PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica
ANÁLISE DA TÉCNICA MOIRÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO
DE FASE USANDO GENERALIZAÇÃO DO ALGORITMO DE CARRÉ
Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior
Belo Horizonte
2009
Pedro Américo Almeida Magalhães Júnior
ANÁLISE DA TÉCNICA MOIRÉ DE SOMBRA COM DESLOCAMENTO
DE FASE USANDO GENERALIZAÇÃO DO ALGORITMO DE CARRÉ
Tese apresentada ao Programa de PósGraduação em Engenharia Mecânica da
Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção
do título de Doutor em Engenharia Mecânica.
Orientador: Perrin Smith Neto
Co-orientador: Clóvis Sperb de Barcellos
Belo Horizonte
2009
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
M188a
Magalhães Júnior, Pedro Américo Almeida
Análise da técnica Moiré de sombra com deslocamento de
fase usando generalização do algoritmo de Carré / Pedro Américo
Almeida Magalhães Júnior. Belo Horizonte, 2009.
257f. : il.
Orientador: Perrin Smith Neto
Co-Orientador: Clóvis Sperb de Barcellos
Tese (Doutorado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica.
1. Método de Moiré. 2. Topografia de Moiré. 3. Física ótica.
4. Medição. I. Smith Neto, Perrin. II. Barcellos, Clóvis Sperb de. III.
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. IV. Título.
CDU: 620.17
Aos meus pais Pedro Américo e Maria das Graças,
pelo dedicado incentivo;
a minha esposa Marta,
pelo amor e compreensão;
aos meus filhos
Ana Laura, Pedro Henrique e Gabriel,
pelo tempo furtado de convívio;
e aos meus irmãos
Afonso, Marcos, Rodrigo, Rafael e Cristina,
pelo apoio e carinho.
AGRADECIMENTOS
A meu orientador, Professor Doutor Perrin Smith Neto, pela minuciosa
orientação que tornou possível a realização deste trabalho.
Ao meu co-orientador, Professor Doutor Clóvis Sperb de Barcellos, pela
importante ajuda na construção da tese.
Aos professores Doutor Denílson Laudares Rodrigues, Doutor Ernani Sales
Palma e Doutor Jánes Landre Júnior, que, além de conhecimento e dedicação ao
programa, ofereceram irrestrito incentivo além de seguras e preciosas orientações
técnicas e científicas.
Aos colegas e amigos, pelos incentivos demonstrados.
E a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização desta
pesquisa científica e, também a aqueles que, de alguma maneira, puderem se
beneficiar desta modesta contribuição.
RESUMO
A análise de formas tridimensionais é de grande importância para uma vasta
variedade de áreas. Diversos métodos vêm sendo empregados para a determinação
de perfis. As técnicas utilizadas diferem de várias formas e apresentam
características e margens de erro variadas. Topografia de superfície pode ser
convenientemente investigada pela clássica Técnica Moiré de Sombra. Moiré é uma
técnica sem contato e não destrutiva, com um rápido processo de digitalização. Os
fenômenos de Franjas de Moiré são o resultado da projeção de franjas
predominantes em certo objeto. Possui medição precisa comparável com a de outros
sistemas e também um baixo custo. O presente trabalho oferece novos algoritmos
para a avaliação de fase em medidas óticas.
Vários algoritmos usando
deslocamento de fase com um arbitrário, mas constante passo de fase entre os
quadros de intensidade capturados são propostos. Os algoritmos são similarmente
derivados do então chamado Algoritmo de Carré. A ideia é desenvolver uma
generalização do Algoritmo de Carré que não fique restrita a quatro imagens. Erros e
ruídos aleatórios nas imagens não podem ser eliminados, mas as incertezas devido
a estes efeitos podem ser reduzidas com o aumento do número de observações.
Uma análise experimental dos erros da técnica foi realizada, assim como uma
análise detalhada de erros da medição.
Palavras-chave: Deslocamento de Fase - Moiré de Sombra - Algoritmo de Carré –
Perfilometria – Métodos Experimentais.
ABSTRACT
The analysis of three-dimensional shapes is of great importance for a vast
variety of areas. Several methods have been used for the determination of profiles.
The used techniques differ in several ways and they present characteristics and
varied margins of error. Surface topography can be conveniently investigated by
Classical Shadow Moire technique. Moire is a non contact and non destructive
technique, with a fast digitization process. The phenomena of Moire Fringes are the
result of the projection of the predominant fringes on a certain object. This low cost
technique is accurate as compared to others. The presented work proposes new
algorithms for phase evaluation in optics measurements. Several phase-shifting
algorithms with an arbitrary but constant phase-shift between captured intensity
frames are proposed. The algorithms are similarly derived as so called Carre
algorithm. The idea is to develop a generalization of Carre that is not restricted to four
images. Errors and random noise in the images cannot be eliminated, but the
uncertainty due to its effects can be reduced by increasing the number of
observations. An experimental analysis of the erros associated with the technique
was made, as well as a detailed analysis of measurement errors.
Key-words:
Phase Shifting - Shadow Moire - Carre Algorithm –
Profilometry - Experimental Methods.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES E FIGURAS
FIGURA 1
Classificação das técnicas para aquisição da superfície de contorno .............
19
FIGURA 2
Classificação das técnicas óticas para aquisição da superfície de contorno ..
19
FIGURA 3
Franjas de Moiré produzidas pela sobreposição de dois retículos ...................
58
FIGURA 4
Formação das franjas de Moiré pela sobreposição de retículos constituídos
de linhas paralelas ..................................................................................................
59
Formação das franjas de Moiré pela transmissão da luz através de dois
retículos constituídos de linhas paralelas superpostos .....................................
60
Desempacotamento de fases. a) Mapa de Fases empacotadas de um perfil;
b) Fases desempacotadas no mesmo perfil .......................................................
63
FIGURA 7
Formação das franjas no Moiré de Sombra .........................................................
64
FIGURA 8
Sistema experimental para Moiré de Sombra com iluminação.
a) Com observador localizado a um ângulo em relação à posição normal ao
plano que contém o retículo de referência; b) Com observador localizado
perpendicularmente ao plano que contém o retículo de referência...................
64
Telas (Entrada e Saída) do programa em MatLab® que implementa Moiré de
Sombra com Deslocamento de Fase ....................................................................
67
Tela do programa comercial Rinsing-Sun Moiré para a mesma entrada da
Figura 9 do programa desenvolvido em MatLab® ..............................................
68
FIGURA 11
Gráfico da tangente de um arco em radianos ......................................................
99
FIGURA 12
Algoritmo para tese numérico-matemático das novas equações do cálculo
de fase. A função Aleatorio() retorna um número real randômico (aleatório)
entre 0 (zero) e 1 (um), diferente a cada chamada da função .............................
103
Tempo gasto na execução do Método Branch-and-Bound para se obter uma
equação do cálculo de fase, usando o Modelo Matemático 3.19 com
microcomputador Pentium CPU Intel Core2 Quad Q6600 2.4GHz com 2GB
Memória, e escutando o programa em Delphi/Pascal que implementa o
método de Otimização ............................................................................................
106
FIGURA 14
Simetrias no numerador e no denominador dos coeficientes ...........................
109
FIGURA 15
Algoritmo que completa as matrizes de coeficientes do numerador e do
denominador usando simetrias e dados do primeiro um quarto da matriz de
coeficientes do numerador, e a primeira metade do vetor de coeficientes do
denominador ...........................................................................................................
110
Algoritmo para zerar os coeficientes do numerador e do denominador das
equações do cálculo de fase .................................................................................
118
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
primeiro caso onde N é par; N é divisível por 4 e N é também divisível por 8 .
120
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
segundo caso onde N é par; N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8 ..
122
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
terceiro caso N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8 ...................
124
FIGURA 5
FIGURA 6
FIGURA 9
FIGURA 10
FIGURA 13
FIGURA 16
FIGURA 17
FIGURA 18
FIGURA 19
FIGURA 20
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
quarto caso onde N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por
8 ...............................................................................................................................
126
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
quinto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8 ........
128
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
sexto caso onde N é ímpar; N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por
8 ...............................................................................................................................
131
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
sétimo caso onde N é ímpar; N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8 .......
134
Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o
oitavo caso onde N é ímpar; N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível
por 8 ........................................................................................................................
137
Algoritmo completo para geração de equações de cálculo com número de
imagens (N) maior que 15 .....................................................................................
138
Montagem da Técnica Moiré de Sombra para obtenção das medidas de Z,
que é a distância entre o objeto e o retículo em cada pixel da fotografia .......
154
Um conjunto com 16 imagens de Franjas de Moiré de um megapixel geradas
no computador. [A-P]. Nas imagens, usou-se uma resolução gráfica de um
megapixel com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéis na vertical ...................
156
À direita, imagem gerada pelo computador do seio de um manequim, e à
esquerda, fotografia digital tirada dos seios do mesmo manequim .................
161
FIGURA 29
Exemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré ...............................
167
FIGURA 30
Equipamento para deslocamento de fase ...........................................................
172
FIGURA 31
Fluxograma do processamento da Técnica Moiré de Sombra com
Deslocamento de Fase .........................................................................................
173
Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [AP]. Fase empacotado[Q]. Fotografia do cilindro real de branco [R]. Resultado
em 3-D [S]. (Semi-cilindro de um motor com diâmetro de 6 cm e
comprimento de 12 cm) .........................................................................................
185
Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [AP]. Fase empacotado[Q]. Globo usado como objeto a ser medido [R].
Resultado em 3-D [S]. (Metade de uma esfera com diâmetro de 6 cm) .............
189
FIGURA 34
Montagem para calibração e blocos padrões utilizados ...................................
193
FIGURA 35
Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de três megapixéis. [AP]. Fase empacotado[Q]. Resultado em 3-D [R]. (Bloco Padrão inclinado com
altura de 1 cm) ........................................................................................................
194
Em [A] manequim pintado de branco fotografado. Em [B] Franjas de Moiré
nos seios do manequim. Em [C] malha usada para fazer as medidas físicas
com paquímetro das profundidades dos seios. Em [D-G] 4 fotografias de
Franjas de Moiré defasadas dos seios. Em [H] comparação entre a fotografia
e as medidas. Em [I] reconstrução em 3-D das medidas ....................................
198
Em [A] montagem para fazer as fotografias das costa do manequim. Em [B]
costas do manequim a ser fotografado. Em [C] malha usada para fazer as
medidas físicas com paquímetro das profundidades das costas. Em [D-E]
duas fotografias de Franjas de Moiré defasadas das costas. Em [H] fase
empacotada (Wrapped). Em [G-I] reconstrução em 3-D das medidas ..............
202
FIGURA 21
FIGURA 22
FIGURA 23
FIGURA 24
FIGURA 25
FIGURA 26
FIGURA 27
FIGURA 28
FIGURA 32
FIGURA 33
FIGURA 36
FIGURA 37
FIGURA 38
Incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função do valor de fase
FIGURA 39
FIGURA 40
FIGURA 41
FIGURA 42
FIGURA 43
FIGURA 44
FIGURA 45
(φ
φ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases
desenvolvidas na tese. Nota-se o maior valor da incerteza em equação com
número de imagens pequeno ................................................................................
216
Incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função do valor de fase
(φ
φ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases
desenvolvidas na tese. Nota-se claramente o menor valor da incerteza em
equação com número de imagens grande. Assim para N=4 e N=5 têm-se
valores altos de u(φ
φ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais baixos ............
217
Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase
desenvolvidos da incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função
do valor de fase (φ
φ) em radianos ...........................................................................
218
Incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função do valor
deslocamento de fase (δ
δ) também em radianos para as novas equações
cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o maior valor da incerteza
em equação com número de imagens pequeno. Observa-se que para δ entre
85º e 115º, o valor da incerteza em todas as equações é menor .......................
219
Incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função do valor
deslocamento de fase (δ
δ) também em radianos para as novas equações
cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se claramente o menor valor
da incerteza em equação com número de imagens grande. Assim para N=4 e
N=5 têm-se valores altos de u(φ
φ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores mais
baixos .......................................................................................................................
220
Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase
desenvolvidos da incerteza padrão combinada u(φ
φ*) em radianos em função
do valor deslocamento de fase (δ
δ) em radianos ..................................................
221
Gráfico da média da incerteza padrão de todas as equações do cálculo de
fase testadas. Destaca-se o menor valor da incerteza em equação com
número de imagens grande ...................................................................................
222
Uma implementação em Linguagem Pascal para o cálculo dos coeficientes
do numerador e do denominador para N na faixa de 4 até 90.000.512
(realizado o teste numérico matemático). As equações designadas com (a)
foram geradas por este programa ........................................................................
257
LISTA DE TABELAS
TABELA 1
Expressões para o cálculo de fase com 5 imagens deduzidas por NOVAK
(2003) ......................................................................................................................
74
Expressões proporcionais a seno e cosseno da fase φ para cada equação
proposta por NOVAK .............................................................................................
76
Matriz de coeficientes do numerador e do denominador para N=4 (Carré) e
para N=5 (Novak) ....................................................................................................
80
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19 usando o
Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 6 .................
93
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19 usando o
Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 7 .................
94
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19 usando o
Método Branch-and-Bound para N (número de imagens) igual a 8 .................
95
TABELA 7
Produto das Imagens I1, I2, I3, I4, I5 e I6 .................................................................
100
TABELA 8
Equações com número de imagem (N) igual á 4 e 5 ..........................................
174
TABELA 9
Equações com número de imagem (N) igual á 6,7,8,9,10,11 e 12 .....................
175
TABELA 10
Equações com número de imagem (N) igual á 13,14,15 e 16 ............................
176
TABELA 11
Estrutura dos dados de uma amostra pareada ..................................................
180
TABELA 12
Erro médio em µm dos 21 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas ..........................................................................................................
186
TABELA 13
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas .............
187
TABELA 14
Erro médio em µm dos 19 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas ..........................................................................................................
190
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas na
esfera ......................................................................................................................
191
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas ..........................................................................................................
195
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas no
plano inclinado ......................................................................................................
196
Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas............................................................................................................
199
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas aos
seios .......................................................................................................................
200
Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas para as costas de um manequim...................................................
203
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às
costas .....................................................................................................................
204
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas para as curvas geradas no computador........................................
206
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às
curvas geradas no computador ...........................................................................
207
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas para imagens geradas no computador com ruídos aleatórios ...
209
TABELA 2
TABELA 3
TABELA 4
TABELA 5
TABELA 6
TABELA 15
TABELA 16
TABELA 17
TABELA 18
TABELA 19
TABELA 20
TABELA 21
TABELA 22
TABELA 23
TABELA 24
TABELA 25
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às
imagens geradas no computador com ruído aleatório .....................................
210
TABELA 26
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 9 ........................
249
TABELA 27
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10 ......................
250
TABELA 28
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 11 ......................
251
TABELA 29
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 12 ......................
252
TABELA 30
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 13 .......................
253
TABELA 31
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 14 ......................
254
TABELA 32
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 15 ......................
255
TABELA 33
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 16 .......................
256
LISTA DE SIGLAS E TERMOS
x = Média Aritmética da Amostra
ξ = ε = precisão numérica = dimensão ou ordem do erro numérico (adimensional)
δ = Deslocamento ou mudança de fase (rad)
φ = Mapa de fase (Distribuição de fase) = φ ∈ [0, π/2] (rad)
µ = Média Aritmética da População
φ* = φ´ = φ’ = Mapa de fase (Distribuição de fase) = φ* ∈ [-π, π] (rad)
ABNT = Associação Brasileira de Normas Técnicas é o órgão responsável pela normalização
técnica no país, fornecendo a base necessária ao desenvolvimento tecnológico brasileiro
ANSI = American National Standards Institute ("Instituto Nacional Americano de
Padronização")
ASA = American Standards Association (americano) = Associação de Padronização
Americana
BIPM = Bureau international dês poids et mesures = International Bureau of Weights and
Measures
bit = Unidade de medida da informação (Binary digIT)
byte = Conjunto de 8 bits (BinarY TErm)
Calibração = Aferição = Conjunto de operações que estabelece, sob condições especificadas,
a relação entre os valores indicados por um instrumento de medição ou sistema de medição
ou valores representados por uma medida materializada ou um material de referência, e os
valores correspondentes das grandezas estabelecidos por padrões.
CCD = Charge Coupled Device (Dispositivo de Carga Acoplada) de câmeras digitais
d½r = coeficiente da primeira metade do vetor do denominador de ordem r
Dem = vetor de coeficientes do denominador das equações do cálculo de fase
Dem½ = primeira metade do vetor de coeficientes do denominador da equação do cálculo de
fase
Deslocamento de Fase = Mudança de Fase = Phase Shifting
DIV = div = quociente da divisão inteira [ DIV(r,s) = r/s ] (resultado sempre menor ou igual
à divisão exata em real) = Quociente_Inteiro(r,s)
dpi = dots per inch (pontos por polegada)
dr = coeficiente do vetor do denominador de ordem r
Erro Aleatório = Resultado de uma medição menos a média que resultaria de um infinito
número de medições do mesmo mensurando efetuadas sob condições de repetitividade.
(Random Error).
Erro de arredondamento = a diferença entre a representação de um número e o seu valor
matemático exato, especialmente quando se usa uma quantidade finita de dígitos para
representar números reais que tem uma quantidade infinita ou muito grande de dígitos.
Erro de Medição = Resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando.
(Measurement Error).
Erro Relativo = Erro da medição dividido por um valor verdadeiro do objeto da medição.
(Relative Error).
Erro Sistemático = Média que resultaria de um infinito número de medições do mesmo
mensurando, efetuadas sob condições de repetitividade, menos o valor verdadeiro do
mensurando. (Systematic Error).
Estabilidade = Aptidão de um instrumento de medição em conservar constantes suas
características metrológicas ao longo do tempo. (Stability).
Exatidão de Medição = Acurácia = Grau de concordância entre o resultado de uma medição e
um valor verdadeiro do mensurando. (Measurement Accuracy).
FFT = Fast Fourier Transform (Transformada Rápida de Fourier)
Frames = Quadros = Imagens
I = Intensidade de luz
I(x,y) = Intensidade de luz em um pixel da imagem, posição (x,y)
Ia(x,y) = intensidade de modulação em cada ponto da imagem
Ik = Intensidade de luz da imagem de ordem k
Im(x,y) = intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem
Incerteza de Medição (u) = Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que
caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentadamente atribuídos a um
mensurando. (Uncertainty of Measurement).
Incerteza expandida (U) = é obtida, multiplicando-se a incerteza padrão combinada por um
fator de abrangência. A finalidade pretendida é fornecer um intervalo em torno do resultado
de uma medição, com o qual se espera abranger uma grande fração da distribuição de valores
que poderiam razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.
Incerteza padrão = u( ) = incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio
padrão.
Incerteza padrão combinada (uc) = é a incerteza padrão do resultado de uma medição, quando
este resultado é obtido de valores de um número de outras grandezas.
INMETRO = Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial
ISO = International Organization for Standardization = Organização Internacional de
Padronização
LPU = Lei da Propagação da Incerteza
M = metade do número de imagens (N) para N par e metade do número de imagens mais um
(N+1) para N ímpar [ N par => M=N/2 e para N ímpar => M=(N+1)/2 ]
Medição = Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma
grandeza. (measurement).
Metrologia = Ciência da medição. (metrology).
MOD = mod = resto da divisão inteira [ MOD(r,s) = r/s ] = Resto_Divisão(r, s)
N = número de imagens
n¼r,s = coeficiente do primeiro um quarto da matriz do numerador de linha r e coluna s
nr,s = coeficiente da matriz do numerador de linha r e coluna s
Num = matriz de coeficientes do numerador das equações do cálculo de fase
Num¼ = primeiro um quarto da matriz de coeficientes do numerador da equação do cálculo
de fase
p = pitch = passo = distância entre as linhas do retículo de referência = frequência do retículo
= frequência espacial do retículo (mm)
PDF = Probability Density Function = Função de Densidade de Probabilidade = função
utilizada para representar a distribuição de probabilidade.
pixel = Picture element (elemento da imagem)
PME = Princípio da Máxima Entropia
Precisão da Medição = Precisão = grau de concordância entre indicações ou valores de
quantidades medidas obtidas por repetidas medições sobre o mesmo ou objetos similares em
condições especificadas. (Measurement Precision).
Precisão numérica = refere-se ao quão próximo está uma representação numérica de um
número do seu valor verdadeiro. É estabelecido principalmente pela quantidade de dígitos
usado na sua representação. (Número de algarismos significativos).
Rm = Retículo do Modelo
Rr = Retículo de Referência
s = Desvio Padrão da Amostra
Sensibilidade = Variação da resposta de um instrumento de medição dividida pela
correspondente variação do estímulo. (Sensitivity).
Teste t = Teste “Student” = Teste T-Student = Teste Estatístico de Comparação de Duas
Médias com Dados Emparelhados
u = incerteza de medição = incerteza padrão (desvio padrão)
U95 = incerteza expandida com intervalo de confiança de 95% (infinitos graus de liberdade)
Unwrapping = Unwrapped = Desempacotamento
Valor verdadeiro = Valor consistente com a definição de uma dada grandeza específica. É
um valor que seria obtido por uma medição perfeita.
Valor verdadeiro convencional = Valor atribuído a uma grandeza específica e aceito, às
vezes por convenção, como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade.
X = x = posição do pixel na direção horizontal da imagem (mm)
Y = y = posição do pixel na direção vertical da imagem (mm)
Z = profundidade máxima a ser medida = distância vertical do retículo plano para o ponto do
objeto (mm)
Ψ = ordem de franja multiplicada por 2π (adimensional)
SUMÁRIO
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO ....................................................................
1.1 Introdução do capítulo .......................................................................
1.2 Justificativa .........................................................................................
1.3 Problema .............................................................................................
1.4 Hipótese ..............................................................................................
1.5 Objetivos gerais .................................................................................
1.6 Objetivos específicos .........................................................................
1.7 Revisão de literatura ..........................................................................
1.7.1 Estado da Arte .................................................................................
1.7.2 Comentários da bibliografia consultada ........................................
1.8 Metodologia ........................................................................................
1.9 Recursos .............................................................................................
1.10 Procedimentos ................................................................................
1.11 Tópicos .............................................................................................
1.12 Conclusão do capítulo ....................................................................
18
18
22
24
25
26
27
27
28
32
45
48
51
53
54
CAPÍTULO II - TÉCNICA DE MOIRÉ ........................................................
2.1 Introdução do capítulo ......................................................................
2.2 A Técnica de Moiré ............................................................................
2.3 Comparação de valores medidos .....................................................
2.4 Conclusão do capítulo ......................................................................
56
56
57
66
69
CAPÍTULO III - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZIDAS ..................................
3.1 Introdução do capítulo ......................................................................
3.2 O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak ................................
3.3 Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa .......................
3.4 Modelo matemático ............................................................................
3.5 Método Branch-and-Bound ...............................................................
3.6 Método de Programação Não-linear ................................................
3.7 Principais equações do cálculo de fase obtidas ............................
3.8 Testes das equações obtidas ...........................................................
3.8.1 Teste numérico matemático das equações obtidas ....................
3.8.2 Testes de Moiré das equações obtidas ........................................
3.9 Simetria nas equações do cálculo de fase .......................................
3.10 Matrizes esparsas nas equações do cálculo de fase ...................
3.11 Equações do cálculo de fase para muitas imagens .....................
3.12 Quantas imagens usar no cálculo de fase ....................................
3.13 Conclusão do capítulo ....................................................................
71
71
72
76
80
84
89
92
96
98
104
105
114
117
139
141
CAPÍTULO IV - TRATAMENTO DE IMAGENS .........................................
4.1 Introdução do capítulo ......................................................................
4.2 Passagem da fase de [0, π/2] para [-π
π, π] .........................................
144
144
145
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Algoritmos de desempacotamento (Unwrapping) ..........................
Geração de imagens de Moiré no computador ...............................
Acréscimos de ruídos nas imagens .................................................
Filtros Iniciais antes do cálculo de fase ..........................................
Conclusão do capítulo ......................................................................
149
154
157
161
164
CAPÍTULO V - ANÁLISE DE ERROS .......................................................
5.1 Introdução do capítulo ......................................................................
5.2 Equipamentos utilizados nos experimentos ...................................
5.3 Equações de cálculo a serem testadas ...........................................
5.4 Inferências a partir de amostras emparelhadas .............................
5.5 Experiências com cilindros sólidos .................................................
5.6 Experiências com esferas sólidas de metal .....................................
5.7 Experiências com blocos padrão em aço ........................................
5.8 Experiências com seios de manequim .............................................
5.9 Experiências com costas de manequim............................................
5.10 Experiências com imagens geradas no computador ....................
5.11 Análises de incertezas para algoritmos do cálculo de fase .........
5.12 Análises de erros das medições .....................................................
5.13 Conclusões do capítulo ...................................................................
165
165
168
174
177
183
188
192
197
201
205
211
223
226
CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES ................................................................
228
REFERÊNCIAS ..........................................................................................
234
APÊNDICE A - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.19 ..
249
APÊNDICE B - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.51 ..
253
APÊNDICE C - EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.53 ..
255
APÊNDICE D – PROGRAMA DE GERAÇÃO DE EQUAÇÕES .................
257
18
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO
1.1
Introdução do capítulo
A medição da forma de objetos tridimensionais tem recebido uma grande
atenção da comunidade científica, devido à sua ampla gama de aplicações. Como
exemplo, pode-se citar aplicações no controle de qualidade de componentes
industriais, na medição do corpo humano para aplicações de ergonomia, no
sensoriamento de ambientes para a robótica, na indústria do cinema e muitas outras.
A utilização de técnicas perfilométricas é de grande importância para diversos
segmentos da indústria e de ciências como a Biologia, Medicina e Engenharia,
principalmente, no que se refere a práticas de controle de qualidade, modelagem
matemática e diagnósticos clínicos. Assim, as técnicas de medição da superfície de
contorno ou perfilometria têm sido utilizadas em um grande número de aplicações na
indústria, na Biologia e Medicina e na Engenharia Civil e Robótica. Na indústria,
representa uma poderosa ferramenta na manufatura, controle de qualidade,
engenharia reversa e na modelagem dos esforços estáticos e dinâmicos a que estão
submetidos os componentes mecânicos. Em Medicina e Engenharia Biomédica, são
usadas em diagnósticos, modelagem de movimentos, estudos sobre materiais
utilizados em próteses e previsão de resultados cirúrgicos. Na Engenharia Civil, seu
uso ocorre na inspeção de grandes estruturas como pontes, edifícios, estradas e
túneis. E finalmente, na Robótica, são utilizadas, principalmente, na implementação
da visão automática de máquina.
As técnicas usadas para a medição do perfil topográfico de objetos são
classificadas em dois grupos: técnicas de contato e técnicas sem contato (Figura 1).
19
Figura 1 - Classificação das técnicas para aquisição da superfície de contorno.
Fonte: CURLESS, 2001.
Já as técnicas perfilométricas óticas podem ser classificadas em passivas ou
ativas, dependendo da aplicação de luz, sendo ativas, as que obrigam a iluminação
especial do objeto; e passivas, as que utilizam apenas a iluminação ambiente
(Figura 2).
Figura 2 - Classificação das técnicas óticas para aquisição da superfície de contorno.
Fonte: CURLESS, 2001.
As técnicas passivas se caracterizam por utilizarem apenas a luz ambiente
para iluminar a cena. A informação de distância é extraída a partir de uma ou mais
imagens de intensidade da cena. As técnicas passivas procuram extrair a
informação de distância a partir de uma ou mais imagens monoculares de
20
intensidade, obtidas com uma câmara fixa. De um modo geral, essas técnicas
permitem apenas obter informações acerca da orientação das superfícies ou da
distância relativa entre os pontos da cena, não possibilitando medir distâncias
absolutas. No entanto, existem técnicas de medida de distância absoluta que usam
imagens monoculares: o exemplo mais conhecido é o das técnicas de focagem que
recorrem à equação das lentes para determinar a distância das regiões bem focadas
de uma ou mais imagens de intensidade. Das técnicas passivas, a mais conhecida é
a estereoscopia, permitindo obter informação de distância a partir de duas ou mais
imagens de intensidade da cena, tomadas com uma ou mais câmaras colocadas em
posições diferentes, recorrendo ao principio da triangulação.
As
técnicas
ativas
de
aquisição
de
informação
tridimensional
são
caracterizadas pela projeção direta e controlada de energia sobre a cena,
recorrendo a um ou mais projetores e a um ou mais sensores. A energia projetada,
geralmente sob a forma de luz ou ultra-sons, é refletida pelos objetos da cena,
sendo detectada por sensores que, de forma mais ou menos direta, fornecem a
informação de distância. Entre as técnicas ativas está a Técnicas de Moiré, onde a
informação de distância é obtida a partir da interação entre um padrão de luz
projetado sobre uma cena e um padrão de referência.
As técnicas óticas têm como vantagem a rapidez e o fato de não ter contato
físico com os objetos em estudo, sendo, portanto, indicadas para o trabalho com
materiais biológicos sensíveis, tais como o corpo humano.
As técnicas óticas podem ainda ser classificadas em dois grupos: técnicas
com escaneamento e sem escaneamento. As técnicas com escaneamento são
representadas por triangulação, técnicas de luz estruturadas e radar laser. As duas
primeiras são baseadas em princípios de triangulação, e o radar laser é baseado na
medição do tempo de viagem do pulso de laser. Esses métodos, geralmente,
resultam em complicados sistemas computacionais e, normalmente, consomem
muito tempo para cobrir toda a superfície. Uma técnica sem escaneamento típica é a
Técnica de Moiré.
A Técnica de Moiré consiste na projeção de um conjunto de linhas paralelas
sobre a cena e na aquisição de uma imagem da mesma, recorrendo a uma câmara
deslocada em relação ao projetor, em frente da qual está colocado um retículo
idêntico ao usado para projetar as linhas. O padrão de Moiré é um padrão de
interferência de baixa frequência formado pela sobreposição de dois retículos com
21
padrões regularmente espaçados de frequência espacial mais elevada. O resultado
é um padrão constituído por franjas alternadamente brilhantes e escuras, chamadas
Franjas de Moiré.
Existe uma variante desta técnica, designada por Moiré de Sombra (Shadow
Moiré), que usa um único retículo colocada em frente de toda a extensão da
superfície em estudo, tão próxima desta quanto possível. A união das linhas do
retículo com as suas sombras na superfície do objeto dão origem ao conjunto de
Franjas de Moiré. Conhecido o espaçamento das linhas do retículo projetado, a
distância entre o projetor e a câmara, a distância do projetor/câmara ao retículo e o
número de ordem da superfície de contorno, é possível determinar a variação de
distância entre os pontos de duas franjas consecutivas.
Moiré de Sombra tem a vantagem de ser mais simples de implementar, mas
não pode ser aplicada em cenas de grandes dimensões devido à necessidade de
um retículo do tamanho da cena. Outras dificuldades são a de permitir apenas obterse informação da distância relativa entre as franjas e a determinação exata da linha
central de cada franja.
Nas Técnicas de Moiré tradicionais, muitas informações contidas entre duas
franjas vizinhas são perdidas. Por isso a partir dos anos 70, foram desenvolvidas
várias técnicas de medição de fase, que aplicadas às Técnicas de Moiré aumentam
grandemente sua resolução, precisão e repetibilidade.
A Técnica Moiré de Sombra necessita basicamente de uma fonte de luz, um
retículo mestre e, em geral, uma câmera fotográfica ou de vídeo como observador. A
sensibilidade em uma abordagem ordinária é da ordem do passo do padrão do
retículo utilizada. Em vista disso, técnicas para o aumento da precisão foram
desenvolvidas, como a Técnica Deslocamento de Fase (Phase Shifting).
A Técnica Deslocamento de Fase necessita normalmente de 3, 4 ou 5
imagens com pequenos deslocamentos do retículo entre elas. Estas mudanças no
retículo provocam alterações nas franjas geradas, deslocando assim a chamada
fase entre as imagens. Usando estas diferenças nas franjas obtidas em cada
imagem, a técnica consegue medir a superfície de contorno dos objetos estudados.
Essa técnica também pode ser aplicada a outras técnicas óticas além das Técnicas
de Moiré.
Quando se olha através de dois retículos sobrepostas, nota-se a formação de
padrões ou franjas, que são resultado da combinação das linhas dessas telas. Esse
22
fenômeno é chamado de fenômeno ou efeito de Moiré. A literatura relata muitos
trabalhos de sucesso usando a Técnica Moiré de Sombra, com ótima precisão.
Trata-se de uma técnica de baixo custo e alta sensibilidade.
1.2
Justificativa
A análise de formas tridimensionais é de elevada importância para uma
variedade de áreas. Na área de saúde, por exemplo, a avaliação de profundidade e
formas tridimensionais deve ser realizada constantemente durante a avaliação e o
tratamento de um grande número de patologias. Em Engenharia Mecânica, a
quantificação do desgaste de peças e mudanças de formas por vários fatores, tais
como temperatura ou carga, torna imprescindível a presença de uma análise
quantitativa segura. Na Engenharia Agrícola, fazem-se necessários estudos em
perfis topográficos de superfícies irregulares como órgãos vegetais, superfície do
solo, elementos de máquinas etc.
A utilização de uma técnica de medição sem contato, visando interferir o
mínimo possível no que se deseja medir, rápida e com níveis de erro baixos o
suficiente para a aplicação específica desejada, se torna necessária. Medições por
técnicas óticas são cada vez mais empregadas na Engenharia e na indústria.
Dentre das técnicas óticas, a Técnica Moiré é especialmente interessante, por
se tratar de um fenômeno ótico utilizado em um grande número de processos de
medição para a obtenção de valores de profundidade, forma, deslocamento,
desgaste, vibração, entre outros. Uma das formas de se utilizar a Moiré na medição
de profundidade e reconstrução de formas em três dimensões é através de uma
técnica chamada Moiré de Sombra. As principais vantagens da Técnica Moiré de
Sombra são a simplicidade, o baixo custo e a margem de erro pequena.
A medição continua presente no desenvolvimento tecnológico. É através da
medição do desempenho de um sistema que se avalia e se realimenta o seu
aperfeiçoamento. A qualidade, a segurança, o controle de um elemento ou processo
são sempre assegurados através de uma operação de medição. Medir é uma forma
de descrever o mundo. As grandes descobertas científicas e as grandes teorias
clássicas foram, e ainda são, formuladas a partir de observações experimentais.
23
Uma boa teoria é aquela que se verifica na prática. A descrição das quantidades
envolvidas em cada fenômeno se dá através da medição.
Do ponto de vista técnico, a medição é empregada para monitorar, controlar
ou investigar um processo ou fenômeno físico. Qualquer sistema de controle envolve
um sistema de medição como elemento sensor, compondo um sistema capaz de
manter uma grandeza ou processo dentro de certos limites. O valor da grandeza a
controlar é medido e comparado com o valor de referência estabelecido, e uma ação
é tomada pelo controlador, visando aproximar a grandeza sob controle deste valor
de referência.
Os recursos experimentais foram, e ainda são, uma ferramenta indispensável
com as quais diversas descobertas científicas tornaram-se possíveis. Problemas nas
fronteiras do conhecimento requerem, frequentemente, consideráveis estudos
experimentais em função de não existir ainda nenhuma teoria adequada. Estudos
teóricos e resultados experimentais são complementares e não antagônicos. A
análise combinada de teoria e experimentação pode levar ao conhecimento de
fenômenos com muito maior profundidade e em menor tempo do que cada uma das
frentes em separado. Através da experimentação é possível, por exemplo, testar a
validade de teorias e de suas simplificações, testar relacionamentos empíricos, e
determinar
propriedades
de
materiais,
componentes,
sistemas
ou
o
seu
desempenho.
Em todas as áreas da atividade humana há uma busca contínua e ininterrupta
por novos métodos, novos procedimentos que superem ou melhorem, em certo
sentido, aqueles já existentes. A pesquisa de novas técnicas de medições é de
fundamental importância para a ciência e a Engenharia. Medições mais precisas e
com erros e incertezas menores é uma constante na evolução da tecnologia.
Qualquer técnica que tenha a possibilidade de produzir melhores resultados de
Metrologia deve ser investigada e estudada. Esta é a principal motivação desta
pesquisa.
Em ensaios de Engenharia, assim como em várias outras áreas, o
conhecimento dessa incerteza é imprescindível visto que em muitos casos é
necessário fazer medições repetidas da mesma superfície para efeito de
comparação. Com o desconhecimento da margem de incerteza fica difícil confiar no
resultado da comparação.
24
1.3
Problema
Tendo em vista as dificuldades e complexidades dos métodos convencionais
para a determinação de dimensões, perfil, tensões, deformações, movimentos e
posições relativas de objetos em três dimensões, torna-se necessário concentrar
esforços na pesquisa de mecanismos alternativos para a análise experimental
desses objetos. A vantagem de se utilizar as Técnicas Moiré de Sombra é que elas
dispensam equipamentos e técnicas sofisticadas de aquisição de imagens.
Entretanto, é comum em algumas áreas, principalmente na área da saúde, as
avaliações serem realizadas apenas de forma qualitativa, ou ainda, se quantitativas,
não apresentarem dados acerca da incerteza do resultado de medição. A
apresentação de dados experimentais sem estimar suas incertezas ou, pior, sem
conhecer suas fontes de erro, torna qualquer técnica pouco confiável.
Toda medição está afetada por erros. Esses erros são provocados pela ação
isolada ou combinada de vários fatores que influenciam o processo de medição,
envolvendo o sistema de medição, o procedimento de medição, a ação de
grandezas de influência e o operador.
A repetição da operação de medição sobre o mesmo objeto leva mais tempo
e exige cálculos adicionais, mas é justificável em duas situações: quando se deseja
reduzir a incerteza da medição ou quando se trata de um mensurando variável. No
primeiro caso, a influência do erro aleatório diminui quando são efetuadas várias
medidas, o que pode vir a reduzir a incerteza da medição, portanto, a parcela de
dúvida ainda presente no resultado. Tratando-se de um mensurando variável, devese necessariamente efetuar várias medições, visando coletar um número suficiente
de indicações que permitam caracterizar a faixa de variação do mensurando. A rigor,
em termos preciosistas, não existem mensurandos invariáveis.
Surgem então questões de como repetir as medições quanto estas são
obtidas a partir de imagens fotográficas. A resposta apresentada pela Técnica
Deslocamento de Fase está em obter várias imagens fotográficas do mesmo objeto
deslocando o retículo de referência, ou dizendo de outra forma, alterando sua fase, e
assim, mudando as disposições das franjas projetadas no objeto.
25
A Técnica Deslocamento de Fase tradicional é extremamente dependente do
valor da mudança de fase entre as imagens. Qualquer erro no valor do
deslocamento de fase pode acarretar falhas e erros nas medições com esta técnica.
Uma alternativa interessante é o Algoritmo de Carré, que utiliza quatro imagens para
realizar uma medida sem necessidade de conhecimento do valor do deslocamento
de fases, que pode ser arbitrário, necessitando apenas que o passo do
deslocamento de fase seja constante entre cada imagem.
Pode ser interessante utilizar este algoritmo com mais de quatro imagens.
Uma
vez
que
cada
fotografia
é
uma
observação
ou
medida
obtida
experimentalmente. O número de medidas pode influenciar o erro ou a incerteza do
processo de medição. Ainda mais se sabendo que normalmente as imagens contêm
muitos ruídos e imperfeições de origens diversas que podem alterar os valores das
medições óticas.
1.4
Hipóteses
Com base em revisão bibliográfica e estudo de outras pesquisas realizadas
por diversos autores, o presente trabalho de pesquisa considera as seguintes
hipóteses:
•
é possível utilizar as Técnicas Moiré de Sombra para determinar, com
a necessária precisão, dimensões, perfis, deslocamentos e posições
relativas de objetos. Ou seja, a Técnica de Moiré pode ser aplicada
com resultados satisfatórios na geração de Modelos Digitais de
Elevação ou Topográficos de superfícies irregulares;
•
as imagens fotográficas contêm ruídos e imperfeições que vão produzir
erros nas medidas realizadas pela Técnica de Moiré. Há inúmeras
fontes de erro provenientes de vibrações mecânicas, variações de
temperatura,
sombras
e
reflexos
nas
imagens,
pequenos
deslocamentos e inclinações das montagens experimentais, má
calibração dos instrumentos de medição, além de muitas outras;
26
•
quanto maior a quantidade de medidas menor a influência do erro
aleatório nas medições, melhorando, assim, a precisão do processo.
Em termos estatísticos, um aumento no número de medições reduz a
incerteza das medidas;
•
é possível generalizar o Algoritmo de Carré para mais de quatro
imagens,
deduzindo
novas
equações
matemáticas
para
estes
processos e, também, estimar suas incertezas e suas fontes de erro
para tornar as técnicas confiáveis;
•
podem-se usar métodos numéricos e estatísticos para se obter e testar
as novas equações da generalização do Algoritmo de Carré. Um
grande número de testes numéricos pode avaliar ou verificar essas
novas equações ou, pelo menos, tornar mínimas ou remotas a chance
delas estarem erradas ou serem falsas.
A finalidade da pesquisa é desenvolver uma generalização do Algoritmo de
Carré, para que não fique mais restrita a quatro amostras. A razão para o fim da
restrição é o princípio de que quanto maior o número de imagens obtidas para uma
medição, menor a influência de erros aleatórios no processo. O Algoritmo de Carré é
utilizado em vários campos da Engenharia, mas, nesta tese, será aplicado a Técnica
Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.
Na imagem fotográfica está presente certa quantidade de ruídos e
imperfeições. Tais ruídos são as principais causas de erros nas medições realizadas
pela Técnica de Moiré. Acredita-se que com o aumento do número de observações
ou imagens com a generalização do Algoritmo de Carré, seja possível reduzir esta
falha e melhorar a precisão das medidas perfilométricas.
1.5
Objetivo geral
Esta tese tem como objetivo desenvolver uma generalização do Algoritmo de
Carré, para que não fique mais restrita a quatro amostras ou imagens. Além disso,
visa comparar estes novos algoritmos desenvolvidos de forma metrológica, usando a
Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.
27
1.6
Objetivos específicos
•
Desenvolver modelos matemáticos para se obter novas variantes do
Algoritmo de Carré, tendo o deslocamento do passo da fase desconhecido,
mas constante, para quatro ou mais imagens;
•
utilizar métodos numéricos para a obtenção dessas novas equações da
generalização do Algoritmo de Carré, alterando o enfoque do problema até
então tratado como analítico e algébrico;
•
analisar e testar, de forma metrológica, usando a Técnica Moiré de Sombra
com Deslocamento de Fase, as novas equações desenvolvidas, por meio de
análise de incerteza e de caracterização e estimação das prováveis fontes de
erro;
•
comparar as novas equações do cálculo de fase e, usando de Inferência
Estatística, determinar, na média, qual é a mais precisa e apresenta menor
incerteza nas medições.
1.7
Revisão de literatura
A revisão de literatura pode ser dividida em três principais grupos: o primeiro,
sobre a Técnica de Moiré; o segundo, sobre a Técnica Deslocamento de Fase com
ênfase no Algoritmo de Carré, e o terceiro, sobre métodos numéricos, mais
especificamente, sobre métodos de Otimização Inteira Não-linear.
Todos os três grupos tratam de tópicos bens abrangentes, com aplicação em
vários campos da Engenharia. É interessante notar que, apesar da importância
desses temas, eles são, em geral, desconhecidos pela maioria dos engenheiros no
Brasil. A tese ganha relevância ao discutir temas como a Técnica de Moiré, os
métodos de Otimização Inteira Não-linear, a Técnica Deslocamento de Fase e o
Algoritmo de Carré.
28
1.7.1
Estado da Arte
A Técnica de Moiré ganha importância devido ao grande avanço ocorrido com
o desenvolvimento da memória Flash, que é uma memória de computador do tipo
EEPROM, que permite que múltiplos endereços sejam apagados ou escritos numa
só operação. De maneira simplificada, trata-se de um chip reescrevível que, ao
contrário de uma RAM, preserva o seu conteúdo sem a necessidade de fonte de
alimentação. Essa memória é comumente usada em cartões de memória drives
flash, USB, em iPod e câmeras digitais. Atualmente, as câmeras digitais substituíram
as antigas câmeras com filme e, hoje em dia, apresentam um baixo custo e uma alta
resolução na imagem. Além disso, nas câmeras digitais mais modernas, parece
existir uma preocupação em reduzir o ruído e as distorções nas imagens obtidas e
aumentar a resolução em número de pixéis.
Além das câmeras digitais, a Técnica de Moiré é beneficiária da evolução das
técnicas
de
Processamento
Digital
de
Imagens
pelo
surgimento
dos
microcomputadores populares de alta performance e baixo custo, o que viabiliza o
tratamento de imagens de alta resolução em um tempo extremamente pequeno,
questão de segundos.
Esta melhora no tempo de processamento gerou o surgimento de diversos
filtros com a intenção de melhorar as imagens das fotografias tiradas antes do
processamento. A ideia principal é deixar as imagens quase sem ruído e, com isso,
obter medidas mais precisas. Uma novidade atual é o uso de filtros direcionais autoadaptativos. Nestes filtros, uma determinada direção em um bloco da imagem é
priorizada na melhora das franjas.
O Processamento Digital de Imagens é certamente uma área em crescimento.
O Processamento de Imagens vem, na realidade, do Processamento de Sinais. Os
sinais, como as imagens, são, na realidade, um suporte físico que carrega no seu
interior uma determinada informação. Esta informação pode estar associada a uma
medida (neste caso, fala-se de um sinal em associação a um fenômeno físico), ou
pode estar associada a um nível cognitivo (neste caso, fala-se de conhecimento).
Processar uma imagem consiste em transformá-la sucessivamente com o objetivo
de extrair mais facilmente a informação ou medida nela presente. Cabe, neste
momento, fazer uma comparação entre o Processamento Digital de Imagem e a
29
área de Computação Gráfica, técnica encontrada frequentemente aplicada nas
sequências animadas na televisão ou em filmes de cinema. A Computação Gráfica
parte de uma informação precisa para obter uma imagem ou um filme. O
Processamento de Imagens parte da imagem (de uma informação inicial que é
geralmente captada por uma câmera) ou de uma sequência de imagens para se
obter as informações ou medidas. Deste ponto de vista, o Processamento Digital de
Imagens e a Computação Gráfica são exatamente métodos opostos, mas isto não
quer dizer que as técnicas envolvidas em cada caso não possam ser as mesmas ou,
pelo menos, complementares. É evidente que, neste sentido, processar uma
imagem, como é realizado pelo sistema visual humano, é extremamente complexo.
Realizar as mesmas tarefas que o sistema visual humano, com a ajuda de
máquinas, exige, por antecedência, uma compreensão “filosófica” do mundo ou dos
conhecimentos humanos. Esta característica faz com que o processamento de
imagens seja, atualmente, uma disciplina com extrema dependência do sistema no
qual ele está associado, não existindo, no entanto, uma solução única e abrangente
para todos os problemas. Daí a não existência, até o momento, de sistemas de
análise de imagens complexos e que funcionem para todos os casos.
Normalmente, as técnicas de Processamento Digital de Imagens estão
baseadas em métodos matemáticos que permitem descrever quantitativamente
imagens das mais diversas origens. Uma imagem pode, de alguma forma, ser
descrita, independentemente do que ela representa e, a princípio, todos os
parâmetros
que
tem
uma
característica
bidimensional
ou
topológica
são
convenientes. Em cada objeto definido em um espaço, podem-se efetuar medidas
de superfície, perímetros, comprimentos, espessura, posição etc., para, em seguida,
deduzir grandezas estatísticas de uma forma automática. É importante ressaltar que
a análise automática é imprescindível quando se quiser efetuar transformações
sucessivas na imagem.
Outra
evolução
sentida
recentemente
está
nas
técnicas
de
desempacotamento (unwrapping), processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de
fase de uma função contínua que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial
predefinido) é recuperado. Esse valor absoluto é perdido quando o termo de fase é
coberto por si mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal
das funções de onda usada nas medições de propriedades físicas.
30
A determinação da fase é um problema geral e clássico, fundamental para a
interpretação de todo interferograma envolvendo a interferência de duas funções de
onda senoidais. A chave para se criar um algoritmo robusto de desempacotamento
de fase é se preocupar com a correta detecção dos saltos de fase. Em qualquer
padrão Moiré, as partes de mesma altura no objeto estão representadas nas franjas
como formas de colinas ou selas. O formato de sela aparece comumente nos pontos
de intersecção de mesma altura, e deve-se ter muito cuidado ao se interpretar esta
região na hora de somar ou subtrair a ordem de franja, principalmente, em mapas de
franja que apresentem ruídos.
A evolução atual está em tratar o processo de desempacotamento pelo
Método das Diferenças Finitas, como uma solução da equação de equilíbrio de
Laplace com condições de contorno de Newmann. Com esta técnica, são reduzidas
falhas na detecção dos saltos de fase, embora seja empregada a resolução de
grandes sistemas lineares, o que cria a necessidade de computadores modernos e
rápidos.
Vive-se, também, um grande desenvolvimento na Informática. Tanto em
hardware como em software, os microcomputadores são providos de enorme
capacidade de processamento (dezenas de MIPs – milhões de instruções por
segundo) e de quantidades, cada vez maiores, de memória principal (RAM com
dezenas de gigabytes) e secundária (discos e fitas de milhares de gigabytes). Isso
permite a aplicação eficiente de métodos numéricos complexos, que exigem enorme
volume de operações matemáticas com minimização dos erros cometidos na
resolução de problemas, viabilizada pelo surgimento de uma grande variedade de
programas computacionais, que implementam tais métodos e facilitam sua utilização
por parte de engenheiros, técnicos e estudantes.
A utilização da Estatística é cada vez mais acentuada em qualquer atividade
profissional da vida moderna. Nos seus diversificados ramos de atuação, as pessoas
estão frequentemente expostas à Estatística, utilizando-a com maior ou menor
intensidade. Isto se deve às múltiplas aplicações que o método proporciona àqueles
que dele necessitam. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística (indução,
consequência, conclusão) é a parte da Estatística que, baseando-se em resultados
obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou estimar
as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada. Portanto, a
Estatística Indutiva refere-se a um processo de generalização, a partir de resultados
31
particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões, ou seja, inferir
propriedades para o todo com base na parte, no particular. A Inferência Estatística
implica, pois, um raciocínio muito mais complexo do que o restante da Estatística.
Entretanto, bem compreendida e utilizada, pode converter-se em um instrumento
muito importante para o desenvolvimento de uma disciplina científica. O processo de
generalização, que é característico do método indutivo, está associado a uma
margem de incerteza. A existência da incerteza deve-se ao fato de que a conclusão,
que se pretende obter para o conjunto de todos os indivíduos analisados quanto a
determinadas características comuns, baseia-se em uma parcela do total de
observações. A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se
fundamentam na Teoria da Probabilidade.
Na Engenharia, a Análise Numérica torna-se fundamental para a concepção,
desenvolvimento e análise de equipamentos e projetos, uma vez que as aplicações
têm de satisfazer um conjunto maior de requisitos, como: baixos custos, alta
eficiência e eficácia, elevada confiabilidade e melhoria da qualidade e performance.
Para atender consumidores mais exigentes e a competitividade característica do
mundo globalizado, torna-se economicamente inviável, na Engenharia moderna, o
uso do método de tentativa e erro. As soluções analíticas e algébricas ficaram
impossibilitadas pela necessidade crescente de melhores equipamentos e projetos,
aliada a uma grande complexidade geométrica, efeitos tridimensionais e de
fenômenos físicos e químicos (que devem ser considerados pelo engenheiro) e
presença de diferentes materiais. Restam, praticamente, como único recurso, os
métodos numéricos de alta precisão e de adequada implementação computacionais.
Numa visão simplificada, o engenheiro transforma um problema físico em um
modelo matemático, utilizando o conhecimento das leis da Física e Química. Este
modelo precisa passar por uma fase de resolução, para se chegar à solução. Nesta
fase, os métodos numéricos atuam de forma predominante, uma vez que existem
grandes limitações nos métodos matemáticos analíticos e algébricos. Em problemas
práticos, encontrados hoje em dia, que apresentam uma alta complexidade,
somadas a um aumento da exigência e eficácia dos projetos de Engenharia
modernos, as soluções numéricas são as únicas alternativas disponíveis na
resolução dos modelos matemáticos.
32
1.7.2
Comentários da bibliografia consultada
Inicialmente, serão comentados trabalhos e dissertações atuais sobre o tema,
realizados no Brasil.
Sobre Técnica de Moiré, destaca-se no Brasil trabalho de pesquisa de LINO
(2002), que aplica duas técnicas à Moiré de Sombra, Multiplicação de Franjas e
Deslocamento de Fase, como metodologias para a geração de modelos digitais
topográficos de superfícies irregulares. Para tanto, utilizou-se um modelo de uma
pêra confeccionado em parafina, que foi pintado com tinta látex branca fosca, com a
finalidade de evidenciar as franjas de Moiré. Montou-se um esquema experimental
constituído de uma câmera fotográfica digital, um sistema de iluminação, um sistema
manual para micro deslocamentos do objeto e um retículo constituído de linhas
claras e escuras com espessura de 1,0 mm. Foram tomadas 4 imagens do objeto
com as franjas de Moiré, sendo que o objeto em estudo foi deslocado (afastado)
uma pequena distância do retículo, de maneira que as franjas se deslocassem ¼ de
fase entre cada uma delas. Utilizando-se estas imagens, após tratamento para a
remoção das linhas de Moiré, gerou-se um modelo digital da superfície da pêra. Para
validação, estas técnicas foram comparadas com o outro modelo digital gerado por
um Scanner 3-D Laser, que serviu como padrão. Os resultados mostram que as
Técnicas de Moiré estudadas obtiveram altas precisão e exatidão quando
comparados ao padrão. Ficou comprovado que a Técnica de Moiré também pode
ser aplicada com resultados satisfatórios na perfilometria de objetos com superfície
irregular, tais como órgãos vegetais, fornecendo resultados consistentes e
confiáveis. A Técnica Moiré de sombra com Multiplicação de Franjas é bastante
acessível a usuários com poucos recursos, pois embora trabalhosa, é simples de ser
executada, e utiliza programas computacionais de uso comum. A Técnica de Moiré
com Deslocamento de Fase é bastante rápida de ser executada, porém exige rotinas
computacionais específicas.
Em relação aos ensaios dinâmicos com a Técnica de Moiré, especial atenção
é dada a MAZZETI (2004), que usa um sistema que utiliza uma fonte de luz comum
para iluminação do disco em movimento, retículos obtidos através de técnicas
comercialmente disponíveis e uma câmera fotográfica digital. As imagens de um
disco flexível em movimento sobre um perfil que simula a ação do solo foram
33
registradas e processadas em aplicativos computacionais, fornecendo informações
relativas às deformações provocadas pelo movimento e ação do perfil. A análise
dessas informações indicou viabilidade e elevada precisão da Técnica Moiré de
Sombra para determinar as posições relativas de um disco giratório flexível, ao
acompanhar um dado perfil que simule a ação do solo nas operações de corte basal
de plantas e um excelente desempenho de varredura do perfil, pelo disco, nas
velocidades e inclinações usualmente empregadas no corte mecanizado de canade-açúcar.
Em SCALDAFERRI (2000), tem-se uma interessante e inovadora proposta
sobre o sistema de aquisição e processamento de imagens digitais obtidas a partir
da Técnica de Moiré. Trata-se de um dos primeiros trabalhos de pesquisa nacional
voltado para a criação de um programa computacional que implemente a Técnica de
Moiré sem utilizar softwares comerciais prontos. Esta pesquisa inspirou o autor desta
tese em desenvolver rotinas computacionais de simples e fácil entendimento e
manutenção, para a análise automática das franjas de fotografias de Moiré e sua
transformação em medidas científicas.
RIBEIRO (2006) apresentou o princípio ótico de Moiré de Sombra, abordando
suas qualidades e deficiências. Foi realizada, ainda, uma comparação de diversas
técnicas de remoção de salto de fase, onde uma delas foi eleita no final, sendo a
mesma utilizada em um experimento-exemplo. Uma análise experimental dos erros
da técnica foi realizada, assim como uma análise detalhada de erros da medição, de
forma numérica e prática. Discussões detalhadas dos diversos parâmetros do
sistema são apresentadas no final, complementando análise metrológica da Técnica
Moiré de Sombra.
Em COSTA (2006), é realizada uma análise de incerteza do sistema de
medição do arco medial plantar, usando Moiré de Sombra com Deslocamento de
Fase. Os resultados de medição desse sistema são imagens do perfil do pé, onde
cada pixel representa uma profundidade específica, obtendo-se uma incerteza de
medição da ordem de 5% do valor medido, significativamente menor se comparado
aos sistemas mais comumente usados. Conclui-se que a técnica pode ser usada
para a medição do arco medial plantar, visto que é um método sem contato e com
índice de incerteza adequado.
Em GOMES (2005), tem-se a proposta de uma metodologia para
investigações perfilométricas usando duas técnicas óticas: a interferometria e a
34
Técnica de Moiré. A perfilometria é uma técnica amplamente utilizada na construção
de mapas e gráficos de relevos aplicados a uma vasta área do conhecimento. Os
ensaios de Moiré foram realizados na Universidade Federal de Lavras (UFLA) e no
Instituto Agronômico de Campinas (IAC), em Jundiaí-SP. Foram usados um disco de
retículo, um mouse e um cone como corpos de prova para a determinação da
topografia e para as calibrações da metodologia. Uma vez realizada a calibração da
configuração experimental, foi promovido um mapeamento de uma lâmina elástica
imposta a ensaios de compressão. Os ensaios de interferometria foram realizados
no Centro de Investigações Óticas (CIOp) em La Plata, Argentina, utilizando-se a
lâmina elástica. A metodologia proposta para a calibração da Técnica de Moiré
geométrico mostrou-se capaz de realizar os mapeamentos com resolução máxima,
na ordem de centésimos de milímetros, confirmando-se que pode ser usada em
aplicações com níveis de precisão inferiores a esta ordem. Os ensaios com a
interferometria conseguiram resolução na ordem de 0,5 micrometros, atendendo a
faixas de deformações bem inferiores ao da Técnica de Moiré, podendo ser utilizada,
assim, em atividades que exijam maior nível de precisão e exatidão.
Em OLIVEIRA (2006), vê-se que a análise e recuperação de superfícies e
sólidos irregulares têm se tornado cada vez mais importantes nas mais diversas
áreas científicas e comerciais. As Técnicas de Moiré destacam-se como um método
ótico não invasivo, rápido e muito preciso de medição aplicável em diversas
situações. Entretanto, elas apresentam deficiências como sensibilidade a sombras e
dificuldade de recuperação de sólidos como um todo. Desta forma, propõe-se com o
presente trabalho uma nova abordagem das Técnicas de Moiré para a recuperação
de formas tridimensionais que minimizem essas deficiências, confirmando a
importância de tais métodos no estudo e determinação de superfícies e volumes
dentro de suas inúmeras áreas de aplicação.
HERTZ (2005) desenvolveu uma técnica alternativa, fidedigna e de custo
reduzido aos raios-X, para avaliar a postura humana e problemas posturais. O
método é baseado em um tipo de Técnica de Moiré que usa sombra para definir
diferentes padrões de imagens. Foram construídos, testados e comparados três
protótipos para padronizar as variáveis importantes inerentes a esta técnica. Testes
preliminares realizados com os protótipos 1 e 2 demonstraram suas limitações e
conduziram ao desenvolvimento do protótipo final, que possibilitou visualizar a região
torácica dorsal do indivíduo com melhor qualidade. A precisão desse terceiro
35
protótipo, alcançada através dos cálculos de calibração, apresentou um desvio
padrão de 0,051mm, indicando uma baixa variação entre as franjas. Acredita-se que
este estudo motiva o uso desta técnica como alternativa de baixo custo para uso em
diferentes avaliações relacionadas à postura humana e doenças associadas.
DEL-VECCHIO (2006) desenvolveu uma metodologia capaz de realizar o
mapeamento topográfico tridimensional de contornos livres e de contornos
biomecânicos, criando um sistema de medição sem partes móveis compacto, com
um número reduzido de componentes óticos mecânicos e, portanto, simples,
permitindo a sua aplicação em indústrias, consultórios médicos e instituições de
ensino, por exemplo. O sistema desenvolvido foi composto por um projetor LCD
(display de cristal líquido), uma câmera fotográfica digital CCD (dispositivo de carga
acoplada) e um microcomputador. A configuração do sistema foi tal que a unidade
de projeção iluminou a superfície em estudo (contorno livre) sob um ângulo oblíquo,
enquanto a câmera fotográfica observou a mesma superfície ortogonalmente.
Padrões de franjas compostos por linhas verticais brancas e pretas foram gerados
digitalmente e projetados sobre o contorno a ser medido. A Técnica Deslocamento
de Fase foi incorporada à Técnica de Moiré de Projeção, de forma a viabilizar
medições automáticas, ou seja, sem a intervenção do usuário. Para tais medições foi
desenvolvido um programa dedicado de processamento de imagens, que reúne
todos os algoritmos necessários ao cálculo do perfil tridimensional do contorno, a
partir de imagens bidimensionais em escala de cinza. Este trabalho apresentou os
resultados obtidos pelo sistema de medição proposto para diferentes contornos de
dimensões diversas. Uma breve análise metrológica das possíveis fontes de
incerteza do sistema medição foi apresentada e a incerteza de medição do sistema
proposto estimada. Os resultados de medição obtidos com o sistema de medição
proposto demonstram a sua aplicabilidade na indústria e na Bioengenharia.
Em termos de livros publicados sobre a Técnica de Moiré, destacam-se as
publicações abaixo citadas.
Uma competente revisão bibliográfica sobre a Técnica de Moiré é iniciada
com uma consulta a CLOUD (1998), cujo processo de pesquisa começa com um
estudo sobre análise experimental de tensão e uso de técnicas óticas de análise em
Engenharia Mecânica. O autor cita diversos métodos óticos e, entre eles, a Técnica
Moiré de Sombra. Trata-se de um ótimo ponto de partida, por detalhar muitas
36
aplicações em Engenharia. Referência universal da Técnica de Moiré, esta pesquisa
é muito usada em medições óticas.
Outra pesquisa que faz uma introdução à Técnica de Moiré, é a realizada por
DURELLI et al. (1970), que aplica Moiré na análise de tensões e deformações.
Trata-se de um dos primeiros registros acadêmicos do uso dessa técnica ótica,
constituindo-se numa referência histórica do início da análise automática de franjas.
É interessante notar como o método era aplicado e como as medições eram
processadas.
A pesquisa de DALLY et al. (1991) sobre análise experimental de tensão traz
também uma introdução didática sobre a Técnica de Moiré, e revela a intima ligação
entre medição de tensão, deformação e Moiré. Depois de uma explicação teórica, o
estudo mostra uma série de aplicações em Engenharia com ilustrações e
detalhamento dos experimentos. Outras técnicas óticas são também citadas e
comparadas.
Na sequência natural das referências sobre Moiré, vem PATORSKI (1993),
que realizou um estudo que traz, em detalhes, a descrição de experimentos e
montagens dessa técnica ótica. O estudo apresenta, também, uma forte base teórica
sobre o tema, sendo, sem dúvida, uma referência de consulta para qualquer
profissional que opte por utilizar a Técnica de Moiré.
Em POST et al. (1994), verificam-se avanços na Técnica de Moiré, através de
uma busca por métodos de alta sensibilidade e precisão. O estudo é todo voltado
para essa técnica ótica, e traz descrições de resultados muito bons com erros da
ordem de micrometros e nanômetros. Apresenta montagens com custos,
sofisticação e equipamentos bem diferentes da realizada nesta tese, mas mostra a
evolução que se está atingindo e o estado da arte em Moiré.
A pesquisa de RASTOGI (2001) mostra analogias de técnicas usadas em
Moiré e em interferometria. O autor realiza também um interessante estudo sobre
erros e incertezas em medidas óticas, com um forte apelo à implementação dos
métodos de medições.
Em ASUNDI (2002), podem ser vistas implementações completas em
MatLab® com código-fonte da Técnica de Moiré de Sombra com Deslocamento de
Fase. Esse estudo foi a base para se fazer o programa em MatLab® que
implementa a Técnica de Moiré. Acompanha a obra de ASUNDI um CDROM com as
listagens das rotinas. Trata-se de excelente consulta para quem deseja usar,
37
implementar ou programar Moiré em MatLab®. As rotinas são todas documentadas
e o texto mostra sua utilização e execução, apresentando, além disso, exemplos
comentados.
Cita-se, ainda, ROBINSON et al. (2003), sobre análise interferométrica e
técnicas óticas comuns a Moiré. A pesquisa detalha as técnicas óticas e traz
inúmeras aplicações. O autor considera o estado da arte em interferometria, o que
faz desta obra uma consulta obrigatória para os atuais pesquisadores da área de
medições óticas.
Com relação a teses e dissertações internacionais sobre a Técnica de Moiré
gostaria de citar as referências abaixo.
Em WANG (2003), tem-se o estudo da tese do criador do software Rising-Sun
Moiré® (detalha a construção do programa computacional), que foi orientado por um
dos mais importantes pesquisadores da área – BONGTAE HAN, um dos autores de
POST et al. (1994). Essa pesquisa de WANG (2003) detalha também os filtros
direcionais. É bem possível que, segundo o autor, em 2011, o programa Rising-Sun
Moiré® se torne um software livre (Freeware) com código-fonte aberto.
Outra interessante pesquisa internacional é de HAN (2005), que traz um
importante estudo sobre erro aplicado a Moiré Interferométrico, que pode ser
expandido para Moiré de Sombra. É interessante notar, neste estudo, o alto nível
das pesquisas internacionais sobre a Técnica de Moiré e a linha de pesquisa
seguida atualmente. A busca por precisão e sensibilidade é uma constante neste
trabalho.
Em termos de artigos nacionais sobre Moiré, destacam-se, nesta tese, os
abaixo citados.
O estudo de SMITH et al. (2000) traz detalhes de como gerar imagens de
Franjas de Moiré no computador e realizar medições usando as imagens geradas e
implementando a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. O artigo é
muito didático e constitui uma ótima referência para quem está se iniciando no tema.
Nesta tese, o referido estudo embasou a criação de imagens por computador.
Cita-se, também, o estudo de RODRIGUES et al. (2003) sobre a utilização de
Moiré para detectar alterações posturais na coluna vertebral de pacientes, de fácil
entendimento e com aplicação na área de saúde. A pesquisa detalha o método
usado e os resultados obtidos, além de mostrar uma importante aplicação da
Técnica de Moiré com uso prático e imediato.
38
Com relação aos artigos científicos internacionais sobre Moiré, foram
catalogados, no planejamento de pesquisa desta tese, aproximadamente, mais de
100 estudos, obtidos, sem custo, em site da Internet1, usando-se a rede de
computadores da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Destacam-se,
entre eles, os artigos abaixo citados.
CREATH (1988) realizou um importante estudo sobre erro na medição ótica
de imagens, sendo o mesmo utilizado no presente trabalho de pesquisa para a
formulação da análise de erro. É interessante notar que a autora segue escrevendo
dezenas de artigos, avançando o estudo do tema. O artigo é uma referência
consagrada na discussão inicial sobre incerteza nas medições.
DIRKX et al. (1990) elaborou a descrição de como a Técnica Deslocamento
de Fase melhora a precisão da aplicação pura e simples de Moiré com uma única
imagem. No referido estudo, aparece, pela primeira vez, a ideia de que se
aumentando o número de imagens se aumenta a precisão das medidas. Vale
salientar que a Técnica Deslocamento de Fase é uma alteração do método padrão
Moiré de Sombra, com o intuito de melhorar a precisão. No método padrão de Moiré
com uma única imagem, a precisão é muito dependente do espaçamento do retículo.
Na elaboração desta tese, o citado pesquisador colaborou gentilmente com este
autor, eliminando, por meio de correspondência, algumas dúvidas de natureza
técnica.
GASVIK (1983) foi utilizado, nesta tese, para o aprendizado e compreensão
da técnica. Sua pesquisa abrange o fundamento da Técnica Moiré de Sombra,
constituindo-se na base teórica para o desenvolvimento de implementações
computacionais. Trata também do uso de Processamento Digital de Imagens com
Moiré. Constituiu-se numa importante referência histórico-evolutiva das medições
óticas.
Em LU et al. (2002), têm-se estudos e variantes da Técnica de Moiré na
medição de objetos em três dimensões. O estudo se baseia na intensidade de fase e
em sua modulação. Nota-se que existe atualmente uma grande variedade e
diversidade de Técnicas de Moiré em uso e com aplicações das mais diversas, o
que
1
complica,
até
mesmo,
http://www.sciencedirect.com/
sua
classificação
e
sistematização
didática.
39
Constantemente, observam-se novas e diferentes formas de aplicar, utilizar e medir
usando Moiré. A criatividade e engenhosidade demonstradas são fantásticas.
Com relação ao Algoritmo de Carré, faz-se importante citar os principais
artigos internacionais utilizados na elaboração desta tese.
Em CARRE (1966), tem-se a descrição da criação do algoritmo e de seu uso
em um microscópio fotoelétrico. É interessante notar que o criador da técnica não
tinha a ideia da importância e do vasto campo de aplicação que o seu algoritmo
alcançaria. O autor trabalha na análise de quatro frequências defasadas entre si de
um valor desconhecido, mas igualmente espaçados.
NOVAK (2003) apresenta a expansão do Algoritmo de Carré para cinco
imagens e uma profunda análise de erros nas medidas obtidas. O autor cita
inúmeras
equações
com
cinco
imagens
obtidas
por
meio
de
relações
trigonométricas, e tenta encontrar a melhor delas: a que apresenta o menor erro.
Em novo estudo, NOVAK et al. (2008) mostra a expansão do Algoritmo de
Carré para seis, sete e oito imagens, fazendo uma análise de erros nas medidas. As
várias equações obtidas por meio de relações trigonométricas são citadas. É
interessante notar que o autor não segue uma regra de formação nas equações
testadas, e que seu desenvolvimento é todo algébrico. NOVAK aplica as equações e
as testa em interferometria.
CAI et al. (2004) aplicou a Técnica Deslocamento de Fase para fases
desconhecidas e desenvolveu métodos numéricos para descobrir tais fases. A
preocupação do autor não é com a melhora da precisão das medidas, mas aplicar a
Técnica Deslocamento de Fase, quando se tem muitas imagens com os
deslocamentos de fase aleatórios.
WANG et al. (2007) também aplicou a Técnica Deslocamento de Fase para
fases desconhecidas e desenvolveram métodos numéricos para se descobrir as
fases. Da mesma forma que CAI et al. (2004), a preocupação do autor não é com a
melhora da precisão das medidas, mas com a aplicação da Técnica Deslocamento
de Fase quando se tem muitas imagens (3, 4 e 5) com os deslocamentos de fase
aleatórios.
Com relação ao algoritmo de desempacotamento (unwrapping) são
destacadas, nesta pesquisa, as referências abaixo.
GHIGLIA et al. (1998) fundamenta a teoria de desempacotamento,
apresentando um algoritmo para se realizar o processo, tornando-se um dos
40
precursores da aplicação prática da técnica. Seu estudo é basicamente didático, e
traz, passo a passo, a implementação do algoritmo proposto, sugerindo, também,
um modelo matemático.
PRITT et al. (1994) traz um algoritmo de desempacotamento em duas
dimensões,
usando
um
modelo
matemático
dos
Mínimos
Quadrados
e
Transformadas Rápidas de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform). O autor mostra
detalhes de sua implementação computacional e exemplifica todo o processo.
HUNTLEY (1989) mostra como os algoritmos de desempacotamento são
sensíveis a ruídos e distorções, iniciando a busca por métodos que sejam imunes
ou, no mínimo, menos sensíveis a ruídos nas imagens. É interessante citar que, em
todas as etapas das aplicações das Técnicas de Moiré, existe uma busca constante
na eliminação de ruído e falhas nas imagens. A ideia é sempre tentar melhorar a
precisão das medidas.
MARROQUIN
et
al.
(1995)
traz
um
algoritmo
alternativo
para
o
desempacotamento de imagens em duas dimensões, usando funções quadráticas.
Atualmente, o que existe é uma comparação entre os diversos algoritmos de
desempacotamento para verificar qual apresenta maior imunidade a ruídos e qual é
computacionalmente mais eficiente e robusto. Vários modelos matemáticos são
apresentados e comparados.
Com relação às publicações sobre Processamento Digital de Imagens, optouse, neste estudo, pelas referências abaixo citadas.
GONZALEZ et al. (2000) traz uma ótima introdução ao Processamento Digital
de Imagens, trabalhando, inclusive, com filtros que são usados nesta pesquisa,
como os filtros Passa Baixo e os filtros Gaussianos, utilizando, também, filtros no
domínio da frequência e transformadas de Fourier. Trata-se, sem dúvida, de uma
referência consagrada em Processamento Digital de Imagens.
Em GONZALEZ et al. (2004), toda a teoria discutida sobre Processamento
Digital de Imagens é implementada com rotinas em MatLab®. Tais rotinas foram
usadas no presente trabalho de pesquisa, e podem ser obtidas pela Internet. São
filtros que tratam inicialmente as imagens antes do cálculo de fase. O uso dessas
rotinas é estendido à geração de imagens de franjas de Moiré, para dar veracidade e
realidade a elas.
Em GOMES (2003), tem-se uma introdução sobre Computação Gráfica de
fundamental importância para a fácil compreensão da presente tese. Trata-se de
41
pesquisa de perfil didático sobre os princípios da análise de imagens, sendo uma
excelente referência em língua portuguesa.
BOVIK (2003) desenvolveu estudo sobre o estado da arte no plano do
Processamento Digital de Imagens, apresentando uma modelagem matemática
sobre ruídos e distorções nas imagens. Modelos matemáticos e estatísticos simulam
falhas em fotografias digitais.
PEDRINI et al. (2008) apresenta os fundamentos do tratamento de imagens
digitais. Modelagens matemáticas de ruídos são estudadas, sendo realizado,
também, um aprofundamento da teoria de filtros no domínio da frequência. A
pesquisa aborda o estado da arte em termos de transformadas de imagens e
métricas de qualidade em fotografias digitais. Erros em imagens são tratados em
detalhes.
Com relação à Otimização e referência sobre o Método Branch-and-Bound,
destacam-se os estudos abaixo citados.
HILLIER et al. (2006) elaborou uma introdução à Pesquisa Operacional e à
Otimização, apresentando o Método Branch-and-Bound para Programação Inteira
Linear, e detalhando o Método Simplex de Programação Linear. Neste mesmo
estudo, desenvolveu uma introdução à Programação Não-linear. Trata-se de uma
referência universal sobre Programação Matemática e Otimização.
MAHEY (1987) desenvolveu pesquisa sobre Programação Não-linear,
trazendo algoritmos prontos para sua implementação, além de fazer uma revisão
didática sobre a sua matemática. Seu estudo é de fácil compreensão, mas
inquestionavelmente desafiante, porque apresenta métodos cada vez mais
sofisticados para resolver os problemas de Otimização Não-linear.
GOLDBARG et al. (2005) realiza uma introdução à Otimização Discreta. Seu
estudo apresenta, também, um histórico da evolução dos métodos de Otimização,
fornecendo uma rica referência bibliográfica sobre novos métodos de Programação
Matemática. Algoritmos e pseudo-algoritmos são apresentados em detalhes.
BERTSEKAS (2003) apresenta um aprofundamento das técnicas de
Programação Não-linear. Nesta tese, sua pesquisa foi utilizada como base para a
implementação e programação de métodos de Otimização Não-linear acoplado com
o Método Branch-and-Bound, que minimiza e reduz a avaliação da função objetiva.
O Método Branch-and-Bound realiza uma pesquisa inteligente em uma estrutura de
árvore na busca de soluções ótimas, tendo como base o Método Simplex de
42
Programação Linear ou Método dos Gradientes Conjugados de Programação Nãolinear.
BAZARAA et al. (1993) também realizou estudo sobre Programação Nãolinear, completando a teoria sobre o tema. Algoritmos são detalhados e explicados
passo a passo. O autor se valeu de uma interessante aproximação das derivadas
por diferenças finitas e de uma extrapolação dessas, objetivando uma melhor
precisão dos cálculos das derivadas através de métodos numéricos.
TAHA (2007) finalizou o estudo sobre pesquisa operacional e otimizações.
Em sua pesquisa, o autor implementou e testou várias das técnicas de Programação
Inteira Não-linear. Nota-se que os métodos de Otimização Inteira Não-linear, dentre
eles, o Método Branch-and-Bound, são relativamente novos, e sua programação
computacional de forma eficiente apresenta certa complexidade e dificuldade.
Com relação aos métodos numéricos, foram consultadas as referências
citadas a seguir.
KHARAB et al. (2002) pesquisou os principais métodos numéricos de cálculo
implementados em MatLab®. Seu estudo foi fundamental para a elaboração desta
tese, já que boa parte dos programas e rotinas nela desenvolvidos são em MatLab®.
Nele também foram colhidas rotinas como a do Método de Newton-Raphson para
sistemas não lineares. De perfil didático, o estudo apresenta exemplos e
implementações documentados e comentados.
HOFFMAN (2001) elabora uma competente introdução sobre as disciplinas de
Métodos Numéricos e Cálculo Numérico. Uma vasta teoria sobre erros, precisão
numérica, estabilidade e convergência das técnicas numéricas pode ser encontrada
em seu estudo, altamente indicado para pesquisadores que estão se iniciando na
análise numérica e pretendem implementar e usar métodos numéricos.
CHAPRA et al. (1998), por sua vez, estudou os métodos numéricos usando o
MatLab® e o Microsoft Excel®. Sua pesquisa conquistou o prêmio de melhor obra
em Análise Numérica, no ensino da Engenharia. Detalhes sobre erros de
arredondamento e sua propagação em operações matemáticas podem ser vistos em
seu estudo. Regras e sugestões de como reduzir a propagação de erro de
arredondamento também são tratados pelo autor. Como exemplo, o autor explica
que: se multiplicar um número por um valor muito alto, o erro de arredondamento do
número é também multiplicado por este mesmo valor; logo, os métodos numéricos
43
devem ser desenvolvidos de forma a não permitir multiplicações por valores grandes
ou divisões por valores muito pequenos.
CLAUDIO et al. (2000) estudou os algoritmos dos principais e mais comuns
métodos de Cálculo Numérico. Sua pesquisa foi utilizada nesta tese como referência
para implementação das técnicas de solução de sistemas lineares usadas nos
algoritmos de desempacotamento. O Método de Gauss com Pivotação Parcial
mostrou-se muito eficiente e eficaz na solução de sistemas lineares com milhares ou
até mesmo milhões de equações e incógnitas onde a maior parte dos coeficientes
eram zero, apresentando sistemas esparsos. Como a maioria dos termos era zero e
a pivotação se baseia no escalonamento de matrizes, a solução de tais sistemas
lineares com milhões de equações e incógnitas foi realizada pelo computador de
maneira bem rápida e precisa. Portanto, esse estudo foi de fundamental importância
para o sucesso dos métodos implementados nesta tese.
CARNAHAN et al. (1969) desenvolveu estudo sobre a utilização do Método
das Diferenças Finitas na resolução da equação de Laplace, teoria utilizada nos
algoritmos de desempacotamento testados nesta tese. Apesar de antiga, sua
pesquisa é uma das melhores referências em termos de Cálculo Numérico e Análise
Numérica, pois apresenta implementações muito simples na Linguagem Fortran,
possibilitando que seja facilmente transformada em Linguagem Pascal. A teoria e
aplicação de diversos métodos numéricos podem ser estudados e pesquisados
nesta obra.
Com relação à Estatística e Inferência, foram utilizadas nesta tese as
pesquisas abaixo citadas.
TRIOLA (2008) apresenta uma introdução sobre Estatística básica, além de
técnicas que descrevem o uso do método estatístico e da inferência na comparação
de tratamentos. O livro ensina como utilizar o software Minitab® para cálculos e
análise de dados experimentais, teoria aplicada nesta tese, visando à comparação
das medidas obtidas com as várias equações novas do cálculo de fase criadas. O
texto traz informações de como usar a parte Estatística do Microsoft Excel®,
constituindo-se numa referência consagrada e mundialmente usada em Estatística e
Probabilidade. Para facilitar ainda mais a vida do pesquisar, o estudo apresenta
algoritmos e fluxogramas a serem seguidos na análise e comparação dos dados.
WALPOLE et al. (2007) elaborou uma introdução sobre Estatística, mas
detalhando muito mais a parte matemática e numérica. Como exemplo, tem-se o
44
cálculo numérico dos valores de P (é a probabilidade de que a amostra podia ter
sido tirada de uma população sendo testada, supondo que a hipótese nula seja
verdadeira; um valor de 0,05, por exemplo, indica que existe uma probabilidade de
5% de que a amostra que se está a testar possa ser tirada, supondo que a hipótese
nula é verdadeira), aonde se chega à resolução numérica de uma integral. Este
estudo mostra como fazer este tipo de cálculo usando quadratura numérica. O autor
utiliza conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral no estudo da Estatística.
MANN (2006) apresenta vários exemplos do teste da hipótese e da
comparação de duas médias usando o Teste T-Student. O texto traz a teoria e
prática juntas, através de exercícios resolvidos que auxiliam a compreensão do
assunto. Trata-se de uma referência excelente para estudantes de Estatística e
Probabilidade.
MONTGOMERY et al. (2004) elabora uma introdução à Estatística voltada
para a Engenharia. Medições e aplicações práticas de Engenharia são apresentadas
e resolvidas. O autor se utiliza de uma matemática um pouco mais avançada, que
exige o conhecimento de cálculo diferencial e integral, complementando o estudo de
probabilidade e de distribuições contínuas.
FARIAS et al. (2003) apresenta uma ótima referência para uma introdução à
Estatística. Com uma explanação resumida e rápida, o autor aborda os principais
tópicos da Inferência Estatística e do método estatístico, através de exemplos
interessantes como o uso do Teste T-Student para se comprovar a teoria da
evolução de Darwin. Este mesmo teste é usado neste trabalho de pesquisa.
Com relação à Metrologia e estudo de medidas, foram utilizadas nesta tese as
pesquisas abaixo citadas.
GONÇALVES (1996) apresenta a base da Metrologia, além de cuidados que
devem ser tomados ao se realizar medidas. Trata-se de uma introdução às
medições em Engenharia. Com uma linguagem muito simples e clara, o autor
aborda conceitos sobre erros nas medições, incertezas e a diferença entre precisão
e exatidão, e explica porque se devem realizar várias medidas repetidas para chegar
a um resultado melhor e mais confiável.
GUIMARÃES (1999) realiza um estudo da Metrologia direcionado ao campo
da indústria, apresentando regras práticas que devem ser seguidas para se obter
uma melhor medida. Vários métodos experimentais são descritos e detalhados, e
técnicas experimentais são apresentadas.
45
LIRA (2007) realiza um estudo detalhado dos métodos experimentais. Citando
normas do INMETRO, da ABNT e da ISO, o autor explica como seguir as normas e
quais são a mais adequada para cada caso. Um glossário de termos técnicos e
definições rigorosas em Metrologia são anexados ao estudo. Trata-se de uma
referência indispensável para estudantes e pesquisadores.
CORDERO et al. (2007) propõem uma metodologia para a análise de
incerteza em algoritmos do cálculo de fase. Usando de bases Estatísticas, esta
pesquisa analisa e testa equações que utilizam muitas imagens e com deslocamento
de fase conhecidos e determinados. Chega-se a importante conclusão que se
utilizado equações com um elevado o número de imagens tem-se uma redução da
incerteza da medição. Assim, o uso de um maior número de imagens no cálculo de
fase melhora a precisão das medidas quanto o deslocamento de fase é conhecido.
Além de todas as referências citadas, foram consultados manuais de software
e programas computacionais, referências históricas e evolutivas de métodos e
técnicas científicas, acrescidas de textos sobre Programação Estruturada de
Computadores, Orientação a Objetos, Análise de Sistemas e Engenharia de
Software. A Computação e Desenvolvimento de Sistemas têm presença marcante
nesta pesquisa científica. A Informática foi parte integrante do seu desenvolvimento,
contribuindo de forma crucial para a execução de uma enorme quantidade de
cálculos e tarefas.
1.8
Metodologia
No desenvolvimento deste estudo, foi utilizada a bibliografia pertinente ao
tema, de uso comum nas redes públicas e particulares de ensino, livros encontrados
em livrarias e bibliotecas, além de vasta pesquisa na Internet. Formou-se, assim, um
grande levantamento bibliográfico sobre Técnica de Moiré, Algoritmo de Carré e
Método de Otimização Não-linear de Branch-and-Bound. Além disso, foi realizada
uma análise dos livros, trabalhos científicos, artigos e textos complementares que
poderiam ser usados na pesquisa.
A fim de se verificar a capacidade da Técnica Moiré de Sombra em
determinar a topografia de objetos (perfilometria) com superfície irregular, foi
46
realizada a montagem dos equipamentos e uma série de experimentos na medição
de objetos (manequim, frutas, peças de madeira pintadas de branco, objetos
cilíndricos ou esféricos, planos inclinados e blocos de padrões métricos) e
programas de computador em MatLab® que implementam o Moiré de Sombra com
Deslocamento de Fase. Também foram realizadas análises de incerteza e erro nas
medidas e a comparação dos resultados com softwares comerciais que
implementam a Técnica de Moiré, como o Rising-Sun Moiré (WANG, 2008) e o Fran
(JUDGE, 1996).
Após os testes de medição de topografia usando a técnica padrão Moiré de
Sombra, implementou-se o Algoritmo de Carré, onde o deslocamento de fase é
desconhecido e o passo é constante entre cada fase utilizando quatro imagens. A
ideia era testar o programa em MatLab® com o Algoritmo de Carré. E em seguida,
adaptá-lo para utilizar a generalização do Algoritmo de Carré, que não fica restrito a
quatro imagens. Para tal, desenvolveu-se um programa em Delphi/Pascal®, para
implementar o método de Otimização Inteira Não-linear de Branch-and-Bound.
Com a implementação computacional de Branch-and-Bound foram criadas
centenas de equações para o cálculo de fase, onde o deslocamento de fase é
desconhecido, mas o passo é constante entre cada fase, utilizando-se mais de
quatro imagens. Essas equações foram testadas matematicamente para verificar
sua validade e veracidade. Usou-se, também, o software comercial de Otimização
Lingo®, para confirmar essas mesmas equações do cálculo de fase. Tanto o Lingo®
como a implementação de Branch-and-Bound obtiveram sucesso no encontro de
novas equações do cálculo de fase, usando-se o modelo matemático da
generalização do Algoritmo de Carré.
Trabalhando com essas centenas de equações inéditas do cálculo de fase,
verificou-se que, em muitas delas, havia regras de formação e simetrias. Usando
estas regras, tentou-se chegar a um esquema (algoritmo) para a criação de
equações do cálculo de fase sem a utilização de qualquer técnica numérica. Este
esquema foi testado computacionalmente com o número de imagens variando de
quatro até alguns milhões de frames (quadros ou imagens), usando-se muitos
valores gerados aleatoriamente e cálculos numéricos.
Utilizando-se as rotinas dos programas feitos em MatLab® que implementam
a Técnica Moiré de Sombra, as medidas da topografia de objetos foram realizadas
com as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas anteriormente. Usando
47
objetos com dimensões conhecidas ou de fácil estimação, obteve-se o erro em
milímetros da aplicação da Técnica Moiré de Sombra com cada uma destas novas
equações. Para comparação das medidas e dos erros encontrados nas medições
usou-se a Inferência Estatística. As melhores equações obtidas foram selecionadas.
Além disso, foi realizado um estudo com o tratamento de imagens, onde, em
vez do uso de fotografias reais de Franjas de Moiré, as imagens foram criadas no
computador. Usando-se o conhecimento de Processamento Digital de Imagens,
ruídos e distorções foram acrescidos as imagens geradas, a fim de torná-las o mais
próximo possível do real.
Utilizando-se novamente as rotinas em MatLab® que implementam a Técnica
de Moiré de Sombra com as novas equações do cálculo de fase, foram realizadas
medições e análises de erros com essas imagens geradas no computador, usando
objetos imaginários (funções matemáticas da superfície de uma curva). O objetivo
desse trabalho foi testar e comparar as novas equações do cálculo de fase criadas
com o Método Branch-and-Bound.
A simulação, ou Moiré inverso, consiste na produção de imagens Moiré de
Sombra correspondente a um dado campo de deslocamentos teórico. A utilização de
Moiré inverso tem se mostrado particularmente útil na verificação da validade das
novas técnicas para processamento automático de padrões Moiré de Sombra,
tornando-se uma ferramenta indispensável na verificação dos erros computacionais,
diferentes dos erros experimentais, presentes em qualquer método computacional
para análise de padrões Moiré de Sombra que utilize Processamento Digital de
Imagens.
Além disso, foram desenvolvidos programas em Delphi/Pascal® para analisar
de forma metrológica o erro e a incerteza padrão e expandidas das novas equações
do cálculo de fase criadas na tese. Esta análise possibilitou uma comparação entre
os algoritmos de cálculo e verificar quais apresentavam melhor precisão.
Ao final da pesquisa, há uma análise comparativa das medidas experimentais,
usando-se as Técnicas de Moiré com as novas equações do cálculo de fase criadas.
Conclusões e aproximações foram então construídas com base nesta Análise
Estatística, e a sugestão de propostas para futuros trabalhos.
48
1.9
Recursos
Todos os recursos materiais utilizados nesta pesquisa pertencem ao
Laboratório de Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, e foram cedidos para que a tese pudesse ser elaborada. Do material
utilizado, destacam-se, com especial atenção, alguns itens descritos a seguir.
O retículo de franjas foi confeccionada com o uso de uma transparência
afixada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem 3 mm de espessura, com 260
mm de comprimento e 220 mm de altura. O vidro foi cuidadosamente limpo, ficando
sem arranhados ou trincas. Foi utilizada uma impressora de jato de tinta para a
impressão do retículo na transparência. O padrão de impressão utilizado foi o
fotográfico, com uma resolução equivalente a 1280 x 960 dpi.
A transparência foi então cortada no tamanho da placa de vidro, de forma que
as franjas cobrissem todo o vidro. Posteriormente, a transparência com o padrão de
franjas foi afixada na placa de vidro evitando, ao máximo, a formação de bolhas de
ar entre a placa e a transparência. A fixação da transparência na placa de vidro foi
realizada com papel contact transparente colado nas laterais da transparência.
Micrômetros foram montados no retículo, para possibilitar o deslocamento de
fase entre as várias imagens fotográficas, de forma precisa e exata, e esta estrutura
foi presa a um suporte móvel.
O passo (pitch) de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos
correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes, e a frequência de um retículo é
o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994), sendo o passo,
nesta pesquisa, utilizado como unidade de medida o milímetro.
Para escolha da câmera foram analisados os seguintes critérios: custo,
resolução, facilidade de controle e automação. A câmera utilizada foi Sony Digital
DSC-H1 de 5 megapixéis. Foi usada, também, uma fonte de luz de Fiber Optic Light
Source de 300 watts de luz branca incandescente.
Para o processamento foram utilizados os microcomputadores com
processador Pentium da Intel® tipo PC com sistema operacional Windows XP® da
Microsoft®, do Laboratório de Análise Estrutural, dando-se preferência a programas
e softwares já utilizados pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Foram usados os seguintes softwares:
49
•
Rising-Sun Moiré (WANG, 2008) – programa comercial que implementa
várias técnicas automáticas de análise de franjas de Moiré, e se encontra
disponível no site http://faculty.cua.edu/wangz/download_moire.htm;
• FRAN – The Automatic Analysis of Interferometric Data by T. R. Judge – outro
programa comercial que implementa a análise automática de franjas. Seu uso
principal é em interferometria. Informações sobre o software podem ser
obtidas
no
site:
http://www.eng.warwick.ac.uk/oel/courses/undergrad/lec9/FRAN%20Instructio
ns.pdf;
• IDEA – Interferometric Data Evaluation Algorithms – programa comercial que
implementa a análise automática de franjas. Seu uso principal é em
interferometria. Nesta pesquisa, este software e os dois anteriores foram
usados para comparação e teste da implementação desenvolvida da Técnica
Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. Informações no site:
http://www.optics.tu-graz.ac.at/idea/idea.html;
• SURFER 32 (Golden Software, INC, 1995) – software usado para construir e
analisar gráficos em três dimensões. Dado um arquivo texto com as
coordenadas x y z, este programa traça vários tipos de gráficos. Informações
e
detalhes
maiores
sobre
o
software,
no
site:
http://www.goldensoftware.com/products/surfer/surfernew.shtml;
• MatLab® 6.5, 2004 by The MathWorks, Inc. – programa comercial de
matemática computacional que trabalha muito bem com matrizes e imagens,
sendo que várias rotinas e filtros de Processamento Digital de Imagens já
estão prontas para serem usadas. Nesta pesquisa, optou-se por este software
pela simplicidade e facilidade de programação, e por ser o adotado nos
cursos de Engenharia da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Informações
sobre
o
software
estão
disponíveis
no
site:
http://www.mathworks.com/;
• Lingo® 11.0, Copyright © 2008 LINDO SYSTEMS – software comercial de
Otimização Linear, Não-linear, Inteira e Global, que implementa o Método
Branch-and-Bound, sendo usado, nesta pesquisa, para comparar e verificar a
veracidade do programa em Linguagem Pascal desenvolvido, que implementa
50
o Método Branch-and-Bound. Informações podem ser obtidas no site:
http://www.lindo.com/;
• Maple® 7.0 e 9.0, Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. 2007 –
programa de matemática computacional que implementa manipulações
algébricas
e
trigonométricas
de
funções
e
equações,
adotado
no
Departamento de Matemática e Estatística da Pontifícia Universidade Católica
de Minas Gerais. Na tese, este software foi usado para verificar
analiticamente as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas usando
relações
trigonométricas
elementares
e
procedimentos
algébricos.
Informações e maiores detalhes sobre o software estão disponíveis no site:
http://www.maplesoft.com/;
• Delphi/Pascal®
6.0,
Borland
Software
Corporation
–
compilador
da
Linguagem Pascal e ambiente de desenvolvimento de aplicações Windows
(IDE, do inglês Integrated Development Environment ou Ambiente Integrado
de Desenvolvimento), adotado pelo Instituto de Informática de Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais. Maiores informações sobre o
compilador são encontradas no site: http://www.borland.com/;
• DEV-C++, Copyright Bloodshed Software – compilador gratuito das
Linguagens C e C++ com ambiente de desenvolvimento de aplicações
Windows. Utiliza o padrão ANSI (American National Standards Institute) da
Linguagem de Programação “C”. É adotado pelo Instituto de Informática de
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Maiores informações sobre
o compilador são encontradas no site: http://www.bloodshed.net/devcpp.html;
• Minitab® 15.0, Copyright ©2008 Minitab Inc. – programa de Matemática
Estatística para análise e inferência de dados, adotado pelo Departamento de
Matemática e Estatística da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Informações sobre o software no site: http://www.minitab.com/;
• Microsoft Excel, © 2008 Microsoft Corporation – programa de manipulação de
planilhas eletrônicas, equações matemáticas e estatísticas, usado, nesta
pesquisa, para cálculos numéricos e verificação de equações desenvolvidas.
Informações sobre o software no site: http://www.microsoft.com/brasil/.
51
1.10 Procedimentos
Nesta pesquisa, foram realizadas as seguintes atividades:
1
Revisão bibliográfica:
1.1
pesquisa bibliográfica;
1.2
revisão de literatura.
2 Montagem dos experimentos:
2.1
montagens dos equipamentos (Projetor de Luz, câmera, suporte
e retículo);
2.2
implementação em MatLab® da Técnica de Moiré com
Deslocamento de Fase e programação usando o Algoritmo de
Carré;
2.3
aquisição de imagens por fase até 4 imagens (Manequim, frutas,
peças de madeira, objetos cilíndricos, esféricos e planos
inclinados com blocos de padrões métricos);
2.4
calibração e medições da topografia de objetos (perfilometria)
com superfície irregular utilizando a Técnica de Moiré;
2.5
medições da topografia dos objetos com os programas em
MatLab®;
2.6
medições da topografia dos objetos com os softwares comerciais
– Rising-Sun® e Fran®;
2.7
comparação dos resultados das rotinas desenvolvidas no
MatLab® com as dos softwares comerciais e trabalhos
anteriores sobre a Técnica de Moiré;
3
Dedução de novas equações para cálculo de fase:
3.1
proposta de uma nova generalização do Algoritmo de Carré;
3.2
implementação em Delphi/Pascal® do método de Otimização de
Branch-and-Bound;
3.3
dedução das novas equações
usando o
programa em
Delphi/Pascal®;
3.4
implementação em Delphi/Pascal® de um programa para teste
matemático e validação das novas equações obtidas;
52
3.5
implementação em Lingo® de rotinas para obter novas
equações do cálculo de fase;
3.6
comparações entre as equações obtidas no programa em
Delphi/Pascal® e as obtidas em Lingo®;
3.7
expansão e criação de regras (esquemas) para gerar equações
para muitas imagens;
3.8
implementação computacional e teste matemático das regras
(esquemas e algoritmos) para gerar equações para muitas
imagens em Delphi/Pascal®;
3.9
seleção das equações que apresentaram melhores resultados
no teste matemático;
4
Teste das novas equações do cálculo de fase:
4.1
alterações do programa em MatLab® da Técnica de Moiré com
Deslocamento de Fase usando o Algoritmo de Carré para
incorporar as novas equações de cálculo;
4.2
aquisição de Imagens por Fase até 16 imagens (manequim,
frutas, peças de madeira, objetos cilíndricos, esféricos, planos
inclinados e blocos de padrões métricos);
4.3
calibração, execução e aplicação do programa em MatLab® com
as novas equações nas imagens adquiridas, realização de
medidas pela Técnica de Moiré;
4.4
obtenção da medição correta dos objetos por métodos
mecânicos de contato pelo uso de paquímetros;
4.5
levantamento do erro em milímetros das medições realizadas
com o programa em MatLab® com as novas equações do
cálculo de fase;
4.6
geração de imagens de Franjas de Moiré usando o computador
em MatLab®, com criação de imagens com e sem ruídos
aleatórios;
4.7
teste das novas equações do cálculo de fase com as imagens
geradas no computador;
4.8
desenvolvimento
de
programas
computacionais
Delphi/Pascal® para a análise da incerteza;
em
53
4.9
teste das novas equações do cálculo de fase usando a análise
de incerteza;
5
Análise dos resultados:
5.1
comparação do erro entre as novas equações do cálculo de fase
e uso da Inferência Estatística;
5.2
análise dos erros e comparação dos resultados;
5.3
conclusões e proposta de futuros trabalhos.
1.11 Tópicos
Esta tese é iniciada com um primeiro capítulo que contém uma introdução
sobre o assunto, além das justificativas, problemas, hipóteses, objetivos do trabalho
de pesquisa desenvolvido e revisão de literatura. O objetivo é informar, em detalhes,
a temática da pesquisa, e como a mesma foi planejada e executada.
O segundo capítulo detalha a Técnica de Moiré, dando ênfase à Técnica
Deslocamento de Fase. Uma revisão bibliográfica sobre a referida técnica apresenta
um caráter didático. O objetivo é oferecer, ao leitor, uma base de conhecimento que
o permita compreender todo o estudo.
O terceiro capítulo mostra deduções das equações para o cálculo de fase
quando o passo de fase é desconhecido, usando mais de quatro imagens. Trata-se
de uma expansão do Algoritmo de Carré e uma complementação do trabalho de
NOVAK (2008). Considera-se esta contribuição como inédita e muito importante,
pois mostra como as novas equações do cálculo de fase foram obtidas usando-se
métodos numéricos e programas computacionais. Este capítulo forma o corpo
principal da tese.
O quarto capítulo traz uma revisão do tratamento de imagens, abordando a
etapa de desempacotamento (unwrapping), geração de imagens de franjas de Moiré
no computador e acréscimo de ruídos e distorções, além de uma discussão sobre
filtros iniciais nas fotografias de Moiré. Este capítulo complementa uma revisão
teórica sobre a Técnica de Moiré iniciada no Capítulo II. Além disso, detalha o
tratamento dado às imagens e fotografias utilizadas na pesquisa.
54
No quinto capítulo, são apresentados os testes e comparações das novas
equações do cálculo de fase criadas. Para tal, é utilizada uma análise de incerteza e
Inferência Estatística na comparação. O objetivo é testar o erro obtido com as rotinas
computacionais que implementam a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento
de Fase, quando se usa, em vez da equação original de Carré para quatro imagens,
uma das novas equações desenvolvidas com mais imagens. Este capítulo justifica o
desenvolvimento destas novas equações e sua aplicação prática.
Por fim, a tese culmina com uma conclusão onde elementos, medidas e
comparações são confrontadas. Propostas de futuros trabalhos são sugeridas.
1.12 Conclusão do capítulo
Todas as técnicas de medições óticas apresentam dificuldades e limitações,
por essa razão não existe uma técnica que possa ser considerada “a melhor em
geral”. O que vai realmente definir a técnica ideal para a medição que se pretende
realizar, vai depender de uma grande quantidade de fatores, tais como o preço do
sistema, a velocidade, a automação, a resolução desejada etc.
Conclui-se, pois, que a Técnica Moiré de Sombra pode ser usada em diversas
áreas, mostrando-se capaz de ser usada amplamente dentro das áreas industriais e
automotivas, por ser uma técnica sem contato, com alta capacidade de automação,
e com índices de erro aceitáveis. Entretanto, um empreendimento pode ser
realizado, principalmente, na elaboração de novas técnicas e processos que
melhorem a precisão e reduzam os erros.
São ainda importantes mais estudos testando diversas possibilidades para a
Técnica de Moiré, a fim de refiná-la e descobrir possíveis erros, os quais, muitas
vezes, não estão descritos claramente na literatura, ou apenas são citados de forma
muito superficial. A Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase e o
Algoritmo de Carré pode ser usada para uma infinidade de aplicações, o que
demonstra a validade de se investir esforços para aprimorar seu uso.
Destaca-se, ainda, que esta tese só foi possível, graças à formação, mesmo
que informal, de um grupo de pesquisa sobre Moiré no Laboratório de Análise
Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, grupo este formado
55
por professores do Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, alunos
de mestrado e doutorado, bolsista de iniciação cientifica e estudantes de graduação
de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da PUC-Minas. Assim, este estudo conta um
pouco o trabalho desenvolvido por este grupo de pesquisa e mostra a importância
deste tipo de estrutura para o desenvolvimento de bons trabalhos científicos.
Este capítulo apresentou a proposta desta tese de doutorado, definindo, de
forma clara, a sua relevância, sua justificativa, seu escopo, seus objetivos, sua
metodologia e sua contribuição. Uma vez definido o plano de trabalho, os capítulos
seguintes vão desenvolver a proposta, seguindo seus objetivos e delimitando seu
desenvolvimento pelo escopo do trabalho de pesquisa.
56
CAPÍTULO II – TÉCNICA DE MOIRÉ
2.1
Introdução do capítulo
Objetivando introduzir o tema desta tese, elabora-se, neste capitulo, uma
revisão da Técnica de Moiré, apresentando os fundamentos teóricos deste trabalho
de pesquisa.
Atualmente, os equipamentos de descrição da superfície de objetos e
componentes aplicados ao cotidiano da Engenharia, de modo geral, ainda possuem
limitações. Isso se deve ao fato de que, em alguns casos, é necessário o contato
entre o sensor e a superfície, dificultando o processo de análise de protótipos. Dessa
forma, o estudo de "técnicas não invasivas" que possam vir a suprir essas
deficiências é de suma importância.
Para estudos de avaliações em protótipos de máquinas e de outras
aplicações na Engenharia, a aquisição de medições das superfícies de peças e
equipamentos frente a diferentes situações é um dos temas mais importantes na
atualidade.
A perfilometria é uma técnica capaz de mostrar o relevo de uma superfície
qualquer, possibilitando seu estudo de formas variadas. Trata-se de uma linha de
aplicação multidisciplinar amplamente utilizada na Medicina, na Biomedicina, na
Engenharia Mecânica, na Robótica, nas Ciências Agrárias etc. LINO (2002) define a
perfilometria como um conjunto de técnicas utilizadas para a medição da superfície
de contorno.
Para a construção da perfílometria de uma superfície existem os métodos
convencionais de medição, como o perfilômetro, o rugosímetro, além de medidores
de deformação elétricos, como o strain gauge. Geralmente, a maioria desses
sensores, principalmente os eletrônicos, está sujeita a condições físico-químicas
ambientais (temperatura, pressão, umidade, pH etc.), que podem interferir na
medição das variáveis, além de trabalharem dentro de faixas limitadas de medidas.
De outro lado, estão as técnicas óticas que possibilitam estudos da perfilometria de
objetos em geral sob situação estática e, mais recentemente, sob situações
dinâmicas. Dentre as mais utilizadas estão as Técnicas de Moiré.
57
LINO (2002) levantou a hipótese de que a Técnica de Moiré pode ser aplicada
com resultados satisfatórios na geração de modelos digitais de elevação ou
topográficos de superfícies irregulares, como, por exemplo, os órgãos vegetais.
Relata, ainda, que as técnicas óticas possuem a vantagem de serem rápidas e de
não necessitarem um contato físico com o objeto em estudo, sendo indicadas para
estudos com materiais sensíveis como, por exemplo, as frutas.
Assim, segundo POST et al. (1994), as Técnicas de Moiré têm se mostrado
favoráveis no que diz respeito à versatilidade, agilidade e facilidade de coleta e
tratamento dos dados, além de oferecer relativa confiabilidade. Podendo ser
desenvolvido em estudos de vibrações de peças sob condição dinâmica,
determinação de tensões e deformações, portam-se como eficientes ferramentas
para medições de deslocamentos fora do plano, rotações e deslocamentos de
pontos de uma superfície observada em relação a uma superfície de referência ou,
ainda, a inclinação de uma superfície observada em relação a um estado de
referência, mostrando deslocamentos da ordem de até frações de micrometros (µm).
Numa descrição simplificada, as Técnicas de Moiré consistem na comparação
de dois retículos periódicos, quando um segue o comportamento da superfície do
objeto (retículo modelo - Rm) e outro não está deformado, seguindo o
comportamento de um plano de referência (retículo de referência - Rr). A luz que
passa entre os retículos se sobrepõe, formando padrões de Moiré ou Franjas de
Moiré que se comportam como ondas senoidais ou cosenoidais.
2.2
A Técnica de Moiré
A palavra “moiré” é de origem francesa, quer dizer “molhado”, e dá nome a
um tecido de seda importado da antiga China (chamalote: tecido sedoso tipo tafetá
com reflexos ondulantes; também, nome vulgar da madressilva). Esse tecido é
composto de duas camadas, e quando ocorre um movimento relativo entre estas
camadas aparecem padrões semelhantes a ondas, denominadas, então, “Franjas de
Moiré”.
O fenômeno de Moiré foi estudado primeiramente pelo físico inglês LORD
RAYLEIGH (1874), que sugeriu que ele poderia ser usado para testar a perfeição de
58
grades de difração. Em 1945, estudando o fenômeno, D. TOLLENAR descobriu que
as Franjas de Moiré são na verdade magnificadoras de movimento, e que poderiam
dar uma alta sensibilidade a medições de movimentos relativos. A partir daí,
empregou-se o fenômeno para estudar deslocamento, deformação e tensão.
Subsequentemente, o método foi refinado e aplicado numa grande variedade de
circunstâncias. TAKASAKI (1970; 1973) utilizou a sobreposição de um retículo sobre
a sua própria sombra (Moiré de Sombra) para medir o relevo de objetos e pessoas.
Neste caso, as franjas de Moiré formadas são constituídas por um conjunto de
pontos de mesma cota, semelhantes às curvas de nível de mapas topográficos.
As franjas ou padrões de Moiré são produzidos quando se sobrepõe duas
estruturas periódicas chamadas retículos ou grades (Figura 3). Esses retículos
podem constituir-se de linhas paralelas ou radiais, círculos ou elipses concêntricas
ou mesmo pontos espaçados, equidistantemente ou não.
Os retículos mais comumente utilizados são constituídos por linhas ou faixas
claras (transparentes) e escuras (opacas), paralelas e equidistantes. O centro das
faixas (claras ou escuras) é chamado linha do retículo, e a distância entre os centros
de linhas do retículo de duas faixas escuras (ou duas faixas claras) contíguas é o
período ou passo (p) do retículo, e o inverso do período é a frequência do retículo (f),
geralmente dado em linhas por milímetro (l/mm).
Quando essa superposição ocorre, formando um pequeno ângulo de
interseção entre as linhas dos dois retículos, pequeno deslocamento em um dos dois
retículos provocará grandes deslocamentos nas Franjas de Moiré, isto é, o
deslocamento será magnificado.
Figura 3 - Franjas de Moiré produzidas pela sobreposição de dois retículos.
Fonte: LINO, 2002.
LINO
(2002)
cita
o
caso
de
dois
retículos
que
possuem
linhas
equidistantemente espaçadas, um deles (retículo R1), que possui linhas paralelas ao
59
eixo “y” com período “p1”, é sobreposto pelo outro (retículo R2) com linhas com
período “p2”, diferente de “p1”, formando um ângulo θ entre as linhas dos dois
retículos. Observa-se o aparecimento de um terceiro retículo (Franjas de Moiré)
formado pela interseção das linhas dos retículos R1 e R2 (Figura 4).
Figura 4 – Formação das Franjas de Moiré pela sobreposição de retículos
constituídos de linhas paralelas.
Fonte: CLOUD, 1988, p. 149.
LINO (2002) cita ainda um aspecto relevante sobre a formação das Franjas
de Moiré é que a visualização dessas franjas se comporta, na maioria das vezes,
como ondas senoidais (Figura 5). A intensidade luz observada é na verdade a média
da luz transmitida através dos retículos 1 e 2, e onde a luz transmitida é máxima
têm-se o centro das franjas claras, e onde a luz transmitida tende a zero, tem-se o
centro das franjas escuras.
60
Figura 5 - Formação das Franjas de Moiré pela transmissão da
luz através de dois retículos constituídos de linhas
paralelas superpostas.
Fonte: CLOUD, 1988, p. 152.
Para todas as Técnicas de Moiré são necessários dois retículos, sendo que
um deles segue o contorno do objeto e é chamado de retículo deformado ou retículo
do modelo (Rm), e o outro permanece indeformado e serve como referência, sendo
chamado, por isso, de retículo indeformado ou de referência (Rr). Esses dois
retículos podem significar tanto dois retículos fisicamente separados quanto dois
registros do mesmo retículo, um antes e outro depois da deformação.
Para a Técnica Moiré de Sombra o Rr, cujas faixas claras são transparentes,
é colocado à frente do objeto. Quando este é iluminado por uma fonte, a sombra
dele é projetada sobre a superfície do objeto (Rm). As Franjas de Moiré são
formadas pela interferência dos dois retículos quando o observador olha através do
Rr, oferecendo como vantagem a observação instantânea das Franjas de Moiré.
A sensibilidade da Técnica Moiré de Sombra depende principalmente do
período do retículo; um período menor fornece uma precisão maior, o que é
desejável para medições de deformações no plano, quando se necessita medir
deslocamentos muitos pequenos. O período (p) mais comumente usado nas
aplicações de trabalhos normais com Moiré varia de 1 a 40 linhas/mm, porém uma
maior densidade pode ser utilizada. Franjas produzidas por baixas densidades de
linhas podem ser observadas a olho nu, utilizando-se luz comum. No entanto, para
altas densidades de linhas, como o efeito de difração da luz se torna dominante, é
necessário usar luz coerente (luz coerente é aquela formada por ondas de mesma
frequência, fase e direção).
61
O passo (pitch) de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos
correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes. Algumas literaturas trazem
frequência espacial do retículo ao invés do passo. Frequência é o recíproco do
passo, ou seja, o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994).
Frequentemente as barras dos retículos são chamadas de linhas, então o passo de
um retículo p é a distância entre as linhas adjacentes e a frequência o número linhas
por unidades de medida.
ONUMA et al. (1996) desenvolveram um método que, aplicado à
interferometria, pode aumentar grandemente as resoluções espacial e vertical
quando comparado à interferometria convencional. Os autores utilizam múltiplos
interferogramas, nos quais as fases são mudadas ou deslocadas entre um e outro.
Daí a denominação Técnica Deslocamento de Fase.
DIRKX et al. (1988) aplicaram a Técnica Deslocamento de Fase em Moiré de
Sombra, obtendo uma precisão, na prática, no mínimo 10 vezes maior que a simples
medição de franjas para um dado arranjo experimental. Além disso, o método é mais
rápido e capaz de determinar automaticamente a concavidade e a convexidade da
superfície.
WANG (2001), descrevendo a Técnica Deslocamento de Fase aplicado à
Moiré de Sombra, usa 4 imagens das Franjas de Moiré. Em cada uma delas, o
objeto é aproximado ou afastado do Retículo de Referência (Rr), de maneira a
produzir deslocamentos das Franjas de Moiré em 0, (1/2)π, 1π e (3/2)π da fase.
A intensidade luminosa em cada uma das imagens de resolução gráfica x por
y (x×y) é descrita pelas equações:
I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y )]
I 2 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + π / 2]
I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + π ]
(2.1)
I 4 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + 3π / 2]
onde:
Im(x,y) = intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem;
Ia(x,y) = intensidade de modulação em cada ponto da imagem;
φ = é a fase a ser determinada;
(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.
62
Resolvendo as 4 equações simultaneamente com deslocamento de fase π/2,
pode-se obter o termo fase (φ) para cada ponto da imagem:
 I 4 ( x, y ) − I 2 ( x, y ) 

 I1 ( x, y ) − I 3 ( x, y ) 
φ ( x, y ) = arctg 
(2.2)
O cálculo da fase realizado pelo computador resulta em valores que variam
de -π/2 a π/2, por isso a imagem resultante, que é chamada de Mapa de Fases
Empacotadas, possui descontinuidades.
Para 3 imagens com deslocamento de fase de 2π/3, tem-se:

φ ( x, y ) = arctg  3


I1 ( x, y ) − I 3 ( x, y )

2 I 2 ( x, y ) − I1 ( x, y ) − I 3 ( x, y ) 
(2.3)
Para 5 imagens com deslocamento de fase de 2π/5, tem-se:

I 2 ( x, y ) − I 4 ( x, y )

 2 I 3 ( x, y ) − I1 ( x, y ) − I 5 ( x, y ) 

φ ( x, y ) = arctg 
(2.4)
Uma técnica melhorada, na qual não é necessário conhecer o passo do
deslocamento de fase para 4 imagens e, assim, podem-se evitar erros de calibração,
é o Algoritmo de Carré com deslocamento de fase desconhecido (δ=?):
3 

I1 = I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) − δ 
2 

1 

I 2 = I 2 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) − δ 
2 

1 

I 3 = I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + δ 
2 

3 

I 4 = I 4 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + δ 
2 

(2.5)
63
  δ  (I − I ) + ( I 2 − I 3 ) 
φ = arctg tg  . 1 4

  2  (I 2 + I 3 ) − ( I 1 + I 4 ) 
(2.6)
ou
 [( I 1 − I 4 ) + ( I 2 − I 3 )][
. 3.( I 2 − I 3 ) − ( I 1 − I 4 )] 

(I 2 + I 3 ) − ( I 1 + I 4 )


φ = arctg 
Novamente o ângulo φ resulta em valores que variam de -π/2 a π/2,
possuindo, pois, descontinuidades. Estas descontinuidades são removidas por um
processo chamado desempacotamento de fase (Phase Unwrapping). A Figura 6
mostra o perfil de um objeto com mapa de fases empacotadas (a) e o mesmo perfil
com as fases desempacotadas (b).
Figura 6 – Desempacotamento de fases. a) Mapa de Fases Empacotadas de um perfil.
b) Fases Desempacotadas no mesmo perfil.
Fonte: LINO, 2002, p. 16.
DIRKX et al. (1988) desenvolveram um método chamado Técnica
Deslocamento de Fase baseado em Moiré de Sombra, para a reconstrução de
superfícies 3-D. Nesse arranjo experimental, são tomadas imagens do objeto ou alvo
com as Franjas de Moiré, sendo que, entre cada imagem, o objeto foi aproximado ou
afastado do retículo distâncias de fração do período deste retículo. Após a
digitalização,
as
imagens
foram
subtraídas
e,
através
de
um
programa
computacional, a reconstrução da superfície do objeto foi obtida.
A formação das Franjas de Moiré se deve à interferência ótica entre o retículo
de referência (Rr) e a sua sombra (o que é chamado de Retículo do Modelo [Rm]),
projetada sobre o componente a analisar. CLOUD (1988) demonstra a formação das
Franjas de Moiré de Sombra. O Retículo do Modelo (Rm) acompanha a topografia
do objeto e é observado através do Retículo de Referência (Rr). Em algumas áreas,
64
as linhas de Rm, sob a perspectiva do observador, se encontrarem com as linhas de
Rr, permitindo a transmissão dos raios luminosos refletidos pela superfície do objeto,
formando as franjas claras. Em outras áreas, as linhas de Rm estão alinhadas com
as linhas de Rr, não havendo, portanto, a transmissão para o observador dos raios
luminosos, formando, então, as franjas escuras. A Figura 7 mostra um ciclo
completo, que vai das franjas claras para as escuras e das escuras para as claras.
Figura 7 – Formação das franjas no Moiré de Sombra.
Fonte: LINO, 2002, p. 22.
O esquema experimental apresentado na Figura 8 mostra a montagem usada
pela Técnica Moiré de Sombra com a fonte de luz, o observador (câmera), o retículo,
e o objeto a ser medido.
Figura 8 – Sistema experimental para Moiré de Sombra com iluminação. a) Com
observador localizado a um ângulo em relação à normal ao plano que contém o
retículo de referência; b) Com observador localizado perpendicularmente ao
plano que contém o retículo de referência.
Fonte: LINO, 2002, p. 22.
65
É importante destacar que se tem como finalidade principal medir o
deslocamento perpendicular do retículo em relação ao objeto ou o deslocamento do
objeto em relação ao retículo. Um feixe de luz paralela incide sobre o retículo de
referência de passo (pitch “p” - sendo o pitch a distância entre linhas adjacentes) em
um ângulo α entre a normal e o plano do retículo de referência. O perfil a ser medido
deve estar logo atrás do retículo de referência. As sombras geradas na peça pelo
retículo de referência são observadas através do próprio retículo de referência pela
câmera, a um ângulo β entre a normal e o retículo de referência. Tem-se n como a
ordem de franja formada no objeto e com n=φ/(2π) onde φ é a fase em radianos. Em
outras palavras, uma ordem inteira de franja representa uma fase 2π radianos ou
360o. E Z é a distância vertical a ser medida do retículo plana ao objeto. PATORSKI
(1993) mostra que:
Z=
np
tan(α ) + tan( β )
(2.7)
Um caso especial de interesse, é quando o observador (ou câmera) está
normal ao plano do retículo (Figura 8 b). Neste caso, β = 0, e tem-se:
Z=
np
tan(α )
(2.8)
Estas são as equações que têm sido usadas para a maioria dos estudos de
Moiré de Sombra. A suposição do observador (ou câmera) estar no infinito não é a
única prática. Entretanto, se a estrutura é pequena e o observador (ou câmera) está
suficientemente distante, isso pode ser considerado, que é justamente o caso da
montagem experimental realizada na tese.
Deve-se citar que é comum uma etapa de pré-processamento nas imagens
fotográficas para eliminar ruído. Normalmente, as fotografias são capturadas de
forma colorida e transformadas em 256 níveis de cinza (8bits). As fotografias,
quando em tons de cinza, apresentam valores de pixéis que variam de 0 (preto) a
255 (branco). A ideia de transformar as imagens em tons de cinza ajuda a
economizar tempo de processamento sem prejudicar a qualidade do resultado de
66
medição. Um pixel é o menor ponto que forma uma imagem digital, sendo que os
conjuntos de milhares de pixéis formam a imagem inteira, e quanto maior for o
número de pixéis, melhor a resolução que a imagem terá.
HUANG et al. (2008) desenvolveu um esquema de captura de imagens de
Moiré de Sombra que utiliza o Algoritmo de Carré no qual o deslocamento de fase
pode ser arbitrário, mas que permanece completamente constante entre todas as
imagens. Diminuindo sensivelmente o erro e aumentando significativamente a
precisão. Isso mostra com o tema é atual em muitas pesquisas.
A literatura relata muitos trabalhos e pesquisas de sucesso usando a Técnica
Moiré Sombra com precisão ótima, comprovando ser a mesma uma técnica de baixo
custo e alta aplicabilidade em Engenharia.
2.3
Comparação de valores medidos
Nesta pesquisa, foi criado um software computacional em MatLab® para
implementar a Técnica de Moiré com Deslocamento de Fase, seguindo o esquema
mostrado no item anterior, e usando a Equação 2.2 para 4 imagens, a Equação 2.3
em 3 imagens, a Equação 2.4 com 5 imagens e a Equação 2.6 para 4 imagens,
segundo o Algoritmo de Carré. O programa criado em MatLab® possui o seguinte
algoritmo:
•
entrada de dados e aquisição das imagens;
•
transformação das imagens para monocromática com pixéis de 8 bits (0-255
tons de cinza);
•
aplicação de filtros passa baixa e Gaussiana;
•
cálculo de fase em cada pixel de [0; π/2];
•
passagem da fase de [0; π/2] para [-π; π];
•
desempacotamento de fase (unwrapping);
•
cálculo da altura (Z) e cálculo das coordenadas (x e y) no plano.
Nesse programa, entram as imagens ou fotografias de Moiré para cada
deslocamento de fase, o valor de p em milímetros (passo = pitch = distância entre as
linhas do retículo de referência), o ângulo α em graus (ângulo entre a normal e o
67
feixe de luz) e o ângulo β em graus (ângulo entre a normal e o ponto de
observação). Alternativamente, em vez de entrar com α e β, o programa permite que
se entre com a distância d em milímetros (distância entre a fonte de luz e a câmera
fotográfica) e a distância h em milímetros (distância perpendicular reta entre o
retículo e a fonte de luz). Como saída do sistema tem-se um arquivo com as alturas
Z em milímetros (distância entre o retículo e o objeto a ser medido) em cada pixel da
imagem e um gráfico em 3-D destas medidas (Figura 9).
Cita-se, ainda, que implementações usando a Técnica de Moiré não são
inéditas e rotinas e fontes prontas em MatLab® podem ser encontradas em ASUNDI
(2002). Optou-se, neste estudo, em fazer uma nova implementação, em razão de
testes particulares e específicos com outras equações do cálculo de fase que serão
desenvolvidas nos capítulos seguintes.
Figura 9 – Telas (entrada e saída) do programa em MatLab® que implementa Moiré de Sombra com
Deslocamento de Fase.
Fonte: Resultados da pesquisa.
As medidas fornecidas pelo programa desenvolvido em MatLab® são então
comparadas com os resultados de softwares comerciais que implementam a Técnica
de Moiré, como o Rising-Sun Moiré de WANG (2008), onde são colocados os
mesmos dados de entrada e comparada às medidas dos arquivos de saída de cada
68
programa (Figura 10). O resultado, para vários exemplos, foi um erro relativo menor
que 10% dos valores medidos. Ou seja, parece que a rotina em MatLab® está
processando corretamente as medidas das imagens fotográficas de Moiré. Este
mesmo processo de comparação foi realizado entre o programa em MatLab® e
outro software comercial IDEA® – Interferometric Data Evaluation Algorithms (2005),
com resultados bem semelhantes.
Figura 10 – Tela do programa comercial Rising-Sun Moiré para a mesma entrada da Figura 9
do programa desenvolvido em MatLab®.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Nesta tese o erro relativo é calculado como o resultado de uma medição
menos o valor verdadeiro do mensurando dividido por este valor verdadeiro. Uma
vez que o valor verdadeiro não pode ser determinado, utiliza-se, na prática, um valor
verdadeiro convencional. O resultado normalmente é expresso como uma
porcentagem do valor verdadeiro. Isso é realizado para cada pixel da imagem (com
resolução gráfica Mx × My) segundo a Equação 2.9 abaixo:
Mx My
∑∑ Z
Erro Relativo (%) =
i =1 j =1
i, j
=
Mx My
∑∑ Z
i =1 j =1
M
− Z ie, j
e
i, j
∑Z
i =1
i
− Z ie
(2.9)
M
∑Z
i =1
e
i
onde:
Mx é o número de pixéis na horizontal da imagem;
69
My é o número de pixéis na vertical da imagem;
M=(Mx My) é o número total de pixéis da imagem;
Z é o valor medido pela Técnica de Moiré por meio das fotografias;
Ze é o valor de referência tido como correto do perfil do objeto medido.
Compararam-se as medidas obtidas com o programa criado em MatLab®
com as medidas conhecidas de objetos com geometrias simples como cilindros,
esferas e planos inclinados. É claro que o erro no uso da Técnica de Moiré depende
de uma enorme quantidade de variáveis como largura do retículo, resolução gráfica
da máquina fotográfica, potência da fonte de luz etc.
Porém, utilizando montagens de Moiré nos experimentos realizados no
Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, e usando o programa desenvolvido,
obtêm-se erros da ordem de 2% a 9% do valor da altura do objeto medido com 4
imagens usando o Algoritmo de Carré. Esse resultado é muito parecido com o de
outros pesquisadores que usam a Técnica de Moiré, podendo ser citado: LINO
(2002), RIBEIRO (2006), DEL-VECCHIO (2006), COSTA (2006) e GOMES (2005).
Todos estes pesquisadores, trabalhando independentemente, obtiveram erros
semelhantes aos obtidos no decorrer desta pesquisa. Mais detalhes dos
experimentos realizados são mostrados no Capítulo IV.
Nota-se que um erro relativo da ordem de 2% a 9% dos valores medidos é
considerado alto em níveis metrológicos. Esforços e estudos devem ser realizados
para tentar reduzi-lo, tornando a Técnica de Moiré mais precisa e com uma maior
aplicabilidade prática.
2.4
Conclusão do capítulo
Neste capítulo, procurou-se fazer uma revisão sucinta da Técnica Moiré de
Sombra com Deslocamento de Fase e apresentar o Algoritmo de Carré. Essa
introdução é importante para a compreensão deste trabalho de pesquisa. Criou-se,
também, um programa computacional, e se construiu, em laboratório, uma
montagem experimental para implementar a medição perfilométrica de objetos
usando a Técnica de Moiré. O erro obtido foi bem semelhante ao encontrado por
70
outros pesquisados, usando essa mesma técnica, com montagens experimentais
parecidas.
A ideia foi usar a Técnica de Moiré para introduzir o Algoritmo de Carré que é
utilizada em vários campos da ciência e da Engenharia, como a Interferometria e
Metrologia Ótica. Nota-se ainda que neste trabalho de pesquisa vai-se usar a
Técnica de Moiré com a intenção de testar e avaliar experimentalmente as novas
equações do cálculo de fase desenvolvidas no capítulo seguinte.
Até este ponto não há nada de original ou inédito nesta pesquisa. Pelo
contrário, uma vasta, ampla e detalhada bibliografia pode ser encontrada sobre este
assunto e é citada neste capítulo. Mas este estudo introdutório é importante e forma
a base para o salto que se vai dar nos capítulos seguintes, onde este mesmo
processo vai ser generalizado para um número maior de imagens fotográficas com
intenção de reduzir as incertezas da medição e melhorar a precisão da Técnica de
Moiré.
71
CAPÍTULO III - NOVAS EQUAÇÕES DEDUZIDAS
3.1
Introdução do capítulo
O fenômeno Franja de Moiré é o resultado da interferência de luz pela
superposição de uma rede de linhas. O padrão de regiões claras e escuras que se
observa é chamado de Padrão de Moiré. Somente um estudo mais detalhado é
capaz de revelar a característica mais relevante e útil do efeito de Moiré, por meio do
qual uma grande mudança no padrão é obtida, a partir de, apenas, um pequeno
movimento relativo entre as redes sobrepostas. A conclusão lógica é que o
fenômeno de Moiré é uma espécie de amplificador de movimento que permite
medições de alta sensibilidade de movimento relativo.
As Técnicas de Moiré usam um sinal ótico que pode produzir os resultados
desejados de medição ótica através de algumas técnicas de processamento desse
sinal. As técnicas de processamento, normalmente, envolvem a identificação e o
acompanhamento de franjas em uma fotografia, atribuindo-lhe um correto número de
ordem de franja, e aplicando as operações necessárias para extrair os dados de
medição. Há muitos anos, o tratamento das imagens de Moiré é resumido na
identificação das franjas manualmente. A principal desvantagem do tratamento
manual é que as resoluções da franja são demasiado baixas, e por isso,
inadequadas para a medição exata. Com o desenvolvimento e diminuição dos
custos de equipamento de Processamento Digital de Imagem, um grande esforço
tem sido realizado para automatizar as técnicas de medições das franjas. Um dos
principais motivos desse esforço é o de se obter uma melhor precisão, a fim de
aumentar a velocidade e automatizar o processo. Há muitas técnicas para o
desenvolvimento de processos semi-automáticos e automáticos do processamento
de sinal ótico.
A Técnica Deslocamento de Fase é baseada na avaliação de valores de fases
de diversas medições cada uma, deslocando-se uma fase da outra. É necessário
realizar pelo menos três medições de intensidade de fase deslocada, a fim de
determinar a fase, sem ambiguidade e com muita precisão, em todos os pontos do
plano do detector. Essa técnica oferece um cálculo totalmente automático – o cálculo
72
de fase usando as intensidades luminosas defasadas. Existem diversos algoritmos
para o cálculo da defasagem que diferem quanto ao número de etapas de fases, ao
passo entre as capturas de imagens, e a sua sensibilidade para os fatores que
influenciam a prática durante as medições.
3.2
O Algoritmo de Carré e o Algoritmo de Novak
O padrão de franja é uma função cossenoidal que representa a intensidade
luminosa em cada ponto de imagens I(x,y), conforme POST et al. (1994). Essa
função pode ser escrita na forma geral como:
I ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + δ ]
(3.1)
onde:
Im(x,y): intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem.
Ia(x,y): intensidade de modulação em cada ponto da imagem.
φ(x,y): fase a ser determinada em cada ponto da imagem.
δ: deslocamento de fase com respeito à origem.
(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.
Se desconhecido o deslocamento de fase são necessárias um mínimo de
quatro imagens para se determinar a fase φ e os termos Im, Ia, δ.
A Técnica
Deslocamento de Fase é a técnica preferida sempre que as condições experimentais
permanecem constantes ao longo do tempo necessário para se obter todas as
imagens deslocadas de fases.
CARRÉ (1965), trabalhando em um microscópio fotoelétrico, propõe uma
nova técnica que utiliza quatro frequências com o deslocamento de fase
desconhecido (δ), mas constante entre elas.
Neste estudo, utilizam-se quatro imagens monocromáticas com os padrões de
Franjas de Moiré em pixéis de tons cinza que variam em números inteiros de 0
73
(preto) a 255 (branco). Trata-se o deslocamento de fase δ como desconhecido e as
quatro imagens com as fases deslocadas são representadas por:
[
[
[
[
]
 I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) − 3δ
2

 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos φ ( x, y ) − δ
m
a
 2
2

δ
 I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + 2

 I 4( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + 3δ
2

]
]
(3.2)
]
Supondo-se que o defasamento é constante e não muda durante as
medições, o montante do passo de cada fase pode ser calculado como:
 3( I − I ) − ( I − I )
2
3
1
4
 ( I 2 + I 3 ) + ( I 1 + I 4 )
δ = 2 tan −1 



(3.3)
e da fase em cada ponto (x,y) é determinada com:

 ( I − I ) + ( I 2 − I 3 )  
φ = tan −1 tan(δ 2 )  1 4

 ( I 2 + I 3 ) − ( I1 + I 4 )  

(3.4)
ou
 [( I 1 − I 4 ) + ( I 2 − I 3 )][3( I 2 − I 3 ) − ( I 1 − I 4 ) ] 

(I 2 + I 3 ) − (I1 + I 4 )


φ = arctan 
(3.5)
A vantagem do Algoritmo de Carré está clara, pois este não requer
mecanismo de calibração do passo deslocamento de fase (δ), que pode ser qualquer
valor; apenas deve ser constante durante a medição.
NOVAK (2003) propõe uma pesquisa de generalização do Algoritmo de Carré
para cinco imagens. Na sua proposta trabalha-se com a seguinte formulação:
74
 I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y. cos[φ ( x, y ) − 2δ ]
 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos[φ ( x, y ) − δ ]
m
a
 2
 I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y )]
 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + δ ]
m
a
 4
 I 5( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + 2δ ]
(3.6)
NOVAK (2003) deduz oito equações analiticamente, trabalhando com
relações trigonométricas elementares. Para simplificar o estudo, NOVAK define
somas e diferenças de imagens como:
a jk = I j − I k

b jk = I j + I k
(3.7)
As equações deduzidas por NOVAK (2003) são mostradas na Tabela 1,
abaixo:
TABELA 1
Expressões para o cálculo de fase com 5 imagens deduzidas por NOVAK (2003).
Fonte: NOVAK, 2003, p. 63-68.
2
2
http://www.urbanfischer.de/journals/optik
75
Existem muitas fontes de erro potenciais que podem afetar a precisão da
medição. Na prática, por exemplo, verificam-se erros: (a) na alteração da fase; (b)
nos detectores não lineares; (c) na discretização em tons de cinza; (d) no ruído da
imagem; (e) na estabilidade da fonte de energia; (f) nas vibrações e turbulência do
ar; (g) nas variações da temperatura; (h) no reflexo e claridade da luz etc. Algumas
das fontes de erro podem ser eliminadas com antecedência. Os principais elementos
ótico-eletrônicos que podem afetar a precisão do algoritmo para a avaliação da fase,
são os defasamentos dos dispositivos e do detector da intensidade da luz. O
algoritmo ideal para o cálculo da fase deve ter baixa sensibilidade para a maioria dos
erros de medição, especialmente, os erros do deslocamento de fase e erros na
detecção de intensidade de luz.
Segundo NOVAK (2003), o erro no cálculo da fase (φ) depende do ângulo
deslocamento de fase (δ), sendo que cada equação deduzida tem um ângulo de
deslocamento de fase ótimo. Após um estudo de análise de erro, estabilidade e
performance computacional, concluiu que a melhor equação para cinco imagens é o
Algoritmo A1, que pode ser reescrita como a Equação 3.8:
tan(φ ) =
2
4a24
− a152
2 I 3 − b15
=
4( I 2 − I 4 ) 2 − ( I1 − I 5 ) 2
2 I 3 − I1 − I 5
(3.8)
Outro detalhe importante do trabalho de NOVAK (2003), é o de se usar o
cálculo de valores proporcionais a seno e cosseno da fase (φ), para eliminar a
ambiguidade dos valores de φ ∈ [-π/2; π/2] para φ* ∈ [-π; π], usando a Tabela 2,
abaixo:
76
TABELA 2
Expressões proporcionais a seno e cosseno da fase φ para cada equação proposta por NOVAK.
Fonte: NOVAK, 2003, p. 63-68.
3
NOVAK (2000) propõe um modelo matemático que permite analisar a
precisão e a estabilidade das Técnicas Deslocamento de Fase em relação a fatores
que afetam negativamente a precisão das medições das técnicas interferométricas.
3.3
Novo modelo matemático proposto nesta pesquisa
Quase todas as Técnicas Deslocamento de Fase existentes são baseados no
pressuposto de que o deslocamento de fase (δ) em todos os pixéis da imagem tem
intensidade igual e conhecida. No entanto, pode ser muito difícil de alcançar, na
prática, esta conclusão. Técnicas de medição de fase são mais ou menos sensíveis
a alguns tipos de erros que podem ocorrer durante as medições experimentais.
Nesta pesquisa, entende-se que o deslocamento de fase (δ) tem um valor
desconhecido, mas se aceita que sua alteração é constante entre as várias imagens
do campo de interferência observado. Considerando N o número de imagens
observadas com esta característica, pode-se generalizar a distribuição de
intensidade de cada imagem Ik, segundo a Equação 3.9, onde k varia de 1 até N:
3
http://www.urbanfischer.de/journals/optik
77

 2k − N − 1  
I k ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + 
δ 
2

 

com k = 1..N
(3.9)
onde:
Im(x,y): intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem.
Ia(x,y): intensidade de modulação em cada ponto da imagem.
φ(x,y): fase a ser determinada em cada ponto da imagem.
δ: deslocamento de fase com respeito à origem.
N: número de imagens ou quadros.
(x,y): componentes das posições horizontais(x) e verticais(y) da imagem.
Assim, para N = 6, tem-se:

5 

 I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) − 2 δ 



 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos φ ( x, y ) − 3 δ 
m
a

 2
2 


 I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) − 1 δ 


2 


 I 4 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + 1 δ 


2 


3 

 I 5 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + δ 
2 



5 

 I 6 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + δ 
2 


se
k =1
se k = 2
se k = 3
(3.10)
se k = 4
se k = 5
se k = 6
Assim, também para N = 7, tem-se:
 I1 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) − 3δ ]
 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos[φ ( x, y ) − 2δ ]
m
a
 2
 I 3 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) − δ ]

 I 4 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y )]
 I ( x, y ) = I ( x, y ) + I ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + δ ]
m
a
 5
 I 6 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + 2δ ]

 I 7 ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos[φ ( x, y ) + 3δ ]
se k = 1
se k = 2
se k = 3
se k = 4
se k = 5
se k = 6
se k = 7
(3.11)
78
Comparando o Algoritmo de Carré para quatro imagens com o melhor
Algoritmo de Novak para cinco imagens, observa-se que ambas as equações
calculam a tangente da fase usando a divisão de um numerador (que é a raiz
quadrada da soma de constantes inteiras multiplicada por duas imagens Ik) pela de
um denominador (que é a soma de constantes inteiras multiplicadas por imagens Ik).
Reescrevendo essas equações, obtém-se, para Carré:
− I 12
+ 2I 1 I 2
− 2I1 I 3
+ 2I 1 I 4
+ 3I
− 6I 2 I 3
− 2I 2 I 4
+ 3I
+ 2I 3 I 4
2
2
2
3
− I 42
tan(φ ) =
(3.12)
− I1 + I 2 + I 3 − I 4
ou, enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador
e do denominador:
4
4
∑∑n
tan(φ ) =
r =1 s = r
r ,s
Ir Is
4
∑d
r =1
r
Ir

n1,1 n1, 2 n1,3 n1, 4 


n 2, 2 n 2,3 n 2, 4 
 Num = 
Dem = [d 1 d 2 d 3


n 3,3 n 3, 4 



n 4, 4 



− 1 2 − 2 2 



3 − 6 − 2
 Num = 
Dem = [− 1 1 1 − 1]

3
2




− 1


d4 ]
(3.13)
Para o melhor Algoritmo de Novak, tem-se:
− I 12
+ 2I 1 I 5
+ 4 I 22
− 8I 2 I 4
+ 4 I 42
tan(φ ) =
− I 52
− I 1 + 2I 3 − I 5
(3.14)
ou, enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador
e do denominador:
79

n1,1 n1, 2 n1,3


n2, 2 n2,3


 Num = 
n3,3


5
5


nr , s I r I s 
∑
∑


r =1 s = r


5
− 1 0 0 0

dr I r
∑


r =1
4 0 −8


0 0
 Num = 


4





tan(φ ) =
n1, 4
n2, 4
n3, 4
n4, 4
2
0 
0

0
− 1
n1,5 
n2,5 
n3,5 

n4,5 
n5,5 
Dem = [d1 d 2
d3
d4
d5 ]
(3.15)
Dem = [− 1 0 2 0 − 1]
O símbolo | | representa o valor absoluto, uma vez que só se está interessado
em valores positivos com φ ∈ [0; π/2]. Sua expansão para valores de [-π, π] será
tratada no capítulo seguinte desta tese. O uso do valor absoluto ou módulo simplifica
as equações, uma vez que a raiz quadrada só é definida para números positivos.
Propõem-se, então, uma equação geral para o cálculo da fase para qualquer
valor de N (Número de Imagens ou quadros), como sendo:
N
N
∑∑ n
tan(φ ) =
r =1 s = r
I Is
r ,s r
(3.16)
N
∑d
r =1
I
r r
ou expandindo os somatórios, e colocando o numerador disposto em linhas:
n1,1 I 12
tan(φ ) ==
+ n1, 2 I 1 I 2
+ n2, 2 I 22
+ n1,3 I 1 I 3
+ n 2, 3 I 2 I 3
+ n3,3 I 32
+ n1, 4 I 1 I 4
+ n 2, 4 I 2 I 4
+ n3, 4 I 3 I 4
+ n4, 4 I 42
...
...
...
...
...
+ n1, N I 1 I N
+ n2 , N I 2 I N
+ n3, N I 3 I N
+ n4 , N I 4 I N
...
+ n N , N I N2
d 1 I 1 + d 2 I 2 + d 3 I 3 + d 4 I 4 + ... + d N −1 I N −1 + d N I N
(3.17)
ou enfatizando e mostrando somente a matriz de coeficientes do numerador e
do denominador:
80
N
N
∑∑ n
tan(φ ) =
r =1 s = r
I Is
r ,s r
N
∑d
r =1
I
r r

n1,1 n1, 2 n1,3


n 2, 2 n 2 , 3




n3, 3
 Num = 
onde 








 Dem = [d 1 d 2 d 3 d 4
n1, N 
n 2, 4 ... n2, N 
n3, 4 ... n3, N 

n 4, 4 ... n4, N 
... ... 

n N , N 
... d N −1 d N ]
n1, 4
...
(3.18)
Trabalhando com esse formato nas equações, podem-se expressar as
equações utilizando apenas os coeficientes do numerador e do denominador. Assim,
os algoritmos de Carré e Novak podem ser representados pela Tabela 3, abaixo:
TABELA 3
Matriz de coeficientes do numerador e do denominador para N=4 (Carré) e para N=5 (Novak)
N=4
N=5
Num
-1
2
3
-2
-6
3
2
-2
2
-1
-1
Dem
-1
1
1
Num
-1
0
4
0
0
0
0
-8
0
4
Dem
-1
0
2
0
2
0
0
0
-1
-1
Fonte: Resultado da pesquisa.
É interessante notar que as equações calculam o valor da fase (φ) em cada
ponto da imagem (cada pixel), usando os valores da intensidade luminosa Ik das
diversas imagens da amostra naquele ponto, independente do valor do
deslocamento de fase (δ) dos quadros.
3.4
Modelo matemático
A ideia agora é como obter ou deduzir equações matemáticas semelhantes à
de Carré e Novak para um número qualquer de imagens (N). Este estudo faz uma
81
inovação ao tentar isso, mas não através de manipulações algébricas e relações
trigonométricas, e sim, por meios de métodos numéricos.
A mudança de enfoque do problema de obtenção de equações do cálculo de
fase de um problema analítico para uma visão numérica é uma grande inovação e
quebra um paradigma até então usado por diversos autores anteriormente.
Após várias tentativas de formulação numérica do problema, obtém-se o
modelo matemático em 3.19:
N
Mínimizar
N
N
∑ ∑ nr ,s + ∑ d r
r =1 s = r
r =1
tan(φ ) = Sqrt(| Num |)/ | Dem |

2

N
N N
1) tan 2 (φ v ) ∑ d r I rv  = ∑∑ n r , s I rv I sv

r =1 s = r
 r =1

N

nr ,s + d r ≥ 1
2)
∑
s=r

N
sujeito a 
ns ,r + d r ≥ 1
∑
3
)

s=r
4)
− 2 N ≤ nr ,s ≤ 2 N

− 2N ≤ d r ≤ 2N
5)
6)
n rs são inteiros

7
)

d r são inteiros
onde para cada v :
número de varíaveis
 ( N + 1)N

+ N
v = 1..
2


r = 1..N , incluir todas as imagens
r = 1..N , incluir todas as imagens
r = 1..N , s = r..N
r = 1..N
r = 1..N,s = r..N
r = 1..N
 v
 v
 2k − N − 1  v 
v
v
δ  , k = 1..N
 I k ( x, y) = I m ( x, y) + I a ( x, y) cos φ ( x, y ) + 
2

 


 I v ∈ [0; 128] aleatório e real
 m
v
 I a ∈ [0; 127] aleatório e real
 v
φ ∈ [−π ; π ] aleatório e real
δ v ∈ [−20π ; 20π ] aleatório e real


(3.19)
Os coeficientes das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) devem
ser inteiros, com o objetivo de aumentar a performance computacional do algoritmo,
uma vez que os valores da intensidade das imagens (Ik) são também inteiros,
variando de 0 até 255. Os computadores modernos realizam cálculos matemáticos
(adições e multiplicações) inteiros muito mais rápido do que com números reais (com
ponto flutuante). Deve-se lembrar que, atualmente, as câmeras fotográficas digitais
comerciais já apresentam resolução gráfica acima de 12 megapixéis, e que o cálculo
82
de fase (φ) deve ser realizado pixel a pixel. Outra razão é o uso de memória; os
valores inteiros podem ser armazenados em um único byte enquanto os valores
reais em pontos flutuantes gastam pelo menos 4 bytes, ficando apenas em real com
ponto flutuante uma raiz quadrada do numerador, a divisão pelo denominador e o
arcotangente de toda a operação. Nota-se que as variáveis r, s e ν são apenas
índices usados como contadores pelo modelo.
A ideia de se obter um mínimo do somatório dos valores absolutos ou módulo
dos coeficientes das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) vem da
tentativa de forçar que estes coeficientes sejam zero, para acelerar o cálculo
computacional e reduzir a memória utilizada, uma vez que o zero em matrizes
esparsas não necessita ser armazenado. É importante, também, que estes
coeficientes não sejam muito grandes, para que os valores do somatório do
numerador e do denominador não tenham valor muito alto e, assim, caibam em uma
variável inteira. Existe também uma razão numérica para que os coeficientes sejam
em módulo o menor possível, pois se multiplica um número por um valor muito alto,
o erro de arredondamento (ξa) do número é também aumentado, propagando-se e
reduzindo a precisão numérica. Na equação do cálculo de fase, esses coeficientes
vão multiplicar, justamente, os valores da intensidade das imagens (Ik) que contém
erros devido a ruídos e a sua discretização em pixéis e em tons de cinza. Em
CHAPRA (1988), a propagação numérica do erro de arredondamento é estudada em
detalhes.
A restrição (1) do Modelo 3.19 vem da Equação 3.16, que é elevada ao
quadrado e representa o formato da equação que está se buscando. Nota-se que o
resultado da resolução do Modelo Matemático 3.19 são os coeficientes das matrizes
do numerador (nr,s) e denominador (dr); assim, o número de incógnitas é dado por
N(número de imagens). Para garantir que se tenha um problema hiper-restrito,
sugere-se que o número de restrições seja maior ou, pelo menos, igual ao número
de variáveis. As ν restrições do modelo são obtidas através da escolha aleatória de
valores para Im(intensidade luminosa do fundo), Ia(intensidade de modulação),
φ(fase) e δ(deslocamento de fase), e usando a Equação 3.9, calculam-se os
Ik(intensidade luminosa). Testes mostraram que, mesmo para outros valores
menores de ν, o modelo matemático funciona apenas na busca por solução ótima,
porém, mais demorada. Na verdade, os valores de Im, Ia, φ e δ podem ser qualquer
83
número real, mas para manter uma compatibilidade com o problema de Moiré de
Sombra, optou-se por limitar Im entre 0 e 128, e Ia entre 0 e 127, para que Ik fique
entre 0 e 255. Limita-se também φ entre -π e π valores usado na etapa seguinte de
desempacotamento. Limita-se δ entre -20π e 20π, sabendo-se que, normalmente, os
valores do deslocamento de fase entre as imagens são bem menores que isso,
quando se usa as Técnicas de Moiré.
As restrições (2) e (3) do Modelo 3.19 vem da ideia que todas as imagens
Ik(intensidade luminosa) devem estar presentes na equação. O aumento da
quantidade de amostras deve diminuir o ruído aleatório das imagens. Para isso, é
necessário que todas as imagens da amostragem entrem na equação do cálculo de
fase. Isso é conseguido, impondo-se que a soma dos valores absolutos dos
coeficientes de cada linha ou de cada coluna da matriz do numerador (nr,s) mais o
módulo do coeficiente correspondente àquela imagem no denominador (dr) seja
maior ou igual a 1. Assim os coeficientes na equação do cálculo de fase para uma
dada imagem Ik não serão todos zeros, garantindo sua participação na equação.
Podem ser usadas apenas uma das duas restrições (2) ou (3), mas para garantir a
entradas de todas as amostras e simplificações de simetrias vistas mais na frente,
opta-se por usar as duas juntas.
As restrições (4) e (5) do Modelo 3.19 são usadas para acelerar a resolução
desse modelo matemático. Esta limitação no valor dos coeficientes das matrizes do
numerador (nr,s) e denominador (dr) representa uma significativa redução do
universo de busca e pesquisa da solução do modelo de Otimização. Tal redução no
universo de busca traz soluções mais rápidas e com menos esforço computacional,
para resolver este modelo de Otimização Inteira Não-linear. Para grandes valores de
N (número de imagens), quando N é maior que 16, podem-se limitar os coeficientes
das matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr) ao intervalo de [-4..4].
Para o caso em questão, que é a busca por equações válidas para o cálculo
de fase (φ), não existe a preocupação de que o modelo de Otimização atinja um
mínimo global, uma vez que um mínimo local (pontos de mínimo de uma função em
alguma vizinhança do ponto contido no domínio da função) já atende aos objetivos
desejados. Até mesmo achar uma solução viável qualquer já pode satisfazer a
pesquisa por novas equações. Logo, a procura se restringe a coeficientes das
matrizes do numerador (nr,s) e denominador (dr), que sejam inteiros e de valor
84
pequeno, e que atendam as restrições do modelo, não necessitando serem
minimizados (desejável, mas não necessário).
Uma vez encontrada uma equação com o Modelo 3.19, esta pode se tornar
uma restrição, para que, usando novamente o modelo, uma nova equação diferente
seja achada. Isso permite que o Modelo 3.19 encontre várias equações para um
dado valor de N(número de imagens), tornando bastante flexível e abrangente o
modelo matemático.
3.5
Método Branch-and-Bound
Para resolver numericamente o Modelo Matemático 3.19, optou-se pelo uso
do Método Branch-and-Bound. A proposta é apresentar apenas uma revisão didática
do referido método. Um detalhamento mais aprofundado pode ser encontrado em
HILLIER (2006). Este mesmo método também é usado pelo software comercial
LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems Inc.4.
Uma vez que qualquer problema de Programação Inteira limitada tenha
somente um número finito de soluções viáveis, é natural que se considere o uso de
algum tipo de procedimento de enumeração para encontrar uma solução ótima.
Infelizmente, este número finito pode ser, e normalmente é, muito grande. Por
exemplo, se houver somente 10 variáveis, e cada uma tiver 10 valores viáveis, então
poderão haver 1010 soluções viáveis. Apesar do fato de alguns computadores
digitais de hoje poderem executar diversos milhões de operações aritméticas
elementares (adições e subtrações) por segundo, a enumeração exaustiva
consumiria um tempo proibitivo em problemas do tamanho deste. Por isso, é
imperativo que qualquer procedimento de enumeração seja inteligentemente
estruturado, para que apenas uma fração muito pequena das soluções viáveis,
realmente, precise ser examinada. Por exemplo, a Programação Matemática
Dinâmica fornece um tipo de procedimento como esse para muitos problemas que
tenham um número finito de soluções viáveis (embora não seja particularmente
eficiente para a maioria dos problemas de Programação Inteira). Outra abordagem
4
http://www.lindo.com
85
desse tipo é fornecida pelo Método Branch-and-Bound (Ramificar-e-Limitar). Essa
técnica, e variações dela, têm sido aplicadas, com algum sucesso, a diversos
problemas, inclusive, problemas de Programação Inteira Não-linear.
A ideia básica do Método Branch-and-Bound passa a ser descrita. Suponhase (para ser específico) que a função-objetivo deva ser minimizada. Suponha-se,
também, que um limite superior ao valor ótimo da função-objetivo esteja disponível
(usualmente, este é o valor da função-objetivo para a melhor solução viável
identificada até o momento). O primeiro passo é subdividir o conjunto de todas as
soluções viáveis em diversos subconjuntos, e obter, para cada um deles, um limite
inferior para o valor da função-objetivo das soluções dentro do respectivo
subconjunto. Aqueles subconjuntos cujos limites inferiores excedam o limite superior
corrente
no
valor da função-objetivo
serão,
então,
excluídos
de futuras
considerações (um subconjunto que seja excluído por esta ou outras razões
legítimas é dito ser sondado). Um dos subconjuntos remanescentes, diga-se, aquele
com o menor limite inferior, será, então, novamente subdividido em diversos
subconjuntos. Seus limites inferiores serão obtidos, um de cada vez, e serão usados,
como anteriormente, para excluir alguns desses subconjuntos de futuras
considerações. Dentre todos os subconjuntos remanescentes, outro é selecionado
para nova subdivisão, e assim por diante. Esse processo é repetido seguidamente,
até que seja encontrada uma solução viável tal, que o valor correspondente da
função-objetivo não seja maior que o limite inferior para qualquer subconjunto. Tal
solução terá que ser ótima, uma vez que nenhum dos subconjuntos pode conter
uma solução melhor.
Em resumo, o Método Branch-and-Bound segue os passos descritos abaixo:
•
Passo de inicialização – Faça Zs=∞ (limite superior da função-objetivo).
Comece com o conjunto completo de soluções em consideração
(incluindo
quaisquer
convenientemente
soluções
eliminadas)
inviáveis
como
que
o
não
único
possam
ser
subconjunto
remanescente. Antes de começar as iterações regulares pelos passos
abaixo, aplique apenas o passo de ramificação (bound), o passo de
sondagem e a regra de parada a este subconjunto (referindo-se a isto
como iteração 0)
86
•
Passo de ramificação – use alguma regra de ramificação para
selecionar um dos subconjuntos remanescentes (aqueles nem
sondados, nem subdivididos), e subdivida-o em dois ou mais
subconjunto de soluções.
•
Passo de limitação – para cada novo subconjunto, obtenha um limite
inferior Zl, no valor da função-objetivo para as soluções viáveis no
subconjunto.
•
Passo de sondagem – para cada novo subconjunto, exclua-o de futuras
considerações, isto é, faça a sondagem se:
o Teste 1 de Sondagem: Zl ≥ Zs, ou
o Teste 2 de Sondagem: descobre-se que o subconjunto não
contém soluções viáveis; ou
o Teste 3 de Sondagem: a melhor solução viável no subconjunto
foi identificada (então, Zl corresponde a seu valor da funçãoobjetivo): se isto ocorrer e Zl < Zs, então faça Zs = Zl, armazene
esta solução como a solução incumbida, e reaplique o Teste 1
de Sondagem a todos os subconjuntos remanescentes.
•
Regra de parada – pare quando não houver nenhum subconjunto
remanescente insondado; a solução incumbida corrente é ótima (se
não houver nenhuma solução incumbida isto é, Zs ainda for igual a ∞,
então o problema não possuirá soluções viáveis.). Caso contrário, volte
para o passo de ramificação.
Se o objetivo for maximizar em vez de minimizar a função-objetivo, o
procedimento não mudará, exceto que os papéis dos limites superiores e inferiores
serão inversos. Assim, Zs seria substituído por Zl e vice-versa, ∞ se tornaria -∞ e as
direções das desigualdades seriam invertidas.
Os passos de ramificação e limitação permitem uma considerável flexibilidade
quanto ao projeto de um algoritmo especifico para o problema em questão, e eles
têm um efeito importante na eficiência computacional do algoritmo. As duas regras
de ramificação mais populares para selecionar o subconjunto a subdividir são a
regra do melhor limite e a regra do limite mais novo. A regra do melhor limite diz para
selecionar o subconjunto que tenha o limite mais favorável (o menor limite inferior no
caso de minimização) porque este subconjunto pareceria ser o mais promissor para
87
conter uma solução ótima. A regra do limite mais novo diz para selecionar o
subconjunto mais recentemente criado que não tenha sido sondado, desempatando
entre subconjuntos que tenham sido criados ao mesmo tempo, tomando-se aquele
que tenha o limite mais favorável. As vantagens dessas regras são de ter uma
manutenção de dados menos incômoda e de dar uma grande oportunidade para se
obter, eficientemente, os limites. O método selecionado para se obter os limites
deveria representar um compromisso cuidadoso entre o aperto dos limites e o
esforço computacional. Considera-se, agora, como exemplo, o problema geral de
Programação Linear Inteira Mista, onde algumas das variáveis (diga-se, I delas)
estão restritas a valores inteiros, porém as restantes são variáveis contínuas
comuns. Na forma de minimização, este problema é:
n

Minimizar
Z
=
cjxj
∑

j =1

sujeito
a

n

aij x j ≥ bi ,
para i = 1,2 ,...,m,
∑
j =1

e

 x j seja inteiro, para j = 1,2 ,...,I(I ≤ n),

x j ≥ 0,
para i = 1,2 ,...,m.

(3.20)
quando I=n, este se torna um problema de Programação Linear Pura. Uma
estrutura especial é usada para se obter um limite inferior, Zl, razoável, e para se
construir testes de sondagem fortes, com pouco esforço computacional. Essa
informação é obtida de uma maneira razoavelmente eficiente, usando-se
Programação Linear (o Método Simplex ou Simplex Dual). Para a versão
desenvolvida neste estudo, usa-se a regra do limite mais novo para selecionar o
próximo subconjunto de soluções a subdividir. O algoritmo, então, subdivide este
subconjunto em dois novos subconjuntos. Entretanto, como as variáveis podem ter
muitos valores possíveis, esta subdivisão é realizada dividindo os valores possíveis
de alguma variável em dois intervalos. Consequentemente, a mesma variável pode,
eventualmente, ser subdividida mais de uma vez.
O algoritmo começa (iteração 0) ignorando a restrição de inteiro, e usando o
Método Simplex para resolver o problema de Programação Linear correspondente.
Se a solução resultante tiver valores inteiros para todos os xj, então, para j=1,2,...,I
88
ela é a solução ótima desejada. Caso contrário, o passo de ramificação (a cada
iteração) encontra a primeira dessas variáveis que não tem valor inteiro, diga-se xj
tal que k<xj<k+1, onde k é um número inteiro. O Método Branch-and-Bound então,
subdivide o subconjunto de soluções correntes em dois novos subconjuntos:
1º Soluções em que xj≤k,
2º Soluções em que xj≤k+1,
onde essas soluções também têm que satisfazer todas as restrições que
definem o subconjunto corrente (ou seja, quaisquer limites similares em cada uma
das variáveis de subdivisões anteriores, mais as restrições originais do problema). O
passo de limitação obtém, então, o limite inferior Zl, para cada um desses
subconjuntos, ignorando, novamente, a restrição de inteiro, e resolvendo o problema
de Programação Linear resultante (incluindo a nova restrição limitante xj), para obter
o valor ótimo da função-objetivo. Entretanto, em lugar de resolver cada um destes
problemas desde o começo, o Método Branch-and-Bound apenas usa o
procedimento de análise de sensibilidade, aplicando o Método Simplex Dual,
começando pela solução básica que era ótima antes da introdução da nova
restrição. Note-se que a regra do limite mais novo aumenta a oportunidade para
reotimizar
eficientemente
dessa
maneira.
O
passo
de
sondagem,
então,
simplesmente verifica a nova solução de Programação Linear ótima obtida pelo
Método Simplex Dual. Em particular, o novo subconjunto será sondado se
• Teste 1 de Sondagem: Zi≥Zs, ou
• Teste 2 de Sondagem: o Método Simplex Dual descobre que não existe
solução viável, ou
• Teste 3 de Sondagem: a solução ótima obtida tiver valores inteiros para todos
os xj tais que j=1,2,...,I.
Se o Teste 3 de Sondagem tiver sucesso e Zl<Zs, então refaça Zs=Zl e
armazene esta solução como a solução incumbida. Entretanto, o Teste 1 de
Sondagem não precisa ser reaplicado aos subconjuntos remanescentes, até que
sejam selecionados pela regra do limite mais novo. Quando todos os subconjuntos
não-subdivididos tiverem sido sondados, a solução incumbida corrente será ótima
desejada.
89
Faz-se importante esclarecer que o Modelo Matemático proposto 3.19 é um
modelo não linear. Logo, em vez de se usar o Método Simplex como descrido acima,
deve-se usar um método para Otimização Não-linear, descrito a seguir.
3.6
Método de Programação Não-linear
Nesta pesquisa, usa-se uma variação do Método Branch-and-Bound com a
Técnica de Minimização Irrestrita da Sequência, descrida em detalhas por HILLIER
(2006) e por MAHEY (1987), que é um método de Programação Não-linear.
Acredita-se que outros algoritmos de Programação Não-linear tenham também
sucesso. Optou-se por este método, em razão da facilidade de sua implementação
computacional. A Técnica de Minimização Irrestrita da Sequência supõe que se
tenha um modelo matemático como o mostrado abaixo:
Minimizar
g ( x1 , x2 , x3 ,.., xn )


sujeito
a

h ( x , x , x ,.., x ) ≥ 0, para i = 1,2,...,m.
n
 i 1 2 3
(3.21)
O procedimento usado por esta técnica é muito simples. Ela lida
simultaneamente com a função-objetivo e com as restrições, combinando-as dentro
de uma única função:
m
1
,
i =1 hi ( x1 , x2 , x3 ,.., xn )
P( x1 , x2 , x3 ,.., xn ; r ) = g ( x1 , x2 , x3 ,.., xn ) + r ∑
(3.22)
onde r é um escalar estritamente positivo. Começando com uma solução-tentativa
inicial viável, a técnica usa, repetidamente, o procedimento de busca pelo gradiente
(ou Algoritmos de Gradiente Conjugado ou um método similar) para minimizar
P(x1,x2,x3,...,xn;r) com valores sucessivamente menores que r se aproximando de
zero. As soluções de minimização resultantes convergem para uma solução ótima
para o problema original.
90
A chave desta técnica é que cada 1/hi(x1,x2,x3,...,xn) se aproxima do infinito à
medida que hi(x1,x2,x3,...,xn) se aproxima de zero decrescendo. Portanto, começando
com uma solução-tentativa inicial tal que hi(x1,x2,x3,...,xn)>0, para todo i, é garantido
que o procedimento de busca pelo gradiente encontrará uma solução de
minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r) que seja viável para o problema original. Com
efeito, o termo de r em 3.22 é um termo de repulsão do limite (também chamado de
função de penalidade) que previne o procedimento de busca pelo gradiente de
atravessar (ou mesmo alcançar) os limites da região viável onde um ou mais
hi(x1,x2,x3,...,xn)=0.
Entretanto, se uma solução ótima para o problema original cair ou estiver
suficientemente próxima dos limites da solução viável, o termo de repulsão do limite
também irá prevenir essa solução de ser a solução de minimização de
P(x1,x2,x3,...,xn;r). Esta é a razão para minimizar, repetidamente, P(x1,x2,x3,...,xn;r)
para valores sucessivamente menores que r. À medida que r se aproxima de zero,
P(x1,x2,x3,...,xn;r) aproxima-se de g(x1,x2,x3,...,xn), de modo que a solução de
minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r) convergirá para a solução ótima desejada.
Portanto, apenas precisarão ser obtidas soluções de minimização suficientes para
permitir a extrapolação para esta solução de limite.
Estão disponíveis informações úteis para guiar a decisão de quando esta
extrapolação deverá ser realizada. Em particular, quando se tem uma solução de
minimização de P(x1,x2,x3,...,xn;r), esta é maior ou igual à solução ótima
(desconhecida) para o problema original. Assim, g(x1,x2,x3,...,xn) não pode exceder o
valor de g na solução ótima mais que o valor do termo de repulsão. Para isso seria
razoável extrapolar para a solução ótima, sempre que o erro máximo resultante for
considerado suficientemente pequeno.
O procedimento de busca pelo gradiente para problema irrestrito multivariado
baseia-se em alcançar, eventualmente, um ponto onde todas as derivadas parciais
sejam essencialmente zero. Isso envolve usar o gradiente da função-objetivo.
Suponha-se X=(x1,x2,x3,...,xn) e f(X) a função-objetivo, uma vez que suposta ser
diferenciável com um gradiente denotado por ∇f(X). Em particular, o gradiente num
ponto especifico X=X’ é o vetor cujos elementos são respectivas derivadas parciais
avaliadas em X=X’, de modo que
91
 ∂f ∂f ∂f
∂f 

∇f ( X ' ) = 
,
,
,...,
∂xn 
 ∂x1 ∂x2 ∂x3
para
X = X '.
(3.23)
O significado do gradiente é que a mudança (infinitesimal) em X, que
minimiza a taxa à qual f(X) aumenta, é a mudança que é proporcional a ∇f(X). Para
expressar essas ideias geometricamente, a direção do gradiente, ∇f(X´), é
interpretada como a direção do segmento de linha direcionada (seta) da origem
(0,0,...,0) para o ponto (∂f/∂x1, ∂f/∂x2,..., ∂f/∂xn) onde ∂f/∂xj é avaliado para xj=x’j. Por
isso, pode-se dizer que a taxa que f(X) diminuirá será maximizada se as mudanças
(infinitésimas) em X forem na direção inversa do gradiente ∇f(X). Como o objetivo é
encontrar a solução viável que minimize f(X), pareceria conveniente tentar mover o
mais possível na direção contrária a do gradiente (mesma direção e sentido
contrário).
Como as restrições foram acrescidas à função-objetivo, o problema resultante
fica sem restrições. Esta interpretação do gradiente sugere que um procedimento de
busca eficiente deveria se manter em movimento na direção do mesmo, até que ele
alcance (essencialmente) uma solução ótima X*, onde ∇f(X*)=0. Entretanto,
normalmente não seria prático mudar X continuamente na direção de ∇f(X), porque
isso requereria a reavaliação continua de ∂f/∂xj e a mudança da direção do caminho.
Por isso, a melhor abordagem é continuar movendo o gradiente numa direção fixa a
partir da solução-tentativa atual, não parando até que f(X) pare de diminuir. Este
ponto de parada seria a próxima solução-tentativa, de modo que o gradiente seria,
então, recalculado, para determinar a nova direção para a qual deve mover. Com
esta abordagem, cada iteração envolve a mudança da solução-tentativa atual, X’,
como se segue: Refaça X’ = X’ – t* ∇f(X’), onde t* é o valor positivo de t que minimiza
f[X’ - t ∇f(X)]. As iterações desse procedimento de busca pelo gradiente continuariam
até que ∇f(X)=0 dentro de uma pequena tolerância de erro.
A parte mais difícil desse procedimento é, normalmente, encontrar t*, o valor
de t que minimize f na direção do gradiente, a cada iteração. Como X e ∇f(X) têm
valores fixos para a minimização, pode ser usado, para isso, um método de
procedimento de busca unidimensional como o Método da Seção Áurea ou da
Aproximação Quadrática ou o Método de Newton descrito em CHAPRA (1988).
O resumo do procedimento de busca pelo gradiente segue:
92
• Passo de inicialização – selecione a precisão numérica (ξ) e qualquer
solução-tentativa inicial X’. Vá, primeiramente, para a Regra de Parada.
• Passo Iterativo 1 – use o procedimento de busca unidimensional (Método da
Seção Áurea) para entrar t=t* minimizando f[X’ - t ∇f(X)] onde t ≥ 0.
• Passo Iterativo 2 – refaça X’ = X’ – t* ∇f(X’). Então vá para a Regra de Parada.
• Regra de parada – avalie ∇f(X’) para X= X’. Verifique se |∂f/∂xj|≤ ξ para todo
j=1,2,...,n. Se a resposta é positiva, pare com o X’ atual como a aproximação
desejada da solução ótima X*. Caso contrário, vá para o Passo Iterativo 1.
No caso da implementação computacional do Modelo 3.19, os valores
absolutos foram substituídos pelo quadrado para simplificar a matemática, em vez
de se usar o módulo como a raiz quadrada do quadrado( x =
x 2 ). Neste estudo,
também não se preocupou se o mínimo achado era local ou global.
3.7
Principais equações do cálculo de fase obtidas
Aplicando-se a solução descrita nas seções anteriores ao Modelo 3.19, por
meio do programa computacional desenvolvido, obtiveram-se várias equações do
cálculo de fase que são generalizações do Algoritmo de Carré. Muitas dessas
mesmas equações do cálculo de fase podem também ser obtidas, usando-se o
software comercial LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems Inc.5 com as rotinas de
implementação. Ambos os programas chegaram a resultados semelhantes. Para
forçar outras soluções eram impostas aos programas certas restrições. Observa-se
que N é o número de imagens ou frames, e que as equações do cálculo de fase
seguem a Equação 3.18.
Uma vez obtida a Equação (a) da Tabela 4, o programa deve ser executado
novamente para que outra solução seja obtida. Como se trata de mínimos locais e
os valores de Im, Ia, φ e δ são aleatórios e diferentes para cada execução, basta
rodar o programa de novo que, possivelmente, uma nova equação diferente vai ser
5
http://www.lindo.com
93
calculada. Se equações repetidas começarem a aparecer, inclua alguma restrição
como n12<0 ou n12=-2, para que diferentes coeficientes sejam encontrados.
TABELA 4
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound
para N (número de imagens) igual a 6
N=6
Num
-1
0
5
-3
-1
-2
a)
3
1
4
-2
0
-10
1
-1
5
Dem
-1
0
1
1
0
Num
-1
0
3
-1
1
0
1
-1
0
0
0
-6
-1
1
3
d)
Dem
-1
0
1
1
0
Num
-1
4
5
-11
-9
2
11
9
-4
2
-4
-10
9
-9
5
g)
Dem
-1
2
-1
-1
2
Num
-1
-2
6
-3
5
1
3
-5
-2
1
2
-12
-5
5
6
j)
Dem
-1
-1
2
2
-1
Num
-1
0
1
1
3
-1
-1
0
-1
2
0
-5
-3
0
4
m)
Dem
-1
0
1
1
0
Num
-1
2
0
-1
-2
1
2
4
-3
2
-3
-3
1
-3
3
0
1
p)
Dem
-1
1
0
2
0
3
-3
0
-1
-1
2
0
1
-1
0
-1
-1
2
-4
11
-11
4
-1
-1
2
2
3
-3
-2
-1
-1
2
0
2
-2
0
-1
-1
2
-1
3
-4
2
-1
-1
-1
-2
5
-2
6
2
b)
2
-6
-4
2
2
-10
-6
6
5
-1
-1
2
2
-1
-1
0
2
0
2
1
0
-2
-2
1
0
-4
-2
2
2
e)
-1
0
1
1
0
-1
0
4
-2
0
-1
2
0
2
-1
0
-8
0
0
4
h)
-1
0
1
1
0
-1
2
-1
0
0
4
0
0
-8
4
-2
2
0
0
-1
k)
-1
1
0
0
1
-1
2
0
-1
-1
4
1
0
-7
3
-2
1
1
0
-1
n)
-1
1
0
0
1
-1
0
2
0
2
-1
0
0
0
1
0
-6
-2
0
4
0
1
1
0
q)
-1
2
2
2
-2
-2
-1
-1
2
5
-6
-6
-2
6
6
4
-2
-2
-10
6
-6
5
-1
1
0
0
1
2
0
0
0
0
-1
-1
-4
4
10
-7
-5
0
7
5
0
0
-4
-20
5
-5
10
2
-1
-1
-1
-1
2
0
2
-2
0
-1
-1
-1
2
1
-2
-2
2
2
2
-4
2
-2
-2
2
-2
1
-1
1
0
0
1
-1
4
-1
-5
-3
8
5
3
-16
8
-4
2
3
-3
-1
-1
2
-1
-1
2
-1
0
2
0
2
0
0
-1
-1
1
0
-5
-2
1
3
0
1
1
0
2
-2
0
0
2
-1
-1
2
-2
0
0
2
-1
-1
-1
c)
f)
i)
l)
o)
-1
2
-2
6
-6
2
-1
-1
8
-4
7
-7
4
-4
2
2
-2
2
-2
2
-1
-1
2
-4
5
-5
4
-1
-1
2
0
1
-1
0
-1
-1
2
0
2
-2
0
-1
-1
Fonte: Resultados da pesquisa.
Na Tabela 4 acima são mostrados apenas os coeficientes do numerador e do
denominador, por exemplo, a Equação da Tabela 4 (a) fica, na verdade, escrita
como a Equação 3.24 abaixo:
94
− I12
+ 5I
2
2
− 3I1I 3
+ 3 I1 I 4
+ 2 I1 I 6
− I 2 I3
+ I2I4
− 10 I 2 I 5
− 2 I 32
+ 4I3I 4
+ I3I5
+ 3I 3 I 6
− 2I
− I 4 I5
− 3I 4 I 6
2
4
+ 5 I 52
− I 62
tan(φ ) =
(3.24)
− I1 + I 3 + I 4 − I 6
TABELA 5
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound
para N (número de imagens) igual a 7
N=7
Num
-1
-2
1
0
6
5
a)
0
0
0
0
0
-6
-10
0
5
2
-2
-6
0
6
1
Dem
-1
-1
1
2
1
-1
Num
-1
-2
0
1
6
6
0
0
0
0
-1
-6
-12
0
6
2
0
-6
0
6
0
d)
Dem
-1
-1
1
2
1
-1
Num
-1
-2
4
-3
6
2
0
0
0
0
3
-6
-4
0
2
2
-8
-6
0
6
4
2
1
-1
g)
Dem
-1
-1
1
2
2
0
0
0
-2
-1
-1
-1
-1
1
2
2
-1
0
1
-2
-1
-1
-1
-2
6
2
2
3
0
-3
-2
-1
-1
2
6
-5
-6
0
0
0
0
0
5
6
0
0
0
-2
-12
6
0
-6
6
1
-2
1
1
-5
6
0
0
0
0
0
5
-6
0
0
0
2
-12
-6
0
6
6
b)
e)
-1
-1
1
2
1
-1
-1
2
1
0
-6
5
0
0
0
0
0
6
-10
0
5
-2
-2
6
0
-6
1
-2
1
1
h)
-1
1
1
2
-2
5
0
-5
2
-1
-1
-1
2
2
5
0
-5
-2
-1
-1
2
-2
0
0
0
2
-1
-1
-2
5
-4
6
1
0
0
0
0
4
-6
-2
0
1
2
-10
-6
0
6
5
-1
-1
1
2
1
-1
-1
-2
2
-1
6
4
0
0
0
0
1
-6
-8
0
4
2
-4
-6
0
6
2
-1
-1
1
2
1
-1
-1
0
2
0
0
0
0
0
1
0
1
0
-1
-1
1
-1
-5
0
0
0
3
0
1
0
1
0
c)
f)
i)
-1
2
2
4
0
-4
-2
-1
-1
2
2
1
0
-1
-2
-1
-1
2
1
0
0
-1
0
-1
-1
Fonte: Resultados da Pesquisa
Novamente, na Tabela 5 acima, são mostrados apenas os coeficientes do
numerador e do denominador para N=7. Por exemplo, a Equação da Tabela 5 (a)
fica, na verdade, escrita como a Equação 3.25 abaixo:
− I12
− 2 I1I 2
+ I 22
+ 2 I1I 6
+ 2 I1I 7
+ 2I 2 I 7
+ 6 I 2 I3
− 6I2 I5
− 2I2 I6
+ 5I
− 10 I 3 I 5
− 6 I3 I6
+ 5 I 52
+ 6I5I6
2
3
+ I 62
tan(φ ) =
− 2I6 I7
− I 72
− I1 − I 2 + I 3 + 2 I 4 + I 5 − I 6 − I 7
(3.25)
95
TABELA 6
Equações encontradas resolvendo o Modelo Matemático 3.19, usando o Método Branch-and-Bound
para N (número de imagens) igual a 8
N=8
Num
-1
0
7
-5
0
-4
a)
0
3
0
0
0
-3
0
0
0
5
0
8
0
0
-4
0
-14
0
-3
3
0
7
Dem
-1
0
1
0
0
1
0
Num
-1
0
2
0
0
0
0
-1
1
1
0
1
-1
-2
1
0
0
0
-1
1
0
0
-4
0
1
-1
0
2
d)
Dem
-1
0
1
0
0
1
0
Num
-1
0
2
0
-2
3
2
-2
0
-2
-2
2
0
4
-2
0
2
-6
0
0
3
0
-4
2
2
-2
-2
2
g)
Dem
-1
0
1
0
0
1
0
Num
-1
2
7
-10
2
-1
2
2
-10
-1
-2
-2
10
2
-1
10
-2
2
10
-10
-1
-2
-14
-2
-2
2
2
7
j)
Dem
-1
1
-1
1
1
-1
1
Num
-1
2
7
-8
-2
0
2
2
-6
-4
-2
-2
6
8
-4
8
2
0
6
-6
0
-2
-14
2
-2
2
-2
7
m)
Dem
-1
1
0
0
0
0
1
Num
-1
0
0
0
1
3
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
-1
-6
0
0
3
0
0
-1
0
0
1
0
p)
Dem
-1
0
0
1
1
0
0
Num
-1
0
2
0
1
-1
-1
-1
1
2
1
1
-1
-4
2
0
-1
2
-1
1
-1
0
-4
-1
1
-1
1
2
0
0
1
0
s)
Dem
-1
0
1
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
5
0
0
-5
0
-1
-1
2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
-1
0
7
-9
2
0
b)
2
5
-2
0
-2
-5
2
0
0
9
-2
0
2
-2
0
0
-14
-2
-5
5
2
7
-1
0
-1
2
2
-1
0
-1
0
7
-5
0
-2
0
1
-2
-2
0
-1
2
4
-2
5
0
4
2
-2
-2
0
-14
0
-1
1
0
7
e)
-1
0
1
0
0
1
0
2
0
0
-2
2
0
0
-1
-1
-1
-2
7
-6
6
-5
-2
6
2
3
2
-6
-2
-6
3
6
-6
10
-2
2
-5
2
-14
-6
-6
6
6
7
-1
-1
1
1
1
1
-1
2
-2
10
-2
2
-10
2
-1
-1
-1
-2
7
-10
6
3
-2
6
6
3
2
-6
-6
-6
3
10
-6
-6
-6
6
3
2
-14
-6
-6
6
6
7
-1
-1
-1
3
3
-1
-1
2
-2
8
-2
2
-8
2
-1
-1
-1
-2
7
-4
2
0
2
-2
-2
0
-2
2
2
0
0
4
-2
0
2
-2
0
2
-14
-2
2
-2
2
7
h)
k)
n)
-1
-1
2
0
0
2
-1
2
0
0
-1
1
0
0
-1
-1
-1
0
3
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-6
0
1
-1
0
3
-1
0
1
0
0
1
0
2
0
0
1
-1
0
0
-1
-1
-1
0
1
1
0
1
0
-2
1
1
0
2
-1
-2
1
-1
0
-2
-1
1
1
0
-2
0
2
-2
0
1
0
0
1
0
q)
t)
-1
0
1
2
0
9
-2
2
-9
0
-1
-1
2
7
-6
-4
-1
0
0
0
-1
0
0
0
2
-1
6
4
2
0
0
-1
-2
-14
4
0
0
-4
7
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
0
3
-1
0
-1
0
0
1
1
0
0
-1
-2
1
1
0
2
-1
1
-1
0
-6
0
0
0
0
3
-1
0
1
0
0
1
0
-1
2
7
-8
2
-4
-2
2
-6
0
2
-2
6
0
0
8
-2
8
6
-6
-4
-2
-14
-2
-2
2
2
7
-1
1
0
0
0
0
1
2
2
10
2
-2
-10
-2
-1
-1
-1
2
7
-6
-6
-5
2
6
6
3
-2
-6
-6
-6
3
6
6
10
-6
6
-5
-2
-14
6
-6
6
-6
7
-1
1
1
-1
-1
1
1
2
2
4
-2
2
-4
-2
-1
-1
-1
-2
7
-4
0
0
4
0
0
0
-4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
2
-14
0
0
0
0
7
-1
-1
2
0
0
2
-1
-1
0
0
0
2
2
0
0
0
1
0
0
0
-2
1
0
-2
-4
0
0
2
0
0
-2
0
0
2
0
-1
0
0
1
1
0
0
-1
4
4
-6
-2
3
-6
-6
2
4
6
6
-2
-8
4
6
2
-6
-2
2
3
-4
-8
2
6
-6
-2
4
2
1
-2
-2
1
2
2
0
5
0
0
-5
0
-1
-1
2
2
6
2
-2
-6
-2
-1
-1
2
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
2
0
-1
0
0
1
0
-1
-1
-1
c)
f)
i)
l)
o)
r)
u)
-1
2
-2
6
0
0
-6
2
-1
-1
2
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
2
-2
8
2
-2
-8
2
-1
-1
2
-2
6
-2
2
-6
2
-1
-1
2
2
4
-4
4
-4
-2
-1
-1
2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
2
-4
6
6
-6
-6
4
-1
-1
96
De novo, na Tabela 6, são mostrados apenas os coeficientes do numerador e
do denominador para N=8. Por exemplo, a Equação da Tabela 6 (a) fica na verdade
escrita como a Equação 3.26 abaixo:
− I12
− 5 I1 I 3
+ 7I
+ 5 I1 I 6
+ 3I 2 I 4
2
2
− 4I
− 3I 2 I 5
+ 2 I1I 8
− 14 I 2 I 7
+ 8I 3 I 6
2
3
+ 5I 3 I8
− 3I 4 I 7
+ 3I 5 I 7
− 4I
− 5I 6 I8
2
6
+ 7I
tan(φ ) =
2
7
− I 82
− I1 + I 3 + I 6 − I 8
(3.26)
Destaca-se que estas equações são importantes resultados inéditos e
originais obtidos neste estudo, sendo generalizações do Algoritmo de Carré. Mais à
frente, no Capítulo V, será realizada uma análise de incerteza sobre algumas delas.
Outras equações do cálculo de fase podem ser encontradas no Apêndice A.
3.8
Testes das equações obtidas
Uma vez obtidas as novas equações do cálculo de fase, passa-se à
realização de vários testes com as mesmas, com o objetivo de verificar se podem
ser usadas e se não apresentam erros ou falhas. Neste estudo, são propostos
quatro testes ou ensaios para avaliar as equações.
O primeiro teste é uma verificação numérica matemática onde são atribuídos
valores aleatórios a Im (intensidade luminosa do fundo em cada ponto da imagem), Ia
(intensidade de modulação em cada ponto da imagem), φ’ (fase) e δ (deslocamento
de fase), e então, é utilizada a Equação 3.9 para se calcular os valores de Ik
(intensidade luminosa) onde k=1,2,3,..N e N é o número de imagens. Uma vez
obtido Ik, usa-se as novas equações em teste para se calcular a tan(φ) e comparar
com o valor de φ’ escolhido aleatoriamente.
97
No segundo teste, são geradas no computador N imagens de Moiré para uma
curva ou função matemática de superfície [Z=f(x,y)]. A forma como as imagens são
geradas é detalhada no Capítulo IV. Usa-se um programa desenvolvido em
MatLab® (da MathWorks, Inc.)6, que processa essas imagens aplicando a Técnica
Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase. Esse software foi desenvolvido e
testado usando o Algoritmo de Carré para 4 imagens, mas modificado para usar N
imagens e as novas equações desenvolvidas para retornar as medidas dos objetos.
Essas medidas são então comparadas com as dimensões conhecidas, e é aplicada
uma tolerância de 20% (verificar apenas a forma do objeto) no erro relativo das
mesmas (assim se a altura de uma curva tem o valor de 10 cm vai-se tolerar um erro
relativo de 20% ou seja, 2 cm; com isso, vai se admitir uma “medição” com intervalos
entre 8 e 12 cm neste ponto da imagem). A ideia é verificar se as novas equações
funcionam de forma semelhante ao Algoritmo de Carré aplicada à Moiré de Sombra.
Vale notar que as imagens geradas têm entre 0,3 a 5 megapixéis.
No terceiro teste, as imagens geradas no computador são acrescidas de erros
aleatórios e ruídos que, normalmente são encontrados em fotografias reais de Moiré.
Como são geradas estas imagens com erros são detalhados no Capítulo IV desta
tese, e podem ser encontrados em GONZALEZ (2004). O mesmo programa
computacional usado no segundo teste é usado no terceiro, e a mesma tolerância de
20% nos erros relativos das medidas.
No quarto teste, é usado o mesmo processo do segundo e terceiro testes, só
que, nele, as imagens são fotografias reais usando a Técnica Moiré de Sombra com
Deslocamento de Fase. Essas fotografias foram tiradas no Laboratório de Análise
Estrutural da PUC-Minas, usando-se a montagem descrita no Capítulo V.
A ideia desse testes não é fazer um estudo métrico das novas equações
desenvolvidas, mas apenas verificar a validade, funcionalidade e performance
dessas novas equações do cálculo de fase. Uma análise de forma metrológica é
realizada no Capítulo V com as melhores equações que foram selecionadas nestes
testes iniciais.
6
http://www.matlab.com
98
3.8.1 Teste numérico matemático das equações obtidas
Como as novas equações obtidas foram desenvolvidas por meio de métodos
numéricos
de
cálculo,
e
não
de
demonstrações
analíticas
de
relações
trigonométricas, é necessário verificá-las. Acredita-se que um grande número de
testes numéricos pode verificar ou comprovar essas novas equações ou, pelo
menos, tornar mínimas ou remotas a chance delas estarem erradas ou serem falsas.
O objetivo aqui é verificar se as novas equações calculam realmente a tangente da
fase [tan(φ)].
Para isso, são atribuídos valores reais aleatórios a Im (intensidade luminosa
do fundo em cada ponto da imagem), que variam de 0 a 128, sendo também
atribuídos valores reais e aleatórios a Ia (intensidade de modulação em cada ponto
da imagem), que variam de 0 a 127. Assim, como o cosseno varia de -1 até 1, os
valores da intensidade luminosa Ik ficarão entre 0 e 255, que é o intervalo de valores
dos pixéis obtidos em fotografias monocromáticas digitais de Moiré. É interessante
notar que, nas imagens digitais, os valores são inteiros, e aqui, para ampliar mais os
testes, estes são realizados como reais. São também atribuídos valores reais
aleatórios a φ’ (fase), que variam de -π a π, faixa comum usada nos principais
algoritmos de desempacotamento (unwrapped). E são atribuídos valores reais e
aleatórios a δ (deslocamento de fase), que variam de -20π a 20π, faixa bem ampla
de valores possíveis de deslocamento de fase.
Usa-se, então, a Equação 3.27, que é uma reescrita sem (x, y) de cada ponto
da imagem da Equação 3.9, para se calcular os valores de Ik (intensidade luminosa
da imagem) com k variando de 1 até N.

 2k − N − 1  
I k = I m + I a cos φ ′ + 
δ 
2

 

com k = 1..N
(3.27)
Aplicam-se, então, as novas equações com os valores de Ik, e obtém-se a
tan(φ), que deve ser comparado com o valor da fase atribuído aleatoriamente (φ’).
Essa comparação se dá por meio de uma precisão numérica bem pequena, em
razão de erros numéricos de arredondamento que podem ocorrer nos cálculos, diga-
99
se precisão numérica (ξ) de 0,000001 ou 10-6 (ξ≤10-6). Logo, testa-se |φ’ - φ|≤10-6.
Informações sobre precisão numérica e propagação numérica de erros de
arredondamento, podem ser obtidas em CLÁUDIO (2000).
Um cuidado especial deve ser tomado, pois como as equações contêm uma
raiz quadrada, é calculado o valor absoluto da soma no numerador e denominador;
logo, a tan(φ) será positiva, e o valor de φ estará entre 0 e π/2. Observando a Figura
11, vê-se uma simetria e anti-simetria no gráfico da tangente de um arco em
radianos. Assim como o valor de φ’ está entre -π e π, e o valor de φ está entre 0 e
π/2, na verdade, quatro testes devem ser realizados, ou seja, φ’ é comparado com φ,
-φ, φ-π e -φ+π, bastando que um deles esteja correto, portanto, se |φ’ - φ|≤10-6 ou |φ’ (-φ)|≤10-6 ou |φ’ - (φ-π)|≤10-6 ou |φ’ - (-φ+π)|≤10-6, para que a equação seja verificada e
considerada correta.
Figura 11 – Gráfico da tangente de um arco em radianos.
Vai-se mostrar este processo usando um exemplo: suponha que se deseje
testar a Equação (d) da Tabela 4 para N = 6, escrita abaixo:
− I12
+ 3I 22
− I1I 3
+ I1I 4
+ I 2 I3
− I2 I4
+ 2 I1 I 6
− 6I 2 I5
− I3I5
+ I3I6
+ I 4 I5
− I4I6
+ 3I
tan(φ ) =
2
5
− I 62
− I1 + I 3 + I 4 − I 6
(3.28)
100
Escolhe-se aleatoriamente Im=3,5; Ia=2,4; φ’=1,2 e δ=0,3, calcula-se então I1,
I2, I3, I4, I5 e I6 usando a Equação 3.27, e tem-se então:

 I1

I
 2

 I3


I 4


 I5


I6

5 
5 


= I m + I a cos φ ′ − δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 − 0,3 = 5,661073
2 
2 


3 
3 


= I m + I a cos φ ′ − δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 − 0,3 = 5,256053
2 
2 


1 
1 


= I m + I a cos φ ′ − δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 − 0,3 = 4,694171
2 
2 


1 
1 


= I m + I a cos φ ′ + δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 + 0,3 = 4,025616
2 
2 


3 
3 


= I m + I a cos φ ′ + δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 + 0,3 = 3,310110
2 
2 


5
5




= I m + I a cos φ ′ + δ  = 3,5 + 2,4 cos 1,2 + 0,3 = 2,611566
2 
2 


se
k =1
se k = 2
se k = 3
(3.29)
se k = 4
se k = 5
se k = 6
Monta-se então uma tabela com o produto das imagens, a Tabela 7:
TABELA 7
Produto das Imagens I1, I2, I3, I4, I5 e I6
I1
I2
I3
I4
I5
I6
5,661073 5,256053 4,694171 4,025616 3,310110 2,611566
5,661073 32,047748 29,754902 26,574042 22,789307 18,738774 14,784266
5,256053
27,626096 24,672810 21,158852 17,398114 13,726530
4,694171
22,035237 18,896928 15,538220 12,259136
4,025616
16,205585 13,325231 10,513162
3,310110
10,956827 8,644570
2,611566
6,820277
Produto
I1
I2
I3
I4
I5
I6
Fonte: Cálculos da pesquisa.
Substituindo na Equação 3.28, tem-se:
− 32,04775
− 26,57404 + 22,78931
+ 2 × 14,78427
+ 3 × 27,6261 + 24,67281 − 21,15885 − 6 × 17,39811
− 15,53822
+ 12,259146
+ 13,32523
+ 3 × 10,95683
tan(φ ) =
− 10,51316
− 6,820277
− 5,661073 + 4,694171 + 4,025616 − 2,611566
(3.30)
101
Efetuando a soma no numerador e no denominador, chega-se em:
tan(φ ) =
1,322802
= 2,572152
0,447148
(3,31)
Calculando o arcotangente de 2,572152, obtém-se que φ=1,2 é igual ao φ’
atribuído aleatoriamente. Esse procedimento deve ser então realizado milhares ou
milhões de vezes para verificar as novas equações.
Em outro exemplo, mostra-se esse processo de teste para valores inteiros.
Suponha que se deseje testar a Equação (e) da Tabela 5 para N = 7, escrita abaixo:
− I12
tan(φ ) =
− 2 I1I 2
− 5 I1I 3
+ 5 I1I 5
+ 2 I1I 6
+ 2 I1I 7
+ 6 I 22
+ 6 I 2 I3
− 6I 2 I5
− 12 I 2 I 6
+ 2I 2 I 7
− 6I3I6
+ 5I 3 I 7
+ 6I5 I6
− 5I 5 I 7
+ 6 I 62
− 2I6 I7
− I 72
− I1 − I 2 + I 3 + 2 I 4 + I 5 − I 6 − I 7
(3.32)
Escolhe-se aleatoriamente Im=6; Ia=4; φ’=π e δ=π/2, calcula-se então I1, I2, I3,
I4, I5, I6 e I7 usando a Equação 3.27, e tem-se:
 I1 = I m + I a cos[φ − 3δ ] = 6 + 4 cos[π − 3π / 2] = 6 se k = 1
 I = I + I cos[φ − 2δ ] = 6 + 4 cos[π − 2π / 2] = 10 se k = 2
m
a
 2
 I 3 = I m + I a cos[φ − δ ] = 6 + 4 cos[π − π / 2] = 6
se k = 3

se k = 4
 I 4 = I m + I a cos[φ ] = 6 + 4 cos[π ] = 2
 I = I + I cos[φ + δ ] = 6 + 4 cos[π + π / 2] = 6
se k = 5
m
a
 5
 I 6 = I m + I a cos[φ + 2δ ] = 6 + 4 cos[π + 2π / 2] = 10 se k = 6

 I 7 = I m + I a cos[φ + 3δ ] = 6 + 4 cos[π + 3π / 2] = 6 se k = 7
Substituindo na Equação 3.32, tem-se:
(3.33)
102
− 62
− 2 × 6 × 10
− 5× 6× 6
+ 5× 6× 6
+ 6 × 10
+ 6 × 10 × 6
− 6 × 10 × 6 − 12 × 10 × 10 + 2 × 10 × 6
2
+ 2 × 6 × 10
+ 2×6×6
− 6 × 6 × 10
+ 5× 6× 6
+ 6 × 6 × 10
− 5× 6× 6
+ 6 × 10
− 2 × 10 × 6
2
− 62
tan(φ ) =
− 6 − 10 + 6 + 2 × 2 + 6 − 10 − 6
(3.34)
Efetuando a soma no numerador e no denominador, chega-se em:
tan(φ ) =
0
− 16
=0
(3.35)
Calculando o arcotangente de 0, obtém-se que φ=0, mas φ’=π que foi atribuído
aleatoriamente. Portanto φ’ deve ser comparado com -φ+π. Esse procedimento deve
ser então realizado milhares ou milhões de vezes para verificar as novas equações.
Acredita-se que o teste anterior realizado com valores reais seja mais geral e
abrangente e, portanto, será usado no restante da pesquisa.
Um algoritmo para teste das novas equações é mostrado na Figura 12, onde
se entra com N (Número de Imagens), NUM[r,s] (matriz de coeficientes do
numerador), DEM[r] (vetor de coeficientes do denominador), o NTESTE (número de
testes) e a precisão numérica (por exemplo ξ≤10-6). Na saída, tem-se o número de
acertos e o número de erros. A função aleatória retorna um valor randômico real
entre 0 e 1.
103
Algoritmo
|Entre com N
|Entre com NUM[r,s] e DEM[r]
|Entre com NTESTE e PRECISAO
|CONTADOR = 0
|ACERTOS = 0
|ERROS = 0
|Pi = 3.1415926535897932
|Repita
||CONTADOR = CONTADOR + 1
||NUMERADOR = 0
||DENOMUNADOR = 0
||Im = 128 * Aleatorio()
||Ia = 127 * Aleatorio()
||Phi' = 2 * Pi * (Aleatorio() - 0,5)
||Delta = 2 * Pi * 5 (Aleatorio() - 0,5)
||Varie r de 1 até N
|| | DENOMINADOR=DENOMINADOR+DEM[r]* {Im + Ia
|| | Varie s de r até N
|| | | NUMERADOR=NUMERADOR+NUM[r,s]*{Im + Ia
|| | |
*{Im + Ia
|| | Fim Varie
||Fim Varie
||Se DENOMINADOR = 0
||| Então Phi = Pi / 2
||| Senão Phi = Arctan( Sqrt(Abs(NUMERADOR))
||Fim Se
||Se Abs(Phi' - Phi)
< PRECISAO
ou
||| Abs(Phi' - (-Phi))
< PRECISAO
ou
||| Abs(Phi' - (Phi-Pi))
< PRECISAO
ou
||| Abs(Phi' - (-Phi+Pi)) < PRECISAO
|||
Então ACERTO = ACERTO + 1
|||
Senão ERRO = ERRO + 1
||Fim Se
|Até CONTADOR = NTESTE
Fim algoritmo
* cos(Phi' +(2*r-N-1)/2 * Delta)}
* cos(Phi' +(2*r-N-1)/2 * Delta)}
* cos(Phi' +(2*s-N-1)/2 * Delta)}
/ Abs(DENOMINADOR) )
Figura 12 – Algoritmo para teste numérico-matemático das novas equações do cálculo de fase.
A função Aleatorio() retorna um número real randômico (aleatório) entre 0 (zero) e
1 (um), diferente a cada chamada da função.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Nota-se que todas as equações apresentadas nesta pesquisa passaram pelo
teste numérico matemático acima descrito. Para isso, foi criado um programa em
Delphi 6.0/Pascal® da Borland Software Corporation7, onde cada equação foi
testada pelo menos um milhão de vezes, e apresentou acerto em 99,9% dos testes.
Alguns erros ocorrem em razão do valor do numerador e do denominador serem
muito pequenos, gerando uma propagação do erro de arredondamento muito
grande, maior que a precisão numérica definida. Com esta enorme quantidade de
testes e a precisão numérica bem pequena, torna-se improvável, estatisticamente,
que as equações estejam erradas.
7
http://www.borland.com
104
3.8.2 Testes de Moiré das equações obtidas
Os demais testes são realizados usando uma rotina em MatLab® (da
MathWorks, Inc.8, que implementa a Técnica Moiré de Sombra, descrita no Capítulo
II, com o Algoritmo de Carré. A diferença é que se usa N imagens (N ≥ 4), e para o
cálculo da fase utiliza-se as novas equações deduzidas. Aplica-se, ainda, uma
tolerância de 20% no erro dos valores medidos. Ou seja, dada a medida conhecida
em um dado pixel da imagem, vai-se aceitar um erro relativo de 20% desse valor;
assim, se a altura medida de um objeto é de 10 cm, tolera-se um erro de 2 cm no
algoritmo da Técnica de Moiré. A ideia é verificar se a equação funciona para Moiré
de Sombra.
Três tipos de imagens são testados. As primeiras são imagens geradas pelo
computador sem ruído de Franjas de Moiré. Nota-se que, como os valores da
intensidade da imagem são inteiros de 0 a 255, aplicando as equações
desenvolvidas, pode acontecer que, para alguns pixéis, o valor do denominador seja
zero. Neste caso, a medida é realizada por interpolação dos pontos vizinhos. Esse
fenômeno acontece, também, na equação original de Carré e de Novak.
Todas as equações do cálculo de fase mostradas na pesquisa com N ≤ 16
foram verificadas por esse processo. Cita-se, ainda, que no início são geradas
apenas quatro imagens, sendo aplicada a equação original de Carré (3.12); em
seguida, é gerada mais uma imagem defasada, sendo aplicada a equação original
de Novak (3.14). Para N = 6 é gerada mais uma imagem defasada, sendo que o
processo continua para cada valor de N (número de imagens ou frames).
No teste seguinte, usam-se imagens geradas por Computação Gráfica, só
que, neste caso, elas contêm pequenas quantidades de erros aleatórios e ruídos. A
ideia é tentar simular uma fotografia real de Franjas de Moiré. São adicionados e
subtraídos pequenos valores aleatoriamente nos pixéis das imagens. O objetivo é
testar a estabilidade e sensibilidade das equações do cálculo de fase a esses erros.
O último teste seria o de aplicar as novas equações em casos reais de
fotografias tiradas no Laboratório de Análise Estrutura da PUC-Minas ou em sites da
Internet. Destaca-se que este teste foi realizado para equação com N ≤ 16, em razão
8
http://www.matlab.com
105
do trabalho de se obter as fotografias reais, e a dificuldade prática apresentada, na
montagem, em se manter o deslocamento de fase (δ) constante.
3.9
Simetria nas equações do cálculo de fase
No Modelo Matemático 3.19 de Programação Inteira Não-linear, observa-se
que para N (número de imagens) tem N*(N+1)/2 variáveis que são os coeficientes no
numerador (nr,s), e mais N variáveis que são os coeficientes no denominador (dr).
Acontece que à medida que se aumenta N, o número de variáveis vai aumentando
na ordem ao quadrado O(N2) com N + N*(N+1)/2 variáveis [ou (N2+3N)/2 variáveis].
Para complicar, o Método Branch-and-Bound é da ordem ao cubo do número de
variáveis, o que resulta em busca de solução da ordem sexta de N, ou seja, a busca
de novas equações do cálculo de fase de O(N6). Quer dizer, se N dobra, é de se
esperar que o tempo de processamento computacional aumente 26=64 vezes.
ZIVIANI (2004) é uma ótima referência para estudo da avaliação do
desempenho de algoritmos. Nota-se, ainda, que o número de restrições (ν) do
Modelo Matemático 3.19 varia na ordem de O(N2), e que o espaço de busca dos
coeficientes também dependem de N e varia de -2N até 2N(intervalo máximo
observado em todas as equações de cálculo).
O certo é que, com o aumento de N, torna-se computacionalmente mais
trabalhoso, obter novas equações do cálculo de fase. Isso é mostrado no gráfico da
Figura 13, onde se tem o tempo gasto em minutos, para se obter uma equação
versus o número de imagens (N).
106
Tempo de Processamento Gasto em Minutos
(min)
M
i
n
u
t
o
s
2000,0
1800,0
1600,0
1400,0
1200,0
1000,0
800,0
600,0
400,0
200,0
0,0
6
7
8
9
10
11
12
Número de Imagens
Figura 13 – Tempo gasto na execução do Método Branch-and-Bound, para se obter uma
equação do cálculo de fase usando o Modelo Matemático 3.19, com microcomputador
Pentium CPU Intel Core2 Quad Q6600 2.4GHz com 2GB Memória. Executando o
programa em Delphi/Pascal que implementa o método de Otimização.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Destaca-se que o software comercial LINGO® 11.0 (2008) da LINDO Systems
Inc.9, utilizado pelo Departamento de Matemática e Estatística da PUC-Minas, era
limitado a 150 variáveis inteiras e não lineares. O que permitiu obter equações com
N ≤ 15.
Para resolver essa questão de tempo de processamento e número de
variáveis, usa-se uma observação importante: na maioria das equações obtidas
havia simetrias na matriz de coeficientes do numerador (nr,s) e do denominador (dr).
Por exemplo, para N=6, pode-se observar a Equação (h) da Tabela 4, ou a
Equação 3.36, para notar as simetrias:
− I12
− 2 I1 I 2
− 3 I1 I 3
+ 3 I1 I 4
+ 2 I1 I 4
+ 2 I1 I 6
+ 6I
+ 5I 2 I 3
− 5I 2 I 4
− 12 I 2 I 5
+ 2I 2 I 6
+I
− 2I3 I 4
− 5I 3 I 5
+ 3I 3 I 6
+I
+ 5I 4 I 5
− 3I 4 I 6
+ 6I
− 2I5 I 6
tan(φ ) =
2
2
2
3
2
4
2
5
− I 62
− I1 − I 2 + 2 I 3 + 2 I 4 − I 5 − I 6
(3.36)
Para melhor visualização, vão-se traçar as linhas da diagonal principal, da
diagonal secundária, do eixo vertical central e do eixo horizontal central no
9
http://www.lindo.com
107
numerador, e uma linha do eixo vertical central no denominador, como mostrado em
3.37:
(3.37)
Pode-se notar, inicialmente, que a diagonal secundária é igual à diagonal
principal multiplicada por menos dois na metade superior dos coeficientes do
numerador, como mostrado em 3.38:
− 2n1,1 I 1 I 6
n1,1 I 12
+ n 2, 2 I
− 2n 2, 2 I 2 I 5
2
2
+n I
2
3, 3 3
− 2 n 3, 3 I 3 I 4
tan(φ ) =
(3.38)
Pode-se notar uma anti-simetria na metade superior da matriz de coeficientes
do numerador em relação ao eixo vertical central, como mostrado em 3.39:
+ num12 I1 I 2
+ num13 I1 I 3
+ num23 I 2 I 3
− num13 I1 I 4
− num23 I 2 I 4
− num12 I1 I 5
tan(φ ) =
(3.39)
Pode-se, também, notar uma simetria em relação à diagonal secundária nos
coeficientes do numerador, como mostrado em 3.40:
108
n1,1 I 12
+ n1, 2 I 1 I 2
+ n1,3 I 1 I 3
− n1,3 I 1 I 4
+n I
+ n 2 ,3 I 2 I 3
− n 2 ,3 I 2 I 4
2
2, 2 2
+n I
2
3, 3 3
+n I
2
3, 3 4
− n1, 2 I 1 I 5
− n1, 2 I 2 I 6
− n 2, 3 I 3 I 5
+ n 2, 3 I 4 I 5
− n1,3 I 3 I 6
+ n1,3 I 4 I 6
+ n 2, 2 I 52
+ n1, 2 I 5 I 6
+ n1,1 I 62
tan(φ ) =
(3.40)
Tem-se, ainda, uma simetria nos coeficientes do denominador em relação ao
eixo vertical central, como mostrado em 3.41:
tan(φ ) =
d1 I 1
+ d2 I2
+ d3 I3
+ d3I 4
+ d2 I5
(3.41)
+ d1 I 6
Assim, têm-se, ao todo, as simetrias e anti-simetrias mostradas em 3.42:
n1,1 I 12
tan(φ ) =
+ n1, 2 I 1 I 2
+ n 2, 2 I 22
d1 I1
+ n1,3 I 1 I 3
+ n 2 ,3 I 2 I 3
+ n3,3 I 32
+ d2I2
+ d3I3
− n1, 3 I 1 I 4
− n 2, 3 I 2 I 4
− 2 n 3, 3 I 3 I 4
+ n3,3 I 42
+ d3 I4
− n1, 2 I 1 I 5
− 2n 2, 2 I 2 I 5
− n 2,3 I 3 I 5
+ n 2,3 I 4 I 5
+ n 2 , 2 I 52
+ d2I5
− 2n1,1 I 1 I 6
− n1, 2 I 2 I 6
− n1,3 I 3 I 6
+ n1,3 I 4 I 6
+ n1, 2 I 5 I 6
+ n1,1 I 62
+ d1 I 6
Ou seja, as seguintes igualdades podem ser observadas:
(3.42)
109
n1, 6 = −2n1,1 ; n 2 ,5 = −2n 2 , 2 ; n3, 4 = −2n3,3 ;
 n = −n ; n = − n ; n = − n ;
1, 3
1, 5
1, 2
2, 4
2,3
 1, 4
 n 2 ,6 = − n1,3 ; n3,5 = −n 2,3 ; n3, 6 = −n1,3 ;

n 4, 5 = n 2 , 3 ;
n 4, 6 = n1,3 ;
 n 4 , 4 = n 3, 3 ;
 n 5, 5 = n 2 , 2 ;
n5, 6 = n1, 2 ;
n6 ,6 = n1,1 ;

 d 4 = d 3 ;
d5 = d 2 ;
d 6 = d1
ou de uma maneira mais geral
(3.43)
r = 1..M and r ≠ N + 1 − r
 d r = d N +1− r ,
n
r = 1..M and r ≠ N + 1 − r
 r , N +1− r = −2n r ,r ,
n N +1− s , N +1− r = n r , s , r = 1...M ; s = r..M and r ≠ N + 1 − s and s ≠ N + 1 − r
 n
= −nr ,s ,
r = 1..M ; s = r..M and s > r and s ≠ N + 1 − s
 r , N +1− s
r = 1..M ; s = r..M and s > r and s ≠ N + 1 − r
 n s , N +1− r = − n r , s ,
M = Quociente _ Inteiro( N ,2) + Re sto _ Divisão( N ,2)
Ilustrando esquematicamente, é como se tivesse as figuras abaixo nas
equações: no numerador, têm-se quatro triângulos retângulos isósceles, dois
positivos e dois negativos de coeficientes iguais; no denominador, os coeficientes
são simétricos como um espelho (Figura 14).
Figura 14: Simetrias no numerador e no denominador dos coeficientes.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Simetrias semelhantes podem ser observadas para os valores ímpares de N,
como em N igual a 7, e ilustrado em 3.44:
110
n1,1 I 12
tan(φ ) =
+ n1, 2 I 1 I 2
+ n 2 , 2 I 22
d1 I1
+ n1,3 I 1 I 3
+ n 2 ,3 I 2 I 3
+ n1, 4 I 1 I 4
+ n 2,4 I 2 I 4
− n1,3 I 1 I 5
− n 2, 3 I 2 I 5
− n1, 2 I 1 I 6
− 2n 2, 2 I 2 I 6
− 2n1,1 I 1 I 7
− n1, 2 I 2 I 7
+ n3,3 I 32
+ n 3, 4 I 3 I 4
− 2 n 3, 3 I 3 I 5
− n 2, 3 I 3 I 6
− n1,3 I 3 I 7
+ n 4,4 I
+ n 3, 4 I 4 I 5
+ n 3,3 I 52
+ n 2, 4 I 4 I 6
+ n 2, 3 I 5 I 6
+ n1, 4 I 4 I 7
+ n1,3 I 5 I 7
+ n 2 , 2 I 62
+ n1, 2 I 6 I 7
+ n1,1 I 72
+ d2I2
+ d3I3
2
4
+ d4I4
+ d3I5
+ d2 I6
+ d1 I 7
(3.44)
Para todos os valores de números de imagens (N) obtiveram-se equações
com as simetrias descritas acima. Para essas equações com simetrias nos
coeficientes do numerador e do denominador, bastar saber o primeiro um quarto da
matriz de coeficientes do numerador e a primeira metade do vetor do denominador,
para se poder calcular o resto do numerador e do denominador.
Um algoritmo foi desenvolvido para que, dado o primeiro um quarto da matriz
de coeficientes do numerador e a primeira metade do vetor de coeficientes do
denominador, se possa obter todo o numerador e o denominador, como mostrado na
Figura 15.
Algoritmo Simetria
|Entre com N
|
|Metade = Quociente_Inteiro(N,2) + Resto_Divisão(N,2) //(N DIV 2) + (N MOD 2)
|
|Varie r de 1 até Metade
| | Varie s de r até Metade
| | | Entre com NUM[r,s]
| | Fim Varie
|Fim Varie
|Varie r de 1 até Metade
| | Entre com DEM[r]
|Fim Varie
|
|Varie r de 1 até Metade
| | Se (N + 1 - r) > r
| | | Então DEM[N + 1 - r] = DEM[r]
//Preenche segunda metade do denominador
| | |
NUM[r, N + 1 - r] := -2 * NUM[r, r] //Diagonal secundária do numerador
| | Fim Se
| | Varie s de r até Metade
| | | Se (s > r) e ((N + 1 - s) > s)
| | | |
Então NUM[r, N + 1 - s] := -NUM[r, s] //Triangulo superior direito
| | | Fim Se
//ou triangulo acima da diagonal secundária
| | | Se (s > r) e ((N + 1 - r) > s)
| | | |
Então NUM[s, N + 1 - r] := -NUM[r, s]
| | | Fim Se
//Triangulo abaixo da diagonal secundária
| | | Se ((N + 1 - s) > r) e ((N + 1 - r) > s)
| | | |
Então NUM[N + 1 - s, N + 1 - r] := NUM[r, s] //Último triangulo inferior
| | | Fim Se
| | Fim Varie
|Fim Varie
Fim algoritmo
Figura 15 – Algoritmo que completa as matrizes de coeficientes do numerador e do denominador,
usando simetrias, dado o primeiro um quarto da matriz de coeficientes do numerador
e a primeira metade do vetor de coeficientes do denominador.
Fonte: Resultados da pesquisa.
111
Assim,
podem-se
representar
os
coeficientes
do
numerador
e
do
denominador, usando apenas o primeiro um quarto da matriz de coeficientes do
numerador e a primeira metade do vetor de coeficientes do denominador. Se a
equação segue a simetria descrita acima:
então, para N = 6, usando simetria, basta representar:
N = 6 Num
1
4
n1,1

=

n1, 2
n2,2
n1,3 

n2 ,3 
n3,3 
Dem
1
2
= [d1
d2
d3 ]
(3.45)
Então, para N = 7, usando simetria, basta representar:

n1,1 n1, 2 n1,3 n1, 4 


n 2, 2 n 2,3 n 2, 4 
 Num 14 = 


n3,3 n3, 4 
N =7 



n 4, 4 


 Dem 12 = [d d d d ]
1
2
3
4

(3.46)
Assim, a Equação (g) da Tabela 4 ou a Equação 3.47 mostrada abaixo:
− I12
tan(φ ) =
+ 4 I1I 2
− 11I1I 3
+ 11I1I 4
− 4 I1I 4
+ 2 I1I 6
+ 5I
− 9I2 I3
+ 9I 2 I4
− 10 I 2 I 5
− 4I2 I6
+ 2I
− 4 I3 I 4
+ 9I3I5
+ 11I 3 I 6
+ 2I
− 9I4 I5
− 11I 4 I 6
+ 5I
+ 4I5I6
2
2
2
3
2
4
2
5
− I 62
− I1 + 2 I 2 − I 3 − I 4 + 2 I 5 − I 6
(3.47)
poderia ser representada, usando simetria por 3.48:
Num
1
4
− 1 4 − 11
= 
5 − 9 

2 
Dem
1
2
= [− 1 2 − 1]
(3.48)
112
Assim, também a Equação (c) da Tabela 5 ou a Equação 3.49, mostrada
abaixo:
− I12
tan(φ ) =
− 2 I1I 2
− 4 I1I 3
+ 4 I1I 5
+ 2 I1I 6
+ 2 I1I 7
+ 5I
+ 6 I 2 I3
− 6I 2 I5
− 10 I 2 I 6
+ 2I 2 I 7
+I
− 2 I3 I5
− 6I3I6
+ 4I3I7
+ I 52
+ 6I5 I6
− 4I5I7
+ 5I
− 2I6 I7
2
2
2
3
2
6
− I 72
− I1 − I 2 + I 3 + 2 I 4 + I 5 − I 6 − I 7
(3.49)
poderia ser representada usando simetria por 3.50:
Num
1
4
− 1 − 2 − 4

5
6
=

1


0
0
0

0
Dem
1
2
= [− 1 − 1 1 2]
(3.50)
A vantagem do uso de simetrias é que o número de variáveis para solucionar
o Modelo Matemático 3.9 reduz praticamente a quarta parte da quantidade original
de variáveis. Isso acelera tremendamente a solução, usando Branch-and-Bound.
Suponha que DIV(N,2) seja o resultado da divisão inteira de N por 2, e
MOD(N,2) o resto da divisão inteira de N por 2. Define-se M como a soma de
DIV(N,2)+MOD(N,2). No problema original, a matriz de coeficientes do numerador e
o vetor do denominador são da ordem N, e para o problema com simetria é da
ordem de M = [DIV(N,2)+MOD(N,2)]. Enquanto para o problema original o número
de variáveis é [N + N*(N+1)/2], para o problema com simetria a quantidade de
variáveis cai para [M + M*(M+1)/2].
Assim, o Modelo Matemático 3.19 pode ser alterado adicionando as restrições
de simetria, resultando no Modelo 3.51. Nota-se que, para restringir ainda mais o
universo de busca, limitaram-se os valores do primeiro um quarto dos coeficientes
113
do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador entre -4 e 4,
tornando a obtenção das equações do cálculo de fase mais rápidas.
N
Mínimizar
N
N
∑ ∑ nr ,s + ∑ d r
r =1 s = r
r =1
M = Quociente _ Inteiro( N ,2) + Re sto _ Divisão( N ,2)
tan(φ ) = Sqrt(| Num |)/ | Dem |
número de varíaveis

2

N
N N
 (M + 1)M

1) tan 2 (φ v ) ∑ d r I rv  = ∑∑ n r , s I rv I sv ,
+ M
v = 1..
2



r =1 s = r
 r =1

N

nr , s + d r ≥ 1,
r = 1..N , incluir todas as imagens
2)
∑
s =r

N

n s , r + d r ≥ 1,
r = 1..N , incluir todas as imagens
∑
3)
s =r
4)
− 4 ≤ nr , s ≤ 4,
r = 1..M , s = r..M

5)
− 4 ≤ d r ≤ 4,
r = 1..M

nrs são inteiros,
r = 1..N,s = r..N
6)
7)
d r são inteiros,
r = 1..N


 Restrições para a segunda metade do denominador
sujeito a 

d N +1- r = d r , r = 1..M , com ( N + 1 − r ) > r



 Restrições para a diagonal secundária do numerador


nr , N +1− r = n r , r , r = 1..M , com ( N + 1 − r ) > r



 Triangulo superior direito (acima da diagonal secundária)



 n r , N +1− s = −n r , s , r = 1..M , s = r + 1..M , com ( N + 1 − s ) > s
8) Simetrias
Restrições para o triangulo abaixo da diagonal secundária

n

= −nr , s , r = 1..M , s = r + 1..M , com ( N + 1 − r ) > s
 s , N +1− r

Restrições para o último triangulo inferior




N + 1 − s > r



e
 n N +1-s, N +1-r = nr , s , r = 1..M , s = r..M , com




N + 1 − r > s


onde para cada v :
 v
 v
 2k − N − 1  v 
v
v
δ  , k = 1..N
 I k ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cosφ ( x, y ) + 
2

 


v
 I ∈ [0; 128] aleatório e real
 m
v
 I a ∈ [0; 127] aleatório e real
 v
φ ∈ [−π ; π ] aleatório e real
δ v ∈ [−20π ; 20π ] aleatório e real


(3.51)
Usando o programa que implementa o Método Branch-and-Bound, e
reduzindo o número de variáveis com a inserção de simetrias nas matrizes de
114
coeficientes do numerador e do denominador, pode-se, então, encontrar novas
equações para número de imagens (N) maiores, como mostrado no Apêndice B.
3.10 Matrizes esparsas nas equações do cálculo de fase
Em muitas das equações do cálculo de fase desenvolvidas no item anterior,
nota-se que a maior parte dos coeficientes do numerador e do denominador é zero.
E ainda mais no caso do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador, os
termos diferentes de zero estão na diagonal principal e nas três diagonais mais
próximas desta; assim, só os quatro primeiros coeficientes de cada linha são
diferentes de zero. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, apenas os
quatro primeiros e o último termo são diferentes de zero. Matrizes onde a maior
parte dos termos é zero são normalmente chamadas de matrizes esparsas.
Pode-se, então, no Modelo Matemático 3.51 acrescentar a restrição de
esparsividade 3.52, transformando-o no Modelo Matemático 3.53 com simetria e
esparsividade. Onde M é a parte inteira da divisão do número de imagens (N) por
dois mais o resto da divisão do número de imagens (N) por dois [ M = DIV(N, 2) +
MOD(N, 2)].
Esparsividade
d 12 = 0,
r = 5..M − 1
r
 14
 nr , s = 0, r = 1..M − 5, s = r + 4..M ,
com s > r + 3
(3.52)
Observa-se que tanto as restrições de simetrias quanto as restrições de
esparsividade são equações de igualdade lineares que vão diminuir o número de
incógnitas do Modelo Matemático 3.9 e, com isso, tornar a sua solução mais rápida e
fácil. Restrições lineares são facilmente tratadas pelo Método Branch-and-Bound,
que normalmente incorpora o Método Simplex de Programação Linear. O problema
delas é que agora se está encontrando equações menos gerais e com condições
que não são naturais do problema original do cálculo de fase.
115
N
Mínimizar
N
∑∑ n
r =1 s = r
N
r ,s
+ ∑ dr
r =1
M = Quociente _ Inteiro( N ,2) + Re sto _ Divisão( N ,2)
tan(φ ) = Sqrt(| Num |)/ | Dem |
número de varíaveis

2

N
N N
1) tan 2 (φ v ) ∑ d r I rv  = ∑∑ n r , s I rv I sv ,
v = 1..(4 M − 2)

r =1 s = r
 r =1

N

n r , s + d r ≥ 1,
r = 1..N , incluir todas as imagens
2)
∑
s =r

N

n s ,r + d r ≥ 1,
r = 1..N , incluir todas as imagens
∑
3)
s =r
4)
− 4 ≤ n r , s ≤ 4,
r = 1..M , s = r..M

5)
− 4 ≤ d r ≤ 4,
r = 1..M

n r , s são inteiros,
r = 1..N,s = r..N
6)
7)
d r são inteiros,
r = 1..N


 Restrições para a segunda metade do denominador


d N +1-r = d r , r = 1..M , com ( N + 1 − r ) > r

sujeito a 
 Restrições para a diagonal secundária do numerador



n r , N +1− r = n r , r , r = 1..M , com ( N + 1 − r ) > r


 Triangulo superior direito (acima da diagonal secundária)



 8) Simetrias  n r , N +1− s = − n r , s , r = 1..M , s = r + 1..M , com ( N + 1 − s) > s

Restrições para o triangulo abaixo da diagonal secundária

n
= −n r , s , r = 1..M , s = r + 1..M , com ( N + 1 − r ) > s

 s , N +1− r

Restrições para o último triangulo inferior



N + 1 − s > r




e
 n N +1-s, N +1- r = n rs , r = 1..M , s = r..M , com

N + 1 − r > s





r = 5..M − 1
 d r = 0,
9) Esparsividade 

n r , s = 0, r = 1..M − 5, s = r + 4..M , com s > r + 3
onde para cada v :
 v
 v
 2k − N − 1  v 
v
v
δ  , k = 1..N
 I k ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cosφ ( x, y ) + 
2

 


 I v ∈ [0; 128] aleatório e real
 m
v
 I a ∈ [0; 127] aleatório e real
 v
φ ∈ [−π ; π ] aleatório e real
δ v ∈ [−20π ; 20π ] aleatório e real


(3.53)
116
O primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador, usando este conceito de matrizes esparsas, estão
representados como mostrado em 3.54.
m = Quociente _ Inteiro( N ,2) + Re sto _ Divisão( N ,2)

0
0
0
0
n1,1 n1, 2 n1,3 n1, 4



n 2 , 2 n 2,3 n 2, 4 n 2, 5
0
0
0



n3, 3 n3, 4 n3,5
n3, 6
0
0



n 4, 4 n 4, 5
n 4, 6
n4,7
0



1
...
...
...
...

4
 Num = 
n m − 4, m − 4 n m − 4, m −3 n m − 4, m − 2




nm −3, m −3 n m −3,m − 2


n m − 2, m − 2








1

Dem 2 = [d1 d 2 d 3 d 4 0 ... 0 d m ]

...
...
...
...
...
n m − 4, m −1
n m −3, m −1
n m − 2, m −1
n m −1, m −1
0 
0 
0 

0 
...  (3.54)

0 
n m − 3, m 

n m − 2, m 
nm −1, m 

n mm 
O número de variáveis para este novo modelo fica 4(M-3)+6+5=4M12+11=4M-1, pois como mostrado em 3.54, tem-se M-3 linhas com 4 incógnitas
cada uma, mais 3 incógnitas da linha M-2, mais 2 incógnitas da linha M-1, mais uma
incógnita da última linha no numerador e mais 5 incógnitas no denominador. O total
de variáveis é 4M-1, uma redução considerável em relação ao modelo anterior.
Novamente, para diminuir o universo de busca, fazem-se os coeficientes do primeiro
um quarto do numerador e os da primeira metade do denominador variarem entre -4
e 4, inclusive.
De novo, usando o programa que implementa o Método Branch-and-Bound, e
reduzindo o número de variáveis com a inserção da restrição de esparsividade nas
matrizes de coeficientes do numerador e do denominador, pode-se, então, encontrar
novas equações para número de imagens (N) maiores, como mostrado no Apêndice
C.
Com as restrições de simetria e de espasividade, o número de variáveis
torna-se bastante reduzido e o Modelo Matemático 3.53 passa a ser resolvido com
facilidade. Assim, o tempo de processamento para se encontrar uma equação do
cálculo de fase fica muito pequeno (cerca de alguns minutos). Com isso, pode-se
usar 3.53 para se obter equações para grandes valores de número de imagens (N).
117
Cita-se, ainda, que se obtém sucesso na alteração do Modelo Matemático
3.53, se as restrições 4 e 5 forem mudadas, para que os coeficientes do primeiro um
quarto do numerador e a primeira metade do denominador sejam restringidos mais
ainda entre -2 e 2, inclusive, para N≥12. Pode-se, também, fazer com que os valores
aleatórios de Im, Ia e δ não necessitem ser limitados e possam assumir qualquer
valor real de -∞ a +∞. Outra questão interessante é que o valor de ν, que dá o
número de equações com a restrição 1 em 3.53, pode também variar. Conseguiu-se
obter novas equações do cálculo de fase simplesmente variando o valor de ν entre 3
e 10N (dez vezes o número de imagens).
O importante é que a resolução no Modelo Matemático 3.53 gera novas e
eficientes equações do cálculo de fase. Como a maior parte dos coeficientes tanto
do numerador como do denominador são zero, a aplicação destas novas equações
fica bem rápida e o volume de operações matemáticas é reduzido, pois como os
termos são zero não há necessidade de se multiplicar os valores da intensidade
luminosa Ik por estes coeficientes, uma vez que qualquer número multiplicado por
zero dará valor nulo (zero).
3.11 Equações do cálculo de fase para muitas imagens
Observando as equações deduzidas, tentou-se obter uma regra de formação
para elas ou um algoritmo que fornecesse valores válidos de coeficientes do
numerador e do denominador para equações do cálculo de fase para grandes
quantidades de imagens (N ≥ 16).
Estas regras de formação foram obtidas e as equações do cálculo de fase
geradas pelas regras foram testadas através do teste numérico matemático descrito
no Item 3.8.1. Este foi realizado milhares de vezes (pelo menos 10.000 vezes) para
cada equação do cálculo de fase gerada, e apresentou acerto de pelo menos 99,9%
das vezes com uma precisão numérica de 10-6. Com isso, acredita-se que tornaram
mínimas ou remotas as chances delas estarem erradas ou serem falsas.
Usando o conceito de simetria e esparsividade das seções anteriores, buscase uma regra de formação para os quatro primeiros termos de cada linha de um
118
quarto dos coeficientes do numerador e para os cinco termos que podem ser
diferentes de zero para a metade do denominador.
A primeira coisa a fazer é zerar todos os coeficientes do numerador e do
denominador, seguindo o algoritmo mostrado na Figura 16 dado o valor de N
(número de imagens). A matriz dos coeficientes do numerador (NUM) é uma matriz
quadrada triangular superior de ordem N e o vetor dos coeficientes do denominador
(DEM) tem N elementos.
Algoritmo Zera
|
|Varie r de 1 até N
| | Varie s de r até N
| | | NUM[r,s]=0
| | Fim Varie
| | DEM[r] = 0
|Fim Varie
|
Fim algoritmo
Figura 16 – Algoritmo para zerar os coeficientes do numerador e do denominador das equações
do cálculo de fase.
Fonte: Resultados da pesquisa.
A regra de formação criada é dividida em oito casos dependendo do valor de
número de imagens (N):
1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8;
2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8;
3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8;
4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8;
5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8;
6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8;
7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8;
8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8.
Para cada caso tem-se uma regra de formação com mostrado a seguir.
No primeiro caso, onde N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por
8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresentam a forma mostrada em 3.55:
119
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N,4 )
Linha :
Num
Dem
4
 − 1 0 1 0 ...

1 0 −1 0


0
0

−1







=












2
= [− 1 0 1 0 0 0 ...
1
1
Coluna :
1


2
...


1 0 ...
3

4
0 0 0 ...


Repete
0 0 1 0 ...

− 1 0 0 0 ...
 Repete

...
... ... ... ... ...

0 0 − 1 0 ...
 Quarta + 1
 Quarta + 2
1 0 0 0 ...

 Repete
0 0 − 1 0 ...

1 0 0 0 ...  Repete
...
... ... ... ... 


1 0 − 1 Metade − 2

1 1  Metade − 1 (3.55)
1  Metade
0
0
0]
1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador: os
coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes
diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a 1; e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha
igual a -1, sendo que esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro
termo igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1, até atingir a linha
de número N/4 (Quarta). A partir da linha N/4 + 1, tem-se apenas o terceiro termo da
linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a, sendo que
esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a
linha seguinte, com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 3.
Ai, na linha de número N/2 – 2, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro com
o valor de um e o terceiro com valor de -1; na linha seguinte, o primeiro e o segundo
coeficientes são iguais a 1 e o termo da última linha é também igual a 1. Na primeira
metade dos coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo é -1, e o terceiro
termo é 1, e todos os outros termos são iguais a zero.
120
Seja DIV(p,q) uma função que retorna o quociente da divisão inteira de p por
q e MOD(p,q) uma função que retorna o resto da divisão inteira de p por q. Assim, o
algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro caso onde N é
par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8, como mostrado na Figura 17.
Algoritmo Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=0 e MOD(N,4)=0 e MOD(N,8)=0
| | então METADE = DIV(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,3] = 1
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 3 até QUARTO
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = 1
| |
| | senão NUM[r,r] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
Varie r de QUARTO+1 até METADE-3
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = -1
| |
| | senão NUM[r,r] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1
| |
NUM[ METADE-2, METADE ] = -1
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1
| |
NUM[ METADE-1, METADE ] = 1
| |
NUM[ METADE, METADE] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 17 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro caso onde N é par;
N é divisível por 4 e N é também divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
No segundo caso, onde N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por
8; o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.56:
121
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N,4 )
Linha :
Num
1
4
− 1 0 1 0 ...

1 0 −1 0


0
0

−1







=












...
1
0
0
0
0
...
0 ...
0 1 0 ...
− 1 0 0 0 ...
... ... ... ... ...
0 0 −1 0
1
0
0
0
0
1
...
0 ...
− 1 0 ...
0 0 0
...
... ...
0
1


2


3

4

 Repete

 Repete

...

 Quarta
 Quarta + 1

 Repete

... Repete
...
...




1  Metade − 1 (3.56)
1  Metade
Dem 2 = [− 1 0 1 0 0 0 ...
0
0
0]
Coluna : 1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
1
A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador, os
coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes
diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a um e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha
igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo
igual a 1, e a linha seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de
número N/4 -1. A partir da linha N/4 (Quarta), tem-se apenas o terceiro termo da
linha igual a -1 e, na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1, e esse
processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a linha
seguinte, com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 2. Na
linha de número N/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é apenas o segundo ou
último termo com o valor de um, sendo que o termo da última linha é também igual a
um. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo
é -1, e o terceiro termo é 1, e todos os outros termos são iguais a zero.
122
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador, e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro
caso onde N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8, como mostrado
na Figura 18.
Algoritmo Caso 2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=0 e MOD(N,4)=0 e MOD(N,8)≠0
| | então METADE = DIV(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,3] = 1
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 3 até QUARTO-1
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = 1
| |
| | senão NUM[r,r] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
Varie r de QUARTO até METADE-2
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = -1
| |
| | senão NUM[r,r] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-1, METADE ] = 1
| |
NUM[ METADE, METADE] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 18 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o segundo caso onde N é par;
N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
No terceiro caso, onde N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8, o
primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.57.
123
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N + 2 ,4 )
Linha :
Num
1
4
− 1 0 1 0 ...

1 0 −1 0


0
0

−1







=












1


2
...


3
1 0 ...

0 0 0 ...
4


Repete
0 0 1 0 ...

− 1 0 0 0 ...
 Repete

...
... ... ... ... ...

0 0 − 1 0 ...
 Quarta + 1
 Quarta + 2
1 0 0 0 ...

 Repete
0 0 − 1 0 ...

1 0 0 0 ...  Repete
...
... ... ... ... 

1 0 − 1 0  Metade − 3
1 0 − 1 Metade − 2

1
1  Metade − 1 (3.57)
1  Metade
Dem 2 = [− 1 0 1 0 0 0 ...
0
0
0]
Coluna : 1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
1
A regra de formação funciona assim na primeira linha do numerador: os
coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes
diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a um; e na quarta linha apenas o primeiro termo da linha
igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo
igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de
número (N+2)/4 (Quarta). A partir da linha (N+2)/4 + 1, tem-se apenas o terceiro
termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1.
Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a
linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 4.
Assim, na linha de número N/2 -3, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro
com o valor de 1 e o terceiro com -1; na linha de número N/2 – 2, os coeficientes
diferentes de zero são o primeiro com o valor de 1 e o terceiro com valor de -1; na
linha seguinte, o primeiro e o segundo coeficientes são iguais a 1 e o termo da
última linha é também igual a 1. Na primeira metade dos coeficientes do
124
denominador, apenas o primeiro termo é -1 e o terceiro termo é 1, e todos os outros
termos são iguais a zero.
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o terceiro
caso onde N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8, como mostrado na
Figura 19.
Algoritmo Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=0 e MOD(N+2,4)=0 e MOD(N+2,8)=0
| | então METADE = DIV(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N+2,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,3] = 1
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 3 até QUARTO
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = 1
| |
| | senão NUM[r,r] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
Varie r de QUARTO+1 até METADE-4
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = -1
| |
| | senão NUM[r,r] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-3, METADE-3 ] = 1
| |
NUM[ METADE-3, METADE-1 ] = -1
| |
NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1
| |
NUM[ METADE-2, METADE ] = -1
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1
| |
NUM[ METADE-1, METADE ] = 1
| |
NUM[ METADE, METADE] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 19 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o terceiro caso onde N é par;
N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa
No quarto caso, onde N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível
por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.58.
125
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N + 2,4 )
Linha :
Num
Dem
4
− 1 0 1 0 ...

1 0 −1 0


0
0

−1







=












2
= [− 1 0 1 0 0 0 ...
1
1
Coluna :
1


2
...


1 0 ...
3

4
0 0 0 ...

 Repete
0 0 1 0 ...

− 1 0 0 0 ...
 Repete

... ... ... ... ...
...

0 0 − 1 0 ...
 Quarta
 Quarta + 1
1 0 0 0 ...

 Repete
0 0 − 1 0 ...

1 0 0 0 ... Repete
...
... ... ... ...

1 0 − 1 0  Metade − 3
1 0 0  Metade − 2

0 1  Metade − 1 (3.58)
1  Metade
0
0
0]
1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
A regra de formação funciona assim: na primeira linha do numerador, os
coeficientes diferentes de zero são n11=-1 e n13=1; na segunda linha, os coeficientes
diferentes de zero são n22=1 e n24=-1; a partir da terceira linha, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a 1; e na quarta linha, apenas o primeiro termo da linha
igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo
igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de
número (N+2)/4 -1. A partir da linha (N+2)/4 (Quarta), tem-se apenas o terceiro
termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1.
Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a
linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número N/2 – 3.
Assim, na linha de número N/2 -3, os coeficientes diferentes de zero são o primeiro
com valor de 1, e o terceiro com -1; na linha de número N/2 – 2, o coeficiente
diferente de zero é apenas o primeiro com valor de 1; na linha de número N/2 – 1, o
coeficiente diferente de zero é apenas o segundo ou último termo com o valor de
um, sendo o termo da última linha também igual a um. Na primeira metade dos
126
coeficientes do denominador, apenas o primeiro termo é -1 e o terceiro termo é 1;
todos os outros termos são iguais a zero.
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o quarto caso
onde N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8, como mostrado
na Figura 20.
Algoritmo Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=0 e MOD(N+2,4)=0 e MOD(N+2,8)≠0
| | então METADE = DIV(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,3] = 1
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 3 até QUARTO-1
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = 1
| |
| | senão NUM[r,r] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
Varie r de QUARTO até METADE-2
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = -1
| |
| | senão NUM[r,r] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-3, METADE-3 ] = 1
| |
NUM[ METADE-3, METADE-1 ] = -1
| |
NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1
| |
NUM[ METADE-1, METADE ] = 1
| |
NUM[ METADE, METADE] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 20 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o quarto caso onde N é par;
N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
No quinto caso, onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8, o
primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.59.
127
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N − 1,4 )
Linha :
Num
Dem
4
− 1 2 − 1 0

0 −2 0


2








=












2
= [− 1 1 0 − 1 0 0 ...
1
1
Coluna :
1 2 3 4
...
0
0
0
1


...
2


− 1 0 ...
3

0
0 1 ...
 Repete
 Repete
0 − 1 0 0 ...

...
... ... ... ... ...

 Quarta
0 0 2 −2 .

2 − 2 0 2 ...
 Quarta + 1
 Quarta + 2
0
2 0 0 ...

 Repete
0 0 0 − 1 ...

0 1 0
0 ... Repete
... ... ... ...
...

... ... ... ...
...

0 − 2 0 Metade − 2

2 0  Metade − 1 (3.59)
0  Metade
0
0
2]
5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador
funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero
são n11=-1, n12=2 e n13=-1; na segunda linha; o coeficiente diferente de zero é n23=2; na terceira linha; os coeficientes diferentes de zero são n33=2 e n35=-1; a partir da
quarta linha, tem-se apenas o quarto termo da linha igual a 1; e na quinta linha,
apenas o segundo termo da linha igual a -1. Esse processo se repete com uma linha
com apenas o quarto termo igual a 1, e a linha seguinte com o segundo termo igual
a -1 até atingir a linha de número (N-1)/4 - 1. A linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem
o terceiro termo igual a 2 e o quarto termo igual a -2 e todos os outros com valor
zero. A linha seguinte de número (N-1)/4 + 1, o primeiro termo é igual a 2, o segundo
é igual a -2 e o quarto termo igual a 2. A linha de número (N-1)/4 + 2, apenas o
segundo termo da linha é igual a 2. A partir da linha (N-1)/4 + 3, tem-se apenas o
quarto termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o segundo termo da linha igual
a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o quarto termo igual a -1, e
a linha seguinte com o segundo termo igual a 1 até atingir a linha de número (N+1)/2
128
– 3 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de número
(N+1)/2 – 2, o coeficiente diferente de zero é o segundo com o valor de -2; na linha
seguinte, o primeiro coeficiente é igual a 2; e o termo da última linha é igual a zero.
Observa-se que toda a última coluna do primeiro um quarto do numerador tem os
coeficientes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficientes do denominador, o
primeiro termo é -1, o segundo termo é 1, o quarto termo é -1, o último termo é 2, e
todos os outros termos são iguais a zero.
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro
caso onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, e N-1 é divisível por 8, como mostrado na
Figura 21.
Algoritmo Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=1 e MOD(N-1,4)=0 e MOD(N-1,8)=0
| | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N-1,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[2] = 1
| |
DEM[4] = -1
| |
DEM[ METADE ] = 2
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,2] = 2
| |
NUM[1,3] = -1
| |
NUM[2,3] = -2
| |
NUM[3,3] = 2
| |
NUM[3,5] = -1
| |
Varie r de 4 até QUARTO - 1
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+1] = -1
| |
| | senão NUM[r,r+3] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+4 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+2,QUARTO+3 ] = 2
| |
Varie r de QUARTO+3 até METADE-3
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+3] = -1
| |
| | senão NUM[r,r+1] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = -2
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 2
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 21 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o quinto caso onde N é
ímpar; N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
129
No sexto caso, onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível
por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.60.
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N − 1,4 )
Linha :
Num
Dem
1
1
4
− 1 2 − 1 0 ...

0 − 2 0 0 ...


2 0 −1 0

0 0 0


0 0

−1




=












2
= [− 1 1 0 − 1 0 0 ...
Coluna :
1 2 3
4
1


2


...
3

0 ...
4

 Repete
1 0 ...

0 0 0 ...
 Repete

... ... ... ...
.
...

0 0 2 − 2 ...
 Quarta
 Quarta + 1
2 − 2 0 2 ...

 Quarta + 2
0
2 0 0 ...

0 0 − 1 0 ... Repete
1 0
0 ... Repete

... ... ... ...
...
1 − 2 0  Metade − 2

1 0  Metade − 1 (3.60)
0  Metade
0
0
2]
5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador
funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero
são n11=-1, n12=2 e n13=-1; na segunda linha; o coeficiente diferente de zero é n23=2; na terceira linha; os coeficientes diferentes de zero são n33=2 e n35=-1; na quarta
linha, todos os coeficientes são zero; a partir da quinta linha, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a 1; e na sexta linha, apenas o primeiro termo da linha
igual a -1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo
igual a 1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de
número (N-1)/4 - 1. A linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o terceiro termo igual a 2
e o quarto termo igual a -2 e todos os outros com valor zero. A linha seguinte de
número (N-1)/4 + 1, o primeiro termo é igual a 2, o segundo é igual a -2 e o quarto
termo igual a 2. A linha de número (N-1)/4 + 2, apenas o segundo termo da linha é
130
igual a 2. A partir da linha (N-1)/4 + 3, tem-se apenas o terceiro termo da linha igual
a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual a 1. Esse processo se
repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1, e a linha seguinte com
o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número (N+1)/2 – 3 (ou linha de
número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de número (N+1)/2 – 2, os
coeficientes diferentes de zero são o primeiro igual a 1 e o segundo com o valor de 2; na linha seguinte, o primeiro coeficiente é igual a 1; e o termo da última linha é
igual a zero. Observa-se que toda a última coluna do primeiro um quarto do
numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira metade dos coeficientes do
denominador, o primeiro termo é -1, o segundo termo é 1, o quarto termo é -1, o
último termo é 2, e todos os outros termos são iguais a zero.
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro
caso onde N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8, como
mostrado na Figura 22.
131
Algoritmo Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=1 e MOD(N-1,4)=0 e MOD(N-1,8)≠0
| | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N-1,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[2] = 1
| |
DEM[4] = -1
| |
DEM[ METADE ] = 2
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,2] = 2
| |
NUM[1,3] = -1
| |
NUM[2,3] = -2
| |
NUM[3,3] = 2
| |
NUM[3,5] = -1
| |
Varie r de 5 até QUARTO - 1
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = 1
| |
| | senão NUM[r,r] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+4 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+2,QUARTO+3 ] = 2
| |
Varie r de QUARTO+3 até METADE-3
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r] = 1
| |
| | senão NUM[r,r+2] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-2, METADE-2 ] = 1
| |
NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = -2
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 22 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o sexto caso onde N é ímpar;
N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
No sétimo caso, onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8,
o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira metade dos
coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.61.
132
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N + 1,4 )
Linha :
Num
1
4
− 1 − 2 0 1

1 1 −1


0








=












0
0
0
0
...
0 ...
0 0 ...
0 − 1 0 ...
1 0 0 0
0 0 1
−1 0
−1
...
0
0
0
0
...
0 ...
2 0
...
2 2 −2
2 −2 0
0
0
1
0
0
...
...
−1
0
...
0
0
0
...
1
1
1


2


3

4


5

 Repete
 Repete

 Quarta − 1
 Quarta

 Quarta + 1

... Repete
... Repete

...
...
0  Metade − 2

0  Metade − 1 (3.61)
0  Metade
Dem 2 = [− 1 − 1 1 0 0 0 ...
0
0
2]
Coluna : 1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
1
A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador
funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero
são NUM11=-1, NUM12=-2 e NUM14=1; na segunda linha, os coeficientes diferentes
de zero são NUM22=1, NUM23=1 e NUM24=-1; a terceira linha, tem todos os
coeficientes iguais à zero; na quarta linha, apenas o terceiro termo é igual a -1; e na
quinta linha, apenas o primeiro termo é igual a 1 – se ainda não atingiu a linha de
ordem (N+1)/4 – 1, tem-se que a partir da sexta linha, apenas o terceiro termo da
linha igual a um, e na sétima linha, apenas o primeiro termo da linha igual a -1. Esse
processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a 1, e a linha
seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de número (N+1)/4 - 2.
Na linha de número (N+1)/4 -1, se (N+1)/4 – 1 for menor que seis, o primeiro termo é
igual a 1, caso contrário, é igual a -1, e o terceiro coeficiente é sempre igual a 2. A
linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o segundo e o terceiro termos iguais a 2, e o
quarto igual a -2. A linha seguinte de número (N+1)/4 + 1 tem o primeiro termo igual
a 2, e o segundo coeficiente igual a -2. A partir da linha (N+1)/4 + 2, tem-se apenas
o terceiro termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha
133
igual a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual
a -1, e a linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número
(N+1)/2 – 3 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 3). Assim, na linha de
número (N+1)/2 – 2, o coeficiente diferente de zero é o segundo com valor de um; na
linha de número (N+1)/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é o primeiro com o valor
de um, e o termo da última linha é igual a zero. Observa-se que toda a última coluna
do primeiro um quarto do numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira
metade dos coeficientes do denominador, o primeiro e o segundo termos são iguais
a -1, o terceiro coeficiente é igual a um, o último termo é 2, e todos os outros termos
são iguais a zero.
Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do
numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador para o primeiro
caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8, como mostrado
na Figura 23.
134
Algoritmo Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=1 e MOD(N+1,4)=0 e MOD(N+1,8)=0
| | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N+1,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[2] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
DEM[ METADE ] = 2
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,2] = -2
| |
NUM[1,4] = 1
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,3] = 1
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 4 até QUARTO - 1
| |
| Se r < 6
| |
| | então Se MOD(r,2)=1
| |
| |
| então NUM[r,r] = 1
| |
| |
| senão NUM[r,r+2] = -1
| |
| |
Fim Se
| |
| | senão Se MOD(r,2)=1
| |
| |
| então NUM[r,r] = -1
| |
| |
| senão NUM[r,r+2] = 1
| |
| |
Fim Se
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ QUARTO-1,QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2
| |
Varie r de QUARTO+2 até METADE-3
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r] = 1
| |
| | senão NUM[r,r+2] = -1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-2, METADE-1 ] = 1
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 23 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o sétimo caso onde N é
ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
No oitavo caso, onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é
divisível por 8, o primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a primeira
metade dos coeficientes do denominador apresenta a forma mostrada em 3.62.
135
Metade = Quociente_Inteiro(N,2 ) + Re sto_Divisão(N,2 )
Quarta = Quociente_Inteiro(N + 1,4 )
Linha :
Num
1
4
− 1 − 2 0 0

1 2 −1


0








=












0 ...
0 0 ...
0 −1 0
1 0 0
0 0
...
0
1
−1 0
...
...
0
...
0 0 ...
... ... ... ...
−1 0 2 0
...
0 2 2 −2 0
2 −2 0
0
0
0 −1
1
0
...
...
0
0
...
...
1
1


2


3

4

 Repete

 Repete

...

 Quarta − 1
 Quarta

 Quarta + 1

... Repete
... Repete

...
...


0  Metade − 1 (3.62)
0  Metade
Dem 2 = [− 1 − 1 1 0 0 0 ...
0
0
2]
Coluna : 1 2 3 4 5 6 ... Metade − 2 Metade − 1 Metade
1
A regra de formação para o primeiro um quarto dos termos do numerador
funciona assim: na primeira linha do numerador, os coeficientes diferentes de zero
são n11=-1 e n12=-2; na segunda linha, os coeficientes diferentes de zero são n22=1,
n23=2 e n24=-1; a terceira linha tem apenas o terceiro coeficientes iguais a -1; na
quarta linha, apenas o primeiro termo é igual a 1; se ainda não atingiu a linha de
ordem (N+1)/4 -, tem-se que a partir da quinta linha apenas o terceiro termo da linha
igual a um; e na sexta linha, apenas o primeiro termo da linha igual a -1. Esse
processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a 1, e a linha
seguinte, com o primeiro termo igual a -1 até atingir a linha de número (N+1)/4 - 2.
Na linha de número (N+1)/4 -1, se (N+1)/4 – 1 for menor que cinco, o primeiro termo
é igual a 1, caso contrário, é igual a -1, e o terceiro coeficiente é sempre igual a 2. A
linha de número (N-1)/4 (Quarta) tem o segundo e o terceiro termos iguais a 2, e o
quarto igual a -2. A linha seguinte de número (N+1)/4 + 1, tem o primeiro termo igual
a 2 e o segundo coeficiente igual a -2. A partir da linha (N+1)/4 + 2, tem-se apenas o
terceiro termo da linha igual a -1, e na linha seguinte, o primeiro termo da linha igual
a 1. Esse processo se repete com uma linha com apenas o terceiro termo igual a -1,
136
e a linha seguinte com o primeiro termo igual a 1 até atingir a linha de número
(N+1)/2 – 2 (ou linha de número [DIV(N,2)+MOD(N,2)] - 2). Assim, na linha de
número (N+1)/2 – 1, o coeficiente diferente de zero é o primeiro com o valor de 1, e
o termo da última linha é igual a zero. Observa-se que toda a última coluna do
primeiro um quarto do numerador tem os coeficientes iguais a zero. Na primeira
metade dos coeficientes do denominador, o primeiro e o segundo termos são iguais
a -1, o terceiro coeficiente é igual a 1, o último termo é 2, e todos os outros termos
são iguais a zero. Assim, o algoritmo de formação do primeiro um quarto dos
coeficientes do numerador e a primeira metade dos coeficientes do denominador
para o primeiro caso onde N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível
por 8, como mostrado na Figura 24.
137
Algoritmo Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8.
|
|Se MOD(N,2)=1 e MOD(N+1,4)=0 e MOD(N+1,8)≠0
| | então METADE = DIV(N,2)+MOD(N,2)
| |
QUARTO = DIV(N+1,4)
| |
DEM[1] = -1
| |
DEM[2] = -1
| |
DEM[3] = 1
| |
DEM[ METADE ] = 2
| |
NUM[1,1] = -1
| |
NUM[1,2] = -2
| |
NUM[2,2] = 1
| |
NUM[2,3] = 2
| |
NUM[2,4] = -1
| |
Varie r de 3 até QUARTO - 1
| |
| Se r < 5
| |
| | então Se MOD(r,2)=1
| |
| |
| então NUM[r,r+2] = -1
| |
| |
| senão NUM[r,r] = 1
| |
| |
Fim Se
| |
| | senão Se MOD(r,2)=1
| |
| |
| então NUM[r,r+2] = 1
| |
| |
| senão NUM[r,r] = -1
| |
| |
Fim Se
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ QUARTO-1,QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+2 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO, QUARTO+3 ] = -2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+1 ] = 2
| |
NUM[ QUARTO+1,QUARTO+2 ] = -2
| |
Varie r de QUARTO+2 até METADE-2
| |
| Se MOD(r,2)=1
| |
| | então NUM[r,r+2] = -1
| |
| | senão NUM[r,r] = 1
| |
| Fim Se
| |
Fim Varie
| |
NUM[ METADE-1, METADE-1 ] = 1
| Fim Se
|
Fim algoritmo
Figura 24 – Algoritmo de formação do primeiro um quarto dos coeficientes do numerador e a
primeira metade dos coeficientes do denominador para o oitavo caso onde N é
ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Ao final, tem-se o algoritmo completo para geração de equações do cálculo
de fase para o número de imagens (N) maior que 15, como mostrado na Figura 25.
Inicialmente, é executado o algoritmo que zera os coeficientes; em seguida, cada
caso é executado na sequência e, no final, roda-se o algoritmo de simetria.
138
Algoritmo Completo para Geração de Equações do Cálculo de Fase.
|
|Algoritmo Zera
|Algoritmo Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e N é também divisível por 8;
|Algoritmo Caso 2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e N-1 é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e N+1 é divisível por 8;
|Algoritmo Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8.
|Algoritmo Simetria
|
Fim algoritmo
Figura 25 – Algoritmo completo para geração de equações de cálculo com número de
imagens (N) maior que 15.
Fonte: Resultado da pesquisa.
Foi realizado então o teste numérico matemático, descrito no item 3.8.1,
usando o algoritmo completo para N variando de 16 até 90.000.000 (90 milhões) de
imagens. Para cada valor de N, as equações geradas foram testadas mais de
10.000 vezes, com índice de acerto superior a 99,9% e precisão numérica
(diferença) entre a fase (φ) gerada aleatoriamente e a fase calculada usando as
novas equações de 10-6.
A ideia desse teste foi verificar o esquema de regra criado para gerar
equações do cálculo de fase e tornar mínima ou remota as chances destas
equações geradas estarem erradas ou serem falsas. Nota-se que não se tem um
acerto de 100%, porque pode acontecer que os valores do numerador e do
denominador fiquem muito pequenos, aumentando tremendamente a propagação do
erro numérico de arredondamento e, neste caso, a diferença entre o valor de fase (φ)
gerado aleatoriamente e o calculado com a nova equação fica maior que 10-6. Vale
citar que para N na ordem de milhões, a propagação de erro de arredondamento
também cresce devido ao grande número de operações matemáticas realizadas.
Para armazenar na memória matrizes de ordem tão grande, utilizou-se um
esquema simples de matrizes esparsas. Para o numerador, foi criado um vetor de
ponteiros de 1 até 90.000.000; o índice deste enorme vetor representa o número da
linha da matriz de coeficientes do numerador. Esses ponteiros vão apontar um
registro que armazena o número da coluna, o valor do coeficiente que deve ser
diferente de zero e o ponteiro para o próximo registro da linha. Nota-se que o
número de coeficientes diferentes de zero em cada linha do numerador não supera
doze valores. Na matriz do denominador, são armazenados o número da coluna e o
139
valor do coeficiente diferente de zero; nota-se, então, que o número máximo de
coeficientes diferentes de zero no denominador é apenas 9 termos.
Outros esquemas e receitas de geração de equações podem ser obtidos. O
interessante do algoritmo mostrado na Figura 25, é que ele atende o Modelo
Matemático 3.19, e gera equações corretas para o cálculo de fase, contendo muitos
termos iguais a zero, o que o torna bem eficiente para a implementação
computacional.
3.12 Quantas imagens usar no cálculo de fase
Uma imagem de Franjas de Moiré tem, geralmente, milhares ou, até mesmo,
milhões de pixéis. Se imaginar agora um único pixel individual desta imagem e se
observar a Equação 3.9, tem-se para este pixel quatro incógnitas: Im, Ia, φ e δ, uma
vez que para todas as imagens o deslocamento de fase(δ), apesar de desconhecida,
é constante. Teoricamente, para 4 incógnitas, necessita-se de quatro equações para
chegar-se ao Algoritmo de Carré.
O problema surge, quando nas imagens existem ruídos e imperfeições que
atrapalham o processo de medição na Técnica de Moiré. Se o erro aparecer
somente em uma única imagem, usando o algoritmo de Carré e de Novak, poderia
se determinar este ruído, pois os valores calculados da fase (φ) dariam valores
diferentes.
Na realidade, o que acontece é que o ruído aparece em todas as imagens,
sendo modelado como um fenômeno estatístico inerente ao processo de medição.
Neste caso, o número de imagens deve ser aumentado expressivamente.
Em qualquer decisão que se toma, baseando-se em poucos dados, corre-se o
risco de que ela seja errada. Por exemplo, quando se sai de casa, carregando ou
não um guarda-chuva, coletam-se certos dados: olha-se o céu, lê-se a previsão do
tempo do jornal, escuta-se a televisão. Depois de avaliar rapidamente todos estes
dados disponíveis, incluindo a previsão do rádio de "30% de probabilidade de haver
chuva", toma-se uma decisão. De qualquer modo, faz-se o compromisso entre a
inconveniência de carregar um guarda-chuva e a possibilidade de tomar uma chuva,
sujando-se a roupa e pegando um resfriado. Neste exemplo, tomou-se uma decisão
140
baseando-se na incerteza. A incerteza não implica falta de conhecimento, mas
somente que o resultado exato não é completamente previsível.
A importância da incerteza da medição é que ela obscurece a habilidade de
se obter a informação que se quer: o valor verdadeiro da variável medida. Por causa
dos erros, a exatidão de uma medição nunca é certa. A Estatística mostra que o
valor verdadeiro conseguido em um conjunto de medições é dado por sua média
aritmética e a incerteza neste valor. Os erros aleatórios não podem ser antecipados
e evitados. O máximo que o operador pode fazer é minimizar seus efeitos, fazendo
um tratamento estatístico de todas as medições replicadas.
Medições confiáveis devem ser válidas, precisas, exatas e consistentes, por
definição e verificação. Medidas válidas são realizadas por procedimento corretos,
resultando no valor que se quer medir. Medidas precisas são repetitivas e
reprodutivas, com pouca dispersão em torno do valor esperado. Medidas exatas
estão próximas do valor verdadeiro ideal. Medidas consistentes são aquelas cujos
valores ficam cada vez mais próximos do valor verdadeiro, quando se aumenta o
número de medições replicadas.
É impossível fazer uma medição sem erro ou incerteza. Na realidade, o que
se procura é manter os erros dentro de limites toleráveis e estimar seus valores com
precisão aceitável. Cada medição é influenciada por muitas incertezas, que se
combinam para produzir resultados espalhados. As incertezas da medição nunca
podem ser completamente eliminadas, pois o valor verdadeiro para qualquer
quantidade é desconhecido. O erro é a diferença algébrica entre a indicação e o
valor verdadeiro convencional.
Erros aleatórios aparecem das variações aleatórias das observações. A cada
momento que a medição é tomada sob as mesmas condições, efeitos aleatórios de
várias fontes afetam o valor medido. Uma série de medições produz um
espalhamento em torno de um valor médio. Um número de fontes pode contribuir
para a variabilidade, cada vez que uma medição é tomada e sua influência pode
estar continuamente mudando. Elas não podem ser eliminadas, mas a incerteza
devido a seus efeitos pode ser reduzida, aumentando o número de observações e
aplicando Análise Estatística.
Aumentando o número de imagens (N), aumenta-se a quantidade de
informação e a quantidade de observação. Isso pode ser uma importante solução
para os erros aleatórios provenientes de ruídos nas fotografias de Moiré. A Técnica
141
Moiré de Sombra é prejudicada tremendamente com a degradação da qualidade da
imagem, principalmente, devido à redução do campo visual em virtude de se ter um
retículo de linhas na frente do objeto e devido à discretização em pixéis e tons de
cinza não seguirem corretamente as linhas negras dos retículos. Assim, uma linha
do retículo pode estar dividida no meio de pixel da imagem. Mesmo aplicando filtro e
outros artifícios, o efeito de ruídos é danoso para se obter medidas corretas e
precisas com a Técnica de Moiré.
Não se vê atualmente uma utilidade prática para equações do cálculo de fase
com centenas, milhares ou milhões de imagens, principalmente, porque o passo do
deslocamento de fase (δ), apesar de desconhecido, deve ser constante, o que pode
ser complicado de se obter com uma grande quantidade de imagens. Mas como a
evolução da Informática é surpreendente e o Algoritmo de Carré pode ser usado em
vários campos da Engenharia, neste trabalho de pesquisa, desenvolveram-se tais
equações.
Cita-se, também, a possibilidade de criação de dispositivos eletrônicos que
possam projetar a iluminação com o deslocamento de fase automática e, assim,
captar dezenas de quatros por segundo. A Técnica de Moiré tem um importante
caráter de magnificação do movimento, que pode ser usado na medição de objetos
muito pequenos e em microscópios eletrônicos tridimensionais. É difícil prever
aplicações futuras em Engenharia. Neste contexto, se justifica o esforço, neste
estudo, em desenvolver equações do cálculo de fase para uma grande quantidade
de imagens (N), além de complementar, de maneira definitiva, a generalização do
Algoritmo de Carré.
3.13 Conclusão do capítulo
Destaca-se, finalmente, o caráter inédito e original das novas equações do
cálculo de fase desenvolvidas neste capítulo. Este é o principal resultado desta tese
até este ponto: a generalização do Algoritmo de Carré para permitir mais de quatro
imagens vai possibilitar um processo de medição com um maior número de
observação e, com isso, espera-se uma diminuição da incerteza e do erro aleatório
no uso da Técnica Moiré de Sombra e, assim, uma maior precisão.
142
Cita-se, como importante, a verificação de que o Método Branch-and-Bound
consegue solucionar com sucesso o modelo de Programação Inteira Não-linear
proposta nesta pesquisa. É interessante observar que centenas de testes foram
realizados executando-se a implementação do método e obtiveram grande sucesso.
Esta classe de problemas apresenta, em geral, muita dificuldade na resolução e
apenas em um pequeno número de casos consegue ser resolvido. O modelo
proposto é um desses casos.
Uma razão para o sucesso do Método Branch-and-Bound pode ser atribuída à
ideia do método numérico em obter a solução ótima com uma reduzida quantidade
de avaliações das equações, restringindo o universo de busca. Acredita-se que
outros métodos numéricos também poderiam obter sucesso.
As observações das novas equações do cálculo de fase permitiram evoluir o
modelo para se obter equações com um número muito grande de imagens. Foi
importante a criação de teste para verificar e confirmar a veracidade dessas
equações. Enfatiza-se, ainda, que em todo esse trabalho foram utilizados métodos
numéricos de cálculo.
A implementação computacional desenvolvida neste projeto de pesquisa foi
um dos trabalhos mais desafiantes. São métodos de grande complexidade e que
necessitam de flexibilidade para alteração de restrições e evolução do modelo
matemático. O uso de programação orientada a objetos, classes e métodos bem
definidos foi de fundamental importância para o sucesso dos softwares.
Destaca também que se tentou no capítulo fazer um relato histórico, temporal
e sequencial de como as novas equações do cálculo de fase foram sendo
desenvolvidas. Como se trata de um trabalho cientifico, a ideia foi de registrar como
o trabalho foi sendo executado, o mais próximo possível da realidade.
A título de exemplo, foram realizadas demonstrações analíticas de equações
do cálculo de fase, usando-se o software de matemática computacional Maple®. O
trabalho analítico é considerável e, por isso, foi utilizado um programa de
computador, embora mostre que as novas equações podem ser demonstradas
matematicamente por relações trigonométricas, apesar de ser um processo bem
trabalhoso e demorado. Nota-se, ainda, que é muito mais fácil comprovar
analiticamente a veracidade da equação do cálculo de fase, uma vez que esta já foi
obtida e é conhecida, do que tentar deduzi-la analiticamente por meio de relações
trigonométricas e desenvolvimentos algébricos.
143
A principal preocupação neste capítulo da tese foi tornar fácil o entendimento
do processo de desenvolvimento das novas equações do cálculo de fase. Assim,
priorizou-se uma notação matemática mais didática e usual em ótica aplicada à
Engenharia, que fosse utilizada comumente por outras referências bibliográficas
sobre o assunto.
144
CAPÍTULO IV - TRATAMENTO DE IMAGENS
4.1
Introdução do capítulo
Além do cálculo de fase usando as equações desenvolvidas no capítulo
anterior, as imagens de Franjas de Moiré passam por outros processamentos
descritos neste Capítulo IV. Há que se esclarecer, porém, que seu conteúdo
informativo serve apenas de resumo introdutório para a compreensão desta tese,
uma vez que não se constitui no foco principal deste estudo.
Inicialmente, ressalta-se uma determinação da ambiguidade do ângulo de
fase empacotado (wrapped). Nas equações anteriores, trabalhou-se com apenas o
módulo dos valores das distribuições de fase; logo φ ∈ [0, π/2], mas os principais
algoritmos de desempacotamento (unwrapped) trabalham com φ*∈ [-π, π]. A
transformação de φ em φ* é o tema de abertura.
Em seguida, tem-se a abordagem do processo de desempacotamento (phase
unwrapping) que é o processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de fase de uma
função contínua, que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial predefinido)
é recuperado. Esse valor absoluto é perdido, quando o termo de fase é coberto por
si mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal das
funções de onda usada nas medições de propriedades físicas. Alguns algoritmos
são citados com este objetivo.
A seguir é desenvolvida a teoria de geração pelo computador das imagens de
Franjas de Moiré. Com o desenvolvimento do Processamento Digital de Imagens,
podem-se criar Franjas de Moiré para uma determinada superfície. Tal método ajuda
na análise de erro e no teste do sistema computacional para análise automática das
fotografias de Moiré. Um estudo de geração de ruídos em imagens também é
realizado, uma vez que em fotografias reais as imperfeições estão presentes.
O capítulo é finalizado com o estudo dos principais filtros utilizados
inicialmente nas imagens de Moiré antes do cálculo de fase ser aplicado. Nesta
pesquisa foram utilizados, propositalmente, filtros muito simples como os filtros
Passa Baixo e Gaussiano. No processo evolutivo da teoria dos filtros, a novidade
145
são os filtros direcionais, aplicados diretamente nas fotografias para a eliminação de
ruídos e imperfeições.
4.2
Passagem da fase de [0, π/2] para [-π, π]
As novas equações do cálculo de fase desenvolvidas nesta pesquisa têm a
forma da Equação 3.18. Como envolve uma raiz quadrada e valores absolutos do
numerador e do denominador, o valor da tan(φ) sempre será um número positivo.
Quanto se aplica o arcotangente para se descobrir o valor da fase (φ), tem-se um
número entre 0 e π/2, ou seja, φ ∈ [0, π/2]. O problema é que a maioria dos
algoritmos de desempacotamento (unwrapping) trabalha com ângulos entre -π e π
radianos. Na literatura, podem ser encontradas algumas soluções para este
problema que também aparece na equação original de Carré, conforme apontam
CREATH (1985) e NOVAK (2003).
Nesta tese, optou-se por soluções alternativas e diferentes. Observando o
gráfico da tangente de um ângulo em radianos, vê-se que o valor absoluto da
tangente de φ é o mesmo para quatro ângulos entre -π e π; estes ângulos são: φ, -φ,
φ-π e -φ+π. Tem-se a ideia de que, uma vez obtida à fase φ, testa-se as quatro
possibilidades para se achar φ* ∈ [-π, π], e poder aplicar os algoritmos de
desempacotamento (unwrapping).
O teste se baseia em cada pixel que, segundo posição (x,y) das imagens, são
somados e subtraídos os valores das intensidades de luz Ik, e usando de relações
trigonométricas objetivando verificar para qual dos quatros ângulos φ, -φ, φ-π e -φ+π
as sentenças ficam verdadeiras.
Uma
primeira
tentativa
foi
realizada,
trabalhando-se
com
relações
trigonométricas e deduzindo equações como as mostradas abaixo. Por exemplo,
para N=4 ou número de imagens par, tem-se:
146
( )
Par
I −I

4 cos 2 δ − 1 = 1 4

2
I 2 − I3

*
 I 1 − I 4 = 2 I a sin(φ ) sin 3δ 2

N = 4
I 2 − I 3 = 2 I a sin(φ * ) sin δ
2

*
 I 1 + I 4 = 2 I m + 2 I a cos(φ ) cos 3δ 2

 I 2 + I 3 = 2 I m + 2 I a cos(φ * ) cos δ
2

( )
( )
( )
( )
(4.1)
Observa-se que da primeira sentença da Equação 4.1 se pode calcular o
valor do deslocamento de fase (δ). Com este valor testam-se os quatro ângulos φ, -φ,
φ-π e -φ+π, verificando-se qual torna verdadeira ou com um erro de precisão
numérica muito pequena, tipo 10-6, as outras quatro sentenças da Equação 4.1. O
ângulo encontrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser realizado para cada pixel
das fotografias de Moiré.
Em outro exemplo, para N=5 ou número de imagens ímpar, tem-se:
Ímpar
I1 − I 5

cos(δ ) = 2( I − I )
2
4

 I 1 − I 5 = 2 I a sin(φ * ) sin( 2δ )

N = 5 I 2 − I 4 = 2 I a sin(φ * ) sin(δ )

*
 I 1 + I 5 − 2 I 3 = 2 I a cos(φ )[cos(2δ ) − 1]
 I + I − 2 I = 2 I cos(φ * )[cos(δ ) − 1]
4
3
a
 2

(4.2)
Observa-se que, novamente, da primeira sentença da Equação 4.2 se pode
calcular o valor do deslocamento de fase (δ). Com este valor testam-se os quatro
ângulos φ, -φ, φ-π e -φ+π, verificando-se qual torna verdadeira ou com um erro de
precisão numérica muito pequena, tipo 10-6, as outras quatro sentenças da Equação
4.2. O ângulo encontrado é o valor de φ*. Esse processo deve ser repetido para
cada pixel das fotografias de Moiré. A ideia, nesse processo, é sempre somar e
subtrair as imagens com índices (k) centrais ou do meio. Generalizando para
qualquer número de imagens (N), tem-se:
147
I N  − I N 

 −1 
 +2 

 2 
 2

2 δ
4
cos
−
1
=

2
I
I
−
N
N 

 
 +1 
2

 2 

 I  N  − I  N  = 2 I a sin(φ * ) sin 3δ
2
 −1 
 +2 

 2 
 2

N
I  N  − I  N  = 2 I a sin(φ * ) sin δ
2

 
 +1 
 2
 2 

 I  N  + I  N  = 2 I m + 2 I a cos(φ * ) cos 3δ 2
 +2 
  2 −1 
 2


*
 I  N  + I  N  = 2 I m + 2 I a cos(φ ) cos δ 2
 +1 
  2 
 2 
( )
Par
( )
( )
( )
( )
(4.3)
Ou
Ímpar
I  N −3  − I  N + 5 






 2 
 2 
δ
cos(
)
=




I

2
I
−
 N +3 

  N −1 

 
 2  
  2 

I
− I  N + 5  = 2 I a sin(φ * ) sin (2δ )
  N − 3 


 2 
  2 

N  I  N −1  − I  N + 3  = 2 I a sin(φ * ) sin (δ )


  2 
 2 

*
 I  N − 3  + I  N + 5  − 2 I  N +1  = 2 I a cos(φ )[cos(2δ ) − 1]
 2 
 2 
  2 
I
+ I  N + 3  − 2 I  N +1  = 2 I a cos(φ * )[cos(δ ) − 1]
N −1 

  




 2 
 2 
  2 


(4.4)
As equações 4.3 e 4.4 foram obtidas através de relações trigonométricas bem
simples. Apesar de interessante, esse método apresenta dificuldades na
implementação, uma vez que pode acontecer que o denominador da primeira
sentença na Equação 4.3 e 4.4 pode ser zero e, neste caso, o método falha.
Uma alternativa melhor e com formulação bem mais simples é descrita
abaixo. A partir da Equação 3.9, que pode ser reescrita como 4.5, para um dado
pixel (x,y) da imagem de Franja de Moiré:
  2k − N − 1  
I k = I m + I a cos φ + 
δ 
2
 
 
com k = 1..N
(4.5)
148
Para cada uma dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π, monta-se um
sistema não linear com 3 equações das N de 4.5. Nota-se que, como se sabe o valor
de φ, têm-se apenas três incógnitas, Im, Ia e δ; assim o sistema não linear fica:


 2k1 − N − 1  
δ 
 I k1 = I m + I a cosφ * +
2

 




 2k 2 − N − 1  
δ 
 I k2 = I m + I a cos φ * +
2

 




 2k 3 − N − 1  
δ 
 I k3 = I m + I a cosφ * +
2

 


para
k = k1
para k = k 2
(4.6)
para k = k 3
Aplica-se, então, o Método de Newton-Raphson para resolver rapidamente o
sistema não linear, onde se conhece os valores da intensidade de luz Ik , e se deseja
descobrir os valores de Im, Ia e δ em cada pixel (ou seja, apenas 3 incógnitas e 3
equações). As três equações acima têm derivadas simples e a convergência do
Método de Newton-Raphson é bem rápida. Uma vez calculado Im, Ia e δ para cada
um dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π, escolhe-se o ângulo que tiver
menor erro calculado pela Equação 4.7. Ou seja, verifica-se se os valores de Im, Ia e
δ atendem todas as N equações de 4.5.
N


 2k − N − 1   
Erro Absoluto = ∑ I k − I m + I a cosφ * +
δ  
2

 
k =1


(4.7)
O ângulo encontrado que apresentar o menor erro é o valor de φ*. Especial
atenção deve ser tomada, pois para um dos quatro ângulos de teste φ, -φ, φ-π e -φ+π,
têm-se valores diferentes de Im, Ia e δ obtidos pelo Método de Newton-Raphson, mas
os valores de intensidade de luz Ik (k=1..N) são os mesmos. Outro detalhe é que
esse processo deve ser realizado para cada pixel na posição (x,y) das imagens de
franjas de Moiré. Testes práticos mostraram que esta técnica não incrementa
consideravelmente o tempo de processamento, uma vez que o Método de NewtonRaphson converge para a solução em poucas iterações.
Nesta pesquisa, optou-se por esta última técnica para fazer a passagem da
fase de [0, π/2] para [-π, π], em razão da facilidade de implementação computacional
149
e do uso bem conhecido do Método de Newton-Raphson, além da utilização na tese
de grandes valores de N (número de imagens). O valor de φ* ∈ [-π, π] obtido está
pronto para ser a entrada nos algoritmos de desempacotamento (unwrapping)
descrito a seguir.
4.3
Algoritmos de desempacotamento (unwrapping)
Segundo ROBINSOM & RAID (2003), desempacotamento de fase (phase
unwrapping) é o processo pelo qual o valor absoluto do ângulo de fase de uma
função contínua que se estende além de 2π (relativo a um ponto inicial predefinido) é
recuperado. Esse valor absoluto é perdido, quando o termo de fase é coberto por si
mesmo com distâncias repetidas de 2π, que tenham natureza senoidal das funções
de onda usada nas medições de propriedades físicas.
Partindo do princípio de que o processo para determinação do ângulo de fase
φ* já removeu ambiguidades, agora, quando uma fase é acrescentada de 2π, a
inclinação da função é positiva, e o contrário ocorre ao se diminuir uma fase de 2π
(PATORSKI, 1993).
Em qualquer padrão Moiré, as partes de mesma altura no objeto estão
representadas nas franjas com formas de colinas ou selas. O formato de colinas ou
sela aparece nos pontos de intersecção com a mesma altura, e deve-se ter muita
atenção ao se interpretar essa região para se somar ou subtrair a ordem de franja,
principalmente, em mapas de franja gerados de imagens com ruídos e imperfeições.
Importante fonte de erro que ocorre na fase de detecção e resolução dos
saltos de fase se dá em função da presença de ruídos. Um aspecto desse tipo de
análise é que a fase é determinada independente de cada ponto, ou seja, não é
necessária a comparação de dados de outras partes da imagem. Isso significa que
descontinuidades que possam aparecer no padrão de franjas serão corretamente
interpretadas, e ambiguidades serão resolvidas automaticamente. Uma grande
vantagem ao se utilizar a Técnica Deslocamento de Fase juntamente com Moiré de
Sombra, é que, por essa técnica, o conhecimento, a priori, do perfil medido, não se
faz necessário (POST et al., 1994).
150
A ideia central da técnica de análises de franja é que, se um padrão de linhas,
geralmente paralelas entre si, se projeta sobre a superfície de um objeto e é visto de
ângulo deslocado, a franja observada é distorcida na forma da superfície do objeto.
A distorção da franja padrão contém informações sobre a altura do objeto
perpendicular ao plano da imagem. As Técnicas de Moiré obtêm informações dessa
altura através da computação das diferenças de fase. Desde que a fase é
computada no intervalo entre -π e π, uma das mais críticas etapas do método é o
processo de desempacotamento, ou seja, o processo de eliminação das
descontinuidades 2π. Imagens reais de franjas são afetadas por muitos distúrbios,
como a aquisição do ruído, problemas de iluminação, sombras e reflexos etc. A base
em uma dimensão do algoritmo de desempacotamento trabalha apenas com um
pixel da linha da imagem de cada vez e, em caso de imagens corrompidas, não
garante
um
correto
processo
de
desempacotamento.
O
processo
de
desempacotamento em 2-D é o problema central na análise de interferometria ótica,
em ressonância magnética de uso médico, em física do estado sólido, e em várias
outras áreas de aplicação. Por essa razão, muitos algoritmos de desempacotamento
têm sido propostos. Uma boa introdução em 2-D é dada por GHIGLIA et al. (1998),
que é um dos principais algoritmos encontrados na literatura.
O princípio básico da Remoção de Salto de Fase é integrar a fase com
descontinuidades ao longo de uma trajetória pelos dados amostrados. Em cada pixel
o gradiente de fase é calculado pela diferença:
∆φ* = φ *q −φ * q −1
(4.8)
onde q é o número do pixel. Se |∆φ*| exceder certo limiar como π, por
exemplo, então uma descontinuidade é identificada. Este salto de fase é corrigido
adicionando-se ou subtraindo-se 2π, de acordo com o sinal de ∆φ*.
Embora a Remoção de Saltos de Fase possa ser desenvolvida por circuitos
analógicos como parte de um processo de medição de fase eletrônico, muitos
pesquisadores empregam técnicas de Processamento Digital de Imagem. O
princípio mais comumente utilizado é baseado no fato de que a diferença de fase
entre quaisquer dois pontos medidos por integração da fase ao longo de um
caminho entre estes dois pontos é independente da trajetória escolhida, se esta
151
trajetória não passa através de uma descontinuidade. Assim, os Métodos de
Remoção do Salto de Fase podem ser divididos em métodos dependentes e
independentes do caminho.
O método mais simples de Remoção do Salto de Fase é o método
dependente do caminho, que envolve o escaneamento sequencial ao longo dos
dados amostrados, linha por linha. Ao final de cada linha, a diferença de fase entre o
último pixel e o pixel da linha abaixo é determinado, e a linha posterior é escaneada
na direção inversa. Esta técnica é amplamente aplicável para dados de alta
qualidade, porém, variações mais complexas são necessárias na presença de
ruídos. Uma maneira utilizada para se evitar a propagação de erros ao longo da
matriz de dados é realizar a Remoção do Salto de Fase primeiramente nas regiões
de pixéis “bons”. Os pixéis “ruins”, com grandes incertezas de medição, têm suas
descontinuidades removidas posteriormente, todavia, a propagação de erros fica
confinada a pequenas regiões (DEL-VECCHIO, 2006).
O método independente do caminho é desenvolvido a partir de uma máscara
3×3, na qual as diferenças de fase, ∆φ*, do pixel central e de seus quatro pixéis
vizinhos mais próximos, nas direções verticais e horizontais, são calculadas. Se uma
das diferenças é maior, em valor absoluto, que π, +2π ou -2π, é adicionado a ∆φ*,
dependendo da maioria das quatro diferenças ser positiva ou negativa. Quando duas
diferenças são positivas e duas são negativas, uma decisão arbitrária é tomada para
adicionar 2π. Quando nenhuma das diferenças absolutas excede π, então ∆φ*
permanece imutável. Essas iterações se processam ao longo de toda a imagem até
que repetições sequenciais não mais resultem em alterações do valor inicial para
cada matriz (array). Nesse estágio, uma iteração global é realizada, substituindo-se
cada valor de pixel pela média de cada par de pixéis na matriz (array) corrente e na
matriz (array) anterior. Esse algoritmo requer um processamento intensivo, sendo,
no entanto, imune a ruídos e artefatos (DEL-VECCHIO, 2006).
Uma forma de se evitar a propagação de erros a partir de vazios ao longo de
toda a imagem é aplicar a Remoção de Salto de Fase Temporal. A ideia principal
acerca deste método é que a fase em cada pixel é medida como uma função do
tempo. Este método é aplicável em situações em que o deslocamento de fase ocorre
ao longo do tempo, por exemplo, em análise de deformações na qual o
deslocamento de fase é proporcional ao deslocamento da superfície.
152
As opções de algoritmos de desempacotamento são muitas e várias
alternativas poderiam ser usadas, inclusive, técnicas que dispensam a fase de
passagem de [0, π/2] para [-π, π], descrita no item anterior. Nesta pesquisa, optou-se
por uma implementação conservadora, bastante trabalhada e consolidada na
literatura, uma vez que este não é o foco principal deste estudo, descrito em
GHIGLIA et al. (1994), e mostrada a seguir.
A fase φ* obtida da Técnica Deslocamento de Fase é uma fase empacotada
(wrapped phase), que varia de -π até π radianos. Uma fase empacotada tem de ser
desempacotada (unwrapping), tal que o valor da fase é incrementado por um fator
de 2πh. O relacionamento entre a fase empacotada (φ*) e a fase desempacotada (Ψ)
é estabelecida como:
Ψ = W (φ *)

W (φ *) = φ * +2πh
(4.9)
onde W é a função de desempacotamento (unwrapping) e h é um número
inteiro, φ* é a fase empacotada (wrapped) e Ψ é a fase desempacotada. Logo, para
toda a imagem, tem-se:
Ψ ( x, y ) = φ * ( x, y ) + 2π .h( x, y )
(4.10)
No processo de desempacotamento, vários dos valores de fase são
deslocados (adicionados e subtraídos) por um múltiplo inteiro de 2π. Este processo é
então resumido com adição e subtração de 2π em cada descontinuidade encontrada
na distribuição de fase (φ*) da imagem. O procedimento de desempacotamento
consiste em achar o correto número de ordem para cada fase medida. O número de
ordem tem apenas três possibilidades em cada pixel, h(x,y)=0 ou h(x,y)=1 ou
h(x,y)=-1.
Este método supõe que a fase da imagem é contínua, e que a amostragem é
densa bastante, tal que o verdadeiro valor da fase entre dois pontos adjacentes não
possa diferenciar mais que π. A fase empacotada também chamada de principal é
denotada por φ*, e Ψ é o valor verdadeiro da fase. As diferenças das fases na
direção horizontal e na direção vertical podem ser estimadas por (índice i para o
153
deslocamento de pontos na horizontal [x] e índice j para deslocamento de pontos na
vertical [y]):
∆xi , j = W (φ *i +1, j −φ *i , j )
 y
∆ i , j = W (φ *i , j +1 −φ *i , j )
(4.11)
O quadrado do erro para uma imagem com resolução gráfica de Mx × My é:
S=
2
M x −1M y
∑∑ (φ *
i =1 j =1
i +1, j
−φ *i , j −∆
x
i, j
2
M x M y −1
) + ∑ ∑ (φ *
i =1
j =1
i , j +1
−φ *i , j −∆
y
i, j
)
(4.12)
Aplicando-se o critério dos mínimos quadrados chega-se a:
Q × Ψ = C
onde

Q × Ψi , j = min(φ *i2+1, j ;φ *i2, j )(Ψi +1, j − Ψi , j ) − min(φ *i2, j ;φ *i2−1, j )(Ψi , j − Ψi −1, j )

+ min(φ *2 ;φ *2 )(Ψ
2
2
i , j +1
i, j
i , j +1 − Ψi , j ) − min(φ *i , j ; φ *i , j −1 )(Ψi , j − Ψi , j −1 )

C = min(φ *2 ;φ *2 )∆x − min(φ *2 ;φ *2 ).∆x + min(φ *2 ;φ *2 ) ∆y
i +1, j
i, j
i, j
i, j
i −1, j
i −1, j
i , j +1
i, j
i, j

2
2
y
− min(φ *i , j ;φ *i , j −1 )∆ i , j −1

(4.13)
onde min(r,s) é função que retorna o menor dos dois valores r ou s. Chega-se
a um sistema linear que pode ser resolvido pelo Método de Gauss com Pivotação
Parcial para se obter o valor de Ψ. Matematicamente, a formulação 4.13 pode
também se vista como uma solução por Diferenças Finitas da equação diferencial de
Laplace com condições de contorno do tipo de Neumann, para se ter uma
continuidade dos valores da fase (Ψ). Mais detalhes podem ser encontrados também
em HUNT (1979).
A modulação de fase (Ψ) obtida no processo de desempacotamento
representa fisicamente a fração do número de ordem de franja nas imagens de
Moiré, multiplicada por 2π. A forma do objeto pode, então, ser determinada e
medida, aplicando-se a equação abaixo deduzida da Equação 2.7:
154
Z i, j
Ψ

p i , j 
2π 

=
(tan α + tan β )
(4.14)
onde Zi,j é profundidade a ser medida, que é a distância vertical do retículo
plano para o ponto do objeto em cada pixel; p é o passo ou distância entre as linhas
do retículo de referência ou frequência do retículo ou, ainda, frequência espacial do
retículo; α é o ângulo entre a normal e o feixe de luz (iluminação), e β é o ângulo
entre a normal e o ponto de observação (observador). Isso é mostrado na Figura 26
abaixo:
Figura 26 – Montagem da Técnica Moiré de Sombra para obtenção das medidas
de Z que é a distância entre o objeto e o retículo em cada pixel da
fotografia.
Fonte: Resultados da pesquisa.
4.4
Geração de imagens de Moiré no computador
Outra proposta deste estudo, para se testar a precisão das novas equações
de cálculo desenvolvidas, é substituir as fotografias das franjas de Moiré pela
geração
destas
imagens
no
computador.
Usando
o
conhecimento
de
Processamento Digital de Imagens é possível criar, dada uma função matemática
Z=f(x,y), várias imagens de Moiré, uma para cada fase, e testar o processo de
medição através da Técnica Deslocamento de Fase. O processo de geração de
imagens é descrito a seguir.
Inicialmente, define-se a resolução gráfica das imagens a serem geradas,
números de pixéis na horizontal e na vertical. Aplica-se, então, a regra numérica de
discretização de funções, para se calcular o incremento de passo na horizontal
∆x=hx e o incremento de passo na vertical ∆y=hy.
155
X f − Xi

 ∆x = h x =
(n x − 1)


Y − Yi
 ∆y = hy = f
(n y − 1)

(4.15)
onde Xf é o maior valor da distância métrica na horizontal, Xi é o menor valor
da distância métrica na horizontal, Yf é o maior valor da distância métrica na vertical,
Yi é o menor valor da distância métrica na vertical, nx é o número de pixéis da
imagem na horizontal e ny é o número de pixéis na imagem vertical. Assim, para
cada pixel da imagem, pode-se obter sua posição métrica (x,y). Com o valor de x e
y, usando a função matemática f(x,y), calcula-se a altura Z=f(x,y).
A ordem de franja pode ser obtida, alterando-se a Equação 4.14 reescrita em
4.16 abaixo:
Ψ ( x, y ) = 2π Z ( x, y )
(tan α + tan β )
p
(4.16)
onde Z(x,y) é a profundidade a ser medida, que é a distância vertical do
retículo plano para o ponto do objeto em cada pixel; p é o passo (pitch) ou distância
entre as linhas do retículo de referência ou frequência do retículo ou, ainda,
frequência espacial do retículo; α é o ângulo entre a normal e o feixe de luz
(iluminação); β é o ângulo entre a normal e o ponto de observação (observador); e
Ψ(x,y) é a ordem de franja em cada pixel da imagem multiplicada por 2π.
Para imagens monocromáticas (preto e branco) onde cada pixel é
armazenado usando um byte de 8 bits, onde os tons de cinza variam de 0(preto) a
255(branco) e dado δ um deslocamento de fase arbitrária, pode-se calcular os
valores destes pixéis pelas equações:
I k ( x, y ) =

255 255
 2k − N − 1  
+
cos2πψ ( x, y ) + 
δ 
2
2
2

 

com k = 1..N
(4.17)
onde N é o número de imagens a serem geradas, uma para cada
deslocamento de fase; Ik é a intensidade luminosa da imagem em um dado pixel,
que é arredondado para o valor inteiro mais próximo, uma vez que cada pixel é
armazenado em um byte de 8 bits, variando de 0 a 255; k é a ordem da imagem
gerada, variando de 1(primeira imagem) até N(última imagem).
156
Nota-se que as imagens geradas por este processo não têm ruído, e as
únicas distorções são provenientes das discretizações em pixéis horizontal e vertical
e das discretizações em tons de cinza provenientes do arredondamento para inteiro
no byte dos pixéis. A Figura 27 ilustra este processo para a equação:
(x3 − y 2 )
z=
,
100
com − 5 ≤ x ≤ 5, − 5 ≤ y ≤ 5
(4.18)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Figura 27 – Um conjunto com 16 imagens de Franjas de Moiré de um megapixel geradas no
computador. [A-P]. Nas imagens, usou-se uma resolução gráfica de um megapixel
com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéis na vertical.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Estas imagens geradas no computador podem agora ser usadas para testar o
algoritmo de medição da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.
157
Uma vez que se conhece a altura Z, em cada pixel, pelo valor da função matemática
f(x,y), o erro e a precisão podem ser obtidos com facilidade. Isso é realizado no
Capítulo V deste estudo.
Em outro estudo, a função f(x,y) é calculada por interpolação polinomial de
pontos medidos de um objeto com a geometria simples, usa-se uma malha
desenhada em uma transparência com 49 pontos formando uma malha com 7
pontos na horizontal e 7 pontos na vertical. Essa transparência é colada em um vidro
transparente, e usando-se um paquímetro é medida a distância do objeto até o vidro
nos 49 pontos da malha. Com os 49 pontos tabelados de x, y e z, aplicam-se uma
interpolação polinomial de Lagrange bidimensional multivariada, para se obter um
polinômio que passa por esses 49 pontos medidos. Detalhes desse procedimento
podem ser encontrados em HOFFMAN (2001).
O polinômio encontrado passa a ser a função matemática Z=f(x,y)=P(x,y), que
pode ser usada para a geração das imagens das Franjas de Moiré descritas
anteriormente neste item. Malhas maiores foram confeccionadas onde o
espaçamento horizontal e vertical não era de apenas um centímetro, mas de dois e
três centímetros. Assim, foram desenhadas malhas de 36 cm2(6x6), 144 cm2(12x12)
e 324 cm2(18x18), que foram usadas para objetos de diversos tamanhos.
No próximo item, as imagens geradas vão ganhar muito mais veracidade com
o acréscimo de ruído, imperfeições e das sombras das linhas verticais do retículo,
ficando muito difícil distinguir o que é fotografia de imagem real do que é imagem
criada no computador.
4.5
Acréscimos de ruídos nas imagens
Aqui é apresentado um resumo introdutório sobre ruídos em imagens digitais.
A ideia é mostrar como as fotografias reais sempre contêm erros e distorções que
afetam o processo de medição, usando a Técnica de Moiré. Mais detalhes podem
ser encontrados em GONZALEZ et al. (2000, 2004).
O “ruído” é o equivalente digital dos grãos dos filmes utilizados em câmeras
de filme. Outra forma de ilustrar o que é ruído, é pensar nele como o equivalente ao
sutil chiado que se percebe quando uma música é ouvida num volume muito alto de
158
voz. Para as fotografias digitais, esse ruído aparece como manchas aleatórias em
uma superfície normalmente lisa, e compromete significativamente a qualidade das
fotos. Apesar de o ruído ser considerado um “defeito” de uma foto, ele pode ser
causado propositalmente, já que pode conferir às fotos um aspecto antigo que
remeta aos filmes. Um pouco de ruído também pode aumentar a nitidez da imagem.
O ruído aumenta proporcionalmente à sensibilidade escolhida (ISO) e tempo de
exposição. A quantidade de ruído também varia muito dependendo da câmera
utilizada. Câmeras profissionais de alto nível costumam ter muito menos ruído que
câmeras compactas comuns.
Algum nível de ruído sempre existe em qualquer aparelho eletrônico que
transmite ou recebe um ’sinal’. Para as televisões esse sinal são os dados da
transmissão enviados por cabo ou recebidos pela antena da TV; para as câmeras
digitais, o sinal é a luz que atinge o sensor da câmera. Mesmo sendo inevitável, o
ruído pode se tornar tão pequeno relativamente ao sinal, que pode ser considerado
inexistente. A razão entre o sinal e o ruído (SNR, do inglês signal to noise ratio) é
uma maneira útil e universal de comparar as quantidades relativas de sinal e ruído
para qualquer sistema eletrônico; razões altas terão pouco ruído visível, enquanto o
oposto vale para baixas razões.
O ISO de uma câmera (em inglês ISO setting ou ISO speed) é um padrão que
descreve a sensibilidade absoluta da luz. O ISO normalmente é apresentado em
razões de 2, como ISO 50, ISO 100, ISO 200 e ISO 400, e pode ter uma grande
variedade de valores. Valores mais elevados representam maior sensibilidade, e a
razão entre dois valores de ISO representa a sensibilidade relativa entre elas, ou
seja, uma foto com ISO 200 demorará a metade do tempo que uma foto com ISO
100 para atingir o mesmo nível de exposição (se todos os outros parâmetros da
câmera forem fixados). O ISO das câmeras digitais é a mesma coisa que a ASA
encontrada nos filmes para câmeras analógicas. A diferença, sem dúvida, é que uma
única câmera digital pode fotografar em diferentes ISO sem troca de filmes. O
aumento do ISO é possível, amplificando-se o sinal do sensor da câmera, mas isso
também amplifica o ruído. Assim, quanto maior o ISO, mais ruído a imagem terá.
Vários tipos de ruídos podem ser encontrados nas imagens digitais. Câmeras
digitais produzem três tipos de ruído básicos: aleatório, de padrão fixo e de bandas.
O ruído aleatório é caracterizado por flutuações de intensidade e tom de cor
em relação à imagem real. Sempre haverá alguma quantidade de ruído aleatório em
159
qualquer duração de exposição, pois ela será muito influenciada pelo ISO. O padrão
do ruído aleatório muda mesmo quando as propriedades da exposição são as
mesmas (é exatamente por isso que ele é chamado de aleatório).
O ruído de padrão fixo inclui o que se costuma chamar de “hot pixéis” (do
inglês: “pixéis quentes”), que são chamados assim, quando a intensidade de um
pixel ultrapassa muito a das flutuações de ruído aleatório. O ruído de padrão fixo
geralmente aparece em situações de exposições longas, e é exacerbado por
temperaturas
altas.
Uma
característica
importante
é
que
ele
mostra
aproximadamente a mesma distribuição, se as condições nas quais a imagem é
produzida são repetidas (temperatura, exposição e ISO).
O ruído em banda depende muito da câmera utilizada, e é introduzido pela
própria câmera quando ela lê dados provenientes do sensor digital. Ele é mais
visível, quando são usados ISO altos e nas áreas de baixa luz, ou quando uma
imagem foi editada / clareada excessivamente. Dependendo da câmera, ele também
pode ser aumentado em função do balanço de branco escolhido.
Apesar de parecer ser o mais intrusivo, o ruído de padrão fixo é normalmente
o mais fácil de ser removido, em razão da sua natureza repetitiva. A eletrônica da
câmera tem que, simplesmente, saber o padrão e subtraí-lo da imagem capturada,
para revelar a imagem verdadeira. O ruído de padrão fixo é um problema muito
menor que o ruído aleatório em câmeras de última geração, apesar de pequenas
quantidades serem ainda mais facilmente percebidas que o ruído aleatório.
O ruído aleatório é muito mais complicado de ser removido sem que a
imagem seja danificada. Os algoritmos criados para isso ainda lutam para conseguir
discernir entre o ruído e texturas reais, como as que ocorrem na terra ou folhas.
Assim, tentativas de remover o ruído acabam, também, removendo essas texturas.
A mudança do ruído não depende somente da exposição da foto e da
câmera, já que pode variar dentro de uma mesma imagem. Em câmeras digitais,
regiões mais escuras terão mais ruído que regiões mais claras, e com o filme
acontece o contrário. A magnitude do ruído, normalmente, é descrita pelo “desvio
padrão”, que quantifica a variação típica que um pixel tem de seu valor “real”.
Aumentar o ISO sempre produz mais ruído em uma câmera, mas a variação
de ruído na troca de ISO muda muito de câmera para câmera. Quanto maior a área
de um pixel no sensor da câmera, maior será a capacidade de receber luz produzindo assim um sinal mais forte. Como resultado, câmeras com pixéis
160
fisicamente maiores, geralmente, vão aparentar ter menos ruídos, já que o sinal é
maior em relação ao ruído. É por isso, que câmeras com mais megapixéis
espremidos em uma mesma área não, necessariamente, produzem imagens
melhores. Por outro lado, um sinal mais forte, necessariamente, terá um ruído
menos visível, já que é a quantidade relativa de ruído e sinal que determina quão
ruidosa será uma imagem.
Imagens reais, frequentemente, sofrem degradações durante seu processo de
aquisição, transmissão ou processamento. Essa degradação é normalmente
chamada de ruído. O ruído pode ser considerado uma variável aleatória z,
caracterizada por uma função-densidade de probabilidade p(z). Os tipos de ruído
mais comumente modelados são ruídos impulsivo, Gaussiano, uniforme, Erlang,
exponencial, Rayleigh e Poisson (GONZALEZ et al., 2004).
Observa-se que em todos os modelos, o ruído é considerado como uma
distribuição estatística na imagem. Isso reforça a ideia de que a repetitividade e o
aumento do número de observações vai atenuar o ruído das imagens.
Neste trabalho de pesquisa, os modelos acima de ruído foram aplicados nas
fotografias com um percentual de 10% a 20% dos pixéis de uma imagem, ou seja,
cerca de um quinto dos pixéis de uma imagem contém algum tipo de ruído.
Para tornar as imagens geradas mais realistas, foi também aplicado nelas um
processo de suavização (smoothing). A suavização linear é aplicada para gerar
novas imagens com aspecto mais suave, pois calculam o novo valor de intensidade
luminosa de um dado ponto, a partir de uma média linear dos valores de intensidade
dos pontos vizinhos, de acordo com o tamanho da máscara de convolução usada
(chama-se de convolução o processo de calcular a intensidade de um determinado
pixel em função da intensidade de seus vizinhos). Numa configuração de máscara
3X3, com todos os vizinhos sendo levados em conta da mesma maneira, a operação
se resumiria na troca do valor do pixel central pela média aritmética dos pixéis mais
próximos (Filtro Passa Baixa). Porém, é possível adotar uma máscara que priorize
ou conceda maior peso para vizinhos específicos, buscando um comportamento
mais adequado para a aplicação (GONZALEZ et al., 2000).
É interessante notar que, na maior parte dos trabalhos encontrados na
literatura, se está tentando tirar o ruído e, neste estudo, a ideia é acrescentá-lo na
imagem gerada por computador, para torná-la o mais real possível. Uma rotina em
MatLab® foi desenvolvida, gerando aleatoriamente ruído as diversas imagens
161
geradas pelo programa. Além disso, foi aplicada uma suavização linear, e foram
também acrescidas as sombras das linhas verticais do retículo. O resultado é visto
na Figura 28.
Figura 28: À direita imagem gerada pelo computador do seio de um manequim, e à esquerda,
fotografia digital tirada dos seios do mesmo manequim.
Fonte: Resultados da pesquisa.
É difícil perceber qual é a imagem real e qual é a imagem criada no
computador. Nota-se, que no caso dos seios do manequim, foi usada uma função
f(x,y) obtida por interpolação polinomial com base em 49 medidas realizadas com
um paquímetro.
4.6
Filtros Iniciais antes do cálculo de fase
Uma vez que se obteve a fotografia das Franjas de Moiré, esta deve,
inicialmente, ser tratada com o objetivo de remover as linhas do retículo de Moiré,
para atenuar os ruídos e as distorções. Neste estudo, foi aplicado, apenas,
recursivamente, filtro passa baixa e filtro gaussiano; mais nenhum tratamento foi
dado inicialmente às imagens digitais fotografadas.
Filtragem digital é um conjunto de técnicas destinadas a corrigir e realçar uma
imagem. A correção é a remoção de características indesejáveis, e a melhoria/realce
é a acentuação de características. O cálculo é baseado em ponderação, isto é,
utilizam-se pesos diferentes para pixéis vizinhos diferentes. A matriz de pesos é
162
chamada de kernel (núcleo) da convolução. Para obter o novo valor do pixel,
multiplica-se o kernel pelo valor da imagem original em torno do pixel, elemento a
elemento, e soma-se o produto, obtendo-se o valor do pixel na nova imagem.
As técnicas de filtragem são transformações da imagem pixel a pixel, que não
dependem apenas do nível de cinza de um determinado pixel, mas também, do valor
dos níveis de cinza dos pixéis vizinhos, na imagem original. Os filtros funcionam
como janelas ou máscaras móveis que se deslocam sobre a imagem. Por exemplo,
uma janela de três por três pixéis (nove ao todo) que percorre a imagem.
Inicialmente, ela é colocada no canto superior esquerdo da imagem, sendo que o
valor do pixel central dessa janela na imagem é dado pela soma dos valores dos 9
pixéis da imagem multiplicados pelas 9 celas da janela. Essa janela se desloca, pixel
a pixel, e essa operação é repetida, atribuindo-se novos valores aos pixéis.
Outra opção de filtragem, o processamento no domínio frequência é
semelhante ao realizado no domínio espacial, porém os operadores utilizados nas
tarefas de filtragem mudam significativamente, tendo em vista que, agora, a busca
pelas características da imagem se dá no plano da frequência, que é, na verdade,
uma nova estrutura de representação das informações da imagem original. O que
antes era analisado no domínio espacial de f(x,y), agora é analisado em F(u,v), que
é a representação da imagem f no domínio da frequência. A ferramenta utilizada
para mapear os dados de f do domínio espacial para F no domínio da frequência é a
Transformada Discreta de Fourier (DFT). Essa ferramenta mapeia as características
do sinal no tempo (espaço) para um somatório de senos e cossenos com seus
respectivos pesos, de forma a traduzir perfeitamente o sinal para o domínio da
frequência. Para retornar ao domínio do tempo, sem perdas de informações, basta
aplicar a transformada inversa ao sinal da frequência. A teoria matemática por trás
desta ferramenta é extensa e possui rica literatura, não fazendo parte do escopo
deste estudo aprofundar-se em maiores detalhes de seu funcionamento.
O processamento no domínio da frequência costuma ser mais custoso e
demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem
cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução de frequências, que são
bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial. O processamento de
uma imagem no domínio da frequência, segue os seguintes passos (GONZALEZ et
al., 2000) :
163
1
multiplicar a imagem no domínio espacial por um fator (−1)x+y, para
auxiliar o cálculo posterior da DFT (pois centraliza as informações da
transformada na imagem);
2
calcular a DFT da imagem f propriamente dita, gerando F(u,v);
3
aplicar uma função de filtragem H(u,v) sobre a imagem F, de acordo
com as características que se deseja realçar na imagem, gerando uma
nova imagem: G(u,v) = H(u,v)F(u,v);
4
calcular a DFT inversa do resultado da filtragem (G) realizada no passo
3, trazendo a imagem de volta ao domínio espacial com as
modificações da filtragem;
5
extrair apenas a parte real do resultado obtido da DFT inversa no
passo 4;
6
multiplicar esta parte real novamente por (−1)x+y, para rearranjar a
imagem corretamente no domínio espacial e possibilitar a visualização
dos resultados.
Na tese utilizou-se somente um filtro passa baixa e um filtro Gaussiano no
domínio espacial aplicado diversas vezes sobre as imagens fotográficas. Mas uma
alternativa muito usada é descrita a seguir. Para maiores referência consultar
COSTA (2006).
Após as fotos adquiridas já terem sido introduzidas no computador, pode-se
dividir a fase de processamento em sete etapas:
1
transformação das fotos em tons de cinza;
2
média das fotos de mesmo ângulo de fase (1ª filtragem);
3
cálculo da componente senoidal e cossenoidal da fase;
4
filtragem das componentes senoidal e cossenoidal da fase através de
Fourier (2ª filtragem);
5
cálculo da fase (com saltos 2π);
6
remoção do salto de fase;
7
cálculo do perfil e visualização em 3-D.
A diferença está nas etapas 2, 3 e 4, pois o restante é igual ao desenvolvido
neste estudo, onde se optou por substituir as 3 etapas por simples filtragem Passa
Baixo
e
Gaussiano,
pela
simplicidade
e
velocidade
de
implementação
computacional. Mas acredita-se que esse processo alternativo descrito aqui possa
164
produzir um resultado melhor e mais preciso. Variações desta técnica podem ser
encontradas em DEL-VECCHIO (2006) e RIBEIRO (2006).
Uma grande inovação nesta área de filtros iniciais é citada por WANG (2003),
que desenvolveu uma teoria de filtros direcionais que utilizam o desvio padrão para
determinar a direção das franjas e, então, aplicar um filtro nessa direção. Com isso,
é obtida uma imagem muito melhor e com menos erros. Nessa mesma pesquisa,
são também citados novos filtros auto-adaptativos para imagens de Franjas de
Moiré.
4.7
Conclusão do capítulo
Apesar do tratamento de imagens não ser o foco principal desta pesquisa,
esta temática é muito importante para a compreensão e entendimento da tese ora
defendida. Vale destacar que muitas técnicas e novos algoritmos são encontrados
na literatura científica. Neste capítulo foi apresentado apenas um resumo introdutório
do tema, sendo altamente recomendável a consulta de outras referências
bibliográficas, também porque foi muito interessante constatar a recente e
expressiva evolução da Informática e do Processamento Digital de Imagens.
Importante observar, que a opção adotada nem sempre foi a mais precisa,
uma vez que se objetivou, neste estudo, a simplicidade e a facilidade de
implementação computacional em MatLab®. A ideia da Técnica Moiré de Sombra
com Deslocamento de Fase objetivou testar, verificar e comparar as novas equações
do cálculo de fase desenvolvidas pela generalização do Algoritmo de Carré, que se
traduz no foco principal da tese.
A presença de ruídos nas imagens e erros da ordem de milímetros nas
medições usando a Técnica de Moiré serão importantes para testar, verificar e
comparar a utilidade das novas equações do cálculo de fase desenvolvidas. Assim
sendo, não se optou por uma busca extrema de tratamento de imagens de alta
precisão, pois, justamente a comparação dos erros e incertezas que são visíveis e
facilmente detectáveis é que justificará o desenvolvimento de equações de cálculo
usando muitas imagens. Essa temática será tratada no próximo capítulo.
165
CAPÍTULO V - ANÁLISE DE ERROS
5.1
Introdução do capítulo
Em quase todas as áreas da atividade humana há uma busca contínua e
ininterrupta por novos métodos, novos procedimentos que superem ou melhorem,
em certo sentido, aqueles já existentes. Assim é que, na agricultura, buscam-se
variedades mais adequadas e mais produtivas de cereais; no setor de transporte,
procuram-se motores de maior rendimento e de menor ruído; na Medicina procuramse drogas com maior poder de cura e o mínimo possível de efeitos colaterais; e na
Engenharia, criam-se métodos de medidas experimentais mais precisos e sujeitos e
menos erros e falhas.
Em todas essas situações, é preciso comparar as técnicas usuais com os
métodos alternativos. A comparação da eficiência de duas drogas, de dois métodos
de produção de aço, de dois procedimentos de laboratório ou, em geral, de dois
tratamentos é, pois, uma questão importante que surge frequentemente no trabalho
de pesquisa e desenvolvimento. A escolha entre dois tratamentos diferentes não é
uma tarefa tão simples como, a princípio, possa parecer. É necessário realizar
experimentos, coletar informações e fazer inferências a partir da evidência
experimental.
Tome-se o caso de duas terapias alternativas. Se todos os portadores de
determinada doença se comportassem de maneira idêntica em relação aos
tratamentos utilizados, bastaria examinar o comportamento de um, no máximo dois
deles, frente às alternativas existentes, já que a decisão sobre qual é o melhor deles
seria óbvia. Seria lógico, pois, inferir que nenhuma Análise Estatística seria
necessária. Tal, entretanto, não é o caso. A reação a um tratamento varia de
indivíduo para indivíduo e, via de regra, não há um tratamento ótimo para todos.
Como, em geral, não se conhece, a priori, a reação de cada indivíduo, prescreve-se
o tratamento que, em média, dá os melhores resultados (TRIOLA, 2008).
O procedimento para determinar qual de dois tratamentos é, em média, o
mais eficiente envolve a seleção de duas amostras e a comparação dos resultados
obtidos. Neste capítulo, discute-se como comparar a precisão média de duas
166
equações do cálculo de fase para variáveis quantitativas ou dicotômicas, com os
dados de forma emparelhados.
Uma forma bastante eficiente de se coletar dados para a comparação de dois
tratamentos consiste em medir o valor da variável de interesse em diversos pares de
amostras, tomando-se cuidado para que as características das amostras que
integram um mesmo par sejam tão semelhantes quanto possível. O tratamento é
administrado a somente um dos elementos do par. A esta amostra refere-se como
“tratamento”. A amostra que não recebeu tratamento, é denominada “controle”. A
vantagem do procedimento é clara: as amostras no par são idênticas, exceto no que
se refere ao tratamento recebido (TRIOLA, 2008).
Neste estudo, foram tiradas várias fotografias, pela Técnica Moiré de Sombra,
de um objeto com dimensões muito bem conhecidas, e cada imagem apresentou
uma defasagem arbitrária em relação às outras. Em vista disso, aplicaram-se, então,
as novas equações de cálculo para se obter o perfil do objeto. Assim, para a
equação com 4 imagens, foram usadas as quatro primeiras fotografias; para a
equação com 5 imagens usou-se as cinco primeiras fotografias (as quatro anteriores
mais uma); para as equações com 6 imagens, usaram-se as seis primeiras
fotografias (as cinco anteriores e mais uma), para as equações com 7 imagens,
usaram-se as sete primeiras fotografias (as seis anteriores e mais uma), e assim por
diante. Para cada nova equação do cálculo de fase testada, calculou-se o erro
médio que é a soma das diferenças entre as dimensões conhecidas do objeto e as
dimensões do objeto fornecido pela Técnica Moiré de Sombra em cada pixel. Com
este resultado, aplicou-se o teste estatístico de hipótese em inferência a partir de
amostras emparelhadas.
É interessante notar que na literatura internacional sobre a Técnica de Moiré o
erro é da ordem de micrometros ou nanômetros. No entanto, na montagem
experimental realizada neste estudo científico, que pretende medir objetos da ordem
de dez centímetros e utiliza um retículo com espaçamento de um milímetro, luz nãocolinear e placa de vidro e câmeras digitais comuns, o erro é da ordem de
milímetros, ou seja, um erro visível a olho nu e facilmente perceptível. Ressalta-se,
pois, que o importante no âmbito da tese ora defendida é comparar as novas
equações de cálculo, uma vez que essas novas equações do cálculo de fase podem
ser aplicadas a qualquer montagem da Técnica de Moiré, inclusive, nas de alta
precisão e de elevados custo financeiros.
167
A Figura 29 abaixo mostra alguns exemplos de ruídos em fotografias reais de
Moiré encontradas na literatura atualmente. Notam-se na figura os mais variados
tipos de defeitos, imperfeições, sujeiras e distorções nas fotografias obtidas em
ambientes extremos reais.
Figura 29 – Exemplo de ruídos e imperfeições de fotografias de Moiré.
Fonte: WALKER, 2004, p. 436-439.
168
Para se obter medidas nestes tipos de imagens, deve se utilizar um grande
número de técnicas de Processamento Digital de Imagens para contornar os efeitos
dos ruídos. Além disso, as etapas da Técnica de Moiré devem apresentar imunidade
aos erros na fotografia e não deixar com que as imperfeições se propagem ou sejam
aumentadas. Vale lembrar que em alguns casos a Técnica de Moiré é utilizada como
uma alternativa de medição onde outras técnicas fracassaram ou se tornaram
inviáveis.
Por outro lado, POST et al. (1994) cita medidas utilizando a Técnica de Moiré
com erro da ordem de nanômetros (10-9m), mas para isso uma serie de cuidados
deve ser tomada. Usa retículos da ordem de 10.000 linhas por milímetros
(linhas/mm) geradas por meio de microscópio eletrônico de varredura (SEM –
Scanning Electron Microscope). A luz visível é substituída por poderosas fontes de
raios X ou raios de nêutrons, sendo estes de ondas coerentes (aquela formada por
ondas de mesma frequência, fase e direção). Os objetos medidos são bem
pequenos (ordem de micrometros: 10-6m) e com superfícies bem comportadas (sem
grandes inclinações e continuamente suaves, aproximadamente superfícies
Lambertianas – refletem a luz em. uma única direção). Utilização de ambientes
especiais, sem vibrações, sem ruídos de som ou luz, com ar limpo e sem poeira
(câmeras emerticamente fechadas). Máquinas fotográficas de alta resolução acima
de 24 megapixéis acoplada a microscópios óticos.
5.2 Equipamentos utilizados nos experimentos
A escolha dos equipamentos foi efetuada da forma a aproveitar o que já
existe no Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, e concentrar os esforços
na parte de processamento das informações. A simplicidade dos equipamentos
também reflete a inexistência de projetos específicos, podendo o experimento ser
facilmente reproduzido em futuras aplicações.
São seis os principais componentes físicos deste experimento:
•
o projetor de luz estruturada;
•
o dispositivo de captura de imagens (câmera digital);
169
•
o sistema de processamento e armazenamento das informações;
•
objetos a serem medidos (devem ser brancos);
•
o retículo com listas verticais espaçadas de 1 mm;
•
micrômetro preso ao retículo com uma mola para alteração da fase.
Dezesseis fotografias foram tiradas com deslocamento de fase aleatório entre
elas, mas constante nas dezesseis imagens.
O arranjo utilizado para esse
experimento-exemplo foi o seguinte: da câmera fotográfica até o retículo de franjas a
distância foi de 1000 mm; da câmera fotográfica até a fonte de luz a distância foi de
250 mm.
O passo (pitch) utilizado foi de 1 mm, e antes de cada fotografia o retículo foi
cuidadosamente deslocada, ou seja, após ser retirada uma fotografia, o retículo foi
deslocada algumas frações de milímetros em direção à máquina fotográfica para a
segunda foto ser tirada. Esse mesmo deslocamento foi realizado para a obtenção
das outras fotos, o deslocamento é sempre o mesmo em cada conjunto de
dezesseis fotografias.
Visando uma melhora nos resultados obtidos, foi proposto um sistema para
calibração do sistema de medição. Inicialmente, foi pensado em se calibrar o
sistema através da medição de um plano. Após a aquisição dos valores de um plano
conhecido e sem deformidades (uma placa de vidro pintada de branco, por
exemplo), poder-se-ia corrigir os resultados obtidos na medição de outro objeto
qualquer (no caso, a medição do plano inclinado) através de um mapa de tendências
encontrado na medição do plano (desde que se utilizem as mesmas distâncias e
passo da medição do plano).
Através do plano inclinado foi realizada uma correção para os erros
sistemáticos encontrados no plano reto. Isso foi feito, pois os resultados encontrados
ao se medir o plano inclinado se apresentaram confiáveis e as imagens resultantes
da medição por Moiré de Sombra do plano inclinado tiveram melhor qualidade. Ou
seja, agora, a imagem conseguida do plano inclinado através da Técnica Moiré de
Sombra passa a ser o mapa de tendências. Após serem realizadas as devidas
correções com as tendências encontradas na medição do plano inclinado (que foi
utilizado como padrão), conseguiu-se uma melhora visível no resultado da medição.
O retículo de franjas foi confeccionada com o uso de uma transparência
afixada a uma placa de vidro. A placa de vidro tem 3 mm de espessura, com 260
170
mm de comprimento e 220 mm de altura. O vidro foi cuidadosamente limpo, ficando
sem arranhados ou trincas. Foi utilizada uma impressora de jato de tinta para a
impressão do retículo na transparência. O padrão de impressão utilizado foi o
fotográfico, com uma resolução equivalente a 1280 x 960 dpi. A transparência foi
então cortada no tamanho da placa de vidro, de forma que as franjas cobrissem todo
o vidro. Posteriormente, a transparência com o padrão de franjas foi afixado na placa
de vidro, evitando, ao máximo, a formação de bolhas de ar entre a placa e a
transparência. A fixação da transparência à placa de vidro foi feita através de papel
contact transparente colado nas laterais da transparência.
O passo de um retículo de Moiré é a distância entre os pontos
correspondentes nas barras (ou franjas) adjacentes, e a frequência de um retículo é
o número de barras por unidade de medida (POST et al., 1994), sendo utilizado,
neste caso, como unidade de medida, o milímetro. POST et al. (1994) descreve uma
relação entre a profundidade máxima a ser medida, o passo do retículo de Moiré e o
comprimento de onda da luz utilizada, dada na Equação 5.1. Através dessa equação
foi calculado o passo do retículo de Moiré, sendo ainda realizados cálculos para
diversos arranjos diferentes:
W = 5%.
p2
λ
(5.1)
onde:
W = profundidade máxima a ser medida.
p = passo (pitch) do retículo física em mm.
λ = comprimento de onda da luz utilizada em mm.
Utilizando uma média para o comprimento de onda da luz branca igual a
0,00055 mm, e uma profundidade máxima, para o objeto, de 100 mm, chegou-se a
um passo de 1,05mm. Para facilitar a construção do retículo foi, então, escolhido um
passo de 1 mm para a realização da medição. Esse valor foi escolhido baseado em
diversas medições realizadas anteriormente e com diversos padrões de franjas
diferentes. Com esse valor, conseguiu-se melhor qualidade das imagens. As barras
do retículo foram orientadas de forma vertical, em função do arranjo geométrico do
experimento, que utiliza a fonte de luz ao lado da câmera fotográfica.
171
Para escolha da câmera foram analisados os seguintes critérios: custo,
resolução, facilidade de controle e automação. A câmera escolhida foi a Cyber-shot
DSC-H1 da fabricante Sony, tendo apresentado uma boa relação custo benefício.
Esta câmera apresenta vários recursos óticos como ampliação da imagem (Zoom
até 12 vezes), flash ajustável, cartão de memória stick de 512 megabytes, equilíbrio
do branco, fotografias monocromáticas (branco/preto), focagem automática e disparo
de até 16 quadros (frames) em intervalos de tempo iguais. A câmera apresenta uma
resolução gráfica ajustável até o máximo de 5 megapixéis (2592 x 1944 = 5.038.848
pixéis). Na pesquisa por uma questão de tempo de processamento e memória
utilizada no disco rígido (Hard Disk – HD) não foi usada esta resolução máxima. A
máquina fotográfica tem alta sensibilidade ISO (unidade de medida da sensibilidade
que avalia a quantidade de luz que recebe um equipamento de captação de
imagem, com isso ela grava uma imagem clara mesmo quando filma num local
escuro). Além disso, a máquina tem obturador de alta velocidade, assim objetos em
movimentos aparecem parados na fotografia e gera arquivos de imagens em vários
formatos (Bitmap [.bmp]) e em conformidade com as normas universais DCF (Design
rule for Camera File system) estabelecidas pela JEITA (Japan Electronics and
Information Technology Industries Association). Todas estas características são
vantajosas e facilitam a realização dos experimentos.
A escolha da fonte de luz para aplicações da Técnica de Moiré envolve três
principais variáveis: o comprimento de onda da luz, a área da região de emissão da
fonte de luz e a potência utilizada. Foi utilizada, nos experimentos deste estudo, uma
fonte Fiber Optic da Strainoptic Technologies, Inc. de luz branca de 300 watts de
potência. O aparelho produz brilho de até 1500 ANSI lumens.
Esta pesquisa só foi viabilizada graças ao equipamento desenvolvido no
Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas. Este equipamento consiste de um
micrômetro preso a uma mola. Com este micrômetro é possível alterar, com grande
precisão, a fase em cada imagem, deslocando o retículo algumas frações de
milímetros.
A Figura 30, a seguir, ilustra a montagem desenvolvida:
172
Figura 30 – Equipamento para deslocamento de fase.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Na montagem, o micrômetro foi desmontado na haste de medição e fixado a
uma mola presa no retículo. A operação desse equipamento é bem simples, uma
vez batida uma fotografia, ajusta-se o micrômetro, de forma a se deslocar o retículo
algumas frações de milímetros, alterando a fase das Franjas de Moiré e, em
seguida, uma nova fotografia é realizada. Esse equipamento apresentou grande
precisão a um custo muito baixo.
O sistema de processamento de dados consiste de um microcomputador do
Laboratório de Análise Estrutural com o MatLab® 6.5. Após a aquisição das
imagens, todo o trabalho de processamento das mesmas foi realizado a partir de um
software criado sob a plataforma MatLab®, especificamente, para o propósito do
trabalho. Após as fotos adquiridas já terem sido descarregadas no computador,
pode-se dividir o processamento em 7 etapas:
1
transformação das fotos em tons de cinza;
2
filtros iniciais das imagens (filtro Passa Baixo e filtro Gaussiano);
3
cálculos das fases (usando as novas equações desenvolvidas);
4
passagem da fase de [0; π/2] para [-π; π];
5
algoritmos de desempacotamento (remoção do salto de fase);
6
cálculo do perfil (profundidades em milímetros);
7
visualização em 3-D e armazenamento das medições.
O programa computacional em MatLab® usado era sempre o mesmo, apenas
na etapa 3 é que se alterava o procedimento, pois eram utilizadas várias equações
do cálculo de fase diferentes, que foram desenvolvidas no Capítulo III. As fotografias
que foram capturadas de forma colorida, foram agora transformadas em 256 níveis
173
de cinza (8bits). As fotografias, quando em tons de cinza, apresentam valores de
pixéis que variam de 0 (preto) a 255 (branco). A ideia de transformar as imagens em
tons de cinza ajuda a economizar tempo de processamento, sem prejudicar a
qualidade do resultado de medição.
Nesse software desenvolvido, entra-se com as imagens das Franjas de Moiré
com uma dada resolução gráfica, número de pixéis na horizontal e na vertical. Todas
as imagens devem ter a mesma resolução gráfica e a diferença é apenas a fase de
cada imagem. O programa retorna para cada pixel um valor Z(x,y), que representa a
medida da profundidade em milímetros do objeto até o retículo (Figura 31). A
visualização em 3-D é simplesmente um gráfico onde x,y são a resolução da
imagem, e Z é a profundidade obtida por meio do processamento das fotografias.
Usou-se o MatLab® com o intuito de fazer uma programação bem simples e
didática, e que pudesse ser utilizada em outros projetos.
Figura 31 – Fluxograma do processamento da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de
Fase.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Uma vez obtidos os valores de Z(x,y) para cada pixel, essas medidas são
comparadas com um valor que se admite como sendo o valor exato do perfil do
objeto Ze(x,y). Esse valor é obtido por meio de medições mecânicas, usando
paquímetros e interpolado para se obter o valor exato em cada posição dos pixéis
das imagens. A princípio, os objetos têm dimensões conhecidas e formatos bem
simples (como cilindros, esferas, etc.). Uma interpolação numérica polinomial é
realizada apenas para se determinar essas dimensões na posição em cada pixel da
174
imagem. É óbvio que algum erro vai ocorrer nesse processo, mas acredita-se que
esse erro seja muito menor que o erro das medidas de perfil obtidas pela Técnica de
Moiré. Calcula-se, então, o erro médio, usando a Equação 5.2 abaixo.
Mx My
∑∑ Z
Erro Médio ( E ) =
i =1 j =1
M
− Z ie, j
i, j
Mx My
∑∑1
=
∑Z
i =1
i
− Z ie
(5.2)
M
i =1 j =1
onde:
Mx é o número de pixéis na horizontal da imagem;
My é o número de pixéis na vertical da imagem;
M=(Mx My) é o número total de pixéis da imagem;
Z é o valor medido pela Técnica de Moiré por meio das fotografias;
Ze é o valor de referência tido como correto do perfil do objeto medido.
Nota-se que a ideia é comparar as novas equações do cálculo de fase, e que
para todas elas se usou o mesmo programa computacional com os mesmos valores
de Ze para cada objeto medido. Várias resoluções gráficas de imagens foram
utilizadas dos experimentos até o limite de 5 megapixéis da câmera digital utilizada.
5.3
Equações de cálculo a serem testadas
Uma vez que a quantidade de equações obtidas no Capitulo III é muito
grande (mais de 200 equações), optou-se por escolher algumas para teste e Análise
Estatística. As equações seguem o padrão da Equação 3.18. As seguintes equações
do cálculo de fase foram selecionadas (Tabelas 8,9 e 10):
TABELA 8
Equações com número de imagem (N) igual á 4 e 5
N = 4
Num
-1
2
3
-2
-6
3
a)
N = 5
2
-2
2
-1
-1
Dem
-1
1
1
Num
-1
0
4
0
0
0
0
-8
0
4
0
2
0
a)
Dem
-1
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
0
0
-1
-1
175
TABELA 9
Equações com número de imagem (N) igual á 6,7,8,9,10,11 e 12
N=6
Num -1
0
3
a)
Dem -1
N=7
N=8
0
-1 1 0 2
1 -1 -6 0
0 0 -1 1
0 1 -1
3 0
-1
1 1 0 -1
-1
0
0
0
0
3 2
-6 -8
-4 -6
0 0
2 6
4
Dem -1 -1
1
2
1
Num -1
1
0
1
0 0 -1
-2 2 0
1 -1 -2
1 -2 -1
1 1
1
0
-2
0
2
-2
0
1
0
1
Dem
-1
2
2
3
0
-3
-2
-1
-1
-1
0
1
0
0
1
0
Num -1
2
0
-1 1
-3 1
5 -5
1
0
0
0
0
0
-1
-1
5
-2
0
1
1
3
-10
5
0
-5
5
2
a)
Dem -1
1
0
-1
-1
0
N = 10 Num -1
0
1
1
0
0
0 0 0
-1 0 0
0 -1 1
1 1 -1
1 -2
1
0
1
0
-2
-1
1
1
a)
Dem -1
0
1
0
0
0
0
N = 11 Num -1
0
1
-1 -2
0 0
2 2
1
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
0
-4
0
2
a)
Dem -1
0
0
-1
1
2
1
N = 12 Num -1
0
1
1
0
0
0 0
-1 0
0 -1
1 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
-1
-2
1
0
0
0
a)
Dem -1
0
1
0
0
2
0
2
1
b)
Num -1 -2 -3
4 6
2
a)
a)
N=9
-1
0 0
-2 -4
-2 -2
1 2
2
-1
1
1
0
-1
2
6
-5
-6
0
0
0
0
0
5
6
0
0
0
-2
-12
6
0
-6
6
-1
2
0
-1
0
0
1
0
-1
-1
0
4
-1
0
2
-2
5
0
-5
2
-1
-1
-2
1
1
-1
0
2
0
0
0
0
-1
1
1
0
1
-1
-2
1
0 0
0 -4
0 0
-1 1
1 -1
0 0
2
-2 2
0 -2
3 1
-1 -1
0 0
1 1
-3 -1
0 2
-1
1 -1
-1
1
0
0
1
0
-1
2
0
-1
-2
6
0
0
-6
0
0
0
0
0
0
0
0
6
0
0
0
1
2
-12
6
0
-6
6
-1
-1 0 2
0 -2 0
0 0 -1
0 1 0
1 0 0
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0 0 1
1 0
-1
1 0 -1
-2
0
-1
2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
b)
2 0 2
0 -8 0
2 0 2
-1 0 -2
4 0
-1
1 0 -1
1
6
6
1
-1
-1
0
0
0
1
3
1
0
0
0
c)
0
-2 2
0 -2
2 1
0 0
0 0
0 0
-2 -1
0 2
-1
1 -1
-1
0
-1
0
1
-1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0 1 0
-1 0 -2
-1 -2 0
-2 -1 -1
0 0 -1
0 0 1
1 1 1
1 0
1
2 2
-2 2
-6 0
0 0
6 0
1 -2
-1
-1 -1
0
0
0
0
0
-6
-10
0
5
1
2
1
-1
0
2
0
0
1
0
-2
0
0
0
2
0
0
0
0 0
0 -4
-2 0
0 2
0 -2
1 0
2
-1
0
1
0
0
1
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-1
-1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
d)
0
0
0
0
0
0 2 2
-2 -2 -2
-6 -8 -2
-2 -6 -2
0 0 0
1 6 2
4 2
1
-1
0
1
2
1
0
-1
-1
0
2
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
-1
-2
1
0
1
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-4
0
1
0
0
-1
0
2
0
1
0
0
0
0
1
0
-1 -2
1
0
2
1
0
-2
2
2
0
2
2
-2
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
0 0 0 2 2
-2 2 -2 -2 2
-2 -2 -2 -2 0
2 -4 -2 2 0
-4 2 -2 -2 0
0 0 0 0 0
2 -2 2 2 0
2 2 -2 0
1 2 0
1 -2
-1
0 0 1 -1 -1
2
0
1
0
0
0
0
-1
0
-1
-1
c)
0
0
-1
-1
0
1
-1 -1
-1 0
2 3
1
0
1
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0 1
-1 0
0 -3
0 -2
-4 0
0 0
2 0
1
1
1
-4
-3
0
0
0
3
2
0
-2
1
0
-1
0
1
0
-1
1
0
0
-1
1
2
1
-1
0
0
-1
0
1
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0 0
0 0
0 0
-1 1
1 -1
1 -2
1
0
0
0
0
-2
-1
1
1
0
1
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
2
0
1
1
0
0
0
-1
-1
0
-1
-1
c)
-1 -1
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0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 -1 0
0 0 1
1 0
-1
1 0 -1
0
2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
2
6
1
1
0
0
-2
2
4
1
-1
1
-2
1
0
b)
-1
e)
0 -2 2
0 2 -2
-8 0 0
4 0 0
-1 2
-1
0 1 -1
-1
0
-1
0
0
4
0
6
5
d)
-1 -1
2
-1
1
0
b)
-1 -2
1
-1
0
-1
0
-2 2 -2 2
-2 2 -2 -2
2 -4 2 2
2 -2 -2
1 2
-1
0 0 1 -1
-1 0 0 2
0 -1 0 0
0 -6 -1 0
0 0 0 -1
0 0 0 1
3 1 0
0 0
-1
1 0 0 -1
c)
2
0 0 -1 0 2
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1 0 0 0 -1
0 -2 0 1 0
0 0 1 0 0
-1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 0 -1 0 0
1 0 -1 0
0 0 1
1 0
-1
0 0 1 0 -1
2
2
-1
0
1
-2
-1
-1
2
-1
2 1 0 2
0 0 -2 0
-2 -4 0 1
-2 -2 0 2
0 0 -2 0
0 0 0 0
0 0 2 0
1 2 0 -2
2 0 -1
1 0
-1
-1 0 0 -1
1
1
0
-1
-1
2
0
-6
0
6
0
-1
2
1
d)
-1
-6
-12
0
6
1
b)
-1
0
0
0
0
c)
1
-1
1
-1
1
b)
-2
0
-1
c)
0
b)
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
0
0
0
-1
-1
176
TABELA 10
Equações com número de imagem (N) igual á 13,14,15 e 16
N = 13 Num
-1
2
1
-2
0
2
a)
-2
0
0
2
0
-1
0
-2
2
1
1
-1
-1
-2
-1
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
1
1
2
2
0
-1
0
1
0
2
-4
2
0
-2
2
2
0
0
-4
2
1
0
-1
-2
2
2
0
-4
0
0
1
0
-1
0
0
2
-2
-2
0
0
1
-1
0
1
-1
0
0
1
2
-2
2
2
0
-1
0
1
0
-2
-2
2
-1
-1
Dem
-1
1
0
-1
0
0
2
0
0
-1
0
1
N = 14 Num
-1
0
1
1
0
0
0
-1
0
-1
0
0
1
0
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
-1
1
1
0
0
0
0
1
-1
-2
1
0
0
0
1
0
-2
-1
1
1
0
0
-1
0
-2
0
1
-1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
0
-1
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
-2
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
1
a)
-1
2
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-1
-1
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
N = 15 Num
-1
-2
2
-1
1
1
1
-2
1
1
0
-1
-1
2
2
0
0
2
2
-2
-1
0
0
0
-2
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-1
0
-2
0
1
0
0
-2
-2
2
2
0
0
0
-1
0
1
1
-2
-4
2
-1
0
1
-2
2
-1
2
-1
-2
-2
-2
2
0
-2
2
2
1
1
-1
-2
-1
1
-2
0
0
0
2
-1
1
1
2
-4
-1
2
1
0
0
0
0
0
-1
-2
1
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
-1
Dem
-1
-1
1
-1
-2
2
0
0
2
2
0
-2
1
-2
1
0
0
-2
-1
-2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
2
-2
0
1
0
2
-1
2
-2
2
0
-2
1
0
0
-2
-4
2
1
0
-1
-2
2
1
2
-4
-2
-1
2
0
-2
1
2
2
-2
0
2
0
2
0
0
0
-2
0
-2
0
b)
Dem
a)
2
0
-1
1
0
-1
0
0
2
0
0
-1
0
1
-1
0
1
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
2
0
0
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
1
-2
0
1
-1
0
0
0
0
0
0
-2
0
0
2
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
1
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
-1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
1
1
0
0
0
-1
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
-1
1
1
0
0
0
0
0
1
-1
-2
1
0
0
0
0
1
0
-2
-1
1
1
0
0
0
0
0
-2
0
1
-1
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
0
1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
b)
2
2
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
-2
-1
-1
N = 16 Num
a)
Dem
2
-2
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
2
-1
-1
-1
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
-1
-1
2
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-1
-1
Fonte: Resultados da pesquisa.
Essas equações foram escolhidas por usarem uma quantidade de imagens
(N) até de 16 e pelos valores dos coeficientes serem pequenos. Uma questão
interessante é que as equações designadas com (a) foram geradas pela regra do
programa computacional em Linguagem Pascal da Figura 45 do Apêndice D. Esta
rotina tem como entrada com o valor de N e como saída a matriz de coeficientes do
numerador (Por exemplo - Num:TMATRIX=array [1..4000, 1..4000] of integer) e o
vetor de coeficientes do denominador (Por exemplo - Dem:TVECTOR=array
[1..4000] of integer). As equações geradas por esse programa foram testadas
matematicamente para N, variando de 4 até 90.000.064 (90 milhões) de imagens.
Para cada valor de N, as equações geradas foram testadas mais de 10.000 vezes
com índice de acerto superior a 99,9% e precisão numérica (diferença) entre a fase
(φ) gerada aleatoriamente e a fase calculada, usando as novas equações de 10-6. Os
referidos testes são descritos na Seção 3.8.1.
177
5.4
Inferências a partir de amostras emparelhadas
Faz-se importante apresentar um resumo das Inferências Estatísticas sobre
amostras emparelhadas. Mais detalhes sobre o tema podem ser encontrados em
TRIOLA (2008). A intenção é mostrar qual teste estatístico foi realizado e como foi
aplicado.
No âmbito de pesquisas, com muita frequência, tem-se que tomar decisões
acerca de populações baseadas em informações de amostras. Tais decisões são
denominadas “decisões estatísticas”. Assim, pode-se decidir, com base em dados
amostrais, se um novo soro é realmente eficaz na cura de uma doença, se um
processo educacional é melhor do que outro, se certa moeda é viciada etc.
Ao se tentar chegar a decisões, é conveniente a formulação de hipóteses ou
de conjecturas acerca das populações interessadas. Essas suposições, que podem
ser ou não verdadeiras, são denominadas hipóteses estatísticas e, em geral, são
afirmações acerca das distribuições de probabilidade das populações. Em alguns
casos, formula-se uma hipótese estatística com o único propósito de rejeitá-la ou
invalidá-la.
Admite-se uma hipótese particular como verdadeira, se verificar que os
resultados observados em uma amostra aleatória diferem acentuadamente dos
esperados para aquela hipótese. Com base na probabilidade simples mediante a
utilização da teoria da amostragem, pode-se concluir que as diferenças observadas
são significativas, e ficar-se inclinado a rejeitar a hipótese (ou, pelo menos, a não
aceitá-la com base nas provas obtidas). Os processos que habilitam a decidir se
aceita ou se rejeita as hipóteses, ou a determinar se as amostras observadas
diferem, de modo significativo, dos resultados esperados, são denominados testes
de hipótese ou de significância, ou regras de decisão.
A “distribuição t” de Student é um modelo de distribuição contínua que se
assemelha à distribuição normal padrão, sendo utilizada para Inferências
Estatísticas, particularmente, como já foi dito, quando se tem amostras com
tamanhos inferiores a 30 elementos. O nome t de Student tem origem no seu
descobridor William Gosset (1876 - 1937), que era empregado da cervejaria
Guinness e precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas
amostras. Como a cervejaria irlandesa para a qual ele trabalhava não permitia a
178
publicação de resultados de pesquisa, Gosset publicou-os com o pseudônimo de
“Student”, durante a primeira parte do século XX.
Amostras pareadas são consideradas em planejamentos nos quais são
realizadas duas medidas na mesma unidade amostral, ou seja, dados pareados,
onde a unidade é o seu próprio controle. Refere-se a observações pareadas,
também, como amostras dependentes. O teste apropriado para a diferença entre
médias de amostra pareadas consiste em determinar, primeiro, a diferença entre
cada par de valores e, então, testar se as médias das diferenças são iguais a zero.
O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número
de valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os
valores. Para as aplicações da distribuição, o número de graus de liberdade é
simplesmente o tamanho da amostra menos um – graus de liberdade = n – 1.
A região crítica (ou região de rejeição) é o conjunto de todos os valores da
estatística de teste que faz rejeitar a hipótese nula.
O nível de significância (representado por α) é a probabilidade de a estatística
de teste cair na região crítica, quando a hipótese nula for realmente verdadeira. Se a
estatística de teste cair na região crítica, rejeita-se a hipótese nula, de modo que α é
a probabilidade de cometer o erro de rejeitar a hipótese nula, quando ela é
verdadeira.
Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica (onde se rejeita a
hipótese nula) dos valores da estatística de teste que não levam à rejeição da
hipótese nula. Os valores críticos dependem da natureza da hipótese nula, da
distribuição amostral que se aplica e do nível de significância α.
O valor P (ou valor p ou valor de probabilidade) é a probabilidade de se obter
um valor da estatística de teste que seja, no mínimo, tão extremo quanto aquele que
representa os dados amostrais, supondo que a hipótese nula seja verdadeira. A
hipótese nula é rejeitada, se o valor P for muito pequeno, tal como 0,05 ou menos.
As caudas em uma distribuição são as regiões extremas limitadas pelos
valores críticos. No teste bilateral, a região crítica está nas duas regiões extremas
(caudas) sob a curva.
Ao se testar uma hipótese nula, chega-se à conclusão de rejeitá-la ou não
rejeitá-la. Tanto a primeira quanto a segunda opção pode ser às vezes correta ou às
vezes errada (mesmo quando se faz tudo certo). Distingue entre os dois tipos de
179
erro, chamando-os de “erros tipo I” e “erros tipo II”. O erro tipo I é o erro de se
rejeitar a hipótese nula quando ela é, de fato, verdadeira. O símbolo α (alfa) é usado
para representar a probabilidade de um erro tipo I. No erro tipo II é o erro de se
aceitar a hipótese nula quando ela é, de fato, falsa. O símbolo β (beta) é usado para
representar a probabilidade de um erro tipo II.
O poder de um teste de hipótese é a probabilidade (1-β) de se rejeitar uma
hipótese nula falsa, que é calculada usando-se um nível de significância particular α
e um valor particular do parâmetro populacional que seja uma alternativa ao valor
assumido na hipótese nula. Isto é, o poder de um teste de hipótese é a probabilidade
de se apoiar uma hipótese alternativa verdadeira.
Podem-se testar afirmativas sobre parâmetros populacionais, usando o
método do valor P, através dos passos:
• identifique à afirmativa ou hipótese específica a ser testada, e expresse-a em
forma simbólica;
• dê a forma simbólica que tem que ser verdadeira, quando a afirmativa original
é falsa;
• das duas expressões simbólicas obtidas até agora, faça da que não contém a
igualdade a hipótese alternativa H1, de modo que H1 use o símbolo < ou > ou
≠. Deixe a hipótese nula H0 ser expressão simbólica que iguala o parâmetro
ao valor fixo sendo considerado;
• selecione o nível de significância α baseado na gravidade do erro tipo I. Faça
α pequeno, se as consequências de se rejeitar uma H0 verdadeira forem
graves. Os valores 0,05 e 0,01 são muito comuns;
• identifique a estatística de teste relevante para esse teste, e determine a
distribuição amostral (tal como T-Student);
• ache a estatística de teste e o valor P. Desenhe um gráfico e mostre a
estatística de teste e o valor P;
• rejeite H0, se o valor de P for menor do que ou igual ao nível de significância.
Deixe de rejeitar H0, se o valor de P for maior que o nível de significância α;
• expresse a decisão anterior em termos simples e não-técnicos, remetendo à
afirmativa original.
A hipótese nula deve expressar igualdade e a hipótese alternativa não pode
incluir igualdade, de modo que se tem: H0:µd=0 versus H1:µd≠0. Onde dj são as
180
diferenças individuais entre os dois valores em um único par (Tabela 11); µd é o valor
médio das diferenças dj para a população de todos os pares; n é o número de pares
de dados.
TABELA 11
Estrutura dos dados de uma amostra pareada
UNIDADE
AMOSTRAL
1
2
.
.
n
Média
Desvio padrão
1ª MEDIDA
(antes)
x11
x21
.
.
xn1
x1
s1
2ª MEDIDA
(depois)
x12
x22
.
.
xn2
x2
s2
Diferença entre as
medidas
d1
d2
.
.
dn
d
sd
Fonte: TRIOLA 2008
onde:
n
∑x
xj =
i =1
1j
+ x 2 j +L+ x nj
n
(5.3)
e
n
∑ (x
i =1
sj =
ij
− x j )2
n −1
(5.4)
sendo j=1 para a 1ª medida e j=2 para a 2ª medida.
n
∑d
d =
i =1
1
+ d 2 +L+d n
n
(5.5)
e
n
∑ (d
sd =
i =1
i
− d )2
n −1
(5.6)
Considerando que as medidas tenham distribuição normal, a diferença entre
elas também terá distribuição normal. Portanto, as distribuições t são apropriadas
181
para testar a hipótese nula de que a média das diferenças é igual a zero. Os graus
de liberdade são o número de unidades amostrais menos um e a estatística utilizada
para testar a hipótese de que não existe diferença entre as condições antes e
depois, é:
λ=
d −0
sd / n
=
d
sd / n
(5.7)
Se λ > t n−1,α / 2 ou λ < −t n −1,α / 2 , rejeita-se a hipótese nula, ou seja, existe
diferença significativa entre as condições antes e depois. Se − t n −1,α / 2 ≤ λ ≤ t n −1,α / 2 ,
não se rejeita a hipótese nula, ou seja, a amostra não fornece evidência estatística
de diferença entre as condições antes e depois.
Em Estatística, e especificamente no campo dos testes de hipóteses, o valor
P, ou também valor-p ou ainda P-valor, é a probabilidade de que a amostra podia ter
sido tirada de uma população sendo testada, supondo que a hipótese nula seja
verdadeira. Um valor de 0,05, por exemplo, indica que existe uma probabilidade de
5% de que a amostra que está a testar possa ser tirada, supondo que a hipótese
nula é verdadeira. Valor P próximo de 0 é um indicador de que a hipótese nula é
falsa. Com o valor P próximo de 1 não há evidência suficiente para rejeitar a
hipótese nula. Normalmente, considera-se um valor P de 0,05 como o patamar para
avaliar a hipótese nula. Se o valor P for inferior a 0,05 pode-se rejeitar a hipótese
nula. Em caso contrário, não se tem evidência que permita rejeitar a hipótese nula (o
que não significa automaticamente que seja verdadeira). Em situações de maior
exigência é usado um valor P inferior a 0,05.
Em Estatística, um resultado é significante, se for improvável que tenha
ocorrido por acaso, caso uma determinada hipótese nula seja verdadeira, mas não
sendo improvável caso a hipótese base seja falsa. Mais concretamente, no teste de
hipóteses com base em frequência estatística, a significância de um teste é a
probabilidade máxima de rejeitar acidentalmente uma hipótese nula verdadeira (uma
decisão conhecida como erro de tipo I). O nível de significância de um resultado é
também chamado de α e não deve ser confundido com o valor P (p-value), que é
igual a 1 − β e é chamado “poder do teste”. Por exemplo, pode-se escolher um nível
de significância de 5%, e calcular um valor crítico de um parâmetro (por exemplo, a
182
média), de modo que a probabilidade de ela exceder esse valor, dada a verdade da
hipótese nula, ser 5%. Se o valor estatístico calculado (ou seja, o nível de 5% de
significância anteriormente escolhido) exceder o valor crítico, então é significante "ao
nível de 5%".
Se o nível de significância (ex: 5% anteriormente dado) é menor, o valor é
menos provavelmente um extremo em relação ao valor crítico. Deste modo, um
resultado que é "significante ao nível de 1%" é mais significante do que um resultado
que é significante "ao nível de 5%". No entanto, um teste ao nível de 1% é mais
susceptível de padecer do erro de tipo II do que um teste de 5% e, por isso, terá
menos poder estatístico. Ao divisar um teste de hipóteses, o técnico deverá tentar
maximizar o poder de uma dada significância, mas, ultimamente, tem de reconhecer
que o melhor resultado que se pode obter é um compromisso entre significância e
poder, em outras palavras, entre os erros de tipo I e tipo II.
Na tese, vai-se usar a comparação de duas médias com dados
emparelhados. A ideia é comparar duas equações do cálculo de fase diferentes
através da comparação do erro médio – Equação (5.2) – de vários conjuntos de 16
imagens de Franjas de Moiré tiradas de objetos com as dimensões conhecidas. O
uso de dados emparelhados se deve ao fato das mesmas imagens serem usadas
em ambas as equações do cálculo de fase e, por este tipo de teste, exigir uma
quantidade de amostra menor.
A média teórica das diferenças dos erros médios dos diversos conjuntos de
16 imagens, µd, representa o ganho de precisão de uma equação de cálculo em
relação à outra. Está interessado em saber se µd é ou não igual a zero? Essa
decisão é tomada através do teste das hipóteses H0:µd=0 versus H1:µd≠0. A hipótese
nula H0 deve ser rejeitada para um nível de significância α=5%. Ou seja, se o valor P
for menor que 5%, deve-se rejeitar a hipótese na qual H0:µd=0 ou H0:µ1=µ2. Com
isso, conclui-se que uma equação do cálculo de fase é melhor ou mais precisa que a
outra. Se o valor P for maior ou igual a 5%, deve-se aceitar a hipótese na qual
H0:µd=0 ou H0:µ1=µ2. Com isso, conclui-se que as duas equações de cálculo têm a
mesma precisão ou o mesmo erro médio na aplicação da Técnica de Moiré.
Como alternativa, sob a suposição de simetria da distribuição dos dados,
pode-se utilizar o teste não paramétrico conhecido na literatura como teste de
Wilcoxon. Na ausência da suposição de normalidade, e assumindo que os dados
183
são provenientes de uma distribuição simétrica, uma alternativa ao Teste T-Student
é o Teste de Wilcoxon. Em problemas reais, quando não é razoável supor que os
dados são provenientes de uma distribuição simétrica ou normal, pode-se recorrer
ao Teste do Sinal como alternativa aos Testes T-Student e Wilcoxon. Vale lembrar
que, na prática, em geral, é mais fácil garantir a simetria do que a normalidade, o
que torna o teste de Wilcoxon uma boa alternativa não paramétrica ao Teste T-
Student. Nesta pesquisa, como se trata de comparação de médias de medidas
métricas, a suposição de normalidade parece bem razoável e, por isso, optou-se
pelo Teste T-Student.
5.5
Experiências com cilindros sólidos
Para testar as novas equações do cálculo de fase, foram realizados 21
conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias, mas
constantes no deslocamento de fase. O objeto usado era um semi-cilindro metálico
pintado de branco com 12 centímetros de comprimento e 6 centímetros de diâmetro.
Foram tiradas fotografias de um megapixel (Figura 32). Utilizou uma resolução de
1.228.800 pixéis (1280x960), uma vez que se vai fazer um estudo comparativo e
com isso se obteve um tempo de processamento bem menor com menos memória
utilizada.
Para cada conjunto de 16 imagens, aplicou-se o programa em MatLab® para
se medir o perfil do objeto. Quanto se roda o programa implementando uma
equação que utiliza 4 imagens, as primeiras quatro imagens de cada conjunto são
usadas. Quando se executa o programa implementando uma equação que utiliza 5
imagens, as primeiras cinco imagens (as 4 anteriores e mais uma) de cada conjunto
são usadas, e assim por diante até as equações que utilizam as 16 imagens do
conjunto.
Para cada conjunto de imagem, toda a montagem era novamente preparada,
com ajustes mecânicos e um novo processo de medição era executado. Com isso,
era zerado o micrômetro e um novo passo com deslocamento de fase era escolhido.
Em seguida, era novamente acertada a verticalidade do retículo e realizadas novas
184
medidas da distância entre a fonte de luz e a câmera fotográfica, e da distância
perpendicular entre a câmera e o retículo.
A montagem atrás do retículo permanecia intacta, para que não se alterasse o
objeto medido, e para que se pudessem usar os mesmos dados de referência das
dimensões medidas mecanicamente com um paquímetro, e interpolada nas
posições de cada pixel da imagem do objeto nos 21 conjuntos de 16 frames
analisados.
Especial cuidado foi tomado no deslocamento de fase, de modo a tornar
constante o passo de fase entre as 16 imagens de um conjunto. O passo ser
constante é de fundamental importância e garante a correta aplicação da Técnica
Moiré de Sombra com a generalização do Algoritmo de Carré. Deve-se lembrar que
o deslocamento de fase pode ser aleatório, mas uma vez definido seu valor, deve
ser constante nas 16 imagens, não devendo variar entre as fotografias tiradas. Daí a
importância do equipamento desenvolvido com o micrômetro que possibilita uma
ótima precisão nesse processo. Sugere-se que, em futuros trabalhos, este
deslocamento de fase seja realizado eletronicamente em vez de mecanicamente,
como nesta pesquisa.
185
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
Figura 32 – Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [A-P]. Fase
empacotado[Q]. Fotografia do cilindro real de branco [R]. Resultado em 3-D [S].
(Semi-cilindro com diâmetro de 6 cm e comprimento de 12 cm).
Fonte: Resultados da pesquisa.
186
TABELA 12
Erro médio em µm dos 21 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.
Erro
Médio
em µm
Nú
mer
o F
de ór
m
ul
Ima as
gen
s
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
a 1006 1011 1018 1028 1014 1017 1015 1006 1010 1004 1008 1010 1033 1006 1033 1001 1015 1003 1031 1026 1022
a 969 978 967 976 998 999 972 989 990 981 981 994 999 986 994 999 984 994 995 982 999
a 950 961 946 939 963 948 949 955 949 953 955 961 965 940 937 939 943 949 962 940 946
b 942 955 959 937 938 945 962 959 966 946 962 951 957 949 952 939 961 962 936 940 938
c 962 958 962 964 946 964 938 964 949 941 964 952 960 963 943 939 949 956 946 938 963
d 941 942 967 946 959 953 959 936 935 940 943 941 961 951 956 942 939 957 953 951 938
e 949 966 939 936 936 962 966 963 948 940 964 935 943 942 952 956 937 944 953 937 956
a 910 931 905 902 914 909 923 918 910 904 918 933 924 919 913 930 926 932 913 932 916
b 912 912 924 910 925 924 919 914 922 921 913 900 928 915 921 926 926 920 909 905 919
c 926 910 926 912 922 905 921 913 911 910 919 902 912 915 926 907 908 904 906 920 912
d 916 922 917 910 925 932 904 923 906 912 912 922 925 914 929 932 905 904 909 903 921
a 867 870 882 895 895 871 875 885 883 877 878 887 887 884 880 878 899 892 895 883 890
b 877 872 898 900 871 873 900 887 898 870 898 892 867 887 898 889 877 897 890 869 898
c 878 871 888 872 876 882 883 885 870 886 894 868 891 874 871 887 878 878 893 896 898
d 881 880 892 882 882 886 899 867 875 892 884 878 873 886 869 894 882 893 873 871 883
a 846 842 841 841 848 834 837 854 852 847 864 863 858 860 862 866 838 847 851 857 856
b 860 851 850 844 834 863 857 847 834 847 853 862 865 850 843 838 852 850 848 840 849
c 862 854 852 858 856 852 838 834 857 855 862 837 852 833 837 857 848 834 863 837 841
a 814 833 832 817 807 802 816 820 832 806 825 812 830 827 819 816 805 831 825 823 802
b 824 828 805 823 808 816 811 803 805 826 821 821 805 827 815 813 800 809 818 821 832
c 803 812 823 815 828 821 812 820 811 829 828 801 815 810 822 815 819 801 818 828 833
a 782 777 790 781 781 772 780 782 776 794 799 788 793 795 793 783 788 778 783 780 785
b 783 795 775 797 788 793 773 768 780 768 785 771 776 789 800 787 771 795 782 782 783
c 776 775 790 768 790 776 771 792 791 792 793 785 774 774 797 781 772 781 772 799 799
a 742 763 737 766 745 764 760 749 734 744 758 747 753 747 749 751 754 754 748 748 739
b 754 740 742 740 753 741 748 755 741 740 750 744 750 745 758 734 763 748 763 760 744
a 716 729 708 708 714 710 727 702 703 726 730 719 704 729 731 715 727 731 731 711 720
b 731 724 718 718 711 731 710 712 702 702 711 714 724 722 705 722 731 732 704 728 731
a 668 696 673 698 693 695 683 681 677 672 671 672 687 691 672 681 688 695 677 669 686
b 691 673 686 696 696 669 676 691 681 679 682 696 690 688 695 670 671 674 692 674 672
a 667 656 661 659 679 683 669 666 681 657 659 677 683 654 657 676 665 671 653 660 672
a 623 623 637 630 629 621 629 621 649 647 617 649 640 617 642 631 626 649 633 627 641
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência
que representa as medidas corretas do cilindro, usando-se a Equação 5.2 para se
calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo
selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 12. O passo seguinte é
calcular o valor P dos 21 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes
equações selecionadas e mostradas na Tabela 13.
187
TABELA 13
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas.
Valor
P
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de
Cálcul
o de
Fase
4
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
4
5
a
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 92%
6 c 0% 0% 23% 30%
d 0% 0% 49% 47% 10%
e 0% 0% 68% 62% 14% 83%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 75%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 16% 11%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55% 70% 31%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 41%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 57% 25%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 61% 18% 99%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 53% 80%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 38%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 69% 59%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
11 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 53%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 57% 89%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
12
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
13
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
14
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0%
0% 47%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 90%
0%
0% 0%
0%
0% 0%
0% 0% 74%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar, na Tabela 13, que o valor P, quando comparado a
equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar-se a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações
com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que
se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm
precisão semelhante.
188
5.6
Experiências com esferas sólidas de metal
Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos
19 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,
mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi uma semi-esfera
metálica pintada de branco com 6 centímetros de diâmetro (Figura 33). Foram
tiradas fotografias de 1.228.800 pixéis (1280x960). Apesar de se ter uma máquina
fotográfica com resolução de cinco megapixéis, utilizou-se uma resolução menor nas
imagens, uma vez que se vai fazer apenas um estudo estatístico comparativo e com
isso se obteve um tempo de processamento bem menor e sem gastar muito
memória do computador.
Um detalhe importante é o sistema de coordenadas cartesianas em três
dimensões (destro) usadas na tese. Neste sistema de coordenadas o eixo Z é
perpendicular ao retículo e serve para medir o perfil dos objetos, o eixo Y é paralelo
as linhas verticais (pretas) do retículo com o retículo desenhado e o eixo X é
horizontal no retículo com o retículo desenhado, perpendicular as linhas verticais. A
origem do sistema de coordenadas é um ponto no canto inferior esquerdo do retículo
onde se inicia as linhas verticais, o plano XY é o plano que contém o retículo e o
eixo Z fura perpendicularmente este plano em direção ao objeto a ser medido. As
fotografias na posição do retículo com linhas paralelas verticais tiradas apresentam
os pixéis em duas dimensões, a horizontal (X) e a vertical (Y) com a origem (pixel na
posição x=0 e y=0) no canto inferior esquerdo. Esta convenção é utilizada em todo
este trabalho de pesquisa.
189
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
Figura 33 - Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de um megapixel. [A-P]. Fase
empacotado[Q]. Globo usado como objeto a ser medido [R]. Resultado em 3-D [S].
(Metade de uma esfera com diâmetro de 6 cm).
Fonte: Resultados da pesquisa.
190
TABELA 14
Erro médio em µm dos 19 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.
Erro
Médio
em µm
Nú
mer
o F
de ór
m
ul
Ima as
gen
s
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
757
726
728
707
712
706
726
681
679
706
686
670
679
680
665
655
655
625
612
613
611
583
597
599
551
573
534
534
522
529
505
487
756
742
714
729
703
725
729
692
699
699
690
666
673
662
661
640
646
645
608
615
608
585
586
590
575
572
533
534
507
518
494
490
778
731
716
701
710
729
711
702
689
679
701
660
666
671
666
631
628
637
623
605
627
582
588
587
581
564
539
546
501
504
506
480
770
729
715
728
726
713
726
686
699
701
696
674
669
672
659
655
642
642
604
628
629
580
596
604
555
569
546
532
529
516
518
488
765
754
715
709
705
713
724
686
685
693
679
665
666
651
681
631
628
642
627
626
627
592
576
603
577
553
550
539
524
531
506
473
773
732
701
705
724
712
725
684
691
702
688
672
674
669
668
628
646
639
605
609
617
580
590
586
562
551
531
542
511
512
501
489
758
742
707
723
704
725
706
696
696
693
692
669
670
660
660
633
634
653
627
609
622
599
588
578
579
560
550
544
524
521
500
487
763
730
716
729
701
724
731
685
689
683
679
676
677
658
661
632
654
647
607
626
612
585
586
584
575
570
534
536
515
517
512
467
772
742
707
724
716
731
712
704
687
688
705
681
676
668
676
655
644
635
623
622
602
575
593
583
571
558
529
544
521
527
505
477
760
754
708
718
729
710
709
693
705
678
680
653
660
659
664
646
640
654
618
612
627
590
588
583
572
569
546
556
525
501
513
493
758
737
715
730
707
712
722
691
677
693
696
666
657
672
668
651
646
651
620
611
627
590
605
582
578
551
528
549
506
500
489
489
769
751
724
712
704
731
709
705
685
698
695
669
675
678
655
628
639
655
630
618
615
590
584
596
579
579
529
536
507
503
515
470
756
727
706
713
721
715
715
698
684
690
690
661
669
670
680
629
654
640
618
606
601
576
586
603
568
578
542
533
525
510
491
466
764
727
721
714
703
701
726
682
698
695
680
679
653
663
668
643
628
646
609
615
627
578
579
599
556
581
555
553
503
502
498
471
757
747
728
705
717
711
712
690
691
705
691
668
664
679
673
652
631
632
611
630
627
584
597
602
574
558
552
549
514
504
508
478
768
750
718
723
729
728
706
681
687
689
693
652
668
669
665
650
628
645
629
614
607
604
587
590
575
568
546
552
514
511
516
492
763
740
726
727
708
701
704
698
680
683
697
675
655
652
658
635
638
646
602
620
625
580
579
586
577
559
531
529
521
509
496
477
765
726
714
709
705
717
708
683
700
681
680
674
658
666
659
626
641
654
613
619
613
605
590
590
561
577
540
548
503
517
493
488
773
750
727
701
717
726
707
705
704
683
686
660
653
651
656
647
639
642
615
606
604
596
583
605
566
555
549
528
527
526
507
473
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência
que representa as medidas corretas da metade da esfera, usando-se a Equação 5.2
para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo
selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 14. O passo seguinte é
calcular o valor P dos 19 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes
equações selecionadas e mostradas na Tabela 15.
191
TABELA 15
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas na esfera.
Valor
P
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
4
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de a
Cálcul
o de
Fase
4
5
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 96%
6 c 0% 0% 29% 30%
d 0% 0% 68% 72% 16%
e 0% 0% 98% 98% 31% 73%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 72%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95% 80%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 25% 73% 47%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 44% 76%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 37% 72% 93%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 36% 24%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 96%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 60%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
11 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 62%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 12% 20%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
12
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
13
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
14
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0%
0% 21%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 64%
0%
0% 0%
0% 0%
0%
0% 0%
0% 0% 34%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar que, na Tabela 15, o valor P, quando comparado a
equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações
com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que
se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm
precisão semelhante.
192
5.7
Experiências com blocos padrão em aço
Após a montagem dos equipamentos para os experimentos e a calibração de
todo o sistema de medição, os seguintes procedimentos são seguidos:
1. Tiram-se vários conjuntos com 16 fotografias de Moiré cada um. Para
cada conjunto alteram-se o ângulo do deslocamento de fase (δ), a
distância entre a fonte de luz e o observador (d) e a distância entre o
observador e o retículo de referência (h). Obtém-se assim para cada
conjunto 16 arquivos bitmaps de imagens (.bmp) para cada conjunto.
2. Para cada conjunto de 16 fotografias calcula-se o perfil do objeto
usando o programa em MatLab® que implementa a Técnica de Moiré
alterando as equações do cálculo de fase (4a, 5a, 6a, 6b, 6c, 6d, 6e,
7a, 7b, 7c, 7d, 8a, 8b, 8c, 8d, 9a, 9b, 9c, 10a, 10b, 10c, 11a, 11b, 11c,
12a, 12b, 13a, 13b, 14a, 14b, 15a, 16a). Usando a resolução gráfica da
fotografia e as dimensões do retículo o programa gera para cada
conjunto de 16 fotografias e cada equação de calculo de fase testada
uma arquivo texto com os resultados das medições [x y z] para cada
pixel.
3. Usando uma pequena rotina em Linguagem Delphi/Pascal, preparase um arquivo texto com as dimensões que se acredita correta e exata
com as coordenadas de referência [x y z] (em cada ponto dos pixéis
das imagens) do objeto medido fisicamente com paquímetros.
4. Outra rotina em Linguagem Dephi/Pascal implementa a Equação 5.2
que calcula o erro médio em milímetros usando os arquivos textos
gerados nos itens 2 e 3 para cada conjunto de 16 fotografias e cada
equação do cálculo de fase testada. Obtém-se uma tabela do conjunto
de imagens versus equação de cálculo testada dos erros médios (mm).
5. Calcula-se o valor “P” aplicando o teste de comparação de médias
emparelhadas “t-Sdudent” usando o Microsoft Excel® e comparando o
erro médio obtido no item 4 entre duas equações do cálculo de fase
qualquer. Obtém-se uma tabela de equação de cálculo testada versus
outra equação de cálculo dos valores “P” do teste estatístico.
193
Para testar as novas equações de cálculo de Franjas de Moiré com
defasagens arbitrárias, mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi
um bloco padrão de aço para calibração de micrômetros pintado de branco e
inclinado sobre outro bloco com um centímetro de altura. Foram tiradas fotografias
de 3.145.728 pixéis (2048x1536). Esta montagem foi criada para ser o mais precisa
possível e bem fácil de medir mecanicamente. Este tipo de montagem é também
ideal para a calibração do sistema de medição da Técnica de Moiré (medição de um
plano inclinado) e evitar os erros sistemáticos nos experimentos científicos. A Figura
34 ilustra a montagem e a Figura 35 as fotografias de entrada com filtros:
Figura 34 – Exemplo da montagem para calibração (planos inclinados) e de blocos padrões
utilizada.
Fonte: Resultados da pesquisa.
194
Com esta montagem, conseguiram-se as melhores precisões e os menores
erros. Foram utilizados, nesses experimentos, os blocos padrão do Laboratório de
Medidas e Metrologia da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
Figura 35 – Um conjunto com 16 fotografias de Franjas de Moiré de três megapixéis. [A-P]. Fase
empacotado[Q]. Resultado em 3-D [R]. (Bloco Padrão inclinado com altura de 1 cm).
Medição de um plano inclinado para a calibração do sistema experimental.
Fonte: Resultados da pesquisa.
195
TABELA 16
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.
Erro
Médio
em µm
Nú
mer
o
de Fór
mul
as
Ima
gen
s
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
107
105
102
103
101
100
101
99
99
100
98
96
96
96
96
92
91
91
87
88
86
84
83
85
81
80
77
77
73
73
73
67
110
107
101
101
100
102
103
97
99
97
99
94
96
95
96
92
92
93
87
86
88
82
83
83
82
79
77
77
74
72
73
68
109
105
102
102
101
100
103
98
97
97
98
96
95
96
95
91
90
93
87
86
87
83
83
86
80
79
76
78
74
75
72
69
107
105
101
101
102
103
101
100
98
100
97
94
94
94
95
90
90
90
88
87
89
82
84
84
82
79
78
78
74
73
71
68
110
107
103
103
103
103
100
100
97
98
97
95
96
96
95
90
92
93
87
88
87
85
84
83
80
81
76
75
72
73
72
67
108
105
103
101
102
100
101
100
100
99
97
96
93
96
93
91
92
89
87
88
88
84
83
85
79
82
76
77
73
73
70
67
108
104
104
104
102
100
103
100
100
99
97
95
96
95
96
92
89
92
87
88
87
83
85
84
81
80
75
75
74
74
70
69
108
106
103
103
101
101
101
97
98
98
98
95
96
94
93
90
91
91
89
87
89
85
82
85
79
82
77
78
75
73
72
67
111
104
101
102
100
101
103
97
99
100
100
95
94
94
96
90
91
92
87
88
86
84
85
86
81
82
77
78
72
75
72
67
109
106
100
102
102
103
101
99
99
97
96
93
96
94
96
90
93
90
87
88
86
83
85
82
82
80
79
76
72
74
72
66
108
107
104
103
103
102
102
99
97
98
97
95
95
96
95
90
92
91
87
88
87
84
84
84
80
81
77
78
73
73
71
66
110
104
101
103
101
101
101
98
99
100
97
95
96
95
94
91
91
92
87
88
86
85
83
85
79
81
77
76
74
75
73
68
108
105
102
101
103
102
102
99
97
97
99
96
94
95
94
93
90
92
89
89
87
84
83
85
80
81
77
77
74
73
73
67
110
104
100
102
100
103
101
98
98
96
99
93
95
95
95
90
92
93
87
87
86
84
83
82
81
80
75
76
75
73
71
68
109
107
101
100
103
101
103
97
97
98
100
95
96
96
93
92
90
90
88
89
86
85
86
84
80
81
77
76
72
75
71
68
109
107
101
101
103
101
102
98
98
99
97
95
96
95
96
92
91
90
89
88
88
84
84
82
82
79
78
77
72
73
71
69
109
104
102
102
102
101
100
97
100
99
97
93
94
93
93
90
91
91
89
89
87
83
86
84
79
81
78
76
72
73
72
69
109
104
102
100
101
101
102
97
98
98
96
94
94
93
95
92
90
92
87
87
88
83
85
82
82
82
75
77
73
75
71
67
110
106
101
102
101
103
100
97
98
99
99
94
95
94
93
90
93
92
86
87
87
84
85
85
82
80
77
77
72
73
70
67
110
106
100
102
103
102
100
98
97
99
98
94
94
95
96
92
92
90
87
86
88
85
85
86
79
81
77
77
75
72
71
69
109
105
104
100
101
101
101
98
98
98
97
96
93
95
95
93
93
90
86
89
88
83
83
84
79
79
77
78
74
73
70
68
110
104
101
101
103
101
102
99
99
99
99
96
94
93
94
90
91
92
89
87
87
82
83
85
82
82
77
77
73
74
73
68
108
107
101
103
101
101
103
99
97
99
99
95
94
95
94
91
93
92
88
87
89
85
85
84
80
79
76
76
74
74
72
67
108
107
101
103
101
103
100
99
98
98
98
96
95
94
94
91
92
92
86
89
86
83
83
84
80
80
75
76
73
73
71
68
110
105
103
103
103
103
102
99
98
99
99
95
95
96
96
90
92
90
88
89
86
85
85
82
80
79
78
77
73
74
70
68
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência
que representa as medidas corretas dos blocos inclinados, usando-se a Equação 5.2
para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo
selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 16. O passo seguinte é
calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes
equações selecionadas e mostradas na Tabela 17.
196
TABELA 17
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas no plano inclinado.
Valor
P
4
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de a
Cálcul
o de
Fase
4
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
5
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 75%
6 c 0% 0% 57% 45%
d 0% 0% 31% 15% 43%
e 0% 0% 36% 31% 70% 79%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 84%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 65% 44%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 55% 66% 26%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 79%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 75% 53%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 73% 50% 87%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 24%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 39% 66%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 26%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 36% 11%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
11 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 54%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 25% 60%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
12
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
13
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
14
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0%
0% 88%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 92%
0%
0% 0%
0% 0%
0%
0% 0%
0% 0% 54%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar que, na Tabela 17, o valor P, quando comparado a
equações com número de imagens diferentes, é 0%, e isso faz rejeitar a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações
com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, e isso faz com que
se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm
precisão semelhante.
197
5.8
Experiências com seios de manequim
Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos
12 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,
mas constantes no deslocamento de fase. O objeto usado foi os seios de um
manequim pintados de branco (Figura 36). Foram tiradas fotografias de 307.200
pixéis (640x480). Novamente, utilizou-se uma resolução menor nas imagens, uma
vez que se vai fazer apenas um estudo comparativo e com isso se obteve um tempo
de processamento bem menor e sem gastar muito memória do computador.
A determinação dos valores de referência foi obtida através de 49 medições
realizadas por um paquímetro, em uma área de 36(6x6) centímetros quadrados com
espaçamentos iguais de 1 cm, na região dos seios do manequim. Inicialmente, foram
feitas 7 medidas em linha reta na horizontal espaçadas por um centímetro. Em
seguida, desceu-se um centímetro na vertical e fez-se mais 7 medidas em linha
horizontal espaçadas por um centímetro. A seguir, desceu-se mais um centímetro e
assim por diante. Ao final, tinha-se 49 profundidades medidas entre os seios do
manequim e o retículo. Os valores intermediários foram calculados usando
interpolação polinomial bidimensional por Lagrange.
Para se eliminar o erro sistemático do sistema de medição, a calibração do
sistema foi realizada pela medição de um plano inclinado (blocos padrão de aço). O
sistema se mostrou capaz de avaliar superfícies com geometria e refletância
variáveis. Verifica-se a calibração com a medição do plano inclinado encontrando um
erro relativo médio de medição menor que 1% (Equação 2.9). Para que se tornasse
possível a calibração do sistema proposto e a avaliação de possíveis incertezas nos
dados de medição obtidos devido a distorções óticas e geométricas, foram utilizadas
várias inclinações da superfície plana para a avaliação do sistema de medição.
198
A)
C)
B)
D)
E)
F)
G)
De 1 em 1 cm.
H)
I)
Figura 36 – Em [A], manequim pintado de branco fotografado. Em [B], Franjas de Moiré nos
seios do manequim. Em [C], malha usada para fazer as medidas físicas com
paquímetro das profundidades dos seios. Em [D-G], 4 fotografias de Franjas de
Moiré defasadas dos seios. Em [H], comparação entre a fotografia e as medidas.
Em [I], reconstrução em 3-D das medidas.
Fonte: Resultados da pesquisa.
199
TABELA 18
Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas.
Erro Médio em µm
Número
de
Fórmulas
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Imagens
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
1016 1018 1033 1017 1020 1005 1002 1000 1007 1008 1018 1018
993 982 971 998 976 973 971 999 992 974 991 987
953 933 964 942 966 960 940 956 951 949 935 950
934 953 952 952 935 964 935 951 960 962 951 949
944 939 952 936 960 946 957 940 946 960 937 956
937 953 954 946 962 945 960 939 962 941 951 938
956 946 937 939 959 949 945 936 959 962 945 940
910 920 915 923 913 904 932 911 928 906 910 933
906 907 921 901 905 911 933 929 930 915 929 913
901 913 926 909 914 909 929 912 904 907 917 932
931 927 919 921 926 900 920 918 914 917 914 924
870 887 880 885 877 887 878 895 883 885 894 885
868 892 878 896 894 887 875 872 885 867 881 873
888 869 890 893 883 891 895 875 880 879 889 883
874 871 898 879 884 872 872 899 898 869 899 872
851 865 841 846 851 866 866 841 836 865 846 855
835 845 849 837 852 863 846 849 848 841 864 865
847 850 863 867 851 844 835 858 861 843 837 847
828 816 819 827 807 815 823 816 823 822 801 806
824 808 811 804 825 809 824 832 820 825 819 805
825 808 809 823 811 827 811 832 829 811 825 816
798 788 798 783 769 769 772 783 783 786 771 798
782 799 796 781 780 771 769 779 784 790 769 778
774 771 795 794 793 799 775 795 778 793 791 772
742 740 767 744 765 755 752 749 763 760 735 735
756 766 750 748 748 765 735 748 766 755 747 737
701 707 723 731 716 721 708 711 724 732 718 708
722 713 709 704 726 721 701 708 720 702 716 733
672 669 688 695 697 670 692 686 685 675 691 677
680 669 683 668 674 698 669 684 667 672 669 690
654 663 677 673 660 677 657 669 665 669 668 674
619 643 626 638 628 633 630 637 622 634 644 645
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência
que representa as medidas corretas dos seios do manequim, usando-se a Equação
5.2 para calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de
cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 18. O passo seguinte é
calcular o valor P dos 12 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes
equações selecionadas e mostradas na Tabela 19.
200
TABELA 19
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas aos seios
Valor
P
4
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de a
Cálcul
o de
Fase
4
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
5
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 96%
6 c 0% 0% 47% 65%
d 0% 0% 83% 88% 70%
e 0% 0% 56% 62% 99% 69%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 92%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 34% 52%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 51% 60% 19%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 37%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 82% 31%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 67% 72% 61%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 47%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 70% 85%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 95%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 60% 64%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
11 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 51%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 37%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
12
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
13
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
14
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0%
0% 78%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 66%
0%
0% 0%
0%
0% 0%
0% 0% 23%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar que, na Tabela 19, o valor P, quando se compara
equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações
com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que
se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm
precisão semelhante.
201
5.9
Experiências com costas de manequim
Novamente, para testar as novas equações do cálculo de fase, foram feitos
12 conjuntos com 16 fotografias de Franjas de Moiré com defasagens arbitrárias,
mas constantes na fase. O objeto usado foi às costas de um manequim pintado de
branco (Figura 37). Foram tiradas fotografias de 1.228.800 pixéis (1280x960).
A determinação dos valores de referência foi obtida por meio de 49 medições
realizadas por um paquímetro em uma área de 324(18x18) centímetros quadrados,
com espaçamentos iguais de 3 centímetros, na região das costas do manequim.
Inicialmente, foram medidos 7 valores em linha reta na horizontal espaçados por três
centímetros. Em seguida, desceram-se três centímetros na vertical, e fez-se mais 7
medidas em linha horizontal espaçadas por três centímetros. Novamente, desceramse mais três centímetros, e assim por diante. Ao final, tinha-se 49 profundidades
medidas entre as costas do manequim e o retículo. Os valores intermediários foram
calculados, usando-se interpolação polinomial bidimensional por Lagrange.
202
A)
C)
B)
D)
E)
F)
G)
De 3 em 3 cm.
H)
I)
Figura 37 – Em [A], montagem para fazer as fotografias das costa do manequim. Em [B], costas
do manequim a ser fotografado. Em [C], malha usada para fazer as medidas físicas
com paquímetro das profundidades das costas. Em [D-E], duas fotografias de Franjas
de Moiré defasados das costas. Em [F], fase empacotada (Wrapped).
Em [G-I], reconstrução em 3-D das medidas.
Fonte: Resultados da pesquisa.
203
TABELA 20
Erro médio em µm dos 12 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas para as costas de um manequim
Erro Médio em µm
Número
de
Conjunto de Imagens
Fórmulas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
1322
1290
1246
1219
1242
1221
1229
1188
1173
1192
1195
1132
1150
1139
1134
1112
1092
1103
1051
1047
1062
1011
1015
1019
987
964
917
921
885
888
879
825
1302
1266
1217
1244
1221
1245
1223
1187
1202
1173
1197
1151
1162
1148
1141
1108
1109
1090
1069
1066
1047
1004
1008
1015
987
969
912
939
897
868
849
823
1312
1262
1229
1229
1239
1235
1239
1183
1206
1195
1174
1129
1158
1139
1149
1112
1097
1117
1054
1050
1041
1004
1018
1012
954
968
934
922
869
897
851
829
1302
1283
1222
1233
1221
1245
1243
1173
1197
1193
1200
1159
1135
1128
1154
1104
1091
1087
1069
1068
1071
1001
1031
1026
976
983
937
932
873
876
853
810
1313
1283
1215
1230
1240
1234
1224
1171
1196
1187
1194
1159
1135
1143
1141
1116
1119
1096
1066
1054
1057
1002
1008
1014
979
980
932
936
875
885
878
825
1331
1287
1219
1244
1242
1223
1217
1181
1204
1198
1190
1149
1129
1149
1130
1111
1109
1109
1044
1047
1073
1014
1014
1014
963
980
927
924
878
888
865
823
1304
1289
1236
1214
1213
1243
1244
1181
1182
1179
1182
1145
1150
1138
1152
1089
1093
1087
1059
1071
1056
1019
1000
1028
973
970
946
929
876
881
850
824
1305
1285
1230
1226
1220
1215
1219
1201
1184
1171
1186
1162
1141
1159
1130
1096
1114
1118
1066
1075
1052
1027
1012
1006
973
978
939
918
870
875
851
836
1321
1259
1235
1221
1236
1249
1247
1175
1196
1191
1194
1150
1160
1154
1133
1113
1087
1111
1062
1073
1066
1016
1024
1005
966
988
929
938
893
893
880
820
1319
1290
1217
1249
1215
1227
1229
1204
1177
1193
1193
1152
1149
1134
1151
1094
1107
1097
1048
1072
1073
1006
1021
1012
967
973
914
932
889
875
863
834
1312
1264
1244
1249
1228
1242
1242
1204
1188
1170
1181
1139
1130
1138
1136
1115
1103
1109
1071
1041
1075
1033
1004
1031
984
988
934
913
879
898
877
813
1334
1291
1238
1244
1241
1214
1224
1171
1184
1200
1187
1127
1148
1133
1133
1115
1089
1116
1048
1042
1059
1006
1020
1024
984
974
911
922
886
882
847
803
Imagens
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas às medições, estas são comparadas com a referência
que representa as medidas corretas das costas do manequim, usando-se a Equação
5.2 para calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas equações de
cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 20. O passo seguinte é
calcular o valor P dos 12 conjuntos, comparando entre si cada par de diferentes
equações selecionadas e mostradas na Tabela 21.
204
TABELA 21
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às costas
Valor
P
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de
Cálcul
o de
Fase
4
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
4
5
a
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 43%
6 c 0% 0% 81% 49%
d 0% 0% 46% 91% 62%
e 0% 0% 44% 75% 74% 66%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 32%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 73% 38%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 34% 74% 51%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 94%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 24% 34%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 18% 19% 75%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 17%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 29% 61%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 100%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 63% 68%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0%
11 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 58%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 16% 53%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
12
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
13
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
14
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
15 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0% 0%
16 a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
0%
0% 60%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 93%
0%
0% 0%
0% 0%
0%
0% 0%
0% 0% 48%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar que na Tabela 21, o valor P, quando comparado a
equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara equações
com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que faz com que
se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, concluí-se que as equações que utilizam o mesmo número de imagens têm
precisão semelhante.
205
Com a montagem realizada no laboratório, onde a alteração de fase é feita
mecanicamente, fica difícil e trabalhoso testar equações de cálculo que usam muitas
imagens. Por esta razão, testaram-se equações com número de imagens até
dezesseis. O deslocamento de fase era realizado manualmente, por meio de ajustes
no micrômetro, o que torna susceptível a erros e não assegura que o passo do
deslocamento de fase seja exatamente constante e com o mesmo valor entre todas
as imagens.
Faz-se importante observar que as fotografias possuíam alta taxa de ruídos e
imperfeições, em consequência de poeira no ar, na lente da câmera fotográfica e na
placa de vidro; de vibrações mecânicas presentes no laboratório; de variações na
temperatura da sala; de reflexo da luz branca no vidro do retículo, pelo fato do
laboratório não ser completamente escuro; de erros no processo de deslocamento
de fase, que devia ser absolutamente constante entre as imagens; de redução das
imagens em razão das linhas verticais do retículo; de erro no paralelismo do retículo,
que deve formar um ângulo reto perfeito em relação à fonte de luz e a câmera; de
erro na medição da distância entre o retículo e a câmera e entre a câmera e a fonte
de luz; e de erros na discretização da imagem em pixéis e em tons de cinza. Apesar
dos cuidados e da antecipação de várias medições de calibração usando planos
inclinados com blocos padrões métricos, as fotografias apresentam muitos pequenos
erros. Na literatura sobre a Técnica de Moiré esses erros são também citados e
estudados em detalhes, como nas referências de POST (1994) e PATORSKI (1993).
5.10 Experiências com imagens geradas no computador
Na sequência da pesquisa, em vez de fazer as fotografias com câmera digital,
seguiu-se a proposta mostrada em SMITH (2000), onde as imagens são geradas
pelo computador. Assim, foram criados 25 conjuntos com 16 imagens de Franjas de
Moiré com defasagens arbitrárias, mas constantes na fase. Cada conjunto difere do
outro apenas pelo valor do deslocamento de fase. Usou-se, nas imagens, o Modelo
5.8:
206
z=
(x3 − y 2 )
,
100
com − 5 ≤ x ≤ 5, − 5 ≤ y ≤ 5
(5.8)
Assim, obtiveram-se imagens com resolução gráfica de aproximadamente um
megapixel com 1280 pixéis na horizontal e 960 pixéis na vertical (total de 1.228.800
pixéis). Para gerá-las, foram utilizadas as seguintes equações de passo:
 X f = X i + (n x − 1)hx ,

 Y f = Yi + (n y − 1)h y ,
X f = 5,
Y f = 5,
X i = −5, n x = 1024
Yi = −5, n y = 1024
(5.9)
TABELA 22
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações
selecionadas para as curvas geradas no computador
Erro
Médio
em µm
Nú
mer
o
de Fór
mul
as
Ima
gen
s
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
96
97
98
96
98
98
95
99
97
99
97
97
99
96
96
98
98
98
97
96
98
98
98
98
97
96
96
97
96
98
95
95
95
96
96
96
97
98
99
97
97
99
96
97
97
97
98
98
97
97
98
97
98
96
96
96
97
99
97
97
98
97
98
96
98
97
95
99
98
97
97
98
98
96
97
97
96
99
96
99
98
98
97
96
97
96
97
96
98
98
96
97
99
99
97
98
99
99
97
98
96
97
96
97
96
98
97
95
96
99
96
96
98
99
97
96
99
98
96
98
99
97
98
99
99
96
96
97
97
97
96
98
97
99
95
96
96
97
98
98
99
99
96
99
96
99
97
98
98
97
96
96
96
99
99
96
97
98
98
97
97
98
98
96
95
97
99
97
96
96
98
96
99
98
98
97
97
96
97
99
99
97
96
97
96
97
98
96
96
96
95
98
96
97
98
98
98
96
97
96
97
97
97
98
98
96
97
98
99
96
99
98
98
98
98
98
97
97
97
95
99
98
97
99
97
97
95
96
96
97
96
99
98
98
98
97
95
96
97
97
97
97
97
95
96
98
99
99
98
99
96
96
96
98
98
98
97
97
99
96
99
97
96
98
98
97
98
99
99
97
96
96
98
98
96
96
99
98
96
97
96
95
96
97
96
98
98
98
97
98
96
96
99
97
97
98
98
96
95
96
97
96
96
97
98
98
96
97
95
95
98
97
95
98
98
97
99
96
96
97
96
98
99
98
99
96
96
97
99
97
96
96
98
96
96
98
97
96
99
96
97
98
98
98
97
95
97
97
96
95
98
99
96
98
98
96
95
97
98
97
98
96
98
99
98
97
97
98
96
98
95
99
97
96
96
98
97
96
99
95
96
96
98
97
97
96
97
99
97
96
96
98
98
99
98
99
97
96
98
99
98
96
98
99
96
99
97
98
96
97
98
98
96
98
99
99
95
97
96
98
98
99
96
97
97
97
97
98
97
98
97
99
96
98
99
96
98
98
97
97
97
96
96
98
95
98
98
98
97
96
98
96
95
96
99
98
96
99
99
98
99
98
98
98
97
99
97
95
97
98
96
98
98
99
98
99
98
98
97
97
99
98
98
98
99
99
97
98
98
95
98
97
98
99
99
98
98
96
97
97
98
98
97
97
96
97
99
98
97
96
98
99
96
98
95
99
95
96
98
97
97
99
98
98
96
96
99
98
97
96
98
96
99
96
96
97
96
98
96
99
97
99
96
97
96
98
99
97
98
99
99
98
98
98
98
96
97
97
97
97
97
96
98
97
97
99
97
95
98
97
97
97
99
97
97
97
98
98
97
97
99
98
96
95
98
96
97
96
98
99
96
96
97
97
98
97
96
96
96
99
97
97
97
96
98
99
96
98
96
95
99
97
96
96
97
96
97
99
97
96
97
97
98
97
98
95
98
99
97
98
98
95
96
95
97
98
99
99
97
96
98
97
96
99
97
96
98
98
98
96
96
99
95
96
96
96
98
98
96
98
97
95
96
99
96
97
98
96
97
99
99
97
98
96
98
99
96
98
96
96
95
98
96
98
95
96
96
96
99
99
96
99
99
98
97
98
96
98
96
96
97
97
98
95
98
98
97
97
96
97
98
96
97
96
96
98
96
98
98
97
98
98
97
98
98
96
97
98
98
98
96
96
98
95
99
98
97
99
97
97
99
97
98
96
98
96
99
98
98
99
98
98
96
97
98
96
99
96
99
97
99
99
98
96
96
99
96
98
97
97
97
96
97
97
98
97
98
99
99
99
97
97
96
96
95
98
98
97
96
98
95
98
98
98
98
98
98
96
96
96
Fonte: Dados da pesquisa.
207
Uma
vez
realizadas
as
“medições”
com
as
imagens
geradas
computacionalmente, estas são comparadas com a referência que é a Equação 5.8
das curvas geradas no computador, usando-se a Equação 5.2 para se calcular o
erro médio, por meio de cada uma das novas equações de cálculo selecionadas
para o teste, como mostrado na Tabela 22. Nas imagens, não existe erros ou ruídos,
a não ser pela discretização dos tons de cinza e discretização em pixéis. O passo
seguinte é calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par de
diferentes equações selecionadas e mostradas na Tabela 23.
TABELA 23
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas às curvas geradas no
computador
Valor
P
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de
Cálcul
o de
Fase
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
4
5
a
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
12
11
c
a
b
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
4 a
5 a 25%
a 55% 88%
b 55% 76% 89%
6 c 58% 81% 94% 94%
d 64% 64% 82% 94% 85%
e 68% 67% 83% 96% 90% 99%
a 77% 56% 72% 84% 76% 90% 89%
b 25% 74% 69% 55% 47% 50% 52% 28%
7
c 38% 84% 71% 59% 71% 57% 56% 40% 99%
d 42% 93% 93% 83% 89% 73% 73% 61% 74% 75%
a 28% 77% 68% 49% 64% 49% 52% 42% 93% 95% 68%
b 51% 97% 89% 83% 85% 72% 76% 63% 79% 81% 97% 74%
8
c 31% 90% 96% 84% 90% 72% 79% 71% 74% 79% 98% 72% 95%
d 91% 30% 44% 58% 58% 58% 46% 67% 22% 24% 26% 19% 34% 38%
a 24% 60% 58% 41% 49% 35% 45% 23% 79% 85% 57% 89% 55% 57% 9%
9 b 16% 78% 66% 49% 62% 52% 57% 34% 99% 100% 77% 95% 79% 75% 24% 83%
c 25% 86% 79% 65% 74% 55% 63% 48% 96% 95% 82% 88% 85% 77% 37% 81% 95%
a 34% 81% 71% 53% 64% 53% 54% 46% 98% 97% 75% 92% 78% 75% 17% 75% 97% 98%
10 b 84% 57% 64% 76% 77% 83% 82% 93% 44% 43% 63% 32% 61% 66% 75% 33% 35% 49% 44%
c 10% 34% 36% 25% 40% 18% 25% 25% 62% 63% 39% 66% 42% 35% 6% 74% 57% 56% 57% 19%
a 65% 76% 79% 98% 93% 95% 97% 82% 58% 46% 74% 56% 76% 83% 55% 43% 53% 65% 54% 79% 28%
11 b 83% 23% 40% 49% 38% 54% 56% 56% 9% 26% 37% 25% 39% 41% 92% 9% 10% 31% 14% 72% 10% 49%
c 9% 51% 54% 37% 49% 41% 42% 22% 71% 80% 55% 82% 62% 58% 17% 96% 75% 72% 75% 29% 81% 40% 11%
a 67% 14% 37% 44% 42% 45% 37% 50% 11% 15% 19% 17% 35% 21% 80% 12% 16% 14% 10% 65% 6% 40% 87%
12
b 34% 100% 91% 77% 86% 68% 66% 62% 83% 82% 94% 76% 97% 92% 31% 66% 81% 85% 83% 60% 45% 78% 33%
a 35% 96% 91% 79% 86% 70% 70% 59% 73% 78% 97% 70% 100% 95% 30% 56% 75% 82% 79% 45% 41% 76% 35%
13
b 91% 38% 48% 52% 56% 63% 60% 59% 22% 13% 36% 29% 44% 43% 99% 15% 23% 34% 21% 80% 12% 50% 94%
a 24% 80% 72% 59% 67% 55% 49% 47% 98% 99% 78% 96% 82% 74% 27% 87% 99% 94% 97% 39% 65% 60% 25%
14
b 30% 75% 67% 45% 58% 52% 52% 38% 88% 88% 65% 94% 71% 68% 23% 95% 88% 86% 85% 41% 74% 55% 18%
15 a 31% 94% 83% 65% 78% 61% 67% 50% 82% 86% 89% 72% 92% 87% 27% 66% 83% 90% 88% 47% 49% 68% 25%
16 a 15% 62% 63% 48% 52% 48% 52% 35% 87% 94% 65% 98% 69% 63% 17% 89% 91% 89% 88% 39% 69% 52% 9%
Fonte: Dados da pesquisa.
5%
62% 17%
55% 26% 97%
17% 81% 40% 35%
83% 13% 80% 74% 21%
91% 18% 74% 71% 24% 91%
61% 21% 95% 90% 34% 86% 76%
85% 12% 75% 67% 26% 94% 97% 73%
208
É interessante notar que, na Tabela 23, o valor P, quando comparado a
equações independentes do número de imagens, é maior ou igual a 5%, o que faz
deixar de se rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são iguais. Com
isso, conclui-se que as equações para este caso têm erros semelhantes. Ou seja,
todas as equações têm a mesma precisão. Isso se deve ao fato das imagens não
apresentarem ruídos aleatórios ou imperfeições randômicas. As imagens são
relativamente perfeitas e os erros médios são muito pequenos, em razão, apenas,
do processo de discretização em pixéis e em tons de cinza.
Para verificar este resultado, serão gerados, nas imagens anteriores, ruídos
aleatórios, como descritos no Capítulo IV. A quantidade de imperfeições deve ser
grande, para se obter o efeito desejado até as equações com dezesseis imagens. As
tabelas seguintes mostram o referido processo.
209
TABELA 24
Erro médio em µm dos 25 conjuntos de imagens aplicadas às equações selecionadas
para imagens geradas no computador com ruídos aleatórios
Erro
Médio
em µm
Nú
mer
o
de Fór
mul
as
Ima
gen
s
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
a
b
c
d
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
a
b
a
a
Conjunto de Imagens
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
865
835
819
811
814
804
821
783
775
780
776
749
757
751
745
729
732
714
704
696
704
678
673
676
650
652
621
616
578
574
565
551
862
830
816
813
809
818
805
778
774
779
789
759
762
763
743
727
724
735
688
704
696
665
664
670
631
637
612
611
586
573
580
532
879
851
802
819
810
813
817
778
785
794
784
755
749
760
761
734
726
722
703
702
695
664
659
674
635
641
622
609
579
595
578
550
862
843
808
808
806
808
815
777
787
772
785
743
748
746
744
738
738
723
705
694
692
673
675
675
641
645
605
608
593
577
580
542
866
836
811
805
815
812
816
789
779
778
792
747
766
752
757
715
733
722
708
692
700
662
671
670
647
633
616
618
576
572
565
539
865
829
802
815
806
811
800
785
787
778
778
756
761
766
747
724
722
732
707
691
701
679
677
676
637
633
608
621
593
594
571
537
860
840
808
801
818
805
813
791
780
776
789
750
761
763
765
730
733
723
699
703
690
658
664
663
642
638
607
602
574
587
563
539
881
851
803
805
807
803
805
781
777
794
792
746
754
753
759
721
726
731
705
694
694
673
667
668
643
643
602
613
586
584
567
539
864
832
802
821
823
805
820
789
779
790
784
762
751
762
751
716
719
728
696
703
706
678
662
681
642
631
611
602
584
582
560
530
859
846
806
815
809
817
803
780
787
784
773
757
758
762
752
738
718
721
709
708
696
659
662
664
643
641
618
615
573
583
573
532
872
831
815
815
818
816
801
774
772
782
790
754
760
762
760
737
725
718
696
689
687
658
664
659
650
640
614
602
591
577
578
545
873
835
823
819
817
801
809
781
778
792
783
751
764
751
760
730
735
729
686
690
689
663
680
677
647
637
619
601
590
573
569
545
862
831
812
821
810
806
811
786
774
794
780
753
748
759
750
718
731
722
697
707
688
668
667
668
634
641
602
605
582
587
563
536
859
835
814
822
815
802
818
777
774
774
781
750
744
763
757
728
715
721
690
699
705
661
679
676
643
640
612
624
586
574
571
550
873
846
814
800
809
818
815
778
779
791
785
745
749
752
765
734
720
717
702
694
686
668
667
661
639
643
621
624
585
585
570
550
859
839
812
821
818
802
807
775
778
784
781
766
755
757
746
719
718
728
699
708
691
674
660
662
647
650
612
608
584
580
581
549
868
850
816
822
802
808
803
792
792
776
793
765
749
752
755
717
729
730
694
698
700
668
669
667
636
652
611
600
592
580
562
552
862
830
820
811
804
816
807
783
794
778
784
746
757
762
761
719
715
735
704
708
705
659
666
664
645
644
613
624
576
578
558
546
861
832
808
814
818
814
801
790
783
775
791
761
751
764
766
724
731
717
704
706
691
660
665
662
650
634
612
605
575
572
569
533
870
835
807
819
821
818
803
781
789
774
779
762
755
750
755
728
733
734
691
694
694
660
664
664
640
641
611
619
573
591
574
549
876
851
801
816
823
807
820
772
783
773
775
763
754
756
756
719
718
716
701
709
687
662
665
680
633
631
623
612
572
581
575
545
862
833
821
801
811
808
822
784
785
793
781
751
747
762
761
729
729
732
695
708
703
668
668
660
650
641
602
614
593
575
561
535
873
851
802
814
807
802
811
787
788
791
782
754
763
746
755
716
732
734
697
709
690
680
674
680
646
646
620
610
581
580
574
534
868
842
820
811
806
807
809
782
778
791
774
746
756
745
756
726
726
716
709
699
702
658
673
676
635
637
622
600
592
589
570
547
874
850
809
811
804
823
811
795
789
778
791
764
765
745
753
716
720
727
702
707
698
675
674
666
631
644
611
606
580
588
560
547
Fonte: Dados da pesquisa.
Uma vez realizadas as “medições” (de imagens geradas), estas são
comparadas com a referência das dimensões corretas da curva, usando-se a
Equação 5.2 para se calcular o erro médio, por meio de cada uma das novas
equações de cálculo selecionadas para o teste, como mostrado na Tabela 24. O
passo seguinte é calcular o valor P dos 25 conjuntos, comparando entre si cada par
de diferentes equações selecionadas e mostradas na Tabela 25.
210
TABELA 25
Valor P das comparações dos erros médios das equações aplicadas
às imagens geradas no computador com ruído aleatório
Valor
P
4
Númer
o de
Image
ns e
Fórmul
as de a
Cálcul
o de
Fase
4
Número de Imagens e Fórmulas de Cálculo de Fase
5
a
6
a
b
c
7
d
e
a
b
8
c
d
a
b
9
c
d
a
b
10
c
a
b
11
c
a
b
12
c
a
13
b
a
14
b
a
15
b
a
a
5
a 0%
a 0% 0%
b 0% 0% 27%
6 c 0% 0% 54% 52%
d 0% 0% 57% 10% 25%
e 0% 0% 85% 23% 33% 74%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 58%
7
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 89% 64%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 39% 27% 68%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 54%
8
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 29% 68%
d 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 66% 93% 58%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
9 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 72%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 91% 62%
a 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
10 b 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 71%
c 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 2%
1%
a 0% 0%
11 b 0% 0%
c 0% 0%
0%
0%
0%
0% 0%
0%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 0%
0%
0% 0%
0%
0% 0%
0%
0%
0%
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0%
0%
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0%
0% 0% 0%
0%
0% 0%
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0% 0% 38%
0%
0%
0%
0% 0%
0%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 0%
0%
0% 0%
0%
0% 0% 11% 36%
a 0% 0%
12
b 0% 0%
a 0% 0%
13
b 0% 0%
a 0% 0%
14
b 0% 0%
15 a 0% 0%
16 a 0% 0%
0%
0%
0%
0% 0%
0%
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0%
0% 0% 0%
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0%
0% 0%
0%
0% 0%
0%
0%
0%
0% 0%
0%
0%
0% 0%
0%
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0% 0%
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0%
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0%
0% 0%
0%
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0%
0% 0%
0% 0% 0% 0% 39%
0%
0%
0%
0%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0%
0%
0%
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0%
0%
0% 0% 0%
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0%
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0%
0% 0%
0% 0%
0%
0%
0% 0%
0% 0%
0% 0% 0% 0%
0% 0% 0% 0%
0% 0%
0% 0% 0%
Fonte: Dados da pesquisa.
É interessante notar que, na Tabela 25, o valor P, quando comparado a
equações com número de imagens diferentes, é 0%, o que faz rejeitar a hipótese
nula de que as médias dos erros são iguais. Com isso, conclui-se que as equações
que utilizam mais imagens produzem um erro menor. Quando se compara as
equações com o mesmo número de imagens, o valor de P é maior que 5%, o que
faz com que se deixe de rejeitar a hipótese nula de que as médias dos erros são
iguais. Com isso, conclui-se que as equações que utilizam o mesmo número de
211
imagens têm precisão semelhante. Isso ocorre porque as imagens têm bastantes
ruídos e imperfeições aleatórias.
Observa-se que nas medições realizadas a maior parte do erro cometido vem
do deslocamento de fase entre as imagens que deve ser constante. Com o
deslocamento de fase é realizada por meio de ajuste mecânicos no micrômetro,
pequenos erros são cometido nesta regulagem manual do micrômetro. Além, da
substituição deste ajuste manual por um dispositivo eletrônico automático melhor,
cita-se como fontes de erros e sugestões de melhoria: (a) retículo com passo menor
que 1 mm (entre 0,01 e 0,2mm); (b) uso de fonte de luz completamente coerente; (c)
fonte de luz mais potente (acima de 500 watts); (d) resolução fotográfica maiores
(acima de 5 megapixéis); (e) melhor regulagem do retículo para ficar perfeitamente
paralela ao plano de referência do objeto medido; (f) acertos finos em colocar
câmera, fonte de luz, retículo e objeto no mesmo plano geométrico; (g) sala
completamente escura; (h) eliminação de vibrações mecânicas e ruídos sonoros de
motores no laboratório; (i) substituição da discretização monocromática em tons de
cinza de 8 bits (256 tons) para 16 bits (65536 tons); (j) implementação de melhores
filtros iniciais de Processamento Digital de Imagens nas fotografias; (k) evitar
contaminação de poeira e sujeira nos equipamento e na sala; (l) aperfeiçoamentos
no sistema de calibração da montagem experimental da Técnica Moiré de Sombra;
(m) em vez de fazer o ajuste em três micrômetros na direção de z, trocar o sistema
pelo ajuste de um único micrômetro na direção x para o deslocamento de fase; (n)
utilização de objetos para medição menores e mais planos; e (o) controlar as
variações na temperatura e umidade do ar durante os experimentos.
5.11 Análises de incertezas para algoritmos do cálculo de fase
Em CORDERO et al. (2007) é desenvolvida uma metodologia para a análise
de incertezas de algoritmos do cálculo de fase. Esse estudo segue as
recomendações da ISO (International Organization for Standardization) sobre a
expressão da incerteza em medições. Segue-se a aplicação desta metodologia nas
novas equações do cálculo de fase mostrada nas Tabelas 8, 9 e 10.
212
A incerteza associada ao resultado de uma medição é um parâmetro que
caracteriza a dispersão dos valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao
mensurando. Operacionalmente, a dispersão dos valores de alguma quantidade Q é
descrita por uma função densidade de probabilidade (PDF – Probability density
function), f(q). O domínio da PDF é constituída por todos os possíveis valores de Q,
e sua faixa é o intervalo (0, 1). Se o PDF está disponível, a estimativa do Q é obtida
através da avaliação do valor esperado e sua incerteza padrão é considerada como
sendo igual ao desvio-padrão.
Embora a obtenção do PDF mais adequado para uma determinada aplicação
particular não seja simples, se o mensurando Q está relacionado a um conjunto de
outras quantidades P=(P1,P2,P3,...,Pp)t através de um modelo de medição Q = M(P),
linear ou fracamente não-linear, a incerteza padrão de Q pode ser expressos em
termos das incertezas dos padrões das quantidades de entrada (P1,P2,P3,...,Pp)
usando a chamada lei de propagação de incertezas (LPU – Law of propagation of
uncertainties). Em vez da LPU, a técnica baseada no Método de Monte Carlo pode
ser aplicada a modelos lineares, bem como aos modelos não lineares.
A técnica baseada no Método de Monte Carlo requer que primeiro seja
atribuindo funções densidade de probabilidades (PDF) para cada quantidade de
entrada. A seguir, um algoritmo de computador, é criado para gerar um vetor de
entrada p=(p1,p2, p3,...,pp)t ; cada elemento pj deste vetor é gerado de acordo com as
especificidades da PDF atribuída à quantidade correspondente Pj. Ao aplicar o vetor
gerado p ao modelo Q = M(P), um correspondente valor de saída q pode ser
computado. Se o processo é repetido simulando n vezes (n muito maior que 1), o
resultado é uma série de indicações (q1,q2,q3,...,qn), cuja a distribuição de frequência
permite identificar o PDF de Q, f(q). Então, independentemente da forma do
presente PDF, a estimativa qe e seu associado padrão de incerteza u(qe) pode ser
calculado por:
qe =
1 n
∑ ql ,
n l =1
e
(5.10)
213
u (qe ) =
n
1
( ql − q e ) 2 .
∑
(n − 1) l =1
(5.11)
As quantidades de entrada (P1,P2,P3,...,Pp) no modelo Q = M(P) são
normalmente primárias. Isto significa que a sua correspondente PDF deve ser
determinada a partir das informações obtidas através das medições. Por exemplo,
se Pj é uma variável de quantidade não-estáveis, sua PDF pode ser inferida pela
medição direta e repetidamente em condições de repetibilidade Pj com um
instrumento que mostra insignificante sua variação durante o período de
observação. Se estas condições não podem ser alcançadas, uma situação de
escassez de informação surge e outras informações de dados experimentais devem
ser consideradas para atribuir o PDF para Pj e avaliar a sua incerteza.
No
contexto
de
escassez
de
informações,
existe
um
critério
internacionalmente aceito para a atribuição de um PDF a uma quantidade, que é
referenciado como Princípio da Máxima Entropia (PME – Principle of Maximum
Entropy) e é composto por uma seleção do que é mais provável, entre todas as
possíveis PDFs que cumpram com as restrições impostas pelas informações
disponíveis. Por exemplo, se apenas uma faixa de erro dj pode ser associado com o
único dado disponível pj da quantidade Pj, recomenda-se que a PDF para pj seja
retangular no intervalo (pj-dj, pj+dj); em seguida, a incerteza padrão associada à pj é:
u (qe ) =
dj
3
.
(5.12)
Note que, embora as PME ofereçam uns critérios objetivos para a atribuição
do tipo da PDF, ele continua a ser desconhecido se o atual dado pj não fornece
qualquer informação sobre sua faixa de erro associado dj. Nesse caso, o valor de dj
é considerado como sendo igual ao erro máximo que pode razoavelmente atribuído
ao valor medido pj. Esta abordagem permite inclusive no processo de avaliação da
incerteza, algumas fontes de erro que caso contrario dificilmente seriam
consideradas explicitamente no contexto da falta de informação.
CORDERO et al. (2007) sugere que as influencias das fontes de erro que
afetam os valores de fase sejam considerados no modelo por meio dos valores de
214
intensidade Ik. Isso é realizado pela modificação da Equação 3.9, mostrado a seguir
onde k varia de 1 até N (número de imagens):


 2k − N − 1 
I k ( x, y ) = I m ( x, y ) + I a ( x, y ) cos φ ( x, y ) + 
(δ + ε ) + ξ k  + ζ k ( x, y ) (5.13)
2




Comparando-se as Equações 3.9 e 5.13, pode-se observar que foram
incluídas três novas quantidades [ε, ξk,ζk(x,y)]. ε permite considerar a propagação de
incerteza proveniente de um erro sistemático na calibração do deslocamento de fase
(δ). Considera que ε tenha valor máximo de π/10. Assim a faixa do erro designado
para ε seja um PDF retangular variando no intervalo de [-π/10, π/10]. ξk permite
considerar influência de perturbações no ambiente devido a vibrações que alteração
para cada imagem (k) capturada. Estas vibrações são de alta frequência e a faixa do
erro é um PDF retangular variando no intervalo de [-π/20, π/20], tendo valores
diferentes para imagem capturada pela câmera fotográfica. ζk(x,y) permite
considerar a propagação de incerteza devido a ruídos óticos aleatórios. Estes ruídos
assumem valores diferentes para cada imagem (k) e para cada pixel (x,y) de uma
imagem.Estes ruídos ζk(x,y) de intensidade luminosa variam no intervalo de [-10, 10]
para frames monocromáticos com pixéis de 8 bits com os tons de cinza entre 0 e
255. Todas estas considerações acima são sugeridas por CORDERO et al. (2007) e
foram seguidas.
Nota-se que a distribuição de fase φ* variou-se de [-π, π] radianos e que o
deslocamento de fase (δ) oscilou-se no intervalo de [0, π] que são os valores mais
comumente utilizados na Técnica Moiré de Sombra. Assim o modelo, Q=M(P),
permite calcular as quantidades de saída Q = (φ*) dos valores das quantidades de
entrada P=[φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)]t. Este processo de simulação e a correspondente
cálculo de fase é repetido 10.000 vezes (104). Assim foram geradas entradas
segundo as PDF de todas as quantidades [φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)] e obtidas às saídas
(φ*1, φ*2, φ*3,..., φ*10000). Com as saídas (φ*1, φ*2, φ*3,..., φ*10000) e usando as
Equações 5.10 e 5.11, a incerteza padrão de φ*, u(φ*), é igual ao desvio padrão da
série de saída.
Em razão do modelo de medição Q=M(P) ser fortemente não linear, a
incerteza padrão das quantidades de saídas φ* devem ser expressas em termos das
215
incertezas padrões das quantidades de entrada [φ(x,y), δ, ε, ξk, ζk(x,y)] pelo uso da
técnica de propagação de incerteza baseada no Método de Monte Carlo. Os
resultados da aplicação desta metodologia desenvolvida por CORDERO (2007) para
as novas equações do cálculo de fase desenvolvidas na tese são apresentadas a
seguir. Foram desenvolvidos programas computacionais para se realizar tais
análises de incerteza.
CORDERO et al. (2007) realiza o estudo para dois algoritmos, o convencional
N-bucket e o de auto-calibração (N+1)-bucket, que admite o uso de N imagens (N ≥
4), mas que exige o deslocamento de fase (δ) seja fixa e igual a 2π/N. Como as
novas equações do cálculo de fase desenvolvidas na tese são derivadas do
Algoritmo de Carré onde o deslocamento de fase (δ) pode ser arbitrário, a incerteza
padrão de todas as equações do cálculo de fase em relação às variações de ε são
u(φ*)=0. Nota-se que este é um resultado teórico proveniente da metodologia
proposta, onde o deslocamento de fase é somado à quantidade ε ou, seja (δ+ε), pois
na prática pode haver erros devido ao deslocamento de fase (δ) não ser constante
entre as imagens.
Optou-se na tese por uma questão de simplicidade e sintetização de estudar
e analisar todas as fontes de erros combinados. Assim nos resultados mostrados
são a soma das fontes de erro proveniente das perturbações do ambiente ξk mais as
influencias causadas pelos ruídos aleatórios ζk(x,y). Dando-se maior importância a
distinção da incerteza padrão u(φ*) para um dado valor de fase φ e também para um
valor do deslocamento de fase δ específico. Foram assim testadas 32 equações do
cálculo de fase (4a, 5a, 6a, 6b, 6c, 6d, 6e, 7a, 7b, 7c, 7d, 8a, 8b, 8c, 8d, 9a, 9b, 9c,
10a, 10b, 10c, 11a, 11b, 11c, 12a, 12b, 13a, 13b, 14a, 14b, 15a, 16a) mostradas nas
Tabelas 8, 9 e 10. Na aplicação da metodologia de propagação da incerteza, levouse também em conta o processo de troca de φ∈[0,π/2] para φ*∈[-π,π].
O gráfico da Figura 38 mostra a incerteza padrão u(φ*) em função do valor da
fase φ usando todas as fontes de erros combinados. Observa-se no gráfico como a
incerteza padrão é menor para equações com valores alto do número de imagens
(N). Nota-se, também que a incerteza padrão é maior quanto o valor da fase se
aproxima de π/2 e de seus múltiplos (-3π/2, -π/2, 0, π/2, 3π/2). Uma possível
explicação para este fenômeno pode estar na avaliação do arcotangente de valores
muito grandes para esta faixa de ângulos.
216
Incerteza Padrão u(φ*) radianos
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
Valor da Fase (φ)radianos
Equação 4a
Equação 5a
Equação 6a
Equação 6b
Equação 6c
Equação 6d
Equação 6e
Equação 7a
Equação 7b
Equação 7c
Equação 7d
Equação 8a
Equação 8b
Equação 8c
Equação 8d
Equação 9a
Equação 9b
Equação 9c
Equação 10a
Equação 10b
Equação 10c
Equação 11a
Equação 11b
Equação 11c
Equação 12a
Equação 12b
Equação 13a
Equação 13b
Equação 14a
Equação 14b
Equação 15a
Equação 16a
Figura 38 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ) também
em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se o
maior valor da incerteza em equação com número de imagens pequeno.
Fonte: Resultados da pesquisa.
A Figura 39 mostra mais claramente o efeito do uso de equações com um
número de imagens maior sobre a incerteza padrão. Foram escolhidas apenas
algumas equações de cálculo nos extremos da quantidade de imagens para não
sobrecarregar visualmente o gráfico.
217
0,250
Incerteza Padrão u(φ*) radianos
0,200
Equação 4a
0,150
Equação 5a
Equação 6a
Equação 8a
Equação 12a
0,100
Equação 15a
Equação 16a
0,050
0,000
-3,20
-2,58
-1,96
-1,34
-0,72
-0,10
0,52
1,14
1,76
2,38
3,00
Valor da Fase (φ) radianos
Figura 39 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ) também
em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na tese. Nota-se
claramente o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grande.
Assim para N=4 e N=5 têm-se valores altos de u(φ*) e para N=15 e N=16 têm-se valores
mais baixos.
Fonte: Resultados da pesquisa.
A Figura 40 mostra um gráfico em três dimensões da incerteza padrão versos
a fase para todas as equações de cálculo testas segundo o modelo proposto por
CORDERO et al. (2007). É interessante que como as equações de cálculo têm o
mesmo formado matemático, a variação (forma da curva) em função do valor de fase
φ é aproximadamente a mesma. Nota-se que as equações com maiores valores de
números de imagens as curvas ficam levemente mais achatadas, mostrando uma
oscilação menor nos valores da incerteza padrão. Observa-se o decrescimento do
valor da incerteza padrão com o aumento do valor do número de imagens (N) usado
na equação do cálculo de fase.
218
0,25
Incerteza Padão u(φ*) rad
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
Valores
de Fase
(φ) rad
Figura 40 – Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase desenvolvidos da
incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor de fase (φ)
em
radianos.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Na Figura 41 é mostrada a variação da incerteza padrão combinada u(φ*) em
função do ângulo do deslocamento de fase δ. Novamente, nota-se que a incerteza
padrão é menor para equações com valores alto do número de imagens (N).
Observa-se também que a incerteza é menor quanto o deslocamento de fase δ está
próxima de π/2 ou levemente acima deste valor. Parece existir um ângulo ótimo do
deslocamento de fase δ em que a incerteza padrão é mínima que não é o mesmo
para todas as equações de cálculo, mas que em todas as equações testadas esta
próxima de 90º (π/2 rad).
219
0,250
Incerteza Padrão u(φ*) radianos
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
0,000
0,196
0,393
0,589
0,785
0,982
1,178
1,374
1,571
1,767
1,963
2,160
2,356
2,553
2,749
2,945
3,142
Deslocamento de Fase (δ) radianos
Equação 4a
Equação 5a
Equação 6a
Equação 6b
Equação 6c
Equação 6d
Equação 6e
Equação 7a
Equação 7b
Equação 7c
Equação 7d
Equação 8a
Equação 8b
Equação 8c
Equação 8d
Equação 9a
Equação 9b
Equação 9c
Equação 10a
Equação 10b
Equação 10c
Equação 11a
Equação 11b
Equação 11c
Equação 12a
Equação 12b
Equação 13a
Equação 13b
Equação 14a
Equação 14b
Equação 15a
Equação 16a
Figura 41 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase
(δ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na
tese. Nota-se o maior valor da incerteza em equação com número de imagens pequeno.
Observa-se que para δ entre 85º e 115º, o valor da incerteza em todas as equações é
menor.
Fonte: Resultados da pesquisa.
Na Figura 42 tem-se uma visão mais clara do efeito do uso de equações com
um número de imagens maior sobre a incerteza padrão. Foram escolhidas apenas
algumas equações de cálculo nos extremos da quantidade de imagens para não
sobrecarregar visualmente o gráfico. Observa-se que para o deslocamento de fase δ
entre 85º (1,48 rad) e 115º (2,00 rad), o valor da incerteza em todas as equações é
menor. Parece ser possível usando esta análise de propagação de incerteza,
determinar para cada equação de cálculo um valor ótimo de δ que certamente não é
o mesmo para todas as equações; em KEMAO et al. (2000) pode ser encontrado
material que auxilie o desenvolvimento deste estudo. Por uma questão de não se
abandonar o foco da tese, esta busca por um valor ótimo de δ é sugerida para
trabalhos futuros.
220
Incerteza Padrão doa valores de fase u(φ*) radianos
0,250
0,200
0,150
Equação 4a
Equação 5a
Equação 6a
Equação 8a
0,100
Equação 12a
Equação 15a
Equação 16a
0,050
0,000
0,00
0,31
0,63
0,94
1,26
1,57
1,88
2,20
2,51
2,83
3,14
Deslocamento de Fase (δ) radianos
Figura 43 – Incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase
(δ) também em radianos para as novas equações cálculo de fases desenvolvidas na
tese. Nota-se claramente o menor valor da incerteza em equação com número de
imagens grande. Assim para N=4 e N=5 têm-se valores altos de u(φ*) e para N=15 e
N=16 têm-se valores mais baixos.
Fonte: Resultados da pesquisa.
A Figura 43 mostra um gráfico em três dimensões da incerteza padrão u(φ*)
versos o deslocamento de fase δ para todas as equações de cálculo testas segundo
o modelo proposto por
CORDERO et al. (2007). É interessante que como as
equações de cálculo têm o mesmo formado matemático, a variação (forma da curva)
em função do valor deslocamento de fase δ é aproximadamente a mesma. Nota-se
novamente a queda da incerteza com o aumento do número de imagens (N).
221
Incerteza Padão u(φ*) radianos
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
Deslocamento
de Fase
(δ) radianos
0,00
Figura 43 – Gráfico em três dimensões de todas as equações do cálculo de fase desenvolvidos da
incerteza padrão combinada u(φ*) em radianos em função do valor deslocamento de fase
(δ) em radianos.
Fonte: Resultados da pesquisa.
A Figura 44 mostra as médias das incertezas padrão combinadas para todas
as equações do cálculo de fase testadas. Nota-se que as equações com o mesmo
número de imagens apresentam incertezas semelhantes. E que com aumento do
número de imagens a incerteza diminui. Em Metrologia, a diminuição da incerteza
padrão esta relacionada com o aumento da precisão das medidas (grau de
concordância entre indicações ou valores de quantidades medidas obtidas por
repetidas medições sobre o mesmo ou objetos similares em
condições
especificadas).
Observa-se que as equações com a letra (a) se apresentam um pouco
melhores (menor incerteza) e parecem serem mais robustas experimentalmente em
aplicações práticas. Deve ser dito que das centenas de novas equações de cálculo
desenvolvidas na tese seguindo o modelo descrito no Capítulo 3, foi escolhida para
esta análise de incerteza as que se acreditavam serem melhores e que
apresentaram excelentes resultados experimentais com Moiré de Sombra.
222
Média da Incerteza Padrão u(φφ*) em radianos
Equação 4a
Equação 5a
Equação 6a
Equação 6b
Equação 6c
Equação 6d
Equação 6e
Equação 7a
Equação 7b
Equação 7c
Equação 7d
Equação 8a
Equação 8b
Equação 8c
Equação 8d
Equação 9a
Equação 9b
Equação 9c
Equação 10a
Equação 10b
Equação 10c
Equação 11a
Equação 11b
Equação 11c
Equação 12a
Equação 12b
Equação 13a
Equação 13b
Equação 14a
Equação 14b
Equação 15a
Equação 16a
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
Figura 44 – Gráfico da média da incerteza padrão de todas as equações do cálculo de fase testadas.
Destaca-se o menor valor da incerteza em equação com número de imagens grande.
Fonte: Resultados da pesquisa.
O erro de quantização é devido à limitação da resolução da câmera usada
para capturar as imagens. A resolução R é a menor diferença entre indicações de
que pode ser destacada e que é, obviamente, limitada, no caso dos instrumentos
digitais. O efeito de uma resolução limitada é o arredondamento da intensidade de
vários valores. Este efeito é geralmente significante em imagens. Mas se o desvio
padrão esperado de um conjunto de medidas for igual ou superior a R/2, o efeito da
resolução é insignificante. Por exemplo, se uma câmera CCD de 8-bits é utilizada, a
intensidade de uma imagem é capturada como um nível de cinza monogramático
com valores discretos entre 0 e 255; neste caso, a resolução R é igual a um, e
independentemente da técnica ótica usada nas imagens, como o desvio padrão do
ruído aleatório ζk(x,y) é de cerca de 10/√3, usando a Equação (5.12). Isto significa
que, ao aplicar a lei de propagação de incertezas (LPU – Law of Propagation of
Uncertainties), o desvio padrão mínimo de Ik deve ser próximo de 10/√3. Este valor é
claramente superior a R/2 e, portanto, concluí-se que o erro de quantização da
intensidade pode ser negligenciado neste caso.
Deve notar que CORDERO et al. (2007) chega às mesmas conclusões que a
análise de incerteza desenvolvida na tese em que usando equação do cálculo de
fase com um maior número de imagens (N) e incerteza padrão u(φ*) diminuir. A
223
diferença é que CORDERO et al. (2007) realiza o estudo para os algoritmos de Nbucket e o de (N+1)-bucket.
5.12 Análises de erros das medições
Seguindo o estudo realizado em RIBEIRO (2006), e visando estimar os erros
de medição do sistema descrito acima, uma expansão da série de Taylor foi aplicada
para a Equação 2.17 ou Equação 4.14 e reescrita na Equação 5.14 da equação
principal da Técnica Moiré de Sombra para distâncias infinitas, extraídas também de
KEPRT et al. (1998), supondo uma distribuição normal e estatisticamente
independente de cada variável do sistema. Os dados aplicados para a análise do
erro foram os mesmos utilizados para as medições dos objetos descritos nos itens
anteriores.
Z=
np
tan α + tan β
ou
Z=
(
pΨ
)
2π
(tan α + tan β )
(5.14)
onde p = passo (pitch) = distância entre as linhas do retículo de referência =
frequência do retículo = frequência espacial do retículo; α = ângulo entre a normal e
o feixe de luz; β = ângulo entre a normal e o ponto de observação (observador); n =
φ / (2π) ou Ψ / (2π) = ordem de franja e Z = profundidade máxima a ser medida =
distância vertical do plano do retículo para o ponto do objeto.
Na análise de incerteza, consideram-se uma distribuição retangular, infinitos
graus de liberdade e intervalo de confiança de 95%. Então, a incerteza de medição
pode ser simplificada para L = distância perpendicular da fonte de luz do retículo =
(1000±10)mm; D0 = L tan β = (0±2,5)mm; Ds = L tan α=(250±2,5)mm; p=(1±0,01)mm
e φ=(2π±π/10)radianos = (6,28±0,314)rad. O valor da incerteza expandida para a
fase (φ), foi escolhida conforme YATAGAI (1993). Os demais valores correspondem
às incertezas dos instrumentos de medição utilizados na montagem do sistema
proposto.
224
Z=
np
np
φp
φ pL
=
=
=
tan α + tan β  D S Do 
D  2π ( D S + Do )
D
+

 2π  S + o 
L 
L 
 L
 L
(5.15)
A Equação 5.16 ilustra a incerteza expandida para o mapa de profundidade(Z)
usando a lei de propagação de incertezas (LPU – Law of propagation of
uncertainties). Abaixo, segue o cálculo para se encontrar a incerteza combinada do
sistema, onde U95 representa a incerteza expandida de cada variável:
2
2




pL
φL
U 95 ( p ) +
U 952 ( Z ) = 
U 95 (φ ) + 
 2π ( DS + Do )

 2π ( DS + Do )

2
2




φp
φpL
U 95 ( L) + 
U 95 ( DS ) +

2
 2π ( DS + Do )

 2π ( DS + Do )



φpL
U 95 ( Do )

2
 2π ( DS + Do )

(5.16)
2
Onde:
∂(Z )
pL
1 × 1000
1000
=
=
=
= 0,6369
∂ (φ ) 2π ( D S + Do ) 6,28(250 + 0) 1570
(5.17)
∂(Z )
φL
6,28 × 1000
6280
=
=
=
= 4,0000
∂ ( p ) 2π ( D S + Do ) 6,28(250 + 0) 1570
(5.18)
∂(Z )
φp
6,28 × 1
6,28
=
=
=
= 0,0040
∂ ( L) 2π ( D S + Do ) 6,28(250 + 0) 1570
(5.19)
∂(Z )
φ pL
6,28 × 1× 1000
6280
=
=
=
= 0,0160
∂ ( D S ) 2π ( D S + Do ) 2 6,28(250 + 0) 2 392500
(5.20)
∂(Z )
φ pL
6,28 × 1× 1000
6280
=
=
=
= 0,0160
∂ ( D o ) 2π ( D S + D o ) 2 6,28(250 + 0) 2 392500
(5.21)
Logo:
U 952 ( Z ) = (0,6369mm / rad × 0,314 rad ) 2 + (4 × 0,01mm) 2 +
(0,004 × 10mm) 2 + (0,016 × 2,5mm) 2 + (0,016 × 2,5mm) 2
(5.22)
U 952 ( Z ) = 0,0464 mm
(5.23)
U 95 ( Z ) = ±0,2154mm
(5.24)
225
Abaixo, segue o cálculo para se encontrar a incerteza relativa expandida do
sistema, segundo modelo proposto por YATAGAI (1993):
2
2
U 95 ( p )  U 95 ( L)   U 95 ( DS )   U 95 ( Do ) 
U 95 (φ ) 
U 95 ( Z ) 
 Z  =  φ  +  p  +  L  +  (D + D )  +  (D + D ) 


  S



 
o 
o 
 S
2
2
2
2
2
2
2
2
 0,314   0,01  10   2,5   2,5 
U 95 ( Z ) 
 Z  =  6,28  +  1,0  + 1000  +  250  +  250 
 
 




 
 
2
(5.25)
2
(5.26)
2
U 95 ( Z ) 
 Z  = 0,0028


(5.27)
U 95 ( Z )
= 0,0529 = 5,3%
Z
(5.28)
Com isso, a incerteza expandida relativa do sistema é de 5,3% do valor
medido aproximadamente, onde a Equação 5.29 mostra as incertezas expandidas
relativa a cada variável:
 U 95 (φ )
= 5% = 0,05

φ

 U 95 ( L) = 1% = 0,01

L
 U 95 ( p)
= 1% = 0,01

p
 U (D )
 95 S = 1% = 0,01
 ( DS + Do )
 U (D )
 95 o = 1% = 0,01
 ( DS + Do )
(5.29)
Nota-se que esta análise de erro é elaborada, usando-se a equação do
cálculo de fase com 4 imagens. A incerteza expandida em relação à fase φ é bem
maior que todas as outras, mas com o aumentando do número de imagens
possivelmente a incerteza em relação à fase U95(φ) irá cair sensivelmente. Daí a
importância de se ter novas equações de cálculo que dão uma precisão maior no
valor da fase.
Experimentalmente, esta análise é aproximada, pois é difícil estimar o valor
da incerteza expandida de φ com um dado intervalo de confiança. Acredita-se que a
226
principal fonte erro esteja em manter o deslocamento de fase (δ) constante entre as
N imagens que vão ser usadas no cálculo de fase. O deslocamento de fase nos
experimentos realizados foi feito manualmente, ajustando-se o micrômetro.
Melhorias na montagem do experimento poderiam diminuir o erro
significativamente, como um sistema que possibilitasse um movimento contínuo do
retículo com velocidade constante, e que a máquina fotográfica tirasse dezenas de
fotografias em intervalos de tempos iguais, como se fosse uma filmagem. Isso
possibilitaria a aplicação de equações de cálculo com muitas imagens e de alta
precisão, em HUANG et al. (2008) pode ser encontrado alternativas para este
desenvolvimento.
5.13 Conclusões do capítulo
Com base na Inferência Estatística, pode-se concluir que para fotografias
reais da Técnica Moiré de Sombra e imagens geradas por computador com erros e
ruídos aleatórios, quanto maior o número de imagens nas equações do cálculo de
fase, menor o erro nas medições e maior a precisão no uso da Técnica de Moiré.
Todas as equações com o mesmo número de imagens apresentam precisão
semelhante, não se podendo concluir que uma é melhor que a outra.
A conclusão que se conseguiu extrair, estatisticamente, é que as equações do
cálculo de fase, utilizando-se maior número de imagens, têm melhor precisão e
possivelmente menor erro do que as equações que utilizam uma quantidade menor
de imagens. Uma possível razão para isso seria porque com mais imagens tem-se
mais informação e maior redundância de medições, o que reduz os erros aleatórios
das medidas obtidas por meios das fotografias.
A intenção deste capítulo foi testar as novas equações do cálculo de fase que
utilizam mais de quatro imagens, comprovando-se que sua utilização é viável e
indicada para compor algoritmos melhores e com maior precisão na implementação
da Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase.
Após inúmeras tentativas, não se conseguiu determinar o quanto o erro
diminui com o aumento do número de imagens. Talvez a Técnica Moiré de Sombra
não seja a mais indicada para isso, pelo fato do erro ser dependente de um grande
227
número de variáveis como o espaçamento do retículo, o valor do ângulo
deslocamento de fase, a iluminação usada, o tamanho do objeto a ser medido, a
resolução em pixéis da câmera etc.
Nota-se ainda que, com quatro imagens fotográficas reais, e aplicando a
Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase, obteve-se um erro relativo
em torno de 2% a 9% dos valores medidos, e que na medida em que se aumenta o
número de imagens, este erro relativo cai, ficando em torno de 0,1% a 5% para
dezesseis imagens (Equação 2.9).
Observa-se que nenhuma das metodologias de testes usadas neste capítulo
são inéditas. Mas que existe uma vasta bibliografia sobre elas e vários exemplos dos
seus usos na verificação de outros algoritmos do cálculo de fase. De original na tese
são as novas equações de cálculo desenvolvidas e a aplicação destas conhecidas
metodologias de Estatísticas e de Metrologia para testar estas inéditas equações do
cálculo de fase criadas neste trabalho científico.
228
CAPÍTULO VI - CONCLUSÕES
Como proposto em seu objetivo geral, desenvolveu-se, nesta pesquisa, uma
generalização do Algoritmo de Carré, comprovando que a mesma não está mais
restrita a quatro amostras ou imagens. Com estas novas técnicas, conseguiram-se
obter medidas mais precisas e com menores incertezas. Estas novas equações do
cálculo de fase foram testadas na Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de
Fase, com o passo de deslocamento de fase desconhecido para quatro ou mais
imagens.
Métodos numéricos foram utilizados para a obtenção dessas novas equações
de generalização do Algoritmo de Carré, alterando o enfoque do problema tratado,
até então, como analítico e algébrico. Por essa razão, consideram-se essas novas
equações inéditas como um dos mais importantes resultados desta pesquisa. De
forma criteriosa, as novas equações desenvolvidas foram analisadas e testadas
metrologicamente, por meio de análise de erro e da caracterização e estimação das
prováveis fontes de incerteza. A análise de incerteza permitiu comparar as novas
equações do cálculo de fase desenvolvidas.
O capítulo III apresenta o processo de desenvolvimento das equações do
cálculo de fase inéditas e totalmente originais, descrevendo, passo a passo, como as
novas equações foram encontradas cronologicamente. Não se obteve sucesso em
estimar como o erro médio métrico nas medidas do perfil dos objetos diminui à
medida que se aumenta o número de imagens. Uma razão para este fracasso foi à
enorme quantidade de variáveis que influenciaram as medições, utilizando-se Moiré
de Sombra. Mas é de grande importância que estas novas equações do cálculo de
fase sejam mais estudadas e trabalhadas no futuro.
A própria Técnica Deslocamento de Fase usando 3,4 ou 5 imagens já é uma
forma de melhorar a precisão das medições com Moiré de Sombra, uma vez que
com uma única fotografia de franjas e aplicando FFT, podem-se realizar as medidas
perfilométricas de objetos. Usa-se 3 imagens, no mínimo na técnica padrão, pois se
tem três incógnitas Im, Ia e φ. O Algoritmo de Carré usa quatro imagens, uma vez que
se tem 4 incógnitas Im, Ia, φ e δ. A generalização de Carré apresentada neste estudo
pauta-se numa visão mais ampla, que considera ruídos nas imagens e usa
equações com um grande número de imagens para melhorar a precisão das
229
medições. A questão dessa abordagem não é o número de incógnitas, mas a
melhoria das medidas obtidas com o aumento da quantidade de observação ou
informações sobre o perfil de um objeto. A hipótese da existência de grande
quantidade de ruídos nas imagens parece ser verdadeira. Os erros randômicos
podem ser reduzidos com maior número de medidas, e os erros sistemáticos, só
com calibração.
No processo de comparação das novas equações do cálculo de fase, usou-se
a inferência estatística através do Teste T-Student, para determinar, pela média,
qual era a mais precisa e qual apresentava menor incerteza nas medições.
Observou-se que, quanto maior o número de imagens reais (fotografias digitais) ou
com ruídos aleatórios, menores os erros médios em milímetros das medidas
realizadas com a aplicação da Técnica de Moiré.
O teste estatístico T-Student emparelhado mostrou, claramente, que quando
se aumenta o número de imagens para se realizar a medição, tem-se uma melhor
precisão e um menor erro médio métrico nas medidas do perfil dos objetos. Com a
alteração da equação do cálculo de fase, mantendo-se do número de imagens, não
se nota melhoria na precisão e o erro médio métrico nas medidas do perfil é bem
semelhante. Este fenômeno se deve à presença de erros aleatórios nas fotografias
de Moiré, que foi comprovada, usando-se imagens geradas pelo computador.
Quando, nas imagens geradas, não se acrescentava os erros aleatórios, o erro
médio métrico nas medidas do perfil dos objetos era praticamente o mesmo para
qualquer número de imagens. Por outro lado, quando nas imagens geradas por
computador se acrescentava os erros aleatórios, o erro médio métrico nas medidas
do perfil dos objetos diminuía com o aumento do número de imagens.
Dentre as vantagens das novas equações do cálculo de fase propostas nesta
tese está à melhoria na precisão das medidas obtidas, como mostrado pelo Teste T-
Student no Capítulo V, e a maior imunidade a ruídos aleatórios presentes nas
imagens fotográficas das Franjas de Moiré. Entre as desvantagens, está à maior
quantidade de imagens necessárias para realizar as medições e a obrigatoriedade
do deslocamento de fase entre as imagens serem as mesmas e constantes. O
deslocamento de fase pode ser qualquer valor, mas este valor deve ser exatamente
o mesmo entre todas as imagens, o que dificulta a suas aquisições.
O Algoritmo de Carré foi expandido nesta pesquisa, podendo as novas
equações deduzidas serem aplicadas em diversos campos da Engenharia.
230
Constatou-se, pois, que seu uso transcende a Técnica de Moiré e da interferometria,
podendo ser usado na análise de sinais, em telecomunicações e em microscopia
eletrônica. Desta forma, conclui-se que é possível a utilização da generalização do
Algoritmo de Carré na ampliação e visualização em três dimensões de objetos muito
pequenos, pelo uso de várias imagens e observações.
A implementação computacional de fácil utilização e entendimento da Técnica
Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase e de técnicas numéricas de
Otimização Inteira Não-linear se fizeram necessária para o desenvolvimento da
pesquisa. Também uma revisão bibliográfica sobre a Técnica Moiré de Sombra com
Deslocamento de Fase e métodos numéricos de Programação Inteira Não-linear se
impôs, gerando um material didático consistente e de fácil compreensão.
Nota-se ainda que a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fase foi
usada apenas para se comparar as novas equações desenvolvidas. Em vista disso,
não houve necessidade de se estimar detalhadamente e minuciosamente todas as
possíveis fontes de erros e incertezas nas montagens experimentais. Uma vez que
as mesmas imagens fotográficas eram usadas em todas as equações de cálculo de
fase desenvolvidas. Isso facilitou tremendamente o trabalho experimental da tese.
A principal contribuição inédita da tese são as novas equações de cálculo de
fase desenvolvidas. Estas equações devem ser aplicadas quanto o passo do
deslocamento de fase é desconhecido, mas constante entre as imagens. Destacase, também o modelo matemático criado para o desenvolvimento destas novas
equações e o uso de métodos numéricos para a resolução deste modelo. Outro fato
importante é a observação de que usando equações para o cálculo de fase com um
número crescente de imagens nota-se uma diminuição na incerteza e no erro das
medições experimentais com a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de
Fase.
Acredita-se que a tese seja uma contribuição importante no uso do Algoritmo
de Carré que não fica mais restrito a quatro observações ou medidas. Além disso, a
tese representa avanços em medições ou métodos experimentais usando a Técnica
de Moiré com Deslocamento de Fase, buscando mais precisão e exatidão nas
medidas com maior imunidade a ruídos e robustez na sua aplicação.
Dentre os resultados obtidos, a Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento
de Fase mostrou-se perfeitamente utilizável em muitas aplicações práticas da
indústria automobilística, sendo possível melhorar, ainda mais, a sua precisão,
231
diminuindo a margem de erro na medição do perfil de objetos. Pelo que foi
assimilado durante os testes, acredita-se que muitos avanços podem ser realizados
no sentido de tornar esta técnica uma das mais importantes nas medições óticas em
três dimensões.
Os objetivos da tese ora defendida foram plenamente alcançados, embora o
sucesso de qualquer estudo científico se ratifique, efetivamente, na sua
continuidade. Logo, é de grande importância que as pesquisas sobre as Técnicas de
Moiré e o Algoritmo de Carré permaneçam incluídas no Programa de Pós-graduação
em Engenharia Mecânica e no Laboratório de Análise Estrutura da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais.
Antes do término deste estudo, faz-se necessário apresentar a proposta de
evolução da tese ora defendida, que representa um esforço significativo e muito
importante no âmbito das pesquisas sobre o Algoritmo de Carré e a Técnica de
Moiré, que deverá ter prosseguimento como parte do Programa de Pós-graduação
em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade de Minas Gerais, dada a
existência de um substancial legado de pesquisas anteriores, como experimentos
montados, equipamentos, programas e técnicas já desenvolvidas.
Acredita-se que já houve um substancial avanço sobre este tema no
Laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, mas pode-se alcançar um patamar
bem mais elevado no seu processo evolutivo, através de importantes aplicações
práticas para a indústria automobilísticas como, por exemplo, a criação de um
sistema automático de controle de qualidade por meio da medição de peças e
componentes, usando a Técnica de Moiré pela comparação com um padrão ou
modelo desejado.
Verificou-se que a construção de equipamentos de medição e controle de
qualidades dimensionais de peças industriais podem ser feitos pela Técnica de
Moiré, onde as peças produzidas são medidas oticamente e comparadas a um
padrão previamente estabelecido, constatando-se que o sistema computacional
rejeita ou aceita a peça, em função das medições realizadas através das suas
fotografias das Franjas de Moiré.
Aplicações nas áreas de Medicina e Odontologia também podem ser
desenvolvidas com o uso da Técnica de Moiré na medição e análise da coluna
vertebral, planta dos pés e arcada dentária, auxiliando no diagnóstico de doenças e
prevenção de problemas futuros para a saúde das pessoas.
232
Utilizar as Técnicas Moiré de Sombra para determinar, com a necessária
precisão, deslocamentos e posições relativas de corpos em movimento, como na
presente proposta, a capacidade de um disco ou prato giratório flexível que se
deforma sobre a ação de forças inerciais. Ou seja, a Técnica de Moiré poderia ser
aplicada com resultados satisfatórios na geração de Modelos Digitais de Elevação
ou Topográficos de superfícies irregulares em movimento.
Desenvolver um sistema para inspecionar a qualidade dos vidros utilizados
em automóveis, usando a Técnica de Moiré. Propõem-se o desenvolvimento de um
processo de computador para detecção de pontos de defeitos e distorções
presentes em vidros usados em automóveis como pára-brisas, utilizando
Processamento Digital de Imagens em fotos obtidas por meios de câmeras digitais,
pela Técnica Moiré de Sombra com Deslocamento de Fases.
Uma importante proposta de pesquisa seria o desenvolvimento de
equipamentos para melhorar e aumentar a precisão da Técnica de Moiré. Usando a
oficina do Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais e com a aquisição de outros equipamentos,
poder-se-ia criar novos processos no uso da Técnica Deslocamento de Fase.
Uma ideia seria um sistema que movesse o retículo com velocidade constante
e uma câmera digital pudesse capturar dezenas de imagens por segundo em
intervalos de tempos iguais. Com isso seria possível testar as novas equações
criadas, nesta pesquisa, para muitas imagens usando Moiré de Sombra. Outra ideia
seria a implementação da Técnica de Moiré de Projeção, mas para isso seriam
necessários projetores de luz (tipo Data Show), onde se projetaria os retículos já
com o deslocamento de fase para, automaticamente, capturar as imagens com uma
câmera digital.
Usando equipamentos com um custo maior como fontes de luz com feixes
paralelos de alta potência e retículos com milhares de linhas por mm, seria possível
fazer medições de alta precisão com erro da ordem de micrometros ou até
nanômetros com diversas aplicações práticas e industriais. Muitos objetos,
equipamentos e projetos que podem ser aproveitados estão disponíveis no
Laboratório de Análise Estrutural, inclusive, softwares prontos e testados para as
medições de Moiré.
Propõem estudos melhores e mais detalhados das novas equações de
cálculo desenvolvidos nesta tese, principalmente das equações com grande
233
quantidade de imagens. Estas não foram estudadas experimentalmente por
limitação da montagem experimental realizada, que dificultava o trabalho com um
número grande de deslocamentos de fase controlada por meio de ajustes manuais
no micrômetro fixado no retículo.
Propõem, também estudos quantitativos de como o erro médio métrico
diminui à medida que se usa as novas equações do cálculo de fase aumentando a
quantidade de imagens. Na tese conseguiu-se mostrar por meio do Teste T-Student
para pequenos números de imagens (até 16) que quando se utilizava para cálculo
da fase equações com quantidades de imagens maiores, o erro médio métrico das
medições diminuía. Mas não se conseguiu determinar a evolução deste decréscimo
no erro devido à enorme quantidade de variáveis que influência a Técnica Moiré de
Sombra. Talvez utilizar a generalização de Carré em outros campos da Engenharia
possam se obter mais sucesso que nesta pesquisa.
Propõem, ainda o desenvolvimento de novas regras e esquemas de geração
de equações do cálculo de fase sem o uso do Método Branch-and-Bound. Além
disso, fazer uma comparação mais detalhada entre equações com o mesmo número
de imagens para verificar se existem vantagens em usar alguma preferencialmente
do que outras. Estudos estatísticos e numéricos de erros podem colaborar neste
trabalho.
234
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249
APÊNDICE A – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.19
TABELA 26
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 9
N=9
Num -1
0
8
-10
0
3
a)
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
-4
0
0
0
0
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-6 0 10
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0 0 0
0 4 0
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8 0
-1
-1 0 -1
Dem -1
0
-1
0
4
0
Num -1
0
6
-6
0
-1
0
5
0
-1
0
0
0
0
0
0
-5
0
2
0
-1
6
0
2
0
0
0
-1
0
-12
0
-5
0
5
0
6
c)
Dem -1
0
0
0
2
0
0
0
Num -1
-2
1
-2
2
4
0
2
6
1
0
0
0
0
0
0
-2
-6
-2
0
1
2
-2
-8
-6
0
6
4
2
-2
-2
-2
0
2
2
1
1
0
-1
e)
Dem -1
-1
0
1
2
Num -1
0
8
-4
0
-8
0
0
0
8
0
0
0
0
0
0
-2
g)
Dem -1
0
2
0 4 0
0 0 -16
0 16 0
-16 0 0
0 0 0
8 0 0
-8 0
8
0
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
2
0
6
0
0
0
-6
0
-1
-1
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-1
-1
2
0
4
0
0
0
-4
0
-1
-1
-1
0
8
-4
0
-2
0
-6
0
2
0
0
0
0
0
0
6
0
-4
0
2
4
0
4
0
0
0
-2
0
-16
0
6
0
-6
0
8
-1
0
2
0
-2
0
2
0
-1
0
1
-1
0
2
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
-2
0
-2
0
1
1
0
-4
0
0
0
2
0
-2
0
-2
0
2
0
1
-1
0
0
0
2
0
0
0
-1
0
8
-10
0
7
0
0
0
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
-4
-1
0
-1
0
4
0
-1
0
-1
1
0
4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
1
-1
0
-8
0
0
0
4
0
2
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
2
0
0
0
b)
d)
f)
h)
-1
2
0
4
0
0
0
-4
0
-1
-1
2
0
1
0
0
0
-1
0
-1
-1
10 0 2
0 -16 0
-14 0 10
0 0 0
0 0 0
0 0 0
7 0 -10
8 0
-1
-1 0 -1
2
0
-1
0
0
0
1
0
-1
-1
250
TABELA 27
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 10
N = 10
Num
-1
0
9
-5
0
-3
a)
0
-2
0
1
-1
-3
0
1
0
1
3
0
-1
0
0
0
2
0
-2
-1
1
1
5
0
6
0
0
0
0
-3
0
-18
0
2
3
-3
-2
0
9
Dem
-1
0
2
0
-1
-1
0
2
0
Num
-1
0
-1
1
1
0
1
0
0
3
0
0
-1
0
1
0
0
1
0
-2
1
-1
0
0
-6
0
0
3
-1
-1
0
0
1
-1
0
0
0
2
-1
0
0
0
0
1
-1
c)
Dem
-1
0
0
1
0
0
1
0
0
Num
-1
-2
9
-6
0
0
6
-6
-6
3
2
0
6
6
-3
-2
0
-6
-6
6
-3
-6
6
6
-6
-6
6
3
6
0
0
6
-6
6
-6
0
2
-18
0
6
0
0
-6
0
9
e)
Dem
-1
-1
2
1
-1
-1
1
2
-1
Num
-1
-2
9
-6
-2
-6
6
0
4
8
2
-2
-4
-6
-4
-2
2
4
6
8
-4
-6
0
-4
-16
6
-6
8
6
2
12
-4
4
-4
4
-6
2
-18
2
0
2
-2
0
-2
9
g)
Dem
-1
-1
2
0
0
0
0
2
-1
Num
-1
0
1
-1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
-1
-1
-2
0
0
1
1
0
-2
-1
0
0
1
1
0
-2
0
-1
-1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
i)
Dem
-1
0
0
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
5
0
1
-1
0
-5
0
-1
-1
-2
9
-6
4
0
0
-4
0
0
0
0
0
-6
-2
0
0
0
6
4
-2
0
4
0
0
6
-6
0
6
-4
0
0
0
0
0
0
2
-18
-4
4
0
0
-4
4
9
-1
-1
2
0
0
0
0
2
-1
-1
0
2
-2
2
0
0
0
2
-1
0
-2
0
-2
2
0
2
0
2
-4
2
0
0
-2
2
2
-2
-1
2
-2
0
-2
0
0
2
0
0
-4
-2
0
2
-2
0
2
2
-1
0
0
1
0
0
1
0
0
2
2
6
-6
-2
2
6
-6
-2
-1
-1
-1
-2
9
-6
-2
-8
6
2
4
8
2
-2
-4
-4
-2
-2
2
4
4
4
-2
-6
-2
-4
-16
4
-4
8
6
2
16
-4
4
-4
4
-8
2
-18
2
-2
2
-2
2
-2
9
-1
-1
2
0
0
0
0
2
-1
2
2
6
-6
-2
2
6
-6
-2
-1
-1
-1
0
2
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
-1
-2
1
0
1
0
0
-1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-4
0
1
0
0
-1
0
2
-1
0
1
0
0
0
0
1
0
-1
0
1
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
-1
1
1
0
0
1
-1
-2
1
0
1
0
-2
-1
1
1
-1
0
0
0
1
-1
0
0
0
-2
0
1
0
0
-1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
2
0
-1
-1
0
0
1
1
0
-1
-1
2
0
1
0
0
0
0
-1
0
-1
-1
-1
b)
d)
f)
h)
j)
-1
2
2
6
0
0
0
0
-6
-2
-1
-1
2
0
2
0
0
0
0
-2
0
-1
-1
2
2
6
-6
-2
2
6
-6
-2
-1
-1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
2
0
-1
0
0
0
0
1
0
-1
-1
251
TABELA 28
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 11
N = 11 Num -1
0
1
-1
0
2
a)
2
0
-2
1
0
-2
0
-1
2
0
0
0
0
0
0
0
2
0
1
-4
0
2
-2
0
2
-2
1
0
-1
1
1
0
-4
2
0
0
0
-2
2
0
-2
0
0
2
0
-2
0
0
1
Dem -1
0
0
1
1
-2
1
1
0
0
Num -1
0
1
-1
0
2
-2
0
2
1
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2
0
0
2
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0
0
0
0
0
0
-2
0
0
-4
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2
2
0
-2
-2
0
0
0
1
1
0
-4
-2
0
0
0
2
2
0
-2
0
0
-2
0
2
0
0
1
c)
Dem -1
0
0
-1
1
2
1
-1
0
0
Num -1
-2
1
0
2
1
0
0
0
2
-2
4
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
-4
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0
-4
0
2
0
0
0
-4
0
0
0
2
0
-2
-2
0
0
0
0
0
1
2
-2
-2
0
-4
0
4
0
2
1
e)
Dem -1
-1
1
0
0
2
0
0
1
-1
Num -1
0
2
-2
-1
2
-1
1
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-1
252
TABELA 29
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 12
N = 12 Num -1
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1
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-1
-1
253
APÊNDICE B – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.51
TABELA 30
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 13
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254
TABELA 31
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 14
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0
-2
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
-1
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1 0 2
0 -2 0
0 0 -1
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 -1 0
0 0 1
1 0
-1
1 0 -1
-1
0
1
1
0
0
0
-1
0
1
0
0
-1
0
-1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
-1
1
1
0
0
0
0
1
-1
-2
1
0
0
0
-1
0
-2
-1
1
1
0
0
1
0
2
0
1
-1
0
-1
0
1
0
-2
0
-1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-1
-1
-1
b)
d)
f)
h)
-1
1 0 2
0 -2 0
-2 0 1
0 -1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
1 0 -1
1 0
-1
0 0 -1
0 2
-4 0
-2 2
-2 0
0 2
0 0
-6 -2
6 2
0 0
0 -2
2 0
2 -2
2 0
-1
0 -1
-1 0 2
0 -2 0
0 0 -1
0 1 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
-1 0 0
0 -1 0
0 0 1
1 0
-1
1 0 -1
255
APÊNDICE C – EQUAÇÕES DESENVOLVIDAS COM O MODELO 3.53
TABELA 32
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 15
N = 15
Num
-1
-2
14
-13
0
0
0
1
1
0
-4
0
1
1
0
3
0
1
6
0
0
0
0
0
1
1
-2
-6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
2
12
0
-6
-3
0
-1
-6
0
0
2
0
-2
0
4
0
-1
-1
0
0
-1
0
1
0
0
0
-1
-1
0
-1
-6
-1
0
1
6
1
0
13
0
0
-1
-1
-1
0
0
0
1
1
1
0
2
-28
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
14
a)
Dem
-1
-1
1
-1
0
1
0
2
0
1
0
-1
1
-1
Num
-1
-2
0
-1
0
2
0
0
2
0
0
0
0
2
3
0
0
2
0
0
2
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
-1
0
0
-2
0
0
-4
0
0
0
2
0
0
0
-2
-6
0
0
0
0
0
3
0
0
-2
0
-2
0
0
0
0
0
2
0
1
0
-4
-2
0
-2
0
0
0
2
0
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b)
Dem
-1
-1
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
-1
Num
-1
0
2
0
2
-1
0
2
-2
-1
-2
0
0
0
2
0
0
0
-2
0
2
0
-4
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
-2
-4
0
2
0
0
0
2
0
-4
-2
0
2
2
2
0
0
0
-4
0
0
0
0
0
2
0
-2
2
2
0
2
0
0
0
-2
0
-1
0
-2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
-2
-1
0
-4
-2
-2
0
0
4
0
-4
0
0
2
2
2
c)
Dem
-1
0
1
1
0
0
0
-2
0
0
0
1
1
0
Num
-1
-2
0
-1
0
2
0
0
2
0
0
0
1
2
2
0
-1
2
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
1
0
1
-2
-1
0
-2
0
0
0
1
0
0
-1
-2
-4
0
0
0
0
0
2
0
0
-2
0
-2
-1
0
0
0
1
2
0
1
0
-4
-2
-1
-2
0
0
0
2
1
2
2
2
0
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
-1
d)
Dem
-1
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
2
13
0
4
-3
0
0
0
3
-4
0
-13
-2
-1
-1
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-2
-1
-1
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
-2
0
0
0
-1
-1
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-2
-1
-1
256
TABELA 33
Equações encontradas para N (número de imagens) igual a 16
N = 16
Num -1
0
1
-1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
-1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
-1
0
-2
1
0
0
0
0
0
-1
2
0
0
-1
0
1
0
1
0
0
-1
-1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
-2
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
1
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
-1
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
1
Dem -1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Num -1
0 -13
15 0
-1
2
3
-3
-5
-3
-3
5
0
0
0
1
0
1
1
-1
0
0
5
-1
-1
0
0
4
0
0
-6
-1
0
1
1
-4
0
0
6
1
0
-1
-2
1
0
0
-5
1
1
0
0
-1
1
0
0
-1
0
-1
-1
2
0
0
0
0
-1
3
3
-5
0
0
-1
1
1
-1
-1
1
0
-2
-3
3
10
0
-1
1
6
-6
-1
1
0
-5
13
0
2
3
-5
0
-5
0
0
5
0
5
-3
-1
Dem -1
0
1
1
0
-2
1
0
0
1
-2
0
1
1
Num -1
2
1
-2
2
0
0
-4
0
1
2
-2
2
0
0
0
0
2
2
-2
1
-2
-2
0
-2
0
0
0
0
0
2
-4
0
0
-2
2
0
0
-2
4
0
0
2
-4
2
2
2
0
2
0
0
0
2
-2
0
0
0
-2
-2
2
-2
0
0
0
0
1
-2
2
-2
0
0
2
0
0
0
0
-2
0
0
4
0
-2
0
-2
2
4
-4
-2
2
0
1
2
-2
0
0
-2
-2
0
-2
2
0
2
2
0
0
-2
-2
-2
4
2
0
2
0
0
-2
0
-2
-4
2
1
1
0
1
0
-1
0
0
0
0
-1
0
1
0
1
a)
b)
c)
Dem -1
Fonte: Resultados da pesquisa.
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
-1
-1
0
2
-30 0
0
13
-3 -2
3
3
-1
0
0
0
0
-4
0
4
0
0
1
0
-3 -3
3
2
0 -13
15
0
-1
0
-1
2
-2
2
0
-2
0
2
0
0
-2
0
2
0
-2
2
-1
-1
257
APÊNDICE D – PROGRAMA DE GERAÇÃO DE EQUAÇÕES
PROCEDURE CALCULA_MATRIZ(N: INTEGER; VAR num:TMATRIX; VAR dem:TVECTOR);
VAR r, s, h, f : integer;
BEGIN
FOR r:=1 TO N DO BEGIN dem[r]:=0; FOR s:=r TO N DO num[r,s]:=0; END; { Zera os coeficientes }
h:=(N DIV 2)+(N MOD 2); dem[1]:=-1; num[1,1]:=-1;
{Caso 1) N é par, N é divisível por 4 e também, N é divisível por 8}
IF (N MOD 4=0) AND (N MOD 8=0) THEN BEGIN
f:=N DIV 4; dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-2,h-2]:=1; num[h-2,h-2+2]:=-1;
num[h-1,h-1]:=1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h, h]:=1;
IF N=8 THEN num[2,4]:=-2;
FOR r:=3 TO f DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f+1 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1;
END;
{Caso 2) N é par, N é divisível por 4, mas N não é não divisível por 8}
IF (N MOD 4=0) AND (N MOD 8<>0) THEN BEGIN
f:=N DIV 4;
IF N=4 THEN BEGIN num[1,2]:=2; num[2,2]:=3; dem[2]:=1; END
ELSE BEGIN dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:=1; END;
FOR r:=3 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f TO h-2 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1;
END;
{Caso 3) N é par, N+2 é divisível por 4 e N+2 é divisível por 8}
IF ((N+2) MOD 4=0) AND ((N+2) MOD 8=0) THEN BEGIN
f:=(N+2) DIV 4; dem[3]:=1;
IF N=6 THEN BEGIN num[1,3]:=-1; num[2,2]:=3; num[2,3]:=1; END
ELSE BEGIN num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-3,h-3]:=1; num[h-3,h-3+2]:=-1; num[h-2,h-2]:=1;
num[h-2,h-2+2]:=-1; num[h-1,h-1]:=1; num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:=1; END;
FOR r:=3 TO f DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f+1 TO h-4 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r, r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1;
END;
{Caso 4) N é par, N+2 é divisível por 4, mas N+2 não é divisível por 8}
IF ((N+2) MOD 4=0) AND ((N+2) MOD 8<>0) THEN BEGIN
f:=(N+2) DIV 4; dem[3]:=1; num[1,3]:=1; num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-3,h-3]:=1; num[h-3,h-3+2]:=-1;
num[h-1,h-1+1]:=1; num[h,h]:=1;
IF N=10 THEN BEGIN num[h-2,h-2+2]:=-1; num[h-1,h-1]:=1; END ELSE num[h-2,h-2]:=1;
FOR r:=3 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f TO h-4 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1;
END;
{Caso 5) N é ímpar, N-1 é divisível por 4 e também, N-1 é divisível por 8}
IF ((N-1) MOD 4=0) AND ((N-1) MOD 8=0) THEN BEGIN
f:=(N-1) DIV 4; dem[2]:=1; dem[4]:=-1; dem[h]:=2; num[1,2]:=2; num[1,3]:=-1;
IF N<>9 THEN BEGIN num[2,3]:=-2; num[3,3]:=2; num[3,5]:=-1; num[f,f+2]:=2; num[f,f+3]:=-2;
num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+1]:=-2; num[f+1,f+1+3]:=2; num[f+2,f+2+1]:=2;
num[h-2,h-2+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=2;
END ELSE BEGIN num[1,4]:=1; num[2,3]:=-3; num[2,4]:=1; num[3,3]:=5; num[3,4]:=-5; num[4,4]:=1; END;
FOR r:=4 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+1]:=-1 ELSE num[r,r+3]:=1;
FOR r:=f+3 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+3]:=-1 ELSE num[r,r+1]:=1;
END;
{Caso 6) N é ímpar, N-1 é divisível por 4, mas N-1 não é divisível por 8}
IF ((N-1) MOD 4=0) AND ((N-1) MOD 8<>0) THEN BEGIN
f:=(N-1) DIV 4; dem[h]:=2;
IF N<>5 THEN BEGIN dem[2]:=1; dem[4]:=-1; num[1,2]:=2; num[3,3]:=2; num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+1]:=-2;
IF N=13 THEN BEGIN num[1,3]:=-2; num[1,4]:=-2; num[1,6]:=1; num[2,2]:=1; num[2,5]:=-1; num[2,6]:=1;
num[3,6]:=-1; num[4,6]:=-1; num[5,5]:=2; num[5,6]:=-2; num[6,6]:=-1; END
ELSE BEGIN num[1,3]:=-1; num[2,3]:=-2; num[3,5]:=-1; num[f,f+2]:=2; num[f,f+3]:=-2; num[f+1,f+1+3]:=2;
num[f+2,f+2+1]:=2; num[h-2,h-2]:=1; num[h-2,h-2+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1; END;
END ELSE num[2,2]:=4;
FOR r:=5 TO f-1 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f+3 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1;
END;
{Caso 7) N é ímpar, N+1 é divisível por 4 e também, N+1 é divisível por 8}
IF ((N+1) MOD 4=0) AND ((N+1) MOD 8=0) THEN BEGIN
f:=(N+1) DIV 4; dem[2]:=-1; dem[3]:=1; dem[h]:=2; num[1,2]:=-2;
IF N=7 THEN BEGIN num[1,3]:=-3; num[2,2]:=4; num[2,3]:=6; num[3,3]:=2; END
ELSE BEGIN num[1,4]:=1; num[2,3]:=1; num[f-1,f-1+3]:=2; num[f,f+1]:=2; num[f,f+2]:=2;
num[f,f+3]:=-2; num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1;
IF N=15 THEN BEGIN num[1,3]:=-1; num[2,2]:=2; num[2,4]:=-2; num[2,5]:=-1; num[3,3]:=1; num[3,4]:=1;
num[3,5]:=-1; num[4,4]:=1; num[h-2,h-2]:=-1; num[h-3,h-3+2]:=1; END
ELSE BEGIN num[2,2]:=1; num[2,4]:=-1; num[h-2,h-2+1]:=1; END; END;
FOR r:=4 TO f-1 DO IF r < 6 THEN IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1
ELSE IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=-1 ELSE num[r,r+2]:=1;
FOR r:=f+2 TO h-3 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r]:=1 ELSE num[r,r+2]:=-1;
END;
{Caso 8) N é ímpar, N+1 é divisível por 4, mas N+1 não é divisível por 8}
IF ((N+1) MOD 4=0) AND ((N+1) MOD 8<>0) THEN BEGIN
f:=(N+1) DIV 4;
dem[h]:=2; num[2,2]:=1; num[f-1,f-1+3]:=2; num[f,f+1]:=2;
IF N=11 THEN BEGIN dem[4]:=-1; dem[5]:=1; dem[h+1]:=1; dem[h+2]:=-1; num[1,3]:=-1; num[1,4]:=-2;
num[f-1,f-1]:=1; num[f,f]:=2; num[f+1,f+1]:=1; num[h-1,h-1]:=2; END
ELSE BEGIN dem[2]:=-1; dem[3]:=1; num[1,2]:=-2; num[2,3]:=2; num[2,4]:= -1; num[f,f+3]:=-2;
num[f,f+2]:=2; num[f+1,f+1]:=2; num[f+1,f+1+1]:=-2; num[h-1,h-1]:=1; END;
FOR r:=3 TO f-1 DO IF r < 5 THEN IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1
ELSE IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=1 ELSE num[r,r]:=-1;
FOR r:=f+2 TO h-2 DO IF (r MOD 2)=1 THEN num[r,r+2]:=-1 ELSE num[r,r]:=1;
END;
dem[N]:=dem[1]; dem[N-1]:=dem[2]; IF N>5 THEN BEGIN dem[N-2]:=dem[3]; dem[N-3]:=dem[4]; END; { Simetria Triangular }
FOR r := 1 TO h DO BEGIN IF (N+1-r)<>r THEN num[r,N+1-r]:=-2*num[r,r];
FOR s := r TO r+5 DO BEGIN
IF ((N+1-s)<>r) AND ((N+1-r)<>s) AND (s<=h) then num[N+1-s,N+1-r]:=num[r,s];
IF (s>r) AND ((N+1-s)<>s) AND (s<=h) THEN num[r,N+1-s]:=-num[r,s];
IF (s>r) and ((N+1-r)<>s) AND (s<=h) THEN num[s,N+1-r]:=-num[r,s];
END;
END;
END;
Figura 45 – Uma implementação em Linguagem Pascal para o cálculo dos coeficientes do
numerador e do denominador para N na faixa de 4 até 90.000.512 (realizado o teste
numérico matemático). As equações designadas com (a) foram geradas por
este programa.
Fonte: Resultados da pesquisa.