1
PROPORCIONALIDADE
Razão
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo número.
a : b ou
Em uma razão
a
b
a
temos que:
b
a → antecedente
b → consequente
A razão
a
é lida como “a está para b”.
b
Proporção
Chamamos de proporção a igualdade de duas ou mais razões.
a
c
=
b
d
Em uma proporção é comum nomear seus termos.
Propriedade 1
Temos ainda que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja,
a
c
=
⇒ a.d = c.b
b
d
Propriedade 2
A proporção continua válida se somarmos ou subtrairmos os antecedentes e consequentes.
a
=
b
1. Calcule x e y na proporção
9
x
 =
4
y
x − y =
15

c
=
d
a+c
=
b+d
a −c
b−d
x
9
sabendo-se que x – y = 15.
=
y
4
x−y
9−4
15
5
=
⇒
=
⇒ y = 12 ⇒ x = 27
y
4
y
4
2
2. Calcule x e y na proporção
y
y
sabendo-se que x + y = 36.
=
4
5
y
x
 =
5
4
 x + y =
36
x
y
x+y
== =
4
5
4+5
x
= 4 ⇒ x =16
4
y
= 4 ⇒ y = 20
5
x+y
36
== 4
9
9
Grandezas diretamente proporcionais
Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção.
ou
Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando diminuindo uma delas, a outra
diminui na mesma proporção.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando: y = k.x.
Grandezas inversamente proporcionais
Duas ou mais grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando uma delas, a outra
diminui na mesma proporção.
ou
Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando diminuindo uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando y =
k
.
x
3. Uma construtora asfaltou uma estrada de 36 km em 14 dias. Quantos dias seriam
necessários para a mesma empresa, sob as mesmas condições, asfaltar uma estrada de 54
km?
Método direto
54
= 1,5
36
1,5 x 14 = 21
3
Redução a unidade
Proporção
Regra de Três Simples
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem grandezas
direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste dos seguintes passos.
•
Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida.
•
Analisar as grandezas e classifica-las como direta ou inversamente proporcionais.
•
Obter a proporção correspondente e solucioná-la.
4. Uma fotografia tem 10 cm de largura por 15 cm de comprimento. Queremos ampliá-la
proporcionalmente de modo que seu comprimento tenha 18 cm, qual deve ser a largura
nesse caso?
5. Um trem rodando a velocidade média de 45 km/h, vai de uma cidade a outra em 8 horas. Em
quantas horas percorreria o mesmo trajeto se rodasse à velocidade média de 60 km/h?
4
Regra de Três Composta
A regra de três composta é um processo prático utilizado na resolução de problemas que envolvem
mais de duas grandezas, inversa ou diretamente proporcionais. Este processo consiste dos
seguintes passos.
•
Reunir em uma coluna as grandezas de igual espécie e com a mesma unidade de medida.
•
Analisar as grandezas duas a duas, (em relação à que possui a incógnita), afim de verificar
se são direta ou inversamente proporcionais.
•
Obter a proporção correspondente e solucioná-la.
6. Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40m de comprimento
em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 horas e o número de
trabalhadores aumentado para 5, qual o comprimento de um muro de mesma altura que
eles construirão em 15 dias.
7. Se 30 funcionários recolhem 720 caixas de morango em 8 horas, quantos funcionários de
mesmo rendimento serão necessários para recolher 1080 caixas em 6 horas?
5
Exercícios Propostos
1. Calcule o valor de x e y, sabendo que
x y
= e que x + y = 20.
2 3
2. Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15
cm de comprimento. Queremos ampliá-la
de modo que seu comprimento tenha 18
cm. Qual será a largura da foto maior?
3. Dividir o número 180 em partes
diretamente proporcionais aos números 2,
3 e 4.
4. Uma máquina, trabalhando durante 40
minutos, produz 200 peças iguais. Quantas
peças serão produzidas pela mesma
máquina em 2h 30min?
6
5. Um livro de 240 páginas possui 30 linhas
em cada página. Se o mesmo livro fosse
reimpresso com os mesmos caracteres,
utilizando 40 linhas em cada página,
quantas páginas teria o novo livro?
7. Uma roda com 25 dentes está ligada
através de engrenagem com outra roda de
20 dentes. Enquanto a segunda roda 600
voltas, quantas voltas dará a primeira?
6. Em uma indústria, 18 operários,
trabalhando 7 horas por dia, fazem
determinado serviço em 24 dias. Em
quantos dias, 12 operários, trabalhando 9
horas por dia farão o mesmo serviço?
Gabarito
1
x=4
y=6
2
3
4
12
40, 60 e 80
750
5
6
7
150 28 480