Sumário
Intervalos de Confiança (IC)
Intervalos Parciais de Confiança
Intervalo de Confiança para Proporções
Comparação de Alternativas
MAB-515 Avaliação e Desempenho (DCC/UFRJ)
Aula 7: Intervalos de Confiança
Prof. Paulo Aguiar
13 de novembro de 2012
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Introdução à Simulacão
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Intervalos de Confiança (IC)
Intervalos Parciais de Confiança
Intervalo de Confiança para Proporções
Comparação de Alternativas
1
Intervalos de Confiança (IC)
2
Intervalos Parciais de Confiança
3
Intervalo de Confiança para Proporções
4
Comparação de Alternativas
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Percentil
100p%-percentil
O ponto t0 tal que t0 = FX−1 (p) = min{t : FX (t) ≥ p}, 0 < p < 1
é chamado 100p%-percentil
Se tomarmos o gráfico da pdf, a área à esquerda de 100p%
percentil vale p
Mediana
O 50%-percentil é chamado mediana.
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Comparação de Alternativas
A distribuição t-Student
Pelo Teorema do Limite Central, a função
µ̂−µ
√
σ/ n
é N(0, 1)
µ̂−µ
√ tem distribuição t-Student com (n − 1) graus de
A função σ̂/
n
liberdade.
A distribuição t-Student com n graus de liberdade tem média
n
µ = 0 e variância σ 2 = n−2
e é aproximadamente N(0, 1) para
n ≥ 25
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Percentis da distribuição t-Student
Para a distribuição normal o 99,95%-percentil = z99,95% = 3, 29.
tα;n = 100α%-percentil da distribuição t-Student com n graus de
liberdade
A área à esquerda de tα;n no gráfico da pdf vale α.
n (graus de liberdade)
25
60
120
∞
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t99,95%;n
3,725
3,460
3,373
3,291
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Intervalos de Confiança (IC)
Definição: Sejam {X1 , X2 , · · · , Xn } amostras independentes de
uma população com pdf f (x, θ), onde θ é um parâmetro
desconhecido (i.e., a média, a variância, o n-ésimo momento, etc).
(L(α), U(α)) é um intervalo de confiança de 100(1 − α)% para θ se
P{L(α) ≤ θ ≤ U(α)} ≥ 1 − α, 0 < α < 1
Interpretação: Se 100 intervalos são construı́dos, 100(1 − α)%
deles conterá o valor real de θ.
Confianças mais comuns: 90% e 95%
Intervalo de confiança de 95% obtido com α = 0, 05
Intervalo de confiança de 90% obtido com α = 0, 1
Intervalo de confiança de 99% obtido com α = 0, 01
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IC para a Média de uma População com Variância
Desconhecida
Sejam {X1 , X2 , · · · , Xn } amostras independentes de um
parâmetro X com uma distribuição qualquer, com média
verdadeira desconhecida E [X ] = µ
Queremos calcular o intervalo de confiança para µ, que será
um intervalo em torno da média das amostras µ̂
Eessencial ter n amostras independentes do parâmetro
O parâmetro X pode ser uma grandeza qualquer como o número
médio de fregueses no sistema ou a variância média do tempo de
espera numa fila.
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Comparação de Alternativas
Seja tx;n o 100x%- percentil da distribuição t-Student com n graus
de liberdade. Então, da definição de percentil, temos:
µ̂ − µ
P tα/2;n−1 ≤ √ ≤ t1−α/2;n−1 = 1 − α
σ̂/ n
A distribuição t-Student é simétrica em relação à origem e
tα/2;n−1 = −t1−α/2;n−1 . Consequentemente,
Intervalo de Confiança para a Média
P µ̂ − t1−α/2;n−1 . √σ̂n ≤ µ ≤ µ̂ + t1−α/2;n−1 . √σ̂n = 1 − α
Dado (1 − α), obtemos t1−α/2;n−1 da tabela da t-Student
O intervalo de confiança de 100(1 − α)% é simétrico em torno
√
de µ̂, com largura total de 2t1−α/2;n−1 σ̂/ n
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Valores Assintóticos dos Percentis da t-Student
Para n ≥ 30, o percentil t1−α/2;n−1 da t-Student tende para
valores assintóticos que são os percentis z1−α/2 da normal unitária.
1−α
0,90
0,95
0,99
100(1 − α/2)% − percentil
t0,95 ≈ z0,95 = 1, 645
t0,975 ≈ z0,975 = 1, 960
t0,995 ≈ z0,995 = 2, 576
Para um mesmo conjunto de amostras, quanto maior a confiança,
maior o multiplicador e maior o intervalo a ser apresentado!
Precisão do IC (quanto menor mais justo o intervalo!)
A precisão p é obtida dividindo a metade do intervalo pelo seu
σ̂
valor de centro, implicando que p = 100.t1−α/2;n−1 . µ̂√
n
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Exemplo: Suponha que 4 medidas da largura de um terreno dão
média µ̂ = 585, 145 m e σ̂ 2 = 0, 010 m2 . Qual o intervalo de
confiança de 99%?
Solução
Para 1 − α = 0, 99, t1−α/2;n−1 = t0,995;3 = 5, 841.
U = µ̂ + 5, 841 × 0, 05 e L = µ̂ − 5, 841 × 0, 05.
A largura do intervalo é 0,584 m.
A precisão do IC é dada por
0,584/2
585,145
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≈ 1/500 = 0, 5%.
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IC para a Média de uma População com Variância
Conhecida
µ̂−µ
√ terá o comportamento de uma
Se a variância é conhecida, σ/
n
N(0, 1) pelo Teorema do Limite Central e, considerando zx como o
100x%-percentil da N(0, 1), pode-se afirmar que:
µ̂ − µ
P zα/2 ≤ √ ≤ z1−α/2 = 1 − α
σ/ n
e o intervalo de confiança para a média será dado por
σ
σ
P µ̂ − z1−α/2 . √ ≤ µ ≤ µ̂ + z1−α/2 . √
=1−α
n
n
A única diferença em relação ao caso anterior é o uso do percentil
da normal unitária no lugar do percentil da distribuição t-Student.
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Distribuição χ2 (chi-square)
Seja {Xi } um conjunto de variáveis normais com média 0 e
variância σ 2 , isto é, Xi = N(0, σ 2 ).
Observe que estamos assumindo que as variáveis são normais!
Y = X12 + X22 + · · · + Xn2 tem pdf fY (y ) =
1
2σ 2
n
2
n−2
y 2
Γ( n2 )
y
e − 2σ2
Para σ = 1, Y é χ2 central com n graus de liberdade
χ2ν;n é o 100ν%-percentil da distribuição χ2 com n graus de
liberdade
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Comparação de Alternativas
Seja {Xi } um conjunto de amostras de X = N(µ, σ 2 ).
µ̂ =
Xi −µ
σ
1
n
σ2
X
=
N
µ,
i=1 i
n .
Pn
é N(0, 1) e Y =
Pn
Pn
Prova-se que Z =
i=1
i=1
Xi −µ
σ
Xi −µ̂
σ
2
2
é χ2 com n graus de liberdade.
é χ2 com (n − 1) graus de liberdade.
(n−1)σ̂ 2
σ2
(n−1)σ̂ 2
σ2
=
1
σ2
Pn
i=1 (Xi
− µ̂)2 =
Pn
i=1
Xi −µ̂
σ
2
então terá uma distribuição χ2 com (n − 1) graus de liberdade.
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IC para a Variância de uma Pop. Normal com Média
Desconhecida
Seja {Xi } um conjunto de amostras de X = N(µ, σ 2 )
2
2
=ν
P (n−1)σ̂
≤
χ
2
ν;n−1
σ
2
(n−1)σ̂
P χ2α/2;n−1 ≤ σ2 ≤ χ21−α/2;n−1 = 1 − α/2 − α/2 = 1 − α
Expressão do IC
2
P χ(n−1)σ̂
≤ σ2 ≤
2
1−α/2;n−1
O tamanho do IC é (n − 1)σ̂ 2
(n−1)σ̂ 2
χ2α/2;n−1
χ21−α/2;n−1 −χ2α/2;n−1
χ21−α/2;n−1 .χ2α/2;n−1
=1−α
= σ̂ 2 . [(n − 1)f1−α ], onde o termo
f1−α depende apenas dos percentis da χ2 para um determinado grau de confiança.
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Comparação de Alternativas
A tabela abaixo mostra a variação de (n − 1)f90% e (n − 1)f95% .
(n − 1)
(n − 1).f90%
(n − 1).f95%
30
0,93689
1,1481
40
0,79153
0,96306
50
0,69757
0,84516
60
0,63057
0,76184
70
0,57972
0,69901
80
0,53944
0,64948
90
0,50653
0,60914
100
0,47898
0,57547
Como σ̂ 2 converge para a variância, então o tamanho do IC para a
variância do parâmetro X será determinado pelo produto (n − 1)f1−α .
Para n = 101, o IC de 90% será de 0,4790 σ̂ 2 , com precisão de 23,95%,
enquanto para confiança de 95% terá precisão de 28,77% apenas. Para
obter precisões menores é preciso usar valores maiores de n.
Interessante observar que a relação de tamanho entre os intervalos de
confiança de 95% e 90% é aproximadamente de 20% assintótico.
O estimador da variância está sempre dentro do intervalo e o aumento de
n leva à aproximação entre os limites inferior e superior.
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Exemplo
Para exemplificar, vamos supor que estamos querendo estimar a variância
do tempo
P
médio de espera W numa fila. A cada rodada é calculado Wi = k1 kj=1 Wij , o atraso
médio estimado na i-ésima rodada sobre k fregueses por rodada.
Se os Wij fossem independentes, Wi convergiria para a normal N(E [W ], V (W )/k)
Todavia, os Wij não são independentes e possuem alta correlação e para assumir o
comportamento de Normal é preciso que k seja bem grande.
Obtido o conjunto {Wi }, o IC estará
da variância
definido em função do estimador
(n−1)σ̂ 2
(n−1)σ̂ 2
1 Pn
2
2
2
σ̂ = n−1 i=1 (Wi − µ̂) por P χ2
≤ σ ≤ χ2
= 1 − α.
1−α/2;n−1
α/2;n−1
Como σ 2 = V (W )/k, pode-se obter um intervalo de confiança para V (W ) igual a
"
k(n − 1)σ̂ 2 k(n − 1)σ̂ 2
,
χ21−α/2;n−1 χ2α/2;n−1
#
Pode-se ver que um aumento de k levará a uma convergência dos valores dos Wi , com
consequente diminuição de σ̂ 2 .
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Exemplo: solução alternativa
Para o mesmo exemplo, um segundo procedimento seria partir da
estimativa da variância do tempo de espera em cada rodada
2
1 Pk
1 Pk
Vi = σi2 = k−1
W
−
W
e plotar o intervalo de
ij
ij
j=1
j=1
k
confiança da média para o conjunto {Vi }.
Aqui a variância é considerada diretamente como o parâmetro de
interesse. Também aqui a variância estimada por rodada pode ser
muito imprecisa se o valor de k for pequeno, devido à correlação
de medidas dentro da própria rodada.
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Intervalos Parciais de Confiança
Para um IC de 100(1 − α)%, há 100α/2 de probabilidade de que o
parâmetro µ será menor do que o limite inferior e igual
probabilidade de que o parâmetro será maior que o limite superior.
Assumindo simetria nas caldas da pdf, temos:
P{L(α) ≤ µ ≤ U(α)} = 1 − α → P{µ < L(α)} = P{µ > U(α)} = α/2
Assim, P{µ ≥ L(α)} = P{µ ≤ U(α)} = 1 − α/2
Para se testar se a média é maior do que um determinado valor com 90%
de certeza, então queremos 1 − α/2 = 0, 90
√
O IC parcial será dado por µ̂ − t90%;n−1 σ/ n, µ̂ e, por construção,
P{µ > L(α)} = 1 − α/2 = 0, 90, que procuramos.
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Exemplo
Uma empresa mantém um portfólio de possı́veis interessados em determinada vaga
técnica. Sabe-se que a média de idade considerando todos os inúmeros candidatos é
de 30 anos com desvio padrão de 10 anos. Quantos candidatos devem ser
aleatoriamente chamados para que a idade média dos chamados seja de pelo menos
28 anos com 99% de certeza?
A solução é obtida com P{µ > L(α)} = 1 − α/2 = 0, 99, e o limite L(α) > 28 anos
No cálculo do IC parcial, como estaremos usando a variância da população para
µ̂−µ
√ e assumir o comportamento de uma N(0, 1), o percentil
formar a variável Zn = σ/
n
da normal unitária deverá ser usado no lugar do percentil da t-Student. Espera-se que
n seja grande o suficiente para que a aproximação do comportamento de Zn seja boa.
Obtendo o percentil z√
0,99 = 2, 33, temos que o limite inferior do IC parcial
L(α) = 30 − z0,99 .σ/ n > 28 ⇒ n > (z0,99 .σ/2)2 = (2, 33.5)2 = (11, 65)2 = 135, 72.
A resposta será 136 pessoas.
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Comparação de Alternativas
Intervalo de Confiança para Proporções
Sejam dadas n observações de uma população. Assuma que n1
destas observações indicam tipo 1.
A fração da população que é do tipo 1 pode ser estimada como a
proporção p = nn1 . O intervalo de confiança para a proporção
precisa ser construı́do para sabermos com que precisão estamos
avaliando a proporção.
O
de confiança
intervalo
de 100(1 − α)% será dado por
q
p ± p(1−p)
z1−α/2 = [p ± r ], onde r é a precisão.
n
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Dedução do IC para Proporções
Cada observação Xi pode ser considerada como uma variável de
Bernoulli.
P (Xi do tipo 1) = P(Xi = 1) = p, P (Xi 6= do tipo 1) = P(Xi =
0) = 1 − p
E [Xi ] = p, E [Xi2 ] = p, V (Xi ) = p(1 − p)
O estimador da proporção é dado por Sn =
1
n
Pn
i=1 Xi
i)
E [Sn ] = E [Xi ] = p, V (Sn ) = V (X
= p(1−p)
n
n
Sn −E [Sn ]
Sn −p
q
= p(1−p) tende para N(0,1).
Para n >> 1, Zn = σS
n
n
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Comparação de Alternativas
Dedução do IC para Proporções
Tomando zx como o 100x%-percentil da distribuição normal
unitária, temos:
P zα/2 ≤ Zn ≤ z1−α/2 = 1 − α


Sn − p
≤ z1−α/2  = 1 − α
P −z1−α/2 ≤ q
p(1−p)
n
r
P
p − z1−α/2
p(1 − p)
≤ Sn ≤ p + z1−α/2
n
r
p(1 − p)
n
!
=1−α
Como n é finito, para que o intervalo de confiança possa ser
considerado válido é necessário ter np ≥ 10.
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Aplicação
Se 10 dentre 1000 páginas são impressas com erro, a proporção de
páginas com erro é de p = 0, 01.
Como np = 10, o IC para a proporção pode ser calculado e será
q
0, 01 ± z 0,01.0,99
= 0, 01 ± 0, 003z1−α/2
1000
IC de 90% = [0, 005; 0, 015] = [0, 5%; 1, 5%]
IC de 95% = [0, 004; 0, 016] = [0, 4%; 1, 6%]
z1−α/2 = z0,95 = 1, 645(1 − α = 90%)
z1−α/2 = z0,975 = 1, 960(1 − α = 95%)
Pode-se afirmar com 90% de confiança que 0,5% a 1,5% das páginas
terão erro.
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Comparação de Alternativas
Assuma que duas alternativas para maximizar o resultado de um sistema estejam
disponı́veis, e que ambas podem ser testadas em n condições diferentes, permitindo a
obtenção de n pares de resultados (XAi , XBi )
Metodologia
Formar o conjunto {Di = XAi − XBi } e obter o IC da média da diferença com a
confiança desejada.
Se o IC contiver o valor ZERO, inconclusivo;
Se o IC estiver acima do ZERO, a alternativa A é considerada a melhor
(resultado de A maior do que de B);
Se o IC ficar abaixo de ZERO, a alternativa B é considerada a melhor (resultado
de B maior do que de A).
Caso o interesse seja em minimizar o resultado, a decisão fica invertida.
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Comparação de Alternativas
Quando as alternativas são testadas separadamente, em número igual de
experimentos, e apenas o IC de cada uma delas está disponı́vel, pode-se
comparar a posição dos intervalos de confiança em relação a sobreposição
completa ou parcial.
Tipos de sobreposição
Sobreposição completa ocorre quando o centro de cada intervalo
está contido no outro intervalo
Sobreposição parcial ocorre quando os intervalos de sobrepõem, mas
o centro de cada um dos intervalos não está contido no outro IC
Se apenas um dos centros estiver contido no outro IC, então temos
uma situação intermediária entre sobreposição completa e parcial.
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Melhor Alternativa
Quando não houver sobreposição ou quando houver apenas a
sobreposição parcial, a melhor alternativa será aquela que
apresentar a média maior, se o interesse é em maximizar
Se o interesse for em minimizar, a alternativa com menor
média será a escolhida
Inconclusivo
No caso de sobreposição completa ou intermediária entre
parcial e completa, não há apontar uma alternativa
claramente vencedora e o teste-t deve ser conduzido
O teste-t também deve ser utilizado quando o número de
observações de cada uma das alternativas não for o mesmo
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Teste-t
Assuma amostras XiA e XjB das alternativas A e B com tamanhos diferentes nA e nB .
O teste estima a variância da diferença e o número equivalente de graus de liberdade.
PnA
1 PnB
1 Calcule a média das amostras: X̂A = 1
i=1 XAi , X̂B = n
j=1 XBj
n
A
B
Pn
A
2
i=1
Calcule a variância das amostras: σ̂A2 =
Pn
σ̂B2
=
B
i=1
2
2
XAi
−nA (X̂A )
nA −1
2
2
XBi
−nB (X̂B )
nB −1
3
Calcule a diferença das médias: X̂A − X̂B
4
Calcule o desvio padrão da média da diferença: σ̂ 2 =
5
Calcule o # efetivo de graus de liberdade: ν =
1
nA +1
σˆA 2
nA
σ̂ 2
A
nA
+
σˆB 2
nB
(σ̂ 2 )2
!2
+ n 1+1
B
σ̂ 2
B
nB
!2
−2
X̂A − X̂B ± t1−α/2;ν .σ̂
6
Calcule o IC para a média da diferença:
7
Se o intervalo de confiança contiver o valor ZERO, a diferença entre as
alternativas A e B não é significativa com confiança de 100(1 − α)%. Se o
intervalo de confiança não contiver o valor ZERO, então o sinal da diferença
indicará o procedimento melhor.
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Referências
The Art Of Computer Systems Performance Analysis, Raj Jain,
Wiley, 1991.
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