Exercícios de Cálculo 3
Funções de várias variáveis
Lista 2
1) Considere as funções f (x, y) = 2xe2y − x, g(z) = 3z − 2. Faça h(x, y, z) = f (x, y) + f (g(z), y).
Marque em um sistema de coordenadas os seguintes pontos:
a) (0, 0, f (0, 0));
c) (f (1, 1), h(0, 0, 0), −g(1))
b) (h(1, 0, 1), h(0, −2, 1), h(0, 0, 2))
d) (g(1)−f (−1, 0), h(g(0), f (−2, 0), 1), h(−1, 0, 2))
2) Considere as funções f (x) = 2x2 − x, g(y) =
funções:
a) h(x, y, z) = ef (x) − 2(g(y))2 + 3q(z)
√
3y − 2 e q(z) =
5z
. Escreva as regras das
z−4
f (x) 1
+ 2 q(y)q(x)
g(y)
p
d) h(z) = q(z)f (z) − g(z)
c) h(x, y) =
b) h(x, y, z) = (g(y))(f (x)) − (q(z))−1
Agora faça x = 0, y = 1 e z = 4 e em cada uma das alternativas anteriores, quando for possível
calcule o valor de h. Diga em que espaço estão o domínio, a imagem e o gráco da função h em
cada caso.
3) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o gracamente quando possível:
a) f (x) =
√
b) f (x, y) =
x;
√
f) f (x, y) =
xy ;
√
c) f (x, y, z) = xyz ;
√
d) g(r, s) = s − r;
e) f (x, y) =
√
xy − 2x − 4y + 8;
g) f (x, y, z) = ln(xyz − xz − yz + z);
h) g(r, s) =
x2
;
2x − y
rs
;
(sr2 − s)(rs2 − r)
√
i) f (x, y, z) = e
x2 −4x+y 2 +2y+z 2 −7
4) Para a s funções abaixo esboce as curvas de nível:
a) f (x, y) = 1 − x − y com valores 1 e −1.
b) f (x, y) =
2xy
com valores 1, 0 e −1.
2
x + y2
2xy
com valores 1 e 0.
+ y2
c) f (x, y) =
x2
d) f (x, y) =
x2 + y 2
com valores 1, 0 e −1.
x2 − y 2
5) Seja f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . Determine o domínio, a imagem, esboce os cortes nos planos xz, yz ,
desenhe as curvas de nível e esboce o gráco.
6) Seja f (x, y) =
x2
1
. Determine o domínio, a imagem, esboce os cortes nos planos xz, yz ,
+ y2
desenhe as curvas de nível e esboce o gráco.
7) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação z = yln(x) no ponto
(1, 4, 0). [resp.z = 4x − 4]
8) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação z = 2x2 + y 2 no ponto
(1, 1, 3). [resp.z = 4x + 2y − 3]
9) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação z = 4x2 − y 2 + 2y no ponto
(−1, 2, 4).
1
10) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação f (x, y) = ycos(x − y) no
ponto (2, 2, 2).
11) Encontre a equação do plano tangente à superfície dada pela equação z = ex
(1, −1, 1).
2 −y 2
) no ponto
12) Para a s funções abaixo encontre a diferencial total:
a) f (x, y) = x3 ln(y 2 ) [resp.dz = 3x2 ln(y 2 )dx +
b) u =
2x3
dy].
y
1
r
2r
r
[resp.du =
dr −
ds −
dt].
2
s + 2t
s + 2t
(s + 2t)
(s + 2t)2
13) Encontre uma aproximação linear para a função f (x, y) = ln(x − 3y), para o ponto (7, 2).
[rep.z = x − 3y − 1]
14) A pressão, volume e temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação
P V = 8, 31T , onde P é medido em kilopascal, V é medido em litros e T em kelvins. Use p
diferencial para encontrar uma aproximação da variação da pressão se o volume aumentar de
12L para 12, 3L e a temperatura diminuir de 310K para 305K . [decair8, 883kP a]
15) Uma função f : R2 → R é dita harmônica quando:
fxx + fyy = 0
(isto é, satisfaz a equação de Laplace)
(a) Mostre que a função
p
f (x, y) = ln x2 + y 2
é harmônica.
(b) Mostre que a função
f (x, y) = ey sen(x)
é harmônica.
16) Seja z = f (x, y) = ln(x2 + 2y 2 ) com x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t). Calcule
17) Seja x(t, u) = 3t + 2u, y(t, u) = 2t − u e z = f (x, y) = x2 + y 3 calcule
dz
quando t = π4 .
dt
∂z ∂z
e
.
∂t ∂u
18) Dada a função h = f (x, y, z) = 2x2 + y 2 + 3z onde x(t) = et , y(t) = sen(t) e z(t) = t3 calcule
dz
|t=0
dt
19) Para as funções abaixo, calcule
dz
dw
ou
conforme o caso.
dt
dt
a) z = x2 y + xy 2
onde x(t) = 2 + t4
b) z =
onde x(t) = e2t
p
x2 + y 2
c) z = sen(x)cos(y)
d) z = ln(x + 2y)
e) w = xe
y
z
e
onde x(t) = πt
onde x(t) = sen(t)
onde x(t) = t2 ,
f) w = xy + yz 2
e
y(t) = 1 − t3 ;
y(t) = e−2t ;
√
e y(t) = t;
e
y(t) = cos(t);
e
y(t) = 1 − t
onde x(t) = et ,
y(t) = et sen(t)
2
z = 1 + 2t;
e
z = et cos(t).
20) Para cada item do exercício anterior faça o seguinte:
- Tome um ou dois valores para t e encontre o ponto correspondente no domínio da função
z = f (x, y), (w = f (x, y, z)).
- Calcule o valor da função e de suas derivadas parciais neste(s) ponto(s).
- No exercício d) a função z = f (x, y) = ln(x+2y) é válida para qualquer (x, y) tal que (x+2y) > 0
e as funções coordenadas são válidas para todo t ∈ R, porém se zermos t = π algo dá errado!!
Explique.
21) Para as funções abaixo, calcule
a) z = x2 + xy + y 2
b) z =
x
y
∂z ∂z
e .
∂s ∂t
onde x(s, t) = s + t
onde x(s, t) = set
c) z = arctg(2x + y)
e
e
y(s, t) = st;
y(s, t) = 1 + se−t ;
onde x(s, t) = s2 t
d) z = exy tg(y)
onde x(s, t) = s + 2t
e) z = ex cos(y)
onde x(s, t) = st
e
e
e
y(s, t) = sln(t);
y(s, t) = st ;
√
y(s, t) = s2 + t2 ;
22) A potência dissipada em um resistor elétrico na forma de calor (efeito Joule) pode ser representada
U2
pela equação P =
. Sendo a tensão elétrica é de 200V e a resistência de 8Ω, encontre a taxa
R
de diminuição da potência quando a tensão diminui em 5V /s e a resistência varia à uma taxa de
−0, 2Ω/s devido ao aquecimento do resistor.
23) A pressão de um mol de gás ideal está aumentando a uma taxa de 0, 05kP a/s, e a temperatura
é elevada a uma taxa de 0, 15K/s. Utilize a equação P V = 8, 31T para achar a taxa de variação
do volume quando a pressão é de 20kP a e a temperatura de 320K .
24) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante
as dimensões da caixa são l = 1m e w = h = 2m, e o comprimento e a largura estão aumentando
a uma taxa de 2m/s, ao passo que a altura está diminuindo à taxa de 3m/s. Neste instante,
determinar as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
(a) O volume da caixa;
(b) A área da superfície da caixa.
25) Para as funções abaixo mostre que o limite não existe nos pontos de descontinuidades.
a) f (x, y) =
x2 − y 2
;
x2 + y 2
c) f (x, y) =
xy 2
;
x2 + y 4
b) f (x, y) =
x2
xy
;
+ y2
e) f (x, y) =
x3 y 2
;
1 − xy
3