Intervalos de confiança
• Sejam X1, X2, …, Xn i.i.d. com distribuição Fq.
Um intervalo de confiança de nível 1– a para
q é um par de estatísticas [T1(X), T2(X)] tais
que P(q  [T1(X), T2(X)] )  1– a, para todo q.
Observações
• A probabilidade da definição se refere a T1 e T2
e não a q.
• O ideal é obter intervalos de confiança em que
a probabilidade indicada é sempre igual a
1– a.
• Intervalos de confiança são normalmente
reportados através dos valores observados de
T1 e T2.
Como obter um I.C.?
• Método da quantidade pivotal
• Obter uma função S(x, q) (quantidade pivotal)
cuja distribuição independa de q.
• Escolher dois números a e b tais que
P(a ≤ S(x, q) ≤ b) = 1 – a
• Resolver a inequação obtida em termos de q.
Exemplo
• X1, X2, ..., Xn i.i.d. U[0, q]
Intervalos de confiança para
distribuição normal
X1, X2, ..., Xn i.i.d. N(m, s2)
Quatro casos:
• I.C. para m, com s2 conhecido
• I.C. para s2, com m conhecido
• I.C. para m, com s2 desconhecido
• I.C. para s2, com m desconhecido
I.C. para m, com s2 conhecido
• Aplicável quando
– a distribuição é normal e s2 é de fato conhecido,
ou
– a distribuição é normal e a amostra é grande, de
modo que se possa estimar s2 com razoável
precisão
– a distribuição não é normal, mas a amostra é
grande e deseja-se um I.C. aproximado para a
média da distribuição, usando o T.C.L.
I.C. para m, com s2 conhecido
• I.C. central
s za / 2
s za / 2 

X

,
X



n
n


• I.C. unilaterais

  ,

X
s za

X

,

n

a
s za 

n 

 

za
Exemplo
• n = 25, X = 60, s = 10, a = 0,1
Exemplo
• Em uma pesquisa de opinião com 400 pessoas,
190 foram favoráveis a uma certa proposta.
Obtenha um I.C. de nível 95% para a fração de
pessoas favoráveis na população.
I.C. para s2, com m conhecido
• I.C. central
  ( X i  m )2  ( X i  m )2 
, 2
 2

  n (a / 2)  n (1  a / 2) 
a
a
• I.C. unilaterais
  ( X i  m )2 
 0,

2


(
1

a
)

n

  ( X i  m )2


,


2

  n (a )

x2n(a)
A distribuição 2
• Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1). A distribuição
de X12 +… + Xn2 é chamada de distribuição
qui-quadrado com n graus de liberdade.
Exemplo
• n = 20, m = 60, SXi - m 2 = 90.000, a = 0,1
I.C. com m e s2 desconhecidos
•
Teorema Fundamental
Sejam X1, …, Xn i.i.d. N(0,1).



S (Xi – X)2 e X são independentes
S (Xi – X)2 tem distribuição 2n-1
nX
 (Xi  X )
n 1
2

nX
S
tem distribuição tn-1
A distribuição t de Student
• Sejam X e Y variáveis independentes, X com
distribuição N(0,1) e Y com distribuição 2n. A
distribuição de
X
Y /n
é chamada de distribuição t de Student com n graus de
liberdade.
Observação
No caso de X1, …, Xn i.i.d. N(m,s2).
 S (Xi – X)2 e X são independentes
 S (Xi – X)2/s2 tem distribuição 2n-1

n( X  m) /s
(X
 X)
s 2 (n  1)
i
2

n( X  m)
S
tem distribuição tn-1
I.C. para m, com s2 desconhecido
• I.C. central
S tn1 (a / 2)
S tn1 (a / 2) 

X

,
X



n
n


• I.C. unilaterais

  ,

X
S tn1 (a ) 

n 
S tn1 (a )

X

,

n


 

I.C. para s2, com m desconhecido
• I.C. central
  ( X i  X )2  ( X i  X )2 
, 2
 2

  n1 (a / 2)  n1 (1  a / 2) 
• I.C. unilaterais
2

(
X

X
)

i
  ,

2

 n1 (1  a ) 

  ( X i  X )2


,


2

  n 1 (a )

Exemplo
• Obter I.C. de nível 95% para m e s2 para o caso
em que n = 16, SXi = 960 e SXi2 = 70.000