Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Aplicações do R
na Inferência Estatı́stica
Silvano Cesar da Costa
Departamento de Estatı́stica
Universidade Estadual de Londrina
10 de maio de 2013
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Tópicos a serem abordados
Intervalos de Confiança
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Tópicos a serem abordados
Intervalos de Confiança
Testes de Hipóteses
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Conceito:
Os estimadores pontuais especificam um único valor para o parâmetro. Esse procedimento não permite julgar qual a possı́vel
magnitude do erro que se está cometendo. Assim, surge a idéia de
construir intervalos de confiança, que serão baseados na distribuição
amostral do estimador pontual.
Seja Y1 , Y2 , . . . , Yn uma amostra aleatória de tamanho n de uma
população e θ o parâmetro de interesse. Sejam θ̂1 e θ̂2 estatı́sticas
tais que:
h
i
P θ̂1 ≤ θ ≤ θ̂2 = 1 − α.
Usualmente toma-se 1 − α = 0, 95 ou 0, 99.
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Conceito
Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Considerando uma única população
Intervalos de Confiança:
para a média µ;
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Considerando uma única população
Intervalos de Confiança:
para a média µ;
para a variância σ 2 ;
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Considerando uma única população
Intervalos de Confiança:
para a média µ;
para a variância σ 2 ;
para o desvio padrão σ;
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Considerando uma única população
Intervalos de Confiança:
para a média µ;
para a variância σ 2 ;
para o desvio padrão σ;
para a proporção π.
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Considerando uma única população
Intervalos de Confiança:
para a média µ;
para a variância σ 2 ;
para o desvio padrão σ;
para a proporção π.
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Conceito
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Intervalo
de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ 2 ), então Ȳ ∼ N(µ, σ 2 /n),
portanto, o que se procura é determinar um intervalo, tal que:
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ 2 ), então Ȳ ∼ N(µ, σ 2 /n),
portanto, o que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P ȳ1 ≤ Ȳ ≤ ȳ2 = P [−z1 ≤ Z ≤ z2 ] = 1 − α.
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ 2 ), então Ȳ ∼ N(µ, σ 2 /n),
portanto, o que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P ȳ1 ≤ Ȳ ≤ ȳ2 = P [−z1 ≤ Z ≤ z2 ] = 1 − α.
Substituindo-se Z =
ȳ − µ
√ , tem-se:
σ/ n
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ 2 ), então Ȳ ∼ N(µ, σ 2 /n),
portanto, o que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P ȳ1 ≤ Ȳ ≤ ȳ2 = P [−z1 ≤ Z ≤ z2 ] = 1 − α.
Substituindo-se Z =
ȳ − µ
√ , tem-se:
σ/ n
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
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Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Conhecida
σ 2 conhecida, ou
n ≥ 30.
Sabe-se que se Y ∼ N(µ, σ 2 ), então Ȳ ∼ N(µ, σ 2 /n),
portanto, o que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P ȳ1 ≤ Ȳ ≤ ȳ2 = P [−z1 ≤ Z ≤ z2 ] = 1 − α.
Substituindo-se Z =
ȳ − µ
√ , tem-se:
σ/ n
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
O peso de suı́nos da raça Wessex, logo após o desmame, tem
distribuição normal com desvio-padrão 10 kg . Um conjunto
de 10 animais teve um peso médio de 9, 1 kg . Determinar o
I.C. para a média de pesos dos suı́nos dessa raça, logo após o
desmame, ao nı́vel de 95% de confiança.
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
O peso de suı́nos da raça Wessex, logo após o desmame, tem
distribuição normal com desvio-padrão 10 kg . Um conjunto
de 10 animais teve um peso médio de 9, 1 kg . Determinar o
I.C. para a média de pesos dos suı́nos dessa raça, logo após o
desmame, ao nı́vel de 95% de confiança.
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
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de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
O peso de suı́nos da raça Wessex, logo após o desmame, tem
distribuição normal com desvio-padrão 10 kg . Um conjunto
de 10 animais teve um peso médio de 9, 1 kg . Determinar o
I.C. para a média de pesos dos suı́nos dessa raça, logo após o
desmame, ao nı́vel de 95% de confiança.
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
10
10
P 9, 1 − 1, 96 √ ≤ µ ≤ 9, 1 + 1, 96 √
= 0, 95
10
10
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Conceito
Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
O peso de suı́nos da raça Wessex, logo após o desmame, tem
distribuição normal com desvio-padrão 10 kg . Um conjunto
de 10 animais teve um peso médio de 9, 1 kg . Determinar o
I.C. para a média de pesos dos suı́nos dessa raça, logo após o
desmame, ao nı́vel de 95% de confiança.
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
10
10
P 9, 1 − 1, 96 √ ≤ µ ≤ 9, 1 + 1, 96 √
= 0, 95
10
10
P [2, 90205 ≤ µ ≤ 15, 29795]=0, 95
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Intervalo
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
O peso de suı́nos da raça Wessex, logo após o desmame, tem
distribuição normal com desvio-padrão 10 kg . Um conjunto
de 10 animais teve um peso médio de 9, 1 kg . Determinar o
I.C. para a média de pesos dos suı́nos dessa raça, logo após o
desmame, ao nı́vel de 95% de confiança.
σ
σ
P ȳ − z √ ≤ µ ≤ ȳ + z √ = 1 − α
n
n
10
10
P 9, 1 − 1, 96 √ ≤ µ ≤ 9, 1 + 1, 96 √
= 0, 95
10
10
P [2, 90205 ≤ µ ≤ 15, 29795]=0, 95
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
> pesos = c(9.1, 9.3, 7.2, 7.5, 13.3, 10.9, 7.2, 9.9, 8.0, 8.6)
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de
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para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
> pesos = c(9.1, 9.3, 7.2, 7.5, 13.3, 10.9, 7.2, 9.9, 8.0, 8.6)
> ICmc = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
z = qnorm(c(alpha/2, 1-alpha/2))
desvio = sigma
n = length(data)
media + z*desvio/sqrt(n)
}
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Conceito
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de
de
de
de
Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
> pesos = c(9.1, 9.3, 7.2, 7.5, 13.3, 10.9, 7.2, 9.9, 8.0, 8.6)
> ICmc = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
z = qnorm(c(alpha/2, 1-alpha/2))
desvio = sigma
n = length(data)
media + z*desvio/sqrt(n)
}
> sigma=10
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Intervalo
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Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
> pesos = c(9.1, 9.3, 7.2, 7.5, 13.3, 10.9, 7.2, 9.9, 8.0, 8.6)
> ICmc = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
z = qnorm(c(alpha/2, 1-alpha/2))
desvio = sigma
n = length(data)
media + z*desvio/sqrt(n)
}
> sigma=10
> ICmc(pesos)
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de
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de
de
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para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
> pesos = c(9.1, 9.3, 7.2, 7.5, 13.3, 10.9, 7.2, 9.9, 8.0, 8.6)
> ICmc = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
z = qnorm(c(alpha/2, 1-alpha/2))
desvio = sigma
n = length(data)
media + z*desvio/sqrt(n)
}
> sigma=10
> ICmc(pesos)
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de
de
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de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
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Conceito
Intervalo
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Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.z(pesos, sigma=10, summarized=FALSE)
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.z(pesos, sigma=10, summarized=FALSE)
# Com summarized = TRUE
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.z(pesos, sigma=10, summarized=FALSE)
# Com summarized = TRUE
> ci.mu.z(pesos, conf=.95, sigma=10, xbar=9.1, n=10,
summarized=TRUE)
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Intervalo
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de
de
de
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Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.z(pesos, sigma=10, summarized=FALSE)
# Com summarized = TRUE
> ci.mu.z(pesos, conf=.95, sigma=10, xbar=9.1, n=10,
summarized=TRUE)
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
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Conceito
Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
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Conceito
Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P [−t1 ≤ T ≤ t2 ] = 1 − α.
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P [−t1 ≤ T ≤ t2 ] = 1 − α.
Substituindo-se o valor de T , tem-se:
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Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P [−t1 ≤ T ≤ t2 ] = 1 − α.
Substituindo-se o valor de T , tem-se:
s
s
P ȳ − tn−1;α/2 √ ≤ µ ≤ ȳ + tn−1;α/2 √ = 1 − α
n
n
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Média
Variância Desconhecida
σ 2 desconhecida, e
n < 30.
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
Ȳ − µ
√
uma nova estatı́stica: T =
s/ n
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P [−t1 ≤ T ≤ t2 ] = 1 − α.
Substituindo-se o valor de T , tem-se:
s
s
P ȳ − tn−1;α/2 √ ≤ µ ≤ ȳ + tn−1;α/2 √ = 1 − α
n
n
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Usando o R
Para estudar a Densidade Mineral Óssea - DMO (g /cm2 ) em
cães da raça Pastor Alemão, um pesquisador coletou uma
amostra aleatória simples de 24 animais, obtendo os dados:
42,0
36,6
32,0
32,6
32,4
27,8
31,2
22,0
41,0
33,0
33,0
36,6
33,8
20,6
36,0
40,0
38,0
33,0
34,0
38,0
41,0
28,0
27,0
28,5
Supondo que a distribuição dos dados da DMO é
aproximadamente normal,
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Usando o R
Para estudar a Densidade Mineral Óssea - DMO (g /cm2 ) em
cães da raça Pastor Alemão, um pesquisador coletou uma
amostra aleatória simples de 24 animais, obtendo os dados:
42,0
36,6
32,0
32,6
32,4
27,8
31,2
22,0
41,0
33,0
33,0
36,6
33,8
20,6
36,0
40,0
38,0
33,0
34,0
38,0
41,0
28,0
27,0
28,5
Supondo que a distribuição dos dados da DMO é
aproximadamente normal,
a) determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Usando o R
Para estudar a Densidade Mineral Óssea - DMO (g /cm2 ) em
cães da raça Pastor Alemão, um pesquisador coletou uma
amostra aleatória simples de 24 animais, obtendo os dados:
42,0
36,6
32,0
32,6
32,4
27,8
31,2
22,0
41,0
33,0
33,0
36,6
33,8
20,6
36,0
40,0
38,0
33,0
34,0
38,0
41,0
28,0
27,0
28,5
Supondo que a distribuição dos dados da DMO é
aproximadamente normal,
a) determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
b) construir um intervalo de 95% de confiança para µ.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Usando o R
Para estudar a Densidade Mineral Óssea - DMO (g /cm2 ) em
cães da raça Pastor Alemão, um pesquisador coletou uma
amostra aleatória simples de 24 animais, obtendo os dados:
42,0
36,6
32,0
32,6
32,4
27,8
31,2
22,0
41,0
33,0
33,0
36,6
33,8
20,6
36,0
40,0
38,0
33,0
34,0
38,0
41,0
28,0
27,0
28,5
Supondo que a distribuição dos dados da DMO é
aproximadamente normal,
a) determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
b) construir um intervalo de 95% de confiança para µ.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
> (média.dmo = mean(do))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
> (média.dmo = mean(do))
> (variância.dmo = var(do))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
> (média.dmo = mean(do))
> (variância.dmo = var(do))
> (desvio.dmo = sd(do))
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
> (média.dmo = mean(do))
> (variância.dmo = var(do))
> (desvio.dmo = sd(do))
> (CV.dmo = desvio.dmo / média.dmo ∗ 100)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Desconhecida
Estimativas pontuais
determinar estimativas por ponto para a média e para a
variância das DMO’s desses animais;
> do = c(42.0, 36.6, 32.0, 32.6, 32.4, 27.8, 31.2, 22.0, 41.0,
33.0, 33.0, 36.6, 33.8, 20.6, 36.0, 40.0, 38.0, 33.0, 34.0, 38.0,
41.0, 28.0, 27.0, 28.5)
> (média.dmo = mean(do))
> (variância.dmo = var(do))
> (desvio.dmo = sd(do))
> (CV.dmo = desvio.dmo / média.dmo ∗ 100)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
s
s
P ȳ − t √ ≤ µ ≤ ȳ + t √ = 1 − α
n
n
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
s
s
P ȳ − t √ ≤ µ ≤ ȳ + t √ = 1 − α
n
n
5, 6369
5, 6369
√
√
P 33, 25 − 2, 07 ×
≤ µ ≤ 33, 25 + 2, 07 ×
= 0, 95
24
24
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
s
s
P ȳ − t √ ≤ µ ≤ ȳ + t √ = 1 − α
n
n
5, 6369
5, 6369
√
√
P 33, 25 − 2, 07 ×
≤ µ ≤ 33, 25 + 2, 07 ×
= 0, 95
24
24
P [30, 87 ≤ µ ≤ 35, 63]=0, 95
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Aplicando a fórmula
s
s
P ȳ − t √ ≤ µ ≤ ȳ + t √ = 1 − α
n
n
5, 6369
5, 6369
√
√
P 33, 25 − 2, 07 ×
≤ µ ≤ 33, 25 + 2, 07 ×
= 0, 95
24
24
P [30, 87 ≤ µ ≤ 35, 63]=0, 95
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
Construa uma função para o cálculo do IC.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
Construa uma função para o cálculo do IC.
> ICmd = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
n = length(data)
t = qt(c(alpha/2, 1-alpha/2), n-1)
desvio = sd(data)
media + t*desvio/sqrt(n)
}
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
Construa uma função para o cálculo do IC.
> ICmd = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
n = length(data)
t = qt(c(alpha/2, 1-alpha/2), n-1)
desvio = sd(data)
media + t*desvio/sqrt(n)
}
> ICmd(dmo)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Construindo uma função
Construa uma função para o cálculo do IC.
> ICmd = function(data, alpha=0.95){
media = mean(data)
n = length(data)
t = qt(c(alpha/2, 1-alpha/2), n-1)
desvio = sd(data)
media + t*desvio/sqrt(n)
}
> ICmd(dmo)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
Silvano Cesar da Costa
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.t(dmo)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.t(dmo)
> ci.mu.t(dmo, st.dev=desvio.dmo, xbar=média.dmo, n=n.dmo,
summarized=TRUE)
Silvano Cesar da Costa
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Variância Conhecida
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.mu.t(dmo)
> ci.mu.t(dmo, st.dev=desvio.dmo, xbar=média.dmo, n=n.dmo,
summarized=TRUE)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Distribuição Qui-Quadrado
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
uma nova estatı́stica, dada por:
Q=
(n − 1) s 2
∼ χ2n−1;α/2 .
σ2
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Distribuição Qui-Quadrado
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
uma nova estatı́stica, dada por:
Q=
(n − 1) s 2
∼ χ2n−1;α/2 .
σ2
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P(χinf ≤ Q ≤ χ2sup ) = 1 − α
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Distribuição Qui-Quadrado
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
uma nova estatı́stica, dada por:
Q=
(n − 1) s 2
∼ χ2n−1;α/2 .
σ2
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P(χinf ≤ Q ≤ χ2sup ) = 1 − α
Substituindo-se o valor de Q, tem-se:
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤σ ≤
= 1−α
χ2sup
χ2inf
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Distribuição Qui-Quadrado
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado utilizando-se
uma nova estatı́stica, dada por:
Q=
(n − 1) s 2
∼ χ2n−1;α/2 .
σ2
O que se procura é determinar um intervalo, tal que:
P(χinf ≤ Q ≤ χ2sup ) = 1 − α
Substituindo-se o valor de Q, tem-se:
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤σ ≤
= 1−α
χ2sup
χ2inf
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Exemplo
Uma amostra de 30 espessuras de toucinho (em mm) de
animais não castrados são apresentadas:
37,9 - 28,8 - 36,6 - 28,7 - 40,2 - 28,9 - 29,5 - 36,2 - 32,8 - 35,7 41,1 - 33,4 - 35,1 - 33,8 - 38,5 - 24,0 - 23,9 - 36,6 - 24,3 - 36,6 34,0 - 36,4 - 32,4 - 39,2 - 26,4 - 37,7 - 27,2 - 27,7 - 25,7 - 26,0 -
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Exemplo
Uma amostra de 30 espessuras de toucinho (em mm) de
animais não castrados são apresentadas:
37,9 - 28,8 - 36,6 - 28,7 - 40,2 - 28,9 - 29,5 - 36,2 - 32,8 - 35,7 41,1 - 33,4 - 35,1 - 33,8 - 38,5 - 24,0 - 23,9 - 36,6 - 24,3 - 36,6 34,0 - 36,4 - 32,4 - 39,2 - 26,4 - 37,7 - 27,2 - 27,7 - 25,7 - 26,0 -
A variabilidade na espessura dos toucinhos é uma medida
importante na comercialização.
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Exemplo
Uma amostra de 30 espessuras de toucinho (em mm) de
animais não castrados são apresentadas:
37,9 - 28,8 - 36,6 - 28,7 - 40,2 - 28,9 - 29,5 - 36,2 - 32,8 - 35,7 41,1 - 33,4 - 35,1 - 33,8 - 38,5 - 24,0 - 23,9 - 36,6 - 24,3 - 36,6 34,0 - 36,4 - 32,4 - 39,2 - 26,4 - 37,7 - 27,2 - 27,7 - 25,7 - 26,0 -
A variabilidade na espessura dos toucinhos é uma medida
importante na comercialização.
Determine o intervalo de confiança para a variância das
medidas do toucinho.
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Variância
Exemplo
Uma amostra de 30 espessuras de toucinho (em mm) de
animais não castrados são apresentadas:
37,9 - 28,8 - 36,6 - 28,7 - 40,2 - 28,9 - 29,5 - 36,2 - 32,8 - 35,7 41,1 - 33,4 - 35,1 - 33,8 - 38,5 - 24,0 - 23,9 - 36,6 - 24,3 - 36,6 34,0 - 36,4 - 32,4 - 39,2 - 26,4 - 37,7 - 27,2 - 27,7 - 25,7 - 26,0 -
A variabilidade na espessura dos toucinhos é uma medida
importante na comercialização.
Determine o intervalo de confiança para a variância das
medidas do toucinho.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
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Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
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Intervalo
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
> (CV.t = desvio.t / media.t * 100)
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de
de
de
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Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
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Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
> (CV.t = desvio.t / media.t * 100)
> (n.t = length(toucinho))
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de
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de
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Confiança
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Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
> (CV.t = desvio.t / media.t * 100)
> (n.t = length(toucinho))
> boxplot(toucinho, las=1, col=’lightyellow’, ylab=’Espessuras
de toucinho (mm)’, xlab=’Toucinhos’)
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Intervalo
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de
de
de
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Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
> (CV.t = desvio.t / media.t * 100)
> (n.t = length(toucinho))
> boxplot(toucinho, las=1, col=’lightyellow’, ylab=’Espessuras
de toucinho (mm)’, xlab=’Toucinhos’)
> points(media.t, pch=’+’, col=’red’, cex=1.5)
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Estimativas pontuais e gráfico
Usando o R
Espessuras dos toucinhos:
> toucinho = c(37.9, 28.8, 36.6, 28.7, 40.2, 28.9, 29.5, 36.2,
32.8, 35.7, 41.1, 33.4, 35.1, 33.8, 38.5, 24.0, 23.9, 36.6, 24.3,
36.6, 34.0, 36.4, 32.4, 39.2, 26.4, 37.7, 27.2, 27.7, 25.7, 26.0)
> (media.t = mean(toucinho))
> (var.t = var(toucinho))
> (desvio.t = sd(toucinho))
> (CV.t = desvio.t / media.t * 100)
> (n.t = length(toucinho))
> boxplot(toucinho, las=1, col=’lightyellow’, ylab=’Espessuras
de toucinho (mm)’, xlab=’Toucinhos’)
> points(media.t, pch=’+’, col=’red’, cex=1.5)
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Aplicando a fórmula
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤
σ
≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
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Conceito
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Aplicando a fórmula
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤
σ
≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
(30 − 1) × 27, 9961
(30 − 1) × 27, 9961
2
P
≤σ ≤
= 0, 95
45, 7223
16, 0407
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Aplicando a fórmula
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤
σ
≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
(30 − 1) × 27, 9961
(30 − 1) × 27, 9961
2
P
≤σ ≤
= 0, 95
45, 7223
16, 0407
P 17, 7569 ≤ σ 2 ≤ 50, 5941 = 0, 95
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Aplicando a fórmula
(n − 1) s 2
(n − 1) s 2
2
P
≤
σ
≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
(30 − 1) × 27, 9961
(30 − 1) × 27, 9961
2
P
≤σ ≤
= 0, 95
45, 7223
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P 17, 7569 ≤ σ 2 ≤ 50, 5941 = 0, 95
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
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Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
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Conceito
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Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
(q.tabela = qchisq(c(1-alpha/2, alpha/2), df=n - 1))
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Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
(q.tabela = qchisq(c(1-alpha/2, alpha/2), df=n - 1))
(n-1)*variancia / q.tabela
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Intervalo
Intervalo
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de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
(q.tabela = qchisq(c(1-alpha/2, alpha/2), df=n - 1))
(n-1)*variancia / q.tabela
}
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
(q.tabela = qchisq(c(1-alpha/2, alpha/2), df=n - 1))
(n-1)*variancia / q.tabela
}
> ICvar(toucinho)
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Construindo uma função
> ICvar = function(dados, alpha=0.95){
variancia = var(dados)
n = length(dados)
(q.tabela = qchisq(c(1-alpha/2, alpha/2), df=n - 1))
(n-1)*variancia / q.tabela
}
> ICvar(toucinho)
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Usando o pacote do R
> require(asbio)
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Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.sigma(toucinho)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
IC para a Variância
Usando o pacote do R
> require(asbio)
> ci.sigma(toucinho)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
Usando o R
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado extraindo-se a
raiz quadrada dos valores calculados para o intervalo de
confiança para a variância.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
Usando o R
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado extraindo-se a
raiz quadrada dos valores calculados para o intervalo de
confiança para a variância.
Logo, o I .C .(σ) é dado por:
s
"s
#
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
P
≤σ≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
Usando o R
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado extraindo-se a
raiz quadrada dos valores calculados para o intervalo de
confiança para a variância.
Logo, o I .C .(σ) é dado por:
s
"s
#
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
P
≤σ≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
No R, o comando é:
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
Usando o R
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado extraindo-se a
raiz quadrada dos valores calculados para o intervalo de
confiança para a variância.
Logo, o I .C .(σ) é dado por:
s
"s
#
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
P
≤σ≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
No R, o comando é:
> sqrt(ICvar(toucinho))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para o Desvio-Padrão
Usando o R
Neste caso, o intervalo de confiança é calculado extraindo-se a
raiz quadrada dos valores calculados para o intervalo de
confiança para a variância.
Logo, o I .C .(σ) é dado por:
s
"s
#
(n − 1)s 2
(n − 1)s 2
P
≤σ≤
=1−α
χ2sup
χ2inf
No R, o comando é:
> sqrt(ICvar(toucinho))
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Para n suficientemente grande (n > 30), p terá distribuição
aproximadamente normal:
π(1 − π)
p−π
a
p ∼ N π,
⇒z = q
n
π(1−π)
∼ N(0, 1)
n
a
em que ∼ significa aproximadamente distribuı́do.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Para n suficientemente grande (n > 30), p terá distribuição
aproximadamente normal:
π(1 − π)
p−π
a
p ∼ N π,
⇒z = q
n
π(1−π)
∼ N(0, 1)
n
a
em que ∼ significa aproximadamente distribuı́do.
Portanto,
"
P p−z
r
π(1 − π)
≤π ≤p+z
n
Silvano Cesar da Costa
r
#
π(1 − π)
=1−α
n
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Para n suficientemente grande (n > 30), p terá distribuição
aproximadamente normal:
π(1 − π)
p−π
a
p ∼ N π,
⇒z = q
n
π(1−π)
∼ N(0, 1)
n
a
em que ∼ significa aproximadamente distribuı́do.
Portanto,
"
P p−z
r
π(1 − π)
≤π ≤p+z
n
Silvano Cesar da Costa
r
#
π(1 − π)
=1−α
n
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Como não se conhece o valor de π, uma forma de se proceder
é substituir π(1 − π) por p(1 − p).
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Como não se conhece o valor de π, uma forma de se proceder
é substituir π(1 − π) por p(1 − p).
Portanto, o intervalo de confiança fica:
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Como não se conhece o valor de π, uma forma de se proceder
é substituir π(1 − π) por p(1 − p).
Portanto, o intervalo de confiança fica:
"
P p−z
r
p(1 − p)
≤π ≤p+z
n
Silvano Cesar da Costa
r
#
p(1 − p)
=1−α
n
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Como não se conhece o valor de π, uma forma de se proceder
é substituir π(1 − π) por p(1 − p).
Portanto, o intervalo de confiança fica:
"
P p−z
r
p(1 − p)
≤π ≤p+z
n
Silvano Cesar da Costa
r
#
p(1 − p)
=1−α
n
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
> require(asbio)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
> require(asbio)
> (p = 20/25)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
> require(asbio)
> (p = 20/25)
> (s = sqrt(p ∗ (1-p)/25))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
>
>
>
>
require(asbio)
(p = 20/25)
(s = sqrt(p ∗ (1-p)/25))
ci.p(summarized=T, phat=p, S.phat=s, n=25)
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Exemplo
Uma amostra de 25 indivı́duos que tomaram vacina contra
gripe foi sorteada e testes foram feitos para verificar a
imunização ou não desses indivı́duos. Desses, 20 ficaram
imunes a doença. Determine o intervalo de confiança para a
proporção de pessoas imunizadas contra a doença, ao nı́vel de
95% de confiança.
>
>
>
>
require(asbio)
(p = 20/25)
(s = sqrt(p ∗ (1-p)/25))
ci.p(summarized=T, phat=p, S.phat=s, n=25)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
> CL = 0.95 # definindo o nı́vel de confiança
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
> CL = 0.95 # definindo o nı́vel de confiança
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = ‘all’)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
> CL = 0.95 # definindo o nı́vel de confiança
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = ‘all’)
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = c(“exact”,
“asymptotic”, “prop.test”))
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
> CL = 0.95 # definindo o nı́vel de confiança
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = ‘all’)
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = c(“exact”,
“asymptotic”, “prop.test”))
> binom.confint(20, 25, .95, methods = c(“all”))
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Conceito
Intervalo
Intervalo
Intervalo
Intervalo
de
de
de
de
Confiança
Confiança
Confiança
Confiança
para
para
para
para
a
a
o
a
Média
Variância
Desvio-Padrão
Proporção
Intervalo de Confiança para a Proporção
Usando o pacote binom
> require(binom)
> n = 25 # definindo o tamanho da amostra
> y = 20 # definindo o número de sucessos do evento
> CL = 0.95 # definindo o nı́vel de confiança
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = ‘all’)
> binom.confint(y, n, conf.level = CL, methods = c(“exact”,
“asymptotic”, “prop.test”))
> binom.confint(20, 25, .95, methods = c(“all”))
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Considerando duas populações
Intervalos de Confiança:
para a diferença entre médias (µ1 − µ2 );
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Considerando duas populações
Intervalos de Confiança:
para a diferença entre médias (µ1 − µ2 );
para a diferença entre proporções (π1 − π2 ).
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Variâncias Desconhecidas
Teste para amostras independentes;
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Variâncias Desconhecidas
Teste para amostras independentes;
I as variâncias são homogêneas;
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Variâncias Desconhecidas
Teste para amostras independentes;
I as variâncias são homogêneas;
I as variâncias não são homogêneas;
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Variâncias Desconhecidas
Teste para amostras independentes;
I as variâncias são homogêneas;
I as variâncias não são homogêneas;
Teste para amostras dependentes.
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Variâncias Desconhecidas
Teste para amostras independentes;
I as variâncias são homogêneas;
I as variâncias não são homogêneas;
Teste para amostras dependentes.
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As seguintes pressuposições devem ser observadas para a
realização deste teste:
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As seguintes pressuposições devem ser observadas para a
realização deste teste:
i) as amostras de cada população investigada devem ser
aleatórias e independentes;
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As seguintes pressuposições devem ser observadas para a
realização deste teste:
i) as amostras de cada população investigada devem ser
aleatórias e independentes;
ii) as variâncias da duas populações, ou seja, σ12 e σ22 não são
conhecidas, porém deve-se admitir que elas são iguais, isto é,
σ12 = σ22 ;
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As seguintes pressuposições devem ser observadas para a
realização deste teste:
i) as amostras de cada população investigada devem ser
aleatórias e independentes;
ii) as variâncias da duas populações, ou seja, σ12 e σ22 não são
conhecidas, porém deve-se admitir que elas são iguais, isto é,
σ12 = σ22 ;
iii) as variáveis das populações de onde as amostras foram
selecionadas devem apresentar distribuição aproximadamente
normal.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As seguintes pressuposições devem ser observadas para a
realização deste teste:
i) as amostras de cada população investigada devem ser
aleatórias e independentes;
ii) as variâncias da duas populações, ou seja, σ12 e σ22 não são
conhecidas, porém deve-se admitir que elas são iguais, isto é,
σ12 = σ22 ;
iii) as variáveis das populações de onde as amostras foram
selecionadas devem apresentar distribuição aproximadamente
normal.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As variâncias populacionais são desconhecidas, porém
consideradas homogêneas.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As variâncias populacionais são desconhecidas, porém
consideradas homogêneas.
Aplica-se a equação dada por:
r
IC (µ1 − µ2 ) = (y¯1 − y¯2 ) ± ttab Sp
Silvano Cesar da Costa
1
1
+
=1−α
n1 n2
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As variâncias populacionais são desconhecidas, porém
consideradas homogêneas.
Aplica-se a equação dada por:
r
IC (µ1 − µ2 ) = (y¯1 − y¯2 ) ± ttab Sp
1
1
+
=1−α
n1 n2
sendo a variância conjunta, Sp2 dada por:
Sp2 =
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras independentes
As variâncias populacionais são desconhecidas, porém
consideradas homogêneas.
Aplica-se a equação dada por:
r
IC (µ1 − µ2 ) = (y¯1 − y¯2 ) ± ttab Sp
1
1
+
=1−α
n1 n2
sendo a variância conjunta, Sp2 dada por:
Sp2 =
(n1 − 1)S12 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
Um pesquisador quer verificar se os pesos ao nascer de
animais machos das raças Gir e Guzerá diferem. Foram
pesados 10 animais de cada raça. Testar, ao nı́vel de 5% de
significância, se as raças diferem. Os pesos observados são:
Guzerá
Gir
30
23
26
21
25
20
23
20
Silvano Cesar da Costa
25
23
29
26
34
22
30
27
30
26
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
31
27
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
Um pesquisador quer verificar se os pesos ao nascer de
animais machos das raças Gir e Guzerá diferem. Foram
pesados 10 animais de cada raça. Testar, ao nı́vel de 5% de
significância, se as raças diferem. Os pesos observados são:
Guzerá
Gir
30
23
26
21
25
20
23
20
25
23
29
26
34
22
30
27
30
26
Construa o intervalo de confiança, ao nı́vel de 95% de
confiança, para a diferença entre as médias.
Silvano Cesar da Costa
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31
27
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
Um pesquisador quer verificar se os pesos ao nascer de
animais machos das raças Gir e Guzerá diferem. Foram
pesados 10 animais de cada raça. Testar, ao nı́vel de 5% de
significância, se as raças diferem. Os pesos observados são:
Guzerá
Gir
30
23
26
21
25
20
23
20
25
23
29
26
34
22
30
27
30
26
Construa o intervalo de confiança, ao nı́vel de 95% de
confiança, para a diferença entre as médias.
Silvano Cesar da Costa
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31
27
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
> Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
> Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
> Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
> Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
> Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
> mean(Guzerá) ; mean(Gir)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
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entre Médias
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A entrada de dados é:
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
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entre Médias
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A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
Silvano Cesar da Costa
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entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
boxplot(Guzerá, Gir, names=c(‘Guzerá’, ‘Gir’), las=1,
ylab=‘Pesos ao Nascer (kg)’, xlab=‘Raças’)
Silvano Cesar da Costa
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entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
boxplot(Guzerá, Gir, names=c(‘Guzerá’, ‘Gir’), las=1,
ylab=‘Pesos ao Nascer (kg)’, xlab=‘Raças’)
> points(c(mean(Guzerá), mean(Gir)), pch=‘+’, col=‘red’,
cex=2)
Silvano Cesar da Costa
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entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
boxplot(Guzerá, Gir, names=c(‘Guzerá’, ‘Gir’), las=1,
ylab=‘Pesos ao Nascer (kg)’, xlab=‘Raças’)
> points(c(mean(Guzerá), mean(Gir)), pch=‘+’, col=‘red’,
cex=2)
> var.test(Guzerá, Gir)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
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A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
boxplot(Guzerá, Gir, names=c(‘Guzerá’, ‘Gir’), las=1,
ylab=‘Pesos ao Nascer (kg)’, xlab=‘Raças’)
> points(c(mean(Guzerá), mean(Gir)), pch=‘+’, col=‘red’,
cex=2)
> var.test(Guzerá, Gir)
> t.test(Guzerá, Gir, var.equal=T)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Usando o R
A entrada de dados é:
>
>
>
>
>
>
Guzerá = c(30, 26, 25, 23, 25, 29, 34, 30, 30, 31)
Gir = c(23, 21, 20, 20, 23, 26, 22, 27, 26, 27)
mean(Guzerá) ; mean(Gir)
var(Guzerá) ; var(Gir)
sd(Guzerá) ; sd(Gir)
boxplot(Guzerá, Gir, names=c(‘Guzerá’, ‘Gir’), las=1,
ylab=‘Pesos ao Nascer (kg)’, xlab=‘Raças’)
> points(c(mean(Guzerá), mean(Gir)), pch=‘+’, col=‘red’,
cex=2)
> var.test(Guzerá, Gir)
> t.test(Guzerá, Gir, var.equal=T)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Teste para duas amostras independentes
Caso as variâncias não sejam homogêneas é aplicada a
aproximação de Satterthwaite (ou Welch) para os graus de
liberdade usados, dado por:
2
s22
s12
+
n1 n2
ν = 2 2
s12
s22
n1
n2
+
n1 − 1
n2 − 1
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Teste para duas amostras independentes
Caso as variâncias não sejam homogêneas é aplicada a
aproximação de Satterthwaite (ou Welch) para os graus de
liberdade usados, dado por:
2
s22
s12
+
n1 n2
ν = 2 2
s12
s22
n1
n2
+
n1 − 1
n2 − 1
A estatı́stica de teste fica:

s
IC (µ1 − µ2 ) = (ȳ1 − ȳ2 ) − ttab
Silvano Cesar da Costa
s12
n1

+
s22 
n2
=1−α
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Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Teste para duas amostras independentes
Caso as variâncias não sejam homogêneas é aplicada a
aproximação de Satterthwaite (ou Welch) para os graus de
liberdade usados, dado por:
2
s22
s12
+
n1 n2
ν = 2 2
s12
s22
n1
n2
+
n1 − 1
n2 − 1
A estatı́stica de teste fica:

s
IC (µ1 − µ2 ) = (ȳ1 − ȳ2 ) − ttab
Silvano Cesar da Costa
s12
n1

+
s22 
n2
=1−α
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
É utilizado quando o mesmo grupo de elementos é submetido
a algum tipo de tratamento em duas situações distintas (ou
dois tempos distintos).
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
É utilizado quando o mesmo grupo de elementos é submetido
a algum tipo de tratamento em duas situações distintas (ou
dois tempos distintos).
O intervalo de confiança é dado por:
1
I .C .(µ1 − µ2 ) = d̄ ± ttab sd √ = 1 − α
n
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a Diferença
entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
É utilizado quando o mesmo grupo de elementos é submetido
a algum tipo de tratamento em duas situações distintas (ou
dois tempos distintos).
O intervalo de confiança é dado por:
1
I .C .(µ1 − µ2 ) = d̄ ± ttab sd √ = 1 − α
n
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
I.C. para a Diferença entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
Andrade & Ogliari (2007) apresentam um experimento
conduzido para estudar o conteúdo de hemoglobina no sangue
de suı́nos com deficiência de niacina. Aplicaram-se 20 mg de
niacina em oito suı́nos. Os nı́veis de hemoglobina no sangue
foram mensurados antes e depois da aplicação da niacina. Os
resultados obtidos no experimento foram:
Animal
Antes
Depois
1
12,4
10,4
2
13,6
11,4
3
13,6
12,5
Silvano Cesar da Costa
4
14,7
14,6
5
12,3
13,0
6
12,2
11,7
7
13,0
10,3
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
8
11,4
9,8
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
I.C. para a Diferença entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
Andrade & Ogliari (2007) apresentam um experimento
conduzido para estudar o conteúdo de hemoglobina no sangue
de suı́nos com deficiência de niacina. Aplicaram-se 20 mg de
niacina em oito suı́nos. Os nı́veis de hemoglobina no sangue
foram mensurados antes e depois da aplicação da niacina. Os
resultados obtidos no experimento foram:
Animal
Antes
Depois
1
12,4
10,4
2
13,6
11,4
3
13,6
12,5
4
14,7
14,6
5
12,3
13,0
6
12,2
11,7
7
13,0
10,3
8
11,4
9,8
Construa o intervalo de confiança para a diferença entre as
médias, ano nı́vel de 95% de confiança.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
I.C. para a Diferença entre Médias
Teste para duas amostras dependentes (pareadas)
Andrade & Ogliari (2007) apresentam um experimento
conduzido para estudar o conteúdo de hemoglobina no sangue
de suı́nos com deficiência de niacina. Aplicaram-se 20 mg de
niacina em oito suı́nos. Os nı́veis de hemoglobina no sangue
foram mensurados antes e depois da aplicação da niacina. Os
resultados obtidos no experimento foram:
Animal
Antes
Depois
1
12,4
10,4
2
13,6
11,4
3
13,6
12,5
4
14,7
14,6
5
12,3
13,0
6
12,2
11,7
7
13,0
10,3
8
11,4
9,8
Construa o intervalo de confiança para a diferença entre as
médias, ano nı́vel de 95% de confiança.
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
> (medias = tapply(Resp, Fases, mean))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
> (medias = tapply(Resp, Fases, mean))
> boxplot(Resp ∼ Fases, data=niacina, las=1,
col=‘lightYellow’, xlab=‘Situação’, ylab=‘Hemoglobina no
Sangue’, names=c(‘Antes’, ‘Depois’))
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
> (medias = tapply(Resp, Fases, mean))
> boxplot(Resp ∼ Fases, data=niacina, las=1,
col=‘lightYellow’, xlab=‘Situação’, ylab=‘Hemoglobina no
Sangue’, names=c(‘Antes’, ‘Depois’))
> points(medias, pch=‘+’, col=‘red’, cex=2)
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
> (medias = tapply(Resp, Fases, mean))
> boxplot(Resp ∼ Fases, data=niacina, las=1,
col=‘lightYellow’, xlab=‘Situação’, ylab=‘Hemoglobina no
Sangue’, names=c(‘Antes’, ‘Depois’))
> points(medias, pch=‘+’, col=‘red’, cex=2)
> t.test(Resp Fases, paired=T)
Silvano Cesar da Costa
Aplicações do R na Inferência Estatı́stica
Intervalos de Confiança
Intervalos de Confiança
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Amostras dependentes (pareadas)
Usando o R
> rm(list=ls())
> Fases = rep(c(‘A’, ‘D’), each=8)
> Resp = c(13.6, 13.6, 14.7, 12.1, 12.3, 13.2, 11.0, 12.4, 11.4,
12.5, 14.6, 13.0, 11.7, 10.3, 9.8, 10.4)
> (niacina = data.frame(Fases, Resp)) ; attach(niacina)
> (medias = tapply(Resp, Fases, mean))
> boxplot(Resp ∼ Fases, data=niacina, las=1,
col=‘lightYellow’, xlab=‘Situação’, ylab=‘Hemoglobina no
Sangue’, names=c(‘Antes’, ‘Depois’))
> points(medias, pch=‘+’, col=‘red’, cex=2)
> t.test(Resp Fases, paired=T)
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
Sejam π1 e π2 as verdadeiras proporções populacionais. O
interesse do pesquisador está na diferença entre as duas
proporções (π1 − π2 ).
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
Sejam π1 e π2 as verdadeiras proporções populacionais. O
interesse do pesquisador está na diferença entre as duas
proporções (π1 − π2 ).
As estimativas de π1 e π2 são dadas por:
p1 =
y1
n1
Silvano Cesar da Costa
e
p2 =
y2
n2
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Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
Sejam π1 e π2 as verdadeiras proporções populacionais. O
interesse do pesquisador está na diferença entre as duas
proporções (π1 − π2 ).
As estimativas de π1 e π2 são dadas por:
p1 =
y1
n1
e
p2 =
y2
n2
Portanto, uma estimativa natural da diferença entre
proporções é dada por (p1 − p2 ).
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
Sejam π1 e π2 as verdadeiras proporções populacionais. O
interesse do pesquisador está na diferença entre as duas
proporções (π1 − π2 ).
As estimativas de π1 e π2 são dadas por:
p1 =
y1
n1
e
p2 =
y2
n2
Portanto, uma estimativa natural da diferença entre
proporções é dada por (p1 − p2 ).
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
O intervalo de confiança é dado por:

s
I .C .(π1 − π2 ) = (p1 − p2 ) ± z
Silvano Cesar da Costa

p1 (1 − p1 )
p2 (1 − p2 ) 
+
= 1 − α.
n1
n2
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Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Distribuição Z
O intervalo de confiança é dado por:

s
I .C .(π1 − π2 ) = (p1 − p2 ) ± z
Silvano Cesar da Costa

p1 (1 − p1 )
p2 (1 − p2 ) 
+
= 1 − α.
n1
n2
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a Diferença entre Médias
Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
Silvano Cesar da Costa
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Intervalos de Confiança
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Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
> y1 = 78 ; n1 = 100
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Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
> y1 = 78 ; n1 = 100
> y2 = 90 ; n2 = 100
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Intervalo de Confiança para a diferença entre Proporções
Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
> y1 = 78 ; n1 = 100
> y2 = 90 ; n2 = 100
> p1 = y1 /n1 ; p2 = y2 /n2
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Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
>
>
>
>
y1 = 78 ; n1 = 100
y2 = 90 ; n2 = 100
p1 = y1 /n1 ; p2 = y2 /n2
erro = sqrt(p1 × (1 − p1 )/n1 + p2 × (1 − p2 )/n2 )
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Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
>
>
>
>
>
y1 = 78 ; n1 = 100
y2 = 90 ; n2 = 100
p1 = y1 /n1 ; p2 = y2 /n2
erro = sqrt(p1 × (1 − p1 )/n1 + p2 × (1 − p2 )/n2 )
(p1 − p2 ) + qnorm(c(.025, 0.975)) ∗ erro
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Proporções
Usando o R
Uma amostra de 200 animais sofrendo de uma certa doença
foram aleatoriamente divididos em dois grupos. Do primeiro
grupo, que recebeu o tratamento padrão (n = 100), 78 se
recuperaram em 3 dias. Do segundo grupo, que recebeu um
novo método de tratamento, 90 se recuperaram em 3 dias.
Construa um intervalo de confiança, ao nı́vel de 95%, para a
verdadeira diferença entre proporções.
>
>
>
>
>
y1 = 78 ; n1 = 100
y2 = 90 ; n2 = 100
p1 = y1 /n1 ; p2 = y2 /n2
erro = sqrt(p1 × (1 − p1 )/n1 + p2 × (1 − p2 )/n2 )
(p1 − p2 ) + qnorm(c(.025, 0.975)) ∗ erro
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Intervalo de Confiança para a razão entre
Proporções
De forma direta
> recup = c(78, 90)
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Proporções
De forma direta
> recup = c(78, 90)
> animais = c(100, 100)
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Proporções
De forma direta
> recup = c(78, 90)
> animais = c(100, 100)
> prop.test(recup, animais, correct=F)
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Proporções
De forma direta
> recup = c(78, 90)
> animais = c(100, 100)
> prop.test(recup, animais, correct=F)
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