Cálculo Numérico
Aula 21 – Integração Numérica

2014.1 – 14/07/2014
Prof. Rafael Mesquita
 [email protected]
Integração Numérica

Problemas resolvidos pelo cálculo de integral
definida
Determinação de áreas
 Determinação de volumes
 ...


Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser
feito analiticamente...
Buscamos uma solução numérica
 Duas situações possíveis:


Função a ser integrada é desconhecida


Temos apenas uma tabela de pontos
Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é
trivial (ou é impossível)
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
 Integra
o polinômio interpolador que substitui a função 𝑓
 Aproximação
 Intervalo
de integração [𝑎; 𝑏] é dividido em partes
iguais
 𝑥𝑘
= 𝑥0 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛
 Podemos
então construir a tabela (𝑥𝑖 ; 𝑓(𝑥𝑖 ))
partir da tabela a função 𝑓 é interpolada para calcular o
𝑏
valor aproximado de 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
A
Fórmulas de Newton-Cotes

Ideia Geral




Integrar o polinômio interpolador da função 𝑓
Intervalo [a;b] é dividido em
partes iguais
– 𝑥𝑘 = 𝑥0 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 1, … 𝑛
𝑃(𝑥)
𝑃(𝑥) interpola 𝑓 em [a;b]
Calculamos a area...
𝑓
𝒃
𝒙𝒏
𝒇
𝒙
𝒅𝒙
=
𝒇
𝒂
𝒙𝟎
𝒙𝒏
 =
𝑷 𝒙 +𝑹 𝒙
𝒙𝟎

𝒙 𝒅𝒙 =
𝒅𝒙
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2 …
𝑏 = 𝑥𝑛
Fórmulas de Newton-Cotes
𝑏

𝑓
𝑎
𝑃
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 =
𝑛
 𝐿𝑘
=
𝑥𝑛
𝑓
𝑥0
𝑛
𝑛
𝑘=0 𝐿𝑘
𝒙−𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝟎 𝒙 −𝒙
𝒌
𝒋
𝒋≠𝒌
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛
[𝑃
𝑥0
𝑥 + 𝑅(𝑥)]𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) => polinômio lagrange
Fórmulas de Newton-Cotes

Assim,

𝑥𝑛
𝑓
𝑥0



=
𝑥𝑛
𝑥0
=
𝑥𝑛
𝑥0
=
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛
[𝑃
𝑥0
𝑛
𝑛
𝐿
𝑘=0 𝑘
𝑛
𝑛
𝑘=0 𝐿𝑘
𝑥𝑛 𝑛
𝑛
𝑘=0[ 𝑥0 𝐿𝑘
𝑥 + 𝑅(𝑥)]𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) + 𝑅 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑑𝑥 +
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 × 𝑓(𝑥𝑘 )] +
𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥
Fórmulas de Newton-Cotes
𝑥𝑛 𝑛
𝑛
𝑘=0[ 𝑥0 𝐿𝑘

=

Definindo que
𝑛
 𝐶𝑘
𝑇

=
=
𝑥𝑛 𝑛
𝐿
𝑥0 𝑘
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 × 𝑓(𝑥𝑘 )] +
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 e
𝑥 𝑑𝑥,
temos o método de Newton-Cotes generalizado:
𝑥𝑛

𝑓
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛
𝑛
𝐶
𝑘=0 𝑘
𝑓 𝑥𝑘 + 𝑇
Fórmulas de Newton-Cotes


𝑛
𝐶𝑘
Para obter
, faremos uma mudança de variável,
onde 𝑥 = 𝑥0 + 𝑧ℎ e teremos novos limites de
integração:
Para 𝑥 = 𝑥0 ⇒ 𝑧 = 0
𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑧 = 𝑛 , pois z =


Como
𝒙−𝒙𝒋
𝒏
=
𝑥 𝑑𝑥 =
𝒋=𝟎 𝒙 −𝒙 𝑑𝑥
𝒌
𝒋
𝒋≠𝒌
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
…
…
𝑑𝑥
𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
𝑛
 𝐶𝑘

𝑥−𝑥0
ℎ
=
𝑥𝑛 𝑛
𝐿
𝑥0 𝑘
𝑥𝑛
𝑥0
Fórmulas de Newton-Cotes
𝑛
 𝐶
𝑘
=
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
…
…
𝑑𝑥
𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
𝑥−𝑥0
 Como 𝑧 =
, temos
ℎ
𝑥−𝑥0
𝑥−𝑥0
𝑧

=
=
𝑥𝑘 −𝑥0
𝑘ℎ
𝑘

que
De forma genérica, temos que
𝑥−𝑥𝑖
𝑥−(𝑥0 +𝑖ℎ)

=
𝑥𝑘 −𝑥𝑖
𝑘−𝑖 ℎ
𝑖
𝑧−𝑖
=
𝑘−𝑖
𝑘−𝑖
=
𝑥−𝑥0 −𝑖ℎ
𝑘−𝑖 ℎ
=
𝑥−𝑥0
𝑘−𝑖 ℎ
−
𝑖ℎ
𝑘−𝑖 ℎ
=
𝑧
𝑘−𝑖
−
Fórmulas de Newton-Cotes

Assim, aplicando a mudança de variável onde 𝑥 = 𝑥0 +
𝑧ℎ e 𝑑𝑥 = ℎ𝑑𝑧, teremos que
𝑛
 𝐶
𝑘
𝑛
 𝐶
𝑘
=
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
…
…
𝑑𝑥
𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
=ℎ
𝑛 𝑧 𝑧−1
𝑧−𝑘+1 𝑧−𝑘−1
𝑧−𝑛
…
…
𝑑𝑧
0 𝑘 𝑘−1 𝑘−𝑘+1 𝑘−𝑘−1 𝑘−𝑛
Fórmulas de Newton-Cotes

De forma mais sintética, temos que:
𝑥𝑛 𝑛

𝐿
𝑥0 𝑘

𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛
𝐶𝑘
=
−1 𝑛−𝑘 .ℎ 𝑛 𝜋𝑛 (𝑧)
𝑑𝑧,
0
𝑘! 𝑛−𝑘 !
𝑧−𝑘
Com 𝜋𝑛 = 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 − 2 … (𝑧 − 𝑛)
Método dos trapézios

Calcula a área sob uma curva como uma série de
trapézios
em cada subintervalo [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ], a função 𝑓
por uma reta
 Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida,
soma-se cada área
 Substitui,
Método dos trapézios
𝑓
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2 …
𝑏 = 𝑥𝑛
Método dos trapézios

Soma de cada subintervalo


𝒙𝒏
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙 =
𝒙𝟏
𝒇
𝒙𝟎
𝒙𝟐
𝒇
𝒙𝟏
𝒙 𝒅𝒙 +
𝒙 𝒅𝒙 + ⋯ +
𝒙𝒏
𝒇
𝒙𝒏−𝟏
𝒙 𝒅𝒙
Usando o método de Newton-Cotes no intervalo 𝒙𝟎 ; 𝒙𝟏 temos que







𝒙1
𝒇
𝒙𝟎
Como 𝐶0
𝑥1
𝑓
𝑥0
𝑥2
𝑓
𝑥1
𝑥3
𝑓
𝑥2
1
1
𝐶
𝑘=0 𝑘
𝒙 𝒅𝒙 =
1
= 𝐶1
1
ℎ
2
ℎ
𝑓
2
ℎ
𝑓
2
1
ℎ
2
= , obtemos que
ℎ
2
ℎ
𝑥1 + 𝑓
2
ℎ
𝑥2 + 𝑓
2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑇1
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2 + 𝑇2
𝑥3 + 𝑇3
…
𝑥𝑛
𝑓
𝑥𝑛−1
ℎ
2
1
𝑓 𝑥𝑘 + 𝑇 = 𝐶0 𝑓 𝑥0 + 𝐶1 𝑓 𝑥1 + 𝑇
ℎ
2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑇𝑛
Método dos trapézios
𝑥𝑛

𝑓
𝑥0
𝑇


𝑥 𝑑𝑥 = ℎ
𝑓 𝑥0 +𝑓 𝑥𝑛
2
+
𝑛−1
𝑖=1 𝑓
𝑥𝑖
+𝑇
⇒ 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜𝑠
Podemos reescrever o método dos trapézios como
𝑥1
𝑓
𝑥0



𝑥 𝑑𝑥 ≅ ℎ(𝐸
2
+ 𝐼 + 𝑃) ,onde
E -> somatório das imagens nos pontos extremos
P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos)
I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)
Método dos trapézios – Exemplo

Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da
𝟎,𝟔 𝒙
integral 𝟎,𝟎 𝒆 𝒅𝒙 usando o método dos trapézios,
considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]
Método dos trapézios – Exemplo

Poderíamos ainda...
Exercício

Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos,

Resposta:
Exercício
Método de Simpson

“O método de Simpson se propõe a dar uma
melhor precisão uma vez que são usadas partes de
parábolas para aproximar a curva a ser
integrada.”
Método de Simpson

“Neste caso n tem que ser par, pois são somados
dois subintervalos por vez.”
Método de Simpson
Método de Simpson
Método de Simpson

Outro caminho:
 Encontrar
o polinômio e integrá-lo.
Método de Simpson
Método de Simpson
Exemplo 6.2
Exemplo 6.2 - Solução
Exercício


Usando a regra de Simpson para 7 pontos,
calcular:
Solução
Exercício – Solução
Dúvidas?
Referências


Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed.
Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.
Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula
ICMC/USP. Disponível em:
http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonbApostila%20-%20Cuminato.pdf