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E2) Sabendo que a distância entre os pontos A e B é
igual a 6, calcule a abscissa m do ponto B.
I- CONCEITOS INICIAIS
1-

Distância entre dois pontos na reta
d(A,B) = b  a
Ex: Dados os pontos A e B de coordenadas 2 e 8
respectivamente, calcular a distância entre A e B.
d(A,B) = 8  2
E3) Se na reta real, os pontos A, B e C têm
coordenadas 2,  8 e  3, respectivamente, calcule
o comprimento do segmento:
a) AB
d(A,B) = 6
d(A, B) = 6
2-
3-
Sistema cartesiano ortogonal
 Se P pertence ao eixo das abscissas, suas
coordenadas são (a, 0).
 Se P pertence ao eixo das ordenadas, suas
coordenadas são (0, a).
 Se P pertence à bissetriz do 1º e 3º quadrantes,
suas coordenadas são iguais.
 Se P pertence à bissetriz do 2º e 4º quadrantes,
suas coordenadas são simétricas.
b) BC
c) CB
d) CA
E4) A distância entre dois pontos M e N de abscissas 3
e k, respectivamente, é igual a 10. Calcule os
possíveis valores de k.
Distância entre dois pontos no plano
E5) Calcule, em cada caso, a distância entre os dois
pontos dados:
a) (1, 3) e (9, 9)
45-
d(A,B) =
b) (3, 1) e (5, 14)
 x 2  x 1 2   y 2  y 1 2
c) ( 4,  2) e (0, 7)
Exercícios
E1) Dada a reta real da figura, calcule:
E6) Calcule o comprimento do segmento AB, sendo
 1 1
5 1
A  ,  e B  , 
2 3
2 3
a) d(A, B)
b) d(A, C)
c) d(B, C)
E7) Dados os pontos A (2 3 , 3) e B (4 3 , 1), calcule
d(A, B).
d) d(C, A)
1
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E14) Usando o teorema de Pitágoras, verifique se o
triângulo de vértices A (1, 3), B (6, 1) e C (2, 5) é
retângulo.
E8) Calcule a distância do ponto M (12, 9) à origem.
E9) Determine as coordenadas de um ponto A que
pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, sabendo
que o ponto está a igual distância dos pontos B (7, 2)
e C (2, 1).
E15) O triângulo ABC é retângulo (Â é reto) e o vértice
A é um ponto do eixo das abscissas. Determine as
coordenadas do ponto A, sabendo que B(2, 4) e
C(5, 0).
E10) A distância do ponto P (a, 1) ao ponto A(0, 2) é
igual a 3. Calcule o número a.
4- Ponto médio de um segmento
E11) Calcule o número real a de forma que a distância
do ponto P (2a, 3) ao ponto Q (1, 0) seja igual a
3 2.
 x  x 2 y1  y 2 
,
M 1

2 
 2
Exercícios
E12) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo
que A(1, 3), B (7, 3) e C (7, 11).
E1) Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto
médio do segmento AB.
a) A(1, 7) e B(11, 3)
b) A(2, 5) e B(4, 1)
E13) Prove que o triângulo cujos vértices são os
pontos.A (0, 5), B (3, 2) e C (3, 2) é isósceles e
calcule o seu perímetro.
c) A(0, 3) e B(0, 3)
E2) Sabe-se que M (a, b) é o ponto médio do segmento
AB. Se A(11, 7) e B(9,0), calcule as coordenadas
do ponto M.
2
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II- ESTUDO DA RETA
1- Condição de alinhamento de três pontos
E3) Uma das extremidades de um segmento é o ponto
cujas coordenadas são (2, 2). O ponto médio desse
segmento tem coordenadas (3, 2). Determine as
coordenadas x e y da outra extremidade do
segmento.
E4) (Mauá-SP) Determine as coordenadas dos vértices
de um triângulo, sabendo que os pontos médios dos
lados do triângulo são M(2, 1), N(5, 2) e P(2,3).
y 2  y1 y 3  y1

x 2  x1 x 3  x1

x1
y1
1
D = x2
x3
y2
1
y3
1
Exercícios
E1) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados
quando:
a) A (0, 2), B (3, 1) e C (4, 5)
b) A (2, 6), B (4, 8) e C (1, 7)
e) A (1, 3), B (2, 4) e C (4, 10)
E2) Determine m para que os pontos A (0, 3),
B (2m, 11) e C (1, l0m) estejam em linha reta.
E3) (UCMG) Determine t, sabendo que os pontos
1
2
A( , t), B( , 0) e c (1, 6) são colineares.
2
3
3
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E4) Os pontos A (1, 2), B (3, 1) e C (a, b) são
colineares. Calcule a e b de modo que o ponto C
esteja localizado sobre o eixo das abscissas.
E5) Seja P o ponto de intersecção da reta r com o eixo
das ordenadas. Sendo r a reta determinada pelos
pontos A (1, 2) e B (4, 2), calcule as coordenadas
do ponto P.
 = 90º  tg  não é definida
E6) Determine x de modo que os pontos A (1, 3), B (x,
1) e C (3, 5) sejam os vértices de um triângulo.
tg  = 0º
2- Coeficiente angular
Denomina-se coeficiente angular ou declividade da
reta r o número real m que expressa a tangente
trigonométrica de sua inclinação ..

m=0
3- Cálculo do coeficiente angular
3.1- O ângulo  é conhecido (m = tg )
Se  = 45º, então: m = tg 45º= 1.
Se  = 60º, então: m = tg 60º = 3
m = tg 
3.2- As coordenadas de dois pontos distintos da reta
são conhecidas.
Pode ocorrer:
m = tg  =
tg  > 0  m > 0
m=
CB
AC
yB  y A
xB  x A
3.3- A equação geral da reta é conhecida
ax + bx + c = 0
tg  < 0

a
b
c
n=
b
m=
m<0
4
coeficiente angular
coeficiente linear
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Exercícios

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4.4- Equação geral da reta
Toda reta possui uma equação da forma ax + by +
c = 0, onde a e b não são ambos nulos, que é chamada
equação da reta.
E1) Determine o coeficiente angular das retas que
passam pelos pontos A e B.
a) A(1, 4) e B(3, 2)
Exercícios
b) A(4, 3) e B(2, 3)
E1) Determine a equação da reta que passa pelo
1
ponto A (2, 3) e tem coeficiente angular .
2
c) A(2, 5) e B(2, 1)
E2) Uma reta r passa pelo ponto P (2, 4) e tem
coeficiente angular m = 3. Determine a equação
da reta r.
d) A(4, 1) e B (4, 4)
E2) Calcule a declividade da reta que passa pelos
pontos P1 (1, 20) e P2 (7, 8).
E3) Determine k, sabendo que a inclinação da reta que
passa pelos pontos A (k, 3) e B (1, 4) é de 45º.
E3) Quando a quantidade x de artigos que uma
companhia vende aumenta de 200 para 300, o custo
de produção y diminui de R$ 100,00 para R$ 80,00.
Determine a variação média de custo representada
pela declividade da reta que passa por esses dois
pontos.
E4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
P (4, 1) e tem uma inclinação de 45º.
E5) Dado o ponto A(2, 3), calcule as coordenadas do
ponto B (3k, k +1) de modo que o coeficiente
1
angular da reta AB seja m =  .
2
4- Equação da reta
4.1- Equação de uma reta que passa por um ponto
P(x, y) e cujo coeficiente angular é m.
y – y1 = m(x – x1)
4.2- Equação reduzida da reta
E6) Ache a equação da reta r em cada caso:
y = mx + n
4.3- Equação segmentária da reta
x y
 1
p q
5
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E12) Escreva a equação segmentária da reta que passa
pelos pontos A(3, 0) e B(0, 2).
E13) Uma reta r passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, 4).
Escreva a equação da reta r na forma
segmentária.
E7) Escreva a equação reduzida da reta que tem
coeficiente angular m = 2 e que cruza o eixo y no
ponto (0, 3).
E14) 1 Determine a equação geral da reta que passa
pelos pontos:
a) (1, 2) e (5, 2)
E8) A equação reduzida de uma reta é y = 4x  1.
Calcule:
a) o ponto da reta de abscissa 2;
b) (2, 1) e (3, 2)
b) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0x;
1 2  1 
c)  ,  e   ,1
2 3  4 
c) o ponto de intersecção da reta com o eixo 0y.
E15) Dados os pontos A (2, 3) e B (8,5), determine a
equação da reta que passa pelos pontos A e B.
E9) Dada a reta que tem como equação 3x + 4y =7,
determine o coeficiente angular da reta.
E10) Uma reta passa pelo ponto P (2, 4) e tem
2
coeficiente angular m =  . Determine o
3
coeficiente linear da reta.
E16) Determine a equação da reta que passa pelo
ponto P(2, 3) e pelo ponto Q, simétrico de P em
relação à origem.
E11) Ache a equação segmentária da reta r, indicada
na figura:
E17) Verifique se o ponto A (2, 2) pertence à reta de
equação 2x + 3y  10 = 0.
6
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E18) A reta de equação 3kx + (k  3)y 4 = 0 passa
pelo ponto P (2, 1). Calcule o valor de k, escreva a
equação da reta e determine o seu coeficiente
angular.

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E21) Consideremos a reta que passa pelos pontos A(1,
4) e B(2, 1). Determine o coeficiente angular e o
coeficiente linear dessa reta.
E22) O ponto A(a, a + 3) pertence à reta de equação 5x
 y  5 = 0. Determine as coordenadas do ponto A..
E19) Determine a equação geral da reta r, em cada
caso:
E23) Os pontos A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2) são os vértices
de um triângulo ABC. Determine as equações das
retas suportes dos lados desse triângulo.
E24) São dados os pontos A(l, 3),B(5, 7),C(2,4) e
D(0, 2). O ponto M1 é o ponto médio do segmento AB
e o ponto M2 é o ponto médio do segmento CD.
Determine a equação da reta que passa por M1 eM2.
E20) Os pontos A (1, m) e B (n, 2) pertencem à reta 2x
 3y = 4. Calcule a distância entre A e B.
7
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5- Equações paramétricas
São equações equivalentes à equação geral da reta,
da forma x = f(t) e y = g(t), que relacionam as
coordenadas x e y dos pontos da reta com um
parâmetro t.
x  t  2
Ex: 
 y  t  1
Para obtermos a equação geral da reta a partir das
duas paramétricas, basta eliminarmos t das duas
equações.
t=x–2

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6- Posições relativas de duas retas - Paralelismo
Duas retas, r e s, não-verticais, são paralelas se, e
somente se, têm coeficientes angulares iguais.
Se r  s
então:
mr = ms
Obs: Se as retas forem concorrentes, teremos: mr  ms.
Substituindo esse valor na outra equação, teremos:
y = (x  2) + 1
y=x+3
Exercícios
E1) Qual é a posição da reta r, de equação 6x + 4y 3
=0, em relação à reta s, de equação 9x + 6y  1 =
0?
x+y–3=0
Exercícios
E1) Determine a equação geral das retas definidas por:
x  1  t
a) 
 y  5  3t
E2) As retas r e s, de equações
= 0, respectivamente,
concorrentes?
x  t

b) 
t
 y  2  5
x y
  1 e 2x  y + 5
2 5
são paralelas ou
E3) Dados os pontos A(2, 3) e B(1, 4), determine a
equação de uma reta r paralela a uma reta
determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo
ponto C(1, 2).
 x  3  2k
E2) Seja a reta definida por 
.
y  4  k
E4) Na figura, ABCD é um quadrado. Determine a
equação da reta suporte do lado BC.
a) Determine os pontos de intersecção com os eixos
coordenados.
b) Ache o ponto da reta cuja abscissa é
1
.
2
8
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r
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E3) Uma reta r é determinada pelos pontos A(2, 0) e
B(0, 4), e uma reta s é determinada pelos pontos
C(4, 0) e D(0, 2). Seja P(a, b) o ponto de
intersecção das retas r e s. Determine as
coordenadas do ponto P.
7- Intersecção de retas
y

s
P(x, y)
x
A solução do sistema formado pelas equações de
duas retas, r e s, é o ponto P(x, y), comum a elas e
intersecção das retas.
Exercícios
E1) Determine as coordenadas do ponto P (a, b),
intersecção das retas r e s em cada caso:
a) r: 2x + y  1 = 0 e s: 3x + 2y 4 = 0
E4) Determine os pontos de intersecção da reta de
equação x + 2y  4 = 0 com os eixos.
b) r: x + 2y  3 = 0 e s: x  2y + 7 = 0
E5) Determine a equação da reta que passa pela
origem dos eixos coordenados e pela intersecção das
retas 2x + y  6 = 0 e x 3y + 11 = 0.
c) r: 2x + 3y  8 = 0 e s: 2x  4y + 13 = 0
E6) Seja A(a, b) o ponto de encontro da reta r, de
equação 2x  3y + 1 = 0, com a bissetriz dos
quadrantes ímpares. Determine A.
E2) Sejam as retas cujas equações são x + y 5 = 0, 2x
+ y  7 = 0 e x  3y +7 = 0, respectivamente. Prove
que as retas são concorrentes num mesmo ponto.
E7) Quais são as coordenadas dos vértices de um
triângulo, sabendo que as retas suportes dos lados
desse triângulo têm equações x + 2y  1 = 0, x  2y
 7 = 0 e y  5 = 0, respectivamente?
9
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b) y + x – 7 = 0 e 2x – 2y – 1 = 0
E8) Determine a equação da reta s que passa pela
intersecção das retas m e n, de equações
x
y + 2 = 0 e 3x  y + 6 = 0, respectivamente, e é
1
paralela à reta r, de equação y = x  1 .
2
c) 2x – y – 6 = 0 e –4x + 2y – 5 = 0
E2) As retas de equações x + 2y – a = 0 e 4x + ay – 7 =
0 são perpendiculares. Determine a.
E9) O ponto M é o ponto de intersecção das diagonais
AC e BD de um quadrilátero ABCD. Sendo A(0, 0),
B(3, 0), C(4, 2) e D(0, 5) os vértices do quadrilátero,
determine as coordenadas do ponto M.
E3) Determine o valor de k para que as retas r e s, de
equações kx + y + 2 = 0 e 3x + (k + 1)y – 7 = 0,
respectivamente, sejam perpendiculares.
E4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
A(3, 2) e é perpendicular à reta de equação
3x + 4y = 4.
8- Retas perpendiculares
E5) Dada a reta de equação y + 5 =0, determine a
equação da reta perpendicular à reta dada e que
passa pelo ponto (2, 7).
3
x  3 . Determine a
2
equação reduzida da reta perpendicular a r e com
a mesma ordenada na origem.
E6) Seja a reta r de equação y =
Duas retas r e s são perpendiculares se, e somente
1
se, mr = 
.
ms
E7) Escreva a equação reduzida da reta que passa pelo
ponto (5, 0) e é perpendicular à reta de equação
x5 y3

3
2
Exercícios
E1) Estude a posição relativa dos pares de retas.
a) 3x – 2y + 1 = 0 e 4x + 6y – 1 = 0
10
MATEMÁTICA
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E8) A equação de uma reta r é dada por:
y 1 x 4
1
1 1 =0
2
1 0

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E12) Chama-se circuncentro o ponto de encontro das
mediatrizes dos lados de um triângulo. Se um
triângulo ABC tem como vértices os pontos
A(5, 2), B(1, 3) e C(3, 4), determine as
coordenadas do circuncentro.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
(4, 7) e é perpendicular a r.
E9) São dados os pontos A (1, 1) e B (9, 3). A
mediatriz do segmento AB encontra o eixo dos y
no ponto P. Determine as coordenadas de P.
E10) Os pontos A(2, 1), B(2, 4) e C(0, 2) são os
vértices de um triângulo ABC. Determine a
equação da reta suporte da altura relativa ao lado
AB do triângulo.
E13) Seja 6x  13y + 2 = 0 a equação da reta suporte
da diagonal AC de um quadrado ABCD. Sendo
D(1,5), determine a equação da reta suporte da
diagonal BD desse quadrado.
E11) Os pontos A(0, 2), B(4, 4) e C(2, 6) são os
vértices de um triângulo ABC. Determine as
coordenadas do ortocentro do triângulo.
E14) Determine o ponto N, simétrico de M (2, 4) em
relação à reta r, de equação x  y  6 = 0.
11
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E15) Calcule o simétrico do ponto (1, 1) em relação
à reta de equação y = 2x.

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Essa relação nos fornece o ângulo agudo  entre r
e s, pois tg   0. O ângulo obtuso ’ será o suplemento
de .
ObS:
E16) O ponto A é simétrico do ponto B (1, 7) em
relação à reta r, de equação x  y  5 = 0. Determine
as coordenadas do ponto A.
Se uma das retas for vertical, teremos:
1
tg  =
mr
Exercícios
E1) Determine o ângulo agudo formado pelas retas:
a) 6x  2y + 5 = 0 e 4x + 2y  1 = 0
E17) Os pontos A(5,  1) e B(3, 7) são equidistantes de
uma reta r que contém o ponto P (2, 3). Determine
as possíveis equações dessa reta r.
b) x 
9- Ângulo entre duas retas
c)
Entre duas retas r e s concorrentes e nãoperpendiculares, formam-se ângulos, dentre os quais
determinaremos a medida .
Dependendo da posição das duas retas no plano, o
ângulo  pode ser agudo ou obtuso. Logo:
mr  ms
tg =
1  mr ms
3 y + 1 = 0 e 3x + 2 = 0
3 x – 3y – 1 = 0 e x – 2 = 0
E2) A reta r, cujo coeficiente angular é m1 =
1
, faz
3
um ângulo de 30º com a reta s, cujo coeficiente
angular é m2. Calcule m2.
12
MATEMÁTICA
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10- Distância entre ponto e reta
P(xP, yP)
r: ax + by + c = 0
d(P, r)
E3) Seja uma reta r que passa pelo ponto A (1, 1) e faz
um ângulo de 450 com a reta s, de equação
x
2y + 2 = 0. Determine a equação da reta r
d(P, r) =
ax P  by P  c
a2  b2
Exercícios
E1) Calcule a distância do ponto P à reta r em cada
caso:
a) P(5,7) e r: 4x  3y + 2 = 0
E4) Seja  o ângulo agudo formado pelas retas de
equações x  3y  7 = 0 e x  l3y  9 = 0. Calcule cotg
.
3
b) P(1, 2) e r: y =  x + 1
4
c) P (1, 4) e r: x + y = 0
E5) Determine a equação da reta r do gráfico a seguir.
d) P(2, 6) e r:2x + 1 = 0
E2) Qual é a distância entre a origem e a reta r, que
passa pelos pontos A (1, 1) e B (1, 3)?
E3) Determine as equações das retas paralelas à reta r,
de equação 4x + 3y 5 = 0, e distantes 4 unidades da
reta r.
E6) Ache a tangente do ângulo agudo formado pelas
retas de equações x  2 = 0 e y  4x = 0.
13
MATEMÁTICA
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E4) A distância entre o ponto P (0, k) e a reta r, de
equação 4x + 3y  2 = 0, é igual a 2 unidades.
Determine o valor de k.

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11- Bissetrizes de duas retas
E5) Calcule a distância entre as seguintes retas
paralelas:
a) 12x  9y + 27 = 0 e 12x  9y  18 = 0
Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e
s: a2x + b2y + c2 = 0, que se interceptam em um ponto
Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das
bissetrizes, P  Q, então P eqüidista de r e s, isto é:
d(P, r) = d(P, s)
a1 x  b1 y  c1
( a1 ) 2  ( b1 ) 2
4
2
4
8
b) y = x  e y = x 
3
3
3
3
=
a 2 x  b2 y  c 2
( a 2 ) 2  ( b2 ) 2
Exercícios
E1) Ache a equação das bissetrizes das retas:
a) 3x – 4y – 7 = 0 e 5x + 12y + 7 = 0
E6) Os pontos A(2, 1), B(2, 4) e C(0, 2) são os
vértices de um triângulo ABC. Determine a medida
da altura relativa ao lado BC do triângulo.
b) 2x + y + 3 = 0 e x + 2y – 1 = 0
E7) Seja A o ponto de intersecção da reta r, de equação
x + y 2 = 0, com o eixo das abscissas. Determine a
distância do ponto A à reta s, de equação 3x  4y +
10 = 0.
E2) Determine as equações das bissetrizes dos ângulos
que formam as retas 4x – 3y = 0 e 5x + 12y – 4 =
0.
14
MATEMÁTICA
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GEOMETRIA ANALÍTICA I
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PROF. Diomedes
E3) A reta r da figura a seguir tem equação x + 2y  4
= 0.
12- Cálculo da área de um triângulo
Determine a área do triângulo AOB.
A área de um triângulo de vértices A(xA, yA),
B(xB, yB) e C(xC,, yC) é dada por:
xA
1
A = . D , onde D = x B
2
xC
yA
1
yB
1
yC
1
E4) A reta r, de equação x + 2y 8 = 0, intercepta o
eixo x no ponto A e intercepta a bissetriz dos
quadrantes pares no ponto B. Calcule a área do
triângulo OAB, sendo O a origem.
Exercícios
E1) Determine a área do triângulo cujos vértices são os
pontos:
a) A(3, 3), B(1, 1) e C(4, 0)
b) A(1,
7
), B(4, 3) e C(0, 6)
2
E5) Seja o quadrilátero cujos vértices são os pontos
A(4, 0), B(6, 2), C(2, 4) e D(0, 2). Calcule a área
desse quadrilátero.
E2) Os pontos A(2, 4), B(a, 1) e C(4, 2) são os vértices
do triângulo ABC. Calcule o valor de a, para que
esse triângulo tenha 2 unidades de área.
E6) As retas suportes dos lados de um triângulo são as
retas de equações x + 2y  1 = 0, x  2y 7 = 0 e
y  5 = 0. Calcule a área desse triângulo.
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