Ensino Superior
Cálculo 2
2.2- Integração Numérica
Amintas Paiva Afonso
Problema (I)

b
a
f ( x)dx  ?
y
(x6,y6)
g(x)
f ( x)  ?
(x7,y7)
h(x)
(x2,y2)
(x3,y3)
a
(x1,y1)
(x5,y5)
(x4,y4)
x
b
Problema (II)
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
F ( x)  ?
x
Motivação
• Calcular a integral de uma função f(x) em
casos onde:
I) f(x) é conhecida apenas em certos pontos
II) é impossível calcular ou difícil de expressar a
antiderivada F(x) de f(x)
Integração Numérica
• Utilizam-se funções polinomiais de
interpolação para aproximar o valor da
integral definida:

b
a
 b P (x)dx
a 0
 b
f(x)dx   P1 (x)dx
a

 b P (x)dx
a 2
(Regra do Ret ângulo)
(Regra do T rapézio)
(Regra de Simpson)
Aproximações para a integral
Regra do
Retângulo
(P0(x))
Regra do
Trapézio
(P1(x))
Regra de
Simpson
(P2(x))
Regra do Retângulo
• Aproximamos a integral de f(x) divindo o intervalo [a,b]
em m subintervalos e calculando a área dos retângulos
de base h=(b-a)/m e altura f(x), isto é,
usando
f(x) do ponto à esquerda

b
a
m 1
f ( x)dx   f ( xk )h
k 0
usando
f(x) do ponto médio

b
a
 x  xk 1 
f ( x)dx   f  k
h
2

k 0 
m 1
usando
f(x) do ponto à direta

b
a
m 1
f ( x)dx   f ( xk 1 )h
k 0
Regra do Trapézio
• Aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1
que interpola (x0,y0) e (x1,y1)=(x0+h,y1) pela
forma de Lagrange:
x  x0
x  x1
P1 ( x )  y 0
 y1
x0  x1
x1  x0
x  ( x0  h)
x  x0
 y0
 y1
h
h
x0
x0 
x

 ( y1  y0 )   y0  y0  y1 
h
h
h

Regra do Trapézio
• Integrando o polinômio no intervalo [x0,x1]:

x1
x0
P1 ( x)dx 
 
1
( y1  y0 ) x 2
2h
x1
x0
x
x  x

  y0  y0 0  y1 0 x x10
h
h


x
x 
1

( y1  y0 )(x1  x0 )(x1  x0 )  ( x1  x0 ) y0  y0 0  y1 0 
2h
h
h


1
( y1  y0 )(2 x0  h)  y0 h  x0 ( y0  y1 )
2
1
 x0 ( y1  y0 )  h( y1  y0 )  hy0  x0 ( y1  y0 )
2
h
 ( y1  y0 )
2
Regra do Trapézio
• Interpretação geométrica: a expressão anterior
mostra que a integral de f(x) pode ser aproximada
pela a área do trapézio:
y1

b
a
f ( x)dx 
h
x0 P1( x)dx  2 ( y0  y1 )
x1
f(x)
y0
=x0


h
=x1 = x0+h
Regra do Trapézio Repetida
• Dividindo o intervalo de integração em m partes
iguais de medida h=(b-a)/m,

b
a
m 1
f ( x)dx   
k 0
xk 1
xk
m 1
f ( x)dx   
k 0
xk 1
xk
P1( x)dx
temos a Regra do Trapézio Repetida:
m 1

k 0
xk 1
xk
m 1
h
P1 ( x)dx   [( f ( xk )  f ( xk 1 )]
k 0 2
h
 { f ( x0 )  2[ f ( x1 )  f ( x2 )    f ( xm1 )]  f ( xm )}
2
Regra de Simpson
• Aproximando f(x) pelo polinômio de grau 2 que
interpola os pontos
(x0, f(x0)),
(x1, f(x1))=(x0+h, f(x0+h)),
(x2,f(x2))=(x0+2h, f(x0+2h)),
temos:
Regra de Simpson
P 2 ( x)  f ( x0 ) 
 y0
x  x0 x  x2
x  x0 x  x1
x  x1 x  x2

 f ( x1 ) 

 f ( x2 ) 

x0  x1 x0  x2
x1  x0 x1  x2
x2  x0 x2  x1
( x  x0 )(x  x2 )
( x  x0 )(x  x1 )
( x  x1 )(x  x2 )
 y1
 y2
(h)(2h)
(h)(h)
(2h)(h)
x 2  x( x0  x2 )  x0 x2
x 2  x( x0  x1 )  x0 x1
x 2  x( x1  x2 )  x1 x2
 y0
 y1
 y2
h( 2h)
h(  h)
2h( h)
1
 2
h
 2 1
1 
 x  y0  y1  y2  
2 
 2
1
 1

 x  2 x0  3h  y0  (2 x0  2h) y1  (2 x0  h) y2  
2
 2

1
1

 ( x0  h)(x0  2h) y0  x0 ( x0  2h) y1  x0 ( x0  h) y2 
2
2

Regra de Simpson
• Integrando a expressão anterior no intervalo [x0,x2],

x0  2 h
x0
P 2 ( x) 
x0  2 h
1  1
1  x 
y

y

y2   


0
1
h 2  2
2  3  x
0
3

x0  2 h
2
1
 1
 x 
  2 x0  3h  y0  (2 x0  2h) y1  (2 x0  h) y2   
2
 2
 2  x

0
1
1
 x 2h 
  ( x0  h)(x0  2h) y0  x0 ( x0  2h) y1  x0 ( x0  h) y2 xx00 
2
2


após simplificações, obtemos:
h
x0 P 2 ( x)dx  3 [ f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )]
x2
Regra de Simpson
• Interpretação geométrica: a integral de f(x) é
aproximada pela área entre o eixo-x e a
parábola que passa pelo ponto médio e pelos
extremos do intervalo [a,b] :
Regra de Simpson Repetida
• Subdividindo o intervalo [a,b] em m
subintervalos (sendo m par):

b
a
m 1
f ( x)dx   
k 0
m 1
f ( x)dx   
xk 1
xk
xk 1
xk
k 0
P 2 ( x)dx
obtemos a Regra de Simpson Repetida:
m 1

k 0
2

h
P 2 ( x)dx   f ( x0 )  2  f ( x2 k )  4 f ( x2 k 1 )  f ( xm )
3
k 1
k 1

m
xk 1
xk
2 1
m
h
 [ f ( x0 )  4 f ( x1 )  2 f ( x2 )  4 f ( x3 )  2 f ( x4 )    4 f ( xm 1 )  f ( xm )]
3
Estimativas de Erro
• Pela Regra dos Trapézios Repetida:
ou
ETR
m h3

M 2 , sendo M 2  m áx f ( x)
x[ x0 , xm ]
12
ETR
(b  a)h 2

M 2.
12
• Pela Regra de Simpson Repetida:
ou
ESR
m h5

M 4 , sendo M 4  m áx f ( 4) ( x)
x[ x0 , xm ]
180
ESR
(b  a)h 4

M 4.
180
Exercícios
1. a) Calcule a integral definida de f(x)=ex no
intervalo [0,1] pelo método de Simpson com
uma estimativa de erro inferior a 10-5.
b) Para se obter um resultado com
estimativa de erro semelhante utilizando a
Regra do Trapézio, quantas subdivisões do
intervalo de integração são necessárias?
Exercícios
2. a) Qual o erro
máximo cometido na
4
aproximação de 0 (3x3  3x  1)dx pela regra de
Simpson com quatro subintervalos? E por
Trapézios?
b) Calcule a integral pelos dois métodos e
compare com a estimativa do item a).
Exercícios
3. Use a Regra de Simpson para integrar a função
abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço
computacional possível (menor números de
divisões e maior precisão). Justifique sua
resposta.Trabalhe com três casas decimais.

se 0  x  1
x ,
f ( x)  
3

( x  2) , se 1  x  2
2
Exercícios
4.
Sabendo que a Regra de Simpson é, em geral, mais
precisa que a Regra dos Trapézios, qual seria o modo
mais adequado de calcular a integral definida de f(x) no
intervalo dado, usando a tabela abaixo? Aplique este
processo para determinar o valor da integral.
x
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
f(x)
1.0
1.2408
1.5735
2.0333
2.6965
3.7183
Exercícios para Entrega
1. a) Calcule a integral a seguir pela Regra do
Trapézio e pela Regra de Simpson, usando
quatro e seis divisões do intervalo [a,b].
Compare os resultados.
14 dx

2
x
b) Quantas divisões do intervalo são
necessárias, no mínimo, para se obter erros
menores que 10-5, com cada uma das regras?
Respostas aos exercícios
1. a) m  8; para m=8 temos IS= 1.718284 b) m 151
2. ESR=0; IS=172; |ETR | ≤ 24; IT=184.
3. IS=44.083 com erro zero.
4. I = 4.227527 (Trapézios no primeiro intervalo e o restante por
Simpson).
1. a) Trapézios (m=4): 4.7683868
Trapézios (m=6): 4.7077771
Simpson (m=4): 4.6763744
Simpson (m=6): 4.6614894
b) Trapézios: 1382
Simpson: 80