PLANO DE AULA
1 Dados de identificação
E. E. M. Macário Borba
Município: Sombrio/SC
Disciplina: Matemática
Série: 2° ano Nível: Ensino Médio
Professora: Natália Lummertz
Turma: 1
Tempo previsto: 3hs aulas
2 Tema: Trigonometria
2.1 Subtemas: Ciclo e identidades (operações com arcos)
3 Justificativa
Medir distâncias é uma necessidade antiga da humanidade, facilmente atendida no caso de
envolver pontos próximos. Porém, há situações, em que se deseja efetuar medidas envolvendo
objetos que não são diretamente acessíveis. Devido a esta dificuldade é preciso conhecer alguns
outros conceitos da Matemática, tais como a Trigonometria.
Hoje em dia a Trigonometria não é utilizada apenas para estudar triângulos e
circunferências, sua aplicação se estende para outra áreas de conhecimento, como eletricidade,
mecânica, música, engenharia, entre outros, servindo assim de ferramenta para a resolução de
questões lógicas. Diante disso, há a necessidade de uma melhor compreensão do assunto
Trigonometria através do seu ensino.
4 Objetivos
 Construir o ciclo trigonométrico;
 Identificar as unidades de medida de ângulo e arcos no ciclo trigonométrico;
 Trabalhar com a medida de um arco em radiano e em grau.
 Construir um ciclo trigonométrico em material manipulável.
 Utilizar o ciclo trigonométrico para compreender as relações trigonométricas;
 Estender a relação fundamental da Trigonometria para o ciclo trigonométrico.
 Demonstrar relações da trigonometria no ciclo trigonométrico;
 Operar com arcos.
5 Conteúdos envolvidos
 Lei dos Senos e Cossenos
 Trigonometria no triângulo retângulo
6 Estratégias
6.1 Recursos: Quadro, pincel, software Geogebra e materiais manipulativos.
6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada com a utilização do software GeoGebra e materiais
manipulativos.
7 Procedimentos
7.1 Historicização
De acordo com registros, a primeira civilização a utilizar a Trigonometria foi a dos egípcios,
seguidos dos babilônicos e chineses.
Dois conceitos marcam o início da Trigonometria. São eles: razão entre dois números e
triângulos semelhantes. São conceitos em que os matemáticos da Antiguidade se fundamentavam
para calcular a altura de pirâmides, a largura de rios, a altura das montanhas, bem como os
problemas gerados pela Astronomia, agrimensura e navegação.
No Egito, pode-se confirmar a presença da Trigonometria com o papiro de Ahmes. Nele,
relata-se a importância na construção de pirâmides de manter uma inclinação constante das faces, o
que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt de um ângulo. O seqt de um ângulo
representava a razão entre o afastamento horizontal e a elevação vertical da pirâmide.
Além disso, os egípcios também tiveram a ideia de associar sombras projetadas por uma
vara vertical às sequências numéricas, relacionando, assim, o comprimento da vara com as horas do
dia, formando um relógio de sol, que poderia ser chamado de gnômon. Podemos dizer, então, que
tais ideias estavam anunciando a chegada, séculos depois, dos conceitos de função tangente e
cotangente de um ângulo.
Na Babilônia, a Trigonometria foi utilizada associada à religiosidade e à ciência. Para isto,
eram elaborados calendários de plantio e de astrologia, estudadas as fases da lua, os pontos cardeais
e até as estações do ano.
Na China antiga também se constatou o uso da Trigonometria por volta de 1110 a.C. Os
triângulos retângulos eram frequentemente usados para medir distâncias, comprimentos e
profundidades. Evidências indicam, também, que a medida de ângulo e suas relações
trigonométricas já estavam presentes entre os chineses durante o reinado de Chóupei Suan-King. Na
literatura chinesa encontramos uma frase que podemos traduzir por: “o conhecimento vem da
sombra e a sombra vem do gnômon”.
O conhecimento trigonométrico, utilizado pelos egípcios, babilônicos e chineses, foi
repassado aos gregos, que vieram a superar os seus mestres. Na Grécia, a Trigonometria teve um
grande desenvolvimento e a civilização grega passou a servir de preceptora a todas as nações.
A palavra trigonometria vem do grego e significa “medida (metria) em triângulos (trígon)”.
7.2 Operacionalização da aula:
A partir deste subitem apresenta-se as etapas previstas para o desenvolvimento da aula
referente ao tema Trigonometria. Inicialmente a professora irá fazer um relato sobre a história da
matemática sobre o referido tema.
Circunferência
Com o auxilio do GeoGebra faremos a definição de circunferência.
Dados um ponto A de um plano e uma distância r, chamamos de circunferência de centro A e
raio r o conjuntos dos pontos do plano que distam r e A.
Arcos e ângulos
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana:
•
arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, inclusive.
Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.
•
arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que subtende.
•
Comprimento da circunferência de raio r: C=2 π r
•
Comprimento e medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que
subtende, independentemente do raio da circunferência que contém o arco. Usam-se
geralmente unidades como o grau e o radiano para medir arcos.
•
O comprimento do arco é a medida linear do arco, sendo usadas unidades como “metro”,
“centímetro”, etc.
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos)
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o
radiano.
•
Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruente, cada uma dessas
partes é um arco de um grau (1º).
Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:
O grau tem submúltiplos:
*1' (1 minuto ) =
1
do grau
60
*1'' (1 segundo) =
1
do minuto
60
Na Grécia Antiga já se sabia que, em qualquer circunferência, a razão entra o comprimento C e o
diâmetro d (d = 2r) é uma constante. Mais tarde, essa constante foi representada pela letra grega
π
Então,
•
.
C
d
=
C
=
2r
π
ou C=2 π r unidades de comprimento.
Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao
raio da circunferência. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: se temos um ângulo central
de medida 1 radiano, então ele subtende um arco de medida 1 radiano (lembre que a medida do
arco é igual à medida do ângulo central) e comprimento de 1 raio. Se temos um ângulo central de
medida 2 radianos, então ele subtende um arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios.
Se temos um ângulo central de α radianos, então ele subtende um arco de medida α radianos e
comprimento de α raios. Assim, ℓ = αr se a medida α do arco for dada em radianos.
Relações entre grau e radiano
Sabemos que o comprimento C da circunferência de raio r é igual a C=2 π r .
Como cada raio r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que o arco corresponde à
circunferência mede 2 π r=2 π⋅1 rad=2 π rad .
Assim, podemos dizer que 360 º=2 π rad ou 180 º=π rad .
Como vimos, uma circunferência mede 360º ou
2 π rad . Assim, um ângulo raso, que
determina uma semicircunferência, corresponde a um arco que mede 180º ou π rad .
A tabela abaixo fornece a relação entre as medidas em grau e em radiano de alguns ângulos.
Observe também a figura:
Grau
0
45
90
135
180
270
360
Radiano
0
π
4
π
2
3π
4
π
3π
2
2π
Exemplo 1:
Para verificar quanto mede, em grau, um arco de
π
rad, fazemos os seguintes cálculos:
6
grau
π⋅x=180⋅π
6
→
180⋅π
6
x= π
radiano
180 __________________
π
x
π
6
_______________
→ x = 30
Assim, um arco de
π
rad mede 30º.
6
Circunferência orientada no plano cartesiano
Podemos percorrer uma circunferência em dois sentidos; no sentido horário e na sentido
anti-horário. Na circunferência abaixo, adotando o sentido anti-horário para as medidas positivas,
fica determinado que o sentido oposto (horário) fornece medidas negativas. Assim:
•
sentido
anti-horário:
med(AB) = 60°
•
sentido
horário:
med(AB) = - 300°
A circunferência trigonométrica, ou ciclo trigonométrico, tem centro na origem O(0,0) de
um plano cartesiano e raio de 1 unidade. No ciclo trigonométrico, o ponto A(1,0) é a origem de
todos os arcos, isto é, o ponto a partir do qual percorremos a circunferência até um ponto P para
determinar o arco AP (P é a extremidade do arco). Adotando o sentido anti-horário como positivo,
associaremos,
a
cada
ponto
P
da
circunferência,
0 rad⩽med( AP)⩽2 π rad , ou 0 °⩽med ( AP)⩽360 ° .
a
medida
de
AP
tal
que
O eixo das abscissas (eixo A'A) e o eixo das ordenadas (eixo B'B) do plano dividem o ciclo em
quatro quadrantes (QI, QII, QIII, QIV), como mostra a figura.
Assim, dado um arco AP, temos:
Quadrante
Medida em Grau
Medida em Radiano
P∈QI
0 °⩽med ( AP)⩽90°
P∈QII
90 °⩽med ( AP)⩽180°
P∈QIII
180 °⩽med (AP)⩽270 °
P∈QIV
270 °⩽med ( AP)⩽360 °
0 rad⩽med( AP)⩽ π
2
π rad⩽med (AP)⩽π rad
2
3π
π rad⩽med( AP)⩽
2
π rad⩽med (AP)⩽2π rad
2
Arcos côngruos
Girando 30°, no sentido anti-horário, a partir do ponto A da circunferência trigonométrica
abaixo, paramos no ponto M; logo, 30° é uma medida associada ao ponto M.
Há,porém, infinitas outras medidas associadas ao ponto M. Por exemplo:
•
Girando uma volta completa mais 30°, no sentido anti-horário, a partir do ponto A, também
paramos no ponto M. Logo, 360°+30°, isto é, 390° também é uma medida associada ao
ponto M.
•
Girando 330°, no sentido horário, a partir do ponto A, paramos no ponto M. Logo, -330°
também é uma medida associada ao ponto M.
Arcos trigonométricos que têm a mesma extremidade são chamados de arcos côngruos.
Se α e β são medidas de arcos côngruos, indicamos: α ≡ β (lê-se: α é côngruo a β).
Assim, no exemplo anterior, temos: 30° ≡ 390° ≡ -330°
Simetria no ciclo trigonométricos
É de grande utilidade saber relacionar medidas de arcos trigonométricos com extremidades
simétricas em relação a um dos eixos coordenados ou à origem do sistema cartesiano, pois isso
ajudará, mais adiante, a calcular senos, cossenos, tangentes, etc, desses arcos.
Consideremos, por exemplo, o ponto M, da circunferência trigonométrica abaixo, associado
à medida 30°. Pelo ponto M, tracemos três retas: a perpendicular ao eixo das ordenadas, a que passa
pela origem do sistema e a perpendicular ao eixo das abscissas. Essas retas interceptam a
circunferência nos pontos N, P e Q, respectivamente.
Os pontos N, P e Q são chamados de simétricos (ou correspondentes) do ponto M.
Determinemos as medidas x (com 0 °⩽x <360 ° ) associadas a esses pontos:
•
Os ângulos NÔE e MÔF têm a mesma medida, pois os triângulos NOE e MOF são
congruentes. Logo, o arco trigonométrico AN mede 180° - 30°, ou seja, 150°.
•
Os ângulos PÔE e MÔF têm a mesma medida, pois são opostos pelo vértice. Logo, o arco
trigonométrico AP mede 180° + 30°, ou seja, 210°.
•
Os ângulos QÔF e MÔF têm a mesma medida, pois os triângulos QOF e MOF são
congruentes. Logo, o arco trigonométrico AQ mede 360° - 30°, ou seja, 330°.
Generalizando esses resultados:
Sendo α uma medida em grau
Sendo α uma medida em radiano
Seno e cosseno de um arco
Com base na ideia de seno e cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo, vamos
estender o conceito de seno e cosseno para um arco trigonométrico.
Para estender a transição do triângulo retângulo para a circunferência trigonométrica,
considere um arco trigonométrico AM de medida α, com 0° < α < 90°.
Como o raio da circunferência trigonométrica mede 1 e a medida do ângulo central MÔA é
igual à medida do arco AM, em grau, temos no triângulo retângulo OMP:
cos α=
sen α=
OP
=OP
1
PM
=PM
1
Portanto, cos α e sen α são, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M.
Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chamam-se cosseno e seno de α a
abscissa e a ordenada do ponto M, respectivamente.
Assim, na circunferência trigonométrica, podemos nos referir ao eixo das abscissas como eixo dos
cossenos e ao eixo das ordenadas como eixo dos senos.
Observe que, como a circunferência trigonométrica tem raio unitário, temos para qualquer
arco de medida x:
-1 ≤ cos x ≤ 1
-1 ≤ sen x ≤ 1
Variação do seno
Vimos que o seno de um arco trigonométrico é a ordenada da extremidade desse arco. Como
os pontos de ordenadas positivas são os do 1° e os do 2° quadrante e os pontos de ordenadas
negativas são os do 3° e os do 4° quadrante, temos as seguintes variações para o seno:
Variação de sinal do cosseno
Vimos que o cosseno de um arco trigonométrico é a abscissa da extremidade desse arco.
Como os pontos de abscissas positivas são os do 1° e os do 4° quadrante e os pontos de abscissas
negativas são os do 2° e os do 3° quadrante, temos as seguintes variações para o cosseno:
Redução ao 1° quadrante do seno e cosseno
No estudo da Trigonometria no triângulo retângulo, deduzimos a tabela trigonométrica dos
ângulos notáveis.
Devido à igualdade entre a medida do arco e a do ângulo central que determina esse arco na
circunferência trigonométrica, se considerarmos 30°, 45° e 60° como medidas de arcos
trigonométricos, os valores dessa tabela permanecem os mesmos.
Grau ou radianos
Seno
Cosseno
30° ou
π
6
45° ou
π
4
60° ou
1
2
√2
√3
2
2
√3
√2
2
2
1
2
π
3
O objetivo do estudo deste tópico é relacionar o seno e o cosseno de um arco de 2°, do 3° ou
do 4° quadrante com o seno e o cosseno do arco correspondente no 1° quadrante. Para exemplificar,
utilizaremos a tabela dos arcos notáveis.
Observe que ela apresenta senos e cossenos de alguns arcos do 1° quadrante. Vejamos como
usar essa tabela nos demais quadrantes acompanhando o exemplo a seguir:
Exemplo:
Usando a tabela dos arcos notáveis, calcular sem 150° e cos 150°.
Resolução
A extremidade M do arco de 150° pertence ao 2° quadrante. Traçando por M a perpendicular ao
eixo dos senos, obtemos o ponto P, correspondente de M no 1° quadrante, conforme a figura abaixo.
Os pontos M e P têm ordenadas iguais e abscissas opostas. Logo:
Sen 150° = Sen 30° e cos 150° = - cos 30° = -
√3
2
Relação fundamental da Trigonometria
Dado um arco trigonométrico de medida α, temos:
sen 2 α +cos 2 α=1
Vamos demonstrar apenas o caso em que a extremidade do arco de medida α é um ponto do
1° quadrante; porém, é importante ressaltar que a relação continua verdadeira mesmo que essa
extremidade não esteja no 1° quadrante.
Demonstração:
Seja α a medida de um arco com extremidade no 1° quadrante, conforme mostra a figura
abaixo.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OMP, temos: (PM)2 + (OP)2 = (OM)2
Mas sabemos que:
PM= Sen α, OP = cos α e OM = 1 (raio)
Logo, temos: sen 2 α +cos 2 α=1 .
Tangente de um arco
Assim como fizemos anteriormente, vamos estender o conceito de tangente para um arco
trigonométrico tomando por base a ideia d tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
Para compreender essa extensão, considere o arco trigonométrico AM de medida α, com 0° < α <
90°, e o eixo real t de origem A, com a mesma direção e a mesma orientação do eixo Oy, conforme
mostra a figura abaixo. Para determinar a tangente do arco AM, traçamos a reta OM até sua
intersecção T com o eixo t.
A tangente de α é a medida do segmento de reta AT contido no eixo real t, que será chamado,
de agora em diante, de eixo das tangentes. Ampliando essa ideia, vamos definir a tangente para
qualquer arco trigonométrico.
Definição: Dado um arco trigonométrico AM de medida α, com M não pertencente ao eixo das
ordenadas, chama-se tangente de α a ordenada do ponto T, que é a intersecção da reta OM com o
eixo das tangentes.
Observe que o ponto M não pode coincidir com B nem com B', pois os prolongamentos dos
raios OB e OB' não interceptam o eixo das tangentes. Por isso dizemos que não existe tangente de
um arco com extremidade em B ou B'; ou seja, na 1° volta da circunferência trigonométrica, não
existe tg 90° nem tg 270°.
Variação da tangente
Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no 2° ou no 4° quadrante, o prolongamento
do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto S de
ordenada negativa.
Se um arco trigonométrico tiver a extremidade no 1° ou no 3° quadrante, o prolongamento
do raio que passa por essa extremidade interceptará o eixo das tangentes em um ponto T de
ordenada positiva.
Ou seja, a tangente é positiva para os arcos do 1° e do 3° quadrante e negativa para os arcos
do 2° e do 4° quadrante. Em resumo, essa variação de sinal pode ser assim representada:
A tangente como razão do seno pelo cosseno
No estudo do triângulo retângulo, vimos que a tangente de um ângulo agudo pode ser obtida
pela razão do seno pelo cosseno desse ângulo. É possível generalizar esse fato para a tangente de
qualquer arco trigonométrico de medida α, com cos α ≠ 0.
Se um arco trigonométrico tem medida α, com cos α ≠ 0, então: tg α =
Demonstração:
Seja α a medida de um arco trigonométrico AM com extremidade em M no 1° quadrante, ou
seja, 0° < α < 90°; traçando a reta OM, obtemos:
Redução ao 1° quadrante da tangente
O fato de a medida de um arco trigonométrico ter a mesma medida do ângulo central
correspondente garante que a tangente de um arco trigonométrico seja igual à tangente do ângulo
central correspondente. Como consequência, a tabela trigonométrica dos ângulos notáveis continua
válida para arcos trigonométricos. Assim, acrescentando os valores da tangente à tabela
trigonométrica dos arcos notáveis, temos:
Grau ou radianos
Seno
Cosseno
Tangente
30° ou
π
6
45° ou
π
4
60° ou
1
2
√2
√3
2
2
√3
√2
2
2
1
2
√3
1
√3
π
3
3
Conhecida a tangente de um arco trigonométrico do 1° quadrante, podemos calcular a
tangente do correspondente desse arco em qualquer quadrante, conforme exemplo a seguir:
Exemplo: Consultando a tabela trigonométrica dos arcos notáveis, determinar o valor de tg 120°.
Resolução
O correspondente, no 1° quadrante, da extremidade M do arco de 120° é o ponto P,
extremidade do arco de 60°.
Como os triângulos OTA e OT'A da figura são congruentes, os pontos T e T' têm ordenadas
opostas. Assim, concluímos:
tg 120° = - tg 60° = -
√3
Relações fundamentais
Além de seno, cosseno e tangente, existem outras três funções trigonométricas, são elas:
secante, cossecante e cotangente.
Secante
Definimos secante de um ângulo de medida α, e denotamos por sec α, a razão :
sec α =
1
, para todo cos α ≠ 0
cos α
No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a sec α.
Pelo ponto P, extremidade do arco AP, que corresponde ao ângulo de medida α, traçamos a
reta tangente à circunferência e que intercepta o eixo das abscissas no ponto E. Podemos observar
que OE = y = sec α.
De acordo com o que já vimos, OC = cos α , CP = sen α e OP = 1(raio).
Olhando para o ângulo β, percebemos que OP é cateto oposto a β e OE é a hipotenusa, com
essas duas informações temos que:
sen β=
1
1
=
, então
OE y
y=
1
sen β
Porém nos interessa saber uma relação com α e não com β, mas sabemos que sen e cos são
complementares e portanto sen β = cos α. Logo, temos:
y=
1
1
como y = sec α , temos sec α=
cos α
cos α
Variação da secante
No ângulo de 90° ou
π e no 270° ou
2
3π
a secante α não existe.
2
Cossecante
Definimos cossecante de um ângulo de medida α, e denotamos por cossec α, a razão :
cossec α =
1
, para todo sen α ≠ 0
sen α
No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a cossec α.
Pelo ponto P, extremidade do arco AP, que corresponde ao ângulo de medida α, traçamos a
reta tangente à circunferência e que intercepta o eixo das ordenadas no ponto F. Podemos observar
que OF = y = cossec α.
De acordo com o que já vimos, DP = cos α , OD = sen α e OP = 1(raio).
Olhando para o ângulo α, percebemos que OP é cateto oposto a α e OF é a hipotenusa, com
essas duas informações temos que:
sen α=
1
1
, então
=
OF y
y=
1
sen α
Logo, temos:
cossec α=
1
sen α
Variação da cossecante
No ângulo de 0° e no 180° ou
π
a cossecante α não existe.
Cotangente
Definimos cotangente de um ângulo de medida α, e denotamos por cotg α, a razão :
cotg α=
cos α
, para todo sen α ≠ 0
sen α
No ciclo trigonométrico, podemos identificar graficamente a cotg α.
Seja t' a reta que passa pelo ponto B e é paralela ao eixo das abscissas. Se P é a extremidade
do arco AP, a reta OP intercepta t' no ponto T. Por semelhança dos triângulos OBT e ODP, é
possível demonstrar que
seja, que BT = cotg α.
BT cos α
BT DP
=
onde OD é sen e DP é cos, assim temos:
, ou
=
OB sen α
OB OD
Adição de arcos
Cosseno da soma
Conhecidos os valores do seno, do cosseno e da tangente dos arcos notáveis (30°, 45° e 60°),
podemos encontrar diversos outros valores das funções circulares realizando operações de adição e
subtração com esse arcos.
Este tópico traz a demonstração da fórmula do cosseno da soma de dois arcos. As demais
fórmulas apresentadas são consequências diretas dessa primeira.
As fórmulas da adição de arcos permitem calcular, por exemplo, sen 75°, cos 105°, tg 15°
etc. (note que 75° = 30° + 45° ou 75° = 120° - 45°), sem o uso de tabelas trigonométricas.
Vamos determinar o cosseno do arco AN, somando os arcos AM e MN, sendo conhecidos a,
b, sen a, sen b, cos a e cos b. No ciclo trigonométrico acima, os arcos AM e MN têm medidas a e b ,
respectivamente. De acordo com a figura, OP = OQ – PQ; como PQ = SR, podemos escrever:
OP = OQ – SR
O triângulo OPN é retângulo. Logo: OP = cos (a + b) (I )
Para determinar OQ, consideramos os triângulos retângulos OQR e ORN:
Δ OQR → OQ = OR · cos a
Δ ORN → OR = ON · cos b. Como ON = 1, OR = cos b.
Então: OQ = cos a · cos b (II)
Para determinar SR, tomamos os triângulos retângulos RSN e ORN:
Δ RSN → SR = NR · sen a
Δ ORN → OR = ON · sen b. Como ON = 1, NR = sen b.
Então: SR = sen a · sen b
(III)
Substituindo as expressões (I), (II) e (III) em OP = OQ – SR, resulta em:
cos (a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b
Cosseno da diferença
Vamos agora substituir, na fórmula acima, o arco (+b) pelo arco (-b). Sabemos que cos (-b) =
cos b e sen (-b) = - sen b. Substituindo na fórmula anterior, temos:
cos[a + ( -b)] = cos a · cos (-b) - sen a · sen (-b)
cos (a – b) = cos a · cos b - sen a · (- sen b)
cos (a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b
Logo:
cos (a - b) = cos a · cos b + sen a · sen b
Seno da soma
Lembrando que sen x =
cos( π −x)
2
e usando a fórmula anterior, escrevemos:
Portanto que é falso!
Essa igualdade é falsa, pois
sen(a+b)=cos[ π −(a+b)]=cos[( π −a)−b ]=cos( π −a)⋅cosb+sen( π −a)⋅senb
2
2
2
2
Como cos( π −a)=sena esen( π −a)=cosa , resulta em :
2
2
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
Seno da diferença
Novamente, vamos considerar o arco (-b) na fórmula acima. Sabemos que:
cos (-b) = cos b e sen (-b) = - sen b. Substituindo na fórmula anterior, temos:
sen [a + (-b)] = sen a · cos (-b) + sen (-b) · cos a
sen (a - b) = sen a · cos b + (-sen b) · cos a
Logo:
sen (a - b) = sen a · cos b - sen b · cos a
Tangente da soma
Uma das relações mais importantes da Trigonometria é a que determina a tangente de um
arco a partir dos valores do seno e do cosseno desse arco.
Então, se tg x =
sen x
, para cos x ≠ 0, vamos tomar x = a +b e determinar a tg (a + b) a
cos x
partir dos valores de tg a e de tg b: tg (a + b)
sen( a+b)
cos( a+b)
Aplicando as fórmulas do seno da soma e do cosseno da soma, temos:
sen a⋅cos b+ sen b⋅cos a
cos a⋅cos b
tg (a+b)=
=
cos a⋅cos b−sen a⋅sen b
cos a⋅cos b
Logo: tg(a+b)=
sen a⋅cos b sen b⋅cos a
+
cos a⋅cos b cos a⋅cos b
cos a⋅cos b sen a⋅sen b =
−
cos a⋅cos b cos a⋅cos b
¿
tg a+tg b
1−tg a⋅tg b
tg a+tg b
, em que a ≠ π + k π , b ≠ π + k π e (a + b) ≠ π + k π ,k
1−tg a⋅tg b
2
2
2
k ∈ℤ
Tangente da diferença
Como nos casos anteriores, vamos considerar o arco (-b). Pela simetria em relação ao eixo x,
temos tg (-b) = -tg b.
Assim: tg [a + (-b)] =
tg a+tg(−b)
tg a−tg b
=
1+tg a⋅tgb
1−tg a⋅tg(−b)
Logo:
tg(a - b)=
tg a−tg b
, em que a ≠ π + k π , b ≠ π + k π e (a + b) ≠ π + k π ,k k ∈ℤ
1+tg a⋅tg b
2
2
2
Fórmulas para arcos duplos
Seno do arco duplo
Aplicando a fórmula do seno da soma, temos:
sen 2a = sen (a + a) = sen a · cos a + sen a · cos a
Logo:
sen 2a = 2 · sen a · cos a
Cosseno do arco duplo
Aplicando a fórmula do cosseno da soma, temos:
cos 2a = cos (a + a) = cos a · cos a - sen a · sen a
Logo:
cos 2a = cos 2 a - sen 2 a
Na fórmula do cosseno do arco duplo:
•
substituindo cos 2 a por 1 - sen 2 a, vem : cos 2a = 1 – 2 · sen 2 a
•
substituindo sen 2 a por 1 - cos 2 a, vem : cos 2a = 2 · cos 2 a – 1
Tangente do arco duplo
Vamos aplicar o mesmo raciocínio usado acima para determinar a fórmula que nos fornece tg 2a:
tg 2a = tg (a + a) =
tg a+tg a
1−tg a⋅tg a
Logo:
tg 2a =
2⋅tg a
kπ
,a ≠ π +
1−tg ² a
4 2
e a ≠ π + k π , k ∈ℤ
2
8 Avaliação:
8.1 Instrumentos de avaliação
Como avaliação será aplicado um prova com 5 questões, com peso: 10. A prova aplicada é
esta abaixo:
INSTITUTO FEDERAL CATARINENSE CAMPUS AVANÇADO SOMBRIO
Prof. Orientadora: Marleide Coan Cardoso/ Margarete Farias de Medeiros
Professora: Natália Lummertz
Aluno:
Data:
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
1) Assinale a resposta certa com V para verdadeira e F para falsa. Justificando as falsas.
( ) Dados um ponto A de um plano e uma distância r, chamamos de circunferência de centro A e
raio r o conjuntos dos pontos do plano que distam r e A.
( ) Um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao diâmetro da
circunferência.
( ) Arcos trigonométricos que têm a mesma extremidade são chamados de arcos côngruos.
( ) Cos α e sen α são, respectivamente, a ordenada e a abscissa do ponto M.
2) Some a(s) alternativa (s) que você considera correta (s).
01. A tangente é positiva no 1° e 3° quadrante e negativa no 2° e 4° quadrante.
02. Sen(a+b) = sen a + sen b
04. De acordo com registros, a primeira civilização a utilizar a Trigonometria foi a dos egípcios,
seguidos dos babilônicos e chineses.
08. A secante é crescente e positiva no 1°, decrescente e negativa no 2° quadrante, crescente e
positiva no 3° quadrante e no 4° quadrante ela é decrescente e negativa.
Soma
3) Sendo sen 75° a soma dos arcos notáveis de 45° e 30°, verifique qual das alternativas abaixo é a
correta.
a)
√3
b)
√6+ √2
4
c)
√2+ √ 3
4
4) Usando as operações com arcos, calcule:
a) Sen 105°
b) cos 15°
5) Uma pessoa caminha sobre um arco de uma circunferência e para no ponto P, cujo ângulo é α.
Identifique no ciclo trigonométrico o cos, sen, tag, sec, cossec e cotg do ângulo ilustrado abaixo.
“Ninguém conhece as suas próprias capacidades enquanto não as colocar à prova”
Públio Síro
9. Referências bibliográficas:
BARROSO, Juliane Matsubara; Conexões com a Matemática, vol. 2.1. ed. São Paulo: Moderna,
2010.
DANTE, Luiz Roberto; Matemática, volume único.1. ed. São Paulo: Ática, 2005.
PAIVA, Manoel; Matemática Paiva: vol.2.1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.