Problema: Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm.
Consegue-se obter b como soma de múltiplos de v1, v2,...,vn?
Exemplos:
1) v1=(1,0), v2=(0,0) e b=(0,1)
1 
0 
0 
1 0  x1  0
0 x1  0 x2  1  0 0  x   1 é possível?
 
 
 

  2  
1 0 | 0 
0 0 | 1 sistema impossível !


2) v1=(1,2), v2=(0,1) e b=(1,0)
1 
0 
1 
1 0  x1  1
2 x1  1 x2  0  2 1  x   0
 
 
 

 2   
 1 0 | 1  1 0 | 1 
 2 1 | 0   0 1 |  2 

 

1  0 
1 
21  1 (2)  0.
   
 
x  1

 x  2
1
2
3) v1=(1,2), v2=(0,1), v3=(-1,1) e b=(1,0)
1  x  0 x   1 x  1   1
2 1 1  2  1  3 0 2
1
2
0  1 | 1
1 0  1 | 1 

1 1 | 0
 0 1 3 |  2
0
1
 x1 
 1   1 
x2 
1
  x  0
 3
 x1  1  x3

 x2  2  3 x3
 x3  
1  (1  x )  0 ( 2  3 x )   1 x  1  ,
3
3
2
1 
 1  3 0
Exemplos :
x3  0,
x3  1,
etc.
1 1  0 ( 2)   1 0  1 
2 1 
 1  0
1  2  0 ( 5)   11  1 
2 1 
 1  0
x3  
Sejam v1, v2,...,vn e b vectores de Rm.
Diz-se que b é combinação linear de v1, v2,...,vn
se b se escrever como soma de múltiplos destes vectores

se o sistema Ax=b for possível em que A=[v1 v2...vn].
Observação: Ax=b é impossível quando na matriz em escada A´|b´
a coluna b´ tem pivot.
Diz-se que b é combinação linear dos vectores v1, v2,...,vn ou
das colunas da matriz A=[v1 v2...vn].
Problema: Sejam v1, v2,...,vn vectores de Rm.
Quais são os vectores de Rm que são combinação linear de v1, v2,...,vn?
Exemplos:
1) v1=(1,0), v2=(0,0)
b 
b  :
 
1
2
1 
0 
b 
0 x  0 x  b  é possível
 
 
 
1
1
2
2
1 0 | b 
0 0 | b 


1
2
(b ,b ):b  0 recta y  0
1
2
2
2) v1=(1,2), v2=(0,1)









 
b1  1
b


0
 
1
  


 
:   x    x  
 é possível
1
2


b2  2
b 
1
 2
 










1 0 | b1  1 0 |
b1 



 



2 1 | b2  0 1 | b2  2b1



(b1,b2 ):b1  ,b2    R2




3) v1=(1,2,-1), v2=(6,4,2)
 
 b1 
 
b  :
 2
b 
 3 
 
1 
 6
 b1 
 
 
 
 
 
2
x

4
x

  1   2 b2 
 
 
 
b 

1
2
 
 
 
 
 3 

1

2

1


6 | b  1 6 |
b  1 6 |
b

1 
1  
1

4 | b   0  8 | b  2b   0  8 |
b  2b 
2 
2
1 
2
1 
2 | b  0 8 | b  b  0 0 |  b  b  b 
3 
3 1 
1 2 3
é possível


(b , b , b ):  b  b  b  0
1 2 3 
 1 2 3
plano  ao vector (-1,1,1) e que passa
no ponto (0,0,0)
Chama-se espaço gerado pelos vectores v1, v2,...,vn de Rm
<v1, v2,...,vn>
ao conjunto dos vectores de Rm que são combinação linear de
v1, v2,...,vn

ao {b Rm : Ax  b é possível} em que A  v v ... vn 
2
 1

Também se diz que <v1, v2,...,vn> é o espaço gerado pelas
colunas da matriz A=[v1 v2...vn], espaço das colunas de A ou
C(A).
Determinação de <v1, v2,...,vn> =C(A) em que A=[v1 v2...vn] e
v1 v2...vn  Rm
C( A)= {bRm: Ax  b é possível }
1.
2.
3.
4.
Constrói-se A|b.
Aplica-se a fase descendente do método de Gauss a A|b. Seja A´|b´ a
matriz em escada resultante.
Se A´ não tem linhas nulas, C( A)= Rm.
(O sistema Ax=b é possível b Rm.)
Caso contrário, se i é linha nula de A´, tem-se a restrição b´i=0.
Nota: quando A′ tem linhas nulas, o algoritmo identifica C(A) com o espaço
nulo de uma matriz com m colunas e tantas linhas quantas as linhas nulas de
A′.
Exemplos:
1) <(1,0), (0,0)> = (b ,b ):b  0
1
2
2
2) <(1,2),(0,1)> = R2
3) <(1,2,-1),(6,4,2)> =


(b , b , b ):  b1  b  b  0
1 2 3
2
3
Exercício: Sejam v1=(0,0,1), v2=(0,1,1), v3=(0,2,1) e b=(1,0,0).
1) Determine E=<v1,v2,v3>.








0 0 0 | b  1 1 1 | b 
1 
3
0 1 2 | b   0 1 2 | b 
2 
2
1 1 1 | b  0 0 0 | b 
3  
1


E  (b ,b ,b ) :b  0 (plano yOz)
 1 2 3
1 
2) Verifique que v3 é combinação linear de v1 e v2.







0 0 | 0 1 1 | 1



0 1 | 2  0 1 | 2
1 1 | 1









o sistema v x  v x  v é possível
11 2 2 3
0 0 | 0
3) Determine <v1,v2>.










0 0 | b  1 1 | b 
1 
3
0 1 | b   0 1 | b 
2 
2
1 1 | b  0 0 | b 
3 
1





(b ,b ,b ):b  0  E
1 2 3 1 
v1=(0,0,1), v2=(0,1,1) e b=(1,0,0)
4) Verifique que b não é combinação linear de v1 e v2.
bE  (b ,b

,b ) :b  0,
1 2 3 1 
pois 1 0 é uma proposição falsa
5) Determine F=<v1,v2,b>.










0 0 1 | b  1 1 0 | b 
1 
3
0 1 0 | b   0 1 0 | b 
2 
2
1 1 0 | b  0 0 1 | b 
3 
1
F  R3
Um conjunto {v1, v2,...,vn} de vectores de Rm diz-se
linearmente independente se nenhum dos vectores é combinação
linear dos outros.
Se {v1, v2,...,vn} não é linearmente independente diz-se
linearmente dependente.
Observação: {v1} diz-se linearmente independente se v1≠0.
Caso contrário, diz-se linearmente dependente.
Exemplos:
1) {(0,0),(1,1)} é l.d.: (0,0)=0(1,1).
Repare que (1,1) não é comb. l. de (0,0).
2) {(0,1),(1,1),(1,0)} é l.d.: (1,1)=1(1,0)+1(0,1).
3) V={v1,v2,v3,v4} em que
v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v3= (2,-1,0,1), v4=(0,0,3,3).
1


0

1

1

0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0




2 0 3 0 2  2 3 0 0 0 3 0 0 0 3
1


0

1

1

0 2  1 0 2  1 0 2 
1 1 0 1 1 0 1 1



2 0  0 2  2 0 0 0 
1
1

3
1
1




0


0

1
1

1

3
1

0


0

0
0
0
0

3

0

0
0

0
v3 é c.l. de v1 e v2, logo de v1, v2 e v4



Como existem colunas sem pivot na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v3 v4],
V é linearmente dependente.
4) V={v1,v2,v4} em que v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,2,1), v4=(0,0,3,3).
1


0

1

1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0




2 3 0 2 3 0 0 3 0 0 3
1

3

0

1

3

0

0

3

0

0

0
v4 não é c.l. de v1 e v2
v2 não é c.l. de v1
A troca de colunas na matriz inicial não altera o nº de pivots na matriz em
escada resultante.
A  v1 v2 v4  ... A´ com 3 pivots
B  v1 v4 v2  ... B´ com 3 pivots
C  v2 v4 v1 ... C´ com 3 pivots
v2 não é c.l. de v1 e v4
v1 não é c.l. de v2 e v4
Como na matriz em escada resultante de A=[v1 v2 v4] todas as colunas têm pivot,
V é linearmente independente.
A troca de colunas na matriz inicial A=[v1 v2 v4] não altera o nº de pivots
na matriz em escada resultante.
Considere, por exemplo, o sistema homogéneo Ax=0.
Geometricamente, é a intersecção de 4 planos que passam na origem de R3.
Se trocarmos duas colunas em A, continuamos a ter a intersecção dos mesmos
4 planos e, portanto, o conjunto das soluções é o mesmo.
Sejam V = {v1, v2,...,vn} e A  v v ... vn 
1 2


V é linearmente independente 
Todas as colunas da matriz em escada que resulta de A têm pivot 
O sistema homogéneo Ax=0 é determinado
Chama-se característica de A, car A, ao nº de colunas pivot de A´.
car A corresponde ao número máximo de vectores
linearmente independentes de V.
Nota: um conjunto de n vectores de Rm com n > m é linearmente
dependente.
(O sistema Amxnx = 0 é indeterminado com n > m.)