máximo da Parábola
Quando y assume o menor valor da função, ele é a ordenada
do ponto mı́nimo da função (yv ):
Quando y assume o maior valor da função, ele é a ordenada
do ponto máximo da função (yv ):
Y
yV
a<0
x = x1 = x2 ⇒ f (x) = 0
x 6= x1 = x2 ⇒ f (x) < 0
• ∆ > 0, f (x) possui duas raı́zes reais:
V
a>0
0
xV
X
X
Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) > 0
Estudo do Sinal
X
Para estudar o sinal da função f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,
temos que considerar o valor do discriminante (∆) e o sinal
do coeficiente a. Assim:
• ∆ > 0, f (x) possui duas raı́zes reais e diferentes: x =
x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0
x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) > 0
x1 < x < x2 ⇒ f (x) < 0
a<0
Qualquer x pertencente aos reais ⇒ f (x) < 0
a<0
Pense um Pouco!
x
x1
X
2
• O gráfico de um polinômio de primeiro grau é sempre
uma reta?
• O gráfico de um polinômio de segundo grau é sempre
uma parábola?
x = x1 ou x = x2 ⇒ f (x) = 0
x < x1 ou x > x2 ⇒ f (x) < 0
x1 < x < x2 ⇒ f (x) > 0
• Quantos zeros pode ter, no máximo, uma função de
primeiro grau? E a de segundo grau?
• À esquerda e à direita de um zero, a função de segundo
grau tem sempre sinais contrários?
• ∆ > 0, f (x) possui raiz dupla:
Exercı́cios de Aplicação
a>0
x1 = x2
X
1. (FGV-SP) O gráfico da função f (x) = mx+n passa pelos
pontos A(1, −2) e B(4, 2). Podemos então afirmar que:
a) m + n = −2
b) m − n = −2
199
Matemática A – Aula 3
c) m = 3/4
d) n = 5/2
e) m · n = −1
Funções Especiais
2. (PUC-SP) Para que a função do 1o grau dada por f (x) =
(2 − 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter:
a) k = 2/3
b) k < 2/3
c) k > 2/3
d) k < −2/3
e) k > −2/3
O módulo, ou valor absoluto, de um número real x, indicado
por |x|, é definido assim:
x, se, x ≥ 0
|x| =
−x, se, x < 0
Função Modular
3. (UFC-CE) Considere a função f : R → R, definida por
f (x) = x2 − 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4).
b) f possui dois zeros reais distintos.
c) f atinge um máximo para x = 1.
d) O gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
e) n. d. a.
Pela definição, podemos concluir que o módulo de um
número real é sempre maior ou igual a zero.
Cuidado!
√
x2 = ±|x|
Exemplos
| − 10| = 10
|1| = 1
Exercı́cios Complementares
|1/3| = 1/3
|0| = 0
4. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e
intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a − 2b
é igual a:
a) -12
b) -10
c) -9
d) -7
e) 0
Definimos então a função modular se a cada x real se associa
|x|, ou seja:
f (x) = |x|
Observa-se que o domı́nio da função módulo é R e a imagem
R+ .
Representação Gráfica
5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das raı́zes da
equação x2 − 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Y
f(x) = |x|
3
2
1
6. (Santa Casa-SP) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola
de equação y = −128x2 + 32x + 6. A área do retângulo é:
a) 1
b) 8
c) 64
d) 128
e) 256
−3
−2
−1
0
1
2
3
X
Figura 1: Função módulo: f (x) = |x|.
Função Exponencial
2
7. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x +
A função f : R → R dada por f (x) = ax (com a 6= 1 e a > 0)
30x − 5, onde x é quantidade mensal vendida.
é denominada função exponencial de base a e definida para
a) Qual é o lucro mensal máximo possı́vel?
todo x real. Assim, são funções exponenciais:
b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal
seja no mı́nimo igual a 195?
f (x) = 2x
g(x) = (1/3)x
Matemática A Aula 3
h(x) = π x
200
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
2
Y
x
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2o− caso: 0 < a < 1
Y
2
1
(1/2)
a x1
a x2
x
f(x) = a x
1
0
0
1/4
1/2
3/4
1
X
Figura 2: Funções exponenciais: f (x) = 2x e g(x) =
(1/2)x .
Gráfico da Função Exponencial
x1
x2
x1 < x2
0
X
a x1 > a x2
Figura 4: Exponencial decrescente, ax com a < 1.
Vamos representar no plano cartesiano o gráficos das
funções f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x .
b)em quantos dias o número inicial de bactérias irá
triplicar.
Caracterı́sticas
Exercı́cios de Aplicação
• Dom(ax ) = R
• Im(ax ) = R+
• ax é uma função crescente se a > 1
1o− caso: a > 1
f(x) = a x
Y
a x2
2. (PUC-SP) A equação |2x − 1| = 5 admite:
a) duas raı́zes positivas
b) das raı́zes negativas
c) uma raiz positiva e outra negativa
d) somente uma raiz real e positiva
e) somente uma raiz real e negativa
a x1
1
0
x1 < x2
1. (ITA-SP) Considere a equação |x| = x + 2. Com respeito
à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [1,2]
b) a solução pertence ao intervalo [-2,-1]
c) a solução pertence ao intervalo ]-1,1[
d) a solução pertence ao intervalo [3,4]
e) nenhuma resposta é correta
x1
x2
X
a x1 < a x2
Figura 3: Exponencial crescente, ax com a > 1.
• ax é uma função decrescente se 0 < a < 1
• ax passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1
3. (PUC-PR) A equação 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertence
aos reais, admite:
a) os números -2 e 2 como soluções
b) apenas o número 2 como solução
c) apenas o número 1/2 como solução
d) os números 2 e 1/2 como soluções
e) apenas o número -2 como solução
Exercı́cios Complementares
4. (UEL-PR) Quaisquer que sejam os números reais x e y,
a) se |x| < |y|, então x < y
Pense um Pouco!
b) |xy| = |x||y|
c) |x + y| = |x| + |y|
• O número de bactérias em um meio de cultura p
cresce d) | − |x|| = −x
aproximadamente segundo a função n(t) = 500 (3)t , e) se x < 0, então |x| < x
sendo t o número de dias após o inı́cio do experimento.
Calcule:
5. (PUC-SP) Resolvendo a equação 4x + 4 = 5 · 2x , obtemos
a)o número n de bactérias no inı́cio do experimento;
as soluções:
201
Matemática A – Aula 4
a) x1 = 0 e x2 = 1
b) x1 = 1 e x2 = 4
c) x1 = 0 e x2 = 2
d) x1 = −1 e x2 = −2
e) x1 = −4 e x2 = −5
Caso particular
logb
6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y , o valor de x + y
é:
a) 4/3
b) 2/3
c) 1/3
d) 1
e) 2
Matemática A Aula 4
√
1
n
x = logb x1/n = logb x
n
Mudança de Base
Suponha que apareçam logaritmos de bases diferentes e que
precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para
uma base conveniente. Essa operação é chamada mudança
de base:
logc a
logb a =
logc b
onde c é a nova base.
Exemplo
Funções Especiais (II)
log2 10 =
Função Logarı́tmica
1
log10 10
=
log10 2
log10 2
O logaritmo de um número real e positivo a, na base b, Representação Gráfica
positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve
Ao estudar a função exponencial, vimos que ela é bijetora,
elevar a base b para se obter a
portanto admite função inversa, que é a logarı́tmica.
logb a = x ⇐⇒ bx = a
a>1
Observação
Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de
sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais
importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base
10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema é de base 10,
é comum omitir-se a base na sua representação.
y=x
Y
y=a x
loga x2
1
x1 1
Exemplo
Considerando a definição dada, calcular o valor dos
logaritmos: log6 36 = 2
log2 16 = 4
log3 1 = 0
log10 1000 = 3
log10 0, 01 = −2
Propriedades dos Logaritmos
x2
X
loga x1
y=log a x
a>1
f(x) e´ crescente
Figura 1: Função logarı́tmica com base a > 1
• O logaritmo de um produto é igual à soma dos logarit- Do estudo das funções inversas, descobrimos que, no plano
mos dos fatores tomados na mesma base, isto é:
cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação a bissetriz
do 1◦ e 3◦ quadrantes. Assim, para as funções exponencial
logb (x · y) = logb x + logb y
e logarı́tmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos:
• O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do
numerador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto é:
logb (x/y) = logb x − logb y
• O logaritmo de uma potência é igual ao produto do
expoente pelo logaritmo da base da potência, isto é:
logb xn = n logb x
Funções Trigonométricas
Arco de Circunferência
Observemos que os pontos A e B dividem a circunferência
em duas partes. Cada uma dessas partes é denominado arco
de circunferência. Assim, temos:
arco AB = arco BA
202
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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0<a<1
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B
y=x
Y
B
θ = 1 rad
r
y=a x
A
r
A
1
x2
x1
1
X
loga x1
loga x2
y=log a x
0<a<1
f(x) e´ decrescente
Figura 2: Função logarı́tmica com base 0 < a < 1
Observação: O raio da circunferência quando utilizado como
instrumento de medida é denominado raio unitário, isto é,
se o comprimento de um arco é x raios, sua medida é x
radianos. Lembrando que qualquer circunferência tem 360◦,
temos que: 360◦ corresponde a 2π rad e 180◦ corresponde
a π rad.
Ângulo Plano
É a abertura de duas semi-retas que partem do mesmo
ponto.
Ângulo Central de uma Circunferência
É o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência.
B
Sentido do
Movimento
B
^
α e’ angulo
α
central
A
A
Circunferência Trigonométrica
Uma circunferência orientada, de raio unitário (r = 1), soOs ponto A e B são chamados de extremidades dos arcos.
bre
a qual um ponto A é a origem de medida de todos os
Medida de um arco
arcos nela contidos, é uma circunferência trigonométrica.
Grau é o arco unitário equivalente a 1/360 da circunferência
Vamos considerar uma circunferência cujo centre coincide
que o contém.
com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que é
a origem de todos os arcos, como mostra a figura a seguir:
90
o
90 ou π/2 rad
B
o
+
10
180
10
0 o= 360 o
o
2 o− quadrante
o
0 1
270
o
180 ou π rad
C
1 o− quadrante
o
o
0 ou 0 rad
A
o
360 ou 2 π rad
O
3 o− quadrante
4 o− quadrante
−
D
o
270 ou 3 π/2 rad
Observação: 1◦ = 60′ e 1′ = 60′′
Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao comprimento Os eixos 0x e 0y do plano cartesiano dividem a circundo raio da circunferência que o contém.
ferência em quatro arcos de mesma medida, numerados no
203
Matemática A – Aula 4
sentido anti-horário. Esses eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes, também numeradas
no sentido anti-horário.
cos θ
Y
(0,1)
+
Função Seno
Chamamos de função seno a função f : R → R que, a cada
número real x, associa o seno desse número:
_
θ
(−1,0)
O
f (x) = sen(x)
_
O domı́nio dessa função é R e a imagem é intervalo [-1,1],
visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é unitário.
sen θ
cos θ
+
X
(0,−1)
Sinal da função seno
Y
(1,0)
Figura 4: A função cos(x) e o seu sinal.
(0,1)
tag θ
Y
(−1,0)
+
(0,1)
sen θ
θ
O
+
(1,0)
_
_
tag θ
+
X
_
θ
(−1,0)
O
X
_
+
(0,−1)
(1,0)
(0,−1)
Figura 3: A função sen(x) e o seu sinal.
Figura 5: A função tan(x) e o seu sinal.
Função Cosseno
Chamamos de função cosseno a função f : R → R que, a
cada número real x, associa o cosseno desse número.
Co-tangente
Por definição temos:
f (x) = cos(x)
cotg(x) =
O domı́nio dessa função é R e a imagem é o intervalo real
[-1,1], visto que, na circunferência trigonométrica, o raio é para todo x | tan(x) 6= 0
unitário.
Secante
Sinal da Função Cosseno
Por definição temos:
sec(x) =
Função Tangente
A função f definida em R que a cada número x associa a
tangente desse número:
f (x) = tan(x)
O domı́nio da função tan x é R − {nπ/2}, com n =
0, ±1, ±2, . . ., e a imagem da função é R.
Sinal da Função Tangente
1
tan(x)
1
cos(x)
para todo x | cos(x) 6= 0
Cossecante
Por definição temos:
cossec(x) =
para todo x | sen(x) 6= 0
1
sen(x)
204
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Exercı́cios de Aplicação
Relações trigonométricas
tan(x) = sen(x)/cos(x)
1. (FCC-Ba) Indica-se por log(x) o logaritmo do número x
na base 10. A equação xlog(x) = 10000 admite duas raı́zes:
a) iguais
b) opostas entre si
c) inteiras
d) cujo produto é 1
e) cuja soma é 101
sen2 (x) + cos2 (x) = 1
1 + tan2 (x) = sec2 (x)
1 + cotan2 (x) = cossec2 (x)
Transformações Trigonométricas
2. (MACK-SP) Se
Fórmulas da Adição
1
1
1
+
+
=2
Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante,
log2 x log3 x log6 x
cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem
então x2 é igual a:
para esses arcos as seguintes identidades:
a) 25
b) 36
sen (a ± b) = sen(a) · cos(b) ± sen(b) · cos(a)
c) 16
cos (a ± b) = cos(a) · cos(b) ± sen(a) · sen(b)
d) 81
e) 100
tan(a) ± tanb
tan (a ± b) =
1 ∓ tan(a) · tan(b)
Exercı́cios Complementares
Lei dos Senos
É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz 3. (FGV-SP) Determine a de forma√que se tenha simultaneamente sen(x) = 1/a e cos(x) = ( 1 + a)/a
pela seguinte fórmula:
a) a = −1 ou a = −2
a
b
c
b) a = 1 e a = 2
=
=
sen(A)
sen(B)
sen(C)
c) a = −1 e a = 2
d) a = 2 e a = −2
e) a = 1 ou a = −1
c
B
A
4. p
Sendo cos(x) = 1/4 então tan(x) será:
a) p(15)
b) (3)/2
c) 3/4
d) 15/4
e) n. d. a.
a
C
b
a
b
c
=
=
sen A
sen B
sen C
5. (UEL-PR) Para todo número real x, tal que que 0 < x <
1/2, a expressão
sec(x) + tan(x)
cos(x) + cotan(x)
Lei dos Cossenos
é equivalente a:
É a relação válida para qualquer triângulo que se traduz a) sen(x) · cotan(x)
pela seguinte fórmula:
b) sec(x) · cotan(x)
c) cos(x) · tan(x)
a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(a)
d) sec(x) · tan(x)
e) sen(x) · tan(x)
Com essa fórmula, dadas as medidas de dois lados e do
ângulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de
qualquer triângulo. Como se pode ver, é uma generalização
do Teorema de Pitágoras.
Matemática A Aula 5
Polinômios
Pense um Pouco!
• Dado o sen(x) como você acharia o cos(x)?
tan(x)?
• A tan(x) pode ser maior do que 1?
• Para que valores de x temos sen(x) > cos(x)?
Definição
E a
Dados n ∈ N números complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂
C, chamamos de função polinomial ou polinômio na
variável x a função P (x) : C → C tal que:
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
205
Matemática A – Aula 5
onde cada parcela do polinômio é chamada de termo e cada Observação
número complexo que multiplica a variável x é um coeficiQuando A(x) é divisı́vel por B(x), dizemos que a divisão é
ente.
exata, isto é, R(x) = 0.
Observações
1. Se an 6= 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P ) = n;
Exemplos
P (x) = 2x − 1 é um polinômio de 1◦ grau, isto é,
gr(P ) = 1.
P (x) = x5 + 1 é um polinômio de 5◦ grau, isto é,
gr(P ) = 5.
2. Se P (x) = 0, não se define o grau do polinômio.
Valor Numérico
Exemplo
Dividir A(x) = x4 +x3 −7x2 +9x−1 por B(x) = x2 +3x−2:
+x4 + x3 − 7x2 + 9x − 1
−x4 − 3x3 + 2x2
−2x3 − 5x2 + 9x
+2x3 + 6x2 − 4x
−x2 + 5x − 1
−x2 − 3x + 2
2x + 1 : R(x)
x2 + 3x − 2
x2 − 2x + 1 : Q(x)
Divisão de P (x) por (x − a)
Teorema do Resto
O resto da divisão de P (x) por x − a é P (a).
O valor numérico de um polinômio P (x), para x = a, é o
Devemos
ter P (x) = (x − a)Q(x) + R(x).
número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas
as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Como o divisor x−a é de grau 1, o resto será de grau zero, ou
seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos:
P (x) = (x − a)Q(x) + r. Para x = a, vem:
Exemplo
P (a) = (a − a)Q(a) + r = r
Se P (x) = x3 + 2x2 − x − 1, o valor numérico de P (x), para
x = 2, é:
Exemplo
P (2) = 23 + 2 · 22 − 2 − 1 = 13
O resto da divisão de P (x) = x3 + x2 − 4x + 5 por x − 1 é:
Raı́zes de um Polinômio
Se P (a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de
P (x). Um polinômio de grau n admite n raı́zes.
r = P (1) = 13 + 12 − 4 · 1 + 5 = 3
Teorema de D’Alembert
Um polinômio P (x) é divisı́vel por x−a se, e somente
se, P (a) = 0.
Igualdade de Polinômios
Se P (x) é divisı́vel por x − a, então, pelo Teorema do Resto,
Dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos quando r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, pelo
assumem valores numéricos iguais para qualquer valor co- Teorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) é
mum atribuı́do à variável x. A condição necessária e sufici- divisı́vel por x − a.
ente para que dois polinômios A(x) e B(x) sejam iguais ou Exemplo
idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes
P (x) = x3 + 3x2 − 8x − 4 é divisı́vel por x − 2, pois
sejam iguais.
Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios A(x) e B(x), com B(x) 6= 0, e
gr(A) > gr(B), podemos efetuar a divisão de A(x) por
B(x), ou seja, determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que
satisfaçam a seguinte condição:
A(x) = Q(X)B(x) + R(x)
onde
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto da divisão
P (2) = 23 + 3 · 22 − 8 · 2 − 4 = 8 + 12 − 16 − 4 = 0
Divisão de P (x) por ax + b, com a 6= 0
Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b é de grau 1,
r é de grau 0, portanto, uma constante.
Fazendo x = −b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem:
P (−b/a) = [a(−b/a) + b]Q(−b/a) + r
P (−b/a) = (−b + b)Q(−b/a) + r
P (−b/a) = 0 + r =⇒ r = P (−b/a)
Conclusão: o resto da divisão de P (x) por ax + b é r =
P (−b/a).
206
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exemplo
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III
Determinar o resto da divisão de P (x) = x3 + 5x2 − 2x − 1
por 2x − 1.
r = (11/8) − 2 = −5/8
Divisão de P (x) por (x − a)(x − b), (a 6= b)
3
−5
3
multiplicar
Temos que −b/a = 1/2, então r = P (1/2):
r = (1/2)3 + 5(1/2)2 − 2(1/2) − 1 = (1/8) + (5/4) − 1 − 1
somar
2
+1
−2
(3)(2)−5=1
resultado
IV. Multiplica-se a raiz do divisor pelo número colocado
abaixo do segundo coeficiente, e coloca-se o resultado abaixo
deste, e assim sucessivamente.
IV
somar
Temos o seguinte Teorema:
−5
+1
(3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3
resultado
multiplicar
Se P (x) é divisı́vel por x − a e por x − b, com a 6= b,
então é divisı́vel por (x − a)(x − b).
2
3
3
2
3
3
−2
Exemplo
Mostrar que P (x) = x4 − 5x2 + 4 é divisı́vel por x2 − 1.
Solução: como x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), basta mostrar que
P (x) é divisı́vel por x − 1 e por x + 1, isto é, que P (+1) = 0
e P (−1) = 0:
P (+1) = 14 − 5 · 12 + 4 = 1 − 5 + 4 = 0
4
2
P (−1) = (−1) − 5 · (−1) + 4 = 1 − 5 + 4 = 0
Portanto, P (x) é divisı́vel por (x − 1)(x + 1), ou seja, por
x2 − 1.
IV
somar
−5
+1
(3)(2)−5=1 (1)(2)+1=3
resultado
multiplicar
−2
(3)(2)−2=4
V. Separamos o último número formado, que é igual ao resto
da divisão, e os números que ficam à esquerda deste são os
coeficientes do quociente.
V
2
Algoritmo de Briot-Ruffini
3
−5
+1
−2
3
1
3
4
Para facilitar a divisão de polinômios podemos utilizar o
algoritmo de Briot-Ruffini.
Consideremos o seguinte exemplo para compreensão do dispositivo:
Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4
Determinar o quociente e o resto da divisão de P (x) = 3x3 −
5x2 + x − 2 por (x − 2).
Decomposição de um Polinômio
I. Coloca-se a raiz do divisor 2 e os coeficientes do dividendo
{3, −5, 1, −2} na linha de cima:
I
Raiz do
divisor
2
3
Coeficientes do dividendo P(x)
−5
+1
resultado
Podemos aplicar o teorema do resto na decomposição de um
polinômio em fatores. Para tanto, se a é uma raiz ou zero
do polinômio P (x), este é divisı́vel por (x − a); logo:
P (x) = (x − a)Q(x)
−2
Polinômio de 2◦ grau
Note que, se o polinômio não tem um dado termo, o coeficiente desse termo é zero.
II. Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo:
De uma forma geral, o polinômio do 2◦ grau que admite as
raı́zes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1◦ grau,
da seguinte forma:
II
P (x) = (x − a1 )(x − a2 )
Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo
2
3
3
−5
+1
−2
III. Multiplica-se a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e
soma-se o produto com o segundo coeficiente do dividendo,
e coloca-se o resultado abaixo deste.
Exemplo
Fatorar o polinômio P (x) = x2 − 7x + 10. Resolvendo a
equação x2 − 7x + 10 = 0 encontramos as raı́zes a1 = 5 e
a2 = 2, logo,
P (x) = (x − 5)(x − 2)
207
Matemática A – Aula 6
Polinômio de 3◦ grau
b) -1, 1 e 3
c) 0, 1 e 3
Conhecendo uma das raı́zes de um polinômio do 3◦ grau, d) 0, -2 e 2
podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1◦ e) n. d. a.
grau por um do 2◦ grau e, se este tiver raı́zes, podemos, em
seguida decompô-lo também.
Exercı́cios Complementares
Exemplo
Fatorar P (x) = 2x3 − x2 − x.
Escreve-se:
P (x) = 2x(x2 − x/2 − 1/2)
fator do 1◦ grau:
2x = 2(x − 0) =⇒ a0 = 0
fatores do 2◦ grau:
5. (Fuvest-SP) Dividindo-se o polinômio p(x) por 2x2 +
3x + 1, obtém-se o quociente 3x2 + 1 e resto −x + 2. Nessas
condições, o resto da divisão de p(x) por x − 1 é:
a) 2
b) 15
c) 20
d) -1
e) 25
resolvendo-se a equação do segundo grau obtemos as raı́zes 6. (UnB-DF) O número 1 é uma das raı́zes da equação
a1 = 1 e a2 = −1/2, e x2 − x/2 − 1/2 = (x − 1)(x + 1/2), x3 − 7x + 6 = 0. A soma das outras duas raı́zes é:
logo:
a) -7
b) -1
c) 0
P (x) = 2x(x − 1)(x + 1/2)
d) 5
e) n. d. a
Pense um Pouco!
• Um polinômiopode ter um termo do tipo x−2 ?
• Como seria a divisão de (x2 − 1)/(x3 + 1)?
• Desenvolvendo-se (x − 1)1 5 terı́amos um polinômio em
x? Caso afirmativo, qual seria o grau desse polinômio?
7. (UFRJ) O polinômio P (x) = x3 − 2x2 − 5x + d, com
d ∈ R, é divisı́vel por (x − 2).
a) Determine d.
b) Calcule as raı́zes da equação P (x) = 0
Matemática A Aula 6
1. (UFPA) Se F (x) = 2p+q +(p+3)x−2px2 +x3 é idêntico
a P (x) = x3 − 4x2 + 5x + 2, então:
Equações Algébricas
a) p2 + q 2 = 4
b) p2 − q 2 = 0
Teorema fundamental da Álgebra
c) p = q
d) p + q = 4
Toda equação algébrica P (x) = 0, de grau n ≥ 1, tem
e) p − q = 0
pelo menos uma raiz real ou complexa.
Exercı́cios de Aplicação
Definição
2. Dividindo-se o polinômio P (x) = x3 − 7x + 6 por (x + 3),
obtém-se:
a) x2 − 3x − 6
b) x2 − 3x + 3
c) x2 − 6x + 2
d) x2 + 3x − 2
e) x2 − 3x + 2
Chamamos de equação polinomial ou algébrica toda
equação da forma P (x) = 0, em que P (x) é um polinômio
de grau n:
Dados n ∈ N números complexos {ai , i = 0, 1, 2, . . . , n} ⊂
C, chamamos de função polinomial ou polinômio na
variável x a função P (x) : C → C tal que:
3. (UnB-DF) O resto da divisão de P (x) = x5 + x4 − 27 ∗
x3 − x2 + 146 ∗ x − 121 por (x − 4) é
a) 4
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
4. As raı́zes do polinômio x3 − 4x2 + 3x são:
a) 0,-1 e 2
onde cada parcela do polinômio é chamada de termo e cada
número complexo que multiplica a variável x é um coeficiente.
Exemplo
x3 + 3x2 + 2x − 3 = 0
208
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Raiz
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800
600
Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equação polinomial
P (x) = 0 todo número complexo a tal que P (a) = 0.
y
400
200
Exemplos
0
a) 1 é raiz de P (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 pois P (1) =
13 − 3 · 12 + 3 · 1 − 1 = 0;
-200
-400
-4
b) i é raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) =
i3 + i2 + i + 1 = −i − 1 + i + 1 = 0
-2
0
2
4
6
8
10
x
Multiplicidade de uma Raiz
As raı́zes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.
Forma Fatorada
Todo polinômio de grau n pode ser decomposto em n fatores Se uma equação algébrica tiver duas raı́zes iguais, a raiz
da forma (x − a), onde a é raiz de P (x) e também um fator terá multiplicidade 2, isto é, será uma raiz dupla; se tiver
igual ao coeficiente de xn .
três raı́zes iguais, terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz
tripla, e assim sucessivamente.
Se um número a for uma só vez raiz de uma equação
algébrica, ele será chamado raiz simples.
Exemplo
Formar o polinômio cujas raı́zes são 2,-1 e 3. Veja o gráfico Exemplo
desse polinômio.
4
Resolução: O polinômio tem três raı́zes diferentes, logo, Sabendo-se que −1 é raiz dupla da equação P (x) = x −
3
2
3x − 3x + 7x + 6 = 0, determinar o seu conjunto solução.
P (x) é do terceiro grau.
Resolução:
P (x) = a3 (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) = 1(x − 2)(x + 1)(x − 3) a equação dada pode ser indicada da seguinte forma P (x) =
(x + 1)2 Q(x) = 0.
Para determinarmos Q(x), que é do segundo grau, aplicare3
2
mos
duas vezes o dispositivo prático de Briot-Ruffini, abaiP (x) = x − 4x + x + 6
xando para 2 o grau da equação dada.
Primeira divisão por (x + 1):
-1 1 -3 -3 7 6
1 -4 1
6 0
10
Segunda divisão por (x + 1):
-1 1 -4 1 6
1 -5 6 0
5
y
0
Logo: Q(x) = x2 − 5x + 6, onde para Q(x) = 0 temos as
raı́zes a1 = 2 e a2 = 3.
-5
Exemplo
-10
-2
-1
0
1
2
3
x
4
Resolva a equação x4 + x3 − x2 + x − 2 = 0, sabendo que
uma das raı́zes é i.
Resolução
Como i é raiz da equação, −i também é, pois as raı́zes
complexas sempre aparecem aos pares (raı́zes conjugadas).
O polinômio x5 − 18x4 + 95x3 − 70x2 − 456x + 448 pode ser Dividindo sucessivamente por x − i e x + i, temos:
-1
1
-2
i 1 1
fatorado no produto
1 1+i -2+i -2i 0
Exemplo
Segunda divisão por (x + 1):
-i 1 1+i -2+i -2i
1 1
-2
0
e suas raı́zes são todas reais: -2, 1, 4, 7 e 8. Veja o gráfico
2
desse polinômio na figura a seguir.
Logo, Q(x) = x + x − 2 e P (x) = (x − i)(x + i)Q(x). Então
(x + 2)(x − 1)(x − 4)(x − 7)(x − 8) ,
209
Matemática A – Aula 7
para Q(x) = 0 temos as raı́zes a1 = −2 e a2 = 1.
Raı́zes Múltiplas
Dados a equação algébrica,
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
de coeficientes inteiros, com an 6= 0 e a0 6= 0, e o número
racional p/q , com p e q primos entre si, p ∈ Z e q ∈ N∗ , se
p/q é raiz de P (x) = 0, então p é divisor de a0 e q é divisor
de an .
4. (USF-SP) Se −2 é raiz da equação x3 −2x2 −13x−10 = 0,
então as outras raı́ses são:
a) -1 e 5
b) -2 e 3
c) 1 e 5
d) 5 e 7
e) -1 e -5
5. As raı́zes do polinômio p(x) = x2 + 16 são:
a) ambas reais
b) uma real e outra complexa
c) ambas complexas
d) ambas negativas
e) ambas positivas
Exemplo
6. As raı́zes do polinômio p(x) = x3 + 1 são:
a) todas reais
Na equação x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0, temos an = 1 e a0 = −6.
b) todas complexas
Se p ∈ Z é divisor de a0 , então p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}. Se q ∈
c) uma complexa e duas reais
∗
N é divisor de a3 , então q ∈ {1}. Dividindo todo os valores
d) uma real e duas complexas
de p por todos os valores de q, obtemos {±1, ±2, ±3, ±6}.
e) de multipicidade 3
Portanto, se existem raı́zes racionais, elas pertencem a esse
conjunto. A verificação é feita usando-se o dispositivo de
Briot-Ruffini.
Matemática A Aula 7
Pense um Pouco!
• Uma equação polinomial de coeficientes reais tem o
número 3 como raiz dupla, o número 5 como raiz tripla
e 1 + i como raiz dupla. Qual é grau da equação?
Exercı́cios de Aplicação
Geometria Analı́tica
Sistema Cartesiano Ortogonal
A Geometria Analı́tica teve como principal idealizador o
filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com auxı́lio de
um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistema são perpendiculares na origem, eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ou
1. (UEL-PR) Se −1 é raiz de multiplicidade 3 da equação plano cartesiano). Então, observemos o plano cartesiano
x5 − 2x4 − 6x3 + 4x2 + 13x + 6 = 0, então a soma das outras dividido nos quatro quadrantes:
duas raı́zes vale:
a) 1
b) 3
Y
c) 5
Segundo Quadrante
Primeiro Quadrante
d) -1
x<0
x>0
e) -3
y>0
y>0
2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equação x4 −20x3 +
90x2 + 20x − 91 = 0?
0
X
Terceiro Quadrante
Quarto Quadrante
a) 1
b) -i
x<0
x>0
c) 10
y<0
y<0
d) 13
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
3. (PUC-SP) Em relação ao polinômio P (x) = (x − 1)2 (x +
1), o que se pode afirmar sobre o número 1?
a) é uma raiz simples
b) é raiz dupla
c) é raiz tripla
d) é raiz quádrupla
e) não é uma raiz
Figura 1: O plano cartesiano e seus 4 quadrantes.
1◦ quadrante: x > 0 e y > 0. 2◦ quadrante: x < 0 e y > 0.
3◦ quadrante: x < 0 e y < 0. 4◦ quadrante: x > 0 e y < 0.
Distância entre Dois Pontos
Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B
do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância
210
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d(A, B). Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ou seja
ABC, vem:
yC − yA
xC − xA
=
xB − xC
yB − yC
rC =
Y
B
yB
Y
yB yA
A
yA
C
xA
B
y2
xB xA
0
C
y3
d
A
y1
xB
E
X
0
d2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
logo
D
p
d = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
x1
x2
X
x3
Exemplo
Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6), P (3, 4) e Q(1, 2),
as razões rP e rQ em que P e Q dividem AB são:
será a distância entre os pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ).
Exemplo
Determinar a distância entre os pontos A(1, −1) e B(4, −5).
Analiticamente, temos
d = sqrt(4 − 1)2 + (−5 − (−1))2 =
d=
√
√
9 + 16 = 25 = 5
y=x+1
Y
B
6
p
32 + 42
5
P
4
3
2
ou graficamente,
A
Q
1
0
1
rP =
3−2
1
xP − xA
=
=
xB − xP
5−3
2
2
3
4
5
6
X
Y
−1
−2
−3
1
2
3
3
A
d
4
5
X
C
e
4
rQ =
−4
−5
B
xQ − xA
1−2
1
=
=−
xB − xQ
5−1
4
Baricentro de um Triângulo
Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das
medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana
relativa a um lado em duas partes.
d2 = 32 + 42 =⇒ d = 5
A
Divisão de um Segmento
u
Dados os pontos A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) de uma
reta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada
por:
AC
rC =
CB
M
u
v
w
w
B
G
P
w
v
u
N
v
C
211
Matemática A – Aula 7
Cálculo das Coordenadas do Baricentro (G)
Y
Sendo A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC ) vértices de um
triângulo, se N é ponto médio de BC, temos:
N=
xC + xB yC + yB
,
2
2
C
yC
B
yB
yA
A
E
D
A
0
M
xA
xB
xC
X
P
Para que três pontos estejam alinhados, devemos ter:
G
B
N
AB
AE
EB
=
=
AC
AD
DC
C
ou seja:
Mas:
rG =
xB − xA
yB − yA
=
xC − xA
yC − yA
AG
xG − xA
=
xN − xG
GN
Pense um Pouco!
de onde podemos encontrar:
• O que acontece com a distância entre dois pontos
A(xA , yA ) e B(xB , yB ) se as coordenadas de ambos
pontos forem:
a) aumentadas de uma constante c?
b) multiplicadas por 2?
c) multiplicadas por -1?
xA + xB + xC
xG =
3
e
yG =
yA + yB + yC
3
Exercı́cios de Aplicação
e escrevemos finalmente
xA + xB + xC yA + yB + yC
,
3
3
1. (UFES) Sendo r a distância da origem ao ponto P (x, y),
então, para que y/r seja negativo, o ponto P deverá pertencer ao:
a) 1◦ quadrante ou 2◦ quadrante
Área de um Triângulo
b) 2◦ quadrante ou 4◦ quadrante
c) 2◦ quadrante ou 3◦ quadrante
Na geometria analı́tica podemos calcular a área de um d) 3◦ quadrante ou 4◦ quadrante
triângulo a partir das coordenadas de seus vértices. A área e) 1◦ quadrante ou 3◦ quadrante
S do triângulo de vértices A(xA , yA ), B(xB , yB ) e C(xC , yC )
2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2, −1), B(x, 4) e C(4, 9) peré dada por:
tencem a uma mesma reta, determine x.
a) 2
1
S = |D|
b) -6
2
c) 1
onde D é o determinante da matriz de coordenadas
d) 3
e) 4
xA yA 1 3. (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1, 1) é um dos
D = xB yB 1 vértices,
N (5, 4) é o ponto médio do segmento BC e M (4, 2)
xC yC 1 é o ponto médio do segmento AB. Calcule as coordenadas
do baricentro G do triângulo.
a) G(3, 11/3)
Condição de Alinhamento de 3 Pontos
b) G(4/5, 3)
A figura mostra três ponto, A(xA , yA ), B(xB , yB ) e c) G(11/3, 3)
C(xC , yC ), que estão alinhados, ou seja, são pontos de uma d) G(3, 3)
e) G(11, 6)
mesma reta.
G = (xG , yG ) =
212
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Exercı́cios Complementares
Y
4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, −1) e C(x, −16) pertencem a
uma mesma reta se x é igual a:
a) -5
b) -1
c) -3
d) -4
e) -2
5. O ponto médio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e
B(1, 2) é:
a) (3, 7/2)
b) (7/2, 4)
c) (5, 3)
d) (6, 2)
e) (7/2, 3)
B(7,6)
6
5
4
4
3
A(1,2)
2
(0,4/3)
C(7,2)
6
1
0
1
2
3
4
5
6
7
X
Figura 1: Equação geral da reta: exemplo.
Equação Segmentária
6. Calcule a distância entre os pontos A e M , sabendo que
A(5,
√1), B(1, 3) e M é ponto médio do segmento AB
a) √20
b) √ 3
c) √
5
d) 5 2
e) 2
Considere a reta r não-paralela a nenhum dos eixos e que
intercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p =
6 0
e q 6= 0.
Y
Matemática A Aula 8
Q(0,q)
q
Geometria Analı́tica
P(p,0)
Equações da Reta
0
p
X
Equação Geral
A partir de uma condição de alinhamento de três pontos
Podemos escrever a equação da reta na forma segmentária:
podemos determinar:
x y
+ =1
p
q
y = ax + b
onde a é o chamado coeficiente angular da reta, e b o coeficiente linear.
Exemplo
Por exemplo, para a reta mostrada na figura (1), pode-se obPara x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b. ter diretamente p = −2 e q = 4/3, e a equação segmentária
da reta será
Exemplo
Determinar a equação geral da reta que passa nos pontos
A(1, 2) e B(7, 6).
Para que um ponto qualquer (x, y) pertença à reta AB,
ou reescrevendo
temos que ter
x
D = 1
7
y
2
6
1
1
1
3y x
− =1
4
2
=0
Equações na Paramétrica
e desenvolvendo o determinante temos
D = (2x + 6 + 7y) − (14 + 6x + y) = 0 −→ y =
Confira a figura (1).
y
x
+
=1
−2 4/3
4
2
x+
3
3
São equações da forma x = f (t) e y = g(t), que relacionam
as coordenadas x e y dos pontos da reta com o parâmetro
(variável) t.
Exemplo
As equações x(t) = t + 2 e y(t) = 1 − t definem uma reta,
na forma paramétrica.
213
Matemática A – Aula 8
Para se obter a equação geral da reta, pode-se eliminar o
parâmetro t, isolando-o na primeira equação:
Y
r
t=x−2
e substituindo-o na segunda:
0
y = 1 − (x − 2) = −x + 3
Coeficiente Angular ou Declividade
Número real m que expressa a tangente trigonométrica de
sua inclinação α, ou seja:
X
Se α = 90◦ ⇒ ∄ tan α ⇒ m é indefinido. Nesse caso, a reta
r se diz vertical.
Podemos determinar o coeficiente angular de uma reta r que
passa por dois pontos A(xA , yA ) e B(xB , yB ):
m = tan α
Podemos observar que:
Y
B
y2
Y
r
α
A
y1
C
α
0
0
X
Se α = 0◦ ⇒ tan α = 0 ⇒ m = 0
x1
m=
Y
x2
X
yB − yA
xB − xA
Posições Relativas entre Duas Retas
Paralelismo
r
α
0
X
Determinar a posição da reta r, da equação 2x − 3y + 5 = 0,
em relação à reta s, de equação 4x − 6y − 1 = 0
Se 0◦ < α < 90◦ ⇒ tan α > 0 ⇒ m > 0
Resolução:
Vamos determinar o coeficiente angular mr da reta r, reescrevendo a sua equação na forma geral y = (2x + 5)/3, e
então mr = 2/3.
Para a reta s, temos: y = (4x − 1)/6, de onde ms = 4/6 =
2/3, ou seja as retas r e s são paralelas.
Y
r
α
0
Se 90◦ < α < 180◦ ⇒ tan α < 0 ⇒ m < 0
Duas retas r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se,
somente se, têm coeficientes angulares iguais. Se r e s são
paralelas αr = αs e então mr = ms
Exemplo
Concorrência
X
Duas retas r e s serão concorrentes se tiverem coeficientes diferentes, isto é, r e s são concorrentes
Longlef trightarrowmr 6= ms.
As retas são ditas concorrentes porque concorrem para um,
e apenas um, ponto em comum.
214
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Distância entre um Ponto e uma Reta
P
Y
l1
θ
Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equação ax +
by + c = 0 , a distância entre P e r é dada pela fórmula:
l2
α2
α1
A
0
B
X
Exemplo
axP + byP + c √
d(P, r) = a2 + b 2 Determinar a distância entre o ponto A(2, 1) e a reta r, de
equação x + 2y − 14 = 0.
Perpendicularismo
Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular
a s se, somente se, o produto de seus coeficientes angulares
é igual a −1.
Y
2 + 2 · 1 − 14 10 √
√
d(A, r) = =
12 + 22 5 √
d(A, r) = 2 5
P
l1
A
0
Pense um Pouco!
θ
l2
• A equação da reta já foi estudada em outro conteúdo
da matemática, com uma outra “aparência”. Qual era
esse assunto?
α
B
X
Exercı́cios de Aplicação
Exemplo
Verificar se as retas f e g, de equações 10x + 3y − 5 = 0 e
3x − 10y − 4 = 0, respectivamente, são perpendiculares.
Cálculo de mf , coeficiente angular f :
Reescrevemos a equação da reta f , e obtemos, y = (5 −
10x)/3, de onde mf = −10/3.
Cálculo de mg , coeficiente angular g:
Reescrevemos a equação da reta g, e obtemos, y = (3x −
4)/10, de onde mg = 3/10.
Verificando a condição de perpendicularismo:
mf × mg = (−10/3)(3/10) = −1
então as retas f e g são perpendiculares entre si.
Ângulo Formado por Duas Retas
Se duas retas l1 e l2 , não perpendiculares, têm coeficientes
angulares m1 e m2 , respectivamente, o ângulo θ, medido no
sentido anti-horário, desde a reta l1 até l2 , é considerando
o ângulo formado por elas.
Se tan α1 = m1 e tan α2 = m2 e θ é agudo, temos:
m2 − m1 tan θ = 1 − m1 m2 Caso a reta 2 seja vertical:
Se tan α1 = m1 e θ é agudo, temos:
1 tan θ = m1 1. (Fuvest-SP) Se (m+ 2n, m− 4) e (2 − m, 2n) representam
o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) -2
b) 0
c) 2
d) 1
e) 1/2
2. (UFC-CE) A reta 2x + 3y = 5, ao interceptar os dois
eixos coordenados, forma com estes um triângulo retângulo.
Calcule
√ o valor da hipotenusa desse triângulo.
a) 6 √13
b) 5√ 13/6
c) 5 √13
d) 6 13/5
e) 0
3. (UFMG) A reta r dada pela equação 2x + 4y − 3 = 0
intercepta o eixo das ordenadas no ponto:
a) −3/4
b) −1/2
c) 3/4
d) 1/2
e) 3/2
4. (PUC-MG) O valor de x para que os pontos (1, 3), (−2, 4)
e (x, 0) do plano sejam colineares é:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 10
e) 5
215
Matemática A – Aula 9
Exercı́cios Complementares
d(C, P ) =
5. (Cesgranrio-RJ) A equação da reta mostrada na figura ou seja,
abaixo
p
(x − xC )2 + (y − yC )2 = R
(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2
é a equação reduzida da circunferência.
Y
Y
3
P(x,y)
y
R
−4
0
X
yC
x
é:
a) 3x + 4y − 12 = 0
b) 3x − 4y + 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
d) 4x − 3y − 12 = 0
e) 4x − 3y + 12 = 0
6. (Fuvest-SP) A reta r tem equação 2x+y = 3 e intercepta
o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e é
perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta
o eixo x e a reta r, respectivamente:
a) determine a equação de s;
b) calcule a área do triângulo ABC.
0
y
yC
C( xC , yC )
xC
xC
x
X
Figura 1: Uma circunferência de raio R, com centro
no ponto C(xC , yC ).
A equação reduzida da circunferência e permite determinar
diretamente os elementos essenciais para a construção da
circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Quando o centro da circunferência estiver na origem,
7. Se o ponto P (k, −2) satisfaz à relação x + 2y − 10 = 0, O(0, 0), a equação da circunferência será simplesmente
então o valor de k 2 é:
a) 200
x2 + y 2 = R2
b) 196
c) 144
d) 36
Exemplo
e) 0
Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circunferência da equação (x − 3)2 + (y + 1)2 = 16.
Comparando a equação dada, com a equação reduzida da
circunferência temos:
Matemática A Aula 9
Circunferência
Conceito
x − 3 = x − xC =⇒ xC = 3
y + 1 = y − yC =⇒ yC = −1
16 = R2 =⇒ R = 4
É o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes
então o centro da circunferência é o ponto
de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro
C(3, −1), e o possui raio R = 4.
da circunferência.
Raio
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral
É o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer
da circunferência:
da circunferência.
Equação Reduzida da Circunferência
(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 =⇒
2
x2 + y 2 − 2xC x − 2yC y + x2C + yC
− R2 = 0
Sendo C(xC , yC ) o centro e P (x, y) um ponto qualquer da Para determinar o centre e o raio de uma circunferência, cocircunferência, a distância de C a P , chamada d(C, P ), é nhecendo a equação geral, basta compará-la com a equação
geral da circunferência em sua forma genérica.
uma constante R, o raio da circunferência.
216
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c) x2 + y 2 − 4x − 4y − 17 = 0
d) x2 + y 2 + 4x + 4y + 3 = 0
Determine o centro e raio da circunferência com equação e) n. d. a.
geral igual a x2 + y 2 − 6x + 4y − 3 = 0
Comparando com a equação geral da circunferência temos: 5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos que distam 2 unidades da reta de equação x − y − 3 = 0.
Esses pontos pertencem todos:
−2xC = −6 =⇒ xC = 3
a) às retas de equações −x + y + 5 = 0 ou −x + y + 1 = 0
−2yC = 4 =⇒ yC = −2
b) ao 1◦ ou 4◦ quadrante.
√
c) às retas de equações −x + y + 3 = ±2 2
2
x2C + yC
− R2 = −3 =⇒ 32 + (−2)2 + 3 = R2
d) à circunferência de equação x2 + y 2 − 9 = 0
√
e então R = + 16 = 4, já que procuramos um valor R > 0. e) às retas de equação −x − y − 3/2 = 0 ou −x − y + 3/2 = 0
Exemplo
Logo, C(3, 2) e R = 4.
6. Considere uma circunferência cuja equação é dada por
(y + 1)2 + (x − 3)2 = 16. A maior porção da área interna
dessa circunferência pertenca ao:
Pense um Pouco!
a) primeiro quadrante
b) segundo quadrante
• De que elementos da circunferência precisamos conhe- c) terceiro quadrante
cer para escrever a equação geral da circunferência?
d) quarto quadrante
• Como podemos saber se um ponto dado está dentro ou e) n. d. a.
fora de uma dada circunferência?
Exercı́cios de Aplicação
1. Qual a equação geral da circunferência com centro no
ponto C(2, 3) e que passa pelo ponto P (−1, 2)?
a) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 10
b) (x − 2)2 + (y − 3)2 = 10
c) (x − 2)2 + (y − 10)2 = 15
d) (x − 2/3)2 + (y − 1)2 = 10
e) (x − 10)2 + (y − 2)2 = 3
Matemática A Aula 10
Circunferência - II
Posição Relativa a uma Reta
Uma reta l e uma circunferência podem ocupar as seguintes
posições relativas:
Reta Secante
2. (PUC-RS) O ponto P (−3, b) pertence à circunferência de
centro C(0, 3) e raio R = 5. Quais são os valores possı́veis A reta l intercepta a circunferência em dois pontos.
de b?
a) 14 e 20
b) -20 e 14
c) 8 e 2
A
d) -7 e 1
e) 7 e -1
3. A circunferência com centro na origem (0, 0) e que passa
no ponto (−3, −4) tem equação:
a) (x − 3)2 + (y − 4)2 = 5
b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25
c) x2 + y 2 = −5
d) x2 − y 2 = 25
e) x2 + y 2 − 25 = 0
d
C
B
f
Exercı́cios Complementares
4. (UFAL) Para a questão utilize os seguintes dados:
reta r de equação x − 2y + 2 = 0
reta s de equação 2x + y − 6 = 0
pontos A(−1, 3) e B(3, 0).
Seja C o ponto de intersecção de r e s. A equação da circunferência de centro C e raio de medida igual a AB é:
a) x2 + y 2 − 4x + 4y + 17 = 0
b) x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0
Nesse caso, a reta e a circunferência são secantes. Pode-se
verificar, facilmente, que a distância do centro C até a reta
l é menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r.
Reta Tangente
A reta l intercepta a circunferência em apenas um
ponto.
217
Matemática A – Aula 10
Vamos calcular a distância do centro de C até s e comparála com o raio de α. Da equação da circunferência temos que
C(0, 0) e r = 1, e então:
C
1 · 0 + 1 · 0 − 4
d(C, s) = √
12 + 12 √
4
d(C, s) = √ = 2 2
2
d
A
Como d(C, s) > r, a reta s é exterior a α.
l
Posição Relativa entre Circunferências
Nesse caso, a reta e a circunferência são tangentes. PodePara determinar a posição relativa entre duas circunse verificar, facilmente, que a distância do centro até a reta
ferências quaisquer de raios R1 e R2 , com centros C1 e C2 ,
l é igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r
respectivamente, determinamos a distância d(C1 , C2 ) entre
seus centros e comparamos com R1 + R2 ou com |R1 − R2 |,
e classificamos os seguintes casos:
Exterior
A reta l não-intercepta a circunferência.
Circunferências Exteriores
Quando d(C1 , C2 ) > (R1 + R2 ) as circunferências são exteriores.
α
d
C
R1
β
l
C1
C2
R2
d(C1 ,C2 ) > R + R
1
2
Nesse caso, a reta e a circunferência são não-secantes ou
exteriores. Pode-se verificar, facilmente, que a distância
Circunferências Secantes
do centro C até a reta l é maior que o raio r, ou seja,
d(C, l) > r.
Quando |R1 − R2 | < d(C1 , C2 ) < (R1 + R2 ) as circunferências são secantes.
Cálculo da Posição
Pode-se determinar a posição de uma reta em relação a uma
circunferência calculando a distância da reta ao centro da
circunferência. Assim, dadas a reta l definida pela equação
ax + by + c = 0 e a circunferência α definida por (x − xC )2 +
(y − yC )2 = r2 , com centro C(xC , yC ) e raio r, temos:
axC + byC + c d(C, l) = √
a2 + b 2 E uma vez determinada essa distância, fazemos a sua comparação com r e classificamos a posição em um dos três
casos vistos acima: secante, tangente ou exterior.
α
β
R1
C2
C1
R2
|R 1 − R | < d(C1 ,C2 ) < R1 + R2
2
Exemplo
Circunferências Tangentes
Vamos determinar a posição relativa da reta s : x+y−4 = 0
em relação à circunferência α : x2 + y 2 = 1.
Quando d(C1 , C2 ) = |R1 − R2 | ou d(C1 , C2 ) = (R1 + R2 ) as
circunferências são tangentes.
218
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
α
R1
α
β
R1
C2
C1
β
C2
R2
R2
C1
d(C1 ,C2 ) = |R1 − R2 |
d(C1 ,C2 ) = R 1 + R 2
—
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equação da reta que contém A e B é dada por:
a) y = 2x − 3
b) y = x − 1
c) y = (3/2)x − 2
d) y = −x + 3
e) y = −x/2 + 2
3. (UEMT) Dada a circunferência C de equação (x − 1)2 +
y 2 = 1 e considerando o ponto P (2, 1), então as retas tangentes a C passando por P :
Figura 1: Circunferências tangentes exteriores (a) e a) têm equações y = 1 e x = 2
b) têm equações y = 1 (e só uma porque P está em C)
interiores (b).
c) são ambas paralelas à reta y = 1
d) têm equações x = 1 e y = 2
Circunferências Internas
e) não existem pois P é interno a C
(a)
(b)
Quando 0 < d(C1 , C2 ) < |R1 − R2 | as circunferências são
internas.
α
R1
C2
C1
R1
β
β
R2
d(C1 ,C 2 ) < |R 1 − R2 |
α
C1= C2
R2
d(C1 ,C2 ) = 0
(a)
(b)
Exercı́cios Complementares
4. (USP) A equação da reta perpendicular ao eixo das
abscissas que passa pelo ponto médio do segmento AB,
onde A(2, 3) e B é o centro da circunferência de equação
x2 + y 2 − 8x − 6y + 24 = 0, é:
a) 3x + 4y = 0
b) x = 3
c) x = 4
d) y = 4
e) y = 3
Figura 2: Circunferências internas (a) e concêntricas
(b).
5. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é perpen-
dicular à reta AB, onde A(0, 0) e B é o centro da circunferência x2 + y 2 − 2x − 4y = 20. Então a equação de s é:
a) x − 2y = −6
Circunferências Concêntricas
b) x + 2y = 6
c)
x+y =3
No caso especial em que d(C1 , C2 ) = 0 as circunferências
d)
y−x=3
são concêntricas.
e) 2x + y = 6
6. (MACK-SP) Em relação à circunferência (x − 1)2 + (y −
2)2 = 169, a reta 5x + 12y − 198 = 0
• De que elementos da circunferência precisamos conhe- a) é secante
b) é tangente
cer para escrever a equação geral da circunferência?
c) é externa
• Quantos pontos no mı́nimo precisamos para definir d) coincide com reta que contém o diâmetro
uma circunferância?
e) n. d. a.
Pense um Pouco!
7. A equação da circunferência tangente às retas x + y = 0
e x + y = 8 e que passa pelo ponto (0, 0) é:
a) 2x2 + 2y 2 − 4x − 4y = 0
b) x2 + y 2 − 2x − 6y = 0
1. (UFSC) Determine o raio da circunferência C1 , cujo
c) x2 + y 2 − 4x − 4y = 0
centro é o ponto de intersecção da reta r de equação x − y −
d) x2 + y 2 + 4x + 4y = 0
1 = 0 com reta s de equação 2x − y + 1 = 0, sabendo que
e) n. d. a.
C1 é tangente exteriormente à circunferência C2 de equação
x2 + y 2 − 12x − 6y − 4 = 0.
a) 10
b) 2
c) 3
d) 6
Matrizes
e) 1
Exercı́cios de Aplicação
Matemática B Aula 1
2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de
uma corda AB da circunferência (x − 1)2 + y 2 = 4, então a
Uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como
por exemplo:
219
Matemática B – Aula 1
• Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, com
uma única linha. Por exemplo, a matriz
A = 5 8 −2 3


3 1
4
2
 6 −5 0 −1 
7 11 −3 5
é chamada matriz.
Se essa tabela é formada por m linhas e por n colunas,
dizemos que a matriz é do tipo m por n, e indicamos m × n.
No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; então, A
é do tipo 3 × 4: A(3 × 4).
De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por parênteses como na matriz A acima.
Podemos também utilizar colchetes ou duplas barras.
1. B =
2. C = 3. D =
• Matriz coluna : matriz do tipo m × 1, ou seja, com
uma única coluna. Por exemplo,


3
 −5 
2
é do tipo 3 × 1.
Exemplos
é do tipo 1 × 4.
2 1/2 −3
é uma matriz (2 × 3)
5 0 −1
1 4 é uma matriz de ordem 2
5 −1 −1 0 3 5 é uma matriz (1 × 4)
Notação Geral
Normalmente representamos as matrizes por letras
maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois ı́ndices que indicam, respectivamente, a
linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do
tipo m × n é representada por:

a11
 a21


A =  a31
 ..
 .
am1
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
am2
am3
···
···
···
a1n
a2n
a3n
..
.
···
· · · amn







ou, abreviadamente, A = [aij ]m×n , em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento
ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a31 é o elemento
da 3a linha e da 1a coluna.
• Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja,
com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que
a matriz é de ordem n. Os elementos da forma aii
constituem a diagonal principal. Os elementos aij em
que i + j = n + 1 constituem a diagonal secundária.
Por exemplo, a matriz
C=
7
2
• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são
nulos; é representada por 0m×n . Por exemplo,
02×3 =
0
0
B3×3
A=

4 0
= 0 5
0 0
=2
=6
= −5
=0
Tipos de matrizes
Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas caracterı́sticas.

0
0 
−3
0
1
0

0
0 
1
aij = 1 se
aij = 0 se
i=j
i 6= j
1
I3 =  0
0
Para uma matriz identidade
temos

a11



a12
a21



a22
0
0
• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
demais são nulos; é representada por In , sendo n a
ordem da matriz. Por exemplo:
Na matriz:
0
0
• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

2 6
−5 0
é do tipo 2 × 2, isto é, quadrada de ordem 2.
Exemplo
−9
4
• Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a
matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas
pelas colunas chama-se transposta de A, e é indicada
por AT . Por exemplo:

2
A= 5
0

3
2
−1  =⇒ AT =
3
6
5 0
−1 6
220
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal e) 1, 4, 27
que A = AT . Por exemplo:
f) n. d. a.

3
A= 5
6

5 6
2 4 
4 8
é simétrica pois temos aij = aji .
• Matriz anti-simétrica: Uma matriz quadrada A =
[aij ] é anti-simétrica se AT = −A. Por exemplo:


0 3 4
A =  −3 0 −6 
−4 6 0
4. (ACAFE) Seja A = B, onde
2
x +1 0
10 y − 2
e
B
=
A=
4
4
logx 81 y 2
então os valores de x e y serão, respectivamente:
a) 2 e 3
b) ±2 e ±3
c) 3 e 2
d) −3 e −2
e) ±3 e ±2
Exercı́cios Complementares
• Matriz oposta: matriz −A obtida a partir de A
trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por
5. Sendo A = [aij ]2×3 tal que aij = i + j, determine x, y e
exemplo, se
3 0
2 y−1 4
A=
z tais que A =
.
4 −1
x
z
5
então
−A =
−3
−4
0
1
6. Dada a matriz A = (aij )3×3 tal que aij = i2 + 2j − 5,
calcule a12 + a31 .
7. Calcule a soma dos elementos da segunda coluna da
matriz B = (bij )2×3 , em que bij = 2i + j − 1
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, são iguais
se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma
posição são iguais. Por exemplo, se
x y
A=
z t
e
B=
8 −1
5 3
Pense um Pouco!
• Qual a relação entre uma matriz A e sua oposta?
• No que a matriz anti-simétrica difere da matriz
simétrica?
Exercı́cios de Aplicação
1. Escreva a matriz A3×3 = [aij ], onde aij = i + 2j. Determine, em seguida, AT (a matriz transposta de A).
Escreva a matriz
aij = 2i,
se i = j
aij = j − 10 se i =
6 j
A2×2
Operações com Matrizes
Adição
A = B se, e somente se, x = 8, y = −1, z = 5 e t = 3.
2.
Matemática B Aula 2
=
[aij ]
onde
Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m × n),
somar A com B é obter a matriz A + B, do tipo m×n, onde
cada elemento é a soma dos elementos de mesma posição de
A e B. Por exemplo:
2 3 5
8 −7 3
Se A =
eB=
−1 4 −2
2 4 6
então
2+8 3−7 5+3
A+B =
−1 + 2 4 + 4 −2 + 6
10 −4 8
A+B =
1
8 4
Propriedades da Adição
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as
seguintes propriedades para a adição:
1. comutativa: A + B = B + A
j
3. Seja uma matriz A3,3 com elementos aij = i . Os elementos da diagonal principal da matriz A são:
a) 0, 1, 2
b) 1, 2, 3
c) 2, 4, 8
d) 1, 4, 9
2. associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3. elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz
nula m × n
4. elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0
221
Matemática B – Aula 2
Subtração
Observação
Para entendermos a subtração de matrizes devemos saber
o que é uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M é
a matriz −M , cujos elementos são os números opostos de
mesma posição de M . Por exemplo:
Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz
B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas
de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz
produto é dado pelo número de linhas de A e pelo número
de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas
não existir o produto de B por A.
M=
2 −3
−5 7
=⇒ −M =
−2 3
5 −7
Com a matriz oposta podemos definir a diferença de matri- Propriedades
zes:
Verificadas as condições de existência para a multiplicação
de matrizes, valem as seguintes propriedades:
A − B = A + (−B)
ou seja, para subtrair matrizes, somamos a primeira com a
oposta da segunda. Assim para as matrizes A e B acima,
temos:
A − B = A + (−B)
A−B =
2 3 5
−1 4 −2
+
1. associativa:
(A · B) · C = A · (B · C)
2. distributiva em relação à adição:
−8 7 −3
−2 −4 −6
Logo,
A · (B + C) = A · B + A · C
ou
A−B =
−6 10 2
−3 0 −8
Multiplicação por um Número Real
Multiplicar um número k por uma matriz A é obter a matriz
kA, cujos elementos são os elementos de A multiplicados,
todos por k.




2
1
6
3
A =  4 −3  =⇒ 3A =  12 −9 
−1 5
−3 15
(A + B) · C = A · C + B · C
3. elemento neutro:
A · In = In · A = A
sendo In a matriz identidade de ordem n.
Propriedades
Geralmente a propriedade comutativa não vale para a multiplicação de matrizes (A · B 6= B · A). Não vale também
o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n não implica, necessariamente, que
A = 0m×n ou B = 0m×n .
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y números
reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
Inversão de Matrizes
1. associativa: x · (yA) = (xy) · A
2. distributiva de um número real em relação à adição de
matrizes: x · (A + B) = xA + xB
3. distributiva de uma matriz em relação à adição de dois
números reais: (x + y) · A = xA + yA
4. elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A =
A
Dadas as matrizes A = (aik )m × n e B = (bik )m × p, definese como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal
que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha
de A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de
B.
Pp
k=1 (Aik
Pense um Pouco!
• Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem
(iguais) ?
Multiplicação de Matrizes
C = A · B ⇒ cij =
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma
matriz A′ , de mesma ordem, tal que A · A′ = A′ · A = In ,
então A′ é matriz inversa de A. Representamos a matriz
inversa por A−1 .
· Bik )
• (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2 , B3×3 e C2×3 . A
alternativa em que a expressão é possı́vel de ser determinada é:
a) B 2 · (A + C)
b) (B · A) + C
c) (C · B) + A
d) (A · C) + B
e) A · (B + C)
222
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios de Aplicação
A=
1 2
−2 1
determine sua inversa, se existir.
0 1
2. (ACAFE) Dada a matriz A =
, seja At a
2 −2
suamatriz transposta.
O produto A · At é a matriz:
0 1
a)
2 −2
0 2
b)
1 −2
1 −2
c)
−2 0
1 0
d)
2 1
1 −2
e)
−2 8
1
2
3. (ACAFE) Considere as matrizes A =
,
−2 −1
x
B=
e
y 6
C=
. Sendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| é:
9
a) 15
b) 1
c) 57
d) 9
e) 39
Dadas as matrizes A
2 −1
1 3
0
4
=

1
 3
5
, calcule X = 2A − 3B T .

0
2  e B
4
5. A matriz A = (aij )3×3 é definida, de tal forma que:
aij =
(
se i>j
se i=j
i + j se i < j
T
Calcule B = M · M .
−sen θ
cos θ
0
1 1
1 2
Matemática B Aula 3
Determinantes
Determinante é um número que se associa a uma matriz
quadrada. De modo geral, um determinante é indicado
escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou antecedendo a matriz pelo sı́mbolo det.
Assim, se
A=
a
c
b
d
det A = det
=
a
c
b
d
a
= c
b d O cálculo de um determinante é efetuado através de regras
especı́ficas que estudaremos mais adiante. É importante
ressaltarmos alguns pontos:
1. Somente às matrizes quadradas é que associamos determinantes.
Determinante de 1a Ordem
6. Dada a matriz
cos θ
M =  sen θ
0
2. O determinante não representa o valor de uma matriz.
Lembre-se, matriz é uma tabela, e não há significado
falar em valor de uma tabela.
i−j
i∗j
Determine a matriz B = 6 · A−1 .

8. (UECE) O produto da inversa da matriz A =
1 0
pela matriz I =
é igual a:
0 1
−2 1
a)
−1 1
2 −1
b)
1 −1 −2 1
c)
1 −1
2 −1
d)
−1 1
e) n. d. a.
o determinante de A é indicado por:
Exercı́cios Complementares
4.
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da matriz P é:
a) 9/4
b) −4/9
c) 4
d) 5/9
e) −9/5
1. Sendo
—

0
0 
1
Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11 ], o seu
determinante é o número real a11 :
det M = |a11 | = a11
Exemplo
7.
(ITA-SP)
Considere P a matriz inversa da matriz M =
1/3 0
. A soma dos elementos da diagonal principal
M = [5] ⇒ det M = 5 ou |5| = 5
1/7 1
223
Matemática B – Aula 3
Determinante de 2a Ordem
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Dada a matriz
M=
a11
a21
a12
a22
de ordem 2, por definição o determinante associado a M ,
determinante de 2a ordem, é dado por:
a11
a21
a12
a22
= a11 a22 − a12 a21
Determinante de 3a Ordem
Para o cálculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra prática, conhecida como Regra de Sarrus,
que só se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus
para calcular o determinante
a11
D = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
multiplicar e subtrair
Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como:
D
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )
− (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )
Menor Complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento
aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determinante M C ij , de ordem n − 1, associado à matriz obtida de
M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por
aij . Por exemplo, dada a matriz
1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado
da terceira:
M=
a11
a21
a12
a22
de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo
ao elemento a11 (M C 11 ), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
a11
a21
a12 ⇒ M C 11 = |a22 | = a22
a22 a11
a21
a12 ⇒ M C 12 = |a21 | = a21
a22 De modo análogo, para obtermos o menor complementar
relativo ao elemento a12 , eliminamos a linha 1 e a coluna 2:
2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos ele- Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenção
mentos da diagonal principal com os dois produtos obtidos do menor complementar é o mesmo utilizado anteriormente,
pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diago- por exemplo, sendo
nal:


a11 a12 a13
M =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
multiplicar e somar
de ordem 3, temos:
M C 11
Co-fator
a
= 22
a32
a23 = a22 a33 − a23 a32
a33 Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz
quadrada o número Aij tal que
3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos
da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela
multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:
i+j
Aij = (−1)
· M Cij
224
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exemplo
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P4 ) Se os elementos de uma matriz são combinações lineares
dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu
determinante é nulo.
Considerando
P5 ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz
não se altera quando somamos aos elementos de uma fila,
uma combinação linear dos elementos correspondentes de
filas paralelas.
calcularemos o co-fator A23 . Temos que i = 2 e j = 3, logo: P6 ) O determinante de uma matriz e o de sua transposta
2+3
A23 = (−1)
· M C23 . Devemos calcular M C23 .
são iguais.

a11
M =  a21
a31
a
= 11
a31
M C 23
a12
a22
a32

a13
a23 
a33
a12 = a11 a32 − a12 a31
a32 Assim A23 = (−1) · (a11 a32 − a12 a31 )
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada M
=
[aij ]m×n (m ≥ 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da
matriz M pelos respectivos co-fatores.
Desta forma, fixando j ∈ N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos:
det M =
Pm
i=1
aij Aij
Pm
em que i=1 é o somatório de todos os termos de ı́ndice i,
variando de 1 até m, m ∈ N.
P7 ) Multiplicando-se por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz
fica multiplicado por esse número.
P8 ) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o
determinante de uma matriz muda de sinal.
P9 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo
da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual
ao produto dos elementos dessa diagonal.
P10 ) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo
da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é
igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados
por (−1)
n(n−1)
2
.
P11 ) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n,
det(AB) = det A · det B. Como A · A−1 = I, det A−1 =
1/det A.
P12 ) Se k ∈ R, então det (k · A) = k n · det A.
Pense um Pouco!
Exemplo
Calcule o determinante a seguir utilizando o Teorema de
Laplace:
2 3
D = −2 1
0 5
−4
2
6
• Podemos associar um determinante apenas a matrizes
quadradas?
Exercı́cios de Aplicação
Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, temos:
1+1
D = 2(−1)
1
5
2 2+1 3
+
(−2)(−1)
5
6 3 −4 +0(−1)3+1 1 2 −4 6 D = 2(+1)(−4) + (−2)(−1)38 + 0 = −8 + 76 = 68
log2 8
1. (ACAFE) O valor do determinante −1/2
4
a) 0
b) 4
c) 7
d) 17
2
e) 53
2
log10 é:
2
31 2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A =
(aij ) com aij = i2 − j 2 e B = (bij ) com bij = aij − 3 se
Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, i > j, e bij = aij + 3 se i ≤ j.
Determine:
obteremos o mesmo número real.
a) a matriz A
b) a matriz B
Propriedades dos determinantes
c) a matriz A · B
P1 ) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) d) o determinante da matriz A · B
são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
3. (UDESC) A partir da matriz A = [aij ]2×2 , onde aij =
P2 ) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu deter- n
−1 se i≥j
minante é nulo.
i+j se i<j , calcular o determinante do produto da matriz
P3 ) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, A pela sua transposta, ou seja: det(A × At ), onde At é a
matriz transposta de A.
então seu determinante é nulo.
Observação
225
Matemática B – Aula 4
Exercı́cios Complementares
4. (UNIFENAS) Dada a matriz A =
minante de sua matriz inversa A−1 é:
a) −2
b) −4
c) 12
d) 4
e) − 14
1 0
2 −4
Exemplos de Equações Não Lineares
xy − 3z + t = 8
o deter-
5. (MACK) A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e
B = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Então:
a) k = 64
b) k = 96
c) k = 41
d) k = 23
e) k = 4
6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A =
2 1 3 1 2 2 é:
0 1 2 a) 2
b) 1
c) −1
d) −2
e) 3
x2 − 4y = 3t − 4
√
x − 2y + z = 7
Sistema Linear
Um conjunto de equações lineares considerados simultaneamente, como por exemplo:

a11 x1


 a21 x1
+
+
..


 .
am1 x1
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
···
···
+
+
+
···
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
=
b1
b2
..
.
bm
É chamado de sistema linear de m equações e n incógnitas.
A sequência (r1 , r2 , r3 , · · · ,) é a solução do sistema, se é
solução para todas as m equações do sistema.
Matrizes Associada a um Sistema Linear
Podemos associar dois tipos de matrizes a um sistema linear:
7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, Matriz incompleta é a matriz A formada pelos coeficientes
das incógnitas do sistema. Por exemplo, em relação ao sisapresentada abaixo, cujo determinante é igual a 0, 75.
tema:


sen x
0
1

−1
2 
A= 0
 2x + 3y − z = 0
2
sen x 0
4x + y + z = 7

−2x + y + z = 4
Considerando π/2 < x < π, determinar o valor de tan x.
a matriz incompleta é:
Matemática B Aula 4


2 3 −1
 4 1 1 
−2 1 1
Sistemas Lineares
Equação Linear
Chamamos de equação linear toda equação da forma:
Matriz completa é a matriz B que se obtém acrescentando à
matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos
independentes das equações do sistema. Desta forma, para
o sistema anterior, a matriz completa é:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b
onde a1 , a2 , a3 , . . ., an são números reais, que recebem o
nome de coeficientes das incógnitas x1 , x2 , x3 , . . ., xn , e
b é um número real chamado termo independente (quando
b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea).
Exemplos de Equações Lineares
3x − 2y + 4z = 7
−2x + 4z = 3t − y + 4
√
x + y − 3z − 7t = 0(homogênea)

2
 4
−2

3 −1 0
1 1 7 
1 1 4
Podemos ainda escrever o sistema anterior de uma forma
diferente:

2 3
 4 1
−2 1
 
 

−1
x
0
1 · y = 7 
1
z
4
É comum nas questões de vestibulares cobrarem a descrição
matricial de um sistema. A forma acima é a mais correta.
226
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Regra de Cramer
Sistemas Homogêneos
Um sistema linear é dito homogêneo quando todos os termos Qualquer sistema normal possui uma única solução, dada
independentes das equações são iguais a zero (nulos):
por:

a11 x1


 a21 x1
..


 .
am1 x1
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
am2 x2
+
+
+
···
···
+
+
+
···
+
a1n xn
a2n xn
..
.
amn xn
=
=
0
0
=
0
0
Exemplo

 3x − 2y + z = 0
−x + 4y − 3z = 0
 √
2x + 3y = 0
A sequência (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema
homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução
trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas
de não-triviais.
Classificação de um Sistema
Podemos classificar um sistema de equações quanto ao
número de soluções diferentes que ele admite.
Resolvendo o sistema
x + 2y = 5
2x + 5y = 12
encontramos uma única solução: o par ordenado (1, 2). Assim, dizemos que o sistema é possı́vel (tem solução) e determinado (solução única).
Para
xi =
Dx i
D
onde i ∈ {1, 2, 3, ·, n}, D = det A é o determinante da
matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da
coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.
Exemplo
Resolva, com o auxı́lio da regra de Cramer, o sistema:
2x + y = 7
2x − 3y = 3
Analisando o sistema, temos que m = n = 2.
2 1
D = 2 −3
= −6 − 2 = −8 6= 0
como D 6= 0, o sistema é normal e podemos utilizar a regra
de Cramer para resolvê-lo.
Substituindo, na matriz incompleta
2
2
1
−3
a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos:
x + 2y = 1
2x + 4y = 2
7
Dx = 1
1 = −21 − 3 = −24
−3 verificamos que os pares ordenados (5, −2), (3, −1), (1, 0),
(−1, 1), · · · são algumas das infinitas soluções. Por isso,
dizemos que o sistema é possı́vel (tem solução) e indetermi- Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos:
nado (infinitas soluções).
No caso do sistema
2x + 2y = 6
−3x − 3y = 2
verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossı́vel (não
tem solução). Em resumo, um sistema linear pode ser:
possı́vel e determinado ⇒ solução única
possı́vel e indeterminado ⇒ infinitas soluções
impossı́vel ⇒ não tem solução
Sistema Normal
Dizemos que um sistema é normal quando possui o mesmo
número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente
de zero. Portanto
m = n e detA 6= 0 ⇒ sistema normal
2 7 = 6 − 14 = −8
Dy = 2 3 Assim:
x=
−24
Dx
=
=3
D
−8
y=
Dy
−8
=
=1
D
−8
Logo, a solução do sistema é x = 3 e y = 1.
Pense um Pouco!
O sistema de equações lineares
é homogêneo?
bx − y − 4 = 0
x + ay − 1 = 0
227
Matemática B – Aula 5
Exercı́cios de Aplicação
1. Escreva O sistema

 3x − 2y + 2z = 7
x+y−z =4

−2x + 3y − 3z = −3
na forma matricial.
2. 
Verifique se os sistemas são normais.
 x+y =0
2x + 3y − z = 2
a)

 3x + −z = 4
 x+y+z =4
b)
2x + 3y − 5z = 1

3x + 4y − 4z = 7
3. Determine k ∈ R de modo que o sistema
kx + y = 3
x + ky = 5
seja normal
Exercı́cios Complementares
4. Resolva os seguintes sistemas lineares, com o auxı́lio da
regra
de Cramer:
3x + y = 5
a)
 2x − 3y = −4
 2x + y − 8z = −5
x + y − 2z = 0
b)

 x + 2y − 3z = 6
 x + 2y + −3z = 9
c)
3x − y + 4z = −5

2x + y + z = 0
 1
1
1
 x+y+z =0
1
+3−5 =0
d)
 x1 y2 z3
x + y − z = 1
Matemática B Aula 5
Discussão de um Sistema Linear
Se um sistema linear tem m equações e n incógnitas, ele
pode ser:
1. possı́vel e determinado
se D = det A 6= 0; caso em que a solução é única.
1
D = 2
3
−1 1 1 −1 = 3 6= 0
−1 2 Então, o sistema é possı́vel e determinado, tendo
solução única.
2. possı́vel e indeterminado
se D = Dx1 = Dx2 = Dx3 = . . . = Dxn = 0, para
n = 2. Se n ≥ 3, essa condição só será válida se
não houver equações com coeficientes das incógnitas
respectivamente proporcionais e termos independentes
não-proporcionais. Um sistema possı́vel e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo

 x + 3y + 2z = 1
−2x + y + z = −2

−x + 4y + 3z = −1
D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0
Assim, o sistema é possı́vel e indeterminado, tendo infinitas soluções.
3. impossı́vel
se D = 0 e ∃ Dxi 6= 0, 1 ≤ i ≤ n; caso em que o
sistema não tem solução.
Exemplo

 x + 2y + z = 1
2x + y − 3z = 4

3x + 3y − 2z = 0
1 2 1 D = 2 1 −3 = 0
3 3 −2 1 2 1 Dx = 4 1 −3 = 35 6= 0
0 3 −2 Como D = 0 e Dx 6= 0, o sistema é impossı́vel e não
apresenta solução.
Pense um Pouco!
Descreva as condições que devem ser satisfeitas por um sistema para que ele seja:
• possı́vel e determinado;
• possı́vel e indeterminado;
• impossı́vel.
Exercı́cios de Aplicação
Exemplo

 x−y+z =3
2x + y − z = 0

3x − y + 2z = 6
Temos m = n = 3 e
1. Classifique o sistema

 x+z =5
2x + y + 3z = −1

−2x − 2z = 1
228
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios Complementares
2. (UDESC) Considere o sistema de equações lineares
bx − y − b = 0
x + ay − a = 0
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minúscula, acompanhada de um ı́ndice que localiza a
posição do elemento; assim a1 indica o primeiro elemento,
a2 indica o segundo, a3 o terceiro, e assim por diante. O
sı́mbolo an é usado para indicar o enésimo elemento, isto
é, o termo de posição n. Como n pode ser igual a 1,2,3,
etc, conforme a posição do elemento ao qual queremos nos
referir, dizemos que an representa o termo geral da progressão. Utilizando esta nomenclatura podemos descrever,
em linguagem matemática, a lei de formação da sequência.
onde a e b são números reais. Pede-se:
a) escrever o sistema na forma matricial;
b) determinar os valores de a e b, para que:
Por exemplo, na sequência dos quadrados dos números inb.1) - o sistema seja possı́vel (compatı́vel) e determinado; teiros positivos
b.2) - o sistema seja possı́vel (compatı́vel) e indeterminado;
b.3) - 0 sistema seja impossı́vel ou incompatı́vel.
1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
3. Discuta o sistema
vemos que o termo geral desta sequência é
x + 2ky = k
kx + 2y = p
an = n 2
segundo os valores de p e k.
4. (UDESC) Considere o sistema de equações lineares
2x + 2y = b
3x + ay = 6
Progressão Aritmética (PA)
Chama-se Progressão Aritmética (PA) à toda sequência
numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.
Dependendo da razão r da PA, ela pode ser classificada
como crescente, decrescente ou constante.
onde a e b são números reais.
Pede-se:
a) escrever o sistema na forma matricial;
b) determinar os valores de a e b, para que:
b.1) - o sistema seja possı́vel (compatı́vel) e determinado; Classificação
b.2) - o sistema seja possı́vel (compatı́vel) e indeterminado;
Uma PA fica perfeitamente determinada se conhecermos seu
b.3) - 0 sistema seja impossı́vel ou incompatı́vel.
primeiro termo a1 e sua razão r, pois conhecemos a sua lei
5. (UDESC) Discuta, segundo os valores dos parâmetros a de formação.
e b, o sistema:

Para uma PA sobre os números reais, ou seja, se {a1 , r} ⊂ R
 ax + y + 2z = b
podemos usar a seguinte classificação geral:
2ax − y + 2z = 1

2x + y + 2z = 3
r
PA
r>0
progressão aritmética crescente
r < 0 progressão aritmética decrescente
r=0
progressão aritmética constante
Matemática B Aula 6
Progressão Aritmética
Sequências
Exemplos
A = (1, 5, 9, 13, 17, 21, . . .)
razão = 4, PA crescente
Imagine que na página de passatempos de uma revista você
B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .)
encontre o seguinte problema:
razão = 9, PA crescente
Descubra o elemento que completa a sequência:
C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .)
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
razão = 0, PA constante
Não haveria dificuldade para você entender o que foi pedido,
pois a noção de sequência lhe é familiar: uma lista onde os D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .)
elementos estão numa certa ordem. Em um calendário, por razão = -10, PA decrescente
exemplo, os dias da semana estão em sequência.
Para resolver o problema, você precisa descobrir a lei de Termo Geral de uma PA
formação da sequência. No caso da questão acima, não é
difı́cil perceber que cada elemento, a partir do terceiro, é Seja a PA genérica (a1 , a2 , a3 , a4 . . . , an−1 , an , . . .) de razão
igual à soma dos dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = r. Podemos escrever:
1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento que a2 = a1 + r
completa a sequência é 13 + 21 = 34.
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
É usual indicar os elementos de uma sequência (que a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
é também chamada de progressão) por letra, em geral
229
Matemática B – Aula 6
Podemos generalizar das igualdades acima que o termo geral de uma PA é:
Soma dos Termos de uma PA
Considerando a PA (a1 , a2 , a3 , . . . , an−2 , an−1 , an ), a soma
Sn dos n primeiros termos dessa progressão pode ser escrita
assim:
, onde an é o termo de ordem n (n-ésimo termo), r é a razão S = a + a + a + . . . + a
n
1
2
3
n−2 + an−1 + an
e a1 é o primeiro termo da PA.
an = a1 + (n − 1)r
É fácil perceber que uma PA está perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua razão r.
Sn
Sn
Exemplos
1. Qual o milésimo número ı́mpar positivo?
= a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an
= an + (an − r) + (an − 2r) + . . . + a1
(33)
(34)
Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo é Como a soma dos termos equidistantes dos extremos é sema1 = 1, a razão é r = 2 e queremos calcular o milésimo pre constante, somando (33) com (34) membro a membro,
termo (a1000 ).
obtemos:
Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
2sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + . . . + (a1 + an ) = (a1 + an )n
a1000 = a1 + (1000 − 1) · 2
a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999
finalmente:
Portanto, 1999 é o milésimo número ı́mpar.
Sn =
2. Qual o número de termos da PA: (100, 98, 96, . . . , 22)?
(a1 + an )n
2
Temos a1 = 100, r = 98 − 100 = −2 e an = 224 Esta é a expressão que nos dá a soma dos n primeiro termos
e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do de uma PA.
termo geral, temos:
22 = 100 + (n − 1) · (−2)
Exemplo
22 − 100 = −2n + 2 e
22 − 100 − 2 = −2n
Vamos calcular a soma dos 200 primeiros números ı́mpares
positivos. Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhecer o valor de a200 .
Neste caso
logo,
de onde conclui-se que −80 = −2n ⇒ n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.
a200 = a1 + (200 − 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399
Propriedades da PA
e logo,
Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000
Média dos Vizinhos
Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a
média aritmética dos termos vizinhos deste.
Exemplo
Observe a PA de 9 termos:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
e note que:
5 = 9+1
2 , 9 =
13+5
2 ,
25 =
29+21
2 ,
etc.
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ı́mpares
positivos é igual a 40.000.
Pense um Pouco!
• Compare a fórmula do termo geral de uma PA com a
equação da reta. Comente.
• Se fizermos um gráfico an × n de alguns termos de uma
PA, que tipo de gráfico obteremos?
Termos Equidistantes
Numa PA, a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Exemplo
Observe a PA
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33
e note que
1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc.
Exercı́cios de Aplicação
1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA
(−4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .).
2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PA
em que o 5o termo é 17 e o 3o é 11.
3. Calcule o número n de termos da PA 7, 9, 11, 13, . . .,
sabendo que a soma deles é 160.
230
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exercı́cios Complementares
4. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por
x + 1, 2x, x2 − 5 e estão em PA, nesta ordem. O perı́metro
do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24
e) 33
5. (UFBA) - Um relógio que bate de hora em hora o número
de vezes correspondente a cada hora, baterá, de zero às 12
horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
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Exemplos
2, 6, 18, 54, 162, . . .
PG crescente de razão 3
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, . . .
PG decrescente razão 1/2
−5, −5, −5, −5, −5, −5, −5, . . .
PG constante de razão 1
(1, −3, 9, −27, 81, −243, . . .)
PG alternada (ou oscilante) de razão −3
Termo Geral da PG
Numa PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) de razão r, pela definição,
6. (UFBA) - Numa progressão aritmética, o primeiro termo temos:
é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é a2 = a1 · r
2. Calcule a razão dessa progressão.
a3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2
2
3
7. Determinar o centésimo termo da progressão aritmética a4 = a3 · r = (a1 · r )r = a1 · r
na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30
Assim, podemos verificar que a10 = a1 · r9 ou a40 = a1 · r39 .
e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Portanto:
an = a1 rn−1
Matemática B Aula 7
Progressão Geométrica (PG)
Entenderemos por progressão geométrica (PG) qualquer
sequência de números reais ou complexos, onde cada termo
a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por
uma constante denominada razão. A partir da definição
anterior, podemos escrever:
an = an−1 r , onde an 6= 0
para n = 1, 2, 3, . . ..
A razão r pode ser obtida de dois termos consecutivos da
PG:
an
r=
an−1
Chama-se progressão geométrica ou PG à toda sequência
numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao
anterior multiplicado por um valor constante denominado
razão. Dependendo a razão r da PG e do primeiro termo
a1 a sequência de valores obtidos pode ser crescente, decrescente ou constante.
Classificação
Uma PG está perfeitamente determinada se conhecermos
seu primeiro termo a1 e sua razão r, pois conhecemos a lei
de formação.
Para uma PG sobre os números reais, ou seja, se {a1 , r} ⊂ R
podemos usar a seguinte classificação geral:
a1
a1 > 0
a1 > 0
a1 < 0
a1 < 0
∀a1 ∈ R
a1 = 0
r
r
r
r
r
r
r
>1
<1
>1
<1
=1
=0
PG
progressão geométrica crescente
progressão geométrica decrescente
progressão geométrica decrescente
progressão geométrica crescente
progressão geométrica constante
progressão geométrica nula
para n = 1, 2, 3, . . ..
Observações
1. Note que são necessários pelo menos três termos para
identificar e diferenciar uma PA de uma PG, por exemplo.
2. Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/r, x, xr), onde r é a sua razão.
3. Uma PA genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x − r, x, x + r), onde r é a sua razão.
Exemplos
1. Dada a PG (2, 4, 8, . . .), vamos calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = . . . = 2.
Para calcular o décimo termo a10 , temos:
a10 = a1 · r9 = 2 · 29 = 2 · 512 = 1024
2. Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é
igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão
desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever:
a4 = a1 · r4−1 e a8 = a1 · r8−1
a4 = a1 · r 3 e a8 = a1 · r 7
Daı́, vem:
a4
r3
r7
r3
=
=
r4
=
r4
=
a8
r7
a8
a4
a8
a4
320
20
231
Matemática B – Aula 7
Então r4 = 16 e portanto r = 2.
b) se −1 < r < 1, S converge para um valor finito.
A partir da fórmula da soma dos n primeiros termos de
n
−1)
, temos que, quando n tende a +∞,
uma PG, Sn = a1 (r
Produto dos Termos de uma PG
r−1
n
r tende a zero, portanto, a fórmula para calcular S, com
Dada a PG (a1 , a2 , a3 , . . . , an ), com r 6= 0, podemos calcular |r| < 1, é:
−a1
a1 (0 − 1)
o produto Pn de seus n primeiros termos assim:
=
S=
r
−
1
r
−1
Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an =
logo,
a1 (a1 · r)(a1 · r2 ) · . . . · (a1 · rn−1 ) =
a1
S=
(a1 · a1 · a1 · . . . · a1 )(r · r2 · r3 · . . . · rn−1 )
1
−r
{z
}
|
n fatores
Aplicando a propriedade das potências de mesma base, te- Propriedades Principais da PG
mos:
Produto de Termos Vizinhos
Pn = a1 n · r1+2+3+...+n−1
Como 1 + 2 + 3 + n + . . . + n − 1 representa a soma dos
termos de uma PA, temos
Pn = a1 n · r
n(n−1)
2
Em toda PG, um termo qualquer, com exceção do primeiro
e do último, tem seu quadrado igual ao produto dos termos
imediatamente anterior e posterior, ou seja, a2n = an−1 an+1 .
Exemplo
Na PG 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . . temos:
Soma dos Termos de uma PG
102
202
Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG
402
(a1 , a2 , a3 , . . . , an−1 , an , . . .):
802
..
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an−1 + an
(35) .
Se multiplicarmos ambos os membros da equação acima por
r, vem
r · Sn = a1 · r + a2 · r + a3 · r + . . . + an−1 · r +an · r
| {z } | {z } | {z }
| {z }
a2
a3
a4
an
= 5 · 20 = 100
= 10 · 40 = 400
= 20 · 80 = 1.600
= 40 · 160 = 6.400
Produto de Termos Equidistantes
O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma
PG é constante: a1 an = a2 an−1 = a3 an−2 = . . .
Exemplo
(36) Na
PG
alternada
com
6
−2, 2/3, −2/9, 2/27, −2/81, 2/243 temos:
Efetuando, agora, a subtração 36 - 35, obtemos (para r 6= 1),
−2 · 2/243 = 2/3 · −2/81 = −2/9 · 2/27 = −4/243
a fórmula da soma:
r · S n = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r
Sn =
a1 (rn − 1)
r−1
termos
Pense um Pouco!
Exemplo
• Dada a PG 5, 10, 20, 40, 80, . . ., determine sua razão.
Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG
1, 2, 4, 8, . . ..
• Fazendo-se um gráfico dos termos de uma PG an × n,
que tipo de comportamento terı́amos? Comente.
Temos:
10
Sn = 1·(22−1−1) = 1023
Exercı́cios de Aplicação
Observe que neste caso a1 = 1.
1. Verifique se cada uma das sequências é PG, determinando, em caso afirmativo, a razão r.
a) 3/4, −9/2, 54/2, . . .
Neste caso trivial, como a PG é constante, temos r = 1. b) −3/5, 2/5, −415, . . .
Então
2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG
S n = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ⇒ S n = n · a1
2−26 , −2−25 , 2−24 , . . ..
Soma dos Termos de uma PG constante
3. (UnB) O valor de x na equação
27
9 3 1
+ + + ... =
x
Dada a PG infinita (a1 , a2 , a3 , . . .) de razão r, r 6= 0, para
5 5 5
4
determinar a soma S dos seus infinitos termos, temos:
a) se r ≤ −1 ou r ≥ 1, S tende a ±∞ (o que significa que é:
a) 1
S é indeterminada;
Soma dos Termos de uma PG infinita
232
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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b) 3/5
c) 4/3
d) 5/2
e) 45/8
Exercı́cios Complementares
4. (UFRS) A cada balanço uma firma tem apresentado um
(a)
(b)
aumento de 10 % em seu capital. A razão de progressão
formada pelos capitais nos balanços é:
Figura 1: George Boole (1815–1864) (a) e George Cana) 10
tor (1845-1918) (b)
b) 11/10
c) 20/11
d) 9/10
Conjunto
e) 1/10
5. Sabe-se que x − 16, x − 10 e x + 14 são os três primeiros A noção de conjunto é aceita sem definição, como conceito
primitivo, formada a partir da idéia de coleção: Assim, potermos de uma PG. Calcule o seu 14o termo.
demos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos,
6. (Ucsal-BA) A soma dos três primeiros termos de uma números, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que têm
progressão geométrica é −3/4 e a soma dos três termos se- um nome especial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo
guintes é 6. A razão dessa progressão é:
de cavalos é manada, o coletivo de estrelas é constelação,
a) −4
o coletivo de lobos é alcatéia. Cada um dos integrantes de
b) −2
um conjunto é chamado de elemento do conjunto. Em gec) 1/2
ral, indicamos o nome de um conjunto por letras maiúsculas
d) 2
(A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se supõe distintos
e) 1/8
entre si, dois a dois, por letras minúsculas (a,b,c,. . . ,z).
À noção de constituir associamos, em matemática, o conceito também primitivo de pertencer.
Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos
8. (PUC-SP) O 7o termo de uma PG é 8 e a razão é −2. De- que o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos
termine a soma dos três primeiros termos dessa progressão. essa relação por:
a∈V
7. (UGF-RJ) Calcule a razão de uma PG, na qual o 1o
termo é 1/2 e o 4o é 4/27.
Matemática C Aula 1
Teoria dos Conjuntos
História
As noções que deram origem à Teoria dos conjuntos, estão
diretamente ligadas aos estudos dos matemáticos ingleses Augustus De Morgan (1806 − 1871) e George Boole
(1815 − 1864), considerados fundadores da lógica moderna.
Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados
os fundamentos de uma álgebra especı́fica para o estudo
da lógica. Em seus trabalhos, ele utilizou frequentemente
relações entre “conjuntos”de objetos. Entretanto, não chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado.
Somente em 1890, o matemático russo George Cantor
(1845 − 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos
Números, publicou na Alemanha uma série de proposições e
definições que vieram a se constituir na linguagem simbólica
para a lógica, a Teoria dos Números e outros ramos da Matemática. Em função disso, Cantor é conhecido como o criador da Teoria dos Conjuntos. Na formulação dessa teoria,
Cantor utilizou também formas de representação em diagramas que já tinham sido utilizadas no estudo da Lógica por
Leonhard Euler (1707−1783) e por John Venn (1834−1923).
Para indicar que a consoante m não pertence a V , escrevemos:
m∈
/V
Os sı́mbolos ∈ (pertence) e ∈
/ (não pertence), são sempre
utilizados no sentido do elemento para o conjunto.
Representação de Conjuntos
Um conjunto pode ser representado de várias formas distintas: por enumeração, por uma propriedade caracterı́stica
ou por diagramas.
Enumeração
Neste caso, escrevemos seus elementos entre chaves, separados por vı́rgulas e sem repetição.
Exemplo
O conjunto P dos números primos menores do que 20:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
Propriedade Caracterı́stica
Para representar um conjunto através de uma propriedade
caracterı́stica α, escrevemos:
233
Matemática C – Aula 1
Exemplo
A = {a | a tem a propriedade α}.
Exemplo
Para o conjunto do exemplo anterior, temos:
P = {x | x é primo e menor do que 18}.
Seja A = {5, 7, 9} e B = {9, 7, 5}. Veja que: A = B, pois
todo elemento que pertence a A é também elemento de B,
e todo elemento de B é elemento de A.
Diagramas de Venn
Subconjunto
Na representação por diagrama, traçamos uma linha fechada em torno dos seus elementos associados a pontos.
Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro
conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Assim:
A ⊂ B, que se lê: A está contido em B. Simbolicamente
escrevemos:
Exemplo
O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.
A ⊂ B ⇔ (∀ x) (x ∈ A e x ∈ B)
A
e
Exemplos
o
a
u
i
U = alfabeto
Figura 2: Diagrama de Venn para o conjunto A das
vogais.
Em geral, o diagrama de Venn representa também o conjunto universo U , que contém o conjunto representado. Para
isso, desenha-se em torno do diagrama um retângulo representando o conjunto U .
O conjunto A = {4, 3, 2, 5} é um subconjunto de B =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha
em B (note que a recı́proca não é verdadeira). Quando
dois conjuntos C e D têm todos os elementos em comum
(C = D), implica em:
C⊂D e D⊂C
O conjunto C = {3, 6, 9} está contido em D = {9, 3, 6} e
vice-versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que
não pertença a B, dizemos que A não está contido em B,
ou que A não é subconjunto de B.
(∃ x | x ∈ A e x 6∈ B) ⇒ A 6⊂ B
Conjunto das Partes
Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um
novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjunClassificação dos Conjuntos
tos possı́veis de A. A esse novo conjunto chamamos de:
Conjunto
das partes de A, que é representado por P (A).
Podemos classificar um conjunto de acordo com o seu
número de elementos n(D). Portanto, um conjunto D é
P (A) = {x | x ⊂ A}
chamado conjunto vazio se não possui elementos. Isto é:
n(D) = 0 ⇔ vazio
Exemplo
Sendo o conjunto A = {2, 3, 5}, podemos escrever seus
subconjuntos como segue:
Sem nenhum elemento — ∅
D = { } ou D = Ø
Com um elemento — {2},{3},{5}
Por outro lado, um conjunto D é dito conjunto unitário, Com dois elementos — {2, 3},{2, 5},{3, 5}
Com três elementos — {2, 3, 5}
quando tiver apenas um elemento, isto é: n(D) = 1.
Representamos o conjunto vazio por:
n(D) = 1 ⇔ D é unitário
Quando não se pode contar o número de elementos, temos
um conjunto infinito, caso contrário, temos um conjunto
finito.
Assim, temos:
P (A) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
Pode-se demonstrar que, se n(A) = k então, o número de
elementos n(P (A)) que formam o conjunto das partes de A,
é dado por 2k .
Igualdade
Operações com Conjuntos
Um conjunto A será igual a um conjunto B, se ambos
possuı́rem os mesmos elementos, isto é, se cada elemento União
que pertence a A pertencer também a B e vice-versa.
A união entre dois conjuntos A e B consiste num outro
A = B ⇔ ∀ x, x ∈ A e x ∈ B
conjunto C de todos os elementos que pertencem a A ou a
234
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ∪ B, lê-se:
C é igual a A união B. De uma maneira mais concisa a
definição dada acima pode ser escrita simbolicamente por:
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L
c s l
r a o
u
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo
e
i
V
U={a,b,c,...,x,y,z}
Fazendo a união dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4},
temos: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 7} Também podemos representar
a união usando diagramas:
B
A
1
2
4
Figura 4: Intersecção de conjuntos.
3
• (A ∩ B) ⊂ A e (A ∩ B) ⊂ B.
• ∅ ∩ A = ∅.
7
U=N
Complemento e Universo
Em muitos casos, faz-se necessário que consideremos um
conjunto mais amplo que os demais. A esse conjunto (que
Figura 3: União de conjuntos.
contém todos os outros como subconjuntos) é denominado
de conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a leObservação:
tra maiúscula U . Obs.: A noção de conjunto Universo
Não é necessário que se repitam os elementos comuns aos é relativa, dependendo das circunstâncias e amplitude do
dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 é comum contexto que desejamos empregá-la.
tanto a A como a B, no conjunto união ele deve ser escrito Exemplos
uma só vez.
• para os conjuntos de números inteiros, Z o conjunto
Propriedades da União
universo;
• A ∪ A = A, pois: A ∪ A = {x | x ∈ A ou x ∈ A}.
• para os conjuntos de letras, o alfabeto é o conjunto
• A ∪ B = B ∪ A, ou seja a união é comutativa, visto
universo;
que: A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B} = {x | x ∈
• para os resultados da loteria, N é o conjunto universo;
B ou x ∈ A} = B ∪ A.
• para o conjunto das raı́zes de 4, {+2, −2} é o conjunto
• A ⊂ (A ∪ B) e B ⊂ (A ∪ B), isto é, tanto A como B
universo.
são subconjuntos do conjunto A ∪ B.
• ∅ ∪ A = A , visto que: ∅ ∪ A = {x | x ∈ ∅ ou x ∈
A}, como se sabe o conjunto vazio não tem elementos,
logo; resta-nos que x ∈ A, o que implica que ∅∪A = A.
Na maioria dos assuntos estudados em matemática, o conjunto dos números reais é o conjunto universo.
Diferença
Intersecção
Denominamos diferença A − B (lê-se: A menos B), o conChamamos de intersecção de um conjunto A com outro con- junto formado pelos elementos pertencentes a A e não a B,
junto B, ao conjunto constituı́do pelos elementos x que per- ou seja:
A − B = {x | x ∈ A e x 6∈ B}
tencem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos: A ∩ B, lê-se: “A intersecção B”. EsqueExemplo
maticamente temos:
Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V =
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
{a, e, i, o, u}, temos que a diferença A − B = {c, r, l, s}.
Em diagramas:
Exemplo
Propriedades
Sejam L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ∩
V = {a, o}. Em diagramas:
• A−A =∅
Propriedades da Intersecção
• A−∅ = A
• A ∩ B = A.
• A ∩ B = B ∩ A.
• ∅−A=∅
• A⊂B ⇒A−B =∅
235
Matemática C – Aula 2
L
d) 120
e) 180
c s l
r a o
u
e
i
V
U={a,b,c,...,x,y,z}
2. Se um conjunto A possui 8 subconjuntos, então o número
mı́nimo de elementos de A é?
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = {x ∈ R | − 3 <
x < 5} e B = {x ∈ Z | − 1 < x < 7}. Quantos elementos
possui A ∩ B?
Figura 5: Diferença de conjuntos.
a) infinitos
b) 8
c) 7
Complementar de um Conjunto
d) 6
Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ⊂ A. Chamamos e) 5
à diferença A − B de: Complementar de B em relação a A.
Exemplo
Temos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}. Note
que B ⊂ A; Assim, temos que A − B = {1, 2, 3, 4}.
A
3
1
4
4. (PUC-CAMPINAS) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 trabalham à
noite; 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de
manhã e a noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três perı́odos. Assim:
a) 150 operários trabalham em 2 perı́odos
b) há 500 operários na indústria
c) 300 operários não trabalham à tarde
d) há 30 operários que trabalham só de manhã
e) n. d. a.
B
5
Exercı́cios Complementares
6
2
U=N
Figura 6: Complementar de B em relação à A.
5. (PUC-SP) Se A = ∅ e B = {∅}, então:
a) A ∈ B
b) A ∪ B = ∅
c) A = B
d) A ∩ B = B
e) B ⊂ A
Pense um Pouco!
•
•
•
•
6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e
B, foram entrevistas n pessoas, das quais descobriu-se que:
Qual o conjunto universo para os resultados de um 40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem
A e B e 20 pessoas não consomem o produto A. Qual o
lançamentos de um dado?
número n de pessoas que foram entrevistadas?
Qual o conjunto união das letras do seu nome?
a) 85
b) 75
Qual o conjunto de dinossauros vivos?
c) 60
d) 90
{∅} é o mesmo que {}? Explique.
e) n.d.a
7. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois
jornais A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal
A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de
1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que leem
matérias dadas são português e matemática, 240 alunos ambos é:
estudam português e 180 alunos estudam matemática. O a) 48%
número de alunos que estudam português e matemática é: b) 60%
a) 120
c) 40%
b) 60
d) 140%
c) 90
e) 80%
Exercı́cios de Aplicação
236
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Matemática C Aula 2
Conjuntos Numéricos
Q = {x|x = ab , a ∈ Z, b ∈ Z∗ }
Exemplo
A noção de número tem provavelmente a idade do homem
e certamente sempre esteve ligada à sua necessidade de registrar e interpretar os fenômenos que o cercavam.
1
7 3
3, 5, 1
⊂ Q.
4. Conjunto dos números irracionais (Q′ ): Todo número
que não pode ser representado na forma de uma fração,
com numerador e denominador inteiros é chamado
“número irracional”.
Exemplos
π
√
2
√
3
e
Os primeiros registros da utilização da notação posicional
ocorreram na Babilônia, por volta de 2.500 a.C. Já o aparecimento do zero data do século IX e é atribuı́do aos hindus.
Também se atribuiu aos hindus o atual sistema de numeração posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos árabes. Por essa razão, esse sistema é
costumeiramente chamado de sistema de numeração indoarábico.
Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), também chamado Fibonacci, a difusão do sistema indo-arábico na Europa, através de sua obra Lı́ber Abacci, de 1202.
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3. Conjunto dos números racionais (Q): Todo número que
puder ser representado na forma de uma fração com numerador e denominador inteiros é chamado “número
racional”.
O Nascimento do Número
Os primeiros sı́mbolos numéricos conhecidos surgiram com
o intuito de representar a variação numérica em conjuntos
com poucos elementos. Com a ampliação e a diversificação
de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar
novos sı́mbolos numéricos e processos de contagem e desenvolver sistemas de numeração.
A maioria dos sistemas de numeração tinha como base os
números 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos
que temos nas mãos. Esses sistemas ainda não possuı́am a
notação posicional nem o número zero.
—
=
=
3, 1415926535 . . .
1, 414213562 . . .
=
=
1, 7320508 . . .
2, 718281827 . . .
Observação
Note que as dı́zimas periódicas são números racionais,
enquanto as dı́zimas não periódicas são números irracionais.
5. Conjunto dos números reais (R): é o conjunto obtido
com a união do conjunto dos números racionais com o
dos números irracionais.
Representando em diagramas temos:
Q´
Q
Z
N
U=R
Figura 1: Leonardo Pisano Fibonacci (1175-1240).
Figura 2: Os conjuntos numéricos.
Conjuntos Numéricos
1. Conjunto dos números naturais (N):
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}
2. Conjunto dos números inteiros (Z):
Operações com Números Inteiros
I) Adição e Subtração
I.a) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .}
Z∗+ = {1, 2, 3, 4, . . .}
I.b) Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do
maior.
237
Matemática C – Aula 2
. . . 0}
II) Multiplicação e Divisão: Aplica-se a regra dos B) 10−n = 1/1 000
| {z
sinais:

+



−
+



−
+=+
+=−
−=−
−=+
“n”zeros
⇒ 0, 000
. . . 01}
| {z
“n”casas
Pense um Pouco!
Observação: Pela ordem, resolver ( ), [ ] e { }.
• Quantos números inteiros tem no intervalo real 0 <
x < 3?
Exemplo
• Quantos números racionais tem no intervalo anterior?
−3 · {14 ÷ (−7) − 3 · [4 − (10 − 12 + 9 − 7 − 4) ÷ 2]} =
−3 · {−2 − 3 · [4 − (−4) ÷ 2]}
= −3 · {−2 − 3 · [4 + 2]}
= −3 · {−2 − 3 · [+6]}
= −3 · {−2 − 18}
= −3 · {−20}
= 60
• Quanto é −1100 ?
Potenciação
An = X
Exercı́cios de Aplicação
1. O valor de ((23 )3 )3 é:
a) 212
b) 1024
c) 281
d) 1
e) n.d.a.
2. O valor da expressão
onde:
[13 − (8 ÷ 2 − 3 − 7 + 2 · 3)] ÷ [25 ÷ (−3 − 22)]
A = Base;
n = Expoente;
X = Potência;
Casos Especiais
X1 = X
1n = 1
0n = 0
X0 = 1
é:
a) −13
b) 14
c) 13
d) 0
e) n.d.a.
3. A expressão (a7 · b3 · c5 · b4 )/(c3 · b6 · a7 · c) é igual a:
a) a2 · b
b) b · c
c) cb
d) 1
e) n.d.a.
Regras
1. se o expoente é par: resultado positivo.
2. se o expoente é ı́mpar: repete-se o sinal da base.
Propriedades
1. am · an = am+n
2. am ÷ an = am−n
3. (am )n = am·n
4. (am · bn )n = am·x · bn·x
5. (am /an )x = amx /bnx
6. a
−m
= 1/a
m
Potências de “Base 10”
A) 10n = 1 |000{z
. . . 0}
“n”zeros
Exercı́cios Complementares
4. Resolvendo
a) 5 · 1012
b) 100
c) 103
d) 107
e) n.d.a.
108 ·102 ·105 ·104
103 ·10·108
5. O valor da expressão
{72 ÷ (−12) + 2 · [4 · (−2) + (30 − 20 + 10) ÷ 5]}
é:
a) +20
b) −20
c) −14
d) +14
e) n.d.a.
238
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
16 3
22
6. O valor de
a) 0
b) 94
c) 1
d) 2
e) n.d.a.
3
i0 = 1
i4 = 1
..
.
2
− (23 ) é:
—
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i1 = i
i5 = i
i4n = 1 i4n+1 = i
Observe que:
2
i2 = −1
i6 = −1
i3 = −1
i7 = −1
i4n+2 = −1
i4n+3 = −1
i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0
7. (22 ) · (23 ) :
a) 215
b) 212
c) 1024
d) 214
e) n.d.a.
Ou seja, a soma das quatro potências de i cujos expoentes
são números naturais consecutivos é igual a zero.
Note que, à medida que n cresce, os resultados de in , vão se
repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatro
valores da sequência: 1, i, −1, −i. Ou seja:
5
8. O valor de (24 ) · 2−8 é:
a) 218
b) 215
c) 20
d) 212
e) n.d.a.
in ∈ {1, i, −1, −i}, (n ∈ N)
Para n ≥ 4, podemos dividir n por 4 e escrever
n=4·q+r
q
Matemática C Aula 3
q
Então, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4 ) · ir = (1) · ir = ir , ou
seja:
in = ir
Números complexos (C)
Exemplo
Algumas equações não possuem solução no conjunto dos
números reais, por exemplo, a equação:
2x2 + 18 = 0
Como se trata de uma equação incompleta (b = 0), podemos
resolvê-la isolando a variável. Assim:
x2 =
√
−18
⇒ x = −9
2
Calcule o valor de i3795 .
Como 3795 = 948 · 4 + 3, temos r = 3 e
i3795 = i3 = −i
Forma Algébrica
Todo número complexo pode ser escrito na forma z = a+b·i,
Como não existe raiz quadrada de número negativo no con- com a e b ∈ R. Tal forma é denominada forma algébrica.
junto dos reais, a equação acima dada não tem solução real. O número real a é denominado parte real de z, e o número
Para que equações sem soluções reais, como a dada acima, os real b é denominada parte imaginária de z.
matemáticos começaram a utilizar novos entes matemáticos.
Re(z) = a
Essa representação foi considerada, a princı́pio, como um
z =a+b·i⇒
Im(z) = b
passatempo.
√
Particularmente, o número −1 foi denominado unidade
imaginária, devido à desconfiança que os matemáticos ti- Igualdade de Complexos
nham dessa nova criação.
Dois números complexos são iguais quando suas partes reais
e imaginárias forem respectivamente iguais.
Unidade Imaginária
a=c
a
+
bi
=
c
+
di
⇒
Para simplificar
b=d
√ a notação, adotou-se a letra ”i”para designar o número −1, isto é:
√
i = −1 ⇔ i2 = −1
Exemplo
Com isso, a solução da equação proposta acima é:
p
x = ± 9 · (−1) ⇒ x = ±3i
Potências Naturais de i
Determinar x e y de modo que:
(2x + 3) + 6i = 7 + (2 + 4y)i.
Para que os complexos sejam iguais devemos ter:
2x + 3 = 7 ⇒ x = 2
e
Consideremos as potências do tipo i , em que m é natural. 2 + 4y = 6 ⇒ y = 1
Vejamos alguns exemplos:
Logo, devemos ter x = 2 e y = 1.
m
239
Matemática C – Aula 3
Operações com Complexos
Observação
Adição e Subtração
O produto de um número complexo z pelo seu conjugado z
é sempre um número real e positivo. Esse produto chama-se
Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais números com- norma de z ou |z|.
plexos, somamos ou subtraı́mos, respectivamente, suas parExemplo
tes reais e imaginárias, separadamente. Ou seja:
Sendo z = 5 − 3i, o produto z · z é:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(5 − 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i − 15i − 9i2
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Lembrando que i2 = −1, temos que:
Exemplo
z · Z = 25 + 9 = 34
Seja z1 = 5 − 3i, z2 = 2 + 4i e z3 = −3 − 5i, calcule:
a) z2 − z3
Divisão de Complexos
z2 − z3 = (2 + 4i) − (−3 − 5i)
z2 − z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i
b) z1 + z2
z1 + z2 = (5 − 3i) + (2 + 4i)
z1 + z2 = 7 + i
Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob
a forma de uma fração, a seguir, usando o procedimento de
racionalização de denominadores, multiplicamos ambos os
termos da fração pelo conjugado do denominador. Ou seja:
z1 z2
z1
=
·
z2
z2 z2
Multiplicação por um Real
Para multiplicar um complexo por um número real basta Exemplo
multiplicar a parte real e a parte imaginária pelo respectivo Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = −2 − 3i, obter z1 /z2 .
número.
z1
3 + 2i
Exemplo
=
z2
−2 − 3i
Sejam os complexos z1 = 6 − 3i e z2 = 3 + 2i, determinar o
valor de 3 · z1 − 5 · z2 .
3 · z1 − 5 · z2 = 3 · (6 − 3i) − 5 · (3 + 2i)
z1
3 + 2i −2 + 3i
3 · z1 − 5 · z2 = 18 − 9i − 15 − 10i
=
·
z2
−2 − 3i −2 + 3i
3 · z1 − 5 · z2 = 3 − 19i
Multiplicação de Complexos
Multiplicamos dois números complexos de acordo com a regra da multiplicação de binômios. Devemos lembrar que
logo,
i2 = −1. Com isso temos que:
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
−6 + 9i − 4i + 6i2
2
2
−2 − (3i)
=
−6 + 9i − 4i − 6
4+9
z1
−12 + 5i
12
z1
5
=
=− + i
⇒
z2
13
z2
13 13
Exemplos
a) Calcular (3 − 3i) · (−2 + 2i):
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i + 6i2
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −6 + 6i + 6i − 6
(3 − 3i) · (−2 + 2i) = −12 + 12i
b) Calcular (5 − 3i)2 :
(5 − 3i)2
(5 − 3i)2
(5 − 3i)2
(5 − 3i)2
= (5 − 3i) · (5 − 3i)
= 25 − 15i − 15i + 9i2
= 25 − 15i − 15i − 9
= 16 − 30i
Conjugado de um Complexo
Sendo z = a + bi um número complexo qualquer, defini-se
como o conjugado de z o número complexo z = a − bi.
Exemplos
1. Sendo z = 6 − 5i, temos que: z = 6 + 5i.
2. O conjugado de z = −3 + 2i é o complexo z = −3 − 2i.
Representação Geométrica
Consideremos num plano, chamado plano de ArgandGauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e nele um ponto P (x, y). Lembrando
que um número complexo na forma algébrica tem a forma
de: z = (x, y) = x + yi, podemos estabelecer uma correspondência entre os pontos do plano e os números complexos. Ou seja, podemos representar os complexos geometricamente, pelos pontos do plano.
O ponto P é a imagem geométrica de z ou afixo de z.
Observações
1. A parte real de um complexo tem seus afixos no eixo
Re ou eixo real.
2. A parte imaginária de um complexo é representada no
eixo Im, que por essa razão é chamado de eixo imaginário.
240
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
—
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e
Im
sen θ =
y
⇒ y = ρ sen θ
ρ
Como z = x + yi
y
z = ρ cos θ + iρ sen θ
z = x + yi
ρ
De outra forma:
θ
z = ρ(cos θ + i sen θ)
x
Re
Figura 1: O plano complexo.
A igualdade acima é denominada forma trigonométrica
ou polar do número complexo.
O número complexo z = 0, para o qual não é possı́vel determinar o argumento θ, não pode ser escrito na forma trigonométrica.
Módulo de um número complexo
Observe que, quando multiplicamos um número complexo
por i, ele gira 90◦ no sentido anti-horário, no plano complexo.
Na representação geométrica de um número complexo z =
x + yi, vamos considerar a distância entre o afixo P desse
número e a origem. A essa distância denominamos módulo
de z e indicamos por |z| ou ρ.
Pense um Pouco!
Calculando a referida distância, temos:
q
p
2
2
dop = (x − 0) + (y − 0) = x2 + y 2
Portanto:
|z| = ρ =
p
x2 + y 2
• Pode-se dizer que R ⊂ C? Por quê?
• Existe alguma semelhança entre o plano complexo e o
plano cartesiano? Quais?
• 1/i é um número complexo?
Exercı́cios de Aplicação
Exemplo
1. (UFPA-PA) O número complexo z = x + (x2 − 4)i é real
Calcular o módulo do número complexo z = 3 + 4i. Como se, e somente se:
a) x = 0
vimos:
p
b) x 6= 0
2
2
|z| = ρ = √ x + y , assim;
√
√
c) x = ±2
2
2
|z| = ρ = 3 + 4 = 9 + 16 = 25 = 5
d) x 6= ±2
|z| = ρ = 5
e) x 6= 0 e x 6= 2
2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, então z − 3z vale:
a) −8 + 8i
Sendo um número complexo z = z +yi, com z 6= 0, define-se b) 6 + i
como o argumento de z, o número real θ(0 ≤ θ < 2π) que c) 1 + 8i
corresponde à medida do ângulo formado pelo segmento ori- d) 1 − 8i
entado OP e o eixo Re, no sentido anti-horário. Indicamos e) 12 + 6i
por arg(z) = θ.
3. (UFSE-SE) Se o número complexo z é tal que z = 3 − 2i,
A partir da figura (plano complexo), obtemos as importanentão (z)2 é igual a:
tes relações:
x
a) 5
cos(θ) =
b) 5 − 6i
ρ
c) 9 + 4i
y
d) 5 + 12i
sen(θ) =
ρ
e) 13 + 12i
Argumento de um Complexo
4. Sendo i2 = −1, o valor de i58 + i85 é:
a) 0
Com as definições de módulo e argumento, podemos re- b) i − 1
presentar os números complexos de outra forma, além da c) 1 + i
d) 1 − i
algébrica, já conhecida.
e) −1 − i
Assim, para o complexo z = x + yi, temos:
5. (Sta Casa -SP) O valor de 2−i
x
2+i é igual a:
cos θ = ⇒ x = ρ cos θ
a)
(3
+
4i)/5
ρ
Forma Trigonométrica
241
Matemática C – Aula 4
Exemplos
b) (2 + 4i)/3
c) 3 − 4i
d) 4 + 3i
e) (3 − 4i)/5
1. A razão entre 4 e 6 é:
2
4
=
6
3
Exercı́cios Complementares
6. (PUC-SP) O conjugado do número complexo
a) (−1 − 7i)/5
b) (1 − i)/5
c) (1 + 2i)/7
d) (−1 + 7i)/5
e) (1 + i)/5
2. A razão entre 2 m e 30 cm é:
1+3i
2−i
é:
7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 é:
a) 1
b) i
c) −1
d) −i
e) 1 − i
8. (UFRG-RG) Efetuando as operações indicadas na
equação
5 − i 4 − 3i
−
1+i
2+i
obtemos:
a) 1 + i
b) −1 − i
c) i
d) −i
e) 1 − i
2m
200 cm
20
=
=
30 cm
30 cm
3
Observe que a razão deve ser calculada numa unidade
comum, a fim de ser cancelada. Finalmente, a razão
obtida não dependerá da unidade escolhida, pois é adimensional.
Escala
É a razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real.
Exemplo
Um edifı́cio tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse
projeto?
15 cm
15 cm
comprimento no desenho
=
=
comprimento real
30 m
3000 cm
E=
1
200
ou E = 1 : 200
Proporção
9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os números x e y tais que Os números a, b, c e d, com b e d não nulos, formam nessa
12 − x+ (4 + y)i = y + xi. O conjugado do número complexo ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b
z = x + yi é:
é igual a razão entre c e d. Ou seja:
a) 4 + 8i
b) 4 − 8i
c
a
=
c) 8 + 4i
b
d
d) 8 − 4i
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
e) −8 − 4i
Os números a e d são chamados de extremos e os números
10. (FATEC-SP) Se i é a unidade imaginária e z = (2 − b e c são chamados de meios.
i)2 /(1 + i), então:
a) z = (5 − 5i)/2
Propriedades
b) z = (−7 − i)/2
c) z = (5 + 5i)/2
I) O produto dos meios é igual ao produto dos extremos
d) z = (7 + i)/2
a
c
e) z = (−5 − 5i)/2
=
⇐⇒ a · d = b · c
b
d
Matemática C Aula 4
Razões e Proporções
Razão
II) A soma dos dois primeiros termos está para o segundo,
assim como, a soma dos dois últimos está para o último.
c
a+b
c+d
a
=
⇐⇒
=
b
d
b
d
III) Cada antecedente está para o seu consequente, assim
como; a soma dos antecedentes está para a soma dos conseA razão entre dois números a e b (com a e b reais e b 6= quentes.
c
a+c
a
0), nessa ordem, é o quociente ab . O número a é chamado
= =
b
d
b+d
antecedente e o número b é chamado consequente.
242
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Grandezas Diretamente Proporcionais
—
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Exercı́cios de Aplicação
Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se, as razões entre os valores de A e 1. Determine m e n, sabendo que as sucessões numéricas
são inversamente proporcionais:
os correspondentes valores de B forem constantes.
3 m 9
Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande12 4 n
zas diretamente proporcionais, então
a1
a2
a3
=
=
= ... = k
b1
b2
b3
2. Antônio, João e Pedro trabalham na mesma firma há 10,
4 e 6 anos, respectivamente. A firma distribuiu uma gratificação de R$ 80.000,00 entre os três, em partes diretamente
Exemplo
proporcionais ao tempo de serviço de cada um. Quantos reSe considerarmos a distância percorrida por um móvel com ais cada um irá receber?
velocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremos
3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2,
a seguinte tabela:
1/5 e 1/7.
Distância (km) 50 100 150
tempo (h)
1
2
3
Exercı́cios Complementares
50
1
100
2
150
3
=
=
= 50, temos que distância e tempo,
como
neste exemplo, são grandezas diretamente proporcionais.
4. Represente a razão entre:
a) 18 e 12
b) 6 m e 4 m
Grandezas Inversamente Proporcionais
c) 150 g e 2 kg
3
Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma gran- d) 750 litros e 1m
deza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A e) 600 s e 1 hora
f) 8 km e 1600 m
e os correspondentes valores de B forem constantes.
Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grande- 5. Um comprimento real de 25 m foi representado num
zas inversamente proporcionais, então:
desenho por 10 cm. Nesse caso, qual foi a escala usada?
a)
1 : 250
a1 · b 1 = a2 · b 2 = a3 · b 3 = . . . = k
b) 1 : 300
c) 1 : 150
Exemplo
d) 1 : 500
e) n. d. a.
Se considerarmos que a distância que separa duas cidades A
e B é de 300 km e que um móvel viaja de A para B com uma 6. A distância entre duas cidades, em linha reta, é 120 km
certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o e foi representada num mapa rodoviário por um segmento
tempo gasto para percorrer essa distância varia conforme a de 60 cm. Qual foi a escala usada nesse mapa?
a) 2 : 125
velocidade do móvel.
b) 1 : 120.000
Velocidade (km/h) 50 60 100
c) 1 : 200.000
Tempo (h)
6
5
3
d) 1 : 12.000
e) n. d. a.
Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velocidade e tempo, neste exemplo, são grandezas inversamente 7. Em geral, num adulto, a altura da cabeça está para
a altura do restante do corpo, assim como 1 está para 7.
proporcionais.
Quanto mede uma pessoa cuja cabeça tem 22 cm de altura?
a) 1, 60 m
b) 1, 76 m
Pense um Pouco!
c) 1, 82 m
d) 1, 54 m
• Determine o valor de x nas proporções:
x
9
e) n. d. a.
a) =
b)
4
6
24
3x+2
2x−1 = 9
• Calcule o valor de x e y na proporção
que x + y = 42.
x
y
= 25 , sabendo
• Determine x e y, sabendo que as sucessões de números
são diretamente proporcionais:
2 x 9
3 9 y
Matemática C Aula 5
Regras de Três Simples e Composta
Regra de Três Simples
Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de
243
Matemática C – Aula 5
três simples ao método prático para determinar um desses Exemplo 1
quatro valores, sendo conhecidos os outros três.
Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes
em 3 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias
Técnica Operatória
para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias?
Solução
Conforme a definição acima temos:
GRANDEZA A
a
b
GRANDEZA B
c
d
Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais então:
b
a
c
a
=
⇐⇒
=
c
d
b
d
Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais então:
a · c = b · d ⇐⇒
a
d
=
b
c
Exemplos
1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque
em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min,
em quanto tempo encheria esse tanque?
Temos um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vazão,
o tempo necessário para encher o mesmo tanque diminuirá. Com isso:
15 · 80 = 25 · X ⇐⇒
X
15
=
=⇒ X = 48
25
80
Logo, encherá o tanque em 48 min.
2. Um automóvel percorre 132 km com 12 litros de
combustı́vel. Quantos litros de combustı́vel serão
necessários para que ele percorra 550 km?
N ◦ de Máquinas
16
x
⇓
Uniformes
720
2160
↓
Dias
3
24
↑
A grandeza N ◦ de máquinas, onde está a variável deve ser
comparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temos que:
1. Colocamos uma seta no sentido da variável desconhecida x, supondo-se que x cresça neste sentido (arbitrário);
2. Se aumentarmos o N ◦ de máquinas, então a quatidade de Uniformes deverá crescer, logo essas são grandezas diretamente proporcionais, pois mais máquinas
produzem mais uniformes. Colocamos uma seta com o
mesmo sentido (para baixo) ao lado dessa variável;
3. Se aumentarmos o N ◦ de máquinas, o número de
Dias deverá dimiuir, logo essas são grandezas inversamente proporcionais, pois, quanto maior o número
de máquinas, menor o número de dias necessários.
Colocamos então uma outra seta, agora com o sentido contrário ao do crescimento de x, ao lado dessa
variável.
4. Isolamos a razão desconhecida na esquerda e igualamos
com o produto das razões das outras variáveis, invertendo as grandezas que são inversamente proporcionais
(com a seta invertida). Nesse caso, o número de Dias:
720 24
16
=
·
x
2160 3
e obtemos x = 6. Logo serão necessárias 6 máquinas.
Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcionais, pois; aumentando a distância, também aumen- Exemplo 2
tará o consumo de combustı́vel. Com isso:
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
550
132
=
⇐⇒ 132 · x = 550 · 12 =⇒ x = 50
homens em 16 dias?
12
x
Solução:
logo, serão necessários 50 litros de combustı́vel.
Montando a tabela
Regra de Três Composta
Homens
8
4
Chama-se regra de três composta, ao método prático empregado para resolver problemas que envolvem mais de duas
Observe que:
grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais.
Propriedade
Considere uma grandeza A(a1, a2, a3, . . .) diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2, b3, . . .) e a uma grandeza
C(c1, c2, c3, . . .), então :
b1
c1
a1
=
=
a2
b2
c2
↓
Carrinhos
20
x
⇓
Dias
5
16
↑
1. Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
2. Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o
produto das outras razões.
244
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
20
8 5
= ·
x
4 16
x=
20 · 4 · 16
8·5
e finalmente x = 32 carrinhos.
Pense um Pouco!
• Se um fio pesa 10 N/cm, quanto pesará por metro?
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c) 8, 5 h/d
d) 9, 0 h/d
e) n. d. a.
5. Em uma fabrica de refrigerante, uma máquina encheu
4.000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia.
Quantos dias essa máquina levará, para encher 6000 garrafas, trabalhando 16 horas diárias?
a) 9
b) 5
c) 11
d) 6
e) n. d. a.
6. Em um zoológico, a alimentação de 15 animais durante
90 dias custa R$ 2.700,00. Qual será o custo da alimentação
de 25 animais por um perı́odo de 12 dias?
• Cite exemplos de onde você já usou as regras de três a) R$ 900,00
estudadas?
b) R$ 750,00
c) R$ 600,00
d) R$ 450,00
Exercı́cios de Aplicação
e) n. d. a.
• Se uma cópia xerográfica custa 9 centavos, quanto custou essa apostila (só o xerox)?
1. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra
de 45 m, o mesmo instante em que uma árvore de 6 m
de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de
3, 6 m.
a) 75 m
b) 90 m
c) 55 m
d) 70 m
e) n. d. a.
7. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas
horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?
8. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias,
3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de
carvão?
9. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam
18 dias para construir um muro de 300 m. Quanto tempo
levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por
2. Na merenda escolar, 1440 litros de leite foram consu- dia, para construir um muro de 225 m?
midos por 320 crianças em 15 dias. Quantos litros de leite
10. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viadeverão ser consumidos por 400 crianças em 30 dias?
jando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h.
a) 2.500
Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa
b) 3.600
carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?
c) 7.200
d) 4.440
11. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz
e) n. d. a.
5.400 m de tecido com 90 cm de largura em 50 minutos.
Quantos metros de tecido, com 1, 20 m largura, seriam pro3. (PUC-MG) Uma pessoa viajando de automóvel, com
duzidos em 25 minutos?
velocidade média de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo
Horizonte a Poços de Caldas. Na volta para Belo Horizonte,
faz o mesmo percurso em 4 horas. Portanto, a velocidade
média, em km/h, ao retornar foi de:
a) 93
Juros e Porcentagens
b) 96
c) 100
Juros Simples
d) 110
e) 120
Juro é a importância cobrada por unidade de tempo, pelo
empréstimo de dinheiro, expressa como porcentagem da
soma emprestada.
Exercı́cios Complementares
Matemática C Aula 6
4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de
12 operários em 20 dias de trabalho de 8 horas diárias. Se
esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias,
com 16 operários igualmente eficientes, quantas horas por
dia eles deveriam trabalhar?
a) 7, 5 h/d
b) 6, 0 h/d
Noção Intuitiva e Nomenclatura Usual
Em “A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano,
durante 3 anos, rendeu R$ 600,00 de juros simples”.
O raciocı́nio é:
Se o capital 100 produz 10 em um ano, então o capital 2.000
produzirá 600 em 3 anos.
245
Matemática C – Aula 6
Temos os seguintes dados:
O Capital é 99K
A Taxa é 99K
O tempo é 99K
Os juros são 99K
C = 2.000
i = 10(em % ao ano)
t = 3(em anos)
J = 600
3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$
25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de
1% a.m.
Como não há concordância entre a taxa e o tempo,
devemos fazer algumas modificações para que possamos resolver o problema. Faremos as seguintes transformações:
Observações:
2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou então:
75
360 anos. Ainda; a taxa 1% ao mês, corresponde a 1%
vezes 12 meses, o que dá 12% a.a.
Denominamos juros simples aqueles que não são somados
ao capital, durante o tempo em que foi empregado.
Aplicando a fórmula, temos:
Se a taxa i for referida ao ano, mês, dia etc, o tempo t
também deverá ser tomado correspondentemente em anos,
meses, dias, etc.
J=
Para efeito de cálculo o ano é considerado de 12 meses de
30 dias cada.
Técnica Operatória
2500 · 12 ·
100
75
360
=
2500 · 12 · 75
= 625
36000
Logo, os juros produzidos são de R$ 625,00.
Porcentagem
Os problemas envolvendo juros simples, na verdade são de
Regra de três composta, que obedecem ao seguinte esquema; Comumente usamos expressões que refletem acréscimos ou
reduções em preços, números ou quantidades, sempre toGrandezas
mando por base 100 unidades.
100 . . . i. . .
C. . . j. . .
l
t
Interpretação
Se o capital 100 produz i em 1 ano, então; o capital C
produzirá j em t anos.
Quando resolvemos isolando j, temos:
j=
C ·i·t
100
Exemplos
Exemplos
1. A gasolina terá um aumento de 10%, na próxima semana.
Significa que em cada R$ 100,00 haverá um acréscimo
de R$ 10,00.
2. Numa pesquisa de intenção de votos, o candidato A
aparece em 2o lugar, com 25% da preferência dos eleitores, ao cargo de prefeito municipal.
Quer dizer que; em média, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.
1. Quanto renderá um capital de R$ 5.000,00 empregado
à taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante
3 anos?
Razão Centesimal
Temos:
Toda a razão que tem por denominador o número 100
C = 5000;
denomina-se razão centesimal.
i = 5;
t = 3;
Substituindo os respectivos valores na fórmula, temos: Exemplos
J=
5000 · 5 · 3
= 750
100
Assim, terá um rendimento de R$ 750, 00.
a)
b)
25
100
47
100
125
100
= 25% (lê-se: 25 por cento)
= 47% (lê-se: 47 por cento)
c)
= 125% (lê-se:125 por cento)
2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 à taxa de 36% ao ano, Chamamos as expressões 25% ; 47% ; 9% de taxas centedurante 6 meses.
simais ou taxas percentuais.
Observe que a taxa está expressa em anos, enquanto Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa pero tempo em meses. Como devemos trabalhar com as centual a um determinado valor. Dessa forma; podemos
duas grandezas em unidades de tempos iguais, toma- resolves problemas de porcentagem, utilizando taxas per6
anos.
remos o tempo como sendo 12
centuais.
Assim:
Exemplos
8500 · 36 ·
J=
100
6
12
8500 · 36 · 6
⇒J =
= 1530
1200
Portanto, os juros são de R$ 1.530,00.
1. Um jogador de voleibol efetuou 25 finalizações no decorrer de uma partida, obtendo um aproveitamento de
80%. Qual o número de sucessos que ele obteve?
246
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
80
80% de 25 =
· 25 = 20
100
Desse modo, ele obteve um lucro de 40%.
Outra forma de resolver o problema:
Como o lucro foi 2.100 - 1.500 = 600, temos
i=
lucro
600
=
= 0, 40 = 40%
capital
1500
Fator de Multiplicação
Quando um dado valor sofre um acréscimo percentual, podemos incorporar tal acréscimo, obtendo assim o que chamamos de fator de multiplicação.
Exemplo
Um valor que sofre um aumento de 25%, terá um fator de
multiplicação igual a 1, 25, pois:
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Veja a tabela abaixo:
Desconto
10%
25%
34%
60%
90%
Logo, ele obteve 20 sucessos.
2. Um investidor comprou um lote de ações por R$
1.500,00 e as revendeu um mês depois, por R$ 2.100,00.
Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?
Para resolver o problema, vamos montar um esquema
em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos
R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao
valor final de venda das ações.
x
1.500 + 100
· 1.500 = 2.100
15x = 2.100 − 1.500
x = 600
15 ⇒ x = 40
—
Fator de Multiplicação
0,90
0,75
0,66
0,40
0,10
Exemplo
Qual será o valor do desconto de um produto, que custa R$
350,00 , mas que em promoção é vendido por 22% abaixo
do preço?
Nesse caso, o fator de multiplicação é:
Fator = 1 - 0,22 = 0,78
Assim 350 · 0, 78 = 273
Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custar R$ 273,00.
Pense um Pouco!
• Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionandose a ela um certo percentual p obtemos um valor final
X ′ . Se tomarmos agora o valor X ′ e descontarmos o
mesmo percentual p obteremos o valor X? Discuta.
Exercı́cios de Aplicação
1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00.
100% + 25% = 125%, ou seja:
Obteve-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago em
125% = 125
100 = 1, 25
reais?
Da mesma forma, podemos estender esse raciocı́nio para a) 1350
outros valores, como mostra a tabela abaixo:
b) 1300
c) 1250
d) 1200
Lucro ou Acréscimo Fator de Multiplicação
e) n.d.a
10%
1,10
15%
1,15
2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valo20%
1,20
rização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele
47%
1,47
passou a custar?
67%
1,67
a) R$ 12.400,00
b) R$ 13.200,00
Exemplo
c) R$ 13.800,00
d) R$ 14.600,00
Quanto passará a receber um funcionário, que tem um e) n.d.a
salário de R$ 950,00 e, obtém um aumento de 35%?
Para chegarmos ao valor do novo salário, basta que usemos 3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma
um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, gráfica. No perı́odo de um mês, ela apresentou um lucro de
R$ 100,00. De quanto foi o lucro percentual mensal sobre o
assim:
preço de compra?
a) 5%
950, 00 · 1, 35 = 1.282, 50
b) 10%
c) 6%
Portanto, o novo salário será de R$ 1.282,50.
d) 11%
Para os casos em que ocorrem decréscimos, o fator de mule) n.d.a
tiplicação será dado por:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma 4. O valor de 10 % de um capital C corresponde a qual
decimal).
fator multiplicativo sobre C?
247
Matemática C – Aula 7
Exemplos
a) 100
b) 10,0
c) 1,0
d) 0,10
e) n.d.a
Exercı́cios Complementares
1. Maria vai sair e para escolher a roupa, separou 2 saias
e 3 blusas. De quantas maneiras ela pode se vestir?
Nesse caso duas decisões independentes devem ser tomadas:
p1 : escolher uma dentre as 3 blusas
p2 : escolher uma dentre as 2 saias
BLUSAS
5. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado
através de capitalização simples?
a) 10 meses
b) 9 meses
c) 8 meses
d) 7 meses
e) n.d.a
SAIAS
6. Qual o capital, em reais, que aplicado a juros simples de
1, 5%a.m. rende R$ 250,00 de juros em 50 dias?
a) R$ 10.000
Figura 1: Ilustrando o princı́pio fundamental de conb) R$ 15.000
tagem
c) R$ 25.000
d) R$ 17.500
Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as
e) n.d.a
decisões p1 e p2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de
se vestir.
7. (Desafio) Um determinado produto teve um acréscimo
de 20%, sobre o seu preço de tabela. Após certo perı́odo,
2. Quantas placas (distintas) de automóveis, poderão ser
teve um decréscimo também de 20% sobre o preço que foi
emitidas; com o sistema atual de emplacamento?
aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percenO atual sistema de emplacamento de automóveis no
tual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro
Brasil utiliza três letras e quatro algarismos. No novo
valor (preço de tabela)?
alfabeto são consideradas 26 letras e temos dez dı́gitos
a) 100%
entre os números. Logo o número de possibilidades
b) 96%
será :
c) 90%
P = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175.760.000
d) 85%
e) n.d.a
3. Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser
Matemática C Aula 7
Análise Combinatória
Princı́pio Fundamental da Contagem
O princı́pio fundamental da contagem nos mostra um
método algébrico, para determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento
pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes
de tal modo que:
p1 é o no de possibilidades da 1a etapa
p2 é o no de possibilidades da 2a etapa
..
.
pn é o no de possibilidades da n-ésima etapa
Então, o número total P de possibilidades do acontecimento
ocorrer é dado por:
P = p1 × p2 × p3 × . . . × pn
instaladas, com o prefixo 436:
Para resolver este problema, é preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas,
outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os
algarismos a serem utilizados em cada uma das casas,
podem ser escolhidos entre os dez dı́gitos do sistema
decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como cada uma
das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas possı́veis
com o prefixo 436 é o produto das possibilidades que
se tem para preencher cada uma das casas. Logo:
As linhas podem ter números no formato 436-ABCD,
onde os quatro dı́gitos ABCD de 0 a 9 indicam que
podemos ter números de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil
linhas diferentes. Ou, de outro modo:
P = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000
4. Quantos números ı́mpares de 3 algarismos distintos,
são possı́veis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Ao iniciar a resolução de um problema de análise combinatória, é aconselhável que se faça alguns grupos dos
quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual
problema, veja alguns exemplos de números ı́mpares
248
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
de 3 algarismos distintos: 347, 815, 135, 451, etc.
Note que o número 533 não nos serve, pois houve repetição do algarismo 3; o número 534 também não
serve, pois é par. Um outro ponto importante é, por
onde começar a resolver o problema. Procure sempre
atacar o problema, por onde houver um maior número
de restrições.
Em nosso caso, temos a restrição de que os números
devem ser ı́mpares.
Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades
(1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas,
na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos
dados pelo problema, porém eliminando-se um deles
(aquele que estiver na casa das unidades), já que não
pode haver repetição. Portanto, temos para a casa das
centenas 5 possibilidades.
Finalmente, analisando a casa das dezenas, concluı́mos
que restaram 4 possibilidades, pois: não podemos repetir o algarismo que estiver na casa das unidades e
nem o que estiver na casa das centenas.
centena
5
dezenas
4
unidades
4
Portanto, o total de possibilidades é P = 5×4×4 = 80,
o que dá um total de 80 números.
Fatorial
Sendo n um número natural, define-se fatorial de n, e indicase ”n!”à expressão
—
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= 90
(x + 3)!
(x + 1)!
=
(x + 3)(x + 2)(x + 1)!
(x + 1)!
= (x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6
14!
11! · 3!
=
=
14 · 13 · 12 · 11!
11! · 3!
14 · 13 · 12
= 14 · 13 · 2 = 364
3!
Pense um Pouco!
• De quantas formas diferentes pode
lançamento de dois dados simultâneos?
resultar o
• Quantos números pares se pode formar com os algarismos {1, 2, 3, 4}?
• Na série de números de 0 a 100, quantos algarismos
nove são usados?
Exercı́cios de Aplicação
1. O resultado de
a) 25
b) 28/3
c) 31/7
d) 15
e) n.d.a
22!·8!
11!·19!
é:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 3 × 2 × 1
2. Numa eleição de uma empresa, há 4 candidatos a presidente, 3 a vice-presidente, 5 a supervisor-geral e 3 a tesouPropriedade
reiro. Quantos podem ser os resultados da eleição?
a) 120
Para fins de cálculo, define-se que 0! = 1 e 1! = 1
b) 180
Observe que: fatorial é uma definição por recorrência, ou c) 150
seja: cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial d) 210
anterior. Assim:
e) n.d.a
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
..
.
n!
1
1
2
6
24
120
720
5.040
40.320
362.880
3.628.800
39.916.800
..
.
n
n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Exemplos
10!
8!
=
10 · 9 · 8!
8!
3. Simplifique as expressões:
a) (x + 5)!/(x + 3)!
b) (3x + 1)!/(3x − 1)!
4. (Mack-SP) Quantos números de 5 dı́gitos podem ser
escritos com os algarismos {1, 2, 3, 4}, sem que apareçam
algarismos consecutivos iguais?
a) 20
b) 32
c) 40
d) 120
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
5. (Saem) A quantidade de números maiores do que 4.000
que podemos formar com os algarismos {3, 4, 5, 6}, sem
repeti-los, é:
a) 64
b) 9
249
Matemática C – Aula 8
c) 6
d) 18
e) n.d.a
é relevante. No exemplo acima, na escolha da chapa de
dois alunos para a liderança da turma, a escolha AB é diferente de BA, se convencionamos que o primeiro aluno do
grupo é candidato à lider e o segundo ao cargo de vice-lı́der,
6. Quantas motos poderiam ser licenciadas, se cada placa sendo ambos alunos diferentes da turma. A ordem aqui é
contém duas vogais e três dı́gitos?
relevante, e as escolha são portanto chamadas de arranjos.
a) 125.000
O número de arranjos simples diferentes de n elementos em
b) 110.000
grupos de p elementos é dado por:
c) 25.000
d) 154.000
n!
An,p =
e) n.d.a
(n − p)!
7. Resolvendo a equação, (x+3)!/(x+1)! = 12, temos que:
Esta fórmula mostra que os arranjos dos n elementos toa) x = 0
mados
p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais. Por
b) x = 1
exemplo,
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. E por definição, 0! = 1. Não
c) x = 2
esqueça!
d) x = 3
e) n. d. a.
8. (Ufes) Um shopping possui 4 portas de entrada para o
andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro
pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o
segundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma
pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o
segundo pavimento, usando os acessos mencionados?
a) 25
b) 30
c) 45
d) 60
e) n. d. a.
Exemplos
9. (Puc-SP) Chama-se palı́ndrome o número inteiro que
não se altera quando é invertida a ordem de seus algarismos (exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de
palı́ndromes de cinco algarismos é:
a) 100.000
b) 50.000
c) 10.000
d) 1.000
e) 900
2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números
de quatro algarismos distintos. Dentre eles, quantos são
divisı́veis por 5?
Matemática C Aula 8
1) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com
os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 7, sem repeti-los?
Os números formados devem ter 3 algarismos, por exemplo 123. Invertendo-se a ordem destes algarismos, obtemos
novos números, portanto, o problema é de arranjo simples,
logo:
A6,3 =
Como os números devem ser divisı́veis por 5, os mesmos
devem obrigatoriamente terminar em 5 (já que o zero não
consta na lista), logo, dos 6 algarismos que tı́nhamos para
nos restam 5, dos quais vamos tomar grupos de 3 a 3. Se
tomarmos uma das possı́veis respostas, por exemplo 2345
e invertermos a ordem dos seus dı́gitos centrais teremos o
número 4325, que é outra resposta do problema. Logo o
problema, proposto é de arranjos simples. Com isso temos
como resposta:
Análise Combinatória
Para um dado conjunto finito de elementos, muitas vezes se
deseja saber de quantas formas diferentes se pode reagrupálos em subconjuntos menores. Ainda mais, se a ordem dos
elementos nesses subconjuntos pode ser relevante ou não,
definind dois tipos distintos de problema a resolver.
Em uma turma de 20 alunos, de quantas formas diferentes
um professor pode: a) montar um time de voleibol? b) definir uma chapa para lı́der e vice-lı́der? c) formar equipes de
5 alunos cada para trabalhos de pesquisa? sortear 7 bolsas
de estudo?
Todos esses problemas são abordados e resolvidos pela parte
da matemática que se denomina Análise Combinatória.
Arranjos
6 · 5 · 4 · 3!
6!
=
= 120
(6 − 3)!
3!
A5,3 =
5 · 4 · 3 · 2!
5!
=
= 60
(5 − 3)!
2!
Combinações Simples
Uma combinação simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela
natureza dos elementos componentes. O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual
ao número de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto é:
Cn,p =
n!
An,p
=
p!
p!(n − p)!
Exemplos
Um arranjo simples é um tipo de agrupamento sem re- 1) Quantas comissões constituı́das de 3 pessoas podem ser
petição em que a ordem ou a natureza dos seus elementos formadas com 5 pessoas?
250
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
As comissões formadas devem ter 3 pessoas, por exemplo,
A , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos
a mesma comissão.Portanto, o problema é de combinação.
—
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Exercı́cios de Aplicação
1. Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 4, 5, 7, 8 e 9?
5!
5 · 4 · 3!
a) 120
C5,3 =
=
= 10
3!2!
3! · 2!
b) 720
c) 1.296
Logo, podemos formar 10 comissões diferentes.
d) 15.625
2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos distintos e sobre
e) n. d. a.
uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.
Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses 2. De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol
pontos?
de salão dispondo de 8 jogadores?
Com os 13 pontos distintos quaisquer, poderı́amos obter até a) 48
C13,3 = 286 triângulos diferentes. Porém, neste caso se to- b) 56
marmos os três pontos sobre a mesma reta, não formaremos c) 72
um triângulo, e com isso, temos que descontar as escolhas d) 28
que não formam triângulos, para obter a solução do pro- e) n. d. a.
blema:
3. Considere o conjunto A = {2, 4, 5, 6}. Quantos números,
distintos, múltiplos de 5 se podem formar, com todos os
C13,3 − C8,3 − C5,3 = 286 − 56 − 10 = 220
elementos de A?
a) 24
b) 12
Permutações Simples
c) 18
d) 06
Uma permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado
e) n. d. a.
e sem repetição, em que entram todos os elementos em cada
grupo. Portanto, a permutação simples é um caso particular 4. Quantos palavras de 3 letras, sem repetição, podemos
de arranjo simples.
formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?
O número de permutações simples que se pode formar com a) 504
b) 324
n elementos é igual ao fatorial de n, ou seja:
c) 27
d) 81
Pn = n!
e) n. d. a.
5. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9?
a) 2560
1) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser
b) 1440
formados, usando-se os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9?
c) 4536
Como são necessários todos os algarismos dados, em cada d) 2866
resposta do problema, devemos formar agrupamentos do tipo e) n. d. a.
permutações simples, logo a quantidade de números diferentes algarismos é igual a:
6. Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos
podemos formar de 2 rapazes e 3 moças?
a) 30
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
b) 200
c) 300
2) Quantos anagramas tem a palavra MITO?
d) 150
Qualquer ordenação das letras de uma palavra é denominada e) n. d. a.
anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras diferentes,
temos:
7. Quantos números de 7 algarismos distintos podem ser
formadas, usando-se os algarismos de 1 a 7?
a) 5040
P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
b) 3640
c) 2320
d) 720
Pense um Pouco!
e) n. d. a.
Exemplos
8. Quantos são os números compreendidos entre 2.000 e
3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,
• Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual o 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
número de permutações diferentes possı́veis? Exemplo: a) 210
quantos anagramas tem a palavra MARIA?
b) 175
• Qual a diferença básica entre combinação e arranjo?
251
Matemática C – Aula 9
c) 336
d) 218
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
9. Quantas comissões com 6 membros podemos formar com
10 alunos?
a) 210
b) 120
c) 75
d) 144
e) n. d. a.
d) 240
e) 1.440
16. (UEMT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos,
distintos 2 a 2. Calcule o número de triângulos que podemos
formar com vértices nos pontos marcados.
a) 3
b) 7
c) 30
d) 35
e) 210
Matemática C Aula 9
10. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 jaBinômio de Newton
poneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria
de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
Números Binomiais
a) 10
b) 15
Números Binomiais: Dados dois números naturais, n e p,
c) 6
chamamos número binomial, ao par de valores:
d) 12
e) n. d. a.
n
p
11. (PUC-SP) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De
quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocaLê-se: binomial de n sobre p.
das, ficando 5 sentadas e 2 em pé?
Chamamos n de numerador e p de denominador do
a) 5.040
número binomial, onde
b) 21
c) 120
n!
n
d) 2.520
=
p
p!(n
− p)!
e) n. d. a.
12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, começam com n e p ∈ N e n ≥ p.
com A e terminam com E?
Consequências da definição:
a) 120
n
b) 720
a)
= 1, ∀ n ∈ N
c) 840
0
d) 24
n
e) n. d. a.
b)
= n, ∀ n ∈ N
1
n
13. (UFCE) A quantidade de números pares de 4 algarisc)
= 1, ∀ n ∈ N
mos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2,
n
4, 5, 7, 8 e 9 é:
a) 20
Números Binomiais Complementares
b) 60
c) 240
Dois números binomiais são chamados complementares
d) 360
quando possuem o mesmo numerador e a soma dos dee) n. d. a.
nominadores é igual ao numerador.
14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos Os números n e n são complementares quando p + k =
k
p
formar com 10 sócios de uma empresa são:
n.
a) 5.040
b) 40
c) 2
Exemplo
d) 210
e) n. d. a.
Os números binomiais 72 e 75 são complementares, pois
2 + 5 = 7.
15. (UFPA-PA) Quantos são os anagramas da palavra
BRASIL começados por B e terminados por L?
a) 24
Propriedade
b) 120
Dois números binomiais complementares são iguais.
c) 720
252
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Triângulo de Pascal
1
0
2
0
3
0
1
1
2
1
3
1
4
4
0
..
.
1
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Observação
Os números binomiais podem ser agrupados ordenadamente
em um quadro denominado Triângulo de Pascal:
0
0
—
• No desenvolvimento do binômio (x+a)n , os termos são
todos positivos;
• No desenvolvimento do binômio (x − a)n , os sinais de
cada termo do desenvolvimento são alternados, isto é,
os termos de ordem ı́mpar (1, 3, 5, . . .) são positivos e
os de ordem par (2, 4, 6, . . .) são negativos.
2
2
3
2
3
3
4
Exemplos resolvidos
1) Desenvolver o binômio (x + 3)4 :
4
2
4
3
4
4
4
4
4
4
x4 30 +
x3 41 +
x2 42 +
xa3 +
a4
0
1
2
3
4
logo
Observações Importantes
(x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81
• Os números binomiais de mesmo numerador estão co2) Desenvolver o binômio (a − 2b)5 :
locados na mesma linha;
5
5
5
• Os números binomiais de mesmo denominador estão
5
0
4
1
a (2b) −
a (2b) +
a3 (2b)2
0
1
2
colocados na mesma coluna;
• Se no triângulo de Pascal substituirmos cada binomial
pelo respectivo valor, obteremos:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
..
.
1
2
3
4
5
6
7
8
−
5
5
5
a2 (2b)3 +
a1 (2b)4 −
a0 (2b)5
3
4
5
= 1 · a5 · 1 − 5 · a4 · 2b + 10 · a3 · 4b2
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
−10 · a2 · 8b3 + 5 · a · 16b4 − 1 · 1 · 32b5
1
5
15
35
70
1
6
21
56
e finalmente podemos escrever
1
7
28
1
8
(a − 2b)5 = a5 − 10a4 b + 40a3 b2 − 80a2 b3 + 80ab4 − 32b5
1
Soma dos Coeficientes Binomiais
Propriedades do Triângulo de Pascal
1. Todos os elementos da 1a coluna são iguais a 1;
A soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento de
(ax ± by)n , com a e b constantes, se obtém fazendo x = y =
1. A soma vale, portanto
2. O último elemento de cada linha é igual a 1;
3. Numa linha qualquer, os números equidistantes dos extremos são iguais;
4. A soma dos números binomiais de uma mesma linha
é uma potência de base 2 cujo expoente é a ordem da
linha (numerador);
5. Cada binomial da linha n é igual a soma de dois binomiais da linha (n − 1): aquele que está na mesma
coluna com aquele que está na coluna anterior.
(a ± b)n
Fórmula do Termo Geral
Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) no
desenvolvimento de um binômio do tipo (x + a)n , temos:
Tp+1
n
=
ap xn−p
p
O termo geral no desenvolvimento de (x − a)n , é dado pela
expressão:
Fórmula do Binômio de Newton
n
(x + a)
=
n
0
n 0
n
n−1 1
a
1 x
0 n
x a +
+ . . . + nn x a
+
n
2
n−2 2
x
a +
Tp+1
n
ap xn−p
= (−1)
p
p
253
Matemática C – Aula 10
Exercı́cios Complementares
Exemplos
1. Determinar o quarto 4◦ no desenvolvimento de (x + 2)7 .
12. Qual o valor do termo médio do desenvolvimento de
Resolução:
(2x + 3y)4 ?
Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3. a) 236 x3 y 2
Assim:
b) 70 · 16 · x4 y 2
c) 216 x3 y 3
7
d) 216 x2 y 2
T4 = T3+1 =
a3 x7−3 = 35 · 8 · x4 = 280x4
e) n. d. a.
3
2. Achar o termo médio no desenvolvimento de (2x − 3)6 .
No desenvolvimento do binômio (2x − 3)6 , teremos um total
de 7 termos. Com isso o termo médio será o 4◦ termo. Logo
temos:
T4 = T3+1
6
= (−1)
33 (2x)6−3 = (−1) · 20 · 27 · 8x3
3
3
logo o termo procurado será
T4 = −4320 x3
Pense um Pouco!
• O que devemos fazer para encontrarmos o termo independente de x, no desenvolvimento de um binômio?
• O que ocorrerá com os termos do desenvolvimento de
um binômio (x + a)n , se invertermos as posições do
primeiro e do segundo termo, ou seja (a + x)n ?
• Por que alguns desenvolvimentos de números binomiais
apresentam termo médio e outros não?
Exercı́cios de Aplicação
1. Calcular E =
6
3
+
5
1
+
8
0
+
4
4
.
2. Ache o conjunto solução da equação x+1
= 10
2
3. Calcule 80 + 81 + 82 + . . . + 88 .
4. Calcule n, sabendo que n0 + n1 + n2 +. . .+ nn = 128.
P8 5. Calcule o valor de p=2 p9 .
6. Calcule o 3◦ termo no desenvolvimento de (x + 2)9 .
7. Calcule o 4◦ termo no desenvolvimento de (x + 1/2)10 .
8. Calcule o 2◦ termo no desenvolvimento de (x − 3)10 .
9. Calcule o termo médio no desenvolvimento de (x + 2y)6 .
13. O coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento de (2x−2 − 3x)6 é:
a) 64
b) 4860
c) 2160
d) 4320
e) 729
14. (UFRN-RN) A expressão 73 + 74 − 35 é igual a :
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
13
13
15. O valor de x na igualdade 2x−3
= x+1
é:
a) 3
b) 9
c) 6
d) 4
e) 5
√
16. O quarto termo do desenvolvimento (x + y)6 é:
√
a) 6x3 y
b) 15x4 y
√
c) 20x3 y y
d) 6x6 y 3
e) n. d. a.
17. (FGV-SP) A soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (2x + 3y)6 é:
a) 15.625
b) 7.776
c) 6.225
d) 4.225
e) 2.048
18. (Mack-SP) Se a soma dos coeficientes numéricos do
desenvolvimento (5x − 2y)n é 81, então n é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) n. d. a.
Matemática C Aula 10
Probabilidade
10. Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de (2x − 3)7 .
Espaços Amostrais Equiprováveis Finitos
11. Determine a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binômio (x + 2y)8 .
Dado um experimento aleatório, no qual cada resultado tenha as mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U
254
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
o conjunto de todos os eventos possı́veis como resultado do
experimento e seja E o conjunto dos resultados que nos interessam, definimos a probabilidade do(s) evento(s) E como
sendo:
P (E) =
Número de resultados favoráveis
Número de resultados possı́veis
Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que a
fração de sucessos seja dada por P (E), no limite onde N se
torna muito grande, tendendo ao infinito: N → ∞.
Interpretação Gráfica
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que é o número de resultados possı́veis do conjunto universo
U.
Agora, vamos determinar o número de vezes que A e B
comparecem nas comissões com quatro elementos, ou seja,
C4,2 =
que é o número de resultados favoráveis, no conjunto E.
Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem à comissão é dada por:
P (E) =
Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visualização e até a solução de muitos problemas sobre o cálculo
de probabilidades.
4!
=6
2!2!
2
6
= = 0, 40 = 40%
15
5
Eventos Complementares
A Probabilidade de não ocorrer um evento pode ser determinada com o estudo dos eventos complementares.
Seja E, um evento em um experimento aleatório. A probabilidade de não ocorrer o evento E, isto é, a probabilidade
de ocorrer o evento ¬E, complementar de E, é dado por:
P (¬E) = 1 − P (E)
E
Exercı́cio Resolvido
U
1. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de
observarmos pelo menos uma cara?
Resolução:
No gráfico, U é o conjunto de todos os resultados possı́veis
(espaço amostral) e E é o conjunto dos resultados favoráveis Para seis lançamentos de uma moeda, temos:
(os eventos de sucesso).
U = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 = 64
Exercı́cios Resolvidos
ou seja, existem 64 resultados possı́veis.
1. No lançamento de um dado não viciado, qual a probabi- Destes 64 resultados possı́veis, por exemplo, só há um onde
não ocorre nenhuma cara, que é exatamente quando se tira
lidade de ocorrer o evento “número primo”?
6 coroas sucessivas.
Se chamarmos de E o conjunto de resultados com pelo menos uma cara, então podemos dizer que a probabilidade de
Neste caso temos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 3, 5}, não tirarmos nenhuma cara ¬E, é
pois estes são os números primos entre 1 e 6. Então:
1
P (¬E) =
64
3
1
P (E) = =
6
2
então, como são eventos complementares, se não obtemos
Ou seja, a chance de se tirar um número primo é de 50%. seis coroas é porque saiu pelo menos uma cara,
Resolução
Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosse
uma moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determinada face.
P (E) = 1 − P (¬E) =
63
64
2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro são escolhidas é a probabilidade de se obter pelo menos uma cara.
para formar uma comissão. Qual a probabilidade de A e B Observe que:
pertencerem à comissão?
• a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas é pequena (1/64), ou seja, é grande a probabilidade de isso não
ocorrer (63/64).
Resolução
• esta mesma experiência pode ser feita com seis moedas
Primeiramente, vamos determinar o total de comissões que lançadas de uma só vez.
se pode formar com quatro elementos:
2. Ao se retirar uma bola de uma urna que contém três bolas
brancas b1 , b2 , b3 , numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretas
6!
= 15
C6,4 =
p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade
4!2!
255
Matemática C – Aula 11
de que essa bola não seja preta e nem de número par, ao b) 3/40
mesmo tempo:
c) 1/26
d) 1/13
Resolução:
e) 1/6
Neste caso U = {b1 , b2 , b3 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 } e ¬E = {p2 , p4 ),
então a probabilidade complementar, de se tirar uma bola 5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas estão X e Y . Escopreta de número par será:
lhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X e
Y serem escolhidas é:
1
2
a) 1/5
P (¬E) = =
8
4
b) 1/10
e como:
c) 2/9
3
d) 1/45
P (E) = 1 − P (¬E) =
4
e) 9/10
esta será a probabilidade de se tirar uma bola não preta e
6. (MARINGÁ) Um número é escolhido ao acaso entre os 20
não par, simultaneamente.
inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido
ser primo ou quadrado perfeito é:
a) 1/5
Pense um Pouco!
b) 2/25
• Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar “vale c) 4/25
o debaixo”, querendo dizer que o número tirado será d) 2/5
o da face que cair voltada para baixo. Se um jogador e) 3/5
usar desse artifı́cio, antes de jogar o dado, mudam suas 7. (CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois
chances no jogo?
apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocu• Acertar 5 números num cartão com 50 números, como pados. A probabilidade de que cada um dos três andares
nos jogos de loto é realmente muito difı́cil, mas se tenha exatamente um apartamento ocupado é:
marcássemos no cartão 45 números e fossem sorteados, a) 1/2
b) 2/5
não 5, mas 45 números. Melhoraria a nossa chance?
c) 4/5
d) 1/5
e) 3/8
Exercı́cios de Aplicação
8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A proba1. Joga-se um dado honesto de seis faces e lê-se o número bilidade de obtermos pontos iguais nos dois é:
da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se a) 1/3
b) 5/36
obter:
c) 1/36
a) o número 5
d) 1/6
b) um número ı́mpar
e) 7/36
c) um número maior que 4
d) um número menor que 8
9. (LORENA) Uma urna contém 4 bolas vermelhas numee) um número maior que 6
radas de 1 a 4; três bolas azuis numeradas de 1 a 3 e três
bolas brancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma única
2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52
bola. Qual a probabilidade de que essa bola seja par?
cartas, qual é a probabilidade de se obter uma carta de
a) 3/10
copas?
b) 2/5
3. Qual o “espaço amostral” ou “conjunto universo” U nos c) 3/5
d) 2/10
seguintes fenômenos aleatórios:
e) n. d. a.
a) lançamento de duas moedas
b) lançamento de dois dados
c) lançamento de uma moeda e um dado
d) sortear os 4 bits de um nibble (um byte = 8 bits = 2
nibbles).
e) embaralhar as letras da palavra “PROVA”
Exercı́cios Complementares
Matemática C Aula 11
Inequações
Inequações do Primeiro Grau
Relacionadas com as equações de 1◦ grau, temos as desigualdades de primeiro grau (ou inequações), que são expressões
4. (CESGRANRIO) Os 240 cartões de um conjunto, são matemáticas em que os termos estão ligados por um dos
numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao quatro sinais:
acaso um cartão desse conjunto, a probabilidade de obter
um cartão numerado com um múltiplo de 13 é:
<
>
≤
≥
a) 3/240
menor maior menor ou igual maior ou igual
256
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Nas inequações, deseja-se obter um conjunto de todas os Exercı́cio Resolvido
possı́veis valores que pode assumir uma ou mais incógnitas
Resolver a inequação (2x − 1)(x + 4) > 0
na equação.
Resolução
Uma propriedade importante das inequações é:
Para resolver essa inequação, vamos analisar as duas possibilidades em que (2x − 1)(x + 4) > 0, ou seja:
a > b ⇐⇒ −a < −b
1a )2x − 1 > 0 e x + 4 > 0
Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade a) 2x − 1 > 0 =⇒ x > 1/2
por um número negativo ”inverte-se o sentido” da desigual- b) x + 4 > 0 =⇒ x > −4
dade.
Sendo que a) e b) simultaneamente nos dá que a solução é
x > 1/2.
Exemplo Resolvido
Encontrar todos os valores de x tais que 3x + 6 > 5x − 4.
Resolução:
−4
3x + 6 > 5x − 4
0
x
0 1/2
x
e multiplicando-se por −1
2x < 10
finalmente
0 1/2
x
−4
0
x
−4
0
x
ou seja, existe um conjunto infinito de valores (intervalo)
que satisfazem a desigualdade dada.
S = {x ∈ R | x < −4 ou x >
Graficamente:
x
A figura representa graficamente o intervalo de solução obtido:
S = {x ∈ R | x < 5}
Inequação-Produto
Sendo f (x) e g(x) duas funções da variável x, as inequações:
são denominadas inequações-produto.
Sa
Sb
S´a
S´b
S´a
S´b
1
}
2
Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguinte
quadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o
sinal de cada um dos fatores e na última linha, o sinal do
produto:
f(x)
f (x) · g(x) ≥ 0
f (x) · g(x) ≤ 0
Sb
Portanto o conjunto solução da inequação é a união das
soluções obtidas:
x<5
f (x) · g(x) > 0
f (x) · g(x) < 0
Sa
b) x + 4 < 0 =⇒ x < −4
Com a) e b) simultaneamente dando a solução é x < −4
−2x > −10
5
x
2a ) 2x − 1 < 0 e x + 4 < 0
a) 2x − 1 < 0 =⇒ x < 1/2
3x − 5x > −4 − 6
0
0 1/2
g(x)
f(x)g(x)
0 1/2
x
−4
0
x
−4
0 1/2
x
Observe que os valores x = −4 e x = 1/2 que anulam o produto não verificam a inequação e esse fato foi indicado por
”◦”(bola vazia), usado para representar o intervalo aberto.
Inequações-Quociente
Sendo f (x) e g(x) duas funções da variável x, as inequações:
f (x) ÷ g(x) > 0
f (x) ÷ g(x) < 0
f (x) ÷ g(x) ≥ 0
257
Matemática C – Aula 11
Exercı́cios Resolvidos
f (x) ÷ g(x) ≤ 0
são denominadas inequações-quociente.
1. Resolva a inequação −x2 + 5x − 6 > 0.
Note que as regras de sinais do produto e do quociente para
Resolução
números reais, são análogas, por exemplo:
Para resolver a inequação acima, devemos determinar os
valores de x para os quais a função f (x) = −x2 + 5x − 6
f (x)
> 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) > 0
tem imagens positivas (y > 0), isto é, estudar o sinal da
g(x)
função.
Como a = −1 e ∆ = (+5) − 4 · (−1) · 6 = +1 > 0 e as raı́zes
de f (x) são: x′ = 2 e x′′ = 3 temos o gráfico:
f (x)
≥ 0 ⇐⇒ f (x) · g(x) ≥ 0
g(x)
esta última para g(x) 6= 0
Isso significa que, na resolução de uma inequação-quociente,
podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na inequação-produto.
Y
Exercı́cio Resolvido
Resolva a inequação
(x+3)(1−x)
(x−2)
2
≥ 0.
3
X
Resolução
Vamos chamar de f (x) = x + 3, g(x) = 1 − x e h(x) = x − 2
e analisar os sinais individuais de cada função:
Como devemos ter y > 0, os valores de x são S = {x ∈
R | 2 < x < 3}.
f(x)
g(x)
x
1
h(x)
f(x)g(x)
h(x)
−3
2. Resolva o sistema de inequações do 2◦ grau.
x
−3
1
2
x
2
x
2x2 − 18 < 0
−x2 + 5x − 4 ≥ 0
Resolução
Para resolvermos o sistema de inequações acima, vamos analisar cada uma das inequações, separadamente. Assim:
de onde S = {x ∈ R | x < −3 ou 1 ≤ x < 2}.
a) 2x2 − 18 < 0
Temos a = 2 e ∆ = 0 − 4 · 2 · (−18) = 144 > 0, e as raı́zes:
x′ = +3 e x′′ = −3.
Inequações do Segundo Grau
As desigualdades ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + Sa = {x ∈ R | − 3 < x < 3}.
bx + c ≤ 0 e ax2 + bx + c ≥ 0, com a 6= 0 são chamadas b) −x2 + 5x − 4 ≥ 0
inequações do segundo grau.
Neste caso a = −1 e ∆ = 5 − 4 · (−1) · (−4) = 9 > 0, com
Para resolvermos essas inequações, devemos estudar a va- raı́zes: x′ = +1 e x′′ = +4
riação dos sinais das imagens da função do segundo grau.
Sb = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}.
Seja a função f : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com c) Finalmente, a solução geral do sistema é obtida pela ina 6= 0.
tersecção dos intervalos-solução obtidos:
Seu gráfico é uma parábola que se comporta conforme a S = Sa ∩ §b = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3}.
tabela abaixo:
∆>0
∆=0
Inequações Exponenciais
∆<0
Denomina-se inequação exponencial, àquela que apresenta uma incógnita no expoente. Como por exemplo:
3x > 81
a>0
x
x
x
x
x
x
52x − 6 · 5x + 5 < 0
2
a<0
8x ≤ 16
Importante
• Quando a > 0, a função exponencial f (x) = ax é crescente, isto é:
258
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Exercı́cio Resolvido
a
x1
>a
x2
⇐⇒ x1 > x2
Resolva a inequação: |3x − 4| < 2
• Quando 0 < a < 1, a função exponencial f (x) = ax é Resolução:
decrescente, isto é:
De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos:
ax1 > ax2 ⇐⇒ x1 < x2
|3x − 4| < 2 ⇒ −2 < 3x − 4 < 2
ou seja, temos de resolver o sistema de inequações
Exercı́cios Resolvidos
Resolva as equações exponenciais:
a) 4x > 1/4
Resolução
−2 < 3x − 4 ⇒ x > 2/3
3x − 4 < 2 ⇒ x < 2
Fazendo a intersecção dos intervalos de solução, vem:
Devemos procurar obter desigualdades de potências de
mesma base.
4x >
1
⇐⇒ 4x > 4−1
4
S = {x ∈ R |
2
< x < 2}
3
Pense um Pouco!
Como a base é maior do que 1, vem:
• É possı́vel se ter um sistema de inequações cujo conjunto solução seja ∅? Explique.
x > −1
e
Exercı́cios de Aplicação
S = {x ∈ R | x > −1}
b) (1/2)2x < (1/2)3x−1
Resolução
Como a base está compreendida entre 0 e 1, temos que ter:
2x > 3x − 1
1. A solução da inequação (2x + 3)/(x + 2) ≥ 1 é:
a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2}
b) S = {x ∈ R | 1 ≤ x < 2}
c) S = {x ∈ R | x < −3 ou x > 2}
d) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1}
e) n. d. a.
2) O conjunto solução do sistema de inequações
2
x − 5x + 6 ≥ 0
2x2 − 8x < 0
−x > −1
e então
é:
f) S = {x ∈ R | x ≤ 0 ou 1 ≤ x < 4}
g) S = {x ∈ R | x ≥ −1 ou 1 ≤ x ≤ 2}
h) S = {x ∈ R | x ≤ 0 ou x > 4}
i) S = {x ∈ R | x ≥ −3 ou 1 < x < 2}
j) n. d. a.
x<1
logo
S = {x ∈ R | x < 1}
Inequações Modulares
Exercı́cios Complementares
Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades:
1. |x| > a ⇐⇒ x < −a ou x > a
−a
0
a
x
3. Resolvendo, em R, a inequação:
2. |x| < a ⇐⇒ −a < x < a
−a
2. (VUNESP) Quantos números inteiros satisfazem a inequação: x2 − 6x + 8 < 0
a) nenhum
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3
x − 4 5x − 1
−
≤
3
4
4
0
a
x
temos que:
a) S = {x ∈ R | x < −2}
259
Matemática C – Aula 12
b) S = {x ∈ R | x > −2}
c) S = {x ∈ R | x ≤ −2}
d) S = {x ∈ R | x ≥ −2}
e) n. d. a.
4. A solução da inequação:
2x + 3
≥1
x+2
é:
a) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ −1}
b) S = {x ∈ R | x ≤ −2 ou x > 1}
c) S = {x ∈ R | x > −2 ou x > 2}
d) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou x ≥ 2}
e) n.d.a
Tipos Fundamentais
Existem três tipos de equações trigonométricas fundamentais. São elas:
a) sen x = α
b) cos x = α
c) tan x = α
Equações de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas
fundamentais. Vejamos como resolver cada uma delas.
Equações envolvendo sen α
Y
5. Resolvendo a inequação
sen θ
1
(2 − 5x)(x + 1)
≤0
(−x + 3)
temos que:
a) S = {x ∈ R | x ≤ −3 ou 1 ≤ x < 2}
b) S = {x ∈ R | x < −2 ou x ≥ 1}
c) S = {x ∈ R | x ≤ −1 ou 2/5 ≤ x < 3}
d) S = {x ∈ R | x < −3 ou − 1 ≤ x ≤ 2/5}
e) n. d. a.
6. Ao resolver
x − 2
x + 3 < 1
obtemos:
a) S = {x ∈ R | x > 2}
b) S = {x ∈ R | x < −1/2}
c) S = {x ∈ R | x > −1/2}
d) S = {x ∈ R | x ≤ −2}
e) n. d. a.
7. Qual a solução da inequação abaixo:
x2 −5x+1 1
1
≥
2
2
a) S = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 5}
b) S = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0}
c) S = {x ∈ R | − 5 ≤ x ≤ 0}
d) S = {x ∈ R | − 5 < x < 0}
e) n. d. a.
8. Resolvendo x2 − √
8x + 7 ≤ 4, obtemos:
√
a) S = {x ∈ R | 4 − √14 < x < 4 + √14}
b) S = {x ∈ R | 4 − √14 ≤ x ≤ 4 + √14}
c) S = {x ∈ R | 14 −√ 4 ≤ x ≤ 14 +
√ 4}
d) S = {x ∈ R | 4 − 4 ≤ x ≤ 4 + 4}
e) S = {}
π−θ
θ
1
0
X
Se dois arcos trigonométricos x e α têm senos iguais, então:
sen x = α ⇐⇒
com k ∈ N


x = α ± 2kπ
ou

x = π − α ± 2kπ
Equações envolvendo cos α
cos θ
Y 1
0
θ
−θ
1
X
2π − θ = −θ
Matemática C Aula 12
Equações Trigonométricas
Se dois arcos trigonométricos x e α têm cossenos iguais,
São equações que envolvem pelo menos uma função trigo- então:
nométrica operando em alguma de suas variáveis. Por exemcos x = α ⇐⇒ x = ±α ± 2kπ
plo, cos θ = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o ângulo
θ.
com k ∈ N
260
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Equações Envolvendo tan α
cos x = 1/2
Se dois arcos trigonométricos x e α têm tangentes iguais,
então:
tan x = α ⇐⇒ x = α ± kπ
Como o cosseno de π/3 é igual a 1/2, temos a solução
geral
x = π/3 ± kπ k ∈ N
com k ∈ N
As equações a seguir têm suas soluções mais facilmente obtidas pela representação dos seus valores na circunferência
trigonométrica.
Exemplos Resolvidos
logo
S = {x ∈ R | x = π/3 ± kπ, k ∈ N
Pense um Pouco!
• Existe solução real para a equação cos x = 2 ?
1. sen x = −1
Como o seno de 3π/2 é igual a −1, temos a solução Exercı́cios de Aplicação
geral
3π
x=
± 2kπ k ∈ N
1. Para x ∈ R | 0 ≤ x < 2π, resolva as equações:
2
a) sen 3x −√sen x = 0
logo
b) cos x = 23
√
3π
c) tan x = −3 3
± 2kπ, k ∈ N
S= x∈R|x=
2
Exercı́cios Complementares
2. sen x = 0
Como o seno de 0 é igual a 0, temos a solução geral
x = ±π k ∈ N
logo
S = {x ∈ R | x = ±kπ, k ∈ N}
3. sen x = 1
2. A solução da equação cos 2x − cos x = π, é:
a) {x ∈ R | x = −π ± 2kπ, k ∈ Z}
b) {x ∈ R | x = −π/3 ± kπ, k ∈ Z}
c) {x ∈ R | x = π/4 ± 2kπ, k ∈ Z}
d) {x ∈ R | x = −π/2 ± kπ, k ∈ Z}
e) ∅
Como o seno de π/2 é igual a 1, temos a solução geral 3. Uma das soluções da equação sen 2x + sen x = 0, é:
a) 4π/3
π
x = ± 2kπ k ∈ N
b) 3π/4
2
c) π/6
logo
d)
−2π/3
n
o
π
e)
n.
d. a.
S = x ∈ R | x = ± 2kπ, k ∈ N
2
3) O conjunto solução da equação cos x − cos π/4 = 0 é:
4. cos x = −1
f) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z}
Como o cosseno de π é igual a −1, temos a solução g) S = {x ∈ R | x = ±π/4 + 2kπ, k ∈ Z}
h) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + 2kπ, k ∈ Z}
geral
i)
S = {x ∈ R | x = ±π/2 + 2kπ, k ∈ Z}
x = π ± kπ k ∈ N
j) n. d. a.
logo
√
4. A equação trigonométrica 3 tan x − 3 = 0 , tem
S = {x ∈ R | x = π ± kπ, k ∈ N}
solução:
5. cos x = 0
a) S = {x ∈ R | x = ±π/6 + 2kπ, k ∈ Z}
Como o cosseno de π/2 é igual a 0, temos a solução b) S = {x ∈ R | x = ±3π/2 + 2kπ, k ∈ Z}
c) S = {x ∈ R | x = π/6 + kπ, k ∈ Z}
geral
π
d) S = {x ∈ R | x = ±π/3 + kπ, k ∈ Z}
x = ± kπ k ∈ N
2
e) n. d. a.
logo
o
n
π
5. Resolvendo a equação cos(x − π/2) = cos(π/2) para
S = x ∈ R | x = ± kπ, k ∈ N
x
∈ R obtemos:
2
a) S = {x ∈ R | x = π/4 + kπ, k ∈ Z}
6. cos x = 1
b) S = {x ∈ R | x = π/3 + kπ, k ∈ Z}
Como o cosseno de 0 é igual a 1, temos a solução geral c) S = {x ∈ R | x = 2π/3 + kπ, k ∈ Z}
d) S = {x ∈ R | x = π/2 + kπ, k ∈ Z}
x = 2kπ k ∈ N
e) S = {x ∈ R | x = 0}
logo
S = {x ∈ R | x = 2kπ, k ∈ N}
6. Resolvendo a equação cos(x) = sen (x) para valores reais
de x ∈ [0, 2π) obtemos:
261
Matemática C – Aula 13
r
a) nenhuma solução
b) uma solução
c) duas soluções
d) três soluções
e) quatro soluções
B
A
Matemática C Aula 13
• três pontos não co-lineares definem um plano.
s
Introdução à Geometria
r
C
B
A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos
por figura plana todo subconjunto, não vazio, de pontos do
plano. Quando dizemos que S é uma figura plana, estamos
afirmando que S está totalmente contida num plano.
Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto
de conceitos não definidos, dos quais temos a intuição clara
e, um sistema de axiomas ou postulados, que são proposições
não demonstradas, aceitas intuitivamente, que dão caracterı́sticas aos elementos não definidos.
A
α
Propriedades Gerais
• por um ponto passam infinitas retas;
• por dois pontos passa uma só reta;
Entes Geométricos Fundamentais
• por dois pontos passam infinitos planos;
Ponto, reta e plano: são idéias primitivas, entes que não
possuem definição.
• por três pontos não co-lineares passa um só plano;
• o plano é infinito e ilimitado;
• por uma reta passam infinitos planos;
Representação
Por convenção, usaremos a seguinte nomenclatura geral
para:
• toda reta pertencente a um plano divide-o em duas
regiões chamadas semi-planos;
• um plano divide o espaço em dois semi-espaços;
• pontos: A, B ,C, . . .
• retas: r, s, t, . . .
Ângulo Plano
• planos: α, β, γ, . . .
Definição
É a união de duas semi-retas de mesma origem.
Definições
• A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos, e
não possui inı́cio nem fim.
A
θ
r
B
O
Região Angular
• Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois
conjuntos, chamados semi-retas. O ponto A é origem É a união do conjunto dos pontos interiores com o condas semi-retas e pertence a ambas.
[
junto dos pontos do ângulo. Indica-se por AOC.
r
• segmento de reta é a porção de uma reta entre dois
pontos não coincidentes A e B.
A
E
A
ponto
exterior
O
θ
I
ponto
interior
B
262
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Ângulos Adjacentes
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Ângulo Raso
Dois ângulos são adjacentes, quando possuem mesma ori- Define-se um ângulo raso quando os três pontos A, O e
gem e um lado em comum.
B pertencem à mesma reta. Por definição o ângulo plano
mede 180◦.
C
α
o
β = 180
B
O
β
O
A
Ângulo Reto
Chama-se de ângulo reto o ângulo obtido pela bissecção
de um ângulo plano. O ângulo reto mede 90◦ .
Ângulos Congruentes
Dois ângulos são congruentes quando possuem mesma medida, ou seja, são coincidentes.
o
β = 90
.
O
C
α
O´
C´
B
α´ =α
O
Ângulo Agudo
Ângulo agudo é aquele cuja medida é menor que 90◦ .
B´
α
Bissetriz
O
É a semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide
em dois ângulos congruentes.
Ângulo Obtuso
Ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90◦ .
C
α
B
β
O
A
β
O
[ ≡ BOC
\
Neste caso AOC
Ângulos Complementares
Ângulos Opostos pelo Vértice
Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de medidas é um ângulo reto (90◦ ).
um são semi-retas opostas aos lados do outro.
r
α
α
s
θ = 90 ο − β
O
.
O
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
β
263
Matemática C – Aula 13
Ângulos Suplementares
Exemplos: losango, quadrado, etc...
Polı́gono Equiângulo
Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas
É o polı́gono que tem todos os ângulos internos congruentes.
medidas é um ângulo raso (180◦ ).
Exemplos: retângulo, quadrado, etc,...
Polı́gono Regular
Polı́gonos
É o polı́gono equilátero e equiângulo simultaneamente.
Definição:
Consideremos, num mesmo plano, N ≥ 3 Exemplo: quadrado.
pontos A1 , A2 , A3 , . . . , AN , ordenados de modo que três
consecutivos não sejam colineares. Chama-se polı́gono
A1 , A2 , A3 , . . . , AN , A1 à figura formada pela união dos N
segmentos consecutivos entre os pontos:
3
5
6
4
A2
A1
7
8
9
10
13
14
A3
A5
A4
Região Poligonal
11
12
15
20
25
É a região do plano formada pela união dos pontos do
polı́gono com os pontos do seu interior.
Define-se que uma região do plano é convexa quando quaisNomenclatura
quer dois pontos dessa região puderem ser unidas por segmentos de retas cujos infinitos pontos pertençam à essa De acordo com o número de
região. Se essa condição falhar, diz-se que a região é
Nome
Número de Lados
côncava.
Triângulo
3 lados
Se a região poligonal for convexa, o polı́gono será denomiQuadrilátero
4 lados
nado polı́gono convexo.
Pentágono
5 lados
Hexágono
6 lados
Heptágono
7 lados
Octógono
8 lados
Eneágono
9 lados
Decágono
10 lados
D
Undecágono
11 lados
Dodecágono
12 lados
C
Pentadecágono 15 lados
Icoságono
20 lados
Se a região poligonal for côncava, o polı́gono será denominado polı́gono côncavo.
D
30
lados,
temos:
Número de Diagonais
Chama-se diagonal de um polı́gono a todo segmento de reta
cujas extremidades são vértices não consecutivos. O número
de diagonais D de um polı́gono convexo de N lados (N ≥ 3)
é dado por:
D=
C
N (N − 3)
2
Soma dos Ângulos
Classificação
Em todo polı́gono convexo de N lados (N ≥ 3), sendo Si a
soma dos ângulos internos e Se a soma dos ângulos externos
tem-se:
Polı́gono Equilátero
É o polı́gono que tem todos os lados congruentes:
Si = (N − 2) · 180◦
264
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e
Se = 360◦
2α+10
o
Circunferência
o
a+20
Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distância
R não nula (raio), chama-se circunferência o conjunto dos
pontos do plano que distam R do ponto C.
O
3. Determine a medida do ângulo β na figura:
r
o
3β+10 s
R
o
6β−20
O
C
Comprimento da Circunferência
4. Qual o número de diagonais do icoságono?
a) 150
b) 110
c) 210
d) 170
e) n. d. a.
5. Qual o número de lados de um polı́gono que possui 14
O comprimento de uma circunferência, ou perı́metro é dado diagonais?
por
a) 5
b) 7
c) 9
L = 2πR
d) 11
e) n. d. a.
Cı́rculo
É a região limitada pela circunferência, ou seja, é a união
do conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes
à circunferência.
6. Determine a área do cı́rculo limitado pela circunferência
cujo comprimento é de 10π cm.
a) 25π cm2
b) 16π cm2
c) 49π cm2
d) 36π cm2
e) n. d. a.
Área do Cı́rculo
A área A de um cı́rculo é dada por
Exercı́cios Complementares
A = πR2
7. (FEI) Num polı́gono regular, o número de diagonais é
o triplo do número de lados. A quantidade de lados desse
polı́gono é:
Pense um Pouco!
a) 7
b) 8
• Arquimedes considerava que a circunferência poderia c) 9
ser definida como um polı́gono regular com um grande d) 10
número de lados (muito pequenos). O que você acha e) 11
disso?
8. (MACK) A soma dos ângulos internos de um heptágono
convexo é igual a:
a) 1.260◦
Exercı́cios de Aplicação
b) 540◦
c) 720◦
d) 900◦
1. Qual é o ângulo que mede o dobro do seu complemento? e) 1.080◦
2. Qual o valor de α na figura abaixo?
9. Num polı́gono convexo, a soma dos ângulos internos é
cinco vezes a soma dos ângulos externos. Calcule o número
265
Matemática C – Aula 14
de diagonais desse polı́gono.
a) 35
b) 44
c) 54
d) 90
e) n. d. a.
Classificação
Quanto aos Lados
Equilátero
Possui os três lados iguais.
10. Dois ângulos são complementares, sendo que um é o
quı́ntuplo do outro. Qual o valor do menor desses ângulos:
a) 10◦
b) 12◦
c) 17◦
d) 20◦
e) n. d. a.
A
c
11. Qual é o ângulo cujo suplemento é o triplo do seu
B
complemento:
◦
a) 35
b) 45◦
Isóceles
c) 60◦
d) 15◦
Possui dois lados iguais.
e) n. d. a.
b
a
C
12. Cada um dos ângulos externos de um polı́gono regular
mede 15◦ . Qual o número de diagonais desse polı́gono?
a) 170
b) 252
c) 90
d) 144
e) n. d. a.
13. Cada um dos ângulos internos de um polı́gono regular
mede 150◦ . Qual é o polı́gono?
Escaleno
a) octógono
Possui os três lados diferentes.
b) decágono
c) dodecágono
d) icoságono
e) n. d. a.
Matemática C Aula 14
Triângulos
Definição
Quanto aos Ângulos
Dados três pontos não colineares A, B e C, chama-se
Retângulo
triângulo a união dos três segmentos AB, AC, BC.
Possui um ângulo reto.
∆ABC = AB + AC + BC
Elementos do Triângulo
• Vértices: A,B e C;
• Lados: AB, AC e BC;
• Ângulos internos: α, β e γ;
• Ângulos externos: são os ângulos suplementares aos Obtusângulo
internos. Na figura, para o ângulo interno γ, por exem- Possui um ângulo obtuso, ou seja, maior do que um ângulo
plo, γex. é o ângulo externo.
reto.
266
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Nesse triângulo ABC, retângulo em A, temos:
ο
α > 90
• A, B, e C são vértices;
• a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto);
• b e c são catetos;
Acutângulo
Possui todos os ângulos agudos, ou seja, menor do que um
ângulo reto.
• h é a altura relativa à hipotenusa;
• m e n são as projeções dos catetos b e c sobre a base
(hipotenusa), respectivamente.
Relações Métricas
As relações entre essas medidas são chamadas de relações
métricas nos triângulos retângulos. As principais são:
Observações
1. Se o ∆ABC é isóceles, então os ângulos da base são
congruentes;
2. Se o ∆ABC é equilátero, então os três ângulos internos
são congruentes.
a2
h2
=
=
b 2 + c2
mn
a
b2
=
=
m+n
am
ah =
c2 =
bc
an
Triângulos Quaisquer
Lei dos Senos
Propriedades
1. existência de triângulo: para existir o triângulo, cada Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporum dos três lados deve ser menor do que a soma dos cionais aos senos dos ângulos opostos. Isto é:
outros dois;
b
c
a
2. soma dos ângulos internos: a soma dos ângulos internos
=
=
◦
sen Â
sen B̂
sen Ĉ
de qualuqer triângulo é 180 , ou dois ângulos retos;
3. soma dos ângulos externos: em qualquer triângulo, Exemplo Resolvido
cada ângulo externo é igual à soma dos internos não Determine o valor de a, no triângulo abaixo:
adjacentes.
B
γ = α+β
75
α
a
c=2,0 cm
β
60
Triângulo Retângulo
o
o
A
Elementos
Resolução:
Observe a figura abaixo:
Como Â + B̂ + Ĉ = 180◦ , A = 60◦ e B = 75◦ , segue que
C = 180◦ − Â − B̂ = 45◦ . Então:
A
a
c
b
m
C
sen Â
h
n
a
B
=
c
sen Ĉ
⇒
2, 0 cm
a
=
◦
sen 60
sen 45◦
√
1/2
a = (2, 0 cm) √
= (2, 0 cm)/ 2 = 1, 4 cm
2/2
267
Matemática C – Aula 14
√
c) 3 √7 cm
d) 2 21 cm
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado e) n. d. a.
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados 3. Qual a altura relativa à hipotenusa, de um triângulo
isóceles, cujos catetos medem x.
pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Por exemplo, retângulo
√
a)
x
2
para o lado a, oposto ao ângulo Â, temos:
√
b) x √2/2
a2 = b2 + c2 − 2bc cos Â
c) 2x√ 2
d) x 2/3
Exemplo Resolvido
e) n. d. a.
Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem
4. Determine a diagonal de um retângulo cuja área mede
10 cm e 5 cm, e formam um ângulo de 60◦ entre si.
2.700√
m2 , sabendo que o comprimento é o triplo da largura.
a) 45 √2 m
b) 30√ 2 m
10 cm
A
B
o
c)
20 √10 m
60
d)
30 10 m
x
5 cm
e) n. d. a.
Lei dos Cossenos
5. Calcule a altura de um triângulo equilátero cujos lados
medem
√ a.
a) a √2/3
Resolução:
b) a√ 3/4
Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos ao c) a √3/3
d) a 3/2
triângulo ABC:
e) n. d. a.
x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 − 2(10 cm)(5 cm) cos 60◦
6. Um triângulo cujos lados menores medem 5 m e 12 m é
x2 = (100 + 25 − 100 · (1/2)) cm2
retângulo se, e somente se, o terceiro lado medir:
√
√
a) 13 m
x = 175 cm2 = 5 7 cm
b) 14 m
c) 15 m
d) 16 m
Pense um Pouco!
e) n. d. a.
D
C
• Como podemos obter quatro triângulos equiláteros, 7. Um triângulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm,
usando apenas seis palitos de fósforo?
formando um ângulo 60◦ . Qual a medida do outro lado, em
cm?
√
a) √13
Exercı́cios de Aplicação
b) √ 19
c) √11
d) 7
1. No triângulo ∆ABC mostrado na figura, retângulo em
e) n. d. a.
A, os catetos b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente.
8. A figura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se
8 cm
deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de
A
B
B, mediu-se o ângulo \
ACB = 45◦ e, do ponto A, mediu-se
BAC = 30◦ .
o ângulo \
h
m
6 cm
a
n
C
Calcule o valor das medidas:
a) da hipotenusa a;
b) das projeções m e n dos catetos sobre a hipotenusa.
c) da altura h relativa à hipotenusa;
2. Determine a medida do menor cateto de um triângulo
retângulo, cuja hipotenusa
mede 7 cm e a altura relativa à
√
3
cm.
hipotenusa
mede
2
√
a) 2√ 7 cm
b) 21 cm
A
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
Qual será o comprimento da ponte?
a) 100 m
b) 75 m
√
c) 100 2 m
B
C
268
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
√
d) 75 2 m
e) n. d. a.
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Retângulo
Paralelogramo que possui todos os ângulos retos.
Matemática C Aula 15
D
C
A
B
Quadriláteros
Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares,
chama-se quadrilátero a união dos quatro segmentos AB,
BC, CD e DA.
ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA
Quadriláteros Notáveis
• valem as propriedades do paralelogramo;
• as diagonais são congruentes;
• os quatro ângulos são retos.
Trapézio
Quadrilátero que possui dois lados paralelos.
Losango ou Rombo
Paralelogramo com dois lados adjacentes congruentes.
D
C
r
C
D
s r
A
B
B
AB e CD (bases)
A
AD e CB (lados transversais)
• valem as propriedades do paralelogramo;
Observações
• se houver 1 ângulo reto então temos um trapézio
retângulo;
• se os lados transversais forem congruentes temos um
trapézio isóceles.
Paralelogramo
• as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos;
• as diagonais são perpendiculares;
• os quatro ângulos são congruentes.
Quadrado
Quadrilátero com lados opostos paralelos e congruentes
É um losango retângulo.
(iguais), dois a dois.
D
C
D
A
A
C
B
B
Propriedades
• os lados opostos são congruentes;
• os ângulos opostos são congruentes;
• as diagonais se cortam ao meio mutuamente.
• possui os lados e ângulos congruentes;
• diagonais perpendiculares e congruentes;
• as diagonais se cortam ao meio, mutuamente;
• as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos.
269
Matemática C – Aula 15
Hierarquia entre Quadriláteros
Quadrado
Relações de inclusão entre os conjuntos dos quadriláteros
notáveis:
l
R
Quadrilateros
d
Trapezios
l
l
Paralelogramos
Retangulos
a =L / 2
Quadrados Losangos
l
Elementos
l = lado
d = diagonal
Polı́gonos Regulares
a = apótema (= r raio da circunferência inscrita)
São aqueles que possuem todos os lados e todos os ângulos R = raio da circunferência circunscrita.
iguais.
Fórmulas
√
d=l 2
Triângulo Equilátero
R = d/2
a = l/2
A área = l2
R
l
l
Hexágono Regular
h
l
r=a
l
l
R
l
l
a
l
L
Elementos
l = lado
h = altura
R = raio da circunferência circunscrita
a = apótema (=r raio da circunferência inscrita)
Fórmulas
l
Elementos
√
h = l 3/2
l = lado
a = apótema (raio da circunferência inscrita)
R = Raio da circunferência circunscrita.
Fórmulas
R = 2h/3
r = h/3
R = 2r
√
A área = l2 3/4
R=l
√
a = l 3/2
√
A área = 3l2 3/2
Exercı́cio Resolvido
Calcule a razão entre as áreas dos cı́rculos circunscrito e
inscrito em um triângulo equilátero.
270
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Resolução:
b) 8π
Sendo A1 a área do cı́rculo circunscrito e A2 a área do cı́rculo c) 7π
d) 6π
inscrito, temos:
e) n. d. a.
A1
πR2
(2a)2
=
=
=4
8. O valor da área sombreada na figura abaixo
A2
πr2
a2
111111111111
000000000000
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000 7 cm
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
c
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000 1 cm
111111111111
000000000000
111111111111
Pense um Pouco!
• O quadrado é um losango?
Exercı́cios de Aplicação
1. Assinale a alternativa falsa:
a) todo quadrado é um retângulo
b) todo quadrado é um losango
c) todo losango é um paralelogramo
d) todo retângulo é um paralelogramo
e) todo trapézio é um paralelogramo
é:
a) 12 cm2
b) 14 cm2
c) 20√cm2
d) 6 7 cm2
2. O lado de um hexágono regular inscrito em uma circun- e) n. d. a.
ferência mede 4 cm. Calcule:
9. Qual a área do hexágono inscrito num cı́rculo cuja área
a) O raio da circunferência;
mede√16π cm2 .
b) O apótema do hexágono;
a) 36 √3 cm2
c) A área do hexágono;
b) 25√ 3 cm2
d) A área do cı́rculo inscrito.
c) 24 √3 cm2
3. Qual a área do cı́rculo que está circunscrito a um qua- d) 20 3 cm2
drado de área igual a 100 cm2 ?
e) n. d. a.
7) A área da região sombreada na figura abaixo
Exercı́cios Complementares
4. A razão entre os comprimentos das circunferências circunscrita
e inscrita em um quadrado de lado 2 é:
√
a) √2
b) 2/2
c) 2 √
d) 2 2
e) n. d. a.
5. Assinale a afirmação falsa:
a) as diagonais de um paralelogramo são congruentes
b) as diagonais de um losango são perpendiculares
c) as diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos
internos
d) as diagonais de um retângulo são congruentes
e) as diagonais de um paralelogramo interceptam-se no
ponto médio
6. Calcule a área de um triângulo equilátero circunscrito
em cı́rculo
de área igual a 25π cm2 .
√
a) 25 √3 cm2
b) 15√ 3 cm2
c) 10 √3 cm2
d) 75 3 cm2
e) n. d. a.
R
l = 20 cm
é:
f) 50π cm2
g) 35π cm2
h) 25π cm2
i) 15π cm2
j) n. d. a.
Matemática C Aula 16
Circunferência
Definição
7. A área do cı́rculo circunscrito a um quadrado mede 18π. Dado um ponto C de um plano (centro) e uma distância
Calcule a área do cı́rculo inscrito no quadrado.
R não nula (raio), chama-se circunferência o conjunto dos
a) 9π
pontos do plano que distam R do ponto C.
271
Matemática C – Aula 16
Equação Reduzida
Centro
Seja a circunferência de centro C(xC , yC ) e raio R e seja
P (x, y) um ponto do plano.
m = −2xC =⇒ xC = −
m
2
O ponto P pertence à circunferência se, e somente se, a
distância de P a C for igual a R. Daı́ teremos:
n = −2yC =⇒ yC = −
n
2
(x − xC )2 + (y − yC )2 = R2
finalmente
m n
C = − ,−
2
2
que é a equação reduzida da circunferência.
Raio
Caso Particular
2
2
p = x2C + yC
− R2 =⇒ R2 = x2C + yC
−p
Se C = (0, 0), então a equação reduzida será:
ou seja
x2 + y 2 = R2
q
2 −p
R = + x2C + yC
Exemplos
Exemplo
1. Obter a equação reduzida da circunferência de centro
C(3, −2) e raio igual a R = 5.
1. Determinar o centro e raio da circunferência de equação:
Resposta
x2 + y 2 − 6x − 2y + 6 = 0.
(x − 3)2 + (y + 2)2 = 25
2. Obter a equação reduzida da circunferência de centro
C(0, 0) e raio R = 3.
Solução
A partir da equação, temos:
m = −6 =⇒ xC = −
−6
m
=−
=3
2
2
n = −2 =⇒ yC = −
n
−2
=−
=1
2
2
Resposta
2
2
x +y =9
p
p = 6 =⇒ R = + 32 + 12 − 6 = 2
Equação Geral
Desenvolvendo-se a equação reduzida (x−xC )2 +(y−yC )2 =
R2 , obtemos:
2
x2 − 2xxC + x2C + y 2 − 2yyC + yC
= R2
2
x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + x2C + yC
− R2 = 0
Fazendo-se:
Resposta
Centro C = (3, 1) e raio R = 2.
Pense um Pouco!
• A circunferência é uma linha plana? Comente.
Exercı́cios de Aplicação
2
x2C + yC
− R2 = p
resulta
x2 + y 2 − 2xxC − 2yyC + p = 0
que é a equação normal (ou geral) da circunferência.
1. Determine o centro e o raio da circunferência de equação
(x − 5)2 + (y + 3)2 = 10.
2. Dar a equação cartesiana de circunferência de raio R = 4
e que está centrada na origem.
3. Determine a equação geral
√ da circunferência de centro
C = (−2, 2), cujo raio R = 5.
Determinação do Centro e do Raio
a) Dada a equação (x − xC )2 + (y − yC )2 = R2 na forma Exercı́cios Complementares
reduzida, de imediato conclui-se que o centro é C(xC , yC ) e
o raio é R.
4. Determine o centro C e o raio R da circunferência x2 +
2
2
b) Dada a equação x + y + mx + ny + p = 0 na forma y 2 − 8x − 6y + 21 = 0:
normal, o centro e o raio são determinados comparando-se a) C(4, 3) e R = 2
coma equação: x2 + y 2 − 2x xC − 2y yC + p = 0
b) C(−2, 5) e R = 3
272
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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c) C(4, −2) e R = 2
d) C(−2, 3) e R = 3
e) n. d. a.
Polı́gonos e Figuras Planas
5. (FIC/FACEM) A equação da circunferência cujo centro
está na origem do sistema cartesiano e cujo raio é igual a
1/5 é:
a) x2 + y 2 = 25
b) 25x2 + 25y 2 = 5
c) x2 + y 2 = 1/5
d) 25x2 + 25y 2 − 1 = 0
e) 25x2 + 25y 2 + 1 = 0
Chamamos de perı́metro de um polı́gono à soma dos
comprimentos de seus lados. Geralmente, representa-se
o perı́metro por 2p, isto porque chama-se de p o semiperı́metro do polı́gono.
Perı́metro
Quando o polı́gono tem todos os lados iguais, o perı́metro é
igual ao produto do número de lados pelo comprimento de
um deles.
6. (PUC) Uma circunferência de centro C(−2, 5) limita Áreas de Figuras Planas
um circulo cuja área é 3. Determinar a equação da circunferência.
A área A de uma figura é um número (medida), associado
a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3√
à sua superfı́cie, que exprime a relação existente entre esta
b) (x − 2)2 + (y + 5)2 = 3
superfı́cie e a superfı́cie de um quadrado de lado unitário.
c) (x + 2)2 + (y − 5)2 = 3
d) (x − 2)2 + (y + 5)2 = √
3
Retângulo
e) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3
7. Qual é a equação reduzida da circunferência, cuja
equação geral é x2 + y 2 − 8x + 7 = 0 ?
a) (x + 4)2 + (y − 1)2 = 4
b) (x − 4)2 + y 2 = 9
c) (x − 4)2 + (y − 1)2 = 9
d) (x + 4)2 + y 2 = 4
e) n. d. a.
Dado um retângulo de comprimento (base) b e altura h:
h
b
8. O diâmetro da circunferência x2 + y 2 − 4x − 6y − 12 = 0,
é:
a) 5
A = bh e 2p = 2(b + h)
b) 6
c) 8
Quadrado
d) 10
e) n. d. a.
Como um caso particular de retângulo temos o quadrado de
9. (UFSC) Assinale a equação que representa uma circun- lado l
ferência:
a) 2x2 + 5y 2 − 2x + 10y + 1 = 0
b) x2 + y 2 + 2xy + 4x − 2y + 6 = 0
c) x2 + y + 2x − 1 = 0
d) x2 + y 2 + 4 = 0
e) x2 + y 2 − x = 0
l
2
2
10.√(UFPA) O raio da circunferência x + y − 2x = 3 é:
a) √2
b) 3
c) 2
d) 3
e) 4
11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunferência
2x2 + 2y 2 − 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respectivamente iguais a:
√
a) C = (−2, 1) e r = 5√
b) C = (−1, 1/2) e r = 5/3
c) C = (2, 1) e r = 5 √
d) C = (2, −1) e r = 5√
e) C = (1, −1/2) e r = 5/2
Matemática C Aula 17
l
onde:
A = l2 e 2p = 4l
Como nem tudo a nossa volta são retângulos e quadrados,
tivemos a necessidade de calcular a área de outras figuras.
E o mais interessante, é que através da área do retângulo,
podemos obter áreas de outras figuras. Veja a seguir.
Triângulo
Dado o triângulo de base b e altura h
273
Matemática C – Aula 17
Trapézio
a
c
O trapézio é composto por dois triângulos, um de base B e
outro de base b, ambos com altura h.
h
b
b
Comparando-se o triângulo com um retângulo com o comprimento b e altura h, temos, encaixando o triângulo no
retângulo vemos que cabem dois triângulos.
Então, fica fácil calcular a área do triângulo, pois esta é a
metade da área do retângulo. Assim:
bh
2
A=
e 2p = a + b + c
h
B
Assim a área sua área:
A=
Paralelogramo
Observe o paralelogramo de altura h e base b:
a
c
a
B+b
h e 2p = a + b + c + B
2
Cı́rculo
r
h
b
Recortando a parte sombreada do paralelogramo e
colocando-a do outro lado, o paralelogramo transforma-se
num retângulo. Logo, concluı́mos que a área do paralelogramo é a mesma área do retângulo.
A = bh e 2p = 2(a + b)
A = πr2 e 2p = 2πr
Losango
Pense um Pouco!
Veja o losango de lado l, inscrito num retângulo de base b e
altura h:
l
l
d
h
D
l
• (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual famı́lia que
come mais pizza: aquela que pede uma grande de
43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas médias
de 30 cm de diâmetro?
l
Exercı́cios de Aplicação
b
1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 cm
um lado e em 3 cm o outro, obteremos um retângulo cuja
A diagonal maior do losango tem medida igual ao compriárea é 56 cm2 . A medida do lado do quadrado é:
mento do retângulo, D = b.
a) 5 cm
A diagonal menor tem medida igual a altura do retângulo, b) 6 cm
d = h.
c) 4 cm
Se recortarmos o losango em quatro triângulos, vemos que d) 7 cm
a sua área é a metade da área do retângulo.
e) n. d. a.
A=
Dd
2
e 2p = 4l
2. A figura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma
circunferência de raio R = 5 cm.
274
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R
10 m
10 m
A área desse quadrado, em cm2 é:
a) 64
b) 81
c) 100
d) 50
e) n. d. a.
é:
a) (50π − 100) m2
b) (50π − 75) m2
c) (75π − 50) m2
d) (75π − 25) m2
3. Qual o perı́metro de uma circunferência cuja área interna e) n. d. a.
é 16π cm2 ?
a) 16π cm
b) 8π cm
c) 16π cm
d) 5π cm
Retas e Planos
e) n. d. a.
Matemática C Aula 18
4. A área sombreada na figura abaixo
1111111
0000000
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000 10 m
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
0000000
1111111
10 m
é:
a) 25 · (4 − π) m2
b) 75 m2
˙ − π) m2
c) 100(4
d) 50 m2
e) n. d. a.
Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto
de conceitos não definidos, dos quais temos a intuição clara,
e um sistema de axiomas ou postulados, que são proposições
não demonstradas, aceitas intuitivamente, que dão caracterı́sticas aos elementos não definidos.
Elementos Fundamentais
Ponto, reta e plano: São idéias primitivas, entes que não
possuem definição.
Temos idéias de ponto, por exemplo, um lápis tocando o
papel, sendo apenas uma imagem, pois não há dimensão
para tanto. Analogamente, possuı́mos a intuição de reta e
de plano.
Axiomas
Axiomas ou postulados, são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o
desenvolvimento de uma teoria.
5. O perı́metro de uma circunferência inscrita em um qua- Temos como axioma fundamental: existem infinitos pondrado de área 36 cm2 é:
tos, retas e planos.
a) 12π cm
b) 6π cm
Representação
c) 9π cm
d) 15π cm
Pontos: A, B, C, . . .
e) n. d. a.
Retas: r, s, t, . . .
6. Qual a área de um losango, cuja soma das diagonais é Planos: α, β, γ, . . .
igual a 27 cm e sua diferença 3 cm?
a) 50 cm2
b) 70 cm2
c) 85 cm2
d) 90 cm2
e) n. d. a.
7. (Desafio) A área da parte hachurada da figura
Postulados: Pontos e Retas
1. A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
2. Por um ponto passam infinitas retas.
3. Dois pontos distintos determinam uma reta.
4. Um ponto de uma reta, divide-a em duas semi-retas.
275
Matemática C – Aula 19
5. A intersecção de duas semi-retas, cada uma contendo a
origem da outra, define um segmento de reta.
Postulados: Plano
1. Por três pontos não-colineares, passa um único plano.
2. O plano é infinito e ilimitado.
3. Por uma reta passam infinitos planos.
4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semiplanos.
( ) Por três pontos distintos quaisquer, passa sempre um
único plano.
( ) O número máximo de retas que quatro pontos podem
determinar é seis.
( ) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são
concorrentes.
( ) Se a intersecção entre duas retas é o conjunto vazio,
então elas são paralelas.
( ) Duas retas não coplanares são reversas.
( ) Seis pontos determinam no máximo vinte planos.
( ) Se dois planos diferentes possuem um ponto em comum,
então possuem uma reta em comum.
Posições Relativas de Duas Retas
2. Assinale a alternativas falsa:
a) Existem infinitos planos.
1. Duas retas são paralelas se, e somente se, forem copla- b) Existem infinitos pontos.
nares com intersecção vazia, ou retas coincidentes.
c) Todo plano tem infinitos pontos
2. Duas retas são concorrentes, quando elas se intercep- d) Podemos definir ponto.
tam (concorrem) em um único ponto.
e) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
3. São retas que não se interceptam e não são paralelas, f) Toda reta tem infinitos pontos.
g) Todo triângulo está contido em único plano.
pois estão em planos diferentes.
Determinação de um Plano
Além do postulado que diz:
”três pontos não-colineares determinam um único plano”,
um plano também pode ser determinado por:
1. Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta.
2. Duas retas concorrentes.
3. Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa
(F): ( ) Não existe plano que contenha duas retas reversas.
( ) Se uma reta intercepta um plano, então todo plano
paralelo a essa reta o intercepta.
( ) Dois planos podem ser iguais, concorrentes ou paralelos
( ) Se três retas são paralelas entre si, duas a duas, existe
um único plano que as contém.
( ) Duas retas quaisquer determinam um plano.
4. Sobe uma circunferência são marcados 8 pontos distintos.
Quantas retas diferentes eles determinam, no máximo?
a) 56
Posições Relativas de Dois Planos
b) 44
c) 28
1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem
d) 36
iguais (α = β).
e) n. d. a.
2. Dois planos são concorrentes quando sua intersecção é
5. (ITA-SP) Quais as sentenças falsas nos itens abaixo?
uma única reta.
3. Dois planos são paralelos quando sua intersecção é va- I) Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles
sempre interceptam o outro plano.
zia.
II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distintas paralelas ao outro plano, os planos são sempre paralelos.
Pense um Pouco!
III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um são pa• Qual a quantidade mı́nima de pontos que se deve ter ralelas ao outro plano.
IV) Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe
para que se obtenha 15 retas diferentes?
uma infinidade e retas paralelas àquela reta.
• É possı́vel que duas retas coplanares sejam reversas?
V) Se uma reta é paralela a um plano, é paralela a todas as
• Quantos planos distintos, podem ser determinados, retas do plano.
a) I, II e III
utilizando-se os vértices de um cubo?
b) I, II e V
c) I, III e IV
d) II, III e IV
Exercı́cios de Aplicação
e) n. d. a.
3. Duas retas paralelas distintas.
1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação
abaixo: ( ) Dados dois pontos distintos, existe um único
plano passando por eles.
( ) Os vértices de um triângulo são coplanares (estão no
mesmo plano).
( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a contém em
dois semi-planos.
6. Uma reta r é paralela a um plano α. Então:
a) todas as retas de α são paralelas a r
b) r não pode ser coplanar com nenhuma reta de α
c) existem em α retas paralelas a r e também retas reversas
a r.
d) α contém retas paralelas e perpendiculares a r.
e) todo plano que contém r é paralelo a α.
276
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Matemática C Aula 19
Poliedros
(a)
Ângulo poliédrico
Sejam n (n ≥ 3) semi-retas de mesma origem tais que nunca
fique três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada uma deixa as outras
semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada
por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
(b)
Figura 1: Poliedro côncavo (a) e convexo (b).
Nome
tetraedro
pentaedro
hexaedro
heptaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
Sólidos Poliédricos
São sólidos limitados por faces planas e poligonais.
Veja alguns exemplos:
Número de Faces (F )
4
5
6
7
8
12
20
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
(a)
V −A+F =2
(b)
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas
e F , o número de faces.
Exemplos
(a)
(b)
Elementos
Faces (F )
São os polı́gonos que constituem a superfı́cie poliédrica.
Arestas (A)
São os lados dos polı́gonos (segmento e reta que une dois
vértices consecutivos).
Vértices (V )
V = 8, A = 12, F = 6 =⇒ 8 − 12 + 6 = 2
São os vértices ângulos poliédricos do sólido.
Diagonais
São os segmentos de reta que unem dois vértices opostos
situados ou não na mesma face.
Tipos
Poliedros Convexos
Um poliedro é dito convexo se o plano de cada polı́gono
(face) deixa o poliedro em um só semi-espaço, e portanto,
não o secciona em dois sólidos menores.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo V = 12, A = 18, F = 8 =⇒ 12 − 18 + 8 = 2
Exemplo Resolvido
com o número de faces, como por exemplo:
277
Matemática C – Aula 20
Qual o número de arestas e de vértices que tem um poliedro 2. Determine o número de arestas de um poliedro convexo
convexo de 20 faces, todas triangulares?
com 5 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.
a) 20
Resolução:
b) 15
Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Porém,
c) 10
cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duas
d) 8
vezes, ou seja:
e) n. d. a.
A = F/2 = 30.
3. Em um poliedro regular o número de arestas excede o
Temos F = 20 e A = 30 e da relação de Euler,
número de vértices em 10 unidades. Sabendo que o número
de faces é igual 12, determine o número de vértices do
V = A − F + 2 = 30 − 20 + 2 = 12
mesmo.
a) 8
Poliedros Regulares ou de Platão
b) 6
c) 20
Diz-se que um poliedro é regular (ou platônico) se, e so- d) 12
mente se:
e) n. d. a.
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
4. Um poliedro platônico tem 12 vértices e em cada vértice
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
concorrem 5 arestas. O totais de arestas e de faces do polid) for válida a relação de Euler.
edro, respctivamente, são:
a) 20 e 30
b) 30 e 20
c) 20 e 15
d) 15 e 20
e) n. d. a.
(a)
(b)
5. Determine o número de arestas e vértices de um poliedro convexo de 20 faces, das quais 11 são triangulares, 2
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e quadrangulares e 7 pentagonais.
a) A = 36 e V = 20
o segundo, não-platônico.
b) A = 30 e V = 25
Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares
c) A = 38 e V = 20
ou de Platão (THODI):
d) A = 20 e V = 36
e) n. d. a.
Poliedro
F
V A n P
Tetraedro
4
4
6
3 3
Hexaedro
6
8
12 4 3
Octaedro
8
6
12 3 4
Dodecaedro 12 20 30 5 3
Icosaedro
20 12 30 3 5
Matemática C Aula 20
Prismas
Onde:
n é número de arestas em cada face;
p é número de arestas que saem de cada vértice.
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas,
onde suas bases situam-se em planos paralelos (αkβ)
Pense um Pouco!
• Uma pirâmide com base quadrada (tipo aquelas do
Egito) podem ser um sólido de Platão? Justifique.
α
h
Exercı́cios de Aplicação
1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 vértices. Calcule
o número de arestas.
a) 12
b) 15
c) 18
d) 20
e) n. d. a.
β
Elementos:
Altura h: é a distância entre as bases;
Arestas laterais: possuem a mesma medida e são paralelas;
Faces laterais: são paralelogramos;
Bases: são polı́gonos congruentes.
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Natureza
Os prismas são triangulares, quadrangulares, pentagonais,
hexagonais etc., conforme suas bases sejam triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc...
D
d
c
Classificação
b
Prisma Reto
a
As arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.
Prisma Oblı́quo
As arestas laterais são oblı́quas em relação aos planos das
bases.
Num paralelepı́pedo retângulo de dimensões a, b, e c, sendo
D a medida de uma de suas diagonais principais (internas),
tem-se:
p
D = a 2 + b 2 + c2
At = 2(ab + ac + bc)
V = abc
Hexaedro Regular (CUBO)
α
h
É o paralelepı́pedo reto-retângulo cujas seis faces são quadradas.
o
θ=90
β
Figura 1: Prisma reto (esquerda) e oblı́quo (esquerda).
D
Prisma regular
l
d
É um prisma reto cujas bases são polı́gonos regulares.
Áreas e Volumes
l
Sendo Al a área lateral de um prisma (soma das áreas de
cada face lateral). Ab a área de uma de suas bases e At a
sua área total, temos:
At = Al + 2Ab
l
Para um cubo de aresta l:
Num prisma cuja área da base é Ab e altura h, o volume é
dado por:
√
d=l 2
√
D=l 3
V = Ab h
At = 6l2
V = l3
Paralelepı́pedos
São prismas cujas bases são paralelogramos.
Pirâmides
Conceito e Elementos
Paralelepı́pedo Reto-Retângulo
Ou paralelepı́pedo retângulo é todo paralelepı́pedo reto cujas bases são retângulos.
Consideremos um polı́gono A, B, C, . . ., situado num plano
α e um ponto V fora de α. Chama-se pirâmide à união
dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos
pontos do polı́gono. Uma pirâmide não é um prisma.
279
Matemática C – Aula 20
V
β
ap al
α
g
e
R
h
ab
h
onde:
V : ângulo sólido (ângulo poliédrico);
h: altura (distância) do vértice ao plano da base;
al : aresta lateral;
ab : aresta da base.
Elementos
Natureza
R: raio da base;
A pirâmide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal,
h: altura;
etc..., conforme sua base seja um triângulo, quadrilátero,
e: eixo do cilindro;
pentágono, etc...
g: geratriz.
Pirâmide Regular
É aquela cuja base é um polı́gono regular e a projeção do
vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da
base.
Área e Volume
:
Sendo:
R: raio do circulo circunscrito à base;
r: raio do circulo inscrito à base (apótema da base);
l: aresta da base;
ap: apótema da pirâmide;
h: altura da pirâmide;
al: aresta lateral.
Secções de um Cilindro
Secção Transversal
É a intersecção do cilindro por um plano paralelo às bases,
gerando cı́rculos de raio R.
Secção Meridiana
É a intersecção do cilindro por um plano que contém o
contém o eixo e, gerando um retângulo de base 2R e altura h.
Áreas e Volumes
Tem-se que:
Al = 2πRh
Ab = πR2
Al = pap
At = Al + 2Ab = πR(R + 2h)
V = Ab h = πR2 h
At = Al + Ab
Ab h
V =
3
Cilindro Circular Reto
Cone
Conceito
Cone circular reto é o sólido de revolução é obtido pela
rotação completa de um triângulo retângulo em torno de
um dos seus catetos.
Conceito e Elementos
Classificação
Cilindro de revolução ou cilindro circular reto é o sólido
obtido pela rotação completa de um retângulo em torno de Cone Reto
Possui o eixo perpendicular à base.
um dos seus lados.
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e
e
V
g
h
R
O
R
Considere a figura acima, tem-se:
R: é o raio do cone;
h: é a altura do cone;
g: é a geratriz;
V : é o vértice;
O: centro do cı́rculo (base).
Superfı́cie Esférica
É o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao cento
O é igual ao raio R.
Área e Volume
Relações, Áreas e Volumes
At = 4πR2
g 2 = R 2 + h2
V =
Ab = πR2
Pense um Pouco!
Al = 2πRg
At = Ab + Al = πR(R + 2g)
V =
4πR3
3
Ab h
πR2 h
=
3
3
• Imagine uma esfera de massinha de modelar de raio R.
Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer,
com o mesmo volume total de massinha?
Exercı́cios de Aplicação
Cone Oblı́quo
Possui o eixo oblı́quo em relação ao plano da base.
V
h
g
α
1. (PUC) Com uma lata de tinta é possı́vel pintar 50 m2
de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de
prisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de
altura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata.
Qual a percentagem de tinta que resta na segunda lata?
a) 22%
b) 30%
c) 48%
d) 66%
e) 72%
2. Um triângulo retângulo com hipotenusa de 13 cm e com
um cateto de 5 cm é base de um prisma reto de 8 cm de
altura. Calcular a área total do prisma.
Esfera
a) 150 cm2
b) 300 cm2
Definição:
c) 270 cm2
É o conjunto dos pontos do espaço cuja distância ao centro d) 240 cm2
O são menores ou iguais ao raio R.
e) n. d. a.
Matemática C – Aula 20
3. Calcule o volume de uma caixa d’água em forma de
prisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base é
um losango cujas medidas das diagonais são 7 m e 10 m.
a) 420 mil litros
b) 19 mil litros
c) 210 litros
d) 210 mil litros
e) n. d. a.
Exercı́cios Complementares
4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas as
arestas congruentes e 48 m2 de área lateral. Seu volume
vale:
a) 16 m3
b) 32 m3
c) 64√m3
d) 4 √3 m3
e) 16 3 m3
5. Qual o volume de uma esfera cuja área de sua superfı́cie
mede 36 cm2 ?
a) 25/sqrtπ cm3
b) 36π cm3
c) 36/sqrtπ cm3
d) 49/sqrtπ cm3
e) n. d. a.
6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para que
tenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio do
cone e igual a 5 cm?
a) 20 cm
b) 12 cm
c) 15 cm
d) 21 cm
e) n. d. a.
7. Qual o volume de uma pirâmide quadrangular reta cuja
área da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo
da aresta da base.
a) 750 cm3
b) 1000 cm3
c) 1250 cm3
d) 1500 cm3
e) n. d. a.
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Parte IV
Lı́ngua Portuguesa
285
Lı́ngua Portuguesa – 01
Lı́ngua Portuguesa 01
Pense um Pouco!
O conhecido anúncio publicitário a seguir, publicado em
revistas de informação, faz uso intencional de variante coloVariantes Linguı́sticas
quial da lı́ngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto
Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma lı́ngua, do anúncio poderiam caracterizar essa variante?
como a portuguesa, não é falada do mesmo modo por todos os seus falantes. Ao contrário, a lı́ngua varia conforme
varie a classe social do falante, o local onde ele nasceu ou Exercı́cios de Aplicação
reside, a situação em que ele deve falar ou escrever, etc. A
descrição de um idioma não pode desconsiderar esse tipo 1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega de
de fenômeno e deve, portanto, englobar a noção de varian- classe nestes ternos: ”Venho respeitosamente solicitar-lhe
tes linguı́sticas. Basicamente, uma lı́ngua sofre variações de se digne emprestar-me o livro”. A atitude desse aluno se
acordo com cinco eixos.
assemelha à atitude do indivı́duo que:
a) comparece ao baile de gala trajando ”smoking”;
b) vai à audiência com uma autoridade de ”short”e camiseta;
c) vai à praia de terno e gravata;
d) põe terno e gravata para ir falar na Câmara dos Deputados;
e) vai ao Maracanã de chinelo e bermuda.
INSTRUÇÃO. Texto para as duas questões seguintes. Observe uma pessoa contando para outra o procedimento para
usar a nova impressora:
”Primeiro a gente pega as folhas e põe aqui, nessa parte de
baixo. Daı́, a gente liga nesse botãozinho e dá o comando
no computador. Daı́ a gente fica esperando um pouco e logo
ela imprime. É super fácil”.
2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ”a gente”, responda:
a) Está adequado tanto na lı́ngua oral informal quanto na
lı́ngua escrita formal porque refere-se a ”todos nós”.
b) Está adequado na lı́ngua oral informal por ser a forma
usual de se dizer ”nós”, mas está inadequado na lı́ngua escrita formal, a qual privilegia o uso de ”nós”.
c) É o mais adequado na lı́ngua oral informal e na lı́ngua
escrita formal porque refere-se a ”nós”.
d) É o mais adequado na lı́ngua oral informal e na lı́ngua
Uma variação inicial diz respeito às modalidades escrita e
escrita formal por ser uma forma de dizer ”nós”.
falada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve,
e) Está adequado na lı́ngua oral formal, mas não na lı́ngua
e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe
escrita formal por querer dizer ”nós”.
a variação regional, que define, por exemplo, o sotaque e
as expressões tı́picas de cada lugar do paı́s. Bastante im- 3. (UNITAU-SP) As palavras de ligação ”Primeiro... Daı́...
portante é a variação social, que determina duas normas Daı́...”, comuns na lı́ngua oral informal, podem ser subsbásicas: a norma culta, transmitida pela tradição escolar, tituı́das a contento na lı́ngua escrita formal pelos seguintes
e a norma popular. Existe também a variação de época. marcadores, respectivamente:
Como se sabe, a lı́ngua sofre transformações com o tempo. a) Primeiro... Logo... Portanto...
As pessoas, inclusive, falam de modo diferente de acordo b) A princı́pio...Conclusivamente... Portanto...
com a idade. Por fim, há o eixo da variação de estilo, que c) Primeiramente... Segundamente... Conclusivamente...
define, por exemplo, o modo formal e o modo informal de d) Primeiramente... A seguir... Finalmente...
falar. Note que a variação formal/informal não é idêntica à e) A princı́pio... Finalmente... Logo...
variação culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala de
modo formal com o juiz num tribunal e de modo informal
com a famı́lia em casa, mas será sempre um falante culto.
Exercı́cios Complementares
Resumindo, as variantes linguı́sticas são:
• Modalidade escrita e modalidade falada;
• Variantes Regionais;
• Variantes Sociais (norma culta e normal popular);
• Variantes de época;
• Variantes de estilo (formal e informal).
4. (ENEM) O texto mostra uma situação em que a linguagem usada é inadequada ao contexto. Considerando as
diferenças entre lı́ngua oral e lı́ngua escrita, assinale a opção
que representa também o uso da linguagem inadequada ao
contexto:
a) ”O carro bateu e capotô, mas num deu pra vê direito.um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro
286
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que vai passando.
b) ”E aı́, ô meu! Como vai essa força?- um jovem que fala
para um amigo.
c) ”Só um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma
observação.- alguém comenta em uma reunião de trabalho.
d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar-me ao
cargo de Secretária Executiva desta conceituada empresa.é uma palavra proparoxítona
alguém que escreve uma carta candidatando-se a um emprego.
e) ”Porque se a gente não resolve as coisas como têm que Exemplos
ser, a gente corre o risco de termos, num futuro próximo, Vı́tima, médico, ânimo, titânico, rápido, ridı́culo, módulo,
muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor uni- catastrófico, hiperbólico.
versitário em um congresso internacional.
TÔ − NI − CA
Paroxı́tonas
5. (UFU-MG) Assinale a única alternativa em que não
ocorre o emprego de expressões coloquiais:
Acentuam-se as paroxı́tonas terminadas em:
a) – Ele pode decidir... - disse Pé-de-Vento. Tinha esperanças de ser escolhido por Quincas para herdar Quitéria,
• r: caráter, revólver, cadáver
seu único bem. (J. Amado)
• n: hı́fen, pólen, próton, nêutron
b) – Calma, companheiro. Não tava querendo lhe lesar. (J.
Amado)
• l: fácil, réptil, mı́ssil, fóssil
c) – Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver
• x: tórax, látex
ele... (J. Amado)
d) – Apesar dos pesares, é meu pai. Não quero que seja
• i ou is: táxi, táxis, júri
enterrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo,
• u ou us: ânus, bônus, ônus
você gostava? (J. Amado)
e) – Fala também, desgraçado... -Negro Pastinha, sem
• um ou uns: álbuns, fórum
se levantar, espichava o poderoso braço, sacudia o recém• ps: bı́ceps, fórceps
chegado, um brilho mau nos olhos. - Ou tu acha que ele era
ruim? (J. Amado)
• ã ou ãs: ı́mã, órfã
6. (UEL-PR) A frase que contém uma marca de oralidade
é:
a) O sertanejo tem que falar cultura.
b) Essa cultura é muito diferente da nossa.
c) É um processo que não está fundado na palavra escrita.
d) Mas, como sou sertanejo, e filho de uma famı́lia metade
comunista metade reacionária, né?
e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que
vocês me façam perguntas...
Lı́ngua Portuguesa 02
• - oo ou oos: voos, enjoo, entoo
Acentuam-se também as paroxı́tonas terminadas em ditongo oral ou nasal, seguido ou não de s. (órfão, órgãos,
colégio, férias).
Não se acentuam as paroxı́tonas terminadas pelas vogais a, e
ou o, e pela consoante nasal m. (cantam, sorriam, batiam).
Como particularidade, não se acentuam as paroxı́tonas terminadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem no singular, mas não no plural. (hı́fen, hifens, pólen,
polens).
Oxı́tonas
Acentuam-se as oxı́tonas terminadas em:
Acentuação Gráfica
• a ou as: sofás, Pará, Corumbá e futuros, como amará
e morrerás.
Princı́pios da Acentuação Gráfica
• e ou es: rapé, cafés, até, vocês.
• o ou os: avô, avó, cipó, gigolôs.
Na lı́ngua portuguesa, segundo o critério de tonicidade, ou
seja, a posição da sı́laba tônica como sendo a última, a
• em ou ens: também, parabéns.
penúltima ou a ante-penúltima, as palavras são classificadas como oxı́tonas, paroxı́tonas ou proparoxı́tonas, respecti- Não se acentuam, portanto, oxı́tonas terminadas com as vovamente. Quando a palavra levar acento gráfico, este cairá gais i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante frequentes,
sempre sobre a vogal da sı́laba tônica.
não são adequados escritos em que se leia Pacaembú, Itú ou
Bariguı́, para as palavras que se devem grafar Pacaembu,
Itu e Barigui.
Proparoxı́tonas
Todas as proparoxı́tonas são acentuadas.
Ressalte-se também que as palavras terminadas em z não
estão contempladas pelas regras por serem sempre oxı́tonas:
capaz, algoz.
287
Lı́ngua Portuguesa – 03
Monossı́labos Tônicos
Recebem acento os monossı́labos tônicos terminados em a,
e, o, seguidos ou não de s.
Exemplos
1. a(s): pá, má, lá, trás;
2. e(s): fé, pés, vê, lês;
3. o(s): ló, nós, vós, pôs.
”Ainda hoje existe no saguão do paço imperial, que no
tempo em que se passou esta nossa historia se chamava Palacio del-rei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo
com eles denominavam o Patio dos Bichos. Este apelido
lhe fora dado em consequencia do fim para que ele então
servia: passavam ali todos os dias do ano tres ou quatro
oficiais superiores, velhos, incapazes para a guerra e inuteis
na paz, que o rei tinha a seu serviço não sabendo se com
mais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honra
de serem empregados no real serviço.”(Manuel António de
Almeida, Memórias de um sargento de milı́cias).
Pense um Pouco!
Exercı́cios Complementares
Diante da visão de um prédio com uma placa indicando
SAPATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a dúvida:
como pronunciar a palavra PAPALIA?
4. (UFRGS-RS) A grafia dos nomes próprios nem sempre
Levado o problema à sua sala de aula, a discussão girou segue as regras ortográficas da lı́ngua portuguesa. O nome
em torno da utilidade de conhecer as regras de acentuação Lı́via, por exemplo, de acordo com a pronúncia com que
e, especialmente, do auxı́lio que elas podem dar à correta ocorre usualmente, deve receber acento gráfico. A regra que
pronúncia de palavras. Após discutirem pronúncia, regras determina o uso do acento neste caso é a mesma responsável
de acentuação e escrita, três alunos apresentaram as seguin- pelo acento gráfico em:
a) episódios;
tes conclusões a respeito da palavra PAPALIA:
I. Se a sı́laba tônica for o segundo PA, a escrita deveria ser b) aı́;
PAPÁLIA, pois a palavra seria paroxı́tona terminada em c) reúne;
d) estréia;
ditongo crescente.
e) nós.
II. Se a sı́laba tônica for LI, a escrita deveria ser PAPALÍA,
pois não haveria razão para o uso de acento gráfico.
5. O trecho a seguir foi copiado sem acentuação. Leia-o
atentamente e acentue os vocábulos que assim o exigirem:
Exercı́cios de Aplicação
1. Acentue, se necessário, os vocábulos destacados nas frases a seguir:
a) Não posso atendê-lo no momento, mas minha secretaria, dona Vanessa, agendará uma reunião para a próxima
semana.
b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamente à secretaria da escola.
c) Luı́s, que agora retornava à casa paterna, com 30 anos
recém-completados, dela partira aos vinte anos.
d) Quando o sol raiar, Luı́s partira novamente.
e) Acho inconcebı́vel que alguns pais não amem os filhos.
f) E que o arroz não falte alem do tolerável. (José Saramago, Memorial do convento)
g) O voo das aves sempre nos causa encantamento.
h) Hoje são muito mais raros os partos feitos com forceps.
i) Acho desagradável rever velhos albuns de familia.
2.
(CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os
vocábulos obedecem à mesma regra de acentuação da palavra nódoa:
a) ânsia, âmbar, imundı́cie;
b) mı́ope, imã, enjoo;
c) água, tênue, supérfluo;
d) ı́mpar, mı́ngua, lânguida;
e) viúvo, argênteo, sórdido.
3. O trecho a seguir foi copiado sem acentuação. Leia-o
atentamente e acentue os vocábulos que assim o exigirem:
”O documento acaba sendo o eco de uma polemica anterior à cupula propriamente dita, surgida nas tres reuniões
preparatorias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo
de ONGs (Organizações Não-Governamentais) lançou documento condenando o texto da declaração final da Cupula do Homem, ja então em versão praticamente definitiva. Diziam as ONGs: ”A confiança exagerada colocada
pêlos documentos em forças de mercado indefinidas e não
reguladas, como base para a organização das economias nacionais, contradiz nossa opinião, segundo a qual tais forças
não são solução, mas fatores que contribuem para as crises
sociais do mundo atual”. Uma das ONGs signatarias é o
Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbert
de Souza, o Betinho, agora membro do comite do Programa
Comunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Cardoso. As ONGs não estão sozinhas na critica ao mercado.
No seu discurso na inauguração da reunião, o premie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foi
claro: ”Nos aprendemos que o progresso social não se realiza simplesmente por meio das forças de mercado”. Ate
o presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno
nas Nações Unidas, expressa duvidas não sobre o mercado
propriamente mas sobre a austeridade fiscal, outro preceito
zelosamente guardado pelo FMI. ”Equilibrar o orçamento e
uma boa coisa, mas por que deve-se alcançar um equilı́brio
macroe-conomico baseado em desequilibrios nas vidas das
pessoas?”, pergunta Somavia. (Clóvis Rossi, Folha de S.
Paulo, Agência Folha, 07 mar. 1995.)
Lı́ngua Portuguesa 03
288
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Concordância Nominal
REGRA GERAL
Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele
concordam em gênero e número.
Exemplos
Os nossos médicos descobriram a cura da doença.
Passamos bons momentos juntos.
CASOS ESPECIAIS
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• Sujeito não determinado: adjetivo fica invariável.
É proibido entrada de estranhos.
Cerveja é bom para os rins..
• Sujeito determinado: adjetivo concorda em
gênero e número.
É proibida a entrada de estranhos.
Esta cerveja é boa para os rins.
7. Adjetivo = Predicativo do Objeto
• Objeto simples: adjetivo concorda em gênero e
número.
Encontrei tristonha a mulher abandonada.
1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em relação a dois ou
mais substantivos:
• Objeto composto: adjetivo fica no masculino plural.
Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandonados.
• De mesmo gênero: adjetivo no singular ou plural.
A vontade e a inteligência humana(s). As conquistas e as descobertas portuguesas.
8. Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou
plural.
A primeira, a segunda e a última aula(s).
• De gêneros diferentes: adjetivo concorda com o
mais próximo ou fica no masculino plural.
O carro e a bicicleta envenenada(os).
O trabalho e as realizações conseguidas(os).
Observação: Adjetivo anteposto concorda com o
mais próximo.
Observam-se boa disciplina, estudo e trabalho.
Pense um Pouco!
A placa a seguir apresenta erro de concordância entre o
substantivo e o adjetivo em função do adjunto adnominal?
2. Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos três
possibilidades:
Estudamos a civilização grega e romana.
Estudamos a civilização grega e a romana.
Estudamos as civilizações grega e romana.
3. Mesmo, próprio, só, anexo, incluso, junto, bastante,
nenhum, leso, meio e particı́pios verbais: concordam
em gênero e número com o termo a que se referem.
Enviamos anexas as informações solicitadas.
Compraram duas meias entradas para o espetáculo.
Resolvemos bastantes problemas difı́ceis.
Observação: Meio e bastante como advérbios ficam invariáveis.
Ela estava meio embriagada pelo sucesso.
Suas idéias eram bastante interessantes.
4. Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular + adjetivo no plural.
Exercı́cios de Aplicação
1. Assinale a opção em que o emprego do vocábulo meio
não obedece às regras do português culto:
a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os
5. O(s) mais, menos, melhor(es) ...
possı́vel(eis), comandos.
b) O soldado foi punido porque se apresentou meio bêbado
pior(es), maior(es) e menor(es):
ao general.
Conheci mulheres o mais encantadoras possı́vel.
c) As moças estavam meias desatentas à explicação do proHavia mestres os mais inteligentes possı́veis.
fessor, daı́ que ele as repreendesse.
6. Adjetivo = Predicativo do Sujeito
d) Não me venha com meias palavras: exijo que você se expresse com objetividade.
• Sujeito composto posposto: adjetivo concorda
e) Era cedo, mas a sala já se encontrava meio escura.
com o mais próximo ou fica no masculino plural.
Estava morto o amor e a compreensão humana. 2. (UEL-PR) Ao esforço e à seriedade .......... ao estudo é
Estavam mortos o amor e a compreensão huma- que ........ os louvores que ele tem recebido ultimamente.
nos.
a) consagrado - devem ser atribuı́dos;
Houve um e outro homem escolhidos para o cargo.
Nem um nem outro crime praticados foram apurados.
289
Lı́ngua Portuguesa – 04
b) consagrada - deve ser atribuı́do;
c) consagrados - devem ser atribuı́dos;
d) consagradas - deve ser atribuı́do;
e) consagrados - deve ser atribuı́do.
Exemplos
3. (UEPG-PR)Acho que a menina ficará ........ aborrecida
quando ........ que em sua caixa há ........ balas.
a) meio - vir - menas;
b) meia - vir - menos;
c) meia - ver - menas;
d) meia - ver - menos;
e) meio - vir - menos.
CASOS ESPECIAIS
Exercı́cios Complementares
O técnico escalou o time.
Os técnicos escalaram os times.
1. Sujeito Composto
a) Anteposto: verbo no plural.
O técnico e os jogadores chegaram ontem a São Paulo.
b) Posposto: verbo concorda com o mais próximo ou
fica no plural.
Chegou(aram) ontem o técnico e os jogadores.
c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa
predominante.
4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio,
alguns dos jovens pareciam ............ desanimados
a) houve - meios;
b) houve - meio;
c) houveram - meio;
d) houvem - meio;
e) houve - meios.
Eu, você e os alunos iremos ao museu.
5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, não ..........
dúvidas a respeito das boas intenções do diretor.
a) Qualquer - fossem - restariam;
b) Quaisquer - fosse - restaria;
c) Quaisquer - fossem - restaria;
d) Qualquer - fosse - restariam;
e) Quaisquer - fossem - restariam.
O professor, com os alunos, resolveu o problema.
O maestro com a orquestra executaram a peça clássica.
6. (UEL-PR) Está adequadamente flexionada a forma destacada na frase:
a) Ele não deixou satisfeito nem a crı́tica, nem o público.
b) Todos achamos difı́ceis, nas provas de Fı́sica e Matemática, a resolução das questões finais.
c) O sofá e a banqueta ganharam outro aspecto depois de
consertado.
d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas feições,
denunciando-os.
e) Ele considerou inúteis, na atual circunstância, as medidas
que ela sugeria.
7. (UEL-PR) Que ...... das lembranças felizes se entre elas
........ lágrimas deslizando ........ pela face amada?
a) seria - houvessem - copiosas;
b) seriam - houvessem - copiosas;
c) seria - houvesse - copiosa;
d) seriam - houvessem - copiosa;
e) seria - houvesse - copiosas.
d) Com núcleos em correlação: verbo concorda com o
mais próximo ou fica no plural.
O cientista assim como o médico pesquisa(m) a causa
do mal.
e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente
do com ou vai para o plural.
f) Ligado por NEM: verbo no plural e, às vezes, no
singular.
Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de
Catifunda.
g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendo do valor do OU.
Valdir ou Leão será o goleiro titular.
João ou Maria resolveram o problema.
2. Sujeito constituı́do por
a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular
ou plural.
Um e outro médico descobriu(ram) a cura do mal.
Nem um nem outro problema propostos foi(ram) resolvido.
b) Um ou outro: verbo no singular.
Um ou outro fará o trabalho.
c) Coletivo geral: verbo no singular.
Mais de um jogador foi elogiado pela crônica esportiva.
d) Expressões que indicam quantidade aproximada seguida de numeral: verbo concorda com o substantivo.
Cerca de dez jogadores participaram da briga.
f) Pronomes (indefinidos ou interrogativos) seguidos de
pronomes: verbo no singular ou plural.
Lı́ngua Portuguesa 04
Concordância Verbal
REGRA GERAL
Verbo concorda com o sujeito em número e pessoa.
Qual de nós será escolhido?
g) Palavra que: verbo concorda com o antecedente.
Hoje sou eu que faço o discurso.
h) Palavra quem: verbo na terceira pessoa do singular.
Amanhã serão eles quem resolverá o problema.
i) Um dos que: verbo no singular ou plural.
Foi um dos alunos desta classe que resolveu o problema.
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Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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j) Palavras sinônimas: verbo concorda com o mais
próximo ou fica no plural.
Pense um Pouco!
A Ética ou a Moral preocupa-se com o comportamento
humano.
EDUCAÇÃO: Governo diz que houve erro de interpretação
por causa da inclusão da palavra ”semestralidade”Reajuste
de escolas se mantêm anuais.
3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome O tı́tulo da notı́cia acima está inadequado à norma culta da
apassivador: verbo concorda com sujeito paciente.
escrita do português. Por quê?
Viam-se ao longe as primeiras casas.
Ofereceu-se um grande prêmio ao vencedor da corrida.
b) se = ı́ndice de indeterminação do sujeito: verbo
sempre na terceira pessoa do singular.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UEL-PR) .......... as providências necessárias para o
saneamento da cidade.
4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam fenômenos da a) Haverá de ser tomado;
natureza, verbo haver indicando existência ou tempo, b) Haverão de ser tomadas;
verbos fazer, ir indicando tempo: esses verbos ficam c) Haverá de serem tomadas;
d) Haverão de serem tomadas;
sempre na terceira pessoa do singular.
e) Haverão de ser tomado.
Durante o inverno, nevava muito.
Ainda havia muitos candidatos.
2. (UEL-PR) Até ontem, já .... duas mil pessoas desabriOntem fez dez anos que ela se foi.
gadas em todo o estado, e muitas mais ... se ... as chuvas
torrenciais.
5. Verbo SER
a) existiam - haverá - continuar;
a) Indicando tempo, distância: concorda com o predi- b) existiam - haverão - continuarem;
c) existia - haverá - continuar;
cativo.
d) existia - haverão - continuarem;
Hoje é dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanhã e) existiam - haverá - continuarem.
serão 4.
b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com 3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que não há concordância inadequada à norma culta:
o que prevalecer.
a) Fazia dois anos que não aconteciam desastres desse tipo.
Vinte milhões era muito por aquela casa.
b) Faz alguns anos que não acontece desastres desse tipo.
c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com c) Deve fazer um ano que aconteceu vários desastres aéreos.
d) Fazia algum tempo que não acontecia desastres desse
o que prevalecer.
tipo.
O homem sempre foi suas idéias.
e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse
Santo Antônio era as esperanças da solteirona.
tipo.
A Pátria não é ninguém, a Pátria somos nós.
Necessitava-se naqueles dias de novas ideias.
d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o
sujeito.
Exercı́cios Complementares
Deu duas horas o relógio do alto da montanha.
e) Verbo parecer + infinitivo: flexiona-se um dos dois. 4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que não há concordância inadequada à norma culta:
Os cientistas pareciam procurar grandes segredos.
a) Devem haver poetas que pensam no desastre aéreo como
Os cientistas parecia procurarem grandes segredos.
sendo o arrebol.
b) Deve existir poetas que pensam no desastre aéreo como
6. Sujeito = nome próprio plural:
sendo o arrebol.
a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no c) Pode existir poetas que pensam no desastre aéreo como
singular.
sendo o arrebol.
d) Pode haver poetas que pensam no desastre aéreo como
O Amazonas deságua no Atlântico.
sendo o arrebol.
b) Com artigo no plural: verbo no plural.
e) Podem haver poetas que pensam no desastre aéreo como
Os Estados Unidos enviaram tropas à zona de conflito. sendo o arrebol.
5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequadamente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ......
a produção e a exportação, e ...... funcionários treinados em
setores nos quais a empresa possa crescer.
a) Existem - caı́ram - faltam;
b) Existem - caiu - falta;
c) Existe - caiu - faltam;
291
Lı́ngua Portuguesa – 05
d) Existem - caı́ram - falta;
e) Existe - caı́ram - faltam.
Lı́ngua Portuguesa 05
Colocação Pronominal
Próclise
Ênclise
O pronome é colocado depois do verbo. Emprega-se, geralmente, a ênclise:
a) Com verbos no inı́cio do perı́odo:
Sabe-se que a temperatura global está em média cerca de
meio grau Celsius mais alta do que há 100 anos. (Veja)
b) Com verbos no modo imperativo afirmativo:
- Levante-se daı́, senhor Belchior... (Bernardo Guimarães)
c) Com verbos no gerúndio, desde que não venham precediO pronome é colocado antes do verbo. É considerada obri- dos da preposição em:
gatória em, basicamente, duas situações:
Para tratar o enfermo psı́quico, não basta ter pena dele,
a) Tipos de orações:
consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo)
– Orações interrogativas, quando iniciadas por palavra ou d) Com verbos no infinitivo impessoal:
expressão interrogativa (”quem”, ”o que”, ”como”, ”onde”,
A poesia está na cidade, no campo, no mar. O problema é
”porque”, etc.):
descobri-la, surpreendê-la, flagrá-la. (Ferreira Gullar)
Quem me dará o beijo que cobiço?
– Orações exclamativas:
Deus lhe fale n’alma!
b) Palavras ”atrativas”: são aquelas que, quando aparecem antes do verbo, obrigam a próclise. São as seguintes: Palavras negativas (”não”, ”nem”, ”nada”, ”nenhum”,
”ninguém”, ”jamais”, etc.):
Canudos não se rendeu. (Euclides da Cunha)
Conjunções subordinativas e pronomes relativos (”que”,
”como”, ”onde”, ”se”, ”cujo”, ”quando”, ”embora”, ”porque”, ”enquanto”, etc.):
Trabalho para homem que me respeite. (José Lins do Rego)
Advérbios ”agora”, ”ainda”, ”amanhã”, ”antes”, ”breve”,
”depois”, ”hoje”, ”já”, ”jamais”, ”logo”, ”nunca”, ”ontem”,
”sempre”, ”bem”, ”mal”, ”demais”, ”muito”, ”pouco”,
”quase”, ”assim”, ”melhor”, ”pior”, além das palavras com
sufixo -menterapidamente”, ”certamente”, etc.:
Mal se movia, com medo de espantar a própria atenção.
(Clarice Lispector)
Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamarão
potoqueiro. (Graciliano Ramos)
Pense um Pouco!
Pronominais
Dê-me um cigarro
Diz a gramática
Do professor e do aluno
E do mulato sabido
Mas o bom negro e o bom branco
Da Nação Brasileira
Dizem todos os dias
Deixa disso camarada
Me dá um cigarro
Oswald de Andrade
Pronomes indefinidos ”algum”, ”alguém”, ”todo”, ”tudo”,
”certo”, ”outro”, ’vários”, ”qualquer”, etc.:
E tudo se passa como eles querem. (Pêro Vaz de Caminha)
Gerúndios precedidos da preposição “em”:
Em se tratando de futebol, o Brasil é um paı́s de primeiro
mundo.
Mesóclise
O pronome é colocado no meio do verbo. Só será empregada
no futuro do presente e no futuro do pretérito, desde que
não haja palavra que exija a próclise:
Figura 1: Retrato à óleo de Oswald de Andrade, por
Tarcila do Amaral.
As gerações futuras perguntar-se-ão como foi possı́vel per- Exercı́cios de Aplicação
durar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa)
Repetir-se-á, assim, o que neste ano já aconteceu com tan1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomes
tos outros feriados. (Visão)
entre parênteses, de acordo com a norma culta da lı́ngua
Agora veja:
portuguesa:
As gerações futuras ainda se perguntarão como foi possı́vel... a) (se) “Ninguém ... arrepiava .., ninguém manobrava para
Não se repetirá, assim, o que neste ano...
ficar.”(José Lins do Rego)
b) (se) “Não .. ouvia .. um barulho.”(João António)
(As palavras “ainda”e “não” exigem a próclise)
292
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
c) (lhe) “A espaços, quando o aborrecimento .. vinha ..,
saı́a.”
d) (se)”.. Lembrou .. então do sangue do preá, sujando o
verde do capim.”(José Lins do Rego)
e) (lhe) “Que .. importava .. a riqueza do velho José Paulino?”(José Lins do Rego)
f) (se) “Depois, .. escutou .. um tiro seco, no silêncio.”(José
Lins do Rego)
g) (se)”.. Levanta .. e passa os braços no pescoço de
Guma.”(Jorge Amado)
h) (se) “E que porcarias .. vendem .. por aı́!”(José Lins do
Rego)
i) (me) Não conheço ao certo o local onde .. levaram .. na
noite passada.
j) (se) “Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhinho.”(Dalton Trevisan)
2. (UDESC-SC) Assinale com V a colocação verdadeira e
com F a colocação falsa dos pronomes oblı́quos átonos nos
perı́odos abaixo:
( ) Ele tem dado-se muito bem com esse nosso clima.
( ) Talvez a luz contı́nua e ofuscante tenha-me afetado a
visão.
( ) Ninguém retirara-se antes do encerramento do conclave.
( ) Tudo me parecia bem até que me alertaram do perigo
que corria.
( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divina
música.
( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza não mais ocorreriam.
A sequência correta de letras, de cima para baixo, é:
a) F, F, V, F, V, V
b) V, V, F, V, F, F
c) F, V, F, V, V, V
d) F, V, V, F, V, V
e) V, F, F, V, F, F
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Dos itens acima expostos estão corretos:
a) 1, 2 e 5
b) 3 e 4
c) 2 e 4
d) 4 e 5
e) todos estão certos
6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHE
não pode ser colocado depois do verbo CONTAR:
a) Desejo-lhe contar minha versão.
b) Prometeu não lhe contara verdade.
c) Não podemos lhe contar tudo.
d) Começou a lhe contar o ocorrido.
e) Tenho de lhe contar esse episódio.
Lı́ngua Portuguesa 06
Crase
Crase é fusão de duas vogais idênticas. Representa-se graficamente a crase pelo acento grave.
A crase pode ser representada nos casos:
a) A preposição a e os artigos a e as:
Há limites à tolerância humana.
b) A preposição a e os pronomes demonstrativos aquele(s),
aquela(s) e aquilo.
Permaneci indiferente àquele barulho.
c) A preposição a e aos pronomes demonstrativos a e as:
Sua opinião é semelhante à de Rogério.
3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correias e em seguida faça a adição dos valores a elas atribuı́dos:
01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilhéu. 02) Refirome àquele jovem poeta caçadorense. 04) Ele não queixa-se
nunca de seu trabalho. 08) Corri para ajudá-lo, quando o
vi à porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Letı́cia. 32)
Jamais te diria tamanha mentira!
Exercı́cios Complementares
4. (UEL-PR) Logo que você ......, é claro que eu ........ da
melhor maneira possı́vel, ainda que isso ........ o serviço.
a) me chamar; atendê-lo-ei; me atrase
b) chamar-me; atendê-lo-ei; atrase-me
c) me chamar; o atenderei; me atrase
d) me chamar; o atenderei; atrase-me
e) chamar-me; atenderei-o; atrase-me
5. (PUC-PR) Observe a colocação dos pronomes nas frases
abaixo:
1. Ela pode auxiliar-me.
2. Ela pode-me auxiliar.
3. Ela me pode auxiliar.
4. Ela veio ver-me.
5. Ela não quis vê-lo.
Outros casos
1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e
outra palavra que exija a preposição a:
Debate aponta risco à liberdade de expressão.
2. Nas locuções femininas:
• adverbiais:
Os deputados estão rindo à toa.
293
Lı́ngua Portuguesa – 06
• prepositivas:
Capitão América e Homem Aranha estão à beira
da falência.
• conjuntivas:
Os alimentos estocados foram vendidos à medida
que crescia o consumo.
Casos em que a crase NÃO ocorre
1. Diante de palavras masculinas, as quais não admitem
o artigo a:
O passeio foi feito a cavalo.
10. Diante da expressão Nossa Senhora e de nomes de santos:
Ela faz preces diárias a Nossa Senhora Aparecida.
Pense um Pouco!
Ao entrar bata a porta.
Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicador da crase?
Exercı́cios de Aplicação
2. Diante de verbos:
As crianças da favela são obrigadas a pedir esmolas.
3.
4.
5.
6.
1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de crase
onde for necessário:
Diante de nome de cidade:
a) ”Madalena foi a janela e esteve algum tempo debruçada,
Houve protestos na chegada do presidente a Recife.
olhando a rua.”(Graciliano Ramos, São Bernardo)
Observação: Se o nome da cidade vier acompanhado b) No inı́cio do século, muitos jogadores aluavam apenas por
de um adjetivo ocorre a crase:
amor a camisa.
c) Os bons treinadores de futebol costumam ser inflexı́veis
Vou frequentemente à antiga Ouro Preto.
quanto a disciplina de seus jogadores.
Diante de pronomes que não admitem artigo.
d) O Departamento de Trânsito recomenda cautela ao motorista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do
• pronomes pessoais:
ano no litoral.
Não dirigiu a palavra a nós.
e) ”Então eu perguntava a mim mesmo se alguma da• pronomes de tratamento:
quelas não teria amado alguém que jazesse agora no ceMandou dizer a Vossa Senhoria que não viria ao mitério.”(Machado de Assis, Dom Casmurro)
f) ”O padre saiu para o pátio, aspirou profundamente o
encontro marcado.
Observação: Emprega-se geralmente o acento ar, depois contemplou a estrada luminosa que atravessava a
indicados da crase diante dos pronomes senhora abóbada celeste de um lado a outro.”(José Saramago)
g) ”Qualquer lei nova é sujeita a crı́ticas.”(Walter Ceneviva,
e senhorita.
Folha de S. Paulo, 6/4/95)
• pronomes demonstrativos:
h) Qualquer lei nova é sujeita as crı́ticas dos membros do
É hora de dar um basta a essa barbárie.
Poder Judiciário.
• pronomes indefinidos:
2. (UEM-PR) Indicar o perı́odo em que você colocaria o
Não demonstravam seu sofrimento a ninguém.
acento grave, indicativo da crase:
• pronomes relativos:
a) Deu severas ordens a algumas relapsas.
Aquela é a senhora a quem apresentamos nossas b) Desobedeceram a Sua Excelência.
condolências.
c) Rogo as autoridades para que intervenham logo.
d) Com certeza, disse tudo a esta colega.
Diante da palavra casa quando não vier determinada e) De Vieira a Drummond, muitos vocábulos descansam em
por adjunto adnominal:
paz.
Quando cheguei a casa já tinham saı́do.
3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta:
Observação: Quando a palavra casa vier determinada
a) Preferia brincar do que trabalhar.
ocorre a crase.
b) Preferia mais brincar a trabalhar.
Chegamos à casa da cunhada.
c) Preferia brincar a trabalhar.
Diante da palavra terra, quando esta designar terra d) Preferia brincar à trabalhar.
e) Preferia mais brincar que trabalhar.
firme:
Os marinheiros chegaram a terra.
7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular:
O sucesso não deve conduzir a conclusões muito otimistas.
8. Nas locuções formadas por palavras repetidas:
Ficamos face a face com o inimigo.
9. Diante do artigo indefinido uma:
Os alunos não devem submeter-se a uma avaliação
como esta.
Exercı́cios Complementares
4. Preencha as lacunas com A ou À:
a) Em uma viagem ......... Itália, Godard conheceu Martin
Scorcese, de quem se tornaria grande amigo e colaborador.
b) Minha única chance de voltar ..... Europa seria ganhar a
bolsa de estudos oferecida pela Universidade de Haia.
c) Quando visitei ......Inglaterra, fiquei bastante decepcionado com o clima e a culinária.
294
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
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d) Retornei.........Brası́lia após ter sido derrotado em duas
eleições para deputado federal.
e) .... América que eu conheci não é esta que se vê por aı́
passando necessidade.
f) Após anos, o pintor Michelângelo voltou ....... Roma para
admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prestı́gio em
toda a Europa.
5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase
incorreta quanto ao acento indicativo da crase?
a) Uma mulher dá à luz sobre uma pia enquanto dinheiro
do SUS (Sistema Único de Saúde) é desviado para comprar
chope e salgadinhos.
b) Esse expediente levou à lastimável aprovação do IPMF.
c) À absoluta ineficiência do sistema de arrecadação, somase a má aplicação dos recursos públicos.
d) Na década de 70, a imagem externa do Brasil era frequentemente associada às denúncias de tortura.
e) A questão social continua prioritária demais para ser relegada à segundo plano.
6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal de
crase está empregado em todos os casos em que é necessário:
a) A famı́lia ficou à mercê do frio, a despeito do fogo que
estava a arder.
b) O vento entrava à vontade, restando a famı́lia a expectativa de que amanhecesse logo.
c) Falavam à beça, mas talvez não se entendessem à contento.
d) A cachorra ficou à porta, à olhar as brasas.
e) A falta de melhor expressão, recorriam à discursos
enérgicos.
Lı́ngua Portuguesa 07
Interpretação de Textos
(UDESC - 2005)
Toda lı́ngua tem seus mistérios, sua pele seu cheiro.
O que caracteriza a linguagem ”correta”? Não uso essa
expressão. Falo de adequação linguı́stica. É mais ou menos
como roupa. A gente usa de acordo com a situação. O ideal
seria que todos tivessem um guarda-roupa linguı́stico bem
recheado: ”roupa”para ir à festa, ao tribunal, à praia, ao
supermercado. Seria necessário que o sujeito tivesse domı́nio
da lı́ngua que usa no dia-a-dia, mas fosse também buscar as
variedades. Daı́ a função da escola, do Estado: prover as
pessoas do domı́nio das variedades formais da lı́ngua. Nós
somos um paı́s essencialmente monoglota. Não me refiro ao
conhecimento de lı́nguas estrangeiras, falo de poliglotismo
na mesma lı́ngua. O que é? É ser capaz de ler o editorial
do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho e de
conversar com a pessoa estranha. É ser capaz de ler um
clássico, ouvir um rap, ler o Almanaque, e por aı́ vai. O
grosso da população é monoglota: domina só a lı́ngua do
dia-a-dia. Põe o sujeito para ler um recado do banco, ele
não entende.
Pense um Pouco!
A alternativa que melhor resume a idéia central do texto é:
f) A lı́ngua padrão é formada por um conjunto de formas
consideradas como modo correto e socialmente aceitável de
falar ou escrever.
g) A adequação linguı́stica é como um guarda-roupa bem variado, quanto às formas linguı́sticas e revelador, ao mesmo
tempo em que revela a classe social à qual se pertence.
h) É função da escola e do Estado prover as pessoas dos
domı́nios das variedades formais da lı́ngua.
i) O falante brasileiro é monoglota, por não ter o conhecimento de lı́nguas estrangeiras.
j) A adequação linguı́stica se dá quando o falante é capaz
de ler editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com
o vizinho e de conversar com uma pessoa estranha.
Exercı́cios de Aplicação
1. Assinale a alternativa que reafirma a idéia de que quem
sabe fazer uso da adequação linguı́stica é poliglota.
a) A idéia de poliglotismo está associada ao conhecimento
de várias lı́nguas estrangeiras que são faladas em algumas
regiões do paı́s.
b) Quem domina apenas a lı́ngua que se usa no dia-a-dia,
não terá dificuldades para ler e produzir um texto em lı́ngua
padrão.
c) O falante que tem envolvimento múltiplo nas relações
sociais geralmente possui um guarda-roupa linguı́stico bem
recheado.
d) A atividade educacional não é coordenada de forma devida pelo Estado; por isso, somos um paı́s essencialmente
monoglota.
e) Buscar as variedades da lı́ngua é o mesmo que saber usar
a roupa adequada à situação, é saber que há uma variedade
linguı́stica.
2. Em relação ao trecho: ”O grosso da população é monoglota: domina só a lı́ngua do dia-a-dia. Põe o sujeito para
ler um recado do banco, ele não entende.”(linhas 10 a 12),
é INCORRETO afirmar:
a) a palavra só é um recurso linguı́stico indicador de ênfase.
b) a flexão do verbo pôr foi usada com o sentido de depararse.
c) o pronome ele é o termo referente ao sujeito.
d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador de quantidade.
e) a palavra só indica isolamento.
295
Lı́ngua Portuguesa – 08
3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme a
afirmação seja verdadeira ou falsa.
( ) Quem é capaz de ler um clássico, ouvir um rap, ler o
Almanaque é poliglota.
( ) O grosso da população é monoglota, porque domina
somente um dialeto.
( ) De acordo com o autor, não existe linguagem correta,
porque as lı́nguas são um conjunto variado de formas
linguı́sticas e cabe ao falante adequar seu uso às diferentes
situações de fala.
( ) A escola não tem cumprido seu papel; por isso, não
conseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA, de cima para baixo.
a) V - F - F - F
b) V - F - V - F
c) F - V - F - V
d) V - V - F - V
e) V - F - F - V
Exercı́cios Complementares
Texto para os testes de 01 a 03.
Vai então, empacou o jumento em que eu vinha montado;
fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais três, enfim
mais um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre,
que o pé esquerdo me ficou preso no estribo; tento agarrarme ao ventre do animal, mas já então, espantado, disparou
pela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente
deu dois saltos, mas um almocreve, que ali estava, acudiu
a tempo de lhe pegar na rédea e detê-lo, não sem esforço
nem perigo. Dominado o bruto, desvencilhei-me do estribo
e pus-me de pé.
5. Em ”...mas já então, espantado, disparou pela estrada
fora.”e ”...contundia-me deveras...”, as palavras destacadas
indicam, respectivamente:
a) conclusão e constatação;
b) tempo e afirmação;
c) modo e constatação;
d) conclusão e consequência;
e) tempo e dúvida.
6. Assinale a alternativa em que a palavra que está empregada de forma diferente das demais:
a) ”...empacou o jumento em que eu vinha montado...”;
b) ”...enfim mais um, que me sacudiu fora da sela...”;
c) ”...com tal desastre, que o pé esquerdo me ficou preso no
estribo...”;
d) ”...eu sentia-o no sangue que me agitava o coração;
e) ”...mas porque era uma recompensa digna da dedicação
com que ele me salvou.”
Lı́ngua Portuguesa 08
Sinônimos, Antônimos e etc.
Sinônimos
Vocábulos que apresentam significado básico comum.
Exemplos
olhar = ver = mirar = observar;
belo = bonito = lindo;
honestidade = probidade.
— Olhe do que vosmecê escapou, disse o almocreve. E era
verdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras, e não sei se a morte não estaria no fim do desastre;
cabeça partida, uma congestão, qualquer transtorno cá dentro, lá se me ia a ciência em flor. O almocreve salvara-me
talvez a vida; era positivo; eu sentia-o no sangue que me
agitava o coração. Bom almocreve! Enquanto eu tornava
à consciência de mim mesmo, ele cuidava de consertar os
arreios do jumento, com muito zelo e arte. Resolvi dar-lhe
três moedas de ouro das cinco que trazia comigo; não porque tal fosse o preço da minha vida - essa era inestimável; Antônimos
mas porque era uma recompensa digna da dedicação com
Vocábulos que apresentam significados opostos.
que ele me salvou. Está dito, dou-lhe as três moedas.
Machado de Assis, Memórias Póstumas de Brás Cubas.
4. Assinale a alternativa em que se estabelece relação de
causa e efeito:
a) ”Vai então, empacou o jumento em que eu vinha montado”;
b) ”...justifiquei-o, ele deu dois corcovos, depois mais três,
enfim mais um...”;
c) ”...que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o
pé esquerdo me ficou preso no estribo”;
d) ”Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos...”;
e) ”O almocreve salvara-me talvez a vida...”
Exemplos
grandeza × pequenez;
feliz × infeliz;
probidade × improbidade;
honestidade × desonestidade;
higiênico × anti-higiênico.
Parônimos
Vocábulos semelhantes na escrita e na pronúncia e que
têm significados diferentes.
296
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Exemplos
Flagrante (no ato) – fragrante (perfumado);
ratificar (confirmar) – retificar (corrigir);
vultoso (importante, de grande vulto) - vultuoso (inchado).
Homônimos
Palavras que têm a mesma pronúncia ou grafia, mas
com significados diferentes. Dividem-se em:
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d) As cenas são centenárias, bem como centenária é a
peça teatral.
e) Os grandes homens são avaliados por grandes ações.
3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentes significados, de acordo com sua função na frase. Assinale
a alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que se
verifica na frase a seguir.
Aos poucos, as idéias iam ficando mais claras, mesmo que
ainda sentisse fortes dores de cabeça e no corpo.
• Homógrafos - Heterófonos: possuem mesma escrita
e pronúncia diferente.
a) Escute! Há mesmo necessidade de você vir?
b) Não quero ser o mesmo que você.
o ele (letra L) - ele chegou;
c) Irá assim mesmo.
o controle - talvez controle.
d) Não percebeu nada, mesmo estando atento.
• Homófonos - Heterógrafos: possuem mesma e) Não, mesmo! Fique aı́!
pronúncia e grafia diferente.
cessão (ato de ceder) - sessão (reunião);
chácara (quinta) - xácara (narrativa).
• Homógrafos - Homófonos (ou homônimos perfeitos): possuem mesma grafia e pronúncia.
o mato - eu mato;
cedo (verbo ceder) - cedo (advérbio).
Pense um Pouco!
Exercı́cios Complementares
4. (UDESC-2005) A árvore caiu, embora estando bem
presa ao chão.
Vou agradecer-lhe a ajuda, logo que possa sair.
Não demonstrava, mas amava o filho.
Buscava um lugar silencioso para que pudesse pensar.
As palavras e expressões em negrito podem ser substituı́das,
sem alteração de estrutura e sentido da frase, respectivaO lobo mal atacou a vovozinha ...
mente, por:
Mandei meus sapatos para o concerto
a) mesmo – assim que – haja vista – a fim de que
A cessão responsável pela produção deste produto fica no b) apesar que – assim que – ou – onde
final do corredor.
c) apesar de que – quando – logo – afim de que
d) mesmo que – ao – portanto – em que
Quais os erros nas frases acima?
e) mesmo – assim que – entretanto – a fim de que
Exercı́cios de Aplicação
5. Complete as lacunas com uma das palavras colocadas
nos parênteses:
a) Os pais agiram com muita ............
.
(discrição/descrição)
b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (retificar/ratificar)
c) O chefe dos sequestradores exigiu do empresário uma
quantia ............. (vultuosa/vultosa)
d) O ............. orador conseguiu convencer a multidão de
ouvintes. (eminente/iminente)
e) Como ............. uma das leis de trânsito, ele acabou recebendo uma pesada multa. (infringisse/infligisse)
f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (tachado/taxado)
g) Perdi .............
da minha conta bancária.
(estrato/extrato)
1. A hora da verdade está ....... Aproveite-a.
Os familiares estão de acordo com a ...... dos bens.
É hora de ..... o fogo, pois o frio está próximo.
O fato passou ..... até o momento. Os faltosos foram pegos
em ......
A alternativa que preenche corretamente, e em sequência,
as lacunas das frases acima é:
a) iminente – cessão – acendermos – despercebido – flagrante.
b) Eminente – sessão – acendermos – desapercebido – fragrante.
c) Eminente – cessão – ascendermos – despercebido – fragrante.
d) Iminente – sessão – ascendermos – desapercebido – fla6. Preencha as lacunas com ante ou anti:
grante.
a) Há um número cada vez maior de pessoas que toe) n. d. a.
mam ....... depressivos e de médicos que recomendam esses
2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negrito remédios. (Jornal do Comércio)
apresentam sentidos diferentes é:
b) Luiz Mott faz crı́ticas à nova lei ......-racismo. (Jornal do
a) Os velhos estão assistindo à reedição de velhos hábitos. Comércio)
b) Os românticos atuais divergem dos românticos cen- c) As tumbas egı́pcias eram constituı́das de uma
tenários.
.......câmara, onde as oferendas eram depositadas, e outras
c) Os velhos casarões situam-se ao lado do velho super- salas e corredores que davam acesso a uma câmara funerária
mercado.
subterrânea. (Globo Ciência)
297
Lı́ngua Portuguesa – 09
7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando:
(A) para sinônimos
(B) para antônimos
(C) para parônimos
(D) para homógrafos - homófonos (ou homônimos perfeitos)
(E) para homógrafos - heterófonos
(F) para homófonos - heterógrafos
• Simples: constituı́do por uma só palavra.
• Composto: constituı́do por mais de uma palavra.
• Coletivo: designa uma reunião de seres de uma
mesma espécie.
Flexão do Substantivo
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
f) (
) apressar – apreçar
) eminente – iminente
) ódio – amor
) asco – nojo
) a água – ele água
) o acordo – eu acordo
Gênero
Masculino e Feminino.
Formação do feminino pode ser:
Regular: terminação em A. Exemplo: garoto – garota.
Irregular: sem regra. genro – nora
8. Complete os espaços com há ou a de acordo com o exigido
pela frase:
a) Daqui.........três semanas ele virá trazer o material que Número
lhe encomendamos.
Singular e plural (acrescido S).
b) ........seis dias que ele tem faltado ao trabalho.
c) .......meses que eu não a vejo por aqui.
d) Daqui....... Ribeirão Preto, são 300 km.
Plural dos Substantivos Compostos
9. Empregue mal ou mau de acordo com o exigido pela
frase:
a) .......ela chegou, começou a gritar com as crianças.
b) O ........ pagador sempre arrumas suas desculpas.
c) Ele nunca se comportou tão .........
Lı́ngua Portuguesa 09
Classes de Palavras
Variáveis
Substantivo
Adjetivo
Artigo
Numeral
Pronome
Invariáveis
Advérbio
Preposição
Conjunção
Interjeição
Verbo
• Ambos os elementos variam.
Quando os dois são variáveis (substantivo, adjetivo,
numeral). Eexemplo: Terça feira; terças feiras.
• Apenas o primeiro elemento varia.
Substantivo composto ligado por uma preposição.
Exemplo: pé de moleque; pés de moleque.
• Apenas o segundo elemento varia.
Quando o primeiro for verbo. Exemplo: beija-flor;
beija-flores.
Quando o primeiro elemento for uma palavra invariável
ou prefixo. Exemplo: ex-aluno; ex-alunos.
Quando for palavra repetida. Exemplo: quero-quero;
quero-queros.
Grau
Substantivo
• Normal: homem, casa.
É a palavra que nomeia tudo o que existe (seres, ações,
sentimentos, estados).
• Aumentativo: casarão, homenzarrão.
• Diminutivo: casebre, homúnculo.
Classificação
• Comum: denomina todos os seres de uma mesma
espécie.
• Próprio: denomina um ser em particular, cidade, pessoas, ruas.
• Concreto: denomina coisas palpáveis.
Artigo
É a palavra que antepõe ao substantivo para defini-lo ou
indefini-lo ao mesmo tempo indicar o gênero: masculino ou
feminino, e o número: singular ou plural.
• Abstrato: denomina qualidades/defeitos, sentimentos/sensações.
• Definido: determinam, tornam único o substantivo.
São: a, o, as, os.
• Primitivo: não é formado a partir de outra palavra.
• Indefinido: generalizam, tornam vago o substantivo.
São: um, uma, uns, umas.
• Derivado: é formado a partir de outra palavra.
298
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Adjetivo
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Classificação
São palavras que expressão qualidades ou caracterı́sticas
de seres e objetos. Exemplo: Os dedicados alunos obtiveram
excelentes notas no teste.
• Cardinais: indicam quantidades.
quatro, mil.
Locução Adjetiva
• Multiplicativos: exprimem multiplicação de uma certa
quantidade. Exemplo: dobro, triplo.
Expressão formada, em geral, por preposição + substantivo
que equivale a um adjetivo. Exemplo: amor de filho; amor
filial.
Exemplo: dois,
• Ordinais: indicam posição que um ser ocupa em uma
sequência. Exemplo: segundo, quarto.
• Fracionários: indicam a divisão de uma quantidade.
Exemplo: dois terços, metade.
Flexão dos Adjetivos
Pense um Pouco!
Gênero
Como escrevo segunda feira no plural? Acrescento “s”nos
dois substantivos ou em nenhum? Como faço?
• Uniformes: apenas uma forma. Exemplo: amigo leal;
amiga leal.
• Biformes: duas formas. Exemplo: homem ativo; mulher ativa.
Exercı́cios de Aplicação
1. (UDESC) Assinale a alternativa correta. Em Florianópolis é uma das mais progressivas cidades catarinenses
há:
a) 3 substantivos, 1 artigo, 1 numeral e 1 adjetivo;
b) 2 substantivos, 1 artigo, 1 advérbio e 2 adjetivos;
c) 3 substantivos, 1 numeral, 2 adjetivos;
d) 2 substantivos, 2 artigos, 1 advérbio;
e) 3 substantivos, 2 artigos, 1 adjetivo e 2 numerais.
Número
• Singular. Exemplo: feroz.
• Plural. Exemplo: ferozes.
Grau
2. (UDESC) Assinale a alternativa em que todas as palavras
pertencem à mesma classe gramatical.
a) arroz,sol,três,nuvem,
• Igualdade. Exemplo: Pedro é tão inteligente quanto b) quatro, terceiro,primeiro,Joinville
José.
c) Deus, arvore, carro, azul
d) a,o,as,aquele
• Inferioridade. Exemplo: Pedro é menos inteligente
e) felicidade,imperfeito, graciosa,paupérrima
do que José.
COMPARATIVO
3. Indique a frase incorreta.
a) Eu almoçarei na sua casa todas as quartas feiras
b) Eu comprei duas couves flores por preço de banana
• Superioridade Sintética. Exemplo: Pedro é maior c) O ladrão forçou a porta com pés de cabras
do que José.
d) Meu Exemplo-professor de Educação Fı́sica ganhou a
campeonato de natação
e) Tenho um jardim repleto de bocas de leões
SUPERLATIVO
• Superioridade Analı́tica. Exemplo: Pedro é mais
inteligente do que José.
• Absoluto Analı́tico. Exemplo: Pedro é muito inteligente.
• Absoluto Sintético.
gentı́ssimo.
Exemplo:
Pedro é inteli-
Lı́ngua Portuguesa 10
Verbo
• Relativo de Superioridade Analı́tico. Exemplo: É a palavra que exprimindo ação ou apresentando estado
Pedro é o mais inteligente de todos.
ou mudança de um estado para outro, pode fazer indicações
• Relativo de Inferioridade. Exemplo: Pedro é o me- de pessoa, numero, tempo e voz.
nos inteligente de todos.
Conjugações
Numeral
• 1a conjugação: terminada em ar. Exemplo: amar, sonhar, viajar.
É toda palavra que exprime quantidade, lugar numa série,
múltiplo ou fração.
• 2a conjugação: terminada em er. Exemplo: beber,
ceder, ser.
299
Lı́ngua Portuguesa – 11
• 3a conjugação: terminada em ir. Exemplo: unir, despir, parir.
2. Passiva: quando o sujeito sofre a ação praticada pelo
verbo.
• 4a conjugação: terminada em or. Exemplo: compor,
dispor, opor.
Exemplo: O grevista foi ferido pelo soldado. O grevista
é agente da passiva, sofreu a ação do verbo. A voz
passiva ë constituı́da na maioria dos casos com o verbo
principal mais o auxiliar, o particı́pio.
Flexão Verbal
3. Reflexiva: pratica e sofre a ação do verbo.
O verbo pode variar em:
Exemplo: O soldado feriu-se (ele mesmo praticou a
ação e sofreu a consequência da pratica).
• Número: singular ou plural.
• Pessoa: primeira, segunda ou terceira.
• Tempo: presente, passado ou futuro.
• Modo: indicativo, subjuntivo ou imperativo.
• Voz: passiva, ativa ou reflexiva.
• Infinitivo: caracteriza-se pela terminação em
“R”.
Exemplo: coar, vender, supor.
• Gerúndio:
caracteriza-se pela terminação
“NDO”.
Exemplo: coando, vendendo, supondo.
Modos Verbais
Modo Indicativo
Atitude de certeza.
Tempo
Presente
Pretérito imperfeito
Pret. perfeito simples
Pret. perfeito composto
Pret. mais que perfeito simples
Pret. mais que perfeito composto
Futuro do presente
Futuro do pretérito
Exemplo
Eu ando
Eu andava
Eu andei
Eu tinha andado
Eu andara
Eu havia andado
Eu andarei
Eu andaria
• Particı́pio: caracteriza-se na maioria dos casos
pelas terminações, “ADO”, “IDO” e “OSTO”.
Exemplo: coado, vendido, suposto.
Pense um Pouco!
• Por que na forma imperativo negativo o verbo recebeu
s no pronome tu?
Exercı́cios de Aplicação
Modo Subjuntivo
Atitude de hipótese.
Tempo
presente
Pretérito imperfeito
Pretérito perfeito composto
Pret. mais que perfeito composto
Futuro simples
Futuro composto
1. Assinale a alternativa em que as palavras sublinhadas
não se caracterizam ”agente ativo”.
Exemplo
a) A carruagem parou ao pé de uma casa amarela.
Que eu ande
b) Sônia estava no quintal da casa quando os cães a atacaSe eu andasse
Que eu tenha andado ram.
Se eu tivesse andado c) Eu rasguei o livro.
d) Os bombeiros apagaram um incêndio ocorrido no HospiQuando eu andar
tal
Quando eu tiver andado Municipal.
e) Roberto Carlos cantou no Olı́mpia para um publico de
10 mil pessoas.
Modo Imperativo
Atitude de ordem.
Tempo
Imperativo afirmativo
Imperativo negativo
Formas Nominais
Exemplo
Anda (tu), ande (você)
Não Andes (tu) não ande (você)
Vozes dos Verbos
Voz é a forma assumida pelo verbo de indicar relação entre
ele e o sujeito. Divide-se em três tipos:
2. Na frase “Mas homem de Deus, que Diabo! Pense um
pouco! Você ali não pode construir nada”.(Aluisio de Azevedo, O cortiço). A frase foi construı́da no modo indicativo.
Qual foi a intenção do autor?
a) convite
b) conselho
c) súplica
d) ordem
e) pedido
3. Assinale a frase em que não apresenta o modo indicativo
do verbo.
1. Ativa: é quando o sujeito da oração pratica a ação a) Você escreveu a carta
emitida pelo verbo.
b) Tu ajudarás o mais inexperientes
Exemplo: O soldado feriu o grevista. O soldado é c) Tu voltarás logo
o agente ativo, ou seja, pratica a ação expressa pelo d) Se eu falasse a lı́ngua de todas as etnias
e) Vós escrevereis o resumo.
verbo.
300
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Lı́ngua Portuguesa 11
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Classificação
• Aditivas: e, nem, mas também, senão.
Advérbio
• Adversativas: mas, porém, todavia, contudo.
Palavra que modifica o verbo, o adjetivo ou outro advérbio,
acrescentando-lhes uma circunstância.
Exemplos: O trem partiu ontem. A mulher ficou muito
nervosa.
• Alternativas: ou..., ou, ora...., ora, quer...., quer
• Conclusivas: portanto, logo, pois, por isso, por conseguinte.
• Explicativas: que , por que, pois.
Pense um Pouco!
Conjunções Subordinativas
Qual é a diferença entre advérbio e locução adverbial?
Ligam duas orações dependentes.
Exemplo: Falei com o professor quando cheguei a escola.
Os advérbios ou as locuções adverbiais são classificados de
acordo com as circunstâncias expressas:
Classificação
• Lugar: aqui, lá, ali, acolá, à direita, à esquerda, atrás,
em cima, longe,
• Tempo: hoje, ontem, amanhã, brevemente, atualmente,
• Modo: bem, mal, assim, depressa, devagar,
• Afirmação: sim, certamente, sem dúvida, com certeza,
• Condicionais: se, acaso, desde que, contato que, a
menos que.
• Conformativas: conforme, segundo, como.
• Concessivas: embora, ainda que, menos que.
• Consecutivas: que, após, tanto, tão.
• Comparativa: como, que, quanto.
• Negação: não, absolutamente, de modo algum, de
jeito nenhum,
• Finais: a fim, que, para que.
• Intensidade: muito, mais, menos, ainda, bastante,
demais,
• Causais: por que, que, como.
• Dúvida: talvez, acaso, porventura, provavelmente.
Preposição
• Temporais: quando, logo que, depois que.
• Proporcionais: à medida que, quanto mais, quanto
menos, etc.
Interjeição
Palavra que liga duas outras estabelecendo entre elas certas È a palavra invariável que expressa emoção ou sentimento
relações de sentido e de dependência.
repentino.
Exemplos: O carro de Ronaldo é preto. A canela estava
sobre a mesa.
Classificação
Principais Preposições
A
Em
Sob
Com
Trás
De
Sem
Após
Para
Por
Até
Entre
Perante
Ante
Desde
Sobre
contra
Conjunção
Palavra que liga orações ou termos da oração.
Conjunções Coordenativas
Ligam orações independentes.
Ex: A noite choverá muito, portanto devo levar um guarda
chuva ao trabalho.
• Advertência: alerta!, cuidado!
• Afugentamento: fora!, rua!
• Alegria: ah!, olá!
• Alivio: ufa!
• Animação: coragem!, avante!
• Apelo: alo!, psiu!
• Aplauso: apoiado!, baixo!, bravo!
• Aversão: xi! ih!
• Cessão: basta!, chega!
• Desejo: Oxalá!, pudera!
• Dor: ai!, ui!
• Admiração: ué!, uai!
301
Lı́ngua Portuguesa – 11
Pronome
È a palavras que substitui ou acompanha o substantivo,
definido os limites de significação.
Exemplo: Meu irmão comprou um livro, mas não o leu.
Classificação
1. Pronomes Pessoais: representam as três pessoas gramaticais: primeira, segunda e terceira.
• Reto: sujeito
Reto
eu
tu
ele, ela
nós
vós
eles, elas
Oblı́quo
me, mim, comigo
te, ti, contigo
se,si, consigo, o, a ,lhe
nós, nos, conosco
vós, vos, covosco
se, si, consigo, os, as,lhes
2. Pronome Possessivo: indicam posse.
Pronome Possessivo
Meu minha
Nosso nossa
Teu tua
Vosso vossa
Se sua
Seus suas
Exemplo: Minha calça rasgou.
3. Pronome Demonstrativo
variáveis
Este (s), esta(s)
Esse(s), essa(s)
Aquele(s), aquela(s)
4. Pronome Indefinido
Invariáveis
isto
isso
aquilo
Invariáveis
Que
Quem
Onde
Exemplos: A casa foi demolida. A casa tinha portas
verdes. A casa, cujas portas eram verdes foi demolida.
7. Pronome de Tratamento: trato familiar, cortes, cerimonioso.
• O senhor, a senhora: tratamento cerimonioso.
Exem plo: Gostaria de falar com você para lhe contar
a verdade
Pronome Pessoal
eu
nós
tu
vós
ele
eles
variáveis
O qual, a qual, as quais, os quais
Cujo, cujas, cujo, cuja
Quanto, quanta, quantos, quantas
• Você: tratamento familiar
• Oblı́quo: complemento
Pessoa
1o singular
2o singular
3o singular
1o plural
2o plural
3o plural
6. Pronome Relativo: são aos que se referem a um substantivo anterior a eles, substituindo o na oração seguinte.
• Vossa alteza: (V. A): prı́ncipes, duques.
• Vossa Eminência: cardeais
• Vossa Excelência: altas autoridades
• Vossa Magnificência: reitor de universidade
• Vossa Majestade: reis
• Vossa Santidade: papas
• Vossa Senhoria: tratamento geral Cerimonioso
• Vossa Reverendı́ssima: sacerdote
Exemplo: Esperamos, Sr. Ministro, que Vossa Excelência tenha apreciado o esforço da nossa equipe.
Exercı́cios de Aplicação
Revisão das aulas 9 a 12.
1. (Acafe) A alternativa em que o comentário entre
parênteses é FALSO, quanto ao termo destacado, é:
a) O barulho perturba-me o raciocı́nio.(substitui meu).
b) O pior cego é o que não vê.(pode ser substituı́do por
Indicam algo
aquele).
perto de quem falac) Não lhe tinham dito nada.(pode ser substituı́do por a ele
perto de quem ouveou a ela).
longe de ambos d) ”Cão que ladra não morde”.(substitui a palavra cão).
e) Aquele menino, vi-o ontem.(refere-se a aquele).
2. (ACAFE) ”..... ouvi no rádio a canção que fiz para .........
• Variáveis: algum, nenhum, todo, muito, pouco, , ..... chorei.”
a) Derrepente – ti – porisso
certo, outro, tanto, vários, bastante, qualquer.
b) De repente – ti – por isso
• Invariáveis: algo, alguém, nada, ninguém, tudo, c) De repente – tu – por isso
cada, outrem, quem.
d) Derrepente – tu – por isso
e) De repente – tu – porisso
Exemplo: Alguém falava de flores.
3. (ACAFE) Assinale a alternativa em que a partı́cula SE
é conjunção subordinativa condicional.
a)
Não sei se todos vocês ficaram satisfeitos.
Observação
b) Não se deixe iludir por valores passageiros.
Não existe “menas”. Ex. “Cada dia vejo menas casas c) Vendem-se pedras cortadas.
d) O deputado costuma se dar muito valor.
por aqui!”
e) Vou buscá-lo se meu pai emprestar o carro.
5. Pronome Interrogativo: usado para indagação
4. Era para ....... falar ........ ontem, mas não ........ enconQue, quem, qual, quais, quantos, quantas.
trei em parte alguma.
a) mim – consigo – o
Exemplo: Qual será a reação dele?
302
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
b) eu – com ele – lhe
c) mim – consigo – lhe
d) mim – contigo – te
e) eu – com ele – o
5. (UDESC) Assinale a alternativa que contém a junção
das duas orações apresentadas num só perı́odo, usando um
pronome relativo.
— Esta é Ana.
— Eu posso contar com a colaboração de Ana.
a) Esta é Ana, com quem eu posso contar com a colaboração
dela.
b) Esta é Ana, cuja colaboração eu posso contar.
c) Esta é Ana, a qual eu posso contar com sua colaboração.
d) Esta é Ana, com cuja colaboração eu posso contar.
e) n. d. a.
6. (UDESC) É necessário que inicialmente eles ...........os
ânimos dos espectadores.
Mesmo nos dias atuais, muitos paı́ses ainda............arsenais
nucleares.
Seus atos inconsequentes..........constantemente na tranquilidade da famı́lia.
Ele não.............comparecer à reunião, pois se encontrava
acamado.
Os bondosos filhos, um conjunto de qualidades sólidas,........
a casa dos velhos pais do necessário.
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a) eu provi minha despensa com tudo que é necessário.
b) se a lei predizer os casos com clareza, a interpretação
será mais fácil.
c) os guardas deteram durante 15 minutos.
d) ele nunca nomea as pessoas que denuncia.
e) n. d. a.
10. Dentre as frases abaixo, todas em linguagem coloquial,
a alternativa que emprega as palavras em negrito CORRETAMENTE, é:
a) Gosto dessa profissão, onde posso ampliar meus conhecimentos tecnológicos,
b) Por favor, já disse para você que você não serve para
mim namorar,
c) Os livros que trouxemos para tu leres servirão para a
leitura do vestibular,
d) Quando ele ter disponibilidade de tempo, poderá fazer
o curso,
e) Esses ingredientes do bolo não servem para mim faze-lo.
11. (UDESC) Assinale a alternativa em que o verbo foi
grafado de maneira errada.
a) Eles insinuaram sobre o fato e nós nos precavemos contra
essas atitudes,
b) Os estudantes reivindicam seus direitos na última assembléia,
c) Vamos demolir a tua maquete,
d) Se o vires, pede para entrar em contato conosco urgenA alternativa que preenche CORRETAMENTE, e em temente,
sequência, as lacunas das frases acima é:
e) Nós iremos ao cinema amanhã.
a) Apaziguem - mantêm - intervêm - pôde - proveem.
b) Apazigúem - mantém - intervêm - pôde - provêm.
c) Apaziguem - mantém - intervém - pode - provêm.
d) Apaziguem - mantém - intervém - pode - proveem.
e) n. d. a.
Lı́ngua Portuguesa 12
7. Selecione a sequência adequada para preencher as frases
seguintes:
I) Nós não concordamos em perdoá-lo da infração para não
se ........ precedentes.
II) Faça aquilo que melhor lhe ........
III) Poderemos colaborar na campanha se você não se .........
IV) Impostos excessivos ........ o povo contra o governo.
V) Ele ........ na questão da influência do mundo virtual na
mundo real.
a) Abrir, convir, opor, indispõe, interviu.
b) Abrirem, convier, opuser, indispõem, interveio.
c) Abrirem, convier, opuser, indispõem, interveio.
d) Abrir, convier, opor, indispõem, interviu.
e) Abrir, convir, opuser, indispõe , interveio.
Interpretação de Texto
Pense um Pouco!
Para falar e escrever bem é preciso, além de conhecer o
padrão formal da lı́ngua Portuguesa, saber adequar o uso
da linguagem ao contexto discursivo. Que discurso está descrito no texto abaixo? Vamos ler?
Leia o texto ”Aı́, galera”, de Luı́s Fernando Verı́ssimo. No
texto, o autor brinca com situações do discurso oral que foge
à expectativa do ouvinte.
Aı́, galera.
8. Indique a alternativa CORRETA quanto à classificação
das palavras sublinhadas nesta proposição.
”Todo o mundo precisa, quer dinheiro, o pobre para enganar a miséria, o rico para ficar riquı́ssimo, o pecador para
satisfazer seus desejos, o santo para as suas caridades.”
a) Adjetivo, adv.de modo, verbo infinitivo impessoal.
b) Substantivo, conjunção, verbo na forma rizotônica.
c) Advérbio, adjetivo, verbo futuro do pretérito.
d) Pronome, interjeição, adv.de companhia.
e) Substantivo, substantivo, verbo infinitivo pessoal.
Jogadores de futebol podem ser vı́timas de estereotipacão. Por exemplo, você pode imaginar um
jogador de futebol dizendo ”estereotipação”? E,
no entanto, por que não?
9. A frase em que a forma verbal, em negrito, está corretamente empregada é:
– Aı́, galera.
– Aı́, campeão. Uma palavrinha pra galera.
– Minha saudação aos aficionados do clube e aos
demais desportistas, aqui presentes oi no recesso
dos seus lares.
– Como é?
– Quais são as instruções do técnico?
303
Lı́ngua Portuguesa – 13
– Nosso treinador vaticinou que, com um trabalho de contenção coordenada, com energia otimizada, na zona de preparação, aumentam as probabilidades de recuperado o esférico, concatenarmos
um contragolpe agudo com parcimônia de meios
e extrema objetividade, valendo-nos da desestruturação momentânea do sistema oposto, surpreendido pela reversão inesperada do fluxo da ação.
–Ahn?
– É pra dividir no meio e ir pra cima pra pegá
eles sem calça.
– Certo, você quer dizer mais alguma coisa/?
– Posso dirigir uma mensagem de caráter sentimental, algo banal, talvez mesmo previsı́vel e piegas, a uma pessoa a qual sou ligado por razões,
inclusive, genéticas?
– Pode.
– Uma saudação para minha progenitora
– Como é?
– Alô mamãe!
– Estou vendo que você é um, um...
– Um jogador que confunde o entrevistador, pois
não corresponde a expectativa de que o atleta
seja um ser algo primitivo com dificuldade de expressão e assim sabota a estereotipação?
– Estere... o quê?
– Um chato?
– Isso?
também uma inadequação da linguagem usada ao contexto:
a) ”O carro bateu e capoto, mas num deu pra vê direito”(um
pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que
vai passando).
b) ”E aı́, o meu! Como vai essa forca?”(um jovem que fala
a um amigo)”.
c) ”Só um instante”. Eu gostaria de fazer uma observação
”. (alguém comenta em uma reunião de trabalho)”.
d) ”Venho manifestar meu interesse em candidatar - me ao
cargo de Secretária Executiva desta conceituada empresa”.
(alguém que escreve uma carta candidatando - se a um emprego).
e) ”Porque se a gente não resolve as coisas como tem que
ser, a gente corre o risco de termos, num futuro próximo,
muito pouca comida nos lares brasileiros-- um professor universitário em um congresso internacional.
4. (UFES) ”Mas que significam as palavras? Que significam, na verdade, as palavras? Que significa a palavra verdade, a palavra mentira ou a palavra amor?”A afirmativa
incorreta em relação ao conceito de literatura é:
a) literatura é linguagem carregada de significado.
b) no texto literário, as palavras possuem predominantemente o sentido denotativo.
c) em literatura, cada palavra tem mil faces secretas sob a
face neutra.
d) O texto literário é plurissignificativo, passı́vel de várias
interpretações.
e) A linguagem literária e predominantemente conotativa e
metafórica.
Lı́ngua Portuguesa 13
Exercı́cios de Aplicação
Textos e Linguagens
1. A expressão ”pegá eles sem calça”poderia ser substituı́da, sem comprometimento de sentido, em lı́ngua culta
formal, por:
a) pegá-los na mentira.
b) pegá-los desprevenidos.
c) pegá-los em flagrantes.
d) pegá-los rapidamente.
e) pegá-los momentaneamente.
2. O texto relata duas situações que fogem a expectativa
do público. São elas:
a) a saudação do jogador aos torcedores do clube, no inicio
da entrevista, e a saudação final dirigida a sua mãe.
b) linguagem muito formal do jogador, inadequada a situação da entrevista, e um jogador que fala, com desenvoltura, de modo muito rebuscado.
c) o uso da expressão ”galera”por parte do entrevistado, e
da expressão ”progenitora”por parte do jogador.
d) o desconhecimento, por parte do entrevistador, da palavra ”estereotipação”, e a fala do jogador em ”é pra dividir
no meio e ir pra cima pra pegá eles sem calça”.
e) o fato de os jogadores de futebol serem vitimas de estereotipação e o jogador entrevistado não corresponder ao
estereótipo.
3. O texto mostra uma situação em que a linguagem usada
é inadequada ao contexto. Considerando as diferenças entre lı́ngua escrita e falada, assinale a opção que representa
Narração - personagem em ação
A narração consiste em contar um fato, uma história, um
acontecimento real ou imaginário [ficção]. Na narração aparecem personagem em ação, com caracterı́sticas próprias,
em circunstâncias de tempo e espaço. A maioria dos textos
narrativos expressa ação, movimento. E frequente o uso de
diálogos com as falas das personagens.
As linguagens narrativas são várias:
• verbal: oral ou escrita;
• teatral: em quadrinhos ou sequências de desenhos,
fatos que contam uma história.
O desenvolvimento dos fatos se da pelas ações das personagens. No desenrolar dos acontecimentos geralmente há
um ponto culminante, chamado clı́max, em que a história
atinge seu momento de maior interesse e dramaticidade. O
desfecho finaliza a história.
Foco Narrativo – ponto de vista
O narrador pode enfocar a história (os fatos) de dois modos:
1. como personagem: narrador participando dos acontecimentos;
304
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
2. como observador: apenas relatados os fatos.
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Nur na Escuridão
O autor
Descrição – retratando a realidade
Descrever é fazer um retrato, uma imagem, de pessoas, lugares, animais, objetos. A boa descrição procura dar ao
ouvinte ou leitor a impressão de estar presenciando o que
está sendo escrito.Uma descrição pode apresentar os aspectos gerais visão global ou particulares, chamando a atenção
sobre os detalhes. Quando descrevemos personagens, podemos evidenciar os aspectos fı́sicos ou psicológicos ou, ainda,
combinar os dois.
Roteirista, jornalista, editor de livros, crı́tico literário, Salim
Miguel teve seu ”Nur na Escuridão”eleito como o melhor
romance de 1999 pela Associação Paulista dos Crı́ticos de
Arte.
Na descrição, a adjetivação assume importância para retratar qualidades, defeitos, cores, enfim, as caracterı́sticas do
que está sendo descrito.
Os verbos de ligação também marcam sua presença, pois,
se prestam bem para atribuir caracterı́sticas aos seres.
Ponto de Vista
Um fotógrafo pode conseguir uma imagem real ou distorcida
daquilo que fotografa. De igual modo, cada pessoa tem uma
maneira de observar, sentir e descrever a realidade - e o seu
ponto de vista, que pode ser objetivo, procurando retratar o
real com precisão, ou subjetivo, de acordo com seu estado de
espı́rito, suas emoções naquele momento ou suas pretensões
estéticas.
Dissertação
A linguagem argumentativa/persuasiva.
Dissertar é desenvolver um pensamento, um conceito, dar
uma opinião. Quem disserta procura explicar os fatos, as
idéias, apresentando causas, efeitos, tecendo comentários,
comprovando seus argumentos, a fim de influenciar convencer o leitor ou ouvinte. Para tanto, deve ter cuidado na
sequência das idéias, na coesão do texto ou da fala.
A narração, a descrição e a dissertação podem aparecer num
mesmo texto. É comum o narrador caracterizar personagens
e ambientes por meio da descrição e introduzir na história
momentos de argumentação. Dizemos que um texto é narrativo, descritivo ou dissertativo na medida em que predomina
uma dessas modalidades.
Os textos narrativos, descritivos e dissertativos podem ser
redigidos em prosa ou em versos.
Pense um Pouco!
Uma redação de vestibular deve ser escrita em alguma forma
especı́fica? Comente.
Literatura Aula 14
Figura 1: Salim Miguel.
Personagens
• Yussef Miguel (pai) - Libanês, de Kfarssouroun, imigrante que chega ao Brasil para se tornar comerciante. Aqui, era também chamado de José, Miguel, Zé
Gringo, Zé Turco ou, simplesmente, Seu Zé.
• Tamina (mãe) - Libanesa, de Amiun; companheira inseparável de Yussef; o apóia em todas as decisões; é
uma excelente mãe e, ainda, uma mulher forte e persistente; morre aos 50 anos, após a morte do filho caçula.
O casal possui sete filhos:
1. Salim Miguel - Filho mais velho, autor do livro.
2. Fádua - Filha mais velha, morre naturalmente
em sua cama, já em Florianópolis.
3. Hend - É também libanesa, veio com os pais para
o Brasil, em 1927.
4. Jorge - Primeiro filho brasileiro.
5. Sayde - o quinto filho, nasce em Alto Biguaçu,
em 1931.
6. Fauzi - Este também é brasileiro, nasce em Biguaçu.
7. Samir - O caçula. Morre aos 12 anos, devido à
anestesia que lhe foi aplicada antes da cirurgia
para retirar um furúnculo.
8. Hanna (tio) - Fiel irmão de Tamina que vem para
o Brasil com a famı́lia e, tempos depois, muda-se
para Porto Alegre.
Resumo
O romance ”Nur na escuridão”, de Salim Miguel, apresentase dividido em 30 capı́tulos, todos devidamente intitulados
- e cada tı́tulo é uma palavra-chave, uma sı́ntese do assunto
305
Literatura – Aula 15
abordado - e traz como tema maior à imigração. É a história
de uma famı́lia de libaneses que chega no Brasil em 1927: o
pai, a mãe, três filhos e o irmão da mãe. Um dos filhos do
casal, o mais velho, de apenas três anos, chama-se Salim;
Salim Miguel, o autor desta obra. Trata-se, portanto, de
um romance autobiográfico, onde o autor relata as dificuldades e o preconceito encontrado pela famı́lia estrangeira
até chegar à América, mais especificamente no Rio de Janeiro, sua instalação em São Pedro de Alcântara, Biguaçu
e, posteriormente, em Florianópolis, ”na Av. Rio Branco,
84”.
A narrativa tem seu tempo delimitado entre os anos 20 e 80,
mas o núcleo central está localizado entre 1920 e 1950. A
narração é feita em terceira pessoa e, curiosidade, raramente
o narrador chama o filho mais velho (ele próprio) pelo nome.
De acordo com a crı́tica, a narrativa ”é montada como
um jogo de armar: comporta labirintos, deslocamentos no
tempo, idas e vindas, dúvidas e certezas, retificações e ratificações”. Além disso, há detalhes tão descritivos, que o
leitor parece estar visualizando cada cena.
Neste romance, Salim Miguel, traz, enfim, além de sua
própria história, um pouco mais da história dos libaneses
e descendentes destes no Brasil que, estima-se, serem mais
de 6 milhões, mostrando-nos a diversidade de etnias que
compõem o cenário brasileiro.
Vale, ainda, lembrar que ”Nur na Escuridão”foi considerado o melhor romance de 2000, pela Associação Paulista
de Crı́ticos de Arte, e que recebeu o ”2o Prêmio Passo Fundo
Zaffari Bourbon de Literatura”.
Biografia
Salim Miguel nasceu no Lı́bano, mas passou a infância e a
mocidade em contato com as regiões de colonização alemã
e açoriana da região de Biguaçu, na Grande Florianópolis.
Em 1946 cria, com mais alguns autores catarinenses o Grupo
Sul. Faz cinema, dirige documentários e participa do primeiro longa - metragem realizado em Santa Cataria, cujo
argumento foi escrito em colaboração da sua esposa Egle
Malheiros.
Literatura Aula 15
A colina dos suspiros
O autor
”Escrevo pelo prazer de criar situações e personagens (nesta
ordem, infelizmente).”
Resumo
Futebol, intriga, paixão e mistério são os ingredientes desta
história. A história é verı́dica. Nos anos 70, o Esporte
Clube Cruzeiro, de Porto Alegre, vendeu seu estádio e o
lugar se tornou um cemitério (João XXIII). Entre os torcedores do time figura o escritor gaúcho Moacyr Scliar, que
inspirado no episódio escreveu um romance divertido. Justamente sobre uma equipe decadente cujo campo vai abrigar
Figura 1: Moacyr Scliar.
a Pirâmide do Eterno Repouso. Entre os tipos pitorescos
que recheiam a trama, o mais estranho é Rubinho, craque
com potencial de gênio, atormentado por assombrações.
A ascendência russa e a cultura judaica são decisivas na obra
de Moacir Scliar, assim como os conhecimentos, experiências
e vivência de médico sanitarista. Futebol é o tema de A
colina dos suspiros, do gaúcho Moacyr Scliar, e a pequena
cidade de Pau Seco é o cenário. Da realidade à ficção, o
autor apresenta neste romance a pequena cidade de Pau
Seco, com dois clubes de futebol que se digladiam há muito
tempo. Futebol em Pau Seco é o que move ou paralisa a
cidade.
O estádio fica junto do cemitério. Ali, o Pau Seco Futebol
Clube, à beira da falência, cede seu estádio para a construção de um cemitério. A salvação está em Rubinho, um
dos trabalhadores da obra, que se revela um extraordinário
jogador. Rubinho, a possı́vel salvação dos paussequenses,
é o jogador-revelação da cidade, que sofre uma humilhação
pública, pois tem medo de marcar gol em frente ao túmulo
do falecido ı́dolo Bugio. Desaparece, e só tem um desejo vingança. Trata-se de um momento decisivo em sua vida.
Com humor e sutileza, questões éticas, polı́ticas, sociais,
familiares, amorosas, o bem e o mal são discutidos.O cemitério volta a ser estádio. Aı́ aparece de tudo: coronel
todo-poderoso com seus mandos e desmandos, pobre que
sai do anonimato para a riqueza sem preparo, maracutaias
e espertezas.
Esta narrativa terá surpreendentes desdobramentos e
também por isso, fascina o público jovem ou, melhor, de
qualquer idade. Com humor e sutileza, Moacyr Scliar discute questões éticas, polı́ticas, sociais, familiares, amorosas,
o bem e o mal. Com humor leve, essa saborosa crônica
cativa pelo ótimo texto, só interrompido pelas risadas que
desperta.
Personagens
• Rubinel Silva (o Rubinho) - Rapaz de uns vinte anos,
meio esquisito, ex-ajudante de pedreiro que vem a se
tornar herói do time de Pau Seco.
• Bugio - Craque de futebol que morre em campo, logo
após ser comprado pelo time de Pau Seco.
• Maria Aparecida - Mulher de Bugio; tem uma forte
personalidade e enfrenta todos os poderosos da região.
306
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
• Isabel - Filha de Bugio, por quem Rubinho se apaixona;
forma-se em psicologia e casa-se com um médico.
• Manuelzão - Pai de Rubinho
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No Tempo das Tangerinas
Biografia da autora
Excluı́das pequenas ausências, sua vida decorre sempre nos
• Coronel Chico Pedro - Patrono do time Pau Seco; ho- pequenos vales de Itajaı́. A autora refaz a história da colomem de grande influência na região.
nização do vale do Itajaı́, vista de dentro, através do viver
simples e comum do menor grupo social, a famı́lia.
• Doutor Ramiro - Faz parte da diretoria do time de Pau
Seco e é administrador do cemitério - é o idealizador da
Pirâmide do Eterno Repouso, projeto que nunca saiu
do papel.
• Antão - diretor de futebol de Pau Seco.
• Ranulfo - diretor social de Pau Seco.
• Sezefredo - Contador e diretor administrativo de Pau
Seco.
• Libório - Morador de Pau Seco, paquerador e o único
que possui telefone na cidade.
• Bento de Oliveira Machado - Empresário rico e patrono
do time União e Vitória.
Biografia
Moacyr Scliar
“Acredito, sim, em inspiração, não como uma coisa que vem
de fora, que ‘baixa’ no escritor, mas simplesmente como
o resultado de uma peculiar introspecção que permite ao
escritor acessar histórias que já se encontram em embrião
no seu próprio inconsciente e que costumam aparecer sob
outras formas - o sonho, por exemplo. Mas só inspiração
não é suficiente”.
Moacyr Jaime Scliar nasceu em Porto Alegre (RS), no Bom
Fim, bairro que até hoje reúne a comunidade judaica, a
23 de março de 1937, filho de José e Sara Scliar. Sua mãe,
professora primária, foi quem o alfabetizou. Cursou, a partir
de 1943, a Escola de Educação e Cultura, daquela cidade,
conhecida como Colégio Iı́diche. Transferiu-se, em 1948,
para o Colégio Rosário, uma escola católica.
Em 1955, passou a cursar a faculdade de medicina da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, em Porto Alegre
(RS), onde se formou em 1962. Em 1963, inicia sua vida
como médico, fazendo residência em clı́nica médica. Trabalhou junto ao Serviço de Assistência Médica Domiciliar e de
Urgência (SAMDU), daquela capital. Publica seu primeiro
livro, ”Histórias de um Médico em Formação”, em 1962. A
partir daı́, não parou mais. São mais de 67 livros abrangendo o romance, a crônica, o conto, a literatura infantil, o
ensaio, pelos quais recebeu inúmeros prêmios literários. Sua
obra é marcada pelo flerte com o imaginário fantástico e
pela investigação da tradição judaico-cristã. Algumas delas
foram publicadas na Inglaterra, Rússia, República Tcheca,
Eslováquia, Suécia, Noruega, França, Alemanha, Israel, Estados Unidos, Holanda e Espanha e em Portugal, entre outros paı́ses.
Literatura Aula 16
Figura 1: Urda Alice Klueger.
Resumo
Romance narrado em 3a pessoa. Regionalismo alemão histórico e ficcional. É a história de Guilherme Sonne, neto
de Julius Sonne, filho de Julius Humberto Sonne, descendentes do 1o colonizador alemão vindo para Blumenau no
século XVIII. Humberto Sonne é protagonista do romance
Verde Vale; No Tempo das Tangerinas é, portanto, uma
sequência da colonização de Blumenau.
O livro se inicia com a bela descrição da paisagem local,
da famı́lia Sonne, o pai, a mãe Lucy, que teria vindo para
o Brasil fugindo da 1a Guerra Mundial, e seus 10 filhos:
Humberto-Gustavo, Guilherme, Wilhelm, Julius, Arnaldo,
as irmãs Margeritha, Emma, Anneliese, Priscila e a temporã
Kátia. É neste cenário que a famı́lia recebe notı́cias de uma
2a Guerra Mundial, que seguem ouvindo informações pela
emissora alemã. Blumenau ainda era extensão da Alemanha, falavam a mesma lı́ngua, tinham as mesmas tradições;
a diferença é que lá reinava a miséria, a doença, aqui a fartura.
No mês de maio, as tangerinas carregavam as árvores dos
morros e exalavam um aroma inesquecı́vel por gerações;
para lá que as crianças se dirigiam, faziam suas brincadeiras
e discutiam as dificuldades da guerra. Com o ingresso do
irmão mais velho no Exército, Guilherme fará os serviços
mais pesados; Cristina, bisneta de Humberto Sonne, viria
para o Brasil fugindo da guerra, e Guilherme nutrirá paixão
platônica pela prima até se apaixonar por Terezinha, des-
307
Literatura – Aula 17
cendente de italianos, provinda de Biguaçu, motivo de rejeição da mãe por considerá-la miscigenada.
Também foi por racismo que Guilherme não soube do parentesco com o mulato Alex Westarb, seu primo, fruto da
união do tio Reno e Elisa, uma mulata brasileira. Lucy se
abate ao saber que o navio Bismarck fora afundado e não via
a hora de a Alemanha se reerguer e ser vingada (lembrou-se
da 1a Guerra). Guilherme servirá o Exército e saberá da
gravidez de sua mãe, seu décimo irmão, na verdade Kátia,
uma irmã. No serviço, Emma o substituirá e, com tino para
os negócios, prosperará.
Em janeiro de 1942 o Brasil rompe relações com o Eixo Alemanha, de ameaça passará para a condição de inimiga
para os brasileiros, motivo de muita dor para quem tinha
dupla nacionalidade. Soldados brasileiros invadem a casa
dos Sonne e o Brasil declara guerra à Alemanha. HumbertoGustavo será obrigado a ir para a guerra, mas Guilherme, na
véspera, contrairia malária, o que o poupou de ir a campo e
o medo de perder o filho, fez Lucy aceitar seu namoro com
Terezinha.A guerra continuava assustadora, Emma é presa
por estar falando Alemão com outras moças.
Guilherme e Terezinha se casam, mas quando é novamente
convocado para se alistar, a febre reaparece, salvando-o.
Humberto volta da guerra, marcado por granadas, deixa
para trás os companheiros Klaus e Dirceu. Nasce em 1945,
Lucy Maria Sonne, filha de Guilherme e Terezinha. 30 anos
após a guerra, o herói está amadurecido, perceberia que a
guerra não acabava nunca e que o tempo das tangerinas,
marca de sua infância e inocência, voltava sempre, fazendoo esquecer, com seu aroma, as dificuldades do dia-a-dia.
Literatura Aula 17
O menino no espelho
O autor
Personagens Principais
• Fernando: menino cheio de imaginação que narra
suas aventuras; chefe do Departamento Especial de Investigações e Espionagem Olho de Gato, com o codinome secreto de Odnamref. (Na verdade é o próprio
autor contando as suas travessuras de infância)
• Hindemburgo: um pastor alemão deste tamanhão,
mas que tem medo de gatos, quando vê um, mete o
rabo entre as pernas e foge correndo.
Figura 1: Fernando Sabino.
o nome do coelho, em russo, afirmação que Fernando
desconfiava não ser verdade.
Resumo
O livro começa com o menino Fernando narrando o caos que
se instalava em sai cada nos dias de chuva. Era um correcorre dos diabos, gente de um lado para o outro tentando
conter as goteiras, para evitar uma inundação. Se aquilo
era um aborrecimento para os mais velhos, para ele era uma
das mais excitantes distrações. Passado o temporal, o pai
invariavelmente subia ao forro da casa pelo alçapão para
constatar que não havia nenhuma telha quebrada por onde
pudesse penetrar tanta água. Aquilo era um mistério, como
muitos outros que rondavam aquela casa.
Porém, o maior mistério de todos se manifestou depois de
um desses dias de chuva. Assim que o temporal passou, o
menino Fernando foi brincar no quintal, como sempre fazia.
Descalço, pouco se incomodando com a lama em que seus
pés se afundavam, gostava de abrir regos para que as poças
d?água, como pequeninos lagos, escorressem pelo declive
do terreiro, formando o que para ele era um caudaloso rio.
O menino se distraia fazendo descer por ele barquinhos de
papel, que eram grandes caravelas de piratas.
• Fernanda: galinha de estimação de Fernando salva
por ele do terrı́vel destino de ser feita ao molho pardo A distração desta vez foi uma fila de formigas a caminho
para o almoço do Dr Junqueira.
do formigueiro, que o rio aberto por ele havia interrompido.
• Alzira: cozinheira da famı́lia e assassina de galinhas. As formigas, atarantadas, procuravam, em vão, um jeito de
atravessar aquele obstáculo. O menino resolveu colaborar.
• Mariana: filha de Dona Cacilda, a vizinha da casa Apelando para seus conhecimentos de engenharia, construiu
ao lado, membro do Departamento Especial de Inves- uma ponte com pedaços de bambu abertos ao meio, por onde
tigações e Espionagem Olho de Gato, sob o codinome as formigas podiam passar. Fernando procurava orientar a
de Anairam.
fila das formigas com um pauzinho.
• Pastoff: coelho cinzento que o pai de Fernando lhe deu Enquanto estava empenhado nisso, sentiu que havia alguém
de presente após a morte da galinha Fernanda. Gerson em pé, atrás de si. Uma voz de homem perguntou o que ele
o irmão mais velho de Fernando, dizia que Pastoff era estava fazendo. Sem se voltar ele explicou o que tentava fa-
308
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
zer, restabelecendo o trafego das formigas. O homem se agachou ao seu lado. Era um desconhecido. Fernando gostou
do homem, ele sabia uma porção de coisas que ele também
sabia. Ficaram conversando um tempão, como dois amigos,
embora o homem fosse cinquenta anos mais velho que o menino. Fernando também lhe contou uma porção de coisas
sobre sua vida e suas aventuras.
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Literatura Aula 18
Sucupira, ame-a ou deixe-a
Autor
Antes de ir embora o homem disse que tinha outra coisa
para ensinar ao menino.
— Você quer conhecer o segredo de ser um menino feliz para
o resto da vida?
— Quero, respondeu o menino.
— O segredo se resumia em três palavras, que ele pronunciou com intensidade, mãos nos meus ombros e olhos nos
meus olhos. Pense nos outros.
Na hora o menino achou o segredo meio sem graça. Só mais
tarde ele veio a entender o conselho que deixara de cumprir
tantas vezes na vida, mas que sempre dera certo quando se
lembrava de segui-lo, fazendo -o feliz como um menino.
O homem se curvou, deu um beijo na testa do menino e
se despediu. Limitou-se a apenas sorrir quando Fernando
perguntou quem ele era. Disse adeus com um aceno, e foi-se
embora para sempre.
Outros Capı́tulos
• Galinha ao molho pardo,
• O canivetinho vermelho,
• Como deixei de voar,
• Uma aventura na selva,
• O valentão da minha escola,
• Minha glória de campeão,
• Nas garras do primeiro amor,
• A libertação dos passarinhos.
Biografia
Fernando Tavares Sabino, filho do procurador de partes e
representante comercial Domingos Sabino, e de D. Odete
Tavares Sabino, nasceu a 12 de outubro de 1923, Dia da
Criança, em Belo Horizonte. Em 1930, após aprender a ler
com a mãe, ingressa no curso primário do Grupo Escolar
Afonso Pena, tendo como colega Hélio Pellegrino, que já
era seu amigo dos tempos do Jardim da Infância. Torna-se
leitor compulsivo, de tal forma que mais de uma vez chega
em casa com um galo na testa, por haver dado com a cabeça
num poste ao caminhar de livro aberto diante dos olhos.
Desde cedo revela sua inclinação para a música, ouvindo
atentamente sua irmã e o pai ao piano. Em 1982, lança
o romance ”O Menino no Espelho”, ilustrado por Carlos
Scliar, que passa a ser adotado em inúmeros colégios do
paı́s. Percorre várias cidades brasileiras, participando do
projeto Encontro Marcado, ciclo de palestras de escritores
nas universidades provido pela IBM. O autor faleceu dia
11 de outubro de 2004 na cidade do Rio de Janeiro. A
seu pedido, seu epitáfio é o seguinte: ”Aqui jaz Fernando
Sabino, que nasceu homem e morreu menino”.
Figura 1: Dias Gomes.
Personagens
Os personagens centrais presentes em todos os contos são:
• Odorico Paraguaçu: Coronel e dono de quase toda
a cidade de Sucupira, da qual é prefeito por muitos
mandatos; é um falso democrata e extremamente mau
caráter, mas como possui muito dinheiro e poder, sempre se sai bem das ciladas da Oposição.
• Dirceu Borboleta: Secretário de Odorico; é uma caricatura do funcionário público criticado pelo autor:
malandro e que faz serviços pessoais no gabinete.
• Dorotéa, Juju e Zuzinha Cajazeira: três irmãs
solteironas que vivem à caça de marido; são apaixonadas pelo prefeito e fazem tudo o que ele deseja; são
capazes dos atos mais imorais pelo reconhecimento de
Odorico.
• Neco Pedreira: Jornalista e dono do jornal A Trombeta. Pertence à ”Oposição”e está sempre tentando
desmascarar Odorico.
• Tuca Medrado: Jovem repórter d’A Trombeta. Na
ânsia de desmascarar Odorico, muitas vezes, a bela jovem atua como investigadora.
• Lulu Gouveia: Dentista e vereador da Oposição.
Vive tentando mostrar ao povo o mal caráter que é
o prefeito, mas sempre fracassa.
• Chica Bandeira: É a delegada da cidade; tenta se
mostrar imparcial, mas sempre cede ao poder de Odorico. Nunca consegue resolver as atrocidades cometidas
pelo prefeito.
• Padre Honório: O vigário da cidade; é um bom
caráter, mas sabe que pouco pode fazer contra a força
do coronel.
309
Literatura – Aula 18
• Zeca Diabo: Ex-cangaceiro; matador profissional que
se redimiu de todos os seus pecados e que, agora, diz
não matar mais ninguém; mas todos morrem de medo
dele, devido à sua fama.
• Nezinho do Jegue: Homem pobre que vive sempre
bêbado, acompanhado de seu burro (Rodrigue).
Resumo
”Sucupira: ame-a ou deixe-a”é uma obra composta de sete
histórias (que podem ser consideradas contos). Todas possuem basicamente os mesmos personagens, num mesmo lugar: Sucupira: um Municı́pio imaginário de Salvador, governado por Odorico Paraguaçu, um coronel mão-de-ferro que
defende seu poder à força. Através de Odorico, Dias Gomes
denuncia de maneira bem-humorada a corrupção e o poder
dos coronéis da região Norte do Brasil, que governam com
autoritarismo e onde a impunidade prevalece.
vı́tima, avisando à famı́lia de seu suicı́dio e, principalmente,
o cemitério todo reformado de uma hora para outra, como
se estivesse esperando o defunto.
Odorico chega para visitar o doente, em seguida, as três
irmãs cajazeiras: Juju, Zuzinha e Dorotéa; agora, já fora
de perigo, Espiraldo abre os olhos e conversa com Juju que,
sozinha no quarto, imagina pensamentos ”proibidos”para
com o estranho.
Enquanto isso, a delegada vai investigar o caso e visita Odorico Paraguaçu, querendo saber por que pagava a suı́te presidencial a Espiraldo. O prefeito dá uma boa justificativa: É
essa minha mania de ajudar todo mundo. A senhora sabe,
tenho um coração de manteiga. Quando li na gazeta a via
crucis desse infeliz, meu coração amanteigou-se, derreteu. E
mandei que hospedassem ele por minha conta.
Odorico vai até o hospital e pede para que Juju, que passara a noite cuidando do doente, saia do quarto. Raivoso,
o prefeito lembra Espiraldo do ”contrato”e este diz estar
arrependido; recuperara a vontade de viver depois que conheceu dona Juju. Indignado, o coronel começa a berrar e
Juju parte em socorro de Espiraldo.
Odorico manda limpar o cemitério, pintar o muro (que estava cheio de insultos à sua pessoa), expulsa as galinhas, os
bodes e o jegue que habitam o lugar. Chama Espiraldo e
Na prefeitura, Odorico manda chamar Jesuı́no e suspende
lhe promete um mausoléu todo de mármore, com o seguinte
o serviço, mas por questão de honra, ele diz que não deixa
epitáfio:
serviço pela metade e que vai, sim, matar Espiraldo. A
caminho do hospital, o matador encontra Zeca Diabo, que
”Aqui jaz Espiraldo Pirajá que a vida resolo ameaça e o põe para correr. Jesuı́no foge e some da cidade.
veu desertar apenasmente para ter a honra deste
Ao final da história, a mulher de Espiraldo chega a Sucupira
cemitério inaugurar.”
e, para desespero de Juju, eles fazem as pazes. Odorico,
bondoso que era, manda rezar uma missa em ação de graças
Mas, Espiraldo tem medo de sua própria covardia e sugere a
Odorico para que este mande alguém matá-lo, que contrate pelo restabelecimento de Espiraldo Pirajá.
um matador. Imediatamente, o prefeito chama Zeca Diabo,
mas este recusa o serviço mediante reprovação do vigário.
Odorico contrata um outro matador, Jesuı́no, e aceita o
serviço por cem mil: 50 na hora e o resto, depois da conclusão. O novo matador vai até a casa de Zeca Diabo, diz-lhe
que vai fazer o serviço e mostra sua admiração pelo famoso
matador.
Enquanto isso, Neco e Tuca vão até o Grande Hotel a fim de
investigar um boato: Espiraldo estaria hospedado na suı́te
presidencial. Boato confirmado, os jornalistas saem furiosos
porque sentem-se enganados, afinal Neco arriscara sua vida
para salvar um vigarista de morrer afogado.
— Em nome do Padre, do Filho e do Espı́rito Santo, amém.
Espiraldo se benze, levanta-se e atravessa a nave da Igreja,
apenas uma ou outra beata fazendo suas orações, alcança
a porta, o matador ajoelhado no último banco faz o sinalda-cruz e segue atrás, Espiraldo atravessa a praça e ganha
a praia, deserta de banhistas naquele fim de tarde, seus
passos vão deixando na areia a marca dos sapatos, num
caminho sinuoso, entre os saveiros encalhados para reparo,
pegadas que a maré enchente vai fazer sumir daı́ a pouco,
mas que ainda são bem nı́tidas quando se ouvem dois tiros
e Espiraldo cai de bruços na areia molhada.
Trabalho concluı́do, o matador vai acertar as contas com o
prefeito, mas este diz que só vai lhe pagar quando for comprovada realmente a morte. Odorico liga para a delegada
de polı́cia, Chica Bandeira, e constata que Espiraldo não
morrera, mas estava muito mal no hospital.
Tuca, Neco e Chica Bandeira discutem o caso e percebem
algumas coincidências: uma carta encontrada no paletó da
Biografia
Alfredo de Freitas Dias Gomes1 , o conhecido teatrólogo Dias
Gomes, é baiano, de Salvador. Nasceu a 19 de outubro
de 1922, filho do engenheiro arquiteto Plinio, que faleceu
quando Dias Gomes tinha apenas três anos de idade, deixando a educação dos três filhos à esposa. Esta, embora
tendo sido preparada apenas para as prendas domésticas,
lutou muito, para educar os filhos. O mais velho formouse em Medicina, mas Dias Gomes .... esse não gostava de
estudar. Era mais dado ao futebol, à praia, às conversas.
Mas, com 15 anos apenas, já ganhou um primeiro prêmio
com uma peça de teatro, que foi inscrita num concurso do
Serviço Nacional de Teatro. Aı́ recebeu seu primeiro dinheiro. E é de se registrar, que jamais tinha assistido ou
lido uma peça teatral. Empolgou-se muito. Os familiares
nem sabiam o que dizer. Aos 19 anos, agora já em caráter
profissional, escreveu ”Pé de Cabra”, peça que foi encenada
por Procópio Ferreira e que fez grande sucesso. Procópio
propôs ao garoto um contrato de exclusividade. Mas esse
contrato durou só um ano, já que o renomado ator exigia
um estilo diferente do de Dias Gomes. O garoto não gostava
do ”teatro digestivo”. Embora bem jovem, queria um teatro
que focalizasse os problemas brasileiros, um teatro de ”protesto”. Dias Gomes aceitou então o convite de Oduvaldo
Viana e foi para S.Paulo, participar de um grupo de redatores para a Rádio Panamericana. Era o rádio-teatro que
1
Extraı́da do depoimento dado por ele ao Museu da Televisão
Brasileira, em 27/11/1998.
310
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
surgia. E Dias Gomes, ao lado de Oduvaldo, Mario Lago e
outros, aceitou o desafio. Escrevia adaptações de grandes
obras da Literatura Universal. Chegou a escrever, ao todo,
cerca de 500 adaptações para o rádio. Nessa época já sofreu alguma perseguição polı́tica. E o jovem Dias Gomes
da Rádio Panamericana foi para as Rádios Tupi e Difusora,
sempre na mesma linha de trabalho. Sua cabeça foi ”pedida”algumas vezes, mas os colegas sempre o protegiam.
Foi depois para a Rádio América e à seguir para a Rádio
Bandeirantes. Bem jovem, teve um casamento prematuro
com Madalena. Mas foi no tempo da Tupi, que conheceu
Janete Clair, que se tornou mais tarde, uma novelista famosa, e com quem Dias Gomes ficou casado por 33 anos,
até a morte dela. Tiveram três filhos. A ida para o Rio de
Janeiro, já com Janete, deu-se em 1950. Foi para a Rádio
Tamoio, depois passou a diretor da Rádio Clube do Brasil,
que era de Samuel Wainer. Foi em 1953 que Dias Gomes foi
para Moscou, fato considerado profundamente ”subversivo”,
na época. Havia a famosa ”Cortina de Ferro”, e Dias foi fotografado em plena ”Praça Vermelha”, carregando flores.
Carlos Lacerda, grande polı́tico e inimigo de Wainer, publicou a foto de Dias, sob o tı́tulo: ”Diretor da Rádio Clube
leva flores para o túmulo de Stalin, com dinheiro do Banco
do Brasil”. Não era verdade, mas Dias Gomes caiu em desgraça. Não conseguiu mais trabalho no paı́s, e sua entrada
para a Globo, deu-se de forma clandestina. Escrevia com
3 pseudônimos diferentes, entre os quais, o de sua mulher,
Janete Clair. Era assim que ganhava seu dinheiro, embora
sempre tivesse continuado a escrever para o teatro, que é realmente ”a sua vida”, como Dias Gomes diz. Com o passar
do tempo, porém, foi colocando seu nome nas suas novelas, que fizeram muito sucesso. Entre outras: ”Verão Vermelho”, ”Sinal de Alerta”, ”Bandeira 2”, ”Espigão”, ”Saramandaia”, ”Roque Santeiro”. Todas tiveram problemas
com a censura, e ”Roque Santeiro”só conseguiu ir ao ar, dez
anos depois de escrita. Seu ”estilo”forte, porém, marcou o
”estilo”da Globo, um estilo bem brasileiro. Mas continuou
sendo o teatro, a grande paixão do escritor. E suas peças lhe
trouxeram muitos prêmios. ”O pagador de promessas”, por
exemplo, ganhou todos os prêmios, estando em teatro, como
em cinema, para o qual foi adaptado. Suas outras peças,
como: ”O Santo Inquérito”, ”O Berço do Herói”, ”A invasão”, ”Rei de Ramos”, todas plasmadas na realidade brasileira, todas com a personalidade marcante do autor, todas
ganhadoras de muitos prêmios. Dias Gomes também escreveu alguns romances e mini-séries, para a TV Globo. Hoje,
casado com Bernadete, com quem tem mais dois filhos, Dias
Gomes acaba de lançar um livro auto-biográfico: ”Apenas
um subversivo”. Uma vez, numa brincadeira, dando uma
entrevista à Revista Play boy, Dias Gomes se auto-definiu
como ”anarco, marxista, ecumênico e sensual”. E o rótulo
pegou. E ele concluiu: ”Isso diz tudo”. Genial, esse Dias
Gomes. Verdadeira glória nacional.
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Parte V
História
313
História – Aula 1
História Aula 1
História de Santa Catarina
Colonizadores
A história de Corupá está vinculada às de Jaraguá do Sul
e Joinville. As terras em que foi construı́da a atual cidade
de Corupá pertenciam ao espólio da Companhia Hamburguesa de Colonização, contratada para ocupar as terras do
Prı́ncipe de Joinville, François de Orleans e da Princesa
Francisca Carolina, filha de D. Pedro I; e do Conde d’Eu
com a Princesa Imperial Dona Isabel (herdeira do trono
brasileiro). O espólio da Hamburguesa foi assumido, em
30 de março de 1897 pela Companhia Hanseática de Colonização, que sob a direção de Karl Fabri fundou a Colônia
Hansa Humbold.
No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeiros
tı́tulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. Otto
Hillbrecht e Otto Hillbrecht filho (lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e
3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidos
pelo agrimensor da Colônia Hansa, Eduard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos tı́tulos de propriedade,
foram acomodados no galpão de recepção e usando facões,
machadinhas e machados, iniciaram a derrubada da mata
para dar inı́cio à construção da atual cidade de Corupá.
As duas famı́lias, juntamente com a Companhia Colonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cinco
meses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam
à Hansa os novos proprietários Wilhelm Rösch, Heinrich
Groth e famı́lia, Josef Mischka e famı́lia. Cinco dias depois
Emil August Rosenberg tomava posse oficialmente de seu
lote.
Com eles chegou também Léo Eschweiler. Vinte dias depois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno
Muller e Heinrich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeus na Colônia Hansa. Os lotes eram pagos
a longo prazo em pequenas parcelas. O contrato entre a
empresa colonizadora e o governo da provı́ncia determinava
que a quantidade de imigrantes sem recursos para adquirir
lotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheiro
suficiente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Os imigrantes que não tinham
recursos para saldar as dı́vidas ou pagar as prestações das
terras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou para
os compatriotas.
Índios e Caboclos
Assim como em todo o paı́s, os primeiros habitantes da
região eram os ı́ndios Xokleng (ou Botocudos), também conhecidos pela denominação de bugres. Na primeira metade
do Século XIX, houve um aumento da colonização européia,
levando os ı́ndios Xokleng a se fixarem próximos aos limites
de Santa Catarina e Paraná. Na disputa por terras entre os
indı́genas e os europeus emigrados, a área agrı́cola aumentava para os colonizadores e diminuı́a para os bugres que
foram ficando confinados e sem alimentos. Mesmo assim,
a história da região não registrou grandes conflitos entre
os indı́genas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que,
no ato da posse provisória da terra, ganhavam naturalidade
brasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes europeus espontâneos. Poucos brasileiros moravam nesta região no tempo da colonização. Na foz do rio Isabel, encontravam-se os ranchos
de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano.
Em Poço d’Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos
Siqueira, José Afonso Moreira, João Custódio, Romualdo
Leopoldino, Maneco do Rosário e Antônio Felisbino. Muitos desses brasileiros ajudaram a transportar os primeiros
imigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes
da chegada dos colonizadores alemães, famı́lias italianas
estabeleceram-se nas imediações do Rio Novo e Itapocu:
Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattoli
vieram de Blumenau. Logo em seguida, Antônio Moretti
passou a residir na comunjdiade de Poço d’Anta. E construiu a primeira capela em honra de Santo Antônio, do qual
havia trazido uma imagem da Itália. O terreno foi doado,
a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia Colonizadora
Hanseática.
Aventureiros ou Excluı́dos?
A legislação provincial estipulada a pedido do Dr. Hermann
Blumenau, assinada no dia 16 de março de 1848, fixou normas para a colonização alemã em terras catarinenses. E
entre elas, estabelecia a responsabilidade das Companhias
Colonizadores, em reunir, transportar, assentar e prestar
assistência integral aos colonos nos primeiros dois anos da
chegada às Colônias. O Governo Imperial contribuı́a por
quinze anos com subsı́dios, entregues à empresa colonizadora, para cada um dos colonos, independe de sexo ou idade,
fixados nas colônias de Santa Catarina. Esta assistência incluı́a auxı́lio tanto no transporte entre a Europa e o Brasil
quanto no desmatamento, na construção das moradias e no
oferecimento de alimentação aos colonos, até que eles pudessem prover-se com as próprias roças. A mesma lei proibia,
em caráter definitivo, a manutenção de mão-de-obra escrava
nas Colônias. Assim, os imigrantes tinham, eles mesmos,
que se incumbir do trabalho pesado do campo e da construção ou pagar pelo trabalho dos negros, dos caboclos ou
mesmo de imigrantes sem posses, que viajam com todas as
despesas pagas pelo governo brasileiro.
No século XIX, a Europa vivenciava profundas transformações socioeconômicas decorrentes da Revolução Industrial e a vida no campo tornava-se inviável. A grande maioria da população européia eram os excluı́dos e eram explorados pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento da
população levou ao êxodo rural aumentando a urbanização.
Com a tecnologia e a mecanização da economia, a Europa
deparou-se com um batalhão de desempregados fazendo com
que no perı́odo de 1815 a 1920 cerca de 60 milhões de pessoas
emigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alemães.
Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil em
busca de melhores condições de vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas,
tendo agradado até pessoas de situação econômica razoável.
Muitos camponeses venderam suas propriedades para custear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades na
América.
314
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Um dos principais interesses do governo imperial brasileiro
era o de resolver o problema da ocupação de várias regiões
brasileiras até então desabitadas. Para isso, eram enviadas
à Europa agentes que eram remunerados de acordo com o
número de emigrantes e isto despertou também o interesse
das companhias de navegação ciosas de lucro. Aliada a estes
fatores, a difı́cil situação financeira da Famı́lia Real Brasileira leva a negociar para colonização, as terras localizadas
na Provı́ncia de Santa Catarina. Firmando contrato com
o Senador Alemão Christian Mathias Schoroeder em Hamburgo, dono da agência comercial ”Christian M. Schoroeder
& Cia parte da sociedade fundada em 1842 chamada ”Sociedade de Proteção aos Imigrantes no Sul do Brasil”que
procurava regularizar a emigração espontânea para o Brasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757,
projeto de uma estrada para interligar São Francisco do Sul
a Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em
meio à Mata Atlântica, delinearam o percurso da futura
ferrovia São Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.
Antes da Cidade
Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses
teriam sido o alemão Hans Staden, em 1547 e o também
alemão, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanhóis com o propósito de ensinar agricultura os ı́ndios
Carijós. Este segundo, na verdade, teria percorrido o célebre
caminho de Peabiru, que se iniciava em Barra Velha e que
ligava os Andes ao Oceano Atlântico. Os aventureiros, guiados pelos ı́ndios, estavam interessados nos tesouros Incaicos
dos Altiplanos Andinos. À época da colonização de Jaraguá,
em 1878, tropas de Emı́lio Carlos Jourdan, passaram por
Corupá com gado adquirido no Paraná. O próprio Jordan,
em 1876, atribuiu nomes a acidentes geográficos da cidade.
Em 9 de maio de 1879, uma expedição chefiada pelo engenheiro alemão Albert Kröhne, partiu de São Bento do
Sul com a incumbência de traçar um caminho entre São
Bento do Sul e Jaraguá, estabelecendo assim, a ligação entre Curitiba e São Francisco do Sul e explorando a região.
Em 1883, o agrimensor, topógrafo, engenheiro mecânico e
caçador de bugres Antônio Ferreira Lima, proprietário de
terras em Rio Negrinho foi morto pelos ı́ndios botocudos.
Entretanto, as picadas abertas pelas expedições e pela Companhia Hanseática não permitiam a passagem de carroças
ou carros de boi. Até mesmo animais eram raros na época
da colonização de Corupá.
Atraı́dos pelas ofertas alardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atravessaram o atlântico em busca de
uma vida digna e melhor em sua nova pátria. Mas após chegarem sentiram-se abandonados à própria sorte e como não
tinham os recursos para voltar à Pátria Mãe, tomaram as
providências necessárias para oferecer escola, igreja, lazer e
sustento para si e para os familiares e empregados. A ajuda
vinha principalmente da pátria-mãe, distante, mas presente
em solidariedade.
Casa e Comida Difı́cil
A condições de vida dos primeiros colonizadores era muito
precária. As dificuldades iam desde a adaptação ao clima
tropical e à cultura dos caboclos posseiros, à presença in-
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visı́vel dos bugres, até às dificuldades para conseguir alimentos e mantimentos, visto que precisavam ser transportados
de Jaraguá de canoa, via rio Itapocu, único acesso à Hansa
até 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa
comercial da Colônia. A casa comercial logo foi vendida
para o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaraguá. E em
seguida, para o comerciante Heinrich Meyer, de Joinville.
A filial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde,
em 1907 por Otto Hillbrecht Jr., que a adquiriu e transformou em empório. Também em l899, o casal Wilhelm e
Maria Pieper fundou o Hotel Schraut, o primeiro de Corupá.
Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela
”Frauenverein”.
Enquanto Pieper transferiu seu hotel para as imediações
da estação ferroviária. E ainda hoje lá funciona o Hotel
Krelling. Um dos primeiros colonizadores, em seu relatório,
descreveu as dificuldades iniciais. ”O que foi difı́cil no primeiro ano, era conseguir alimentos. Dependia-se da turma
de agrimensores quando eles, de tempos em tempos, navegavam numa canoa pelo Itapocu. Tı́nhamos que aproveitar
a oportunidade e pedir que trouxessem as mercadorias. Às
vezes acontecia de a canoa virar e as mercadorias se encharcarem”.
O historiador José Kormann, no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corupá , na página 57, descreve que as primeiras
casas eram construı́das com palmito. ”Os troncos roliços do
palmito eram enterrados por uma das extremidades para
servirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formando ripas. O interior
do palmito, a parte mole, servia de alimento. Essas ripas
eram amarradas com cipó, que também eram cortados em
duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam caibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas de
palmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradores locais, anteriores ao imigrante”. Conseguir fogo era
difı́cil, era preciso mantê-lo acesso. Por isso o chão era de
barro batido.
Uma Nova Pátria
Com a chegada de novas levas de colonos, entre dezembro
de 1897 a 1899, a direção da Colônia reservou uma canoa
só para buscar mantimentos com canoeiros próprios. Ao
mesmo tempo, a construção da estrada para transporte com
carroça era intensificada. A cada nova leva de colonizadores, chegavam mais pessoas dispostas a investir e construir
uma cidade confortável. A cidade finalmente começou a se
formar. Alemães, poloneses, suı́ços e Italianos são os principais ascendentes europeus da Corupá de hoje. Em 1899,
era fundada a primeira escola para os filhos dos imigrantes
e também começava a funcionar o primeiro Turverein. Luiz
Schröeder foi o número um e Otto Hillbrecht filho o número
dois. A sociedade escolar fundada em 17 de maio de 1899,
atenderia às crianças das 20 famı́lias residentes. O professor
Ernesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa,
iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900.
Em 1909, foi construı́do o prédio próprio, em alvenaria. Em
5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evangélica
de Hansa Humbold. Os primeiros cultos eram realizados
nas casas dos imigrantes. E, finalmente, no dia 16 de dezembro de 1906 foi lançada a pedra fundamental da igreja
315
História – Aula 1
evangélica que levou alguns anos para ser construı́da. Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro negócio de
Hansa Humboldt. Otto Löffler, com um pequeno capital,
construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estrada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo
do naturalista alemão Alexander Von Humboldt (homenageado com o nome da Colônia), foi instalada a primeira
atafona que pertencia a Gustav Hoffmann.Luiz Schroeder
abriu o primeiro açougue.
Começar Tudo de Novo
No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, a
primeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos, teatros, quermesses e recitais com o propósito de angariar fundos para socorrer as famı́lias atingidas. Os prejuı́zos
foram enormes. As recém-construı́das pontes sobre os rios
Humbold e Novo foram levadas pelas águas. Reconstruı́-las
exigiu, além da doação de 75% do salário do intendente,
doações dos moradores.Em outubro de 1917, o Brasil declaAté 1906, os cultos das confissões Católica e Luterana eram
rou guerra à Alemanha e as relações entre os dois paı́ses
realizadas no edifı́cio da escola particular alemã. Em 1906,
prejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro.
o imigrante Roberto Seidel, abre sua ”arbori”e floricultura.
Iniciou-se o movimento nacionalista e a lı́ngua estrangeira
A localização é a mesma de onde ainda hoje funciona o
foi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional.
Orquidário Catarinense. Seu filho Alvim Seidel dedica-se,
desde o ano de 1950 ao orquidário, que além de comercializar Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no ato
e cultivar, desenvolve pesquisas, já tendo descoberto e regis- da colonização, eram brasileiros sem governo e alemães sem
trado mundialmente, quase uma centena de novas espécies Pátria. Logo após a 1a. Guerra Mundial (1914-1918) o
de orquı́deas e bromélias em suas incursões pela mata da movimento de nacionalização provocou o fechamento das
escolas alemãs. É fundada, então a primeira escola pública
região.
e brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedades
de atiradores, a ginástica, a música do Jazz Elite, corais
e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem como
a produção e comercialização dos produtos locais estavam
Autonomia Administrativa
em alta. Enfim, a tranquilidade voltou a reinar e o progresso acompanhava o crescimento do distrito. Em fins de
Em 1908, Hansa foi elevada à categoria de distrito de Join- 1931, foi concluı́da a Escola Apostólica Seminário Sagrado
ville e é nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente Coração de Jesus. Entretanto, os imigrantes alemães naem 1910 teve inı́cio a iluminação pública à querosene .Os turalizados brasileiros, ainda sofreram com nova investida
lampiões pendurados em postes de madeira, eram acesos ao do movimento de nacionalização, em 1943, durante a 2a.
anoitecer e apagados às 22 horas diariamente por Christian Guerra Mundial.
Hunold. Num salão de sua propriedade funcionou, também, Além da mudança do nome do então Distrito Hansa Huma primeira escola. A primeira professora foi Júlia Fernandes. bold para Corupá, muitos de seus moradores, que consNeste perı́odo um primeiro susto acometeu a comunidade de truı́ram com as próprias mãos e dinheiro a cidade, foram
Hansa.
perseguidos como se fossem inimigos da nação brasileira.
A administração central de Joinville recomendava que toda Alguns tiveram que mudar o próprio nome. Escolas, sociea correspondência fosse escrita em Português e além de ser dades e igrejas foram fechadas e tudo o que fosse considerado
habitada praticamente só por alemães, Hansa não tinha alemão foi confiscado. A emancipação polı́tica de Corupá se
escola em Português que possibilitasse aos imigrantes ou deu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instalação no
mesmo a seus filhos, aprenderem a Lı́ngua Nacional. O pri- novo municı́pio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme dameiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de São Francisco dos do censo de1950, Corupá contava com 1592 habitantes
do Sul. Com o trem chegou a esperança de um progresso (761 homens e 831 mulheres).
mais rápido. Mas além de facilitar o transporte de toda
sorte de produtos, desde alimentos a produtos para comerOs Dias Atuais
cialização, o trem trazia e levava pessoas.
A ferrovia chegou a Rio Negrinho somente em 1913. E foi A economia está baseada na agricultura e pecuária, exploseguindo o trem que muitos moradores deixaram Hansa. Al- rada por minifúndios. Corupá ocupa o 94o lugar na arreguns foram trabalhar na construção da ferrovia e outros se- cadação de ICM do Estado e 25o em qualidade de vida.
guiram para o planalto onde era mais fácil arrumar traba- A agricultura baseia-se principalmente na produção de balho. Há cem anos, Hansa Humbold experimentava um cres- nana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (horcimento surpreendente. No Distrito havia várias indústrias, taliças). Corupá é o maior produtor de bananas do Estado.
serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, fábricas de Possui cerca de 68 indústrias de pequeno e médio porte,
carroças, barris, tamancos, chicotes, laços, canoas, charu- destacando-se as de vestuário, metalurgia, artefatos de matos e cigarilhas, instrumentos musicais, pincéis e escovas, deira e móveis.
móveis e refrigerantes; cervejarias, selarias, funilarias, cons- A cidade, que já possuiu uma espécie de Spa na década de
trutores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e de- trinta, se prepara para liderar o roteiro turı́stico da região.
zenas de pequenos comerciantes de produtos artesanais e As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranquilo
alimentı́cios, bem como engenhos de arroz atendiam as ne- de cidade interiorana e tranquila, grutas, orquı́deas, vitória
cessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comer- régia gigante e as construções do inı́cio do século passado e
cialização com outras localidades.
os jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes,
Aumentava consideravelmente números de sociedades e li- são algumas das atrações turı́sticas de Corupá.
gas formadas pelos moradores com o intuito de promover a
educação, a cultura, o lazer e assistência aos habitantes.
316
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–
CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS
4
5
6
7
8
9
Ra
(226)
SÉRIE DOS
ACTINÍDIOS
104
105
Ku
Ha
(260)
(261)
106,4
107,9
112,4
114.8
74
75
76
77
78
79
80
81
Os
Ir
186,2
190,2
192,2
106
107
108
109
Pt
Au
Hg
TI
NEÔNIO
ARGÔNIO
CLORO
ENXOFRE
FÓSFORO
SILÍCIO
118,7
82
Pb
52
Te
121,7
127,6
83
84
Bi
Po
I
CRIPTÔNIO
Br
79,90
53
XENÔNIO
Sb
BROMO
Se
78,96
IODO
Sn
SELÊNIO
ARSÊNIO
GERMÂNIO
50
As
74,92
51
126.9
85
At
Kr
83,80
54
Xe
131,3
RADÔNIO
102,9
TÁLIO
101,1
72,59
TELÚRIO
In
(98)
Ge
ANTIMÔNIO
ÍNDIO
CÁDMIO
PRATA
PALÁDIO
49
RÓDIO
48
ESTANHO
ALUMÍNIO
GÁLIO
ZINCO
COBRE
NÍQUEL
COBALTO
FERRO
47
RUTÊNIO
MANGANÊS
CRÔMIO
Ga
ASTATO
89 - 103
36
46
Re
Ar
35
95,94
W
Cl
34
45
183,8
S
33
44
Cd
18
32
43
Ag
17
31
69,72
Pd
16
39,95
65,38
Rh
Ne
20,18
35,45
63,55
Ru
F
19,00
32,06
58,69
Tc
P
POLÔNIO
88
Ta
180,9
Zn
O
16,00
30,97
BISMUTO
87
Hf
178,5
Cu
Si
N
14,01
15
10
28,08
CHUMBO
SÉRIE DOS
LANTANÍDIOS
30
MERCÚRIO
Ba
29
Al
C
12,01
14
He
4,003
26,98
58,93
OURO
73
Ni
2B
55,85
PLATINA
72
Co
28
1B
13
54,94
IRÍDIO
57 - 71
Mo
Fe
27
UNILÊNIO
56
TANTÁLIO
92,91
42
Mn
26
ÓSMIO
Nb
91,22
137,3
(223)
Zr
88,91
Cr
8B
UNILÓCTIO
Y
87,62
25
TECNÉCIO
41
24
RÊNIO
40
7B
UNILSÉPTIO
39
6B
52,00
MOLIBDÊNIO
50,94
132,9
Fr
V
47,88
NIÓBIO
Sr
Ti
44,96
HÂHNIO
Cs
ESTRÔNCIO
38
Sc
ZIRCÔNIO
Ca
TUNGSTÊNIO
23
UNILHÉXIO
22
VANÁDIO
21
TITÂNIO
20
37
85,47
CÉSIO
5B
40,08
Rb
FRÂNCIO
VII
4B
39,10
55
VI
3B
HÁFNIO
K
Mg
24,30
KURCHATÓVIO
CÁLCIO
19
B
10,81
ESCÂNDIO
23,00
Be
9,012
12
ÍTRIO
Na
MAGNÉSIO
LÍTIO
Li
HÉLIO
3
FLÚOR
7A
OXIGÊNIO
6A
NITROGÊNIO
5A
CARBONO
4A
BORO
3A
BERÍLIO
2A
BÁRIO
V
H
1,008
RÁDIO
IV
2
6,941
11
SÓDIO
III
0
Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono
1
POTÁSSIO
II
RUBÍDIO
I
HIDROGÊNIO
1A
86
Rn
195,1
197,0
200,6
204,4
207.2
209,0
(209)
(210)
(222)
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Unh Uns Uno Une
(s) = estado sólido
93
94
158,9
96
97
Ho
164,9
Er
Tm
ITÉRBIO
Dy
162,5
TÚLIO
Tb
157,3
ÉRBIO
Gd
HÓLMIO
Eu
152,0
Yb
LUTÉCIO
150,4
TÉRBIO
Sm
(145)
EURÓPIO
Pm
DISPRÓSIO
144,2
SAMÁRIO
Nd
62
Lu
167,3
168,9
173,0
175,0
100
101
102
103
( ) = estado líquido
(g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso
N = normal
(243)
Cm
(247)
M = molar
Bk
(247)
Cf
(251)
∆ H = variação de entalpia
Es
Fm
Md
NOBÉLIO
Am
No
(252)
(257)
L = litro
R = 0,082 atm . L / K mol
(258)
(259)
LAURÊNCIO
(244)
FÉRMIO
Pu
99
MENDELÉVIO
(237)
98
EINSTÊINIO
Np
CALIFÓRNIO
U
238,0
BERQUÉLIO
(231)
CÚRIO
Pa
95
AMERÍCIO
232,0
PLUTÔNIO
Th
(227)
92
91
NETÚNIO
TÓRIO
Ac
90
URÂNIO
89
VII
PROTACTÍNIO
Série dos Actinídios
Símbolo
Massa Atômica
( ) - elemento
radioativo
Pr
140,9
61
GADOLÍNIO
140,1
PROMÉCIO
Ce
60
59
NEODÍMIO
CÉRIO
La
58
138,9
ACTÍNIO
NOME DO ELEMENTO
CONVENÇÕES:
VI
LANTÂNIO
57
Número Atômico
PRASEODÍMIO
Série dos Lantanídios
Lr
(260)
NA: 6,02 x 1023
317
318
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Gabarito de respostas aos exercı́cios...
FÍSICA
Mecânica – Aula 1
1. a) 1 N = 1 kg · 1 m/1 s2 1. b) n = 2 e p = 4 2. d) 3. d) 4. c) 5. a) 3, 600 km , b) 21, 600 km , c) 3 × 10−5 ,
d) 0, 5780 km , e) 27, 600 km , f ) 5, 800 × 10−3 km 6. b) 7. a) 5, 70000 × 105 , b) 1, 2500 × 105 , c) 5, 0000000 × 107
, d) 1, 2 × 10−6 , e) 3, 2 × 10−2 , f ) 7, 2 × 10−1 , g) 8, 2 × 104 , h) 6, 40 × 107 , i) 9, 150 × 100 , j) 2, 00 × 10−3 , k)
5 × 101 , l) 2, 5 × 10−7
Mecânica – Aula 2
1. a) 6,5 cm , b) 1,8 cm , c) 3,7 cm , d) 4,3 mm , e) 51,2 mm , f ) 42,3 mm 2. e)
3. d)
4. c)
5. a)
Mecânica – Aula 3
√
1. b) 130 m 2. 100 N 3. vx = vy = 200 2 m/s 4. 7, 0 N , 38, 2◦ c/ a horiz. 5. 6, 0 m/s 6. vx = 120 m/s e
vy = 160 m/s 7. 940 km/h
Mecânica – Aula 4
1. b)
2. e)
3. a)
4. b)
5. c)
6. b)
Mecânica – Aula 5
1. a) 1, 0 m/s2 , b) TAB = 3, 0 N e TBC = 11 N 2. a)
16 N 5. 3 m/s2 e 78 N 6. a) 7. c)
3. a) 1, 0 m/s2 , b) 4, 5 N 4. a) 2, 0 m/s2 , b) 12 N , c)
Mecânica – Aula 6
1. d)
2. e)
3. c)
4. a)
5. vf = 17, 85 m/s 6. Fmed = 950 N 7. a) 580 J , b) 72, 5 W
Mecânica – Aula 7
1. a) Energia potencial elástica. , b) Energia potencial gravitacional. , c) Sim, ele possui energia potencial
gravitacional. 2. a) É dissipada pela força viscosa (atrito) do ar e vira calor e energia cinética. , b) Não.
Como a força resultante sobre ele é nula, não há trabalho realizado sobre ele. 3. b) 4. e) 5. b) 6. a)
Ep = 5, 0 J , b) vmax. = 10 m/s 7. ) W = 25 J 8. a) 150 J , b) 90 J
Mecânica – Aula 8
3. b) 4. c) 5. e) 6. a) 7. a) k = 50 N/m , b) Wext = 4, 0 J , c) Wmola = −4, 0 J , d) Wext = 16, 0 J , e)
F = 40 N 8. a) WP = −150 J , b) ∆Ep = +150 J 9. ) 0, 30 m
Mecânica – Aula 9
1. b)
2. a) 1, 0 N , b) 3, 0 N 3. a)
4. c)
5. c)
6. b)
Mecânica – Aula 10
1. V V F V F 2. FVFFF 3. a) Não, pois sua velocidade é constante. , b) É nulo. , c) Zero. 4. ) 200 N · s 5.
) 1, 0 × 103 kg · m/s 6. c) 7. ) Fmed = 14 N
320
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Mecânica – Aula 11
√
√
1. 0, 700 kg · m/s a 135◦ com a direção inicial da bola. 2. a) I = −m 2gh , b) ∆Q = −m 2gh , c) São iguais,
pois I = ∆Q 3. a) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = −2, 5 N · s , b) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 m
temos I = −2, 0 N · s
Mecânica – Aula 12
1. 0, 133 m/s 2. 4, 0 m/s 3. 0, 67 m/s 4. 3, 75 m/s 5. 70 kg 6. d)
linear num sistema isolado.
7. ) 60 s , ) Conservação do momento
Mecânica – Aula 13
1. a) 2. a) vn = −v0 /3 e vd = 2v0 /3 , b) vn = vf = v0 /3. Não, pois a energia cinética não é mais conservada.
3. vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4. v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5. a) 45◦ com a
horizontal. , b) v0 = 20 m/s , c) I = 10 kg · m/s 6. c)
Mecânica – Aula 14
1. b) 2. a) 3. a) Ambas as forças tem mesma intensidade pois são do tipo ação-reação. , b) Porque a
mão está protegida pela luva. 4. a) 20.000 N , b) O caminhão. , c) No automóvel. 5. 4, 0 m/s2 6. O remo
empurra a água para trás, sofrendo uma reação para frente, que é ransmitida ao barco. 7. a) 2, 0 m/s2 ,
b) 10 N 8. c)
Mecânica – Aula 15
1. b)
2. c) 3. b)
4. a)
5. a)
6. c)
Gravitação – Aula 1
2. e)
3. b)
4. e)
5. c)
6. c)
7. c)
4. a)
5. e)
6. d)
Gravitação – Aula 2
1. b)
2. e)
3. a)
7. d)
Gravitação – Aula 3
1. a) 39, 2 N , b) 6, 4 N 2. Não. A balança de farmácia compara massas e portanto mede a massa do
indivı́duo. 3. a) 4. d) 5. c) 6. a) Sim. , b) P = (1 kg) ∗ G , c) A mesma (1 kg) 7. 4, 0 kg
Gravitação – Aula 4
√
1. TA C = 50 3 N e TB C = 50 N 2. 4 kg 3. FA = 300 N e FB = 100 N 4. Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N 5.
−3, 6 N · m, 0 e 4 N · m 6. a) 0 N , b) 48 N · m , c) 24 N · m
Ótica – Aula 1
1. 9, 46 × 1015 m 2. H = 90m 3. D = 30cm 4. i = 55◦ 5. x = 2d + D
Ótica – Aula 2
1. b) p′ = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2. a) p = 12 cm , b) 0, 6 cm 3. a) 26, 7 cm , b) 80 cm 4. a) −30 cm , b) −60 cm 5.
b) 6. a) 35 cm do espelho. , b) 210 cm
Ótica – Aula 3
1. n = 1, 25 2. n = 2 3. a) na /nv = 8/9 , b) vv /va = 8/9 , c) O ı́ndice de refração de um meio é inversamente
proporcional à velocidade da luz no meio. 4. n = 1, 732 5. n = 1, 58 6. a) O meio A. Ao passar de B para
A o feixe se aproxima da normal. , b) No meio B, pois é menos refringente que o A.
Ótica – Aula 4
Gabarito – Respostas aos exercı́cios...
321
1. p′ = −15 cm, imagem direta e menor. 2. a) Imagem real, invertida e maior. , b) p′ = 120 cm e i = 4 cm
3. 5X 4. a) p′ = 10 cm, do mesmo lado do objeto. , b) Imagem virtual, direta e maior. 5. a) f = −20 cm ,
b) Divergente. 6. a) Divergente. , b) 5 di
Ótica – Aula 5
1. 20 cm 2. A: +2 di (convergente) e B: −2 di (divergente) 3. +1 di 4. a) Divergente. , b) −5 di
Fluidos – Aula 1
1. 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2. 11, 2 kg 3. a) 0, 3 g/cm3 , b) 1, 1 g/cm3 4. 1, 05 × 104 P a, 0, 1 atm 5. a)
Porque a área de contato do pneu de bicicleta com o chão é muito pequena, a pressão deve ser grande. ,
b) ptotal ≈ 2, 75 atm , c) A manométrica, pois mede a diferença de pressão entre o interior e o exterior do
pneu.
Fluidos – Aula 2
1. b) 2. a) 3, 0 × 104 P a , b) 1, 5 × 105 P a , c) 8, 0 × 103 P a 3. 1, 01 × 105 P a ou 1 atm ou 760 mmHg 4. a) No
maior. , b) No menor. , c) 50 N 5. 12, 8 cm 6. 8% 7. 16 N
Cinemática – Aula 1
1. c)
2. b)
3. b)
4. d)
5. e)
6. b)
4. c)
5. d)
6. e)
4. a)
5. b)
6. c)
4. b)
5. b)
6. c)
Cinemática – Aula 2
1. d)
2. d)
3. e)
Cinemática – Aula 3
1. a)
2. d)
3. b)
Cinemática – Aula 4
1. a)
2. d)
3. e)
Cinemática – Aula 5
1. c)
2. c)
3. c)
4. e)
5. b)
6. c)
Ondas – Aula 1
2. c)
3. e)
4. θ ≈ 23◦ 5. d)
6. L9 /L1 6 = (16/9)2 7. 25, 3 cm
Ondas – Aula 2
1. c)
2. e)
3. c)
4. c)
5. e)
6. a)
4. b)
5. d)
6. a)
4. c)
5. b)
6. d)
7. d)
Ondas – Aula 3
1. e)
2. c)
3. d)
Ondas – Aula 4
1. e)
2. c)
3. b)
Ondas – Aula 5
1. a) 30 m/s , b) Se aproxima, pois a frquência aumenta. , c) Diminui 10%. 2. b) 3. a) Afastando-se do
apito em alta velocidade, o seu som poderia ser ouvido. , b) vaf ast. = (4/5)vsom 4. c) 5. a) 6. d)
Termodinâmica – Aula 1
1. b)
2. a)
3. d)
4. d)
5. b)
6. e)
322
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Termodinâmica – Aula 2
1. a)
2. a)
3. e)
4. c)
5. a)
6. e)
5. c)
6. d)
5. a)
6. a)
5. a)
6. e)
5. a)
6. e)
Termodinâmica – Aula 3
1. d)
2. a)
3. c)
4. d)
Termodinâmica – Aula 4
1. b)
2. a)
3. e)
4. d)
Termodinâmica – Aula 5
1. c)
2. b)
3. a)
4. b)
Termodinâmica – Aula 5
1. c)
2. b)
3. a)
4. b)
Termodinâmica – Aula 7
1. d)
2. e)
3. a)
4. c)
, e) 90 g 5. d)
6. c)
Termodinâmica – Aula 8
1. a)
2. b)
3. c)
4. b)
5. e)
6. d)
5. d)
6. c)
5. a)
6. b)
Termodinâmica – Aula 9
1. d)
2. a)
3. a)
4. b)
Termodinâmica – Aula 10
1. d)
2. a)
3. e)
4. c)
Termodinâmica – Aula 11
1. e)
2. a) No intervalo de t1 até t2 . , b) No intervalo de t3 até t4 . , c) 10, 2 kcal 3. c)
Eletricidade – Aula 1
1. qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2. a) Lã (-), vidro (+) , b) Lã (+), cobre (-) 3. d) 4. a) Enconstar as
três esferas simultaneamente e afastá-las. , a) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , a)
Impossı́vel. 5. d) 6. c) 7. a)
Eletricidade – Aula 2
1. Diminui para F/16 2. F ′ = 3F/4 3. a) Empurra os elétrons do eletroscópio para as extremidades
(hastes), afastando-as. , b) Parte da carga do corpo passa para o eletroscópio, afastando suas hastes. 4.
2, 0 × 10−7 C 5. ) c) 6. d)
Eletricidade – Aula 3
1. a) +7, 5 × 10−2 N , b) Para a direita, no sentido da força elétrica. 1. c) −7, 5 × 10−2 N , para a esquerda.
2. a) 0, 144 N , b) 28, 9 kN/C 3. a) 2 × 103 m/s2 , b) 16.000 m/s 4. a) 7, 0 × 10−10 C , b) 70 N/C 5. 4, 9 mC 6.
−0, 05 C
Eletricidade – Aula 4
1. 8 × 10−7 V 2. a) V = 0 , b) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , c) Que a soma
de grandezas escalares e vetoriais é diferente. 3. a) 1 kV , b) −1 kV 4. a) 1, 0 × 10−7 C , b) 900 V /m
5. 5, 4 × 105 V , se a carga negativa e o vértice A, pertencerem ao mesmo lado, senão, 2, 22 × 106 V . 6.
W = −45 mJ, negativo porque as cargas se repelem, e a força esterna deve ser contrária ao deslocamento.
323
Gabarito – Respostas aos exercı́cios...
Eletricidade – Aula 5
1. 2, 3 × 10−13 J 2. −0, 9 J 3. a) 1, 0 nC , b) −30 V , c) 10 µJ 4. a) V = mgd/q , b) A inferior deve ter carga
positiva, e portanto, maior potencial elétrico. 5. e) 6. c)
Eletricidade – Aula 6
1. V V F V V 2. V V V F V 3. a) V = 180 V e E = 0 , b) V = 108 V e E = 216 V /m 4. a) qA = 3Q/4 e qB = 9Q/4 ,
b) VA = VB = 3kQ/4R 5. a) qA = 1, 0 µC e qB = 2, 0 µC , b) VA = VB = 9, 0 kV , c) De B para A, pois no inı́cio
a esfera B tinha excesso de elétrons. 6. a) 6, 25 × 1012 , b) A esfera A, pois a esfera B tem mais elétrons
do que a esfera A. 7. a) 6, 4 × 108 V , b) 4, 55 × 105 C
Eletricidade – Aula 7
1. a) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = −4 kV 2. ) C/2 3. 56, 5 kV /m 4. A partı́cula não tem energia suficiente
para atingir a segunda placa. 5. e) 6. b) 7. 1, 8 × 10−4 C
Eletricidade – Aula 8
1. R$ 3,47 2. 12, 5 µF 3. 17, 1 µF 4. 810 J 5. V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0 × 10−5 C 6. 50 V 7. b)
Eletricidade – Aula 9
1. c)
2. d)
3. a)
4. c)
5. e)
, e) R = 6 Ω 6. d)
5. c)
6. c)
Eletricidade – Aula 10
1. d)
2. c)
3. b)
4. a)
7. e)
Eletricidade – Aula 11
1. c)
2. b)
3. d)
4. a) R2 = {101, 8 Ω, 0, 2 Ω} , b) P2 = {101, 7 W, 4, 1 W }
Eletricidade – Aula 12
1. d)
2. c)
QUÍMICA
Quı́mica – Aula 1
1. F V F V V V 2. V V V F V 3. e)
4. b)
5. e)
6. b)
Quı́mica – Aula 2
1. c)
2. d)
3. V V V V F 4. a)
5. d)
Quı́mica – Aula 3
1. Al3+ e S 2− 2. a)
3. bde 4. a) oxigênio (Z = 8) , b) magnésio (Z = 12)
Quı́mica – Aula 4
1. e)
2. a)
3. e)
4. b)
5. d)
6. ?
4. e)
5. a)
6. c)
4. d)
5. d)
6. b)
Quı́mica – Aula 5
1. d)
2. d)
3. b)
Quı́mica – Aula 6
1. c)
2. e)
3. e)
Quı́mica – Aula 7
1. mH2 O = 54 kg 1. VCO2 = 20 m3 2. e)
3. d)
4. a)
5. a)
6. e)
324
Apostila para o Vestibular Vocacionado UDESC
Quı́mica – Aula 8
1. b)
2. e)
3. d)
4. b)
5. a)
6. d)
4. d)
5. K = 1, 8 × 10−5 6. a)
Quı́mica – Aula 9
1. c)
2. e)
3. b)
Quı́mica – Aula 10
1. pH = 2 e pOH = 12 2. e)
3. b)
4. e)
5. c)
Quı́mica B – Aula 1
1. c)
2. QQQF F F 3. b)
4. c)
5. e)
6. b)
4. b)
5. d)
6. c)
Quı́mica B – Aula 2
1. V V V V V V 2. a)
3. e)
Quı́mica B – Aula 3
1. c)
2. F F V V F 3. b)
4. e)
5. c)
6. e)
Quı́mica B – Aula 4
1. c)
3. c)
4. b)
5. b)
Quı́mica B – Aula 5
1. 61 2. c)
3. e)
4. d)
5. e)
6. e)
Quı́mica B – Aula 6
1. d)
2. c)
3. d)
4. e)
5. c)
6. e)
4. c)
5. c)
6. e)
4. b)
5. d)
6. b)
5. c)
6. e)
7. c)
5. a)
6. b)
7. e)
8. b)
Quı́mica B – Aula 7
1. c)
2. e)
3. a)
Quı́mica B – Aula 8
1. e)
2. e)
3. d)
Quı́mica B – Aula 9
1. e)
2. b)
3. e)
Quı́mica B – Aula 10
1. d)
2. b)
3. e)
Quı́mica B – Aula 11
3. e)
5. d)
6. d)
Quı́mica B – Aula 12
2. 21
Quı́mica Orgânica – Aula 1
Quı́mica Orgânica – Aula 2
6. pH = 12
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325
Gabarito – Respostas aos exercı́cios...
Quı́mica Orgânica – Aula 3
1. ) 07 2. b)
3. e)
4. d)
5. b)
6. c)
Quı́mica Orgânica – Aula 4
MATEMÁTICA
Matemática A – Aula 1
1. e)
2. c)
3. d)
4. 02+08+32=42 5. a)
6. d) c = 2/3; a = −1/3
7. d)
Matemática A – Aula 2
1. a) n = −8, m = 6
2. b)
3. a)
4. d) a = −1, b = 3
5. b)
6. a)
7. a) 220 , b) 10 ≤ x ≤ 20
Matemática A – Aula 3
1. b) x = −1
2. c) x = {−2, 3}
3. b)
4. b)
5. c)
6. e) x = 4/3, y = 2/3
Matemática A – Aula 4
1. c) x = ±2
2. b) dica: reduzir os logarı́tmos à base 6
3. c) dica: sin2 (x) + cos2 (x) = 1
4. a)
5. d)
Matemática A – Aula 5
1. b) p = 2, q = −2
2. e)
3. d)
4. c)
6. b) x = {2, −3}
5. e)
√
√
7. a) d = 10 , b) x = {2, 5, − 5}
Matemática A – Aula 6
1. c) x = {2, 3}
2. d) x = {−1, 1, 7, 13}
3. b)
4. a)
5. c)
6. d)
Matemática A – Aula 7
1. d)
2. e)
3. c)
4. d)
5. e)
6. c)
5. b)
6. a) y = 2x , b) 9/8 7. b)
5. c)
6. b)
5. e)
6. b)
Matemática A – Aula 8
1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
Matemática A – Aula 9
1. b)
2. e)
3. e)
4. c)
Matemática A – Aula 10
1. c)
2. d)
3. a)
4. b)
7. c)
Matemática B – Aula 1
1. ((3, 4, 5), (5, 6, 7), (7, 8, 9)) 2. A = ((2, −8), (−9, 4)) 3. e)
4. c)
5. x = 3, y = 4 e z = 4 6. 6 7. 8
Matemática B – Aula 2
1.
A = ((1/5, −2/5), (2/5, 1/5)) 2.
e)
3.
a)
((31, −23, −1), (1, 1, −1), (−7, 5, 1)) 6. B = I3 7. c) 8. d)
4.
X = ((−4, −3), (9, −5), (10, −4)) 5.
B =
Matemática B – Aula 3
1. d)
e)
2. a) A = ((0, −3), (3, 0))q
, b) B = ((3, 0), (0, 3)) , c) A · B = ((0, −9), (9, 0)) , d) 81 3. det(A · AT ) = 16 4.
5. e)
6. d)
7. tan x = −
Matemática B – Aula 4
5
3
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2. a) é normal , b) não é normal 3. k 6= ±1 4. a) x = 1, y = 2 , b) x = −31/5, y = 29/5, z = −1/5 , c) x = 2,
y = −1, z = −3 , d) x = 1/4, y = −1/3, z = −1
Matemática B – Aula 5
1. determinado: x = 9, y = −7, z = −4
Matemática B – Aula 6
1. S30 = 750 2. S7 = 98 3. n = 10 4. d)
5. 2x/3=60 6. -1 7. 965
Matemática B – Aula 7
1. a) PG com r = −6 , b) PG com r = −2/3 2. ) P53 = 1 3. d)
4. b)
5. 227 6. b)
7. r = 2/3 8. S3 = 3/8
Matemática C – Aula 1
1. b)
2. d)
3. e)
4. d)
5. a)
6. c)
7. c)
Matemática C – Aula 2
1. e) 227
2. a)
3. b)
4. d)
5. c)
6. a)
7. b)
8. d)
Matemática C – Aula 3
1. c)
2. a)
3. d)
4. b)
5. e)
6. a)
7. d)
8. e)
9. d)
10. b)
Matemática C – Aula 4
1. m = 9, n = 4 2. 40.000, 16.000 e 24.000, respectivamente 3. 30:75:105 4. a) 3/2 , b) 3/2 , c) 3/40 , d)
3/4 , e) 1/6 , f ) 5/1 5. a) 6. b) 7. d)
Matemática C – Aula 5
1. a)
2. b)
3. d)
5. d)
6. c)
7. 6 horas 8. 35 dias 9. 15 dias 10. 10 horas/dia 11. 2.025 m
5. c)
6. a)
Matemática C – Aula 6
1. d)
2. b)
3. a)
4. d)
7. b)
Matemática C – Aula 7
1. b) 2. b) 3. a) x2 + 9x + 20 , b) 9x2 + 3x 4. e) 24
dı́gito não pode ser 0.
5. d)
6. c)
7. b)
8. d)
9. e) dica: o primeiro
Matemática C – Aula 8
1. b) A6,5 = 720 2. b) C8,5 = 56 3. e) A3,1 + A3,2 + A3,1 = 15 4. a) A9,3 = 504 5. e) A10,4 = 5040 6. b)
C5,2 · C6,3 = 200 7. a) A7,7 = P7 = 5040 8. c) A8,3 = 336 9. a) C10,6 = 210 10. e) C6,3 · C4,2 = 120 11. b)
C7,5 = 21 12. a) P5 = 120 13. d) A6,3 · C3,1 = 360 14. d) C10,4 = 210 15. a) P4 = 24 16. d) C7,3 = 35
Matemática C – Aula 9
1. 27 2. x = {4, −5} 3. 256 4. n = 7 5. 501 6. 144 x7 7. 15 x7 8. −30 x9 9. 160 x3 y 3 10. −2.187 11. 6.561 12.
d) 13. b) 14. b) 15. e) 16. c) 17. a) 18. c)
Matemática C – Aula 10
1.
a) 1/6 , b) 1/2 , c) 1/3 , d) 1 , e) 0 2.
)
1/4 3.
a) 4 possibilidades:
{AA, AB, BA, BB} , b) 36 possibilidades: {11, 12, 21, 22, 13, 31, 33, . . ., 56, 65, 66} , c) 12 possibilidades:
{A1, B1, A2, B2, A3, B3, . . . , A6, B6} , d) 16 possibilidades: {0000, 0001, 0010, 0011, . . ., 1111} , e) 120 possibilidades: {P ROV A, P ROAV, P RAV O, P ROAV, . . . , AV ORP } 4. b) dica: divida 240/13 para achar o número de
múltiplos de 13. 5. d) dica: p = 2 · 1 · 8 · 7 · 6/10 · 9 · 8 · 7 · 6 6. e) 7. b) dica: p = 28 /C6,3 . 8. d) 9. b)
327
Gabarito – Respostas aos exercı́cios...
Matemática C – Aula 11
1. d)
1. h)
2. b) x = 3
3. b)
4. a)
5. c)
6. c)
7. a)
8. b)
Matemática C – Aula 12
1. x = {0, pi/4, pi, 5π/4} 1. x = {±pi/6} 1. x = {5π/6 11π/6} 2. e)
x = {π/4, 5π/4}
3. d)
3. g)
4. c)
5. e)
6. c) dica:
Matemática C – Aula 13
1. x = π/3 ou x = 60◦ 2. α = 20◦ 3. β = 10◦ 4. d) dicas: D = C20,2 − 20 ou D = 20 · 17/2
8. d) 9. a) 10. e) 15◦ 11. b) 12. b) 13. c) dica: N=12
5. b)
6. a)
7. c)
6. a)
Matemática C – Aula 14
1. 10 cm 1. m = 6, 4 cm e n = 3, 6 cm 1. h = 4, 8 cm 2. e) m = 3 cm e n = 4 cm
7. b) 8. c)
Matemática C – Aula 15
√
√
1. e) 2. a) 4 cm , b) 2 3 cm , c) 24 3 cm2 , d) 12π cm2 3. 50π cm2 4. c)
Matemática C – Aula 16
√
1. C(5, −3) e R = 10 2. x2 + y 2 = 16 3. x2 + y 2 + 4x − 4y + 3 = 0 4. a)
10. c) 11. d)
3. b)
4. d)
5. d)
5. a)
6. d)
7. a)
8. b)
5. d)
6. c)
7. b)
8. d)
9. c)
9. e)
Matemática C – Aula 17
1. a)
2. d)
3. b)
4. a)
5. b)
6. d)
7. a)
Matemática C – Aula 18
1. F V V F V F F F V V 2. d)
3. V V V F F 4. c)
5. b)
6. c)
Matemática C – Aula 19
1. c)
2. c)
3. c) dodecaedro
4. b)
5. c)
Matemática C – Aula 20
1. d)
2. b)
3. c)
3. d)
4. e)
5. c)
5. a)
6. d)
6. a)
7. b)
LÍNGUA PORTUGUESA
Lı́ngua Portuguesa – 01
1. c)
2. b)
3. d)
4. e)
Lı́ngua Portuguesa – 02
1. a) secretária , d) partirá , f ) além , g) voo , h) fórceps , i) álbuns – famı́lia 2. c) 3. história, Palácio,
Pátio, consequência, três, inúteis, só. 4. a) 5. polêmica, cúpula, preparatórias, Após, última, Cúpula,
já, signatárias, sociólogo, comitê, Solidária, crı́tica, dinamarquês, Nós, Até, cúpula, dúvidas, equilı́brio,
macro-econômico, desequilı́brios.
Lı́ngua Portuguesa – 03
1. c)
2. c)
3. e)
4. b)
Lı́ngua Portuguesa – 04
1. b)
2. e)
3. a)
4. d)
Lı́ngua Portuguesa – 05
5. e)
6. e)
7. e)
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1. a) se arrepiava , b) se ouvia , c) lhe vinha , d) lembrou-se , e) lhe importava , f ) escutou-se , g)
Levanta-se , h) se vendem , i) me levaram , j) se babando 2. c) 3. 43 (01,02,08,32) 4. c) 5. e) 6. c)
Lı́ngua Portuguesa – 06
1. a) à janela , c) à disciplina 2. c)
3. c)
4. À,À,A,A,A,A 5. e)
6. a)
Lı́ngua Portuguesa – 07
1. e)
2. e)
3. b)
4. c)
5. a)
6. d)
Lı́ngua Portuguesa – 08
1. a) 2. a) 3. d) 4. e) 5. a) discrição , b) retificar , c) vultosa , d) eminente , e) infringisse , g)
tachado 6. a) anti , b) anti , c) ante 7. F CBADE 8. a) a , b) Há , c) Há , d) a 9. a) Mal , b) mau , c) mal
Lı́ngua Portuguesa – 09
1. b)
2. e)
3. c)
Lı́ngua Portuguesa – 10
1. b)
2. b)
3. d)
Lı́ngua Portuguesa – 11
1. e)
2. b)
3. e)
4. e)
Lı́ngua Portuguesa – 12
1. b)
2. b)
3. e)
4. b)
Lı́ngua Portuguesa – 13
Literatura – Aula 14
Literatura – Aula 15
Literatura – Aula 16
Literatura – Aula 17
Literatura – Aula 18
HISTÓRIA
História – Aula 1
5. d)
6. a)
7. a)
9. a)
10. c)
11. b)
Referências Bibliográficas
[1] ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Fı́sica.
volume único, São Paulo: Editora: Scipione.
[22] MARCONDES, Carlos Alberto. Matemática, Volume
único, São Paulo: Editora Ática, 2003.
[2] BONGIOVANNI, Vicenzo; LEITE, Olı́mpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, José Luiz Tavares. Matemática e Vida. Volume único, São Paulo: Editora
Ática, 1990.
[23] SANTOS, Carlos A. M.; GENTIL, Nelson; GRECO,
Sérgio E. Matemática. Volume Único. 7a edição. São
Paulo: Ática, 2003.
[24] NETO, ANTAR. Matemática Básica. Volume único,
São Paulo: Editora Atual, 1984.
[3] BONJORNO, José Roberto. Matemática Fundamental, volume único, São Paulo: Editora FTD, 1994
[25] OLIVEIRA, Antônio Narmo; SILVA, Agostinho. Biblioteca da Matemática Moderna. Tomo III, São
Paulo: Impressão e encadernação da comp. Melhoramentos de São Paulo, 1970.
[4] CARRON, Wilson e GUIMARÃES, Osvaldo. Fı́sica.
volume único, São Paulo: Editora Moderna, 1999.
[5] Don Bosco, Apostila. Fı́sica. 3o ano, Curitiba: Editora
Don Bosco, 2004.
[26] PARANÁ, DJALMA NUNES DA SILVA. Fı́sica. volume único, São Paulo: Editora Ática, 2002.
[6] FELTRE, Ricardo. Quı́mica. Volume único, São
Paulo: Editora Moderna, 2003.
[27] Povoamento-Imigração Colonização.Edição do Autor,
Joinville-SC, 1983. História de Santa Catarina, 1o Volume, Grafipar, 1970.
[7] FERRARO, Nicolau Gilberto; PENTEADO, Paulo
César; SOARES, Paulo Toledo; TORRES, Carlos
Magno. Fı́sica. Volume único, São Paulo: Editora Moderna, 2001.
[28] SAMPAIO, José Luiz e CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Fı́sica, v. 1. São Paulo: Atual, 2001, p. 483484.
[8] GASPAR, Alberto. Fı́sica. vol. 1, Editora Ática, São
Paulo: Editora Ática, 2000.
[29] SANTOS, CARLOS ALBERTO MARCONDES
DOS, GENTIL, NELSON e GRECO, SÉRGIO
EMÍLIO. Matemática para o Ensino Médio. Volume
único, São Paulo: Editora: Ática.
[9] GIOVANNI, José R. ; Bonjorno, José R. ; Giovanni
Jr., José R. Matemática Fundamental .2o. Grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
[30] SARDELLA, ANTÔNIO. Quı́mica. Volume único,
São Paulo: Editora Ática, 2002.
[10] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER,
Jearl. Fundamentos de Fı́sica. Volume 1, Rio de Janeiro: editora LTC, 1993.
[31] SCHNEIDER, Adolfo Bernardo; HANSA HUMBOLD ontem, hoje CORUPÁ-(Baseado no arquivo
de Gerhardt Herrmann), Edição do autor, CorupáSC, 1985.
[11] http://sites.uol.com.br/helderj
[12] http://sites.uol.com.br/helderjf
[32] Usberco, João e salvador, Edgard, Quı́mica - volume
único, 5 ed. reform. São Paulo : Saraiva, 2002.
[13] http://www.coladaweb.com/fisica/gravitacao.html
[14] http://www.educar.sc.usp.br/ciencias/quimica.
[15] http://www.jornaldaeducacao.inf.br/jornal162/imp.htm
[16] http://www.merkquimica.com.br
[33] YOUSSEF, ANTONIO NICOLAU e FERNANDEZ,
VICENTE PAZ. Matemática. Conceitos fundamentais. Vols. 1 e 2, São Paulo: Editora Scipione, 1993.
[17] http://www.qmc.ufsc.com.br
[18] http://www.vestibular1.com.br
[19] IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; TEIXEIRA, José
Carlos; MACHADO, Nilson José; GOULART, Márcio
Cintra; CASTRO, Luiz Roberto Silveira e MACHADO, Antonio dos Santos, Matemática, vol. 2, São
Paulo: Atual Editora, 1991.
[20] IMENES, Luiz Mário. Dicionário de Matemática. São
Paulo: Editora Scipione,1998
2
[21] KORMANN, José; Secretaria Municipal de Educação,
Apostila de Estudos Sociais, Corupá-SC, 2003.
2
Essa revisão contém um total de 141 aulas e 894 exercı́cios.
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Carga Elétrica - Instituto de Física da UFBA

Enunciado - Departamento de Matemática

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