Departamento de Engenharia Civil
Apoios Geodésico e Topográfico
Rosa Marques Santos Coelho
Paulo Flores Ribeiro
2006 / 2007
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO................................................................................................................... 3
2. TRIANGULAÇÃO E TRILATERAÇÃO ............................................................................... 3
2.1. Estabelecimento de uma rede de triangulação........................................................... 3
2.2. Estabelecimento de uma rede de triângulos baseado na trilateração......................... 4
2.3. Triangulação aérea .................................................................................................... 4
3. TRIANGULAÇÃO GEODÉSICA EM PORTUGAL CONTINENTAL.................................... 5
3.1. Rede geodésica de 1ª ordem ..................................................................................... 8
3.2. Rede Geodésica de 2ª Ordem ................................................................................. 10
3.3. Rede Geodésica de 3ª Ordem ................................................................................. 11
4. TRIANGULAÇÃO TOPOGRÁFICA / CADASTRAL ......................................................... 12
4.1 Operações de campo ................................................................................................ 13
4.2 Operações de gabinete ............................................................................................. 13
5. BIBLIOGRAFIA................................................................................................................ 14
6. CÁLCULO E COMPENSAÇÃO DE UMA POLIGONAL DE APOIO ................................. 15
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1. INTRODUÇÃO
Para a elaboração de cartas é necessário o conhecimento rigoroso das coordenadas
geográficas de um número de pontos suficientemente grande para definir a região a
representar. Esses pontos irão servir de apoio aos levantamentos topográficos, evitando, por
um lado, perdas de rigor no desenvolvimento dos mesmos e permitindo, por outro, a sua
ligação à Rede Geodésica Nacional (RGN). Um dos objectivos da geodesia consiste na
determinação das coordenadas rigorosas desses pontos de apoio. A sua determinação é,
contudo uma tarefa muito morosa, que se baseia na utilização do método das triangulações.
O método das triangulações foi um método de medição introduzido pelo geodeta holandês
Snellius (1591-1626) que veio dar um contributo muito importante na evolução da Geodesia.
O método das triangulações possibilitou aa determinação de distâncias ou comprimentos de
alinhamentos através da realização de medições angulares em polígonos fechados. Este
método era de tal forma rigoroso que se manteve como método de medição até aos nossos
dias.
2. TRIANGULAÇÃO E TRILATERAÇÃO
2.1. Estabelecimento de uma rede de triangulação
O estabelecimento de uma rede de triangulação baseia-se na relação que existe entre os
lados e os ângulos de um triângulo. As operações necessárias para o estabelecimento da
rede envolvem, por um lado, trabalhos de campo que consistem na materialização sobre o
terreno dos vértices da triangulação, utilizando estruturas destinadas para esse fim, na
medição rigorosa de todos os ângulos internos dos triângulos que a compõem e na medição
do comprimento de um dos lados de um triângulo da rede (base de medição) e envolvem,
por outro lado, a execução de trabalhos de gabinete com vista ao seu cálculo e
compensação. Para o cálculo da rede de triangulação é ainda necessário orientá-la e
determinar as coordenadas de um dos seus pontos, procedimentos que passam pela
observação no ponto astronómico fundamental ou origem fundamental (utilizando
observações astronómicas) das respectivas latitude, longitude e meridiano de lugar, sendo
este último deduzido através do azimute de uma direcção tomada como referência.
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A determinação do comprimento da base de medição foi inicialmente obtida por medição
directa de distâncias com recurso a fios ou fitas de invar; actualmente a rectificação é
efectuada através dos métodos electro-ópticos e electrónicos de medição de distâncias, que
conduzem a precisões da mesma ordem de grandeza.
2.2. Estabelecimento de uma rede de triângulos baseado na trilateração
Com o desenvolvimento dos aparelhos que se baseiam na medição indirecta de distâncias
através dos métodos electro-ópticos e electrónicos, os quais permitem a determinação de
grandes distâncias com erros absolutos de reduzida intensidade foi possível o
desenvolvimento e a popularidade dos métodos de localização planimétrica de pontos
baseados apenas na medição de distâncias entre eles. Estes processos denominam-se
trilateração.
2.3. Triangulação aérea
A observação e instalação da rede geodésica em Portugal teve início em finais do século
XVIII e desde essa altura foi objecto de várias revisões para melhorar a sua precisão e
cobertura. Actualmente, a revisão das redes geodésicas apoia-se fundamentalmente nos
modernos métodos de medição electrónica de distâncias e de posicionamento espacial. O
sistema GPS é agora bastante utilizado na triangulação aérea, com vista à obtenção de
imagens do terreno, nomeadamente para a produção de ortofotocartografia. Esta técnica
consiste em, através da ligação do sistema GPS ao centro óptico da lente da câmara
fotográfica, coordenar o centro de projecção de cada fotograma. São utilizados dois
aparelhos GPS (GPS diferencial), sendo um deles colocado à superfície do terreno, num
ponto de coordenadas conhecidas, e um 2º aparelho no avião, ligado à câmara fotográfica.
Esta técnica apresenta a grande vantagem da menor incidência de apoio de campo, sendo
apenas necessário o referido apoio nos cantos do fotograma.
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3. TRIANGULAÇÃO GEODÉSICA EM PORTUGAL CONTINENTAL
O estabelecimento da triangulação geodésica em Portugal Continental utilizou os seguintes
procedimentos:
Foram medidas duas bases, em Portugal Continental, (comprimentos medidos para o
estabelecimento da rede):
•
Base da Chamusca que tem cerca de 4 km de comprimento, foi medida na planície
da Chamusca e está ligada ao lado Aire-Melriça, situado a meio da cadeia;
•
Base de Vilar Formoso que tem cerca de 19 km de comprimento e que foi expandida
numa relação de 1/3 para o lado da rede Cabeça Alta – Marofa. Na Figura 3.1
apresenta-se a figura de expansão para a Base Vilar Formoso.
Figura 3.1 – Figura de expansão para a Base de Vilar Formoso
Para a orientação da rede, determinação da sua posição face à superfície de referência,
foram determinadas por observações astronómicas as coordenadas de um vértice e o
azimute de um dos lados. O vértice de origem da rede de triangulação geodésica
corresponde, em cada país, ao seu Datum – ponto em que por convenção se considera o
geoíde tangente ao elipsoíde de referência. Em Portugal o estabelecimento da rede teve
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como origem um dos vértices do Castelo de S.Jorge, em Lisboa, e o azimute calculado foi o
da direcção Lisboa-Serves. Actualmente, a revisão da rede baseia-se na utilização de um
novo Datum, localizado no centro geométrico de Portugal Continental, que se denomina
Datum 73 – Dt73.
Com estes elementos e por transmissão de coordenadas é possível determinar as
coordenadas geográficas de todos os vértices, relativas a diversos elipsóides de referência,
as quais podem ser transformadas em coordenadas rectangulares, para cada sistema de
eixos adoptado.
A rede de triangulação geodésica permite a determinação das coordenadas de pontos que
irão servir de base de apoio a levantamentos cartográficos e topográficos, em que se
pretenda a sua ligação à referida rede. Para que se torne possível a ligação destes
levantamentos à rede geodésica é necessário que os vértices da triangulação não estejam
muito afastados entre si, verificando-se que para efeitos topográficos os lados dos triângulos
não deverão ser superiores a cerca de 5 km.
O estabelecimento de uma rede de triangulação geodésica de um país, com 5 km de lado
conservando em toda a sua extensão a precisão necessária para apoiar trabalhos
geodésicos, seria certamente um trabalho, senão irrealizável, pelo menos complexo e
moroso, de forma que foi estabelecida uma rede dividida em ordens.
Assim, a rede geodésica em Portugal encontra-se dividida em ordens, ou seja, utiliza-se
uma cadeia de triângulos e outros polígonos (quadriláteros principalmente) grandes,
estabelecida com grande rigor, que visa servir de apoio a trabalhos de maior precisão. Sobre
esta rede vão-se apoiando outros polígonos com lados cada vez menores, que tem a
finalidade de estruturar uma malha cada vez mais apertada, que permita o apoio de outro
tipo de trabalhos de levantamento, como os trabalhos de levantamento topográfico de zonas
pouco extensas.
As estruturas utilizadas para materialização dos vários vértices são denominadas vértices ou
marcos geodésicos, são geralmente pintados de branco e apresentam uma ou mais faixas
pretas que se destinam a eliminar erros de fase e a evitar confusões entre sinais longínquos.
Os marcos geodésicos devem ter uma forma geométrica simples, com um eixo de simetria
vertical de modo a que, qualquer que seja o local de observação as linhas de visada se
intersectem sobre aquele eixo. As formas mais adoptadas são o cilindro, o tronco de cone, o
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tronco de pirâmide quadrangular, o paralelepípedo, etc. A parte do vértice geodésico
destinada a ser visada denomina-se mira e deve ser construída com bastante rigor.
Em função da ordem da rede a materializar também os vértices ou marcos terão
características diferentes (forma e dimensões), como adiante se verá.
A Rede Geodésica Nacional (RGN) está organizada em três ordens, constituindo as redes
geodésicas de 1ª ordem, de 2ª ordem e de 3ª ordem.
O número total de vértices existentes no território nacional é de cerca de 9000, repartidos
por vértices de 1ª ordem, cerca de 120 vértices, de 2ª ordem cerca de 900 vértices e de 3ª
2
ordem com a densidade de 1 vértice por cada 10 km .
Cada vértice geodésico tem uma ficha de identificação e caracterização, como a
seguidamente apresentada para o vértice geodésico da rede de 3ª ordem denominado
Azambuja.
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3.1. Rede geodésica de 1ª ordem
A Rede Geodésica de 1ª ordem é constituída por cadeias de triângulos que apresentam
comprimentos de lado entre 30 e 60 km. Esta rede de 1ª ordem está estruturada em duas
redes, as redes fundamental e complementar, que constituem o esqueleto geodésico:
•
Rede Fundamental constituída por uma cadeia que se desenvolve longitudinalmente
ao longo de um meridiano, disposta segundo a direcção Norte-Sul (cadeia meridiana
central), e por quatro cadeias dispostas na direcção Este-Oeste (cadeias paralelas)
que estabelecem a ligação da Rede Geodésica Nacional à Rede Geodésica
Espanhola. Na figura 3.2 apresenta-se uma imagem da carta da rede de triangulação
geodésica fundamental, com indicação da cadeia meridiana, cadeias paralelas e rede
complementar.
•
Rede Complementar preenche lacunas deixadas pela rede fundamental.
Os vértices da rede geodésica de 1ª ordem são geralmente materializados no terreno por
grandes pirâmides em alvenaria (cerca de 9 a 10 metros), de secção quadrangular, podendo
ser encimadas por outras de menor altura, ou por estruturas cilíndricas, contendo ambas ou
só a inferior uma faixa de cor preta. As suas características principais são:
•
altura total - cerca de 9 m ou 10 m;
•
base das pirâmides - 3 m para a maior, 0,75 m para a menor;
•
faixa preta - 1,5 m de largura.
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Figura 3.2 – Rede de triangulação geodésica de 1ª ordem
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Na Figura 3.3 apresenta-se um vértice geodésico da rede de triangulação geodésica de
primeira ordem, denominado Melriça, localizado no centro geométrico de Portugal
Continental.
Figura 3.3 – Melriça – vértice geodésico
3.2. Rede Geodésica de 2ª Ordem
Os triângulos que constituem a Rede Geodésica de 2ª ordem ou secundária têm lados com
comprimentos que podem variar entre 20 e 30 km e assentam directamente sobre os
vértices geodésicos de 1ª ordem.
Os vértices geodésicos de 2ª ordem são materializados no terreno por cilindros normalmente
encimados por troncos de cone. Esta forma adoptada para os vértices denomina-se
“bolembreana”. Têm duas faixas de cor preta, uma no cilindro e a outra no tronco de cone,
não possuem altura total fixa por forma a que possam sobressair em relação à vegetação
existente e ser visíveis entre si. As suas características principais são:
•
base do cilindro - cerca de 1,4 m de diâmetro se a sua altura for superior a 4 m
e 1,2 m se a altura for inferior;
•
tronco de cone – cerca de 1,2 m de altura, 0,6 m de diâmetro para a base
superior e 0,4 m para a inferior;
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•
faixas pretas - 0,5 m de largura no cilindro e 0,3 m de largura no tronco de
cone. A distância do bordo superior da faixa do cilindro à base do tronco de
cone é de cerca de 0,4 m.
Na Figura 3.4 apresentam-se esquematicamente os vértices geodésicos de 2ª ordem.
Figura 3.4 - Representação esquemática dos vértices geodésicos de 2ª ordem
3.3. Rede Geodésica de 3ª Ordem
Os triângulos que constituem a rede geodésica de 3ª ordem têm lados com comprimentos
que podem variar entre 5 e 10 km. A resolução dos triângulos que constituem a rede pode
basear-se na medição de apenas dois dos ângulos internos de cada triângulo dado a menor
precisão requerida, sendo o 3º ângulo interno determinado por diferença.
Os vértices da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem não apresentam altura total fixa,
à semelhança dos vértices geodésicos de 2 ª ordem. Diferem dos vértices geodésicos de 2ª
ordem por não apresentarem faixa de cor preta a envolver o cilindro que constitui a base da
estrutura.
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4. TRIANGULAÇÃO TOPOGRÁFICA / CADASTRAL
A densidade dos vértices geodésicos da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem não é
suficiente para apoiar, na maior parte das situações, os trabalhos topográficos. No sentido
de aumentar a densidade de vértices de apoio foi estabelecida a rede de triangulação
cadastral, que se apoia nos vértices da rede de triangulação geodésica de 3ª ordem. A rede
de triangulação cadastral está também, à semelhança da geodésica, organizada em três
ordens, com os seguintes comprimentos para os lados dos triângulos que constituem a rede:
1ª ordem – 2 a 4 km;
2ª ordem – 1 a 2 km;
3ª ordem – 300 a 600 m.
O estabelecimento da rede cadastral constituiu uma tarefe menos complexa do que o da
rede geodésica, dado por um lado a precisão exigida ser menor e por outro as dimensões
dos lados dos triângulos que a constituem serem de menores dimensões.
Quando os vértices da rede de triangulação cadastral não apresentam uma densidade
suficiente para apoiar os trabalhos de levantamento de pormenor podem constituir-se,
apoiadas nos vértices existentes, novas poligonais de apoio abertas ou fechadas.
Figura 3.5 – Marco cadastral – representação esquemática
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As estruturas utilizadas para a materialização dos vértices da rede denominam-se marcos
cadastrais, apresentam uma forma paralelepipédica com as dimensões aproximadas de
0,25 m x 0,25 m x 0,50 m. Na Figura 3.5 apresenta-se, esquematicamente, um marco (em
planta e em corte) da rede de triangulação cadastral. Cada marco é identificado com TC
(triangulação cadastral), seguida de um número de ordem. Com o decorrer do tempo estas
marcas acabam por desaparecer, por isso é preferível escolher, sempre que possível,
pontos do terreno marcados por construções existentes.
As operações necessárias ao estabelecimento de uma rede cadastral constam também de
operações de campo e de operações de gabinete.
4.1 Operações de campo
Reconhecimento
A operação de reconhecimento tem como finalidade definir a localização dos vértices dos
triângulos de forma a que eles sejam visíveis entre si e que a área dominada por cada um
deles seja a maior possível.
Medições de campo
Estas operações constam da medição de uma base (comprimento de um dos lados) e dos
ângulos internos ou, em alternativa se forem utilizados os processos de trilateração, da
medição do comprimento de todos os lados que constituem a rede.
4.2 Operações de gabinete
Cálculo e compensação de todos os triângulos que constituem a rede e sua representação.
Os cálculos referidos consistem na definição das distâncias entre estações (entre vértices da
rede), dos ângulos internos do polígono, dos rumos das direcções, das coordenadas
planimétricas dos vértices e das respectivas coordenadas altimétricas. Todos os cálculos
prevêem a determinação dos erros associados e a sua compensação. A compensação só
deverá ser efectuada se os erros forem inferiores às tolerâncias aceites para cada trabalho
efectuado.
Seguidamente vai ser apresentado um exercício de aplicação com vista ao cálculo e
compensação de uma poligonal de apoio de trabalho topográfico.
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5. BIBLIOGRAFIA
Academia Militar; Topografia; Academia Militar, 1984.
Casaca J., Matos J., Baio M.; Topografia Geral; Lidel – edições técnicas, lda.; Lisboa,
Fevereiro de 2000.
Costa, A. da Fonseca; Curso de Topografia; Vol. 4; CENFIC, 1986
Wolf, Paul R. e Brinker, Russell C.; Elementary Surveying;HarperCollins College Publishers;
th
9 ed.; USA,1994.
Xerez A.C.; Topografia geral (Volumes I e II).Técnica, I.S.T., Lisboa, 1978.
http://www.ipcc.pt/
http://www.igeoe.pt/
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6. CÁLCULO E COMPENSAÇÃO DE UMA POLIGONAL DE APOIO
A seguinte poligonal fechada, cujos vértices constituem os pontos estação de um
levantamento topográfico, serve de base de apoio a um trabalho de levantamento
topográfico. Baseado nesse aspecto torna-se necessário, no cálculo da poligonal, definir, se
possível, os eventuais erros que tenham sido cometidos e efectuar a compensação dos
mesmos. Em cada estação o aparelho foi orientado na direcção do Norte Magnético. O rumo
g
da direcção AB (αAB) é de 30 e as coordenadas do ponto A são (20, 75, 25). As leituras
efectuadas, entre estações, com o taqueómetro são as seguidamente apresentadas na
caderneta de levantamento.
Estação
A
h = 1,67 m
B
h = 1,45 m
C
h = 1,54 m
Pontos
Visados
Ângulos (grados)
Azimutais
Zenitais
B
38,24
100,00
C
109,94
107,56
A
238,29
100,00
C
162,52
109,15
B
362,71
91,79
A
309,36
90,69
Leituras
(m)
1,935
2,167
2,399
1,720
2,010
2,300
0,715
0,945
1,175
0,200
0,480
0,760
1,470
1,750
2,030
2,528
2,820
3,112
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Pretende-se que como exercício de aplicação dos métodos de cálculo de rumos, de
distâncias, de cotas, de transmissão de coordenadas planimétricas e altimétricas calcule e
compense a poligonal de apoio.
O cálculo e a compensação da referida poligonal consiste em:
1. Ângulos Internos
1.1 . Cálculo dos ângulos internos da poligonal
1.2 . Compensação dos ângulos internos da poligonal
Em observações de precisão média a tolerância pode ser definida por:
T=4
n
em que n é o número de vértices da poligonal.
O valor da compensação a efectuar é expresso por c = −
n
2. Rumos de direcções
O cálculo dos rumos utiliza o método de transmissão de azimutes e/ou rumos.
3. Distâncias
O cálculo das distâncias utiliza a expressão D = k G sin 2 z , pois trata-se da utilização de
um método óptico.
4. Coordenadas
4.1. Planimétricas
4.1.1. Cálculo
Conhecidas as coordenadas planimétricas de um vértice e através do método de
transmissão de coordenadas podem determinar-se as coordenadas dos outros vértices da
poligonal de apoio. Caso exista erro de fecho planimétrico da poligonal (ver equação) há que
proceder à respectiva compensação.
ε = ε x2 + ε y2
;
ε x = X calculado − X conhecido
ε y = Ycalculado − Yconhecido
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4.1.2. Compensação
A compensação a efectuar em cada vértice, quer para a abcissa quer para a ordenada, é
proporcional à soma das variações das abcissas e das ordenadas da poligonal, de acordo
com a equação seguinte.
C X unitária =
− εX
Xi
; C Yunitária =
− εY
Yi
4.2. Altimétricas
4.2.1. Cálculo
Conhecida a cota ou altitude de um vértice e através do método de transmissão de
coordenadas altimétricas podem determinar-se as coordenadas dos outros vértices da
poligonal de apoio. Caso exista erro de fecho altimétrico da poligonal (ver equação), ou seja
a cota conhecida do 1º vértice não seja igual à cota calculada, há que proceder à respectiva
compensação.
ε = C A calculada − C A conhecida =
n
i =1
DN i →i +1
4.2.2. Compensação
A compensação a efectuar em cada vértice é definida dividindo o erro de fecho pelo número
de vértices do polígono (ver equação) e adicionando a cada cota anterior, já compensada, a
respectiva compensação.
c=−
ε
n
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