7a LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I - BIOTECNOLOGIA
Professor: José Carlos de Souza Júnior
1. No instante t, a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo S é S(t) = t3 −6t2 +9t
(metros).
(a) Determine a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
(b) Determine o módulo da velocidade do corpo toda vez que a aceleração for nula.
(c) Determine a distância total percorrida pelo corpo de t = 0 a t = 2 (segundos).
2. Se Galileu tivesse deixado cair uma bala de canhão do topo da torre de Pisa, 179 pés
acima do solo, sua altura t segundos depois de cair teria sido S(t) = 179 − 16t2 pés em
relação ao solo.
(a) Qual teria sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no
instante t?
(b) Quanto tempo a bala levaria, aproximadamente, para atingir o solo?
(c) Qual teria sido a velocidade da bala no momento do impacto?
3. Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a
população de bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois parou de crescer
e começou a diminuir. O tamanho da população no instante t (em horas) era dado por
b(t) = 106 + 104 t − 103 t2 . Determine a taxa de crescimento para
(a) t = 0 h.
(b) t = 5 h.
(c) t = 10 h.
4. O número de galões de água em um tanque, t minutos depois de iniciar seu esvaziamento,
é dado por Q(t) = 200(30 − t)2 . A que taxa a água escoará ao fim de 10 minutos? Qual
a taxa média de saı́da da água durante os 10 primeiros minutos?
Use a derivação implı́cita para determinar
5. x2 y + xy 2 = 6
6. 2xy + y 2 = x + y
7. x3 − xy + y 3 = 1
8. x2 (x − y)2 = x2 − y 2
9. y 2 =
x−1
x+1
10. x2 =
x−y
x+y
11. x = tg(y)
12. x + sen(y) = xy
13. ysen y1 = 1 − xy
dy
dx
nos exercı́cios 5-14
14. y 2 cos
1
y
= 2x + 2y
15. Encontre o coeficiente angular da curva nos pontos dados:
(a) y 2 + x2 = y 4 − 2x em (−2, 1) e (−2, −1).
(b) (x2 + y 2 )2 = (x − y)2 em (1, 0) e (1, −1).
16. Verifique se o ponto P = (2, 3) faz parte da curva x2 + xy − y 2 = 1 e encontre as retas
tangente e normal à curva no ponto dado.
17. A que taxa o nı́vel do lı́quido diminui dentro de um tanque cilı́ndrico vertical se bombearmos o lı́quido para fora a uma taxa de 3000 l/min?
18. Uma viatura de polı́cia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo
reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção
leste. Quando a viatura está a 0, 6 Km ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a
0, 8 Km a leste, o radar da polı́cia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo
está aumentando a 20 Km/h. Se a viatura está se deslocando a 60 Km/h no instante
dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo?
19. O gás de um balão esférico escapa à razão de 2dm3 /seg. Determinar a taxa de variação
da superfı́cie S do balão, em relação ao tempo, em função do raio r (variável) do balão.
(Dados: Volume da esfera: V = 34 πr3 ; área da esfera: S = 4πr2 )
20. Um ponto móvel desloca-se ao longo da circunferência x2 + y 2 = 1, com uma velocidade
cuja componente em x é dada por dx
= y. Calcule dy
. Sendo o deslocamento angular
dt
dt
do móvel, medida a partir do ponto (1, 0) no sentido anti-horário, calcule dθ
. Este móvel
dt
desloca-se na circunferência no sentido horário ou anti-horário?
21. Uma pipa (papagaio), 120 metros acima do solo, move-se horizontalmente a 10 m/s.
Qual a taxa de variação (em relação ao tempo) do ângulo que a linha da pipa faz com a
horizontal quando o comprimento da linha for de 240 m?
22. Dois lados de um retângulo aumentam de 2 cm/s, enquanto que os outros dois diminuem
de tal forma que sempre temos um retângulo de área constante igual a 50 cm2 . Qual a
taxa de variação do perı́metro p quando o comprimento do lado que aumenta é 5 cm?
Quais as dimensões do retângulo quando o perı́metro para de diminuir?
23. Acumula-se areia num monte de forma de um cone circular reto a razão de 3 m3 /min. O
raio da base do monte (cone) é sempre igual a metade de sua altura. Com que velocidade
cresce a altura do monte quando este possui 2 m de altura?
Dado: volume do cone: V = 31 πr2 h.