Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
2ª aula
Mais matrizes especiais
Matrizes em escada
Exemplo:
 1  2 0 0 3 2  1 0 4
0 0 0 2 4  2 3 4 2 


0 0 0 0  3 1  1 0 2 


0 0 0 0 0 0 5 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0  1
Exemplo:
 1  2 0 0 3 2  1 0 4
0 0 0 2 4  2 3 4 2 


0 0 0 0  3 1  1 0 2 


0 0 0 0 0 0 5 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0  1
Exemplo:
 1  2 0 0 3 2  1 0 4
0 0 0 2 4  2 3 4 2 


0 0 0 0  3 1  1 0 2 


0
0
0
0
0
0
5
2
1


0 0 0 0 0 0 0 0  1
Matrizes condensadas
Exemplo:
1  2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 1 0  2 0 4

0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0

0
0

0
1
Exemplo:
1  2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 1 0  2 0 4

0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0

0
0

0
1
Mas afinal como reconhecer se
uma matriz está ou não em forma
de escada ou está condensada?
Definição: Matriz em forma de escada
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de
escada se para toda a linha i = 1, … , m
acontecer:
• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são
nulas;
• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro
elemento não nulo, todos os elementos da
coluna k abaixo de aik são nulos assim como os
elementos das colunas anteriores da linha k para
baixo.
Definição: Matriz em forma de escada
(usando notação matemática)
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de
escada se para toda a linha i = 1, … , m
acontecer:
• Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;
• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro
elemento não nulo, então para p > i e q  k,
apq = 0.
Definição: PIVOT
Quando uma matriz está em
forma de escada ao primeiro
elemento não nulo de cada linha
chama-se pivot.
(numa linha nula não há nenhum pivot)
(em cada coluna há no máximo um pivot)
Exemplo matriz em escada:
 1  2 0 0 3 2  1 0 4
0 0 0 2 4  2 3 4 2 


0 0 0 0  3 1  1 0 2 


0
0
0
0
0
0
5
2
1


0 0 0 0 0 0 0 0  1
Exemplo matriz em escada:
 1  2 0 0 3 2  1 0 4
0 0 0 2 4  2 3 4 2 


0 0 0 0  3 1  1 0 2 


0
0
0
0
0
0
0
0
0


0 0 0 0 0 0 0 0 0
Algumas considerações:
• As linhas nulas ficam sempre na parte de
baixo da matriz
• Pode haver colunas nulas em qualquer
posição
• Qualquer linha tem sempre o pivot para a
direita dos pivots das linhas acima dela
Definição: Matriz condensada
Diz-se que uma matriz Amn está na forma
condensada se é uma matriz em escada e
• Todos os pivots são iguais a 1;
• Se aik é o pivot da linha i todos os elementos
da coluna k acima de aik são nulos.
Exemplo de matriz condensada:
1  2 0 0 0 2 0 0
0 0 0 1 0  2 0 4

0 0 0 0 1 1 0 0

0
0
0
0
0
0
1
2

0 0 0 0 0 0 0 0
0

0
0

0
1
Exemplo de matriz condensada:
 1  2 0 0 0 2  1 0 4
0 0 0 1 0  2 3 4 2 


0 0 0 0 1 1  1 0 2 


0
0
0
0
0
0
0
0
0


0 0 0 0 0 0 0 0 0
Qualquer matriz pode ser
transformada numa matriz em
escada ou numa matriz
condensada
COMO?
Operações elementares
sobre
as linhas de uma matriz
Tipos de Operações Elementares
 2 3  4 1 0
5 4 3

6
7


 9 0 6  1 2
Tipos de Operações Elementares
Tipo I: Trocar duas linhas
 2 3 4 1
5 4 3
6

 9 0 6  1
L01 
7 
2
L3
 9 0 6  1 2
5 4 3

6
7


 2 3  4 1 0
Tipos de Operações Elementares
Tipo II:
Multiplicar uma linha por um escalar
não nulo
 2 3  4 1 0 0.5L
1
5 4 3

6 7

 9 0 6  1 2
 1 1 .5  2 0 . 5 0 
5

4
3
6
7


 9 0
6  1 2
Tipos de Operações Elementares
Tipo III:
Somar a uma linha outra
multiplicada por um escalar
 2 3 4 1
5 4 3
6

 9 0 6  1
L02
7 
2
L2- 0.5L1
3  4 1 0
2
 4 2.5 5 5.5 7 


 9 0
6  1 2
Exemplos:
0 1 0 1 2 
1 0 0 1 1 


0 0 1 0 1 
Exemplos:
0 1 0 1 2 
1 0 0 1 1 


0 0 1 0 1 
1 0 0 1 1 
0 1 0 1 2 


0 0 1 0 1 
Exemplos:
0 1 0 1 2 
1 0 0 1 1 


0 0 1 0 1 
1 0 0 1 1 
0 1 0 1 2 


0 0 1 0 1 
Exemplos:
1 2 3 
0 0 0 


0 0 3
Exemplos:
1 2 3 
0 0 0 


0 0 3
1 2 3 
0 0 3


0 0 0 
Exemplos:
1 2 3 
0 0 0 


0 0 3
1 2 3 
0 0 3


0 0 0 
A partir de uma matriz podem-se
obter várias matrizes em escada,
mas uma única matriz condensada
Definição:
Característica de uma matriz
A característica de uma matriz Amn é
igual ao número de linhas não nulas
numa sua forma de escada.
(é também igual ao número de
colunas que têm um pivot e é igual
ao número de pivots)
Representa-se por car(Amn )
A uma coluna onde não há um pivot
chama-se coluna livre.
A uma coluna onde há um pivot
chama-se coluna principal.
EXEMPLO:
Determinar a característica de:
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
 1 0 0
1 1
Determinar a característica de:
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
 1 0 0
1 1
L3
L3 + (-1) L1
Determinar a característica de:
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
 1 0 0
1 1
L3
L3 + (-1) L1
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
0 0
1  1 2
Determinar a característica de:
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
 1 0 0
1 1
L3
L3 + (-1) L1
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
0 0
1  1 2
 1 0  1 2  1


A  0 1 1  1 0 
0 0
1  1 2
A matriz está em forma de escada.
Há 3 pivots
A matriz tem característica 3.
As colunas principais são as 3 primeiras e as duas
últimas são as livres;
Determinar a característica de:
 1
 2

 3
A
 4
 0

 1
2
3
3
5
9
11
6
8
3
5
1 4
0
 2
10

4
0

18
Determinar a característica de:
 1
 2

 3
A
 4
 0

 1
2
3
3
5
9
11
6
8
3
5
1 4
0
 2
10

4
0

18
3
0
1  2
0

1  1  2

0  3
2 10


2 4
4
0
0  3
5
0


0  1  1 18
Determinar a característica de:
3
0
1  2
0

1

1

2


0  3
2 10


2 4
4
0
0  3
5
0


0  1  1 18
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 2
8
0
0
0
2  6


0  2 16
0
Determinar a característica de:
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 2
8
0
0
0
2  6


0  2 16
0
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 0
0
0
0
0 0
2


0 0
8
0
Determinar a característica de:
3
0
1  2
0

1  1  2

0
0 1
4


0 0
0
0
0
0 0
2


0 0
8
0
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 0
8
0
0
0 0
2


0 0
0
0
Determinar a característica de:
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 0
8
0
0
0 0
2


0 0
0
0
3
0
1  2
0

1  1  2

0
0 1
4


0 0
8
0
0
0 0
0


0 0
0
0
Determinar a característica de:
3
0
1  2
0

1

1

2


0
0 1
4


0 0
8
0
0
0 0
2


0 0
0
0
3
0
1  2
0

1  1  2

0
0 1
4


0 0
8
0
0
0 0
0


0 0
0
0
A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots.
A característica da matriz é 4.