Monte Carlo Quântico para
Férmions Fortemente
Correlacionados
Raimundo Rocha dos Santos
rrds@if.ufrj.br
Apoio:
Esta apresentação pode ser obtida do site
http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html
seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
Esquema do mini-curso
I.
Introdução
II.
MC para Sistemas Clássicos
III. QMC a T finita: Preliminares
IV. QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com
Determinante Fermiônico
V.
Instabilidade a Baixas Temperaturas
VI. O Problema do Sinal Negativo
VII. Exemplos
VIII. Supercondutividade
IX. O Modelo de Hubbard Atrativo
X. Metais, Isolantes ou Supercondutores?
XI. Efeitos de Desordem
XII. Conclusões e Perspectivas
Introdução
A aproximação de elétrons independentes com o modelo de bandas explica boa parte dos comportamentos
observados:
• metais
• isolantes
• semicondutores
Elétrons (independentes) em sólidos: potencial
cristalino periódico
a
a
elétrons quase-livres
[menos localizados]
a
limite atômico
[mais localizados]
dE
Pergunta: quantos estados quânticos
há num intervalo de energia dE ?
dE
Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding)
Metal
Isolante ou
Semicondutor
Depende da magnitude do gap:
•isolante se  eV
•semicondutor se  0.1 eV
Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ):
maior tendência à localização

elétron passa mais tempo perto do núcleo

tem maior chance de encontrar outro elétron no
mesmo núcleo

interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons
não pode mais ser desprezada

os e se movimentam solidariamente, para
minimizar a energia fortemente correlacionados
Supercondutores de Alta Temperatura
Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):
Metal ????
Incluindo correlação, o
comportamento isolante
(correto!) é obtido
Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar
propriedades coletivas  Mecânica Estatística
Perguntas típicas que se quer responder sobre um
determinado sistema:
• ele pode ser magnético? qual o arranjo?
• é metálico?
• é isolante?
• pode ser supercondutor?
• como a carga está distribuída espacialmente?
• estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?
Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais,
os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo
fundamental
Espectro:

Pelo menos duas escalas de energia: kBT e :
• se kBT >> , o fato dos níveis serem
discretos não importa
 sistema “clássico”
• se kBT  , a ausência de estados
acessíveis pode ser crucial (e.g., gap
supercondutor)
 sistema quântico
 fenômenos temporais
inseparáveis:   h/2  dimensões
extras
Estaremos interessados nas propriedades físicas de
férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais:
 interplay entre graus de liberdade de
carga
i.e., distribuição espacial de
carga, propriedades de
transporte (condutividade)
e de
spin
Ordenamento magnético
Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado
Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes
(spins localizados serão pensados como um caso limite)
 Modelos: através de modelos (essencialmente de uma
Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos
fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento
observado
 Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”,
ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que
permitam caracterizar as propriedades físicas.
 As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma
das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a
extrema importância da análise de dados.
Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg
i
j
H  J
Si  S j

i, j
Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo 
1os. viz.
apenas
Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo 
N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixa
energia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0
em d  2.
O que ocorre no estado fundamental?
• Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d
• E os AFM’s ?????
Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numa
rede bipartite:
S i  S i , i  
(i.e., que pode ser decomposta em duas subredes,  e , equivalentes,
como as redes quadrada,
cúbica simples, etc)
Si  Si , i  
 H AFM  H FM
Flutuações quânticas  efeitos não-triviais no estado
fundamental (T = 0) de antiferromagnetos
P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de
comutação não são preservadas se S < :
 S x , S y   i S z   S x , S y    i S z
j 
ij i
j 
ij i
 i
 i
????
• d = 1  quase-ordem (correlações decaem com lei de potência, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato).
• d = 2  há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]
Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard
H  t


ci c j

 c j ci
i , j ,
Favorece o salto dos férmions
entre sítios (termo de banda)
Competição entre graus de
liberdade de carga e de spin
 U n
i  ni 
i
Repulsão Coulombiana: a
energia total aumenta se 2
e’s ocuparem o mesmo
orbital
 termo de correlação†
Hubbard  Heisenberg AFM para um e por sítio (banda
semi-cheia) quando U  t
†
para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja
http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”
O papel da dimensão espacial:
em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance
 quase-ordem
itinerância  onda de densidade de spin (SDW)
Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s
Brown and Grüner (1994)
Se período da CDW incomensurável com a rede
[i.e.,   r a; r racional e a
parâmetro de rede]
 transporte de corrente é
não-ômico
ômico
não-ômico
Explicação: analogia
mecânica
Brown and Grüner (1994)
Importante determinar o período da CDW
Acredita-se que nos supercondutores de alta temperatura haja um equilíbrio entre o ordenamento
de spin (AFM, não SDW)
e o ordenamento de cargas
(tipo CDW) ao longo de
uma direção ( na Fig.):
As cargas tendem a se
agrupar em regiões de
menor ordem AFM
Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores
Formação de
CDW [onda
de densidade
de carga]
novo ingrediente:
ordenamento
direcional dos
orbitais d do Mn
Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para
sistemas de tamanhos finitos?
P.ex., comportamento magnético (FM de Ising)
magnetização:    (não há quebra de simetria)  
suscetibilidade:  tem máximo na transição  OK
função de correlação: (r) decai com a distância com
lei de potência (se crítica)
Magnetização e suscetibilidade:
m S
z

1 G

; G  kBT ln Tr e  H
N s B

m
χ
B
Como
  H ( λ )
e

λ


0
dτ e
(β - τ )H
H  τH
e
λ
o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos
aspectos quânticos (i.e., não-comutação) :
β
χ
Ns

1


β
β
  dτ
i, j
0
S iz ( τ) S zj (0)

S iz
S zj





onde
S iz ( τ)  e τH S iz e -τH
evolução “temporal”
MC para sistemas clássicos
Modelo de Ising (spin-½):
SSzS=1
H  J
Si S j

i, j
N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois
estados  Espaço de fases tem 2N configurações:
S 
S1 S2 S3 S4 S5 ... S N
Para modelos clássicos, cada configuração corresponde
a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a
ela uma energia E ({S}).
Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma
soma sobre todas as configurações.
Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é
1   E ({ S })
p({S })  e
Z
 algumas configurações são menos prováveis que outras
 por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as
configurações como se fossem igualmente importantes?
Amostragem por importância: um exemplo simples
Aproximemos a integral por uma soma discreta:
1
I   dx f ( x ) 
0
M
1
M
 f (x )
i 1
i
se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no
intervalo [0,1]:
fi  f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes
σI 
f
M

f2  f

2
M
com
f
2
1

M
M

i 1
1
fi , e f 
M
2
M
f
i 1
i
dois modos de se diminuir o erro:
1. M 
2. diminuir f
Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que
f ( x)
I   dx w( x )
, com
0
w( x )
1
1
 dx w( x )  1
0
Definindo
y( x )  
x
0
dy
dx w ( x) 
 w ( x ); y(0)  0 e y(1)  1
dx
a integral I pode ser escrita como
f x( y )
1 M f x( yi )
I   dy


0
wx( y ) M i 1 wx( yi )
1
Amostragem de f/w
sobre pontos y
distribuídos uniformente
Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um
erro pequeno
w
y
dx=dy/w
x
Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior
Amostragem por importância
O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por
importância do espaço de fases: as configurações vão
sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior
{S}
{S}’
A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma
propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daquele
que se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J
A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é:
p({S }' )
W
 e   E
p({S })
• Se W > 1, a nova configuração é aceita.
• Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W
N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração
menos provável simula o efeito das flutuações
térmicas!
Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o
spin e verifique se a nova configuração é aceita.
Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule
grandezas de interesse A({S}). A pode ser, p.ex., magnetização,
energia, suscetibilidades, calor específico, etc.
Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e uma
estimativa para a média no ensemble é dada por
1
A
M
M
A


1
Alguns comentários técnicos, mas muito importantes:
1. Cada varredura da rede é considerada como um passo de
MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de
“tempo”.
2. Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo
número de passos até que o sistema termalize e as médias
passem a flutuar pouco; este número de passos depende da
temperatura e de características do próprio sistema, como,
p.ex., interações e/ou desordem.
3. Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por
construção, as configurações mantêm uma certa correlação
entre si. Solução: promediar diferentes Ā
M
M

M
Ā1
....
Ā2
G

1
A 
A
G  1
barra
de
erro

2

A
 A
G
2
ĀG
4. Efeitos de tamanho finito.
• Quais as escalas de comprimento importantes?
o tamanho linear, L;
o comprimento de correlação,   |T – Tc| 
• Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duas
escalas: L / 
• Segue daí a teoria de finite-size scaling [prevê como os
máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade,
calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos
aproximarmos do limite termodinâmico]:
X é qq
grandeza
TD
x
X L( T )  L

f  L   const L  , se L 
 
x
 T  Tc
x
, se L 
FSS auxilia nas determinações de Tc , da natureza das fases e
dos expoentes críticos.
QMC a T finita: Preliminares
Discutiremos agora apenas
•sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior
abrangência
modelo de Hubbard, por ser o mais simples
 c
H  N   t
i


i , j ,
gran-canônico!
U

i
ni ni
  (n
c j  c j ci  
i
 ni ) 
i
K
V
Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada
partícula (a rigor, sítio), mas
eKV  eK eV , poisK,V  0
[dos Santos (2003) e refs. lá contidas]
Solução: fórmula de Trotter
e
A B

e
 lim  0 e
 lim  0
 A  B
e
  A  B
e

e
1


  A  B
e
e
(1/) termos
 A  B
e

Z  Tr e
 H
M
 Tr  e
 1


  H
  i1
i1
M
e
  H
i1 
 1
i1 e   H i2 i2 e   H i3  iM e   H i1
i1 ,i2 ,,iM
• Interpretação de  : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos
• Para uma dada temperatura T,  = ( kBT )-1 temos então M fatias
“temporais” , M =   
i denota o
estado da fatia
temporal  :
...
 {n}
i1 
i2 
i3 
iM 
i1 
• O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na
direção temporal
 dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 )
 M   quando T  0
• Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função
de partição, Z  , a qual deve, em princípio, ser extrapolada
para   0
• Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os
estados de cada sítio individualmente, mas
e
 i , j K ij

e
K ij


, pois K ij , K jk  0
i, j
 precisamos de uma nova aproximação
2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez

Exemplo em d = 1:
H = HA + HB
2
HA = H12 + H34 + H56 + 

HB = H01 + H23 + H45 + 
e
  H
e
  H A   H B
Z
e


 o  

i1 ,i2 ,,iM j1 , j2 ,, jM
i1 e
2

  H A
0
1
j1 j1 e
2
3
  H B
4 
i2 
x
Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas:
H = HA + HB
HA 
HB 
H
p
plaquetas pares
H
p
plaquetas ímpares
Resumindo as 2 aproximações:
1. Trotter para introduzir dimensão temporal
 introduz erros sistemáticos da ordem de 2
2. Decomposição em tabuleiro de xadrez
 introduz erros sistemáticos também da
ordem de 2
Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases
QMC a T finita : Amostrando o Espaço de
Fases com determinante fermiônico
A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação
sob a forma
e
 τK ij  τ Uni  ni   τ Un j n j
e
e
cc
cccc


bilinear “integrável”
(e.g., livre)
não-integrável façamos uma
transformação que o leve a cc
A transformação de Hubbard-Stratonovich:
Inspirada na identidade
e
(A é um operador)
1 2
A
2
 2π

dx e
1
 x 2  xA
2
A forma quadrática em A é transformada
em linear! Custo: introdução de um
“campo auxiliar” x.
1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação
Lembrando que,
para férmions,
n2 = n = 0, 1
temos 
1
1
2
n n   n  n   n  n 
2
2
m (magnetização)
ou
n (carga)
1
1
2
n n  n  n   n  n 
2
2
Usando a forma em que aparece m2 temos
e
 τUn n
 2π e

Uτ
n  n 
2

dx e
1 2
 x  Uτ x n  n 
2
U > 0 !!!!
m
x se acopla com m
ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2:
e
 τUn n
 2π e
Uτ
n  n 
2

dx e
1 2
 x  Uτ x n  n 
2
U < 0 !!!!
n
x se acopla com n
Para simulações, é mais conveniente que a transformação de
Hubbard-Stratonovich seja discreta: dx 

e
 τUn n
 2π e
 Uτ n  n 
2
1  e
2 s 1


s  1
 1 x  Uτ x n  n 
2
2
dx e
 s   n  n   Uτ n  n 
2
cosh   e
1 
2 s 1
e
  s   Uτ  n
2 

 ,
Uτ 2
Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são
equivalentes a férmions livres em um campo magnético
flutuante
Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo
flutuante acoplando-se com a carga
Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo),
podemos escrever a gran-função de partição como
1
Z  
2
Ld M
 τ
M
Tr
Tr
s n  
 1
e
i, j

e
 ci Vi   ci
i
  ,
onde
M
Z  T rT r
s n
os.

 t para i,j 1 vizinhos
K ij  
e

0 outroscasos
 ci Kij c j

Vi
Dℓ ()
    si     U 2 
 1
Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos
operadores fermiônicos...
...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas.
Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]:
1. Demonstra-se a identidade
onde
  e
 

e



ci Aij c j
i ,j


ci Bij c j
i ,j
e

e


c   c

são os autovalores da matriz e  Ae  B
2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante:
Tre

 n  
 T re
 n  


 A B
 det 1  e e

  1 e


 

No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobre
os spins fermiônicos...
...isto é,
1
Z
2
ML d
 τ
M
Tr
Tr
s n  
 1
e
ci Kij c j ci Vi   ci
i, j
e i
  ,
O traço fermiônico pode então ser efetuado:
Z  T r det 1  B M  B M 1   B1   
s 
Matrizes Ns  Ns
 T rdet O s  det O s
s
Fator de Boltzmann?
Cuidado! O det · det não é
necessariamente > 0
Se não for, tome |det · det|
(mais sobre isto depois)
A simulação:
Tomando det O ·det O  como fator de Boltzmann, fazemos a
simulação nos {s}
Escrevamos


 
 

A
()
det O   det  1  B   B1 B M  B  1 


O passo de QMC: Estamos no sítio
i
da fatia

Se si (  )   si (  ),
então



Obs: det não
se altera
p/ perm.
cíclica dos
B’s



A (  )   A (  )   1   ( i , )  A (  )


 
com
  ( i , )     e
ji ki

 jk


 2  si (  )
 1 

Todos os elementos são
nulos, menos o da posição
i da diagonal
Este passo de QMC é aceito com probabilidade
W
R R
1  R R
com R


det O 

det O
e R


det O 

det O
Cálculo de R :
Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calculada na fatia ℓ, 1  ℓ  M , para uma dada configuração {s}:
g  
 

 ij


ci (  )c j (  )

 g
1





  1  B1B2 B1 B M B 

     
R  1  1  g 
 ( i , )

 

 ii
   ii  

A razão entre det’s fica trivial se
pudermos calcular as g’s instantâneas
Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O , ou, equivalentemente, as funções de Green:

g

 g

 g



 1   1  g 




   1
1

Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo
no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada:  Ns 2
operações!
• Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal
 Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos
para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna

g 1

 B

g
1

 B 



 Ns 2 operações!
OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma;
periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição
A manipulação através de funções de Green é uma das grandes
vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já
que os valores médios de interesse também podem ser expressos
em termos das g’s:






m i  ni   ni   ci  ci   ci  ci   1   g    1   g   
  ii    ii 


  g    g 
  ii   ii
O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}:
ci1 ci2 ci3 ci4  ci1 ci2 ci3 ci4  ci1 ci4 ci2 ci3
expressos em termos das g’s
Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes
problemas que discutiremos em seqüência :
1. instabilidade a baixas temperaturas;
2. sinal negativo do determinante fermiônico.
Instabilidade a Baixas Temperaturas
Durante a simulação fazemos o produto de muitas matrizes, como,
p.ex., no cálculo de Z
Z  T r det 1  BM BM 1  B1 , com B   e
s 
 K V
e

 
ou no cálculo da própria função de Green a partir da definição

g


 

  1  B 1B  2  B1 B M  B  


1
• O Problema: B mal condicionada
 autovalores que crescem exponencialmente com o inverso da
temperatura  níveis de energia negativa (quase sempre ocupados)
 autovalores ~ 1  níveis de (alta) energia positiva, raramente
ocupados (mas Gran-Canônico!)
 mistura de escalas difícil de acompanhar numericamente
Este problema se manifesta mais gravemente no update das g:
• à medida em que T diminui, inicialmente aumenta a
freqüência com que g tem que ser calculada a partir da
definição
• à medida em que T diminui ainda mais, o cálculo de g fica
impraticável, mesmo a partir da definição
Como é baixa a escala de temperaturas de interesse, tem-se que
resolver este problema
• 1a Solução Possível: Formulação espaço-tempo [Hirsch 88]
Na formulação “espacial” original,
L
~
~ 1


O  1   B  g  O
(ML)
 1
Matrizes NxN
 N2 ops. por update de g
 N3 por fatia
 N3L por rede xt
Um outro extremo é a formulação espaço-temporal:
Matrizes NL x NL
 (NL)2 ops. por update
 N3L2 por fatia
 (NL)3 por rede xt
A razão entre os maiores e os menores autovalores desta
matriz cresce algebricamente com L  melhor comportada
para inversão
Esta formulação espaço-temporal é inviável: fator L2 sobre a espacial
O melhor mesmo é um procedimento intermediário:
• agrupe apenas uma fração p das fatias temporais, de modo que
L0=L/p fatias sejam colapsadas
Matriz Np x Np cujo maior autovalor é da ordem de exp(0),
onde  é uma escala típica de energias de 1 partícula, e 0 =
L0
Vantagem adicional: a inversa de OLo fornece diretamente um
conjunto de g’s:
OLo (ℓ) é definida, de modo semelhante, aumentando-se cada
indice da matriz anterior de ℓ-1; analogamente para g
A escala de updates agora fica (NL)3/L02 por rede xt, e pode-se
atingir  ~ 20
• 2a Solução Possível: Fatorização de matrizes [White et al 89]
Suponha que m matrizes possam ser multiplicadas sem deterioração:

a1
  



B  m B  m 1  B 1
Usa-se ortogonalização de Gram-Schmidt para escrever o produto como
Matriz
ortogonal
bem
condicionada

a1
 
  
 U1 D1 R1
Matriz diagonal com grande variação no espectro
Matriz
triangular
bem condicionada
Multiplica-se à esquerda por mais m matrizes

a2
  



  
B  2m B  2m 1 B  m 1U1 D1 R1
  
 U 2 D2 R2
e assim sucessivamente, agrupando-se M/m multiplicações:


A    a M
m
  U 
M


m DM m RM
m
Para calcular g, devemos isolar D, devido à sua grande variação espectral
1

 g 



    1    1


 1  A    U M m   U M m   RM m   DM
 






U D R

Com este algoritmo, também atinge-se t ~ 20
 

m  RM

m

O Problema do Sinal Negativo
Para o modelo de Hubbard repulsivo, na banda
semi-cheia, n = 1, det  det > 0, devido à simetria
partícula-buraco
Demonstração:
1. Transformação partícula-buraco

ci

i 
ci  ci ci
 d i   1

 1  d i d i


~
i j 


K ij   t  ci c j  h.c.  K ij  t  1  d i d j  h.c.




~
 K ij  K ij se i , j primeirosvizinhos
~ n
~    U n
~ n
~  U  2
Unini  ni  ni   Un
i i
i
i
A Hamiltoniana fica invariante pela simetria partícula-buraco se
     U   U 2
 condição para banda semi-cheia
Obs.: No caso de hopping entre 2os. vizinhos, p.ex., não há simetria partícula-buraco, de
modo que a condição para banda semi-cheia não é conhecida a priori.
2. “Det” sob transformação partícula-buraco

Vi
     si      U 2 
det O  T r e
n
 K 

e
 si   ni
i

 det O  e

 si   
i ,
 U
2 

 T~ r e
n 
det O
~
 K 
 si  

e
 si   n~i
i

e

 det O  det O  0
 si   
i
Logo, não há problema de sinal para Hubbard repulsivo
(hopping de 1os vizinhos apenas) com n =1
Para o modelo atrativo, pode-se mostrar que, para qualquer n ,
det O  det O  det O  det O  0
como resultado do campo auxiliar se acoplar com a carga.
Vejamos agora o que acontece quando o produto dos det’s é < 0
Z  Tr detO (σ) detO (σ) 
σ
 p(c)
soma sobre configurações c
c
 p(c ) A(c )  | p(c ) | s(c ) A(c)
A  c
 p(c )
 c
c

c
 | p(c ) | s(c ) A(c )
c
 | p(c ) |
 p(c )s(c ) A(c )
c
 c

 | p(c ) | s(c )
 p(c )s(c )
c

 | p(c ) | s(c )


sA
s
 | p(c ) |

c
c
OK enquanto  s ’ 1
2D
3D
s  e  NU , onde depende fortemente de n
Fora da banda semi-cheia, desde que trabalhemos
na região em que s  0.6, pagando o preço de
realizar amostragens mais longas, as médias ainda
têm algum sentido.
Tamanho da amostragem (independente de s )
determina os erros estatísticos
O “problema do sinal negativo” ainda não foi resolvido; veja
discussão sobre problemas correntes
Exemplos
1. O diagrama de fases do modelo de Hubbard 2-D, a T = 0
Teoria de Campo Médio
(teoria de 1 partícula)
Propriedades magnéticas:
operador magnetização:
mi  ni  ni
operador momento local:
Si2 
3 2
mi
4
fator de estrutura:
1
S (q ) 
N
e

iq R i  R j
mm
i
j
i, j
suscetibilidade:
χ (q) 


β
1
iq Ri R j
e
d
N i, j
0

com A( τ)  e τH Ae -τH

m i ( τ) m j ,
Função de correlação: c( x ,  y )  m i   m i
n = 1, L = 10
U = 4, β = 10
···
n = ½, L = 8
U = 4, β = 10
···
Correlações AFM’s enfraquecem ao nos
afastarmos da banda semi-cheia
[White et al 89]
Fator de estrutura magnético
S (q) 


iq Ri R j
1
e
mi m j

N i, j
qx
S (, )
S (qx, qy)
S (q) tem pico em (,)
Pico em S (,) a T = 0
cresce com L
β
[White et al 89]
Aproximação de onda de spin:
S ( , ) 1 2   1 2 
 m o N


N
3


Extrapola para um valor finito
 ordem de longo alcance
S/N
1/L
[White et al 89]
Erros sistemáticos não são muito
dependentes de β
[Hirsch & Tang (89)]
Fator de Estrutura para outras densidades:
S (,) só cresce significativamente com  para n = 1
Logo, para n  1 o sistema é PM
[Hirsch (85); Hirsch & Tang (89)]
[Moreo et al. (90)]
Pico incomensurável para
<n>  1; c.f. espalhamento
de neutrons para LSCO
Transição Metal-isolante:
[Moreo et al. (90)]
Compressibilidade:
1  V
 
V  P
  U/2
1  n


2
 n 
Isolante: não se consegue
adicionar partículas através
de pequenas variações do
potencial químico (nível de
Fermi)   0
  U/2
Mais tarde: outros critérios para M ou I
2. CDW no modelo de Hubbard 1-D, a T = 0
Previsão da teoria de líquidos de Luttinger:
k
-kF
kF
[Voit(1994)]
 2kF   n; n é a densidade eletrônica
Kr caracteriza a intensidade da
interação
Kr
cos(2kF x)
cos(4kF x)
n(0)n( x) 
 A1 1 K 3/ 2  A2
4Kr
2
r
( x)
x
ln x
x
Para o modelo de Hubbard prevê-se que Kr  1/2
 2kF mais importante que 4kF
Distribuição de carga:
operador densidade de carga:
ni  ni  ni
fator de estrutura:


iq R i  R j
1
C (q ) 
e
ni n j
N i, j

suscetibilidade:


β
iq R i  R j
1
N (q ) 
e
d
N i, j
0

ni    e
ˆ
H

ni e
ˆ
 H
ni ( τ) n j (0)
n 1/6
U crescente:
4kF ainda cresce
para T 0,
2kF estabiliza
(Ns  36 sites)
Sem efeitos de tamanho finito ou
temperatura finita: simulações
com   Ns  96
 N(4kF)  ln 
[Paiva & dS (00a)]
Logo, o modo de carga com 4kF de fato predomina sobre o com 2kF,
ao menos para valores de U suficientemente grandes.
Acordo com descrição de LL : amplitude A1(n,U) de 2kF  0
para U  U  (n)
Esquematicamente:
n
1
2kF
U  (n)
4kF
0
U
[Paiva & dS (00a)]
3. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 1-D
H  t
 c
i , j ,

i j

c  c jci  t2
 c
i , j ,

c  c jci  U  nini

i j
i
Diagrama de fases para U=0
Simetria partícula-buraco:
n  1- n e t2  - t2
Questões de interesse:
(1. Supercondutividade/ Gap de Spin?)
2. Rota para o Ferromagnetismo?
t2
Compostos do tipo “escadas” (ladder)
Sr2Cu3O5
SrCu2O3
t1
SrCuO2
t2
Ferromagnetismo [Ghosh e RRdS, 99]
U = 2t
A presença de t2 estabiliza a
fase FM em uma região de
parâmetros
FM
U = 2t
O pico FM já aparece para U 
6t quando t2 = 0.15
a região FM do diagrama
acima move-se para baixo
quando U aumenta
“Problemas de sinal negativo” não
permitem verificar a SUC para
valores maiores de t2
Supercondutividade
1. Fenomenologia
Resistência nula
Metal normal
Efeito Meissner
2. Condução em Metais
Considere cargas negativas em um potencial periódico
E
energia
energia

momento
k
i
momento
0 j0
i
k
i
0 j0
i
dens. de corrente
Elétron só é espalhado ( resistência) pq há estados
finais disponíveis
Como evitar dissipação?
Suprimir, através de algum
mecanismo, estados acessíveis
na faixa de energia próxima ao
nível de Fermi
3. Interação elétron-elétron
elétron
íon
A interação Coulombiana entre um par
qualquer de elétrons é blindada pelos
demais elétrons e pelos íons; pode chegar a
ser atrativa em alguns casos.
constante dielétrica 
4. A Teoria BCS:
H 
k

(k ) ckck

 Vkk' bk bk'
k ,k '

bk  ckck
termo livre (banda)
Solução variacional:
 
k
1  gk bk
1  gk2
0
A equação do gap:
1
k  
V0
V
kk'
k'
k'
, com Ek  (k )2  2k
2 Ek '
k  (k)(T )

1
onda- s


(k )  cos k x  cos k y onda- d x 2  y 2

sen k x sen k y onda- d xy


SUC’s
convencionais
A modificação no espectro pode ser esquematizada da seguinte
forma:
Estados
desocupados
F
2
Estados
ocupados
Gás de e `s
+ interação atrativa
Condução por pares (cada par tem KCM=k1+k2):
todos têm
KCM = 0

energia
energia
E
momento
momento
Para um par “sentir” a impureza teria que ser quebrado:
KCM  KCM dos demais pares
 alto custo energético (gap!)
Ao formarem pares, os elétrons “se vacinam” contra as
fontes de resistência
5. Supercondutividade no modelo de Hubbard repulsivo 2D?
Por quê [Anderson, 87] ?
• O estado fundamental do modelo de Hubbard, fora da banda semicheia, seria o de fortes correlações AFM’s de curto alcance.
• Os férmions (buracos no contexto da maioria dos SUC’s de alta T)
formariam pares singletes ressonantes [RVB]
 pares de Cooper?
Propriedades supercondutoras:
operador de emparelhamento:
 r ( τ) 
1
 f r (k ) ck (τ) ck (τ)
N k
fr (k) = 1
pares no estado s
fr (k) = cos kx  cos ky pares no estado d
fr (k) = cos kx + cos ky pares no estado s* (estendido)
suscetibilidade uniforme (q=0):
β

Pr  dτ  r ( τ)  r (0) ,
0
1os resultados de QMC [Hirsch & Lin ’88]
Ao ligar a interação,
as suscetibilidades de
pares ficam menores
que as do caso livre.
Pr
U=4
Sem tendência a
emparelhamento
Outros resultados de QMC [White et al
’89]
Suscetibilidade total
Parte descorrelacionada retirada
Se o enhancement tivesse sido significativo (FSS, T mais baxas,
etc), seria forte evidência para a formação de pares
Logo não há, ainda, sérias evidências numéricas para SUC no
modelo de Hubbard repulsivo
6. Efeitos de estrutura de bandas no modelo de Hubbard 2-D
Densidades de estados (U=0)
Singularidade
de van Hove
Há expectativas de que a presença da singularidade de van Hove
favoreça um estado supercondutor [BCS: Tc~ exp[-1/r(F)|V|]
Só que quando t2=0, a singularidade ocorre no estado isolante;
se t20, a singularidade fica deslocada para a região metálica.
Solução de campo médio (Hartree-Fock) a T = 0:
t2=0.4
t2=0
[Huang et al. (01)]
• t2<0 as correlações magnéticas
na direção diagonal diminuem;
aumentam na direção da face
• t2>0 comportamento oposto
[c.f. espalhamento de nêutrons em
cupratos]
88, n  = 42/64  0.66
• As correlações de carga têm
comportamento com t2 oposto
ao das correlações magnéticas.
Sem evidência de FM
nos intervalos
estudados
1010, n =0.74
Indicações de SUC:
A presença de U aumenta a
suscetibilidade
de
pares
(onda-d), quando comparada
ao caso livre.
Não foi possível à época realizar um estudo mais
sistemático: FSS, <n>, etc.; probs: sinal negativo,
tempo, etc.
[dos Santos, 89]
4x4, t2 = 0.4
n = 1.1
 U=0
 U=4
6x6, t2 = 0.4
n = 1.5
 U=0
 U=4
[Kuroki e Aoki (98)]
t /’
t \’
ty
tx

t’’
Estendem o espaço de parâmetros
para que o espectro fique com níveis
pouco espaçados
12x12
<n>=0.82
t’=-0.43
t’’= 0.07
U=1
12x12
<n>=1.32
t’=-0.5
t’’= 0
U=1


O Modelo de Hubbard Atrativo


H  t  cic j  H.c.  U  ni ni  ni   ni  


i , j ,σ
i
i
Características:
• Emparelhamento no espaço real, ao
contrário de BCS.
• Equivale a BCS para |U| << t
• Apresenta gap (para excitações) de
spin
 SUC’s de alta T
• Mais amigável para cálculos
numéricos
 pode ser usado como modelo
efetivo para entender diversas
propriedades de supercondutores
(p.ex., desordem)
T*
(região de pares pré-formados;
gap de spin)
Tc
|U|
[Micnas et al. (90)]
Algumas propriedades [Emery (76), dS(93)] :
1. Transformação partícula-buraco parcial:
i 
ci 
ci   ci  , ci    1
H  H   t
c  c  H.c. 
  i j


i , j ,σ
U
 ni  ni      U2  ni   ni  
i
Interação Repulsiva
i
acoplamento com campo magnético (z)
Ainda como conseqüência desta transformação,
U<0
U>0
correlações de pares  correlações antiferromagnéticas
XX e YY
correlações de carga  correlações antiferromagnéticas
ZZ
2. Limite de acoplamento forte U >> t :
Façamos o limite de acoplamento forte em H ’
H   J  S i  S j  h
i,j
z
Si , com J
2
 4t | U |
i
AFM de Heisenberg com campo uniforme na direção z:
• se h = 0, ordem tipo Heisenberg isotrópico
• se h  0, ordem tipo XY
O que isto implica para nosso modelo atrativo original?
• se a banda é semi-cheia: coexistência CDW + SUC
• fora da banda semi-cheia: somente SUC
a dimensão espacial define se a ordem é de longo alcance,
e/ou se persiste a T > 0
Análise de QMC em 2D [Moreo and Scalapino (91); Paiva, dS et al. (04)]: sem sinal
negativo!
Função de corelação de pares
com
Em 2D:
• banda semi-cheia: Heisenberg isotrópico  só há ordem de
longo alcance a T=0
• fora da banda semi-cheia: modelo XY  há quase-ordem a T
< Tc  Kosterlitz-Thouless
Finite-size scaling:
K-T:  = ¼
0,1
2-
P /L
s
s
L=4
18
Cruzamentos: estimativa
de Tc para <n>
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,01
0.02
5
0
4
0.25
6
8
7
12
8
9
16

0.15
TC
Variando-se <n> obtém-se
Tc (<n>)
0.20
0.10
0.05
0.00
0.0
[Paiva, dS, et al. (04)]
0.2
0.4
0.6
<n>
0.8
1.0
Em 3D:
Expansões em série para o modelo XY:  = 0
FSS:
2
  L2 P T   f 0 , para qualquer L
L Ps T   f  L
s c
 T 
L = 3 ??
L=4
L=6
[dos Santos (94)]
Lz
Qual a dimensão linear deste sistema?
L1 
L2 
Ly
Lx
3
2
2
2
Lx  L y  Lz
3
1
1
1
Lx  Ly  Lz

L3  Lx L y Lz
3
1
Para 4x4x2, temos L1 = 2.83, L2 = 3, e L3 = 3.17
Escolhe-se a definição que aproxima os encontros no scaling plot
[dos Santos (94)]
Suscetibiliade uniforme:
tipo Pauli (na rede)
tipo spin gap
pares pré-formados
[dos Santos (94)]

QMC no mod repulsivo
Sols. variacionais
U
O máximo de Tc não parece
variar muito com U.
[dos Santos (94)]
Metais, Isolantes ou Supercondutores?
Motivação: Como determinar, através de simulações, se o estado
fundamental é SUC, sem supor qualquer simetria para o estado
do par? (E, caso não seja, determinar se é isolante ou metal)
Idéia básica: resposta do sistema (anel ou toróide) a um fluxo
magnético [Scalapino et al. (93)]
Considere a componente x do operador densidade de corrente
e sua função de correlação espaço – i-temporal
Tomemos a transformada de Fourier (no espaço e no i-tempo) da
função de correlação
Agora podemos definir os limites
longitudinal
transverso
Definamos também a energia cinética associada aos links na direção x
Regra de soma impõe que
deve sempre ser verificada através de cálculos explícitos
Testes: Hubbard repulsivo
e atrativo na rede
quadrada com QMC
Kx
N.B.: Os q são discretos:
limq0 sujeito a erros de
extrapolação
OK: L = Kx a cada temperatura
Kx
Como resultado do Efeito Meissner, o parâmetro de ordem
supercondutor (densidade superfluida) é dado por
Fase SUC: rs  0 como resultado da simetria
L -T (ou Kx- T) ser quebrada
rs = 0: Hubbard repulsivo na
banda semi-cheia é isolante
Kx
Hubbard atrativo fora da
banda semi-cheia
Note efeito de temperatura:
para  = 2, rs = 0
para  = 6, 10 rs  0
consistente com transição
de K-T a T finita
Kx
Hubbard atrativo
Cuidado com análise a T fixa:
aparente fase SUC na banda
semi-cheia.
Kx
Hubbard atrativo a  = 10:
rs extraída a partir de T calculada no menor qy disponível
Hubbard repulsivo fora da banda semi-cheia (sinal negativo!):
rs = 0: não-SUC
rs = 0: não-SUC; mas cuidado com
efeitos de tamanho finito
E quando o sistema não fôr SUC, podemos dizer se é M ou I?
Examinemos, então, a condutividade:
D é o peso de Drude ( densidade de transportadores/massa); logo
Isolante  D = 0
Metal  D  0
D pode ser calculado como
O lim0 é mais eficientemente tomado numericamente em termos
das freqüências de Matsubara
-Kx
D  D0 : Hubbard repulsivo fora
da banda semi-cheia é metálico.
Cuidado: isto não quer dizer que o
sistema seja metálico a T > 0. Isto é
pq T <  para excitações de
partícula-buraco; para T fixa e L ,
teríamos, necessariamente, D  0
D  0: Hubbard repulsivo na
banda semi-cheia é isolante;
atenção para efeitos de tamanho
-Kx
Hubbard atrativo a  = 10:
D  D0 (zero resistência)
Kx
Efeitos de Desordem
Motivação: Todos os sistemas estudados até agora eram puros. Quais
são os efeitos de impurezas – isto é, componentes que se comportam
de modo diferente da maioria – nas propriedades físicas dos
materiais?
Exemplos:
• átomos magnéticos diluídos em matrizes não-magnéticas;
• átomos de uma espécie diluídos em matrizes de outra;
diferentes níveis atômicos ou integrais de hopping
• sítios com U = 0 diluídos em matriz de sítios com U < 0
• etc.
2 tipos de desordem, caracterizadas pelas relações entre as escalas
de tempo envolvidas: Sejam
•  – tempos característicos da dinâmica das interações; p.ex.:
tempos de flutuação dos spins; tempos de hopping de elétrons,
pares de Cooper, etc.
•  i – tempos associados à difusão das impurezas pela matriz
hospedeira
Se  ~  i a configuração (posição, etc.) das impurezas é determinada
pelas condições de equilíbrio  desordem recozida (annealed)
 H c s
P.ex., para um
Z   Tr e
 G   k BT ln Z

isolante magnético:
c s
Se  <<  i a configuração (posição, etc.) das impurezas é totalmente
aleatória e congelada.  desordem temperada (quenched)
P.ex., para um
isolante magnético:
Z c  Tr e
s
 H c s
 G   k BT ln Z
Consideraremos aqui apenas desordem temperada
• No caso de simulações, gera-se uma configuração de desordem
e executa-se os passos como antes: termalização, promediação,
etc.
• Repete-se para um certo número de configurações de desordem,
e faz-se a média das grandezas sobre as diferentes realizações de
desordem.
Supercondutores desordenados
Quanto podemos dopar um supercondutor até
que ele fique normal (isolante ou metal)?
Questão ainda mais interessante em 2-D
(filmes bem finos):
• supercondutividade é marginal
 transição de Kosterlitz-Thouless
• coomportamento
metálico
(elivres)
também marginal
 Localização para qq desordem (expts.
recentes: MIT possível?)
Sheet resistance:
t
ℓ
ℓ

 r
R r r 
•
A
t t
independe do
tamanho do
quadrado
R•a uma temperatura
fixa pode ser usada
como medida de
disordem
CRITICAL TEMPERATURE Tc (kelvin)
Desordem em escalas atômicas: filmes amorfos sputtered
Mo77Ge23 film
SHEET RESISTANCE AT T = 300K (ohms)
Tc decresce com a desordem:
blindagem
da
repulsão
coulombiana é enfraquecida
[J Graybeal and M Beasley (1984)]
Modelo para estudo da desordem:
H  t  (ci† c j  h.c) U i ni ni    (ni  ni )
ìj 
i
i
Ui = 0 com prob f
Ui = U com prob 1-f
Potencial químico:
controla # de elétrons
Inicialmente T  0: efeito da desordem no estado fundamental
QMC 
Ps   i  r 
r
Aprox de onda de spin 
[Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
 c c
Ps
C
2
 
2
L
L
†
i
onde
†
i
† †
i i
gap supercondutor
Transição não-percolativa: fc < 0.41
0.06
0.05
f=0/16
f=1/16
f=2/16
f=4/16
f=5/16
1.2
r
1.0
0.04

Ps/L
2
0.8
0.03
0.6
0.02
0.4
0.01
0.2
0.00
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13
0.0
1/L
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
f
aumento da ordem por desordem
Impurezas inibem CDW  só resta parâmetro de ordem de 2
componentes (reflexo do que ocorre a T >0)
Em andamento: T > 0
[D Hurt,..., F Mondaini, T Paiva, & dS (05)]
Conclusões e Perspectivas
• QMC é um método poderoso para o estudo de sistemas fortemente
correlacionados
• Deve ser acompanhado de uma análise de dados criteriosa
• O problema da instabilidade a baixas T foi contornado
• O problema do sinal ainda está aberto (veja próximo slide)
• Perspectivas:
•Adaptação para o estudo de modelos multi-orbitais deve ser
buscada; e.g., Anderson
•Acoplamento de férmions com momentos localizados (tipo
Kondo): propostas de THS já feitas em alguns trabalhos [Assaad (99)]
• Dissipação Quântica [Capriotti et al., (2002)]
O sinal negativo
A origem do problema:
Façamos a THS nas ℓ
primeiras fatias temporais
P0 = Z > 0
2N valores de P1 emergem de P0
ℓ
A amostragem é feita em ℓ=M; se
considerássemos todas as possíveis
configurações, PM teria # de valores
positivos ligeiramente (exp a baixas
T ’s!) maior que negativos.
{SW Zhang [1999(a)(b)]}
Referências
•PW Anderson, Science 235, 1196 (1987).
•FF Assaad, Phys Rev Lett 83, 796 (1999)
•S Brown and G Grüner, Sci Am 270 (4), 28 (1994)
•L Capriotti et al, Europhys Lett 58, 155 (2002)
•R R dos Santos, Phys Rev B 39, 7259 (1989)
•R R dos Santos, Phys Rev B 48, 3976 (1993)
•R R dos Santos, Phys Rev B 50, R635 (1994)
•R R dos Santos, Braz J Phys 33, 36 (2003)
•VJ Emery, Phys Rev B 14, 2989 (1976)
•H Ghosh and R R dos Santos, J.Phys.:Condens.Matt 11, 4499 (1999)
•J Graybeal and M Beasley, Phys Rev B 29, 4167 (1984)
•J E Hirsch, Phys.Rev.B 31, 4403 (1985)
•J E Hirsch, Phys.Rev.B 38, 12023 (1988)
•J E Hirsch and HQ Lin, Phys.Rev.B 37, 5070 (1988)
•J E Hirsch and S Tang, Phys.Rev.Lett. 62, 591 (1989)
•Z B Huang et al., Phys.Rev.B 64, 205101 (2001)
•D Hurt, E Odabashian, W Pickett, RT Scalettar, F Mondaini, T Paiva e R R dos Santos,
Phys Rev B 72, 144513 (2005).
•K Kuroki e H Aoki., J. Phys. Soc. Jpn. 67, 1533 (1998)
•R Micnas et al., Rev Mod Phys 62, 113 (1990)
•A Moreo et al., Phys Rev B 41, 2313 (1990)
•A Moreo and DJ Scalapino, Phys.Rev.Lett. 66, 946 (1991)
•T Paiva and R R dos Santos, Phys.Rev.B 61, 13480 (2000) [a]
•T Paiva, R R dos Santos, RT Scalettar, e PJH Denteneer, Phys Rev B 69, 184501 (2004).
•J D Reger and A P Young, Phys.Rev.B 37, 5978 (1988)
•D J Scalapino et al. , Phys.Rev.B 47, 7995 (1993)
•J Voit, Rep.Prog.Phys. 57, 977 (1994)
•W von der Linden, Phys.Rep.220, 53 (1992)
•S Wessel et al., Phys Rev Lett 86, 1086 (2001)
•S R White et al., Phys.Rev.B 40, 506 (1989)
•Yokoyama and Shiba, J Phys Soc Jpn 56, 3582 (1987)
• S W Zhang, cond-mat/9909090 [a]
• S W Zhang, Phys Rev Lett 83, 2777 (1999) [b]
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