Resposta
EXATAS
Questão 1
Uma pessoa resolve caminhar todos os finais
de tarde. No 1.º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2.º dia, ela
caminha o dobro do que caminhou no 1.º dia;
no 3.º dia, caminha o triplo do que caminhou
no 1.º dia, e assim por diante. Considerando o
período do 1.º ao 25.º dia, ininterruptos, ela
caminhou um total de 243 750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1.º
dia.
b) Verifique quanto ela terá percorrido no
30.º dia.
Resposta
Podemos observar que no n-ésimo dia a pessoa
percorre nx metros, ou seja, x metros a mais do
que no dia anterior.
Logo a seqüência formada pelas distâncias percorridas a cada dia é uma PA de 1º termo a1 = x
e razão r = x. Assim:
a) x + 2x + 3x + ... + 25x = 243 750 ⇔
(x + 25x) ⋅ 25
⇔
= 243 750 ⇔ x = 750, isto é, a
2
pessoa percorreu 750 metros no 1º dia.
b) No 30º dia ela percorrerá 30x = 30 ⋅ 750 =
= 22 500 m.
Questão 2
Uma parede de 350 cm de altura e 500 cm de
comprimento será revestida de azulejos quadrados iguais. Desprezando-se a necessidade
de deixar espaço entre os azulejos e supondo-se que não haverá perdas provenientes do
corte deles,
a) determine o número de azulejos de 20 cm
de lado necessários para revestir a parede;
b) encontre a maior dimensão de cada peça
de azulejo para que não haja necessidade de
cortar nenhum deles.
a) Devemos cobrir uma área de 350 ⋅ 500 cm 2
com azulejos de área 20 2 cm 2 . Assim, como
350 ⋅ 500
= 437,5, precisamos de, pelo menos,
20 2
438 azulejos.
Supondo que não há perdas com cortes de azulejos, verifica-se que é possível revestir a parede
com 438 azulejos.
b) A maior medida que pode ter o lado de cada azulejo, para que não haja necessidade de cortar nenhum deles, é o maior divisor comum de 350 cm e
500 cm, ou seja, mdc (350, 500) = 50 cm.
Questão 3
A temperatura T de um forno, após o mesmo
ser desligado, varia com o tempo t, de acordo
com a expressão T = 1 000 − 15t2 , no qual T é
dado em graus Celsius e t, em minutos, até
atingir a temperatura ambiente.
a) Obtenha a taxa de variação média de T,
considerando o período entre 3 e 5 minutos
após o desligamento do forno.
b) Verifique o valor do tempo em que a temperatura atinge 50% de seu valor inicial.
Resposta
a) Para t = 3 min,T = 1 000 − 15 ⋅ 3 2 = 865 o C , e
para t = 5 min, T = 1 000 − 15 ⋅ 5 2 = 625 o C .
Assim, a taxa de variação média de T, no período
625 − 865
considerado, é
= −120o C /min.
5 −3
b) A temperatura inicial é T = 1 000 − 15 ⋅ 0 2 =
= 1 000o C e será atingido 50% desse valor, ou
seja, 500o C após um tempo t tal que
10
10 3
min.
500 = 1 000 − 15 ⋅ t 2 ⇔ t =
=
3
3
Questão 4
Dado o sistema de equações em R × R:
⎧⎪ (4 x )y = 16
⎨ x y
⎪⎩ 4 4 = 64
(1)
(2)
a) Encontre o conjunto verdade.
matemática 2
b) Faça o quociente da equação (2) pela equação
(1) e resolva a equação resultante para encontrar
uma solução numérica para y, supondo x ≠ 1.
Resposta
x y
a)
(4 )
x
4 ⋅4
= 16
y
= 64
⇔
4 xy = 4 2
4
x+y
=4
3
⇔
xy = 2
⇔
x + y =3
x(3 − x) = 2
x 2 − 3x + 2 = 0
⇔
⇔
⇔
y =3 − x
y =3 − x
(x = 1 e y = 2)
V = {(1; 2), (2; 1)}
ou
⇔
(x = 2 e y = 1)
b) Fazendo-se o quociente pedido, temos
4x + y
64
=
= 4 ⇔ 4 x + y = 4 xy ⋅ 4 ⇔
xy
16
4
⇔ x + y = xy + 1 ⇔ y(1 − x) = 1 − x. Como
1−x
= 1.
x ≠ 1, y =
1−x
Questão 5
Um industrial produziu 1 000 peças de um
produto manufaturado ao custo unitário de
200 reais. Vendeu 200 dessas peças com um
lucro de 30%. O industrial deseja obter um
lucro de 40% com a venda das 1 000 peças
produzidas. Nestas condições,
a) determine quanto lucrou o industrial, em
reais, com a venda das 200 peças;
b) encontre o preço que deve ser vendida cada
uma das 800 peças restantes para que o industrial obtenha o lucro desejado.
Resposta
a) Explicite, em termos de n, o número de comissões possíveis de serem formadas com estes alunos.
b) Determine o número de comissões possíveis, se o professor exigir a participação na
comissão de um determinado aluno da sala,
por esse ser o representante da classe.
Resposta
a) O número de comissões possíveis é o número
de subconjuntos de três alunos da sala de n alu⎛n ⎞
n(n − 1)(n − 2)
nos, ou seja, é igual a ⎜ ⎟ =
=
⎝3 ⎠
3!
n(n − 1)(n − 2)
.
=
6
b) Fixado um membro da comissão, para completá-la, devemos escolher dois alunos dos n − 1 restantes.
O número de comissões possíveis é, então,
⎛ n − 1⎞
(n − 1)(n − 2)
.
⎟ =
⎜
⎝ 2 ⎠
2
Questão 7
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado durante
4 meses.
a) Encontre o rendimento da aplicação, no período, considerando a taxa de juros simples
de 10% ao mês.
b) Determine o rendimento da aplicação, no
período, considerando a taxa de juros compostos de 10% ao mês.
Resposta
a) O rendimento da aplicação, considerando a taxa
a) O lucro obtido com a venda das 200 peças é de juros simples de 10% ao mês, ao final de 4 me30% de 200 ⋅ 200 = 0,30 ⋅ 40 000 = 12 000 reais.
ses será 1 000(1 + 0,1 ⋅ 4) − 1 000 = R$ 400,00.
b) O comerciante deseja obter um lucro de 40% b) Considerando-se agora a mesma taxa, com
com a venda das 1 000 peças, ou seja, ele deve juros compostos, o rendimento será de
obter um faturamento de 1 000 ⋅ 200 ⋅ 1,40 = 1 000(1 + 0,1) 4 − 1 000 = R$ 464,10.
= 280 000 reais. Como já obteve 200 ⋅ 200 ⋅ 1,30 =
= 52 000 reais, faltam 280 000 − 52 000 =
= 228 000 reais para atingir a meta.
Logo o comerciante deve vender cada uma das Questão 8
228 000
800 peças restantes por
= 285 reais.
800
Considere dois canos, A e B, de PVC, cada
um com 10 metros de comprimento, A posQuestão 6
suindo r = 5 cm de raio, e B, R = 15 cm. O
cano A é colocado no interior de B de forma
A turma de uma sala de n alunos resolve for- que os centros coincidam, conforme a figura,
mar uma comissão de três pessoas para tratar e o espaço entre ambos é preenchido com concreto.
de um assunto delicado com um professor.
matemática 3
a) Encontre o comprimento de cada um de
seus lados.
b) Calcule o volume do prisma.
Resposta
Considerando π = 3,14,
a) calcule a área de uma das superfícies de
concreto expostas, em cm2 , quando um corte
perpendicular ao comprimento do cano for feito;
b) encontre o volume de concreto, em m 3 ,
para preencher toda a extensão de 10 metros
entre os dois canos.
Resposta
a) A área de uma das superfícies de concreto expostas é a diferença entre as áreas dos círculos
de raio R e r, πR 2 − πr 2 = π(R − r)(R + r) ≅
≅ 3,14 ⋅ 10 ⋅ 20 = 628 cm 2 .
b) O volume de concreto é a diferença entre os volumes dos cilindros de altura 10 m e raios da base
respectivamente iguais a R e r, ou seja, tal volume
é π ⋅ R 2 ⋅ h − π ⋅ r 2 ⋅ h = h( πR 2 − πr 2 ). Como
do item a, πR 2 − πr 2 ≅ 628 cm2 = 0,0628 m 2 , o
valor pedido é10 ⋅ 0,0628 = 0,628 m 3 .
Questão 9
Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5 cm e a área lateral igual
a 60 cm2 .
a) A área de cada uma das 6 faces laterais é
60
= 10 cm 2 . Como a altura do prisma é 5 cm e,
6
supondo que os lados pedidos sejam as arestas
10
da base, estas medem
= 2 cm.
5
22 ⋅ 3
b) O volume do prisma é igual a 6 ⋅
⋅5 =
4
3
= 30 3 cm .
Questão 10
−1
,
2
a) verifique se o ângulo x pertencente ao 1º.
3
satisfaz a
quadrante, tal que sen(x) =
2
equação acima;
b) encontre as soluções da equação dada, em
toda a reta.
Dada a equação cos(4x) =
Resposta
Temos:
1
2π
⇔ cos(4x) = cos
⇔
2
3
2π
2π
⇔ 4x =
+ 2kπ ou 4x = −
+ 2kπ, k ∈ Z ⇔
3
3
π
kπ
π
kπ
ou x = −
, k ∈ Z.
⇔x =
+
+
6
2
6
2
a) O ângulo x pertencente ao 1º quadrante tal que
3
π
π
1⋅π
sen x =
, que é uma solué
=−
+
2
3
6
2
ção da equação dada.
b) As soluções da equação dada são os números
π
π
kπ
kπ
e−
, sendo k inteiro.
da forma
+
+
6
2
6
2
cos(4x) = −