Figura 2
1- Introdução
Na figura 1, que
está ao lado temos
Figura 1
um livro apoiado
sobre
uma
superfície plana. O livro, através de seu peso,
como está mostrado na figura 2 exerce uma força
sobre a superfície. Podemos observar que na
figura 2 colocamos essa força aproximadamente,
no “ centro do livro” . O livro está numa situação de
equilíbrio. Isto é: não desliza, não gira, em suma,
permanece como está. Saber determinar onde
está aplicada exatamente essa força bem como
as conseqüências decorrentes desse fato será
uma das preocupações desta seqüências de atividades. Nela mostraremos como construir, des-
de simples brinquedos até uma balança extremamente sensível e, ao mesmo tempo, discutiremos
os princípios físicos envolvidos nesse trabalho.
Vamos
voltar,
mais uma vez ao nosso
livro. Vamos supor que
quiséssemos equilibrar o
livro sobre um lápis como
aparece na figura 3. Não
seria colocando o lápis em
qualquer
posição
que
Figura 3
obteríamos êxito. O lápis
deveria ficar numa posição
tal que o peso do livro estivesse agindo sobre o
lápis. Algo semelhante ao
que está representado na
figura 4. Vocês podem
notar que o peso do livro
passa pela base do lápis.
Caso o lápis tivesse sido
colocado mais para a
direita ou mais para a
Figura 4
esquerda, o livro poderia
cair. Ele não estaria mais
numa situação de equilíbrio. Vamos prosseguir
um pouco com o tema.
Descobrir onde parece estar localizado
o peso do livro, “ aproximadamente no seu centro”
como dissemos, pode não parecer tão fácil. O
livro não é muito regular e as coisas podem complicar um pouco. Porém, como veremos mais adiante, existem meios simples para determinar esse
ponto, que recebe o
nome de centro de
gravidade ou centro
de massa.
Mas, vamos discutir
ainda um pouco mais.
Vamos supor que o
objeto em questão
fosse uma rosquinha
como a que está na
Figura 5
figura 5. Esse caso é,
até, um pouco mais
estranho. O ponto que procuramos nem pertence
à rosquinha propriamente dita. Ele está localizado num ponto que seria o “ centro da rosquinha”
e que não faria parte da própria rosquinha.
Porém, isto é fácil de ser entendido. Bastará analisar um pouco a questão.
Vamos supor que vamos pegar a rosquinha
utilizando uma espécie de pinça como aparece
na figura 6.
Figura 6a
Figura 6b
Figura 6c
As três posições da rosquinha desenhadas
acima podem elucidar um pouco a questão.
Quando a rosquinha é segura como na figura 6b
seu peso faz com que ela gire até atingir a posição que está na figura 6c. Quando chega nessa
posição ela poderá até escorregar e cair mas
não vai mais girar. Note que ao atingir essa posição, o centro da rosquinha está logo abaixo do
ponto onde as duas pontas da pinça estão a segurando.
Nestas atividades falaremos bastante no
centro de gravidade de figuras e corpos e falaremos também nos pontos nos quais estes corpos se apoiam, como o lápis com relação ao livro
ou nos pontos pelos quais os objetos são suspensos como as pontas das pinças com relação
à rosquinha. Falaremos de pontos de apoio e
pontos de suspensão.
2- Material experimental
Os experimentos que
descreveremos em seguida
serão,
em
grande
parte
realizados com o auxílio de um
dispositivo como o que está na
figura ao lado. Em primeiro
lugar precisamos de uma ripa
de
madeira
com
um
comprimento
de
20
cm
aproximadamente. A largura e a
altura, são da ordem de 1 cm.
Essas medidas são apenas
indicativas. Não é necessário
que tenham exatamente tais
valores.
A ripa é fincada num
pedaço de massa de modelar
Figura 7
que vai servir de base de apoio
para o sistema. Na parte
superior da madeira espeta-se um alfinete. Neste
último amarra-se um fio de linha de costura. Na
outra extremidade do fio é colocado mais um pedaço de massa de modelar. O fio de linha não
deve ser amarrado muito fortemente no alfinete.
Ele deve permitir que o pedaço de massa de
modelar mova-se livremente.
Esse fio, devido ao peso da massa de modelar, vai comportar-se como um fio de prumo.
Ele vai indicar a direção perpendicular ao solo no
local. Ele pode servir, até, para que coloquemos
a madeira numa posição bem perpendicular ao
solo.
Vamos precisar também de alguma figuras
geométricas recortadas em cartão duro. Caso
não se disponha de um cartão suficientemente
grosso, pode-se colar duas, ou mais, folhas. Em
suma, necessitamos de uma figura que não dobre com facilidade. Na realidade necessitaremos
de várias figuras: retângulos, triângulos, círculos
elipses etc. Figuras
irregulares
também
serão úteis.
Podemos
incluir
nesse conjunto figuras
que se assemelhem à
letra C. Veremos, mais
tarde, que o centro de
Figura 8
gravidade nesse caso,
pode não pertencer à figura, como aconteceu
quando falamos da rosquinha.
3- Verificando a posição do centro de gravidade de um retângulo.
Para esta parte do experimento precisamos, em
primeiro lugar, recortar um retângulo de cartão.
Em seguida determinamos
seu centro traçando suas
diagonais. Por fim, fazemos
dois furos em dois pontos
quaisquer do retângulo. Os
furos devem Ter um
diâmetro tal que seja
possível pendurar o cartão
no suporte, como mostram
as figuras abaixo.
Figura 9
Quando o cartão é pendurado no alfinete
ele gira, oscila até parar e quando isso acontece,
pode-se observar que o fio de prumo passa pelo
centro do retângulo. Veja a figura 10a.
Em seguida, repetimos o mesmo processo
e, mais uma vez, podemos notar que o fio passa
também pelo centro do retângulo como está na
figura 10b.
Figura 11
As três posições do cartão na figura 11
mostram como o cartão oscila em torno do alfinete. Na primeira o peso do cartão, situado no
centro do mesmo, faz com que o mesmo gire no
sentido anti-horário. Na segunda, o peso agindo
do outro lado faz com que o cartão gire no sentido horário. Finalmente, na última, o cartão atinge
o equilíbrio e seu peso apenas puxa o alfinete
para baixo.
Figura 10a
Figura 10b
4- Outros exemplos
Um fato que é de grande importância neste
conjunto de experimentos é que quando suspendemos um objeto que
possa girar em torno
desse
centro
de
suspensão é que o
centro de gravidade vai
se posicionar abaixo do
centro de suspensão.
Procedendo
da
mesma maneira que fizemos com o retângulo,
podemos verificar que o
centro de gravidade de
um círculo ou de um disco muito fino, mais
precisamente, localizase no seu centro
geométrico, o mesmo
ocorrendo com elipses,
quadrados,
losangos
Figura 11
etc. Porém, onde estará
o centro de gravidade de um triângulo ou de um
trapézio?
Utilizando o mesmo método que foi aplicado para a verificação da posição do centro de
massa do retângulo, podemos determinar esses
pontos. Deveremos construir uma figura em
cartão bem duro, fazer dois furos para pendurála duas vezes no suporte marcando, em cada
caso, a direção vertical. Observe a figura 11. O
que tem de ser feito é obter a direção que, aproximadamente, na figura, está representada pela
sombra do fio de linha. O ponto de encontro dessas verticais é o centro de gravidade do triângulo.
Construa um triângulo qualquer. Procure
que o mesmo não seja retângulo ou equilátero.
Use os mesmos procedimentos para determinar
o que os matemáticos chamam de baricentro do
triângulo. Ele nada mais é que o centro de massa do triângulo que você construiu. Uma vez
determinado esse ponto você poderá responder
se o baricentro de um triângulo é o encontro das
medianas, das alturas ou das bissetrizes do triângulo.
Determine também, procedendo da mesma
maneira, o centro de gravidade de um trapézio
ou de uma figura irregular. E se essa figura fosse
uma mapa do Brasil? Onde estaria esse ponto?
5- Equilibrando figuras.
Quando uma
figura
plana
está apoiada
num
suporte
de maneira tal
que seu centro
de gravidade
esteja
sobre
Figura 12
esse suporte,
a figura ficará
em equilíbrio. É algo semelhante ao que discutimos quando mostramos o livro que apoiava-se
sobre o lápis. É bastante fácil construir um suporte que sustente nossas figuras. Um pedaço
de massa de modelar, um parafuso para metal
(de ponta plana), ou um pedaço de palito de
churrasco (não a parte pontiaguda), servem para
isso.
Construa o suporte e apoie as figuras sobre o mesmo. Note que você somente conseguirá o equilíbrio quando o centro de gravidade estiver sobre o apoio.
Algumas vezes temos de ser um pouco criativos para conseguir isso. É o caso das figuras
cujo centro de gravidade não pertence à mesma,
como, por exemplo, um aro de cartão. Bastará
um simples olhar na figura 13 para notarmos que
o centro de gravidade não
está localizado fisicamente
no aro. Ele está no seu
centro, que não faz parte do
aro propriamente dito.
Figura 13
Figura 14
Porém, podemos repetir o mesmo processo e ao invés de traçarmos duas retas para determinar o centro de gravidade, colamos com fita
adesiva, um fio de linha no lugar onde estaria a
reta. A situação está mostrada na figura 14. Assim, podemos constatar que, mesmo fora do
corpo, o centro de gravidade não perde suas
propriedades e o aro fica equilibrado.
6- Balançando objetos
A
atividade
que
realizaremos em seguida é de
suma importância. Apesar de
simples ela dá subsídios para
entender tanto como funciona
um brinquedo baseado em
princípios de equilíbrio, como
também quais os conceitos
físicos que entram em jogo
numa balança.
Para
realizar
este
experimento você precisa
apenas de uma das figuras
em cartão que apareceram
Figura 15
nas atividades anteriores. Por
exemplo, o triângulo. De
início, precisamos determinar onde está o centro
de massa do triângulo (ou da figura que será
usada). Em seguida são feitos, na figura, vários
furos que servirão para sustentá-la. O objetivo é
verificar que, uma vez pendurada e retirada da
sua posição de equilíbrio, a figura irá “ balançar” .
Durante essa oscilação, pode-se notar que o
centro de massa fica, sempre, abaixo do centro
de suspensão.
Faça o que foi sugerido. Pendure a figura
“esburacada” e verifique que o centro de gravidade fica oscilando abaixo do centro de suspensão.
7- Brinquedos de equilíbrio
Inicialmente
vamos construir uma
figura, em cartão, de
modo que seu centro
de gravidade fique
fora da mesma. Por
exemplo uma figura
como a arara que
está ao lado. Para
isso, recortamos a
figura em cartão duro
e, colocamos um
palito como pé da
arara e pintamos o
conjunto. Além disso,
precisamos modificar
Figura 16
um pouco o suporte
no qual testávamos as figuras. Ele vai servir de
poleiro para a arara.
A figura ao lado
mostra a pequena
modificação que foi
feita no suporte, bem
como a primeira fase
para a determinação
do
centro
de
gravidade da arara.
Após determinar
o centro de massa da
arara, devemos nos
certificar que ele cai
abaixo do ponto de
apoio ou seja o pé da
arara. Caso isso não
aconteça,
você
Figura 17
poderá dar um jeito
acrescentando mais
massa na região própria. Assim, se o centro de
gravidade ficar muito alto bastará colarmos “mais
penas” na cauda da arara. Um pedaço a mais de
papelão às vezes resolve o problema. Outra solução seria “ amputar” um pedaço do pé da arara.
Às vezes, apesar do centro de gravidade
estar abaixo do centro de apoio, a rara pode ficar
muito inclinada para frente ou para trás. Nesse
caso, deveremos corrigir essa posição aumen-
tando o tamanho do bico ou colocando “ mais penas” na parte direita do rabo da arara. Alguma
vezes mesmo com a colocação de bastante
cartões simulando novas penas, não conseguimos obter o equilíbrio,
nem para o caso de
ajustar o centro de
gravidade,
baixando-o
nem para o caso das
inclinações
laterais.
Nesse
caso,
pode-se
substituir
os
cartões
simples
por
cartões
chumbados
isto
é,
colocamos, dentro dos cartões
objetos
mais
pesados. Como moedas,
por exemplo.
Após as correções,
a arara ficará como a que
está mostrada na figura
Figura 18
18.
Outras figuras, com formas semelhantes
podem ser construídas de maneira análoga.
Como veremos mais adiante, os princípios envolvidos nesta construção estão intimamente ligados aos de uma balança.
10 - O ET
Um brinquedo de equilíbrio que pode contribuir bastante para o entendimento do funcionamento de uma balança é o que tem sido denominado de ET. Ele é constituído por duas
Figura 19
partes construídas com rolhas e palitos de churrasco, e que têm uma forma parecida com a que
está acima.
A parte superior do ET, e que conterá, ao
mesmo tempo, sua cabeça e seus braços deverá
ser feita com uma rolha um pouco menor que a
da parte inferior. Os palitos de churrasco que
formarão os braços do boneco deverão ter cortados uns 3 centímetros antes de serem introduzidos na rolha.
Da mesma forma é montada a parte inferior
onde estarão as pernas do ET e seu corpo. Com
cartão construímos suas mãos e pés.
Figura 20
A parte superior do ET é construída antes
e, a cada instante devemos buscar equilibrar o
boneco. Uma vez feita a parte superior, procedese da mesma maneira para o resto. Aqui, talvez,
tenhamos que exagerar o tamanho dos pés para
conseguirmos baixar o centro de gravidade do
boneco como um todo. Lembre-se que cada
parte tem um centro de gravidade e o todo também tem o seu.
11 – Um modelo de balança
Agora vamos construir
um objeto que nos vai
dar oportunidade de
discutir muitos dos
princípios envolvidos
no funcionamento de
uma balança. Para
isso precisamos de
recortar um T em
cartão. Sua largura
pode ter uns 15
Figura 21
centímetros e sua
altura
um
pouco
menos. A largura dos “ braços” e de sua parte vertical
pode ser da ordem de 2 centímetros. Ao longo de sua
parte vertical são feitos alguns furos. O diâmetro destes
furos deve ser tal que permita pendurar o T por estes
furos. Mais dois furos devem ser feitos nas extremidades
do braço horizontal, quase na extremidade destes últimos. Estes furos também devem Ter um diâmetro que
permita a passagem do alfinete quando colocado no suporte. Mais ainda, estes furos vão servir para determinarmos o centro de massa do objeto. A figura 21 dá uma
idéia do que deve ser feito.
Uma vez construído este protótipo de balança,
vamos determinar se centro de gravidade da mesma
maneira que procedemos com outras figuras. Par isso,
penduramos o objeto por um de seus furos laterais como
está representado na figura 22. Em seguida, vamos
suspender a figura pelo furo que está situado no lado
oposto de braço como
mostra a figura ao lado.
Repetindo, mais uma
vez o procedimento,
poderemos determinar
o centro de gravidade
da figura. Ele está
marcado
com
um
pequeno círculo.
Agora que já sabemos
onde está o centro de
massa da figura, vamos
suspendê-la por um de
seus orifícios situados
no
braço
vertical.
Vamos
escolher
o
primeiro, que está na
parte superior.
Como os dois braços
do T são simétricos, a
figura vai
ficar em
equilíbrio, isto é, não
Figura 22
vai pender nem para a
direita nem para a
esquerda. Porém, o que vai acontecer se “ rompermos”
este equilíbrio colocando um pequeno pedaço de papel
sobre um dos braços? O papel vai introduzir uma força
adicional que fará com que o sistema gire.
Teremos, ao final da operação, uma situação
análoga à que está representada na figura 23: um dos
braços, devido ao peso do papel, fica mais baixo que o
outro.
Figura 23a
Figura 23b
Porém, o que vai acontecer se conservarmos o
papel na mesma posição e passarmos a suspender o T
pelo segundo furo de cima para baixo?
Se realizarmos este experimento, poderemos notar que a figura vai ficar mais inclinada. Quando mudamos o ponto de suspensão um furo mais abaixo, ficamos
mais perto do centro de gravidade da figura. Neste caso,
podemos constatar, se realizarmos o experimento, é claro, que a figura vai ficar mais inclinada.
Não mudamos o papel. Seu peso continuou o
mesmo e agindo no mesmo ponto mas o fato de mudarmos o centro de suspensão para um ponto mais perto do
centro de gravidade tornou a figura mais sensível ao giro.
Podemos concluir que:
Quanto mais perto estiverem o centro de gravidade e
o centro de suspensão de uma figura, mais fácil de
ser girada por uma força ela será.
Se o T fosse uma balança, no caso da figura 23b
ela seria mais sensível que o outro caso pois com o
mesmo peso produziríamos um giro maior. Este é um
dos principais princípios nos quais está fundamentada a
sensibilidade de uma balança. A proximidade entre o seu
centro de suspensão e o seu centro de massa. Como
veremos mais adiante, vamos tentar, nas balanças que
iremos propor para construção, buscas que o centro de
massa se situe perto do
centro de suspensão.
Todavia, não podemos
prosseguir
baixando
indefinidamente o centro
de suspensão pois o
centro de gravidade pode
ficar abaixo dele e todo o
sistema girar.
Mesmo nessa situação,
como está representado
na figura 24, poderemos
constatar que o centro de
gravidade sempre vai
oscilar abaixo do centro
de suspensão e, ainda
assim, será válida a
afirmação que fizemos
Figura 24
no início da coluna..
12– A balança de canudo de refresco.
Para a construção de uma balança de canudo de refresco precisamos apenas, além de
canudos de plástico, grossos, dois alfinetes. Em
primeiro lugar recortamos três pedaços de ca-
Então são introduzidos dois canudos inteiros e os dois alfinetes espetados no canudo de 4
cm. O conjunto deve ficar semelhante ao que
está mostrado em detalhe na figura 26.
Figura 25
nudo: um com 4 centímetros e dois com 5, aproximadamente. Em seguida os pedaços maiores
são dobrados ao meio e introduzidos no menor,
como aparece na figura 25, formando uma espécie de presilha.
Figura 26
Figura 27
O canudo amarelo vai fazer as vezes do
ponteiro da balança enquanto que o avermelhado fará o papel dos braços. A balança vai ter um
suporte e apoiar-se no mesmo através dos alfinetes. Os canudos que formam a presilha devem
segurar tanto o ponteiro como os braços. Todavia, devem permitir que se possa deslocar os
canudos para eventuais ajustes: igualar os braços, por exemplo, ou ainda subir ou descer o
ponteiro para variar a posição do centro de gravidade.
Prof. Dr. Norberto Ferreira
Instituto de Física da USP
Departamento de Física Aplicada
PROJETO RIPE