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INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA (CAp/UERJ)
MATEMÁTICA – ENSINO MÉDIO - PROF. ILYDIO SÁ
CÁLCULO DE PROBABILIDADES – PARTE 1
1. Origem histórica
É possível quantificar o acaso?
Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses: Rita espera ansiosamente o nascimento de seu
filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do início de um
jogo de futebol, o juiz tira "cara ou coroa" com uma moeda para definir o time que ficará com a
bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria.
Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades.
Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de azar.
Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das probabilidades foi
Cardano (1501-1576). Data dessa época (na obra Liber Ludo Alae) a expressão que utilizamos
até hoje para o cálculo da probabilidade de um evento (número de casos favoráveis dividido
pelo número de casos possíveis). Posteriormente tal relação foi difundida e conhecida como
relação de Laplace.
Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou a evoluir e
ganhar mais consistência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social, como, por
exemplo, auxiliando na descoberta da vacina contra a varíola no século XVIII.
Laplace foi, certamente, o que mais contribuiu para a teoria das probabilidades. Seus inúmeros
trabalhos nessa área foram reunidos no monumental Tratado Analítico das Probabilidades, onde
são introduzidas técnicas poderosas como a das funções geradoras, que são aproximações para
probabilidades com o uso do cálculo integral.
Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o
Cálculo e a Estatística), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como na
Física Nuclear), da Economia, da Sociologia, das Ciências Atuariais, da Informática, etc.
A roleta, um dos jogos de azar preferidos pelos apostadores nos
cassinos, teve sua origem na França do século XVIII. É formada
por 36 elementos dispostos em três colunas de 12 números e um
espaço reservado para o zero. As chamadas apostas simples
são: sair par ou sair ímpar, sair vermelho ou sair preto, e sair
números menores (de 1 a 18) ou sair números maiores (de 19 a
36)
Exemplo: De acordo com a relação de Laplace, a probabilidade de ao lançarmos um dado sair um
número ímpar é 1/2. Esta definição apenas pode ser usada quando o conjunto dos casos é finito
sendo que todos têm a mesma possibilidade ocorrer (equiprováveis).
2. Definições
Experimento Aleatório: Dizemos que um experimento qualquer é aleatório quando, se repetido
diversas vezes nas mesmas condições, pode gerar resultados diferentes. Experimentos aleatórios
acontecem a todo momento no nosso cotidiano perguntas do tipo: será que vai chover? Qual será
o resultado da partida de futebol? Quantos serão os ganhadores da Mega-Sena da semana? São
questões associadas a experimentos aleatórios e que dependem do acaso. Experimentos
aleatórios são os objetos de estudo do cálculo de probabilidades.
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Espaço Amostral (S): (ou de casos ou resultados): de uma experiência é o conjunto de todos os
resultados possíveis para um experimento aleatório.
Acontecimento ou evento (E): é qualquer subconjunto do espaço amostral. Se um espaço
amostral tem n elementos, sabemos da teoria dos conjuntos que ele terá 2n subconjuntos, ou seja,
2n eventos associados a esse espaço amostral.
Exemplo 1: Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço
amostral é S = {cara, coroa} e há 4 eventos associados a esse espaço: φ, A = {cara}, B =
{coroa} e S = {cara, coroa}. φ é um evento que não ocorre nunca e é chamado de evento vazio
ou impossível. O evento A ocorre se e somente se o lançamento resulta em cara. S ocorre
sempre e é chamado evento certo.
Usando as definições anteriores, a definição de probabilidade de ocorrência de um evento (E) em
um espaço amostral S, de resultados igualmente prováveis (equiprováveis), pela relação de
Laplace, é:
=
()
()
OBS: n(E) e n(S) representam, respectivamente, as quantidades de elementos do evento E e do
espaço amostral S.
Simplificadamente algumas pessoas representam a relação acima por: p(A) =
F
, onde F indica o
P
número de casos favoráveis ao evento e P indica o número total de casos possíveis.
Exemplo 2: a) Qual a probabilidade de, ao lançarmos dois dados cúbicos distintos, a soma
dos dois pontos obtidos ser igual a 7?
Solução:
O Espaço amostral será aqui representado pelos 36 pares ordenados representativos das
pontuações possíveis desses dois dados, ou seja, n (S) = 36. Poderemos representá-lo por uma
tabela de dupla entrada, vejamos:
O evento desejado, que está representado pelos pares ordenados sombreados (que atendem à
condição proposta - soma 7), ou seja, n (E) = 6. Logo, a probabilidade solicitada será igual a:
=
= ≅ , , %
3
Exemplo 3: Sabemos que na Mega Sena o prêmio maior é destinado aos jogadores que
acertarem as 6 dezenas sorteadas, dentre as 60 disponíveis para aposta. Determine a
probabilidade de ganhar na Mega Sena, uma pessoa que fizer o jogo mais barato (marcar
apenas 6 dezenas).
Solução: Nesse caso só temos um caso favorável ao jogador, que são as 6 dezenas que ele
escolheu. (C6,6 =1).
O total de sorteios possíveis, que constitui o número de elementos do espaço amostral S é dado
por C60,6 =
60 !
60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55 . 54 !
=
= 50 063 860 (das 60 dezenas disponíveis, o
54 !. 6!
54 !. 720
jogador escolherá apenas 6). Logo, a probabilidade procurada é:
p=
1
= 0,00000001 997 ≅ 0,000002 % .
50 063 8 60
OBSERVAÇÃO: Se A e B são eventos em um mesmo espaço amostral S, A ∪ B é o evento que
ocorre se e somente se ocorre o evento A ou ocorre o evento B, isto é, ocorre pelo menos um dos
eventos A ou B; A ∩ B é o evento que ocorre se e somente se ocorrem simultaneamente os
eventos A e B; A – B é o evento que ocorre se e somente se ocorre o evento A, mas não ocorre o
_
evento B; A , chamado de evento oposto ou complementar ao evento A, é o evento que ocorre se
e somente se o evento A não ocorre. Associaremos sempre a cada evento um número, que
chamaremos de probabilidade do evento (p) e que traduzirá nossa confiança na capacidade do
evento ocorrer.
Definição axiomática de probabilidade:
Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A, de um espaço amostral S, um
número p (A), de forma que:
1. Para todo evento A, 0 ≤ p(A) ≤ 1
2. p(S) = 1
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, isto é, eventos que não podem ocorrer
simultaneamente (A ∩ B = φ) então p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
Como consequência, temos as seguintes propriedades:
1. p(φ) = 0
_
2. p( A ) = 1 – p(A)
3. p(A – B) = p(A) – p(A ∩ B)
4. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
Exemplo 3: Qual a probabilidade de um número inteiro positivo selecionado aleatoriamente do
conjunto dos inteiros positivos menores ou iguais a 100 ser divisível por 2 ou por 5?
Solução:
Sabemos que no Universo dos inteiros positivos, inferiores ou iguais a 100, teremos (n(S) = 100),
a quantidade de números divisíveis por 2 é 50 (os pares) - evento A - e a quantidade dos
números divisíveis por 5 é 20 (os terminados em zero ou em cinco) - evento B - Sendo que os que
são divisíveis ao mesmo tempo por 2 e por 5 (os múltiplos de 10) – evento A ∩ B, são 10. Logo,
teremos:
4
p(A) =
;
p(B) =
e p (A ∩ B) =
,
logo:
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B), ou seja:
p(A ∪ B) =
+
=
ou 60%.
Eventos independentes
Dizemos que dois eventos de um mesmo espaço amostral são independentes quando a
probabilidade de que eles ocorram simultaneamente é igual ao produto de suas probabilidades
individuais, ou seja se p(A ∩ B) = p(A) . p(B). A noção de eventos independentes será ampliada
quando estivermos trabalhando com probabilidade condicional.
Exemplo 4: Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao
acaso, tenha média acima de 7,0 é 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem
saiba jogar futebol é 5/6. Qual a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que tenha
média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?
Solução:
Considere os eventos: A: ter média acima de 7,0. B: saber jogar futebol.
O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa, logo,
p(A ∩ B) = p(A) . p(B) = . = .
Exemplo 5: Um lote contém 10 peças, sendo 7 boas e 3 defeituosas. Retiramos duas peças,
ao acaso e com reposição, para inspeção. Qual a probabilidade de se obter duas peças
defeituosas?
Solução: Denominando de D1 o sorteio de uma primeira peça defeituosa e de D2 o sorteio de uma
segunda peça defeituosa, teremos:
p(D1 ∩ D2) = p(D1) . p(D2) =
.
=
= 9%
Exemplo 6: Qual a probabilidade de obtermos 25 caras, nos 25 lançamentos consecutivos de
uma moeda honesta?
Solução: Probabilidade de obter cara num lançamento da moeda: p = ½ . Probabilidade de obter
cara nos 25 lançamentos consecutivos:
1
2
p = ( ) 25 =
1
≅ 0,00000002 98 ≅ 0,000003 %
33 554 432
DICA: Existem casos que é mais fácil calcular indiretamente uma probabilidade, através do cálculo
da probabilidade complementar e depois subtraindo de 1 ou de 100 % o resultado obtido.
Exemplo 7: Qual a probabilidade de, num grupo de 20 pessoas, ao menos uma delas ter nascido
no mês de julho?
Solução: Vamos primeiro determinar a probabilidade de nenhuma das pessoas ter nascido em
julho e, em seguida, pela probabilidade complementar, determinar a probabilidade pedida. Note
que calcular diretamente o que o problema pede, seria muito trabalhoso, pois poderíamos ter duas
ou três, ou quatro, ou cinco....até 20 pessoas nascidas em julho e todos esses casos seriam
considerados favoráveis ao problema.
5
Primeiramente, calculemos a probabilidade de UMA das pessoas do grupo, não ter nascido em
julho. p =
11
. Pois todos os demais 11 meses do ano são considerados favoráveis ao evento.
12
Agora, aplicando o princípio multiplicativo, para o grupo de 20 pessoas, a probabilidade de
11 20
) , que vale aproximadamente 17,55%.
12
NENHUMA delas ter nascido em julho é: p = (
Finalmente, a probabilidade pedida (pelo menos duas pessoas terem nascido em julho) será igual
11 20
) , que vale, aproximadamente, 82,45%.
12
a1- (
Exemplo 8: O PROBLEMA DA COINCIDÊNCIA DOS ANIVERSÁRIOS
Em um grupo de 8 pessoas, determine a probabilidade de que duas dessas pessoas, pelo menos,
aniversariem no mesmo dia.
Vamos primeiro determinar a probabilidade de que todas as oito pessoas façam aniversários
em datas diferentes, e depois calcular o que se pede pelo complementar.
Número de possibilidades das oito pessoas aniversariarem em datas diferentes =
365. 364. 363. 362. 361. 360. 359. 358 (de acordo com o princípio multiplicativo). Note que o
último fator corresponde a 365 – 8 + 1 ou 366 – 8. (casos favoráveis).
Número total de possibilidades das oito pessoas aniversariarem (em qualquer dada, num ano não
8
bissexto) = 365 x 365 x 365 x ...x 365 = 365 (ainda de acordo com o princípio multiplicativo).
Probabilidade das 8 pessoas aniversariarem em datas distintas:
p=
365. 364. 363. 362. 361. 360. 359. 358.
= 0,9257
= 92,57%.
365 8
Finalmente, a probabilidade pedida no problema será: 100% - 92,57% = 7,43%
O resultado obtido não costuma assustar às pessoas e é considerado razoável, mas, se
generalizarmos o resultado obtido e montarmos uma tabela de acordo com o número de pessoas
do grupo, teremos uma boa surpresa...vejamos:
A probabilidade de, num grupo de k pessoas, encontrarmos pelo menos duas com a
mesma data de aniversário é dada por:
p = 1−
365 x 364 x ....x (366 − k)
365 k
Calculando essa fórmula, para alguns valores de k, teremos:
6
Pessoas
Probabilidade
20
41%
25
57%
30
71%
40
89%
45
94%
50
97%
Verifique o surpreendente fato de que, num
grupo de 50 pessoas é praticamente certo que
duas delas, ao menos, terão a mesma data de
aniversário.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Três meninos e três meninas sentam-se em fila. Encontre a probabilidade das três
meninas sentarem juntas.
2. Joga-se um dado branco e um dado preto. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer soma 6
b) ocorrer soma 11
c) ocorrer soma 2
d) não ocorrer nem soma 2 e nem 8.
3. Uma carta é retirada de um baralho comum de 52 cartas. Qual a probabilidade de:
a) sair uma carta vermelha
b) sair uma carta de copas
c) sair um rei ou uma carta de copas.
4. Um número inteiro é escolhido ao acaso dentre os números 1,2,3,...,30. Qual a
probabilidade desse número sorteado:
a) ser divisível por 3
b) ser divisível por 5 c) ser divisível por 5 ou por 3
d) não ser divisível nem por 3 e nem por cinco.
5. Duas bolas são retiradas, consecutivamente e sem reposição, ao acaso de uma urna que
contém 20 alaranjadas, 7 verdes , 10 pretas e 5 brancas. Qual a probabilidade delas
serem:
a) alaranjadas b) pretas c) verdes d) brancas e) ambas da mesma cor