Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia Mecânica - EMA-084N
Cap. 7.- Integração
Numérica
7.1. Definição
Seja uma função contínua Y = f(x), a área sobre a curva até o eixo X é
dada pela integral da função no intervalo especificado.
Y
f(x)
A
dx
0
x1
X
n
x1
Área =A=∫0 f  x dx≈∑ f  x  x
i=1
Usos
●
●
●
●
7.2. Regra dos
trapézios
Cálculo de área
Cálculo de volume
Cálculo de massa
Cálculo de propriedades de inércia
Aproximação da integral usando elementos trapezoidais de pequena altura
em relação ao intervalo de integração.
Y
P1(x)
f(x2)
f(x)
f(x1)
Ai
x0=a x1=b
0
h = passo de
integração
definindo,
X
h = b-a
h
Ai = [ f  x0  f  x 1 ]
2
Área do trapézio
e
n
A=∑ Ai
Área total
i =0
José Eduardo Mautone Barros
23/10/09
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7.2. Regra dos
trapézios (cont.)
onde, n-1= número de intervalos de integração
Desenvolvendo a equação de integração numérica temos,
h
h
h
h
A=  y0  y 1  y 1 y 2   y 2 y 3 ...  y n −1 y n
2
2
2
2
Regra dos trapézios
h
A=  y 02y 12y 22y 3...2y n−1 y n 
2
O erro de truncamento é proporcional ao cubo do passo de integração e
inversamente proporcional ao quadrado do número de pontos.
∝
7.3. Regra de Simpson
b−a3
n2
Este método usa um polinômio interpolador de segundo grau para integrar
entre 3 pontos igualmente espaçados.
Y
y0
O número de
subintervalos de
integração n deve ser
sempre par!
Regra do 1/3
José Eduardo Mautone Barros
y2
P2(x)
Ai
Primeira regra de
Simpson
Proveniente da
integração do
polinômio
interpolador de
Gregory-Newton
y1
x0
0
x1
f(x)
x2
X
h
Ai = [ y 0 4y 1 y 2 ]
3
Para integrar sobre toda a curva deve-se dividir o intervalo de integração
em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada par de intervalos aplicar
a primeira regra de Simpson.
h
A=  y 04y 12y 24y 32y 4...2y n−24y n−1 y n 
3
23/10/09
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7.3. Regra de Simpson
(cont.)
Regra dos 3/8
Caso o número de subintervalos n seja múltiplo de 3, pode-se usar a
segunda regra de Simpson que utiliza um polinômio interpolador de
terceiro grau.
A=
3h
 y 03y 13y 22y 33y 43y 52y6 ...3y n−23y n−1 y n 
8
O erro de truncamento é proporcional a quinta potência do passo de
integração e inversamente proporcional a quarta potência do número de
pontos.
∝
b−a 5
n4
7.4. Forma de solução
Regra dos trapézios
i
xi
yi
coefi
0
1
1
2
2
2
...
...
n-1
2
n
1
h=
x1-x0
∑
A=
Outros métodos
José Eduardo Mautone Barros
coefi*yi
h/2*∑
Trocar apenas a coluna de coeficientes “i” para os valores de constantes
do método empregado.
23/10/09
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Cap. 7.- Integração
Numérica
Exemplo
O tacômetro de um veículo registrou as velocidades instantâneas
mostradas na tabala a seguir.
Calcular a distância percorrida pelo veículo.
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Dados do tacômetro
Gráfico
Velocidade (km/h)
Dados do tacômetro
Tabela
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
Tempo(min)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
20
30
V(km/h)
23
25
28
35
40
45
47
52
60
61
60
54
50
40
50
60
70
Tempo (min)
Integração pela regra
dos trapézios
José Eduardo Mautone Barros
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
h=
5
0,08
yi
23
25
28
35
40
45
47
52
60
61
60
54
50
23/10/09
min
h
coe fi
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
∑=
A=
V média=
coefi*yi
23
50
56
70
80
90
94
104
120
122
120
108
50
1087
45,29
45,29
km
km/h
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Cap. 7.- Integração
Numérica
Exemplo (cont.)
Integração pela regra
de Simpson
Integração pela regra
dos 3/8
José Eduardo Mautone Barros
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
h=
5
0,08
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
h=
5
0,08
yi
23
25
28
35
40
45
47
52
60
61
60
54
50
min
h
yi
23
25
28
35
40
45
47
52
60
61
60
54
50
min
h
23/10/09
coefi
1
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
1
∑=
A=
V média=
coefi*yi
23
100
56
140
80
180
94
208
120
244
120
216
50
1631
45,31
45,31
km/h
km/h
coefi
1
3
3
2
3
3
2
3
3
2
3
3
1
∑=
A=
V média=
coefi*yi
23
75
84
70
120
135
94
156
180
122
180
162
50
1451
45,34
45,34
km/h
km/h
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Cap. 7.- Integração
Numérica
Exercício 7.1
Obs: xi e ri estão em
Calcular o volume de uma garrafa plástica cujo perfil é dado na tabela
abaixo, usando as regras do Trapézio e a de Simpson. Observar que a
função a ser integrada é:
Vi = π ri 2 hi
Assim,
[mm] , mas dar o
resultado de volume
total em [ml]
b
V = ∫ π r 2 dx
a
r =Y
b
X
150
a
140
ri
Elemento infinitesimal
de volume
hi
40
30
Medição dos raios das
seções da garrafa
20
10
Dados
xi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
José Eduardo Mautone Barros
23/10/09
200
190
180
170
160
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
Cont.
ri
35
38
40
40
40
40
40
40
35
35
35
40
40
40
40
35
35
35
40
40
40
xi
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
ri
40
40
35
35
35
35
35
35
35
35
35
35
34
31
28
23
18
15
15
15
6/6