Física 3 - Exercício 22.35
Nomes: Gabriel Fernandes Sekine nº 8549365
Guilherme Darcoleto Malavolta nº 7977969
Guilherme Yudi Egami de Oliveira nº 8549278
35. Um cone circular reto imaginário (Figura) com ângulo de base Θ e raio R está
em uma região livre de cargas que tem um campo elétrico uniforme E (linhas de
campo são verticais e paralelas ao eixo do cone). Qual é a razão entre o número
de linhas de campo por unidade de área entrando na base e o número de linhas
por unidade de área entrando na superfície cônica do cone? Use a lei de Gauss em
sua resposta. (As linhas de campo na figura são apenas uma amostra
representativa.)
Introdução:
A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante Φ de um campo elétrico,
através de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por
essa superfície. Em outras palavras, a lei de Gauss relaciona os campos elétricos
em pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com a carga resultante
envolta por essa superfície.
Matematicamente, a lei de Gauss é representada pela equação:
Onde:
ε0 = constante de permissividade elétrica no vácuo
Φ = fluxo elétrico resultante
q = carga elétrica envolvida
Na equação, “q” é a soma algébrica de todas as cargas envolvidas, sendo elas
positivas ou negativas. É importante salientar que o sinal diz algo a respeito do
fluxo resultante. Se q for maior do que zero, o fluxo resultante é para fora; se q
for menor do que zero, o fluxo resultante é para dentro.
Resolução:
Pela lei de Gauss, o fluxo de campo elétrico que passa pelo cone (superfície
fechada) é zero. Por isso, pode-se concluir que o número de linhas que passam
pelo área da base e pela área lateral do cone é o mesmo.
Com isso, falta apenas calcular agora as respectivas áreas da base e lateral do
cone.
A área da base (círculo) pode ser calculada através da expressão:
Abase = π.r²
A área lateral do cone, pode ser calculada através da expressão:
Alateral = π.r.g*(sendo g a geratriz de um cone)
Como o valor de g não é dado no exercício, há como relaciona-lo com o cosΘ,
através da relação:
cosΘ = r / g
A imagem abaixo ajuda a compreensão da relação entre cos Θ e g:
Então a área lateral em função de cosΘ, será de:
Alateral: π.r² / cosΘ
Com isso basta dividir a área da base pela área lateral do cone para
obter a razão entre o número de linhas de campo por unidade de
área entrando na base do cone e o numero de linhas por unidade de
área entrando na superfície do cone:
Abase / Alateral = cosΘ