&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV1
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV
Å
1Ro}HV *HUDLV
x
Recordemos o caso mais simples de um VLVWHPD de duas HTXDo}HVOLQHDUHV
nas duas LQFyJQLWDV [ e \.
[\ [\ É fácil verificar que este sistema tem como ~QLFDVROXomR,
[ \ x
Em termos gráficos, as equações representam duas UHFWDV no plano, cujo SRQWR
GHLQWHUVHFomR é a VROXomRGRVLVWHPD.
x
Contudo, sabemos também que QHPWRGRVRVVLVWHPDVOLQHDUHVWrPVROXomR.
Como por exemplo,
[\ [\ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV2
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Graficamente, isso acontece porque as duas HTXDo}HVOLQHDUHV representam
duas UHFWDVSDUDOHODV.
x
Pode ainda acontecer que o sistema seja possível, mas WHQKDXPDLQILQLGDGH
GHVROXo}HV.
x
Como por exemplo,
[\ [\ Graficamente, isso acontece porque as duas equações representam
efectivamente D PHVPDUHFWD.
A solução do sistema é o conjunto de todos os pontos dessa recta.
x
Para tentar resolver sistemas de dimensões superiores, precisamos de matrizes.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV3
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6LVWHPDV H 0DWUL]HV
x
Uma HTXDomROLQHDU tem a forma geral,
onde,
DL ∈ £ , L ∈ {Q}
[L ∈ £ , L ∈ {Q}
são os FRHILFLHQWHV
E∈£
x
x
as LQFyJQLWDV
o WHUPRLQGHSHQGHQWH
Uma equação linear pode ser representada na sua IRUPDPDWULFLDO,
PDWUL]OLQKDGRVFRHILFLHQWHV
Dizemos que o n-uplo PDWUL]FROXQDGDVLQFyJQLWDV
V V VQ
é uma VROXomRGDHTXDomROLQHDU se,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV4
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
x
Na forma matricial,
é uma matriz coluna tal que,
Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWRVROXomR da equação
linear.
Por exemplo, com
£ = ¸, consideremos a HTXDomROLQHDU,
com UHSUHVHQWDomRPDWULFLDO,
Explicitando em função de uma das incógnitas, por exemplo [,
podemos formalizar o FRQMXQWRVROXomR como,
ou seja, WRGRVRVWHUQRV
como por exemplo:
[ [ [
tais que
[
[ [ ± ,
Para obter uma VROXomR~QLFD seriam necessárias três equações lineares...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV5
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6LVWHPDV GH (TXDo}HV /LQHDUHV
x
Um VLVWHPDGHP HTXDo}HVOLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV , P, Q ∈ ´,
tem a forma geral,
onde,
DLM∈ £ , L ∈ {P}
[M ∈ £ ,
M ∈ {Q}
EL ∈ £ ,
x
x
Se
EL
e M ∈ {Q}
são os FRHILFLHQWHV
são as LQFyJQLWDV
L ∈ {P}
são os WHUPRVLQGHSHQGHQWHV
para WRGR o L ∈ {P} o sistema diz-se KRPRJpQHR,
caso contrário o sistema diz-se FRPSOHWR.
O n-uplo V V VQ é uma VROXomRGRVLVWHPD se for solução de todas
as equações do sistema.
Ao conjunto de todas as soluções chamamos FRQMXQWRVROXomR do sistema.
x
Por exemplo,
[ [ [
[ [ [
é um sistema completo, de 2 equações e 3 incógnitas.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV6
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
O terno é XPD VROXomR do sistema pois,
l l l x
x
>
l l l Dois sistemas são HTXLYDOHQWHV se tiverem o mesmo conjunto solução.
Uma RSHUDomRHOHPHQWDU transforma um dado sistema noutro que lhe é
equivalente.
2SHUDo}HV HOHPHQWDUHV
Representamos as equações do sistema por
x
x
HL
com L ∈ {P}.
x
7URFDUGXDVHTXDo}HV
x
0XOWLSOLFDUXPDHTXDomRSRUXPHVFDODUQmRQXOR
x
$GLFLRQDUDXPDHTXDomRRXWUDPXOWLSOLFDGDSRUXPHVFDODU
HL Ž HM
H¶L ~ DHL
com D
≠
H¶L ~ HL + E HM
Aplicando uma sequência de operações elementares a um dado sistema,
obtemos outro sistema com o mesmo conjunto solução.
Deste modo podemos “transformar” um dado sistema linear noutro, cuja
resolução é mais simples.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV7
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo para o sistema,
[\ [\ H¶ ~ - H
H¶ ~ H H
[\ [\ [\ \ H¶ ~ òH
[\ H¶ ~ H H
[ H¶ ~ ò H
[ \ \ \ Assim, por uma sequência de operações elementares obtivemos um sistema
equivalente, ou seja, a VROXomR~QLFD do sistema inicial,
[ \ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV8
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo para o sistema,
[ [ [
[ [ [
[ [
H¶ ~ H H
[ [ [
[ [
[ [
H¶ ~ H H
H¶ ~ H òH
[ [ [
[ [
[ [ [
[ [
[ [
ò[
ò
Deste modo, obtivemos um VLVWHPDHTXLYDOHQWH onde é óbvio que [
.
Mas, conhecido este valor, podemos substituí-lo na segunda equação,
[ donde,
[
E conhecidos os valores de [ e [ podemos substituí-los na primeira equação,
[ donde,
[
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV9
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
O sistema anterior tem portanto como ~QLFDVROXomR o terno .
Ou seja, o FRQMXQWRVROXomR ^
`
é unitário.
Atendendo ao Q~PHURGHVROXo}HV, um sistema de equações lineares pode ser
classificado como:
LPSRVVtYHO– quando não tem solução
SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR
x
SRVVtYHO
– quando tem uma única solução
SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR
– quando tem uma infinidade de soluções
Por exemplo o sistema de equações e incógnitas,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV10
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Assim, o conjunto solução deste sistema é dado por,
Trata-se portanto de um VLVWHPDSRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR, pois todo e
qualquer valor real da variável [ gera uma solução.
Dizemos que
x
[
é uma YDULiYHOOLYUH na solução.
Num sistema possível e indeterminado chama-se JUDXGHLQGHWHUPLQDomR ao
número de variáveis livres nas soluções.
O sistema anterior tem XPD~QLFDYDULiYHOOLYUH, pelo que o JUDXGH
LQGHWHUPLQDomRé igual a .
x
Por exemplo o sistema de equações e incógnitas,
Trata-se portanto de um VLVWHPDLPSRVVtYHO e o conjunto solução é vazio.
x
Para uma maior comodidade dos cálculos das operações elementares e
para permitir a sua programação, os sistemas de maiores dimensões são
habitualmente representados na sua forma matricial.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV11
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
5HSUHVHQWDomR 0DWULFLDO GH 6LVWHPDV GH (TXDo}HV
/LQHDUHV
x
Um dado VLVWHPDGHP HTXDo}HVOLQHDUHV e Q LQFyJQLWDV , P, Q ∈ ´,
pode ser representado na IRUPDPDWULFLDO
$
$ ; %
onde,
é a PDWUL]GRVFRHILFLHQWHV
;
é a PDWUL]FROXQDGDVLQFyJQLWDV
%
é a PDWUL]FROXQDGRVWHUPRVLQGHSHQGHQWHV
Note que, efectuando o produto das matrizes obtemos,
e pela igualdade de matrizes recuperamos o sistema original.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV12
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Porque as operações HOHPHQWDUHVVREUHDVHTXDo}HV envolvem também os
segundos membros, torna-se conveniente utilizar a chamada PDWUL]DPSOLDGD
do sistema [ $ | % ],
Como por exemplo o sistema,
tem como forma matricial $
; % onde,
e como matriz ampliada,
x
Deste modo, as operações elementares podem ser aplicadas directamente às
linhas da matriz ampliada, tal como no método de Gauss...
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV13
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
2 PpWRGR GH HOLPLQDomR GH *DXVV
x
Retomemos o sistema,
[ [ [
[ [ [
[ [
cuja PDWUL]DPSOLDGD,
[$|%]=
Consideremos a sequência de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV efectuadas sobre as
equações do sistema,
mas vamos agora efectuá-las sobre as OLQKDVGDPDWUL]DPSOLDGD,
/L
com L ∈ { }.
/¶ ~ / /
/¶ ~ / /
/¶ ~ / ò/
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV14
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Deste modo, obtivemos uma matriz ampliada que corresponde ao sistema,
Este sistema é HTXLYDOHQWH ao inicial, mas possui uma propriedade muito
conveniente: D PDWUL]GRVLVWHPDpWULDQJXODUVXSHULRU.
Este facto permite-nos agora calcular a solução de forma simples, por
sucessivas VXEVWLWXLo}HVDVFHQGHQWHV.
x
>
Podemos então redefinir as RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV, mas agora VREUHDV
OLQKDVGDPDWUL]DPSOLDGD de um sistema linear.
2SHUDo}HV HOHPHQWDUHV VREUH OLQKDV
Representando as linhas da matriz ampliada por
/L
com L ∈ {P}.
x
7URFDUGXDVOLQKDV
x
0XOWLSOLFDUXPDOLQKDSRUXPHVFDODUQmRQXOR
x
/L Ž /M
/¶L ~ D/L
com D
≠
$GLFLRQDUDXPDOLQKDRXWUDPXOWLSOLFDGDSRUXPHVFDODU
/¶L ~ /L + E /M
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV15
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo o sistema,
tem por PDWUL]DPSOLDGD,
Efectuemos a sequência de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHVVREUHOLQKDV:
Trocar as duas primeiras linhas,
/ Ž /
Somar à segunda, a primeira multiplicada por ,
Somar à terceira, a primeira multiplicada por ±,
/¶ ~ / /
/¶ ~ / ± /
Somar à terceira, a segunda multiplicada por ,
/¶ ~ / /
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV16
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Dividir a terceira por ,
/¶ ~ /
Donde, SRUVXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH,
obtemos o FRQMXQWRVROXomR
x
x
x
O facto da matriz obtida ser WULDQJXODUVXSHULRU, tornou possível o cálculo da
solução por VXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH. Mas não é necessário tanto ...
Para que a substituição ascendente seja possível, basta que a matriz ampliada
esteja HVFDORQDGDSRUOLQKDV.
Diz-se que uma matriz está na IRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV se satisfizer
as seguintes condições:
ƒ
ƒ
ƒ
x
Se há linhas nulas elas situam-se abaixo das linhas não nulas;
O primeiro elemento não nulo de cada linha (com excepção da primeira)
situa-se à direita do primeiro elemento não nulo da linha anterior;
Os elementos que se situam abaixo do primeiro elemento não nulo de
cada linha (com excepção da última) são todos nulos.
Aos primeiros elementos não nulos de cada linha chamam-se SLYRWV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV17
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo, estão HVFDORQDGDVSRUOLQKDV as matrizes,
mas QmRHVWiescalonada por linhas a matriz,
x
Diz-se que uma matriz está na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD se:
estiver na forma escalonada por linhas e
cada SLYRW é igual a e
é o único elemento não nulo da sua coluna.
x
Por exemplo, estão na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD as matrizes,
Ou seja, os SLYRWV são todos iguais a e tanto abaixo com acima deles todos os
elementos são nulos.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV18
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Verifique que todas as matrizes seguintes estão HVFDORQDGDVSRUOLQKDV, mas
apenas as matrizes de $ até $ estão na IRUPDUHGX]LGD.
Note que, se para um dado sistema
$ ; %
conseguirmos obter a forma,
ou seja, a matriz identidade, isso corresponde a um sistema na forma,
com, $
; ,Q ; ; %
e portanto está calculada a solução única do sistema,
; % .
x
7HRUHPD: Toda a matriz pode ser colocada na IRUPDHVFDORQDGD, mediante
uma sequência finita de RSHUDo}HVHOHPHQWDUHV sobre as linhas.
x
A GHPRQVWUDomR deste teorema é o próprio DOJRULWPRGH*DXVV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV19
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
¨ 2 PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV SDUDFRQYHUWHUXPDPDWUL]jIRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV
Se todos os elementos da matriz forem nulos, parar.
Procurar, da esquerda para a direita, a primeira coluna que tenha um
elemento não nulo ( N) e mover essa linha para o topo da matriz.
(RSFLRQDO)
Multiplicar por N a primeira linha para que o primeiro SLYRW fique igual a .
Anular cada elemento abaixo do SLYRW, adicionando às linhas
correspondentes múltiplos adequados da primeira linha.
(DTXLDSULPHLUDOLQKDHDSULPHLUDFROXQDHVWmRMiFDOFXODGDV)
Repetir de a para as restantes linhas.
x
Para obter a IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD de uma matriz aplica-se o PpWRGRGH
HOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ.
¨ 2 PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV±-RUGDQ SDUDFRQYHUWHUXPDPDWUL]jIRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD
Aplicar o método de eliminação de Gauss até produzir a forma escalonada
por linhas. Transformar todos os pivots em .
Aplicar o método de eliminação de Gauss de baixo para cima por forma a
anular todos os elementos da matriz situados acima e na mesma coluna
dos pivots.
Para isso, bastará começar na última linha não nula e, de baixo para cima,
adicionar a cada linha múltiplos adequados das linhas inferiores.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV20
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo, consideremos o sistema que tem a PDWUL]DPSOLDGD,
Começando pelo método de HOLPLQDomRGH*DXVV,
A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira.
Trocar com a primeira.
Fazer o primeiro SLYRW .
Anular todos os elementos abaixo do SLYRW.
DSULPHLUDOLQKDHDSULPHLUDFROXQDHVWmRFDOFXODGDV
Repetir para as restantes linhas.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV21
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
A primeira linha cujo primeiro elemento é não nulo, é a terceira.
Trocar com a segunda.
Fazer o segundo SLYRW .
Anular todos os elementos abaixo do SLYRW.
DVHJXQGDOLQKDHDVHJXQGDFROXQDHVWmRWDPEpPFDOFXODGDV
Repetir para as restantes linhas.
Mas notamos que as duas linhas que restam são iguais.
Eliminemos a última.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV22
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Fazer o terceiro SLYRW .
E assim obtivemos a matriz na IRUPDHVFDORQDGDSRUOLQKDV.
Note-se que esta matriz corresponde ao sistema,
que pode facilmente ser FDOFXODGRSRUVXEVWLWXLomRDVFHQGHQWH.
Mas vamos continuar, com método de HOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ.
Partindo da matriz escalonada por linhas,
vamos anular os elementos acima dos SLYRWV,
começando na primeira linha,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV23
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e anulando os restantes.
E finalmente temos a matriz na IRUPDHVFDORQDGDUHGX]LGD.
A matriz ampliada assim obtida corresponde ao sistema, HTXLYDOHQWH ao inicial,
Trata-se obviamente de um VLVWHPDLQGHWHUPLQDGR, onde podemos explicitar
as três variáveis [, \ e ] em função de W.
e apresentar o FRQMXQWRVROXomR na forma,
onde W é a única YDULiYHOOLYUH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV24
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema,
tem o FRQMXQWRVROXomR
x
^ ]±]]∈ ¸ `.
Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema,
é LPSRVVtYHO.
x
Utilizando o PpWRGRGHHOLPLQDomRGH*DXVV-RUGDQ, mostre que o sistema,
tem a VROXomR~QLFD ±.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV25
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
'LVFXVVmR GH 6LVWHPDV /LQHDUHV
x
x
Comecemos por observar que, para uma dada matriz, a aplicação do método
de Gauss (ou do método de Gauss-Jordan) conduz VHPSUH a uma matriz
escalonada (ou escalonada reduzida) FRPRPHVPRQ~PHURGHSLYRWV.
Recordemos o exemplo da página 20 onde, dada a matriz,
obtivemos as formas: HVFDORQDGDSRUOLQKDV e HVFDORQDGDUHGX]LGD,
ambas com SLYRWV. O mesmo teria acontecido para qualquer outra matriz
escalonada, obtida a partir da inicial.
Este exemplo trata da resolução de um sistema inicial de HTXDo}HV e
LQFyJQLWDVque, como vimos, é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR, com JUDX
GHLQGHWHUPLQDomR igual a .
Essa ³LQGHWHUPLQDomR´ resultou precisamente do facto de ter ³GHVDSDUHFLGR´
uma equação e portanto também um SLYRW.
E porque o ³SLYRWGHVDSDUHFLGR´ é o que corresponde à incógnitaW,
apresentámos o FRQMXQWRVROXomR na forma,
onde W é a YDULiYHOOLYUH.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV26
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Chamamos FDUDFWHUtVWLFDGHXPDPDWUL] $ ao número de pivots de uma
qualquer PDWUL]HVFDORQDGD obtida de $ por aplicação sucessiva de
operações elementares sobre as linhas de $.
Representamos a característica de $ por
U$ou FDU$.
x
Sendo $ a matriz de um sistema, do tipo PlQ, então teremos sempre,
x
Recordemos o segundo exemplo da página 24.
U$d PLQ^PQ`
Tratava-se da resolução de um sistema de HTXDo}HV e LQFyJQLWDV, com
PDWUL]DPSOLDGD,
donde se pode obter a forma HVFDORQDGDSRUOLQKDV,
Neste caso, a matriz $ do sistema tem SLYRWV,
mas a matriz ampliada [$
_%] tem SLYRWV.
Como vimos, o VLVWHPDpLPSRVVtYHO e essa ³LPSRVVLELOLGDGH´ resulta
precisamente do facto da terceira linha representar uma ³LJXDOGDGHLPSRVVtYHO´
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV27
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por outro lado, o exemplo da página 15, de um sistema de HTXDo}HV e
LQFyJQLWDV, conduziu à matriz ampliada HVFDORQDGDSRUOLQKDV,
que tem SLYRWV e, como vimos, o sistema é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR.
¨ 'LVFXVVmRGHXPVLVWHPD Dado o sistema
$ ; %
onde
$
%
é uma matriz do tipo PlQ
é uma matriz do tipo Pl
Construir a matriz ampliada 0 [ $ | % ]
Aplicar o PpWRGRGH*DXVV ou o PpWRGRGH*DXVV-RUGDQ.
D Se, durante a aplicação do método, surgir uma linha do tipo,
_D com
D œ 0, então o VLVWHPDpLPSRVVtYHO.
Parar !
E Senão, terminar o processo até obter uma matriz na forma HVFDORQDGD
SRUOLQKDV ou HVFDORQDGDUHGX]LGD.
Representemos esta matriz por
∼
0.
Nesta matriz, o Q~PHURGHFROXQDVVHPSLYRW corresponde ao Q~PHUR
GH YDULiYHLVOLYUHV, ou JUDXGHLQGHWHUPLQDomR,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV28
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Para escolher as variáveis dependentes e as livres pode-se efectuar o
seguinte raciocínio:
YDULiYHLVOLYUHV
FROXQDVVHPSLYRW
YDULiYHLVGHSHQGHQWHV
FROXQDVFRPSLYRW
Se a matriz tiver pivots em todas as colunas correspondentes às
LQFyJQLWDV, isto é,
então não existem variáveis livres e o sistema é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR.
x
7HRUHPD: Seja $
; % um VLVWHPDGHHTXDo}HVOLQHDUHV, onde $ é uma
matriz do tipo PlQ e % é uma matriz do tipo Pl.
Existem três possibilidades de classificação:
1.
$ ; %
é SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR se e só se,
2.
$ ; %
é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR se e só se,
U$ U[$_%] Q
U$ U[$_%] < Q
e tem JUDXGHLQGHWHUPLQDomR
Q ±U$ Q±U[$_%] 3.
$ ; %
é LPSRVVtYHO se e só se,
U$œ U [$_%] BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV29
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
E sistematizando,
LPSRVVtYHO
U$œ U [$_%] SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR
x
SRVVtYHO
U$ U[$_%] Q
SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR
U$ U[$_%] < Q
Por exemplo, procuremos uma UHODomR entre D e E para o seguinte VLVWHPD
seja SRVVtYHO,
Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV30
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Para que o sistema seja SRVVtYHO é necessário e suficiente que,
U$ U[$_%] ou seja que,
E±D± E±D Caso contrário a última linha representaria uma ³LJXDOGDGHLPSRVVtYHO´.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV31
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Considere o sistema linear,
Determine os valores dos SDUkPHWURV D e E para os quais o sistema é,
L
LL
LPSRVVtYHO
SRVVtYHOHGHWHUPLQDGR
5HVROYDR, pelo método de eliminação de Gauss, para
D e
E .
Construindo a matriz ampliada e aplicando o método de eliminação de Gauss,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV32
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
obtemos a matriz escalonada,
L
O sistema será LPSRVVtYHOse e só se,
ou seja,
D ± e E œ D LL
U$œ U [$_%] ,
e
Eœ
O sistema será SRVVtYHOHGHWHUPLQDGRse e só se,
U$ U[$_%] ,
ou seja,
5HVROYHU, para
D ±œ ¾ D œ D e
E .
Pelas alíneas anteriores, sabemos já que vai ser SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR.
Substituindo D
e
E na matriz escalonada já calculada,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV33
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Ou seja, obtivemos o VLVWHPD HTXLYDOHQWHDRLQLFLDO,
E porque, na matriz escalonada a ³FROXQDVHPSLYRW´corresponde à variável W,
explicitamos,
e apresentamos o FRQMXQWRVROXomR na forma,
x
6ROXomR:
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV34
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Å
6LVWHPD KRPRJpQHRV
x
Num sistema KRPRJpQHR de equações lineares, WRGRVRVWHUPRV
LQGHSHQGHQWHVVmRQXORV e tem portanto como representação matricial,
$ ; pl1
x
( ou simplesmente
$ ; )
Então, todo o sistema homogéneo tem sempre SHORPHQRVXPDVROXomR,
a solução nula,
; [0 0 ... 0]7
por isso chamada a VROXomRWULYLDO do sistema homogéneo.
x
Por exemplo o sistema,
tem, como solução única, a VROXomRWULYLDO .
x
Por outro lado o sistema,
é um sistema homogéneo possível e indeterminado, cuja solução é o conjunto,
{ ±]]]∈ ¸ }
ao qual pertence a VROXomRWULYLDO .
Naturalmente, isso acontece porque se trata de um sistema com LQFyJQLWDV e
HTXDo}HV.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV35
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
7HRUHPD: Se um sistema de equações lineares homogéneo tem PDLV
LQFyJQLWDVTXHHTXDo}HV, então existe uma VROXomRQmRWULYLDO.
DePRQVWUDomR: Seja então $
; pl1
onde $ é uma matriz do tipo SlT
comT ! S
PDLVLQFyJQLWDVGRTXHHTXDo}HV
Como um sistema homogéneo é VHPSUHSRVVtYHO,
U$ U[$_] .
então,
E como
U$d PLQ^ST`
então
U$d S T
Assim,
U$< T
FDUDFWHUtVWLFDLQIHULRUDRQ~PHURGHLQFyJQLWDV
o sistema é LQGHWHUPLQDGR e
tem portanto alguma VROXomRQmRWULYLDO.
x
x
Os sistemas homogéneos possuem algumas propriedades muito simples, mas
bastante úteis.
3URSULHGDGH: Se ;K é uma solução do sistema homogéneo $
então
'HPRQVWUDomR:
Se
D ;K
$ ;K
então
; ,
também é solução, para qualquer D
∈ ¸.
$ D ;K D $;K D .
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV36
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Por exemplo para o sistema,
cuja solução é o conjunto,
{ ±]]]∈ ¸ }
Como ± é uma solução,
obviamente que também o serão: ±, ±, ±, ...
x
3URSULHGDGH: Se ; e ; são soluções do sistema homogéneo $
então
'HPRQVWUDomR:
Se
; ;
$ ;
então
x
; ,
também é solução.
e
$ ;
$ ; ; $; $;
.
Para o mesmo exemplo:
Se ± e
± são soluções
obviamente que também ± é solução.
x
Deste modo, mostrámos também que TXDOTXHUFRPELQDomROLQHDUGH
VROXo}HV de um sistema homogéneo é ainda solução.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV37
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
x
Para qualquer sistema $
DVVRFLDGR
$ ; .
; %, podemos considerar o VLVWHPDKRPRJpQHR
Por exemplo para o sistema,
o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR é,
Naturalmente a matriz $ é a mesma para ambos, mas as respectivas PDWUL]HV
DPSOLDGDV serão [$_%] e [$_].
Aplicado o método de Gauss, obtemos as PDWUL]HVDPSOLDGDVHVFDORQDGDV.
Neste caso, ambos os sistemas são SRVVtYHLVHGHWHUPLQDGRV,
tendo o sistema completo a VROXomR~QLFD
e o sistema homogéneo associado apenas a VROXomRWULYLDO .
Assim, podemos apresentar a solução do sistema completo como a VRPDGDV
VROXo}HV únicas dos dois sistemas,
{ }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV38
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
Consideremos agora o seguinte sistema e respectivo VLVWHPDKRPRJpQHR
DVVRFLDGR,
Construídas as matrizes ampliadas e aplicado o método do Gauss obtemos:
Para o VLVWHPDFRPSOHWR,
o que significa que o sistema é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR e equivalente a,
e tem por FRQMXQWRVROXomR,
{ ±]±]]]∈ ¸ }
Para o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR,
o que significa que o sistema homogéneo também é SRVVtYHOHLQGHWHUPLQDGR
e equivalente a,
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV39
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
e que tem por FRQMXQWRVROXomR,
{ ]±]]]∈ ¸ }
Temos então, para o VLVWHPDFRPSOHWR a solução,
{ ±]±]]]∈ ¸ }
e para o VLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR a solução,
{ ]±]]]∈ ¸ }
Se no FRQMXQWRVROXomRGRVLVWHPDFRPSOHWR escolhermos uma VROXomR
SDUWLFXODU, por exemplo,
aquela que corresponde a ]
, ou seja, ±
então podemos apresentar a VROXomRJHUDOGRVLVWHPDFRPSOHWR,
como a VRPDGHVWDVROXomRSDUWLFXODU,
com a VROXomRJHUDOGRVLVWHPDKRPRJpQHRDVVRFLDGR:
{ ±]±]]]∈ ¸ }
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV40
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
3URSRVLomR:
Seja ;S uma solução particular do sistema de equações lineares $
Então, ; é solução do sistema VHHVyVH
existe uma solução
tal que ;
;K
;S ;K .
do sistema homogéneo associado, $
DePRQVWUDomR:
Se ;S é uma VROXomR do sistema
(Á)
E nesse caso,
$ ;S
; pl1,
$ ; %, então $ ;S
Se ; é WDPEpPVROXomR do sistema
$;
$ ;S ± $;
; %.
%.
$ ; %, então $ ;
%.
pl1
$ ;S ± ; pl1
ou seja,
(¿)
;S ± ;
é WDPEpPVROXomR do sistema
$ ; %.
Se ;K é umaVROXomR do sistema homogéneo associado, $
então
;K
$ ;K
E nesse caso,
pl1.
$;
; pl1,
$;S ;K
$;S $;K
%$;K
%pl1
%
e portanto ; é uma solução do sistema completo
$ ; %.
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV
&DStWXOR±6LVWHPDVGH(TXDo}HV/LQHDUHV41
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
x
([HUFtFLRV:
Resolva cada um dos sistemas seguintes e apresente a solução
como a soma de uma solução particular com a solução geral do
sistema homogéneo associado.
6ROXomR:
{ ±±]]]]∈ ¸ }
6ROXomR:
{ ±}
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD/LQHDU
5RViOLD5RGULJXHV