BLU 6001 - Cálculo I
Professora Louise Reips
Lista de Exercı́cios - Problemas
1. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2
m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa
de 2 m3 /min, encontre a taxa na qual o nı́vel da água estará elevado quando a água
estiver a 3 m de profundidade.
2. Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância
de uma câmera de televisão montada no nı́vel do chão. À medida que o balão sobe,
aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmera faz com o chão.
Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se: Quando o balão
estiver a 75 m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmera?
3. Um radar da polı́cia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros
de uma rodovia, que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto
da rodovia mais próximo do radar da polı́cia, está um telefone de emergência. O
policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo
telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro
está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da
rodovia é de 80 km/h. O policial deve ou não multar o motorista?
4. Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio aumenta a uma
taxa de 0,1 dm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio é de 50
cm?
5. A potência dissipada P (em watt), a resistência R (em ohms) e a corrente I (em
amperes) de um circuito estão relacionadas pela equação P = RI 2 .
dP dR dI
,
e
se P , R e I não são constantes em relação
a) Como estao relacionadas
dt
dt
dt
ao tempo?
dR
dI
b) Como
está relacionada com
se P é constante?
dt
dt
6. A Lei de Poiseuille expressa o fluxo do sangue F como uma função do raio r do
vaso sanguı́neo de acordo com F = kr4 , onde k é uma constante. Quando o raio
do vaso sanguı́neo é reduzido, por exemplo com depósitos de colesterol, podem ser
administrados medicamentos que aumentam o raio do vaso sanguı́neo (e, portanto, o
fluxo de sangue). Encontre a taxa de variação percentual do fluxo de sangue ao tomar
um medicamento que eleva o tamanho do raio de um vaso sanguı́neo de 2cm para
2,24cm.
Considere que a taxa de variação percentual do fluxo é dada por
1
dF
dt
F
.
7. Encontre as dimensões de um retângulo com perı́metro de 100 m cuja área seja a maior
possı́vel.
8. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32000 cm3 . Encontre
as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
9. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo
com catetos de comprimentos 3 e 4 cm, se dois lados do retângulo estiverem sobre os
catetos.
10. Para um peixe nadando a uma velocidade v em relação à água, a energia gasta por
unidade de tempo é proporcional a v 3 . Acredita-se que os peixes migratórios tentam
minimizar a energia total requerida para nadar a uma distância fixa. Se o peixe estiver
nadando contra uma corrente u(u < v), então o tempo requerido para nadar a uma
L
e a energia total E requerida para nadar a uma distância é dada
distância L é
v−u
por
L
v−u
onde a é uma constante de proporcionalidade. Determine o valor de v que minimiza
E.
E(v) = av 3
11. Em uma colméia cada célula é um prisma hexagonal regular, aberto no extremo com um
ângulo triédrico no outro extremo. Acredita-se que as abelhas formam essas células
de forma a minimizar a área superficial para um dado volume, usando assim uma
quantidade mı́nima de cera na construção. O exame dessas células mostrou que a
medida do ângulo do ápice θ é surpreendentemente consistente. Baseado na geometria
da célula, pode ser mostrado que a área superficial S é dada por
3
S = 6sh − s2 cotgθ +
2
√ !
3
3s
cossecθ
2
2
onde s, o comprimento dos lados do hexágono, e h, a altura, são constantes.
a) Calcule
dS
e diga, assim, que ângulo deveriam preferir as abelhas.
dθ
12. Seja v1 a velocidade da luz no ar e v2 a velociadade da luz na água. De acordo com o
Princı́pio de Fermat, um raio de luz viajará de um ponto A no ar para um ponto B na
água por um caminho ACB que minimiza o tempo gasto. Mostre que
sin θ1
v1
=
sin θ2
v2
onde θ1 (o ângulo de incidência) e θ2 (o ângulo de refração) são conforme a figura
abaixo. A equação acima é conhecida como Lei de Snell.
2
Respostas:
1.
8
m/min.
9π
2.
18
m/s.
5
3. Ele deverá ser multado.
4. 10πcm2 /min.
5. a)
b)
dR 2
dI
dP
=
I + 2RI .
dt
dI
dt
dR
2R dI
=−
.
dI
I dt
6. Haverá um aumento correspondente de 48% no fluxo de sangue através desse vaso,
nesse perı́odo.
7. 25 m x 25 m.
8. 40 cm x 40 cm x 20 cm.
9. 3 cm2 .
10. v = 32 u.
11. θ ≈ 55o .
3