Capítulo 24 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA Corpos redondos ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 Cilindro Considere dois planos paralelos, e σ, um círculo C de raio r contido em , e uma reta s que intercepta planos e σ. Chama-se cilindro circular, ou apenas cilindro, a figura geométrica formada pela reunião de todos os segmentos de reta paralelos à reta s, com uma extremidade em um ponto de C e a outra em um ponto do plano σ. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.1 Elementos do cilindro CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.2 Classificação dos cilindros Podemos classificar os cilindros de acordo com a inclinação da reta s em relação aos planos e σ que contêm as bases: se a reta s é perpendicular se a reta s não é perpendicular aos planos e σ, o cilindro aos planos e σ, o cilindro é é reto (g = h). oblíquo (g ≠ h). CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.3 Observações Um cilindro circular reto também é denominado cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície retangular em torno da reta que contém um dos lados dessa superfície. A medida desse lado é igual à altura h do cilindro, e a medida do lado perpendicular a esse é igual à medida do raio r da base do cilindro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.4 Observações Se um cilindro reto tem altura igual ao dobro da medida do raio da base (h = 2r), ele é chamado cilindro equilátero. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.4 Secção meridiana de um cilindro Uma secção meridiana de um cilindro é determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contenha seu eixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.5 Secção transversal de um cilindro Uma secção transversal de um cilindro é a intersecção do cilindro com um plano paralelo ao plano da base. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.6 Planificação da superfície de um cilindro reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.7 Área da superfície de um cilindro reto Abase = r2 Alateral = 2rh Atotal = 2r(r + h) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.8 Exercício resolvido R1. Dado um retângulo de dimensões 3 cm e 5 cm, comparar a área lateral e a área total da superfície dos cilindros de revolução dele obtidos. Resolução Fazendo a rotação do retângulo em torno do lado que mede 3 cm, obtemos um cilindro reto de raio 5 cm e altura 3 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 5 ∙ ∙ (5 + 3) = 80 Logo, esse cilindro tem área lateral de 30 cm2 e área total de 80 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.9 Exercício resolvido R1. Resolução O outro cilindro de revolução tem raio 3 cm e altura 5 cm. Então: Alateral = 2 ∙ ∙ 5 ∙ 3 = 30 Atotal = 2 ∙ 3 ∙ ∙ (3 + 5) = 48 Logo, esse cilindro tem 30 cm2 de área lateral e área total de 48 cm2. Portanto, as áreas laterais dos cilindros obtidos são iguais. No entanto, quando fazemos a rotação do retângulo em torno do lado menor, a área total da superfície do cilindro é maior. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.9 Exercício resolvido R2. Calcular a razão entre a área da base e a área da secção meridiana de um cilindro equilátero. Resolução Vamos considerar um cilindro equilátero de altura h e cuja base é um círculo de raio r. A área da base é: Abase = ∙ r2 Como um cilindro equilátero tem a altura igual ao dobro do raio (h = 2r), a secção meridiana é um quadrado de lado 2r. A área da secção meridiana é: Asecção meridiana = 2r ∙ 2r = 4r2 2 ∙ r ____ _ Assim, temos: = 4 ∙ r2 4 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.10 Volume de um cilindro Vcilindro = r2h Exemplo Vamos calcular o volume máximo de areia que um recipiente de formato cilíndrico pode conter. As medidas do recipiente são: 1,5 m de altura e 1 m de raio da base. (Adote: = 3,14) V = r2h V = (3,14) ∙ (1)2 ∙ (1,5) ⇒ V = 4,71 Logo, o recipiente pode conter no máximo 4,71 m3 de areia. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.11 Exercício resolvido R3. Considerar três cilindros circulares retos: C, de altura h e base de raio r; cilindro C’, de altura h e base de raio 2r; e cilindro C’’, de altura 2h e base de raio r. a) Comparar o volume de C’ com o de C. b) Comparar o volume de C’’ com o de C. c) Comparar o volume de C’ com o de C’’. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.12 Exercício resolvido R3. Resolução Primeiro calculamos o volume de C: V = r2h a) C’ tem volume V’ = ∙ (2r)2 ∙ h = 4(r2h), ou seja: V’ = 4V Portanto, o volume de C’ é o quádruplo do volume de C. b) C’’ tem volume V’’ = ∙ r2 ∙ (2h) = 2(r2h), ou seja: V’’ = 2V Portanto, o volume de C’’ é o dobro do volume de C. c) Dos itens anteriores, temos: V’ = 4r2h = 2(2r2h), ou seja: V’ = 2V’’ Portanto, o volume de C’ é o dobro do volume de C’’. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.12 Cone Vamos considerar um círculo C, de centro O e de raio r, em um plano , e um ponto V não pertencente ao plano . Chamamos de cone circular, ou apenas cone, a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e outra em um ponto de C. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.13 Elementos do cone CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.14 Classificação dos cones O cone pode ser classificado de acordo com a inclinação do eixo em relação ao plano que contém a base: se o eixo é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é reto (h = ). se o eixo não é perpendicular ao plano que contém a base, então o cone é oblíquo (h < ). cone oblíquo cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.15 Observações Um cone circular reto também é denominado cone de revolução, pois pode ser obtido pela rotação de uma superfície triangular, determinada por um triângulo retângulo, em torno de uma reta que contém um de seus catetos. A medida desse cateto será igual à altura do cone, e a medida do outro cateto será igual à medida do raio da base do cone. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.16 Observações Se um cone reto tem medida da geratriz igual ao dobro da medida do raio da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.16 Secção meridiana de um cone Uma secção meridiana de um cone é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha seu eixo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.17 Secção transversal de um cone Uma secção transversal de um cone é a intersecção do cone com um plano paralelo ao plano da base e que não passe por seu vértice. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.18 Planificações da superfície de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.19 Planificações da superfície de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.19 Relações métricas entre os elementos de um cone reto CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.20 Exercício resolvido R4. Calcular o comprimento da circunferência da base e a altura de um cone reto cuja geratriz mede 13 cm e cujo raio mede 5 cm. Resolução O comprimento da circunferência da base é dado por C = 2r. Sabemos que o cone tem raio de medida r = 5 cm. Assim: C = 2 ∙ ∙ 5 ⇒ C = 10 ⇒ C ≃ 31,4 Portanto, o comprimento da circunferência da base é aproximadamente 31,4 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.21 Exercício resolvido R4. Resolução Sabendo que o cone é reto, podemos obter a altura por meio de um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é a geratriz e as medidas dos catetos são a altura e o raio da base do cone. Assim: 132 = h2 + 52 h2 = 144 h = 12 Portanto, a altura do cone é 12 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.21 Exercício resolvido R5. Um cone reto de altura 10 cm tem por planificação da superfície lateral um setor circular de ângulo medindo 150º. Determinar o raio da base e a medida da geratriz do cone. Resolução Como r2 + h2 = g2, temos: r2 + 102 = g2. Logo: g2 – r2 = 100 (I) Como : 150º= CONEXÕES COM A MATEMÁTICA , temos: (II) ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.22 Exercício resolvido R5. Resolução De (I) e (II), concluímos que: ⇒ ⇒ Portanto, o raio da base do cone mede aproximadamente 4,58 cm. Como , o comprimento da geratriz mede aproximadamente 11 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.22 Área da superfície de um cone reto Abase = r2 Alateral = rg Atotal = r(r + g) CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.23 Exercício resolvido R6. Calcule a área lateral de um cone reto cuja altura é 16 cm e cujo raio da base mede 12 cm. Resolução Inicialmente vamos obter o comprimento da geratriz do cone: Portanto, o comprimento da geratriz do cone é 20 cm. A área lateral do cone é: Alateral = rg ⇒ Alateral = ∙ 12 ∙ 20 ⇒ Alateral = 240 ⇒ ⇒ Alateral ≃ 753,6 Logo, a área lateral do cone é 240 cm2 ou aproximadamente, ≃ 753,6 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.24 Exercício resolvido R7. Determinar a área total da superfície de um cone equilátero de geratriz g. Resolução Vamos considerar um cone equilátero de raio da base r, comprimento da geratriz g e altura h. Sabemos que, no cone equilátero, g = 2r; portanto: r = Logo: Atotal = Alateral + Abase Atotal = ∙ r ∙ g + ∙ r2 Atotal = ∙ ∙ g + ∙ Portanto: Atotal = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA = ∙ ∙ g2 g2 ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.25 Propriedades 1a propriedade: A razão entre a distância h’ de uma secção transversal ao vértice do cone e a altura h do cone é igual à razão entre a medida do raio r’ da secção transversal e a medida do raio r da base, isto é: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.26 Propriedades 2a propriedade: Seja A’ a área de uma secção transversal de um cone, feita a uma distância h’ em relação ao vértice V, e A a área da base desse cone, cuja altura é h. A razão entre A’ e A é igual ao quadrado da razão entre h’ e h, isto é: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.26 Propriedades Exemplo A secção transversal de um cone, feita a 84 cm do vértice, tem 10 cm de raio. Vamos calcular a distância de uma secção de 4,5 cm de raio ao vértice. Para isso, vamos chamar de x a distância entre o vértice e essa secção. Como as distâncias das secções transversais ao vértice são proporcionais a seus raios, temos: Portanto, a secção de 4,5 cm de raio está a 37,8 cm do vértice. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.27 Volume de um cone Vcone = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.28 r2h Exercício resolvido R8. Observar a representação de uma taça e calcular a quantidade máxima de líquido, em litro, que ela pode comportar. Resolução A quantidade de líquido é dada pelo volume da taça. Assim: V = r2h = ∙ ∙ 52 ∙ 20 ≃ 523,3 Sabemos que: 1ℓ = 1 dm3 e 1 dm3 = 1.000 cm3 Logo: 1ℓ = 1.000 cm3 Então: V ≃ 523,3 = 523,3 ∙ ⇒ V ≃ 0,523 Portanto, a taça pode conter até 0,523 ℓ. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.29 Tronco de um cone reto Considere um cone reto, de vértice V, altura h e raio da base r, seccionado por um plano , paralelamente ao plano da base, a uma distância ht dela (ht < h), que determina uma secção transversal de centro O’ e raio r’, conforme a figura ao lado. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.30 Tronco de um cone reto Ao seccionar o cone original, o plano determina dois sólidos, um cone menor, de mesmo vértice V, comprimento da geratriz g’ e altura h’ = h – ht, e outro denominado tronco de cone, de bases paralelas. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.30 Elementos de um tronco de cone CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.31 Área da superfície de um tronco de cone reto Alateral = gt(R + r) Abase menor = r2 Abase maior = R2 Atotal = gt(R + r) + r2 + R2 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.32 Exercício resolvido R9. Calcular a área total da superfície de um tronco de cone reto de bases paralelas cuja geratriz mede 6 cm e cujos raios das bases medem 5 cm e 1 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.33 Exercício resolvido R9. Resolução Alateral = gt(R + r) ⇒ Alateral = ∙ 6 ∙ (5 + 1) ⇒ Alateral = 36 Abase menor = r2 ⇒ Abase menor = ∙ 12 ⇒ Abase menor = Abase maior = R2 ⇒ Abase maior = ∙ 52 ⇒ Abase maior = 25 Atotal = Alateral + Abase menor + Abase maior Atotal = 36 + + 25 ⇒ Atotal = 62 Portanto, a área total da superfície desse tronco de cone é 62 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.33 Volume de um tronco de cone reto Vtronco de cone = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.34 Exercício resolvido R10. Determinar o volume de um tronco de cone circular reto de 4 cm de altura, cujo raio da base maior mede 6 cm e raio da base menor mede 3 cm. Resolução O volume do tronco de cone é dado por: h Vtronco de cone = ___t (R2 + Rr + r2) 3 ∙4 Vtronco de cone = ____ (62 + 6 ∙ 3 + 32) 3 Vtronco de cone = 84 cm3 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.35 Exercício resolvido R11. Dado um tronco de cone reto de bases paralelas, calcular a razão entre os volumes V’cone, do cone menor, e Vcone, do cone maior, que determinam esse tronco, em função da razão entre as respectivas alturas, h’ e h. Resolução O volume do tronco de cone é obtido do volume V’cone do cone menor (de altura h’ e raio da base r’) e do volume Vcone do cone maior (de altura h e raio da base r). Os triângulos VO’A e VOB são semelhantes; portanto: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA (I) ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.36 Exercício resolvido R11. Resolução Como os volumes dos cones são dados por V’cone = ∙ ∙ (r’)2 ∙ h’ e Vcone = ∙ ∙ r2 ∙ h, a razão entre os volumes é: ⇒ (II) Substituindo (I) em (II), obtemos a razão solicitada: CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.36 Exercício resolvido BIRY SARKIS R12. Calcular a quantidade máxima de sorvete que o pote representado na figura pode comportar. Resolução Calculando a altura do tronco de cone, temos: O volume desse tronco de cone é: h Vtronco de cone = ___t (R2 + Rr + r2) = 3 = (72 + 7 ∙ 5 + 52) = 218 Logo, o pote comporta no máximo 218 cerca de 2.270 cm3 de sorvete. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.37 cm3, Esfera Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r. Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.38 Superfície esférica A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.39 Esfera de revolução A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.40 Secção plana de uma esfera Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.41 Exercício resolvido R13. Considerando que as esferas S1 e S2, de raios medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são tangentes externamente, determinar a distância entre seus centros. Resolução Como as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r1 + r2. Nesse caso: 3 + 4 = 7 Então, a distância entre seus centros é 7 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.42 Exercício resolvido R14. Calcular a medida r1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da esfera é 5 cm. Resolução Observe a figura. Vamos destacar o triângulo retângulo COP: Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, temos: 132 = 52 + r12 ⇒ r12 = 144 ⇒ r1 = 12 Portanto, r1 é igual a 12 cm. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.43 Exercício resolvido R15. Calcular o volume do cilindro inscrito na semiesfera abaixo. Resolução Vcilindro = R2h ⇒ Vcilindro = (r2 – h2)h Vcilindro = (42 – 22) ∙ 2 = 24 O volume do cilindro é 24 cm3. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.44 Área da superfície esférica Asuperfície esférica = 4r2 Exemplo Vamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm. Sabemos que: Asuperfície esférica = 4r2 Considerando ⋍ 3,14, temos: A ⋍ 4 ∙ 3,14 ∙ 25 = 314 Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.45 Volume da esfera Vesfera = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.46 r3 Exercício resolvido R16. Uma secção plana de uma esfera, distante cm do centro dessa esfera, tem 36 cm2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua superfície. Resolução Como toda secção plana de uma esfera é um círculo, então a área é dada por: A1 = r12 Logo: 36 = r1 ⇒ r1 = 6 cm (raio da secção plana) Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, calculamos o raio da esfera: r2 = 62 + CONEXÕES COM A MATEMÁTICA = 36 + 45 = 81 ⇒ r = 9 ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.47 Exercício resolvido R16. Resolução Agora, podemos calcular o volume V da esfera e a área A de sua superfície: V= r3 ⇒ V = ∙ ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3.053 A = 4r2 ⇒ A = 4 ∙ ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1.017 Portanto, o volume da esfera é aproximadamente 3.053 cm3 e a área da sua superfície é aproximadamente 1.017 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.47 Exercício resolvido R17. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Resolução Da figura, temos a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r = 1 cm. O volume da esfera é: Vesfera = ∙ ∙ 13 ⇒ Vesfera = A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.48 Exercício resolvido R17. Resolução A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙ ∙ 12 Considerando = 3,14: Aesfera = 4 ∙ 3,14 = 12,56 A razão entre as áreas: ≃ 1,91 Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície esférica. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.48 Volume de uma cunha esférica É chamado de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro. Vcunha esférica = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.49 Área de um fuso esférico Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso esférico. Afuso esférico = CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.50 Exercício resolvido R18. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao lado, em que r = 4 cm. Resolução Vcunha esférica = Afuso esférico = ⇒ Vcunha esférica = ⇒ Afuso esférico = ≃ 14,9 ≃ 11,2 Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente 14,9 cm3 e a área do fuso esférico é aproximadamente 11,2 cm2. CONEXÕES COM A MATEMÁTICA ANOTAÇÕES EM AULA Capítulo 24 1 ––Conjuntos Corpos redondos 1.5 24.51 ANOTAÇÕES EM AULA Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos Coordenação de produção: Maria José Tanbellini Iconografia: Daniela Chahin Barauna, Erika Freitas, Fernanda Siwiec, Monica de Souza e Yan Comunicação Ilustração dos gráficos: Adilson Secco EDITORA MODERNA Diretoria de Tecnologia Educacional Editora executiva: Kelly Mayumi Ishida Coordenadora editorial: Ivonete Lucirio Editores: Andre Jun, Felipe Jordani e Natália Coltri Fernandes Assistentes editoriais: Ciça Japiassu Reis e Renata Michelin Editor de arte: Fabio Ventura Editor assistente de arte: Eduardo Bertolini Assistentes de arte: Ana Maria Totaro, Camila Castro e Valdeí Prazeres Revisores: Antonio Carlos Marques, Diego Rezende e Ramiro Morais Torres © Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados. EDITORA MODERNA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP: 03303-904 Vendas e atendimento: Tel. (0__11) 2602-5510 Fax (0__11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2012 CONEXÕES COM A MATEMÁTICA
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