O que você deve saber sobre
CORPOS REDONDOS
Presentes em muitos objetos do nosso cotidiano, como na bola de
futebol, na latinha de refrigerante ou na casquinha de sorvete,
alguns corpos redondos têm estreita ligação com a circunferência
e o círculo.
I. Cilindro circular
Sólido delimitado por 3 superfícies distintas: bases e superfície lateral.
Elementos
• Bases: os círculos C e C’, contidos, respectivamente, nos planos  e ;
• Eixo: paralelo à reta r, passa pelos centros dos círculos;
• Geratrizes: segmentos paralelos ao eixo, com extremidades
nas circunferências C e C‘;
• Altura (h): distância entre os planos  e .
CORPOS REDONDOS
I. Cilindro circular
Classificação
 Reto: o eixo do cilindro é perpendicular aos planos das bases;
também é chamado cilindro de revolução, pois pode ser obtido
pela rotação de uma superfície retangular em torno de um eixo sobre
um de seus lados.
 Oblíquo: o eixo do cilindro não é perpendicular aos planos
das bases.
CORPOS REDONDOS
I. Cilindro circular
Área da superfície
• área da base:
• área lateral:
• área total: Atotal = Alateral + 2  Abase 
Volume
É dado pela expressão:
CORPOS REDONDOS
II. Cone
Sólido delimitado por duas superfícies: base e superfície lateral.
Elementos
Base: círculo C, contido no plano ;
Vértice: Ponto V, externo a ;
Eixo: reta VO;
Matrizes: segmentos de reta com extremidades em V e em um ponto
da circunferência C;
Altura (h): distância entre V e o plano .
CORPOS REDONDOS
II. Cone
Classificação
 Reto: o eixo do cone é perpendicular ao plano .
Também é chamado cone de revolução, pois pode ser obtido
pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo
sobre um de seus catetos.
 Oblíquo: o eixo do cone não é perpendicular ao plano .
CORPOS REDONDOS
II. Cone

Área da superfície
• área lateral:
• área da base:
base
2
• área total: Atotal = Abase + Alateral 
Volume:
CORPOS REDONDOS
Cônicas
Clique na imagem para ver a animação.
CORPOS REDONDOS
III. Tronco de cone reto
Sólido obtido mediante a secção de um cone reto por um plano
paralelo à sua base. O tronco é a porção do cone original que resta
entre o plano  e plano que contém a base.
CORPOS REDONDOS
III. Tronco de cone reto
Área da superfície
• área lateral:
• área total: Atotal = Alateral + Abase maior + Abase menor 
, em que gt é a geratriz do tronco, R é o raio
da base maior e r é o raio da base menor.
Volume:
CORPOS REDONDOS
, em que ht é a altura do tronco.
IV. Esfera
 Corpo redondo formado por todos os
pontos que estão a uma distância de C
(centro) menor ou igual a r (raio,
representado por um número real
positivo).
Área da superfície esférica
É formada por todos os pontos que distam r de seu centro C.
CORPOS REDONDOS
IV. Esfera
Volume:
Cunha esférica
Sólido obtido quando uma esfera é seccionada por dois planos secantes
que passam pelo centro dela. Ele se assemelha a um gomo de
tangerina, e seu volume é proporcional ao ângulo  entre tais planos.
CORPOS REDONDOS
Esferas
Clique na imagem para ver a animação.
CORPOS REDONDOS
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(UFG-GO)
Num laboratório, um recipiente em forma de um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da substância
presente a cada 100 mL.
Se o diâmetro da base do cilindro mede 10 cm, qual a distância
entre duas dessas marcas consecutivas?
RESPOSTA:
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(UFRJ)
Considere um retângulo, de altura y e base x, com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do retângulo, como na
figura a seguir.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região sombreada
em torno de um eixo que passa pelos centros dos semicírculos.
Justifique.
RESPOSTA:
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
5
(UFABC-SP)
As figuras mostram um cone circular reto de raio da
base r e a planificação da sua área lateral.
Relembrando que o volume
de um cone é igual a 1
3
do produto entre a área
da base e a altura do cone,
calcule o raio da base
e o volume desse cone.
RESPOSTA:
3
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
7
(Unesp)
Uma quitanda vende fatias de melancia embaladas em plástico
transparente. Uma melancia com forma esférica de raio de medida R cm foi
cortada em 12 fatias iguais, onde cada fatia tem a forma de uma cunha
esférica, como representado na figura.
Sabendo-se que a área de uma superfície
esférica de raio R cm é 4R2 cm2,
determine, em função de  e de R:
a) a área da casca de cada fatia da melancia (fuso esférico);
b) quantos cm2 de plástico foram necessários para embalar cada
fatia (sem nenhuma perda e sem sobrepor camadas de plástico),
ou seja, qual é a área da superfície total de cada fatia?
RESPOSTA:
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
11
(Mackenzie-SP)
Uma xícara de chá tem a forma de um tronco de cone reto, conforme a figura.
Supondo  = 3, o volume
máximo de líquido que ela
pode conter é:
a) 168 cm3.
b) 172 cm3.
RESPOSTA: A
c) 166 cm3.
d) 176 cm3.
e) 164 cm3.
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
15
(Fuvest-SP)
Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base
B tem raio 8 cm (figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o
eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se
o sólido da figura 2.
Se a área da base deste novo sólido é
2
da área de B, determine seu volume.
3
RESPOSTA:
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
16
(UFTM-MG)
Um designer projetou uma vela decorativa com a forma de cone
circular reto, de altura 8 cm e raio da base 6 cm. Uma parte da vela
será feita com parafina transparente, e a outra, com parafina
vermelha. A parte vermelha será uma esfera inscrita no cone, como
indicado na figura, feita fora de escala.
Sabe-se que o preço de 1 cm3 de parafina transparente
é o dobro do preço de 1 cm3 de parafina vermelha.
Sejam T o custo com parafina transparente
e V o custo com parafina vermelha
para fabricar uma dessas velas.
Assim, é correto afirmar que:
T 5
 .
V 6
T 5
 .
b)
V 2
T 9
 .
c)
V 2
a)
d)
T 8
 .
V 3
e)
T 10

.
V 3
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA: E
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
17
(UFPR)
Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de
uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por
exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y,
pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo.
Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy
delimitada pelas retas r1: y = x, r2: x = 0, r3: x = 1 e pela
circunferência : x2 + (y - 4)2 = 1.
a) Faça um esboço da região R
e do sólido de revolução obtido
pela rotação dessa região em
torno do eixo y.
b) Encontre o volume do sólido de
revolução obtido no item anterior.
CORPOS REDONDOS  NO VESTIBULAR
RESPOSTA: