Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
EE400 - MÉTODOS DA ENGENHARIA ELÉTRICA
1a Lista - Prof. Luís Meloni - 1o Semestre de 2010
1. Sejam A = [2,-1,4], B = [1,0,3] e C = [3,-1,1]. Calcule:
(a)
(b)
(c)
(d)
B . (A+C)
|3A + 2B|
(A – B).C
|A| + |B| + |C|
(e) A componente de A na direção de B
(f) cossenos diretores de A + C
(g) (A x B) x C
(h) B(A .C) – C(A . B)
2. Encontre os ângulos do triângulo de vértices (0,0,0) , (1,2,3) e (4,-1,3).
3. Determinar se os seguintes vetores são linearmente dependentes ou independentes:
(a) [6,1,0] , [5,-2,-1] e [3,7,-11].
(b) [2,1,3] , [3,1,2] e [5,2,5].
(c) [1,2,2], [17, 34, 34], [0,0,0]
4. Calcule a primeira e segunda derivada de [4cos 2t, 4sen t, 2t²-t]
5. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
(a) 4x² i + 9z² j + xyz k
(b) [sen x cosh y, cos x senh y]
x
x
(c) [e cos y, e sin y]
6. Encontre os comprimentos das seguintes curvas:
(a) r(t) = [2cos t, 2sen t, 6t] de (2,0,0) a (2,0, 24π)
(b) r(t) = t i + cosh t j , de t = 0 a t = 1
7. Encontre o gradiente e o seu valor em P:
(a) f = ln(x² + y²) , P: (4,3)
(b) f = x² + 4y² + 9z², P: (3,2,1)
8. Encontre um vetor normal a superfície x² + 3y² + z² = 28 no ponto P: (4,1,3)
9. Encontre a derivada direcional de f em P na direção de a
(a) f = x² + y² + z², P: (2, -2, 1), a = [-1,-1,0]
-1/2
(b) f = (x² + y² + z²)
, P: (4,2,-4), a = [1,2,-2]
10. Seja v = [y, z, 4z-x], w = [y², z², x²]. Calcule
(a) div v
(b) rot w
(c) div (v x w)
(d) rot (v x w) + rot (w x v)
11. Calcule as integrais de linha
(a)
(b)
𝑐
𝑓(𝑟). 𝑑𝑟 para f(r) = [x², y², 0] e C o semicírculo de (2,0) a (-2,0), y≥0.
𝑓(𝑟). 𝑑𝑟 para f(r) = [x,-z, 2y] ao longo do triângulo de (0,0,0) a (1,1,0), de (1,1,0) a (1,1,1), e
de (1,1,1) a (0,0,0)
𝑐
12. Determine as integrais duplas:
(a)
1 1−𝑥²
𝑥²𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0 1−𝑥
(b)
𝜋/4 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦
0
0
𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑦
13. Calcule a integral de linha de F = [y sen x, 2x cos y] usando o Teorema de Green, com a região
R sendo o quadrado de vértices (0,0), (π/2,0), (π/2, π/2), (0, π/2).
14. Sendo F = [x², y², z²] , calcule 𝑆 𝑭. 𝒏 𝑑𝐴, onde S é a superfície dada por S: x + y + z = 4, x ≥ 0,
y ≥ 0, z ≥ 0 e n é o vetor unitário normal externo.
15. Encontre 𝑆 𝑭. 𝒏 𝑑𝐴 usando o teorema da divergência de Gauss, sendo F = [3xy², yx² - y³,
3zx²], e S a superfície de x² + y² ≤ 25, 0 ≤ z ≤ 2.
16. Verifique o teorema de Stokes calculando as integrais de linha e de superfície para F = [y³, -x³,
0] e S: x² + y² ≤ 1, z = 0.
17. Transforme
(a) f = xi + yj + zk em coordenadas esféricas.
(b) f = yxi em coordenadas cilíndricas.
(c) f = ρeρ + ρeϕ em coordenadas retangulares.